IPÎ „Institutul de Ştiinţe Penale şi Criminologie Aplicată”

Catedra de psihologie şi ştiinţe socio-umaniste

Irina Bulat

Statistica şi cercetarea psihologică Note de curs

Chişinău, 2015

2

TABLA DE MATERII

TEMA NR. 1. CERCETAREA PSIHOLOGICĂ ....................................................................... 3

TEMA NR. 2. STATISTICA PSIHOLOGICĂ. CONCEPTELE DE BAZĂ ALE

STATISTICII ................................................................................................................................. 7

TEMA NR. 3. CONCEPTUL DE MĂSURARE ....................................................................... 12

TEMA NR. 4. CONCEPTUL DE EŞANTION ......................................................................... 15

TEMA NR. 5. SISTEMATIZAREA, PREZENTAREA ŞI REPREZENTAREA DATELOR

STATISTICE ............................................................................................................................... 18

TEMA NR. 6. INDICATORI AI TENDINŢEI CENTRALE ................................................. 25

TEMA NR. 7. INDICATORI AI VARIAŢIEI ......................................................................... 28

TEMA NR. 8. INDICATORI AI FORMEI ............................................................................... 33

TEMA NR. 9. PRINCIPIILE VERIFICĂRII IPOTEZELOR STATISTICE ...................... 36

TEMA NR. 10. COEFICIENŢII STATISTICI AI DIFERENŢEI ......................................... 40

TEMA NR. 11. COEFICIENŢII STATISTICI AI CORELAŢIEI ........................................ 49

Surse bibliografice ....................................................................................................................... 57

Anexe ............................................................................................................................................ 58

3

TEMA NR. 1.

CERCETAREA PSIHOLOGICĂ

1.1. Noţiunea de cercetare psihologică

1.2. Principiile metodologice ale cercetării psihologice

1.3. Tipurile de cercetare psihologică

1.4. Etapele cercetării psihologice

1.1. Noţiunea de cercetare psihologică

Complexitatea obiectului de cercetare al psihologiei, natura ideală, subiectivă a psihicului

nu puteau să nu se repercuteze (răsfrîngă) şi asupra metodelor utilizate în cercetarea psihologică.

Aceste particularităţi sunt generate de specificul existenţial al omului, dar şi de statutul specific

al cercetătorului psiholog, care este concomitent obiect şi subiect al cercetării şi care prin condui-

ta sa o poate influenţa pe cea a subiectului investigat.

În realizarea obiectivelor ştiinţifice ale psihologiei, precum şi în asigurarea eficienţei sale

practice, metodele la care aceasta apelează deţin un loc deosebit de important şi au un rol deci-

siv. În ultimul secol s-a putut constata un permanent şi reciproc schimb de metode între psiholo-

gie, pe de o parte, şi biologie, neurofiziologie, medicină, sociologie, etnologie, antropologie, pe

de altă parte. S-a consolidat în acelaşi timp, sistemul de metode al disciplinelor mixte, cum sunt

psihofiziologia, psihoneurologia, psiholingvistica, psihopedagogia, psihosociologia, psihociber-

netica etc. Cercetarea psihologică îmbracă două aspecte esenţiale, deosebite între ele nu atît prin

metodologia utilizată, cît prin diferenţa de motive şi scopuri urmărite:

a) cercetarea ca proces de descoperire de noi cunoştinţe, cercetătorul căutînd răspunsuri la

întrebările „ce este?” şi „de ce?”;

b) cercetarea evaluativă sau evaluarea menită să ofere o bază pentru luarea de decizii, cerce-

tătorul căutînd răspuns la întrebarea „ce ar trebui să fie?” (N. Jurcău, 1992).

Orice cercetare psihologică este ghidată de concepţia generală a cercetătorului, de princi-

piile teoretico-ştiinţifice de la care acesta porneşte, reunite sub denumirea de metodologia cerce-

tării. Fiecare şcoală sau orientare psihologică îşi are propria sa metodologie de cercetare. Între

concepţie şi metodă există o strînsă interacţiune.

Metodologia cercetării reprezintă strategia şi tehnica investigării şi include următoarele

clase de elemente:

ansamblul principiilor teoretice care stau la baza metodelor şi tehnicilor;

ansamblul metodelor şi tehnicilor utilizate în cercetarea concretă;

ansamblul procedeelor de prelucrare a datelor;

ansamblul principiilor de analiză a datelor, de construcţie şi reconstrucţie a teoriei.

Metodologia cercetării stabileşte direcţiile şi modul de acţiune asupra fenomenului inves-

tigat.

4

Paradigma, sau teoria, reprezintă un set de propoziţii care explică modul în care realita-

tea este percepută. Acest set de informaţii presupune o descriere a socialului şi modalităţi de

înţelegere a lui. Paradigma este o explicaţie sau o teorie foarte generală asupra lumii, care poate

sta atît la baza unor abordări de tip pozitivist (cantitativ–descriptiv), cît şi comprehensiv (calita-

tiv).

Metodele reprezintă totalitatea instrumentelor utilizate într-o cercetare pentru culegerea şi

prelucrarea datelor.

Tehnica este un ansamblu de procedee folosite în cadrul cercetării. Spre exemplu, meto-

da este ancheta, iar chestionarul şi interviul sunt tehnici.

1.3. Tipuri de cercetare psihologică

Pot fi evidenţiate 3 tipuri de cercetare psihologică:

teoretică;

empirică;

aplicativă.

Cercetarea teoretică constă în obţinerea cunoştinţelor generalizate despre fenomenele

psihologice în baza descrierilor şi explicaţiilor existente, formulate anterior în teorii sau ipoteze.

Metode: modelare neexperimentală, clasificare, sistematizare etc.

Cercetarea empirică are ca scop acumularea materialului faptic, ulterior generalizat prin

metode teoretice sau utilizat în scopuri practice. Metode: observare, experiment, testare, modela-

re, chestionare şi convorbire.

Cercetarea aplicativă este orientată spre aplicarea în practică a faptelor şi generalizărilor

obţinute în urma cercetărilor teoretice şi empirice.

1.4. Etapele cercetării psihologice

Cercetarea psihologică include o serie de etape obligatorii, care reflectă logica acestui

proces:

1) enunţarea problemei de cercetare;

2) structurarea planului de cercetare;

3) culegerea de informaţii;

4) analiza şi interpretarea informaţiilor;

5) reformularea enunţurilor teoretice;

6) publicarea raportului de cercetare.

Enunţarea problemei de cercetare

O problemă este definită ca o lipsă de informaţii şi precizarea acestei necunoscute este

primul pas într-o cercetare. Pentru a delimita obiectivele unei cercetări este necesar să se ştie ce

informaţii există în domeniul în care se încadrează tema pentru care s-a optat. În cadrul activi-

tăţilor de documentare se include atît parcurgerea literaturii de specialitate, dar şi observaţia nes-

tructurată. Este o metodă adecvată acestei etape deoarece nu presupune un plan grilă ante stabilit

dar poate preciza obiectivele prin confruntare cu realitatea. Această etapă se finalizează în mo-

mentul în care pot fi stabilite ipotezele teoretice de cercetare (sau ipoteze de lucru).

5

Structurarea planului de cercetare

Aceasta etapă presupune transformarea în variabile empirice a conceptelor şi ipotezelor

generale(trecerea de la teoretic la concret). Ca activităţi specifice ea presupune: operaţionalizarea

conceptelor, alegerea metodelor, stabilirea eşantionului de cercetare şi a locului unde aceasta se

va desfăşura. Toate aceste activităţi vor permite traducerea sau transformarea ipotezelor teoretice

în ipoteze empirice (sau ipoteze de cercetare).

Culegerea de informaţii se face cu ajutorul metodelor pentru care s-a optat în etapa ante-

rioară. Rezultatul acestei etape sunt datele de cercetare sau informaţiile de cercetare.

Analiza şi interpretarea informaţiilor

În analiza şi interpretarea informaţiilor se poate opta pentru diferite niveluri, cum ar fi

analiza comparativă a performanţelor medii sau analiza rezultatelor testelor statistice care permit

afirmaţii de tipul: „Rezultatele obţinute ilustrează efecte sistematice şi nu sunt obţinute la întîm-

plare.“ Prin teste statistice se înţelege calculul corelaţiei sau analiza factoriale. Analiza şi inter-

pretarea datelor obligă la confruntarea lor cu o ipoteză stabilită iniţial în cercetare, pentru a des-

coperi în ce măsură rezultatele obţinute confirmă sau infirmă ipoteza respectivă. Interpretarea

reprezintă confruntarea rezultatelor sau a relaţiilor dintre variabile, relaţii care au fost propuse

prin ipoteză. În unele cazuri, ipoteza poate fi o simplă descriere a unor regularităţi, în special

cînd se utilizează metode ca observaţia, iar din punct de vedere al calculelor statistice o simplă

comparaţie de medii sau de procente. Alteori, ipoteza presupune o inferenţă (explicare a cauzali-

tăţii unor fenomene), iar rezultatele sunt obţinute în urma unui studiu corelaţional (teste, chestio-

nare). Această etapă se finalizează atunci cînd se pot face o serie de generalizări empirice.

Reformularea enunţurilor teoretice

Este etapa în care se poate propune revizuirea unui model teoretic preexistent prin prisma

noilor informaţii obţinute. Bineînţeles, această revizuire va fi reluată şi validată prin alte cerce-

tări. În acest moment se face evaluarea întregului studiu, se stabileşte în ce măsură metodele ale-

se au corespuns ipotezei formulate, se stabilesc care au fost sursele de eroare, se stabileşte dome-

niul în care pot fi generalizate rezultatele obţinute. Se integrează noile informaţii la nivelul teorii-

lor deja existente, se anulează informaţiile false, se precizează noi probleme de cercetare, noi

ipoteze.

Publicarea raportului de cercetare

Este etapa care încheie un ciclu de cercetare. Publicarea rezultatelor înseamnă „supune-

rea“ judecăţii comunităţii ştiinţifice, atît a cercetătorului, cît şi a rezultatelor studiului.

Întrebări de verificare

1. Ce este cercetarea psihologică?

2. Care este diferenţa dintre noţiunile de metodologie, metodă şi tehnică?

3. Explicaţi principiile metodologice ale cercetării psihologice?

4. Ce tipuri de cercetare psihologică cunoaşteţi?

5. Numiţi etapele cercetării psihologice.

6

Note

7

TEMA NR. 2.

STATISTICA PSIHOLOGICĂ. CONCEPTELE DE BAZĂ ALE

STATISTICII

2.1. Noțiunea de statistică psihologică

2.2. Conceptele de bază ale statisticii

2.2.1. Colectivitatea statistică

2.2.2. Unitatea statistică

2.2.3. Variabila statistică

2.2.4. Valoarea

2.1. Noţiunea de statistică psihologică

Statistica reprezintă un ansamblu de metode şi tehnici utilizate pentru a colecta, a descrie

şi a analiza date obţinute în urma unor investigaţii ştiinţifice. Astfel, statistica psihologică re-

prezintă un ansamblu de metode şi tehnici utili-zate pentru a colecta, a descrie şi a analiza infor-

maţiile numerice referitoare la fenomenele psihosociale.

În urma dezvoltării istorice statistica modernă s-a separat în două părţi distincte dar com-plementare]:

statistica descriptivă;

statistica inductivă (inferenţa statistică). Statistica descriptivă se referă la regulile observării statistice directe şi la obţinerea in-

formaţiilor ce rezultă din prelucrarea datelor empirice, și include mijloacele clasice ale statisticii:

gruparea datelor, distribuţiile de frecvenţe, corelaţia şi re-gresia, analiza relaţiilor dinamice. Statistica inductivă (inferenţa statistică) se referă la organizarea observării statistice indi-

recte, prin metode şi tehnici de estimare a însuşirilor unei populaţii statistice din observaţii efec-

tuate asupra unei submulţimi de unităţi statistice, numită eşantion

Legea numerelor mari

În dezvoltarea sa statistica s-a preocupat de acele fenomene şi procese care se produc

într-un număr mare de cazuri, denumite fenomene de masă. Aceste fenomene de masă se află sub

incidenţa legii numerelor mari potrivit căreia va-riaţiile întîmplătoare de la tendinţa generală se

compensează reciproc într-un număr mare de cazuri individuale.

