Dystrybucje (według В. С. Владимиров, Уравнения математической физикиczyli W. S. Władimirow, Urawnienija matiematiczeskoj fiziki,

tzn. Równania fizyki matematycznej)

Rozdział IIDYSTRYBUCJE

Dystrybucje zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Paula Adriena Diraca w jego rozważaniach mechaniki kwantowej, w których systematycznie używał tzw. funkcji delta. Podstawy teoretyczne zostały stworzone przez Siergieja L. Sobolewa (1936 r.) i Laurenta Schwartza (1950-1951 r.). Szybki rozwój teorii dystrybucji był stymulowany głównie przez potrzeby fizyki matematycznej, w szczególności teorii równań różniczkowych i fizyki kwantowej. Obecnie teoria dystrybucji ma liczne zastosowania w fizyce i matematyce, i coraz bardziej wchodzi jako narzędzie powszechnego użytku fizyków, matematyków i inżynierów.

§ 5. Funkcje próbne i dystrybucje

1. Wprowadzenie.

Dystrybucja jest uogólnieniem klasycznego pojęcia funkcji. Uogólnienie to daje, z jednej strony, możliwość wyrażenia w formie matematycznej wyidealizowanych pojęć takich jak np. gęstość punktu materialnego, ładunku punktowego, dipola, warstwy pojedynczej lub podwójnej itp.; z drugiej zaś strony, w pojęciu dystrybucji znajduje odbicie fakt, że w rzeczywistości nie jest możliwe zmierzenie gęstości ciała materialnego w punkcie - można jedynie zmierzyć jego średnią gęstość w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu i to właśnie uważać (w granicy) za gęstość w danym punkcie. Mówiąc nieściśle, dystrybucja jest określona poprzez swoje „średnie wartości” w otoczeniach dowolnego punktu.

Rozważmy punkt materialny o masie 1 w środku układu w przestrzeni trójwymiarowej. Jeżeli tę masę równomiernie rozprowadzimy („rozmażemy”) w kuli o promieniu , to gęstość będzie równa f(x)=3/(43), |x|<; f(x)=0, |x|>. Mamy

, ogólnie jest masą części ciała o gęstości f, zawartej w obszarze

V. Przyjmijmy na razie, jako wstępną próbę, za - punktową granicę funkcji f, gdy dąży do 0, wtedy mamy po prostu (x)=0 dla x0, (0)=+.

Chcielibyśmy, aby „gęstość punktu materialnego” miała nadal własność, że

jest masą części zawartej w objętości V, czyli =1 gdy 0V,

=0 gdy 0V. Niestety, tak oczywiście nie jest: dla naszej „funkcji ” jest

zawsze =0. Tak więc nasza pierwsza próba się nie udała - nie możemy przyjąć

zwykłej, punktowej granicy gęstości za gęstość masy skupionej w punkcie 0.

Okazuje się natomiast, że dla dowolnej funkcji ciągłej .

Mówimy, że granicą w słabym sensie funkcji f przy dążącym do 0+ jest funkcjonał

Str. 1 z 26

(czyli przekształcenie określone na pewnym zbiorze funkcji), przyporządkowujący każdej funkcji ciągłej liczbę (0) - jej wartość w punkcie 0. Ten właśnie funkcjonał przyjmujemy za definicję gęstości - jest to właśnie znana -funkcja Diraca.

2. Przestrzeń funkcji próbnych D.

Ilekroć będzie mowa o zbiorze zwartym w Rn, będziemy przez to rozumieć domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni Rn. Przez nośnik funkcji f (oznaczany supp f - jest to skrót od słowa ang. support (nośnik)) rozumiemy domknięcie zbioru tych xRn, że f(x)0.

Definiujemy zbiór funkcji próbnych D=D(Rn) jako zbiór wszystkich funkcji klasy C (czyli posiadających ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu), o nośniku ograniczonym (czyli, inaczej mówiąc, zwartym). W zbiorze tym wprowadzamy pojęcie zbieżności w następujący sposób: mówimy, że ciąg funkcji 1, 2, ... z D jest zbieżny w D do pewnej funkcji (z D), jeżeli:1) nośniki wszystkich funkcji k są zawarte w pewnym ustalonym zbiorze ograniczonym;2) dla każdego wskaźnika =(1,2,...,n), ciąg Dk jest zbieżny jednostajnie względem

xRn do funkcji D, tzn. . Zbiór D wraz z tak

zdefiniowaną zbieżnością nazywamy przestrzenią funkcji próbnych. Widać, że operacja różniczkowania D jest operacją ciągłą z D w D, tzn. jeżeli

k0 w D przy k, to Dk0 w D przy k. Analogicznie, operacja nieosobliwej liniowej zamiany zmiennych (x) (Ay+b) i mnożenia przez funkcję aC(Rn) są ciągłe z D w D.

Zbiór funkcji próbnych, których nośniki są zawarte w danym obszarze G, oznaczamy przez D(G); w ten sposób

D(G)D(Rn)=D.Przykładem funkcji próbnej, nie równej tożsamościowo zeru, jest „czapeczka”

Wybierzmy stałą C tak, aby . Łatwo sprawdzić, że

.

Lemat. Dla dowolnego obszaru G i dla dowolnej liczby >0 istnieje funkcja C(Rn) taka, że

.

3. Przestrzeń dystrybucji D’.

Str. 2 z 26

Dystrybucją nazywamy dowolny funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni D. Inaczej mówiąc, jest to pewne przyporządkowanie każdej funkcji próbnej z D pewnej liczby (być może nawet zespolonej) w sposób liniowy i ciągły. Wartość funkcjonału (dystrybucji) f na funkcji próbnej będziemy oznaczać przez (f, ). Tak więc liniowość oznacza, że

(f , c11+c22)=c1(f , 1)+c2(f , 2),

zaś ciągłość - że

jeżeli k0 w D, to (f , k)0.

Oznaczmy przez D’=D’(Rn) zbiór wszystkich dystrybucji. Zbiór ten jest w naturalny sposób przestrzenią liniową, możemy w nim wprowadzić pojęcie zbieżności jako zwykłej zbieżności punktowej, tzn. fk0 w D’, jeżeli dla każdej funkcji próbnej D, (f , k)0. Przestrzeń liniową D’ wraz z tak wprowadzonym pojęciem zbieżności nazywamy przestrzenią dystrybucji.

