04- Adi diferansiyel denklemler

8/3/2019 04- Adi diferansiyel denklemler

1/29

BLM 4

AD DFERANSYEL DENKLEMLERN SAYISAL ZM

4.1 Giri

4.2 Taylor serisi yntemi

4.3 Euler yntemi ve deiik uygulamalar

4.4 Runge-Kutta yntemleri

4.5 ok adml yntemler

4.6 Yksek-dereceden denklemler ve denklem sistemleri

4.7 Snr deer problemleri


2/29

Blm 4- Adi diferansiyel denklemlerin saysal zm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M.A. Ykselen, HM504 Uygulamal Saysal Yntemler Ders Notlar www3.itu.edu.tr/~yukselen

1

BLM 4

AD DFERANSYEL DENKLEMLERN SAYISAL ZM

4.1 Giri

Gerek hayattaki bir ok problem, trevler arasndaki ilikiyi grmek daha kolay olduundandiferansiyel denklemlerle modellenir. rnein Newtonun ikinci kanunu

Maf =

ivmenin hzn zamanla deiimi olduu hatrlanarak

M

fa

dt

dv==

eklinde birinci dereceden, veya hzn da mesafenin trevi olduu hatrlanarak

M

fa

dt

sd==

2

2

eklinde ikinci dereceden bir adi diferansiyel haline getirilebilir. vmenin sabit olmas halinde budenklemlerin analitik zmleri srasyla

0)( vattv +=

002 stvatts ++= )(

eklinde olup, zmlerde yer alan v0 ve s0 sabitleri srasyla hz ve konumun balangdeerleridir. Bu denklemler kullanlarak, bamsz deiken olan t zamannn herhangi birdeerinde vhznn ve s konumunun saysal deerleri elde edilebilir.

Birok diferansiyel denklem analitik olarak zlebilir ve bulunan genel zmde denkleminderecesine eit sayda keyfi integral sabiti yer alr. ayet sabit saysnca koul ortaya konulursasabitlerin deerlerini elde etmek mmkn olur.

Btn koullarn bamsz deikenin ayn deeri iin belirlenmesi halinde problem balang

deer problemi olarak adlandrlr. Koullar bamsz deikenin iki farkl deerinde, zellikleilgilenilen bir blgenin snrlarnda verildii takdirde problem snr deer problemi olaraknitelendirilir.

Bu blmde adi diferansiyel denklemlerin zm iin kullanlan saysal teknikler elealnacaktr. Problemin saysal olarak zm iin gerekli sayda koulun bilinmesi ve bukoullarn saysal zmde kullanlmas gereklidir.

zm tekniklerine Taylor-serisi yntemi ile balanacaktr. Taylor serisi kendi bana iyi biryntem olmakla kalmayp dier baka birok yntemin esasn tekil eder.

nce birinci-dereceden balang-deer problemleri incelenecek, daha sonra yksek-dereceden

problemler ve snr deer problemleri ele alnacaktr.

Balang-deer probleminde saysal zm bir balang noktasnda balar. Bu noktadanitibaren bamsz deikenin deeri arttrlarak zm adm adm devam ettirilir. Snr deer


3/29



2

probleminde ise zm bir snrdan balatlarak dier snra doru ilerletilir ve bu snrdaki koulsalanmaya allr. Bu da ancak iteratif olarak gerekletirilir.

Bir diferansiyel denklem zlmek istendiinde gerekten bir zm olduundan ve buzmn tek olduundan emin olunmaldr. Bu husus dy/dx= f(x,y) eitliindeki f(x,y)fonksiyonunun Lipschitz artnn salanmasn gerekli klar:

f(x,y) fonksiyonunun (x0,y0) noktasn iine alan bir R blgesinde tanml ve srekli olduunuvarsayalm. Blgenin kapal ve bir dikdrtgenle snrl olduunu kabul edelim. ayet Rblgesindeki btnx, y1 ve y2 ler iin

( ) ( )2121 yyLyxfyxf


4/29



3

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) L++++= 3002

0

0

00032

xxxy

xxxy

xxxyxyxy!

'''

!

'''

ayetx-x0=h denilirse ( ) ( ) ( )( ) ( )

L++++= 30200032

hxy

hxy

hxyxyxy!

'''

!

''' (4.2)

Burada y(x0) terimini deeri balang artndan y(0)=-1 olarak bilinmektedir. (Almx=0 dayapldndan bu rnekteki seri aslnda bir Maclaurin serisidir).

Serideki ikinci terimin katsays (4.1) denklemindex=0 ve y=-1 konularak

( ) ( ) ( ) ( ) 110200 === '' yxy

eklinde elde edilebilir.

kinci- ve daha yksek dereceden trevler, birinci trev iin verilen (6.1) eitliinden ardardatrevler alnarak elde edilecektir. Bu trevlerin deerleri x=0 da hesaplanarak serinin yksek

dereceden terimlerinin katsaylar elde edilir:

( )( )

( ) '''

'''''

'''

)(yxy

yxy

yxy

=

=

=

4

2

( )( )

( ) 30

30

3120

4 =

=

==

)(

'''

''

y

y

y

Bylece x=h noktasnda fonksiyonun deerini elde etmek iin seri zm

( ) hatahhhhxy +++= 432 12505051011 ....

eklinde yazlr. Aadaki tabloda x=0 ile x=0.6 arasndaki saysal ve analitik zmler yer

almaktadr.

5. treve kadar saysal

x Analitik y(x) Hata y(x) Hata

0,00 -1, 00000 -1, 00000 0,0 0000 -1,0 0000 0,00000

0,10 -0, 91451 -0, 91451 0,0 0000 -0,9 1451 0,00000

0,20 -0, 85619 -0, 85620 -0,00001 -0,8 5619 0,00000

0,30 -0, 82245 -0, 82251 -0,00006 -0,8 2245 0,00000

0,40 -0,81096 -0,81120 -0,00024 -0,8 1094 -0,00002

0,50 -0,81959 -0,82031 -0,00072 -0,8 1953 -0,00006

0,60 -0,84643 -0,84820 -0,00177 -0,8 4626 -0,00018

4. treve kadar saysal

Grld gibix< 0.3 iin uyum iyi ikenx> 0.3 halinde fark giderek artmaktadr. Seride dahafazla terim alnmas halinde uyumlu blgenin genileyecei aktr. rnein seride

( ) hatahhhhhxy ++++= 5432 025.0125.05.05.10.11

eklinde beinci dereceye kadar trevlerin alnmas halindeki sonular tablonun sakolonlarnda grlmektedir.

Bu hesaptaki hata serideki kullanlan en son terimden sonraki terimin deeri 0 ilexarasndakiherhangi bir noktada hesaplanarak elde edilebilir:

( ) xxyxhata


5/29



4

Son noktada hatann en byk olaca dncesiyle hatann tahmini deerix=0.6 noktasnda

( )0019403

120

605

..

==hata

olarak elde edilir ki tabloda mevcut hata deerine yak

nd

r.y(x) trevini ifade eden fonksiyonun yukardaki gibi basit olmad hallerde yksek derecedentrevlerin hesaplanmas da kolay olmaz.

rnein ( )2

xy

xxy

='

Bilgisayarlar bu gibi trevleri hesaplayacak ekilde programlanmamakla birlikte Maple veMathematica gibi yazlmlarla trevleri elde etmek mmkndr.

rnek

Diferansiyel denklem 2xdx

dy=

Analitik zm [ ] ( ) ( )[ ]303032)(

)( 3

1

3

1 00

0

0

0

0

xhxxdxxdyhx

x

hx

x

hxy

xy+===

+++

3

hxhxh)x(y)hx(y

3

022

000 +++=+

x0 noktas

nda ardarda trevler 0dx

yd

,2dx

yd

,x2dx

yd

,xdx

dy

0000 x4

4

x3

3

0x

2

22

0x =

=

=

=

olup, Taylor alm3

hxhxh)x(y)hx(y

3

022

000 +++=+

rnek

Diferansiyel denklem y2dx

dy=

Analitik zm

h2

00 e)x(y)hx(y =+

x0 noktasnda trevler( )

