03 - Linijski elementi

75

3. LINIJSKI ELEMENTI

3.1.3.1.3.1.3.1. GREDNI GREDNI GREDNI GREDNI NOSAČINOSAČINOSAČINOSAČI

3.1.1.3.1.1.3.1.1.3.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMI

Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na

savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom praktično svih inženjerskih konstrukci-

ja i najčešće su horizontalnog pravca pružanja.

U zgradarstvu se primenjuju kao noseći elementi meñuspratnih konstrukcija, kao

glavni nosači krovnih konstrukcija većeg raspona, kao sastavni deo temeljnih kons-

trukcija (temeljne kontragrede). Kod mostova grednog sistema primenjuju se kao

glavni isekundarni nosači mostovske konstrukcije. Pojavljuju se i kao sastavni deo

složenijih armiranobetonskih elemenata: rigle ramovskih konstrukcija, gredni nosači

kombinovanih sistema, osnovni elementi temeljnih roštilja itd. U konstrukcijama se

gredni elementi najčešće javljaju u sklopu sa drugim elementima: stubovima, plo-

čama, zidovima (Sl. 73).

Sl. 72. Statički sistemi grednih nosača

Načelno, gredni nosači mogu biti projektovani preko jednog ili više raspona. Statički

sistem grednog nosača je odreñen rasporedom oslonaca, koji mogu biti formirani

kao nepomerljivi ili pomerljivi (potpuno, delimično). Reñi je slučaj da je greda na

svom jednom kraju uklještena u masivni zid ili neki drugi element konstrukcije. U

konstrukcijama zgradarstva su najčešće kruto vezane za vertikalne oslonce (stubo-

ve), čime se formiraju armiranobetonski okviri (Sl. 72).

Grednim nosačima se mogu smatrati elementi kod kojih je odnos visine poprečnog

preseka i raspona nosača manji od 0.20. U ovim slučajevima su zadovoljene osnov-

ne pretpostavke tehničke teorije savijanja (zanemarenje normalnih napona σy). Za

veće odnose visine prema rasponu, grede se tretiraju saglasno teoriji ploča optere-

ćenih u svojoj ravni, kao zidni nosači ili visoke grede. Ipak, u praksi je uobičajen

gredni tretman elemenata sve do odnosa visine prema rasponu od 0.40.

Betonske konstrukcije – radna verzija - 13. novembar 2010

76

Sl. 73. Okvirne i roštiljne konstrukcije

3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2. OBLIKOVAOBLIKOVAOBLIKOVAOBLIKOVANJENJENJENJE

Gredni nosači se najčešće projektuju punog pravougaonog poprečnog preseka. U

slučaju krute veze sa meñuspratnom pločom, preseci nosača postaju T-oblika,

budući da, kao pritisnuta, ploča saučestvuje u prenosu napona pritiska.

Za prefabrikovane gredne elemente je karakteristična optimizacija poprečnog prese-

ka i za manje raspona. Tada se koriste T-preseci, nesimetrični i simetrični I-preseci

ili, zavisno od namene i opterećenja neki drugi, razuñeni oblik poprečnog preseka.

Sl. 74. Karakteristični poprečni preseci grednih nosača

Kod većih raspona, u cilju uštede u težini, grede se mogu projektovati razuñenih ili

sandučastih preseka. Optimalan oblik preseka je odreñen potrebnom nosivošću pri-

tisnute zone betona, te minimiziranjem zategnute površine betonskog preseka na

meru dovoljnu za smeštaj i pravilno voñenje armature. Širina nosača je primarno

funkcija zadovoljenja glavnih napona zatezanja, ali se proporcionalno menja sa visi-

nom nosača. Razuñeni oblici preseka su karakteristika montažnih grednih elemena-

ta, te većih raspona.

Uobičajene visine poprečnih preseka greda se nalaze u rasponu od 1/12 do 1/8

raspona.

3. Linijski elementi

77

Po dužini, gredni nosači mogu biti konstantnog ili promenljivog preseka. Silueta

nosača se, kada je to ekonomski opravdano, projektuje tako da približno prati pro-

menu momenata savijanja. Promenljiva silueta se može postići izvoñenjem vuta, što

je čest slučaj kod kontinualnih nosača u okolini oslonaca (mesta maksimalnih

momenata savijanja). Vute su obično vertikalne i mogu biti projektovane kao pravo-

linijski ili krivolinijske (Sl. 75). U pojedinim situacijama kada je visina limitirana,

opravdano je projektovanje horizontalnih vuta proširenjem preseka (Sl. 75).

Sl. 75. Vertikalne i horizontalne vute

Vertikalne vute se izvode strmije od horizontalnih. Proračunski, vertikalne vute su

limitirane nagibom na 1:3, ma kako da su izvedene, dok horizontalne vute imaju

uobičajene nagibe od 1:8 do 1:6. Uobičajene dužine vuta ne prelaze desetinu raspo-

na grede.

Jedna vrsta horizontalne vute se često primenjuje u oslonačkim delovima grednih

elemenata (posebno karakteristično za montažne grede), kada se proširenjem pre-

seka povećava moć prijema glavnih napona zatezanja, koji u ovim zonama imaju

maksimalne vrednosti (Sl. 76). U konkretnoj situaciji, uobičajeno je proširenje rebra

na širinu uže (donje) flanše.

Sl. 76. Oblikovanje oslonačkog dela grede nesimetričnog I-preseka

Sl. 77. Montažna greda promenljive visine

Osim vutama, promenljiva silueta može biti izvedena i promenom visine nosača duž

cele njegove dužine, na primer. Takav je slučaj kod krovnih grednih glavnih nosača,

kada se gornja ivica projektuje u nagibu, kojim je greda opskrbljena maksimalnim


78

visinama preseka na mestima maksimalnih momenata savijanja, a, sa druge strane,

obezbeñen nagib za krovne ravni (Sl. 77).

3.1.3.3.1.3.3.1.3.3.1.3. PRORAČUNPRORAČUNPRORAČUNPRORAČUN UTICAJAUTICAJAUTICAJAUTICAJA

Proračun statičkih uticaja grednih nosača se, načelno, sprovodi saglasno linearnoj

teoriji elastičnosti. Pri tome, za raspon grede se usvajaju odgovarajuća rastojanja

sistemskih linija. Meñutim, kada je širina oslonca veća od desetina raspona grede, ili

kada nije moguće utvrditi položaj sistemnih linija, teorijski raspon grede (raspon

grede u statičkom sistemu) može se usvojiti kao svetli raspon uvećan za 5%.

Sl. 78. Teorijski rasponi grednog nosača

Sa ovako usvojenim rasponima formira se statički sistem nosača, za koji se odreñuju

uticaji. Iako je uobičajeno da se, za gredne elemente u konstrukcijama zgradarstva,

uticaji odreñuju za ukupno opterećenje22. Ipak, kad god to može dovesti do značaj-

nijih promena u rezultatima, neophodno je razmatrati različite rasporede korisnog

opterećenja (skladišta, biblioteke, sportski objekti...), te eventualnu povoljnost delo-

vanja pojedinih dejstava (različiti rasponi kod kontinualnih nosača, na primer).

Sl. 79. Minimalne „proračunske“ vrednosti momenata u polju kontinualne grede

Kod kontinualnih greda, bez obzira na rezultat odreñivanja statičkih uticaja, prili-

kom dimenzionisanja je, za pozitivne momente u polju, neophodno usvojiti vredno-

sti najmanje jednake onima koje odgovaraju mometima u polju obostrano, odnosno

jednostrano, uklještene grede opterećene ravnomerno podeljenim opterećenjem (Sl.

79). Uklještenje nad krajnjim osloncem kontinualne grede je opravdano usvojiti u

statičkom sistemu samo kada je ono konstruktivnim merama obezbeñeno i dokaza-

22 Razlog ovome je relativno mali udeo korisnog tereta u ukupnom u konstrukcijama zgra-

darstva.


79

no. Kontinualne grede oslonjene na zidove ili stubove od opeke, kada rotacija grede

nije sprečena, dakle, nad osloncima treba dimenzionisati prema redukovanoj, para-

boličnoj raspodeli momentnog dijagrama (Sl. 80a). Češći slučaj je kruta veza grede

sa stubovima, kada je opravdano oslonački presek grede dimenzionisati na momen-

te na ivici oslonca (Sl. 80b).

Sl. 80. Oslonački momenti kod kontinualnih greda zglobno i kruto spojenih sa osloncima

Prikazani su (Sl. 81) karakteristični oblici dijagrama momenata savijanja za najčešće

statičke sisteme (prosta greda, kontinualna greda, okvir) u kojima se nalaze gredni

elementi. Načelno, greda kod koje je nad krajnjim osloncima ostvareno delimično ili

potpuno uklještenje je, statički, povoljnija od zglobne, jer joj odgovaraju manje eks-

tremne vrednosti momenata savijanja. Ipak, kada postoji opasnost od neravnomer-

nog sleganja oslonaca ili nekog drugog deformacijskog opterećenja, statički odre-

ñene ili manje statički neodreñene konstrukcije su u prednosti. Kod montažnih kon-

strukcija, jednostavnije je izvoñenje zglobnih od krutih veza (Okvir 3).

Sl. 81. Dijagrami momenata savijanja u grednim nosačima

U okvirnim konstrukcijama grede su najčešće kruto vezane za stubove. Stepen elas-

tičnog uklještenja kraja grede u ostatak okvirne konstrukcije može biti približno

odreñen - procenjen (moment elastičnog uklještenja) korišćenjem prve iteracije

Cross-ovog postupka, na primer, kako je to pokazano na Sl. 82. Rezultat je dovoljne

tačnosti za potrebe dimenzionisanja, kada je o vertikalnom opterećenju reč, te o

horizontalno ukrućenim okvirima. Tada se momenti u srednjim stubovima mogu

zanemariti.


80

Sl. 82. Odreñivanje momenta uklještenja kraja grede prvom iteracijom Cross-ovog postupka

Okvir 3Okvir 3Okvir 3Okvir 3 Montažni Montažni Montažni Montažni PPPP----okvirokvirokvirokvir

Optimalno formiran okvir od montažnih elemenata bi, saglasno rečenom, bio

formiran od stubova G-oblika, proizvedenih sa konzolnim ispustom dela gred-

nog elementa, kako je prikazano na prvoj skici.

Pozicioniranjem nastavaka/spojeva montažnih elemenata na mestima nultih

momentnih tačaka odgovarajućeg monolitnog P-okvira, uz obezbeñenje preno-

sa aksijalne i transverzalne sile, bi omogućilo izostajanje potrebe za ostvariva-

njem momentnog kontinuiteta na mestu spoja. Dijagram momenata bi imao isti

oblik kao da je okvir monolitan.

Meñutim, značajno je jednostavnija (jeftinija) proizvodnja, transport i montaža

pravih elemenata, nego elemenata izlomljene ose. Ovo je najčešće odlučujući

faktor optimizacije u korist nepovoljnijeg statičkog sistema, kojim se moment-

no ne angažuje spoj grede i stuba (desna slika). Odreñenu kompenzaciju može

da predstavlja racionalniji oblik poprečnog preseka, karakterističan za montaž-

ne elemente.

3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1. Preraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanja i duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost preseka

Statički uticaji kod statički neodreñenih konstrukcija su funkcija krutosti elemenata i

njihove promene. Krutosti po dužini armiranobetonskih elemenata se menjaju u

skladu sa dostignutim naponsko-deformacijskim stanjem, isprskalošću preseka,

promenom količine armature... Na Sl. 83 su prikazana karakteristična naponsko-

deformacijska stanja grednog elementa opterećenog dvema koncentrisanim silama.

Malim momentima savijanja odgovara pravolinijska raspodela normalnih napona (Ia),

i u pritisnutom i u zategnutom delu. Momentima neposredno pred pojavu prslina (Ib)

odgovara linearno promenljivo naponsko stanje u pritisnutoj i nelinearno promenlji-

vo u zategnutoj zoni. Za momente jednake i veće od momenta pojave prsline, javlja-

ju se prsline (na ovim mestima je zatežući normalni napon u betonu jednak nuli), a


81

raspodela napona pritiska po visini pritisnute zone je kvazi-linearna (II). Daljim

povećanjem opterečenja, šire se prsline, zategnuta podužna armatura je u plastičnoj

fazi rada, a pritisnuti beton trpi nelinearne deformacije, zbog čega se i naponski

dijagram odlikuje visokom nelinearnošću (III). Ovo stanje, stanje III, odgovara grani-

čnom kapacitetu nosivosti preseka i koristi se za proračun preseka prema graničnoj

nosivosti.

Sl. 83. Karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog elementa

Uticaji odreñeni primenom linearne teorije elastičnosti su, kod armiranobetonskih

elemenata u statički neodreñenim konstrukcijama, „realni“ samo za male nivoe

opterećenja. Razvoj prslina i plastifikacija u čeliku za armiranje mogu, nekad, kvali-

tativno da promene stanje naprezanja elementa. I pored toga, linearna teorija elasti-

čnosti, odnosno uticaji odreñeni njenom primenom, se koristi i za uticaje u stanju

granične nosivosti. Kasnije, prilikom dimenzionisanja poprečnih preseka, uvažavaju

se činjenice nelinearnog deformisanja, ali sa uticajima koji, još jednom, odgovaraju

linearnoj teoriji elastičnosti.

