Upload
sibian-elenie
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 1/259
UNIVERSITATEA TITU MAIORESCUFACULTATEA DE PSIHOLOGIE
STATISTICĂPSIHOLOGICĂ ŞIPRELUCRAREA
Ă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 2/259
Ă
1 INTRODUCERE1.1 Rolul statisticii în cercetarea psihologică1.2 Matematica de bază
1.2.1 Operaţii aritmetice de bază1.2.2 Operaţii aritmetice cu numere reale1.2.3 Proprietăţi ale numerelor reale1.2.4 ndicatori speciali ai operaţiilor aritmetice
1.3 !tatistici descripti"e #i statistici in$erenţiale1.4 %i"ele de măsură1.4.1 %i"elul nominal1.4.2 %i"elul ordinal
1.4.2 %i"elul de inter"al1.4.3 %i"elul de raport
2 PREZENTAREA DATELOR STATISTICE2.1 Procente #i proporţii
2.2 Raporturi #i rate2.3 &istribuţii de $rec"enţe
2.4 &iagrame #i gra$ice
3
MĂRIMILE TENDINŢEI CENTRALE ŞI ALE DISPERSIEI
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 3/259
4 DISTRIBUŢIA NORMALĂ4.1 *aracteristicile distribuţiei normale4.2 *alculul scorurilor standard4.3 &istribuţia normală standard4.4 +tilizarea distribuţiei normale standard
4.4.1 &eterminarea procentelor de cazuri4.4.2 &eterminarea probabilităţilor pentru scoruri
5 EŞANTIONAREA ŞI DISTRIBUŢII DE EŞANTIONARE'.1 Procedee de e#antionare aleatorie'.2 &istribuţia de e#antionare'.3 &eterminarea probabilităţilor pentru medii aritmetice'.4 !trategia in$erenţială
6 PROCEDURI DE ESTIMARE STATISTICĂ(.1 *aracteristici ale estimatorilor (.2 ,stimarea mediei aritmetice c-nd σ este cunoscut(.3 ,stimarea mediei aritmetice c-nd σ este necunoscut.
&istribuţia t student(.4 ,stimarea proporţiilor
(.' &imensiuni ale e#antioanelor #i ni"ele de precizie
( ' 1 *ontrolul mărimii inter"alului estimat
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 4/259
10 TESTE NONPARAMETRICE1.1 0estul chi−pătrat χ 25
1.1.1 0estul chi−pătrat pentru independenţă
1.1.1 0estul chi−pătrat pentru concordanţă
1.2 0estul Mc%emar 1.3 0estul Mann−6hitne7 U
1.4 0estul medianei1.' 0estul iteraţiilor
1.( 0estul 6ilco8on T
1./ 0estul 9rus:al6allis H
11 MĂRIMI ALE CORELAŢIEI
11.1 %oţiunea de corelaţie11.2 Mărimi ale corelaţiei la ni"el nominal11.3 Mărimi ale corelaţiei la ni"el ordinal
11.4 Mărimi ale corelaţiei la ni"el de inter"al sau de raport11.' ,lemente de analiză multi"ariată
11.'.1 *orelaţia parţială11.'.2 Regresia multiplă11.'.3 *orelaţia multiplă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 5/259
1 INTRODUCERE
Dicţionarul explicativ al limbii române consemnează mai mule !n"elesu#i ale
cu$%nului statistică& Unul 'in#e acesea ese (e$i'en"ă nume#ică #e)e#ioa#e la 'i$e#se)enomene*& La s)%#+iul unei #ansmisiuni ele$izae a unui meci 'e )o,al- 'e .il'ă- ni se
.#ezină o (saisică* .#i$in' numă#ul 'e +uu#i .e .oa#ă- numă#ul 'e co#ne#e- numă#ul'e ca#ona+e /al,ene +i #o+ii ec& 0n#1un al !n"eles al acesui cu$%n- saisica ese o#amu#ă a maemaicii- numiă a'esea statistică teoretică sau c2ia# statistică matematică-al că#ei o,iec 'e su'iu !l #e.#ezină ela,o#a#ea uno# meo'ele maemaice 'e analiză aa+a1numielo# ()enomene 'e masă*- in'i)e#en 'e nau#a aceso#a& Ce#ceăo#ii 'in'omeniul +iin"elo# omului +i ale nau#ii $o#,esc 'es.#e saisică !n#1un )el 'i)e#i- 'a#l ' i l ' ! l i i % ' ! ' l '
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 6/259
Analiza saisică ese esen"ială !n .si2olo/ie- ca +i !n celelale +iin"e ale omului&
Se .oae s.une- c2ia#- că .si2olo/ia nu .oae e3isa )ă#ă saisică& Pe 'e ală .a#e- #olulsaisicii ese limia& Acese #ăsău#i .o )i e3.licae !n #a.o# cu cele #ei ea.e .#inci.ale ale unei ce#ceă#i& As)el- !n ea.a formulării problemei de cercetare-
ce#ceăo#ul )o#mulează un enun" al unei .#o,leme sau al unei !n#e,ă#i la ca#ece#cea#ea $a !nce#ca să 'ea un #ăs.uns& P#o,lema ce#ceă#ii .oae să .#o$ină 'in 'i)e#ie
su#se- incluz%n' eo#ii- ce#ceă#i ane#ioa#e +i comenzi 'e ce#cea#e& O'aă ce a )os)o#mulaă .#o,lema ce#ceă#ii- .#ocesul in#ă !n#1o a 'oua ea.ă- !n ca#e se iau deciziidespre proiectul de cercetare
şi
se aleg
metodele şi tehnicile de cercetare
& 0n aceasăea.ă- ce#ceăo#ul 'eci'e ce i.u#i 'e cazu#i $o# )i incluse !n ce#cea#e- c% 'e mulecazu#i $o# )i luae !n consi'e#a#e +i !n ce mo' $o# )i in$esi/ae acesea& Du.ă ce au )os
in$esi/ae oae cazu#ile +i au )os culese oae 'aele #ele$ane- saisica 'e$ine#ealmene +i !n mo' 'i#ec im.o#ană .en#u analiza rezultatelor & Ese im.o#an 'e
#e"inu că dacă cercetătorul şia formulat greşit problema sau a proiectat greşitcercetarea! atunci cele mai sofisticate analize statistice sunt lipsite de valoare&
0m.#umu%n' un (.#inci.iu* 'in +iin"a com.ue#elo#- .uem s.une că meo'ele +i
e2nicile saisice se su.un #e/ulii IGIG 6 (in#o'uci /unoaie- ies /unoaie*& O#ic% a# )i'e uilă- saisica nu se .oae su,siui conce.ualiză#ii #i/u#oase +i nici alcăui#ii unui .#oiec 'e ce#cea#e co#es.unzăo# .#o,lemei a$uă !n $e'e#e&
Mule .e#soane ca#e nu sun ce#ceăo#i #e,uie să )ie consumao#i a$iza"i 'e#ezulae 'e ce#cea#e .#eluc#ae saisic& Saisica o)e#ă a'esea su.o# #a"ional .en#u'ecizii ale mana/e#ilo# 'in sisemul e'uca"ional- .en#u consilie#ii e'uca"ionali- .en#u
.si2olo/ii clinicieni +i .en#u ale .e#soane ale că#o# .#o)esii sun le/ae !n#1un )el saualul 'e +iin"ele omului& O#ica#e a# )i moi$ul .en#u ca#e se uilizează meo'e +i e2nici
i i ii i ii* il , i l ) l
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 7/259
!n#e.#in'e o scu#ă #ece#e !n #e$isă a uno# conce.e +i o.e#a"ii a#imeice- .e ca#e o#ice
ciio# cu o .#e/ăi#e me'ie !n 'omeniul maemaicii o .oae ne/li4a&
1.2.1 OPERAŢII ARITMETICE DE BAZĂ
Saisica )olose+e 'in .lin cele .a#u operaţii aritmetice de bază9 a'una#ea 7:8-scă'e#ea 7−8- !nmul"i#ea +i !m.ă#"i#ea& Rezulaul unei a'ună#i se nume+e sumă- ia#
#ezulaul o.e#a"iei 'e scă'e#e se nume+e diferenţă& 0nmul"i#ea a 'ouă nume#e .oae )i'enoaă al/e,#ic !n #ei )elu#i9 " ⋅ # - 7 " 8 7# 8 sau .u# +i sim.lu "# & Nume#ele ca#e sun!nmul"ie se numesc factori- ia# #ezulaul o.e#a"iei 'e !nmul"i#e se nume+e produs&
0m.ă#"i#ea a 'ouă nume#e .oae )i- 'e asemenea- 'enoaă !n #ei )elu#i9 " ÷ # - " ;# sau
#
" & 0n noa"ia )olosiă aici- " ese numărătorul - # )iin' numitorul & Rezulaul o.e#a"iei
'e !m.ă#"i#e se nume+e cât &Ese im.o#an 'e #e"inu #ela"ia 'in#e !nmul"i#e +i !m.ă#"i#e& As)el- c%ul " ;#
.oae )i e3.#ima ca .#o'usul 7 " 8 7<;=8& De e3em.lu- <>;> 6 7<>8 7<;>8 6 ?&
1.2.2 OPERAŢII ARITMETICE CU NUMERE REALE
0n a#imeica elemena#ă sunem )amilia#iza"i cu numerele pozitive- i&e& nume#elemai ma#i sau e/ale cu @& saisica #e,uie să )olosească ceea ce maemaicienii numesc
l l i i i i ' l l
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 8/259
S&'%$%# C%n' se sca' nume#e- se sc2im,ă semnul numă#ului 'e scăzu- 'u.ă ca#e
se a.lică #e/ulile a'ună#ii9
7−<@8 − 7:>8 6 7−<@8 : 7−>8 6 −<>7−<@8 − 7−>8 6 7−<@8 : 7:>8 6 :<>
Î"!*+$%# Dacă se !nmul"esc 'ouă nume#e ca#e au acela+i semn- .#o'usul ese .ozii$- ia# 'acă se !nmul"esc 'ouă nume#e ca#e au semne 'i)e#ie- .#o'usul ese ne/ai$9
7−<@8 7−>8 6 :>@7−<@8 7:<>8 6 −<>@
Î,'$*+$%# Dacă se !m.a# 'ouă nume#e ca#e au acela+i semn- c%ul ese .ozii$- ia#'acă se !m.a# 'ouă nume#e ca#e au semne 'i)e#ie- c%ul ese ne/ai$9
−<@
/−> 6 :@-@:<>/−<@ 6 −<->@
1.2.- PROPRIETĂŢI ALE NUMERELOR REALE
Nume#ele #eale au #ei .#o.#ieă"i im.o#ane- ca#e sun uilizae !n )o#mulele +icalculele saisice9 comutativitatea- asociativitatea +i distributivitatea înmulţirii faşă de
d
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 9/259
#i'ica un numă#& As)el- " % 'esemnează #i'ica#ea la .ă#a a numă#ului " sau- al)el
s.us- !nmul"i#ea numă#ului " cu sine9 " ⋅ " - ia# " & 'esemnează #i'ica#ea la .ue#ea a .ă#a a numă#ului " 9 " ⋅ " ⋅ " ⋅ " &
Radicalul in'ică e3#a/e#ea #ă'ăcinii unui numă#& 0n saisică a.a#e cel mai)#ec$en e3#a/e#ea #ă'ăcinii .ă#ae a unui numă#& 'ădăcina pătrată a unui numă#-
in'icaă 'e sim,olul √- ese numă#ul #eal .#in a că#ui #i'ica#e la .ă#a se o,"ine numă#ulini"ial& As)el- ?F 6 - 'eoa#ece 6 ?& Ră'ăcina .ă#aă a unui numă# .oae )i
in'icaă +i .#in e3.onenul )#ac"ional & De .il'ă- ?F 6 <; 6 &
peratorul !nsumării- sim,oliza 'e ma4uscula 'in al)a,eul /#ecesc sigma- ( -in'ică !nsuma#ea a ceea ce u#mează ime'ia !n e3.#esia #es.eci$ă& Dae )iin'- 'e .il'ă-nume#ele
" ) 6 ?- " % 6 - " * 6 - " & 6 - " + 6 -
e3.#esia ∑=
>
<i
i " - ciiă (sumă 'e " in'ice i 'e la i 6 < la >* să .en#u suma
" ) : " % : " * : " & : " + 6 ? : : : : 6
" i ese sim,olul /ene#al .en#u nume#ele 'in se#ia 'e mai sus& Noa"ia 'e su, ( - i 6 <-in'ică .#imul numă# 'in sumă- " ) 6 ?- ia# numă#ul !nsc#is 'easu.#a sim,olului ( a#aă
.%nă la al c%elea numă# a#e loc !nsuma#ea- " + 6 & 0n /ene#al- e3.#esia
,
i"
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 10/259
R%4!# 2 Rezulaul o,"inu .#in a.lica#ea o.e#ao#ului ( la suma a 'ouă sau mai
mule se#ii 'e c%e , nume#e ese e/al cu #ezulaul o,"inu .#in a.lica#ea o.e#ao#ului (la )ieca#e se#ie !n .a#e +i a'una#ea sumelo# as)el o,"inue& 0n sim,olu#i9
∑ ∑ ∑= = =
+=+ ,
i
,
i
,
i
iiii # " # " < < <
87
Fie se#iile " ) 6 - " % 6 >- " * 6 ?- " & 6 < +i # ) 6 <- # % 6 ?- # * 6 - # & 6 aunci-
∑=
=+ ,
i
ii # " <
87 7 " ) : # )8 : 7 " % : # %8 : 7 " * : # *8 : 7 " & : # &8 6
6 7 : 8 : 7> : J8 : 7? : 8 : 7< : >8 6 J : < : : J : : 6 ?
∑ ∑= =
+ ,
i
,
i
ii # " < <
6 7 " ) : " % : " * : " &8 : 7# ) : # % : # * : # &8 6
6 7 : > : ? : <8 : 7 : J : : >8 6 << : 6 ?
1.- STATISTICI DESCRIPTIVE ŞI STATISTICIINFERENŢIALE
Pen#u cele ce u#mează- ese necesa# să 'e)inim e#menii variabilă- populaţie +ieşantion& O variabilă ese o#ice #ăsău#ă ca#e !+i .oae sc2im,a $aloa#ea 'e la caz la
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 11/259
As)el- ale/e#ea unei e2nici saisice 'e.in'e 'e ni$elul la ca#e a )os măsu#aă
$a#ia,ila& Ni$elele 'e măsu#ă ale $a#ia,ilelo# sun clasi)icae !n#1o ie#a#2ie- !n )unc"ie'e com.le3iaea lo#& Aceasă ie#a#2ie inclu'e- !n o#'inea c#escăoa#e a com.le3iă"ii-
ni$elele nominal- o#'inal- 'e ine#$al +i 'e #a.o#&
1.3.1 NIVELUL NOMINAL
Măsu#a#ea unei $a#ia,ile la ni$el nominal consă 'in clasi)ica#ea 'i)e#ielo#cazu#i !n cae/o#iile .#esa,ilie ale unei $a#ia,ile& La ni$el nominal- clasi)ica#ea ese
sin/u#a .#oce'u#ă 'e măsu#a#e .e#misă& Va#ia,ilele sex- denominaţia religioasă7a.a#enen"a #eli/ioasă 'ecla#aă8 +i culoarea ochilor sun e3em.le 'e $a#ia,ile
măsu#a,ile numai la ni$el nominal& La aces ni$el cae/o#iile nu .o )i o#'onae 'u.ă$#eun c#ie#iu- .u%n' )i com.a#ae unele cu alele e3clusi$ 'u.ă numă#ul 'e cazu#i
clasi)icae !n )ieca#e cae/o#ie& De .il'ă- 'acă 'o#im să măsu#ăm 'enomina"ia #eli/ioasă .en#u un /#u. 'e .e#soane- .#esa,ilim cae/o#ii .#ecum C#e+inBo#o'o3- Caolic-
P#oesan +&a&- 'a# nu .uem o#'ona acese cae/o#ii 'e la (su.e#io#* la (in)e#io#* sau !n$#eun al )el&C#ie#iile 7#e/ulile8 măsu#ă#ii nominale co#ece sun u#măoa#ele9
R%4!# %5&!%$++ &#/%4$++$ Cae/o#iile $a#ia,ilei #e,uie să )ie #eci.#oce3clusi$e- ceea ce !nseamnă că nici un caz nu #e,uie să )acă .a#e 'in mai mul 'e o
cae/o#ie& 0n #a.o# cu aceasă #e/ulă- 'isin/em 'ouă i.u#i 'e e#o#i9 7<8 cel .u"in 'ouăcae/o#ii au cazu#i !n comun- )ieca#e cae/o#ie con"in%n' +i cazu#i ca#e nu a.a#"in
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 12/259
.il'ă- o#ice !n uni$e#s !n clasa ,u#sucilo# sau !n clasa non1,u#sucilo#- 'a# o as)el 'e
clasi)ica#e nu a# a$ea nici o im.o#an"ă .en#u cunoa+e#e&
1.3.2 NIVELUL ORDINAL
0n cazul măsu#ă#ii la ni$el o#'inal- .e l%n/ă clasi)ica#ea cazu#ilo# !n cae/o#ii-cazu#ile #e.a#izae !n#1o cae/o#ie sau ala .o )i o#'onae- com.a#%n'u1le unul cu alul-
'e la (in)e#io#* la (su.e#io#*- !n )unc"ie 'e /#a'ul caliai$ !n ca#e acesea .ose'ă#ăsău#a măsu#aă& De .il'ă- $a#ia,ila nivel de şcolarizare ese măsu#a,ilă la ni$el
o#'inal& Cae/o#iile acesei $a#ia,ile sun a'esea o#'onae con)o#m u#măoa#ei sc2eme9<& nu a absolvit nici o şcoală & a absolvit cel mult ciclul obligatoriu de învăţământ
?& a absolvit cel mult liceul & a absolvit cel mult cursuri postliceale! neuniversitare >&a absolvit cel mult cursuri universitare & a absolvit cursuri post universitare& Acese
cae/o#ii sun e32ausi$e +i #eci.#oc e3clusi$e +i .o )i com.a#ae !n e#menii numă#ului'e cazu#i .e ca#e le con"in& 0n .lus- cae/o#iile +i cazu#ile in'i$i'uale .o )i com.a#ae
su, as.ecul #ăsău#ii măsu#ae& Puem s.une- 'e .il'ă- că un in'i$i' clasi)ica !ncae/o#ia a#e un ni$el 'e +cola#iza#e in)e#io# unui in'i$i' clasi)ica !n cae/o#ia -#es.eci$ că un in'i$i' clasi)ica !n cae/o#ia a#e un ni$el 'e +cola#iza#e su.e#io# unui
in'i$i' clasi)ica !n cae/o#ia &La ni$el o#'inal- 'e+i e3isă o ('isan"ă* !n#e o#ica#e 'ouă cazu#i a)lae !n
cae/o#ii 'i)e#ie- aceasă 'isan"ă nu .oae )i 'esc#isă !n e#meni .#eci+i& 0n e3em.lulnos#u- nu sunem !n'#e.ă"i"i să s.unem- 'e .il'ă- că 'isan"a 'in#e un in'i$i' a)la !ncae/o#ia +i un in'i$i' a)la !n cae/o#ia ? ese e/ală cu 'isan"a 'in#e un in'i$i' a)la
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 13/259
.unc ca#e să #e)lece a,sen"a ca#ace#isicii măsu#ae& De .il'ă- un e#mome#u cu lic2i'
'ilaa,il 7me#cu#- alcool ec&8 măsoa#ă em.e#au#a .e o scală 'e ine#$al 7Celsius sauFa2#ein2ei8 !n ca#e .uncul ze#o 7@°C sau @°F8 ese 'oa# unul 'in#e .uncele 'e .e
scala 'e măsu#ă )olosiă +i nu in'ică a,sen"a em.e#au#ii& Ca aa#e- nu sunem!n'#e.ă"i"i să s.unem- 'e .il'ă- că 'acă ie#i em.e#au#a a )os 'e :<°C +i asăzi sun
:<@°C- asăzi ese 'e zece o#i mai cal' ca ie#i<&Un e3em.lu 'e scală 'e ine#$al !n .si2olo/ie ese 'a 'e măsu#a#ea unei
#ăsău#i 'e .e#sonaliae- .#ecum ni$elul 'e sa,iliae emo"ională& Nu sunem
!n'#e.ă"i"i să s.unem că o .e#soană ca#e a o,"inu un sco# 'e @ .e o scală 'e .e#sonaliae !n .#i$in"a acesei #ăsău#i ese 'e 'ouă o#i mai sa,il emo"ional 'ec% o .e#soană ca#e a o,"inu sco#ul <@- 'eoa#ece nu e3isă un .unc ze#o a,solu ca#e să
in'ice a,sen"a #ăsău#ii măsu#ae&La aces ni$el sun .e#mise oae o.e#a"iile maemaice&
1.3.- NIVELUL DE RAPORT
0n măsu#a#ea la ni$el 'e #a.o#- .e l%n/ă oae #ăsău#ile unei măsu#ă#i 'eine#$al- se .oae 'ee#mina măsu#a e3acă 7.#o.o#"ia8 !n ca#e un caz a)la !n#1o
cae/o#ie sais)ace ca#ace#isica măsu#aă- !n #a.o# cu un caz a)la !n#1o ală cae/o#ie+i a.a#e un .unc ze#o nau#al- ca#e #e)lecă a,sen"a ca#ace#isicii măsu#ae& De .il'ă-
!n#e/is#a#ea $ec2imii !n muncă a an/a4a"ilo# unei )i#me !n ani !m.lini"i .#o'uce 'ae 'e#a.o#- 'eoa#ece uniaea 'e măsu#ă 'ee#mină ine#$ale e/ale- sunem !n'#e.ă"i"i să
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 14/259
Simula 'e .#e'a#ea saisicii la Faculaea 'e Psi2olo/ie a Uni$e#siă"ii 0itu
1aiorescu- am conce.u aceasă ca#e ca o in#o'uce#e cla#ă +i concisă !n saisicaa.licaă !n .si2olo/ie& Măsu#a !n ca#e am #eu+i !n'e.lini#ea acesui o,ieci$ o $a 'a-
)i#e+e- ciio#ul& Pen#u a.#o)un'a#ea uno# conce.e +i meo'e saisice .#ezenae aici-#ecoman' cu 'eose,i#e u#măoa#ele luc#ă#i- 'in ca#e am .#elua mule e3em.le 'e
analiză saisică9 ose.2 F& Heale- 2tatistics3 4 0ool for 2ocial 'esearch- elmon-Cali)o#nia- a'so#2 Pu,lis2in/ Com.an- <J Dennis E& HinQle- illiam ie#sma
+i Se.2en G& u#s- 4pplied 2tatistics for the 5ehavioral 2ciences- oson- Hou/2onMi))lin Com.an- <J Ge#al' Kelle# +i #ian a##acQ- 6ssentials of 5usiness2tatistics- elmon- Cali)o#nia- a'so#2 Pu,lis2in/ Com.an- <JJ< Leon F&
Ma#zillie#- 6lementar7 2tatistics- m& C& #on Pu,lis2e#s- <JJ@&
GLOSAR
2 PREZENTAREA DATELOR STATISTICE
Func"ia 'e ,ază a saisicii 'esc#i.i$e ese .#ezena#ea cla#ă +i concisă a#ezulaelo# ce#ceă#ii& 0n aces ca.iol sun e3.use o se#ie 'e e2nici 'e o#/aniza#e +i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 15/259
F$!# 2.2 8rocent
78 6<@@⋅
n
f
!n ca#e f 6 )#ec$en"a sau numă#ul 'e cazu#i !n )ieca#e cae/o#ien 6 numă#ul oal 'e cazu#i 7numă#ul 'e cazu#i 'in oae cae/o#iile8
U#măo#ul a,el ilus#ează calcula#ea .#o.o#"iilo# +i .#ocenelo#9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 16/259
Tabelul 2.1 Opinia faţă de interzicerea fumatului
în locurile publice (date fictive)
Opinia Frecvenţa( f )
Proporţia p
Procentul%
Acord 167 0,621 62,1Dezacord 72 0,26 26,
!u "tiu#!u
r$pund
&0 0,111 11,1
'O'A 26 1,000 100,0
Pen#u a a)la .#o.o#"ia cazu#ilo# 'in .#ima cae/o#ie 7 De acord cu interzicerea fumatului în locurile publice8- noăm că a$em aici < 'e cazu#i 7 f 6 <8 )a"ă 'e J
'e cazu#i !n e+anion 7n 6 J8& As)el9
8roporţie 7 p 8 % n
f
% DFJ
<FC
% @- <
P#oce'%n' la )el- a)lăm .#o.o#"iile cazu#ilo# 'in celelale cae/o#ii& Rezulaele .o )ie3.#imae su, )o#mă 'e .#ocene& As)el- .#ocenul 'e cazu#i 'in cea 'e1a #eia cae/o#ie
7 ,u ştiu9,u răspund 8 ese
8rocent 78 6 <@@⋅ f
6 <@@
DFJ
?@⋅ 6 <<-<
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 17/259
Tabelul 2.3 Procentul de studenţi înscrişi pe specializări
la două universităţi (date fictive)
*pecializarea +niveritatea A(%)
+niveritatea B(%)
Drept 2, &1,&tiinţe -cono.ice 1, 2,0
Pi/oloie &&,0 1,
*ocioloie 22, 21,'O'A 100,0(1)
100,0(6)
P#ocenele .#ezenae !n aces a,el .e#mi i'eni)ica#ea a% a 'i)e#en"elo#- c% +ia asemănă#ilo# 'in#e cele 'ouă uni$e#siă"i& De .il'ă- Uni$e#siaea 4 a#e un .#ocen
mai ma#e 'e su'en"i !nsc#i+i la s.ecializa#ea Psi2olo/ie- 'e+i numă#ul a,solu 'esu'en"i !nsc#i+i la aces .#o)il ese mai mic 'ec% la Uni$e#siaea 5- ia# la s.ecializa#ea
Sociolo/ie- .#ocenele sun a.#oa.e acelea+i&Rema#ca"i că su, )ieca#e coloană 'e .#ocene am men"iona oalul !n 'ae
a,solue sau- al)el s.us- am men"iona 'imensiunea e+anionului& 0n /ene#al- 'acă nu semen"ionează ,aza 'e com.a#a"ie- aunci .#ocenele +i .#o.o#"iile nu ne s.un nimic sauc2ia# ne .o in'uce !n e#oa#e& Să .#esu.unem- 'e .il'ă- că o )i#mă ca#e .#o'uce ,ăuu#i#ăco#ioa#e anun"ă că ulimul său .#o'us a#e cu @ mai .u"ine calo#ii& P#o,lema ese9
@ mai .u"in faţă de ce Fă#ă men"iona#ea ,azei 'e com.a#a"ie- .#een"ia )i#mei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 18/259
2.2 RAPORTURI ŞI RATE
Să consi'e#ăm 'in nou a,elul && C% 'e mul"i su'en"i sun !nsc#i+i la 5iin"eeconomice !n com.a#a"ie cu cei !nsc#i+i la Psi2olo/ie !n Uni$e#siaea 5 Puem )olosi)#ec$en"ele .en#u a #ăs.un'e la aceasă !n#e,a#e- 'a# un #ăs.uns mai u+o# 'e !n"eles
.oae )i 'a )olosin' un #a.o#& Raporturile se calculează !m.ă#"in' )#ec$en"a cazu#ilo#'in#1o cae/o#ie la )#ec$en"a cazu#ilo# 'in ală cae/o#ie- .e#mi"%n' as)el com.a#a#ea
cae/o#iilo# !n e#meni 'e frecvenţă relativă& De)ini"ia maemaică a #a.o#ului eseu#măoa#ea9
F$!# 2.- 'aport 6 :
i
f
f
!n ca#e i f 6 numă#ul 'e cazu#i 'in cae/o#ia i : f 6 numă#ul 'e cazu#i 'in cae/o#ia :
Ra.o#ul ne s.une e3ac !n ce măsu#ă cae/o#ia i 'e.ă+e+e !n numă# 'e cazu#icae/o#ia :& 0n e3em.lul nos#u- #a.o#ul su'en"ilo# !nsc#i+i la 5iin"e Economice )a"ă 'e
cei !nsc#i+i la Psi2olo/ie !n Uni$e#siaea 5 ese9
'aport 6 :
i
f
f 6
<HH
DCJ 6 <-
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 19/259
2.- DISTRIBUŢII DE FRECVENŢE
O distribu"ie de frecven"e ese o 'is.une#e a $alo#ilo# unei $a#ia,ile ca#e a#aăc%e cazu#i sun con"inue !n )ieca#e cae/o#ie a $a#ia,ilei #es.eci$e& Cons#ui#ea unei
'is#i,u"ii 'e )#ec$en"e ese- 'e #e/ulă- .#imul .as !n o#ice analiză saisică& Să .#esu.unem că u#măoa#ele 'ae #e.#ezină sco#u#ile o,"inue 'e <@ 'e su,iec"i la un
es 'e cuno+in"e9
Tabelul 2. !coruri obţinute la un test de cunoştinţe
6626
662&0&7
276&
&6&&&02
6616&
1&7&6
1&6
&770&&&0
&&&106&
67&67&7
&662
6&26
&20&62
6762&6&6
&7266
6&&70
7&&00
660&07&&6
77606
62066
22
62&6&&
66617
6&16
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 20/259
? > >? J <
? > ?J ? >> <De noa că aceasă 'is#i,u"ie 'e )#ec$en"e #e'ă +i in)o#ma"ia con)o#m că#eia !n
e+anionul consi'e#a nu au )os o,"inue sco#u#ile - - - ?< +i - a)lae !n#e celmai mic sco# +i cel mai ma#e sco#&
0n 'is#i,u"ia 'e )#ec$en"e 'in a,elul &> am inclus toate sco#u#ile 'i)e#iecu.#inse !n#e cel mai mic sco# +i cel mai ma#e sco#& Cu ale cu$ine- am clasi)ica 'aele!n#1un numă# 'e /#u.u#i sau clase e/al cu numă#ul 'e sco#u#i 'isince& Du.ă cum a#aă+i aces e3em.lu- cons#ui#ea unei 'is#i,u"ii !n aces )el a#e '#e. #ezula o lisă 'esul
'e lun/ă +i nu ocmai cla#i)icaoa#e& Aunci c%n' numă#ul 'e sco#u#i 'isince ese ma#e-se o.ează .en#u o .#ezena#e mai com.acă 7mai .u"in 'ealiaă8 a 'aelo#- .#in
/#u.a#ea aceso#a !n cae/o#ii mai la#/i- ca#e- !n cazul 'aelo# 'e ine#$al sau 'e #a.o#-se numesc intervale de clasă& 0n a,elul & se .#ezină o 'is#i,u"ie 'e )#ec$en"e .en#u'aele 'in a,elul &- !n ca#e a.a# <@ ine#$ale 'e clasă- mă#imea )iecă#ui ine#$al )iin'
e/ală cu > uniă"i& A'ău/%n' +i o coloană 'e .#ocene .en#u sco#u#ile 'in )ieca#e
cae/o#ie )a"ă 'e numă#ul oal 'e sco#u#i $om s.o#i cla#iaea .#ezenă#ii&
Tabelul 2.$ #istribuţia de frecvenţe a scorurilorobţinute la un test de cunoştinţe
(.$ri.ea intervalului 3 )
4ntervale de f
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 21/259
1. Se 'eci'e asu.#a numărului de intervale de clasă ca#e $o# )i uilizae&
Numă#ul 'e ine#$ale 'e clasă nu #e,uie să )ie a% 'e ma#e !nc% să nu .e#miă sesiza#ea .#e'ominan"ei #elai$e a anumio# /#u.ă#i 'e sco#u#i- 'a#nici a% 'e mic !nc% să con'ucă la .ie#'e#ea uno# in)o#ma"ii semni)icai$e&De #e/ulă- se uilizează !n#e > +i @ 'e ine#$ale- !n )unc"ie 'e numă#ul 'esco#u#i 'in mul"imea ini"ială 'e 'ae +i 'e sco.u#ile ce#ceă#ii&
2. 0n )unc"ie 'e numă#ul 'e ine#$ale 'e clasă ales- se sa,ile+e mărimeaintervalelor de clasă& 0n mo' o,i+nui- .en#u a se !nlesni ine#.#ea#ea'is#i,u"iei 'e )#ec$en"e- se )olosesc ine#$ale 'e clasă 'e aceea+i mă#ime&Mă#imea unui ine#$al 'e clasă se sa,ile+e !m.ă#"in' 'i)e#en"a 'in#e celmai ma#e sco# +i cel mai mic sco# 'in mul"imea sco#u#ilo# 'ae- numiăamplitudine a mul"imii #es.eci$e- la numă#ul ine#$alelo# 'e clasă +i#oun4in' #ezulaul .%nă la un numă# !n#e/ con$ena,il&
-. Se sa,ile+e .#imul ine#$al as)el !nc% să con"ină cel mai mic sco# 7limia sa
in)e#ioa#ă să )ie mai mică sau e/ală cu cel mai mic sco#8& Ulimul ine#$al $a)i acela ca#e con"ine cel mai ma#e sco#& Ine#$alele nu #e,uie să sesu.#a.ună&
3. Se numă#ă sco#u#ile 'in )ieca#e ine#$al 'e clasă +i se !n#e/is#ează#ezulaele !n#1o coloană eic2eaă f 7()#ec$en"a*8& La s)%#+iul aceseicoloane se .#ezină numă#ul oal 'e sco#u#i& Pen#u mai mulă cla#iae- se
.oae a'ău/a o coloană 'e .#ocene&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 22/259
'in#1un ine#$al 'e clasă +i 'in oae ine#$alele .#ece'ene& Ta,elul u#măo# .#ezină o
coloană 'e )#ec$en"e cumulae +i o coloană 'e .#ocene cumulae .en#u 'is#i,u"ia 'e)#ec$en"e 'in a,elul &&
Tabelul 2.% #istribuţia de frecvenţe a scorurilorobţinute la un test de cunoştinţe
4ntervale de
cla$
f fc % %c
20 B 2 1 1 0,6 0,62 BJ 2 & 1,11 1,67&0 B? 7 10 &, ,6& B?J 1 2 10,0 1,60 B 22 0 12,22 27,7 BJ 2 2 2&,&& 1,110 B> &0 122 16,67 67,7
B>J &7 1 20,6 ,&60 B 1 17 ,&& 6,676 BJ 6 10 &,&& 100,0'O'A 10 100,0
Pen#u a cons#ui 'is#i,u"ia 'e )#ec$en"e cumulae 'in a,elul & !nce.em cu .#imul ine#$al 'e clasă- @B& Pen#u aces ine#$al- in#a#ea !n coloana 'e )#ec$en"e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 23/259
'e sco#u#i ale unei as)el 'e $a#ia,ile- se .o#ne+e 'e la limiele ine#$alele 'e clasă
sa,ilie ini"ial- numie limite stabilite +i- .e ,aza aceso#a- se 'ee#mină a+a1numielelimite reale sau exacte& Pen#u 'ee#mina#ea aceso# limie- se !m.a#e la 'oi ('isan"a*a#imeică 'in#e ine#$alele 'e clasă sa,ilie ini"ial- ia# #ezulaul as)el o,"inu se sca'e
'in )ieca#e limiă in)e#ioa#ă sa,iliă +i se a'ună la )ieca#e limiă su.e#ioa#ă sa,iliă&Ta,elul & .#ezină #ezulaele a.lică#ii acese .#oce'u#i la ine#$alele 'e clasă sa,ilie
!n a,elul && 0n#uc% ('isan"a* a#imeică 'in#e ine#$alele 'e clasă 'in a,elul &ese 'e o uniae- limiele #eale se a)lă scăz%n' @-> 'in )ieca#e limiă in)e#ioa#ă +i
a'un%n' @-> la )ieca#e limiă su.e#ioa#ă& 0n a,elul & ese a'ău/aă o coloană eic2eaăcentre de interval& Cen#ele 'e ine#$al sun .uncele siuae e3ac la mi4locul unui
ine#$al +i se a)lă !m.ă#"in' la 'oi suma limielo# in)e#ioa#ă +i su.e#ioa#ă aleine#$alului& De noa că cen#ele 'e ine#$al sun acelea+i- in'i)e#en 'acă )olosim
limie sa,ilie sau limie #eale&
Tabelul 2.& #istribuţia de frecvenţe a scorurilorobţinute la un test de cunoştinţe (incluz5nd
li.ite reale "i centre de interval)
4ntervale decla$
i.ite reale entre deinterval
f
20 B 1, B-> 22 12 BJ 2, BJ-> 27 2&0 B? 2, B?-> &2 7& B?J &, B?J-> &7 1
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 24/259
Tabelul 2.' Nivelul de şcolarizare
pentru cei 1&( de subiecţi
!ivel de"colarizare
f %
1 0 02 61 &&,& 2 ,6
2 1&,&& 7 &,6 6 &,&&
'O'A 10 100,0
A'ău/a#ea unei coloane 'e .#ocene .en#u cae/o#ii a'uce un s.o# 'e cla#iae a .#ezenă#ii& De noa că la ni$elele nominal +i o#'inal- )#ec$en"ele cumulae +i .#ocenele
cumulae sun li.sie 'e sens& De asemenea- !n#uc% la acese ni$ele cae/o#iile sun
!no'eauna 'isc#ee- nu a#e sens să se 'ee#mine limiele 'e clasă #eale +i cen#ele 'eine#$al& Sin/u#a coloană ca#e .oae )i a'ău/aă la 'is#i,u"iile 'e )#ec$en"e .en#u
