9. GRAVITACIJA

9.1. Newtonov zakon gravitacije

Promatranje gibanja nebeskih tijela → gravitacija: privlačna sila meñu tijelima

Tycho Brahe (1546-1601)– danski astronom; precizno bilježio putanje nebeskih tijela (planeta i 777 zvijezda → oko + kompas + sekstant)

1600. asistent Johannes Kepler (1571-1630); njemački astronom → Keplerovi zakoni

1684. Edmond Halley → gravitacijska sila izmeñu Sunca i planeta opada s kvadratom udaljenosti

1687. Isaac Newton → Philosophie naturalis principia mathematica(Matematički principi filozofije prirode)

- najznačajnije djelo u povijesti znanosti- opisao gibanje nebeskih i zemaljskih tijela pomoću zakona gravitacije

Claudius Ptolemeus (100 – 170) – geocentrični sustavNikola Kopernik (1473 – 1543) – heliocentrični sustav

9.1. Newtonov zakon gravitacijeLegenda: pad jabuke sa stabla i gibanje Mjeseca oko Zemlje uzrokuje ista sila → gravitacijsko privlačenje dviju masa.

- akceleracija slobodnog pada ne ovisi o masi tijela → gravitacijska sila proporcionalna je masi tijela- princip akcije i reakcije → gravitacijska sila proporcionalna je umnošku masa obaju tijela- gravitacijska sila ovisi o udaljenosti ~1/r2

1 212 02

m mF G r

r= −

��

2112 FF��

−=

G = 6,673·10-11 [N m2 kg -2 = m3/kgs 2]gravitacijska konstanta0r

�

Gravitacijska sila kojom tijelo mase m1 djeluje na tijelo mase m2proporcionalna je umnošku masa, a obrnuto proporcionalna kadratu njihove udaljenosti; to je privlačna sila koja djeluje u smjeru spojnice izmeñu tijela.

9.2. Odreñivanje gravitacijske konstanteJohn Michell je 1783. konstruirao torzionu vagu s ciljem odreñivanja gustoće Zemlje.

Henry Cavendish, 1798. god. izračunao gustoću Zemlje te posredno odredio univerzalnu gravitacijsku konstantu.

Cavendishova torziona vaga.

- dvije male kugle mase m i dvije velike kugle mase M- gravitacijsko privlačenje kugli →zakret niti za kut θ + torziona konstanta → G

G=(6.672 ± 0.004)·10-11 Nm2/kg2

slaba sila

9.2. Odreñivanje gravitacijske konstante

Primjer.Odredite masu i gustoću Zemlje. (RZ = 6400 km)

Na tijelo mase m na površini Zemlje djeluje sila:

2

2245.895 10

Z

Z

ZZ

mMF ma mg G

R

gRM kg

G

= = =

= = ⋅RZ

Fm

MZ

Srednja gustoća Zemlje :2

3

3

35500 /

4 43

Z

Z

Z ZZ

gRM gG kg mV R GR

ρππ

= = = =

9.2. Keplerovi zakoni

1. Planeti se gibaju po elipsama, a Sunce se nalazi u jednom od žarišta.

2. Planeti se gibaju tako da radijusvektor (vektor ko ji spaja središte Sunca i središte planeta) u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake površine, bez obzira na udaljenost planeta od Sunca (zakon ploha).

3. Kvadrati vremena ophodnje planeta oko Sunca odnose se kao kubovi velikih poluosi njihovih elipti čnih putanja:

2 31 12 3

2 2

T a

T a=

9.2. Keplerovi zakoniKeplerovi zakoni mogu se izvesti iz Newtonovih zakona i zakona gravitacije.Primjer:Odredi ophodno vrijeme planeta koji kruži oko Sunca na udaljenosti r.

