04 Matematica d

Incluso para a vida Matemtica D

PR-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

REGRA DE TRS 1. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando aumentando uma delas implicar o aumento da outra na mesma razo. Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00 3 kg de alimento custam R$ 45,00 5kg de alimento custam R$ 75,00 2. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando aumentando uma delas implicar a diminuio da outra na mesma razo. Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias 4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias 3. Aplicaes Regra de Trs 3.1. Regra de Trs Simples Regra de Trs Simples um processo matemtico mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo duas grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Dito processo consiste no seguinte:

Identificar as grandezas envolvidas no problema. Nas situaes dadas (em relao s mesmas) disp-las

em colunas. Verificar se so GDP ou GIP. Montar a proporo correspondente. Resolver a proporo.

3.2. Regra de Trs Composta Regra de trs composta um processo matemtico mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo trs ou mais grandezas. O processo semelhante ao caso anterior (Regra de trs simples), levando em considerao apenas o item da verificao quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito assim: analisar as grandezas duas a duas, sempre em relao que possui a varivel. A montagem e resoluo da proporo segue o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Trs Simples).

PORCENTAGEM 4. Porcentagem As razes cujos denominadores so iguais a 100 so chamadas razes centesimais.

Exemplo: ;100

27;

100

13 etc.

4.1.Noo Intuitiva O ndice de analfabetismo da cidade x de 23% (l-se 23 por cento). Significa que, em mdia, 23 de cada 100 habitantes so analfabetos.

4.2.Clculo de uma porcentagem Exemplo: 25% de R$ 80,00 R$ 20,00

pois 25% = 100

25= 0,25

Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 4.3. Definio Porcentagem uma razo centesimal que representada pelo smbolo % que significa por cento.

Exerccios de Sala 01) Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o preo de 25Kg do mesmo produto? 02) Sabendo que 36 operrios conseguem construir uma casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operrios, em quanto tempo ser construda a mesma casa? 03) Calcular a) 60% de 30 b) 30% de 20 c) 20% de 300 d) 20% de 20%

e) (20%)2 f) %4 04) Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da

populao. Ento a populao da cidade de: a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes e) 900 000 habitantes

Tarefa Mnima 01) Se trinta litros de um combustvel custam R$ 16,95, quantos custaro oitenta litros do mesmo combustvel? 02) Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo levaro para constru-la 10 pedreiros? 03) Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-se: para quantos dias tero suprimentos, considerando-os inalterveis? 04) Calcular as seguintes porcentagens:

a) 25% de 80 b) 4% de 50 c) 120% de 200 d) 0,15% de 400 e) 20% de 30% f) (5%)2

g) %49 05) Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A porcentagem de reprovao foi de:

a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70%

06) ( UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluram todas as provas. O percentual de absteno foi:

Matemtica D Incluso para a Vida


07) Qual o preo de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%?

a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00 d) 116,00 e) 98,00

08) (CESCEM-SP ) 3% de 0,009 vale: a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009 d) 0,009 e) n.d.a.

Tarefa Complementar 09) ( UNIMEP-SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos so necessrios: a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos 10) Dezesseis operrios trabalhando seis horas por dia constroem uma residncia em cento e oitenta dias. Quantos operrios sero necessrios para fazer a mesma residncia, trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?

a) 18 b) 10 c) 19 d) 20 e) 21

11) Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa sero consumidos em quantos dias?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

12) ( UFSC ) Com uma lata de tinta possvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda lata, em porcentagem, : 13) ( UFSC ) Pedro investiu R$ 1.500,00 em aes. Aps algum

tempo, vendeu essas aes por R$ 2.100,00. Determine o percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

14) ( UFSC ) Um reservatrio contendo 120 litros de gua apresentava um ndice de salinidade de 12%. Devido evaporao, esse ndice subiu para 15%. Determinar, em litros, o volume de gua evaporada. 15) ( UFSC ) Assinale a soma dos nmeros associados (s)

proposio(es) CORRETA(S).

01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao ms. Deseja comprar um bem no valor de R$ 100.000,00, que pode ser pago a vista ou em trs parcelas de R$ 34.000,00, sendo a primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sair lucrando se fizer a compra parcelada. 02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questes um desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10 questes, porm superior a obter 5 acertos numa prova de 9 questes. 04. Duplicando-se o lado de um tringulo eqiltero, sua rea fica tambm duplicada. 08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias para fazer determinado trabalho, ento 3 impressoras (com a mesma eficincia das anteriores) trabalhando 8 horas por dia levaro 6 dias para fazer o mesmo trabalho.

AULA 02

FATORIAL Dado um nmero natural, denomina-se fatorial de n e indica-se por n! a expresso: n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2 1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo) Observao: Podemos desenvolver um fatorial at um fator conveniente. Veja: 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4! 4! 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5! 5! n ! = n. (n 1).(n 2) !

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM FRMULA DO ARRANJO

1. Princpio Fundamental da Contagem O princpio fundamental da contagem, ou princpio multiplicativo, estabelece um mtodo indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 o nmero de possibilidades da 1 Etapa E2 o nmero de possibilidades da 2 Etapa : : En o nmero de possibilidades da n-sima Etapa Ento E1 . E2 . ......... .Ek o nmero total de possibilidades do evento ocorrer. 2. Arranjo Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os pares ordenados a partir do conjunto K. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3) Observe que esses agrupamentos diferem Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3) (1,4) Pela ordem dos elementos: (1, 3) (3, 1)



A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n elementos tomados p a p, e indicado por .

Definio: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n disponveis. FRMULAS PARA O CLCULO DO ARRANJO ARRANJO COM REPETIO A* n,p = np Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar a partir de K ? Resoluo: A*5, 3 = 53 = 125 Logo, podemos formar 125 nmeros de 3 algarismos. ARRANJO SEM REPETIO (SIMPLES)

Anpn

n p

Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos nmeros de 3 algarismos sem repetio podem ser formados?

Resoluo: A5,3 = 5

5 35 4 3 2

260

Logo, podemos formar 60 nmeros de 3 algarismos distintos.

Exerccios de Sala 01) Calcular o valor de

a) 108 b) 11!

11!12!

02) Resolver as equaes:

a) (n 3) ! = 720 b) nn

31

20

03) Quatro selees de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais so as possibilidades de classificao para os dois primeiros lugares? 04) Quantas placas para identificao de veculos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que no h nenhuma restrio.) 05) Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos nmeros com quatro algarismos distintos podemos formar a partir do conjunto K?