$a#ia,ile la o#ice ni$el 'e măsu#ă ese coloana 'e .#ocene&
2.3 DIAGRAME ŞI GRAFICE
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 25/259
Să cons#uim o 'ia/#amă ci#cula#ă .en#u 'aele 'in aces a,el& 0n#uc% ci#cum)e#in"a
unui ce#c a#e ?@@
- $om aloca <@
7?> 'in ?@@
8 .en#u .#ima cae/o#ie- <@@
7>@'in ?@@8 .en#u cea 'e1a 'oua cae/o#ie +i >@ 7<> 'in ?@@8 .en#u cea 'e1a #eiacae/o#ie& O,"inem u#măoa#ea 'ia/#amă ci#cula#ă9
)i*ura 2.1 !tatusul marital al celor 1&( de subiecţi
*ăsătoriţi
'=
*elibatari
3'=
&i"orţaţi
1'=
Dia/#ama 'in )i/u#a &< e$i'en"iază $izual .#e.on'e#en"a #elai$ă a su,iec"ilo# căsăo#i"i+i li.sa #elai$ă a su,iec"ilo# 'i$o#"a"i 'in e+anionul consi'e#a&
D+#4$#% &! &#"% 7+ +#4$#% &! +"++
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 26/259
1
2
3
4
'
(
*ăsătoriţi *elibatari &i"orţaţi
S/#/!1 (#$+/#)
P $ . & % " /
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 27/259
Decizia 'e a uiliza o 'ia/#amă ci#cula#ă sau o 'ia/#amă cu coloane 'e.in'e 'e
numă#ul 'e cae/o#ii ale $a#ia,ilei 'e ine#es +i 'e sco.ul ce#ceă#ii& Dacă o $a#ia,ilă a#emai mul 'e +ase sau +a.e cae/o#ii- aunci ese .#e)e#a,ilă o 'ia/#amă cu coloane- căcio 'ia/#amă ci#cula#ă cu .#ea mule cae/o#ii 'e$ine .#ea a/lome#aă +i 'eci /#eu 'e cii&
Dia/#amele cu coloane sun uile !n s.ecial .en#u a .#ezena )#ec$en"ele7#elai$e8 .en#u 'ouă sau mai mule cae/o#ii ale unei $a#ia,ile- cu sco.ul 'e a )aceunele com.a#a"ii& Să .#esu.unem- 'e .il'ă- că 'o#im să )acem o com.a#a"ie .e se3e anumă#ului 'e an/a4a"i ai unei )i#me ca#e- !n .#imele +ase luni ale unui an- au a.ela lase#$iciile cen#ului 'e consilie#e .si2olo/ică al )i#mei& Fi/u#a &? .#ezină 'aele7)ici$e8 o,"inue&
)i*ura 2.3 Numărul de an*a+aţi care au apelat la serviciilecentrului de consiliere psi,olo*ică
'
1
1'
2
2'
3
F $ % & 0 % " * #
>ărbaţi
?emei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 28/259
Ca +i 'ia/#amele ci#cula#e +i 'ia/#amele cu coloane- 'ia/#amele cu linii-
!n'eo,+e cunoscue su, 'enumi#ea 'e (/#a)ice*- sun la#/ )olosie !n massBme'ia .en#u .#ezena#ea 'i)e#ielo# 'ae saisice&
H+/4$#% 7+ ,+4#"% % 8$%&0%"*%
'istogramele sun mo'aliă"i 'e .#ezena#e $izuală a 'is#i,u"iilo# 'e )#ec$en"e .en#u 'ae 'e ine#$al sau 'e #a.o#- asemănăoa#e 'ia/#amelo# cu coloane& 0n#uc%!n#1o 2iso/#amă se )olosesc limiele 'e clasă #eale ale ine#$alelo# consi'e#ae-coloanele a.a# !n conac 'ouă c%e 'ouă& Fi/u#a &> .#ezină o 2iso/#amă .en#u 'aele'in a,elul &&
F+4!$# 2.9 H+/4$## &$!$+$ *+"!/%# !" /%/ % &!"7/+"*%
1'
2
2'
3
3'
44'
F $ % & 0 % " * #
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 29/259
1. Se .lasează c%e un .unc !n '#e.ul )iecă#ui cen#u 'e ine#$al- la !năl"imea
co#es.unzăoa#e )#ec$en"ei 'in ine#$alul #es.eci$&
2. Puncele as)el o,"inue se unesc .#in linii '#e.e&
-. Se !nc2i'e .oli/onul- consi'e#%n'u1se c%e un ine#$al su.limena# cu)#ec$en"a ze#o la )ieca#e ca.ă al 'is#i,u"iei +i unin' .#in linii '#e.e
.uncele e3#eme cu cen#ele 'e ine#$al 7a)lae .e a,scisă8 ale ine#$alelo#su.limena#e&
3. Se eic2eează a3ele&
Pen#u sim.li)ica#ea cons#uc"iei- .e a3a a,sciselo# se .o ma#ca 'i#ec cen#ele 'eine#$al- !n locul limielo# 'e clasă& De+i #e'ă aceea+i in)o#ma"ie ca +i 2iso/#amele-
.oli/oanele 'e )#ec$en"e sun uile .en#u a 'a o ima/ine /ene#ală a unei 'is#i,u"ii'e )#ec$en"e&
Fi/u#a u#măoa#e .#ezină un .oli/on 'e )#ec$en"e ca#e #e'ă aceea+i in)o#ma"ieca +i 2iso/#ama 'in )i/u#a .#ece'enă&
F+4!$# 2.: P+4"! % 8$%&0%"*% # &$!$+$*+"!/% # !" /%/ % &!"7/+"*%
4'
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 30/259
1. LCRS se 'is.un .e a3a a,sciselo#&
2. F#ec$en"ele cumulae sau .#ocenele cumulae se 'is.un .e a3a o#'onaelo#&
-. Se .lasează c%e un .unc !n '#e.ul )iecă#ei LCRS- la !năl"imeaco#es.unzăoa#e )#ec$en"ei cumulae sau .#ocenului cumula !n ine#$alulco#es.unzăo# acelei LCRS&
3. Puncele as)el o,"inue se unesc .#in linii '#e.e&
9. O/i$a se !nc2i'e la s%n/a- e3inz%n' o linie '#ea.ă că#e limia 'e clasă#eală in)e#ioa#ă a .#imului ine#$al&
:. Se eic2eează a3ele&
Fi/u#a & .#ezină o o/i$ă .en#u 'aele 'in a,elul &&
F+4!$# 2.; O4+0' ,%"/$! &$!$+% *+"!/%la un test de cunoştinţe
/
1
! ) # / %
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 31/259
GLOSAR
3 MĂRIMILE TENDINŢEI CENTRALEŞI ALE DISPERSIEI
Uiliza#ea 'is#i,u"iilo# 'e )#ec$en"e +i a e2nicilo# /#a)ice 'e .#ezena#e aaceso#a .e#mie #ele$a#ea )o#melo# /lo,ale ale 'is#i,u"iilo# uno# sco#u#i& Pen#u'esc#ie#ea mai 'ealiaă a unei 'is#i,u"ii 'e sco#u#i- saisicienii )olosesc 'ouă i.u#i 'emă#imi nume#ice 'esc#i.i$e& Ese $o#,a 'es.#e i'eea 'e caz i.ic sau cen#al !n#1o'is#i,u"ie- #e'aă .#in mărimile tendin"ei centrale- +i 'es.#e i'eea 'e $a#ieae sauee#o/eniae a unei 'is#i,u"ii- #e'aă .#in mărimile dispersiei& Dee#mina#ea aceso#mă#imi )u#nizează $alo#i .#ecise ca#e .o# )i u+o# ine#.#eae +i com.a#ae !n#e ele&
-.1 MĂRIMILE TENDINŢEI CENTRALE
Mă#imile )olosie !n mo' o,i+nui .en#u măsu#a#ea en'in"ei cen#ale sunme'ia a#imeică- me'iana +i mo'ul& Fieca#e 'in#e acese mă#imi #ezumă o !n#ea/ă'is#i,u"ie 'e sco#u#i- 'esc#iin' cea mai i.ică sau cen#ală $aloa#e a 'is#i,u"iei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 32/259
Tabelul 3.1 -rstele pentru un eşantion de 11 persoane
85rta f
16 117 1 11 22& &
'O'A 11Să #ema#căm că a$em << sco#u#i- c%e unul .en#u )ieca#e .e#soană 'in e+anion& Pen#ua a)la me'ia a#imeică a $%#selo# .e#soanelo# 'in e+anion sau- .e scu#- $%#sa me'ie-#e,uie să !nsumăm toate cele << sco#u#i +i să !m.ă#"im #ezulaul o,"inu la <<& Pen#u ascu#a .#oce'u#a- !nmul"im )ieca#e sco# cu )#ec$en"a cu ca#e a.a#e- a'unăm #ezulaele!nmul"i#ilo# +i !m.ă#"im suma as)el o,"inuă la <<9
<J<<
D@J
<<
8D??78<JD78<H<78<CE78<F<7 ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅== ∑n
" "
i
As)el- me'ia a#imeică a $%#selo# .e#soanelo# 'in e+anionul consi'e#a ese <J&Me'ia a#imeică ese mă#imea saisică )olosiă cel mai 'es !n a.#ecie#ea
en'in"ei cen#ale a unei mul"imi 'e sco#u#i 'e ine#$al sau 'e #a.o# 'eoa#ece ese u+o#'e calcula +i !n .lus a#e u#măoa#ele .#o.#ieă"i im.o#ane- .e ca#e le $om )olosi !n
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 33/259
.en#u a calcula unele mă#imi ale co#ela"iei- .oae )i e3.#imaă +i s.un%n' că me'ia
a#imeică ese .uncul !n 4u#ul că#uia suma a,ae#ilo# .ă#aice ale sco#u#ilo# eseminimă&
Ta,elul ?& ilus#ează cele 'ouă .#o.#ieă"i ale me'iei a#imeice .en#u'is#i,u"ia 'e sco#u#i 'in a,elul ?&<- !n ca#e " 6 <J&
Tabelul 3.2 Proprietăţi ale mediei aritmeticepentru datele din tabelul 3.1
i " i " −
"
7 i " − "
8
7 i " −178
7 i " −178
16 −& −1 117 −2 0 017 −2 0 017 −
2 0 0
17 −2 0 01 −1 1 1 11 0 0 2 1 0 0 2 2& 16 6 &62& 16 6 &62& 16 6 &6
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 34/259
e+anion +i µ V .en#u me'iana unei .o.ula"ii& De asemenea- !n#uc% 'eocam'aă $a )i
$o#,a numai 'es.#e e+anioane- $om )olosi sim,olul " V
&(ediana " V a unei mul"imi 'e sco#u#i ese (.uncul 'e mi4loc* al acelei
mul"imi- !n sensul că numă#ul 'e cazu#i cu sco#u#i mai mici sau e/ale cu " V ese e/al
cu numă#ul 'e cazu#i cu sco#u#i mai ma#i sau e/ale cu " V & Pen#u a a)la me'iana unei
mul"imi 'e n sco#u#i- sco#u#ile #es.eci$e se a#an4ează mai !n%i !n o#'ine c#escăoa#esau 'esc#escăoa#e& Dacă n ese im.a#- aunci me'iana ese- e$i'en- sco#ul cazului 'emi4loc& Dacă n ese .a#- aunci $o# )i 'ouă cazu#i 'e mi4loc +i o#ice $aloa#e cu.#insă
!n#e cele 'ouă sco#u#i ale cazu#ilo# 'e mi4loc sais)ace 'e)ini"ia me'ianei& 0n#1un as)el
'e siua"ie- 'acă sco#u#ile sun 'e ine#$al sau 'e #a.o#- .#in con$en"ie- se ia '#e.me'iană me'ia a#imeică a celo# 'ouă sco#u#i ale cazu#ilo# 'e mi4loc&
0n e3em.lu 'in a,elul ?&< a$em 'e1a )ace cu << cazu#i& V%#sa me'iană ese <-'eoa#ece a$em !n e+anion cinci .e#soane cu $%#se mai mici 'e < ani +i cinci .e#soanecu $%#se mai ma#i 'e < ani& Să .#esu.unem acum că am !n#e/is#a $%#sele .en#u un
e+anion 'e .e#soane +i că am o,"inu u#măoa#ea 'is#i,u"ie 'e )#ec$en"e9
Tabelul 3.3 -rstele pentru un eşantion de % persoane
85rta f
26 22 12 1&0 1&2 1
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 35/259
& 2
'O'A 16
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 36/259
0n e+anionul consi'e#a !n a,elul ?&- )amilii au @- < sau co.ii- ia# celelale )amilii
au c%e sau ? co.ii- as)el că cea 'e1a 1a +i cea 'e1a J1a )amilie 7cele 'ouă cazu#i 'emi4loc8 au acela+i numă# 'e co.ii9 & Ca aa#e- me'iana acese mul"imi 'e sco#u#i ese 9 )amilii au )ieca#e un numă# 'e co.ii mai mic sau e/al cu - ia# celelale )amilii au
)ieca#e un numă# 'e co.ii mai ma#e sau e/al cu & To a+a- !n mul"imea im.a#ă 'esco#u#i
<- - ?- >- >- >- - <@- <
sco#ul me'ian ese >- căci a$em .a#u sco#u#i mai mici sau e/ale cu > 7<- - ?- >8 +i .a#usco#u#i mai ma#i sau e/ale cu > 7>- - <@- <8&
U#măo#ul e3em.lu ilus#ează 'ee#mina#ea me'ianei .en#u $a#ia,ile 'e ni$elo#'inal& Să .#esu.unem că !n#1o ce#cea#e .#i$in' mo'ul 'e .e#ece#e a im.ului li,e#-
<< su,iec"i au )os solicia"i să #ăs.un'ă la !n#e,a#ea (C% 'e 'es a"i )os lacinemao/#a) !n ulimele +ase luni* Răs.unsu#ile la aceasă !n#e,a#e au )os
!n#e/is#ae .e o scală o#'inală cu u#măoa#ele cae/o#ii9 <& Deloc- & <oarte rar - ?& 'ar -
& Des- >& <oarte des& A#an4%n' sco#u#ile !n o#'ine 'esc#escăoa#e- 'aele sunu#măoa#ele9
Tabelul 3." /0t de des mer*eţi la cinemato*raf
*uiectul 9$punul A Foarte
des
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 37/259
men"ionaă .oae )i !nlesniă .#in )olosi#ea uno# calcule sim.le& As)el- 'u.ă o#'ona#ea
sco#u#ilo#- 'acă n ese im.a#- cazul 'e mi4loc ese 'a 'e )o#mula D8<7 +n 'acă n ese .a#- .#imul caz 'e mi4loc ese 'a 'e )o#mula Dn - ia# cel 'e1al 'oilea caz 'e mi4loc 'e)o#mula <8D7 +n & Ca e3e#ci"iu- 'ee#mina"i me'iana sco#u#ilo# 'in a,elul & 'in
ca.iolul ane#io#& 7Pue"i )olosi a,elul &> Dacă 'a- cum8De noa că me'iana nu ese (#asă* !n 'i#ec"ia $alo#ilo# e3#eme- 'eoa#ece
aceasă mă#ime ia !n consi'e#a#e 'oa# o#'inea sco#u#ilo#- nu +i ma/niu'inea e)eci$ă aaceso#a<@& Relu%n' un e3em.lu 'a mai sus- mul"imea 'e sco#u#i <>- @- >- ?@- ?> a#eaceea+i me'iană ca +i mul"imea <>- @- >- ?@- ?>@@9 sco#ul >& Să mai #ema#căm că
me'iana +i me'ia a#imeică ale unei mul"imi 'e sco#u#i .o să coinci'ă- acesa )iin'- 'e .il'ă- cazul mul"imii <>- @- >- ?@- ?>&
Me'iana nu .oae )i 'ee#minaă .en#u $a#ia,ile 'e ni$el nominal- 'eoa#eceacese $a#ia,ile nu au sco#u#i ca#e să .oaă )i o#'onae& Mă#imea en'in"ei cen#ale ca#e .oae )i )olosiă la ni$el nominal- ca +i la oae celelale ni$ele 'e măsu#ă- ese mo'ul&
-.1.- MODUL(odul unei mul"imi 'e sco#u#i 7 1o8 ese sco#ul ca#e a.a#e cel mai )#ec$en !n
acea mul"ime& De .il'ă- mo'ul 'aelo# 'in a,elul ?& ese - 'eoa#ece ese sco#ul ca#ea.a#e 'e cele mai mule o#i !n e+anionul consi'e#a- ia# mo'ul 'aelo# 'in a,elul ?&>
sau- al)el s.us- #ăs.unsul mo'al- ese <oarte des- 'eoa#ece ese #ăs.unsul ca#e a.a#e 'ecele mai mule o#i !n #a.o# cu celelale #ăs.unsu#i&
Mo'ul ese sin/u#a mă#ime ca#e .oae )i )olosiă !n măsu#a#ea en'in"ei cen#ale
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 38/259
mai sus #e.#ezină o !n#e/is#a#e a măsu#ilo# sacou#ilo# $%n'ue !n#1un ma/azin im. 'e
o să.ăm%nă& As)el- mo'ul măsu#ilo# 'e sacou#i $%n'ue sau- al)el s.us- măsu#amo'ală a aceso#a ese 'e mai ma#e ine#es .en#u 'i#eco#ul ma/azinului 'ec% me'ianamăsu#ilo# 'e sacou#i $%n'ue& Pe 'e ală .a#e- să o,se#$ăm că !n aces caz- me'ia
a#imeică a sco#u#ilo# nu ese !n nici un )el semni)icai$ă9 nume#ele ca#e in'ică măsu#i'e sacou#i sun con$en"ionale- as)el că ele .ueau )i !nlocuie- 'e .il'ă- cu lie#e&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 39/259
-.1.3 DISTRIBUŢII SIMETRICE ŞI DISTRIBUŢII ASIMETRICE
Du.ă cum am a#ăa- 'acă luc#ăm cu 'ae nominale- sin/u#a mă#ime a en'in"eicen#ale .e ca#e o .uem )olosi ese mo'ul- 'acă 'aele sun o#'inale- .uem )olosi a%mo'ul- c% +i me'iana- ia# 'acă 'aele sun 'e ine#$al sau 'e #a.o#- .uem )olosi oae
cele #ei mă#imi ale en'in"ei cen#ale&Du.ă cum $om $e'ea !n ca.iolele 'e'icae saisicii in)e#en"iale- la ni$el 'e
ine#$al sau 'e #a.o# me'ia a#imeică ese cu 'eose,i#e uilă .en#u #a/e concluzii'es.#e ca#ace#isicile unei .o.ula"ii .e ,aza ca#ace#isicilo# co#es.unzăoa#e ale unui
e+anion 'in acea .o.ula"ie& Pen#u sco.u#i 'esc#i.i$e !nsă- 'acă luc#ăm cu 'ae 'eine#$al sau 'e #a.o#- ese #ecoman'a,il să )olosim oae mă#imile en'in"ei cen#ale-'eoa#ece- .e 'e o .a#e- ele .o )u#niza in)o#ma"ii #elai$ 'i)e#ie +i- .e 'e ală .a#e-
com.a#a#ea $alo#ilo# me'iei a#imeice +i me'ianei )u#nizează in)o#ma"ie 'es.#e )o#maunei 'is#i,u"ii& As)el- me'ia a#imeică +i me'iana au aceea+i $aloa#e numai auncic%n' 'is#i,u"ia ese simetrică& 0n#1un as)el 'e caz- 'acă 'is#i,u"ia ese unimo'ală-
aunci +i mo'ul a#e aceea+i $aloa#e cu celelale 'ouă mă#imi& Să consi'e#ăm u#măo#ul
.oli/on 'e )#ec$en"e (#oun4i*- ca#e .#ezină o 'is#i,u"ie 'e )#ec$en"e sime#ică9)i*ura 3.1 O distribuţie simetrică 7 " 6 "
V 8
0 % " * #
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 40/259
)i*ura 3.2 O distribuţie cu asimetrie pozitivă 7 " > " V 8
F $ % & 0 % " * #
Aunci c%n' o 'is#i,u"ie a#e 'oa# c%e$a sco#u#i )oa#e mici sau- al)el s.us-sco#u#ile #elai$ ma#i sun .#e'ominane- me'ia a#imeică ese mai mică 'ec% me'iana&
0n#1un as)el 'e caz- se s.une că 'is#i,u"ia #es.eci$ă .#ezină o asimetrie negativă&
Fi/u#a ?&? ilus#ează cazul unei 'is#i,u"ii cu asime#ie ne/ai$ă&
)i*ura 3.3 O distribuţie cu asimetrie ne*ativă 7 " < " V 8
% " * #
" V
"
" V
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 41/259
F$!# -.2 ,
" n "
ii∑=
!n ca#e ni 6 numă#ul 'e sco#u#i 'in )ieca#e /#u.i
" 6 me'ia a#imeică a )iecă#ui /#u. , 6 numă#ul oal 'e sco#u#i
0n e3em.lul nos#u a$em9
, " n " ii
∑= 6<E@
8E>-H>E78??-CHF7 ⋅+⋅ 6<E@
FH-<@HF 6 -
Dacă am )i )ăcu me'ia a#imeică a $alo#ilo# -?? +i -> am )i o,"inu -J-ceea ce a# )i )os inco#ec- căci /#u.u#ile 'i)e#ă !n .#i$in"a numă#ului 'e sco#u#i&
E$i'en- me'ia a#imeică .on'e#aă .oae )i calculaă +i .en#u mai mul 'e 'ouă/#u.u#i&
Ese im.o#an 'e #ema#ca că- a.licae la aceea+i mul"ime 'e sco#u#i- )o#mulele?&< +i ?& .#o'uc acela+i #ezula& Pen#u ilus#a#e- )ie u#măoa#ea mul"ime 'e <@ sco#u#i-
!m.ă#"iă !n 'ouă /#u.u#i9 n) 6 {>- >- >- - - }- n% 6 {- - J- <@}& Me'ia a#imeică .en#u !n#ea/a mul"ime ese
" 6n
" i∑ 6<@
<@JH8?C7F8?>7 +++⋅++⋅ 6
<@
FJ 6 -J@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 42/259
mai 'e.a#e- .#ezenăm $alo#ile calculae .en#u sco#u#ile ,#ue- .en#u a le .uea
com.a#a cu cele calculae .en#u 'aele /#u.ae& As)el- !n e3em.lul nos#u a$em9
" 6 J- " V 6 J 1o 6 >
Să consi'e#ăm acum 'is#i,u"ia 'e )#ec$en"e a sco#u#ilo# o,"inue 'e <@ 'esu,iec"i la un ese 'e cuno+in"e9
Tabelul 3.$ #istribuţia de frecvenţe a scorurilor
obţinute la un test de cunoştinţe
4ntervale decla$
f
20 B 2 12 B 2 2&0 B & 7
& B & 10 B 22 B 20 B &0 B &760 B 6 16 B 6 6'O'A 10
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 43/259
1. Pen#u )ieca#e ine#$al i- se calculează cen#ul mi&
2. Numă#ul 'e cazu#i 'in )ieca#e ine#$al- f i- se !nmul"e+e cu cen#uline#$alului #es.eci$- mi9 f imi&
-. Se calculează (f imi- ia# $aloa#ea as)el o,"inuă se !m.a#e la numă#ul 'esco#u#i n&
0n#uc% (f imi ≅ (" i- $om a$ea9
F$!# -.-n
m f "
ii∑≅
Pen#u a a.lica aceasă .#oce'u#ă la e3em.lul nos#u- $om a'ău/a 'ouă coloanela 'is#i,u"ia 'e )#ec$en"e 'in a,elul ?&- una .en#u cen#ele 'e ine#$al +i una .en#u
.#o'usele 'in#e cen#ele 'e ine#$al +i )#ec$en"e9
Tabelul 3.% 0alculul mediei aritmeticepentru date *rupate
4ntervale decla$
f m fm
20 B 2 1 22 22
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 44/259
M%+#"# ,%"/$! #/% 4$!,#/%
5im că .en#u a a)la me'iana unei 'is#i,u"ii o#'onae 'e sco#u#i #e,uie săi'eni)icăm mai !n%i cazul sau cazu#ile 'e mi4loc al 'is#i,u"iei #es.eci$e& Aunci c%n'se luc#ează cu 'ae /#u.ae- se in#o'uce o sim.li)ica#e9 cazul 'e mi4loc ese i'eni)icala n/- in'i)e#en 'acă n ese .a# sau im.a#& 0n e3em.lul nos#u- a$%n' <@ 'e cazu#i !n
e+anion- cazul 'e mi4loc $a )i i'eni)ica la <@/- i&e& al J@1lea caz& Mai 'e.a#e- .#o,lema ese 'e a localiza aces caz +i a.oi 'e a a)la sco#ul asocia lui& E$i'en- aunci
c%n' 'aele sun /#u.ae- cazul 'e mi4loc se a)lă !n#1un ine#$al 'e clasă& Su.ozi"iacalculului me'ianei .en#u 'ae /#u.ae ese că !n )ieca#e ine#$al 'e clasă- oae
sco#u#ile sun 'is#i,uie uni)o#m !n#e limiele #eale ale ine#$alului& As)el- 'u.ă cei'eni)icăm ine#$alul ca#e con"ine cazul 'e mi4loc- $om a)la sco#ul #es.eci$ .e ,aza
acesei su.ozi"ii& Pen#u i'eni)ica#ea ine#$alului 'e clasă ca#e con"ine cazul 'e mi4loc-a'ău/ăm o coloană 'e )#ec$en"e cumulae la 'is#i,u"ia 'e )#ec$en"e ini"ială9
Tabelul 3.& 0alculul medianei
pentru date *rupate
4ntervale decla$
f fc
20 B 2 1 12 BJ 2 &&0 B? 7 10
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 45/259
7mă#imea ine#$alului8 ese -- as)el !nc% .uem a.#o3ima me'iana la -> : -
sau J-&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 46/259
0n /ene#al- su, su.ozi"ia că !n )ieca#e ine#$al 'e clasă oae sco#u#ile sun
'is#i,uie uni)o#m !n#e limiele #eale ale ine#$alului- .#oce'u#a 'e calcul a me'ianei .en#u 'ae /#u.ae ese u#măoa#ea9
1. Se a)lă cazul 'e mi4loc- 'a 'e n;&
2. Se cons#uie+e o coloană 'e )#ec$en"e cumulae +i cu a4uo#ul aceseia sei'eni)ică ine#$alul ca#e con"ine cazul 'e mi4loc&
-. Se a)lă al c%elea caz 'in ine#$al ese cazul 'e mi4loc- scăz%n' 'in n;)#ec$en"a cumulaă a cazu#ilo# a)lae su, ine#$alul i'eni)ica !n .asul&
3. Numă#ul o,"inu !n .asul ? se !m.a#e la numă#ul 'e cazu#i 'in ine#$al&
9. Numă#ul o,"inu !n .asul se !nmul"e+e cu mă#imea ine#$alului&
:. Numă#ul o,"inu !n .asul > se a'ună cu limia 'e clasă #eală in)e#ioa#ă aine#$alului ca#e con"ine cazul 'e mi4loc& Rezulaul #e.#ezină $aloa#eaa.#o3imai$ă a me'ianei&
Fo#mula u#măoa#e #ezumă ace+i .a+i9
F$!# -.3 i f
fcn >-'? "
i
i
"
−+≅
DV
V
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 47/259
acesui ine#$al )iin' consi'e#a mo'ul 'is#i,u"iei& Pen#u o mai ,ună a.#o3ima#e a
mo'ului unei 'is#i,u"ii cu 'ae /#u.ae- !n cazul !n ca#e 'is#i,u"ia a#e 'ouă sau maimule ine#$ale nea'iacene !n ca#e numă#ul 'e sco#u#i ese mai ma#e 'ec% !n ine#$alelea'iacene- aunci 'is#i,u"ia #es.eci$ă ese consi'e#aă multimodală 7,imo'ală-
#imo'ală ec&8& 0n e3em.lul nos#u- con)o#m 'e)ini"iei s#ice- ine#$alul mo'al ese >B J- as)el că cen#ul acesui ine#$al- - a.a#e ca mo' al 'is#i,u"iei& Tou+i- !n#uc% aici
a.a# 'ouă ine#$ale nea'iacene- >BJ +i >>B>J- !n ca#e numă#ul 'e sco#u#i ese maima#e 'ec% !n ine#$alele a'iacene- +i #es.eci$ ?- $om consi'e#a că 'is#i,u"ia ese
,imo'ală- cele 'ouă mo'u#i )iin' cen#ele 'e ine#$al #es.eci$e9 +i >& Se .oae
consaa că ine#$alul >>B>J con"ine mo'ul e)eci$ al 'is#i,u"iei 'e )#ec$en"e- >&
-.2 PERCENTILE
Mă#imile en'in"ei cen#ale )u#nizează in)o#ma"ii 'es.#e mul"imi 'e sco#u#i& 0nanumie cazu#i !nsă- ce#ceăo#ul .oae )i ine#esa 'e 'esc#ie#ea .ozi"iei unui sco#
in'i$i'ual !n #a.o# cu celelale sco#u#i 'in#1o 'is#i,u"ie& Dacă- 'e .il'ă- un su,iec ao,"inu sco#ul la un es 'e cuno+in"e- semni)ica"ia acesui sco# .oae )i e3.licaăinclusi$ !n e#menii numă#ului 'e su,iec"i 'in e+anionul consi'e#a ca#e au o,"inu
sco#u#i mai mici 'ec% &Pozi"ia unui sco# in'i$i'ual !n#1o 'is#i,u"ie .oae )i 'ee#minaă cu a4uo#ul
.e#cenilelo#& Cea 'e1a m1a percentilă a unei mul"imi 'e sco#u#i- 8 m- ese $aloa#ea )a"ă'e ca#e cel mult m 'in sco#u#i sun mai mici 'ec% m +i cel mult 7<@@ B m8 'in
sco#u#i sun mai ma#i 'ec% m& 0n#uc% me'iana unei mul"imi 'e sco#u#i ese $aloa#ea
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 48/259
7<>;<@@8> 6 <<-> sco#u#i sun mai ma#i& Sin/u#ul sco# ca#e sais)ace aces c#ie#iu ese
>- 'eci @< 6 >& Cea 'e1a 'oua cua#ilă- me'iana- ese sco#ul cen#al- i&e& <& Cea 'e1a#eia cua#ilă ese $aloa#ea )a"ă 'e ca#e cel mul > 'in sco#u#i- i&e& cel mul <<- >sco#u#i sun mai mici +i cel mul > 'in sco#u#i- i&e& ?-> sco#u#i sun mai ma#i&
Sin/u#ul sco# ca#e sais)ace aces c#ie#iu ese <- 'eci @? 6 <&De noa că 7n;<@@8> 6 n7@->8- ia# 7n;<@@8> 6 n7@->8& Ca aa#e- .en#u @<
.uem )olosi )o#mula n7@->8- ia# .en#u @? )o#mula n7@->8 sau- ec2i$alen- n B n7@->8&0n e3em.lul nos#u- n7@->8 6 ?-> +i n7@->8 6 n B n7@->8 6 <<->&
Uneo#i- .e#cenila căuaă (ca'e* !n#e 'ouă sco#u#i 'in mul"imea #es.eci$ă&
0n#1un as)el 'e caz- .#in con$en"ie- se ale/e me'ia a#imeică a celo# 'ouă sco#u#i .en#u a a.#o3ima .e#cenila căuaă& Să .#esu.unem că ne ine#esează ce1a 'e1a @1a
.e#cenilă 'in mul"imea 'e mai sus& Aceasa a# )i $aloa#ea )a"ă 'e ca#e cel mul ? sco#u#isun mai mici +i cel mul < sco#u#i sun mai ma#i& 0n#uc% o#ice numă# cu.#ins !n#e +i > 7inclusi$8 sais)ace aces c#ie#iu- $om ale/e ->@ '#e. ce1a 'e1a @1a .e#cenilă&
P#oce'u#a 'e calcul a .e#cenilelo# .en#u 'ae /#u.ae ese asemănăoa#e .#oce'u#ii 'e calcul a me'ianei .en#u 'ae /#u.ae& Să consi'e#ăm 'in nou 'is#i,u"ia
'e )#ec$en"e a sco#u#ilo# o,"inue la un es 'e cuno+in"e 'e <@ 'e su,iec"i +i să .#esu.unem că ne ine#esează cea 'e1a >1a .e#cenilă& Pen#u a o a)la- $om )olosia,elul ?&- ca#e inclu'e o coloană 'e )#ec$en"e cumulae&
Mai !n%i- i'eni)icăm ine#$alul 'e clasă ca#e con"ine .e#cenila căuaă& A$%n'<@ 'e sco#u#i in'i$i'uale !n e+anion- 8 > ese $aloa#ea )a"ă 'e ca#e cel mul <?> 7<@ ×
@->8 'e sco#u#i sun mai mici +i cel mul > 7<@ B <?>8 'e sco#u#i sun mai ma#i& Caaa#e- ine#$alul 'e clasă ca#e con"ine .e#cenila căuaă ese cel ca#e con"ine $aloa#ea)a"ă 'e ca#e cel mul <?> 7<@ × @->8 'e sco#u#i sun mai mici& Ins.ec%n' coloana 'e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 49/259
i 6 mă#imea ine#$alului
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 50/259
A.lic%n' )o#mula ?&> la e3em.lul nos#u- a$em9
8 > ≅ >-> : >?C
<DD8C>-@<H@7
−×
6 >-> : <-> 6 >->
Să .#esu.unem acum că ne ine#esează .#ocenul 'e su,iec"i ca#e au o,"inu unsco# mai mic sau e/al cu +i că nu 'is.unem 'ec% 'e 'aele /#u.ae 'in a,elul ?&&P#ocenul 'e cazu#i ca#e au un sco# mai mic sau e/al cu un sco# 'a se nume+e rangul
percentilei sco#ului #es.eci$&Pen#u a a)la #an/ul .e#cenilei .en#u sco#ul - noa '8 - o,se#$ăm mai !n%i
că aces sco# ese cu.#ins !n ine#$alul >BJ +i că >@ 'e cazu#i s1au cumula su, limia#eală in)e#ioa#ă a acesui ine#$al- ->& Ca +i .%nă acum- $om .#esu.une că oae cele
'e cazu#i siuae !n aces ine#$al sun 'is#i,uie uni)o#m !n#e limiele #eale aleine#$alului& Su, aceasă .#esu.une#e- .#o.o#"ia 'e cazu#i 'in ine#$al ca#e au sco#u#imai mici sau e/ale cu ese 7-@ B ->8;> 6 ->;> 6 @->& Ca aa#e- !n aces ine#$alsun × @-> 6 < 'e sco#u#i mai mici sau e/ale cu & P#in u#ma#e- numă#ul oal 'e
sco#u#i mai mici sau e/ale cu ese >@ : < 6 <- ia# #an/ul .e#cenilei sco#ului .oae )i a.#o3ima la 7<;<@8 × <@@ 6 ?J-& Aceasa !nseamnă că ?J- 'in cazu#i au
un sco# mai mic sau e/al cu sco#ul &U#măoa#ea )o#mulă #ezumă .a+ii 'e calcul al #an/ului .e#cenilelo# .en#u 'ae
/#u.ae9
×
−+ f
>-'? " fc i
"
i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 51/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 52/259
-.-.1 INDICELE VARIAŢIEI CALITATIVE
+ndicele varia"iei calitative 7 ?@ 8<? #e.#ezină #a.o#ul 'in#e $a#ia"ia o,se#$aăe)eci$ !n#1o 'is#i,u"ie 'e sco#u#i +i $a#ia"ia ma3im .osi,ilă .en#u acea 'is#i,u"ie&
?@ .oae lua $alo#i cu.#inse !n#e @-@@ 7nici o $a#ia"ie sau $a#ia"ie nulă8 +i <-@@7$a#ia"ie ma3imă8& Aces in'ice se )olose+e !n mo' o,i+nui .en#u $a#ia,ile măsu#ae lani$el nominal- .u%n' )i uiliza +i .en#u $a#ia,ile măsu#ae la celelale ni$ele- 'acăsco#u#ile #es.eci$e sun /#u.ae !n 'is#i,u"ii 'e )#ec$en"e&
Pen#u ilus#a#e- să .#esu.unem că un ce#ceăo# ese ine#esa !n com.a#a#ea
ee#o/eniă"ii #eli/ioase a #ei coleci$iă"i B 4- 5 +i - B- 'aele o,"inue )iin' cele 'ina,elul u#măo#9
T#%! -.< A,#$/%"%"*# $%+4+#' =" /$%+ &%&/+0+/'*+
Deno.inaţiaolectivitatea
A B C
re"tin:ortodo; 0 60 &0atolic 0 20 &0Altele 0 10 &0'O'A 0 0 0
Sim.la ins.ec"ie a 'aelo# 'in aces a,el a#aă că- 'in#e cele #ei coleci$iă"i- 4ese cea mai .u"in ee#o/enă& Mai e3ac- ee#o/eniaea #eli/ioasă !n coleci$iaea 4 ese
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 53/259
0n#uc% $alo#ile .en#u A +i n sun acelea+i !n oae cele #ei 'is#i,u"ii- ?@
.en#u celelale 'ouă coleci$iă"i .oae )i calcula sc2im,%n' 'oa# $alo#ile .en#u∑ D
f & Pen#u coleci$iaea 5- a$em9
∑ D
f 6 @ : @ : <@ 6 <@@
?@ 6 CE-@<FD@@
<D@@@
<FD@@
E@@@?
<FD@@
8E<@@H<@@7?==
⋅=
−
Pen#u coleci$iaea - 9
∑ D
f 6 ?@ : ?@ : ?@ 6 @@
?@ 6 @@-<<FD@@
<FD@@
<FD@@
>E@@?
<FD@@
8DC@@H<@@7?==
⋅=
−
Du.ă cum se .oae consaa- ?@ #e)lecă caniai$ +i .#ecis o,se#$a"iile 'e maisus& Coleci$iaea 4 .#ezină o $a#ia"ie nulă a $a#ia,ilei măsu#ae 7 ?@ 6 @8-coleci$iaea - .#ezină $a#ia"ia ma3im .osi,ilă .en#u acese 'ae 7 ?@ 6 <-@@8- ia#coleci$iaea 5 se siuează !n#e 4 +i - - cu o $a#ia"ie su,san"ială 7 ?@ 6 @-8&
-.-.2 AMPLITUDINEA ŞI AMPLITUDINEA INTERCUARTILICĂ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 54/259
- - - >- - - <@- <- <- <- <- <- - J- ?@
@< " V @?