( )

KK

y8dx

dy4y4

dx

d

dx

yd

dx

d

dx

yd

y4dx

dy2y2

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

y2dx

dy

2

2

3

3

2

2

===

=

===

=

=


6/29



5

Taylor alm( ) ( )

++++=

++++=+

K

K

!3

h2

!2

h2h21)x(y

!3

)x(yh8

!2

)x(yh4)x(yh2)x(y)hx(y

32

0

03

02

000

Analitik zmdeki eksponansiyel ifadenin seri alm( ) ( )

K++++=!3

h2

!2

h2h21e

32h2

olup Taylor almnn analitik zmle ayn zm verdii grlmektedir. Ancak zmn seriolarak verilmesi halinde hassasiyet seride alnacak terim saysna bal olacaktr.

rnek

Diferansiyel denklem yxdx

dy+=

Analitik zm xeC)1x(y ++=

Balang arty(x0) olmak zere Chesaplanarak [ ] xx00 ee)x(yx11xy 0+++=

Veyax0+h noktasndaki deer [ ] h0000 e)x(yx11hx)hx(y +++=+

Trevler

K

yx1)yx1(dx

d

dx

yd

yx1)yx(dx

d

dx

yd

yxdx

dy

3

3

2

2

++=++=

++=+=

+=

Taylor alm

[ ][ ] [ ]

K+++

+++

+++=+!

)(

!

)()()()(

3

1

2

12 00

3

00

2

0000

xyxhxyxhxyxhxyhxy

Veya [ ]

+++++++=+ K

!!)()(

32111

32

0000

hhhxyxhxhxy

Buradaki keli parantez iinde yer alan terim aslnda eh eksponansiyel byklnn almolup yine Taylor almyla analitik zmn aynnn elde edildii, sadece zmn seri formdaverildii grlmektedir.

4.3 Euler yntemi

Euler yntemi Taylor-serisinin sadece birinci dereceden terimini kullanan bir yntemdir:

( ) ( ) ( )( ) hataxxxyxyxy ++= 000 ' , ( ) ( )22

2hOy

hhata == ''


7/29



6

Bu ifade( ) ( )

( )00

0 ' xyxx

xyxy=

eklinde dzenlenirse fonksiyonun x noktasndaki

deerinin [x0,y(x0)] noktasndan izilen bir teet ile eldeedilmekte olduu ve bu bakmdan bir miktar hataierecei kolaylkla grlebilir.

ayet h=x-x0 artm yeterince kk tutulursa hata kkolacaktr. Bir kez x=x0+h noktasnda y deeri eldeedildikten sonra yeni bir admda ayn hesap tekraredilebilir:

( )21 hOhyyy nnn ++=+ ' (4.3)

y

x

y(x)

y0

xx0

Euler yntemi

ile hesaplanan

nokta

Gerek

zm

noktas

x0dakieim

Buradaki hata lokal hata olup, ok sayda adm atldktan sonraki hata O(h) mertebesinde

olacaktr.

Yntemin, y0 = y(x0) balang deeri ile verilmi bir y(x) = f(x,y) fonksiyonu iinprogramlanmas gayet kolaydr. rnein nceki paragrafta da incelenen

102 == )(, yyxdx

dy

denkleminin h=0.1 iin zmleri aadaki tabloda sunulmutur.

xn yn yn' h yn' Analitik Hata

0,0 -1,00000 1,00000 0,10000 -1,00000 0,000000,1 -0,90000 0,70000 0,07000 -0,91451 -0,01 451

0,2 -0,83000 0,43000 0,04300 -0,85619 -0,02 619

0,3 -0,78700 0,18700 0,01870 -0,82245 -0,03 545

0,4 -0,76830 - 0,0317 0 -0,00317 -0,81096 -0,04 266

Bu tabloda yn nin her bir satrdaki deeri, bir nceki satrda yer alan yn deerine nceki satrdahesaplanm olan hyn deeri eklenerek elde edilmitir. Grld gibi x=0.4 noktasndakifonksiyon deeri 0.04266 hata ile elde edilmitir. Bunun nedeni h adm uzunluunun ok bykolmasdr. Hata h ile orantl olduuna gre virglden sonra drdnc hanede hassasiyetlezm elde etmek iin adm uzunluunu 426 kat kltmek gerekmektedir. rnein admuzunluu yar azaltlarak elde edilen sonular aadaki tabloda grlmektedir.

xn yn yn' h yn' Analitik Hata

0,00 -1,00000 1,00000 0,05000 -1,00000 0,00000

0,05 -0,95000 0,85000 0,04250 -0,95369 -0,00 369

0,10 -0,90750 0,70750 0,03538 -0,91451 -0,00 701

0,15 -0,87213 0,57213 0,02861 -0,88212 -0,01 000

0,20 -0,84352 0,44352 0,02218 -0,85619 -0,01 267

0,25 -0,82134 0,32134 0,01607 -0,83640 -0,01 506

0,30 -0,80528 0,20528 0,01026 -0,82245 -0,01 718

0,35 -0,79501 0,09501 0,00475 -0,81406 -0,01 905

0,40 -0,79026 - 0,0097 4 -0,00049 -0,81096 -0,02 070


8/29



7

4.3.1 Basit Euler ynteminin iyiletirilmesi

ou basit yntemin sorunu admuzunluunun son derece kk olmasnagereksinim duyulmas ve byk admuzunluunda yeterince doru sonu

vermemesidir. ekilde basit Eulerynteminin kk bir ilave abayla naslbir miktar iyiletirilebileceigrlmektedir.

Euler yntemindex0 balangnoktasnda hesaplanan birinci derecedentrev aslnda gerek fonsiyonun temsilettii erinin bu noktadaki teetidir. Buteet zerindexdorultusunda h kadarilerlenerek bulunan y1 noktas, h

y

x

y1

y0

x1x0

Basit Euler yntemi ile

hesaplanan nokta

Gerek zm

noktas

x0daki

eim

Euler

yntemiyle

bulunan y1

kullanlarakx1 de

hesaplanan

eim

admnn byklne bal olarak erinin uzana dmektedir. Bu noktay eriye

yaklatrmann, yani daha doru zm elde etmenin bir yolux0 daki trev yerine ortalama birtrev kullanmaktr.

Euler ynteminde iyiletirme herhangi birxn noktasndaki eim yerine, bununla bir sonrakixn+1noktasnda elde edilecek trevin ortalamasn kullanarak

2

1

1

++

++= nn

nn

yyhyy

''(4.4)

eklinde yaplabilir. Ancak formln bu ekilde dorudan uygulanmas mmkn deildir. Ziraburadaki yn+1 trevi xn+1 noktasndaki trev olup, trevin deeri ayn zamanda yn+1byklne bal olabilir ki zmn bu aamasnda henz yn+1 bilinmemektedir. Dolaysyla

zm iki aamada gerekletirilecektir. Birinci aamada basit Euler yntemi ile yaklak biryn+1 deeri elde edilecek, bu deer vexn+1 birlikte kullanlarak yn+1 trevi hesaplanacak, dahasonra (4.4) formlyle yn+1 in yeni deeri hesaplanacaktr.

Aslnda bu yntemin birinci aamasnda elde edilen yn+1 deeri hata ierdiinden bununkullanlmasyla elde edilen yn+1 trevi de bir miktar hatal olacaktr. Dolaysyla ortalamatrevle yaplan hesaplamada da hata sz konusu olacaktr. Ancak basit Euler yntemine kyaslabu hata daha kk olacaktr.

Ortalama trevle elde edilen yn+1 deeri tekrar kullanlarak trevin yeniden hesaplanmas vebunun da bir nce hesaplanan trevle ortalamas alnarak yn+1 deeri iin daha iyi bir tahminyaplmas, hatta bu ilemin iteratif olarak devam ettirilerek zmn ok daha iyiletirilmesi

mmkndr. Ancak ileriki paragraflarda izah edilecek gelimi yntemler dikkate alnrsa buyntemin zahmetine gerek olmad grlr.

rnek olarak nceki paragraflarda ele alnan

102 == )(, yyxdx

dy

problemi iin bu iyiletirilmi yntem iki aamal olarak uygulanm ve sonular aadakitabloda verilmitir.