Tarefa Mnima

01) Calcular 5

3 2

. 02) Resolver as equaes abaixo: a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600 c) (n - 2)! = 720

03) Ache a soluo da equao xx

13

12

04) Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem tambm 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D? a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080 05) Numa olimpada de Matemtica concorrem 100 participantes e sero atribudos dois prmios, um para o 1 lugar e outro para o 2 lugar. De quantas maneiras podero ser distribudos esses prmios? a) 199 b) 200 c) 4.950 d) 9.900 e) 10.000 06) Telefones de uma cidade possui 6 dgitos (1nunca zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dgitos. Qual o aumento no nmero de telefones? a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103

Tarefa Complementar 07) Qual o valor de n que satisfaz a equao

n n

n 1

25

08) Quantas solues possui a equao (x 2)! = 1

09) ( UFPA ) Simplificando

n nn 1

2 obtm-se:

a) 1

2n b) n + 1

c) n+2 d) 1

1n e) n

10) ( FSBEF-DF ) Sendo m mm 12

110

e tendo em

vista que m > 0, o valor de m :



11) Se (n 6)! = 720, ento n igual a: 12) ( F. Dom Bosco-DF ) A expresso 3! 2! 2! equivalente expresso: a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4! 13) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 b) 2.024 c) 9.562 d) 12.144 e) 13.824 14) ( UECE ) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre os nmeros 1000 e 4500 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que no figurem algarismos repetidos, : 15) ( PUC-SP ) Chamam-se palndromos os nmeros inteiros que no se alteram quando invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O nmero total de palndromos com cinco algarismos : a) 450 b) 1000 c) 900 d) 2500 e) 5000 AULA 03

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II -

PERMUTAES Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem repetio, estamos montando grupos com todos os elementos disponveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento denominado PERMUTAO de n elementos, e indicado por Pn. Considere, ento, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutaes com esses elementos so: (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), (3, 2, 1). FRMULAS PARA O CLCULO DA PERMUTAO PERMUTAO SIMPLES Pn = n! Exemplo 1: Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos formar com os nmeros usando-se os algarismos { 2, 5, 6, 7}. Resoluo: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 Logo, pode-se formar 24 nmeros com 4 algarismos distintos. Exemplo 2: Calcule o nmero de anagramas da palavra VASCO.

Resoluo Cada anagrama uma permutao das letras V, A, S, C, O. Como so 5 letras distintas, o nmero de anagramas dado por: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras da palavra VASCO. PERMUTAO COM REPETIO Vamos considerar um conjunto com n elemento, dos quais um dos elementos repete vezes, outro vezes e assim por diante, at que um elemento repita vezes. O nmero de permutaes possveis dado pela expresso:

Pn ....n

Exemplo: Quantos anagramas pode-se formar com as letras da palavra ARARA. Resoluo: n = 5 = 3 = 2 P53, 2 =

53 2

=10

Logo, pode-se formar 10 anagramas com as letras da palavra ARARA. TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -

COMBINAES Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes elementos. {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}. Observe que esses agrupamentos diferem Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}

{1, 4} Mas no diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1} A esses tipos de agrupamentos denomina-se COMBINAO de n elementos tomados p a p, e indicado por

Cn p ou Cnp .

Definio: Denomina-se combinao de n elementos p a p todo subconjunto de p elementos. FRMULA PARA O CLCULO DA COMBINAO O nmero de combinaes simples dos n elementos tomados p a p dado pela expresso:

Cn pn

n p p

Exemplo: Quantas comisses de 3 pessoas podemos formar com um grupo de 10 pessoas.



Resoluo: As comisses so subconjuntos de 3 pessoas escolhidas entre as 10, logo:

C10,3 = 10

10 3 310 9 8 77 3 21

120

Logo, podemos formar 120 comisses de 3 pessoas com um grupo de10 pessoas.

Exerccios de Sala 01) Quantos so os anagramas das palavras: a) ROMA b) ESCOLA c) BANANA. d) MATEMATICA 02) Quantos so os anagramas da palavra MXICO em que aparecem as letra E e X sempre juntas? 03) Quantas comisses de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe? 04) Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferncia. Quantos tringulos com vrtices nesses pontos podemos obter?

Tarefa Mnima 01) Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos formar com os nmeros usando-se os algarismos { 1, 3, 8, 9}. 02) Quantos nmeros diferentes obteremos, permutando os algarismos do nmero 336.223? 03) Quantos so os anagramas da palavra SAPO? 04) Determine os nmero de anagramas da palavra CARCAR? (no considere o acento) 05) O valor de x em Cx,3 = 35, :

a) 12 b) 10 c) 7 d) 8 e) 9

06) Quantas comisses constitudas por 4 pessoas podem ser formadas com 10 alunos de uma classe?

a) 210 b) 120 c) 240 d) 100 e) 200

07) Numa circunferncia so tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtm-se uma corda. O nmero total de cordas assim formadas :

Tarefa Complementar 08) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmaes: I. O nmero total deles 720. II. O nmero dos que terminam com a letra A 25.

III. O nmero dos que comeam com EN 24. Ento apenas: a) a afirmao I verdadeira. b) a afirmao II verdadeira. c) a afirmao III verdadeira. d) as afirmaes I e II so verdadeiras. e) as afirmaes I e III so verdadeiras. 09) ( CEFET-PR ) O nmero de anagramas da palavra NMERO, em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, :

a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72

10) ( PUC-SP ) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco smbolos, onde cada smbolo, a primeira letra de cada nome. O nmero total de siglas possveis : 11) Considere um grupo de 3 moas e 4 rapazes. O nmero de comisso de 4 membros, de modo que em cada comisso figure pelo menos um rapaz, : 12) Os presentes a determinada reunio, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mo. Os cumprimentos foram em nmero de 66. O nmero de pessoas presentes reunio : 13) ( ACAFE ) Diagonal de um polgono convexo o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos do polgono. Se um polgono convexo tem 9 lados, qual o seu nmero total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

14) ( UFRN ) Se o nmero de combinaes de n + 2 elementos 4 a 4 est, para o nmero de combinaes de n elementos 2 a 2, na razo de 14 para 3, ento n vale:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

AULA 04

NMEROS BINOMIAIS Dados dois nmeros naturais n e p, denomina-se nmero

binomial de n sobre p e indicado por np ao nmero definido

por:

pn

= p)!(np!

n! com n N, p N e n p

Podemos concluir de imediato que:



a n0

1 b) n1

n c) nn

1

NMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois nmeros binomiais de mesmo numerador so chamados complementares quando a soma dos denominadores (classes) igual ao numerador Exemplos:

a)np

e nn p

b)

52

e 53

PROPRIEDADES DOS NMEROS BINOMIAIS 1) Dois nmeros binomiais complementares so iguais.

Ento se nk

np

k pouk p n

2 RELAO DE STIFFEL

n 1p 1

n 1 p

np

Veja que 53

54

64

TRINGULO DE PASCAL Vamos dispor agora os nmeros binomiais em um tringulo, de forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma coluna. col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6

l in h a 0 00

10

11

lin h a 2 20

21

22

lin h a 3 30

31

32

33

lin h a 4 40

41

42

43

44

50

l in h a

lin h a 5

1

51

52

53

54

55

lin h a 6 60

61

62

63

64

65

66

Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

PROPRIEDADES DO TRINGULO DE PASCAL PRIMEIRA PROPRIEDADE Todos os elementos da 1 coluna so iguais a 1. SEGUNDA PROPRIEDADE O ltimo elemento de cada linha igual a 1.

TERCEIRA PROPRIEDADE Numa linha qualquer dois binomiais eqidistantes dos extremos so iguais. (binomiais complementares) QUARTA PROPRIEDADE Cada binomial

np da linha n igual soma de dois binomiais

da linha (n - 1); aquele que est na coluna p com aquele que est na coluna (p - 1).

p

n

p

1n

1p

1n

QUINTA PROPRIEDADE A soma dos elementos da linha do numerador n igual a 2n. Linha 0 1 = 20 Linha 1 1 + 1 = 21 Linha 2 1 + 2 + 1 = 22 Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23 De uma forma genrica podemos escrever:

Exerccios de Sala

01) Calcule A, sendo A = 40

82

97

101

02) Ache o conjunto soluo da equao n

32

21

03) Calcule o valor de:

a)

7

0

7

p p b)

10

0

10

p p c)

8

3

8

p p



04) Resolva a equao:

x15

514

414

Tarefa Mnima 01) Calcule E, sendo E =

52

33

50

71

.