22

2

2

2

22 3

2 3

2

2

4

g cp

S pp p

S

S

F F

M M vG M M r

r r

T

MG r

r T

T rGM

T r

ω

πω

π

π

=

= =

=

=

=

∼ 3. Keplerov zakon

9.2. Keplerovi zakoniVeza izmeñu 2. Keplerovog zakona i zakona očuvanja zakretnog impulsa.

0d

dt= =Lτ

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.

Pošto gravitacijska sila (električna, manetska) djeluje na daljinu, korisno je definirati POLJE kao prostor u kojem djeluje sila.

Polje postoji u svakoj točki prostora. Izvor polja je tijelo (m) koje stvara gravitacijsko polje u okolnom prostoru.

Prisustvo polja utvrñujemo postavljanjem probnog tijela (m0) u odreñenu točku prostora i mjerenjem sile na to tijelo.

Jakost gravitacijskog polja = gravitacijska sila po jedinici mase.

0

gFJ

m=��

��

m m00

02

020

g

g

m mF G r

r

F mJ G r

m r

⋅= −

= = −

�� �

��

�� �r0

r

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.

Gravitacijsko polje Zemlje. Gravitacijsko polje na površini Zemlje.

( )02

0

g Z

Z

F MJ G r

m R h= = −

+

��

�� �

020

29.81 /

g ZZ

Z

Z

F MJ G r

m R

J g m s

= = −

= =

��

��� �

- opada s kvadratom udaljenosti

- konstantno uz površinu Zemlje

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.

Sila teže → privlačna sila koja djeluje na sva tijela u blizini Zemljine površine;

→ rezultanta gravitacijske sile (Fg) i neinercijalne (centrifugalne Fcf) sile zbog Zemljine rotacije

GF mg=�� ��

masa akceleracija sile teže

Svim tijelima na istom mjestu na Zemlji koja slobodno padaju, sila teža daje isto ubrzanje, g.

ω

Fcf

Fg

FG

Fg

Fcf

FG

Sila teže i težina

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.Sila teže i težina

Težina → sila kojom neko tijelo pritišće podlogu na kojoj stoji odnosno ovjesište o koje je ovješeno.

Sila teža je sila na tijelo, a težina je sila na podlogu odnosno ovjesište.

Ukoliko podloga (ovjesište) miruje ili se giba jednoliko pravocrtno spram površine Zemlje, težina tijela jednaka je sili teži:

GG mg F= =�� �� ��

Ako se tijelo giba ubrzano prema Zemljinoj površini, težina će se razlikovati od sile teže.

9.4. Troma i teška masa

- odražava inerciju tijela- odreñujemo je mjerenjem a koju tijelo dobije djelovanjem sile F

tF m a=

- mjera gravitacijske sile- uzrokuje gravitacijsko polje

2

Z gg

Z

M mF G

R=

tm gm

Pokusi: sila teža Fg=mg jednaka je sili koja ubrzava tijelo kod slobodnog pada F=ma.

t g gF m a F m g= = =Pokusi: a g=Zaključak: t gm m m= =

Jednakost teške i trome mase osnova je principa ekvivalencije: ne možemo razlikovati inercijalni sustav u gravitacijskom polju (a=g) od neinercijalnog sustava koji se giba ubrzanjem a=-g → opća teorija relativnosti.

9.5. Gravitacijska potencijalna energija

- gravitacijska sila je konzervativna- u polju konzervativne sile tijela imaju potencijalnu energiju

- gravitacijska sila je centralna sila: usmjerena je duž radijalne dužine prema fiksnom centru (O), a iznos joj ovisi samo o radijalnoj udaljenosti r, F=F(r)- promatramo rad centralne sile na putanji A→B

( )