9/29



8

xn yn h yn' yn+1 h y'n+1 h y'ort yn+1 Analitik Hata

0,0 -1,00000 0,10 000 -0,90000 0,0700 0 0,08500 -0,91500 -1,00000 0,00000

0,1 -0,91500 0,07 150 -0,84350 0,0443 5 0,05793 -0,85708 -0,91451 0,00049

0,2 -0,85708 0,04 571 -0,81137 0,0211 4 0,03342 -0,82365 -0,85619 0,00088

0,3 -0,82365 0,02 237 -0,80129 0,0001 3 0,01125 -0,81241 -0,82245 0,00120

0,4 -0,81241 0,00 124 -0,81117 -0,01888 -0,008 82 -0,82123 -0,81096 0,00145

0,5 -0,82123 -0,01788 -0,83910 0,0839 1 0,03302 -0,78821 -0,81959 0,00164

yiletirilmi Euler ynteminin hatas, Taylor seri yntemiyle karlatrlarak elde edilebilir.

( )hxxh

yhyhyyy nnnnnn +


10/29



9

( ) ( )( ) ( )

hhxyxy

xyhxy2

00

00

+++=+

''

eklinde nceki paragrafta kartlan iyiletirilmi Euler yntemiyle ayn formlasyon elde edilir.

Alman matematikiler Runge ve Kutta Taylor serisinde ikiden fazla terim alarak Eulerynteminin daha da iyiletirilebileceini grmlerdir. yiletirilmi Euler yntemi ikincidereceden bir Runge-Kutta yntemidir. Bu paragrafta sadece drdnc- ve beinci-derecedenRunge-Kutta yntemleri incelenecektir.

kinci-dereceden Runge-Kutta yntemlerinde fonksiyonun birx0 noktasndaki y(x0) deerine k1ve k2 gibi iki bykln arlkl ortalamalar ilave edilmektedir.

( )( )12

1

211

kyhxfhk

yxfhk

bkakyy

nn

nn

nn

++=

=

++=+

,

,(4.8)

Buradaki k1 ve k2 byklklerinixdeikeni h kadar artnda yde grlen deiimler olarakdnebiliriz. nk bunlarxdeki h deiimi ile erinin eitli yerlerde alnmdy/dxtrevininarpmlarndan olumaktadr.

Runge-Kutta yntemleri ydeki artmn ilk terimi olarak hep Basit Euler yntemiyle elde edilendeeri (k1) kullanmaktadr. Artmdaki ikinci terim (k2) ise x ve y deerlerinin, h admnnsrasyla ve arpanlar orannda arttrlmasyla elde edilen yenixve ydeerleriyle bulunaneimle ilgilidir. a, b, ve parametrelerinin seimine bal olarak deiik Runge-Kuttaemalar elde edilir.

Taylor serisi ( ) ( )L

+++=+ nnnnnn yxfh

yxhfyy ,', 2

2

1

f(x,y) nin trevi fffdx

dyff

dx

dff yxyx +=+=='

olup, yukarda kullanlarak L+

+++=+n

yxnnn fffhhfyy2

1

2

121

(4.9)

Genel Runge-Kutta emas (4.8) ( ) ( )[ ]nnnnnnnn yxhfyhxbhfyxahfyy ,,, ++++=+1 (4.10)

Bu son banty (4.9) ile karlatrabilmek iin son terimi birinci mertebeden Taylor serisinealrsa

( )[ ] ( )nyxnnnn

hffhffyxhfyhxf ++++ ,, (4.11)

ve bu alm (4.10) da yerletirilirse ( ) ( )nyxnnnn

hffhffbhyxahfyy ++++=+ ,1

Bu son bant dzenlenerek ( ) ( )nyxnnn

bhffbhfhhfbayy ++++=+2

1(4.12)

imdi (4.12) bants (4.9) ile karlatrlrsa bu iki bantnn edeer olmas iin

21

211 ===+ bbba ,,


11/29



10

olmas gerektii grlr. Ancak bu bantya karlk belirlenmesi gereken drt parametremevcuttur. Bir parametre keyfi seilerek ikinci-dereceden eitli Runge-Kutta formlasyonlarelde edilebilir: rnein

2

1

2

110 ==== ,,, ba Orta-nokta yntemini

112

1

2

1==== ,,, ba yiletirilmi Euler yntemini

4

3

4

3

3

2

3

1==== ,,, ba bir baka yntem

verir.

En ok kullanlan Runge-Kutta yntemleri drdnc-dereceden yntemlerdir. Bu yntemlerinformlasyonunun elde edilmesi iin de yukardakine benzer ilemler yaplr ve 13 parametreli,

11 denklemli bir sistem elde edilir. ki parametre keyfi seilerek dier parametreler hesaplanr.En ok kullanlan drdnc-derece Runge-Kutta formlasyonlarndan birisi aadaki gibidir:

( )

( )

( )34

23

12

1

43211

2

1

2

1

2

1

2

1

226

1

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkkkyy

nn

nn

nn

nn

nn

++=

++=

++=

=

++++=+

,

,

,

,

Bu formlasyon, rnek olarak birinci-dereceden

102 == )(, yyxdx

dy

denklemine h=0.1 olmak zere [0.0-0.6] aralnda uygulanm olup sonular aadakitabloda verilmitir.

xn yn k1 k2 k3 k4 kort Analit ik Hata

0,0 -1,00000 0,10000 0,08500 0,08575 0,07143 0,08549 -1,00000 0,00000

0,1 -0,91451 0,07145 0,05788 0,05856 0,04560 0,05832 -0,91451 0,00000

0,2 -0,85619 0,04562 0,03334 0,03395 0,02222 0,03374 -0,85619 0,00000

0,3 -0,82246 0,02225 0,01113 0,01169 0,00108 0,01149 -0,82245 0,00000

0,4 -0,81096 0,00110 -0,00896 -0,00846 -0,01806 -0,00863 -0,81096 0,00000

0,5 -0,81959 -0,01804 -0,02714 -0,02668 -0,03537 -0,02684 -0,81959 0,00000

0,6 -0,84644 -0,03536 -0,04359 -0,04318 -0,05104 -0,04332 -0,84643 0,00000

Grld gibi saysal sonular analitik sonularla virglden sonra beinci haneye kadaruymakta olup, daha nceki izah edilen yntemlere kyasla hayli tatminkar sonular eldeedilmektedir.

Drdnc-dereceden Runge-Kutta ynteminin lokal hatas O(h5

) ve global hatas O(h4

) damertebesindedir. kinci-dereceden yntemlere kyasla ok daha etkin olmas daha yksekdereceden yntemlerin de daha avantajl olabileceini akla getirmekle birlikte, derecebydke fonksiyon hesaplama saysnn da artaca unutulmamaldr.


12/29



11

4.4.1 Runge-Kutta-Fehlberg yntemi

Runge-Kutta yntemiyle yaplan integrasyonun doruluunu tespit etmenin bir yolu bir admdahesaplanan sonu ile bu adm ikiye blnerek iki admda yaplan yeni bir hesapla elde edilensonucun karlatrlmasdr. ki sonu arasndaki fark yeterince kkse yaplan hesabn doruve seilen adm uzunluunun uygun olduu kabul edilir. Fark bykse adm uzunluu tekrar

ikiye blnr ve ayn ilem tekrar edilir. Ancak bu yntem yaplan ilem saysn hayli arttrr.

Farl bir yaklam da farkl dereceden Runge-Kutta yntemlerinin uygulanmasdr. Bu tipyaklamlarla ilem saysnda tasarruf salanabilir. rnein, drdnc- ve beinci-derecedenbirer Runge-Kutta formlasyonuyla hesap yaplp sonular karlatrlabilir ki Runge-Kutta-Fehlberg yntemi bu tipte bir yaklamdr.