02) ( UECE ) A soma das solues da equao

186

184 1

x

a) 8 b) 5 c) 6 d) 7 03) ( PUC-SP ) A soma dos valores que m pode assumir na

igualdade: 17m 1

172m 6

04) Calcule 5

0

5

pp

05) Resolva a equao: 86

87

93

x

06) ( Mack-SP ) O valor de

72

73

74

75

76

77

:

a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112

Tarefa Complementar 07) ( Mack-SP ) Considere a seqncia de afirmaes:

. . . 15 15 15 15 15 15

I II III1 3 2 13 3x 6

Associando V ou F a cada afirmao, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: a) F, F, V b) F, V, V c) F, V, F d) F, F, F e) V, V, V

08) ( Fatec-SP ) Calcule E de modo que E p 1n 1

n 1p 1

onde p, n N* e p < n

no

n n nn

np

n n

1 2 2 2 ou

p=0

n

09) ( U.C.-MG ) O resultado de 8

2

6

pp

igual a:

a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256 10) ( Unesp-SP ) Seja num nmero natural tal que

104

101

114

n. Ento:

a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2 11) ( FGV-SP ) Sabendo-se que

mp

x e y

m +1p +1

entao mp +1

: a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p AULA 05

BINMIO DE NEWTON

Observe abaixo os desenvolvimentos: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Observe que: O nmero de termos do desenvolvimento de (a + b)n n + 1. Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n formam o tringulo de Pascal. Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b crescem de 0 a n. A soma dos expoentes de a e b sempre igual a n Com base nessas observaes podemos generalizar o desenvolvimento de (a + b)n. Veja:

a b n b n b n b nn

bn n n

0 1 2

0 1 2 2 0 a a a an n-1

Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n dado pela expresso:

Tp 1np a

n p bp

Exerccios de Sala 01) Desenvolver o binmio (x + 2)4 02) Determinar o 5 termo do desenvolvimento de (x + 2)6.



03) Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x + 3)4. 04) A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binmio (4x 3y)6

Tarefa Mnima 01) Determinar o coeficiente numrico do 4 termo no desenvolvimento de (x + 2)7. 02) Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x 1)6. 03) Se a soma dos coeficientes do binmio a b m 1 64, ento o valor de m : 04) ( UEL-PR ) Para qualquer valor natural de n, o nmero de termos do binmio (x + a)n : a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) mpar 05) ( UFRN ) A soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binmio (x + a)n : a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n

Tarefa Complementar 06) ( UDESC-SC ) Sendo 125 a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! : a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3 07) ( CEFET-PR ) O 4 termo do desenvolvimento de (x + 2)6 : a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3 08) ( MACK-SP ) Qual a soma dos coeficientes numricos

do desenvolvimento de 3 228

xx

.?

09) ( Faap-SP ) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 )8 pelo binmio de Newton : a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3 10) ( Mack-SP ) O coeficiente x3 do desenvolvimento de

31 5

xx

:

a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81

AULA 06

POLINMIOS

1. Definio Dados os nmeros reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de polinmio na varivel x toda expresso da forma:

P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 1.1. Nomenclatura COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0. TERMOS: a nxn , a n - 1xn - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0 TERMO INDEPENDENTE: a0 n um nmero natural e indica o grau do polinmio se an for diferente de zero. Observao: Se P(x) = 0, no definido o grau do polinmio. 2. Valor Numrico Valor Numrico de um polinmio P(x), o valor que se obtm substituindo a varivel x por um nmero e efetuando as operaes indicadas. Observao: Quando P() = 0 dizemos que a raiz do polinmio. Observe que os nmeros 2 e 3 so razes do polinmio P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0. 3. Polinmios Idnticos Dados os polinmios: P1(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e P2(x) = b nxn + b n - 1xn - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0 A condio para que P1 e P2 sejam idnticos que os coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais. Indicamos por P1 (x) P2 (x) Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0 Vale ressaltar que se P1 e P2 so idnticos, para qualquer valor de x eles assumem o mesmo valor numrico. Em smbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)

Exerccios de Sala 01) Encontre o valor numrico do polinmio P(x) = 5x4 + 2x3 x2 + 3x 3 para x = 3. 02) Dado o polinmio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3. Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1 grau. 03) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

Tarefa Mnima 01) Dado P(x) = 2x3 + 3x2 5, calcule:

a) P(0) b) P(1) c) P(2) 02) Considere o polinmio P(x) = mx2 5x + 2. Sabendo que P(-2) = - 4 , determine o valor de m.



03) Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b + 1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 so polinmios idnticos, determine o valor da expresso: a + b + c. 04) O polinmio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).

05) ( Mogi ) Se x

x xA

xB

x

1

2 24 4 62, ento

2A + B igual a: a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1

Tarefa Complementar 06) ( FUEM-PR ) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

07) ( PUC-SP ) Efetuando a soma de ax bx

ec

x 2 1 1 ,

obtemos a expressox

x x

3

1 12 . Os valores de a, b e c so respectivamente: a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3 c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1 e) 2, 1, -2 08) ( ABC-SP ) Num polinmio P(x) de 3 grau, o coeficiente de x3 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P(1) : 09) ( UFRGS ) O polinmio do 2 grau p(x), que tem zero como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, a) 2x2 + 3x 6 b) 6x - 2 c) 6x2 - x d) 3x2 + x e) x2 + 3x 10) ( Londrina-PR ) Sendo F, G e H polinmios de graus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (F + G).H ser: a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 AULA 07

DIVISO DE POLINMIOS

Dados os polinmios P(x) e D(x), com D(x) no identicamente nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinmios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que: P(x) D(x) R(x) Q(x) P(x) D(x) . Q(x) + R(x) gr(R) < gr(D) ou R(x) 0 Onde: P(x) o dividendo

D(x) o divisor Q(x) o quociente R(x) o resto OBSERVAES: O grau de Q(x) a diferena entre os graus de P(x) e de D(x),

ou seja gr(Q) = gr(P) gr(D) Se R(x) for um polinmio nulo, dizemos que P(x) divisvel

por D(x), dizemos ento, que a diviso exata. 1. Mtodo da chave (algoritmo de Euclides) O mtodo das chaves um dos mtodos para se obter o quociente entre dois polinmios. Para isso, deve-se seguir os seguintes procedimentos: Ordenamos os polinmios P(x) e D(x) segundo as potncias

decrescentes de x. Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x),

obtendo o primeiro termo de Q(x) . Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de

P(x) Continua-se o processo at que haja um resto de grau inferior

que o de D(x). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da diviso de P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2 Resoluo:

Observe que: 4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2) Dividendo Divisor Quociente Resto 2. Mtodo de Descartes Mtodo de Descartes ou Mtodo dos Coeficientes a determinar um Mtodo que consiste na obteno dos coeficientes do quociente e do resto com o auxlio da seguinte identidade de Polinmios: P(x) D(x) . Q(x) + R(x) onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D) Exemplo: Obter o quociente e o resto da diviso do polinmio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por D(x) = x3 3x2 + 2 Resoluo: O grau do resto no mximo 2, pois gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D) gr(Q) = 4 3 = 1 Isso nos permite escrever R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b



Aplicando a identidade, temos: P(x) D(x) . Q(x) + R(x) x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e) Da vem:

a 1 b 3a 1 c 3b 2 2a d 1 2b e 3

resolvendo o sistema, temos:

a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1 Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1 3.Teorema do resto O resto da diviso de um polinmio P(x) por um binmio do tipo ax + b o valor numrico de P(x) para

x = ba

, ou seja P( ba

).

