9 Tracé des diagrammes de Bode

9.1 Gain pur La fonction de transfert d’un gain pur est H(P)=K, la fonction de transfert harmonique est donc identique : H(jω)=K. D’où :

• Le gain en décibel :

!

GdB = 20logK • La phase :

!

" = 0°

9.2 Intégrateur

La fonction de transfert d’un intégrateur est de la forme :

!

H(p) =K

p, d’où la fonction de

transfert harmonique :

!

H(j") =K

j".

On en déduit : • Le gain en décibel :

!

GdB = 20log(K) " 20log(#) . Ce qui correspond dans le lieu de Bode à une pente de -20 dB par décade (notée (-1)) et qui coupe l’axe des abscisses en ω=K.

• La phase

!

" = #90° car H(jω) est un imaginaire pur.

On peut généraliser au cas où le système a pour fonction de transfert :

!

H(p) =K

pn, on a

alors : • une pente (-n) (-20.n dB par décade) pour le gain • une phase qui vaut -90°.n

9.3 Système du premier ordre

La fonction de transfert harmonique est :

!

H(j") =K

1+ j"#. On note

!

"0

=1

# et l’on écrit :

!

H(j") =K

1+ j"

" 0

Recherche des asymptotes :

• Si

!

" << "0 alors

!

H(j") #K

1= K

• Si

!

" >> "0 alors

!

H(j") #K

j"

" 0

• Si

!

" = "0 alors

!

H(j") =K

1+ j

Diagrammes asymptotiques de gain :

• Si

!

" << "0

!

GdB " 20logK , ce qui est une asymptote horizontale.

• Si

!

" >> "0 alors

!

GdB " 20logK # 20log$

$ 0

, ce qui est une asymptote de pente égale

à -20dB par décade.

• Si

!

" = "0 alors

!

H(j") =K

1+ j# GdB = 20LlogK $ 20log 2 = 20logK $ 3 , ce qui

correspond en fait à un affaiblissement de 3 dB entre l’asymptote horizontale et la courbe réelle.

Remarques : Les deux asymptotes se coupent en

!

" = "0, et

!

"0 est appelée pulsation de

coupure. On parle également de bande passante à -3 dB. Diagrammes asymptotiques de phase :

• Si

!

" << "0 alors

!

" = Arg(K) = 0° .

• Si

!

" >> "0 alors

!

" = Arg(K

j# 0

) = $90° .

• Si

!

" = "0 alors

!

" = Arg(K

1+ j) = #arctan(1) = #45° .

On obtient les tracés suivant :

9.4 Système du second ordre

La fonction de transfert du second ordre est :

!

H(p) =K

1+2"

# 0

p+p2

# 0

2

Nous avons vu lors de l’étude de la réponse temporelle que la réponse du second ordre dépend des racines du dénominateur et donc du facteur d’amortissement

!

" . Nous allons donc distinguer les différents cas.

9.4.1 Cas sur-amorti

!

" > 1 : Dans ce cas, le dénominateur a 2 racines réelles négatives :

!

p1 = "#$ 0 " $ 0 #2" 1

!

p2 = "#$ 0 + $ 0 #2" 1

avec

!

p1 < p2 .

On pose :

!

"1 =#1

p1 et

!

" 2 =#1

p2, on peut alors factoriser la fonction de transfert :

!

H(p) =K" 0

2

(p# p1 )(p# p2)=

K" 0

2

p1p2

#p

p1+ 1

$

% &

'

( ) #

p

p2+ 1

$

% &

'

( )

=K

(1+ *1p)(1+ * 2p)

On peut alors écrire la fonction de transfert harmonique :

!

H(j") =K

(1+ j"#1 )(1+ j"# 2) ,

ce qui correspond à deux systèmes du premier ordre en cascade avec les deux pulsations de coupure :

!

1"1

et

!

1"2

avec

!

1"2

< 1"1

On obtient donc :

• L’asymptote horizontale

!

20logKpour

!

" < 1#2

• L’asymptote

!

20logK " 20log(# 2$) de pente -20 dB par décade pour

!

1"2

< # < 1"1

• L’asymptote

!

20logK " 20log(# 2$) " 20log(#1$) de pente -40 dB par décade pour

!

" > 1#1

Les asymptotes se coupent en

!

1"2

puis en

!

1"1

.

9.4.2 Cas sous amorti

!

" < 1 : Dans ce cas, on écrit directement la fonction de transfert harmonique :

!

H(j") =K

1#"2

" 0

2+2j$"

" 0

Recherche des asymptotes :

• Si

!

" << "0 alors

!

H(j") #K

1= K

• Si

!

" >> "0 alors

!

H(j") #K

$"2

" 0

2

• Si

!

" = "0 alors

!

H(j") =K

2j#

Diagrammes asymptotiques de gain :

• Si

!

" << "0

!

GdB " 20logK , ce qui est une asymptote horizontale.

• Si

!

" >> "0 alors

!

GdB " 20logK # 40log$

$ 0

, ce qui est une asymptote de pente égale

à -40dB par décade. Les deux asymptotes se coupent en

!

" = "0.

Diagrammes asymptotiques de phase :

• Si

!

" << "0 alors

!

" = Arg(K) = 0° .

• Si

!

" >> "0 alors

!

" = ArgK

#$ 2

$ 0

2

%

&

' ' ' '

(

)

* * * *

= #180° (réel pur négatif).

• Si

!

" = "0 alors

!

" = Arg(K

2j#) = $90° .

Cette étude nous permet de tracer les diagrammes asymptotiques du second ordre sous amorti mais elle passe sous silence une propriété fondamentale du second ordre : la résonance. En

effet, si l’on étudie les variations du dénominateur, on observe que pour

!

" #2

2 la courbe

réelle présente un maximum pour la pulsation

!

" = "r

= "01# 2$

2 :

!

GdB,max =K

2" 1# 2"2

!

"r est la pulsation de résonance du second ordre pour

!

" #2

2.

On définit le coefficient de surtension Q qui est le rapport entre le maximum atteint par la

courbe réelle et la valeur de l’asymptote K :

!

Q =1

2" 1# 2"2$ 1

On obtient le tracé suivant dans le cas

!

" >2

2(m >

2

2) : PAS de résonance.

On obtient le tracé suivant dans le cas

!

" #2

2(m #

2

2) : résonance.

Allure des diagrammes de Bode pour différentes valeurs du facteur d’amortissement

9.5 Représentation d’un système quelconque Dans le général où la fonction de transfert n’est pas un simple premier ou second ordre, il faudra exprimer celle-ci comme le produit de fonction dont le tracé est connu :

2 2

0 0

2 2

0 0

(1 ) (1 2 / / )

( )(1 ) (1 2 / / )

j j

l l

i j

i j

k l

k l

p p pk

H pp p p p!

" # $ $

" # $ $

+ + +

=+ + +

% %

% %

Exemple : la mise en équation d’un système asservi a conduit au calcul de la fonction de transfert suivante :

!

H(p) =5(1+ 5p)

p(1+ p+ p2)

Déterminez les diagrammes de Bode asymptotiques du système.