Postavlja se pitanje koliko ovakva nedoslednost može biti održiva i opravdana. Sa

stanovišta jednostavnosti primene, nema dileme da je prednost na strani ovakvog

pristupa. Ali, čak i kad je opravdanost u pitanju, ovakav koncept je održiv. Naime,

rezultati linearne teorije elastičnosti predstavljaju jedno moguće ravnotežno stanje

statički neodreñene konstrukcije. Konstrukcija (i elementi) dimenzionisani i armirani

saglasno ovim uticajima će se u velikoj meri i ponašati na ovaj način. Posledica je

ovo, pre svega, činjenice da se, kolokvijalno, „armiranobetonski elementi ponašaju

na način na koji su armirani“. Ovo ne znači da se u tako armiranoj konstrukciji neće

realizovati preraspodele naprezanja, naravno, ali svakako ne u istoj meri u kojoj bi

to bio slučaj da je sa ovakvim preraspodelama kalkulisano.

Preraspodela naprezanja izmeñu preseka i elemenata konstrukcije je moguća tek

ukoliko je najopterećenijim presecima (zonama) omogućena dovoljno „dugačka“


82

plastična rotacija23. Preseci koji se odlikuju visokom sposobnošću postelastične

(plastične) rotacije, duktilni preseci, su, na osnovu iznetog u prethodnom paragrafu,

neophodni i kod konstrukcija/elemenata koji su proračunati i armirani saglasno uti-

cajima linearne teorije elastičnosti.

Pad krutosti preseka je funkcija nivoa naprezanja, oblika poprečnog preseka. Na Sl.

84 je prikazano kako za tri različita poprečna preseka (jedan pravougaoni i dva T-

preseka zategnuta u različitim zonama) kvalitativno i kvantitativno izgleda pad kru-

tosti sa prirastom spoljašnjeg momenta savijanja.

Sl. 84. Promena krutosti sa prirastom momenta savijanja (na nivou preseka)

Za pravougaoni i T-presek zategnut u donjoj zoni karakterističan je relativno strm

pad krutosti sa pojavom i razvojem prslina, te održavanje konstantne krutosti isprs-

kalog preseka sve do pred lom. T-presek zategnut u gornjoj zoni se karakteriše

mnogo dužim padom krutosti, koji je karakteristika praktično celog intervala od

pojave prslina do loma. Kvantitativno, konstatujmo i da pad krutosti može biti vrlo

velik, reda veličine 30 do 60%.

Sl. 85. Zavisnost moment savijanja – krivina preseka

Sada ćemo posmatrati kako se povećanje momenta savijanja koji deluje na poprečni

presek, na primer pravougaoni, odražava na promenu krivine preseka. Idealzovano,

ovo je prikazano na Sl. 85. Dijagram je, na neki način, analogan dijagramu napon-

dilatacija, a nagib krive u nekoj tački definiše krutost preseka.

23 Rotacija kritičnih preseka je osnova mehanizma transfera opterećenja u realizacij preras-

podele.


83

U fazi malih vrednosti momenata, sve do pojave prslina, prirast krivine je, saglasno

Hooke-ovom zakonu, linearan. Pri momentu Mpr javljaju se prsline24, zbog čega kru-

tost pada (nagib krive je manje strm), a prirast krivine sa povećanjem momenta

savijanja je veći. Na ovaj način su dve veličine povezane sve do trenutka dostizanja

granice razvlačenja u zategnutom čeliku. Čelik koji se do tada ponašao linearno

prelazi u plastičnu fazu rada (pri krivini κv), koja se karakteriše prirastom dilatacija

bez (ili sa malim) prirasta napona. Povećanje dilatacija u čeliku je praćeno, usled

potrebe očuvanja ravnoteže preseka, (manjim) povećanjem dilatacija u betonu i

smanjenjem visine pritisnute zone betona. Kako sila u armaturi, sa ovim poveća-

njem dilatacije, ostaje približno konstantna, a promena kraka unutrašnjih sila (iako

se povećava) nije značajna, to se i moment savijanja ne menja sa povećanjem dilata-

cija. Ili, presek nije u stanju da prihvati svo ono momentno opterećenje koje se javi

nakon dostizanja plastifikacije u armaturi. Povećanje dilatacija, po definiciji, znači i

povećanje krivine preseka, što se na analiziranom dijagramu manifestuje kao pribli-

žno horizontalna grana – prirast krivine bez prirasta momenta savijanja. Krutost

preseka za ovaj nivo opterećenja je bliska nuli. Sam presek se, naponski, opire spo-

ljašnjem momentu koji odgovara momentu nosivosti preseka, ali se za dalji prirast

opterećenja ponaša kao zglob – plastični zglob (iznad nekog nivoa opterećenja rota-

cija je nesprečena). Kako je povećanje krivine praćeno redukcijom visine pritisnute

zone betona, to se lom, kolaps, preseka dogaña, najčešće, imajući na umu vrlo viso-

ku sposobnost čelika za dugu plastičnu deformaciju, drobljenjem pritisnutog beto-

na, za krivinu koja je na slici obeležena sa κu.

Dijagram na Sl. 85 direktno definiše faktor duktiliteta krivine preseka napregnutog

na savijanje, kao količnik dve krivine – krivine pri lomu i krivine pri kojoj počinje

plastično deformisanje čelika:

u

v

Dκκ

= . ............................................................................................. (3.1)

Ova veličina predstavlja meru žilavosti preseka. Smatra se da je preraspodela uticaja

u statički neodreñenim konstrukcijama obezbeñena tek nakon ostvarenja duktiliteta

većeg od nekog koji je u intervalu izmeñu 3 i 6.

Mere kojima je duktilitet moguće povećati, prilikom projektovanja se, pre svega,

odnose na poboljšanje karakteristika pritisnute zone preseka, budući da je njegov

kolaps najčešće izazvan drobljenjem betona, te da je čelik „kritičan“ samo u situaci-

jama vrlo jako armiranih poprečnih preseka:

• Smanjenje procenta armiranja podužnom zategnutom armaturom. Ovim se

ne želi reći da preseke treba pod-armirati. Proračunom se odreñuje minimal-

no potrebna količina armature u preseku i ona tamo mora biti i obezbeñena u

elementu. Ideja je da se ukaže na kontradiktornu situaciju kada višak čelika

24 Razvoj prslina nije trenutan fenomen i realna kriva nema ovako izražene tačke loma.


84

za armiranje ne rezultira dodatnom sigurnošću (prikazano na Sl. 86, za dva

procenta armiranja, µ1>µ2). Duktilni preseci su armirani količinom zategnute

armature koja je maksimalno bliska potrebnoj, odreñenoj uz uvažavanje svih

postojećih okolnosti koje mogu uticati i na njeno smanjenje (na primer činje-

nica prisustva pritisnute armature u drugoj zoni).

• Armiranje pritisnute zone preseka. Čelik je, svojim nosivim karakteristikama,

superioran u odnosu na beton čak i kada je prijem pritiska u pitanju. Zato,

dodavanje čelika u pritisnutu zonu ima za posledicu povećanu mogućnost

prijema pritiska, a samim tim seodlaže i trenutak kolapsa preseka.

• Kvalitet betona. Očigledno je da više marke betona obezbeñuju prijem većih

napona/sila pritiska, te da povoljno utiču na duktilitet.

• Utezanje preseka gustom poprečnom armaturom. Poprečna armatura, obu-

hvatajući pritisnutu zonu, sprečava bočno širenje unoseći napone pritiska i u

ravni normalnoj na pravac osnovnog pritiska. Ovako utegnut presek je spo-

soban za prijem većih pritisnih naprezanja od slabije utegnutog preseka.

• Vrsta čelika. Načelno, čelici sa nižom granicom razvlačenja (GA ima granicu

razvlačenja na dilataciji od oko 1.2 promila) su duktilniji od onih sa višom (RA

– približno 2 promila). Sa Sl. 85 proizilazi da će krivina κv imati manju vred-

nost, te da će time i duktilitet biti veći. Ipak, ovde treba biti oprezan. Za pri-

jem istih uticaja prilikom dimenzionisanja, glatkog čelika će biti oko 65% više,

koliko proizilazi iz odnosa njihovih granica razvlačenja (400/240~1.67). Na

račun ovoga, konačni ishod po pitanju duktiliteta ne mora uvek biti na strani

GA. Uticaj količine armature (nivo uticaja koji su je odredili) je sada presudan.

Sa Sl. 87 ovo se, za nižu marku betona može i očitati.

Sl. 86. Dijagram moment savijanja – krivina za dva različita koeficijenta armiranja

Ako je presek, osim momentom, opterećen i aksijalnom silom, treba imati u vidu da

aksijalna sila pritiska smanjuje, a zatezanja povećava duktilnost.


85

Sl. 87. Uticaj kvaliteta betona i vrste čelika na duktilitet preseka

Prepoznajmo, još jednom, na Sl. 85 tri veličine krutosti koje odgovaraju prirastu

spoljašnjeg momenta savijanja. Usvajajući ovakvu, skokovitu, promenu krutosti, na

primeru obostrano uklještene grede biće pokazan (Sl. 88) tok preraspodele.

Sl. 88. Preraspodela momenta savijanja obostrano uklještene grede

Posmatrana greda je, zbog jednostavnosti analize, usvojena konstantne krutosti i

nosivosti, kako po dužini, tako i za slučajeve zategnute gornje, odnosno donje

zone. Analizira se promena momenata savijanja u krajnjem i u preseku u sredini

raspona sa prirastom ravnomerno podeljenog opterećenja na gredi.

Saglasno linearnoj teoriji elastičnosti, oslonački moment je dva puta, apsolutno, veći

od momenta u polju. Sa prirastom opterećenja, do početka razvoja prslina, ovo će i

biti slučaj. Kada se dostigne moment pojave prslina (tačka A1, skica c) u oslonačkom

preseku, doćiće i do pada njegove krutosti. Kako je, sada, presek u sredini raspona


86

(neisprskao) veće krutosti, to će mu, pri daljem prirastu opterećenja, odgovarati i

brži prirast momenta, sve do trenutka formiranja prslina u središnjem delu elementa

(tačka B2, skica d). Opet ravnopravnih krutosti, preseci teže da uspostave momentnu

sliku koja jednakim krutostima odgovara (dvostruko veći oslonački moment). Zato je

dalji prirast momenta u sredini vrlo mali, a nad osloncem strm. Ovakvo ponašanje se

prekida dostizanjem granice razvlačenja čelika u oslonačkom preseku (tačka D1, ski-

ca e). Sada, dalje povećanje opterećenja ne može biti više praćeno prirastom

momenta nad osloncem, ovaj presek rotira na račun plastične deformacije, a posle-

dica ove rotacije je dalji „život“ grede, tj. preraspodela naknadnog opterećenja ka

preseku u sredini, koji još nije dostigao, u čeliku, granicu razvlačenja. Konačno,

kada je i ovaj presek dostigne (skica f), svako dalje povećanje opterećenja aktivira

statički sistem kritične konfiguracije, koji nije održiv. Ovim je definisan kraj nosi-

vosti grede, ali je očigledno da je greda, statički neodreñena, u stanju da primi viši

nivo opterećenja od onoga koji rezultira momentom nosivosti kritičnog (ili kritičnih)

preseka. Krajnji dijagram momenata savijanja ima jednake vrednosti momenta u

polju i nad osloncem – momenat je preraspodeljen.

U praksi, realizacija celog opisanog toka bi bila praćena vrlo velikim deformacijama

čelika i, samim tim, velikim otvorima prslina. Budući da je reč o plastičnim deforma-

cijama, po rasterećenju greda bi u znatnoj i vidljivoj meri bila oštećena.

3.1.3.2.3.1.3.2.3.1.3.2.3.1.3.2. Linearna teorija sa ograničenom preraspLinearna teorija sa ograničenom preraspLinearna teorija sa ograničenom preraspLinearna teorija sa ograničenom preraspodelomodelomodelomodelom

Iako je pokazano da primena linearne teorije elastičnosti za granično stanje nosi-

vosti može biti opravdana, valja primetiti da, pokrivajući jedno moguće ravnotežno

stanje, na ovaj način nije obezbeñeno najracionalnije projektovanje. Ili, utrošak

materijala, eventualno i dimenzije preseka, bi mogao biti manji.

Dimenzionisanje koje bi za cilj imalo ovu vrstu optimizacije je bazirano na preras-

podeljenim uticajima. Zbog velike meñuzavisnosti ulaznih i izlaznih faktora u ovoj

analizi, do potpunog optimuma nije lako doći, nego bi se rešenja morala tražiti

zametnim iterativnim postupcima u kojima je relativno velik broj variranih parame-

tara.

Pravilnikom je dopušteno da se, pri proračunu prema graničnim stanjima loma, sile

u presecima (konkretno, momenti savijanja) statički neodreñenih nosača, sračunate

prema linearnoj teoriji elastičnosti, umanje ili povećaju za sledeću vrednost datu u

procentima:

1 2

lim

20 1µ µ

µ −⋅ −

. ................................................................................ (3.2)

µ1 koeficijent armiranja zategnutom podužnom armaturom,

µ2 koeficijent armiranja pritisnutom podužnom armaturom,

µlim granična vrednost (granica) procentna armiranja.


87

Povećanje momenata savijanja u jednom preseku zahteva njegovo povećanje u dru-

gim presecima, kako bi uslovi ravnoteže ostali zadovoljeni. Ili, na ovaj način se sta-

tički neodreñena konstrukcija „podvrgava“ drugom ravnotežnom stanju. Granica

procenta armiranja je data u sledećem obliku:

lim 0.405 B

v

fµσ

= ⋅ , ................................................................................. (3.3)

a mogućnost primene preraspodeljenih uticaja se ograničava sledećim uslovom:

1 2 lim0.5µ µ µ− ≤ ⋅ . ............................................................................... (3.4)

Granica µlim je proistekla iz analize pravougaonog poprečnog preseka (ili, bar prese-

ka sa pritisnutom zonom pravougaonog oblika) i ograničenju pritisnute visine pre-

seka na četvrtinu statičke visine:

lim0.5 0.25x x h≤ ⋅ = ⋅ , ............................................................................ (3.5)

gde je sa xlim obeležena visina pritisnute zone koja odgovara stanju dilatacija od

εb/εa = -3.5/3.5. Analizom izraza (3.2), može se zaključiti da se dozvoljena preras-

podela kreće u granicama izmeñu 10 i 20%:

• 10% za 1 2 lim0.5µ µ µ− = ,

• 20% za 1 2 0µ µ− = .