Observe que ba

a raiz do divisor.

Esse teorema permite que se ache o resto de uma diviso, sem que haja a necessidade de aplicar o mtodo das chaves ou o mtodo de Descartes. Exemplo: Determinar o resto da diviso do polinmio P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinmio D(x) = x 3 Resoluo: A raiz do divisor 3, logo para determinarmos o resto da diviso de P(x) por D(x), basta calcular P(3). Da vem: P(x) = 2x2 + 3x + 1 P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1 P(3) = 28 4. Teorema de D'alembert Um polinmio P(x) divisvel por D(x) = ax + b se, e somente

se, P( ba

) = 0.

Veja por exemplo que o polinmio P(x) = x3 3x + 2 divisvel por (x + 2) pois P(2) = 0. Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o polinmio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja divisvel por x 3 Resoluo: Para que P(x) seja divisvel por x 3, deve-se ter P(3) = 0. Ento P(x) = x3 x2 + mx 12 P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12 0 = 27 9 + 3m 12 6 = 3m 2 = m Logo para a diviso ser exata devemos ter m = 2 5. Teorema das Divises Sucessivas

Se um polinmio P(x) divisvel por (x a) e por (x b), ento P(x) divisvel por (x a).(x b). Observe que o polinmio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x + 2 divisvel por (x + 1).(x 2), uma vez que ele divisvel separadamente por (x + 1) e (x 2). 6. Dispositivo de Briot-Ruffini O dispositivo de Briot-Ruffini, tambm conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini, um modo prtico para dividir um polinmio P(x) por um binmio da forma ax + b. Vamos apresentar esse processo atravs de um exemplo. Determine o quociente e o resto da diviso da diviso de P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3) Resoluo: 1 Passo Dispem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e segundo os expoentes decrescentes de x na chave. 2 1 4 1 2 Passo Coloca-se esquerda a raiz do divisor. 3 2 1 4 1 3 Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x) 3 2 1 4 1 2 4 Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o resultado com o prximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo desse ltimo + 3 2 1 4 1 x 2 5 5 Passo Multiplica-se o esse ltimo resultado pela raiz e soma-se o resultado com o prximo coeficiente de P(x) de forma anloga ao ltimo passo, e assim sucessivamente. + 3 2 1 4 1 x 2 5 19 + 3 2 1 4 1 x 2 5 19 56



Terminando assim o processo, temos: raiz coeficientes de P(x) 2 5 19 56 coeficientes de Q(x) R(x) Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56

Exerccios de Sala 01) ( FUVEST ) O quociente de 2x4 5x3 10x 1 por x 3 :

a) 2x3 11x2 + 23x 68 b) 2x3 11x2 + 33x + 109 c) 2x3 11x2 + 33x 109 d) 2x2 + x 7 e) 2x3 + x2 + 3x 1

02) Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 x + 3? 03) ( UFSM ) O resto da diviso de x142 1 por x + 1 :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 141 e) n.d.a.

Tarefa Mnima 01) ( UFSC ) Determine o resto da diviso do polinmio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. 02) ( UECE ) Se na diviso do polinmio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por 3x2 + 2x - 1 o quociente Q(x), ento o valor de Q(3) : 03) ( UFMG ) O quociente da diviso de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1 por Q(x) = 4x3 + 1 : a) x 5 b) x - 1 c) x + 5 d) 4x - 5 e) 4x + 8 04) ( UFSC ) Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 - x + 3? 05) ( UFSC ) Determine o valor de m, para que o resto da diviso do polinmio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Se o polinmio 2x3 - ax2 + bx + 2 divisvel por 2x2 + 5x - 2, ento o valor de a - b : 07) ( Mack-SP ) Um polinmio desconhecido ao ser dividido por x - 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Ento, o resto da diviso desse polinmio por (x - 1) (x - 2) : a) x 3 b) -x + 3 c) x + 3 d) x - 5 e) -x + 5

08) ( UFBA ) O resto da diviso de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por (x + 1) 4, se p igual a: a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3 09) ( FGV-SP ) O resto da diviso do polinmio 2x5 - 15x3 + 12x2 + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) : a) x2 - 2x + 5 b) -6 c) x - 4 d) 1 e) 0 10) ( PUC-MG ) Os valores de a e b que tornam o polinmio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisvel por (x + 1)2 so respectivamente: a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a. AULAS 08

EQUAES POLINOMIAIS

1. Definio Denomina-se Equao Polinomial toda sentena do tipo P(x) = 0, ou a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0 onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 so nmeros complexos n um nmero natural x a varivel O expoente da equao o expoente do polinmio P(x) Denomina-se raiz de uma equao polinomial todo nmero , tal que P() = 0 2. Teorema Fundamental da lgebra Toda equao polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma raiz complexa. Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799. 3. Decomposio de um Polinmio em um Produto de Fatores do 1 Grau Como uma conseqncia do Teorema Fundamental pode-se afirmar que todo polinmio de grau n pode ser escrito na forma: P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n) onde 1, 2, 3, ..... n so razes de P(x). 4. Multiplicidade de uma Raiz Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao nmero de vezes que essa raiz repete no conjunto soluo. Genericamente, pode-se dizer que o nmero raiz de multiplicidade n da equao polinomial P(x) = 0 se e somente se, P(x) = (x )n. Q(x), com Q() 0. 5. Teorema das Razes Complexas



Se um nmero complexo z = a + bi raiz de uma equao polinomial de coeficientes reais, ento seu conjugado z = a bi tambm raiz dessa equao. Conseqncias: Se a raiz (a + bi) de multiplicidade k, ento seu conjugado

(a bi) ter tambm multiplicidade k. Toda equao polinomial de grau mpar admite pelo menos

uma raiz real, pois o nmero de razes no reais sempre par. 6. Relaes de Girard So relaes estabelecidas entre os coeficientes e razes de uma equao polinomial. Sejam x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c = 0. Valem as

seguintes relaes:

x1 x2ba

x1 x2ca

Sejam x1 , x2 e x3 as razes da equao ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relaes:

x1 x2 x3

ba

x1 x2 x3da

x1 x2 x1 x3 x2 x3ca

EQUAO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as razes da equao a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes relaes:

a a ananan

a a a a a an a a an ananan

a a a an an ananan

a a a ann a

an

1 21

1 2 1 3 1 2 3 12

1 2 3 2 13

1 2 3 10

Exerccios de Sala 01) O polinmio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como:

a) P(x) = x(x 1)(x 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x 2)(x +4) e) (x) = x(x 1)(x + 5)

02) Resolver a equao x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que x = 2 uma das razes. 03) Determine a menor raiz da equao x3 15x2 + 66x 80 = 0, sabendo que suas razes esto em P.A.