Uwaga. Zachodzi nietrywialny fakt, zwany zupełnością przestrzeni D’(Rn): jeżeli f1, f2, f3, ... D’(Rn) i dla każdej funkcji D(Rn) ciąg liczbowy (fk , ) jest zbieżny przy k, to funkcjonał f na przestrzeni D, określony wzorem

także jest liniowy i ciągły, tzn. fD’.

5. Nośnik dystrybucji.Dystrybucje, na ogół rzecz biorąc, nie mają wartości w poszczególnych punktach.

Tym niemniej można mówić o zerowaniu się dystrybucji w danym obszarze.Dystrybucja f zeruje się w obszarze G, jeżeli (f,)=0 dla każdej D(G). Ten fakt

będziemy zapisywać: f(x)=0, xG. Niech dystrybucja f zeruje się w obszarze G; wtedy, oczywiście, zeruje się też w otoczeniu każdego punktu tego obszaru. Na odwrót, zachodzi teżL e m a t: Jeśli dystrybucja f zeruje się w pewnym otoczeniu każdego punktu obszaru G, to zeruje się w obszarze G.

Niech fD’(Rn). Suma wszystkich otoczeń, w których f się zeruje, jest otwartym podzbiorem Of , który nazywamy zbiorem zerowym dystrybucji f. W myśl lematu, w każdym obszarze zawierającym się w Of dystrybucja f się zeruje, widać, też, że Of jest największym zbiorem otwartym, w którym f się zeruje. Nośnikiem dystrybucji f nazywamy dopełnienie Of do Rn, czyli zbiór domknięty supp f=Rn\ Of .

6. Dystrybucje regularne.

Str. 3 z 26

Najprostszym przykładem dystrybucji jest funkcjonał, generowany przez lokalnie całkowalną (tzn. całkowalną na każdym skończonym przedziale-prostopadłościanie) w Rn

funkcję f(x):

.

Liniowość takiego funkcjonału jest oczywista, zaś ciągłość wynika z definicji pojęcia zbieżności w D. Dystrybucje tego typu nazywamy dystrybucjami regularnymi, wszystkie zaś pozostałe - osobliwymi.

Lemat (du Bois-Reymonda). Na to, aby lokalnie całkowalna w obszarze G funkcja f(x) zerowała się w obszarze G w sensie teorii dystrybucji potrzeba i wystarcza, aby f(x) = 0 prawie wszędzie w G.Dowód (-).

Z powyższego lematu wynika, że funkcja generująca dystrybucję regularną jest określona jednoznacznie (z dokładnością do swoich wartości na zbiorze miary zero). Dlatego między funkcjami lokalnie całkowalnymi a dystrybucjami regularnymi ma miejsce wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Dlatego też będziemy utożsamiać lokalnie całkowalną funkcję f(x) z generowaną przez nią dystrybucją f .

Zauważmy na koniec, że jeśli ciąg fk(x) funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny do funkcji f(x) niemal jednostajnie (tzn. jednostajnie na każdym zbiorze zwartym), to ciąg ten jest zbieżny do f(x) również w D’(Rn). (Trywialne sprawdzenie, że dla dowolnego D, (fk, )(f, ).)

7. Dystrybucje osobliwe.

Przykładem dystrybucji osobliwej jest dystrybucja delta Diraca - funkcjonał, określony wzorem:

(,) = (0).

Oczywiście D’, (x)=0 dla x0, tak że supp ={0}.Można wykazać, że jest dystrybucją osobliwą, tzn. nie jest generowana przez

żadną funkcję lokalnie całkowalną f(x).

8. Wzory Sochockiego.

Można wprowadzić funkcjonał liniowy , działający na funkcjach z D

następująco:

.

(Vp oznacza tu Valeur principal, czyli „wartość główna”.)

Str. 4 z 26

Dowodzi się, że tak wprowadzony funkcjonał jest ciągły, a więc określa pewną dystrybucję. Dowód można przeprowadzić, wprowadzając funkcję pomocniczą taką, że . Istotnie, można wziąć

Tak więc

Mamy . Niech teraz , czyli dla pewnego R

, ponadto . Mamy wtedy

Pokażemy, że

(14) .

Dowód. Niech dla |x|>R. Wtedy

Związek (14) oznacza, że istnieje (w sensie ) granica wyrażenia przy ,

którą to granicę oznaczamy przez , i że granica ta jest równa . Tak więc

.

Analogicznie

.

Są to tzw. wzory Sochockiego, mają one zastosowanie w mechanice kwantowej.

9. Liniowa zamiana zmiennych w dystrybucjach.

Niech f(x) będzie funkcją lokalnie całkowalną, i niech x=Ay+b, det A0 - będzie nieosobliwym przekształceniem liniowym przestrzeni Rn w siebie. Wtedy dla dowolnej funkcji próbnej D otrzymujemy

Str. 5 z 26

Tę właśnie równość przyjmujemy za definicję dystrybucji f(Ay+b) dla dowolnej dystrybucji f(x) D’:

(ponieważ operacja liniowej zamiany zmiennych jest liniowa i ciągła, więc otrzymujemy w ten sposób rzeczywiście funkcjonał liniowy i ciągły, czyli pewną dystrybucję).

W szczególności, jeżeli A - macierz obrotu, tzn AT=A–1 i b=0, to;

jeżeli A - podobieństwo, tzn. A=cI, c0 i b=0, to

;

jeżeli A=I, tzn. mamy do czynienia z przesunięciem, to .

Dystrybucję f(x+b) nazywamy przesunięciem dystrybucji f o wektor b. Na przykład dystrybucja (x–x0), przesunięcie dystrybucji o wektor –x0 działa na funkcje próbne wg wzoru

.

Bezpośrednio z definicji wynika, że operacja liniowej zamiany zmiennych jest liniowa i ciągła z D’ w D’:

;.