Povećanjem količine pritisnute armature se povećava duktilnost (smanjenjem pritis-

nute visine preseka) i omogućuje preraspodela.

Efekti proračuna na bazi preraspodeljenih uticaja mogu biti: smanjenje ukupne koli-

čine armature (čest slučaj kod nosača sa velikim udelom korisnog opterećenja) i/ili

smanjenje razlike u potrebnoj armaturi oslonačkih zona i preseka u polju, čime se

postiže ujednačenije armiranje dve zone i izbegavaju se jako armirani oslonački

preseci. U oba slučaja, efekti su pozitivni, te se primena preraspodele u ograniče-

nom obliku preporučuje. Razlozi za ograničenje stepena preraspodele su u činjenici

da visokim duktilnostima (koje zahtevaju viši stepeni preraspodele) mogu biti ugro-

žena granična stanja upotrebljivosti elementa (prsline, ugibi).

3.1.4.3.1.4.3.1.4.3.1.4. DIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJE

Pod dimenzionisanjem se, u užem smislu, podrazumeva odreñivanje potrebnih koli-

čina pojedinih armatura elementa, na bazi odreñenih uticaja i poznate geometrije

betonskih preseka.

Redovno je proračun prema graničnim stanjima loma merodavan za dimenzionisa-

nje, ali ovo je neophodno dokazati kontrolom graničnih stanja upotrebljivosti. Samo

u retkim situacijama (jako opterećeni i armirani elementi, strogi zahtevi po pitanju

ugiba i/ili prslina) granično stanje upotrebljivosti je „kritično“ i zahteva korekciju

potrebnih količina armature odreñene prema prvom.

Budući da je teorija proračuna elemenata prema graničnim stanjima već prikazana,

na ovom mestu su date samo neke dodatne napomene.


88

Podužna armaturaPodužna armaturaPodužna armaturaPodužna armatura grednih elemenata je, načelno, produkt proračuna grednog nosa-

ča prema graničnom stanju loma na simultano dejstvo momenata savijanja i aksijal-

nih sila, saglasno već izloženom (#2.3). Pri tome, granične vrednosti uticaja mome-

nata savijanja i aksijalnih sila odgovaraju istoj kombinaciji opterećenja.

Za praktičnu primenu razvijena su inženjerska pomagala u obliku tablica (bezdi-

menzionalni koeficijent k, kao funkcija spoljašnjih uticaja, geometrije preseka i kva-

liteta betona) ili specijalizovanog softvera.

Osim toga, postupak obezbeñenja glavnih napona zatezanja, takoñe, rezultuje pot-

rebom za dodatnom količinom podužne armature: deo glavnog napona izazvan

smicanjem zahteva dodatnu količinu zategnute armature, dok torzionim uticajima

odgovara potreba za podužnom armaturom ravnomerno rasporeñenom po obimu

poprečnog preseka.

U proračunu prema graničnom stanju nosivosti, za grede izložene raspodeljenom

opterećenju, sadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina ploče (debljine najmanje 10% visine grede ili 8cm),

u funkciji širine grede (b0), razmaka nultih momentnih tačaka grede (l0) i meñusob-

nog rastojanja greda (e), iznosi za simetrične preseke (Sl. 89a):

0

0 0

20

min 0.25

b d

b b l

e

+ ⋅= + ⋅

............................................................................ (3.6)

Za nesimetrične T-preseke, ako je sprečeno bočno pomeranje i torzija (Sl. 89b):

0 1

0 1 0

8

min 0.25 / 3

/ 2

b b d

b b b l

e

+ + ⋅′ = + + ⋅

.................................................................. (3.7)

Sl. 89. Sadejstvujuća širina ploče

Za ploče čija je debljina maja od desetine ukupne visine grede:

0 12min

b db

e

+ ⋅=

............................................................................... (3.8)

0 1 5min

/ 2

b b db

e

+ + ⋅=

........................................................................... (3.9)

U proračunima prema graničnim stanjima upotrebljivosti – ugiba, kao i za proračun

statičkih uticaja, preporuka je da se za simetrične T-preseka usvaja manja širina:

0 6b b d= + ⋅ ...................................................................................... (3.10)


89

Nesimetrične T-preseke, kada nije sprečena torzija i bočno pomeranje, treba

dimenzionisati na dejstvo kosog momenta savijanja (koso savijan presek).

Proračunska poprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armatura je rezultat proračuna grednog elementa na dejstvo

glavnih napona zatezanja izazvanih transverzalnim silama i momentima torzije.

Najčešće se projektuje u obliku vertikalnih uzengija, čija se potreba odreñuje pose-

bno za dejstvo smicanja, a posebno za dejstvo torzije. Višesečnost (više od 2) uzen-

gija koje se prostiru celom visinom preseka može biti obuhvaćena proračunom

samo na dejstvo smicanja.

Sl. 90. Prijem indirektnog opterećenja uzengijama

Iako je pravac pružanja kosih gvožña takav da se njima postiže efikasniji (sa

manjom količinom armature) prijem glavnih napona zatezanja, iskustveno se njiho-

va primena pokazala nepovoljnijom (veće širine prslina) od primene samo vertikalnih

uzengija. Zato, ova vrstu armature dobija preporuku primene samo kod preseka kod

kojih bi armiranje vertikalnim uzengijama ugrozilo dobru ugradnju betona. Dodat-

no, povijanjem armature iz donje u gornju zonu, kosim delom redovno nije obezbe-

ñeno i potrebno koso gvožñe, budući da je, redovno, mesto povijanja locirano suvi-

še daleko od oslonca, tj. od mesta potrebe za kosim gvožñima. Kosa gvožña se

mogu projektovati samo u cilju prijema dela glavnog napona zatezanja izazvanog

smicanjem.

Sl. 91. Prijem obešenog opterećenja uzengijama


90

U pojedinim situacijama, uzengijama je neophodno prihvatiti indirektno koncentri-

sano opterećenje (Sl. 90) ili optrećenje po donjoj ivici grede („obešeno opterećenje“).

Tada se njihova potrebna dodatna količina odreñuje iz uslova da same mogu pri-

hvatiti kompletno predmetno opterećenje (Sl. 91). Sa ciljem prijema obešenog ili

indirektnog opterećenja, mogu se projektovati i kose šipke (Sl. 90).

3.1.5.3.1.5.3.1.5.3.1.5. ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE25252525

Grede se mogu armirati glatkom GA, rebrastom ili Bi-armaturom.

Prilikom usvajanja i rasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanja šipki podužne armature neophodno je izborom

profila i njihovim razmakom obezbediti uslove dobre ugradnje betona, dobre prion-

ljivosti i postizanja kompaktnog zaštitnog sloja. U Pravilniku, minimalni čist razmak

dve šipke, i horizontalno i vertikalno, je 3cm, ali ne manje od prečnika najkrupnije

šipke ili 80% prečnika najveće frakcije agregata (Sl. 92a). Ovim se, izmeñu ostalog,

obezbeñuje i prostor za prolaz igle pervibratora u sve delove elementa prilikom

ugradnje betona. Ipak, treba primetiti da je, na ovaj način definisan, minimalni raz-

mak premali, te da bi u praktičnim situacijama preporuka išla u pravcu usvajanja

većih razmaka. Posebno je diskutabilna, i teško ostvarljiva kod jače armiranih prese-

ka, odredba kojom se minimalni razmaci moraju obezbediti i na mestima nastavlja-

nja armature preklapanjem.

Sl. 92. Minimalni razmaci armaturnih šipki

Kako bi se postigla povoljnija slika prslina, maksimalni razmak izmeñu šipki glavne

podužne armature je ograničen na 15cm. U vertikalnom pravcu, ovaj limit je 30cm,

za elemente čija visina nije manja od 50cm (Sl. 92b), a obezbeñuje se ubacivanjem

dodatnih podužnih profila ne manjih od Ø8.

Sl. 93. Svežnjevi (cvasti)

25 Posebne odredbe koje se odnose na detalje armiranja greda konstrukcija u seizmičkim

područjima će biti prikazane u sklopu poglavlja Višespratne zgrade.


91

Dopušteno je, ali ne i preporučljivo, grupisanje armaturnih prfoila u cvasti (maksi-

malno četiri profila). U situacijama jako armiranih preseka, grupisanje armature

može biti jedini način obezbeñenja ugradnje betona. Sa druge strane, korišćenje

svežnjeva ima za posledicu i sve efekte analogne ugradnji profila velikog prečnika

(granična stanja upotrebljivosti). Ako se grupa šipki (cvast) zameni ekvivalentnim

(po površini) prečnikom, onda se za cvasti primenjuju ista pravila rasporeñivanja

armature u poprečnom preseku (Sl. 93).

U cilju sprečavanja krtog loma u trenutku pojave prsline, definisan je minimalni prminimalni prminimalni prminimalni pro-o-o-o-

cenat armiranjacenat armiranjacenat armiranjacenat armiranja glavnom zategnutom armaturom u funkciji marke betona (fbk) i vrste

čelika (Sl. 94):

23

1,min 5.1 bk

v

fµ

σ= , bkf i vσ u MPa. ...................................................... (3.11)

Dodatno, u karakterističnim (lokalno najopterećenijim) presecima, minimalni koefi-

cijent armiranja, bez obzira na prethodno, ne sme biti manji od 0.25% za glatku

armaturu GA240/360, 0.20% za rebrastu RA400/500 ili BiA680/800 (Sl. 94, ispreki-

dane linije). Ove odredbe se ne odnose na masivne betonske elemente.

Sl. 94. Minimalni procenti armiranja

Dimenzionisanjem su odreñene potrebe za podužnom armaturom samo u karakteri-

stičnim presecima. Potreba za armaturom duž nosača, kada aksijalne sile mogu biti

zanemarene, se može odrediti prema liniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih sila, kojom se, grafički, odre-

ñuje sila koju armaturom treba prihvatiti duž nosača. Sila zatezanja u armaturi je

količnik momenta savijanja i kraka unutrašnjih sila:

uu

MZ

z= . ......................................................................................... (3.12)


92

Sl. 95. Linija zatežućih sila

Kako bi se linijom zatežućih sila obuhvatila i potreba za dodatnom podužnom

armaturom usled smicanja, to se „radna“ linija zatežućih sila odreñuje horizontal-

nom translacijom prethodne, momentne, za veličinu v, jednaku 75% statičke visine

preseka kada se smicanje osigurava samo vertikalnim uzengijama, odnosno 50%

statičke visine ako se za prijem smicanja koriste i kosa gvožña26.

Povijanje armature (i zategnute i pritisnute) izaziva skretne sileskretne sileskretne sileskretne sile, saglasno kotlovskoj

formuli (Sl. 96). Posledica skretnih sila je i pojava zatezanja upravno na ravan povi-

janja. U blizini ivice betonskog preseka ovo je posebno opasno, zbog mogućnosti

istiskivanja zaštitnog sloja betona. Intenzitet skretnih sila je obrnuto proporcionalan

radijusu povijanja, zbog čega je od izuzetne važnosti poštovanje pravila datih u

smislu oblikovanja armature (#1.9.5).

Sl. 96. Skretne sile izazvane povijanjem armature

Sl. 97. Korišćenje ploče za smeštaj oslonačke podužne armature

Kod oslonaca kontinualnih nosača T-preseka, deo oslonačke podužne armature (ne

više od 50% ukupne) se može smestiti u ploču, van širine rebra, i, time, se obezbe-

diti bolji uslovi ugradnje betona. Kod projektovanja razuñenih (nepravougaonih)

poprečnih preseka, po pravilu sa tankim rebrom, često se donji deo preseka oblikuje

proširen u vidu donje flanše, čime se omogućava komforniji smeštaj podužne arma-

ture (Sl. 97). Deo armature u širini rebra može biti povijen u gornju zonu (kosa

26 Kosa gvožña, pravca pružanja bliskog pravcu glavnih napona zatezanja, ne zahtevaju

dodatnu podužnu armaturu.


93

gvožña ili prijem negativnih momenata), a armatura van širine rebra se može poste-

peno ukidati, saglasno potrebi za armaturom.

Vertikalne vutevutevutevute se armiraju posebnom podužnom armaturom koja prati ivicu prese-

ka, a uzengije se na dužini vute projektuju promenljive visine. Podužna horizontalna

armatura, u ovom slučaju, ne mora biti preklopljena. Kod horizontalnih vuta, glavna

armatura se vodi neprekinuta (ili nastavljena) u širini nosača, a vuta dobija svoju

podužnu armaturu po visini nosača. Uobičajeno je da armatura vute ima posebne

uzengije, dok prava armatura nosača „zadržava“ svoje (Sl. 98).

Sl. 98. Armiranje vertikalnih i horizontalnih vuta

Kod slobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajeva grednih elemenata (konzole), koji su po pravilu opterećeni

koncentrisanim silama, podužnu glavnu armaturu iz gornje zone je poželjno poviti u

donju zonu, preko čela nosača, sidrenjem „unatrag“. Čelo nosača se obezbeñuje

horizontalnim ukosnicama (Sl. 99).

Sl. 99. Armiranje kraja prepusta

Nastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armature je neophodno kod greda velikog raspona ili kod

kontinualnih sistema. Pri izboru mesta nastavka, pravilno je armaturu nastavljati u

pritisnutoj zoni, na mestima najmanjih naprezanja. Tako se, u slučaju kontinualnih

greda, armatura donje zone nastavlja preklapanjem preko oslonca, dok je gornju

poželjno nastavljati u središnjoj zoni polja.