Runge-Kutta-Fehlberg formlasyonu aadaki gibidir:

( ),

,

,

,

,

,

1 n n

1

2 n n

1 23 n n

31 24 n n

3 415 n n 2

16 n n 2

k h f x y

khk h f x y

4 4

3k 9k 3hk h f x y

8 32 32

7296k1932k 7200k12hk h f x y

13 2197 2197 2197

3680k 845k439kk h f x h y 8k

216 513 4104

3544k8khk h f x y 2k

2 27

=

= + + = + + +

= + + +

= + + +

= + + 3 4 51859k 11k

2565 4104 40

+

3 4 51n 1 n

3 4 5 6 1n 1 n

1408k 2197 k k 25ky y

216 2565 4104 5

6656 k 28561k 9k 2k 16 ky y

135 12825 56430 50 55

+

+

= + + +

= + + + +

global hata

( )

( )

5

4

hO

hO

Hata:55

2

5075240

2197

4275

128

360

65431kkkkk

E ++=

Runge-Kutta-Fehlberg emas, h ve h/2 admlaryla hesap yapmak yerine farkl hata

mertebesinde drdnc- ve beinci dereceden iki Runge-Kutta formlasyonuyla hesap yappsonular karlatrma esasna dayanmaktadr. Bu yntemin avantaj her iki hesaplamada daaynklarn kullanlmas suretiyle ilem saysnda tasarruf salamaktr.

rnekolarak bir kez daha 102 == )(, yyxdx

dy

denklemi ele alnm olup, h=0.1 olmak zere atlan bir admla elde edilen sonular aadakitabloda sunulmutur.


13/29



12

xn = 0.0 k1 = 0.1000000 yn+1 (RK4) = -0.914512212 hata (RK4) = -0.000000043

yn = -1.0 k2 = 0.0925000 yn+1 (RK5) = -0.914512251 hata (RK4) = -0.000000003

h = 0.1 k3 = 0.0889609

k4 = 0.0735157 tam zm = -0.914512254 E = -0.000000040

k5 = 0.0713736

k6 = 0.0853872

Grld gibi drdnc-dereceden Runge-Kutta emasyla elde edilen sonu tam sonucavirglden sonra yedinci haneye kadar uyarken, beinci-dereceden emayla bulunan sonuvirglden sonra sekizinci haneye kadar uymaktadr. Bunun iin ilave iki hesap (k5 ve k6)yetmitir.

4.4.2 Runge-Kutta-Merson yntemi

Runge-Kutta-Merson yntemi 5 farklkdeerinin hesapland bir baka drdnc-derecedenRunge-Kutta emasdr:

( ),

,

,

,

,

1 n n

12 n n

1 23 n n

314 n n

315 n n 4

k h f x y

khk h f x y

3 3

k khk h f x y

3 6 6

3kkhk h f x y

2 8 8

3kkk h f x h y 2k

2 2

= = + +

= + + +

= + + +

= + + +

( ) ( )51 4 5

n 1 n

1k k 4k k O h6

y y k +

= + + +

= +

Hata:

( )1 3 4 51

E 2k 9k 8k k 30

= +

4.4.3 Runge-Kutta-Gill algoritmas

4. mertebeden yntemler arasnda en ok tercih edilen birisi de Runge-Kutta-Gillalgoritmasdr:

( ),

,

,

,

1 i i

2 i i 1

3 i i 1 2

3 i i 2 3

k h f x y

h 1k h f x y k

2 2

h 1 1 1k h f x y k 1 k 2 2 2 2

1 1k h f x h y k 1 k

2 2

=

= + +

= + + + +

= + + +

1 2 3 4

1 1 1k k 2 1 k 2 1 k k

6 2 2

= + + + +

i 1 i y y k + = +


14/29



13

4.5 ok adml yntemler

Euler ve Runge-Kutta yntemleri, bir admdaki integral deerini hesaplamak iin sadece en sonadmda bulunan deerleri kullandklarndan tek-adml yntemler olarak nitelendirilmektedir.Bu zelliklerinden dolay her bir admdaki hesab farkl bir adm uzunluu kullanarakyapabilmekte ve ayrca balang artlarnn bir noktada verilmesi halinde zm

balatabilmektedirler.

Diferansiyel denklem zm bir noktada balatlp ilk admlar atldktan sonra zm yaplmolan noktalarda fonksiyon ve trevleri hakknda bir bilgi salanm olmaktadr. Bu bilgilerbilgisayar hafzasnda saklanarak integrasyonun devam iin kullanlabilir. Bu ekilde ncekinoktalarda elde edilen bilgileri sonraki noktalarda integrasyon iin kullanan yntemler okadml yntemler olarak adlandrlr.

ok adml yntemler, daha ak bir ifadeyle, y ve y nn nceki deerlerini kullanarak trevfonksiyonuna bir polinom uydurup, bu polinomu sonraki adm iin ekstrapole ederek integralalma esasna dayanrlar. Bu tipteki ou yntemde polinomun oluturulmasn kolaylatrmakasndan eit adm uzunluu kullanmas tercih edilir. Kullanlan gemi noktalarn says

polinomun derecesini ve dolaysyla kesme hatasnn mertebesini belirler. Yntemin derecesiglobal hata terimindeki h byklnn ssne eit olup polinomun derecesinden bir byktr.

4.5.1 nc-dereceden Adams-Bashford yntemi

ok adml tipik bir yntem Adams-Bashford yntemidir. Bu ynteme ait formlasyonukartmak iin birinci dereceden bir diferansiyel denklemi

( )dxyxfdy ,=

eklinde dzenleyelim vexn ilexn+1 aralnda integralini alalm:

( )++

== +11

1

n

n

n

n

x

x

nn

x

x

dxyxfyydy ,

Bu eitliin sa tarafnn integralini alabilmek iin f(x,y) fonksiyonu x bamsz deikenicinsinden bir polinomla yaklak olarak ifade edilecektir. Polinom, hesaplanan son noktadanyararlanlarak hesaplanrsa kuadrik, drt nokta kullanlrsa kbik olur. Ne kadar ok noktakullanlrsa (yuvarlatma hatalar nemli olmad mddete) zmn doruluu da o kadarartacaktr.

Interpolasyon polinomlarn nasl elde edilebilecei daha nce grlmt. nterpolasyonpolinomlarnMathematica yazlm vastasyla da kolaylkla elde etmek mmkndr.

Kuadrik yaklam iin interpolasyon polinomu xnnoktas balang noktas olmak zere tanmlanan bireksen takmnda genel olarak

( ) ( ) 2210

xaxaaxPyxf ++=,

eklinde ifade edilirse, noktann koordinatlar bupolinomu salayaca iin

( ) ( )nfaaa =++

2

210 00

x

fn-2

xn = 0xn-1 = -hxn-2= -2h

fn-1 fn

( ) ( )1

2

210 =++ nfhahaa ( ) ( )

2

2

210 22 =++ nfhahaa


15/29



14

Birinci denklemden nfa =0

kinci ve nc denklemlerdennn

nn

ffhaha

ffhaha

=+

=+

2

2

21

1

2

21

42

Katsaylar zlerek( )

( )2122

211

432

1

221

+=

+=

nnn

nnn

fffh

a

fffh

a

Bylece interpolasyon polinomu iin

( ) ( ) ( )nnnnnnn fxfff

hxfff

hyxf ++++= 21

2

21243

2

12

2

1,

ve bu fonksiyon da xn = 0 - xn+1 = h aralnda integre edilerek

( ) ( )4211 5162312

hOfffh

yy nnnnn +++= + (4.14)

elde edilir. Bu forml tek-adml formlleri andrmakla birlikte trevin atlan admdaki baznoktalarda hesaplanan deerleri yerine daha nceki admlarda hesaplanan deerlerindenyararlanlmaktadr.

rnekolarak daha nce olduu gibi 102 == )(, yyxdx

dy

denklemini ele alarakx=0.6 daki ydeerini hesaplayalm.