0n aces e3em.lu- 4 6 ?@ B 6 +i @ 6 < B > 6 <&0n#uc% ia !n consi'e#a#e 'oa# sco#u#ile e3#eme 'in#1o 'is#i,u"ie- 4 nu ese o
mă#ime su)icien 'e semni)icai$ă a 'is.e#siei& Po )i !n%lnie 'is#i,u"ii !n ca#e sco#u#ilee3#eme sun )oa#e 'e.ă#ae 'e sco#u#ile ine#me'ia#e- caz !n ca#e a.#ecie#ea 'is.e#siei
.e ,aza am.liu'inii ese o /#e+eală& De asemenea- am.liu'inea nu o)e#ă in)o#ma"ii
'es.#e nau#a sco#u#ilo# 'in#e cele 'ouă e3#eme9 'acă sco#u#ile sun /#u.ae !n cen#ul'is#i,u"iei- 'acă sun !m.#ă+iae omo/en !n#e cele 'ouă sco#u#i e3#eme- 'acă sunconcen#ae !n 'ouă /#u.e- c%e una l%n/ă )ieca#e e3#emă- 'is#i,u"ia )iin' ,imo'ală ec&@ ia !n consi'e#a#e >@ 'in#e cazu#ile a)lae !n cen#ul 'is#i,u"iei<> +i as)el e$iă
.#o,lema 'e a )i o mă#ime ,azaă .e sco#u#ile e3#eme& Pe 'e ală .a#e- !n#uc%- ca +i 4-ia !n consi'e#a#e 'oa# 'ouă sco#u#i 'in#1o 'is#i,u"ie- @ nu o)e#ă in)o#ma"ie 'es.#enau#a sco#u#ilo# 'in#e cele 'ouă sco#u#i consi'e#ae- as)el că !m.ă#ă+e+e celelale'eza$ana4e asociae cu 4& Tou+i- acese mă#imi sun uile aunci c%n' 'o#im să o,"inem#a.i' o măsu#ă a $a#ia,iliă"ii unei 'is#i,u"ii +i- mai ales- aunci c%n' 'o#im să #ealizăm#a.i' o com.a#a"ie !n#e $a#ia,iliă"ile a 'ouă 'is#i,u"ii cu un numă# e/al 'e sco#u#i& Să
.#esu.unem- 'e .il'ă- că am !n#e/is#a $%#sele su,iec"ilo# 'in 'ouă e+anioane-o,"in%n' u#măoa#ele 'ae9
E+anionul < <<- <- <- ?- J- ?<- ?E+anionul <- <J- <- ?- - - J
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 55/259
as)el că #ezulaul !m.ă#"i#ii acesei sume la n a# )i !no'eauna @& Pen#u a )olosi cum$a
su/esia men"ionaă- a$em la 'is.ozi"ie 'ouă .osi,iliă"i9 sau ne/li4ăm semnelea,ae#ilo#- consi'e#%n' valorile absolute ale aceso#a<- sau #i'icăm la .ă#a a,ae#ile-!n#uc% 'acă se !nmul"esc 'ouă nume#e ca#e au semnul minus- .#o'usul ese .ozii$&
P#ima .osi,iliae con'uce la o mă#ime a 'is.e#siei- numiă abaterea medie +inoaă cu d - a că#ei )o#mulă 'e calcul ese u#măoa#ea9
F$!# -.> n
" "
d
i∑ −
=
Cea 'e1a 'oua .osi,iliae con'uce la o ală mă#ime a 'is.e#siei- numiă varian"ă<- noaă cu s aunci c%n' ese $o#,a 'es.#e un e+anion +i cu σ aunci c%n' ese $o#,a'es.#e o .o.ula"ie& Fo#mula 'e calcul a $a#ian"ei .en#u .o.ula"ii ese u#măoa#ea9
F$!# -.< ,
" iD
D 87∑ −
= µ
σ
!n ca#e ; 6 me'ia a#imeică a .o.ula"iei , 6 numă#ul oal 'e sco#u#i 'in .o.ula"ie
Fo#mula 'e calcul a $a#ian"ei .en#u e+anioane 'i)e#ă 'e )o#mula ?&J su, 'ouăas.ece9 !n locul me'iei a#imeice a .o.ula"iei 7 ;8 a.a#e me'ia a#imeică a e+anionului7 " 8- ia# la numio#- !n locul numă#ului oal 'e sco#u#i 'in .o.ula"ie 7 , 8 a.a#e numă#uloal 'e sco#u#i 'in e+anion 'iminua cu o uniae 7n B <8<J&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 56/259
17 2 −2 2
17 2 −2 2 1 &2 −1 1 11 &61 0 0 01 &61 0 0 02& 2 162& 2 162& 2 16
@J 0 0 2 7Pen#u 'aele 'in aces e3em.lu- a$em9
n
" " d
i∑ −= D@-D
<<
DE==
<87
D
D
−−= ∑ n " " s i E@-C
<@CE ==
De noa că $a#ian"a calculaă cu a4uo#ul )o#mulei ?&J #e.#ezină pătratul mediual abaterilor - i&e& me'ia a#imeică a .ă#aelo# a,ae#ilo# sco#u#ilo# .o.ula"iei 'e lame'ia lo# a#imeică ;&
0n cazul e+anioanelo# ma#i- a.lica#ea )o#mulei 'e)ini"ionale ?&<@ .oae )i/#eoaie- mai ales 'acă $aloa#ea .en#u " con"ine zecimale- ceea ce .#esu.une mule
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 57/259
( )E@-C
<@
CE
<@
?JC<E@E>
<@
<<
D@JE@E>
<
D
D
D
D ==−
=−
=−
−=
∑∑n
n " "
s
i
i
Fo#mulele 'e calcul sim.li)ica al $a#ian"ei .en#u .o.ula"ii 'i)e#ă 'e )o#mulele 'e maisus .#in aceea că " se !nlocuie+e cu ;- ia# n B < 'e$ine , &
-.-.3 ABATEREA STANDARD ŞI COEFICIENTUL DE VARIAŢIE
Calculul $a#ian"ei im.lică #i'ica#ea la .ă#a a a,ae#ilo# sco#u#ilo# in'i$i'uale)a"ă 'e me'ia lo# a#imeică 7)o#mulele ?&J +i ?&<@8& 0n consecin"ă- uniaea aa+aă$a#ian"ei ese .ă#aul uniă"ii aa+ae sco#u#ilo# in'i$i'uale #es.eci$e& Dacă- 'e .il'ă-ese $o#,a 'es.#e sco#u#i e3.#imae !n ani- $a#ian"a $a )i e3.#imaă !n ani la .ă#a&Pen#u a se o,"ine o mă#ime a $a#ia,iliă"ii ca#e să )ie e3.#imaă !n acelea+i uniă"i !n
ca#e sun e3.#imae sco#u#ile #es.eci$e- se ia #ă'ăcina .ă#aă a $a#ian"ei- s sau σ &Aceasă mă#ime saisică se nume+e abatere standard +i- !n cazul e+anioanelo#- se'e)ine+e cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# -.1-<
87 D
−
−= ∑
n
" " s
i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 58/259
uil aunci c%n' se 'o#e+e com.a#a#ea $a#ia,iliă"ii a 'ouă 'is#i,u"ii 'e sco#u#i cu me'ii
a#imeice sensi,il 'i)e#ie&
-.-.9 CALCULUL ABATERII STANDARD PENTRU DATE GRUPATE
Fo#mula 'e calcul a a,ae#ii san'a#' .en#u 'ae /#u.ae se o,"ine .e ,aza)o#mulei ?&<>& Pen#u a a.lica )o#mula ?&<> #e,uie să cunoa+em #ei $alo#i9 sumasco#u#ilo#- (" i- suma .ă#aelo# sco#u#ilo#- (" i- +i numă#ul 'e sco#u#i- n& Aunci c%n'
'aele au )os /#u.ae !n 'is#i,u"ii 'e )#ec$en"e nu cunoa+em 'is#i,u"ia e3acă asco#u#ilo# in'i$i'uale +i 'eci nu .uem 'ee#mina e3ac .#imele 'ouă $alo#i& 0n#1unas)el 'e caz- suma sco#u#ilo# se a.#o3imează- ca +i .en#u me'ia a#imeică- !nmul"in'numă#ul 'e cazu#i 'in )ieca#e ine#$al- f i- cu cen#ul ine#$alului #es.eci$- mi- +i!nsum%n' acese .#o'use9 (f imi& Suma .ă#aelo# sco#u#ilo# se a.#o3imează #i'ic%n' la
.ă#a cen#ele 'e ine#$al- !nmul"in' )ieca#e .ă#a as)el o,"inu cu numă#ul 'e cazu#i'in ine#$alul #es.eci$ +i !nsum%n' acese .#o'use9 (f imi
& A$em as)el9
(" i ≅ (f imi
(" i ≅ (f imi
Fo#mula ca#e 'ă $aloa#ea a.#o3imai$ă a a,ae#ii san'a#' .en#u 'ae /#u.ae se o,"ine)ăc%n' su,siu"iile co#es.unzăoa#e !n )o#mula ?&<>& O,"inem as)el9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 59/259
'O'A 10 6 22
Toalul ulimei coloane ese $aloa#ea .en#u (f imi& A.lic%n' )o#mula ?&< la acese 'ae
o,"inem9
( )
<
D
D
−
−≅
∑ ∑
n
n
m f m f
s
ii
ii 6
<CJ
<H@
HHF>E>D>D>
D
− 6<CJ
D>-E?FF@<E>D>D> −6
6<CJ
C>-<>JD?6 JF-HH 6 J-?
De noa că- .en#u 'aele ne/#u.ae co#es.unzăoa#e acesui e3em.lu- a,ae#ea san'a#'calculaă cu a4uo#ul uneia 'in#e )o#mulele ?&<? B ?&<> ese e/ală cu J-@@&
∗
∗ ∗
Pen#u a 'esc#ie a'ec$a o 'is#i,u"ie 'e sco#u#i #e,uie să #ăs.un'em la #ei!n#e,ă#i9 Ca#e ese )o#ma 'is#i,u"iei Ca#e ese sco#ul său me'iu C% 'e $a#iae sunsco#u#ile Mo'aliă"ile 'e #ăs.uns la .#ima !n#e,a#e au )os 'iscuae !n ca.iolul &
Răs.unsu#ile la ce1a 'e1a 'oua !n#e,a#e au )os a,o#'ae !n .#ima .a#e a acesuica.iol& Am $ăzu că !n saisică- (sco# me'iu* a#e #ei !n"elesu#i 'i)e#ie- că#o#a le
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 60/259
GLOSAR
4 DISTRIBUŢIA NORMALĂ
No"iunea 'e 'is#i,u"ie no#mală ese 'e ma#e im.o#an"ă !n saisică& Pe 'e o .a#e- 'is#i,u"ia no#mală .oae )i )olosiă !n com,ina"ie cu a,ae#ea san'a#' .en#u a)o#mula enun"u#i 'esc#i.i$e .#ecise 'es.#e 'is#i,u"iile sco#u#ilo# uno# $a#ia,ile& Pe 'e
ală .a#e- 'is#i,u"ia no#mală să la ,aza mulo# e2nici saisice in)e#en"iale&
3.1 CARACTERISTICILE DISTRIBUŢIEI NORMALE
Distribu"ia normală ese o 'is#i,u"ie eo#eică 'e sco#u#i unimo'ală- sime#ică+i coninuă& G#a)icul unei 'is#i,u"iei no#male a#e )o#mă 'e clo.o cu am,ele e3#emiă"ie3inse la in)ini<& Ca aa#e- un as)el 'e /#a)ic- numi +i curba normală- nu ain/e a3ao#izonală sau- al)el s.us- ese asim.oic )a"ă 'e a3a o#izonală- 'u.ă cum se ilus#ează
!n )i/u#a &<&
)i*ura .1 n e4emplu de curbă normală
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 61/259
'u.ă cum $om $e'ea !n ca.iolele u#măoa#e- 'is#i,u"ia no#mală .oae )i )olosiă .en#u
a #e.#ezena 'i)e#ie mă#imi saisice ca#e #ezulă 'in su'ie#ea uno# e+anioane 'in#1o .o.ula"ie 'aă- ceea ce .e#mie o,"ine#ea uno# concluzii 'es.#e $alo#ile .en#u .o.ula"ie .e ,aza $alo#ilo# cunoscue .en#u e+anioane& Uiliza#ea 'is#i,u"iei no#male !n
saisică )ace a.el la a+aBnumiele scoruri standard sau scoruri $ &
3.2 CALCULUL SCORURILOR STANDARD
$corurile standard- numie +i scoruri Z - )olosesc a,ae#ea san'a#' ca uniae'e măsu#ă +i 'esc#iu .ozi"ia #elai$ă a unui sco# in'i$i'ual !n #a.o# cu !n#ea/a mul"ime
'e sco#u#i 'in ca#e )ace .a#e& Fo#mula 'e calcul .en#u sco#u#ile $ ale unei .o.ula"iiese u#măoa#ea9
F$!# 3.1σ
µ −= "
$
Aceasă )o#mulă #ans)o#mă o#ice sco# (,#u* " !n sco#ul $ co#es.unzăo#& Numă#ăo#ul)#ac"iei- " B ;- in'ică 'isan"a !n uniă"i ,#ue a sco#ului " )a"ă 'e me'ia a#imeică& P#in!m.ă#"i#ea acesei 'isan"e la σ a)lăm 'isan"a !n a,ae#i san'a#' sau )#ac"iuni 'e a,ae#isan'a#' a sco#ului " )a"ă 'e me'ie& Co#es.unzăo#- )o#mula 'e calcul .en#u sco#u#ile $
ale unui e+anion ese u#măoa#ea9
F$!# 3.2 " " $
−=
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 62/259
Se 'emons#ează că 'acă oae sco#u#ile unei 'is#i,u"ii .a#icula#e se #ans)o#mă
!n sco#u#i $ - aunci9 Fo#ma 'is#i,u"iei sco#u#ilo# $ ese aceea+i cu cea a 'is#i,u"iei ini"iale Me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei sco#u#ilo# $ ese @- in'i)e#en 'e $aloa#ea me'iei
a#imeice a 'is#i,u"iei ini"iale A,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei sco#u#ilo# $ ese <- in'i)e#en 'e $aloa#ea
a,ae#ii san'a#' a 'is#i,u"iei ini"iale&
Acese .#o.#ieă"i au )os /ene#alizae !n su'iul 'is#i,u"iei no#male san'a#'&
3.- DISTRIBUŢIA NORMALĂ STANDARD
Ca +i !n cazul unei 'is#i,u"ii .a#icula#e 'e sco#u#i 'e ine#$al sau 'e #a.o#-'is#i,u"ia no#mală .oae )i 'esc#isă cu a4uo#ul me'iei sale a#imeice +i a a,ae#ii
san'a#'& 0n#uc% o#ică#ei .e#ec2i 'e $alo#i .en#u me'ia a#imeică +i a,ae#ea san'a#'!i co#es.un'e o 'is#i,u"ie no#mală- maemaic $o#,in' e3isă o in)iniae 'e 'is#i,u"ii
no#male- ale că#o# )o#me e3ace 'e.in' 'e mă#imile men"ionae& Pen#u a 'esc#ie e)eci$'is#i,u"iile uno# $a#ia,ile no#male- !n analiza saisică se consi'e#ă o 'is#i,u"ie
no#mală .a#icula#ă- numiă distribu"ia normală standard& Va#ia,ila co#es.unzăoa#e'is#i,u"iei no#male san'a#' ese numiă variabila normală standard- $alo#ile acesei
$a#ia,ile )iin' sco#u#i $ & Din aces moi$- aceasă 'is#i,u"ie se mai nume+e +idistribuţia $ & P#in con$en"ie- me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei no#male san'a#' se ia ca
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 63/259
0n co#.ul a,elului a.a# nume#e alcăuie 'in .a#u ci)#e& Acese nume#e
#e.#ezină a#iile cu.#inse !n#e un sco# $ 'a +i me'ia a#imeică& Nume#ele !nsc#ise !n .#ima coloană 'in s%n/a- eic2eaă $ - #e.#ezină .#imele 'ouă ci)#e ale unui sco# $ - ia#nume#ele !nsc#ise .e .#imul #%n' 'e sus #e.#ezină cea 'e1a #eia ci)#ă& De .il'ă- .en#u
a a)la a#ia cu.#insă !n#e un sco# $ 6 @-> +i me'ia a#imeică- se co,oa#ă !n .#imacoloană 'in s%n/a .%nă la @- 7.#imele 'ouă ci)#e ale sco#ului $ consi'e#a8 +i a.oi se .a#cu#/e s.#e '#ea.a #%n'ul #es.eci$ .%nă c%n' se a4un/e su, @-@> 7cea 'e1a #eia
ci)#ă8& Numă#ul /ăsi la ine#sec"ia aceso# 'ouă coo#'onae ese <?- ca#e .oae )i ciisau ca un .#ocen 7<-?8- sau ca o .#o.o#"ie 7@-<?8& 0n .#imul caz $om s.une că
<-?> 'in a#ia oală a cu#,ei no#male san'a#' se a)lă !n#e sco#ul $ 6 @-> +i me'iaa#imeică 7.unc !n ca#e $ 6 @8 !n cel 'e1al 'oilea caz $om s.une că .#o.o#"ia 'in a#iaoală a cu#,ei no#male san'a#' cu.#insă !n#e sco#ul $ 6 @-> +i me'ia a#imeică ese'e @-<?& 0n#uc% o#ice cu#,ă no#mală ese sime#ică- aceea+i .#oce'u#ă se a.lică +i
.en#u a)la a#ia cu.#insă !n#e un sco# $ ne/ai$ +i me'ia a#imeică& As)el- #ezulaul 'emai sus .oae )i ine#.#ea s.un%n' că <-?> 'in a#ia oală a cu#,ei no#male san'a#'
se a)lă !n#e sco#ul $ 6 −@-> +i me'ia a#imeică&
3.3 UTILIZAREA DISTRIBUŢIEI NORMALE STANDARD
Fi/u#a &? ilus#ează uiliza#ea a,elului 'is#i,u"iei no#male san'a#' .en#u'ee#mina#ea .#ocenelo# 'in a#ia 'elimiaă 'e cu#,a no#mală- a)lae !n#e un sco# $ 'a
+i me'ia a#imeică 7 $ 6 @8&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 64/259
!n#e ±< a,ae#i san'a#' )a"ă 'e me'ie se a)lă - 'in a#ia oală& Simila#- !n#e $ 6
: +i me'ie se a)lă - 'in a#ie- as)el că !n#e ± a,ae#i san'a#' )a"ă 'e me'ie sea)lă J- 'in a#ie&0n#uc% un .#ocen #elai$ mic 'in a#ia oală se a)lă .ese :? a,ae#i san'a#'
sau su, −? a,ae#i san'a#' 7@-<?8- .en#u sco.u#i .#acice- ilus#ae !n cele ceu#mează- se consi'e#ă că 'is#i,u"ia no#mală se e3in'e 'e la $ ≅ −?->J la $ ≅ :?->J sau-al)el s.us- la ?->J a,ae#i san'a#' 'e o .a#e +i 'e cealală a me'iei a#imeice- sco#u#ile
$ a)lae 'incolo 'e acese limie )iin' consi'e#ae a )i e/ale cu @&0n cazul $a#ia,ilelo# no#mal 'is#i,uie .en#u ca#e cunoa+em me'ia a#imeică
+i a,ae#ea san'a#'- 'is#i,u"ia no#mală san'a#' .oae )i )olosiă .en#u a 'ee#mina'i)e#ie .#ocene sau .#o.o#"ii 'e cazu#i !n 'is#i,u"ii .a#icula#e- .#ecum +i .en#u a
'ee#mina .#o,a,iliaea 'e a seleca la !n%m.la#e un sco# cu.#ins !n#1o .la4ă 'aă 'esco#u#i ale unei 'is#i,u"ii a.#o3imai$ no#male&
3.3.1 DETERMINAREA PROCENTELOR DE CAZURI
Să consi'e#ăm o 'is#i,u"ie 'e sco#u#i a $a#ia,ilei coeficient de inteligenţă 7IZ8 .en#u un e+anion 'e<@@@ 'e su,iec"i cu " 6 <@@ +i s 6 @- ilus#aă !n )i/u#a &&
)i*ura . #istribuţia scorurilor 67 pentruun eşantion de 1((( de subiecţi
&,1&% &,1&%
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 65/259
Din a,elul cu#,ei no#male a)lăm că a#ia 'in#e sco#ul $ 6 :@-> +i me'ia a#imeică
#e.#ezină -? 'in a#ia oală& 0n#uc% a#ia a)laă su, me'ia a#imeică #e.#ezină>@ 'in a#ia oală- .#ocenul 'e su,iec"i cu sco#u#i IZ mai mici 'ec% <<> ese 'e-? 7-? : >@8& Aces #ezula .oae )i e3.#ima +i !n numă# 'e cazu#i-
s.un%n' că a.#o3imai$ ? 'e su,iec"i 'in e+anionul consi'e#a 7-? 'in <@@@8 ausco#u#i IZ mai mici 'ec% <<>&
Să .#esu.unem acum că ne ine#esează .#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i IZ maimici 'ec% >& Sco#ul $ co#es.unzăo# sco#ului ,#u > ese
D>-<D@
<@@C> −=−= $
Pen#u a a)la a#ia 'e su, un sco# $ ne/ai$- a#ia 'in#e sco# +i me'ia a#imeică se sca'e'in >@ 7a#ia a)laă la s%n/a me'iei8& Din a,elul cu#,ei no#male a)lăm că a#ia 'in#e
sco#ul $ 6 −<-> +i me'ia a#imeică #e.#ezină ?J- 'in a#ia oală& As)el- .#ocenul'e su,iec"i cu sco#u#i CI mai mici 'ec% > ese 'e <@-> 7>@ − ?J-8- ceea ce
!nseamnă că a.#o3imai$ ?J 'e su,iec"i 7?J- 'in <@@@8 au sco#u#i IZ mai mici'ec% >&Acela+i mo'el 'e calcul se uilizează .en#u a a)la a#ia siuaă 'easu.#a unui sco#
$ .ozii$& Să .#esu.unem că ne ine#esează .#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i mai ma#i'ec% <>@& 5im că sco#ul $ co#es.unzăo# acesui sco# ,#u ese :->@& Din a,elulcu#,ei no#male a)lăm că a#ia 'in#e sco#ul $ 6 :->@ +i me'ia a#imeică #e.#ezină
-J 'in a#ia oală- as)el că .#ocenul 'e su,iec"i cu sco#u#i mai ma#i 'ec% <>@ ese'e -@ 7>@ − -J8& Aceasa !nseamnă că a.#o3imai$ @ 'e su,iec"i 7-@ 'in
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 66/259
me'iei- a#ia 'in#e sco#u#i se 'ee#mină a'un%n' a#iile 'in#e )ieca#e sco# +i me'iaa#imeică& As)el- .#ocenul 'e su,iec"i cu sco#u#i IZ cu.#inse !n#e J> +i <> ese 'e
J-?< 7J- : ?J-8& Aceasa !nseamnă că a.#o3imai$ ?J 'e su,iec"i au sco#u#iIZ cu.#inse !n#e J> +i <>&
Pen#u a 'ee#mina a#ia 'in#e 'ouă sco#u#i a)lae 'e aceea+i .a#e a me'ieia#imeice- se 'ee#mină mai !n%i a#iile 'in#e )ieca#e sco# +i me'ie- 'u.ă ca#e a#ia maimică se sca'e 'in a#ia mai ma#e& Să .#esu.unem că ne ine#esează .#ocenul 'e su,iec"i
cu sco#u#i IZ cu.#inse !n#e <<> +i <>& 5im că sco#ul $ co#es.unzăoa#e sco#u#ilo# ,#ue <<> +i <> sun- #es.eci$- :@-> +i :<->& 5im- 'e asemenea- că !n#e $ 6 :@-> +i
me'ia a#imeică se a)lă -? 'in a#ia oală +i că !n#e $ 6 :<-> +i me'ia a#imeicăse a)lă ?J- 'in a#ia oală& P#in u#ma#e- .#ocenul 'e su,iec"i cu sco#u#i IZ cu.#inse!n#e <<> +i <> ese 'e <-<@ 7?J- −-?8- ceea ce !nseamnă că a.#o3imai$
<< 'e su,iec"i au sco#u#i IZ cu.#inse !n#e <<> +i <>& Acela+i mo'el 'e calcul seuilizează aunci c%n' am,ele sco#u#i se a)lă su, me'ie&
3.3.2 DETERMINAREA PROBABILITĂŢILOR PENTRU SCORURITa,elul cu#,ei no#male san'a#' .oae )i uiliza .en#u a 'ee#mina
.#o,a,iliaea 'e a seleca la !n%m.la#e un sco# cu.#ins !n#1o .la4ă 'aă 'e sco#u#i aleunei 'is#i,u"ii a.#o3imai$ no#male& 0naine 'e a consi'e#a aces i. 'e uiliza#e- să
e3aminăm .e scu# no"iunea 'e .#o,a,iliae&Pen#u a esima .#o,a,iliaea .#o'uce#ii unui e$enimen- #e,uie să 'e)inim
e$enimenele ca#e #e.#ezină cazu#i )a$o#a,ile& Un ca* favorabil ese un caz !n ca#e se
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 67/259
'in u#na com.leă- .#o.o#"ia 'e e3#a/e#i a ,ilei al,e $a )i 'e @-@<J sau- al)el s.us- că'in <@@@@ 'e e3#a/e#i a c%e unei ,ile 'in u#na com.leă- ,ila al,ă $a a.ă#ea 'e <J 'e
o#i- celelale J@ e3#a/e#i .#o'uc%n' ,ile 'e ale culo#i&Acum- 'in cele 'e mai sus +im că .en#u o#ice 'is#i,u"ie .a#icula#ă
a.#o3imai$ no#mală- .#o.o#"iile .#ezenae !n a,elul cu#,ei no#male san'a#' ne 'au)#ec$en"a #elai$ă a cazu#ilo# cu sco#u#i cu.#inse !n#e un anumi sco# +i me'ia
a#imeică- .#ecum +i că .#o,a,iliaea unui e$enimen ese )#ec$en"a #elai$ă a cazu#ilo#ca#e #ealizează acel e$enimen& P#in u#ma#e- .#o.o#"iile 'in a,elul cu#,ei no#male
san'a#' .o )i ine#.#eae ca .#o,a,iliă"i +i .o )i )olosie .en#u a 'ee#mina
.#o,a,iliaea 'e selec"ie a unui sco# cu.#ins !n#1o .la4ă 'aă 'e sco#u#i ale unei'is#i,u"ii a.#o3imai$ no#male&Consi'e#%n' 'in nou 'is#i,u"ia $a#ia,ilei coeficient de inteligenţă cu ca#e am
luc#a mai sus- să .#esu.unem că ne ine#esează .#o,a,iliaea ca un su,iec ales la!n%m.la#e să ai,ă un sco# IZ cu.#ins !n#e J> +i sco#ul me'iu 'e <@@ 7aici- cazul
)a$o#a,il ese seleca#ea unui su,iec al că#ui sco# se a)lă !n am.liu'inea 'e sco#u#is.eci)icaă?8& Sco#ul $ co#es.unzăo# sco#ului ,#u 'e J> ese −@-> +i- con)o#m
a,elului cu#,ei no#male san'a#'- .#o.o#"ia 'in a#ie cu.#insă !n#e sco#ul $ 6 −@-> +ime'ia a#imeică ese 'e @-@J& Aceasă .#o.o#"ie ese .#o,a,iliaea căuaă& Voms.une că .#o,a,iliaea ca un su,iec ales la !n%m.la#e să ai,ă un sco# IZ cu.#ins !n#e
J> +i <@@ ese 'e @-@J sau- #oun4i- 'e @-< sau 'e unu la zece&De noa că .en#u 'ee#mina#ea .#o,a,iliă"ilo# 'e seleca#e a sco#u#ilo# se
uilizează acelea+i .#oce'u#i ilus#ae mai sus .en#u 'ee#mina#ea .#ocenelo# 'e cazu#i-'i)e#en"a )iin' aceea că .#o.o#"iile 'in a,elul cu#,ei no#male san'a#' sun ine#.#eaeca .#o,a,iliă"i& De .il'ă- .#o,a,iliaea ca un su,iec ales la !n%m.la#e 'in e+anionul
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 68/259
.o.ula"ia 'e #e)e#in"ă a#e aceea+i .#o,a,iliae 'e a )i seleca !n e+anion cu a o#ică#uial caz +i seleca#ea )iecă#ui caz ese in'e.en'enă 'e seleca#ea uu#o# celo#lale cazu#i&Dacă .o.ula"ia a#e- să zicem- <@@@ 'e mem,#i- aunci )ieca#e mem,#u #e,uie să ai,ă o
.#o,a,iliae 'e <;<@@@ 'e a )i seleca& Su.ozi"ia )un'amenală a saisicilo# in)e#en"ialeese aceea că in$esi/a#ea unui e+anion aleao#iu 'in#1o .o.ula"ie con'uce la #ezulaea.#o.iae 'e cele ca#e a# )i o,"inue 'acă a# )i in$esi/aă !n#ea/a .o.ula"ie +i- 'u.ă cum$om $e'ea- no"iunea 'e distribuţie de eşantionare )u#nizează o măsu#ă a aceseia.#o.ie#i& E+anioanele nealeao#ii .o )i )oa#e u+o# alcăuie- 'a# nu .e#mi )o#mula#eauno# concluzii 'es.#e .o.ula"iile #es.eci$e- ci 'oa# 'es.#e e+anioane&
De noa că !n aces cone3- (aleao#iu* ese un e#men e2nic- ca#e nu a#eacela+i !n"eles cu e#menul (!n%m.lăo#*- a+a cum ese uiliza acesa !n lim,a4ulo,i+nui& Un e+anion aleao#iu nu ese alcăui la !n%m.la#e- ci .#in#1un .#oces ,ine'ee#mina +i .#ecis 'e selec"ie& De .il'ă- ine#$ie$a#ea uno# .e#soane .e ca#e se!n%m.lă să le !n%lnim !n#1un su.e#ma/azin nu consiuie o e+aniona#e aleao#ie&
Selec"ia aleao#ie ese o con'i"ie necesa#ă .en#u o,"ine#ea uno# e+anioane ca#esă o)e#e ima/ini c% mai .#ecise ale .o.ula"iilo# 'e #e)e#in"ă sau- al)el s.us- a uno#e+anioane #e.#ezenai$e .en#u .o.ula"iile 'e #e)e#in"ă- 'a# nici măca# cele maiso)isicae .#oce'u#i 'e selec"ie aleao#ie nu /a#anează <@@ că e+anionul #es.eci$ese o #e.#ezena#e exactă a .o.ula"iei 'in ca#e a )os alcăui& Tou+i- .#o,a,iliaea cae+anioanele aleao#ii să )ie #e.#ezenai$e .en#u .o.ula"iile 'e #e)e#in"ă ese )oa#ema#e- ia# e2nicile saisice .e#mi 'ee#mina#ea .#ecisă a .#o,a,iliă"ilo# e#o#ilo# 'e#e.#ezenai$iae&
0naine 'e a .#ezena #olul e+anionă#ii !n saisicile in)e#en"iale- $om .#ezena .e scu# c%e$a 'in#e cele mai uilizae .#oce'ee 'e e+aniona#e aleao#ie&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 69/259
9.1 PROCEDEE DE EŞANTIONARE ALEATORIE
P#oce'eul )un'amenal 'e e+aniona#e aleao#ie se nume+e e#antionarealeatorie simplă& 0n .#ocesul 'e selec"ie a unui e+anion aleao#iu sim.lu- )ieca#e caz'in .o.ula"ia 'e #e)e#in"ă a#e o .#o,a,iliae e/ală 'e a )i inclus !n e+anion- ia#seleca#ea )iecă#ui caz ese in'e.en'enă 'e seleca#ea uu#o# celo#lale cazu#i& P#ocesul'e selec"ie aleao#ie sim.lă se .oae ,aza .e 'i)e#ie i.u#i 'e o.e#a"ii& 0n mo' i.ic- se)olosesc a,ele cu nume#e selecae aleao#iu 'e un com.ue#& Un e3em.lu 'e as)el 'ea,el ese 'a !n Ane3a & Acese a,ele con"in nume#e alcăuie 'in cinci ci)#e- 'e la @
la J& Pen#u a )olosi un as)el 'e a,el- se a#i,uie )iecă#ui caz 'in .o.ula"ia 'e #e)e#in"ăun numă# unic 'e i'eni)ica#e- 'u.ă ca#e se ale/e la !n%m.la#e un #%n' +i o coloană 'ina,el +i- .o#nin' 'e la acel .unc la '#ea.a sau la s%n/a- !n sus sau !n 4os- se ciescnume#ele- selec%n' !n e+anion cazu#ile ale că#o# nume#e 'e i'eni)ica#e co#es.un' cunume#ele ciie !n a,el& Selec"ia se o.#e+e aunci c%n' s1a a4uns la 'imensiunea 'o#iă ae+anionului& Pen#u ilus#a#e- să .#esu.unem că 'o#im să alcăuim un e+anion 'e'imensiune n 6 @ 'in#1o .o.ula"ie 'e 'imensiune , 6 @@& Mai !n%i- nume#oămmem,#ii .o.ula"iei !n#1o o#'ine oa#eca#e @@<- @@- X- @@& Pen#u a )o#ma e+anionul-consi'e#ăm 'oa# ulimele #ei ci)#e ale nume#elo# 'in a,el +i- e$i'en- i/no#ămnume#ele mai ma#i 'e @@& Ale/em la !n%m.la#e un #%n' +i o coloană +i !nce.emselec"ia .o#nin' 'e la numă#ul #es.eci$ +i me#/%n'- 'e .il'ă- !n 4os .e coloana aleasă-
.%nă c%n' o,"inem @ 'e nume#e& Dacă un numă# 'e i'eni)ica#e ese seleca mai mul'ec% o sin/u#ă 'aă- se i/no#ă #e.ea#ea +i se #ece la u#măo#ul numă# 'in sec$en"ă >& E+anionul $a )i alcăui 'in acei mem,#i ai .o.ula"iei ale că#o# nume#e 'e i'eni)ica#eau )os as)el selecae&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 70/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 71/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 72/259
Cei #ei .a#ame#i men"iona"i ai 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a me'iilo# a#imeicesun 'a"i 'e u#măoa#ea eo#emă- numiă teorema limitei centrale9
Dacă se alcătuiesc toate eşantioanele posibile de dimensiune n dintro populaţie cu media aritmetică ; şi abaterea standard σ! atunci distribuţiade eşantionare a mediilor aritmetice ale acestor eşantioane areurmătoarele trei proprietăţi3
,. 1edia sa aritmetică! " µ - este egală cu media aritmetică a populaţiei!
;..-. 4baterea sa standard! "
σ - este egală cu nσ .3. -u cât n este mai mare! cu atât forma sa aproximează mai bine
normalitatea! indiferent de forma distribuţiei populaţiei.