Sl. 100. Mesta nastavljanja armature kod kontinualnih greda

Po celoj dužini, gredni nosači se armiraju zatvorenim uzengijamauzengijamauzengijamauzengijama, načelno prema

dijagramu glavnih napona zatezanja. Osim vertikalnih uzengija, za prijem glavnih

napona zatezanja mogu biti upotrebljene i kose uzengije i kosa gvožña.


94

U linijskim AB nosačima uglavnom vlada ravno (ravansko) stanje napona. Glavni

naponi, saglasno Teoriji elastičnosti, nakon zanemarenja normalnih napona uprav-

nih na podužnu osu, mogu se odrediti na osnovu poznatih normalnih i smičućih

napona, σb i τ. Kako se za AB presek s prslinom, u zategnutoj zoni može zanemariti

normalni napon, to celom visinom zategnute zone postoje samo naponi smicanja27:

( )2 21,2

14

2 bσ σ τ= ⋅ ± ⋅ → nakon 0bσ = → 1,2σ τ= ± . ............................ (3.13)

Ovo je razlog čestom pogrešnom imenovanju problema kao smičućeg.

Na slici (Sl. 101) prikazan je smičući lom grede. Za kritičnu zonu karakteristične su

kose prsline (savijana sredina grede ima vertikalne prsline), koje se pružaju u pravcu

prostiranja glavnih napona pritiska (normalne na pravac glavnih napona zatezanja).

Sl. 101. Lom grede smicanjem, izvor [21]

Ipak, stalno valja imati na umu da lom nastupa usled prekoračenja glavnih napona

zatezanja, a ovi naponi, uprkos uvedenim idealizacijama, nisu posledica samo smi-

canja (generalno, reč je o simultano dejstvujućoj kombinaciji smicanja, savijanja i

torzije). Zato je ovu vrstu loma teško precizno predvideti (treba ovde pomenuti i još

uvek nedovoljno razumevanje fenomena), a sam lom se redovno dešava kao iznena-

dan.

Sl. 102. Naponi izazvani torzijom

27 Maksimalne vrednosti glavnih napona zatezanja, po visini preseka, su karakteristične za

zategnutu zonu i minimalnu širinu preseka.


95

Sl. 103. Pravac pružanja torzionih prslina

Sl. 104. Širina kosih prslina u funkciji načina poprečnog armiranja

Eksperimentalnim ispitivanjima (Sl. 104) je utvrñeno da najmanjom širinom kosih

prslina rezultuje primena kosih uzengija, zatim vertikalnih, a da je najveća širina

karakteristična za primenu koso povijene podužne armature (kosih gvožña). Sa dru-

ge strane, primena kosih uzengija je vezana sa problemima izvoñenja, zbog čega se

ne primenjuju često. Uz napomenute probleme vezane za kosa gvožña, armiranje

vertikalnim uzengijama ostaje dominantno i preporučeno.

Osim obezbeñenja glavnih napona zatezanja, uzengijama se postiže i utezanje pop-

rečnog preseka, što rezultira formiranjem troosnog stanja pritiska podužno pritis-

nutih elemenata (ili delova preseka, pri savijanju) sprečavanjem širenja i, time,

povećanu sposobnost prijema pritiska. Pokazano je da se, u pojedinim situacijama,

prima „obešeno“ opterećenje, kada one imaju funkciju, lokalno, podužne zategnute

armature (Sl. 91).

Sl. 105. Načini armiranja pravougaonog preseka uzengijama

Maksimalno rastojanje uzengija je ograničeno na 2/3 visine grede, odnosno na

30cm, odnosno na 15Ø, gde je Ø prečnik najtanje podužne armature (manju od ovih

vrednosti), kada nije prekoračena smičuća nosivost betona. U suprotnom, na dužini

osiguranja, maksimalan razmak uzengija je ograničen na 1/2 visine grede, odnosno

na 25cm. Dodatno, minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja


96

iznosi 0.2%. Procenat armiranja uzengijama je definisan na sledeći način, u funkciji

površine preseka šipke uzengije (auz) i razmaka uzengija (euz):

uzuz

uz

m a

b eµ ⋅=

⋅, .................................................................................... (3.14)

gde je sa m označena sečnost uzengija. Višesečne (više sečnosti od 2) se projektuju

u istom preseku i pružaju se celom visinom preseka (Sl. 105c). Poželjno je (jaka

preporuka) da se jednom uzengijom obuhvati ceo poprečni presek.

Uzengije se mogu projektovati kao zatvorene i preklopljene oko ugaone šipke ili

preklopljene oko kraće stranice. Ove druge su obavezne kod torziono opterećenih

preseka, ali i kod loših uslova sidrenja uzengija. Ukoliko se primenjuju, kosa gvožña

moraju biti postavljena na razmaku ne većem od 30cm ili 50% statičke visine prese-

ka.

Kada se deo oslonačke armature preseka spojenog sa pločom smešta u ploču,

uzengijama je, oblikovanjem, potrebno obuhvatiti kompletnu podužnu armaturu,

kako je prikazano na Sl. 97. Ovakvo oblikovanje uzengija može biti opravdano i

kada je njima potrebno primiti momente savijanja u ploči, upravno na pravac pruža-

nje grede (na primer kod rebrastih tavanica). Kod razuñenih poprečnih preseka (T, I),

formiraju se, u istom preseku, posebne uzengije rebra i flanši. Uzengije flanši mogu

biti zatvorene ili se sidriti u rebru (Sl. 106a). Kod ovakvih preseka, glavne napone

zatezanja je neophodno kontrolisati, osim u rebru, i u ploči (Sl. 106b).

Sl. 106. Uzengije kod razuñenih preseka

U zoni osloncaosloncaosloncaoslonca, naponi pritiska (od reakcije oslonca) normalni na pravac armature

poboljšavaju uslove sidrenja, kao i formiranje pritisnutih dijagonala.

Sl. 107. Trajektorije napona pritiska

Sl. 108. Završetak horizontalne armature vertikalnim i horizontalnim kukama


97

Ivične šipke donje zategnute armature moraju, slobodnim krajem, biti produžene

preko slobodnog oslonca i sidriti kukom. Sidrenje može biti u horizontalnoj ili verti-

kalnoj (češće) ravni (Sl. 108). U slučaju ograničenog prostora za sidrenje, početak

kuke mora biti bar 3cm udaljen od ivice oslonca, prečnik kuke Dr se proračunava, a

čelo nosača se prožima otvorenim horizontalnim uzengijama, za prijem sila cepanja.

U slučaju potrebe, izuzetno malih raspoloživih dužina, mogu se primeniti specijalni

načini sidrenja armature, poput zavarenih ploča ili šipki upravnog pravca (Sl. 109).

Sl. 109. Sidrenje podužne armature iznad oslonca

Oslonačke zone moraju biti projektovane dovoljne širine, a locirane na način koji ne

ugrožava ivični beton (Sl. 110).

Sl. 110. Loše projektovan položaj/širina oslonca

Indirektno oslIndirektno oslIndirektno oslIndirektno oslonjena gredaonjena gredaonjena gredaonjena greda treba imati glavnu armaturu sidrenu u horizontalnoj rav-

ni, kako bi se izbeglo poklapanje efekta cepanja betona usidrenjem šipki sa pravcem

prslina glavne grede (Sl. 111).

Sl. 111. Sidrenje glavne armature indirektno oslonjene grede

Kod armiranja kontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih greda moguć je izbor izmeñu racionalnijeg (manji utro-

šak čelika) armiranja povijanjem šipki iz donje u gornju zonu, kada deo povijene

armature, u svojim kosim delovima, može da preuzme i funkciju obezbeñenja glav-

nih napona zatezanja (diskutabilno!), i jednostavnijeg armiranja odvojenom armatu-

rom dve zone, te pravim šipkama (Sl. 114). U oba slučaja, naravno, usvojenim nači-

nom armiranja pokriva se potreba za armaturom definisana „pomerenom“ linijom

zatežućih sila.

Visoke gredeVisoke gredeVisoke gredeVisoke grede sa odnosom raspona prema visini u granicama izmeñu 2 i 5, orijenta-

ciono, armiraju se odvojenim šipkama gornje i donje zone, te vertikalnim uzengija-

ma, kojima treba prihvatiti ukupne glavne napone zatezanja. Od posebnog značaja


98

kod ovih nosača je (analogno zidnim nosačima) dobro usidrenje šipki glavne arma-

ture i obezbeñenje nosača horizontalnom armaturom celom dužinom grede. Glavna

armatura se celim ili većim iznosom prostire celim rasponom, u formi zatege (Sl.

112).

Za nosače sistema proste grede relativno velikih raspona, zbog uštede u utrošku

materijala, često se koriste nosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visine. Osim racionalizacije oblika

(visina preseka prati, otprilike, promenu momenata savijanja), nagib ivice siluete

prouzrokovan promenom visinom se može pogodno iskoristiti u cilju obezbeñenja

nagiba krovne ravni. Otud se ovakvi nosači najčešće primenjuju kao glavni krovni

nosači konstrukcija tipa industrijskih hala, pogotovu u situacijama kada su projek-

tovane kao montažne konstrukcije. Tada se redovno izvode horizontalne donje ivice

i nagnutih gornjih ivica, a u cilju dalje racionalizacije poprečni preseci se projektuju

T ili I-oblika (Sl. 77).

Sl. 112. Armiranje visokih greda: prosta i kontinualna greda

Kako je prirast visine kod ovakvih nosača, najčešće, linearan, a prirast momenta,

opet najčešće, paraboličan, to se maksimalna potreba za armaturom ne registruje u

presecima sa maksimalnim momentom savijanja. Na Sl. 113 prikazan je primer četiri

simetrične grede pravougaonog preseka raspona 10m, opterećene sopstvenom

težinom i ravnomerno raspodeljenim linijskim opterećenjem. Varirana je visina pre-

seka u sredini: visina preseka na krajevima je u svim slučajevima 60cm, a središnje

visine su 70, 100, 130 i 160cm. Na slici su prikazani dijagrami potrebe za poduž-

nom armaturom u donjoj zoni preseka. Već iz priloženog, očigledno je položaj pre-

seka sa maksimalno potrebnom armaturom zavisi od nagiba gornje ivice – većim

nagibima odgovaraju „kritični“ preseci bliži osloncima.


99

Sl. 113. Dijagrami promene potrebe za podužnom armaturom za različite A-nosače

U praksi, za grubu orijentaciju, mogu se kontrolisati preseci na trećini raspona. Čak

i ako ovim nije odreñena maksimalna potreba za armaturom, razlike nisu velike.

Prilikom armiranja ovakvih elemenata, pad potrebne armature u delu izmeñu kritič-

nih preseka se odražava i na pad usvojene armature – presek u sredini će imati istu

količinu armature kao i kritični preseci.


100

Sl. 114. Dva varijantna rešenja armiranja kontinualnih greda


101

3.2.3.2.3.2.3.2. STUBOVISTUBOVISTUBOVISTUBOVI

Stubovi su linijski elementi značajnih vrednosti aksijalnih sila pritiska. U betonskim

konstrukcijama se javljaju kao samostalni elementi ili u sklopu okvirnih sistema.

Najčešće su vertikalnog pravca pružanja.

3.2.1.3.2.1.3.2.1.3.2.1. OBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVA

U konstrukcijama su, osim za prijem i prenos aksijalnih naprezanja, zaduženi i za

prihvat momenata savijanja, koji prvenstveno potiču od horizontalnih dejstava. Ima-

jući na umu alternatvni karakter horizontalnih dejstava, stubovi se najčešće, prese-

kom i armiranjem, projektuju kao dvoosno ili jednoosno simetrični. Najčešće se

primenjuje pravougaoni oblik poprečnog preseka, kao najjednostavniji za izvoñe-

nje28. Alternativno, primenjuju se kružni i poligonalni oblici, a kod montažnih stu-

bova česta je primena razuñenih oblika preseka u cilju racionalizacije utroška

mateijala (Sl. 115). Načelno, stubom se smatraju elementi kod kojih je odnos strani-

ca poprečnog preseka manji od 5. U suprotnom, reč je o zidovima.

Sl. 115. Poprečni preseci stubova

U pojedinim situacijama, stubovi mogu biti opterećeni i značajnim momentima savi-

janja nastalim kao posledica delovanja gravitacionog opterećenja. Tada može biti

opravdano usvajanje nesimetrične dispozicije poprečnog preseka.

Minimalne dimenzije preseka stubova su, osim uslovima dobre ugradnje betona i

pravilnog konstruisanja betona, odreñeni i efektima izvijanja. Saglasno osetljivosti

na uticaje izazvane deformacijom (izvijanje) stubovi se mogu klasifikovati na kratke,

kod kojih ovi efekti mogu biti zanemareni proračunom, i vitke, kod kojih to nije slu-

čaj. Pri tome, momenti savijanja mogu biti orijentisani u pravcu jedne od glavnih osa

preseka stuba, kada je stub jednoosno savijan, ili u pravcu koji se ne poklapa ni sa

jednim od glavnih, kada je stub dvoosno, koso, savijan.

3.2.2.3.2.2.3.2.2.3.2.2. DIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVA

Kratki stubovi se dimenzionišu saglasno uticajima proizašlim iz analize elemen-

ta/konstrukcije prvog reda. Preseci su u stanju centričnog ili ekscentričnog pritiska

(u fazi malog ili velikog ekscentriciteta), a merodavna kombinacija opterećenja je, po

pravilu, ona kojom se minimiziraju aksijalne sile pritiska, a maksimiziraju momenti

28 S obzirom na silu pritiska, pravougaoni presek stubova je znatno racionalniji u odnosu na

gredne elemente.