Aplicarea metodelor statisticii în vederea interpretării datelor oferite de observarea feno-

menelor de masă permite formularea unor legi statistice. Acestea

exprimă media stărilor unei mase de evenimente, tendinţa dominantă care-şi face loc printr-un

mare număr de abateri întîmplătoare de la această medie. Legea statistică poate fi evidenţiată

numai dacă este supusă observării unui număr sufi-cient de mare de elemente ale ansamblului

studiat (legea numerelor mari).

8

2.2. Conceptele de bază ale statisticii

2.2.1 Colectivitatea statistică

Colectivitatea statistică (populaţia statistică) reprezintă totalitatea elementelor simple

sau complexe supuse stu diului statistic. În funcţie de natura elementelor componente, colectivi-

tăţile statistice pot fi formate din ansambluri de fiinţe, de obiecte sau de evenimente.

Exemple:

elevii unei şcoli, populaţia unui oraş,

numerele unui anumit ziar apărute într-o lună de zile,

accidentele rutiere comise pe raza unui judeţ,

opiniile electorale înregistrate într-un sondaj.

După numărul elementelor componente, colectivităţile statistice pot fi totale sau parţiale.

Primele cuprind totalitatea elementelor componente, în timp ce colectivităţile parţiale, cunoscute

sub denumirea de eşantioane, cuprind un număr reprezentativ de unităţi extrase dintr-o colectivi-

tatea totală. Din acest punct de vedere se întîlnesc cercetări exhaustive - în cazul populaţiilor sta-

tistice totale - şi cercetări selective – ce folosesc proceduri de selecţie a indivizilor ce vor incluşi

în eşantion.

2.2.2. Unitatea statistică

Unitatea statistică (individul statistic) reprezintă elementele componente (constitutive)

ale colectivităţilor statistice. Ele pot fi fiinţe, lucruri, precum şi fapte, evenimente referitoare la

acestea. După gradul de complexitate se clasifică în:

simple, formate dintr-un singur individ (exemple: elevul, angajatul);

complexe, acestea sunt rezultatul organizării sociale şi economice a colectivităţii

(exemple: familia, clasa de elevi, grupa de studenţi).

Deşi, atît termenul de individ cît şi cel de populaţie statistică aduc cu gîndul la natura umană a

lucrurilor, exemplele de mai sus pot fi completate cu unităţi statistice referitoare la lucruri (piesele unui

lot supus controlului de calitate) sau la acţiunea omului asupra lucrurilor (măsurarea repetată a unui ace-

laşi obiect, aruncarea zarului).

2.2.3. Variabila statistică

Variabilele statistice (carcteristi statistice) reprezintă însuşirile ce definesc şi delimi-

tează unităţile statistice. Ele exprimă trăsăturile esenţiale purtate de unităţile statistice ale unei

colectivităţi, adică dimensiunile prin care se observă, se cuantifică, se măsoară şi înregistrează

fiecare unitate din colectivitate. Populaţiile umane, cele mai des întîlnite în studiile psihosociale,

pot fi caracterizate, de exemplu, prin următoarele variabile: sex, vîrstă, nivel de şcolarizare, coe-

ficient de inteligenţă, tip temperamental ş.a.

Caracteristicile statistice au proprietatea de a-şi modifica însuşirile în timp şi spaţiu, de la

o unitate la alta, în funcţie de influenţele exercitate de o multitudine de factori esenţiali şi întîm-

plători care acţionează la nivelul fiecărei unităţi din colectivitate. Această proprietate dă variabi-

lelor statistice caracterul de variabilă aleatorie.

9

În practica de cercetare sunt luate în considerare numai acele variabile care prezintă cel

puţin două valori. Dacă, după o anumită caracteristică toate unităţile ar fi identice, aceasta nu ar

mai necesita nici un fel de analiză, nemaifiind nevoie să se investigheze cum se manifestă indivi-

zii statistici şi care sunt cauzele acestei variaţii. Să presupunem că toţi studenţii ar obţine nota 10

la disciplina „statistică socială”; nu ar avea nici o relevanţă de a fi verificat dacă există o legătură

între aceste note şi mediile aceloraşi studenţi la examenul de bacalaureat.

Aşadar, cu cît o variabilă îmbracă forme mai diverse, cu atît ea capătă o valoare de cu-

noaştere mai mare. Numai diversitatea formelor de manifestare a unei însuşiri îi conferă acesteia

un interes din partea cercetătorului.

După modul de exprimare, variabilele statistice se clasifică în:

variabile cantitative (sau numerice), exprimate prin numere stabilite prin nu-

mărare/măsurare directă sau calcule ulterioare. Numărul stabilit este un număr

cardinal ce redă intensitatea cu care se manifestă însuşirea respectivă în cazul

individului respectiv.

La rîndul lor, variabilele cantitative se clasifică după natura variaţiei în:

variabile discrete, cu variaţie discontinuă, care pot lua numai valori întregi, de

regulă, pozitive. Exemple: numărul de membrii din gospodărie, numărul cuvin-

telor memorate la o probă de memorie.

variabile continue, cu variaţie continuă, care pot lua orice valoare într-un inter-

val dat. Exemple: mediile şcolare anuale, venitul lunar. variabile calitative

(numite şi variabile atributive, categoriale, nominale), sunt caracteristici ale

căror variante de manifestare sunt exprimate atributiv, prin cuvinte. Exemple:

sexul, mediul de provenienţă, tipul temperamental.

Într-un studiu statistic sunt reţinute numai acele caracteristici care prezintă interes pentru

cercetarea întreprinsă. Pot fi zeci, chiar sute de variabile ce pot caracteriza indivizii unei popu-

laţii statistice. De multe ori cercetătorul se limitează la analiza a doar cîteva dintre ele.

De asemenea, tot cercetătorul este cel care stabileşte, uneori, modul de exprimare şi/sau

natura variaţiei unei variabile. O variabilă cantitativă poate fi exprimată calitativ, după cum şi o

variabilă cantitativă continuă poate fi transformată, prin rotunjire, într-o variabilă discretă.

Exemplul clasic în susţinerea observaţiilor de mai sus este cel al variabilei „vîrstă”: exprimată în

ani-luni-zile reprezintă o variabilă cantitativă continuă, exprimată în ani împliniţi este o variabilă

cantitativă discretă, iar atunci cînd se folosesc categoriile tînăr-adult-vîrstnic – o variabilă calita-

tivă.

Foarte multe ori variantele sau atributele variabilelor calitative sunt codificate cu ajutorul

numerelor. Aceste coduri reprezintă nişte identificatori, acordarea lor fiind pur convenţională,

deci ele nu se supun operaţiilor matematice sau prelucrărilor statistice bazate pe operaţii matema-

tice. De exemplu, întrebarea „Vă place cursul de statistică socială?” poate fi codificată prin 0–

NU şi 1–DA sau „Starea civilă” poate fi codificată prin 1-necăsătorit, 2-căsătorit, 3-divorţat, 4-

văduv, 5-alte variante; în ambele exemple ar fi inutilă calcularea mediei, a abaterii standard sau a

oricărui alt indicator rezultat în urma unor calcule matematice.

2.2.4. Valoarea

Valorile unei variabile statistice se mai numesc variante sau atribute ale variabilei şi se

obţin prin acţiuni concrete de cuantificare şi măsurare a unităţilor unei colectivităţi statistice. De

10

exemplu, variabila „mediul de provenienţă” are ca variante: urban şi rural; iar variabila „notele

la examenul de statistică” are ca valori numerele întregi de la 1 la 10.

Întrebări de verificare

1. Determinaţi noţiunea de populaţie statistică?

2. Ce este unitatea statistică?

3. Ce cunoaşteţi despre variabila statistică?

4. Ce sunt valorile unei variabile?

11

Note

12

TEMA NR. 3.

CONCEPTUL DE MĂSURARE

3.1. Măsurarea în psihologie

3.2. Scale (nivele) de măsură

3.2.1. Scala nominală

3.2.2. Scala ordinală

3.2.3. Scala de intervale

3.2.4. Scala de rapoarte

3.1. Măsurarea în psihologie

A măsura înseamnă a atribui valori numerice sau simboluri caracteristicilor obiectelor

sau fenomelor, în conformitate cu anumite reguli. Utilizarea acestor reguli este posibilă numai

prin intermediul instrumentelor de măsură: termometru sau riglă, în cazul măsurării temperaturii

sau lungimii; testul sau chestionarul, în cazul măsurării unor variabile psihologice. Spre exem-

plu, a măsura coeficientul de inteligenţă (IQ) înseamnă a atribui o cifră caracterului reacţiei de

răspuns a omului, care apare la un grup de exerciţii tipizate din testul de inteligenţă (instrument

de măsură).

Orice tip de măsurare presupune prezenţa unor unităţi de măsură. Majoritatea variabilelor

psihologice nu au unităţi de măsură proprii. Valoarea caracteristicilor psihologice se determină

cu ajutorul scalelor de măsură.

3.2. Scale (nivele) de măsură

3.2.1. Scala nominală

Aplicarea scalei nominale (calitativă, categorială sau de clasificare) presupune reparti-

zarea obiectelor pe categorii, care nu se intersectează. Obiectele aparţinînd aceleaşi categorii sunt

identice (sau aproape identice) după o particularitate sau proprietate. Bunăoară, scale nominale

pot fi considerate clasificarea temperamentelor sau a accentuărilor de caracter.

Scala nominală determină numai diferenţa calitativă dintre diferite particularităţi sau pro-

prietăţi. Astfel, nu putem constata, spre exemplu, că una din particularităţi este mai mare sau mai

mică, mai bună sau mai rea.

Simbolurile, care sunt atribuite obiectelor la nivel nominal, sunt convenţionale şi nu

conţin nici o informaţie despre obiect sau fenomen. De aceea, cu ele nu se efectuează operaţii

matematice.

Cea mai simplă scală nominală este scala dihotomică, conţinînd numai 2 categorii: 0 şi 1,

a şi b, feminin şi masculin etc. Particularităţile măsurate pe această scală se numesc alternative.

Unitatea de măsură cu care noi operăm (acţionăm) la nivel nominal este o observare, iar

numărul total al observărilor se numeşte frecvenţă.

13

3.2.2. Scala ordinală

Scala ordinală (de ordine, de rang sau ierarhică) repartizează obiectele pe clase (nu

mai puţin de 3 clase), care sunt plasate într-o anumită ordine: crescătoare sau descrescătoare.

Spre exemplu, scala ierarhică a necesităţilor umane a lui A. Maslow este ordinală, scalele pentru

măsurarea inteligenţei, măsurarea temperaturii în sistemul Celsius sau sistemul Fahrenheit etc.

Diferenţa reală dintre clase nu poate fi stabilită, ci numai succesiunea acestora. De exem-

plu, clasele ,,corespunde pentru ocuparea locului vacant” şi ,,corespunde cu reticenţă (rezervă)”

se află mai aproape una de cealaltă, decît clasele ,, corespunde pentru ocuparea locului vacant” şi

,,nu corepunde”.

De la clase putem trece la cifre, dacă celei mai mici clase îi vom atribui rangul (codul

sau cifra) 1, clasei mijlocii – rangul 2, iar celei mai mari clase – rangul 3. Rangurile indică doar

ordinea de succesiune a claselor. Cu cît mai mare este numărul claselor, cu atît mai mare este

posibilitatea de a realiza prelucrarea statistică a datelor. Operaţiile matematice la nivel ordinal se

efectuează cu rangurile.

3.2.3. Scala de intervale

Scala de intervale (metrică sau numerică) clasifică după principiul ,,mai mare cu un

anumit număr de unităţi – mai mic cu un anumit numă de unităţi”. Fiecare din valori a scalei se

află la o distanţă egală de cele vecine, formînd intervale. Ordinea succesiunii a valorilor se păs-

trează.

O particularitate importantă a acestei scale este lipsa punctului de reper (zero este con-

venţional şi nu indică lipsa însuşirii măsurate). Astfel, măsurarea cu acest tip de scală este inde-

pendentă de originea unităţii de măsură aleasă, fiind posibilă trecerea de la un sistem de măsura-

re la altul.

Exemple de scală de intervale sunt diferenţialul lui Osgood, 16 PF, testul de inteligenţă a

lui Wechsler etc.