Demons#a#ea acesei eo#eme 'e.ă+e+e ca'#ul .#o.us .en#u luc#a#ea 'e )a"ă&Pen#u concizia e3.#imă#ii- !n loc 'e ('is#i,u"ia 'e e+aniona#e a me'iilo# a#imeice*
$om sc#ie !n coninua#e ('is#i,u"ia 'e e+aniona#e a " *&Teo#ema limiei cen#ale a#aă că- in'i)e#en 'e )o#ma 'is#i,u"iei unei $a#ia,ile!n#1o .o.ula"ie- 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e a " $a )i a.#o3imai$ no#mală .en#ue+anioane su)icien 'e ma#i& De .il'ă- 'acă luc#ăm cu o $a#ia,ilă ca#e .#ezină o'is#i,u"ie asime#ică- .#ecum $eniul- .uem să .#esu.unem că 'is#i,u"ia 'ee+aniona#e a " ese a.#o3imai$ no#mală .en#u e+anioane cu n ≥ <@@- a$%n' me'iaa#imeică e/ală cu cea a .o.ula"iei +i a,ae#ea san'a#' e/ală cu nσ & As)el-eo#ema limiei cen#ale elimină cons#%n/e#ea no#maliă"ii .en#u .o.ula"ii& Dacă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 73/259
?E-D
?F
<E===
n
"
σ σ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 74/259
0n .a#a/#a)ul && am luc#a cu )o#mula
s
" " $
−=
.en#u a 'ee#mina .#o,a,iliaea 'e selec"ie a unui sco# cu.#ins !n#1o .la4ă 'aă 'esco#u#i ale unei 'is#i,u"ii a.#o3imai$ no#male& Aici- $alo#ile <<> +i <@ sun me'iia#imeice& Sco#u#ile $ co#es.unzăoa#e aceso# $alo#i se calculează cu a4uo#ulu#măoa#ei )o#mule9
"
" "
$ σ
µ −=
0n e3em.lul nos#u- a$em9
H>-@
?E-D
<<C<<><<> −=
−= $
DH-<?E-D
<<C<D@<D@ =
−= $
Din a,elul cu#,ei no#male a)lăm că .#o,a,iliaea co#es.unzăoa#e sco#ului $ 6 −@->ese @-?@? +i că .#o,a,iliaea co#es.unzăoa#e sco#ului $ 6 :<- ese @-?JJ& Caaa#e .#o,a,iliaea ca un e+anion cu n 6 ? să ai,ă me'ia a#imeică !n#e <<> +i <@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 75/259
As)el- !n /ene#al- !n saisicile in)e#en"iale a$em o .o.ula"ie ai că#ei .a#ame#ise 'o#esc a )i 'ee#mina"i& Pen#u aceasa- selecăm un e+anion aleao#iu 'in acea
.o.ula"ie +i calculăm saisicile ca#e #e)lecă .a#ame#ii co#es.unzăo#i- 'u.ă ca#e- .e ,aza 'is#i,u"iilo# 'e e+aniona#e ale acelo# saisici +i a le/ilo# 'e .#o,a,iliae in)e#ămasu.#a .a#ame#ilo# .o.ula"iei&
GLOSAR
6 PROCEDURI DE ESTIMARE STATISTICĂ
Saisicile in)e#en"iale se clasi)ică !n 'ouă cae/o#ii .#inci.ale9 .#oce'u#i 'eesima#e +i .#oce'u#i 'e esa#e a i.oezelo# 0n procedurile de estimare ca#e )ac
#istribuţiede
eşantionareI"8%$%"*'
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 76/259
e/ală cu me'ia a#imeică a .o.ula"iei- ;& Saisicienii au 'emons#a că +i .#o.o#"iilee+anioanelo#- p- sun ne'iso#sionae- !n#uc% me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei 'ee+aniona#e a .#o.o#"iilo# .en#u e+anioane- ; p- ese e/ală cu .#o.o#"ia .o.ula"iei- 8 &P#in con#as- un esimao# ese distorsionat- 'acă me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei sale 'ee+aniona#e ese 'i)e#iă 'e me'ia a#imeică a .o.ula"iei& De .il'ă- a,ae#ea san'a#' aunui e+anion ese un esimao# 'iso#siona al a,ae#ii san'a#' a .o.ula"iei9 'e #e/ulă-'is.e#sia unui e+anion ese mai mică 'ec% cea a .o.ula"iei 'e #e)e#in"ă- as)el că s in'esă su,esimeze .e σ & Du.ă cum am men"iona !n ca.iolul ?- aceasă 'iso#siune .oae )ico#ecaă&
Un esimao# ne'iso#siona .e#mie- !n#e alele- 'ee#mina#ea .#o,a,iliă"ii ca omă#ime saisică a unui e+anion să se a)le la o anumiă 'isan"ă )a"ă 'e .a#ame#ulco#es.unzăo# .e ca#e !nce#căm să1l esimăm& Pen#u ilus#a#e- să .#esu.unem că neine#esează $eniul me'iu al unei .o.ula"ii& Pen#u aceasa- alcăuim un e+anionaleao#iu cu n 6 >@@ +i calculăm me'ia a#imeică .en#u aces e+anion& Să .#esu.unemcă am /ăsi >@@@@@@= " & Du.ă cum am a#ăa- $a#ia,ila venit .#ezină o 'is#i,u"ieasime#ică& Cu oae acesea- con)o#m eo#emei limiei cen#ale- 'is#i,u"ia 'ee+aniona#e a " .en#u e+anioane ma#i 7n ≥ <@@8 a.#o3imează no#maliaea- a$%n'me'ia a#imeică- "
µ - e/ală cu me'ia a#imeică a .o.ula"iei- µ & 5im că oae cu#,eleno#male con"in a.#o3imai$ 'in cazu#i !n#e ±< $ - J> 'in cazu#i !n#e ± $ +i J'in cazu#i !n#e ±? $ )a"ă 'e me'ie& Aici- cazu#ile sun me'ii a#imeice ale e+anioanelo#-as)el că e3isă o .#o,a,iliae ma#e 7a.#o3imai$ 'e +anse 'in <@@8 ca me'iaa#imeică a e+anionului consi'e#a- >@@@@@@- să se a)le !n#e ±< $ - o .#o,a,iliae )oa#ema#e 7J> 'in <@@8 ca aceasă me'ie să se a)le !n#e ± $ +i o .#o,a,iliae e3#em 'e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 77/259
De #ema#ca că !n a.#o3imai$ 'in cazu#i- me'ia a#imeică 'e >@@@@@@ se a)lă lamai mul 'e ±? $ )a"ă 'e me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e& P#acic- .uems.une că me'ia a#imeică 'e >@@@@@@ nu se a)lă !n acea (mino#iae*&
Cea 'e1a 'oua con'i"ie .e ca#e #e,uie să o sais)acă un esimao#- e)icien"a- esele/aă 'e 'is.e#sie& Un esimao# ese cu a% mai eficient- cu c% 'is#i,u"ia 'ee+aniona#e ese mai /#u.aă !n 4u#ul me'iei sale a#imeice sau- al)el s.us- cu c% esemai mică a,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e& Să consi'e#ăm me'iilea#imeice ale e+anioanelo#& Din eo#ema limiei cen#ale +im că a,ae#ea san'a#' a
'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a me'iilo# a#imeice ale e+anioanelo#- " σ - ese e/ală cunσ - 'eci "
σ ese in$e#s .#o.o#"ională cu n9 cu c% 'imensiunea e+anionului esemai ma#e- cu a% ese mai mică "
σ & Ca aa#e- e)icien"a me'iei a#imeice ca esimao# .oae )i !m,unăă"iă 76 "
σ .oae )i mic+o#aă8 .#in mă#i#ea 'imensiunii e+anionului&Pen#u ilus#a#e- să consi'e#ăm u#măo#ul e3em.lu9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 78/259
-"antionul 1 -"antionul 2>@@@@@@= " >@@@@@@= "
n1 3 100 n2 3 1000
Să .#esu.unem că a,ae#ea san'a#' a .o.ula"iei- σ - ese 'e >@@@ 7e$i'en- $aloa#ealui σ ese #a#eo#i cunoscuă !n #ealiae8& 0n .#i$in"a .#imului e+anion- a,ae#ea san'a#'a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a me'iilo# a#imeice ale uu#o# e+anioanelo# cu n 6 <@@ese <@@DC>@@@ 6 >@@& 0n .#i$in"a celui 'e1al 'oilea e+anion- a,ae#ea san'a#' a
'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a me'iilo# a#imeice ale uu#o# e+anioanelo# cu n 6 <@@@ese consi'e#a,il mai mică9 <@@@DC>@@@ 6 J& Cea 'e1a 'oua 'is#i,u"ie 'ee+aniona#e ese mul mai /#u.aă 'ec% .#ima 'is#i,u"ie&
Rezum%n'- !n#uc% " σ ese in$e#s .#o.o#"ională cu n- cu c% e+anionul ese
mai ma#e- cu a% 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e ese mai /#u.aă +i e)icien"a esimao#uluiese mai ma#eJ&
:.2 ESTIMAREA MEDIEI ARITMETICE C@ND σ ESTECUNOSCUT
Aunci c%n' se esimează un .unc- se alcăuie+e un e+anion aleao#iu- secalculează o me'ie a#imeică sau o .#o.o#"ie +i se esimează că $aloa#ea .a#ame#ului#es.eci$ ese e/ală cu $aloa#ea calculaă .en#u e+anion& 0n aces i. 'e esima#e se "inecon )a.ul că e)icien"a esimao#ului ese 'i#ec .#o.o#"ională cu 'imensiunea
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 79/259
cazu#i cu.#inse !n#e ±<-J a,ae#i san'a#' )a"ă 'e me'ie ese 'e @-J>- ia# .#o.o#"ia 'e
cazu#i a)lae su, −<-J +i .ese +<-J a,ae#i san'a#' )a"ă 'e me'ie ese 'e @-@> 7@-@>: @-@>89
Acela+i luc#u ca mai sus .oae )i e3.#ima s.un%n' că J> 'in me'iile a#imeice alee+anioanelo# se a)lă !n ine#$alul 'in#e 87JF-< nσ µ − +i 87JF-< nσ µ + sau- .escu#- !n ine#$alul 87JF-< nσ µ ± & S#ucu#a acesui i. 'e enun" 'e .#o,a,iliae
.oae )i )olosiă .en#u a esima $aloa#ea .a#ame#ului ;- .#in cons#ui#ea unui ine#$alcen#a .e $aloa#ea cunoscuă .en#u e+anion- " & Rezulaul ese un interval de
!ncredere estimat B o am.liu'ine 'e $alo#i !n ca#e ese .#o,a,il 7nu si/u#8 să se a)le ;&
0,7 0,7
0,−1,6 +1,6
0,020,02
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 80/259
@- 7σ 6 @-8& 0n aceasă ce#cea#e sunem 'is.u+i să asumăm o +ansă 'e a /#e+i 'e <@-sa,ilin' E 6 @-<@& Pen#u a 'ee#mina limiele 'e !nc#e'e#e in)e#ioa#ă +i su.e#ioa#ă-#e,uie să scă'em @-@> 7i&e& E;8 'in @-> 7.#o.o#"ia 'e cazu#i a)lae 'e o .a#e +i 'e ala ame'iei a#imeice a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e8& Rezulaul scă'e#ii ese @->@- ceea ce#e.#ezină .#o.o#"ia 'e cazu#i 'in#e o limiă 'e !nc#e'e#e +i me'ie9
As)el- .en#u E 6 @-<@ #e,uie să căuăm .#o.o#"ia @->@@ !n a,elul 'is#i,u"iei no#malesan'a#'& Găsim !nsă o .#o.o#"ie 'e @-J>- co#es.unzăoa#e sco#ului $ E9 6 ±<- +i o
.#o.o#"ie 'e @->@>- co#es.unzăoa#e sco#ului $ E9 6 ±<->& Sco#ul $ E9 .e ca#e !l căuămse a)lă un'e$a !n#e acese 'ouă sco#u#i& 0n acese con'i"ii- se ia cel mai ma#e 'in#e cele
0,0 0,0
0,0
−1,6 +1,6
0,00,0
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 81/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 82/259
e+anionului& Pen#u e+anioane mici- /#a)icul 'is#i,u"iei t ese mul mai a.laiza 'ec%cel al 'is#i,u"iei no#male 7com.a#a"i )i/u#a u#măoa#e cu o#ica#e 'in#e /#a)icele 'e maisus8&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 83/259
)i*ura $.2 n e4emplu de curbă t
Pe măsu#ă ce 'imensiunea e+anionului c#e+e- 'is#i,u"ia t seamănă 'in ce !n ce maimul cu 'is#i,u"ia no#mală- i'eni)ic%n'u1se cu aceasa .en#u e+anioane .#acic )oa#ema#i 7+i eo#eic in)inie8& As)el- !n#uc% e3isă o 'is#i,u"ie t s.eci)ică .en#u )ieca#ee+anion 'e 'imensiune 'aă- 'is#i,u"ia t ese- 'e )a.- o familie de distribuţii&
Dis#i,u"ia t .a#icula#ă ce#uă .en#u #ezol$a#ea unei anumie .#o,leme 'e.in'e'e un conce. maemaic numi grade de libertate& Aces conce. se #e)e#ă la numă#ul
'e $alo#i li,e#e să $a#ieze !n#1o 'is#i,u"ie& De .il'ă- 'acă +im că o 'is#i,u"ie 'e cincisco#u#i a#e me'ia a#imeică e/ală cu ? +i că .a#u 'in#e acese sco#u#i sun <- - ?- +i -aunci $aloa#ea celui 'e1al cincilea sco# ese )i3aă9 >& 0n /ene#al- .en#u me'iaa#imeică a unui e+anion 'e 'imensiune n- o 'is#i,u"ie a#e n − < /#a'e 'e li,e#ae&Fieca#e 'is#i,u"ie t ese asociaă cu un numă# unic 'e /#a'e 'e li,e#ae& Mai .#ecis-'acă se selecează oae e+anioanele .osi,ile 'e 'imensiune n 'in#1o .o.ula"ieno#mală- aunci 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e a caniă"ii
t 6 @
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 84/259
Ta,elul $alo#ilo# c#iice ale 'is#i,u"iei t s.eci)ică $alo#ile .en#u t E- ceea ce!nseamnă $alo#ile lui t .en#u ca#e a#ia a)laă la '#ea.a su, cu#,a t ese e/ală cu E9
Ni$elele E sun 'is.use .e .#imul #%n' al a,elului Valo#ile t E sun 'ae .en#u /#a'e 'eli,e#ae 7 gl 8- 'is.use .e .#ima coloană 'in s%n/a- 'e la < la ?@ +i a.oi @- @- <@ +i ∞&De noa că- .e măsu#ă ce numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae c#e+e- 'i)e#en"a 'in#e'is#i,u"ia t +i 'is#i,u"ia no#mală 'esc#e+e- .#ecum +i că .en#u o in)iniae 'e /#a'e 'eli,e#ae- 'is#i,u"ia t ese i'enică cu 'is#i,u"ia no#mală& Pen#u esima#ea ine#$alelo#-ca +i .en#u ale sco.u#i- a$em ne$oie 'e t E;& Aceasă $aloa#e se localizează !nmul"in'
cu $aloa#ea E a)laă .e .#imul #%n'& De .il'ă- .en#u n 6 ?@ +i E 6 @-@>- numă#ul 'e/#a'e 'e li,e#ae ese J la ine#sec"ia coloanei 'e su, t E 6 @-@> +i linieico#es.unzăoa#e .en#u gl 6 J /ăsim $aloa#ea -@>& As)el- !n aces caz- $om s.une că$aloa#ea lui t E; ese ±-@>&
Fo#mula .en#u cazu#ile !n ca#e σ ese necunoscu +i n ≤ ?@ ese u#măoa#ea9
F$!# :.- 87D n st " ?6 α ±=
t E
E
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 85/259
ED->E-DJ<J
H->JCD@<D><>
<
DD
==
⋅−
=−
−
=
∑n
" n " s
i
Pen#u n 6 @- numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae ese <J a$%n' E 6 @-@<- la ine#sec"iacoloanei 'e su, t E 6 @-@@> +i liniei co#es.unzăoa#e .en#u gl 6 <J /ăsim $aloa#ea -<&As)el- $aloa#ea lui t E; ese ±-<& A.lic%n' )o#mula &?- o,"inem9
EF-?E>-DE8D@ED->7HF<-DE>-DE87D ±=±=±= n st " ?6 α
As)el- esimăm că me'ia a#imeică .e ca#e o căuăm ese cu.#insă !n#e <-@? +i -J<+i e3isă 'oa# < +anse ca aces ine#$al să nu con"ină me'ia a#imeică a .o.ula"iei&
De #e"inu că )o#mula &? .oae )i a.licaă 'oa# 'acă $a#ia,ila 'e ine#es eseno#mal 'is#i,uiă&
:.3 ESTIMAREA PROPORŢIILORPe ,aza eo#emei limiei cen#ale se 'emons#ează că .#o.o#"iile .en#u
e+anioane 7 p8 au 'is#i,u"ii 'e e+aniona#e a.#o3imai$ no#male- cu me'ia a#imeică7 ; p8 e/ală cu .#o.o#"ia .en#u .o.ula"ie 7 8 8 +i a,ae#ea san'a#' 7σ p8 e/ală cu
n 8 8 8<7 − & Teo#eic- )o#mula .en#u cons#ui#ea unui ine#$al esima ,aza .e .#o.o#"ii ale e+anioanelo# ese u#măoa#ea9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 86/259
O#icum- )o#mulele 'e mai sus .o )i )olosie 'oa# 'acă 'imensiunea e+anionuluiconsi'e#a es#e 'esul 'e ma#e- as)el !nc% np ≥ > +i n7< − p8 ≥ >&
Să .#esu.unem- 'e .il'ă- că ne 'o#im să esimăm .#o.o#"ia 'e su'en"i 'e launi$e#siaea " ca#e au li.si cel .u"in o zi .e moi$ 'e ,oală !n#1un anumi semes#u +i
că 'in#1un e+anion aleao#iu 'e @@ 'e su'en"i- /ăsim ?@ !n aceasă siua"ie& As)el- .#o.o#"ia e+anionului .e ca#e ne ,azăm esima#ea ese p 6 ?@;@@ 6 @-<>& La un ni$el
'e !nc#e'e#e 'e J>- ine#$alul esima cu a4uo#ul )o#mulei &> ese u#măo#ul9
@C-@<>-@D@@
D>-@JF-<<>-@
D>-@
D
±=±=±=n
$ p ?6 α
Pe ,aza .#o.o#"iei 'e @-?@ a e+anionului- esimăm că .#o.o#"ia căuaă ese cu.#insă!n#e @-@ +i @-& Esima#ea .oae )i e3.#imaă +i !n e#meni 'e .#ocene- s.un%n' că
!n#e +i 'in#e su'en"ii uni$e#siă"ii " au li.si cel .u"in o zi .e moi$ 'e ,oală!n semes#ul consi'e#a&
Să a.licăm acum )o#mula & la acelea+i 'ae- .ăs#%n' ni$elul 'e !nc#e'e#e 'e
J>9
=⋅
±=−
±=−
±=D@@
H>-@<>-@JF-<<>-@
D@@
8<>-@<7<>-@JF-<<>-@
8<7D
n
p p $ p ?6 α
@>-@<>-@D@@
<?-@JF-<<>-@ ±=±=
0n aces ca esimăm că .#o.o#"ia că aă ese c .#insă !n#e @ <@ +i @ @ sa al)el
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 87/259
Rela"ia 'in#e ni$elul 'e !nc#e'e#e +i mă#imea ine#$alului ese 'e .#o.o#"ionaliae 'i#ecă9 cu c% ni$elul 'e !nc#e'e#e c#e+e- cu a% ine#$alul ese maima#e& Inuii$- ese mul mai .#o,a,il ca ine#$alele mai la#/i să con"ină $aloa#ea .en#u
.o.ula"ie- .#in u#ma#e .uem a$ea mai mulă !nc#e'e#e !n as)el 'e ine#$ale& Pen#u ailus#a aceasă #ela"ie- să consi'e#ăm 'in nou e3em.lul .#i$in' esima#ea $eniuluime'iu al unei .o.ula"ii9 n 6 >@@- >@@@@@@= " - s 6 <>@@@& La un ni$el 'e !nc#e'e#e'e J> am /ăsi ine#$alul >@@@@@@ ± <@J 7i&e& aces ine#$al se e3in'e la <@J lei!n 4u#ul me'iei a#imeice a e+anionului8& Acum- 'acă luăm un ni$el 'e !nc#e'e#e 'eJJ- sco#ul $ E9 co#es.unzăo# c#e+e la ±->- ia# ine#$alul se mă#e+e9
?6 6 >@@@@@@ ± -> ⋅ >>J>-? 6 >@@@@@@ ± <?
7ine#$alul esima la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ se e3in'e la <? lei !n 4u#ulme'iei8& E3ac aceea+i #ela"ie se a.lică +i la .#o.o#"ii&
Rela"ia 'in#e 'imensiunea e+anionului +i mă#imea ine#$alului ese 'e .#o.o#"ionaliae in$e#să9 cu c% 'imensiunea e+anionului ese mai ma#e- cu a%
ine#$alul ese mai !n/us& Inuii$- e+anioanele mai ma#i .e#mi esimă#i mai .#ecise&Pen#u ilus#a#e- să consi'e#ăm 'in nou e3em.lul .#i$in' esima#ea $eniului me'iu-mo'i)ic%n' 'oa# 'imensiunea e+anionului9 n 6 <@@@ 7J>8&
CC>?>@@@@@@C-?J>>JF-<>@@@@@@8<<@@@<D>@@@7JF-<>@@@@@@ ±=⋅±=−±= ?6
Pen#u n 6 >@@- la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- ine#$alul esima se e3in'e la <@Jlei !n 4u#ul me'iei .en#u n 6 <@@@- oae celelale #ăm%n%n' acelea+i- ine#$alul esima
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 88/259
n $ >
σ α D=
Ri'ic%n' la .ă#a am,ii mem,#i ai ecua"iei- e/aliaea se .ăs#ează9
n $ >
DD
D
D σ α
=
Din aceasă e/aliae !l .uem o,"ine .e n9
F$!# :.;D
DD
D
>
$ n
σ α =
Pen#u a )olosi aceasă )o#mulă #e,uie să cunoa+em $aloa#ea lui σ - o#- 'u.ă cum ammai men"iona- !n a.#oa.e oae cazu#ile aceasă $aloa#e nu ese cunoscuă& Tou+i-
$aloa#ea lui σ .oae )i a.#o3imaă- 'acă cunoa+em am.liu'inea $a#ia,ilei măsu#ae- 4&
As)el- o a.#o3ima#e conse#$aoa#e a lui σ ese σ ≅ 4;&Să ilus#ăm& Un .si2olo/ in'us#ial 'o#e+e să esimeze 'u#aa me'ie !n ca#e un
muncio# 'e la o )i#mă 'e .#o'use elec#onice e3ecuă un anumi #e/la4& O,se#$%n' unnumă# 'e muncio#i ca#e e3ecuă #e/la4ul #es.eci$- .si2olo/ul consaă că 'u#aa ceamai mică ese 'e <@ minue- ia# cea mai ma#e 'e 'e minue& C% 'e ma#e #e,uie să)ie e+anionul seleca- 'acă .si2olo/ul 'o#e+e să esimeze 'u#aa me'ie 'e e3ecu"ie a
acelui #e/la4 cu o .#ecizie 'e @ 'e secun'e- la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J> 0n aceasă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 89/259
un c%+i/ semni)icai$ !n .#i$in"a .#eciziei- !n #a.o# cu e+anioanele mai mici +i 'ecimai ie)ine&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 90/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 91/259
±% 00±&% 1000±2% 200±1% 600
Se .oae o,se#$a- 'e .il'ă- că .en#u a 'u,la .#ecizia 'e la <@ la >- 'imensiuneae+anionului #e,uie să c#ească 'e .a#u o#i&
GLOSAR
7 TESTAREA IPOTEZELOR DESPREO SINGURĂ POPULAŢIE
0n aces ca.iol sun e3.use e2nici saisice 'e esa#e a i.oezelo# 'es.#e osin/u#ă .o.ula"ie& 0n#1un as)el 'e caz- .e ,aza unei saisici calculae .en#u un
e+anion- cel mai a'esea o me'ie a#imeică sau o .#o.o#"ie- se #a/e o concluzie 'es.#e .a#ame#ul co#es.unzăo# al .o.ula"iei 'e #e)e#in"ă& Mai .#ecis- ce#cea#ea consă 'in
alcăui#ea unui e+anion aleao#iu 'in .o.ula"ia 'e #e)e#in"ă- cule/e#ea in)o#ma"iei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 92/259
.#esu.usă .en#u .o.ula"ie ese sau nu saisic semni)icai$ă& Dacă #ăs.unsul esea)i#mai$- aunci i.oeza )ăcuă .oae )i #es.insă& Dacă- !nsă- #ăs.unsul ese ne/ai$-
aunci 'i)e#en"a .oae )i .usă .e seama !n%m.lă#ii- as)el că i.oeza ce#ceăo#ului nu .oae )i #es.insă& Du.ă cum $om $e'ea- esul sco#u#ilo# $ .e#mie 'ee#mina#eamaemaică a !n"elesului e#menului (saisic semni)icai$*& Daele .#o,lemei sun- 'eci-u#măoa#ele9
Populaţie -"antion ; F 6 @@ C>>= "
σ 6 <> n 3 1&0
Am noa cu ; F me'ia a#imeică .#esu.usă a .o.ula"iei- .en#u a o 'eose,i 'e me'iaa#imeică e)eci$ă a .o.ula"iei- ;&
+pote*a de nul- .e ca#e o $om noa F @- s.eci)ică o anumiă $aloa#e .en#u .a#ame#ul #es.eci$& 0n /ene#al- i.oeza 'e nul 'es.#e me'ia a#imeică a unei .o.ula"iia#e )o#ma
F @9 ; 6 ; F
Denumi#ea 'e (i.oeză 'e nul* se 4usi)ică .#in aceea că )o#ma sa .oae )i #e'aăec2i$alen .#in
F @9 ; − ; F 6 @
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 93/259
i.oeza 'e nul- .e ,aza 'o$ezilo# a'use !n s.#i4inul i.oezei ale#nai$e& As)el- 'acă .uem #es.in/e F @ ca nea'e$ă#aă- aunci $om acce.a F a&
Re$enin' la e3em.lul nos#u- i.oeza 'e nul ese F @9 ; 6 @@& Din enun"ul .#o,lemei #ezulă că nu ese $o#,a 'es.#e un sens al 'i)e#en"ei men"ionae- as)el căi.oeza ale#nai$ă ese F a9 ; ≠ @@&
Te#menul statistică a testului se #e)e#ă la )o#mula a că#ei a.lica#e !n esul#es.eci$ .e#mie o,"ine#ea unei $alo#i ce )o#mează ,aza 'eciziei asu.#a i.oezei 'e nul&Pen#u me'iile a#imeice- aunci c%n' se cunoa+e sau se .oae a.#o3ima $aloa#ea lui σ -
saisica esului ese 'aă 'e u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# ;.1n
" $ F
σ
µ −=
Să noăm că aceasă )o#mulă ese analoa/ă s#ucu#al )o#mulelo# 'e calcul .en#u#ans)o#ma#ea unui sco# (,#u* " !n sco#ul $ co#es.unzăo# 7$& sec"iunea &8- aici )iin'
$o#,a 'es.#e sco#ul $ al unei me'ii a#imeice& Ca aa#e- !n numio#ul )o#mulei &< a.a#e
a,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a " - as)el că aceasă )o#mulă ne 'ă'isan"a !n a,ae#i san'a#' sau )#ac"iuni 'e a,ae#i san'a#' a me'iei a#imeice ae+anionului- " - )a"ă 'e $aloa#ea .#esu.usă .en#u .o.ula"ie& 0n e3em.lul nos#u-
a$em
?F-?E-<?
E>
E@-<<<>D
E>
<?@<>D
H@@C>> −=−=−=−=−
=n
" $ F
σ
µ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 94/259
0n /ene#al- cu c% " ese mai a.#oa.e 'e cen#u 7'i)e#en"a 'in#e " +i µ µ = " ese
mai mică8- cu a% $om )i mai !nclina"i să nu #es.in/em i.oeza 'e nul +i cu c% " esemai 'e.a#e 'e cen#u 7'i)e#en"a 'in#e " +i µ µ = " ese mai ma#e8- cu a% $om )i mai!nclina"i să #es.in/em i.oeza 'e nul& Cu ale cu$ine- i.oeza 'e nul .oae )i #es.insă'acă #ezulaul saisicii esului ese un numă# ne/ai$ (.#ea ma#e* sau un numă#
.ozii$ (.#ea ma#e*& 0n"elesul e3.#esiei (.#ea ma#e* se )i3ează .#in ale/e#ea unui ni$el'e !nc#e'e#e sau ni$el E 7#e$e'e"i ca.iolul ane#io#8& 0n cazul i.oezei ale#nai$e 'e)o#ma F a9 ; ≠ ; F - ni$elul E ales se !m.a#e !n mo' e/al !n cele 'ouă e3#emiă"i ale'is#i,u"iei 'e e+aniona#e9
A#ia 'e su, − $ E; .lus a#ia 'e .ese : $ E; #e.#ezină zona c#iică9 'acă sco#ul $co#es.unzăo# me'iei a#imeice a unui e+anion ca'e !n aceasă a#ie 7i&e& su, − $ E; sau
− $ E9 + $ E9
]#2]#2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 95/259
me'ia a#imeică .#esu.usă .en#u .o.ula"ie ese saisic semni)icai$ă 7e+anionul 'e#ezi'en"i 'i)e#ă semni)icai$ 'e .o.ula"ia 'in ca#e a )os seleca8- as)el că i.oeza 'e
nul .oae )i #es.insă&De noa că 'ecizia .e ca#e am lua1o 7#es.in/e#ea i.oezei 'e nul8 com.o#ă un
elemen 'e #isc9 aceasă 'ecizie .oae )i /#e+iă- !n#uc% ese .osi,il ca e+anionulconsi'e#a să )ie unul 'in#e .u"inele e+anioane ne#e.#ezenai$e .en#u .o.ula"ia 'eme'ici #ezi'en"i& O #ăsău#ă )oa#e im.o#ană a esă#ii i.oezelo# consă 'in aceea că
.#o,a,iliaea 'e a lua o 'ecizie /#e+iă ese cunoscuă- )iin' 'aă 'e ni$elul E ales& 0ne3em.lul nos#u- .#o,a,iliaea 'e a lua o 'ecizie /#e+iă ese 'e @-@>& A s.une că
.#o,a,iliaea 'e a )i #es.ins /#e+i i.oeza 'e nul ese 'e @-@> #e$ine la a s.une că 'acăam #e.ea aces es 'e o in)iniae 'e o#i- $om #es.in/e /#e+i F @ 'oa# 'e > o#i la )ieca#e<@@ 'e #e.eă#i& Rezulaul 'e mai sus .oae )i enun"a +i s.un%n' că 'i)e#en"amen"ionaă ese saisic semni)icai$ă la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>& Ca +i .en#uesima#ea ine#$alelo#- ni$elu#ile 'e !nc#e'e#e )olosie !n mo' o,i+nui !n esa#eai.oezelo# sun J@- J> +i JJ&
Tesul !n#e.#ins !n aces e3em.lu ese bilateral sau nedirecţional & 0n /ene#al-!n#1un as)el 'e es- i.oeza ale#nai$ă enun"ă 'oa# că e3isă o 'i)e#en"ă !n#e $aloa#ea
e)eci$ă a .a#ame#ului #es.eci$ +i $aloa#ea .#esu.usă .en#u acel .a#ame#u& Du.ăcum am $ăzu- !n cazul unui es ,ilae#al- zona c#iică s.eci)icaă 'e ni$elul E se!m.a#e !n mo' e/al !n cele 'ouă e3#emiă"i ale 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e& 0n#1un es
,ilae#al- in'i)e#en 'e ni$elul E ales- #e/ula 'e 'ecizie ese u#măoa#ea9
$e respinge ! 56 dacă Z 1ob"inut2 > 4 Z α3- 1critic2 sau dacă Z 1ob"inut2 < Z α3- 1critic2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 96/259
Du.ă cum #ezulă +i 'in cele 'e mai sus- un es unilae#al ese mai (,un* 'ec%unul ,ilae#al- 'eoa#ece zona c#iică ese (#asă* mai a.#oa.e 'e me'ia a#imeică-
!m,unăă"in' as)el .#o,a,iliaea 'e a #es.in/e F @& As)el- 'acă ce#ceăo#ul a#e maimulă e3.e#ien"ă +i mai mule cuno+in"e !n le/ău#ă cu $a#ia,ila in$esi/aă- aunci se#ecoman'ă )olosi#ea unui es unilae#al- ceea ce ce#e o i.oeză ale#nai$ă 'i#ec"ională&
Se o,i+nuie+e ca esa#ea i.oezelo# saisice să )ie o#/anizaă su, )o#ma unui(mo'el !n n .a+i*- numă#ul 'e .a+i 'i)e#in' 'e la un auo# la alul !n )unc"ie 'e anumieo."iuni 'e com.aca#e sau 'e 'ealie#e a in)o#ma"iei& 0n cele ce u#mează $om )olosi unmo'el !n .a+i- .e ca#e !l e3em.li)icăm .en#u .#o,lema #aaă mai sus9
Pa"ul #. E$u$ţa%ea ipoe&elo%
F @9 ; 6 @@ F a9 ; ≠ @@
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia $ E 6 @-@> 7es ,ilae#al8
$ E; 7c#iic8 6 ±<-J
7^ona c#iică ese noaă .#in sco#u#ile $ ca#e !i ma#c2ează !nce.uu#ile8&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 97/259
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia $ E 6 @-@> 7es unilae#al s%n/a8
$ E 7c#iic8 6 −<->
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+
?F-?E-<?E>
E@-<<<>DE>
<?@<>DH@@C>> −=−=−=−=−=
n " $ F
σ µ
P#! 3. L!#$%# %&++%+
0n#uc% $ 7o,"inu8 se a)lă !n zona c#iică 7−?-? < −<->8- i.oeza 'e nul .oae )i#es.insă +i se .oae acce.a că me'ia a#imeică a .o.ula"iei 'e #ezi'en"i ese mai mică
'ec% @@ 7la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>8&
;.2 ERORI ÎN TESTAREA IPOTEZELOR
Aunci c%n' 'eci'em să #es.in/em sau să nu #es.in/em i.oeza 'e nul- sun .osi,ile .a#u siua"ii- 'esc#ise !n )i/u#a u#măoa#e9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 98/259
a#imeică a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e +i !nce.uu#ile 7!n cazul unui es ,ilae#al8 sau!nce.uul 7!n cazul unui es unilae#al8 zonei c#iice& De .il'ă- 'acă se ale/e E 6 @-@>-
.#o,a,iliaea 'e a comie o e#oa#e 'e i.ul I ese 'e @-@>9 'acă F @ ese #es.insă- e3isă >+anse 'in <@@ ca aceasă 'ecizie să )ie /#e+iă 'acă E 6 @-@<- .#o,a,iliaea 'e a comieo e#oa#e 'e i.ul I ese 'e @-@<9 'acă F @ ese #es.insă- e3isă 'oa# < +ansă 'in <@@ caaceasă 'ecizie să )ie /#e+iă& P#in u#ma#e- .en#u a minimiza .#o,a,iliaea 'e a comieo e#oa#e 'e i.ul I- #e,uie să )olosim ni$ele E )oa#e mici&
Pe 'e ală .a#e- cu c% ni$elul E ese mai mic- cu a% ese mai ma#e zonanec#iică +i- .ăs#%n' celelale 'ae consane- ese mai .u"in .#o,a,il ca #ezulaul
o,"inu .e e+anion să ca'ă !n zona c#iică- 'eci ese mai ma#e .#o,a,iliaea 'e a comieo e#oa#e 'e i.ul II&P#in u#ma#e- cele 'ouă .#o,a,iliă"i sun in$e#s .#o.o#"ionale- ne)iin' .osi,il să
le minimizăm .e am%n'ouă9 'acă ale/em un ni$el E )oa#e mic .en#u a .en#u aminimiza .#o,a,iliaea 'e a comie o e#oa#e 'e i.ul I- c#e+e .#o,a,iliaea 'e a comieo e#oa#e 'e i.ul II& Cu ale cu$ine- 'acă c#e+em 'i)iculaea 'e a #es.in/e i.oeza 'enul- .#o,a,iliaea 'e a nu #es.in/e i.oeza 'e nul aunci c%n' aceasa ese )alsă c#e+e&0n mo' no#mal- !n +iin"ele omului se 'o#e+e minimiza#ea .#o,a,iliă"ii e#o#ii 'e i.ul I-
socoiă a )i mai /#a$ă 'ec% e#oa#ea 'e i.ul II- as)el că se ale/ $alo#i mici .en#u E&0n a,elul u#măo# sun .#ezenae c%e$a sco#u#i $ c#iice .en#u ni$ele E mai
'es )olosie- a% .en#u ese ,ilae#ale- c% +i .en#u ese unilae#ale9
T#%! ;.1 S&$!$+ Z &$+/+&%
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 99/259
Ca +i !n .#i$in"a esimă#ii ine#$alelo#- !n a.#oa.e oae siua"iile #eale 'ece#cea#e- $aloa#ea a,ae#ii san'a#' a .o.ula"iei ese necunoscuă& 5i aici $om 'isin/e
'ouă cazu#i9 cazul !n ca#e 'imensiunea e+anionului ese ma#e- ceea ce !nseamnăe+anioane cu n > ?@- +i cazul n ≤ ?@& 0n cazul e+anioanelo# cu n > ?@- σ se .oae esima
.#in s- ia# !n .asul ? se )olose+e u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# ;.2<−
−=
n s
" $ F µ
Aceasă )o#mulă 'i)e#ă 'e )o#mula &< .#in aceea că σ ese !nlocui cu s- ia# n ese!nlocui cu n B < .en#u a se co#eca 'iso#siunea lui s&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 100/259
0n cazul e+anioanelo# cu n ≤ ?@- 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e ese 'is#i,u"iat −Su'en- .#ezenaă !n ca.iolul - ia# !n .asul ? se )olose+e u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# ;.-<−
−=
n s
" t F µ
Vom s.une că ese $o#,a 'es.#e testul scorurilor pentru medii aritmetice +i $om'esemna #ezulaul a.lică#ii )o#mulei &? .#in 1ob"inut2&
Să .#esu.unem că un ce#ceăo# .#ime+e in)o#ma"ia ne$e#i)icaă con)o#m că#eia
me'ia a#imeică a coe)icienului 'e ineli/en"ă al .a#ici.an"ilo# la )azele na"ionale aleolim.ia'elo# 'e maemaică 'in ulimii <@ ani ese 'e a.#o3imai$ <>& Pen#u a esaaceasă i.oeză- ce#ceăo#ul selecează un e+anion aleao#iu 'e @ 'e olim.ici lamaemaică 'in ulimii <@ ani +i consaă că me'ia a#imeică a coe)icienului 'eineli/en"ă la ni$elul e+anionului ese 'e <?- a,ae#ea san'a#' la ni$elul e+anionului)iin' 'e & Ce#ceăo#ul ese ine#esa să 'ee#mine la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ 'acăme'ia a#imeică a coe)icienului 'e ineli/en"ă al .a#ici.an"ilo# la )azele na"ionale ale
olim.ia'elo# 'e maemaică 'in ulimii <@ ani ese mai ma#e 'e <>& Daele .#o,lemeisun- 'eci- u#măoa#ele9
Populaţie -"antion ; F 6 <> <D?= "
s 3 n 3 20
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 101/259
ulimii <@ ani ese mai ma#e 'e <>& Rezulaul acesui es ese .#ezena /#a)ic !n )i/u#au#măoa#e9
0n cazul )olosi#ii 'is#i,u"iei t ca 'is#i,u"ie 'e e+aniona#e- #e/ulile 'e 'ecizie auaceea+i s#ucu#ă cu cele ale esului sco#u#ilo# $ & As)el- !n#1un es ,ilae#al- in'i)e#en'e ni$elul E ales +i 'e numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae- #e/ula 'e 'ecizie ese u#măoa#ea9
$e respinge ! 56 dacă 1ob"inut2 > 4 α3- 1critic2 sau dacă 1ob"inut2 < α3- 1critic2
0n#1un es unilae#al '#ea.a 7 ; > ; F 8- #e/ula 'e 'ecizie ese
$e respinge ! 56 dacă 1ob"inut2 > 4 α 1critic2
0n )ine- !n#1un es unilae#al s%n/a 7 ; < ; F 8- #e/ula 'e 'ecizie ese
$ i ! d ă 1 b"i t2 1 iti 2
@ =2,&
=1,0
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 102/259
F$!# ;.9n p p
8 p $ F
8<7 −
−=
Să consi'e#ăm un e3em.lu& Se .#ein'e că a.#o3imai$ <@ 'in su'en"ii unei ma#iuni$e#siă"i sun căsăo#i"i& Pen#u esa#ea acesei i.oeze- se selecează un e+anionaleao#iu 'e @@ 'e su'en"i 'e la uni$e#siaea #es.eci$ă +i se consaă că 'e su'en"i'in e+anion sun căsăo#i"i& 0n ,aza acesui #ezula- se .oae s.une la un ni$el 'e!nc#e'e#e 'e J> că mai mul 'e <@ 'in su'en"i sun necăsăo#i"i Daele .#o,lemeisun u#măoa#ele9
Populaţie -"antion 8 F 6 @-<@ p 3 0,12
n 3 200
Folosin' )o#mula &>- esul 'ecu#/e 'u.ă cum u#mează9
Pa"ul #. E$u$ţa%ea ipoe&elo%
F @9 8 6 @-<@ F a9 8 > @-<@
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 103/259
GLOSAR
8 TESTAREA IPOTEZELOR DESPREDIFERENŢELE DINTRE DOUĂ POPULAŢII
P#o,lema 'e ce#cea#e a,o#'aă !n ca.iolul $iza semni)ica"ia 'i)e#en"ei 'in#e$aloa#ea unei saisici 7me'ie a#imeică sau .#o.o#"ie8 calculaă .en#u un e+anion +i
$aloa#ea .#esu.usă a .a#ame#ului co#es.unzăo# al .o.ula"iei 'e #e)e#in"ă& 0n acesca.iol sun e3.use .#oce'ee 'e esa#e a i.oezelo# .#i$in' 'i)e#en"ele 'in#e me'iile
a#imeice a 'ouă .o.ula"ii- ;< − ;- +i 'in#e .#o.o#"iile a 'ouă .o.ula"ii- 8 < − 8 &P#o,lema cen#ală !n aces caz .oae )i )o#mulaă 'u.ă cum u#mează9 'i)e#en"a 'in#e
'ouă e+anioane su, as.ecul $a#ia,ilei 'e ine#es ese su)icien 'e ma#e .en#u a .uea
conc2i'e- cu o .#o,a,iliae 'e e#oa#e cunoscuă- că .o.ula"iile #e.#ezenae 'ee+anioane sun 'i)e#ie su, as.ecul $a#ia,ilei #es.eci$eToae esele saisice .#ezenae !n coninua#e sun a.lica,ile su, su.ozi"ia că
e+anioanele selecae aleao#iu 'in cele 'ouă .o.ula"ii 'e #e)e#in"ă sun in'e.en'ene&Două e+anioane sun independente 'acă seleca#ea cazu#ilo# .en#u un e+anion nuin)luen"ează seleca#ea cazu#ilo# .en#u celălal e+anion& As)el- esele .#ezenae !n
aces ca.iol nu .o )i a.licae aunci c%n' !n#e cele 'ouă e+anioane e3isă o'e.en'en"ă 'e $#eun )el sau alul 'e .il'ă !n siua"iile e3.e#imenale !n ca#e aceea+i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 104/259
I.oeza ale#nai$ă co#es.un'e i.ului 'e es- ,ilae#al sau unilae#al- inen"iona'e ce#ceăo#& Pen#u un es ,ilae#al- i.oeza ale#nai$ă ese 'e )o#ma F a9 ;< ≠ ;& Dacă
esul ese unilae#al- aunci i.oeza 'e nul .oae lua una 'in#e u#măoa#ele 'ouă )o#me9
F a9 ;< > ;
F a9 ;< < ;
P#ima )o#mă co#es.un'e unui es unilae#al !n ca#e !n#ea/a zonă c#iică ese .lasaă !ne3#emiaea '#ea.ă a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e- ia# cea 'e1a 'oua )o#mă co#es.un'e
unui es unilae#al !n ca#e !n#ea/a zonă c#iică ese .lasaă !n e3#emiaea s%n/ă a'is#i,u"iei 'e e+aniona#e& Dacă #ezulaul saisicii esului ca'e !n zona c#iică- auncii.oeza 'e nul .oae )i #es.insă- )iin' acce.aă i.oeza 'i)e#en"ei su, as.ecul $a#ia,ilei
'e ine#es&Teo#eic- )o#mula 'e calcul al esului sco#u#ilo# $ .en#u 'i)e#en"a 'in#e 'ouă
me'ii a#imeice ese u#măoa#ea9
F$!# >.1D<
D<D<
8787
x x
" " $ −
−−−= σ
µ µ
!n ca#e D< " " − 6 'i)e#en"a 'in#e me'iile a#imeice ale e+anioanelo# ;< B ; 6 'i)e#en"a 'in#e me'iile a#imeice ale .o.ula"iilo# D< x x −σ 6 a,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a 'i)e#en"elo# 'in#e
me'iile a#imeice ale e+anioanelo#
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 105/259
Ca +i .%nă acum- $om consi'e#a un e3em.lu& Un ce#ceăo# .#esu.une că ,ă#,a"ii +i )emeile 'i)e#ă su, as.ecul ca.aciă"ii 'e #ezol$a#e 'e .#o,leme& Pen#u a
$e#i)ica aceasă i.oeză- ce#ceăo#ul alcăuie+e un e+anion aleao#iu 'e < 'e su,iec"i+i le a'minis#ează un es 'e #ezol$a#e 'e .#o,leme& E+anionul ese a.oi !m.ă#"i !n
'ouă su,e+anioane 'u.ă c#ie#iul se3- ia# mă#imile saisice sun calculae .en#u)ieca#e su,e+anion- 'aele o,"inue )iin' u#măoa#ele9
-"antion
1($raţi)
-"antion
2(fe.ei)FD< = "
s1 3 1&F>D = "
s2 3 1n1 3 &2 n2 3 &17
P#esu.un%n' că esul 'e #ezol$a#e 'e .#o,leme )u#nizează 'ae 'e ine#$al sau 'e#a.o#- se .oae a.lica esul sco#u#ilo# $ .en#u semni)ica"ia 'i)e#en"ei 'in#e 'ouă
me'ii a#imeice& Se .oae o,se#$a că sco#ul me'iu al e+anionului < ese mai mic 'ec%cel al e+anionului & P#in a.lica#ea esului men"iona se .oae a)la 'acă aceasă'i)e#en"ă ese su)icien 'e ma#e .en#u a !n'#e.ă"i concluzia că e3isă o 'i)e#en"ă
semni)icai$ă !n#e ,ă#,a"i +i )emei su, as.ecul ca.aciă"ii 'e #ezol$a#e 'e .#o,leme +inu o ine#$en"ie a uno# )aco#i !n%m.lăo#i&
Pa"ul #. E$u$ţa%ea ipoe&elo%
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 106/259
su, as.ecul ca.aciă"ii 'e #ezol$a#e 'e .#o,leme& Decizia 'e a #es.in/e i.oeza 'e nula#e o .#o,a,iliae 'e 'oa# @-@> 'e a )i /#e+iă&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 107/259
>.2 TESTUL SCORURILOR t PENTRU DIFERENŢADINTRE DOUĂ MEDII ARITMETICE
Aunci c%n' a,ae#ile san'a#' ale .o.ula"iilo# nu sun cunoscue +i e+anioanelesun mici 7n< ≤ ?@ sau;+i n ≤ ?@8- 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e )olosiă ese 'is#i,u"iat −Su'en- cu n< : n − /#a'e 'e li,e#ae& Teo#eic- )o#mula 'e calcul al esuluisco#u#ilo# t .en#u 'i)e#en"a 'in#e 'ouă me'ii a#imeice ese u#măoa#ea9
F$!# >.3 D<
D<D< 8787
x x
" " t
−
−−−=
σ
µ µ
Ca mai sus- e#menul ;< B ; se #e'uce la ze#o- !n#uc% esul a#e loc su, .#esu.une#eacă i.oeza 'e nul- ;< − ; 6 @- ese a'e$ă#aă& 0n cazul esului .#ezena !n aceasă
sec"iune- )o#mula )olosiă .en#u esima#ea a,ae#ii san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#eese u#măoa#ea9
F$!# >.9D<
D<
D<
DDD
D<<
D<D nn
nn
nn
sn sn x x +⋅
−++=−σ
As)el- .en#u a a)la $aloa#ea lui t 7o,"inu8 $om )olosi u#măoa#ea )o#mulă9
DD
D< " " t
−=
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 108/259
rupul 1(.B
.odern$)
rupul 2(.B
tradiţional$)H@-H< = "
s1 3 1,70D@-HD = "
s2 3 1,20n1 3 12 n2 3 1&
Me'iile a#imeice ale /#u.u#ilo# 'i)e#ă !n sensul .#ezis 7 ;< > ;8& A.lica#ea esului t
a#aă 'acă aceasă 'i)e#en"ă ese sau nu saisic semni)icai$ă& Fie E 6 @-@>&
Pa"ul #. E$u$ţa%ea ipoe&elo%
F @9 ;< 6 ;
F a9 ;< > ;
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia t E 6 @-@> 7es unilae#al8 gl 6 < : <? − 6 ?