102

savijanja. Kod stubova sa malim vrednostima momenta savijanja, parcijalni koefici-

jenti sigurnosti mogu uzeti povećane vrednosti, skladno rezultujućem dilatacionom

stanju. Centrično pritisnutim stubovima će, izvesno, odgovarati maksimalne vredno-

sti parcijalnih koeficijenata.

Potreba za podužnom armaturom stuba je u potpunosti odreñena osnovnim prora-

čunskim pretpostavkama graničnog stanja nosivosti i proizilazi kao rezultat zadovo-

ljenja uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila na nivou preseka, za poznat

odnos količina armatura uz pojedine ivice poprečnog preseka. Meñutim, kalkulacija

je, za praktične potrebe, zametna i zahteva pomoć odgovarajućih inženjerskih

pomagala. U slučaju jednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubova, to su interakcioni dijagrami,

kojima se daje veza izmeñu graničnih vrednosti momenata savijanja i aksijalne sile,

sa jedne strane, i potrebe za armaturom i graničnih dilatacija, sa druge. Daju se u

formi familije izo-krivih kojima se na polju Mu-Nu spajaju tačke iste potrebe za

armaturom. Paralelno, linije kojima se povezuju tačke istog dilatacinog stanja su

prave. U cilju postizanja univerzalnosti, dijagrami se daju u bezdimenzionalnom

obliku, preko bezdimenzionalnih vrednosti aksijalne sile (nu), momenta savijanja

(mu) i količine armature (µ – mehanički koeficijent armiranja):

uu

B

Nn

b d f=

⋅ ⋅,

2u

uB

Mm

b d f=

⋅ ⋅, v a v

B b B

A

f A f

σ σµ µ= ⋅ = ⋅ . ............................. (3.15)

Projektantima danas, naravno, na raspolaganju stoji i lepeza specijalizovanih sof-

tverskih alata kojima se rešavaju problemi ovog dimenzionisanja.

Sl. 116. Interakcioni dijagram za pravougaoni poprečni presek

Kod koso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih preseka, rešavanje problema odreñivanja potrebne količine

podužne armature je složeniji, već utoliko što, umesto dva, podrazumeva zadovo-

ljenje tri uslova ravnoteže. U opštem slučaju, presek opterećen momentom savijanja

čiji se pravac (napadni pravac) ne poklapa sa nekom od glavnih osa se savija oko ose

(pravac savijanja) koja se ne poklapa niti sa nekom od glavnih osa, niti sa napadnom

osom momenta. Ugao ose savijanja (rezultujuće neutralne linije) uvek pravi otklon

od napadne ose momenta ka osi manjeg momenta inercije idealizovanog preseka

(Sl. 117). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog rotaciono simetrično

armiranog preseka napadna osa momenta i

Granična nosivost nekog poprečnog preseka poznatog načina armiranja i količine

armature, te saglasno opštim proračunskim pretpostavkama, može biti definisana

kao maksimalni moment savijanja nekog napadn

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom si

temu Mxu-Myu-Nu, gde su

vce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne sile formiraju se

predmetni presek (Sl. 118a)

dilatacija ili jednoj vrednosti ugla savijanja nisu više krive u ravni, iako odstupanja,

često, nisu velika (Sl. 118b)

Sl. 118. Interakciona površ i

Rešenje problema odreñivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog

preseka podrazumeva odreñivanje

visinskog položaja zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim

silama (Sl. 119). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

korišćenjem odgovarajućeg softvera moguće doći do rešenja.

). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog rotaciono simetrično

armiranog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se poklapaju.

Sl. 117. Koso savijan presek



kao maksimalni moment savijanja nekog napadnog ugla, α, pri odreñenoj vrednosti

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom si

, gde su Mxu i Myu projekcije graničnog momenta na glavne pr

vce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne sile formiraju se interakcione površi

a). Geometrijski, tačke koje sad odgovaraju jednom stanju


b).

Interakciona površ i kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja


preseka podrazumeva odreñivanje rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog

sinskog položaja zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim

). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

korišćenjem odgovarajućeg softvera moguće doći do rešenja.


103

). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog rotaciono simetrično

osa savijanja se poklapaju.



, pri odreñenoj vrednosti

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom sis-

projekcije graničnog momenta na glavne pra-

erakcione površi za

. Geometrijski, tačke koje sad odgovaraju jednom stanju


kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja


rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog

sinskog položaja zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim

). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

Betonske konstrukcije – radna verzija

104

Sl. 119. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

U praksi se i dalje koriste približna rešenja. U tom smislu se često koristi pomoć

interakcionih dijagrama za koso savijane preseke (datih i u Prilozima Priručnika

PBAB) ili se problem koso savi

savijanih preseka. U ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dodatno, zadovoljenje

tzv. Bresler-ovog kriterijuma „recipročne sile“.

Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi sledećim izrazom

1 1 1 1

u ux uy uN N N N= + −

Nu granična vrednost aksijalne sile,

Nux i Nuy granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

Nu0 granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek.

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifik

cijom interakcione površi, kojom se umesto veze

120). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna. Tačka granične nosivosti na

zadatim ekscentricitetima se odreñuje kao tačka sekantne ravni odreñene sa tri ta

ke:

tačka A (0,0,1/Nu0) - odgovara

graničnoj aksijalnoj sili za centrično opt

rećen presek,

tačka B (ex,0,1/Nux)

maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na

ekscentricitetu ex′, pri čemu je

tačka C (0,ey,1/Nuy)

maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili n

ekscentricitetu ey′, pri čemu je

Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka

na interakcionoj površini) i

radna verzija - 13. novembar 2010

poljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije



PBAB) ili se problem koso savijanog preseka razlaže na dva problema jednoosno


ovog kriterijuma „recipročne sile“.

Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi sledećim izrazom

0

1 1 1 1

u ux uy uN N N N, ................................................................

granična vrednost aksijalne sile,

ednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek.

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifik

cijom interakcione površi, kojom se umesto veze Mx–My–N, daje veza

). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna. Tačka granične nosivosti na

tim ekscentricitetima se odreñuje kao tačka sekantne ravni odreñene sa tri ta

odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili za centrično opte-

) - odgovara

noj graničnoj aksijalnoj sili na

, pri čemu je ey = 0,

) - odgovara

noj graničnoj aksijalnoj sili na

, pri čemu je ex = 0.

1/N

u0

1/N

uy

A

DD’

C

1/Nu

ey

ye

Sl. 120. Bresler-ov približni postupak

Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka

na interakcionoj površini) i D’ (tačka na sekantnoj ravni, koju odr

poljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije



janog preseka razlaže na dva problema jednoosno


Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi sledećim izrazom:

......................................... (3.16)

ednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek.

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifika-

, daje veza ex–ey–1/N (Sl.

). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna. Tačka granične nosivosti na

tim ekscentricitetima se odreñuje kao tačka sekantne ravni odreñene sa tri tač-

1/N

ux

B

DD’

exxe

ov približni postupak

Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka D (tačka

(tačka na sekantnoj ravni, koju odreñuje Bresler-ov


105

kriterijum) na Sl. 120Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.. Iako je, zbog konveksnosti

interakcione površi, prikazani trougao izvesno unutar interakcione površi, ovim nije

obezbeñena konzervativnost postupka a priori. Treba primetiti da tačka sekantne

ravni D’ nije unutar trougla.

3.2.3.3.2.3.3.2.3.3.2.3. ARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVA

Minimalni poprečni presek podužne armature stubova je Ø12, minimalni ukupni

koeficijent armiranja za kratke stubove je 0.6%, a maksimalni 6%. Ipak, projektanti-

ma je preporučena primena nešto većih minimalnih koeficijenata u praksi, izmeñu

0.8 i 1.0%. Kod vitkih elemenata, minimalni procenat armiranja je funkcija vitkosti,

na sledeći način29:

min 0.4% 0.6%50

λµ = − ≥ . ................................................................ (3.17)

Šipke podužne armature treba da budu simetrično rasporeñene, tako da im se težiš-

te poklapa sa težištem preseka. Kod razuñenih i nesimetričnih preseka, takoñe treba

težiti ispunjenju ovog zahteva, bar približno. Broj šipki podužne armature treba da

zadovolji i uslov da se u svakom uglu preseka nañe bar jedna (Sl. 121).

Sl. 121. Minimalan broj podužnih šipki

Maksimalno meñusobno rastojanje podužnih šipki ne sme biti veće od 40cm, a ne-

ugaone šipke podužne armature treba obuhvatiti dodatnim zatvorenim uzengijama

u cilju sprečavanja njihovog lokalnog izvijanja (Sl. 122).

Sl. 122. Maksimalno rastojanje podužnih šipki

Kod jako armiranih preseka poželjno je grupisanje šipki podužne armature u uglo-

vima preseka, jer su tamo najefikasnije (Sl. 123, desno).

29 Dati izraz je čest predmet kritika i teško ga je opravdati.


106

Sl. 123. Uzengije razuñenih preseka i grupisanje podužne armature

Minimalni profil uzengija je Ø6, za podužnu armaturu do Ø20, odnosno Ø8, za

podužne profile veće od Ø20. Uzengije na konkavnim uglovima stuba razuñenog

preseka treba prekinuti kako bi se izbegla mogućnost izbijanja zaštitnog sloja.

Umesto toga, treba predvideti preklapanje zatvorenih ili otvorenih uzengija (Sl. 123).

U cilju obezbeñenja od lokalnog izvijanja pritisnutih šipki, razmak izmeñu uzengija

stubova je ograničen na 15 prečnika najtanje šipke podužne armature, manju

dimenziju presek ili 30cm (najmanja od ove tri). Maksimalni hod spirale spiralno

armiranih stubova je ograničen na 20% prečnika betonskog jezgra, odnosno na 8cm

(Sl. 124). Minimalni hod spirale je definisan opštim pravilima za armiranje.

Sl. 124. Razmak uzengija i hod spirale

Primena spiralno armiranih stubova je, Pravilnikom, ograničena na centrično pritis-

nute stubove vitkosti ne veće od 50, kružnog ili mnogougaonog poprečnog preseka

prečnika ne manjeg od 20cm. Spiralna armatura se završava punim krugom u ravni

poprečnog preseka, sidrenjem unutar mase betonskog preseka u minimalnoj dužini

od 30Ø bez kuke. Nastavljanje se sprovodi na dužini ne manjoj od 30Ø uz dodatno

sidrenje krajeva bez kuka, za dužinu ne manju od 20Ø (Sl. 125).

Sl. 125. Sidrenje i nastavljanje spiralne armature

3.2.4.3.2.4.3.2.4.3.2.4. VITKI STUBOVIVITKI STUBOVIVITKI STUBOVIVITKI STUBOVI30303030

Uticaji na krajevima stuba, aksijalne sile i momenti ili, ekscentrična aksijalna sila (na

ekscentricitetu e = Mu/Nu31, izazivaju deformaciju (ugib) stuba. Ovim ugibom,

30 Na ovom mestu, stub se smatra zasebnim elementom ili izdvojenim iz konstrukcije.

ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno,

količina potrebne podužne armature. Budući da su stubovi opterećeni značajnim

aksijalnim silama, prirast momenta izazvan ugibom može biti značaja

zanemarenje može za posledicu imati značajan podbačaj u količini armature. Pro

lem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka (vitk

ji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast ugiba

nelinearan (Sl. 126). Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje ravnote

nog stanja nedeformisanog stuba nije zadovoljavajuće tačnosti, nego je od interesa

analizirati ravnotežno stanje deformisanog elementa, sag

(teorija velikih deformacija).

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno nelin

arnim. Simultano obuhvatanje dve nelinearnosti (prethodna je bila geometrijska) je, i

na nivou izdvojenog stuba, ra

nostavljene metode, zasnovane na modifikovanim uticajima prvog reda (proisteklim

iz analize konstrukcije).

Sl. 126. Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilno

dolazi do neograničeno velikog deformisanja (

menta (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (

izvijanja stuba (li):

2

2ci

EIP

l

π= , il k l= ⋅

gde se pod dužinom izvijanja razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka

infleksije. Dužina izvijanja je osnovni parametar

efekte izvijanja. Za aksijalno opterećene stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor

efektivne dužine k nalazi se u granicama od

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (

31 S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku

(indeks – u).



aksijalnim silama, prirast momenta izazvan ugibom može biti značaja

zanemarenje može za posledicu imati značajan podbačaj u količini armature. Pro

lem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka (vitk

ji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast ugiba/momenta sa aksijalnom sil

Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje ravnote


analizirati ravnotežno stanje deformisanog elementa, saglasno teoriji drugog reda

(teorija velikih deformacija).

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno nelin


na nivou izdvojenog stuba, računski zametno, zbog čega se u praksi koriste poje


Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila Pc (Euler-ova kritična sila), pod kojom

dolazi do neograničeno velikog deformisanja (Sl. 126) aksijalno opterećenog el

menta (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (

l k l= ⋅ , ................................................................

žinom izvijanja razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka

Dužina izvijanja je osnovni parametar – mera – osetljivosti elementa na


nalazi se u granicama od 0.5 1.0k≤ ≤ (Sl. 127), dok je u slučaju

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (

S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku


107



aksijalnim silama, prirast momenta izazvan ugibom može biti značajan, a njegovo

zanemarenje može za posledicu imati značajan podbačaj u količini armature. Prob-

lem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka (vitki-

sa aksijalnom silom je

Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje ravnotež-


lasno teoriji drugog reda

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno neline-


čunski zametno, zbog čega se u praksi koriste pojed-


Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

ova kritična sila), pod kojom

) aksijalno opterećenog ele-

menta (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (EI) i dužine

.......................................... (3.18)

žinom izvijanja razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka

osetljivosti elementa na


), dok je u slučaju

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (Sl. 128).