10. Mnożenie dystrybucji przez funkcję gładką.

Niech f(x) - będzie funkcją lokalnie całkowalną w Rn i niech a(x)C( Rn). Wtedy dla dowolnej funkcji próbnej D otrzymujemy

.Tę właśnie równość przyjmiemy za definicję iloczynu af dystrybucji f przez ustaloną funkcję a klasy C:

.Ponieważ operacja mnożenia przez funkcję aC(Rn) jest liniowa i ciągła z D w D, tak otrzymany funkcjonał jest rzeczywiście liniowy i ciągły, czyli jest pewną dystrybucją z D’. Ponadto, operacja mnożenia przez funkcję aC( Rn) jest liniowa i ciągła z D’ w D’:

;.

.

Przykłady: a) ;

b) .

Str. 6 z 26

§ 6. Różniczkowanie dystrybucji

1. Pochodna dystrybucji.

Niech najpierw fCp(Rn). Wtedy dla takich że ||=1+2+...+kp, i dla D, zachodzi wzór na (wielokrotne) całkowanie przez części:

.(Ta postać wynika między innymi z faktu, że funkcja zeruje się poza pewnym prostopadłościanem.) Tę właśnie równość przyjmiemy za definicję pochodnej dowolnej dystrybucji f z D’:

.Można z łatwością wykazać, że otrzymany w ten sposób funkcjonał jest liniowy i ciągły, czyli określa pewną dystrybucję z D’.

W szczególności dla f= otrzymujemy.

Oznaczmy przez {Df(x)} klasyczną pochodną (tam, gdzie ona istnieje). Z definicji pochodnej dystrybucyjnej wynika, że:

jeżeli dystrybucja f należy do Cp(G), to Df={Df(x)}, xG, ||p.

2. Własności pochodnych dystrybucyjnych.

a) Operacja różniczkowania D jest liniowa i ciągła z D’ w D’. W ten sposób b) Każda dystrybucja ma (dystrybucyjne) pochodne wszystkich rzędów, co więcej:c) (W przypadku n>1) wynik różniczkowania nie zależy od kolejności

różniczkowania względem poszczególnych zmiennych.d) Jeżeli dana jest dystrybucja fD’ oraz funkcja aC(Rn), to zachodzi naturalne

prawo różniczkowania iloczynu:

- sprawdzić!e) Jeżeli dystrybucja f zeruje się w obszarze G, to i dowolna jej pochodna zeruje się

w tym obszarze, tak więc supp Dfsupp f.f) Jeżeli szereg

funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny jednostajnie na każdym zbiorze zwartym (czyli: niemal jednostajnie), to można go różniczkować wyraz po wyrazie dowolną ilość razy i otrzymane w ten sposób szeregi będą również zbieżne w D’. Z uwagi w §5.6 otrzymujemy to dla samego rozważanego szeregu, a następnie korzystając z §6.2a) - dla wszystkich jego pochodnych.

3. Dystrybucja pierwotna dla danej dystrybucji.

Str. 7 z 26

4. Przykłady, n=1.a) Gęstość ładunku dipola o elektrycznym momencie 1 w punkcie 0 na prostej. Dipolowi temu odpowiada w przybliżeniu gęstość ładunku

xxxxxxxxxxxxxxxx(uzupełnić)

tak że wnioskujemy, iż szukana gęstość ładunku wynosi –’(x).b) Niech funkcja f(x) będzie taka, że fC1(–,x0) i fC1(x0,+). Wtedy

,

gdzie (sprawdzić!). W szczególności dla funkcji Heaviside’a 1’(x)=(x).c) Jeśli funkcja f ma izolowane punkty nieciągłości pierwszego rodzaju w punktach {xk} i jej klasyczna pochodna, {f’(x)} jest kawałkami gładka na R1, to wzór z poprzedniego punktu w sposób naturalny uogólnia się:

.

W szczególności, jeżeli - funkcja o okresie 2, to

.

Widać więc, że zwykłe (klasyczne) pochodne i pochodne w sensie teorii dystrybucji na ogół nie się nie pokrywają.d) Pokażemy prawdziwość wzoru

.

W tym celu, rozważmy następującą funkcję

gdzie f0 - funkcja z poprzedniego przykładu (c); na ogół całka z funkcji okresowej nie jest funkcją okresową, jednakże ponieważ całka funkcji f0 po całym okresie jest równa zeru, więc g jest również funkcją okresową o okresie 2. Rozłóżmy funkcję g w przedziale <0,2> w zespolony szereg Fouriera, tzn. szereg Fouriera względem ortogonalnego układu funkcji eikx , k=0,1,–1,2,–2,... . Takim rozwinięciem jest

,

gdzie współczynniki ck dane są wzorami

.

Przeprowadzając nieskomplikowane wyliczenia, otrzymujemy

Str. 8 z 26

,

zbieżny jednostajnie na R1 [gdyż szereg ten jest ograniczony przez szereg zbieżny (1/k2)]. Na mocy rezultatu z §6.2 f), szereg ten można różniczkować w D’ wyraz po wyrazie dowolną ilość razy. Różniczkując go dwukrotnie i uwzględniając ostatni wzór z poprzedniego przykładu, otrzymujemy

.

e) Pokażemy, że ogólne rozwiązanie równania

w D’(R1) dane jest wzorem

,

gdzie ck - dowolne stałe. Przede wszystkim, łatwo sprawdza się, że dla wszystkich D, k=0,1,...,m–1

.Tak więc

.Niech teraz (x) - dowolna funkcja z D równa 1 w pewnym otoczeniu punktu 0.

Wtedy dowolna funkcja D przedstawia się w postaci

,

gdzie

.

Funkcja D; jej nieskończona różniczkowalność w punkcie x=0 wynika ze wzoru Taylora

,

ważnego w pewnym otoczeniu (tam, gdzie =1) punktu 0 dla wszystkich Nm.Zatem jeżeli uD’ - rozwiązanie równania (...), to

co należało wykazać. f) Niech Z(t) będzie rozwiązaniem jednorodnego równania różniczkowego liniowego

,

spełniającym warunki

Str. 9 z 26

.

Pokażemy, że wtedy E(t)=1(t)Z(t) spełnia równanie .Istotnie, posługując się wzorem na różniczkowanie dystrybucji generowanej przez

funkcję kawałkami gładką z punktu (b) powyżej, otrzymujemy,

skąd, c.n.d.