3.2.4. Scala de rapoarte

Scala de rapoarte (de proporţii, de interval cu origine raţională) are aceleaşi proprie-

tăţi ce şi scala de intervale. Deosebirea ei constă în posedarea a unui 0 absolut (altfel spus, nu

există nici o valoare mai mică decît valoarea 0) şi precizarea clară a semnificaţiei unităţii de mă-

sură, ceea ce face posibil compararea raporturilor dintre gradaţiile scalei. De exemplu, scala pra-

gurilor de sensibilitate absolută.

Întrebări de verificare

1. Ce este măsurarea psihologică?

2. Ce este scala de măsură?

3. Care tipuri de scale de măsură cunoaşteţi?

4. Prin ce se deosebesc scalele de măsură una de cealaltă?

5. Daţi exemple de fiecare tip de scală de măsură.

14

Note

15

TEMA NR. 4.

CONCEPTUL DE EŞANTION

4.1. Eşantioane dependente şi independente

4.2. Cerinţele faţă de eşantion

4.3. Formarea şi volumul eşantionului reprezentativ

4.4. Volumul eşantionului reprezentativ

4.1. Eşantioane dependente şi independente

Eşantioanele se numesc independente dacă rezultatele măsurării unei însuşiri la un

eşantion nu influenţează rezultatele măsurării aceleiaşi însuşiri la celălalt eşantion.

Eşantioanele sunt dependente dacă rezultatele măsurării unei însuşiri la un eşantion in-

fluenţează rezultatele măsurării la celălalt eşantion. Grupul de oameni, la care a fost măsurată

repetat aceeaşi caracteristică, de asemenea se numeşte eşantion dependent.

4.2. Cerinţele faţă de eşantion

Cu scopul acumulării datelor complete şi nedenaturate despre populaţia statistică eşantio-

nul trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:

omogenitatea;

reprezentativitatea.

Omogenitatea se referă la componenţa eşantionului: toţi subiecţii cercetării trebuie să fie

identici după unul sau mai multe criterii. Spre exemplu, psihologul studiind adolescenţii nu poa-

te să includă în eşantion şi adulţi.

Reprezentativitatea permite răspîndirea concluziilor statistice asupra colectivităţii statisti-

ce. Eşantionul se consideră reprezentativ atunci cînd principalele caracteristici ale populaţiei sta-

tistice sunt prezentate în el aproximativ în aceeaşi proporţie şi cu aceeaşi frecvenţă. Altfel spus,

eşantionul reprezentativ este un model mic după mărime, dar exact, al colectivităţii statistice, pe

care el o reflectă.

4.3. Formarea eşantionului reprezentativ

Eşantionul reprezentativ poate fi extras din colectivitatea statistică utilizînd următoarelor

metode:

eşantionarea aleatoare;

eşantionarea dirijată.

Esantionarea aleatoare este tipul de eşantionare prin care fiecărei unităţi din populaţia staistică i

se acordă aceeaşi şansă de a face parte din eşantion. Procedeul cel mai practic în acest scop este

procedeul tabelelor cu numere întîmplătoare. Dintr-o carte care contine astfel de numere, se ci-

16

tesc şi se reţin n numere cuprinse intre 1 şi N, presupunînd existenţa numerotării prealabile a

unităţilor colectivităţii statistice de la 1 la N, după un criteriu, care nu are legatură cu variabilele

studiate. Dupa n citiri rezultă astfel un eşantion de n numere, care dupa identificarea unităţilor

corespunzătoare din populaţia statistică, conduce la eşantionul aleator al unităţilor. Deasemenea,

poate fi aplicat proceseul tragerii la sorţ.

Esantionarea dirijată este tipul de eşantionare în care unităţile componente ale eşantionului sunt

prelevate în baza unor criterii prealabil stabilite.

4.4. Volumul eşantionului reprezentativ

Volumul eşantionului depinde de sarcinile cercetării. Atunci cînd psihologul îşi pune sar-

cina de a studia proprietăţile, care sunt specifice multor reprezentanţi ai populaţiei statistice, vo-

lumul eşantionului devine important: cu cît volumul lui este mai mare, cu atît mai veridice sunt

rezultatele cercetării. Volumul eşantionului depinde şi de gradul de omogenitate a fenomenului

studiat: cu cît mai omogen este fenomenul, cu atît mai mic poate fi eşantionul. De asemenea,

volumul eşantionului depinde de metodele statistice care vor fi aplicate.

Întrebări de verificare

1. Ce este un eşantion?

2. Numiţi tipurile de eşantion.

3. Care sunt cerinţele înaintate faţă de un eşantion?

4. Cum se formează un eşantion reprezentativ?

5. Ce volum trebuie să aibă un eşantion?

17

Note

18

TEMA NR. 5.

SISTEMATIZAREA, PREZENTAREA ŞI REPREZENTAREA

DATELOR STATISTICE

5.1. Sistematizarea datelor statistice

5.1.1. Clasificarea datelor statistice

5.1.2. Gruparea datelor statistice

5.2. Modalităţi de prezentare şi reprezentare a datelor statistice

5.2.1. Serii statistice

5.2.2. Tabele statistice

5.2.3. Grafice statistice

5.1. Sistematizarea datelor statistice

Statistica de regulă operează cu volume mari de date. Dacă aceste date sunt prezentate

haotic, este dificil, investigînd vizual setul de date, să-l caracterizăm prin trăsăturile sale esenţia-

le, prin valorile extreme etc. De aceea, este necesar ca setul de date să fie supus unor operaţii de

prezentare sistematică, de organizare, de ordonare a acestor date după unul sau mai multe criterii,

adică este necesară sistematizarea datelor.

Această operaţie face trecerea de la observarea statistică şi prelucrarea propriu-zisă a da-

telor statistice.

Sistematizarea este o parte a prelucrării primare a datelor statistice.

Sistematizarea datelor se realizează prin gruparea şi clasificarea datelor statistice.

Atunci cînd criteriul (caracteristica) după care se efectuează sistematizarea este unul numeric

(cantitativ), ea se numeşte grupare, iar cînd operaţia se efectuează după un criteriu nenumeric

(calitativ), ea se numeşte clasificare.

La realizarea unei clasificări sau grupări, trebuie să fie îndeplinite următoarele cerinţe:

omogenitate

unicitate

completitudine

Omogenitatea constă în faptul că unităţile statistice, care au aceeaşi valoare sau valori

apropiate, asemănătoare, ale caracteristicii după care se efectuează sistematizarea, vor fi incluse

în aceeaşi clasă; în felul acesta, se doreşte ca variaţia valorilor caracteristicii, incluse în aceeaşi

grupă sau clasă, să fie cît mai mică.

Unicitatea indică că o unitate statistică trebuie inclusă într-o singură clasă sau grupă, ea

nu se poate regăsi simultan în două sau mai multe clase sau grupe.

Completitudinea înseamnă că toate unităţile statistice să fie incluse în grupe sau clase, să

nu fie exclusă vre-o unitate din operaţia de sistematizare.

5.1.1. Clasificarea datelor statistice

Sistematizarea datelor efectuată după o variabilă nenumerică se numeşte clasificare. Ea

presupune împărţirea unităţilor în clasele (categoriile) variabilei nenumerice.

19

Se construieşte un număr de clase egal cu numărul categoriilor existente, iar prin număra-

rea unităţilor statistice incluse în fiecare clasă obţinem frecvenţa acelei clase (volumul ei).

Unele clasificări au caracter oficial, altele au caracter neoficial.

Dacă datele sunt sistematizate după o variabilă categorială (nominală), ordinea claselor

este lăsată la îndemîna cercetătorului (Tabelul nr. 1).

Tabelul nr. 1.

Distribuţia absolvenţilor unei facultăţi psihologice după specializări

Specializarea Numărul de ab-

solvenţi (ni)

Psihologie 95

Psihopedagogie specială 72

Pedagogie 55

Psihologia învăţămîntului primar şi preşcolar 43

Total 265

Dacă datele se referă la variabile ordinale, clasele trebuie să respecte criteriul de ordine

(Tabelul nr. 2).

Tabelul nr. 2.

Distribuţia studenţilor unei grupe după calificativul obţinut la un proiect

Calificativ (xi) Numărul de stu-

denţi (ni)

Insuficient 3

Satisfăcător 4

Bine 15

Foarte bine 6

Excelent 2

Total 30

5.1.2. Gruparea datelor statistice

Gruparea reprezintă sistematizarea datelor după o variabilă (caracteristică) numerică.

În funcţie de tipul variabilei de grupare (discretă sau continuă) şi de plaja valorilor pe

care le poate caracterizarea, gruparea se poate face:

pe variante;

pe intervale.

Gruparea datelor statistice pe variante se efectuează atunci cînd datele se grupează după

o variabilă discretă sau cînd intervalul valorilor pe care îl poate cuprinde caracteristica nu este

foarte mare.

În cazul grupării pe variante, se formeză un număr de grupe egal cu numărul de variante.

Prin numărarea unităţilor incluse în fiecare grupă se obţine frecvenţa grupei (frecvenţa absolută).

Gruparea datelor statistice pe intervale se realizează atunci cînd datele se sistematizează după o

variabilă continuă, care are un interval larg de valori.

Gruparea pe variante poate fie efectuată pe intervale de mărime egală sau diferită.

20

Pentru realizarea grupării pe intervale egale de variaţie este necesară parcurgerea următo-

rilor paşi:

1) se determină amplitudinea variaţiei caracteristicii, ca diferenţă dintre valoarea maximă şi

valoarea minimă a caracteristicii:

A = xmax – xmin.

2) Se stabileşte numărul de grupe. În acest caz pot exista două situaţii:

numărul de grupe (r) este prestabilit;

numărul de grupe (r) nu este prestabilit.

În cazul cînd numărul de grupe nu este prestabilit, dacă unităţile se repartizează normal după

caracteristica studiată, se poate utiliza pentru determinarea numărului de grupe relaţia lui Stur-

ges:

r = 1+ 3,322 ⋅ lg n,

unde n este numărul total de unităţi ale colectivităţii.

Este recomandat a se folosi un număr potrivit de grupe (de regulă între 4 şi 10). Utilizarea

unui număr prea mare de grupe poate duce la fărămiţarea excesivă a colectivităţii (putînd apare,

în acest caz şi grupe cu frecvenţe nule, iar gruparea ar trebui refăcută). Utilizarea, dimpotrivă, a

unui număr prea mic de grupe ar putea să nu pună în evidenţă principalele tipuri calitative ale

populaţiei după variabila urmărită.

3) Se determină mărimea intervalului de grupare (h), ca raport între amplitudinea ca-

racteristicii şi numărul de grupe:

ℎ =𝐴

𝑟

Pentru a uşura calculele, este necesară folosirea mărimilor rotunjite de interval, de aceea,

dacă valoarea reieşită din calcul este cu mai multe zecimale, ea se poate rotunji prin adaos la o

valoare imediat superioară, aleasă în mod convenabil.

De exemplu: dacă h = 4,4225, se poate rotunji valoarea la h = 4,5 sau chiar la h = 5.

4) Se formează intervalele de grupare, prin precizarea limitelor exacte ale acestora:

xmin – xmin+h

xmin+h - xmin+2h

.....................................................

xmin + (r - 1)h - xmin + r⋅h

Este bine să nu existe suprapuneri de limite, astfel încît la efectuarea grupării să poată fi

respectată condiţia de unicitate.

Dacă limita superioară a unui interval coincide cu limita inferioară a intervalului următor,

intervalele se numesc continue, iar dacă între limita superioară a unui interval si limita inferioară

a intervalului următor există o diferenţă de o unitate întreagă sau zecimală, intervalele se numesc

discontinue sau discrete.

5.2. Modalităţi de prezentare şi reprezentare a datelor statistice

Rezultatul sistematizării datelor prin grupare sau clasificare se prezintă sub formă de:

serii statistice;

tabele statistice;

grafice statistice.

21

5.2.1. Serii statistice

Seria statistică reprezintă un mod organizat de prezentare a datelor, sub forma a două

şiruri: primul se referă la criteriul de sistematizare, iar al doilea cuprinde datele numerice sau

frecvenţele de apariţie şi depinde de ordinea de apariţie din primul şir.