Bu denkleminx=0.2 vex=0.4 deki zmleri tek-adml bir yntemle elde edilerek bu deerleryardmyla Adams-Bashford yntemi uygulanabilir. Tek-adml yntem olarak Runge-Kutta-Fehlberg ynteminin kullanld hesap sonular aadaki tabloda yer almaktadr.

x y Analitik f (x,y) Hata

0.0 -1.0000000 -1.0000000 1.0000000 0.0000000

0.2 -0.8561921 -0.8561923 0.4561921 0.0000002

0.4 -0.8109599 -0.8109601 0.0109599 0.0000003

0.6 -0.8450765 -0.8464349 0.0013584

Hatay azaltmak iin adm uzunluu kltlebilir. h=0.1 iin sonular aadaki tablodasunulmutur:

x y Analitik f (x,y) Hata

0.0 -1.0000000 -1.0000000 1.0000000 0.0000000

0.1 -0.9145123 -0.9145123 0.7145123 0.0000000

0.2 -0.8561923 -0.8561923 0.4561923 0.0000000

0.3 -0.8224547 -0.8224547 0.2224547 0.0000000

0.4 -0.8109601 -0.8109601 0.0109601 0.0000000

0.5 -0.8195920 -0.8195920 -0.1804080 0.0000000

0.6 -0.8463626 -0.8464349 -0.3536374 0.0000723


16/29



15

4.5.2 Drdnc-dereceden Adams-Bashford yntemi

Adi diferansiyel denklemin zmnde gemi drt noktadaki deerlerden yararlanlmashalinde kbik polinoma edeer bir integral sz konusu olup bu durumda Adams-Bashfordyntemi drdnc-derecedendir. Bu yntemin formlasyonu belirlenmemi katsaylaryntemiyle elde edilebilir. Bunun iin

( )n 1

n

x

0 n 3 1 n 2 2 n 1 3 n

x

f x dx c f c f c f c f +

= + + +

eitliindeki Ci sabitlerinin deerleri aratrlacaktr. Bu amala yaplacak ilemlerikolaylatrmak iin eksen takmxn=0 olacak ekilde kaydrlrsa,xn+1-xn=h olmak zere

( ) ( ) ( ) ( ) ( )023 32100

fchfchfchfcdxxfh

+++=

yaz

labilir. Formlasyon, polinom kbik veya daha kk dereceden iken geerli olaca

ndanf(x) yerine srasylax3,x2,xve 1 fonksiyonlar alnarak katsaylar aratrlacaktr:

( ) 3xxf = iin ( ) ( ) ( ) ( )333

2

3

1

3

0

4

0

3 0234

chchchch

dxxh

+++==

( ) 2xxf = iin ( ) ( ) ( ) ( )23

2

2

2

1

2

0

3

0

2 0233

chchchch

dxxh

+++==

( ) xxf = iin ( ) ( ) ( ) ( )0232

3210

2

0

chchchch

xdxh

+++==

( ) 1=xf iin ( ) ( ) ( ) ( )11111 32100

cccchdxh

+++==

Denklemler matris biiminde yazlrsa

/

/

/

0

1

2

3

c27 8 1 0 h 4

c9 4 1 0 h 3

c3 2 1 0 h 2

c1 1 1 1 h

=

ve zlrse

hchchchc24

55

24

59

24

37

24

93210 ==== ,,,

elde edilir. Bylece drdnc dereceden Adams-Bashford ynteminin formlasyonu iin

[ ] ( )53211 937595524

hOffffh

yy nnnnnn +++= + (4.15)

bulunur. Bu yntemin hatas da kbik interpolasyon polinomu integre edilerek:


17/29



16

( )= )(52750

251yhE

eklinde elde edilir.

rnekolarak yine daha nceki 102 == )(, yyxdxdy

problemi ele alnm olup,x=0.2; 0.3; 0.4; ve 0.5noktalarnda hesaplanan deerler yukardakiformlde kullanlarak x=0.6 noktasnda elde edilen fonksiyon deeri aadaki tablodasunulmutur. Hatann ne kadar azaldn gstermek zere ayn tabloda nc-derecedenAdams-Bashford yntemi ile elde edilen sonuca da yer verilmitir.

x Analitik y Hata

0.6 -0.8464349 -0.8463626 -0.0000723 (3. Derece)

-0.8464420 0.0000071 (4. Derece)

4.5.3 Adams-Multon yntemi

Adams ynteminin iyiletirilmi bir ekli Adams-Multon yntemidir. Bu yntem Adams-Bashfordyntemini ngrc predictor olarak kullanrken, ilaveten bir de dzeltici correctoremas kullanr. Dzeltici aamas bir baka kbik polinom kullanlmasna dayanmaktadr.

ngrc aamas [ ] ( )155

3211720

2519375955

24+++= +

)(yhffff

hyy nnnnnn (4.16)

Dzeltici aamas [ ] ( )255

2111720

195199

24+++= ++

)(yhffff

hyy nnnnnn (4.17)

Bu formller kullanlarak 102 == )(,/ yyxdxdy

problemi iin x=0.4 ve x=0.5de elde edilen sonular aadaki tabloda yer almaktadr. Bunoktalardan nceki zmler Runge-Kutta-Fehlberg yntemi kullanlarak elde edilmitir.

x y f (x,y)

0.0 -1.0000000 1.0000000

0.1 -0.9145123 0.7145123 Runge-Kutta-Fehlberg

0.2 -0.8561923 0.4561923

0.3 -0.8224547 0.2224547

ngrlm Dzeltilmi Analitik Hata

0.4 -0.8109688 -0.8109592 0.0109688 -0.8109601 0.0000009

0.5 -0.8195991 -0.8195903 -0.1804009 -0.8195920 0.0000017

Grld gibi ngrlen deerle dzeltilmi deer virglden sonra beinci haneye kadaruymaktadr.

(4.16) ve (4.17) bantlarndaki hata terimleri, bunlardaki beinci trevlerin ayn olduuvarsaylarak birbiriyle karlatrlrsa gerek deerin ngrlen ve dzeltilmi deerler arasndaolaca grlr. Dzeltilmi deerdeki hata da, dzeltilmi deerle ngrlm deerarasndaki farkn

214

1

19251

19

72019720251

72019

.//

/=

+=

+


18/29



17

kat civarnda olacaktr.

ngrlm ve dzeltilmi deerler arasndaki fark istenen doruluktan daha kk ise admuzunluu arttrlarak ilem saysnda tasarruf salanabilir. Veya aksi durumda adm uzunluuazaltlr.

Adams-Multon yntemi, Runge-Kutta-Fehlberg ve Runge-Kutta yntemlerine kyasla iki katdaha etkindir.

4.6 Yksek-dereceden denklemler ve denklem sistemleri

Mhendislikte karlalan adi diferansiyel denklemler ou zaman yksek derecedendir.Blmn banda verilen Newton kanunu rnei hatrlanrsa, bu kanunu temsil eden denklemzaman deikeni cinsinden dzenlendiinde ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklemekline gelmiti:

m

f

dt

xd=

2

2

Bu denklemi iki adet birinci dereceden adi-diferansiyel denkleme dntrerek saysalzmn yapmak mmkndr. Bunun iin

ydt

dx=

eklinde yeni bir deiken tanmlanrsa yukardaki denklem

m

f

dt

dy=

ekline gelir. Bylece ikinci-dereceden olan orijinal denklem yerine birinci-dereceden olan buson iki denklem zlr. Bu denklemlerin zm iin,x0 balang konumu ve x0 balanghz gibi iki adet balang kouluna ihtiya vardr. Bylece dx/dtdenkleminin zmx=x0 ileve dy/dtdenkleminin zm de y=y0=x0 ile balatlr.

kinci bir rnek olmak zere ekildekiyay-ktle sistemini ele alalm. 1 ktlesi k1yaynn kontrol altnda yatay yzeyzerinde srtnmesiz olarak hareketetmektedir. r2 yarapl tekerlekeklindeki 2 ktlesi ise k2 yayna baldr.

Bu sistemin hareket denklemleri srasyla

x2

x1

m1

m2,r2

k1

k2

( ) 05050 1122

2

22

1

2

21 =++ xkdt

xdm

dt

xdmm ..

05150 2221

2

22

2

2

2 =++ xkdt

xdm

dt

xdm ..

eklinde yazlabilir. Bu denklemler ikinci-dereceden iki adi-diferansiyel denklemli bir denklemtakm oluturmaktadr. Bu sistemi saysal yolla zmek iin drt adet birinci-dereceden adidiferansiyel denkleme dntrlmesi gerekir.