5. Przykłady, n2.

f) Niech

.

Pokazuje się, że

.

(w sensie teorii dystrybucji, tzn. w D’(Rn+1)).

(-)

§ 7. Iloczyn prosty i splot dystrybucji

1. Definicja iloczynu prostego.

Niech f(x) i g(y) będą dwiema lokalnie całkowalnymi funkcjami w przestrzeniach Rn i Rm odpowiednio. Funkcja f(x)g(y) także będzie lokalnie całkowalna w Rn+m. Określa ona (regularną) dystrybucję, działającą na funkcje próbne (x,y)D według wzorów

Pierwszą z tych równości przyjmiemy za definicję iloczynu prostego f(x)g(y) dystrybucji f(x)D’(Rn) i g(y)D’(Rm):

W dowodzie, że ta definicja jest poprawna, tzn. rzeczywiście określa funkcjonał liniowy i ciągły na D’(Rn+m), wykorzystuje się następujący lemat:

Lemat. Dla dowolnych gD’(Rm) i D(Rm+n) funkcja należy do D(Rn), przy czym dla wszystkich

.

Str. 10 z 26

Co więcej, jeżeli k0 przy k0 w D(Rn+m), to

.

Dowód tego lematu pomijamy.

2. Przemienność iloczynu prostego: Okazuje się, że

f(x)g(y) = g(y)f(x),

tzn. operacja iloczynu prostego jest przemienna.

3. Dalsze własności iloczynu prostego.a) Operacja f(x)g(y) jest liniowa i ciągła względem f (z D’(Rn) w D’(Rn+m)) i względem g (z D’(Rm) w D’(Rn+m)).b) Operacja ta jest łączna, tzn. dla f(x)D’(Rn), g(y)D’(Rm), h(z)D’(Rk) mamy

f(x)[g(y)h(z)]= [f(x)g(y)]h(z).

c) Różniczkowanie (cząstkowe) iloczynu prostego:

. (sprawdzić).d) Mnożenie iloczynu prostego przez funkcję: jeżeli a(x)C(Rn), to

. (sprawdzić).e) Przesunięcie iloczynu prostego:

(fg)(x+h , y)=f(x+h)g(y).

(sprawdzić).

4. Splot dystrybucji.Niech najpierw f(x) i g(x) będą lokalnie całkowalnymi funkcjami w Rn, przy czym

funkcja

także będzie lokalnie całkowalna w Rn. Splotem fg tych funkcji nazywamy funkcję

(15) .

Str. 11 z 26

Zauważmy (-), że sploty fg oraz |f||g|=h istnieją jednocześnie (jeden z nich istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje drugi) i |(fg)(x)|h(x) (prawie wszędzie), dlatego splot f*g okazuje się być także lokalnie całkowalną funkcją (na Rn), która wobec tego określa dystrybucję (regularną) fg, działającą na funkcje próbne według wzoru

,

tzn.

(16)

Podamy trzy przypadki, w których warunek lokalnej całkowalności funkcji h(x) jest spełniony, a zatem splot funkcji fg istnieje i dany jest wzorem (15):1) Jedna z funkcji f lub g ma nośnik zwarty.2) n=1, funkcje f oraz g zerują się dla x<0; wtedy

(w dalszym ciągu będziemy rozważać wyłącznie ten przypadek).3) Funkcje f i g są całkowalne na Rn - w tym przypadku splot fg jest również funkcją całkowalną na Rn.

Mówimy, że ciąg (k) funkcji próbnych z D(Rn) jest zbieżny do jedynki w Rn, jeżeli:a) dla dowolnego zbioru zwartego K istnieje wskaźnik N taki że k(x)=1 dla xK i kN;b) funkcje k są równomiernie ograniczone w Rn razem ze wszystkimi swymi pochodnymi, tzn.

|Dk(x)|C, xRn, k=1,2,..., ( - dowolny wielowskaźnik).

Ciągi zbieżne do 1 zawsze istnieją, np. k(x)= (x/k), gdzie D, (x)=1 w U1.Pokażemy teraz, że równość (16) można przepisać w postaci:

(16’) )()),(),(),()((lim),( nk

kRDyxyxygxfgf

,

gdzie k(x,y), k=1,2,... - dowolny ciąg, zbieżny do 1 w R2n.Rzeczywiście, funkcja C0|f(x)g(y)(x+y)| jest całkowalna na R2n (całka z niej to (|f||

g|,),

|)()()(||)(),()()(| 0 yxygxfCyxyxygxf k ;

ponadto

)()()()(),()()( yxygxfyxyxygxf k

Str. 12 z 26

wszędzie (a więc, w szczególności, prawie wszędzie w Rn). Zatem na mocy twierdzenia Lebesgue’a o ograniczonym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, otrzymujemy

(16’)

dxdyyxyxygxfdxdyyxygxf kk

)(),()()(lim)()()( .

Wychodząc ze wzorów (16) i (16’) możemy podać następującą definicję splotu dwóch dowolnych dystrybucji:

Niech dystrybucje f i g z D’(Rn) będą takie, że ich iloczyn prosty f(x)g(y) dopuszcza przedłużenie na funkcje postaci (x+y), gdzie - dowolna funkcja z D(Rn), w następującym sensie: dla dowolnego ciągu (k) funkcji próbnych z D(R2n) zbieżnego do jedności w R2n, istnieje granica

R R

y

R xR

R

dydxyxfygdxdyyxfygdxxh00 0

|)(||)(||)(||)(|)(

i ta granica nie zależy od ciągu (k). Wtedy splotem dystrybucji f i g nazywamy właśnie funkcjonał określony wzorem

)()),(),(),()((lim))(),()((),( nk

kRDyxyxygxfyxygxfgf

.

Że funkcjonał ten jest dystrybucją, wynika z zupełności przestrzeni D’ wspomnianej .... oraz z tego, że iloczyn prosty jest dystrybucją, tzn. funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Przykład: dla dowolnej dystrybucji f, f=f=f.