Fig. 1. Serie de frecvenţe

valorile variabilei

(sau grupele de variante)

x (vîrsta) 20 ani 30 ani 40 ani 50 ani

f 14 36 47 21

frecvenţele absolute

termen al seriei

statistice

În funcţie de modul de prezentare al variantelor, seriile statistice, se împart în:

serii simple – obţinute prin simpla înşiruire a valorilor individuale;

serii de (pe) variante – cînd fiecărei variante îi revine un anumit număr de uni-

tăţi;

serii de (pe) intervale – cînd fiecărui interval, mărginit de o limită inferioară şi

de una superioară, îi revine un anumit număr de unităţi.

Ultimele două tipuri se mai numesc şi serii (repartiţii) de frecvenţe şi formează ceea ce se

numeşte distribuţie statistică.

În funcţie de natura şi modul de manifestare ale variabilei studiate se disting două tipuri

principale de serii statistice: serii statistice cantitative sau calitative. La acestea pot fi adăugate

alte două tipuri de distribuţii statistice, la care criteriul după care se face diferenţierea este spaţiul

sau timpul: serii statistice spaţiale şi cronologice.

5.2.2. Tabele statistice

Tabelele reprezintă un instrument complementar al graficelor de prezentare rapidă şi efi-

cientă a datelor, dar şi de sistematizare a acestora.

Tabelul statistic cuprinde una sau mai multe serii statistice, ai căror termeni sunt înscrişi

într-o reţea de linii şi coloane.

Pentru ca un tabel statistic să fie corect elaborat şi să-şi atingă scopul, trebuie să conţină

un set de elemente şi să respecte unele reguli:

o titlul tabelului;

o macheta tabelului;

o subiectul tabelului;

o predicatul tabelului;

o rubricile tabelului;

o datele statistice;

22

o notele explicative.

Titlul tabelului este un element obligatoriu plasat înaintea tabelului, care descrie clar şi

concis conţinutul datelor pe care le cuprinde.

Macheta tabelului este o reţea de linii verticale şi orizontale, care, intersectîndu-se, for-

mează rîndurile şi coloanele tabelului. În rubricile formate se înscriu datele numerice.

Subiectul tabelului este format din populaţia la care se referă datele înscrise în tabel.

Predicatul tabelului este format din sistemul de indicatori redaţi în tabel.

Datele statistice se înscriu în rubricile tabelului şi pot fi sub formă numerică sau textuală.

Notele explicative însoţesc un tabel statistic atunci cînd este necesar să se precizeze anu-

mite aspecte legate de sursa de informaţii sau de procedeele de culegere şi prelucrare a datelor

prezentate.

5.2.3. Grafice statistice

Graficele sunt o modalitate de prezentare ilustrativă a datelor statistice şi furnizează o

imagine globală a formei unei distribuţii.

Pentru ca un grafic să-şi atingă scopul pentru care a fost proiectat, el trebuie să fie corect

întocmit, să respecte anumite reguli generale, să cuprindă o serie de elemente şi anume:

titlul graficului;

sistemul de coordonate;

scara de reprezentare;

reţeaua graficului;

inscripţia;

legenda;

note explicative;

sursa datelor.

Titlul graficului trebuie să fie scurt, clar şi semnificativ pentru conţinutul fenomenului

reliefat prin seria considerată.

Sistemul de coordonate este un ansamblu de două axe a numerelor, aşezate perpendicular,

avînd aceeaşi origine.

Scara de reprezentare este elementul care stabileşte relaţia dintre unitatea grafică de mă-

sură şi unitatea de măsură a caracteristicii (de exemplu, 1 cm = 1 an).

Reţeaua graficului este formată din linii paralele, orizontale şi verticale, trasate explicit

sau subînţelese, care servesc la înscrierea diferitelor simboluri sau figuri, fără a îngreuna citirea

graficului.

Inscripţia trebuie să fie scurtă şi semnificativă şi plasată cît mai bine în raport cu elemen-

tul din grafic pe care îl explicitează.

Legenda este redată cu scopul de a explica semnificaţia simbolurilor folosite în grafic.

Note explicative sunt necesare în cazul graficelor complexe, pentru o înţelegere mai bu-

nă. Notele generale privesc în ansamblu graficul şi se plasează chiar sub titlul graficului. Notele

speciale privesc porţiuni din grafic şi sunt legate de acestea prin diverse semne de trimitere. No-

tele se plasează în partea de jos a diagramei, în colţul din stînga sub reţea.

Sursa datelor se trece, obligatoriu, sub grafic, pentru a preciza provenienţa datelor.

Mai jos sunt prezentate cîteva exemple de grafice statistice.

23

Histogramă

Sursa datelor din grafic: raportul Biroului Naţional de Statistică ,,Violenţa împotriva fe-

meilor în familie în Republica Moldova”, Chişinău, 2011.

Diagramă

Întrebări de verificare

1. Ce este sistematizarea datelor?

2. Prin ce se realizează sistematizarea datelor?

3. Cum pot fi prezentate şi reprezentate datele statistice?

4. Ce sunt seriile statistice?

5. Ce sunt graficele şi tabele statistice?

0

50

100

AGRESATĂ VERBAL

INTIMIDATĂ SAU SPERIATĂ

UMILITĂ INSULTATĂ

32,4 44,3 30,3

83,838,1 54,6 37

91,4

Fig. 2. Ponderea femeilor care s-au confruntat cu diferite forme de violență

psihologică

pe parcursul vieții în ultimele 12 luni

15%

35%50%

0%

Fig. 3. Statusul marital al angajaților unei organizații

Divorțați

Celibatari

Căsătoriți

24

Note

25

TEMA NR. 6.

INDICATORI AI TENDINŢEI CENTRALE

6.1. Media aritmetică

6.2. Quantilele

6.3. Modul

6.1. Media aritmetică

Media aritmetică (m, x sau μ), reprezintă, în cazul datelor negrupate, raportul dintre

suma valorilor variabilei respective şi numărul lor.

𝑚 =∑ 𝑥𝑖

𝑛

Dacă datele sunt grupate (distribuţii de frecvenţe), media – numită uneori medie aritmeti-

că ponderată – va fi:

𝑚 =∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

În cazul grupării valorilor pe intervale, în formula de mai sus xi reprezintă valoarea cen-

trală a intervalului.

6.2. Quantilele

O altă categorie de indicatori ai tendinţelor centrale o reprezintă quantilele. Acestea sunt

indicatori de poziţie şi au rolul de a împărţi seria de date într-un anumit număr de părţi. Dintre

quantilele cele mai des sunt:

mediana

quartilele

Mediana (M sau Me), este valoarea care împarte seria ordonată de date în două părţi ega-

le. Jumătate din valori (50%) se găsesc în partea stîngă a medianei iar cealaltă jumătate în partea

dreaptă. Pentru calculul medianei este absolut necesară ordonarea seriei statistice, fie crescător,

fie descrescător (aspect fără importanţă în cazul calculului valorilor medii). Pentru care element

al unei serii cu număr impar este mediana se calculează cota medianei după formula:

Cota M = (n+1)/2

De exemplu, presupunînd că notele, ordonate crescător, obţinute de un lot de nouă subi-

ecţi sunt:

4 5 6 7 7 8 8 8 9

26

cota medianei va fi (9+1)/2 = 5, astfel încît mediana va corespunde celui de-al cincilea termen

din serie, adică 7. Se observă că şi în stînga şi în dreapta acestei valori se află un număr egal de

valori.

Pentru seriile formate dintr-un număr par de valori formula (5.3) rămîne valabilă, numai

că rezultatul nu va fi întotdeauna un număr întreg. Se va vorbi de doi indicatori centrali, poziţia

medianei fiind între termenul n/2 şi (n/2)+1. În acest caz, mediana se calculează făcînd media

celor două valori, putînd să coincidă (dacă valorile corespunzătoare termenilor n/2 şi (n/2)+1

sunt egale), sau nu (în caz contrar), cu una din valorile seriei.

Dacă în exemplul anterior mai apare un subiect cu nota 9 va fi o serie cu zece termeni:

4 5 6 7 7 8 8 8 9 9

mediana va fi dată de media valorilor corespunzătoare termenilor cinci şi şase, adică 7,5.

Quartilele (Q) reprezintă alte tipuri de quantile, ele împărţind seria de date în patru părţi

egale, astfel [7, p. 34]:

quartila 1 (Q1) împarte valorile în 25% (un sfert) şi, respectiv, 75% (trei sfer-

turi);

quartila 2 (Q2 = M) împarte seria de date în două jumătăţi egale, ea fiind, de

fapt, mediana;

quartila 3 (Q3) împarte seria ordonată în 75% şi, respectiv, 25% .

Analog, se definesc şi celelalte quantile: decilele (impart o serie ordonată în zece părţi

egale) şi centilele (impart o serie ordonată într-o sută de părţi egale).

6.3. Modul

Modul sau valoarea modală (Mo) reprezintă valoarea caracteristicii care prezintă frec-

venţa cea mai mare, care apare de cele mai multe ori în seria de date. De exemplu, în cazul unei

serii simple de date de forma:

4 5 5 6 7 7 8 8 8 9

modul va fi 8, această valoare apărînd de cele mai multe ori în cadrul seriei. Pentru o serie de

variante, modul este egal cu valoarea care are cea mai mare frecvenţă, iar pentru o serie de inter-

vale, fie se calculează media intervalului cu cea mai mare frecvenţă, fie rămîne noţiunea de in-

terval modal. De cele mai multe ori seriile statistice au un singur mod, situaţie în care se conside-

ră că este o distribuţie unimodală. Dacă se întîlnesc două sau mai multe valori modale vor fi dis-

tribuţii bi- sau multimodale.

Întrebări de verificare

1. Cum pot fi definiţi indicatorii ai tendinţei centrale?

2. Ce este media aritmetică?

3. Ce sunt quantilele?

4. Ce este modul?

5. Realizaţi o analiză comparativă a indicatorilor ai tendinţei centrale

27

Note

28

TEMA NR. 7.

INDICATORI AI VARIAŢIEI

7.1. Indicatori simpli ai variaţiei

7.2. Indicatori sintetici ai variaţiei

7.3. Indicatori ai formei distribuţiei

7.1. Indicatori simpli ai variaţiei

Se obţin prin compararea a doi termeni din serie sau prin compararea oricărui termen al

seriei cu o valoare fixă din cadrul seriei. Indicatorii simpli sunt:

o amplitudinea;

o abaterea interquartilă;

o abaterile individuale.

Toţi indicatorii pot fi exprimaţi în mărimi absolute (adică în unitatea de măsură a caracteristicii

analizate) sau în mărimi relative, calculate în raport cu media sau mediana.

7.1.1. Amplitudinea

Amplitudinea (A), se obţine prin diferenţa dintre valoarea cea mai mare şi cea mai mică a

caracteristicii respective.

Amplitudinea absolută:

A = xmax – xmin

Amplitudinea relativă:

Ar =xmax − xmin

m

Acest indicator este cel mai simplu de calculat dar şi cel mai dezavantajos, deoarece ţine

seama doar de două valori, cele extreme, fără a oferi informaţii despre termenii din interiorul

seriei [1, p. 64]. Iată două serii statistice (de exemplu: notele obţinute de elevii unei clase la două

discipline diferite) care au aceeaşi amplitudine:

prima serie: 2 3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10

a doua serie: 2 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 10

În ambele cazuri amplitudinea va fi 8 (A = xmax – xmin = 10 – 2 = 8), însă prima serie pre-

zintă o variaţie reală a notelor, pe cînd în cea de-a doua valorile extreme pot fi considerate ex-

cepţii (atipice), nivelul redus al variaţie nefiind reflectat deloc în valoarea amplitudinii. Din aces-

te motive, utilizarea amplitudinii în vederea caracterizării omogenităţii sau eterogenităţii unei

serii statistice trebuie făcută cu rezerve, doar atunci cînd valorile extreme nu se abat foarte mult

de la ceilalţi termeni ai seriei.

29

7.1.2. Abaterea interquartilă

Abaterea interquartilă (I) sau abaterea quartilă, se obţine prin diferenţa dintre quartila

cea mai mare şi cea mai mică a caracteristicii respective. Quartilele sunt în număr de trei (notate

Q1, Q2, Q3); ele împart seria statistică în patru părţi egale. Q2 este mediana seriei.

Abaterea interquartilă absolută:

I = Q3 – Q1

Abaterea interquartilă relativă:

Ir =Q3 − Q1

Q2

Prin utilizarea acestui indicator sunt eliminate valorile extreme, mai precis, valorile situa-

te în primul sfert (între xmin şi Q1) şi ultimul sfert (între Q3 şi xmax) al seriei, reducîndu-se astfel

influenţa acestora. Abaterea interquartilă este preferată în locul amplitudinii atunci cînd valorile

extreme din cadrul seriei sunt atipice, adică se abat prea mult de la ceilalţi termeni ai seriei.