( ) , 0f

i

r

radijal luk

r

dW Fdr F r dr

W F r dr W

= =

= =∫

�� �

- rad ovisi samo o početnom i krajnjem radijalnom položaju

svaka centralna sila = konzervativna sila

9.5. Gravitacijska potencijalna energija

- rad potreban da tijelo mase m2 premjestimo iz položaja r1 u r2 u gravitacijskom polju tijela mase m1

r1

r2

2 2

1 1

1 22

2

1 2 1 21 2 1

1 1 1

r r

g

r r

r

r

m mW F dr G dr

r

W Gm m Gm mr r r

= =

= − = − −

∫ ∫

- rad ne ovisi o putu već samo o početnom i krajnjem položaju tijela mase m → možemo ga izraziti razlikom potencijalnih energija

( ) ( )

( ) ( )

2 1 1 22 1

1 21

1 1

, 0

p p

p p

W E r E r Gm mr r

m mE r G E r

r

= − = − −

= − = ∞ =

m2m1

9.5. Gravitacijska potencijalna energija

- na površini Zemlje r1=RZ, r2=r ( )

( )

1

1

112

2

1 1p Z

Z

Zp Z

Z

Z Z

Zp

Z

Z

Z

E r Gm Mr R

r RE r Gm M

R r

h r R R

Gm ME h m gh

R

GMg

R

= − −

−=

= − <<

= =

=

Gravitacijska potencijalna energija tijela iznad Zemlje.

9.5. Gravitacijska potencijalna energijaPrva kozmička brzina= brzina kojom treba lansirati tijelo da bi kružilo oko Zemlje na udaljenosti RZ

2

7.9 /

cp g

Z

Z

F F

mvmg

R

v gR km s

=

=

= =

Energija tijela m koje kruži oko masivnog tijela M2

2

2

/2

2 2

2 2p

mv mM rG

r r

mv mMG

rmM mM mM

E K E G G Gr r r

= ⋅

=

= + = − = −

Ukupna mehanička energija tijela na zatvorenoj putanji je negativna i konstantna. Kinetička energija je konstantna i dva puta manja od potencijalne energije.Pri gibanju dvaju tijela u gravitacijskom polju, ukupna energija i zakretni impuls su očuvani.

9.5. Gravitacijska potencijalna energija

Druga kozmička brzina= brzina kojom treba lansirati tijelo da bi napustilo Zemljino gravitacijsko polje

2

Z Z

Z ZZ

ZR R

mM mMW Fdr G dr G mgR

r R

∞ ∞

= = = =∫ ∫

- rad koji treba uložiti pri udaljavanju tijela s površine Zemlje u beskonačnost

- taj rad dobije se naračun kinetičke energije tijela lansiranog brzinom v2

22

2 1

2

2 2 11.2 /

Z

Z

mvmgR

v gR v km s

=

= = =

9.6. Crne jame

Masivna zvijezda → supernova → jezgra

m < 1.4 MS → bijeli patuljak

1.4 MS < m < 3 MS → neutronska zvijezda (r=10 km)

m > 3 MS → crna jama

Schwarzschildov radijus-svi dogañaji unutar RS

ostaju nevidljivi vani

Binarni sustav koji se sastoji od normalne zvijezde (lijevo) i crne jame (desno). Materija isčupana iz zvijezde stvara ubrzavajući disk oko crne jame koji se zagrijava do visokih temperatura i zrači x-zrake; time crne jame postaju vidljive.

Domaća zadaća 4

1. Čovjek mase100 kg nalazi se u liftu koji se a) diže konstantnom brzinomb) diže akceleracijom 1 m/s2

c) spušta akceleracijom 1 m/s2.Ako čovjek ispusti kuglicu na visini 1 m iznad poda lifta, koliko će

vremena kuglica slobodno padati?

2. Koliko bi na Mjesecu skočila Blanka Vlašić, ako na Zemlji preskoči visinu 2.08 m?

3. Dvije zvijezde udaljeneza d gibaju se po kružnim putanjama oko njihovog centra mase. Pokaži da je period svake zvijezde dan relacijom:

Napomena: primijeni Newtonove zakone na svaku od zvijezda.

2 1

1 2

Mr mr

d r r

== +