Własności splotu: liniowość, przemienność - oczywiste sformułowanie; różniczkowanie splotu: jeżeli fg istnieje, to istnieją też sploty (Df)g oraz f(Dg), przy czym zachodzi równość:

(Df)g=D(fg)=f(Dg);przesunięcie splotu: jeżeli istnieje fg, to istnieje też f(x+h)g(x), przy czym

f(x+h)g(x)= (fg)(x+h).

§ 8. Dystrybucje wolno rosnące.

1. Przestrzeń funkcji próbnych „szybko malejących” S.

Do zbioru S=S(Rn) funkcji próbnych szybko malejących zaliczymy wszystkie funkcje klasy C(Rn), malejące przy |x| wraz ze wszystkimi swymi pochodnymi szybciej od dowolnej potęgi |x|–1, tzn. xD(x)0 przy |x| dla dowolnych ,. Zbieżność w S określamy następująco: ciąg funkcji 1,2, ... z S jest zbieżny do funkcji (z S), jeżeli

dla każdych , ciąg xDk jest zbieżny jednostajnie względem xRn do funkcji xD,

tzn. .

Oczywiście S jest przestrzenią liniową, DS i ze zbieżności w D wynika zbieżność w S. Natomiast S nie pokrywa się z D, np. funkcja exp (–|x|2) należy do S, ale nie należy do D. Tym niemniej, D jest gęste w S, tzn. dla dowolnej funkcji S istnieje ciąg funkcji kD,

Str. 13 z 26

k=1,2,..., zbieżny (w sensie zbieżności w S, oczywiście) do funkcji (a mianowicie,

gdzie jest dowolną funkcją z D taką że (x)=1 dla |x|1).

Operacje różniczkowania i nieosobliwej zamiany zmiennych (w tym - podobieństwa i przesunięcie) są liniowe i ciągłe z S w S. Operacja mnożenia przez funkcję nieskończenie gładką może wyprowadzać poza S, dlatego wprowadzamy podklasę M. składającą się z tych funkcji aC(Rn), które wraz ze wszystkimi swymi pochodnymi rosną w nieskończoności nie szybciej od pewnego wielomianu:

)||1(|)(|

mxCxaD .

Operacja mnożenia przez dowolną funkcję klasy M nie wyprowadza poza S i jest ciągła jako przekształcenie z S w S.

2. Przestrzeń dystrybucji wolno rosnących S’.

Dystrybucją wolno rosnącą nazywamy dowolny funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni S. Oznaczmy przez S’=S’(Rn) zbiór wszystkich dystrybucji wolno rosnących. Zbieżność w S’ definiujemy analogicznie jak w D’, tzn. fk0 w S’, jeżeli dla każdej funkcji próbnej S zachodzi (f, k)0. Tak otrzymaną przestrzeń nazywamy przestrzenią dystrybucji wolno rosnących.

Z powyższych definicji wynika, że S’D’ i że zbieżność w S’ pociąga za sobą zbieżność w D’.

Twierdzenie (Schwartz). Na to, aby funkcjonał liniowy f na S był dystrybucją wolno rosnącą, czyli elementem S’, czyli aby był ciągły, potrzeba i wystarcza, aby istniały stałe C0 i p0 (p - całkowite) takie, że dla dowolnej funkcji S zachodziła nierówność

|(f,)|C||||p, gdzie

|)()||1(sup||||,||

xDx p

Rxpp

n

.

Dowód (-).

3. Przykłady dystrybucji wolno rosnących.

a) Jeżeli f(x) - lokalnie całkowalna funkcja wolno- (czyli wielomianowo-) rosnąca w nieskończoności, tzn. dla pewnego całkowitego m0 mamy

dxxxf m|)|1(|)(| ,to określa ona dystrybucję wolno rosnącą.

Uwaga: Funkcja (cos ex)’=–ex sin ex nie jest funkcją wielomianowo rosnącą, tym niemniej określa ona dystrybucję wolno rosnącą, czyli element z S’, wzorem

Sdxxexe xx ,)('cos)',(cos),)'((cos .Można wykazać, że każda dystrybucja z S’ jest pochodną (dystrybucyjną) pewnej ciągłej funkcji wolno- (czyli wielomianowo-) rosnącej.

Str. 14 z 26

b) Jeżeli fD’ - dystrybucja o nośniku ograniczonym (zwartym), to może być ona, i to jednoznacznie, przedłużona na S jako element z S’ wzorem

Sff ),,(),( ,gdzie D i =1 w otoczeniu nośnika f.

c) Jeżeli fS’, to każda jej pochodna DfS’.

d) Jeżeli fS’ i det A 0, to f(Ay+b)S’. W szczególności przesunięcie, f(y+b)S’ oraz przekształcenie przez podobieństwo f(cy)S’

e) Jeśli fS’ i aM, to (af)S’.

5. Iloczyn prosty dystrybucji wolno rosnących.

Niech f(x)S’(Rn) i g(y)S’(Rm). Ponieważ S’D’, ich iloczyn prosty f(x)g(y) jest elementem przestrzeni D’(Rn+m). Iloczyn prosty f(x)g(y) został zdefiniowany jako

),(),(),(),()( yxygxfygxf .

Wykazuje się, że w istocie tak zdefiniowany iloczyn f(x)g(y) należy do S’(Rn+m). Iloczyn prosty jest łączny i przemienny.

§ 9. Przekształcenie Fouriera dystrybucji wolno rosnących

1. Przekształcenie Fouriera funkcji próbnych z S.Ponieważ funkcje próbne z S są absolutnie całkowalne na Rn, to jest na nich

określone przekształcenie (transformacja) Fouriera F:SdxexF xi ,)()]([ ),( .

Przy tym funkcja F[] zmiennej - transformata Fouriera funkcji - jest ograniczona i ciągła w Rn. Funkcja próbna maleje w nieskończoności szybciej niż dowolna potęga zmiennej |x|–1. Dlatego jej transformatę Fouriera można różniczkować pod znakiem całki dowolną ilość razy,

)]()[()()()]([ ),( ixFdxexixFD xi ,skąd wynika, że F[]C(Rn). Takie same własności posiada każda pochodna D, i dlatego

)]([)()()]([ ),( FidxexDDF xi .Wreszcie, z dwóch powyższych wzorów otrzymujemy

)))]((([)]()[()]([ |||| xxDFiixFFD .