S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku


108

Sl. 127. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Sl. 128. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima

Maksimalne poprečne deformacije ose stuba i maksimalni prirast momenta savijanja

usled uticaja normalnih sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo

oblast stuba koja može biti merodavna za kontrolu granične nosivosti preseka.

Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba

dalji proračun se može sprovesti n

stubu dužine li. U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana radij

som inercije daje parametar

ii

l Al

i Iλ = = ⋅ . ................................

Sl. 129. Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji

32 U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima

tog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler

no, stalno je prisutan i problem obuhvatanja efekata prslina kroz redukciju savojne krutosti.


icijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima


sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo


Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba

dalji proračun se može sprovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem

U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana radij

som inercije daje parametar vitkost stuba:

................................................................

Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji

U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastično uklješteni i različ

tog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler-ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije. Doda


icijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima


sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo


Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba32

a izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem

U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana radiju-

................................................. (3.19)

Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji

elastično uklješteni i različi-

ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije. Dodat-


Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni

podužnih i poprečnih okvira (ne figurišu kao samostalni elementi). Uslovi oslanjanja,

a samim tim i deformacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na

veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (

na po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem odreñ

vanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno ko

pleksnim, i samo približno rešivim.

U praksi je uobičajeno odreñivan

za odreñivanje efektivne dužine stuba (

Ovim je uveden uticaj stepena uklještenja krajeva stubova na dužinu izvijanja. Za

uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu

vezan kraj stuba koeficijent

koeficijentima k, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

k - koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u

njene vrednosti dužine izvijanja. Takoñe, bez obzira na rezultat, ne preporučuje se

usvajanje koeficijenta efektivne dužine manjeg od 0.85.

Sl. 130. Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi s

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja supro

nih krajeva greda kruto vezanih u posmatranom čvoru. Tako konzolna greda neće

uopšte doprinositi povećanju stepena uklještenja stuba, te njenu krutost ne treba

uračunavati u sumu krutosti greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno vez

na smanjuje stepen uklještenja stuba, zbog čega, prilikom sračunavanja krutosti

greda, njenu krutost treba redukovati. Evrokodom je predložena redukcija krutosti

za 50% preko faktora redukcije

( )

(/

/C C C

B B B

E I lk

E I lα=

⋅∑∑

Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni



veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (Sl. 129

na po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem odreñ

vanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno ko

snim, i samo približno rešivim.

U praksi je uobičajeno odreñivanje dužine izvijanja stubova saglasno nomogramima

za odreñivanje efektivne dužine stuba (Sl. 130).


uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće k=0, dok će za zglobno

vezan kraj stuba koeficijent k težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa odreñenim

, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju potc


usvajanje koeficijenta efektivne dužine manjeg od 0.85.

Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi s

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja supro



ati u sumu krutosti greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno vez



edukcije α (Sl. 131):

))/

C C C

B B B

E I l

E I l. ................................................................


109

Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni deo



Sl. 129) i njena prome-

na po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem odreñi-

vanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno kom-

je dužine izvijanja stubova saglasno nomogramima


=0, dok će za zglobno

težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa odreñenim

, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

protivnom dobijaju potce-


Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja suprot-



ati u sumu krutosti greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno veza-



......................................... (1.20)


110

Sl. 131. Odreñivanj

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu

za različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na

Sl. 132. Uticaj vitkosti na graničnu nosivost

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti poprečnog preseka u

smislu momenta savijanja za odreñi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu količ

nu armature u preseku. Prava linija odgovara teorijs

drugog reda ne postoje, a nosivost preseka je uslovljena proračunom koji uvažava

materijalnu nelinearnost33. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji drugog reda.

Za niske vitkosti, deformacija štapa ima zanemarljiv u

nosivost, koja se dostiže iscrpljenjem nosivosti kritičnog poprečnog preseka. Sa

povećanjem vitkosti (λ2) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična nosivost je

još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Za stubove veli

rast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u stanju da prati

prirastom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je dostignuta pre

iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti.

33 Dimenzionisanjem preseka saglasno g

nost, preko nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona.


Odreñivanje k – koeficijenata krajeva stuba S2

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu

za različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na Sl. 132.

Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba i vrsta sloma u funkciji vitkosti


smislu momenta savijanja za odreñi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu količ

nu armature u preseku. Prava linija odgovara teorijskoj nultoj vitkosti stuba. Uticaji


. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji drugog reda.

Za niske vitkosti, deformacija štapa ima zanemarljiv uticaj na njegovu graničnu


) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična nosivost je

još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Za stubove velikih vitkosti (



iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti.

Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj nosivosti uvažena je materijalna nelinea

nost, preko nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona.

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu e,

i vrsta sloma u funkciji vitkosti


smislu momenta savijanja za odreñi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu količi-

koj nultoj vitkosti stuba. Uticaji


. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji drugog reda.

ticaj na njegovu graničnu


) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična nosivost je

kih vitkosti (λ3), pri-



raničnoj nosivosti uvažena je materijalna nelinear-

Saglasno ovome postavljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i

vitke (Sl. 133). Prema Pravilniku, kratkima se sma

voljeno:

0125 2 MMλ ≤ ⋅ −

Momenti na krajevima stuba,

stranu stuba. Po apsolutnoj vrednosti,

opterećen, ovaj odnos se usvaja jednakim jedinici. Ovim čak i stub vitkosti 75, u

situaciji najpovoljnije distribucije momenta

Osim ovoga, stub se smatra kratkim i u situacijama kada je dominantno savijan.

Pravilnik ovo definiše sledećim uslovima, preko odnosa ekscentriciteta aksijalne sile

i odgovarajuće dužine stranice preseka (visine)

1

1

/ 3.5 za 75

/ 3.5 / 75 za 75

e d

e d

λλ λ

≥ ≤≥ ⋅ ≥

Momentima savijanja prvog reda, za

tricitet aksijalne sile prvog reda

aksijalne sile. No, kako je, u opštem slučaju, moment savijanja promenljiv po dužini

stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi

reda (Okvir 4):

1 02 01 02, 01,/ 0.65 0.35 , 0.65 0.35u u u u ue M N e e M M M= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub

kojom se procenjuju dodatni uticaji (momenti savijanja) izazvani izvijanjem mora

biti sprovedena. Ovom analizom se razmatraju svi fenomeni koji mogu bitno da

opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog

su još i efekti geometrijskih netačnosti (imperfekcija), kao i reološki efekti.

Okvir 4Okvir 4Okvir 4Okvir 4

Slično, i prema Evrokodu se odreñuje ekvivalentni ekscentricitet prvog reda:

1 02, 01,e M N M M M= = ⋅ + ⋅

avljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i

Pravilniku, kratkima se smatraju oni stubovi kod kojih je

02M

, ................................................................

Momenti na krajevima stuba, M01 i M02, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu

stranu stuba. Po apsolutnoj vrednosti, M02 je veći od M01, a ukoliko je stub centrično


situaciji najpovoljnije distribucije momenta savijanja, može biti tretiran kao kratak.



i odgovarajuće dužine stranice preseka (visine):

/ 3.5 za 75

/ 3.5 / 75 za 75

λλ λ

≥ ≤≥ ⋅ ≥

. ...............................................................

Sl. 133. Klasifikacija stubova

Momentima savijanja prvog reda, za nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara

tricitet aksijalne sile prvog reda, e1. Načelno, reč je o odnosu momenta savijanja i


stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi ekvivalentnog momenta savijanja prvog

1 02 01 02, 01,/ 0.65 0.35 , 0.65 0.35u u u u ue M N e e M M M= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub je vitak i dodatna analiza



opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog


Okvir 4Okvir 4Okvir 4Okvir 4 Ekvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog reda


1 02, 01,/ , 0.6 0.4u u u u ue M N M M M= = ⋅ + ⋅ .


111

avljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i

traju oni stubovi kod kojih je zado-

...................................... (3.21)

, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu

, a ukoliko je stub centrično


savijanja, može biti tretiran kao kratak.



............................... (3.22)

nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara ekscen-

. Načelno, reč je o odnosu momenta savijanja i


ekvivalentnog momenta savijanja prvog

1 02 01 02, 01,u u u u u ,. ........... (3.23)

je vitak i dodatna analiza



opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog reda, to




112

Dijagramom je prik

du, ovaj ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta

3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1. Ukupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitet

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne

već učinjeno za ekscentricitet prvog reda.

jalne sile, nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih pojedina

nih ekscentriciteta (Sl. 134)

• ekscentricitet prvog reda,

• ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni),

• ekscentricitet usled tečenja,

• ekscentricitet drugog reda,

0 2 2tot a Ie e e e e e eφ= + + + = +

Sl. 134. Parcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet

Prva tri imaju „karakter“ ekscentriciteta prvog reda, zbog čega su i grupisana u vidu

ekscentriciteta eI. Ekscentricitetom usled netačnosti

dimenzionalne netačnosti i nepouzdanosti položaja i pravca delovanja aksijalnih

sila. Domaći propisi ga definišu kao (

02 cm / 300 10 cmae l< = <

ili preko dodatnog nagiba34

1/150 za jednospratne okvire

1/ 200 za visespratne okviretgα

=

34 Za horizontalno pomerljive konstrukcije.


Dijagramom je prikazana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno Evrok

du, ovaj ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta

Ukupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitet

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne

o za ekscentricitet prvog reda. Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet aks

jalne sile, nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih pojedina

):

ekscentricitet prvog reda, e0,

ricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni), ea,

ekscentricitet usled tečenja, eφ, i

ekscentricitet drugog reda, e2:

0 2 2tot a Ie e e e e e e= + + + = + . ..............................................................

Parcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet


Ekscentricitetom usled netačnosti pri izvoñenju obuhvataju se


sila. Domaći propisi ga definišu kao (Sl. 135a):

2 cm / 300 10 cm< = < , ..............................................................

34 (Sl. 135b):

1/150 za jednospratne okvire

1/ 200 za visespratne okvire. ..................................................

Za horizontalno pomerljive konstrukcije.

azana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno Evroko-

du, ovaj ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta e02.

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne sile, kako je to

Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet aksi-

jalne sile, nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih pojedinač-

,

.............................. (3.24)


pri izvoñenju obuhvataju se


.............................. (3.25)

.................. (3.26)


113

Sl. 135. Računska imperfekcija

Tečenje betona kod pritisnutih vitkih armiranobetonskih stubova izaziva povećanje

ugiba, a samim tim i smanjenje njihove nosivosti. Tačan proračun ovih efekata pod-

razumeva upotrebu složenog matematičkog aparata (isprskao presek, nelinearan

zakon tečenja, redistribucija naprezanja beton-čelik i dr.). Zbog toga se može smat-

rati opravdanim korišćenje približnih metoda proračuna, kao i postavljanje odgova-

rajućih kriterijuma kada uticaj tečenja betona nije neophodno obuhvatiti proraču-

nom. Zbog jednostavnosti primene, analiza uticaja efekata tečenja betona se izdvaja

posebno prilikom dokaza granične nosivosti vitkog armiranobetonskog stuba. Efekti

tečenja se u proračun uvode putem procene ekscentriciteta usled tečenja35.

Prema PBAB87, efekti tečenja mogu biti zanemareni proračunom ako je ispunjen bar

jedan od sledeća tri uslova:

50λ < , 0 / 2e d > ili 0.2g qN N≤ ⋅ , ...................................................... (3.27)

gde su Ng i Nq eksploatacione vrednosti aksijalne sile pritiska usled stalnog i usled

ukupnog opterećenja.

Ukoliko ni jedan od uslova nije ispunjen, efekti tečenja se uvode preko dodatnog

ekscentriciteta njime izazvanog:

( ) 10 e 1

E

Eg ae e e

αα

ϕ−

= + ⋅ −

, gE

E

N

Nα = ,

2

20

b bE

E IN

l

π= . ............................. (3.28)

NE je Euler-ova sila izvijanja za stub krutosti preseka EbIb i dužine izvijanja l0.

Konačno, ekscentricitet drugog reda je faktor koji primarno razlikuje metode prora-

čuna efekata vitkosti, a nekoliko postupaka je prikazano u nastavku.

Sa odreñenim parcijalnim i ukupnim ekscentricitetom, kritični presek stuba se

dimenzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo Mu2, koji

odgovara ukupnom ekscentricitetu etot (moment savijanja prvog reda Mu odgovara

ekscentricitetu I reda e0 < etot).

35 U praksi se, osim na ovaj način, primenjuju i postupci kojima se modifikuje veza izmeñu

napona i dilatacija u betonu za dugotrajna opterećenja, kao i postupci kojima se, na račun

tečenja, redukuju krutosti armiranobetonskih elemenata.


114

No, kako god odreñeni uvećani momenti bili, stub uvek treba

koji se nalaze izvan dužine izvijanja. Naime, može se dogoditi da uticaji prvog reda

na krajevima nepomerljivog stuba

imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima)

nom armature nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja.

3.2.4.2.3.2.4.2.3.2.4.2.3.2.4.2. Postupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnosti

Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti izmeñu 25 i 75 (područje um

reno vitkih stubova, Sl. 133

ekscentričnosti36.