Reluînd exemplul de mai sus, pentru a doua serie statistică abaterea interquartilă este I =

Q1 – Q2 = 7 – 5 = 2, ceea ce reflectă mult mai bine lipsa de variaţie a valorilor seriei.

2 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 10

Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax

7.1.3. Abaterea individuală

Abaterile (deviaţiile) individuale (di), mai precis abaterile individuale de la medie, se

obţin prin diferenţa dintre fiecare valoare şi media aritmetică a caracteristicii respective. La fel

pot fi calculate abaterile individuale de la mediană sau de la oricare altă valoare din cadrul seriei.

Conform proprietăţilor mediei suma acestor abateri individuale este întotdeauna egală cu zero.

Abaterea individuală absolută:

di = xi – m

Abaterea individuală relativă:

di =xi − m

m

Abaterile individuale oferă informaţii doar despre poziţia unuia sau altuia dintre subiecţi

în raport cu media seriei, fără însă a surprinde în mod sintetic gradul de variaţie al caracteristicii.

Pentru aceasta trebuie considerate toate abaterile individuale ale valorilor caracteristicii de la

media lor, lucru posibil de realizat doar cu ajutorul indicatorilor sintetici ai variaţiei.

7.2. Indicatori sintetici ai variaţiei

7.2.1. Abaterea medie

Abaterea medie (d) sau abaterea (deviaţia) medie liniară, se calculează ca o media

aritmetică a tuturor abaterilor individuale, luate în valoare absolută (fără a lua în considerare

semnul – sau +).

30

𝑑 =∑|𝑥𝑖 − 𝑚|

𝑛

Abaterea medie ne arată cu cît se abate în medie fiecare valoare de la nivelul mediu şi se

exprimă în unitatea de măsură a caracteristicii studiate. Dezavantajul acestui indicator constă în

faptul că el acordă aceeaşi importanţă tuturor abaterilor individuale, fără să ţină seama de abate-

rile individuale mai mari care, în valoare absolută, influenţează în mai mare măsură gradul de

variaţie.

7.2.2. Abaterea standard

Abaterea standard (s sau σ), numită şi abaterea medie pătratică sau abaterea tip,

reprezintă rădăcina pătrată din valoarea dispersiei.

Abatere medie pătratică în cazul seriilor simple:

𝑠 = √𝑠2 = √∑(𝑥𝑖 − 𝑚)2

𝑛

Estimarea abaterii standard a unei populaţii, calculată în baza unui eşantion:

𝑠 = √𝑠2 = √∑(𝑥𝑖 − 𝑚)2

𝑛 − 1

7.2.3. Dispersia

Dispersia (s2 sau σ2) sau varianţa, se calculează ca o medie aritmetică a pătratelor abate-

rilor individuale ale tuturor valorilor faţă de media lor.

𝑠2 =∑(𝑥𝑖 − 𝑚)2

𝑛

Estimarea dispersiei unei populaţii, calculată pe baza unui eşantion:

𝑠2 =∑(𝑥𝑖 − 𝑚)2

𝑛 − 1

7.2.4. Coeficientul de variaţie

Coeficientul de variaţie (V) reprezintă raportul dintre abaterea medie pătratică şi media

colectivităţii studiate. Se foloseşte atunci cînd este necesar de comparat gradul de împrăştiere al

unor serii statistice exprimate în unităţi de măsură diferite (de exemplu: înălţimile a două eşanti-

oane de subiecţi, exprimate în centimetrii, respectiv în inch). De asemenea, acest indicator se

utilizează şi cînd seriile statistice au aceeaşi unitate de măsură, dar nivelul general al valorilor

caracteristicii studiate este total diferit (de exemplu: înălţimile unor copii de la grădiniţă şi cele

ale unor elevi de liceu, exprimate în centimetri).

𝑉 =𝑠

𝑚 ∙ 100

31

Acest indicator se exprimă în procente (se poate elimina înmulţirea cu 100, atunci se vor obţine

valori între 0 şi 1) şi arată gradul de omogenitate sau eterogenitate al colectivităţii statistice stu-

diate, astfel: cu cît valoarea coeficientului de variaţie este mai aproape de zero, cu atît variaţia

este mai mică, deci colectivitatea este mai omogenă.

Dacă coeficientul de variaţie este cuprins între 0 şi 15%, înseamnă că împrăştierea datelor

este foarte mică, iar media este reprezentativă, deoarece eşantionul măsurat este omogen.

Dacă valoarea lui este între 15 şi 30%, împrăştierea datelor este mijlocie, media fiind încă

suficient de reprezentativă. Limita maximă admisă pentru ca un eşantion să fie considerat omo-

gen iar media să fie reprezentativă pentru colectivitatea respectivă este de 35%.

Întrebări de verificare

1. Cum puteţi defini indicatorii ai variaţiei?

2. Descrieţi indicatorii simpli ai variaţiei.

3. Descrieţi indicatorii sintetici ai variaţiei.

4. Realizaţi o analiză sintetică ai indicatorilor ai variaţiei.

32

Note

33

TEMA NR. 8.

INDICATORI AI FORMEI

8.1. Oblicitatea

8.2. Boltirea

Gradul de împrăştiere a valorilor unor serii statistice determină şi forme diferite ale repre-

zentărilor grafice ataşate acestor distribuţii statistice. Pentru a reflecta forma unei distribuţii, mai

ales pentru a face comparaţii între două sau mai multe serii, se foloseşte o altă categorie de indi-

catori, numiţi indicatori ai formei. Cei doi indicatori folosiţi în statistica socială sunt: oblicitatea

şi boltirea.

8.1. Oblicitatea

Oblicitatea este necesară pentru aprecierea gradului de simetrie sau asimetrie a unei serii

statistice. Se calculează cu una din formulele:

𝑂 =3 ∙ (𝑚 − 𝑀𝑒)

𝑠

sau

𝑂 =𝑚 − 𝑀𝑜

𝑠

sau

𝑂 =∑(𝑥𝑡 − 𝑚)3

𝑛𝑠3

Prin ridicarea abaterilor individuale la puterea a treia se acordă o mai mare importanţă

valorilor extreme. Poate fi analizat astfel gradul de asimetrie al distribuţiei, altfel spus, tendinţa

valorilor de a se grupa spre una din cele două extreme.

În cazul distribuţiilor simetrice, deoarece media şi mediana sunt identice, oblicitatea va fi

0. În cazul curbelor de distribuţie asimetrice, alungite spre stînga sau spre dreapta, oblicitatea va

avea o valoare negativă, respectiv pozitivă.

Fig. 2

O = 0 O > 0 O < 0

34

8.2. Boltirea

Boltirea exprimă înălţimea „cocoaşei” curbei de distribuţie, comparativ cu cea normală.

Arată măsura în care o distribuţie este mai plată sau mai boltită.

𝐵 =∑(𝑥𝑡 − 𝑚)4

𝑛𝑠4− 3

În cazul valorilor pozitive ale acestui indicator distribuţia este „leptokurtică” (cu cocoaşă

înaltă). În celălalt sens, distribuţia va fi „platikurtică” (cu cocoaşă aplatizată). Valori apropiate de

0 indică o distribuţie „mezokurtică”.

Sunt considerate distribuţii relativ normale cazurile în care aceşti indicatori nu depăşesc

±1,96.

Fig. 3

Mezokurtică Leptokurtică Platikurtică

Întrebări de verificare

1. Ce sunt indicatorii ai formei?

2. Ce este oblicitatea?

3. Cum arată graficul distribuţiei în dependenţă de valoarea oblicităţii?

4. Ce este boltirea?

5. Cum depinde graficul distribuţiei de valoarea boltirii?

35

Note

36

TEMA NR. 9.

PRINCIPIILE VERIFICĂRII IPOTEZELOR STATISTICE

9.1. Verificarea ipotezelor statistice

9.2. Ipoteză nulă şi ipoteză alternativă

9.3. Coeficienţii statistici

9.4. Etapele luării deciziei statistice

9.1. Verificarea ipotezelor statistice

Datele, acumulate în baza unui eşantion, pot fi utilizate pentru a judeca despre populaţia

statistică din care a fost extras eşantionul respectiv. Deoarece în procesul culegerii datelor acţio-

nează diferiţi factori întîmplători, aprecierea parametrilor populaţiei întotdeauna va include un

grad de eroare. Astfel de presupuneri despre proprietăţile şi parametrii populaţiei statistice se

numesc ipoteze statistice.

Verificarea ipotezelor statistice constă în stabilirea corespunderii datelor acumulate cu

ipoteza formulată.

9.2. Ipoteză nulă şi ipoteză alternativă

În procesul verificării ipotezelor statistice se utilizează două noţiuni: ipoteza nulă (H0) şi

ipoteza alternativă (H1).

Ipoteza nulă constă întotdeauna în admiterea caracterului întîmplător al deosebirilor,

adică în presupunerea că nu există deosebiri esenţiale. Respingerea ipotezei nule care este testată

implică acceptarea ipotezei alternative – ipotezei despre diferenţe. Cele două ipoteze reprezintă

presupuneri, mutual exclusive şi exhaustive, asupra valorii parametrului populaţiei sau legii de

repartiţie. Ele sunt mutual exclusive deoarece este imposibil ca ambele ipoteze să fie adevărate şi

ele sunt exhaustive deoarece acoperă toate posibilităţile, adică ori ipoteza nulă, ori ipoteza alter-

nativă trebuie să fie adevărată.

9.3. Coeficienţii statistici

Coeficientul statistic reprezintă o regulă matematică în baza căreia se acceptă sau se

respinge ipoteza statistică. În majoritatea cazurilor, pentru ca diferenţa să fie acceptată ca statistic

semnificativă, este necesar ca valoarea empirică a coeficientului să fie mai mare decît valoarea

critică.

Coeficienţii statistici pot fi unilaterali sau bilaterali, parametrici sau neparametrici, mai

mult sau mai puţin puternici.

Noţiunea de coeficient unilateral sau bilateral depinde de formularea ipotezei: dacă ipo-

teza presupune egalitate între variabile (x = y), atunci pentru verificarea acesteia se aplică coefi-

cientul bilateral. Atunci cînd ipoteza presupune lipsa egalităţii, sunt posibile 2 situaţii:

1) dacă x ≠ y, atunci se utilizează coeficient bilateral;

37

2) dacă x > y sau x < y, atunci se aplică coeficient unilateral.

Coeficienţii parametrici sunt coeficienţii formula cărora conţine media aritmetică şi aba-

terea standard. Ei sunt mai puternici decît coeficienţii neparametrici, dacă caracteristica a fost

măsurată pe scala de intervale şi are o distribuire normală.

Coeficienţii neparametrici sunt coeficienţii formula cărora nu conţine media aritmetică şi

abaterea standard. Pentru calcularea acestor coeficienţi se utilizează rangurile sau frecvenţele.

Gradul de libertate (𝝂) este egal diferenţei dintre numărului de clase în rîndul variaţio-

nal şi numărul de condiţii în care el a fost format. Aceste condiţii sunt volumul eşantionului, me-

dia sau dispersia.

Dacă observaţiile vor fi clasificate după clasele unei scale nominale, iar apoi în fiecare

clasă va fi calculat numărul de observaţii, se va forma un rînd de frecvenţe variaţional. Unica

condiţie de formare a rîndului variaţional, în cazul dat, este volumul eşantionului (n).

Să presupunem că avem 3 clase: ,,Poate utiliza calculatorul”, ,,Poate efectua numai unele

operaţiuni” şi ,,Nu poate utiliza calculatorul”.

Eşantionul constă din 50 de oameni. Dacă prima clasă conţine 20 de oameni, a doua – 20

de oameni, atunci a treia clasă trebuie să includă 10 oameni. Condiţie de formare este volumul

eşantionului. Libertate în determinarea numărului de oameni există numai în cazul primelor două

clase:

𝜈 = c – 1 = 3 – 1 = 2

Cunoscînd volumul eşantionului sau gradul de libertate poate fi determinată valoarea cri-

tică a coeficientului din tabelele valorilor critice a coeficientului respectiv.