t E 7c#iic8 6 :<-<
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 109/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 110/259
Teo#eic- )o#mula 'e calcul al esului sco#u#ilo# $ .en#u 'i)e#en"a 'in#e 'ouă .#o.o#"ii ese u#măoa#ea9
F$!# >.;D<
D<D< 8787
p p
8 8 p p $
−−−−
=σ
!n ca#e p< − p 6 'i)e#en"a 'in#e .#o.o#"iile e+anioanelo# 8 < − 8 6 'i)e#en"a 'in#e .#o.o#"iile .o.ula"iilo#
σp< − p 6 a,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a 'i)e#en"elo# 'in#e .#o.o#"iile e+anioanelo#
Ca +i .en#u me'ii a#imeice- cel 'e1al 'oilea e#men al numă#ăo#ului- 8 < − 8 - se#e'uce la ze#o- !n#uc% esul a#e loc su, .#esu.une#ea că i.oeza 'e nul- 8 < − 8 6 @-ese a'e$ă#aă& Fo#mula )olosiă .en#u esima#ea a,ae#ii san'a#' a 'is#i,u"iei 'e
e+aniona#e ese u#măoa#ea9
F$!# >.> D<
D<
D< 8<7 nn
nn
8 8 p p
+
⋅−=− ∗∗
σ
Caniaea ∗ 8 se nume+e estimare combinată a propor"iilor .en#u cele 'ouă .o.ula"ii +i ese 'aă 'e u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# >.< DD<< pn pn
8 +
=∗
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 111/259
P#! 1. E"!"*#$%# +,/%%$
F @9 8 < 6 8 F a9 8 < ≠ 8
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia $
E 6 @-@> 7es ,ilae#al8 $ E; 7c#iic8 6 ±<-J
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+
DJ-@<HF
JC->?
<HF
C>-D>DD-DH
<@?H?
8D>-@7<@?8?E-@7H?
D<
DD<< ==+
=++
=+
+=∗
nn
pn pn 8
DJ-<@C-@@J-@
<@?H?
<@?H?8DJ-@<7DJ-@
D>-@?E-@
8<7D<
D<
D< +==
⋅+
⋅−−=
+⋅−
−=∗∗
nn
nn 8 8
p p $
P#! 3. L!#$%# %&++%+
0n#uc% $ 7o,"inu8 nu ca'e !n zona c#iică 7:< J < :< J8 nu se .oae #es.in/e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 112/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 113/259
Tabelul '.1 0alcule iniţiale pentru 9NO-9: o variabilă independentă
Ditanţa faţ$ de intervievator@ic$ @edie @are
&&2&12
&
212127
26
201&110
1T 1 3 11n1 3 < " 3 &0,20
' D
< " ; $23D
<0 3 2201
T 2 3 11n2 3 D " 3 2&,60
( D
D " = 2&2D
D0 3 1&2
T & 3 72n& 3 ? " 3 1,0
( D
? " = 100D
?0 3 1
Pen#u )ieca#e /#u. i- 0 i ese oalul sco#u#ilo# in'i$i'uale- ni ese numă#ul 'e su,iec"i-i
" ese me'ia a#imeică a sco#u#ilo#- ( D
i " ese suma .ă#aelo# sco#u#ilo#
in'i$i'uale- ia# D
i0 ese .ă#aul oalului sco#u#ilo#& De noa că /#u.u#ile o,"inue sun
in'e.en'ene- .#ecum +i că )o#mulele 'e calcul ca#e u#mează sun a.lica,ile +i !n cazul!n ca#e ese $o#,a 'es.#e un numă# 'i)e#i 'e su,iec"i !n )ieca#e /#u.&
0n ANOVA .en#u o $a#ia,ilă in'e.en'enă se consi'e#ă 'ouă surse de variaţie97i8 $a#ia"ia me'iilo# a#imeice ale /#u.u#ilo# +i 7ii8 $a#ia"ia 'ao#aă 'i)e#en"elo# 'in#e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 114/259
Dacă se e)ecuează calculele .e 2%#ie sau cu un calculao# 'e ,uzuna#- ese con$ena,ilsă se a)le mai !n%i ( D " .en#u sco#u#ile 'in )ieca#e /#u.- a+a cum am )ăcu !n a,elul
'e mai sus- 'u.ă ca#e să se a'une acese sume& A.licăm )o#mula J&<9
=++
−++=−= ∑<>
8CD<<H<><78<@J@DHD?EFD?7
DDD
,
= " 22 0I04>
J?-CJD@C-CC>DH>E> =−=
Aunci c%n' calculăm 22 0I04> ese #ecoman'a,il să #e"inem e#menii 'i)e#en"ei- >> +i
>-@- .e ca#e !i $om )olosi .en#u sim.li)ica#ea calculelo# ule#ioa#e&O'aă 'e am calcula 22 0I04>- .uem calcula 22 4 'u.ă u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# <.2 ∑ −=n
=
n
0 22
i
i
4
DD
0n aceasă )o#mulă- 0 i ese un sim,ol /ene#al .en#u 0 <- 0 +i 0 ?- ia# ni ese un sim,ol
/ene#al .en#u n<- n +i n?& As)el- o'aă ce caniaea ii n0 D
ese calculaă .en#u )ieca#e/#u.- caniă"ile sun a'unae- 'u.ă cum a#aă sim,olul ( & Să noăm că a 'oua .a#e a)o#mulei - =% 9, - a )os 'e4a calculaă- aunci c%n' am o,"inu 22 0I04>- a+a !nc% $om
.#elua 'i#ec #ezulaul #es.eci$ !n calculul 22 49
=−
++=−= ∑
,
=
n
0
n
0
n
0
n
=
n
0 22 i
4
DD
?
D
D
D
<
DD
=−
++ @C-CC>D
>
CD
>
<<H
>
<>< DDD
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 115/259
a#imeică .en#u 22 4- numiă varianţa sistematică +i 78 12 6'I4'6 B me'ia a#imeică .en#u 22 6'I4'6 - numiă varianţa de eroare&
F$!# <.3<−
=A
22 12 4
4
0n aceasă )o#mulă- A ese numă#ul 'e /#u.u#i- A − < )iin' numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#aeasociae 22 4- .e ca#e !l $om noa !n coninua#e cu gl 4&
HC-?<ED
C?-FDJ<?C?-FDJ
<==
−=
−=A 22 12 4
4
F$!# <.9A ,
22 12 6'I4'6
6'I4'6 −=
Aici- , − A #e.#ezină numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae asociae 22 6'I4'6 - .e ca#e !l $om
noa !n coninua#e cu gl 6'I4'6 &
F@-<?<D
D@-<F?
?<>
D@-<F?==
−=
−=
A ,
22 12 6'I4'6
6'I4'6
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e !n ANOVA ese 'is#i,u"ia < 7numiă as)el !n onoa#ea ,#ianicului Ronal' Fis2e# 7<J@1<J8- ,iolo/ +i saisician- in$enao#ul ANOVA8&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 116/259
)i*ura '.2 !c,ema tabelului valorilor critice ale distribuţiei F
glEROARE
(gl2
gl A (gl!E 1 2 CCCCCCCCCCB120
∞
1
2BB
120
∞
0,20,100,0
BBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCC
CCCBBCCCCCCCBBCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
La ine#sec"ia #%n'ului .en#u , B A /#a'e 'e li,e#ae +i ni$elul E ales cu coloana .en#uA B < /#a'e 'e li,e#ae se /ăse+e < 7c#iic8- a'ică $aloa#ea ca#e ma#c2ează !nce.uulzonei c#iice !n 'is#i,u"ia < & 0n e3em.lul nos#u- .en#u , B A 6 < +i A B < 6 - ale/%n'un ni$el E 6 @-@>- < 7c#iic8 6 ?->? sau- #oun4i- ?-J& Valoa#ea .en#u < 7o,"inu8 secalculează cu )o#mula u#măoa#e9
F$!# <.: 4
12
12 < =
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 117/259
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+ &$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia < E 6 @-@>
gl 6'I4'6 6 , B A 6 < gl 4 6 A B < 6 < 7c#iic8 6 ?-J
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+O#/aniza#ea calculului ANOVA se )ace cu a4uo#ul unui a,el 'e calcule ini"iale 7$&a,elul J&<8- .#ecum +i al unui a,el ANOVA #ezumai$- numi tabel al surselor devaria"ie& Fo#ma /ene#ală a unui as)el 'e a,el ese u#măoa#ea9
*ura devariaţie
*u.e dep$trate
rade deliertate
@edii aleu.elor
F (oţinut)
A "" A # − 1 $" A
$" A#$"EROARE EROARE ""EROARE % − $"EROARE
TOTAL ""TOTA& % − 1
0n e3em.lul nos#u- a$em u#măo#ul a,el9
Tabelul ' 2 9NO-9 rezumativ o variabilă independentă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 118/259
7o,"inu8 semni)icai$- numie teste de comparare multiplă post hoc- .#ecum +i meo'e'e esa#e a uno# i.oeze s.eci)ice .#i$in' 'i)e#en"ele 'in#e me'ii- numie comparaţii a
priori sau comparaţii planificate*K&
<.2 ANOVA PENTRU DOUĂ VARIABILE INDEPENDENTE
Tesul ANOVA .en#u 'ouă $a#ia,ile in'e.en'ene ese o e3in'e#e a esuluiANOVA .en#u o sin/u#ă $a#ia,ilă in'e.en'enă- cu e3ce."ia )a.ului că )o#muleleesului e3.us !n aceasă sec"iune sun a.lica,ile 'oa# !n cazul /#u.u#ilo# in'e.en'enecu acela+i numă# 'e su,iec"i !n )ieca#e /#u.& Vom )olosi aceea+i manie#ă 'e e3.une#e camai sus9 $om .#ezena un e3em.lu i.oeic- un a,el 'e calcule ini"iale- )o#mulele 'ecalcul ale esului ANOVA .en#u 'ouă $a#ia,ile in'e.en'ene- .#ecum +i mo'elul !n
.a#u .a+i s.eci)ic acesui es&@ 'e ele$i sun su.u+i unui e3.e#imen .#i$in' meo'ele 'e ins#ui#e !n
maemaică& Va#ia,ila in'e.en'enă- 4- ese- 'eci- metoda de instruire& Ele$ii sun#e.a#iza"i aleao#iu !n 'ouă clase9 o clasă la ca#e se uilizează meo'a #a'i"ională 7 4)8+i o clasă la ca#e se uilizează o meo'ă mo'e#nă 7 4%8& Va#ia,ila in'e.en'enă- 5- esenivelul ?@- cu cae/o#iile 9 5) 7< J@8 +i 5% 7≥ J@8& In)o#ma"ia .#ezenaă la cele 'ouăclase ese aceea+i& La s)%#+iul .e#ioa'ei 'e ins#ui#e ele$ii 'au acela+i es& Rezulaul7sco#ul8 o,"inu la aces es ese $a#ia,ila 'e.en'enă& E3.e#imenul .e#mie e$alua#ea a#ei e)ece9 7i8 e)ecul .#inci.al al $a#ia,ilei 4 7'acă una 'in#e meo'e con'uce la
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 119/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 120/259
22 0I04> se calculează cu a4uo#ul )o#mulei J&<9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 121/259
( ) −+++=−= ∑ ∑ ∑∑∑ D
DD
D
<D
D
D<
D
<<
DD
5 4 5 4 5 4 5 40I04> " " " ,
=
" 22
>>-<ECFE>-<E??<D<EECHJD@
8E>>E?EE>@?>E7
8E<E?J?CC@EE@>>DD>@JE787
D
D
DD<DD<<<
=−=+++
−
−+++=+++
− ,
0 0 0 0 5 4 5 4 5 4 5 4
5i aici- aunci c%n' calculăm 22 0I04>- ese #ecoman'a,il să #e"inem e#menii 'i)e#en"ei-
<J +i <??<->- .e ca#e !i $om )olosi .en#u sim.li)ica#ea calculelo# ule#ioa#e&Fo#mula J& ese mo'i)icaă co#es.unzăo# .en#u calculul 22 4 +i 22 5& As)el- 22 4
se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# <.; ∑ −=n
=
n
0 22
a
a
4
DD
0n aceasă )o#mulă- 0 a ese un sim,ol /ene#al .en#u 0 4) +i 0 4%- ia# na ese un sim,ol/ene#al .en#u n 4) +i n 4%& P#in u#ma#e- aunci c%n' calculăm 22 4- luăm !n consi'e#a#e'oa# /#u.u#ile $a#ia,ilei in'e.en'ene 4&
=−
+=−
+=−= ∑ E>-<E??<D
<@
HHJ
<@
H@E DDD
D
D
D
<
D
<
DD
,
=
n
0
n
0
n
=
n
0 22
4
4
4
4
a
a
4
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 122/259
0n aceasă )o#mulă- 0 ab ese un sim,ol /ene#al .en#u 0 4)5)- 0 4)5%- 0 4%5) +i 0 4%5%- ia# nab
ese un sim,ol /ene#al .en#u n 4)5)- n 4)5%- n 4%5) +i n 4%5%& P#in u#ma#e- aunci c%n'
calculăm 22 4 × 5- luăm !n consi'e#a#e /#u.u#ile consiuie 'u.ă cae/o#iile com,inae 4 × 5&
=−−−
+++=× 5 4
5 4
5 4
5 4
5 4
5 4
5 4
5 4
5 4
5 4 22 22 ,
=
n
0
n
0
n
0
n
0 22
D
DD
D
DD
<D
D
<D
D<
D
D<
<<
D
<<
6 =−−−
+++ D>-FHED>-?F<E>-<E??<D
>
E>>
>
E?E
>
E>@
>
?>E DDDD
D>-DH<E>-FHED>-?F<E>-<E??<DE@-<EEF?J =−−−=
5i aici $om #e"ine unul 'in#e e#menii 'i)e#en"ei- +i anume <?J-@- .e ca#e !l $om)olosi .en#u calculul 22 6'I4'6 - 'u.ă u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# <.1? ∑ ∑−=ab
ab
6'I4'6
n
0 " 22
D
D
Am,ele caniă"i ce#ue 'e aceasă )o#mulă au )os calculae ane#io#- c%n' am o,"inu22 0I04> +i- #es.eci$- 22 4 × 5- a+a !nc% $om .#elua 'i#ec #ezulaele #es.eci$e !n calculul22 6'I4'6 9
F@<EJE@<EEF?J<EECHJ
D
D∑ ∑ ab0 "22
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 123/259
0n )o#mula <- A 5 B < ese numă#ul 'e /#u.u#i consiuie 'u.ă cae/o#iile $a#ia,ilei 5-ia# A 5 B < ese numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae asociae 22 5- noa cu gl 5& 0n e3em.lul
nos#u-E>-FHE
<D
E>-FHE
<=
−=
−=
5
5
5A
22 12
F$!# <.1-8<87<7
A
−−= ×
× 5 4
5
5 4A A
22 12
0n )o#mula <?- 7A 4 B <87A 5 B <8 ese numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae asocia 22 4 × 5- noa cu gl 4 × 5& 0n e3em.lul nos#u-
D>-DH<8<D87<D7
D>-DH<
8<87<7
A =−−
=−−
= ××
5 4
5
5 4A A
22 12
F$!# <.13 5 4
6'I4'6 6'I4'6 A A ,
22 12 −=
0n )o#mula <- , B A 4A 5 ese numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae asocia 22 6'I4'6 - noa cu gl 6'I4'6 &
?>JF@-<EJF@-<EJ
==== 6'I4'6
I4
22 12
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 124/259
@H-?@?>-J
D>-DH<
===
×
× 6'I4'6
5 4
5 4 12
12
<
Pen#u lua#ea 'eciziei- )ieca#e $aloa#e .en#u < 7o,"inu8 se com.a#ă cu <7c#iic8& 0n#uc% !n )ieca#e caz 'in e3em.lul nos#u- gl 6'I4'6 6 <- ia# numă#ul 'e /#a'e'e li,e#ae 'in numă#ăo# .en#u me'ia a#imeică ese e/al cu < 7 gl 4 6 gl 5 6 gl 4× 5 6 <8-
.en#u E 6 @-@>- < 7c#iic8 6 -J@ sau- #oun4i- -J ?J& Deoa#ece )ieca#e < 7o,"inu8ese mai ma#e 'ec% < 7c#iic8- oae cele #ei i.oeze 'e nul .o )i #es.inse& De noa că
oae cele #ei i.oeze 'e nul .o )i #es.inse 7#ezulaele e3.e#imenului sunsemni)icai$e8 +i .en#u E 6 @-@<- .en#u ca#e < 7c#iic8 6 ->?&0n e#menii mo'elului !n .a#u .a+i- esul ANOVA .en#u 'ouă $a#ia,ile
in'e.en'ene 'ecu#/e as)el9
Pasul , Enun"area ipote*elor
F @<9 La ni$elul .o.ula"iei nu e3isă nici o 'i)e#en"ă !n#e me'iile a#imeice ale#ezulaelo# o,"inue .#in cele 'ouă meo'e&
F a<9 La ni$elul .o.ula"iei me'iile a#imeice ale #ezulaelo# o,"inue .#in cele'ouă meo'e 'i)e#ă&
F @9 La ni$elul .o.ula"iei nu e3isă nici o 'i)e#en"ă !n#e me'iile a#imeice ale#ezulaelo# o,"inue 'e ele$ii cu ni$ele ?@ 'i)e#ie
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 125/259
*ura devariaţie
*u.e dep$trate
rade deliertate
@edii aleu.elor
F (oţinut)
A "" A # A − 1 $" A $" A'$"EROARE
B ""B #B − 1 $"B $"B'$"EROARE
A B "" A× B (# A − 1)(#B −1)
$" A× B $" A× B'$"EROARE
EROARE ""EROARE % − # A#B $"EROARE
TOTAL ""TOTA& % − 1
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 126/259
0n e3em.lul nos#u- a$em u#măo#ul a,el9
Tabelul '. 9NO-9 rezumativ: două variabile independente
*ura devariaţie
*u.e dep$trate
rade deliertate
@edii aleu.elor
F(oţinut)
A &61,2 1 &61,2 &,6B 6, 1 6, 7&,20
A B 21,2 1 21,2 &0,0EROARE 1,60 16 ,&
TOTAL 176, 1
P#! 3 L!#$%# %&++%+
0n#uc% )ieca#e $aloa#e .en#u < 7o,"inu8 ese mai ma#e 'ec% $aloa#ea .en#u <7c#iic8- se #es.in/ cele #ei i.oeze 'e nul& Pen#u e)ecul .#inci.al al $a#ia,ilei 4-concluzia ese că la ni$elul .o.ula"iei- me'iile a#imeice ale #ezulaelo# o,"inue .#incele 'ouă meo'e 'i)e#ă semni)icai$& Pen#u e)ecul .#inci.al al $a#ia,ilei 5- concluziaese că la ni$elul .o.ula"iei- me'iile a#imeice ale #ezulaelo# o,"inue 'e ele$ii cuni$ele IZ 'i)e#ie 'i)e#ă semni)icai$& Enun"ul 'e .#o,a,iliae asocia am,elo# concluziiese u#măo#ul9 .#o,a,iliaea ca 'i)e#en"ele o,se#$ae !n#e me'iile a#imeice ale/#u.u#ilo# consiuie 'u.ă cae/o#iile unei $a#ia,ile in'e.en'ene să a.a#ă 'in!n%m.la#e- 'acă F @ #es.eci$ă a# )i !n #ealiae a'e$ă#aă- ese mai mică 'e @-@> 7+i 'u.ă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 127/259
'e mai mule o#i- .en#u a se con#ola e)ecul o#'onă#ii& Daele o,"inue- !m.#eună cumă#imile necesa#e .en#u ANOVA sun .#ezenae !n u#măo#ul a,el9
Tabelul '." 0alcule iniţiale pentru 9NO-9: eşantioane dependente
*uiecţiAtractivitatea fizic$ ( A)
s0 D
s0 !eatractive ( A1) Atractive ( A2)12
&67
6
7&
6
667
111
11&101011
16121
16161006100121
T A! 3 & ( 2 A! 3 201
n A! 3 " A! 3 ,
T A2 3 2 ( 2 A2 3 &2
n A2 3 " A2 3 6,0
( D
s0 3
1067
0n aces a,el- s0 se #e)e#ă la oalul sco#u#ilo# aco#'ae 'e )ieca#e su,iec .en#u cele
'ouă )emei- D
s0 ese .ă#aul acesui oal- ia# ( D
s0 ese suma aceso# .ă#ae .en#u o"isu,iec"ii&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 128/259
JE-<>>F-><CD
<@FCDD
=−=−= ∑n
=
n
0 22
2
2
2L5?6-0?
0n )ine- 22 6'I4'6 se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# <.1< 2L5?6-0? 40I04> 6'I4'6 22 22 22 22 −−=
J?-HJE-<>>C-<@EE-?> =−−= 6'I4'6 22
Con)o#m i.oezei 'e nul- a#aci$iaea )izică nu in)luen"ează 4u'ecaa asu.#acom.een"ei .#o)esionale& Fo#ma /ene#ală a unui a,el ANOVA #ezumai$ .en#ue+anioane 'e.en'ene ese u#măoa#ea9
*ura devariaţie
*u.e dep$trate
rade deliertate
@edii aleu.elor
F (oţinut)
A "" A # − 1 $" A
$" A'$"EROARE SUBIECŢ I
"""BIEC)I s − 1 *
EROARE ""EROARE (# − 1)(s −1)
$"EROARE
TOTAL ""TOTA& % − 1
P#oce'u#ile 'e calcul .en#u me'iile sumelo# 'e .ă#ae +i .en#u < 7o,"inu8 sun
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 129/259
GLOSAR
10 TESTE NONPARAMETRICE
Toae esele saisice .#ezenae .%nă acum se ,azează .e anumie su.ozi"ii
.#i$in' .a#ame#ii .o.ula"iilo# 'in ca#e sun selecae e+anioanele- +i anume su.ozi"ia'e no#maliae +i 'e omo/eniae a a,ae#ilo# san'a#' ale .o.ula"iilo# #es.eci$e&estele nonparametrice sun ese 'e semni)ica"ie ca#e nu necesiă su.ozi"ii .a#icula#e'es.#e )o#ma 'is#i,u"iei .o.ula"iilo# 'e #e)e#in"ă- as)el că .o )i a.licae !n s.ecialaunci c%n' se luc#ează cu e+anioane mici& 0n al 'oilea #%n'- esele non.a#ame#ice suncu 'eose,i#e uile !n .si2olo/ie- !n#uc% .o )i a.licae .en#u $a#ia,ile măsu#ae la ni$elnominal sau o#'inal&
1?.1 TESTUL CHI PĂTRAT ( ) 2)
estul chi pătrat 7 χ 8 ese a.lica,il aunci c%n' ni$elul 'e măsu#ă ese nominal-'aele )iin' )#ec$en"e B numă#ul 'e cazu#i ca#e )ac .a#e 'in cae/o#iile $a#ia,ilelo#7$a#ia,ilei8 consi'e#ae& Esen"a acesui es consă 'in com.a#a#ea frecven"elor
b t ) " l ) i ,"i i i ' ă ă f " l
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 130/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 131/259
Dacă- !nsă- i.oeza 'e nul ese )alsă- aunci acese )#ec$en"e $o# )i #elai$ ma#i& Cu c%sun mai ma#i 'i)e#en"ele 'in#e )#ec$en"ele a+e.ae +i cele o,se#$ae- cu a% ese mai
.u"in .#o,a,il ca $a#ia,ilele să )ie !n )a. #eci.#oc in'e.en'ene +i 'eci ese cu a% mai .#o,a,il că $om .uea #es.in/e i.oeza 'e nul&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 132/259
Pen#u a a)la frecven"a a#teptată .en#u )ieca#e celulă a a,elului- )olosimu#măoa#ea )o#mulă9
F$!# 1?.1n
f f f cr
a =
!n ca#e =r f ma#/inalul #%n'ului .e ca#e ese siuaă celula #es.eci$ă=c f ma#/inalul coloanei .e ca#e ese siuaă celula #es.eci$ă
n 6 numă#ul oal 'e cazu#i 'in e+anion
0n cazul a,elului <@&<- )#ec$en"ele a+e.ae sun u#măoa#ele9
@aculin Fe.inin
Dreapta D><@@
>@>@=
⋅D>
<@@
>@>@=
⋅
*t5na D@
<@@
>@E@=
⋅D@
<@@
>@E@=
⋅
A.ide;tru ><@@
>@<@
=⋅
><@@
>@<@
=⋅
Calcula#ea saisicii esului c2i− .ă#a .en#u in'e.en'en"ă se )ace cu a4uo#ulu#măoa#ei )o#mule- ca#e 'ă $aloa#ea .en#u χ 7o,"inu89
F$!# 1? 2 ∑ −
= ao f f D
D 87χ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 133/259
De noa că suma )#ec$en"elo# o,se#$ae ese e/ală cu suma )#ec$en"elo# a+e.ae +i căsuma 'i)e#en"elo# ao f f − ese e/ală cu @& Acese #ela"ii .o )i )olosie la $e#i)ica#ea
calculelo# .en#u χ 7o,"inu8&Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e )olosiă !n aces es ese 'is#i,u"ia χ & Ca +i !n cazul
'is#i,u"iei t −Su'en- ese $o#,a 'es.#e o )amilie 'e 'is#i,u"ii χ - )ieca#e )iin' o )unc"ie'e un anumi numă# 'e /#a'e 'e li,e#ae& 0n cazul esului c2i− .ă#a .en#uin'e.en'en"ă- numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei)o#mule9
F$!# 1?.- gl 6 7r − <87c − <8
!n ca#e r 6 numă#ul 'e #%n'u#i 'in a,elul conin/en"elo# c 6 numă#ul 'e coloane 'in a,elul conin/en"elo#
Un a,el cu #ei #%n'u#i +i 'ouă coloane 7un a,el ? × 8 a#e 7? − <87 − <8 6 /#a'e 'eli,e#ae& S.#e 'eose,i#e 'e 'is#i,u"ia t −Su'en- ca#e ese sime#ică- 'is#i,u"ia χ
.#ezină- ca +i 'is#i,u"ia < - o asime#ie .ozii$ă- 'u.ă cum se ilus#ează !n )i/u#a <@&<&F+4!$# 1?.1 U" %5%,! % &!$' ) -
%
) ! + & 6 + D
$ # /
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 134/259
Pasul <& Enun"a#ea i.oezelo#
F @9 Va#ia,ilele sex +i dominanţa funcţionalBoperativă a mâinilor sun #eci.#ocin'e.en'ene&
F a9 Va#ia,ilele sex +i dominanţa funcţionalBoperativă a mâinilor sun #eci.#oc'e.en'ene&
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia χ
E 6 @-@> gl 6
χ 7c#iic8 6 >-JJ<
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+& Du.ă cum am $ăzu-
<H87
D
D =−
= ∑a
ao
f
f f χ
P#! 3. L!#$%# %&++%+
0n#uc% χ 7o,"inu8 ca'e !n zona c#iică 7< @@ > > JJ<8 se .oae #es.in/e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 135/259
Ce#ceăo#ul alcăuie+e un e+anion aleao#iu 'e 'e .e#soane ocu.ae 'in zona
#es.eci$ă +i le clasi)ică !n cae/o#iile men"ionae& F#ec$en"ele o,se#$ae .en#u acesecae/o#ii sun u#măoa#ele9
<> "ă#ani?<@ muncio#i in'us#iali?@> )unc"iona#i mici !n#e.#inzăo#i mana/e#i in'us#iali
Ce#ceăo#ul 'o#e+e să +ie 'acă #ezulaele o,"inue .e aces e+anion con)i#mă'is#i,u"ia .#esu.usă a .o.ula"iei sau- al)el s.us- 'acă 'i)e#en"ele 'in#e )#ec$en"eleo,se#$ae +i cele .#esu.use sun sau nu saisic semni)icai$e& Calcula#ea saisiciiesului se )ace cu a4uo#ul )o#mulei <@&9
∑
−=
a
ao
f
f f D
D 87 χ
Pen#u a a)la frecven"a a#teptată .en#u )ieca#e cae/o#ie a $a#ia,ilei consi'e#ae-)olosim u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# 1?.3 np f a =
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 136/259
0n cazul esului c2i− .ă#a .en#u conco#'an"ă- numă#ul 'e /#a'e 'e li,e#ae secalculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 137/259
F$!# 1?.9 gl 6 A − <
!n ca#e A 6 numă#ul 'e cae/o#ii ale $a#ia,ilei 'e ine#es&
0n#uc% !n e3em.lul nos#u sun consi'e#ae cinci cae/o#ii ale $a#ia,ilei ocupaţie- a$em .a#u /#a'e 'e li,e#ae?& Pen#u E 6 @-@> +i gl 6 - χ 7c#iic8 6 J-&
Tesul )o#mal ese u#măo#ul9
Pasul <& Enun"a#ea i.oezelo#
F @9 Nu e3isă nici o 'i)e#en"ă !n#e .#o.o#"iile 'in e+anion +i cele .en#u .o.ula"ie F a9 P#o.o#"iile 'in e+anion 'i)e#ă 'e cele .en#u .o.ula"ie
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia χ
E 6 @-@> gl 6
χ 7c#iic8 6 J-
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+& Du.ă cum am $ăzu-
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 138/259
Valo#ile #ezi'uu#ilo# san'a#' .en#u )ieca#e cae/o#ie 'in e3em.lul 'e mai sus se/ăsesc !n a,elul <@&?& Aunci c%n' $aloa#ea a,soluă 7mo'ulul8 #ezi'uului san'a#'
.en#u o cae/o#ie ese mai ma#e 'ec% -@@- se .oae conc2i'e că acea cae/o#ie a#e ocon#i,u"ie ma4o#ă la $aloa#ea semni)icai$ă a lui χ 7o,"inu8& 0n e3em.lul 'e mai sus-oae #ezi'uu#ile san'a#' !n $aloa#e a,soluă sun mai ma#i 'ec% -@@& P#in u#ma#e-oae cae/o#iile con#i,uie ma4o# la $aloa#ea semni)icai$ă a lui χ 7o,"inu8- ceea ce!nseamnă că întreaga 'is#i,u"ie 'in e+anion nu conco#'ă cu 'is#i,u"ia .#esu.usă 'ece#ceăo#&
1?.2 TESTUL M&NEMAR
estul (cNemar ese un es non.a#ame#ic .en#u semni)ica"ia sc2im,ă#ii&Aces es uilizează 'is#i,u"ia χ +i ese a.lica,il .en#u $a#ia,ile 'e ni$el nominal- !ncazul a 'ouă e+anioane 'e.en'ene&
