Dualidad poincaré (Efraín Vega)

Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones

Dualidad de Poincaré

Efraín Vega Landa

2015-09-04

Dualidad de Poincaré 2

La dualidad de Poincaré

Es un resultado que relaciona los grupos de homología y cohomología de una

variedad cerrada y orientable.

Hk (M) =̃Hn−k (M)



¿Qué es la homología de una variedad?



Es una sucesion de grupos

Hk =ker ∂kim∂k+1

asociada a un complejo de cadenas

0∂n+1→ Cn

∂n→ Cn−1∂n−1→ · · · ∂2→ C1

∂1→ C0∂0→ 0

∂k ◦ ∂k+1 = 0

extraido con la información topológica de una variedad



La no trivialidad de cada uno de estos grupos Hk (M) está asociada con la existencia

de agujeros en la variedad



Algunos ejemplos

S1

H0

(S1)

= Z

H1

(S1)

= Z



S2

H0

(S2)

= Z

H1

(S2)

= 0

H1

(S2)

= ZSegundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones


T 2

H0

(T 2)

= Z

H1

(T 2)

= Z2

H1

(T 2)

= Z



S3

H0

(S3)

= Z

H1

(S3)

= 0

H2

(S3)

= 0

H3

(S3)

= Z



T 3

H0

(T 3)

= Z

H1

(T 3)

= Z3

H2

(T 3)

= Z3

H3

(T 3)

= Z



¿Qué es la cohomología?

Es una sucesión de grupos

Hk =ker δk+1

imδk

asociada a un complejo de cadenas "duales"

Para construirlo notamos que en el complejo de cadenas de la homología

0∂n+1→ Cn

∂n→ Cn−1∂n−1→ · · · ∂2→ C1

∂1→ C0∂0→ 0

los mapeos ∂k son lineales, así podemos tomar el complejo de espacios duales

0δn+1← Cn δn← Cn−1 δn−1← · · · δ

2

← C1 δ1← C0 δ0← 0

conectados por los mapeos transpuestos δk



La idea de la dualidad de Poincaré es ver que cada funcional en Hk (M) se puede

obtener a partir del producto de intersección con un (n− k)-ciclo.



Imaginemos un 1-ciclo y un 2-ciclo en un 3-toro T 3

A ∈ H1

(T 3)

y B ∈ H2

(T 3)



Si deformamos un poco alguno de los ciclos ¿Seguirá intersecando al otro?

Resulta ser que la intersección se preservará

Es decir, será un invariante asociado a las clases de homología de los ciclos A y B.



Pero si deformo más pueden aparecer más puntos de intersección

¿Cómo contarlos adecuadamente?

A las intersecciones les podemos asignar un signo



Escogemos una orientación en los ciclos A, B y nos fijamos en el espacio tangente a

la variedad TpT3 en el punto p, donde se intersecan los ciclos.

Escogemos un par de bases para TpA y TpB, de orientación positiva.



ip (A,B), será ±1;

1 si al tomar la base de TpA y luego la de TpB formamos una base de TpT3 de

orientación positiva en M ;

−1 si tiene orientación negativa en M.

Definimos el número de intersección sumando sobre las intersecciones

# (A,B) =∑p∈A∩B

ip (A,B)



Resulta ser que la intersección de ciclos depende solo de las clases de homología de

los ciclos A y B

Si uno de los ciclos, por ejemplo B está en la clase del 0 entonces, el otro ciclo A lo

intersecaría en general un numero par de veces y

# (A,B) = 0

Y es también es lineal en cada factor

vale para cada pareja de clases de homología α ∈ H1

(T 3)

y β ∈ H2

(T 3)

podemos encontrar ciclos A y B que representen dichas clases y al intersecarlos

transversalmente

definimos un mapeo bilineal

H1

(T 3)×H2

(T 3)→ Z

Llamado apareamiento de intersección.



Finalmente, estas ideas se pueden generalizar para cualquier variedad orientable Mdonde para cada pareja de clases de homología α ∈ Hk (M) y β ∈ Hn−k (M)podemos encontrar ciclos A y B suaves por trozos que las representen y al

intersecarlos transversalmente tendremos un mapeo bilineal

Hk (M)×Hn−k (M)→ Z

dado por

〈α, β〉 =# (A,B)

llamado producto de intersección



Si tomamos en el producto de intersección el orden inverso, a veces conmuta y a

veces no (en el caso de T 3 hubiera sido indistinto el orden tomado)

# (A,B) = (−1)k(n−k) [# (B,A)]



Mencionamos que se puede definir también el producto de intersección de ciclos

cuya suma de dimensiones exeda la de la variedad

Hn−k1 (M)×Hn−k2 (M)→ Hn−k1−k2 (M)

en el caso que ya vimos

n− k1 + k2 = 0

y ahora podríamos tener

n− k1 + k2 > 0

Un ejemplo:

en T 3 podríamos tener, haciendo k1 = k2 = 1, un mapeo

H2 (M)×H2 (M)→ H1 (M)



H2 (M)×H2 (M)→ H1 (M)



El resultado fundamental sobre el producto de intersección es el teorema de Poincaré

Si M es una variedad cerrada y orientable, el producto de intersección

Hk (M,Z)×Hn−k (M,Z)→ Z

es unimodular, es decir, cada funcional lineal

Hn−k (M,Z)→ Z

se expresa como el producto de intersección con alguna clase α ∈ Hk (M,Z)

〈α, _〉 =# (A, _) ,

y cualquier clase α ∈ Hk (M,Z) que tenga número de intersección 0 con todas las

clases en Hn−k (M,Z) será una clase de torsión





Otra versión del teorema de Poincaré es que el mapeo

Hk (M,Q)P←→ Hn−k (M,Q)∗ =̃Hn−k (M,Q)

El isomorfismo P le asocia al k ciclo A el funcional

P (A) (B) =# (A,B)

en Hn−k (M,Q)∗ =̃Hn−k (M,Q) dado por el producto de intersección (omitiendo aquí

el hecho de que es unimodular).