Semnificaţia statistică este posibilitatea respingerii greşite a ipotezei nule. Ea se notează

cu 𝛼 sau p. Nivelele semnificaţiei statistice de 0,05 (se admit 5 erori din 100 de elemente (cazuri

sau persoane supuse cercetării)) şi de 0,01 (este admisă o eroare din 100 de elemente) se consi-

deră în statistică standarde.

În procesul luării deciziei statistice valoarea empirică a coeficientului statistic (Vemp),

calculată în baza datelor cercetării, este comparată cu două valori critice (Vcr), care corespund

nivelelor de semnificaţie 0,05 şi 0,01:

Vcr

Vemp, 𝑉𝑐𝑟1 şi 𝑉𝑐𝑟2

se fixează pe axa semnificaţiei (Fig. 4).

Fig. 4. Axa semnificaţiei

zona nedeterminării

0,05 0,01

Vcr1 Vcr2

zona nesemnificaţiei zona semnificaţiei

În cazul plasării Vemp pe axa semnificaţiei pot apărea 3 situaţii:

a) Vemp se află în zona nesemnificaţiei;

b) Vemp se află în zona semnificaţiei;

c) Vemp se află în zona nedeterminării.

38

Atunci cînd Vemp se află în zona nesemnificaţiei se acceptă H0, iar în zona semnificaţiei se

acceptă H1. Excepţie reprezintă coeficienţii G, T Wilcoxon şi U Mann-Whitney. Dacă Vemp este

în zona nedeterminării, psihologul trebuie să ia, în funcţie de importanţa cercetării, una din urmă-

toarele decizii:

1) Vemp poate fi considerată veridică la nivel de 5% (p≤ 0,05), prin urmare se

acceptă H1;

2) Vemp poate fi considerată neveridică la nivel de 1%(p≤ 0,05), prin urmare

se acceptă H0.

În cazul cînd Vemp = 𝑉𝑐𝑟1sau Vemp = 𝑉𝑐𝑟2

pot fi luate, respectiv, următoarele decizii:

1) Vemp poate fi considerată veridică la nivel de 5% (p≤ 0,05), prin urmare se

acceptă H1 sau H0;

2) Vemp poate fi considerată veridică la nivel de 1% (p≤ 0,01), prin urmare se

acceptă H1, iar H0 se respinge.

9.4. Etapele luării deciziei statistice

Luarea deciziei statistice se realizează în următoarele etape:

1) formularea ipotezei nule şi ipotezei alternative;

2) determinarea volumului eşantionului;

3) alegerea nivelului de semnificaţie: p≤0,05 sau p≤0,01 (în dependenţă de impor-

tanţa cercetării);

4) alegerea coeficientului statistic;

5) calcularea matematică a valorii empirice a coeficientului statistic;

6) stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice (vezi

anexele), care corespund gradului de semnificaţie p≤0,05 sau p≤0,01;

7) construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice;

8) formularea deciziei statistice (alegerea ipotezei nule sau ipotezei alternative).

Întrebări de verificare

1. De ce este necesară verificarea ipotezelor statistice?

2. Ce ipoteze statistice cunoaşteţi? Descrieţi-le.

3. Ce este semnificaţia statistică?

4. Care este rolul semnificaţiei statistice?

5. Care sunt etapele luării deciziei statistice?

39

Note

40

TEMA NR. 10.

COEFICIENŢII STATISTICI AI DIFERENŢEI

10.1. Coeficientul t-Student

10.1.1. t-Student pentru eşantioane independente

10.1.2. t-Student pentru eşantioane dependente

10.2. Coeficientul U Mann-Whitney

10.3. Coeficientul T Wilcoxon

10.1. Coeficientul t-Student

t-Student este un coeficient statistic care se utilizează pentru stabilirea asemănărilor sau

diferenţelor dintre mediile aritmetice ale distribuţiilor sau dintre distribuţii empirice.

Condiţiile aplicării coeficientului t-Student sunt:

1) distribuţiile trebuie să corespundă legii distribuţiei normale;

2) dispersiile populaţiilor statistice trebuie să fie egale;

3) volumul eşantionului trebuie să fie mai mare de 30.

10.1.1. t-Student pentru eşantioane independente

Formula coeficientului t-Student pentru eşantioane independente este următoare:

t = |𝑀1−𝑀2|

√(𝑛1−1)𝜎1 2 + (𝑛2−1)𝜎2

2

√𝑛1𝑛2(𝑛1+𝑛2−2)

𝑛1+𝑛2

Unde:

M1, M2 – mediile aritmetice ale distribuţiilor;

n1, n2 – volumul eşantioanelor;

𝜎1, 𝜎2 – abaterile standard ale distribuţiilor.

Exemplul nr. 1. Psihologul a măsurat reacţia senzorial-motrică la grupul de control şi grupul ex-

perimental. Grupul experimental era constituit din 9 sportivi cu calificare

înaltă. Grupul de control era format din persoane care nu făceau sport. Psiho-

logul doreşte să verifice ipoteza privind faptul că viteza reacţiei senzorial-

motrice a sportivilor este mai înaltă decît a oamenilor care nu practică sport.

Rezolvarea

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: viteza reacţiei senzorial-motrice a sportivilor nu este mai înaltă decît a oamenilor

care nu practică sport.

H1: viteza reacţiei senzorial-motrice a sportivilor este mai înaltă decît a oamenilor care

nu practică sport.

41

2. Alegerea coeficientului statistic

t = |𝑚1−𝑚2|

√(𝑛1−1)𝜎1 2 + (𝑛2−1)𝜎2

2

√𝑛1𝑛2(𝑛1+𝑛2−2)

𝑛1+𝑛2

3. Calcularea matematică a coeficientului t-Student pentru eşantioane independente

Tabelul nr. 3

Viteza reacţiei sen-

zorial-motrice în

grupul experimental

(xi)

Viteza reacţiei sen-

zorial-motrice în

grupul de control

(yi)

xi – m1 yi – m2 (xi – m1)2 (yi – m2)

2

504 580 -22 -58 484 3364

560 692 34 54 1156 2916

420 700 -106 62 11236 3844

600 621 74 -17 5476 289

580 640 54 2 2916 4

530 561 4 -77 16 5929

490 680 -36 42 1296 1764

580 630 54 -8 2916 64

470 - -56 - 3136 -

m1 = 526 m2 = 638 28632 18174

Pentru calcularea valorii empirice a coeficientului t-Student este necesar de calculat 𝜎1 şi

𝜎2:

𝜎1 = √∑(𝑥𝑖−𝑚1)2

𝑛1 = √

28632

9 = √2750,67 ≈ 56,4

𝜎2 = √∑(𝑦𝑖−𝑚2)2

𝑛2 = √

18174

8 = √2271,75 ≈ 47,66

temp = |526 − 638|

√(9 − 1)(56,4)2 − (8 − 1)(47,66) 2√

8∙9(8+9−1)

8+9 = =

|−112|

√25447,68−15900,33√

72 ∙16

17 =

112

√9547,35 √

1152

17 =

112

97,71 8,23 = 1,15 ∙ 8,23 ≈ 9,46

4. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Pentru stabilirea valorilor critice trebuie să calculăm gradul de libertate (df).

df = n1 + n2 – 2 = 9 + 8 – 2 = 15

În tabelul valorilor critice găsim valorile critice ai coeficientului t-Student pentru p≤0,05

şi p≤0,01 şi df = 15.

2,131, 𝑝 ≤ 0,05

𝑡𝑐𝑟 =

2,947, p ≤ 0,01

42

5. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

0,05 0,01 temp

2,131 2,947 9,46

temp se află în zona semnificaţiei.

6. Formularea deciziei statistice

𝑡𝑒𝑚𝑝 > 𝑡𝑐𝑟, prin urmare H1 se acceptă, H0 se respinge

Răspunsul: viteza reacţiei senzorial-motrice a sportivilor este mai înaltă decît a oamenilor

care nu practică sport.

10.1.2. t-Student pentru eşantioane dependente

Pentru stabilirea diferenţei dintre eşantioane dependente se utilizează următoarea formulă

de calcul a coeficientului t-Student:

t = ∑ 𝑑𝑖

√∑ 𝑑𝑖2−(∑ 𝑑𝑖)2/𝑛

√𝑛−1

𝑛,

unde:

di – diferenţa dintre valorile distribuţiilor;

n – volumul eşantionului.

Exemplul nr. 2. La un eşantion a fost măsurată anxietatea situativă înainte şi după terapie. A

influenţat oare influenţa terapeutică asupra nivelul anxietăţii situative.

Rezolvarea

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: nivelul anxietăţii situative înainte de influenţa terapeutică nu diferă de nivelul anxi-

etăţii situative după influenţa terapeutică.

H1: nivelul anxietăţii situative înainte de influenţa terapeutică diferă de nivelul anxie-

tăţii situative după influenţa terapeutică.

2. Alegerea coeficientului statistic

t = ∑ 𝑑𝑖

√∑ 𝑑𝑖2−(∑ 𝑑𝑖)2/𝑛

√𝑛−1

𝑛

3. Calcularea matematică a coeficientului t-Student pentru eşantioane dependente

Tabelul nr. 4

Înainte După 𝒅𝒊 𝒅𝒊𝟐

30 20 10 100

33 17 16 256

41 21 20 400

50 43 7 49

36 39 -3 9

43

45 11 34 1156

31 28 3 9

25 20 5 25

92 2004

Introducînd datele necesare din tabel (Tabelul nr. 4) în formula de calcul a coeficientului

t-Stuident pentru eşantioane dependente, primim următoarele:

temp = 92

√2004−922/8√

8−1

8 =

92

√2004−8464/8√

7

8 =

92

√2004−1058 0,94 =

= 92

√946 0,94 =

92

30,76 0,94 = 2,99 – 0,94 = 2,05

4. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Pentru stabilirea valorilor critice trebuie să calculăm gradul de libertate (𝑑𝑓).

𝑑𝑓 = 𝑛 − 1 = 8 – 1 = 7

În tabelul valorilor critice găsim valorile critice ai coeficientului t-Student pentru p≤0,05

şi p≤0,01 şi df = 7.

2,365, 𝑝 ≤ 0,05

𝑡𝑐𝑟 =

3,499, p ≤ 0,01

5. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

0,05 0,01

temp

2,05 2,365 3,499

temp se află în zona nesemnificaţiei.

6. Formularea deciziei statistice

𝑡𝑒𝑚𝑝 < 𝑡𝑐𝑟, prin urmare Ho se acceptă, H1 se respinge

Răspunsul: nivelul anxietăţii situative înainte de influenţa terapeutică nu diferă de nivelul

anxietăţii situative după influenţa terapeutică.

10.2. Coeficientul U Mann-Whitney

Coeficientul U Mann-Whitney se aplică în cazul cînd este necesar de stabilit diferenţa

dintre două distribuţii independente.

Pentru utilizarea acestui coeficient este necesar de respectat următoarele cerinţe:

1) n1, n2≥3 sau n1=2, n2≥5;

2) distribuirile variabilelor se diferă de cea normală.

Coeficientul U Mann-Whitney se calculă după următoarea formulă:

U1 = n1×n2 + 𝑛1 (𝑛1+1)

2 – Rmax

44

U2 = n1×n2 + 𝑛2 (𝑛2+1)

2 – Rmax

Algoritmul de calcul al coeficientului U Mann-Whitney:

1) valorile din ambele distribuţii se unesc într-un şir de date comun, unde sunt aran-

jate în ordine de creştere;

2) stabilirea rangurilor a valorilor din distribuţie;

3) distribuţia comună se împarte în distribuţiile iniţiale, iar fiecărei valori i se atri-

buie rangul stabilit;

4) se calculă suma rangurilor a fiecărei distribuţii;

5) se stabileşte cea mai mare sumă a rangurilor;

6) se calculă valoarea empirică a coeficientului U Mann-Whitney.

Exemplul nr. 3. În cadrul unui experiment desfăşurat în două clase, una din care a studiat după

un program nou (grupul experimental), iar cealaltă – după programul vechi

(grupul de control), a fost desfăşurată o evaluare. De determinat dacă nivelul

de însuşire a cunoştinţelor în grupul experimental este mai înalt decît în cel de

control.

Rezolvarea

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: nivelul de însuşire a cunoştinţelor în grupul experimental nu este mai înalt decît în cel de

control.