Să .#esu.unem că am alcăui un e+anion aleao#iu 'e ? 'e )emei sala#iae +iam solicia !n 'ouă momene 'i)e#ie #ăs.unsul la !n#e,a#ea (C#e'e"i că o#/aniza"iile
)eminise $ă a.ă#ă ine#esele* 0n#e,a#ea a )os .usă !naine +i 'u.ă ce )emeile 'ine+anion au cii o se#ie 'e 'ocumene 'es.#e as)el 'e o#/aniza"ii& Daele o,"inue sun .#ezenae !n u#măo#ul a,el × 9
T#%! 1?.3 D#/% ,%"/$! &#&!! ) - =" &#! # !' %7#"/+#"% %,%"%"/%,%"/$! ,+"+# %,$% $4#"+#*++% 8%+"+/%
G d l d l
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 139/259
a+e.aă !n celula 4 $a )i e/ală cu )#ec$en"a a+e.aă !n celula D& i.oeza ale#nai$ăenun"ă că numă#ul 'e sc2im,ă#i !n#1o 'i#ec"ie ese 'i)e#i 'e numă#ul 'e sc2im,ă#i !n
cealală 'i#ec"ie&Tesul saisic ese esul χ +i se .oae )olosi )o#mula <@& .en#u calcula#ea$alo#ii lui χ 7o,"inu8- 'a# )o#mula $a )i a.licaă 'oa# celulelo# 4 +i D& 0n#uc% se
.#esu.une că )#ec$en"ele a+e.ae 'in acese 'ouă celule sun e/ale- $aloa#ea a+e.aă!n )ieca#e 'in#e acese 'ouă celule ese e/ală cu 7 4 : D8;& as)el- )o#mula 'e calcul a$alo#ii χ 7o,"inu8 .en#u esul McNema# se sim.li)ică 'u.ă cum u#mează9
F$!# 1?.: D 4
D 4
+−
=
D
D 87
χ
Pen#u e3em.lul 'e mai sus- esul )o#mal ese u#măo#ul9
P#! 1. E"!"*#$%# +,/%%$
F @9 E3isă un numă# e/al 'e sc2im,ă#i !n am,ele 'i#ec"ii
F a9 Numă#ul 'e sc2im,ă#i !n#1o 'i#ec"ie ese semni)icai$ 'i)e#i)a"ă 'e numă#ul 'e sc2im,ă#i !n cealală 'i#ec"ie
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia χ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 140/259
0n am,ele cazu#i- com.a#ăm 'ouă e+anioane in'e.en'ene .en#u a )ace in)e#en"e'es.#e 'i)e#en"ele 'in#e cele 'ouă .o.ula"ii 'e #e)e#in"ă +i com.a#ăm #ezulaul
calculă#ii esului saisic cu 'is#i,u"ia 'e e+aniona#e a #ezulaelo# uu#o#e+anioanelo# .osi,ile& Pe 'e ală .a#e- aces es se ,azează .e o#'ona#ea sco#u#ilo#e+anioanelo#- as)el că ese a.lica,il la 'ae 'e ni$el o#'inal&
Ca +i ale ese saisice a.lica,ile la 'ae 'e ni$el o#'inal- esul Mann12ineL )olose+e a#i,ui#ea 'e #an/u#i& A a#i,ui ranguri unei mul"imi 'e sco#u#i 'e ni$elo#'inal !nseamnă a .une !n co#es.on'en"ă #es.eci$a mul"ime 'e sco#u#i cu nume#enau#ale 'in mul"imea {<- - X} !n a+a )el !nc% succesiunea sco#u#ilo# să se .ăs#eze& Să
.#esu.unem- 'e .il'ă- că !n#1un in$ena# 'e .e#sonaliae li se ce#e su,iec"ilo# săe$alueze o se#ie 'e .#o.ozi"ii 'u.ă u#măoa#ea scală9 4cord puternic- 4cord - ,edecis-
Dezacord - Dezacord puternic& Puem a#i,ui #an/u#i aceso# sco#u#i 'u.ă cum u#mează9
4cord puternic
4cord ,edecis Dezacord Dezacord puternic
> ? <
0n#uc% sin/u#a semni)ica"ie a a#i,ui#ii 'e #an/u#i ese #e)leca#ea ie#a#2iei sco#u#ilo#- oală mo'aliae 'e a a#i,ui #an/u#i !n aces e3em.lu ese u#măoa#ea9
4cord puternic
4cord ,edecis Dezacord Dezacord puternic
J > ? <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 141/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 142/259
consi'e#ăm #an/u#ile .e ca#e acese sco#u#i le1a# )i a$u 'acă a# )i )os 'i)e#ie +i
ime'ia succesi$e calculăm me'ia a#imeică a aceso# #an/u#i a#i,uim )iecă#ui sco# #an/ul me'iu as)el o,"inu&
0n e3em.lul nos#u- cazu#ile +i < au acela+i sco#- ?@& Sco#ului cazului I1am )ia#i,ui #an/ul <- ia# sco#ului cazului < I1am )i a#i,ui sco#ul <>& P#in u#ma#e-a#i,uim am,elo# sco#u#i #an/ul <-> 77< : <>8;8- ia# sco#ului ime'ia u#măo# !no#'ine c#escăoa#e 7?8 !i a#i,uim #an/ul < 7#an/ul .e ca#e l1a# )i a$u aces sco#- 'acă
cele 'ouă sco#u#i ?@ a# )i )os 'i)e#ie8& Du.ă aceasă o.e#a"ie- calculăm suma #an/u#ilo# .en#u )ieca#e e+anion& Inuii$ $o#,in'- 'acă cele 'ouă e+anioane #e.#ezină .o.ula"iica#e nu 'i)e#ă semni)icai$ !n#e ele su, as.ecul $a#ia,ilei măsu#ae- aunci cele 'ouăsume sun a.#o.iae ca $aloa#e& Dacă- !nsă- cele 'ouă e+anioane #e.#ezină .o.ula"iica#e 'i)e#ă semni)icai$ !n#e ele su, as.ecul $a#ia,ilei măsu#ae- aunci cele 'ouă sumesun mul 'i)e#ie&
Calcula#ea saisicii esului .#esu.une mai !n%i calcula#ea a 'ouă mă#imi
saisice- L < +i L - cu a4uo#ul u#măoa#elo# )o#mule9
F$!# 1?.; <
<<
D<<D
8<7 '
nnnnL Σ−
++=
F$!# 1?.> D
DD
D<<D
8<7 '
nnnnL Σ−
++=
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 143/259
$e respinge ! 56 dacă U 1ob"inut2 < U 1critic2
De #ema#ca că i.oeza 'e nul se #es.in/e 'acă $aloa#ea o,"inuă ese mai mică 'ec%cea c#iică& Aceasă #e/ulă 'i)e#ă 'e #e/ulile 'e 'ecizie 'in cele mai mule ese 'esemni)ica"ie- !n ca#e i.oeza 'e nul ese #es.insă 'acă $aloa#ea o,"inuă ese mai mare'ec% cea c#iică&
Dacă se .oae .#ezice că sco#u#ile .o.ula"iei < sun mai ma#i 'ec% cele ale .o.ula"iei - #e/ula 'e 'ecizie ese
$e respinge ! 56 dacă U , < U 1critic2-
ia# 'acă se .oae .#ezice că sco#u#ile .o.ula"iei < sun mai mici 'ec% cele ale .o.ula"iei- #e/ula 'e 'ecizie ese
$e respinge ! 56 dacă U - < U 1critic2
Tesul )o#mal 'ecu#/e 'u.ă cum u#mează9
P#! 1. E"!"*#$%# +,/%%$
F @9 Sais)ac"ia< 6 Sas)ac"ia
F a9 Sais)ac"ia< ≠ Sais)ac"ia
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 144/259
c#iică& Lu%n' '#e. ca'#u mo'elul !n .a#u .a+i- !n .asul - 'is#i,u"ia 'e e+aniona#eese 'is#i,u"ia $ - zona c#iică )iin' cea ma#caă 'e $ 7c#iic8- !n )unc"ie 'e ni$elul E ales
+i 'e i.ul 'e es 7unilae#al sau ,ilae#al8& Fo#mula .en#u $ 7o,"inu8 ese u#măoa#ea9
F$!# 1?.1?L
L L $
σ
µ −=
!n ca#e ;L 6 me'ia a#imeică a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a $alo#ilo# L .en#u oaee+anioanele .osi,ile
σ L 6 a,ae#ea san'a#' a 'is#i,u"iei 'e e+aniona#e a $alo#ilo# L .en#u oae
e+anioanele .osi,ileValo#ile .en#u ;L +i σ L se calculează cu a4uo#ul u#măoa#elo# )o#mule9
F$!# 1?.11D
D<nn
L = µ
F$!# 1?.12<D
8<7 D<D< ++=
nnnnL σ
P#in u#ma#e- !n .asul ? luc#ăm cu u#măoa#ea )o#mulă9
F$!# 1?.1-8<7
D
D<D<
D<
++
−=
nnnn
nnL
$
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 145/259
&2 11 1 26 6 & 1& 1 27 7
6 &7 1 16 2 7 0 17 17 &1 10 2 1 1 && 12 & 1 1 & 110 6 20 20 & 16
Mai !n%i- a#an4ăm sco#u#ile 'in )ieca#e e+anion !n o#'ine c#escăoa#e 7sau'esc#escăoa#e8& A.oi- consi'e#%n' sco#u#ile com,inae ale celo# 'ouă e+anioane ca +icum a# )i $o#,a 'es.#e un sin/u# e+anion +i a)lăm mediana sco#u#ilo# com,inae&Pen#u a !nlesni a)la#ea me'ianei sco#u#ilo# com,inae ese #ecoman'a,il să aco#'ăm#an/u#i sco#u#ilo#& 0n#uc% a$em un numă# .a# 'e cazu#i 7@8- me'iana $a )i me'iaa#imeică a sco#u#ilo# celo# 'ouă cazu#i 'e mi4loc- ?< +i ?9
>-?<D
?D?<V =+
= "
Cu a4uo#ul unui a,el × - .#ezenăm .en#u )ieca#e e+anion numă#ul 'e sco#u#i a)lae'easu.#a +i su, me'iana sco#u#ilo# com,inae9
-"antion 1 -"antion 2
Deaupra10
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 146/259
P#! 1. E"!"*#$%# +,/%%$
F @9 D<
VV µ µ =
F a9 D<VV µ µ ≠
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%#"%+ &$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia χ
E 6 @-@> gl 6 <
χ 7c#iic8 6 ?-<
P#! -. C#&!#$%# /#/+/+&++ /%/!!+
D@-?<@<@<@<@
8??CC7D@
88787877
87 DD
D =⋅⋅⋅⋅−⋅
=++++
−=
D 5- 4 D- 5 4
5- 4Dn χ
P#! 3. L!#$%# %&++%+
0n#uc% χ 7o,"inu8 nu ca'e !n zona c#iică 7?-@ < ?-<8- nu se .oae #es.in/ei.oeza 'e nul- ceea ce !nseamnă că nu e3isă nici o 'i)e#en"ă saisic semni)icai$ă !n#e)emeile sala#iae +i cele casnice !n .#i$in"a aiu'inii )a"ă 'e mi+că#ile )eminise 7la unni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>8
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 147/259
Dacă- 'e .il'ă- am consi'e#a .#imul elemen al ie#a"iei ? '#e. o ie#a"ie 'isincă-aunci aceasa s1a# !n$ecina la '#ea.a cu o ie#a"ie alcăuiă 'in elemene 'e acela+i i.-
&&Di)e#en"a 'in#e e+anioane- +i 'eci 'in#e .o.ula"ii- ese cu a% maisemni)icai$ă- cu c% numă#ul 'e ie#a"ii ese mai mic& Cel mai mic numă# 'e ie#a"ii
.osi,il ese- 'esi/u#- & 0n e3em.lul 'e mai sus- 'acă o"i su'en"ii a# e3.#ima osais)ac"ie mai ma#e 'ec% su'enele !n #a.o# cu se#$iciile sociale 'in cam.us- am )io,"inu u#măoa#ele 'ouă ie#a"ii9
= = = = = = = = = = & & & & & & & & & &
<
E$i'en- numă#ul ma3im .osi,il 'e ie#a"ii ese e/al cu numă#ul 'e cazu#i 'in cele 'ouăe+anioane&
Ese im.o#an 'e #e"inu că !n a.lica#ea acesui es- cazu#ile ca#e nu )ac .a#e'in acela+i e+anion +i au sco#u#i i'enice .o c#ea .#o,leme se#ioase- 'eoa#ece numă#ul'e ie#a"ii .oae )i mul a)eca 'e )elul !n ca#e sun a#an4ae cazu#ile cu sco#u#i i'enice&
Dacă !n%lnim mule cazu#i cu sco#u#i i'enice !n e+anioane 'i)e#ie ese #ecoman'a,ilsă )olosim al es 'e semni)ica"ie&Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e .en#u ie#a"ii a.#o3imează no#maliaea& Me'ia
a#imeică a acesei 'is#i,u"ii 7 ' µ 8 +i a,ae#ea sa san'a#' 7 'σ 8 se calculează cua4uo#ul u#măoa#elo# )o#mule9
F$!# 1? 19 <D D< +=
nnµ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 148/259
& 2 2& 2 2
& 2 66 26 67 27 7 2 12 2 1210 10 &0 1&11 10 &1 112 1 &2 161& 17 && 161 17 & 211 1 & 2116 1 &6 2117 20 &7 21 22 & 261 22 & 27
20 2& 0 27
Să o,se#$ăm că aici nu e3isă sco#u#i i'enice !n e+anioane 'i)e#ie 7sco#u#ile i'enice !nacela+i e+anion nu au nici o in)luen"ă asu.#a numă#ului 'e ie#a"ii8& Folosin' o lie#ele
= +i &- o,"inem u#măoa#ele ie#a"ii9
& & = = = = = & & = = & & = & = = = & & & & = & &
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 149/259
D<<D@D@
D@D@D<
D
D<
D< =++⋅⋅
=++
=nn
nn ' µ
<D-?8<D@D@78D@D@7
D@D@D@D@D7D@D@D
8<787
8D7DD
D<
D
D<
D<D<D< =−++
⋅−⋅⋅⋅⋅=−++
−−=nnnn
nnnnnn '
σ
JD-<<D-?
D<<>−=
−=
−=
'
' ' $
σ
µ
P#! 3. L!#$%# %&++%+
0n#uc% $ 7o,"inu8 > − $ 7c#iic8 7−<-J > <-J8- #ezulaul saisicii esului nuca'e !n zona c#iică& P#in u#ma#e nu .uem #es.in/e i.oeza 'e nul& 0n e3em.lul 'e maisus- ,ă#,a"ii +i )emeile nu 'i)e#ă semni)icai$ !n .#i$in"a aiu'inii )a"ă 'e .oliică +i
.oliicieni&
1?.: TESTUL ILCOXON T
estul ;ilcoxon T ese un es .en#u semni)ica"ia 'i)e#en"ei 'in#e 'ouăe+anioane 'e.en'ene- a.lica,il .en#u 'ae 'e ni$el o#'inal& As)el- esul ese )olosi!n mo' o,i+nui aunci c%n' seleca#ea cazu#ilo# .en#u un e+anion in)luen"eazăseleca#ea cazu#ilo# .en#u celălal e+anion- a$%n' ca #ezula consi'e#a#ea uno# .e#ec2i'e cazu#i- unul 'in#1un e+anion- alul 'in celălal e+anion- sau !n siua"ii !n ca#e aceea+isu,iec"i sun esa"i !naine +i 'u.ă un anumi #aamen
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 150/259
1 &6 21 1 112 2& 2 −1 −1 1
& &6 12 10 &0 2 12 0 &2 76 &2 & −& −& &7 0 & 7 6 0 &6 &0 6
10 2 27 2 211 && 22 11 12 &6
T (oţinut) 3
Pen#u calcula#ea saisicii esului se .#oce'ează 'u.ă cum u#mează9
1. Pen#u )ieca#e caz- se calculează 'i)e#en"a 'in#e sco#ul .#e#aamen +i sco#ul .os#aamen #ezulaul scă'e#ii se nume+e scor diferen"ă&
2. Se a#i,uie #an/u#i $alo#ilo# a,solue ale sco#u#ilo# 'i)e#en"ă 7mo'ulelo#sco#u#ilo# 'i)e#en"ă8- !nce.%n' cu cea mai mică $aloa#e a,soluă #an/u#ilesco#u#ilo# 'i)e#en"ă .ozii$e .#imesc semnul :- ia# #an/u#ile sco#u#ilo#'i)e#en"ă ne/ai$e .#imesc semnul −
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 151/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 152/259
F$!# 1?.2?0
0 0 $
σ
µ −=
P#oce'u#a 'e 'ecizie ese cea uzuală .en#u esul $ &
1?.; TESTUL RUSALALLIS H
estul >rus?al ;allis ! ese analo/ul non.a#ame#ic al esului ANOVA
.en#u o $a#ia,ilă in'e.en'enă +i ese a.lica,il la 'ae 'e ni$el o#'inalSă .#esu.unem că ne ine#esează 'i)e#en"ele 'in#e ca'#ele 'i'acice 'in!n$ă"ăm%nul .#ima#- cel /imnazial +i cel liceal su, as.ecul com.o#amenului auo#ia#)a"ă 'e ele$i& Alcăuim e+anioane 'in cele #ei .o.ula"ii cu- #es.eci$- n< 6 - n 6 > +i n?
6 +i a'minis#ăm su,iec"ilo# o scală 'e auo#iae& Daele o,"inue sun .#ezenae !na,elul <@&J- !n ca#e sco#u#ile ma#i in'ică un com.o#amen mai auo#ia#&
T#%! 1?.< C,$/#%"/! #!/$+/#$ # &#$%$ +#&/+&%din învăţămntul primar: *imnazial şi liceal
adre didactice din ?nv$ţ$.5ntul pri.ar
adre didactice din ?nv$ţ$.5ntul
i.nazial
adre didactice din ?nv$ţ$.5ntul liceal
*corul 9anul *corul 9anul *corul 9anul6 1 &
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 153/259
F$!# 1?.21 ( )
8<7?8<7
<D
<
D
+−
⋅
+= ∑ ∑
=
, n
'
, , F
A
: :
:
!n ca#e , 6 numă#ul oal 'e cazu#i 'in cele A e+anioane (' : 6 suma #an/u#ilo# 'in e+anionul :- : 6 <-- X- A n : 6 numă#ul 'e cazu#i 'in e+anionul :- : 6 <-- X- A
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e !n esul K#usQal−allis F ese 'is#i,u"ia χ cu A B </#a'e 'e li,e#ae& I.oeza 'e nul ese #es.insă 'acă $aloa#ea lui F ese mai ma#e 'ec%$aloa#ea c#iică χ co#es.unzăoa#e ni$elului E ales +i numă#ului 'e /#a'e 'e li,e#ae&
0n e#menii mo'elului !n .a+i- esul .en#u e3em.lul 'e mai sus 'ecu#/e 'u.ăcum u#mează9
P#! 1. E"!"*#$%# +,/%%$
F @9 Nu e3isă nici o 'i)e#en"ă !n .#i$in"a com.o#amenului auo#ia# )a"ă'e ele$i al ca'#elo# 'i'acice 'e la cele #ei ni$ele 'e !n$ă"ăm%n&
F a9 Cel .u"in 'ouă 'in cele #ei .o.ula"ii 'e ca'#e 'i'acice 'i)e#ă su,as.ecul com.o#amenului auo#ia# )a"ă 'e ele$i&
P#! 2. S%%&/#$%# +/$+!*+%+ % %7#"/+"#$% 7+ /#++$%# "%+&$+/+&%
Dis#i,u"ia 'e e+aniona#e 6 Dis#i,u"ia χ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 154/259
11 MĂRIMI ALE CORELAŢIEI
(ărimile corela"iei sun mă#imi saisice com.lemena#e eselo# 'esemni)ica"ie +i .e#mi cuani)ica#ea im.o#an"ei 7ă#iei8 unei #ela"ii !n#e $a#ia,ile&Psi2olo/ii sun ine#esa"i să 'esco.e#e 'acă e3isă #ela"ii !n#e $a#ia,ile .#ecumineli/en"a +i c#eai$iaea- $ec2imea !n muncă +i sais)ac"ia )a"ă 'e .#o)esia .#acicaă-
im.ul a)eca $izionă#ii emisiunilo# TV +i .e#)o#man"ele +cola#e ec& Mă#imileco#ela"iei sun )olosie !n .#inci.al .en#u !n"ele/e#ea #ela"iilo# cauzale 'in#e $a#ia,ile +i
.en#u .#e'ic"ia 'e la o $a#ia,ilă la ala& Să .#ecizăm& De+i mă#imile co#ela"iei nu .o )i)olosie .en#u a dovedi e3isen"a #ela"iilo# cauzale- in)o#ma"iile )u#nizae 'e acesea .o)i )olosie ca a#/umene !n )a$oa#ea sau !m.o#i$a e3isen"ei #ela"iilo# cauzale& Pe 'e ală
.a#e- 'acă 'ouă $a#ia,ile sun co#elae- aunci .uem a.#ecia sco#u#ile unei $a#ia,ile .e ,aza cunoa+e#ii sco#u#ilo# !n .#i$in"a celeilale $a#ia,ile& 0n .si2olo/ie- o as)el 'e
a.#ecie#e se nume+e predic"ie& O .#e'ic"ie ese cu a% mai .#ecisă- cu c% co#ela"ia'in#e cele 'ouă $a#ia,ile ese mai .ue#nică&0n cele ce u#mează- $om )olosi a,elele cu 'u,lă in#a#e .en#u a in#o'uce
no"iunea 'e corela"ie- $om .#ezena calcula#ea +i ine#.#ea#ea 'i)e#ielo# mă#imi aleco#ela"iei ,i$a#iae 7co#ela"ia 'in#e 'ouă $a#ia,ile8 +i $om a,o#'a unele as.ece aleco#ela"iei muli$a#iae 7co#ela"ia 'in#e mai mul 'e 'ouă $a#ia,ile8&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 155/259
Ca +i .%nă acum- !n#1un a,el cu 'u,lă in#a#e $om u#ma con$en"ia aciă 'e a lua'enumi#ile cae/o#iilo# $a#ia,ilei in'e.en'ene 7W8 '#e. ca.ee 'e coloane- ia#
'enumi#ile cae/o#iilo# $a#ia,ilei 'e.en'ene 7=8 '#e. ca.ee 'e #%n'u#i&0n#1un as)el 'e a,el- 'is#i,u"iile 'e )#ec$en"e (.e coloană* sun numiedistribu"ii condi"ionate ale variabilei dependente- 'eoa#ece .#ezină 'is#i,u"iasco#u#ilo# $a#ia,ilei 'e.en'ene .en#u )ieca#e sco# 7con'i"ie8 al 7a8 $a#ia,ileiin'e.en'ene& De .il'ă- !n a,elul <<&<- .#ima coloană 'in s%n/a a#aă că 'in @ 'emuncio#i cu sais)ac"ie scăzuă )a"ă 'e mese#ia .#acicaă- <@ sun !nal .#o'uci$i- @sun me'iu .#o'uci$i- ia# ?@ au o .#o'uci$iae scăzuă& Ins.eca#ea aceso# 'is#i,u"iicon'i"ionae ne .e#mie să o,se#$ăm e)ecele $a#ia,ilei in'e.en'ene asu.#a $a#ia,ilei
'e.en'ene& As)el- consaăm că 'is#i,u"iile con'i"ionae ale $a#ia,ilei productivitatese sc2im,ă !n )unc"ie 'e 'i)e#iele sco#u#i ale $a#ia,ilei satisfacţie& De .il'ă- 4umăae'in#e muncio#ii cu sais)ac"ie scăzuă )a"ă 'e mese#ie 7?@8 au o .#o'uci$iae scăzuă-!n im. ce .ese 4umăae 'in#e muncio#ii cu sais)ac"ie !nală )a"ă 'e mese#ie 78 au o
.#o'uci$iae !nală& Aceasa a#aă că .#o'uci$iaea !n muncă +i sais)ac"ia )a"ă 'emese#ia aleasă sun co#elae&
0n a,elul <<&<- com.a#a#ea 'is#i,u"iilo# con'i"ionae ale $a#ia,ilei 'e.en'ene
ese u+o# 'e )ăcu- 'eoa#ece ma#/inalele coloanelo# au $alo#i a.#o.iae& 0n mo' o,i+nui-nu aceasa ese siua"ia +i 'e aceea ese uil să con#olăm 'is#i,u"iile con'i"ionae ca#e'au oalu#i 'i)e#ie .#in calcula#ea .#ocenelo# co#es.unzăoa#e !n sensul $a#ia,ileiin'e.en'ene 7.e coloane8 +i a.oi să le com.a#ăm !n sensul $a#ia,ilei 'e.en'ene 7.e#%n'u#i8& 0n a,elul <<& sun .#ezenae .#ocenele .en#u 'aele 'in a,elul <<&< 7$alo#i#oun4ie8- calculae !n mo'ul in'ica&
T b l l 11 2 P d ti it t i ti f ţi f ţă d i ti tă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 156/259
in'e.en'ene& Dacă- 'e .il'ă- !n loc 'e $a#ia,ila satisfacţie am lua $a#ia,ila culoarea părului- am o,"ine !n )ieca#e celulă- .#o,a,il- un .#ocen 'e a.#o3imai$ ??-?&
Dacă 'ouă $a#ia,ile sun co#elae- ia# $a#ia,ilele #es.eci$e se a)lă cel .u"in lani$el o#'inal- aunci se .oae in'ica un sens al co#ela"iei& Acesa .oae )i pozitiv 7'i#ec8sau negativ 7in$e#s8& De .il'ă- 'acă se consaă că .e#)o#man"ele +cola#e ale unuie+anion 'e ele$i !n#1o anumiă .e#ioa'ă sun cu a% mai ,une cu c% ele$ii #es.eci$iau a)eca un numă# mai ma#e 'e o#e .e să.ăm%nă su'iului in'i$i'ual !n acea .e#ioa'ă-aunci se s.une că !n#e su'iul in'i$i'ual +i .e#)o#man"ele +cola#e e3isă o co#ela"ie
.ozii$ă& Dacă se consaă că .e#)o#man"ele +cola#e ale unui e+anion 'e ele$i sun cua% mai sla,e cu c% ele$ii #es.eci$i au a)eca un numă# mai ma#e 'e o#e .e să.ăm%nă
$izionă#ii emisiunilo# TV- aunci se s.une că !n#e $iziona#ea emisiunilo# TV +i .e#)o#man"ele +cola#e e3isă o co#ela"ie ne/ai$ă& 0n /ene#al- 'ouă $a#ia,ile suncorelate po*itiv la ni$elul unui e+anion- 'acă su,iec"ii 'in e+anion ca#e au sco#u#i!nale !n .#i$in"a unei $a#ia,ile au sco#u#i !nale +i !n .#i$in"a celeilale $a#ia,ile- ia# ceica#e au sco#u#i 4oase !n .#i$in"a unei $a#ia,ile au sco#u#i 4oase !n .#i$in"a celeilale$a#ia,ile& Al)el s.us- !n#1o co#ela"ie .ozii$ă- o $a#ia,ilă c#e+e sau 'esc#e+e !n $aloa#e'u.ă cum c#e+e sau 'esc#e+e cealală& Ta,elul <<&& a#aă că $a#ia,ilele satisfacţie +i
productivitatea muncii sun co#elae .ozii$9 un ni$el !nal 'e sais)ac"ie ese asocia cuun ni$el !nal 'e .#o'uci$iae- sais)ac"ia me'ie ese asociaă cu .#o'uci$iaea me'ie-ia# sais)ac"ia scăzuă cu .#o'uci$iaea scăzuă& Două $a#ia,ile sun corelate negativ lani$elul unui e+anion- 'acă su,iec"ii 'in e+anion ca#e au sco#u#i !nale !n .#i$in"a unei$a#ia,ile au sco#u#i 4oase !n .#i$in"a celeilale $a#ia,ile& Al)el s.us- !n#1o co#ela"iene/ai$ă- c#e+e#ea $alo#ii unei $a#ia,ile ese !nso"iă 'e 'esc#e+e#ea $alo#ii celeilale$a#ia,ile& Ta,elul <<& ? .#ezină o co#ela"ie ne/ai$ă !n#e ni$elul 'e e'uca"ie +i
i i l TV 7' )i i 8
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 157/259
Tabelul 11. Nivelul de educaţie şi vizionarea pro*ramelor T-
(ilutrare pentru Jcorelaţie neativ$ perfect$K)radul deur.$rire aprora.elor '8
!ivelul de educaţie*c$zut @ediu Gnalt
Gnalt 100% 0% 0%@ediu 0 100 0*c$zut 0 0 100'O'A 100% 100% 100%
O co#ela"ie .e#)ecă a# .uea )i luaă '#e. o 'o$a'ă .ue#nică .en#u o #ela"iecauzală !n#e $a#ia,ile- cel .u"in .en#u e+anionul #es.eci$& Rezulaele .#ezenae !na,elul <<& a# in'ica )a.ul că- .en#u e+anionul consi'e#a- ese )oa#e .#o,a,il casin/u#a cauză a /#a'ului 'e u#mă#i#e a .#o/#amelo# TV să )ie ni$elul 'e e'uca"ie& Deasemenea- o co#ela"ie .e#)ecă a# .e#mie .#e'ic"ii )ă#ă e#oa#e 'e la o $a#ia,ilă la ala&
De .il'ă- 'acă am +i că o .e#soană 'in e+anion a#e un ni$el !nal 'e e'uca"ie- am .uea .#ezice cu e3aciae că /#a'ul 'e u#mă#i#e a .#o/#amelo# TV .en#u acea .e#soană esescăzu& Co#ela"ia .e#)ecă ese un caz i'eal- ca#e nu se !n%lne+e !n .#acica ce#ceă#ii
.si2olo/ice- 'a# ca#e ese lua ca #e.e# .en#u a.#ecie#ea ă#iei co#ela"iilo# 'in#e$a#ia,ilele 'e ine#es&
0n cele ce u#mează- $om .#ezena o se#ie 'e mă#imi ale co#ela"iei- numiecoeficienţi de corelaţie- .en#u 'i)e#ie ni$ele 'e măsu#ă& A.#oa.e oae acese mă#imi
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 158/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 159/259
ma#e 'imensiune- N .oae 'e.ă+i $aloa#ea <- ceea ce )ace ca ine#.#ea#ea acesuicoe)icien să 'e$ină .#o,lemaică& O#icum- 'u.ă cum $om $e'ea- $aloa#ea lui N
o,"inuă .en#u e3em.lul 'e mai sus ese )oa#e a.#o.iaă 'e $alo#ile o,"inue .#incalcula#ea celo#lal"i coe)icien"i 'e co#ela"ie men"iona"i&Coe)icienul - se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# 11.2 D
D
χ
χ
+=
n-
A.lic%n' aceasă )o#mulă la 'aele 'in a,elul <<&>- o,"inem9
?J-@<H<@@
<HD
D
=+
=+
= χ
χ
n-
De)icien"a coe)icienului - ese aceea că- )iin' o mă#ime su,unia#ă- nu .oae luanicio'aă $aloa#ea <& Se 'emons#ează că .e măsu#ă ce 'imensiunea a,elului c#e+e- -
in'e că#e <& De .il'ă- $aloa#ea ma3imă a lui - ese @- .en#u un a,el ? × ? +i @- .en#u un a,el × & De aceea- se #ecoman'ă )olosi#ea acesui coe)icien numai .en#ua,ele 'e ma#e 'imensiune 7a.#o3imai$ 'e la <@ linii sau;+i coloane !n sus8&
Coe)icienul se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# 11.-8<7
D
−=
On.