Tarefa Mnima 01) ( ACAFE-SC ) A equao polinomial cujas razes so 2, 1 e 1 : a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0 c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0 e) x3 + 2x + 1 = 0 02) ( FGV-SP ) A equao 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual a 2. Ento, as outras duas razes so: a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1 d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2 03) ( UFSC ) Sabendo-se que uma das trs razes da equao 2x3 - 17x2 + 32x - 12 = 0 igual a 1/2 determine a soma das outras duas razes. 04) ( UDESC) As razes do polinmio x3 6x2 x + 30:

a) somadas do 6 e multiplicadas do 30 b) somadas do -6 e multiplicadas do 30 c) somadas do 6 e multiplicadas do -30 d) somadas do -6 e multiplicadas do 30 e) so 5, -2 e 3 f)

Tarefa Complementar 05) ( Med ABC-SP ) As razes da equao x3 - 9x2 + 23x -15 = 0 esto em progresso aritmtica. Suas razes so: a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5 d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9 06) ( Mackenzie-SP ) Uma raiz da equao x3 4x2 + x + 6 = 0 igual a soma das outras duas. As razes so: a) 2, 2 e 1 b) 3, 2 e 1 c) 2, 1 e 3 d) 1, 1 e 2 e) 1, 2 e 3 07) ( MACK-SP ) O determinante da matriz

a a c

b c

01 0 1

, onde a, b, e c so razes da equao

x3 5x2 + 4 = 0, : 08) ( SANTA CASA ) Sabe-se que a equao: 4x3 12x2 x + k = 0, onde k , admite duas razes opostas. O produto das razes dessa equao : a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12 09) ( ITA-SP ) Considere a equao x3 + px2 + qx + r = 0 de coeficientes reais, cujas as razes esto em P.G. Qual das relaes verdadeira? a) p2 = r.q b) 2p + r = q c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3 e) q3 = r.p3



10) ( UFSC ) Assinale no carto-resposta a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S). 01. A equao polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as razes a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 igual a 12. 02. O resto da diviso do polinmio x6 x4 + x2 por x + 2 52. 04. Dado o polinmio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 correto afirmar que 2 raiz de multiplicidade 3 para p(x). 08. Para que o polinmio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x + (b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c 4. AULA 09

MATRIZES

1. Definio Uma matriz do tipo m x n (l-se: m por n), m, n 1, uma disposio tabular formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes so representadas atravs de parnteses ( ), colchetes [ ] ou atravs de barras duplas || || Exemplos.:

A = 2 0 36 9 5

A 2 x 3 (l-se: A dois por trs)

A =3 2 8 76 1 0 3

A2 x 4 (l-se: A dois por quatro)

A =

606112

A3 x 2 (l-se: A trs por dois)

2. Notaes 2.1.Notao Explcita Uma matriz genericamente representada por letras maisculas e seus elementos por letras minsculas. Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser representada assim:

A =

a a a aa a a aa a a a

a a a a

n

n

n

m m m mn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

com m e n N*

2.2.Notao Condensada Podemos tambm, abreviar essa representao da seguinte forma: A = [aij] m x n

Os elementos da matriz A so indicados por aij de forma que: i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha) j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna) 3. Classificao de Matrizes Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n so respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A, temos: a) MATRIZ LINHA se m = 1 Exemplo: A1x3 213 b) MATRIZ COLUNA se n = 1

Exemplo: A4x1 =

052

1

c) RETANGULAR se m n

Exemplo: A2 x 3 =

049132

d) QUADRADA se m = n

Exemplo: A2x2

8563

Definio: Diz-se que uma matriz quadrada se a quantidade de linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer ento que ela n x n ou simplesmente de ordem n. Possui duas diagonais diagonal principal (quando i = j para todo aij) diagonal secundria (quando i + j = n + 1) , onde n a ordem

da matriz. 4. Tipologia 4.1. Matriz Transposta Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'

Exemplo A2 x 3 =

049132

At3 x 2 =

2 93 41 0

OBSERVAO: Seja uma matriz A de ordem n.

Se A = At , ento A dita SIMTRICA

Exemplo: A =

085813532



Se A = At, ento A dita ANTISIMTRICA (A indica matriz oposta de A que se obtm. trocando-se o sinal dos seus elementos)

Exemplo: A =

043401310

4.2. Matriz Identidade Uma matriz A de ordem n dita identidade, ou unidade se os elementos da diagonal principal forem iguais a 1, e os demais elementos iguais a zero.

Exemplos: I2 = 1 00 1

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Pode se indicar a matriz identidade por:

In = [aij] , aij =1, para i = i0, para i j

Importante: A matriz identidade neutra na multiplicao de matrizes. 4.3. Matriz Nula Uma matriz dita nula quando todos seus elementos forem iguais a zero. A matriz Nula neutra na soma de matrizes. 4.4. Matriz Diagonal toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.

Exemplo: A =

1 0 00 4 00 0 3

4.5. Matriz Triangular toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.

Exemplos:

819021004

100740

513

5. Igualdade de Matrizes Duas matrizes Amxn e Bmxn so iguais, se os elementos correspondentes (elementos de mesmo ndice) forem iguais.

6. Adio e subtrao de matrizes efetuada somando-se ou subtraindo-se os elementos correspondentes das matrizes. (vlido para matrizes de mesma ordem). 6.1. Propriedades: 1) A + B = B + A (propriedade comutativa) 2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa)

3) A + O = A (elemento neutro) 4) (A + B)t = At + Bt 7. Produto de um nmero por matriz Dado um nmero real K e uma matriz Am x n, denomina-se produto de K por A e indica-se por k.A, matriz que se obtm multiplicando-se todo elemento de A por k. 7.1. Propriedades: Sendo x e y dois nmeros reais e A e B duas matrizes de mesma ordem valem as seguintes propriedades: 1) x . (yA) = (xy) . A 2) x . (A + B) = xA + xB 3) (x + y) . A = xA + yA

Exerccios de Sala 01) A uma matriz 3 por 2, definida pela lei

aij =

ji se

ji sej2i

,3

, Ento A se escreve:

02) ( UFSC ) Dadas as matrizes:

A = 2 1 3 1

0 4x y

x z

e B =

x 012 4

1 6

Se A = Bt , o valor de x.y.z : 03) O valor de x.y de modo que a matriz A seja simtrica, :

A =

625201

1252x

y

a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0

Tarefa Mnima 01) Escreva, na forma explcita ,cada matriz abaixo:

a) A = (aij)2x2, com aij = i + j b) A = (aij)3x2, com aij = 3i j2

c) A = (aij)3x2 , com aij = 1 se i j

i2 se i j

d) A = (aij)2x3 , com aij = 2 se i = j2 + j, se i j

02) ( UFSC ) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por



aij =

ji sej,iji se7,

ji sej,3i

2

o valor da expresso

2a23 + 3a22 - a21 :

03) ( UFOP-MG ) Observe a matriz

yx00

40321

.

Determine x e y de tal forma que seu trao valha 9 e x seja o triplo de y.

04) Considere as matrizes A =

72log32152

x

y

e B =

7165812

. Determine o valor de x + y de

modo que A = Bt

05) Considere as matrizes A =

0312 e B =

2130

a) Obter a matriz X tal que A + X = B b) Obter as matrizes X e Y tal que:

BYX

AYX 3

Tarefa Complementar 06) Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:

07) ( FCMSCSP ) Se A uma matriz quadrada, define-se o TRAO de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condies, o trao da matriz A = (aij)3 x 3, onde aij = 2i - 3j igual a: a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6 08) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j. 09) Uma matriz se diz anti-simtrica se At = A. Nessas condies, se a matriz A anti-simtrica, ento, x + y + z igual a:

A =

031302

zyx

a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3

10) ( LONDRINA-PR ) Uma matriz quadrada A diz-se simtrica se A = At . Assim, se a matriz

A =

23410

212zx

y simtrica, ento x + y + z

igual a:

a) 2 b) 1 c) 1 d) 3 e) 5 11) ( U. Catlica de Salvador -BA ) Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz anti-simtrica se A = -At, onde At a matriz transposta de A. Nessas condies, qual das matrizes seguintes anti-simtrica?