Str. 15 z 26

Z tej równości wynika z kolei, że dla dowolnych , wielkości F D[ ]( ) są wspólnie ograniczone ze względu na Rn ,

dxxDFD |)(|)])([( .To jednakże oznacza, że F[]S. Tak więc przekształcenie Fouriera przekształca przestrzeń S w siebie. W szczególności, F[] jest znów funkcją całkowalną.

Z ogólnej teorii przekształcenia Fouriera wynika, że funkcja wyraża się przez swoją transformatę Fouriera F[]() za pomocą operacji odwrotnej transformaty Fouriera F–1:

(x)=F–1[F[]]=F[F–1[]],gdzie

)]([)2(

1)(

)2(

1

)]([)2(

1)(

)2(

1)]([

),(

),(1

Fde

xFdexF

nxi

n

nxi

n

.

Stąd wynika, że każda funkcja z S jest przekształceniem Fouriera pewnej funkcji , mianowicie =F–1[], i jeśli F[]=0, to i =0. Oznacza to, że przekształcenie Fouriera F przekształca S na S i przy tym wzajemnie jednoznacznie. Co więcej, okazuje się, że operacja przekształcenia Fouriera F jest ciągła z S w S. (-)

2. Przekształcenie Fouriera dystrybucji wolno rosnących z S’.

Niech początkowo f(x) będzie funkcją absolutnie całkowalną na Rn. Wtedy jej przekształcenie Fouriera

jest ciągłą, ograniczoną ( ) funkcją na Rn, a zatem określa pewną dystrybucję należącą do S’, wzorem

.Zamieniając porządek całkowania, ostatnią całkę można przekształcić następująco:

tzn. .

Tę właśnie równość przyjmiemy za definicję przekształcenia Fouriera dowolnej dystrybucji wolno rosnącej f:

.Z liniowości i ciągłości przekształcenia Fouriera z S w S wynika, że ta definicja jest poprawna, tzn. F[] jest rzeczywiście liniowym i ciągłym funkcjonałem na S, czyli dystrybucją z S’. Co więcej, sama operacja brania transformaty Fouriera jest liniowym i ciągłym przekształceniem z S’ w S’.

Podobnie jak dla przekształcenia Fouriera rozpatrywanego na S dowodzi się, że operacja F–1, zdefiniowana następująco:

')],([)2(

1][1 SfxfFfF

n

Str. 16 z 26

jest przekształceniem odwrotnym do F, prowadzącym również z S’ w S’. W ten sposób przekształcenie Fouriera F przeprowadza S’ na S’ wzajemnie jednoznacznie i w sposób ciągły w obu kierunkach.3. Własności przekształcenia Fouriera.a) '],)[(][ SffixFfFD (różniczkowanie przekształcenia Four.).b) '],[)(][ SffFifDF (przekształcenie Fouriera pochodnej).c) ')],([)]([ ),(

00 SfxfFexxfF xi (przekształcenie Fouriera przesunięcia).

d) '),)](([))](([ ),(0

0 SfxfeFxfF xi (przesunięcie przekształcenia Fouriera).

e) )0(',][||

1))](([

cSf

cfF

ccxfF

n

(przekształc. Fouriera podobieństwa).

f) )]([)]([)]()]([[)]]([)([)]()([ gFfFygfFFgFxfFygxfF yx

(przekształcenie iloczynu prostego).g) Analogiczne wzory zachodzą dla przekształcenia Fouriera Fx; na przykład jeżeli f(x,y)S’(Rn+m), to:....................................................................4. Przekształcenie Fouriera dystrybucji o zwartym nośniku.5 Przekształcenie Fouriera splotu:

zwarty - nośnik gSgfgFfFgfF ,',],[][][ ..............................................................................................................................6. Przykłady, n=1.

a) R

dxexRFR

R

xi sin2|)|(

1 .

b) 2

2

224

eeF xa .

Rzeczywiście,

2

Im

42422

22

2

22

2222 111deedeededxeeF

ii

xixxa .

Pozostało wykazać, że krzywa całkowania 2

Im może być zastąpiona osią

rzeczywistą, tzn. że dla dowolnego a

dedea

22

Im

.

Z twierdzenia Cauchy’ego dla dowolnego R>0 mamy ide

RC

,02

,

gdzie kontur RRRRR llccC "'

składa się z odcinków o końcach odpowiednio R+ai, R–ai; –R, R; R, R+ai;–R+ai,–R i jest skierowany dodatnio w stosunku do swego wnętrza, tzn. odpowiedniego prostokąta. Ale

na odcinkach mamy ,

więc prawdziwa jest równość

,

Str. 17 z 26

skąd .

c) .

Rzeczywiście, ze zbieżności całki niewłaściwej (tzw. całki Fresnela)

wynika jednostajna zbieżność ze względu na na każdym skończonym przedziale całki niewłaściwej

W ten sposób wykazaliśmy równość (30) punktowo, tzn. dla przypadku gdy przekształcenie Fouriera traktujemy jako całkę niewłaściwą. Wykażemy teraz spełnienie tej równości w S’. Posługując się otrzymanym już rezultatem, dla dowolnej D, takiej że supp (–R,R), mamy

skąd wnioskujemy o spełnieniu równości (30) dla funkcji próbnych z D. Ale D jest gęste w S, więc równość ta jest spełniona na funkcjach próbnych z S.

d)

Rzeczywiście, dla a>0 mamy

.

Ponieważ

to przechodząc do granicy przy i posługując się ciągłością na S’ przekształcenia Fouriera (zob. § 9.2), dostajemy

Na mocy wzoru Sochockiego (10) § 5.8, dostajemy pierwszą ze wskazanych równości. Podobnie wykazujemy drugą. e)

(34)

gdzie C-stała Eulera,

1

1

0

coscos1du

u

udu

u

uC , a dystrybucja

||

1

xPF została określona w

par. 6.6, b).Rzeczywiście, dla dowolnej S mamy

Str. 18 z 26

dxx

xdxd

x

x

dxdex

dxdex

dxx

xFdx

x

FxFF

xP

xPF

x

ixix

x

1

1

0

1||

1

1

1||

1

1

cos)(2

1cos)(2

)(||

1)1)((

||

1

||

)]([

||

)0]([)]([][,

||

1,

||

1

,|)|ln)((2

sin1cos)(2

sin)('2

1cos)(2

sin)('2

1cos)(2

12

||

0

12

||

0

12

1

0

dC

ddxx

xdx

u

u

ddxx

xddx

u

u

dxdx

xddx

x

x

skąd wynika równość (34).f) W par. 6.4, d) została ustanowiona równość

kk

ikx kxe )2(2

1 . (35)

Łatwo sprawdzić, że szeregi w tej równości są zbieżne w S’. Posługując się wzorem (11), przepiszmy równość (35) w postaci

kk

kxFkx )]2([)2(2 .