Postupak bazira na izračunavanju ukupnog, uvećanog, ekscentriciteta aksijalne sile

kao zbira parcijalnih (3.24)

e2, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda,

2

250.1 , kada je 0 0.30

100e d

λ −= ⋅ ⋅ + ≤ ≤

2

25 , kada je 0.30 2.50

160e d

λ −= ⋅ ≤ ≤

2

253.5 , kada je 2.50< 3.50

160e d

λ − = ⋅ ⋅ − <

Sl. 136. Zavisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

3.2.4.3.3.2.4.3.3.2.4.3.3.2.4.3. Veza MVeza MVeza MVeza M----NNNN----κκκκ i mi mi mi modelodelodelodel

Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod st

bova vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda n

vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni složeniji po

tupci, koji se odlikuju većom tačnošću. Naravno, kao tačniji, ovi postupci mogu biti

primenjeni i u polju umereno vitkih stubova. Jedan od najpogodnijih (najmanje

nepogodnih) za praktičnu primenu je postupak model

36 Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.


No, kako god odreñeni uvećani momenti bili, stub uvek treba proveriti i u presecima


na krajevima nepomerljivog stuba (linearno promenljivi momenti po dužini stuba

imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima) rezultuju većom potrebn

nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja.

Postupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnosti

Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti izmeñu 25 i 75 (područje um

Sl. 133) dozvoljena je primena približnog postupka dopunske


), tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda,

, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda, e0, na sledeći način (

0 00.1 , kada je 0 0.30e e

d d= ⋅ ⋅ + ≤ ≤ , ................................

0 , kada je 0.30 2.50e

d= ⋅ ≤ ≤ , ................................

0 03.5 , kada je 2.50< 3.50e e

d d = ⋅ ⋅ − <

. ............................

avisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

odelodelodelodel----stub metodstub metodstub metodstub metod

Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod st

bova vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda n

vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni složeniji po



godnih) za praktičnu primenu je postupak model-stub. Kao osnovu, ovaj

Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.

proveriti i u presecima


(linearno promenljivi momenti po dužini stuba

rezultuju većom potrebnom količi-

Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti izmeñu 25 i 75 (područje ume-

primena približnog postupka dopunske


, tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda,

, na sledeći način (Sl. 136):

................................. (3.29)

........................................... (3.30)

............................ (3.31)

avisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod stu-

bova vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda njime

vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni složeniji pos-



stub. Kao osnovu, ovaj

Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.

metod koristi poznatu vezu na nivou preseka izmeñu momenta savijanja, aksijalne

sile i njegove krivine, tzv MMMM

za različite vrednosti N. Pri tome, krivina preseka se definiše kao (

na):

b a

h

ε εκ += . ................................

Za praksu je u pogodniji bezdimenzionalni oblik

gde su m, n i k bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i kr

vine preseka:

, , 10u u

b b b b

M Nm n k hA df A f= = = κ ⋅ ⋅

Prednost bezdimenzionalnog ob

te dimenzija poprečnog preseka.

Okvir 5Okvir 5Okvir 5Okvir 5

Posledica ove pretpostavke je opravdanost upotrebe maksimalnih koeficijenata

sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj

odgovaraju nešto veće vrednosti.

Iako se uvedenom pretpostavkom maksimalna moguća krivina, k, drastično

redukuje sa 13.5 (10+3.5) promila na, za rebrasti čelik, na primer, 5.5 (2+3.5),

posledice nisu drastične. Najbolje je ovo ilustro

su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima kr

vina.

Očigledno je da je već interakcionom linijom za krivinu (bezdimenzionalnu) od

5.5, praktično, „pokrivena“ kompletna granična nosivost preseka.

Za uspostavljanje ove veze

nju loma, s tim što se, prema PBAB87,

razloga (Okvir 5) ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih

max va

aEσε = . ................................

Za presek poznatih karakteristika i za pozna

ne sile Nu moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje (

odgovarajuću maksimalnu krivinu (

maxκ), na osnovu uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnji


MMMM----NNNN----κ vezuκ vezuκ vezuκ vezu, koju je pogodno predstavljati u obliku

Pri tome, krivina preseka se definiše kao (

.....................................................................................

Za praksu je u pogodniji bezdimenzionalni oblik M-N-κ veze, odnosno

bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i kr

3 , , 10u u

b b b b

M Nm n k hA df A f= = = κ ⋅ ⋅ ................................

Prednost bezdimenzionalnog oblika veze je njena nezavisnost od kvaliteta betona,

te dimenzija poprečnog preseka.

Okvir 5Okvir 5Okvir 5Okvir 5 Ograničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armature


sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj granici razvlačenja

odgovaraju nešto veće vrednosti.



posledice nisu drastične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde

su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima kr

vina.



ove veze uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom st

, s tim što se, prema PBAB87, dilatacije zategnute armature

ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih izduženja čelika:

................................................................

Za presek poznatih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične norma

moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje (

odgovarajuću maksimalnu krivinu (maxκ). Svakoj krivini κi (u intervalu od 0 do

), na osnovu uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara jedin


115


, koju je pogodno predstavljati u obliku M(κ),

Pri tome, krivina preseka se definiše kao (h je statička visi-

..................... (3.32)

veze, odnosno m-n-k veza,

bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i kri-

.......................................... (3.33)

lika veze je njena nezavisnost od kvaliteta betona,


granici razvlačenja



vano narednim dijagramom gde

su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima kri-



uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom sta-

dilatacije zategnute armature iz praktičnih

izduženja čelika:

................................................ (3.34)

tu vrednost spoljašnje granične normal-

moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje (maxMu) i

(u intervalu od 0 do

h sila, odgovara jedins-


116

tveno stanje dilatacija (εai i

očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (

nak spoljašnji moment savijanj

koji će, uz datu silu Nu, da izazove pretpostavljenu krivinu:

ui riM M= ................................

Sl. 137. Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini

Ilustracije radi, prikazan je oblik

propisa (Sl. 138a) i prema odredbama Evr

ćenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom

korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente armiranja preseka. Posma

rajući ovu drugu (za koju nij

nute armature), očigledno je da kriva koja predstavlja ovu vezu ima dva loma. Oba

odgovaraju lomu bilinearnog radnog dijagrama čelika za armiranje. Prvi lom se javlja

kada dilatacija gornje (pritisnute)

a drugi kada se to dogodi sa dilatacijom donje (zategnute) armature.

Kako je prema odredbama PBAB'87 dilatacija zatezanja ograničena baš na vrednost

koja odgovara granici razvlačenja, to

propisa, izostavljen. No, svakako, treba primetiti da je prirast momenta savijanja

posle ove granice minimalan što odgovara i ranije iznešenoj konstataciji.

Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisn

rešiti stanje unutrašnjih sila i deformacija elementa, problem koji je zbog uticaja

normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog nelin

arnih deformacija preseka pri datim spoljnim opterećenjima j

aran. Posmatrajmo konzolu sa

Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom

vrhu, kod koje, zbog materijalne nelinearnosti, spoljašnjim linearno promenljivim


i εbi), a time i moment unutrašnjih sila Mri

očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (Sl. 137). Njemu mora da bude je

nak spoljašnji moment savijanja Mu, čime je definisana veličina spoljašnjeg momenta

, da izazove pretpostavljenu krivinu:

.........................................................................................

Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini κi

Ilustracije radi, prikazan je oblik m–n–k veze sračunate prema odredbama domaćih

a) i prema odredbama Evrokoda (Sl. 138b) za nivo aksijalnog opter

ćenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom -0.30, uz pretpostavku

korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente armiranja preseka. Posma

rajući ovu drugu (za koju nije primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije zate



kada dilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici razvlačenja,


Sl. 138. Veze m-n-k


koja odgovara granici razvlačenja, to je treći deo m–n–k veze, u slučaju domaćih



Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisnutog vitkog stuba potrebno je


normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog nelin

arnih deformacija preseka pri datim spoljnim opterećenjima još i materijalno nelin

Posmatrajmo konzolu sa Sl. 139.

Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom


ri, pri kojem ostaje

). Njemu mora da bude jed-

, čime je definisana veličina spoljašnjeg momenta

......................... (3.35)

veze sračunate prema odredbama domaćih

b) za nivo aksijalnog optere-

0.30, uz pretpostavku

korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente armiranja preseka. Posmat-

e primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije zateg-



armature dostigne dilataciju na granici razvlačenja,



veze, u slučaju domaćih



utog vitkog stuba potrebno je


normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog neline-

oš i materijalno neline-

Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom H u



117

momentima savijanja odgovara nelinearna raspodela krivina preseka, treba rešiti iz

Teorije konstrukcija poznati integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

/l l

a M x M x EI x dx M x x dx= = κ∫ ∫ ....................................... (3.36)

Ako se zna zakon promene krivine preseka u funkciji veličine momenta savijanja,

veličine normalne sile pritiska, količine i rasporeda armature u preseku date geome-

trije (m-n-k veza), onda se pomeranje može sračunati korišćenjem Mohr-ove ana-

logije ili numeričkom integracijom. Ako je stub visok i pritisnut, tada se proračun u

principu sprovodi iterativno, jer svakom novosračunatom stanju pomeranja odgova-

ra novo stanje momenata savijanja. Ako proračun deformacija i sila ne konvergira -

pomeranja usled normalnih sila rastu brže od prirasta nosivosti preseka pri poveća-

nju krivina - lom usled gubitka stabilnosti.

Sl. 139. Pomeranje vrha konzole – materijalna nelinearnost

Umesto ovakvog, egzaktnog, rešenja, može se iskoristiti iskustvo teorije elastične

stabilnosti kojim se oblik deformisane ose stuba može dovoljno tačno aproksimirati

sinusnim zakonom. Ovo je pretpostavka modelmodelmodelmodel----stub postupkastub postupkastub postupkastub postupka.

Model–stub je, dakle, konzolni stub za koji se pretpostavlja da je usled uticaja prvog

i drugog reda pretrpeo deformaciju u obliku sinusnog polutalasa. Najveći moment

savijanja prvog i drugog reda (stub je poprečno neopterećen izmeñu krajeva) se jav-

lja u preseku u uklještenju. Uz opravdano zaokruženje π2~10, pomeranje vrha stuba

može da se izrazi u funkciji, za sada nepoznate, krivine preseka u uklještenju (κ0):

2 22 0 0 0 00.4 0.1 , 2e l l l l= ⋅ κ ⋅ = ⋅ κ ⋅ = ..................................................... (3.37)

Ranije je (3.24) ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta eI i

ekscentriciteta drugog reda e2:

21 2 1 0 00.1tote e e e l= + = + ⋅ κ ⋅ ................................................................. (3.38)

ili, u bezdimenzionalnom obliku:

2 2

0 01 10 00.1 0.1tote l le e d

d kd d d d d a d

= + ⋅ κ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ − .............................. (3.39)

gde je: k0 – bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju, d – visina poprečnog

preseka stuba, a h=d-a – statička visina preseka stuba. U nastavku će bezdimenzio-


118

nalni ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne eksce

tricitete:

2 1 , , tottot

e e ee e e

d d d→ → →

Na dijagramu etot-k0, linija prome

porastom promenljive krivine.

dimenzionalnom normalnom silom

zionalnosti:

m M e

f kn N d d

= = =⋅

Sada prava (3.39) daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u uklješt

nju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva

sila poprečnog preseka (Sl. 140

tičnom preseku se povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unu

rašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti na onoj vrednosti krivin

odgovara jednakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne sile (jednakost

momenata savijanja). Na Sl. 140

spoljašnjeg opterećenja.

Sl. 140. Presek linije spoljašn

Sl. 141. Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature

Ukoliko kriva unutrašnjeg ekscentriciteta sve vreme ostaje ispod prave spoljašnjeg

ekscentriciteta (Sl. 141a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg

momenta savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije. Gr

nični slučaj odgovara situaciji u kojoj prava spoljašnjeg ekscentriciteta tangira krivu

unutrašnjeg ekscentriciteta (

jent armiranja preseka, tj. potrebna količina armature u preseku. Ovo znači da bi


nalni ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne eksce

2 12 1 , ,

e ee e e

d d d→ → →

, linija promene ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa

porastom promenljive krivine. Podelimo li sada bezdimenzionalnu

dimenzionalnom normalnom silom n, svešćemo M–N–κ vezu na isti oblik bezdime

( )0f k ................................................................

daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u uklješt

nju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva (3.40) daje zakon promene unu

Sl. 140). Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja krivina u kr

tičnom preseku se povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unu

rašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti na onoj vrednosti krivin


Sl. 140 to je prikazano presekom krive unutrašnjeg i prave

Presek linije spoljašnjeg i unutrašnjeg ekscentriciteta

Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature


a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg

momenta savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije. Gr


citeta (Sl. 141b). Ovim slučajem je definisan minimalni koefic


nalni ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne ekscen-

ne ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa

Podelimo li sada bezdimenzionalnu m–n–k vezu bez-

na isti oblik bezdimen-

....................................... (3.40)

daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u uklješte-

daje zakon promene unutrašnjih

Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja krivina u kri-

tičnom preseku se povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unut-

rašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti na onoj vrednosti krivine k0’ koja


to je prikazano presekom krive unutrašnjeg i prave

jeg i unutrašnjeg ekscentriciteta

Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature


a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg

momenta savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije. Gra-


b). Ovim slučajem je definisan minimalni koefici-



119

iterativnim postupkom po količini armature mogao da se reši problem dimenzioni-

sanja stuba, a ne samo kontrole usvojene armature.

Za druge tipove nepomerljivih stubova (stubovi koji nisu konzole) bez poprečnog

opterećenja, za "model-stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela stu-

ba (deo stuba izmeñu tačaka infleksije) - konzola - čija je visina jednaka polovini

dužine izvijanja (Sl. 142). Primena model-stub metode je ograničena, prema

PBAB87, na nepomerljive stubove sa vitkošću manjom od 140 (maksimalna dozvo-

ljena vitkost AB elemenata). Linearno promenljivi moment prvog reda se mogu

zameniti ekvivalentnim konstantnim momentom duž ose stuba.