03-2301-2-10

b 413102-32-1

a

))

031302120

e

323220

301 d

101-011-11-1

c

)

))

12) Se a matriz quadrada A tal que At = A, ela chamada matriz anti-simtrica. Sabe-se que M anti-simtrica e: M = 4

22 8

12 13

23

a a aa b ab c c

.

Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente

a) 4, 2 e 4 b) 4, 2 e 4 c) 4, 2 e 4 d) 2, 4 e 2 e) n.d.a.

13) Sendo A =

1 72 4

e B = 3 14 0

, ento a

matriz X, tal que X A X B

22

3, igual a:

14) Dadas as matrizes: A =3 12 4

e B =

2 20 4 ,

o produto dos elementos da segunda linha de 1

4B

1

2A :

a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2 15) Dadas as matrizes

Ax yz w B =

x 6- 1 2w C =

4 x yz + w 3

e sendo 3A = B + C, ento: a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10 c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1 e) x + y + z + w > 11



AULA 10

MULTIPLICAO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O produto de A por B a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os elementos cik so obtidos assim: cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk

ou seja:

n

jjkijba

1

para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1, 2,...,p}. Exemplo: Considere as matrizes

A = 3 02 1

e B =

1 39 2 . Determine A.B

Resoluo: O produto AxB uma matriz obtida da seguinte forma:

A.B = 3 1 0 9 3 3 0 22 1 19 2 3 12

A.B =

3 97 4

PROPRIEDADES 1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C 3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A Observaes: 1) Na multiplicao de matrizes geralmente A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se comutam. 2) Na multiplicao de matrizes no vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.

DETERMINANTES 1. Definio Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar a ela, atravs de certas operaes, um nmero real chamado determinante da matriz.

Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por duas

barras verticais. Assim se a aa a

11 12

21 22

a matriz A, indicamos o

determinante de A por det A = a aa a

11 12

21 22

CLCULO

1 ORDEM Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o prprio elemento a11 e indica-se por: det A = |a11| = a11 2 ORDEM

3 ORDEM

Exerccios de Sala

01) Dadas as matrizes A =

03

3412

1-5

=B e .

Determine:

a) A.B b) B.A c) At.Bt d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B

02) ( UFSC ) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, ento o elemento C32 da matriz C, : 03) Calcule os determinantes:

a) 5243

b) 4 21 3

04) Calcule o determinante:

163341202

Tarefa Mnima 01) ( UEL-PR ) Sobre as sentenas: I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 uma matriz 3x1. II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 uma matriz 4x2. III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 uma matriz quadrada 2 x 2. verdade que

a) somente I falsa b) somente II falsa c) somente III falsa d) somente I e III so falsas. e) I, II e III so falsas



02) Se 3 21 4

ab1

2

=

5 75 9

, ento a + b

igual a:

03) Dadas as matrizes A = 1 10 0

e B =

0 10 1

,

para A.B temos a matriz: 04) ( UCMG ) O valor de x, para que o produto das matrizes:

A =

23 1

xe B =

1 10 1

seja uma matriz

simtrica, : 05) ( UFSC ) Dada a equao matricial:

4 21 3 0

4 231

42

3

x

y

z x

y

O valor da

expresso 5x + 4y + z : 06) Calcule os seguintes determinantes:

a)

1634

b)

1325

c)

432314523

07) ( MACK-SP ) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j - i2, o determinante da matriz A : 08) ( UFSC ) Obtenha o valor do determinante da

matriz A = (aij)2 x 2, onde aij =

ji sej,iji se0,

09) O valor de x na equao 15102

1132xx :

Tarefa Complementar

10) ( CESCEM ) O produto M.N da matriz M =

111

pela

matriz N = 1 1 1 :

a) no se define b) a matriz identidade de ordem 3 c) uma matriz de uma linha e uma coluna d) uma matriz quadrada de ordem 3 e) no uma matriz quadrada 11) ( FEI-SP ) As matrizes abaixo se comutam.

a aa 2

e

0 33 3

O valor de a :

12) ( UFSC ) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaam a equao matricial

4 35 4

12

4 27 3

xy

13) ( UFSC ) Dadas as matrizes: A =

1 0 20 1 34 1 2

;

B =

2 1 10 3 04 2 1

; C =

1 0 00 1 00 0 1

e seja

P = (2A - C).B. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P.

14) ( UFSC ) Considere as matrizes A =

1 02 11 2

B = 2 0 11 1 3

Sejam M = ( A + B

t ).(At B ) onde At e Bt so matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto dos elementos mij com i = j da matriz M :

15) Se A = 1 24 3

, ento A

2 + 2A 11 I, onde I a matriz identidade de ordem 2, igual a: 16) ( UFSC ) Determine o valor de x para que o determinante da matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:

A = 1 2 34 1 2

, B =

x

1 8 52 7 4 e B

t

a matriz transposta de B. 17) ( UFSC ) Em R,a soluo da equao

2 32 4

1 3

xx

x

= 175 :



18) ( MACK ) O conjunto soluo de

11 1

1 11

1 11

x

xx :

a) { x R| x 1} b) { 0,1 } c) { 1 } d) { -1} e) { 0 }

19) ( MACK-SP ) Sejam as matrizes A = 1 2

3 4 e B =3 41 2

,

e seja X uma matriz tal que X.A = B. Ento, det X vale:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 AULA 11

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

1 PROPRIEDADE Casos onde o determinante nulo 1 Se uma matriz possui uma fila de elementos iguais a zero.

Exemplo: 0 3 90 8 30 4 1

0

2 Se uma matriz possui duas filas iguais.

Exemplo: 2 8 23 5 31 6 1

0

3 Se uma matriz possui duas filas proporcionais.

Exemplo: 2 3 54 6 107 0 3

0

4 Se uma fila de uma matriz for uma combinao linear de duas outras.

Exemplo: 3 5 10 4 23 9 3

0

2 PROPRIEDADE Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um nmero k, o determinante da nova matriz fica multiplicado por k.

Exemplo: 2 41 3 2

2 41 3 2 10

5 55

CONSEQNCIAS No clculo dos determinantes, possvel colocar o fator

comum em evidncia.

-216= 3.(-72) 143

051426

3143

051432363

143051

12618

.

...