χ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 160/259
nmc 6 cel mai ma#e ma#/inal 'e coloanănmr 6 cel mai ma#e ma#/inal 'e #%n'
Să .#esu.unem că !n#1o ce#cea#e .#i$in' #ela"ia 'in#e a.a#enen"a #eli/ioasă +iaiu'inea )a"ă 'e .e'ea.sa ca.ială s1au o,"inu #ezulaele 'in a,elul <<&&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 161/259
Tabelul 11.$ 9partenenţa reli*ioasă şi atitudinea
faţă de pedeapsa capitală
Atitudinea)partenen"a religioasă
Cre#tin/ortodox
Catolic )lteleNiciuna
)
Favorail$ 10 1 &!eutr$ 10 1 12 6 2
G.potriv$ 2 11 10 0'O'A 0 & 2 &0 1&0
Pen#u 'aele 'in aces a,el a$em9
>@
E@
>?D><E<E
F><E<D<ED>
<
<
=
=
=++=
=+++=
∑
∑
=
=
mc
r
7
m7
c
x
mx
n
n
n
n
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 162/259
Pen#u cele mai mule siua"ii 'e ce#cea#e- ine#.#ea#ea celo# 'ouă $a#iane alecoe)icienului P ese simila#ă ine#.#eă#ii coe)icien"ilo# - +i & Pen#u e3em.lul
consi'e#a aici- .uem conc2i'e că cele 'ouă $a#ia,ile sun co#elae- 'a# că aceasăco#ela"ie ese )oa#e sla,ă>&
11.- MĂRIMI ALE CORELAŢIEI LA NIVEL ORDINAL
Vom .#ezena .a#u coe)icien"i ai co#ela"iei- uiliza,ili la ni$el o#'inal9 - al luiGoo'man +i K#usQal- al lui Some#- 0 al lui Ken'all +i 1" al lui S.ea#man& Ace+i
coe)icien"i iau $alo#i cu.#inse !n#e @ +i ±< 7Q b numai .en#u cazul r 6 c8&Coeficientul - se uilizează !n siua"ii 'e ce#cea#e !n ca#e a$em 'ouă $a#ia,ile
măsu#ae la ni$el o#'inal cu un numă# mic 'e $alo#i 7nu mai mul 'e cinci sau +ase8& Să .#esu.unem că am o,"inu u#măoa#ele 'ae .#i$in' $ec2imea !n muncă +i 'escu#a4a#ea
.#o)esională .en#u un e+anion 'e <@@ 'e ca'#e 'i'acice 'in !n$ă"ăm%nul .#ima#9
Tabelul 11.% -ec,imea în muncă şi descura+area profesională
!ivel dedecuraLareprofeional$ (H)
@echime !n muncă 1A2
+nferioară (edie $uperioară)
*uperior 11 21 0@ediu 10 1 &0
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 163/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 164/259
.oae con#i,ui la , d - 'eoa#ece nu e3isă celule siuae 'easu.#a +i la s%n/a aceso#a&Calcula#ea , d .en#u a,elul <<& 'ecu#/e 'u.ă cum u#mează9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 165/259
Pen#u c??9 7 : << : <@ :<>8 6 <
Pen#u c?9 7 : <@8 6 <@Pen#u c?9 >7 : <<8 6 J>Pen#u c9 <> ⋅ 6 <@
, d 6 JJ
0n a,elul <<&- un numă# oal 'e <?< 'e .e#ec2i 'e cazu#i sun nele/ae +i 'is.use !naceea+i o#'ine !n .#i$in"a am,elo# $a#ia,ile +i un numă# oal 'e JJ 'e .e#ec2i 'e
cazu#i sun nele/ae o#'onae 'i)e#i !n .#i$in"a celo# 'ouă $a#ia,ile&
Coe)icienul R se calculează cu a4uo#ul u#măoa#ei )o#mule9
F$!# 11.:d a
d a
, ,
, ,
+
−=γ
Valoa#ea coe)icienului R .en#u 'aele 'in a,elul <<& ese9
>C-@EJJ<H?<
EJJ<H?< =+−=
+−=
d a
d a
, ,
, , γ
Vom conc2i'e că $ec2imea !n muncă ese co#elaă mo'e#a cu ni$elul 'e 'escu#a4a#e .#o)esională- aceasă co#ela"ie )iin' .ozii$ă9 'acă- 'e .il'ă- +im că 4 a#e o $ec2ime
mai ma#e !n muncă 'ec% 5- sunem !n'#e.ă"i"i să s.unem că ese .#o,a,il ca 4 să ai,ăi l ' ' 4 ) i lă i ! l ' % 5
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 166/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 167/259
F$!# 11.>8877 xd a 7d a
d a
b
> , , > , ,
, ,
++++
−=τ
Pen#u a,elul <<& a$em9
E@-@8JC@EJJ<H?<87JHFEJJ<H?<7
EJJ<H?<
8877=
++++
−=
++++
−=
xd a 7d a
d a
b
> , , > , ,
, , τ
Pa#icula#iaea coe)icienului Q b consă 'in aceea că .oae lua $alo#i cu.#inse!n#e @ +i ±< 'oa# .en#u a,ele .ă#aice 7r 6 c8- 'eci nu se #ecoman'ă calcula#ea sa
.en#u o#ice a,el #ecan/ula#&Coeficientul 1" al lui $pearman se uilizează- 'e #e/ulă- !n siua"ii 'e ce#cea#e
!n ca#e a$em 'ouă $a#ia,ile măsu#ae la ni$el o#'inal- ca#e au o am.liu'ine #elai$ la#/ă'e sco#u#i 'i)e#ie +i .u"ine cazu#i le/ae !n .#i$in"a )iecă#ei $a#ia,ile& Să .#esu.unem că
'o#im să $e#i)icăm i.oeza con)o#m că#eia .e#soanele ca#e .#acică 4o//in/ au unsenimen mai .ue#nic 'e #es.ec )a"ă 'e sine& Pen#u aceasa- <@ .e#soane ca#e .#acică
4o//in/ au )os c2esionae cu a4uo#ul a 'ouă scale- .#ima măsu#%n' /#a'ul 'e im.lica#e
!n .#acica#ea 4o//in/1ului- cealală măsu#%n' ni$elul #es.ecului )a"ă 'e sine& Daeleo,"inue- !m.#eună cu o se#ie 'e calcule ce#ue 'e 'ee#mina#ea coe)icienului S s- sun .#ezenae !n a,elul <<&&
Tabelul 11.& Practicarea +o**in*<ului şi respectul faţă de sine
azul !ivel de 9anul 9epect 9anul d d 2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 168/259
semnele minus 7!n a,el- coloana d 8- 'u.ă ca#e se calculează suma aceso# 'i)e#en"e#i'icae la .ă#a- Td &
Fo#mula 'e calcul a coe)icienului S s al lui S.ea#man ese u#măoa#ea9
F$!# 11.<8<7
F<
D
D
−Σ
−=nn
d s ρ
!n ca#e n ese numă#ul 'e .e#ec2i 'e #an/u#i& A.lic%n' aceasă )o#mulă la 'aele 'ina,elul <<&- o,"inem9
HF-@8<<@@7<@
>-DDF<8<7
F< D
D
=−⋅
−=−Σ
−= nn
d s ρ
Aces #ezula in'ică o co#ela"ie .ozii$ă .ue#nică !n#e cele 'ouă $a#ia,ile- ceea ces.#i4ină i.oeza ce#ceă#ii&
0n anumie siua"ii 'e ce#cea#e ne ine#esează să a)lăm 'acă 'ouă $a#ia,ile sunco#elae la ni$elul .o.ula"iei 'e #e)e#in"ă& 0n cazul $a#ia,ilelo# măsu#ae la ni$el
nominal- semni)ica"ia saisică a unei co#ela"ii ese 4u'ecaă- 'e o,icei- .#in ine#me'iul
esului χ & De asemenea- esul χ .oae )i a.lica +i !n cazul co#ela"iilo# 'in#e $a#ia,ilemăsu#ae la ni$el o#'inal& Tou+i- aces es e$i'en"iază 'oa# .#o,a,iliaea ca
)#ec$en"ele o,se#$ae să se 'ao#eze 'oa# !n%m.lă#ii +i- ca aa#e- nu #e.#ezină un es'i#ec al co#ela"iei& Pen#u coe)icien"ii R +i S s au )os ela,o#ae ese 'e semni)ica"ie
s.eci)ice- !n ca#e i.oeza 'e nul enun"ă că nu e3isă nici o co#ela"ie la ni$elul .o.ula"iei-'eci că $alo#ile mă#imilo# #es.eci$e sun e/ale cu @9 R 6 @- #es.eci$ S s 6 @&
Co#es.unzăo# i.oeza ale#nai$ă enun"ă că R ≠ @ sau #es.eci$ că S ≠ @ As)el
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 169/259
F$!# 11.11 D<
D
ρ ρ
−−
= n
t s
Re/ulile 'e 'ecizie sun cele cunoscue .en#u esul t B Su'en&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 170/259
11.3 MĂRIMI ALE CORELAŢIEI LA NIVEL DEINTERVAL SAU DE RAPORT
Te2nicile saisice )olosie .en#u analiza co#ela"iei 'in#e $a#ia,ile măsu#ae lani$el 'e ine#$al sau 'e #a.o# se ,azează .e ale conce.e +i mo'aliă"i 'e calcul )a"ă 'e
cele .#ezenae !n sec"iunea ane#ioa#ă- 'a# u#mă#esc să #ăs.un'ă la acelea+i !n#e,ă#i
.#i$in' e3isen"a- sensul +i ă#ia unei co#ela"ii& 0n cele ce u#mează- $om .#ezena'ia/#amele 'e !m.#ă+ie#e- ecua"ia 'e #e/#esie +i coe)icienul 'e co#ela"ie % al ui Pea#son&Diagramele de !mpră#tiereJ sun mo'aliă"i 'e .#ezena#e $izuală a co#ela"iei
'in#e 'ouă $a#ia,ile măsu#ae la ni$el 'e ine#$al sau 'e #a.o# +i sun analoa/e)unc"ional a,elelo# ,i$a#iae- !n#uc% .e#mi sesiza#ea #a.i'ă a mulo# #ăsău#i
im.o#ane ale unei co#ela"ii&Vom ilus#a cons#ui#ea unei 'ia/#ame 'e !m.#ă+ie#e cu a4uo#ul unui e3em.lu&
Să .#esu.unem că ne ine#esează 'acă e3isă o #ela"ie !n#e a,iliă"ile 'e lim,a4 +i celea#imeice .en#u un e+anion 'e J ele$i 'in !n$ă"ăm%nul .#ima#& Rezulaele o,"inue
.#in a.lica#ea eselo# co#es.unzăoa#e sun .#ezenae !n a,elul <<&J&
Tabelul 11.' 9bilităţi de limba+ şi abilităţi aritmetice
-levul Ailit$ţid
Ailit$ţii i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 171/259
)i*ura 11.1 9bilităţi de limba+ şi abilităţi aritmetice
0
10
20
&0
0
0
60
70
0
)0
100
110
120
0 10 20 &0 0 0 60 70 0 )0 1 00 110 120
A2++/'*+ % +2#J
A 2 + ) +
/ ' * + # $ + / ( % / + & %
Fieca#e ele$ ese #e.#ezena .#in#1un .unc .lasa la ine#sec"ia celo# 'ouă sco#u#io,"inue 'e acesa& Dis.une#ea .uncelo# .oae )i .usă !n e$i'en"ă .#in #asa#ea unei linii
'#e.e ca#e să ain/ă )ieca#e .unc sau să #eacă c% se .oae mai a.#oa.e .osi,il 'e)ieca#e .unc& Du.ă cum $om $e'ea- aceasă linie- numiă linie de regresie- .oae )i
'esc#isă .#ecis .#in#1o ecua"ie- 'a# 'eocam'aă ese su)icienă #asa#ea sa a.#o3imai$ă9
S l l "i i )i ' i 7! li 8 li i i ' i ) "ă '
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 172/259
Sensul co#ela"iei .oae )i 'eeca .#in .ana 7!nclina#ea8 liniei 'e #e/#esie )a"ă 'ea,scisă& 0n e3em.lul nos#u a$em o co#ela"ie .ozii$ă- 'eoa#ece ele$ii cu sco#u#i ma#i !n
.#i$in"a $a#ia,ilei " 7abilităţi de limba:8 in' să ai,ă sco#u#i ma#i !n .#i$in"a $a#ia,ilei #7abilităţi aritmetice8& Dacă !n#e cele 'ouă $a#ia,ile a# )i )os o co#ela"ie ne/ai$ă- linia
'e #e/#esie a# )i )os !nclinaă !n 'i#ec"ia o.usă- in'ic%n' că sco#u#ile !nale ale unei$a#ia,ile sun asociae cu sco#u#i mici ale celeilale $a#ia,ile&
Tă#ia co#ela"iei .oae )i a.#o3imai$ a.#eciaă o,se#$%n' !m.#ă+ie#ea .uncelo#!n 4u#ul liniei 'e #e/#esie& 0n#1o co#ela"ie .e#)ecă- oae .uncele s1a# a)la .e linia 'e
#e/#esie& P#in u#ma#e- cu c% .uncele sun mai .u"in !m.#ă+iae !n 4u#ul liniei 'e#e/#esie- cu a% co#ela"ia ese mai .ue#nică&
O su.ozi"ie esen"ială ca#e să la ,aza e2nicilo# saisice .#ezenae !n coninua#eese aceea că !n#e cele 'ouă $a#ia,ile consi'e#ae ese o corela"ie lineară- ceea ce!nseamnă că 'is.une#ea .uncelo# .oae )i a.#o3imaă .#in#1o linie '#ea.ă& Aceasă
su.ozi"ie .oae )i esaă .#in cons#ui#ea unei 'ia/#ame 'e !m.#ă+ie#e !nainea a.lică#iiunei e2nici saisice& Dacă #es.eci$a co#ela"ie nu ese linia#ă- aunci su.ozi"iile
ni$elului 'e măsu#ă 'e ine#$al sau 'e #a.o# nu sun sais)ăcue- ceea ce !nseamnă că$a#ia,ilele #e,uie să )ie #aae ca +i cum a# )i 'e ni$el o#'inal&
Se 'emons#ează că linia ca#e .#ezină cel mai ,ine co#ela"ia 'in#e 'ouă$a#ia,ile ese 'esc#isă 'e u#măoa#ea )o#mulă- numiă ecua"ia de regresie bivariată9
F$!# 11.12 b" a# +=
!n ca#e # 6 sco# al $a#ia,ilei 'e.en'enea 6 .uncul !n ca#e linia 'e #e/#esie ine#secează a3a #
b li i i ' i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 173/259
Tabelul 11.1( 0alcule pentru coeficientul de re*resie =b>
, - , 2 - 2 ,- & 6 02 7& 70 1 00 26607 & 220 116 16 66 &1&6 &6 &662& 2 202 10&0 100 100 10000 000
7 62 &&6 &07 71 76 01 6177 6 721 62 602
+, 3 +- 3 607 +, 2 3 &22 +- 2 3 1 +,- 3 2&
As)el- !n e3em.lul nos#u- a$em9
>F-@>HH8E?EDDJ7
8F@C>HH78EDE>?J787
DDD =−⋅ ⋅−⋅=Σ−Σ ΣΣ−Σ= " " n# " "# nb
Aceasă $aloa#e a .a#ame#ului b a#aă că .en#u )ieca#e uniae 'e sc2im,a#e a lui " -e3isă o c#e+e#e 'e @-> uniă"i !n .#i$in"a lui # & Cu ale cu$ine- o c#e+e#e cu o uniaea sco#ului !n .#i$in"a a,iliă"ilo# 'e lim,a4 a#e '#e. #ezula o c#e+e#e cu @-> a sco#ului
!n .#i$in"a a,iliă"ilo# a#imeice
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 174/259
Dacă $a#ia,ilele sun co#elae la ni$elul e+anionului +i $aloa#ea lui t 7o,"inu8
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 175/259
Dacă $a#ia,ilele sun co#elae la ni$elul e+anionului +i $aloa#ea lui t 7o,"inu8ca'e !n zona c#iică- aunci $om #es.in/e i.oeza 'e nul +i $om conc2i'e că $a#ia,ilele
#es.eci$e sun co#elae +i la ni$elul .o.ula"iei 7cu .#o,a,iliaea 'aă 'e ni$elul E ales8'acă- !nsă- $aloa#ea lui t 7o,"inu8 nu ca'e !n zona c#iică- aunci nu sunem !n'#e.ă"i"i
să conc2i'em că $a#ia,ilele sun co#elae la ni$elul .o.ula"iei& 0n#1un as)el 'e caz-esul a#aă că $aloa#ea coe)icienului r la ni$elul e+anionului .oae să a.a#ă numai
'ao#iă !n%m.lă#ii- 'acă i.oeza 'e nul ese a'e$ă#aă- i&e& 'acă $a#ia,ilele #es.eci$enu sun co#elae la ni$elul .o.ula"iei&
Ese im.o#an 'e #e"inu că semni)ica"ia $alo#ii coe)icienului r .oae )iesaă cu a4uo#ul )o#mulei <<& numai 'acă- .e l%n/ă su.oz"ia 'e linea#iae a co#ela"iei-
ese sais)ăcuă a% su.ozi"ia că am,ele $a#ia,ile au o 'is#i,u"ie no#mală 7distribu"iebivariată normală8- c% +i su.ozi"ia că a,ae#ile san'a#' ale 'is#i,u"iilo# con'i"ionaeale $a#ia,ilei # sun a.#o3imai$ e/ale& Pen#u aceasă ulimă su.ozi"ie se )olose+e
conce.ul 'e homoscedasticitate& 0n mo' o,i+nui- ins.eca#ea $izuală a unei 'ia/#ame'e !m.#ă+ie#e ese su)icienă .en#u a a.#ecia 'acă o co#ela"ie se con)o#mează
su.ozi"iilo# 'e linea#iae +i 2omosce'asiciae& Du.ă cum am a#ăa- 'acă 'is.une#ea .uncelo# .oae )i a.#o3imaă .#in#1o linie '#ea.ă- aunci co#ela"ia .oae )i a.#eciaă ca)iin' linea#ă& Pe 'e ală .a#e- 'acă sco#u#ile # sun #elai$ uni)o#m !m.#ă+iae 'easu.#a
+i 'e'esu,ul liniei 'e #e/#esie- aunci co#ela"ia ese 2omosce'asică& De .il'ă- 'u.ăcum se .oae consaa ime'ia- co#ela"ia .#ezenaă !n )i/u#a <<&< ese 2omosce'asică9
'in cele J cazu#i- cinci se a)lă 'easu.#a liniei 'e #e/#esie- ia# .a#u 'e'esu,&
11.9 ELEMENTE DE ANALIZĂ MULTIVARIATĂ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 176/259
F$!# 11.1>8<87<7
DD
xz x7
xz x7 7z
7zx
r r
r r r r
−−
−=
Pen#u ilus#a#e- să consi'e#ăm 'aele 'in a,elul <<&<<- !n ca#e se .#ezină'is#i,u"ia a #ei $a#ia,ile- " - # +i $ - !m.#eună cu $alo#ile .a#"ialilo# 'e o#'inul ze#o& Să
.#esu.unem că ne ine#esează in)luen"a $a#ia,ilei " asu.#a co#ela"iei 'in#e # +i $ &
Tabelul 11.11 O ilustrare a corelaţiei parţiale
, - Z 2 12 7 1 10 1 1 1 7
r ./ 3 0,0 r 0. 3 0,7 r 0/ 3 0,70
Valoa#ea r 7z 6 @->@ in'ică o co#ela"ie .ozii$ă mo'e#aă !n#e $a#ia,ilele # +i $ & A.lic%n')o#mula <<&<- o,"inem9
@JH-@88C@-@7<878CH-@7<7
8C@-@CH-@7>-@
8<87<7 DDDD
−=−−
⋅−=
−−
−=
xzx7
xz x7 7z
7zx
r r
r r r r
$a#ia,ilei " asu.#a $a#ia,ilelo# # +i $ co#ela"ia 'in#e $a#ia,ilele # +i $ #ăm%ne
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 177/259
$a#ia,ilei " asu.#a $a#ia,ilelo# # +i $ - co#ela"ia 'in#e $a#ia,ilele # +i $ #ăm%nenesc2im,aă- sau- al)el s.us că " nu in)luen"ează semni)icai$ co#ela"ia 'in#e # +i $ -
#ela"ia 'in#e $a#ia,ilele # +i $ )iin' 'i#ecă&Al #eilea i. 'e #ezula .osi,il ese acela !n ca#e $aloa#ea lui r 7zx ese mul mai
ma#e 'ec% $aloa#ea lui r 7z& Aces #ezula- .e ca#e !l $om noa .#in r 7zx >> r 7z- a#aă că$a#ia,ila luaă ini"ial '#e. in'e.en'enă +i $a#ia,ila 'e con#ol 7 " 8 au )ieca#e !n .a#e o
in)luen"ă se.a#aă asu.#a $a#ia,ilei 'e.en'ene +i nu sun co#elae una cu ala&U#măoa#ea 'ia/#amă .#ezină aces i. 'e #ela"ie .en#u cazul !n ca#e $ ese $a#ia,ila
'e.en'enă9
Dacă se o,"ine aces #ezula- concluzia ese că a% # - c% +i " sun $a#ia,ilein'e.en'ene- ia# u#măoa#ea ea.ă !n analiza saisică ese- .#o,a,il- uiliza#ea #e/#esieimuli.le +i a co#ela"iei muli.le& Meo'a #e/#esiei muli.le .e#mie izola#ea in)luen"elo#
se.a#ae ale mai mulo# $a#ia,ile in'e.en'ene asu.#a $a#ia,ilei 'e.en'ene +i as)el .e#mie i'eni)ica#ea $a#ia,ilei in'e.en'ene ca#e a#e cea mai .ue#nică in)luen"ă asu.#a
$a#ia,ilei 'e.en'ene- ia# meo'a co#ela"iei muli.le .e#mie e$i'en"ie#ea in)luen"elo#com,inae ale uu#o# $a#ia,ilelo# in'e.en'ene asu.#a $a#ia,ilei 'e.en'ene&
$
s 6 a,ae#ea san'a#' a $a#ia,ilei in'e.en'ene "
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 178/259
s 6 a,ae#ea san'a#' a $a#ia,ilei in'e.en'ene " r < 7 6 coe)icienul 'e co#ela"ie 'in#e " < +i # r 7 6 coe)icienul 'e co#ela"ie 'in#e " +i # r < 6 coe)icienul 'e co#ela"ie 'in#e " < +i "
Pen#u a ilus#a calcula#ea .a#ame#ilo# b< +i b- să consi'e#ăm 'aele 'in a,elul<<&<- !n ca#e- .en#u un e+anion 'e <> su,iec"i- se .#ezină sco#u#ile o,"inue !naineaunui es 7 " <8- numă#ul me'iu 'e #ăs.unsu#i co#ece 'ae la +ase !nce#că#i .#elimina#e
7 " 8 +i sco#u#ile .os1es 7# 8&
Tabelul 11.12 O ilustrare pentru două variabile independente
, 1 , 2 - 1 7,70 &622 ,20 &16 7,0 &1 ,&0 &
22 ,20 020 ,0 22 12,10 1 ,00 &1 ,10 &621 11,20 26 ,0 &
DJ>Σ" F<??Σ" >JHΣ#
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 179/259
C?-<J<>
DJ><
< ==Σ
=n
" " J@-H
<>
F-<??D
D ==Σ
=n
" " HF-?J
<>
>JH==
Σ=n
# #
?H-<J8J@-H<H-D78C?-<J@>D-@7HF-?JDD<< =⋅−⋅−=−−= " b " b# a
0n )ine- ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă .en#u e3em.lul nos#u ese9
8<H-D78@>D-@7?H-<JD<DD<<
" " " b " ba# ⋅+⋅+=++=
Acum- să .#esu.unem că ne ine#esează să .#ezicem sco#ul .os1es al unuisu,iec cu sco#ul .#e1es 'e > +i me'ia #ăs.unsu#ilo# co#ece la !nce#că#ile .#elimina#e'e<<-<& Folosin' ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă 'in e3em.lul nos#u .en#u " < 6 > +i "
6 <<-< o,"inem9
E>8<F-<<<H-D78D>@>D-@7?H-<Jb =⋅+⋅+=#
P#in u#ma#e- .#ezicem că un su,iec cu sco#u#ile " < 6 > +i " 6 <<-< $a o,"ine un sco#
.os1es 'e >&0n cele ce u#mează .#ezenăm o mo'aliae sim.li)icaă 'e uiliza#e a meo'ei#e/#esiei muli.le .en#u e$alua#ea in)luen"elo# se.a#ae ale $a#ia,ilelo# 'e.en'ene
asu.#a $a#ia,ilei 'e.en'ene& Pen#u o as)el 'e e$alua#e se consi'e#ă sco#u#ilesan'a#'izae ale $a#ia,ilelo# +i se uilizează coeficien"ii de regresie standardi*a"i-
sim,oliza"i !n /ene#al .#in G & Acese mă#imi- numie +i (.ane .a#"iale san'a#'izae*-a#aă caniaea 'e sc2im,a#e a a,ae#ii san'a#' a $a#ia,ilei # co#es.unzăoa#e unei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 180/259
Aces #ezula in'ică o co#ela"ie .ue#nică !n#e in)luen"ele com,inae ale $a#ia,ilelo# "<
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 181/259
Aces #ezula in'ică o co#ela"ie .ue#nică !n#e in)luen"ele com,inae ale $a#ia,ilelo# " <+i " +i $a#ia,ila # &
Coe)icienul 'e 'ee#mina#e muli.lă ' se ine#.#eează !n acela+i )el ca +icoe)icienul 'e 'ee#mina#e ,i$a#iaă r & 0n e3em.lul nos#u- ' 6 @->J- ceea ce a#aă căin)luen"a com,inaă a celo# 'ouă $a#ia,ile in'e.en'ene e3.lică a.#o3imai$ >J'in$a#ia"ia oală a sco#u#ilo# .os1es- #esul 'e < 'in aceasă $a#ia"ie 'ao#%n'u1se
.#o,a,il in)luen"ei alo# $a#ia,ile- e#o#ilo# 'e măsu#a#e sau !n%m.lă#ii&
GLOSAR
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 182/259
GLOSAR
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1 INTRODUCERE
,., U#măo#ii iemi sun seleca"i 'in#1o anc2eă 'e o.inie .u,lică& In'ica"i ni$elul 'e
măsu#ă .en#u )ieca#e iem&a& Ocu.a"ia '$s&
,& C#e'e"i că- )a"ă 'e o#ice al co.il- +ansele co.ilului '$s& 'e a c#e+e !n aceasălume sun e/ale- mai mici sau mai ma#iE/ale Mai mici Mai ma#i Nu +iu
c& Ulima )o#mă 'e !n$ă"ăm%n a,sol$iă9
0n$ă"ăm%n o,li/ao#iu 5coală .#o)esională Liceu 5coală .osliceală 0n$ă"ăm%n su.e#io# Cu#su#i .osuni$e#sia#e
' Dacă $i s a# ce#e să )olosi"i una 'in#e u#măoa#ele 'enumi#i .en#u cae/o#ia
se#$iciu- & Func"iona#i- >& Pa#oni 'e in'us#ie +i come#"- & Ca'#e me'ii- & Ca'#e
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 183/259
se#$iciu- & Func"iona#i- >& Pa#oni 'e in'us#ie +i come#"- & Ca'#e me'ii- & Ca'#esu.e#ioa#e& La ce ni$el a )os măsu#aă $a#ia,ila Va#ia,ila a )os măsu#aă co#ecDacă nu- in'ica"i e#o#ile comise&
2 PREZENTAREA DATELOR STATISTICE
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 184/259
2 O S S C
-., Ta,elul u#măo# .#ezină numă#ul 'e su'en"i !nsc#i+i .e 'omenii 'e su'iu laUni$e#siaea W9
Do.eniul E$ieţi Fetetiinţe Luridice 117 &tiinţe ociale 7 1&2tiinţe u.anite 72 20tiinţe
econo.ice
16 1&
@edicin$ & &tiinţeininere"ti
&0 1
a& Ca#e ese .#ocenul 'e ,ăie"i !nsc#i+i la 5iin"e sociale ,& Ca#e ese .#o.o#"ia 'e ,ăie"i !nsc#i+i la Me'icină
c& Ca#e ese .#o.o#"ia 'e )ee !nsc#ise la 5iin"e economice'& Ca#e ese .#ocenul 'e su'en"i !nsc#i+i la +iin"e socialee& 0n cazul 5iin"elo# 4u#i'ice- ca#e ese #a.o#ul 'in#e numă#ul 'e ,ăie"i +i numă#ul
'e )ee)& Ca#e ese .#ocenul 'e ,ăie"i !nsc#i+i la Uni$e#siaea W/& Ca#e ese #a.o#ul 'in#e numă#ul 'e su'en"i !nsc#i+i la 5iin"e 4u#i'ice )a"ă 'e
numă#ul 'e su'en"i !nsc#i+i la 5iin"e economice
a& Cons#ui"i o 'is#i,u"ie 'e )#ec$en"e .en#u a .#ezena acese 'ae&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 185/259
" " " . . ,& Ca#e sun limiele #eale ale ine#$alelo# 'e clasăc& A'ău/a"i coloane .en#u .#ocene- )#ec$en"e cumulae +i .#ocene cumulae&'& Cons#ui"i o 2iso/#amă +i un .oli/on 'e )#ec$en"e .en#u acese 'ae&e& Re'aca"i un scu# comena#iu asu.#a acesei 'is#i,u"ii 'e sco#u#i&
-. 0n#1un su'iu /#a)olo/ic- a )os )ăcuă o analiză a lun/imii cu$inelo# )olosie 'e o .e#soană& Daele o,"inue sun u#măoa#ele9
uni.eacuvintelor
1
1−2 22&− 0−6 107− 102−10 &11−12 11
1& "i .ai luni
Cons#ui"i o 2iso/#amă- un .oli/on 'e )#ec$en"e +i o o/i$ă .en#u acese 'ae&
3 MĂRIMILE TENDINŢEI CENTRALE ŞI ALE DISPERSIEI
1−1 16
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 186/259
1−22 10
2&−26 27−&0 &&1−& 1
Calcula"i me'ia a#imeică- me'iana +i a,ae#ea san'a#' .en#u acese 'ae&
. Calcula"i me'ia a#imeică .on'e#aă a u#măoa#elo# 'ouă /#u.e 'e 'ae9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 187/259
" . / .
G<9 J- - - - <- <- ?- ?- - >- <- >- - - ?- >- - ?- - G9 - >- <- - - - - - - >- >- - - -- - <-
.9 < su,iec"i au .a#ici.a la un es 'e ineli/en"ă non1$e#,ală B .#o,a 'e #asa4T2u#sone& U#măo#ul a,el .#ezină numă#ul 'e /#e+eli !n#e/is#ae 'e )ieca#esu,iec la .#o,a 'e #asa4 li,e#9
*uiectul !u.$r de
re"eli1 72 & 10 6 6 7 7 7 10 611 12
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 188/259
'e.a A 'e.a E 'e.a 'e.a D 'e.a -Do.eniul 1 12 10 1Do.eniul 2 1& 7 7 12 11
Sa,ili"i 'omeniul !n ca'#ul că#uia s1au !n%lni cele mai ma#i 'i)iculă"i !n
ale/e#ea emei 'e ce#cea#e&
4 DISTRIBUŢIA NORMALĂ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 189/259
Ţ
9.,∗Un su'en a a$u 'e sus"inu e3amene la ? 'isci.line& La .#imul e3amen
7Filoso)ia min"ii8 a o,"inu noa J- me'ia /#u.ei )iin' - ia# a,ae#ea san'a#' .en#u
/#u.ă )iin' <->& La al 'oilea e3amen 7In#o'uce#e !n .si2olo/ie8 a o,"inu noa ->-
me'ia /#u.ei )iin' ->@- ia# a,ae#ea san'a#' .en#u /#u.ă )iin' @->& La al #eilea
e3amen 7Saisică .si2olo/ică8 a o,"inu noa ->@- me'ia /#u.ei )iin' - ia# a,ae#ea
san'a#' .en#u /#u.ă )iin' <& La ca#e 'in cele ? 'isci.line su'enul a o,"inu o
.e#)o#man"ă mai ,ună
9.- T#ei .e#soane cu a.#o3imai$ aceea+i .#e/ăi#e .#o)esională s1au .#ezena .en#u
i i 'i) i l )i ă S l i2 l l i ' ' i
E 6 &6 2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 190/259
7 7 2
Sa,ili"i o#'inea a.iu'inilo# .#e'ominane .en#u )ieca#e 'in cei #ei can'i'a"i&
Pen#u ca#e 'in#e cele #ei .osu#i consi'e#a"i că a# )i ,un )ieca#e 'in#e can'i'a"i
9.∗0n u#ma unui es 'e #eac"ie la simuli- <@@ 'e su,iec"i au o,"inu me'ie a#imeică
'e <@@ ms- cu o a,ae#e san'a#' 'e @ ms& Să se calculeze9
a& P#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i mai ma#i 'e <@ ms& ,& P#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i mai mici 'e <@ ms&c& P#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i cu.#inse !n#e @ ms +i J@ ms&'& P#ocenul 'e cazu#i cu sco#u#i cu.#inse !n#e <@ ms +i <@ ms&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 191/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 192/259
.- Un .si2olo/ 'o#e+e să 'ee#mine sco#ul me'iu la un es san'a#'iza& Psi2olo/ul
a'minis#ează esul .e un e+anion 'e >@ 'e su,iec"i +i /ăse+e că sco#ul me'iu al
acesui e+anion ese 'e <?-- cu o a,ae#e san'a#' 'e @& La un ni$el 'e !nc#e'e#e
'e JJ- ca#e ese ine#$alul 'e !nc#e'e#e esima .en#u me'ia a#imeică a .o.ula"iei
'e #e)e#in"ă
.∗Din#1un e+anion 'e <>@ 'e .e#soane- > au 'ecla#a că me#sul .e 4os ese
a.#oa.e sin/u#a aci$iae )izică e)ecuaă& La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- ca#e eseine#$alul 'e !nc#e'e#e esima .en#u $aloa#ea co#es.unzăoa#e .o.ula"iei 'e
#e)e#in"ă
F., Pen#u )ieca#e 'in#e u#măoa#ele i.oeze- s.eci)ica"i !n ca#e e3#emiae a 'is#i,u"iei
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 193/259
'e e+aniona#e se a)lă zona c#iică9
a& Me'ia coe)icienului 'e ineli/en"ă a uu#o# su'en"ilo# 'in )aculă"ile umaniseese mai ma#e 'e <<@&
,& Veniul me'iu luna# al #ezi'en"ilo# 'in o#a+ul " ese mai ma#e 'e >@@@@@@ 'e lei&c& G#euaea me'ie a ,ă#,a"ilo# născu"i !n <J> ese mai mică 'e J@ Q/&'& Punca4ul o,"inu la e3amenele 'e a'mie#e !n a#oul 'e A$oca"i 'in ulimii >
ani ese mai mic 'e @&
F.- Un .si2olo/ .#esu.une că #ezol$a#ea sa#cinilo# ce#ue 'e un anumi es 'ec#eai$iae se .oae )ace 'oa# !n mai mul 'e o o#ă& Pen#u a $e#i)ica aceasă i.oeză-
.si2olo/ul alcăuie+e un e+anion aleao#iu 'e @ 'e su,iec"i- le a'minis#ează esul#es.eci$ +i consaă că me'ia im.ului 'e #ezol$a#e a esului ese 'e >@ 'e minue&0+i $a mo'i)ica .si2olo/ul i.oeza la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ- 'acă a,ae#ea
san'a#' a .o.ula"iei 'e #e)e#in"ă .oae )i esimaă a )i 'e <> minue
F.∗Un #es.onsa,il 'in Minise#ul 0n$ă"ăm%nului lansează un su'iu .ilo .en#u a
sa,ili 'acă mic+o#a#ea /#u.elo# 'e su'en"i la <> .e#soane a#e '#e. e)ec c#e+e#ea
F. Un ce#ceăo# .#esu.une că su'en"ii 'e la )aculă"ile umanise .o 'a !n me'ie
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 194/259
mai mul 'e <@ #ăs.unsu#i co#ece la @ 'e !n#e,ă#i .#i$in' iso#ia uni$e#sală&
Sco#u#ile .en#u un e+anion 'e < su'en"i ca#e au #ăs.uns la un as)el 'e c2esiona#
sun u#măoa#ele9
12
1
10
11
17
7
11
1&
1
12
1&
11
Tesa"i i.oeza ce#ceăo#ului la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ&
1,1 4 1,
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 195/259
D 1,& N 1,
- 1,6 1,F 0, 1,&
Tesa"i i.oeza ce#ceăo#ului la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ&
F.F∗Un 'e.ua 'eci'e să $oeze !m.o#i$a unei le/i numai 'acă mai mul 'e @
'in#e ale/ăo#ii 'in ci#cumsc#i."ia sa eleco#ală nu sun 'e aco#' cu le/ea #es.eci$ă&
0n#1o ce#cea#e asu.#a @@ 'e ale/ăo#i seleca"i aleao#iu 'in ci#cumsc#i."ia sa
eleco#ală- <@ s1au 'ecla#a !m.o#i$a le/ii #es.eci$e& Ce #e,uie să )acă 'e.uaul
7E 6 @-@>8&
rupul 1$ $
rupul 2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 196/259
(f$r$copii)
(cel puţin uncopil)
?-<<< = " H-<@D = "
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 197/259
s1 3 0,6 s2 3 0,n1
3 7 n2
3 &
E3isă o 'i)e#en"ă semni)icai$ă !n#e cele 'ouă /#u.u#i !n .#i$in"a sais)ac"iei )a"ă 'e
$ia"a 'e )amilie 7E 6 @-@>8&
.-∗Un numă# 'e <@ .ilo"i ai unei +coli 'e a$ia"ie 'in ucu#e+i se #ela3au !naine 'e
z,o# .#in#1o meo'ă s.ecială- #i/u#os con#olaă +iin"i)ic- o,"in%n' la .#o,ele 'e
z,o# o me'ie a noelo# 'e J-< cu o a,ae#e san'a#' 'e <-<>& Sa,ili"i 'acă aceasă
meo'ă ese su.e#ioa#ă celei 'e #ela3a#e in'i$i'uală necon#olaă- .#acicaă 'e <J@
'e ele$i ai unei +coli 'e a$ia"ie 'in acău- ca#e au o,"inu o me'ie a noelo# la
.#o,ele 'e z,o# 'e J-@> cu a,ae#ea san'a#' 'e <->&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 198/259
.9 Un .si2olo/ in'us#ial ese ine#esa 'e 'i)e#en"a 'in#e muncio#ii cu
.#o'uci$iae !nală +i cei cu .#o'uci$iae scăzuă !n #a.o# cu o se#ie 'e )aco#i
.si2olo/ici& Psi2olo/ul selecează e+anioane aleao#ii 'in cele 'ouă cae/o#ii 'e
muncio#i +i le a'minis#ează o ,ae#ie san'a#'izaă 'e ese- #ezulaele )iin'
u#măoa#ele9
P#o'uci$iae !nală9 - - - <- <- <- <- <@- <<- <?
P#o'uci$iae scăzuă9 ?- <<- <- <- - <- <>- <J
Ese semni)icai$ă 'i)e#en"a 'in#e cele 'ouă cae/o#ii 'e muncio#i 7E 6 @-@<8&
10
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 199/259
7 7
12 106 12
6
10 1
11 11
6 1&
E3isă o 'i)e#en"ă semni)icai$ă !n#e cele 'ouă meo'e 7E 6 @-@<8&
.∗0n#1o ce#cea#e .#i$in' e)ecele ani1an3ioliice a 'ouă me'icamene- W +i =- s1a
consaa că > 'in <@@ 'e .e#soane #aae cu me'icamenul W au .#ezena
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 200/259
A ,0EROARE & 66
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 201/259
EROARE &,66TOTAL
Com.lea"i aces a,el +i ine#.#ea"i #ezulaul- )olosin' un ni$el E 6 @-@<&
H.9 Un .si2olo/ monează un e3.e#imen .#i$in' soca#ea !n memo#ia 'e luc#u- 'u.ă
cum u#mează& ?@ 'e su,iec"i sun clasi)ica"i aleao#iu !n #ei /#u.u#i 'e c%e <@su,iec"i )ieca#e& Su,iec"ilo# 'in )ieca#e /#u. li se .#ezină aceea+i lisă 'e (cu$ine*)ă#ă sens .en#u a )i #e"inue- 'u.ă ca#e li se 'is#a/e aen"ia .#in#1o meo'ă 'i)e#iă)a"ă 'e meo'a )olosiă !n cazul celo#lale 'ouă /#u.u#i& Du.ă un anumi ine#$al 'eim.- uu#o# su,iec"ilo# li se ce#e să1+i aminească (cu$inele* #e"inue- #ăs.unsu#ileco#ece )iin' !n#e/is#ae su, )o#mă 'e .#ocene& Daele o,"inue sun u#măoa#ele9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 202/259
rupul1 2 &61&17&7
0&7002&
772160
667
7
7
6
&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 203/259
106
766
&7
&62
Sa,ili"i 'acă e3isă 'i)e#en"e semni)icai$e !n .#i$in"a im.ului 'e #eac"ie !n
)unc"ie 'e .e#ioa'a 'e .#i$a#e 'e somn la un ni$el E 6 @-@>&
H. Un ce#ceăo# su'iază .e#)o#man"ele a +ase su,iec"i !n cinci !nce#că#i .#i$in' o
anumiă sa#cină 'e !n$ă"a#e& Daele o,"inue sun u#măoa#ele9
*uiecţi Gncercarea
1 2 & A 7 6 11 12
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 204/259
H.F T#ei /#u.e 'e su'en"i s1au .#e/ăi .en#u sus"ine#ea unui e3amen- !n$ă"%n' !n#ei mo'u#i 'i)e#ie &As)el- .#ima /#u.ă a !n$ă"a !n lini+e 'e.lină- a 'oua /#u.ă a
!n$ă"a cu muzica 'aă !n su#'ină- ia# cea 'e1a #eia a !n$ă"a cu un ni$el 'e
sono#iza#e #i'ica& La e3amen s1au !n#e/is#a u#măoa#ele #ezulae9
G#u.a <9 J- - --
G#u.a 9 J--
G#u.a ?9 J---
La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- sa,ili"i 'acă #ezulaele celo# #ei /#u.e 'i)e#ă
F 7 1 20
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 205/259
6 1
M 11 14 12 1&
N 6 10 16
La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- $e#i)ica"i 'acă #ezulaele o,"inue su, cele #ei
con'i"ii e3.e#imenale 'i)e#ă semni)icai$&
10 TESTE NONPARAMETRICE
∗ i ' i,il l i )l l l i i l
,5.- Fe#ici#ea !n $ia"ă 'e.in'e 'e sausul ma#ial Pen#u a se #ăs.un'e la aceasă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 206/259
!n#e,a#e- au )os colecae u#măoa#ele 'ae9
!ivel defericire
*tatut .arital@ărbat
căsătorit)emeie
căsătorit
ă
@ărbatnec$$torit
)emeienec$$torit$
TOT9?
Foartefericit 1 10 & 0Fericit 1 12 21 1 6&!efericit 1 16 12 1Foartenefericit 7 & 6 20'O'A & 0 &6 17
Cum a"i #ăs.un'e la aceasă !n#e,a#e la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 207/259
,5.9∗
Un ce#ceăo# .#ein'e că > 'in .o.ula"ia a'ulă a Rom%niei #es.in/e
ine#zice#ea .#in le/e a a$o#u#ilo#- .#ecum +i că .#ocenul 'e > ese acela+i-
in'i)e#en 'e se3 sau saus ma#ial& Ce#ceăo#ul alcăuie+e .a#u e+anioane
aleao#ii 'u.ă cum u#mează9
<& <@@ ,ă#,a"i căsăo#i"i& <>@ )emei căsăo#ie?& @ ,ă#,a"i necăsăo#i"i& >@ )emei necăsăo#ie
0m.o#i$a ine#zice#ii .#in le/e a a$o#u#ilo# s1au .#onun"a > 'e su,iec"i 'in
.#imul e+anion- <@ 'in cel 'e1al 'oilea e+anion- >J 'in cel 'e1al #eilea e+anion
+i ? 'in cel 'e al .a#ulea e+anion La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J> sa,ili"i 'acă
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 208/259
,5.∗
0n .e#ioa'a unei cam.anii eleco#ale .en#u ale/e#i /ene#ale- su,iec"ii 'in#1u
e+anion aleao#iu 'e >@ 'e .e#soane au )os solicia"i să #ăs.un'ă .#in Da sau ,u
la !n#e,a#ea (Inen"iona"i să $oa"i .en#u can'i'aul W*& 0n#e,a#ea a )os .usă
!naine +i 'u.ă ce .e#soanele 'in e+anion au $iziona o se#ie 'e emisiuni TV !n
ca#e W +i1a .#ezena .#o/#amul& Rezulaele o,"inue sun u#măoa#ele9
Gnainte de vizionare
6
A
17
B
11
C
16
D
Da !u
!u
Da
Dup$vizionare
E+anionul <9 <>- <- - - - - ?- - - <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 209/259
E+anionul 9 ?- <- <@- - - - >- - ?-
La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- )olosi"i esul Mann12ine L .en#u a sa,ili
'acă e3isă o 'i)e#en"ă semni)icai$ă !n .#i$in"a a/#esi$iă"ii !n#e co.ii sin/u#i la
.ă#in"i +i co.ii ca#e au cel .u"in un )#ae sau o so#ă 7Mann−2ine L 8&
,5.F∗ Un .si2olo/ 'o#e+e să +ie 'acă e3isă o 'i)e#en"ă semni)icai$ă !n#e co.ii 'e se3
masculin +i cei 'e se3 )eminin !n .#i$in"a ni$elului 'e #eac"ie la simuli 'e
comunica#e non1$e#,ală& Psi2olo/ul .#esu.une că )eele $o# sesiza mai mul"i
simuli +i as)el $o# o,"ine sco#u#i mai mici- lu%n' !n consi'e#a#e a% acu#ae"ea-
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 210/259
,5.∗
Un ce#ceăo# 'o#e+e să a)le 'acă e3isă o 'i)e#en"ă .e se3e .#i$in' sanc"iona#ea
acelo# consi'e#ae a )i necinsie& Pen#u aceasa- alcăuie+e un e+anion aleao#iu
'e < ,ă#,a"i 7<8 +i un e+anion aleao#iu 'e < )emei 78 +i .#ezină su,iec"ilo# 'in
cele 'ouă e+anioane c%e$a scu#e 'esc#ie#i ale uno# ace ca#e .o )i consi'e#ae
necinsie 7'e .il'ă- a nu s.une $%nzăo#ului sau casie#ului că suma 'e ,ani .#imiă
ca #es ese mai ma#e 'ec% cea cu$eniă8& Fieca#e ac ese a.#ecia cu a4uo#ul unei
scale- 'e la >@ 7 foarte necinstit 8 la @ 7deloc necinstit 89
E+anionul <9 - - @- ?>- ?- ?<- ?@- J- >- - @- <
E+anionul 9 - >- ?- - ?J- ?- ??- - ?- <- <>- <
trata.ent trata.ent
1 1 20
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 211/259
1 1 20
2 & 10 10
11 16
1& 17
6 1 1
7 10 1& 12 1
1
10 1 12
11 10
12 7
La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ- e3isă o in)luen"ă semni)icai$ă a #aamenului
.si2analiic asu.#a ni$elului 'e !nc#e'e#e !n sine al .acienelo#
& 0
& & & &2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 212/259
& & & &2
0 6 && 1
&
&6
La un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>- sa,ili"i 'acă e3isă 'i)e#en"e semni)icai$e !n
.#i$in"a ni$elului 'e acomo'a#e emo"ională !n )unc"ie 'e anece'enele
.#e+cola#e&
11 MĂRIMI ALE CORELAŢIEI
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 213/259
,,. Un e+anion aleao#iu 'e su'en"i au )os clasi)ica"i ca (#a'i"ionali* 7<−? 'e ani+i necăsăo#i"i8 sau (ne#a'i"ionali* 7cel .u"in 'e ani sau căsăo#i"i8 +i- .e 'e ală
.a#e- ca ($oca"ionali* 7moi$a"ia .#inci.ală .en#u su'ii su.e#ioa#e ese
.#acica#ea .#o)esiei #es.eci$e8 sau (aca'emici* 7moi$a"ia .#inci.ală .en#u
su'ii su.e#ioa#e ese ca#ie#a uni$e#sia#ă sau 'e ce#cea#e +iin"i)ică8& Calcula"i
coe)icienul P .en#u 'aele o,"inue9
@otivaţia 'ipul TOT9?Tradiţional
Netradiţional
8ocaţional$ 2 60 Acade.ic$ 7 1 0'O'A 100 7 17
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 214/259
7a8 Sun co#elae cele 'ouă $a#ia,ile Dacă 'a- ca#e ese ă#ia +i sensul co#ela"iei7,8 Coe)icienul 'e co#ela"ie calcula .en#u aces e+anion ese saisicsemni)icai$ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>&
,,. Ta,elul u#măo# .#ezină sco#u#ile o,"inue !n .#i$in"a $a#ia,ilelo# stare materială
+i consum de băuturi alcoolice .en#u un e+anion 'e ?@@ 'e su,iec"i9
onu.de$uturi
alcoolice
*tarea .aterial$TOT9?