19/29



18

4.6.1 Birinci-dereceden denklem sistemleri:

Yksek dereceden denklemler de sonuta birinci dereceden denklem sistemine dntrlerekzldne gre ncelikle birinci-dereceden adi diferansiyel denklem sistemlerinin naslzlecei zerinde durmak gerekir. Bunun iin rnek olarak

( )

( ) 10y,yxydx

dy

10y,xyydx

dy

2122

1211

=+=

=+=(4.20)

Denklem sistemini ele alalm. Bu denklem sistemininx=0.1 deki gerek zm y1=0.913936,y2=-0.909217olarak bilinmektedir.

4.6.2 Taylor-serisi yntemi:

Yukardaki rnek problemde bu yntemin uygulanmas iin y1 ve y2 fonksiyonlarnn eitli

derecelerdeki trevlerininx=0 daki deerlerine ihtiya vardr.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

' , '

' , '

'' ' ' , ''

'' ' ' , ''

''' ' ' '' '' ' ' , '''

''' ' ' '' '' , '''

1 1 2 1

2 2 1 2

1 1 2 1 2 1

2 2 2 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2 1 2

y y y x y 0 1 1 0 1

y xy y y 0 0 1 1 1

y y y y y 1 y 0 1 1 1 1 1 3

y y xy y y 0 1 0 1 1 2

y y y y y y y y y y 0 7

y y y xy y y 0

= + = + =

= + = + =

= + + = + + =

= + + = + =

= + + + =

= + + + =L

L

Bylece

( )

( ) L

L

++++=

+++=

54322

54321

x120

47x

24

13x

6

5xx1ty

x120

124x

24

27x

6

7x

2

3x1ty

(4.21)

elde edilir. Bu bantlar kullanlarak x=0.1 deki zm iin de y1=0.9139 ve y2=-0.9092bulunur.

Yukardaki (4.21) bantlarn elde edebilmek amacyla x ve y fonksiyonlarnn herhangi birderecedeki trevlerini hesaplarken bu fonksiyonlarn daha dk dereceden trevlerinin dahanceden hesaplanm olmas gerektii dikkat ekicidir. Yani birinci trevler hesaplanmadanikinci trevlerin veya nc dereceye kadar trevler hesaplanmadan drdnc derecedentrevlerin hesaplanmas mmkn deildir.

Taylor-serisi ynteminin hata mertebesi serilerde ka terim alndna bal olacaktr.

4.6.3 Euler ngrc-dzeltici yntemi:

Bu yntemde nce her iki denkleme ngrc algoritmas ve ardndan da dzeltici algoritmasuygulanacaktr. Bu aamalar srasyla


20/29



19

ngr algoritmas:( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )n2n21n2

n1n11n1

yhyy

yhyy

+=

+=

+

+

Dzeltici algoritmas

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

yyhyy

2

yyhyy

1n2n2

n21n2

1n1n1

n11n1

++

++

++=

++=

eklindedir.

x=0 da( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1110yyxy10yy

1011xyyy10yy

n1n2nn22n2

nn2n1n11n1

=+=+===

=+=+===

olup ngr aamasndan( ) ( )

( )

11.01y

11.01y

1n2

1n1

+=

+=

+

+ ( )

( )

9.0y

9.0y

1n2

1n1

=

=

+

+

elde edilir. Elde edilen bu deerler diferansiyel denklemlerde ve dzeltici algoritmalarda sraylakullanlarak

( ) ( ) ( ) ( ) 71.01.09.09.0xyyy 1n1n21n11n1 =+=+= ++++

( ) ( )( ) ( )

2

71.011.01

2

yyhyy 1n

1n1

n11n1

+=

++= +

+ ( ) 9145.0y 1n1 =+

ve

( ) ( ) ( ) ( ) 8245.09145.09.01.0yyxy 1n11n21n1n2 =+=+= ++++

( ) ( )( ) ( )

2

8245.011.01

2

yyhyy 1n

2n2

n21n2

++=

++= +

+ ( ) 9088.0y 1n2 =+

elde edilir. Burada dzeltici aamasnda y(2)n+1 in hesabnda gereken y(2)n+1 hesaplanrken

y(1)n+1 in en son bulunan dzeltilmi deeri kullanlmtr. Dzeltilmi deerleri tekrar trev

hesabnda kullanp bir kez daha dzeltici algoritmalar kullanarak daha iyi deerler elde etmekmmkndr:

( ) ( ) ( ) ( ) 7311.01.09088.09145.0xyyy 1n1n21n11n1 =+=+= ++++

( ) ( )( ) ( )

2

7311.011.01

2

yyhyy 1n

1n1

n11n1

+=

++= +

+ ( ) 9135.0y 1n1 =+

( ) ( ) ( ) ( ) 8226.09135.09088.01.0yyxy 1n11n21n1n2 =+=+= ++++

( ) ( )( ) ( )

2

8226.011.01

2

yyhyy 1n

2n2

n21n2

++=

++= +

+ ( ) 9089.0y 1n2 =+

Ancak izlenen bu yol daha kuvvetli bir yntem kadar etkin deildir.


21/29


22/29



21

Bu denklem sistemininx=0.1 deki tam zm daha nce de y(1)=0.913936, y(2)=-0.909217olarak belirtilmi olup, ngrc-dzeltici Euler yntemiyle elde edilen sonular virglden sonrasadece nc haneye kadar doru iken Runge-Kutta-Fehlberg yntemiyle elde edilensonularn virglden sonra beinci haneden bile daha sonrasna kadar doru olduugrlmektedir.

Runge-Kutta-Fehlberg algoritmasnn bir admnda elde edilen sonular bir sonraki adm iinbalang deerini oluturacaktr. Bylece zmde adm adm ilerlemek mmkndr.Aadaki tabloda bu ekilde drt admda gerekletirilen ilemlerin sonular yer almaktadr.

x y(1 ) y(1 )' y(2) y(2)'

0.000 1.000000 -1.000000 -1.000000 1.000000

0.025 0.975920 -0.927119 -0.975612 0.951529

0.050 0.953611 -0.858218 -0.952399 0.905991

0.075 0.932979 -0.792940 -0.930290 0.863207

0.100 0.913937 -0.730967 -0.909217 0.823015

0.913936 -0.909217

Runge-Kutta-Fehlbergemas

Adams-Moultonemas

4.6.5 Adams-Moulton yntemi:

Balangtaki drt admda hesaplamalar herhangi bir yntemle yapldktan sonra Adams-Moulton yntemi yine y(1) ve y(2) iin dnml ilemlerle uygulanabilir.

ngrc aamas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3n22n21n2n2n21n2

3n12n11n1n1n11n1

f9f37f59f55

24

hyy

f9f37f59f5524

hyy

+

+

++=

++=

Dzeltici aamas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2n21n2n21n2n21n2

2n11n1n11n1n11n1

ff5f19f924

hyy

ff5f19f924

hyy

++

++

+++=

+++=

Yukardaki tabloda Runge-Kutta-Fehlberg emasyla hesaplanm ilk drt noktadaki deerlerAdams-Moulton emasnda kullanlarak elde edilen sonular grlmektedir.

4.7 Snr deer problemleri

Daha nce de grld gibi ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklemin veya birinci-dereceden iki adi-diferansiyel denklemli bir sistemin zm iin iki snr kouluna gereksinimvardr. imdiye kadarki btn rneklerde bu koullar balangta verildi. Bu problemler snrkoullarnn balang noktasnda verilmesi nedeniyle balang deer problemi olarakadlandrld. Baz hallerde snr koullarnn bir ksm balang noktasnda verilirken kalan ksmbaka noktada (ou zaman dier snrda) verilir. Bu tip problemlere de snr deer problemiad verilir.

Bu paragrafta snr deer problemlerinin naslzlebilecei izah edilecektir. Bu amala ekildegsterilen niform kesit dalmna sahip ubukzerinde bir utan dier uca doru s iletimiproblemi ele alnacaktr. ubuun evresinin s

x

x=0x=L

dx


23/29



22

iin izole edildii varsaylmaktadr. ubuun sol ucundanxkadar uzaklkta dxgeniliindeki birubuk elemann dikkate alarak ubuk boyunca herhangi bir noktadaki scakl verecek birdenklem kartlabilir.