(72) Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um

nmero k o determinante fica multiplicado pelo nmero kn. det(k.A) = kn.detA 3 PROPRIEDADE Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante muda de sinal. 4 PROPRIEDADE O determinante de uma matriz triangular o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

3 9 80 4 50 0 1

12

5 PROPRIEDADE ( TEOREMA DE BINET) Se A e B so duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) 6 PROPRIEDADE O determinante de uma matriz igual ao determinante de sua transposta. 7 PROPRIEDADE ( TEOREMA DE JACOBI ) Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente multiplicada por um nmero real, obtemos uma matriz A', tal que det A' = det A

Exemplo: A =

122151

214 det A = 15

Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando

primeira, obtemos A': A' =

0 3 01 3 22 2 1

det A = 15

INVERSO DE MATRIZES

Sejam A e B duas matrizes quadradas. Se A.B = B.A = I, dizemos que B a matriz inversa de A. e indicamos por A-1. Logo: A . A-1 = A . A-1 = In



PROPRIEDADES DA INVERSA: (A-1) -1 = A (A.B) -1 = B-1 . A-1 det A-1 = 1

det A

OBSERVAES: Uma matriz s possui inversa se o seu determinante for

diferente de zero, sendo assim chamada de inversvel. Uma matriz que no admite inversa chamada de singular. Se a matriz A inversvel ento ela quadrada. Se a matriz A inversvel, ento a sua inversa nica. OBSERVAO O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes trabalhoso, pois recai na resoluo de n sistemas de n equaes e n incgnitas. Vamos, agora, apresentar um processo que simplifica esse clculo. Teorema Se A uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, ento a inversa de A :

A 1 = .det

1A

A

Onde A representa a matriz adjunta. Matriz Adjunta: a matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Conseqncia Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se aplicar:

bij = .det

1A

Cji

onde Cji o cofator do elemento aij

Exerccios de Sala

01) Sabe-se que 2ifchebgda

. Determine o valor de

ifchebgda

432432432

02) Uma matriz A quadrada de ordem 4 e seu determinante igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.

03) Determine a inversa das seguintes matrizes:

a) 1 52 0

b)

3 15 2

04) Determine o valor de x de modo que a matriz

932

x seja singular

Tarefa Mnima

01) Sabendo que 2ifchebgda

, calcule

ifchebgda

323232

02) ( UFRN ) O determinante

1 72 810 2 2000 0 3

igual a:

03) ( UFRGS ) Considere as seguintes afirmaes. I- O determinante de uma matriz no se altera, quando so trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas. II- O determinante de uma matriz com linhas proporcionais nulo. III- Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um nmero real p,no nulo,o determinante da nova matriz fica dividido por p. Quais so as verdadeiras? a) I b) II c) I e II d) II e III e) todas so verdadeiras 04) ( Udesc- Cincias da Computao ) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde

aij =

1

se i ji j se i j calcular o determinante

do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( At.A ), onde At a matriz transposta de A. 05) ( Unisinus-RS ) O valor de um determinante 48. Dividimos a 2 linha por 8 e multiplicamos a 3 coluna por 6, ento o novo determinante valer:

06) ( UFRGS ) A inversa da matriz A =

2513

:



2513

e) 35

02 d)

3152

c) 2513

b) 3512

a)

07) O maior elemento da inversa da matriz A =

5142 :

a) 2 b) 5/6 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/3

08) ( U.F. VIOSA ) Sejam as matrizes A =

6221

e M =

y

x1

1 , onde x e y so nmeros reais e

M a matriz inversa de A. Ento o produto x.y : a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

09) ( UCSal-BA ) A matriz 1

1x

x

, na qual x um

nmero real, inversvel se, e somente se: a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x 1

10) Considere a matriz A =

21

3x

x . Sabendo que

det A- 1 = 0,25, ento x :

a) 0 b) 2 c) 2 d) 4 e) 1

Tarefa Complementar 11) ( UECE ) Sabe-se que M uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(M) = 2. Ento det (3M) igual a: a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27 12) ( UFSM-RS ) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e

B =

2 1 41 0 2

0 1 6

. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C

vale: a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24 13) ( SANTA CASA ) Dadas as matrizes A e B tais que:

1 5 1 3 0 0 00 2 2 4 3 4 0 00 0 3 1 1 2 1 00 0 0 4 2 1 3 2

A

-1

e B =

O valor do determinante de A.B : a) 192 b) 32 c) -16 d) 0 e) n.d.a.

14) ( F.M. Santos-SP ) O determinante

1 0 0 0 02 2 0 0 03 2 1 0 04 2 3 2 05 1 2 3 3

:

a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a. 15) ( MACK-SP ) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2

e I =

1001

. Chamam-se auto valores de A as

razes da equao det (A xI) = 0. Obtenha os

autovalores de A =

3241

16) ( FGV-SP ) Considere as matrizes A =

pcnbma

444

e B =

333

cpbnam

. Se o determinante da matriz A

igual a 2, ento o determinante da matriz B igual a:

a) 3/2 b) 2/3 c) 3 d) 3/2 e) 2/3 17) ( UEPG-PR ) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde

aij =

ji se0,

ji se4,. Ento correto afirmar:

01. det (A) = 64 02. (A).(At) uma matriz quadrada de ordem 6 04. det(2A) = 8 det(A) 08. det(A) det(At)

16. A2 =

161616016160016

18) Os valores de k para que a matriz A =

3131101

kk

no admita inversa so:

a) 0 e 3 b) 1 e 1 c) 1 e 2 d) 1 e 3 e) 3 e 1

19) ( UFPB ) Se a matriz 2 5

5x x

x

no

invertvel, ento o valor de x em mdulo :



20) ( ESAG-SC ) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por

aij =

10

i j para i jpara i j

o determinante de A-1 :

AULAS 12

SISTEMAS LINEARES

1. Definio Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equaes lineares com n incgnitas.

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema homogneo. Soluo de um Sistema Linear Denomina-se soluo de um sistema a seqncia de nmeros reais (1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as equaes do sistema. Sistemas Equivalentes Dois Sistemas so ditos equivalentes se e somente se: So Possveis e admitem as mesmas solues, ou So Impossveis. Classificao de um Sistema Linear Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o nmero de solues que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser:

DETERMINADO (1 soluo)

POSSVEL

INDETERMINADO (infinitas solues)

IMPOSSVEL No Admite Soluo 2. Regra de Cramer A Regra de Cramer consiste num mtodo para se resolver sistemas Lineares de n equaes e n incgnitas. Seja o sistema

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n nn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Para obtermos a soluo para esse sistema vamos fazer alguns clculos. Acompanhe:

det S Determinante associado a matriz formada pelos coeficientes das incgnitas.

det S =

a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

det Xi Determinante associado a matriz obtida a partir de S, trocando a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos independentes do sistema.

det X1 = b a ab a a

b a a

n

n

n n nn

1 12 1

2 22 2

2

det X2 = a b aa b a

a b a

n

n

n n nn

11 2 1

21 2 2

1

det Xn = a a ba a b

a a bn n n

11 12 1

21 22 2

1 2

A soluo do Sistema dada por:

x1 det Xdet S xdet Xdet S

x det Xdet S

12

2n

n Veja que s possvel aplicar a Regra de Cramer em sistemas n x n em que det S 0. Esses sistemas so denominados normais.

3. Discusso com base na regra de Cramer (2x2) 1) Quando det S 0, o sistema possvel e determinado. 2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema possvel e indeterminado 3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais determinantes for diferente de zero, os sistema impossvel O sistema homogneo sempre possvel.