H1: nivelul de însuşire a cunoştinţelor în grupul experimental este mai înalt decît în cel de

control.

2. Alegerea coeficientului statistic

U1 = n1×n2 + 𝑛1 (𝑛1+1)

2 – Rmax

U2 = n2×n1 + 𝑛2 (𝑛2+1)

2 – Rmax

3. Calcularea matematică a coeficientului U Mann-Whitney

Tabelul nr. 5

Grupul

experimental

Grupul de

control R1 R2

5 9 4,5 20,5

10 7 22,5 11,5

7 7 11,5 11,5

8 8 16,5 16,5

8 6 16,5 7,5

4 4 2 2

6 4 7,5 2

8 8 16,5 16,5

8 6 16,5 7,5

9 6 20,5 7,5

7 5 11,5 4,5

10 - 22,5 -

168,5 107,5

45

Introducem datele din tabel calculate în formulă:

U1 = 11×12 + 12(12+1)

2 – 168,5 = 132 +

156

2 – 168,5 = 132 + 78 – 168,5 = 210 – 168,5 = 41,5

U2 = 12×11 + 11(11+1)

2 – 168,5 = 132 +

132

2 – 168,5 = 132 + 66 – 168,5 = 198 – 168,5 = 29,5

Uemp este considerată valoarea maximă a coeficientului. Astfel, Uemp = 41,5.

4. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Valoarea critică a coeficientului U se stabileşte după volumul eşantioanelor: n1 = 12 şi n2

= 11.

33, 𝑝 ≤ 0,05

𝑈𝑐𝑟 =

21, p ≤ 0,01

5. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

0,01 0,05 Uemp

21 33 41,5

Uemp se află în zona nesemnificaţiei.

6. Formularea deciziei statistice

𝑈𝑒𝑚𝑝 > 𝑈𝑐𝑟, prin urmare Ho se acceptă, H1 se respinge

Răspunsul: nivelul de însuşire a cunoştinţelor în grupul experimental nu este mai înalt

decît în cel de control.

10.3. Coeficientul T Wilcoxon

Coeficientul T Wilcoxon este o tehnică statistică care se utilizează pentru compararea

rezultatelor măsurării uneia şi aceleiaşi caracteristici în diferite condiţii. El stabileşte nu numai

direcţia, ci şi intensitatea lor.

Coeficientul T Wilcoxon se aplică cînd:

1) variabilele trebuie să fie măsurate cel puţin pe scala ordinală;

2) 5≤n≤50;

3) distribuirea variabilelor diferă de cea normală.

Formula de calcul a coeficientului t Wilcoxon:

T = ∑ 𝑅,

unde:

R – suma rangurilor deviaţiilor în direcţia netipică.

Exemplul nr. 4. Psihologul desfăşoară corecţia cu elevii din clasele primare cu scopul dezvoltării

atenţiei. Trebuie de stabilit dacă numărul de greşeli de atenţie va scade după

aplicarea anumitor exerciţiilor.

Rezolvarea

46

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: intensitatea schimbării atenţiei în direcţia netipică nu diferă de intensitatea schimbării

atenţiei în direcţia tipică.

H1: intensitatea schimbării atenţiei în direcţia netipică diferă de intensitatea schimbării

atenţiei în direcţia tipică.

2. Alegerea coeficientului statistic

T = ∑ 𝑅

3. Calcularea matematică a coeficientului T Wilcoxon

Tabelul nr. 6

Temp = 6,5 + 13,5 + 6,5 = 26,5

4. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Valoarea critică a coeficientului T se stabileşte după volumul eşantionului n = 19.

53, 𝑝 ≤ 0,05

𝑇𝑐𝑟 =

37, p ≤ 0,01

5. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

Înainte După Deviaţia Valoarea

absolută a

deviaţiei

Rangul valorii

absolute a

deviaţiei

24 22 -2 2 10,5

12 12 0 0 2

42 41 -1 1 6,5

30 31 1 1 6,5

40 32 -8 8 15

55 44 -11 11 16

50 50 0 0 2

52 32 -20 20 18

50 32 -18 18 17

22 21 -1 1 6,5

33 34 1 1 6,5

78 56 -22 22 19

79 78 -1 1 6,5

25 23 -2 2 10,5

28 22 -6 6 13,5

16 12 -4 4 12

17 16 -1 1 6,5

12 18 6 6 13,5

25 25 0 0 2

47

0,01 0,05

Temp

26,5 37 53

Temp se află în zona semnificaţiei.

6. Formularea deciziei statistice

𝑇𝑒𝑚𝑝 < 𝑇𝑐𝑟, prin urmare H1 se acceptă, H0 se respinge

Răspunsul: intensitatea schimbării atenţiei în direcţia netipică diferă de intensitatea

schimbării atenţiei în direcţia tipică.

Întrebări de autoevaluare

1. Cînd se aplică coeficientul t-Student?

2. Cum se diferă formula de calcul a coeficientul t-Student pentru eşantioanele independen-

te de cea pentru eşantioanele dependente?

3. Cînd se aplică coeficientul U Mann-Whitney?

4. Cînd se aplică coeficientul T Wilcoxon?

5. Cum se calculă coeficientul T Wilcoxon?

48

Note

49

TEMA NR. 11.

COEFICIENŢII STATISTICI AI CORELAŢIEI

11.1. Noţiunea de corelaţie

11.2. Coeficientul corelaţiei simple

11.3. Coeficientul de corelaţie a rangurilor

11.1. Noţiunea de corelaţie

Corelaţia reprezintă legătura dintre două sau mai multe variabile, care se manifestă prin

schimbări coordonate ale acestora; dar nu explică relaţia de cauză-efect.

Legătura corelaţională se distinge după formă, direcţie şi gradul asocierii:

liniară şi neliniară;

pozitivă şi negativă;

puternică şi slabă.

Legătura corelaţională este liniară, dacă cu creşterea sau descreşterea unei variabile,

creşte sau descreşte cealaltă (Fig. 5). Legătura corelaţională este neliniară cînd creşterea sau des-

creşterea unei variabile conduce la schimbarea celeilalte variabile se desfăşoară în mod neliniar,

ci după alte legi (Fig. 6).

Fig. 5. Legătură corelaţională liniară Fig. 6. Legătură corelaţională neliniară

Legătura corelaţională este pozitivă dacă cu creşterea sau descreşterea unei variabile, cea-

laltă variabilă la fel creşte sau descreşte (Fig. 7). Legătura corelaţională negativă se caracterizea-

ză prin creşterea sau descreşterea unei variabile şi, respectiv, descreşterea sau creşterea celeilalte

variabile (Fig. 8).

Fig. 7. Legătură corelaţională pozitivă Fig. 8. Legătură corelaţională negativă

Gradul de asociere poate fi determinat după valoarea coeficientului corelaţiei. Valorile

coeficientului corelaţiei se află în interiorul intervalului de la -1 la 1. Cu cît valorile coeficientu-

50

lui corelaţiei sunt mai aproape de extremele intervalului, cu atît mai puternică este corelaţia (Fig.

9); iar cu cît mai aproape de 0 este valoarea coeficientului, cu atît mai slabă este legătura core-

laţională (Fig. 10). Coeficientul corelaţiei egal cu 0 indică lipsa legăturii corelaţionale (variabile

independente) (Fig. 11).

Fig. 9. Legătură corelaţională puternică Fig.10. Legătură corelaţională slabă

Fig. 11. Lipsa legăturii corelaţionale

În dependenţă de valoarea coeficientului corelaţiei pot fi distinse următoarele tipuri de

legătură corelaţională:

r>0,70 – puternică;

0,50<r<0,69 – medie;

0,30<r<0,49 – moderată;

0,20<r<0,29 – slabă;

r<0,19 – foarte slabă.

11.2. Coeficientul corelaţiei simple

Coeficientul corelaţiei simple (Pearson) este o tehnică statistică care măsoară şi descrie

gradul de asociere liniară între două variabile.

Condiţiile principale pentru utilizarea coeficientului de corelaţie simplă sunt:

1) variabilele implicate să fie măsurate pe scala de interval sau raport;

2) numărul subiecţilor în distribuţii trebuie să fie egal;

3) forma distribuţiei nu se abate sever de la curba normală.

Formula de calcul a lui r este:

r = ∑(𝑥𝑖−�̅�)(𝑦𝑖−�̅�)

√∑(𝑥𝑖−�̅�)2 ∑(𝑦𝑖−�̅�)2,

51

unde:

𝑥𝑖, 𝑦𝑖 – orice valoare din prima şi, respectiv, a doua distribuţie;

�̅�, �̅� – media aritmetică a valorilor din ambele distribuţii.

Exemplul nr. 1. La 20 de elevi a fost testată gîndirea vizuală imaginară şi cea verbală. A fost

măsurat timpul mediu de rezolvare a problemelor de către elevi în secunde. Pe

psiholog îl interesează da că există o legătură între timpul rezolvării probleme-

lor.

Rezolvarea

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: între timpul mediu de rezolvare a problemelor nu există legătură corelaţională.

H1: între timpul mediu de rezolvare a problemelor nu există legătură corelaţională.

2. Alegerea coeficientului statistic

r = ∑(𝑥𝑖−�̅�)(𝑦𝑖−�̅�)

√∑(𝑥𝑖−�̅�)2 ∑(𝑦𝑖−�̅�)2

3. Calcularea matematică a coeficientului corelaţiei simple

Introducînd datele necesare din tabel (Tabelul nr. 7) în formula de calcul a coeficientului

corelaţiei simple, primim următoarele:

remp = 1262,84

√2188220,22 =

1155,66

1479,26 ≈ 0,78

0,78 >0,70, prin urmare legătura corelaţională este puternică. De asemenea, valoarea lui

este pozitivă, ce ne indică că creşterea sau descreşterea timpului rezolvării problemelor de gîndi-

re vizuală imaginară duce, respectiv, la creşterea sau descreşterea timpului rezolvării probleme-

lor de gîndire verbală.

5. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Pentru stabilirea valorilor critice trebuie să calculăm gradul de libertate (𝑘).

𝑘 = 𝑛 − 2 = 20 – 2 = 18

Din tabelul valorilor critice luăm valorile critice ai coeficientului corelaţiei Pearson pen-

tru p≤0,05 şi p≤0,01 şi k = 18.

0,44, 𝑝 ≤ 0,05

𝑟𝑐𝑟 =

0,56, p ≤ 0,01

6. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

0,05 0,01

remp

0,44 0,56 0,78

52

Remp se află în zona semnificaţiei.

7. Formularea deciziei statistice

𝑟𝑒𝑚𝑝 > 𝑟𝑐𝑟, prin urmare H1 se acceptă, H0 se respinge.

Răspunsul: între timpul rezolvării problemelor de gîndire vizuală imaginară şi timpului rezolvării

problemelor de gîndire verbală există o corelaţie puternică, care se manifestă prin aceea că,

creşterea sau descreşterea timpului rezolvării unui tip de probleme va duce la creşterea sau des-

creşterea timpului rezolvării celuilalt tip de probleme.

11.3. Coeficientul de corelaţie a rangurilor Spearman

Coeficientul de corelaţie a rangurilor este o tehnică statistică care măsoară şi descrie

gradul de asociere şi direcţia acesteia dintre două variabile calitative.

Coeficientul corelaţiei Spearman poate fi utilizat în următoarele cazuri:

1) eşantionul nu este omogen;

2) variabilele sunt măsurate pe scala nominală sau ordinală;

3) volumul eşantionului este mic (de la 5 pînă la 30 de subiecţi).

Pentru a calcula coeficientul corelaţiei Spearman se utilizează următoarea formulă:

𝜌 = 1 − 6 × ∑ 𝑑2

𝑛(𝑛2 − 1)

Unde:

n – numărul de subiecţi;

d – diferenţa dintre ranguri (R).

Exemplul nr. 2. La un eşantion din 17 subiecţi a fost măsurată reacţia ochiului înainte şi

după consumarea alcoolului. Este necesar de aflat cum alcoolul influ-

enţează mişcările ochiului.

Rezolvarea

1. Formularea ipotezei H0 şi ipotezei H1

H0: corelaţia dintre reacţia ochiului înainte şi după consumarea alcoolului nu diferă de 0.

H1: corelaţia dintre reacţia ochiului înainte şi după consumarea alcoolului diferă de 0.