El isomorfismo de de Rham

Hn−kdR (M)←→ Hn−k (M,R)

nos garantiza que para el k-ciclo A en el funcional

P (A) (B) =# (A,B)

existe una (n− k)-forma ϕn−k diferencial en Hn−k (M,R) tal que al integrarla sobre

los (n− k)-ciclos B en Hn−k nos da el mismo funcional∫B

ϕn−k =# (A,B)



Pensemos los dos puntos de vista del funcional∫B

ϕn−k =# (A,B)

en el toro T 3, donde k = 1 y n− k = 2.

El 1-ciclo A = S1 es uno de los 3 generadores de H1

(T 3).

La 2-forma ϕn−k = ϕ2 es la que arroja período en el toro T 2 generador de H2

(T 3)

cuya intersección con A es distinta de cero∫B

ϕ2 =#(S1, B

)Donde B corre en H2

(T 3).



En formas diferenciales existe el producto cuña

ϕk1 ∧ ψk2 = ωk1+k2

En particular, manda formas cerradas en formas cerradas.

Respeta las clases de cohomología, es decir, tenemos un mapeo

Hk1dR (M)⊗Hk2

dR → Hk1+k2dR (M)

y en particular si k1 + k2 = n

HkdR (M)⊗Hn−k

dR → HndR (M) =̃R

que algo tiene de parecido con el producto de intersección



Relacionemos el producto cuña con el producto de intersección

Tomemos un k-ciclo σk y un (n− k)-ciclo τn−k en M . Y tomemos (usando el teorema

de de Rham) sus formas ϕn−k y ψk duales de Poincaré, es decir

∫µn−k

ϕn−k =#(σk, µn−k

)para cualquier (n− k) -ciclo µn−k

∫νkψk =#

(τn−k, νk

)para cualquier k-ciclo vk



Si tomamos ahora el producto de los ciclos en el producto de M con sí misma

µn−k × νk ⊂M ×M

con los mapeos de proyección en cada factor

π1 : M ×M →M y π2 : M ×M →M

resulta que∫µn−k×νk

π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk =

∫µn−k

ϕn−k∫νk

ψk =#(σk, µn−k

)# (τn−k, νk

)


administrator2

Resaltado


Notamos que las parejas de ciclos

σk y µn−k

τn−k y νk

se intersecan en M si y solo sí la pareja de ciclos

σk × τn−k y µn−k × νk

se interseca en M ×M y las intersecciones están relacionadas a través de

i (p1, p2)(σk × τn−k, µn−k × νk

)= (−1)n−k ip1

(σk, µn−k

)ip2(τn−k, νk

)



de donde al tomar en cuenta todos los puntos de intersección llegamos a que

#(σk × τn−k, µn−k × νk

)= (−1)n−k

[#(σk, µn−k

)# (τn−k, νk

)]= (−1)n−k

∫µn−k×νk

π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk



Notamos que en la igualdad

#(σk × τn−k, µn−k × νk

)= (−1)n−k

∫µn−k×νk


los n-ciclos µn−k × νk son arbitrarios y de hecho combinaciones lineales de ellos

generan (Fórmula de Kunneth) cualquier elemento

ηn ∈ Hn (M ×M)

Por la linealidad en el producto de intersección tenemos

#(σk × τn−k, ηn

)= (−1)n−k

∫ηn


que para cualquier n-ciclo ηn en M ×M .



La iguladad

#(σk × τn−k, ηn

)= (−1)n−k

∫ηn


nos dice (teorema de Rham) que la n-forma en HndR (M ×M)


es dual de Poincaré del n-ciclo η en Hn (M ×M)

(−1)n−k σk × τn−k



Si tomamos la diagonal ∆ como nuestro n-ciclo ηn

ηn = ∆ ⊂M ×M

resulta que

(−1)n−k[

#(σk × τn−k,∆

)]=

∫∆

π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk =

∫M

ϕn−k ∧ ψk



Por otro lado, las intersecciones del ciclo σk × τn−k con la diagonal ∆ se dan si y solo

sí los ciclos σk y τn−k se intersecan en M y la relación es

i (p, p) (σ × τ ,∆) = (−1)n−k ip(σk, τn−k

)y al tomar en cuenta todas las intersecciones llegamos a

#(σk, τn−k

)= (−1)n−k

[#(σk × τn−k,∆

)]=

∫M

ϕn−k ∧ ψk

La interseccion de ciclos en la homología es dual de Poincaré al producto cuña de la

cohomología



Finalmente notamos que es el producto cuña el análogo al producto de intersección

para la cohomología de de Rham, es decir, el producto cuña induce un isomorfismo

HkdR (M)⊗Hn−k

dR → R=̃HndR (M)

dado por([ϕn−k

],[ψk])→∫M

ϕn−k ∧ ψk



Bibliografía

Phillip Griffiths & Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry

V. A. Vassiliev, Introduction to topology

Isadore Manuel Singer & John A. Thorpe, Lecture notes on elementary topology and

geometry

Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology



FIN

Gracias a todos


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