Exerccios de Sala 01) Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas:

a)

152

1134

yx

yx

b)

622

3

yx

yx

c)

233

1

yx

yx



02) Dado o sistema de equaes lineares

x y zx y zx y z

1

1 com , R, ento o sistema

determinado se: a) se -1 b) se = -1 e 1 c) se 1 d) se = -1 e = 1 e) se = -1 e = -1 03) ( FGV-SP ) O sistema linear

00

02

zyxzyx

zyx

admite soluo trivial, se:

a) = - 2 b) - 2 c) = 2 d) 2 e)

Tarefa Mnima 01) ( USF-SP ) Resolvendo o sistema

x y z

x y zx y z

92 11

1

, obtm-se y igual a:

02) ( UFRGS ) Dado o sistema de equaes lineares sobre

R 2 4

3 2 44 0

x y zx y z

x y z

os valores de x, y e z que

constituem sua soluo: a) formam uma progresso geomtrica b) formam uma progresso aritmtica c) so iguais entre si d) no existem e) tm uma soma nula

03) ( FGV -SP ) O sistema de equaes 2 5 10

2 3x yx y

equivalente a:

2 5 10 10

) . ) .1 2 3 3

10 10) . )

3 3

x xa b

y y

x xc d

y y

-2 -5

1 2

2 -1 -2 1

5 -2 -5 2

04) ( UFSC )Para que o sistema abaixo seja impossvel, o valor de a :

x y zx y azx y z

3 4 12

2 3

05) ( UFSC )Determine o valor de m para que o sistema, abaixo, admita infinitas solues:

mx y zx my zx y

2 02 0

3 2 0

Tarefa Complementar 06) ( UEPG-PR ) O sistema linear

b4z2y3x

2zyx

33zyax

:

01. impossvel para a 2 e b = 5 02. impossvel para a = 2 e b 5 04. possvel e determinado para a = 2 b R 08. possvel e indeterminado para a = 2 e b = 5 16. possvel e determinado para a 2 07) ( UFSCar - SP ) Dado o sistema linear

x ay zax y azx ay z

00

0

assinale a alternativa correta: a) O sistema admite uma infinidade de solues para qualquer a real. b) O sistema no admite soluo de a = 1. c) O sistema admite uma nica soluo se a = 3. d) O sistema admite somente a soluo trivial. e) O sistema admite uma nica soluo se a = 1.

08) ( FEI-SP ) Se o sistema 3 2 1 0

4 2 2 02 3 2 0

x y zmx y z

x my z

admite uma nica soluo, ento: a) m 6 b) m 2 c) m 8 d) m 4 e) m 3

09) ( UFSC ) Considere o sistema S1:

06y-2x-

03yx

determine a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) VERDADEIRA(S).

01. O par ordenado (15,5) uma soluo do sistema S1.

02. O sistema S1 possvel e determinado. 04. A soluo do sistema S1 uma reta que no passa pela origem.

08. O sistema S2:

030y-10x-

06y2x equivalente ao

sistema S1. 10) ( UFSC ) Assinale a soma dos nmeros associados s

proposies VERDADEIRAS

01. O nmero de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 48. 02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.

04. A soma das razes da equao

x44xx4xxx

= 0 8.



08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.

16. O sistema

0yx

02y3x indeterminado.

11) ( UFSC ) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS

01. A matriz

0213184515240321

no possui inversa.

02. Se um sistema de equaes indeterminado, ento no se pode encontrar soluo para ele. 04. Uma pequena indstria produz trs tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em trs meses consecutivos so os dados na tabela abaixo. Ento, os preos dos produtos x, y e z s podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00.

Ms

Unidades de x

vendidas

Unidades de y

vendidas

Unidades de z

vendidas

Faturamento bruto

1 1 5 3 R$ 35.000,00

2 4 1 2 R$ 15.000,00

3 5 6 5 R$ 50.000,00

08. A soluo da equao 0213

42142x x = 1

12) ( UFSC ) Assinale as proposies CORRETAS. 01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) a nica soluo do

sistema

276y3x92yx

02. A matriz A = (aij)13, tal que aij = i 3j A = 852 . 04. A soma dos elementos da inversa da matriz

1011

igual a 2.

08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simtrica se tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A. Nessas condies pode-se afirmar que a matriz

001000100

anti-simtrica.

16. Se as matrizes P, Q e R so escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

213

, 53x ,

x20116

,

619

32. A e B so matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condies pode-se afirmar que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B. 13) ( UFSC ) Marque a(s) proposio(es) CORRETA(S). 01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e de ordem m x p. 02. Se um sistema de equaes possui mais equaes do que incgnitas, ento ele incompatvel (impossvel). 04. A terna (2, 1, 0) soluo do sistema

x y zx y zx y zx y z

2 3 42 2 33 76 2 2 14

08. Trs pessoas foram a uma lanchonete. A primeira tomou 2 (dois) guarans e comeu 1 (um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1 (um) guaran e comeu 2(dois) pastis e pagou R$ 5,00. A terceira tomou 2 (dois) guarans e comeu 2(dois) pastis e pagou R$ 7,00. Ento, pelo menos, uma das pessoas no pagou o preo correto. 14) ( FUVEST ) O sistema linear

ayxayx

9log4log3log2log

a) tem soluo nica se a = 0 b) tem infinitas solues se a = 2 c) no tem soluo se a = 3 d) tem infinitas solues se a = 4 e) tem soluo nica se a = 9



GABARITO MAT D AULA 1 1) R$ 45,20 2) 252 3) 8 dias 4) a) 20 b) 2 c) 240 d) 0,6 e) 0,06 f) 0,0025 g) 70% 5) e 6) 08 7) b 8) a 9) a 10) a 11) a 12) 44 13) 40 14) d 15) 02 AULA 2 1) 15 2) a) 9 b) 3 c) 8 3) 05 4) c 5) d 6) a 7) 04 8) 02 9) d 10) 08 11) 12 12) e 13) d 14) 60 15) c AULA 3 1) 24 2) 60 3) 24 4) 210 5) c 6) a 7) 28 8) e 9) a 10) 30 11) 35 12) 12 13) d 14) a AULA 4 1) 19 2) b 3) 13 4) 32 5) 04 6) c 7) c 8) Cn, p 9) b 10) d 11) c AULA 5 1) 280 2) 01 3) 37 4) a 5) e 6) a 7) e 8) 01 9) c 10) a AULA 6 1) a) 5 b) 0 c) 38 2) 4 3) 66 4) 66 5) d 6) 00 7) d 8) 66 9) d 10) a AULA 7 1) 23 2) 35 3) b 4) 11 5) 07 6) 04 7) b 8) e 9) e 10) d AULA 8 1) d 2) d 3) 08 4) c 5) c 6) c 7) 00 8) b 9) e 10) 03 AULA 9

1) 2 1 1 1

2 3 2 4 55 2 4 1

3 4 3 2 58 5 9 9

a b c d) ) ) )

2) 34 3) 6 e 2 4) 36

5) a) 2 22 2

X

b) 3 04 1

X 3 3

5 1Y

6) 12 7) e 8) 12 9) d 10) e 11) b 12) b 13) 9 17

10 12

14) a 15) b

AULA 10

1) b 2) 05 3)

0000

4) 01 5) 56

6) a) 14 b) 11 c) 15 7) 03 8) 08 9) 05 10) d 11) 01 12) 40 13) 32 14) 80

15) 0 00 0

16) 56 17) 19 18) e 19) b

AULA 11 1) 12 2) 6 3) c 4) 121 5) 36 6) a 7) b 8) a 9) d 10) e 11) d 12) d 13) a 14) a 15) 5 e 1 16) d 17) 05 18) c 19) 05 20) AULA 12 1) 03 2) b 3) a 4) 02 5) 02 6) 26 7) a 8) a 9) 09 10) 04 11) 09 12) 18 13) 13 14) c

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04 Matematica d