Proastă
#estul
deproastă
Detuldeun$
Eun$
Frecvent 10 10 1 & 70O i 20 20 20 2
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 215/259
E3isă o co#ela"ie !n#e cele 'ouă $a#ia,ile Dacă 'a- ca#e ese ă#ia +i sensul
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 216/259
co#ela"iei
,,. U#măo#ul a,el .#ezină coe)icien"ii 'e ineli/en"ă .en#u un e+anion 'e <> ele$i +i
a.#ecie#ea su,ieci$ă a unui .#o)eso# 'es.#e ineli/en"a ele$ilo# 'in e+anion9
-levul
Aprecierea
uiectiv$
oeficientul
de
intelienţ$A 1
E 1& 2
1 7
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 217/259
,,.H Tesa"i .en#u semni)ica"ie $aloa#ea coe)icienului R 6 @-> o,"inuă .en#u 'aele
'in a,elul <<&&
,,.,5 Tesa"i .en#u semni)ica"ie $aloa#ea coe)icienului S s 6 @- o,"inuă .en#u 'aele
'in a,elul <<&&
,,.,, U#măoa#ele $alo#i au )os o,se#$ae .en#u cinci su,iec"i !n .#i$in"a $a#ia,ilelo#
" +i # 9
*uiectul 8ariaila 8ariaila
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 218/259
,,.,- Ta,elul u#măo# .#ezină sco#u#ile la 'ouă ese ca#e măsoa#ă ca.aciaea 'e
comunica#e $e#,ală9
*uiectul 'etul 1 'etul 2
A
E 2 1
1
D
- 6
F 0 1 &7
M & 76
4 &2 7
N &0 7
E 6
1 1
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 219/259
1 1
D & - &7 12
F 1
& 1
M 0 11
4 1 &N 10 &
1 22
21 17
@ 1 12
! 7
O & 1&
,,.,9∗Pen#u un e+anion 'e < )amilii au )os colecae u#măoa#ele 'ae .#i$in'
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 220/259
numă#ul 'e co.ii- numă#ul 'e o#e .e ca#e so"ul le a)ecează #e,u#ilo#
/os.o'ă#e+i +i ni$elul 'e e'uca"ie al acesuia 7măsu#a !n ani 'e +coală8& Daele
o,"inue sun u#măoa#ele9
Fa.ilia !rB de copii !ivel de educaţie !rB
ore#$pt$.5n$
A 1 12 1
E 1 1 2
1 16 &
D 1 16
- 2 1 &
F 2 16 1
& 12
/& Dee#mina"i ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă nesan'a#'izaă +i sa,ili"i c%eo#e;să.ăm%nă a)ecează #e,u#ilo# /os.o'ă#e+i un so" cu << ani 'e +coală! ) ili ii
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 221/259
!n#1o )amilie cu co.ii&
2& Dee#mina"i ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă san'a#'izaă +i sa,ili"i ca#e 'in#e$a#ia,ilele in'e.en'ene a#e o in)luen"ă mai .ue#nică asu.#a $a#ia,ilei'e.en'ene&
i& Calcula"i ' +i ' +i ine#.#ea"i #ezulaele&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 222/259
,,., Pen#u < o#a+e 'in Rom%nia au )os colecae u#măoa#ele 'ae .#i$in' #aa
'elinc$en"ei 4u$enile 7RD8- .#ocenul 'e )amilii inace 7cu am,ii .ă#in"i8- +i
ni$elul me'iu 'e e'uca"ie al .ă#in"ilo# 7măsu#a !n ani 'e +coală8& Daele o,"inue
sun u#măoa#ele9
Ora"ul Fa.ilii intacte
(%)
!ivel de
educaţie
9DN
A 0 12,1 1,2
E 6 12,2 0,7
0 ,2 &,
D 7 11 1 6 7
a& Cons#ui"i 'ia/#ame 'e !m.#ă+ie#e .en#u #ela"ia 'in#e ni$elul 'e e'uca"ie +iRD +i .en#u #ela"ia 'in#e .#ocenul 'e )amilii inace +i RD&
, D i "i "i ' i ,i i ă l "i 'i )i
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 223/259
,& Dee#mina"i ecua"ia 'e #e/#esie ,i$a#iaă .en#u #ela"ia 'in#e )ieca#e
$a#ia,ilă in'e.en'enă +i RD&c& Calcula"i r +i r .en#u )ieca#e co#ela"ie ,i$a#iaă +i ine#.#ea"i #ezulaele&'& Tesa"i .en#u semni)ica"ie $aloa#ea coe)icien"ilo# 'e co#ela"ie .a#"ială 'e
o#'inul ze#o o,"inu"i la .uncul ' la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>&e& Co#ela"ia 'in#e .#ocenul 'e )amilii inace +i RD ese in)luen"aă 'e ni$elul
'e e'uca"ie)& Dee#mina"i ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă nesan'a#'izaă +i sa,ili"i RD
.en#u un o#a+ cu @ )amilii inace +i un ni$el me'iu 'e e'uca"ie 'e <ani&
/& Dee#mina"i ecua"ia 'e #e/#esie muli.lă san'a#'izaă +i sa,ili"i ca#e 'in#e$a#ia,ilele in'e.en'ene a#e o in)luen"ă mai .ue#nică asu.#a $a#ia,ilei'e.en'ene&
2& Calcula"i ' +i ' +i ine#.#ea"i #ezulaele&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 224/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 225/259
( )?D-F
<><
><
8>-H>?7<FDHD
<
D
D
D
=−
−=
−
−≅
∑ ∑n
nm f m f
s
ii
ii
C?-<F≅
" C>-<E
V≅
" ?D-F≅ s &
. ?@ < 6 @-J< ?@ 6 @-J ?@ ? 6 @-J@& 0n#uc% ?@ > ?@ ? > ?@ <- cea maima#e omo/eniae !n lua#ea 'eciziei a )os !n%lniă !n .#i$in"a .#imei .#o,leme-un'e a )os !n#e/is#aă cea mai mică $aloa#e .en#u in'icele $a#ia"iei caliai$e mai
'i)icilă 'ec% .#ima a )os solu"iona#ea celei 'e1a #eia .#o,leme- ia# cea maicom.le3ă- con)o#m o."iunilo# !n#e/is#ae a )os cea 'e1a 'oua .#o,lemă 7cu /#a'ulcel mai ma#e 'e ee#o/eniae !n lua#ea 'eciziei8&
CAPITOLUL 3
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 226/259
9., San'a#'iz%n' sco#u#ile o,"inue la cele #ei 'isci.line o,"inem $ < 6 @- $ 6 <-@ $ ?6 @->@& 0n#uc% $ > $ < > $ ?- .uem concluziona că su'enul a o,"inu cea mai ,ună
.e#)o#man"ă la a 'oua 'isci.lină 'e su'iu 7In#o'uce#e !n .si2olo/ie8 ia# cea maisla,ă la a #eia 7Saisică .si2olo/ică8- un'e a !n#e/is#a cel mai mic sco# san'a#'&
9. a& -?9 a.#o3imai$ su,iec"i au o,"inu un im. 'e #eac"ie mai ma#e 'e <@ ms& ,& J-9 a.#o3imai$ J 'e su,iec"i au o,"inu un im. 'e #eac"ie mai mic 'e <@
ms&
c& <>-@?9 a.#o3imai$ <> su,iec"i au o,"inu un im. 'e #eac"ie cu.#ins !n#e @ ms
+i J@ ms&
'& <?->9 a.#o3imai$ < su,iec"i au o,"inu un im. 'e #eac"ie cu.#ins !n#e <@
ms +i <@ ms&
., @EC-@D-F<DDF
C-@JF-<D-F8<7D ±=
−±=−±= n s $ " ?6 α &
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 227/259
. @E-@E>-@<>@
D>-@JF-<E>-@
D>-@D ±=±=±=
n $ p ?6 α &
. ?HE<F-?HE8@>-@7
D>-@8JF-<7D>-@
D
D
D
D
D ≅=== >
$ n
σ
CAPITOLUL ;
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 228/259
CAPITOLUL >
., F @9 ;< 6 ; F a9 ;< ≠ ;& $ 7o,"inu8 6 :>->>& $ α ; 7c#iic8 6 ±<-J& Se .oae #es.in/e
F @& Di)e#en"a 'in#e cele 'ouă /#u.u#i ese saisic semni)icai$ă la un ni$el 'e!nc#e'e#e 'e J>&
.- F @9 ;< 6 ; F a9 ;< ≠ ;& $ 7o,"inu8 6 :<-@?<& $ α ; 7c#iic8 6 ±<-J& Nu se .oae#es.in/e F @& Me'iile !n#e/is#ae 'e .ilo"ii celo# 'ouă +coli 'e a$ia"ie nu 'i)e#ă !nmo' semni)icai$ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>&
. F @9 ;< 6 ; F a9 ;< ≠ ;& t 7o,"inu8 6 −@->& t α ; 7c#iic8 6 ±-& Nu se .oae#es.in/e F @& Di)e#en"a 'in#e cele 'ouă meo'e nu ese saisic semni)icai$ă la unni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ&
0n#uc% < 7c#iic8 6 -- se .oae #es.in/e F @& La ni$elul .o.ula"iei- me'iilea#imeice ale sco#u#ilo# co#es.unzăoa#e celo# cinci s#ae/ii 'e !n$ă"a#e 'e.#o,leme 'i)e#ă semni)icai$ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 229/259
.#o,leme 'i)e#ă semni)icai$ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>
H. F @9 ;< 6 ; 6 ;? 6 ; 6 ;> F a9 Cel .u"in o me'ie a#imeică 'i)e#ă 'e celelale&
*ura devariaţie
*u.e dep$trate
rade deliertate
@edii aleu.elor
F(oţinut)
A , 2&,6,EROARE 12,1 & &,66
TOTAL 22&, &0n#uc% < 7c#iic8 6 -- se .oae #es.in/e F @ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e JJ&
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 230/259
>E>-EDD
<@@
<FF
8<FF787 DD
D ==+
−=
+−
= D 4
D 4 χ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 231/259
χ 7c#iic8 6 ?-<& Se .oae #es.in/e F @& Din a,el #ezulă că mai mule .e#soane'in e+anion !+i sc2im,ă o.inia 'e la ,u la Da- 'ec% 'e la Da la ,u- ia# esul a#aăcă aceasă 'i)e#en"ă ese semni)icai$ă la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>&
,5.F F @9 Nu e3isă nici o 'i)e#en"ă !n#e co.ii 'e se3 masculin +i cei 'e se3 )eminin !n.#i$in"a ni$elului 'e #eac"ie la simuli 'e comunica#e non1$e#,ală F 9 Sco#u#iF <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 232/259
.#i$in"a ni$elului 'e #eac"ie la simuli 'e comunica#e non1$e#,ală F a9 Sco#u#iF <
Sco#u#iM& χ 7o,"inu8 6 @-@& χ 7c#iic8 6 -@& Nu se .oae #es.in/e F @ la unni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>&
,5. O,ieci$ul u#mă#i ese com.a#a#ea a 'ouă .o.ula"ii su, as.ecul unei $a#ia,ile-'aele )iin' non.a#ame#ice& E+anioanele aleao#ii sun in'e.en'ene- ni$elul 'emăsu#ă ese o#'inal- ia# cele 'ouă e+anioane sun mici& P#in u#ma#e- se .oae)olosi esul Mann−2ine L .en#u e+anioane mici sau esul ie#a"iilo#- "in%n'
con +i 'e )a.ul că nu !n%lnim sco#u#i i'enice !n e+anioane 'i)e#ie&,5.,5 O,ieci$ul u#mă#i ese com.a#a#ea a .o.ula"ii su, as.ecul unei $a#ia,ile
măsu#ae la ni$el o#'inal- e+anioanele aleao#ii )iin' in'e.enene& P#in u#ma#e- se .oae )olosi esul K#usQal−allis F &
CAPITOLUL 11
,,.9 7a8 , a 6 , d 6 J< R 6 @-& 0n#e cele 'ouă $a#ia,ile e3isă o co#ela"ie .ozii$ă)oa#e sla,ă& Tesul 'e a.iu'ini nu ese sais)ăcăo#&7,8 F @9 R 6 @-@@ F a9 R ≠ @-@@& $ 7o,"inu8 6 @-J& $ 7c#iic8 6 ±<-J& Nu se .oae#es.in/e F @ la un ni$el 'e !nc#e'e#e 'e J>& Valoa#ea coe)icienului R o,"inuă.en#u e+anion nu ese saisic semni)icai$ă&
)& & r 7zx 6 @-?& r 7z 6 @->@& 0n#uc% r 7zx ≅ r 7z- ni$elul 'e e'uca"ie al so"ului nua)ecează co#ela"ia ,i$a#iaă consaaă ini"ial&/ # 6 > : 7@ > " 8 : 7 @ @ " 8 Un so" cu << ani 'e +coală !n# o )amilie cu
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 233/259
/& # 6 -> : 7@-> ⋅ " <8 : 7−@-@ ⋅ " 8& Un so" cu << ani 'e +coală !n#1o )amilie cu
co.ii a)ecează -? o#e;să.ăm%nă #e,u#ilo# /os.o'ă#e+i&2& $ 7 6 7@- ⋅ $ <8 : 7−@-@J ⋅ $ 8& Numă#ul 'e co.ii a#e o in)luen"ă mai .ue#nicăasu.#a $a#ia,ilei 'e.en'ene 'ec% ni$elul 'e e'uca"ie al so"ului&i& ' 6 @->& ' 6 @->& In)luen"a com,inaă a celo# 'ouă $a#ia,ile in'e.en'enee3.lică > 'in $a#ia"ia $a#ia,ilei 'e.en'ene&
ANEXA AK T#%! #$++$ % ! &!$# "$#' /#"#$
Z 5.55 5.5, 5.5- 5.5 5.59 5.5 5.5 5.5F 5.5 5.5H
5.5 @@@@ @@@ @@@ @<@ @<@ @<JJ @?J @J @?<J @?>J5., @?J @? @ @>< @>> @>J @? @> @< @>?
5.- @J? @? @< @J<@ @J @J <@ <@ <<@? <<<
5. <<J << <>> <J? <??< <? <@ <? <@ <><
5 9 <>> <>J< < < <@@ <? < <@ < <J
,.H <? <J ? ? >@ > <
-.5 ? J? J @? @ < <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 234/259
-.5 ? J? J @? @ < <
-., < ?@ ? ? >@ > >
-.- < < > < J@
-. J? J J J@< J@ J@ J@J J<< J<? J<
-.9 J< J@ J J> J JJ J?< J? J? J?
-. J? J@ J< J? J> J J JJ J>< J>
-. J>? J>> J> J> J>J J@ J< J J? J
-.F J> J J J JJ J@ J< J J? J
-. J J> J J J J JJ JJ J@ J<
-.H J< J J J? J J J> J> J J
.5 J J J J J JJ JJ JJ JJ@ JJ@
ANEXA BK T#% &! "!%$% #%#/$++
? ? J J > @ ? J J < @ @ @ > @ ? < @ ? J> ? J > < > > J J J @ @ > ? @ < J < < @ @ < @ ? J
< J ? @ @ @ > > ? ? J @ ? J < > ? J ? ? < J > J > ? J @ J @ > < > @ @ > ? @ > @ @ > J ? ? ? J >
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 235/259
@ @ > ? @ > @ @ > J ? ? ? J >
> ? < < @ < > > ? J @ @ < < > J @ @ > @ > J @ ? < < ? ? ? > <J J ? < @ J > < J ? < J J @ J @ @ @ > J @ < < ? >? J J ? J < < > > > > < < J ? ? < < @ @ > ? J < J ? @ << @ @ J @ ? J J @ > > JJ > @ > ? < J > J < @ > > ? J > @ > J < < @ @ > > J J J ? J @ > < ? J < ? J ? J ? < @ < < J J ? @ < < < < > < @ > J >@ @ > < @ > > < > @ ? J J ? < < ? ? > < > @ > ? < ? > @ ? < >J > J ? @ > @ J < @ ? J > @ J J J > ? J < > ? ? < ? J @ @ < > <
< < ? > > ? < < < ? J J @ < > > @ J < ? > @ @ > ? J > > J < ? <> < @ > J > @ ? > J ? > J J @ J > @ @ ? > ? ? > < ? > < < < < J J < ? ? @ J J < > > @ @ @ > ? J J ? @ ? < ? > @ < < < @ J ? < @ > @ @ > ?? @ ? ? J J @ ? < ? J < ? J @
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 236/259
dfIJ 5.,5 5.5 5.5- 5.5, 5.55 5.555
, ?&@ &?<?> <&@@ ?<&@> ?&> ?&<J
- <&>< &J<JJ &?@> &J> J&J ?<&>JJ<
<&? &?>??? ?&<> &>@@ >&@J< <&J@
9 <&>??@ &<?< &> ?&J> &@@J &<@?
<&> &@<>@ &>@> ?&?J? &@?< &
<&?J> <&J?<@ &J< ?&< ?&@? >&J>
F <&<J <&J>J &? &JJJ> ?&JJ >&@J
<&?J<> <&>J> &?@@@ &J ?&?>>?J >&@<?H <&??@J <&??<<? &< &< ?&J &@J
,5 <&?< <&<< &< &? ?&<J &>J
,, <&???@ <&J>> &@@JJ &<@ ?&<@>< &?@
- <&?<?> <&@<< &@>J> &><< & ?&><
- <&?<J <&@>< &@>>>? &? &< ?&@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 237/259
- <&?<J <&@>< &@>>>? &? &< ?&@
-F <&?<?@? <&@? &@><? & &@ ?&J
- <&?<> <&@<<?< &@< &< &? ?&?J
-H <&?<<? <&JJ< &@>? &@ &>?J ?&>J
5 <&?<@<> <&J< &@ &> &>@@@ ?&@
inf <&<>> <&> <&J>JJ &??> &>>? ?&J@>
ANEXA DK T#%! 0#$+$ &$+/+&% #% +/$+!*+%+ F
E 6 @&<@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 238/259
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9
, ?J&? J&>@@@@ >?&>J? >>&?J >&@@ >&@ >&J@>J> >J&?J >J&>>J @&<JJ @&@>< <&@? <&@J &@@@>
- &>? J&@@@@@ J&<<J J&? J&J? J&?>>? J&?J@ J&? J&?@> J&?J<> J&@<? J&< J&<?< J&J J
>&>?? >&? >&?J@ >&? >&?@J< >&? >&<J >&>< >&@@@ >&?@< >&<> >&@@?< >&< >&<? >
9 &> &?> &<J@ &<@> &@>@> &@@J> ?&JJ ?&J>J ?&J?> ?&J<J ?&J>>? ?&@? ?&? ?&?@JJ ?
&@@ ?&J ?&<J ?&>@@ ?&>J ?&@>< ?&?J@ ?&??J ?&?< ?&J@ ?& ?&?@< ?&@> ?&<J@> ?
?&>J> ?&??@ ?& ?&<@ ?&<@>< ?&@>>> ?&@< &J?@ &J> &J?J? &J@ &< &?? &<?
F ?&>J? ?&> ?&@@ &J@>? &?? &?J &J? &><> & &@>< &<< &?? &>J? &>>??
?&>J ?&<<?< &J?@ &@? &> &?? &<? &>J?> &>< &>?@ &>@<J & & &@<@
H ?&?@?@ ?&@@> &< &J &<@< &>>@ &>@>?< &J< &@? &<? &? &??J &J? &?
,5 ?&>@ &J & &@>? &>< &@> &<?J &?<> &??< &?@ &@> &?>< &@@ &<?
,, ?&>@ &>J>< &@? &>?<J &><< &?J@ &?<> &?@@@ &?>@ &? &@? &<@J &<?@> &<@@@<
,- ?&<>> &@@ &@>> &@<@ &?J@ &??<@ & &> &<?> &< &< &<@> &@>J &@?>JJ
, ?&<?< &?< &>@ &??< &? &J &?<@ &<J>?> &<? &<?? &@J>J &@>?< &@@J <&J <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 239/259
95 &?>?> &@? &@J &@J@J> <&JJ <&J <&> <& <&JJ@ <&J <&<> <&< <&@><> <&><< <
5 &J<@ &?J?> &<< &@@JJ <&J>< <& <&<J?J <&? <&?@ <&@@< <&>? <&@?? <&>?J <&><@ <
,-5 &< &?? &<JJJ <&JJ?@ <&J> <&?< <& <&<J <&> <&>? <&@<@ <&>>@@ <&@ <&? <
inf &@>> &?@>J &@?@ <&J <& <&<< <&< <&@@ <&?<> <&>J <&>> <&< <&@@ <&??< <
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 240/259
E 6 @&@>
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 241/259
, <<& <JJ&>@@@ <>&@? &>? ?@&<<J ??&J@ ?& ?& @&>?? <&< ?&J@@ >&JJJ &@<?< J&@>< - <&>< <J&@@@@ <J&<? <J& <J&J <J&?J> <J&?>? <J&?<@ <J&? <J&?J>J <J&<> <J&J< <J&> <J&>< <
<@&<@ J&>>< J& J&<< J&@<?> &J@ & &> &<? &>> & &@J &@ &?>
9 &@ &J? &>J< &? &>< &<?< &@J &@<@ >&JJ >&J >&J<< >&> >&@> >&
&@J >&< >&@J> >&<J >&@>@? &J>@? &>J &<? &> &?>< & &< &>>< &>
>&J >&<?? &>< &>?? &? &?J &@ &< &@JJ@ &@@@ ?&JJJJ ?&J?< ?& ?&<>
F >&>J< &? &? &<@? ?&J<> ?&@ ?&@ ?&> ?& ?&?> ?&> ?&><@ ?&> ?&<@>
>&?< &>J@ &@ ?&?J ?&> ?&>@ ?&>@@> ?&?< ?&?< ?&? ?&?J ?&< ?&<>@? ?&<<>
H >&<< &>> ?&> ?&??< ?&< ?&?? ?&J ?&J ?&<J ?&<?? ?&@J ?&@@< &J?> &J@@>
,5 &J &<@ ?&@? ?&@ ?&?> ?&< ?&<?>> ?&@< ?&@@ &J &J<?@ &>@ &@ &?
,, &? ?&J? ?&> ?&?> ?&@?J ?&@J ?&@<? &J@ &J &>? & &< & &@J@
,- & ?&>? ?&J@? ?&>J ?&<@>J &JJ< &J<? & &J &>? & &<J &>? &>@>>
, & ?&@> ?&<@> ?&<J< ?&@> &J<>? &?< &J &< &<@ &@? &>??< &>J &@
,9 &@@< ?&?J ?&??J ?&<< &J> & & &J &> &@ &>? &?@ &?J &?
, &>?< ?&? ?& ?&@>> &J@<? &J@> &@ &@ &> &>? &>? &@? &?> &
, &J@ ?&?? ?&?J ?&@@J &> &<? &> &>J<< &>? &J?> & &?> &> &?>
,F &><? ?&>J<> ?&<J &J &<@@ &J &<? &>@ &J? &JJ &?@ &?@ &?@ &<J
, &<?J ?&>> ?&<>JJ &J &J &<? &> &><@ &>? &<< &?< & &<J@ &<J
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 242/259
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9,H &?@ ?&><J ?&< &J>< &@< &? &>?> & & &?J &?@@ &?< &<>>> &<<<
-5 &?>< ?&J ?&@J &< &<@J &>JJ@ &><@ &< &?J &?J & &@?? &< &@>
-, &? ?& ?&@> &@< & &> & &@> &?@ &?<@ &>@ &<> &@J@ &@>@
-- &?@@J ?&? ?&@J< &< &<? &>J< &? &?J> &?<J &J &> &<>@ &@@ &@?
- &J? ?&< ?&@@ &J>> &@@ &> & &? &?@< & &@? &< &@ &@@>@
-9 &>J ?&@ ?&@@ &? &@ &>@ & &?>>< &?@@ &> &<? &<@ &@ <&J?
- &< ?&?> &JJ< &> &@?@ &J@ &@ &??< &< &?> &<J &@J &@@> <&J?
- &> ?&?J@ &J> & &> &< &?? &?@> &>> &<J &<J &@< <&JJ <&J
-F &<@@ ?&?>< &J@ & &><J &>J< &?? &?@>? &>@< &@? &<?? &@>> <&J? <&JJJ
- &<J@ ?&?@ &J &<< &>>< &>? &?>J? &J<? &?@ &<J@@ &<<J &@<< <&J> <&J<
-H &<?@ ?&? &J?@ &@< &>> &? &?? &? &J &< &<@> &@> <&J <&J@@>
5 &<@J ?&?<> &J? &J &>?? &@> &??? & &<@ &< &@J< &@< <&J?< <&
95 &@ ?&?< &? &@@ &J> &??>J &J@ &<@ &<@ &@ &@@?> <&J> <&?J <&JJ
5 &@@< ?&<>@ &>< &>> &?? &>< &<> &@J@ &@@< <&JJ <&J< <&? <&@ <&@@<
,-5 ?&J@< ?&@< &@ & &JJ &<>@ &@ &@< <&J> <&J<@> <&?? <&>@> <&> <&@
inf ?&<> &JJ> &@J &?<J &<< &@J &@@J <&J? <&JJ <&?@ <&> <& <&>@> <&><?
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 243/259
E 6 @&@>
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 244/259
, &J@ JJ&>@@@ &<?@ JJ&>?? J<&J J?&<<<< J&<J J>&> J?& J& J&@J J& JJ?&<@ JJ&J <- ?&>@? ?J&@@@@ ?J&<>> ?J& ?J&J ?J&??<> ?J&?>> ?J&??@ ?J&?J ?J&?J@ ?J&< ?J&?<? ?J&J ?J&>
<&? <&@< <>&?J <>&<@<@ <& <&? <& <&>?JJ <&?< <&<J <&?? <&> <&< <&<<
9 <&<J <@&J< J&JJ J&@> J&?> J&<J? J&@< &JJ &J@ &?J &>< &>> &>>JJ &><@J
<@&@@@ &?? &? &?J &< &J &>?< &> &<< &<J &>> & &? &@
&<?< &>JJ &>J & >&J >&<J >&J>> >&>JJ >&>? >&<? >&? >& >&< >&<<
F &@ &><> >&J >&> >&> >&<< &JJJ &JJ? &? &<< &> &> & &<>@
&>@J &@>J> >&<@ >&@> &<? &>< &> &??? &?> &J>< &<JJ &<@< ?&JJJ> ?&J
H &@J? >&< >&@< &<< & &?<J &<J@ &<@@ &@@ ?&J?J ?& ?&J ?&J ?&<
,5 &J? >&> &> &? &?< &@< ?&JJ ?&>J ?&J@ ?&< ?&@J ?&>< ?&<> ?&?>
,, &< >&>>J &?@@ &>< &@@ ?&@ ?&> ?&? ?&>J ?&>> ?&J ?&?JJ ?&< ?&<>
,- &>>? >&@J>J & &<< ?&J<< ?&? ?&@> ?&><< ?&?> ?&?? ?&? ?&< ?&@ ?&@<
, &<? &J>? &? ?&JJ>J ?& ?&@? ?& ?&?@ ?&?<@ ?&J ?&<>? ?&@> &J &J?
,9 &JJ &> &< ?&J<J ?&? ?&>@< ?&?JJ ?&>? ?&@J? ?&<J ?&@>@ &JJ? &? &
, &<JJ> &>@ &<> ?&@? ?&> ?&< ?&J? ?&<J ?&< ?&@@ &J?? &< &>>J &@@
, &<<>< & &@ ?&J ?&>@< ?&?@ ?&<J ?&< ?&@ &J &J@ &> &@ &>
,F &@@ &<J &@<< ?& ?&?J ?& ?&<>> ?&@<@ &JJ &J &J &?@ &<> &>>J
, >&J< &>>J ?&J>?J ?&@? ?&?@ ?&@J ?&@JJJ ?&@@>? &JJ< & &J & &>>J@ &>@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 245/259
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9,H >&J< &>@> ?&J@? ?&>> ?&?? ?&<< ?&@>@J &J>? &@< &< &<J &<< &>@J &>?
-5 >&<> &<? ?&> ?&>< ?&J< ?&<? ?&@@ &J< &?> &? &> &>?< &> &@
-, >& &<JJ ?&< ?&> ?&>@< ?&@J> &J &@ &J &? &? &>?? & &?>
-- >&? &? ?&J ?&@< ?&<>< ?&@> &J?? &?J & &JJ &@< &J &?J@ &??<>
- >&J &?J ?&>@> ?&@? ?&<?> ?&@? &J@? &@ &?<? & &>JJ &> &?> &JJ
-9 >&< &?< ?&<< ?&?J ?&<> &JJ &? &J< &@ &?J &><< &? &?? &J?
- >& &J@J ?&J? ?&?>?@ ?&< &J> & &>?< & &<?> &><J &<<@ &?@@> &
- >&> &>> ?&J ?&?J ?&<@ &J &@ &J? &> &>J &J@ &? &>J &<
-F >&??< &< ?& ?&?@ ?&@ &J &@< &@ &?@J &> & &? &>?? &<J
- >&@J &@> ?& ?&? ?&@ &J@ &@ & &<@ &>? & &?? &? &<?>
-H >&> &@@ ?&@ ?& ?&@? &@ &?? & &>J<J &> &J> &? &<?< &<>@
5 >&>> &<< ?&>J ?&JJ ?&@> & &@ &><? &> &><< &<@ &?@ &<J> &<?>J
95 >&?J &@><@ ?&?? ?&<< &J@? & &? &>J &><J &? & &<<J &@ &@@J
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 246/259
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 247/259
, &? &?>J >&< &J? &>> &?< &< &@@ ?&J> ?&@> ?& ?&> ?&? ?&J
, &>?< & >&J &? &? &@ &@ ?&J@ ?&@ ?&J< ?&>>? ?&@J ?&>J ?&<<
,F &@@ &<< >&<> &J &?? &<@ ?&J ?&J< ?& ?&>J? ?&>> ?&?< ?&< ?&@
, &> &@<? >&@J &>J & &@<> ?&< ?&@> ?&>J ?&>@ ?&?< ?& ?&@ &JJJ
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 248/259
gl-3gl, , - 9 F H ,5 ,- , -5 -9,H &<> >&J >&@<@ &>@@ &<< ?&J?J ?&> ?&?< ?&>? ?&? ?&J ?&<>? ?&@@? &J>
-5 &@J >&J &J? &?< &<@? ?&< ?&JJ ?&> ?&> ?&? ?&?< ?&@ &J? &>J
-, &@< >&@ & &?J &@ ?&< ?&@ ?&>@ ?&?J ?&?<@ ?&<? ?&@?@ &@ &@<
-- &J> >&<J &< &?<? ?&J ?&> ?&> ?&>? ?&? ?&> ?&<< &J & &J
- &< >& &> & ?&J?J ?&<@ ?&>?J ?&@ ?&JJ ?&<< ?&@ &J?< &< &@
-9 &? >&< &< &< ?&J> ?& ?&J ?&?? ?&> ?&< ?&@? &J &? &>J
- &@ >&> &> &< ?&>> ?& ?&> ?&? ?&< ?&<J &JJ? &>@ &JJ &@
- &< >&> &? &<@ ?&< ?&>J< ?&< ?& ?&< ?&@J &J> &<> & &>>
-F & >& &@< &<@ ?&> ?&>> ?&? ?&> ?&<J ?&@ &J &? &? &>>
- &? >&>? &> &@ ?&> ?&> ?&?> ?& ?&<@ ?&@? &J &>? &@ &>
-H &>J >&@ &>? &@> ?&> ?&JJ ?&??@ ?&<J ?&@J ?&@@> & & &> &J>
5 &> >&?J@ &><@ &@< ?&JJ ?&? ?&?@ ?&<? ?&@ &JJ &? &@@ &>J &J
95 &?< >&<J &?<? ?& ?&>< ?&J< ?&< &JJ? & &@< &> &> &?J &
5 &@ &J &< ?&J ?&??J ?&<<J &J>? &? &< &? &J &?> &<J &<<>
,-5 &>< & ?&JJ ?&@ ?&< &J> &J &? &>>J & &?? &<J &@?> <&J>@
inf &?> &@> ?& ?&?<J ?&@< &@ &?J &><< &@ &?< &<> &@?J <& <&J<
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 249/259
ANEXA EK T#%! 0#$+$ &$+/+&% #% +/$+!*+%+ ) -
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 250/259
glIJ .,55 .55 .5- .5,5 .55
, &@>> ?&< >&@?J &?J@ &J
- &@>< >&JJ< &? J&<@? <@&>J?
&><?J &<? J&?@ <<&? <&?<
9 &J J&? <<&<?J <?&@ <&@ J&?? <<&@@>@ <&?>@ <>&@ <&J@
<@& <&>J<>J <&J? <&<<J <&>>
F <&@<@ <&@< <&@< <&>?< @&
<?&?<> <>&>@?< <&>?>> @&@J@ <&J>J>
H <&? <&J<J <J&@ <&>JJ ?&>J?>
,5 <>&J< <&?@@ @&?< ?&@J> >&<<
,, <&>@< <J&>< <&J@@> &J &>>
,- < >J?> < @@ ? ?? <J JJ>
-F ?&< @&<<? ?&<J>< &JJ J&J
- ?&J<>J <&??< &@J & >@&JJ??
-H ?J&@ &>>J >&J J&> >&??>
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 251/259
5 @&>@ ?&J &JJ >@&J< >?&<J
ANEXA FK T#%! 0#$+$ &$+/+&% ,%"/$! /%/! M#"" 6+/"% U
E 6 @&@>- es unilae#al
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 252/259
n J <@ << < <? < <> < < < <J @n<
<
@ @ @ < < < < <
? ? ? > >
> J <@ << << < <? <?
> J << < <? < <> < < <J @ <@ << <? < < < <J < >
< < < < @ ?@ ? ?
<> < <J J ?< ? ? ? <
J < @ ? ?< ? ? ?J >
<@ @ ? J ?? ? ?J > > >>
<< ? ?@ ?? ? @ >< >> > < J ?? ? < > J >? > < > J
<? ?? ? < > >@ > >J ?
< ?< ? @ > >@ >> >J ?
<> ? ?J J > >J @ > @ > J@
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 253/259
@&@< @&@ ?? ? ? J >
@&@@> @&@< ? ? ? ? J
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 254/259
@&@@> @&@< ? ? ? ? J
n 6 ? n 6 n 6 > n 6 n 6 n 6
6@&@> 6@&<@ ? J <@< <<@ <@ <?@
6@&@> 6@&@> ? < J@ J <@ <<
6@&@< 6@&@ J > J? <@
6@&@@> 6@&@< >> J
ANEXA HK T#%! 0#$+$ &$+/+&% ,%"/$! 1"
n Ni$elul α
@ <@ @ @> @ @<
@&? @&< @&>?
> @&? @&@ @&>
@&?? @&?J @&><
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 255/259
@&? @&? @&>@ @&? @&? @&J
J @&?< @&? @&
?@ @&?< @&? @&
ANEXA IK G6+ % !/++#$% # ,$+"&+,#%$ /%6"+&+ /#/+/+&%
Analiz
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 256/259
a'aelo#
Desc#ie#eaunei
$a#ia,ile
P#ezena# ea
'aelo#
DA CAPITOLUL DA
Ten'in"acen#ală
NU
SECIUNEA ?&<DA
NU
NU
Tesa#eai.oezelo#
DA Tese .a#ame#
i1ce
NU
Unsin/u#e+anio
n
CAPITOLUL DA DA
NU NU
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 257/259
Unsin/u#
e+anion
DASECIUNEA <@&<
NU
Douăe+anioan
e
DA SECIUNILE<@&- <@&?- <@&-
<@&>- <@&
NU
A ≥ e+anioan
e
DASECIUNEA
<@&
Douăe+anio
a1ne
A ≥ e+anio
a1ne
NU
CAPITOLUL DA
CAPITOLUL JDA
NU
NU
Co#ela"ii!n#e
$a#ia,ile
DA Două$a#ia,ile
NU
Ni$elnomina
l
SECIUNEA <<&DA DA
NU NU
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 258/259
A ≥ ?$a#ia,ile
DASECIUNEA <<&>
NU
Ni$elo#'inal
Ine#$al;
#a.o#
NU
SECIUNEA <<&?DA
SECIUNEA <<&DA
NU
STOP
8/13/2019 07. Statistica Si Informatica 1
http://slidepdf.com/reader/full/07-statistica-si-informatica-1 259/259