Bilindii gibi s iletimi

- kesit alanna A - [ m]

- malzemenin sl iletkenlik zelliine k [cal/s.m]

- scaklk gradyantna dT/dx - [C/m]

bal belli bir hzla (cal/s) gerekleir. dxgeniliindeki ubuk elemanna giren snn iletim hziin

dx

dTkA

yazlabilir. Buradaki eksi iareti, dT/dxtrevixynnde scaklk artn belirtirken snn scakortamdan daha souk ortama doru akyla ilgilidir.

Eleman terk eden s iin de yukardakine benzer bir ifade yazlabilir. Bu kez scaklk gradyantx+dxkesitinde belirtilecektir.

+ dxdx

dT

dx

d

dx

dTkA

Buradaki ikinci terim scaklk gradyantnn x kesitinden x+dx kesitine gelinceye kadarkideiimini belirtmektedir.

ubuk elemanna x ve x+dx deki dik kesitler haricinde bir s ilave edilmedike (veyakartlmadka) bu kesitlerden giren ve kan slarn eit olmas gerekir. (Aksi halde scaklnzamanla deimesi gerekir ki bu rnekteki s iletimi olaynn zamandan bamsz olduu kabuledilmektedir).

+= dxdx

dT

dx

d

dx

dTkA

dx

dTkA

Bu denklem dzenlenerek

02

2

=dxTd

kA 00 Ak , 022

=dxTd

ekline gelir. Bu ikinci-dereceden adi-diferansiyel denklemin zm kolaylkla

baxT +=

eklinde elde edilebilir. Bylece ubuk boyunca scakln sol utaki bir TL deerinden sa utakibir TR deerine kadar lineer olarak deitii grlmektedir.

ayet ubuk eleman evresel yzeyinden de s kaybetseydi, birim alan bana birim zamandakaybedilen sQ [cal/ms] olmak zere bu s, ubuk elemannn iki dik yznden giren ve kanslar arasndaki farka eit olacakt:


24/29



23

dT dT d dT kA kA dx Qpdx

dx dx dx dx

= + +

Buradap elemann evre uzunluunu belirtmektedir. (Q bykl ubuun scaklyla evrescaklk arasndaki farka da bal olabilir. Ancak bu husus ihmal edilmitir).

Bu denklem dzenlenerek

2

2

d T Qp

dx kA= (4.24)

elde edilir. Bu denklemdeki Q byklxin fonksiyonu olabilir ki bu durumda denklem dahakomplike hale gelmektedir.

Problemi daha da zorlatracak baka hususlar da olabilir ki bunlardan birisi ubuun kesitalannnxboyunca deimesi, bir dieri kbyklnnxboyunca malzeme deiimine balolarak deimesidir. Kesit deiimi halinde ubuk elemann terk eden s

[ ][ ]' ' ''k A A dx T T dx + +

eklinde yazlabilir. Bu ifade s iletimi denkleminde kullanlarak

'' ' ' ' '' 2kAT dx kA T dx kA T dx Qpdx+ + =

veya ikinci mertebeden olan nc terim ihmal edilerek

'' ' 'kAT kA T Qp+ = (4.25)

Isl iletkenlik katsaysnn k(x) eklinde deimesi halinde bu denklem

( )'' ' ' 'kAT kA k A T Qp+ + = (4.26)

ekline gelir.

ayet ubuun evresel yzeyinden oluan s kayb, ubukla evre arasndaki scaklk farkyla

( )sQ q T T =

eklinde doru orantl ise bu kez s iletimi denklemi iin

( )'' ' ' ' skAT kA k A T q pT q pT + + = (4.27)

elde edilir.

Bu blmde yukarda rneklenen tipteki denklemlerin zm iin iki farkl teknikincelenecektir.

4.7.1 Shooting yntemi:

(4.27) denklemini tekrar

2

2

d T dT B CT D

dx dx+ + = (4.28)


25/29



24

eklinde yazalm. Buradaki A, B, Cve D katsaylar aslnda yukardaki s problemleri iin xdeikeninin fonksiyonu olup bu bamllk nedeniyle denklemin zmn zorlatrmaktadrlar.Bu katsaylar Tscaklnn da fonksiyonu olabilirler.

(4.28) denkleminin zm iin iki snr kouluna ihtiya vardr. ayet Tve Tnn deerleri xin balang noktasnda verilirse bir balang deer problemi sz konusu olur. Buradaki

rnekte ise Tnin iki deeri, bir snr deer problemi tekil etmek zere farkl ikixkonumundaverilecektir. Burada, balang deer problemini zmek iin kullanlan prosedrn snr deerproblemine nasl adapte edilebilecei izah edilecektir i aslnda izlenen yol basittir.

Tscaklnn deerlerininx=a ve x=b gibi farkl iki noktada bilindiini varsayalm. Probleminbir balang deer problemi olmas iin x=a noktasnda Tdeerinin de bilinmesi gerekir. Tnn bu noktadaki deeri bilinmemekle birlikte tam doru olmasa da tahmini yaklak bir deer,problemin genel bilgilerine dayanarak seilebilir. Hatta buna imkan yoksa rastgele bir seimleproblemin zmne girimek mmkndr. Bu ekilde oluturulan balang deer problemibilinen tekniklerden birisiyle zlerekx=b de hesaplanan Tdeerinin verilen deerle ayn olupolmadna baklr. Hesaplanan deerin verilen deerden az veya ok olmasna bal olarakx=adaki T eimi deitirilerek ayn ilemler verilen deere yaklalncaya kadar iteratif biimde

tekrarlanr.

rnek:

'' , ( ) , ( )x

T 1 T x T 1 2 T 3 15

= = =

snr deer problemini Runge-Kutta-Fehlberg yntemini ve shooting tekniini birlikte kullanarakznz.

Verilen denklem ikinci dereceden olup ncelikle

0

1

T T

T T= =

0 1

1 0

T T

xT T 1 T x

5

=

= = +

deiken dnmyle bu denklemi birinci dereceden iki adi-diferansiyel denklemedntrmek gereklidir. Ayrca verilen snr artlarna gre T(x) fonksiyonun giderek azaldndikkate alarak balang noktasndaki trevi iin T(1)=-1.5gibi bir tahminde bulunabiliriz.

Bu ilk tahminle, Runge-Kutta-Fehlberg yntemi kullanlarak yaplm hesap sonular aadakitabloda yer almaktadr. Grld gibi T(3) iin hesaplanan deer snr koulunda verilendeerden farkldr.

T '(1) =

x T T ' T T ' T T '

1.0 1.0000 -1.5000 1.0000 -3.0000 1.0000 -3.4950

1.2 1.7514 -0.9886 1.4498 -2.5118 1.3503 -3.0145

1.4 1.6043 -0.4814 0.9921 -2.0719 0.7900 -2.5967

1.6 1.5597 0.0389 0.6192 -1.6598 0.3088 -2.2204

1.8 1.6218 0.5876 0.3275 -1.2580 -0.0997 -1.8671

2.0 1.7976 1.1783 0.1163 -0.8512 -0.4385 -1.5209

2.2 2.0967 1.8227 -0.0118 -0.4259 -0.7076 -1.1679

2.4 2.5309 2.5310 -0.0520 0.0299 -0.9043 -0.7955

2.6 3.1139 3.3116 0.0029 0.5266 -1.0237 -0.3925

2.8 3.8608 4.1706 0.1620 1.0732 -1.0586 0.0511

3.0 4.7876 5.1119 0.4360 1.6773 -1.0000 0.5439

-1.5 -3.0 -3.4950


26/29



25

kinci tahmin olarak seilen T(1)=-3 deeri ile yaplan hesap sonular da ayn tabloda yeralmakta olup, grld gibi T(3) deeri halen verilen deerden farkldr. Elde edilensonulardan interpolasyonla nc bir tahminde bulunmak mmkndr. Nitekim

[ ]'( ) '( )

'( ) '( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 13 2 3 2

2 1

T 1 T 1T 1 T 1 T 3 T 3

T 3 T 3

= +

eklinde elde edilen nc tahmini deerleyaplan hesaplama sonular da tablodayerletirilmi olup, grld gibi T(3)=-1eklinde istenilen snr koulu salanmtr.