Stosując tę równość do S, otrzymujemy

kk

kkk

kFFkx

kxFkkxkx

),]([])[),((

)],2([)2(2),2((2),2(2

tzn.

kk

kFk )]([)2(2 . (36)

Wzór (36) nazywamy wzorem sumowania Poissona.Kładąc w (36)

0,2

)]([,)(

22

2

2

4

tet

Fex t

tx ,

otrzymujemy

k

t

k

k

tk et

e

22

2 .

7. Przykłady, n2.a) Niech będzie dana forma kwadratowa rzeczywista i dodatnio określona

).0),(),(

0),();(],[,),(1,

pewnegodla sobąza pociąga (co

0xdla

xxxAx

xAxAAaaaAxxaxAxn

ji

Tjiijijjiij

Str. 19 z 26

Wtedy

),(4

12/),(

1

det

An

xAx eA

eF .

Dowód. Za pomocą nieosobliwego , rzeczywistego przekształcenia liniowego x=By możemy doprowadzić formę kwadratową (Ax,x) do postaci normalnej (sumy kwadratów):

2||),(),(),( yyAByBByAByxAx T ,tak więc BTAB=I, czyli A=(BT)–1B–1, czyli A–1=BBT; det B det A det B=1, czyli

det A (det B)2 = 1. Posługując się wzorem 2

2

224

eeF xa (zob. §9.6, b), otrzymujemy

Ale ,

więc

, c.n.d.

§ 10. Przekształcenie Laplace’a dystrybucji (wyłącznie przypadek jednej zmiennej)

1. Przekształcenie Laplace’a funkcji lokalnie całkowalnych.

Niech f(t) będzie lokalnie całkowalną funkcją na R1, f(t)=0 dla t<0, przy czym.

Funkcja (całka zależna od parametru zespolonego s)

nazywa się transformatą Laplace’a funkcji f. Transformata ta jest określona i analityczna w (otwartej) półpłaszczyźnie >a, przy czym zbiega do zera jednostajnie względem Im s przy Re s dążącym do +.

2. Przekształcenie Laplace’a dystrybucji.

Niech D’+ oznacza zbiór (rodzinę) wszystkich dystrybucji f(t) z D’(R1), które zerują się dla t<0. Oznaczmy S’+= D’+ S’.

Niech D’+(a) oznacza zbiór (rodzinę) wszystkich takich dystrybucji f(t) z D’+, że dla wszystkich .

Okazuje się, że Jeżeli f i g należą do D’+(a), to ich splot f*g również należy do D’+(a) i zachodzi

równośćStr. 20 z 26

.W ten sposób D’+(a) jest algebrą splotową.

Niech f D’+(a). Z definicji D’+(a) wynika, że dla każdego >a dystrybucja posiada transformatę Fouriera, i dlatego

.Ustalmy dowolną liczbę 0>a. Pokażemy, że

,gdzie (t) - dowolna funkcja klasy C(R), równa 1 dla t>–/2 i równa 0 dla t<– (>0 - dowolne).

Rzeczywiście, niech >0>a oraz S. Wtedy

Ale dla każdego >0 .

Dlatego całkę w przedostatnim wyrażeniu można wynieść za znak funkcjonału (.....) i otrzymujemy

,skąd wynika żądany wzór.

Okazuje się, że Lf jest funkcją analityczną w półpłaszczyźnie >a, a w każdej półpłaszczyźnie >0>a zachodzi wzór na różniczkowanie

.Dowód (-).

Funkcję Lf nazywamy transformatą Laplace’a dystrybucji f(t) z D’+(a).

3. Własności przekształcenia Laplace’a.

Jeżeli i analogicznie , to:

(różniczkowanie przekształcenia Laplace’a); (przekształcenie Laplace’a pochodnej);

(przesunięcie przekształcenia Laplace’a);

(przekształcenie Laplace’a podobieństwa);

(przekształcenie Laplace’a splotu); (przekształcenie przesunięcia funkcji).

4. Odwrotne przekształcenie Laplace’a.

Niech H(a) - rodzina funkcji F(s), analitycznych w półpłaszczyźnie Re s > a i spełniająca następujące ograniczenie na szybkość rośnięcia dla dużych s: dla dowolnych >0 i 0>a istnieją liczby C(0)0 i m=m(0)0 takie, że

Str. 21 z 26

.Oczywiście H(a) jest algebrą ze zwykłym mnożeniem funkcji.Twierdzenie. Na to, aby dystrybucja f(t) należała do D’+(a) potrzeba i wystarcza, aby jej przekształcenie Laplace’a F(s) należało do H(a). Przy tym dla wszystkich ba i >0>a zachodzi przedstawienie

,

przy czym prawa strona nie zależy od b i od .

Wniosek. Niech funkcja F(s)=F(+i) będzie absolutnie całkowalna względem =Im s na R1 dla pewnego =Re s > a. Wtedy zachodzi odpowiednik klasycznego wzoru na odwracanie:

.

(Wniosek otrzymujemy zauważając, że w poprzednim wzorze jest możliwe różniczkowanie pod znakiem całki m+2 razy i korzystając z równości

.

5. Przykłady.

.

.

f - funkcja lokalnie całkowalna, .

Wtedy .

Niech f i g - funkcje lokalnie całkowalne z D’+(a), . Wtedy

.

Rozdział IIIROZWIĄZANIE FUNDAMENTALNE I PROBLEM CAUCHY’EGO

§11. Rozwiązanie fundamentalne liniowych operatorów różniczkowych.