2. Determinarea volumului eşantionului

n = 17

3. Alegerea coeficientului statistic

𝜌 = 1 − 6 × ∑ 𝑑2

𝑛(𝑛2 − 1)

Datele din tabel (Tabelul nr. 8), necesare pentru calcularea coeficientului Spearman, le

introducem în formulă:

𝜌𝑒𝑚𝑝 = 1− 6 ∙767,75

17(172−1) = 1−

4606,5

17(289−1) = 1−

4606,5

17∙288 = 1−

4606,5

4896 = 1−0,94 = 0,06

53

Tabelul nr. 7

Numărul

elevilor

𝒙 𝒚

(𝒙𝒊 − �̅�) (𝒚𝒊 − �̅�) (𝒙𝒊 − �̅�)(𝒚𝒊 − �̅�) (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐 (𝒚𝒊 − �̅�)𝟐

Timpul mediu de rezol-

vare a problemelor de

gîndire vizuală imagi-

nară

Timpul mediu de rezol-

vare a problemelor de

gîndire verbală

1 19 17 -17,55 -8,9 156,2 308 79,21

2 32 7 -4,55 -18,9 86 20,7 357,21

3 33 17 -3,55 -8,9 31,6 12,6 79,21

4 44 28 7,45 2,1 15,65 55,5 4,41

5 28 27 -8,55 1,1 -9,41 73,1 1,21

6 35 31 -1,55 5,1 -7,91 2,4 26,01

7 39 20 2,45 -5,9 -14,46 6 34,81

8 39 17 2,45 -8,9 -21,81 6 79,21

9 44 35 7,45 9,1 67,8 55,5 82,81

10 44 43 7,45 17,1 127,4 55,5 292,41

11 24 10 -12,55 -15,9 199,55 157,5 252,81

12 37 28 0,45 2,1 0,95 0,2 4,41

13 29 13 -7,55 -12,9 97,4 57 166,41

14 40 43 3,45 17,1 59 11,9 292,41

15 42 45 5,45 19,1 104,1 29,7 364,81

16 32 24 -4,55 -1,9 8,65 20,7 3,61

17 48 45 11,45 19,1 218,7 131,1 364,81

18 42 26 5,45 0,1 0,55 29,7 0,01

19 33 16 -3,55 -9,9 35,15 12,6 98,01

20 47 26 10,45 0,1 1,05 109,2 0,01

𝑥 ̅ = 36,55 �̅� = 25,9 1155,66 846,9 2583,8

54

4. Calcularea matematică ρemp a coeficientului corelaţiei Spearman

Tabelul nr. 8

Înainte După R1 R2 d d2

16 24 12,5 17 -4,5 20,25

13 6 6,5 1 7,5 56,25

14 9 8,5 3,5 5 25

9 10 1,5 5 -3,5 12,25

10 23 3,5 16 -12,5 156,25

13 20 6,5 15 -8,5 72,25

14 11 8,5 6 2,5 6,25

14 12 8,5 7 1,5 2,25

18 19 15,5 14 1,5 2,25

20 18 17 13 4 16

15 13 11 8,5 2,5 6,25

10 14 3,5 10,5 -7 49

9 13 1,5 8,5 -7 49

10 14 3,5 10,5 -7 49

16 7 12,5 2 10,5 110,25

17 9 14 3,5 10,5 110,25

18 14 15,5 10,5 -5 25

767,75

Valoarea empirică a coeficientului corelaţiei Spearman are o valoare absolută mică şi este

pozitivă, ce ne demonstrează că legătura corelaţională dintre variabile este foarte slabă, iar

schimbarea valorilor se desfăşoară în aceeaşi direcţie.

5. Stabilirea valorilor critice ai coeficientului după tabelul valorilor critice

Pentru stabilirea valorilor critice este necesară cunoaşterea volumului eşantionului. În

cazul dat n = 17. Din tabelul valorilor critice luăm valorile critice ai coeficientului corelaţiei

Spearman pentru p≤0,05 şi p≤0,01.

0,412, 𝑝 ≤ 0,05

𝜌𝑐𝑟 =

0,582, p≤0,01

6. Construirea axei semnificaţiei şi fixarea pe ea a valorilor critice şi celor empirice

0,05 0,01

ρemp

0,06 0,412 0,582

ρemp se află în zona nesemnificaţiei.

7. Formularea deciziei statistice

ρemp < 𝜌𝑐𝑟, prin urmare H0 se acceptă, H1 se respinge

55

Răspunsul: alcoolul nu influenţează reacţia ochiului în mod semnificativ.

Întrebări de verificare

1. Ce este corelaţia?

2. Ce tipuri de legătură corelaţională cunoaşteţi?

3. Cînd se utilizează coeficientul corelaţiei simple Pearson?

4. Cînd se utilizează coeficientul corelaţiei Spearman?

56

Note

57

Surse bibliografice

1. Clocotici V., Stan A., Statistica aplicată în psihologie, Iaşi: Polirom, 2000. 296 p.

2. Gheorghiu D., Statistica pentru psihologi, Bucureşti: Editura Trei, 2011.

3. Rateau P., Metodele şi statisticile experimentale, Iaşi: Polirom, 2004.

4. Елисеева И. И., Юзбашев М. М., Общая теория статистики: учебник, под ред. И.

И. Елисеевой, М.: Финансы и статистика, 2004, 656 с.

5. Ермолаев О., Математическая статистика для психологов: учебник, изд-во

«Флинта» М., 2002, 336 с.

6. Минашкин В. Г., Шмойлова Р. А., Садовникова Н. А. и др., Теория статистики:

учебно-методический комплекс, Изд. центр ЕАОИ, М., 2008, 296 с.

7. Митина О. В., Математические методы в психологии. Практикум, изд-во «Аспект

Пресс», М., 2008.

8. Наследов А. Д., Математические методы психологического исследования. Анализ

и интерпретация данных, изд-во «Речь», Cпб, 2007, 392 c.

9. Никандров В. В., Экспериментальная психология. Учебное пособие, Издательство

«Речь», СПб., 2003, 480 с.

10.Сидоренко Е.А., Методы математической обработки в психологии, ООО «Речь»,

СПб, 2003.

58

Anexe

Anexa nr. 1

Tabelul valorilor critice ale coeficientului t-Student

df p=0,05 p=0,01 p=0,001

1 12,70 63,65 636,61

2 4,303 9,925 31,602

3 3,182 5,841 12,923

4 2,776 4,604 8,610

5 2,571 4,032 6,869

6 2,447 3,707 5,959

7 2,365 3,499 5,408

8 2,306 3,355 5,041

9 2,262 3,250 4,781

10 2,228 3,169 4,587

11 2,201 3,106 4,437

12 2,179 3,055 4,318

13 2,160 3,012 4,221

14 2,145 2,977 4,140

15 2,131 2,947 4,073

16 2,120 2,921 4,015

17 2,110 2,898 3,965

18 2,101 2,878 3,922

19 2,093 2,861 3,883

20 2,086 2,845 3,850

21 2,080 2,831 3,819

22 2,074 2,819 3,792

23 2,069 2,807 3,768

24 2,064 2,797 3,745

25 2,060 2,787 3,725

26 2,056 2,779 3,707

27 2,052 2,771 3,690

28 2,049 2,763 3,674

29 2,045 2,756 3,659

30 2,042 2,750 3,646

31 2,040 2,744 3,633

32 2,037 2,738 3,622

33 2,035 2,733 3,611

59

34 2,032 2,728 3,601

35 2,030 2,724 3,591

36 2,028 2,719 3,582

37 2,026 2,715 3,574

38 2,024 2,712 3,566

39 2,023 2,708 3,558

40 2,021 2,704 3,551

41 2,020 2,701 3,544

42 2,018 2,698 3,538

43 2,017 2,695 3,532

44 2,015 2,692 3,526

45 2,014 2,690 3,520

46 2,013 2,687 3,515

47 2,012 2,685 3,510

48 2,011 2,682 3,505

49 2,010 2,680 3,500

50 2,009 2,678 3,496

51 2,008 2,676 3,492

52 2,007 2,674 3,488

53 2,006 2,672 3,484

54 2,005 2,670 3,480

55 2,004 2,688 3,476

56 2,003 2,667 3,473

57 2,002 2,665 3,470

58 2,002 2,663 3,466

59 2,001 2,662 3,463

60 2,000 2,660 3,460

61 2,000 2,659 3,457

62 1,999 2,657 3,454

63 1,998 2,656 3,452

64 1,998 2,655 3,449

65 1,997 2,654 3,447

66 1,997 2,652 3,444

67 1,996 2,651 3,442

68 1,995 2,650 3,439

69 1,995 2,649 3,437

70 1,994 2,648 3,435

60

Anexa nr. 2

Tabelul valorilor critice ale coeficientului U Mann-Whitney

p = 0,05

n1 n2

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7

4 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12

5 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18

6 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24

7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36

9 12 15 17 20 23 26 28 30 34 37 39 42

10 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48

11 16 19 23 26 30 33 37 40 44 48 51 55

12 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61

13 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67

14 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74

15 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80

16 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86

17 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93

18 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99

19 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106

20 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112

p = 0,01

n1 n2

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3

0 0 0 1 1 1 2 2 2 2

4 0 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6

5 1 2 3 4 4 6 7 7 8 9 10 11

6 3 4 5 6 6 9 10 11 12 13 15 16

7 4 6 7 9 9 12 13 15 16 18 19 21

8 6 7 9 11 11 15 17 18 20 22 24 26

9 7 9 11 13 13 18 20 22 24 27 29 31

10 9 11 13 16 16 21 24 26 29 31 34 37

11 10 13 16 18 18 24 27 30 33 36 39 42

12 12 15 18 21 21 27 31 34 37 41 44 47

13 13 17 20 24 24 31 34 38 42 45 49 53

14 15 18 22 26 26 34 38 42 46 50 54 58

15 16 20 24 29 29 37 42 46 51 55 60 64

16 18 22 27 31 31 41 45 50 55 60 65 70

17 19 24 29 34 34 44 49 54 60 65 70 75

18 21 26 31 37 37 47 53 58 64 70 75 81

19 22 28 33 39 39 51 56 63 69 74 81 87

20 24 30 36 42 42 54 60 67 73 79 86 92

61

Anexa nr. 3

Tabelul valorilor critice ale coeficientului T-Wilcoxon

n p<0,05 p<0,01

5 0 -

6 2 -

7 3 0

8 5 1

9 8 3

10 10 5

11 13 7

12 17 9

13 21 12

14 25 15

15 30 19

16 35 23

17 41 27

18 47 32

19 53 37

20 60 43

21 67 49

22 75 55

23 83 62

24 91 69

25 100 76

26 110 84

27 119 92

28 130 101

29 140 110

30 151 120

31 163 130

32 175 140

33 187 151

34 200 162

35 213 173

36 227 185

37 241 198

38 256 211

39 271 224

40 286 238

41 302 252

42 319 266

43 336 281

44 353 296

45 371 312

46 389 328

47 407 345

48 426 362

49 446 379

50 466 397

62

Anexa nr. 4

Tabelul valorilor critice ale coeficientului corelaţiei simple Pearson

63

Anexa nr. 5

Tabelul valorilor critice ale coeficientului corelaţiei rangurilor Spearman

n p

0,05 0,025 0,01 0,005

5 0,9

6 0,829 0,886 0,943

7 0,714 0,786 0,893

8 0,643 0,738 0,833 0,881

9 0,6 0,683 0,783 0,833

10 0,564 0,648 0,745 0,794

11 0,523 0,623 0,736 0,818

12 0,497 0,591 0,703 0,78

13 0,475 0,566 0,673 0,745

14 0,457 0,545 0,646 0,716

15 0,441 0,525 0,623 0,689

16 0,425 0,507 0,601 0,666

17 0,412 0,49 0,582 0,645

18 0,399 0,476 0,564 0,625

19 0,388 0,462 0,549 0,608

20 0,377 0,45 0,534 0,591

21 0,368 0,438 0,521 0,576

22 0,359 0,428 0,508 0,562

23 0,351 0,418 0,496 0,549

24 0,343 0,409 0,485 0,537

25 0,336 0,4 0,475 0,526

26 0,329 0,392 0,465 0,515

27 0,323 0,385 0,456 0,505

28 0,317 0,377 0,448 0,496

29 0,311 0,37 0,44 0,487

30 0,305 0,364 0,432 0,478