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ESEMPIO DI ANALISI DI UN OSCILLATORE SEMPLICERedattore: Dott. Ing. Simone Caffè - 26/10/2013
Analizzare il comportamento di un'oscillatore semplice avente rigidezza pari a 939.06 kN/mm, massa pari a 12000kg e soggetto ad una forza armonica verticale pari a 100 kN. Descriverne il comportamento dinamico in termini dispostamento verticale, assumendo inizialmente smorzamento del sistema pari al 2% dello smorzamento critico e poi uno smorzamento viscoso lineare dell'oscillarore pari a 0.63 kNs/mm (a 50 Hz). A seguito di ciò, analizzare ilmedesimo oscillatore considerando rigidezza e smorzamento viscoso lineare, variabili in funzione delle frequenza.
Dati di input:
Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06kN
mm⋅:=
Forza armonica verticale: Fv 100 kN⋅:=
Massa vibrante: mv 12000 kg⋅:=
Periodo proprio di vibrazione: T0 2 π⋅mv
k⋅ 0.02246s=:=
Frequenza propria di vibrazione: f0 T01−
44.52216 Hz⋅=:=
Pulsazione propria di vibrazione: ω0 2 π⋅ f0⋅ 279.74rad
s⋅=:=
CASO A - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari al 2%:
Rapporto di smorzamento: ξA 0.02:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fA "):
uz_real_A fA( )Fv
k
12 π⋅ fA
ω0
2
−
12 π⋅ fA
ω0
2
−
2
2 ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_A fA( )Fv
k
2− ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
12 π⋅ fA
ω0
2
−
2
2 ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
uz_magnitudo_A fA( ) uz_real_A fA( )2uz_imm_A fA( )2+:=
40 45 50 55 600
1 103−
×
2 103−
×
[Hz]
[m]
uz_magnitudo_A fA( )
fA
fA 1 Hz⋅:=
Spostamento massimo nel caso di sistema con smorzamento al 2%:
Maximize uz_magnitudo_A fA, ( ) 44.504 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_A 44.504 Hz⋅( ) 2.663 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:
La matrice di smorzamento [C] è composta da un termine MPD (mass proportional dumping α) che moltiplica lamatrice delle masse [M] e da un termine SPD (stiffness proportional dumping β) che moltiplica la matrice dellerigidezze [K]:
[C] = α[M] + β[K]
MPD ed SPD possiedono due caratteristiche opposte, rese evidenti dalla seguente formulazione:
ξn = α/2ωn + βωn/2
Lo smorzamento modale ξn relativo all'n-esima pulsazione propria ωn è costituito da un primo termine che
diminuisce iperbolicamente all'aumentare della frequenza e da un secondo termine che aumenta linearmenteall'aumentare della frequenza.Nel nostro esempio il rapporto di smorzamento ξ è fissato al 2%, pertanto per ottenere la medesima oscillazione in risonanza che si avrebbe nel dominio del tempo, è necessario che il rapporto di smorzamento istereticopossieda un valore doppio, per fare ciò il coefficiente β deve essere posto uguale al 4%.
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
CASO B1 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari zero e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:
Smorzamento viscoso lineare:
cv 0.63kN s⋅mm
⋅:=
Determinazione dello smorzamento critico:
ccrit_B 2 mv k⋅⋅ 6.7138kN s⋅mm
⋅=:=
Rapporto di smorzamento:
ξB1
cv
ccrit_B
0.0938=:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB1"):
uz_real_B1 fB1( )Fv
k
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
2
2 ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_B1 fB1( )Fv
k
2− ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
2
2 ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
uz_magnitudo_B1 fB1( ) uz_real_B1 fB1( )2uz_imm_B1 fB1( )2+:=
40 45 50 55 601 10
4−×
2 104−
×
3 104−
×
4 104−
×
5 104−
×
[Hz]
[m]
uz_magnitudo_B1 fB1( )
fB1
fB1 1 Hz⋅:=
Spostamento massimo risulta:
Maximize uz_magnitudo_B1 fB1, ( ) 44.128 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_B1 44.128 Hz⋅( ) 0.5699 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:
- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico
Primo modo
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso nello smorzamento isteretico variabilelinearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso è costante a 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare:
ch_50Hz_B1 cv 2⋅ π⋅ 50⋅ Hz⋅ 197.92kN
mm⋅=:=
Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:
ch_40Hz_B1 ch_50Hz_B140 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 158.34kN
mm⋅=:=
ch_60Hz_B1 ch_50Hz_B160 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 237.5kN
mm⋅=:=
NOTA:
Gli FDL sovrascrivono interamente le proprietà assegnate al link.
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
CASO B2 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari al 2% e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:
Smorzamento viscoso lineare:
cv 0.63 skN
mm⋅=
Determinazione dello smorzamento critico:
ccrit_B 6.7138skN
mm⋅=
Rapporto di smorzamento:
ξB2 ξA
cv
ccrit_B
+ 0.1138=:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB2"):
uz_real_B2 fB2( )Fv
k
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
2
2 ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_B2 fB2( )Fv
k
2− ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
2
2 ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
uz_magnitudo_B2 fB2( ) uz_real_B2 fB2( )2uz_imm_B2 fB2( )2+:=
40 45 50 55 601 10
4−×
2 104−
×
3 104−
×
4 104−
×
[Hz]
[m]
uz_magnitudo_B2 fB2( )
fB2
fB2 1 Hz⋅:=
Spostamento massimo risulta:
Maximize uz_magnitudo_B2 fB2, ( ) 43.941 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_B2 43.941 Hz⋅( ) 0.4708 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:
- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico
Primo modo
NOTA:
Il risultato di SAP differiscedello 0.21% rispetto aquello manuale.
Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso più lo smorzamento del s istema, nellosmorzamento isteretico variabile linearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso vale 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare e pari a:
ch_50Hz_B2 4 π⋅ ξA⋅ k mv⋅⋅ 50⋅ Hz⋅( ) cv 2⋅ π⋅ 50⋅ Hz⋅( )+ 240.1kN
mm⋅=:=
Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:
ch_40Hz_B2 ch_50Hz_B240 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 192.08kN
mm⋅=:=
ch_60Hz_B2 ch_50Hz_B260 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 288.13kN
mm⋅=:=
CASO C - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari a zero. La rigidezza e lo smorzamento dell'oscillatore variano al variare delle frequenza :
Rigidezza variabile: Smorzamento addizionale variabile: Frequenza:
k40 1023.27kN
mm⋅:= c40 1.15
kN s⋅mm
⋅:= f40 40 Hz⋅:=
k50 939.06kN
mm⋅:= c50 0.63
kN s⋅mm
⋅:= f50 50 Hz⋅:=
k60 736.57kN
mm⋅:= c60 0.64
kN s⋅mm
⋅:= f60 60 Hz⋅:=
Considerando un coportamento lineare tra i suddetti valori, si costruiscono le funzioni di rigidezza e smorzamento in ragione della frequenza:
Funzione di rigidezza variabile:
kvar f( )k40 k50−
f40 f50−f⋅
k50 f40⋅ k40 f50⋅−( )f40 f50−
+ f f50≤if
k50 k60−
f50 f60−f⋅
k60 f50⋅ k50 f60⋅−( )f50 f60−
+ otherwise
:=
40 45 50 55 607 10
8×
8 108
×
9 108
×
1 109
×
1.1 109
×
kvar f( )
f
Funzione di smorzamento variabile:
cv_var f( )c40 c50−
f40 f50−f⋅
c50 f40⋅ c40 f50⋅−( )f40 f50−
+ f f50≤if
c50 c60−
f50 f60−f⋅
c60 f50⋅ c50 f60⋅−( )f50 f60−
+ otherwise
:=
40 45 50 55 606 10
5×
8 105
×
1 106
×
1.2 106
×
cv_var f( )
fPeriodo proprio di vibrazione variabile in ragione della frequenza:
T0_var f( ) 2 π⋅mv
kvar f( )⋅:=
ω0_var f( ) 2 π⋅ T0_var f( )( ) 1−⋅:=
40 45 50 55 600.021
0.022
0.023
0.024
0.025
0.026
T0_var f( )
f
40 45 50 55 60240
250
260
270
280
290
300
ω0_var f( )
f
Smorzamento critico variabile in funzione della frequenza:
ccrit_var f( ) 2 mv kvar f( )⋅⋅:=
40 45 50 55 605.5 10
6×
6 106
×
6.5 106
×
7 106
×
7.5 106
×
ccrit_var f( )
fFunzione del rapporto di smorzamento finale al variare della frequenza:
ξvar f( ) ξA
cv_var f( )
ccrit_var f( )+:=
20 40 60 800.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
ξvar f( )
f
Si definisce ora la parte reale dello spostamento:
uz_real f( )Fv
kvar f( )
12 π⋅ f
ω0_var f( )
2
−
12 π⋅ f
ω0_var f( )
2
−
2
2 ξvar f( )⋅2 π⋅ f
ω0_var f( )
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm f( )Fv
kvar f( )
2− ξvar f( )⋅2 π⋅ f
ω0_var f( )
⋅
12 π⋅ f
ω0_var f( )
2
−
2
2 ξvar f( )⋅2 π⋅ f
ω0_var f( )
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
uz_magnitudo f( ) uz_real f( )2
uz_imm f( )2+:=
40 45 50 55 600
1 104−
×
2 104−
×
3 104−
×
4 104−
×
[Hz]
[m]
uz_magnitudo f( )
f
Spostamento Massimo:
f 1 Hz⋅:=
Maximize uz_magnitudo f, ( ) 46.38 Hz⋅=
uz_magnitudo 46.38 Hz⋅( ) 0.354 mm⋅=
Inputazione dei Frequency Dependent Link su SAP 200 0:
Rigidezze: Smorzamenti isteretici:
k40_SAP k40 1023.27kN
mm⋅=:= c40_SAP 4 π⋅ ξA⋅ mv k40⋅⋅ f40⋅ c40 2⋅ π⋅ f40⋅+ 324.25
kN
mm⋅=:=
k50_SAP k50 939.06kN
mm⋅=:= c50_SAP 4 π⋅ ξA⋅ mv k50⋅⋅ f50⋅ c50 2⋅ π⋅ f50⋅+ 240.1
kN
mm⋅=:=
k60_SAP k60 736.57kN
mm⋅=:= c60_SAP 4 π⋅ ξA⋅ mv k60⋅⋅ f60⋅ c60 2⋅ π⋅ f60⋅+ 286.11
kN
mm⋅=:=
Per interpretare lo scostamento tra il calcolo manuale ed i risultati di SAP, vediamo di studiare l'andamento dellosmorzamento isteretico in funzione della frequenza:
Se l'andamento dello smorzamento viscoso è linerare, l'andamento dello smorzamento isteretico è parabolico,pertanto sarà necessario inputare su SAP più valori in modo da rispettarne il corretto andamento:
NOTA:
Ora il risultato èperfettamente analogo aquello ricavatomanualmente.