T(3)1 T(3)2 T(3)3= - 1

T(1)3

T(1)2

T(1)1

Sonucun bu ekilde ilk iki tahmin sonularndan interpolasyon yaparak ok hzl bir biimdeelde edilmesi bir rastlant deildir. Aslnda verilen denklem lineer bir denklem olup, lineerdenklemlerin shooting yntemiyle aranan tam zmleri, kesme ve yuvarlatma hatalar hari,iki tahmin sonularnn lineer bir kombinasyonudur.

rnek:

'' ' , ( ) , ( )x

T 1 TT x T 1 2 T 3 15

= = =

snr deer problemini Runge-Kutta-Fehlberg yntemini ve shooting tekniini birlikte kullanarakznz.

Bu kez denklemdeki Ttrevinin nndeki katsayda Tbykl yer almakta olup bu nedenledenklem non-lineerdir. zm iin yaplan hesaplama sonular aadaki tabloda yeralmaktadr.

T ' (1 ) T (3 ) x T T '

-1.5000 -0.0282 1.0000 1.0000 -3.4950

-3.0000 -2.0705 1.2000 1.5552 -2.4130

-2.2137 -1.2719 1.4000 1.0459 -2.6438

-1.9460 -0.8932 1.6000 0.5138 -2.6352

-2.0215 -1.0080 1.8000 0.0082 -2.3832

-2.0162 -1.0002 2.0000 -0.4272 -1.9472

-2.0161 -1.0000 2.2000 -0.7640 -1.4110

2.4000 -0.9896 -0.8441

2.6000 -1.1022 -0.2848

2.8000 -1.1048 0.2569

3.0000 -1.0000 0.7909

Soldaki stunlarda T(1) iin kullanlan tahmin deerleri ve T(3) iin hesaplanan deerler yeralmaktadr. lk iki tahmin keyfi seilmi, sonraki tahminler ise nceki rnekte olduu gibi lineerinterpolasyonla hesaplanmtr. Grld gibi iterasyon bu kez admda yaknsamamtr.Ancak yedinci tahmin deeriyle T(3) snr art salanabilmitir. Bunun nedeni denklemin non-lineer oluudur. Sadaki stunlarda d snr art salandktan sonraki doru zmgrlmektedir.

4.7.2 Sonlu farklar yardmyla zm:

Snr deer problemlerini zmenin bir dier yolu da trevlerin sonlu fark yaklamlarnkullanarak denklemleri ayrklatrmak suretiyle zmektir. Bu yntem bazan shooting


27/29



26

yntemine tercih edilir. Ancak yntem lineer denklemler iin kullanlr. Yntemin non-lineerdenklemler iin kullanlmaya allmas halinde ayrklatrlm non-lineer denklemler ortayakar ki bunlarn zm de hayli glk yaratr.

rnek:

'' , ( ) , ( )x

T 1 T x T 1 2 T 3 15

= = =

snr deer problemini, trevlerde merkezi sonlu-fark almlarn kullanarak znz.

zm iinx=1 ilex=3 snr noktalar arasndaki zm havzasn drt eit arala blelim. Budurumda dm noktalar x0=1.0, x1=1.5, x2=2.0, x3=2.5 ve x4=3.0 olacaktr. Snrnoktalarnda fonksiyonun zm verilmi olup i dm noktalarndaki fonksiyon deerlerininzm verilen diferansiyel denklem yardmyla yaplacaktr.

Herhangi bir f(x) fonksiyonunun bir xi dm noktas civarndaki ikinci dereceden trevininmerkezi-sonlu-fark alm

2

11

2

2 2

h

fff

dx

fd iii

i

+ +=

eklinde olup, problemde verilen denklem x1, x2 ve x3 noktalarnda ayrklatrlarak yazlrsasrasyla

x1 noktasnda 111

2

210

51

2xT

x

h

TTT=

+

x2 noktas

nda 222

2

321

51

2

xT

x

h

TTT

=

+

x3 noktasnda 333

2

432

51

2xT

x

h

TTT=

+

elde edilir. Bu denklemler herhangi birxinoktas iin genelletirilerek

ii

iiii xTx

h

TTT=

+ +5

12

2

11

yazlabilir. Veya Tibilinmeyenlerine gre dzenlenerek

3215

12 212

1,,, ==+

+ + ixhTT

xhT iii

i

i

ekline getirilebilir. Seilen dm noktas koordinatlar kullanlarak denklemlerin katsaylarhesaplanrsa

62501252

501502

37501752

432

321

210

..

..

..

=+

=+

=+

TTT

TTT

TTT

T0=2 ve T4=-1 snr deerleri yerletirilerek


28/29



27

62511252

501502

62511752

32

321

21

..

..

..

=

=+

=+

TT

TTT

TT

veya matris biimde dzenlenerek

=

6251

50

6251

12521

115021

11752

3

2

1

.

.

.

.

.

.

T

T

T

-diyagonalli denklem sistemi elde edilir. zm havzasnn daha ok sayda aralablmmesi halinde benzeri bir -diyagonalli denklem sistemi daha fazla sayda denklemiermek kaydyla elde edilir.

Bu denklem sisteminin zm T1=0.552, x2=-0.424, x3=-0.964 olarak elde edilebilir.

Ayn problemin h=0.2 iin elde edilen zm aadaki tabloda sunulmutur.

x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

SF 2.0000 1.3513 0.7918 0.3110 -0.0974 -0.4362 -0.7055 -0.9025 -1.0224 -1.0579 -1.0000

RKF 2.0000 1.3503 0.7900 0.3088 -0.0997 -0.4385 -0.7076 -0.9043 -1.0237 -1.0586 -1.0000

Ayn tabloya karlatrma amacyla Runge-Kutta-Fehlberg ynteminin sonular dakonulmutur. Grld gibi sonular birbirine hayli yakndr.

rnek:

017871031752011 .)(,.)(,'' === TTTT

snr deer problemini, sonlu-fark yntemiyle znz. Sonular shooting yntemi sonularylakarlatrnz..

Sonlu fark denklemi ( ) 02 121 =++ + iii TThT

Olup, h=1; 0.5; 0.25 iin sonlu fark ve shooting yntemleriyle yaplan zm sonularaadaki tabloda sunulmutur. Denklemin analitik zm T(x)=sinh(x) olup buna ait deerlerikinci stunda verilmitir. Tablonun en altnda isex=2 noktasndaki hatalara yer verilmitir. Bu

noktadaki hata verilen aralktaki maksimum hatadr.

h = 0.25 h = 0.50 h = 1.00

x Analitik Shooting Sonlu fark Shooting Sonlu fark Shooting Sonlu fark

1.00 1.17520 1.17520 1.17520 1.17520 1.17520 1.17520 1.17520

1.25 1.60192 1.60192 1.60432

1.50 2.12928 2.12928 2.13372 2.12931 2.14670

1.75 2.79041 2.79041 2.79647

2.00 3.62686 3.62686 3.63400 3.62691 3.65488 3.62814 3.73102

2.25 4.69117 4.69117 4.69866

2.50 6.05020 6.05020 6.05698 6.05025 6.07678

2.75 7.78935 7.78935 7.79387

3.00 10.01787 10.01787 10.01787 10.01787 10.01787 10.01787 10.017870.00000 -0.00714 -0.00005 -0.02802 -0.00128 -0.10416x=2 de hata


29/29

Blm 4- Adi diferansiyel denklemlerin saysal zm 28

Grld gibi shooting yntemi ayn aralk saysnda sonlu fark yntemine gre 80 ila 500 katdaha az hata vermektedir. Sonlu fark yntemi adm uzunluu yarya indirildiinde 4 kat dahaaz hatal sonu vermektedir.

Documents

04- Adi diferansiyel denklemler