1. Uogólnione rozwiązania równań różniczkowych liniowych.

Niech

Str. 22 z 26

będzie liniowym równaniem różniczkowym rzędu m ze współczynnikami . Wprowadzając operator różniczkowy

,

możemy przepisać to równanie w postaci.

Uogólnionym (dystrybucyjnym) rozwiązaniem tego równania w obszarze G nazywamy każdą dystrybucję uD’, spełniającą to równanie w obszarze G w uogólnionym sensie, tzn.

.To równanie jest z kolei równoważne równaniu

,gdzie

.

Rzeczywiście,

Jasne jest, że każde klasyczne rozwiązanie jest i rozwiązaniem uogólnionym (dystrybucyjnym). Zachodzi i twierdzenie odwrotne, które formułujemy w postaci lematu:

L e m a t. Jeżeli fC(G) i uogólnione (dystrybucyjne) rozwiązanie u(x) równania (1) w obszarze G należy do Cm(G), to jest ono i klasycznym rozwiązaniem tego równania w obszarze G.

(W dowodzie używa się lematu du Bois-Reymonda.)

2. Rozwiązanie fundamentalne.

Niech L będzie operatorem o stałych współczynnikach, a(x)=a:

.

Rozwiązaniem fundamentalnym operatora różniczkowego L(D) nazywamy dowolną dystrybucję ED’, spełniającą równanie(5) .Rozwiązanie takie nie jest na ogół jednoznaczne - jest określone z dokładnością do rozwiązania E0 równania jednorodnego .

L e m a t. Na to, aby dystrybucja ES’ była rozwiązaniem fundamentalnym operatora L(D) potrzeba i wystarcza, aby jej przekształcenie Fouriera F[E] spełniało równanie

Str. 23 z 26

m

aLEFiL0||

)(,1)()(

gdzie

Dowód: Niech ES’ będzie rozwiązaniem fundamentalnym operatora L(D). Stosując przekształcenie Fouriera do obu stron równania (5), otrzymamy

(7) 1][])([ FEDLF .

Biorąc teraz pod uwagę wzór (16) z § 9.3, mamy

;

stąd i z (7) wynika, że F(E) spełnia rozpatrywane równanie.Na odwrót, jeżeli ES’ spełnia rozpatrywane równanie, to na mocy ostatniej

równości E spełnia równanie (7), skąd wynika, że E spełnia równanie (5), tzn. jest rozwiązaniem fundamentalnym operatora L(D).

Powyższy lemat sprowadza problem skonstruowania rozwiązania podstawowego wolno rosnącego dla liniowego operatora różniczkowego o stałych współczynników - do rozwiązywania w S’ równań algebraicznych postaci (9) ,gdzie P - dowolny wielomian.

Jak widać, dowolne rozwiązanie takiego równania (jeśli w ogóle istnieje) musi pokrywać się z funkcją 1/P() poza zbiorem NP miejsc zerowych wielomianu P. Tak więc jeżeli zbiór NP jest niepusty, to rozwiązanie równania (9) nie jest jednoznaczne: dwa rozwiązania różnią się od siebie o dystrybucję o nośniku zawartym w NP. Na przykład

różnymi rozwiązaniami równania X=1 są dystrybucje , , różniące się od

siebie o wyrażenie postaci const () (zob. wzory Sochockiego z § 5.8).Jeśli funkcja 1/P() jest lokalnie całkowalna w Rn, to odpowiadająca jej dystrybucja

regularna jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania w S’. W przeciwnym przypadku zadanie staje się nietrywialne; jednakże Hermander wykazał, że równanie (9) ma rozwiązanie w S’ dla każdego wielomianu P.

Oznaczmy przez reg(1/P()) dowolne (ustalone) rozwiązanie w S’ równania (9); w

ten sposób, równania (6) jest zawsze rozwiązalne w S’, .

Ostatecznie, każdy liniowy operator różniczkowy o stałych współczynnikach posiada rozwiązanie fundamentalne wolno rosnące, i rozwiązanie to wyraża się wzorem

3. Równanie z dowolną prawą stroną.Za pomocą rozwiązania podstawowego operatora L(D) można skonstruować

rozwiązanie równania

z dowolną prawą stroną f. Dokładniej, zachodzi następująceT w i e r d z e n i e. Niech fD’ będzie taka, że splot E*f istnieje w D’ . Wtedy rozwiązanie powyższego równania istnieje w D’ i dane jest wzorem

.Str. 24 z 26

Rozwiązanie to jest jednoznaczne w klasie wszystkich dystrybucji z D’ dla których istnieje splot z E.Dowód. Posługując się własnościami różniczkowania splotu (zob. wzór (20) § 7.5, c)), dostajemy

.

Dlatego jest rzeczywiście rozwiązaniem rozpatrywanego równania (11). Aby udowodnić jednoznaczność w klasie dystrybucji mających w D’ splot z E, wystarczy udowodnić, że odpowiednie równanie jednorodne ma w tej klasie tylko rozwiązanie zerowe. Ale tak jest rzeczywiście, bo .4. Metoda ............. .

5. Rozwiązanie fundamentalne dla liniowego operatora różniczkowego ze zwyczajnymi pochodnymi.

6. Rozwiązanie fundamentalne dla operatora przewodnictwa cieplnego.

.

W § 6.5, f) było pokazane, że rozwiązanie powyższego równania wyraża się wzorem

a zatem funkcja ta jest rozwiązaniem fundamentalnym operatora przewodnictwa cieplnego. Otrzymamy teraz to samo rozwiązanie, posługując się metodą przekształcenia Fouriera.

Do danego równania stosujemy przekształcenie Fouriera Fx:

Dla funkcji otrzymujemy równanie:

.

Jak wiadomo (zob. 6.4, f), rozwiązanie takiego równania ma postać , gdzie jest rozwiązaniem równania

,spełniającym warunek początkowy . Widać, że

. Tak więc . Stosujemy teraz odwrotne przekształcenie Fouriera F

-1:

,

gdzie macierz A jest macierzą diagonalną a2tI . Tutaj det A=a2ntn, A-1=(1/a2t)I. Korzystając ze wzoru

Str. 25 z 26

,

otrzymujemy

.

Str. 26 z 26