Sl. 142. Izdvajanje model–stuba

3.3.3.3.3.3.3.3. OKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJE

3.3.1.3.3.1.3.3.1.3.3.1. UVODUVODUVODUVOD

Okvirni sistemi su meñu najčešće korišćenim konstruktivnim elementima kod armi-

ranobetonskih konstrukcija. Činjenica da je ostvarivanje monolitne veze elemenata,

kojom je omogućen prenos momenata savijanja, transverzalnih i/ili aksijalnih sila sa

jednog na drugi element, svojstveno i prirodno monolitno izvoñenim armiranobe-

tonskim konstrukcijama je značajno uticala na ovo.

Okviri se najčešće primenjuju u konstrukcijama zgrada i hala, ali i u praktično svim

drugim vrstama armiranobetonskih konstrukcija.

Okvir (prost okvir) je element koji čine dva stuba povezana gredom na način da je

izmeñu elemenata ostvarena kruta, monolitna, veza. Različite dispozicije prostih

okvira sa vertikalnim ili kosim stubovima, horizontalnim ili nagnutim, pravolinijskim

ili poligonalnim gredama... prikazane su na Sl. 143.

Sl. 143. Karakteristični primeri okvirnih sistema


120

Zahvaljujući krutim vezama grede i stuba, te nepomerljivim osloncima, postiže se,

takozvano okvirno dejstvo: pod dejstvom vertikalnog opterećenja sa grede se, na

stub, prenose i momenti savijanja, što za posledicu ima manje apsolutne vrednosti

momenata savijanja u gredi (Sl. 144). Dalje, greda prima i odreñenu aksijalnu silu,

čime je, takoñe, u povoljnijem položaju od odgovarajuće proste grede. Sa druge

strane, stubovi su sada izloženi i savijanju, zbog čega moraju biti krući.

Sl. 144. Okvirno dejstvo

U statičkom smislu okviri mogu biti statički odreñeni ili neodreñeni, a osnovni tipovi

su okvir na tri zgloba, okvir na dva zgloba i uklješteni okvir (Sl. 145). Sa stanovišta

konstruktivne racionalnosti prednost je na strani uklještenih okvira, budući da se

njima obezbeñuje minimalan utrošak materijala. Opet uslovi fundiranja ili karakteri-

stike tla, ali i neki drugi faktori, mogu usloviti primenu dvozglobnih ili statički odre-

ñenih, trozglobnih, sistema. Ovo poslednje je slučaj kod konstrukcija fundiranih na

tlu lošijih karakteristika ili kod okvira izloženih velikim temperaturnim opterećenji-

ma, kada je potrebno neutralisati utucaje izazvane, na primer, neravnomernim sle-

ganjem oslonaca.

Sl. 145. Statički sistemi prostih okvira

Očigledno, horizontalna nepomerljivost oslonaca je uslov okvirnog dejstva. Postiže

se konstruisanjem temelja u koje su stubovi uklješteni ili s njima zglobno nepomer-

ljivo vezani. Na temelje se time prenosi, osime vertikalne, horizontalna sila i, even-

tualno, moment savijanja. Nepomerljivost temelja (Sl. 146) se obezbeñuje trenjem

preko kontaktne površine temelja i tla, za manja, ili povezivanjem temelja zategom,

za veća horizontalna opterećenja (sada se zategom primaju horizontalne kompo-

nente, a na tlo se prenosi samo vertikalna reakcija).


121

Sl. 146. Nepomerljivost oslonava

Složeni okvirni sistemi (takoñe ih zovemo okvirima) se formiraju povećanjem broja

etaža i/ili brodova (polja), „razigravanjem“ dispozicije (Sl. 149a) ali i umetanjem

zglobova. Tako, zavisno od broja polja i broja etaža, okviri mogu biti jednobrodni ili

višebrodni, jednospratni ili višespratni (Sl. 147), a u funkciji načina oslanjanja i veze

sa temeljima, kao i meñusobne veze pojedinih okvira, mogu biti sa krutim, sa zglo-

bnim vezama ili kombinovani (Sl. 148).

Sl. 147. Brodovi i spratovi okvira

Sl. 148. Zglobovi u okvirnim sistemima

Sl. 149. Karakteristični primeri okvira kod industrijskih hala

Kao specijalan slučaj ravanskih okvirnih sistema mogu se javiti i zatvoreni okviri,

prikazani na Sl. 150.

Sl. 150. Zatvoreni okvirni sistemi

Mogu biti formirani od linijskih elemenata ili, što je češći slučaj, mogu se delovi

konstrukcija formiranih od površinskih elemenata statički tretirati kao zatvoren

okvir. To je često slučaj kod analize konstrukcija silosa, tunela, cevi, podzemnih


122

prolaza... (Sl. 151). Ovakve, najčešće prizmatično oblikovane, konstrukcije velike

dužine u odnosu na dimenzije preseka dozvoljavaju izdvajanje preseka jedinične

dužine forme zatvorenog okvira.

Sl. 151. Izdvajanje zatvorenih okvira iz površinskih konstrukcija

Okvir, načelno, prenosi opterećenje u svojoj ravni. Prostorni rad, mogućnost prijema

opterećenja proizvoljnog pravca, postiže se formiranjem prostornih okvira.

Sl. 152. Prostorne ramovske konstrukcije

Ovo se najčešće čini povezivanjem stubova gredama u dva ortogonalna pravca, ali

raspored stubova može usloviti i ramove drugačijih dispozicija (Sl. 152).

Iako danas primena softvera za strukturalnu analizu obezbeñuje brz proračun utica-

ja u prostornim okvirima, za grubu kontrolu ili za orijentaciju, pogodno je prostorne

okvire svesti na pojedinačne ravanske.

Na Sl. 153 je prikazana prostorna okvirna jednospratna konstrukcija karakteristična

za industrijske hale, a označavanjem podužnih i poprečnih okvira je asocirana

ravanska dekompozicija prostornog sistema.

Sl. 153. Jednospratni prostorni okvir industrijske hale

Ekonomičnost jednospratnih ramovskih konstrukcija izvedenih u armiranom betonu

ide do raspona od oko 25m. Stubovi se najčešće projektuju pravougaonog preseka,

a relativno retko (montažne konstrukcije) se projektuju razuñenih oblika preseka.

Gredni elementi se konstruišu pravougaonog preseka za manje raspona, odnosno T

ili I oblika preseka, za veće.


123

Višespratne okvirne konstrukcije se najviše primenjuju u konstrukcijama različitih

vrsta zgrada i formiraju se, načelno, „reñanjem“ jednospratnih okvira jedan na drugi,

njihovim zglobnim ili krutim povezivanjem u prostornu konstrukciju. Uobičajeni

rasponi u konstrukcijama zgradarstva se kreću u granicama 4 do 10m, a veze ele-

menata, zbog monolitnog načina izvoñenja, su najčešće krute.

3.3.2.3.3.2.3.3.2.3.3.2. PRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRA

Proračun uticaja u elementima okvirnih konstrukcija se sprovodi uobičajenim meto-

dama teorije elastičnosti. Za novije vreme je karakteristična primena softverskih ala-

ta, te prostorno modeliranje ramovskih konstrukcija, zajedno sa površinskim ele-

mentima.

Pri formiranju proračunskog modela, za sistemske linije se usvajaju težišne linije

elemenata, a geometrijske karakteristike koje se modeliranim elementima pridružu-

ju najčešće odgovaraju homogenim betonskim presecima. Meñutim, izvesno je da se

grede i stubovi okvira meñusobno razlikuju u stepenu isprskalosti, a samim tim i u

krutosti, te da već pri eksploatacionom opterećenju dolazi do odreñene preraspode-

le uticaja u odnosu na rešenja teorije elastičnosti. Ne samo to, deo opterećenja je

aktivan i pre formiranja kompletne konstrukcije, tečenje i skupljanje dodatno pos-

pešuju preraspodele uticaja, a i granični uslovi predstavljaju samo grubu idealizaciju

stvarnih uslova fundiranja. Sve ovo vodi zaključku da uticaji odreñeni primenom

teorije elastičnosti mogu biti prihvaćeni samo kao približni, ali praktično upotreblji-

vi.

Iako su danas (zbog razvoja računarske tehnike) od sve manjeg značaja, za grubu

analizu uticaja u pojedinim elementima, orijentacije radi, mogu poslužiti približne

praktične metode. Tako, za vertikalna dejstva, kruta veza stuba i grede može biti

zanemarena i greda tretirana kao kontinualna. Ivični stubovi i kraj grede mogu, uti-

cajno, biti proračunati korišćenjem jednostavnog modela na Sl. 154b. Tačnije rezul-

tate obezbeñuje složeniji model na shemi Sl. 154c.

Sl. 154. Modeli približnog proračuna

Za horizontalna dejstva, raspodela uticaja je odreñena odnosom krutosti greda i

stubova (Sl. 155). Grede male krutosti vode situaciji u kojoj se veći deo momenta

spoljašnjih sila prihvata uklještenjima, a manji spregom sila, i obrnuto.


124

Sl. 155. Uticaj odnosa krutosti greda i stubova na raspodelu momenata savijanja u stubovima

Dimenzionisanje elemenata okvira u potpunosti odgovara postupcima za dimenzio-

nisanje grednih elemenata i stubova. Sprovodi se prema odreñenim vrednostima

uticaja (presečnih sila). Prostorno modelirane konstrukcije se, u opštem slučaju,

karakterišu koso savijanim stubovima.

3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3. NASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURE STUBOVAE STUBOVAE STUBOVAE STUBOVA

Na delu stuba na kome se nastavlja podužna armatura broj uzengija treba udvostru-

čiti tako da njihovo rastojanje ne prelazi 7.5 prečnika najtanje podužne šipke, niti

15cm (Sl. 156). Ove uzengije treba da budu preklopljene preko kraće strane, a ulo-

ga im je prijem zatežućih horizontalnih sila.

Sl. 156. Progušćenje uzengija stuba na mestu nastavka podužne armature

Nastavak armature stuba se najčešće izvodi preklapanjem, neposredno iznad meñu-

spratne konstrukcije. Radi izvoñenja nastavka potrebno je predvideti ankere čija

dužina iznad meñuspratne konstrukcije odgovara dužini preklopa ili potrebnoj

dužini za izvoñenje zavarivanja (Sl. 157a). Ukoliko je stub više etaže manjih dimen-

zija preseka, propuštanje donjih šipki u gornji stub je moguće samo ukoliko nagib

povijanja ne prelazi 6:1 (Sl. 157b). U suprotnom, potrebno je predvideti posebne

ankere za nastavljanje armature (Sl. 157c).


125

Sl. 157. Nastavljanje armature stubova iznad meñuspratne konstrukcije

3.3.4.3.3.4.3.3.4.3.3.4. ČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONSTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJA

Postizanje krute veze elemenata u okvirnim konstrukcijama je odreñeno pravilnim

proračunom i armiranjem čvorova. Potrebno je obezbediti da nosivost čvorova bude

jednaka nosivosti priključnih elemenata, a takva da do krtog loma čvora ne doñe pre

nego što se u vezanim elementima razviju plastične deformacije (plastični zglobovi).

Pojedini čvorovi mogu biti izloženi dejstvu alternativnih momenata, što ih čini pre-

dmetom detaljnije analize. Jednostavno armiranje bez nastavaka armature u čvoru,

kao i dobar kvalitet i ugradnja betona su osnov dobrog ponašanja čvora u eksploa-

taciji. U nastavku su zasebno razmatrani karakteristični čvorovi okvirnih konstrukci-

ja.

Poseban problem predstavlja analiza čvorova u situacijama kada su opterećeni cikli-

čnom opterećenju i rasterećenju, kao što je slučaj pri delovanju seizmičkog optere-

ćenja. Principi za ovo vezani su razmatrani u poglavlju koje se odnosi na aseizmičko

projektovanje višespratnih zgrada.

3.3.4.1.3.3.4.1.3.3.4.1.3.3.4.1. Spoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje grede

Kod ugaonih čvorova okvirnih sistema opterećenih na način da im je spoljašnja stra-

na zategnuta (što je slučaj, na primer, za gravitaciona opterećenja), ispitivanja su

pokazala veliku koncentraciju napona pritiska na unutrašnjoj ivici, te maksimalna

zatezanja locirana bliže neutralnoj osi nego spoljašnjoj ivici preseka (Sl. 158).

Sl. 158. Naponsko stanje u čvoru i oblikovanje čvora sa vutama

Efekat koncentracije napona pritiska je moguće značajno ublažiti konstruisanjem

vuta (pravolinijskih ili krivolinijskih, Sl. 158). Potreba za vutama ove vrste raste sa

povećanjem momenta u čvoru, te sa krutošću stuba u odnosu na gredu.


126

Sl. 159. Skretne sile, lokalni naponi i armiranje čvora

Zategnuta armatura se kroz čvor vodi neprekinuta i povija se po odreñenom polup-

rečniku. S jedne strane, ovaj poluprečnik mora biti takav da zadovolji uslove pravil-

nog oblikovanja armature. U skladu s tim, treba primetiti da bi izbor velikih profila

armature moga orezultovati poluprečnicima kojima bi nosivost čvora, zbog „spušta-

nja“ armature po visini preseka, mogla biti bitno narušena. Sa druge strane, povija-

nje zategnute armature po luku izaziva skretne sile, kojima armaturna šipka lokalno

napreže okolni beton (Sl. 159). Zato, poluprečnikom povijanja (veći poluprečnik –

manje skretne sile – kotlovska formula) mora biti obezbeñeno da lokalni naponi pri-

tiska nisu prekoračeni. Na Sl. 160 je prikazan model čvora. Ovako, idealizovano,

posmatrano, glavni naponi su u pravcima dijagonala čvora, a u jezgru čvora se javlja

čisto smicanje. Zatežuće sile u armaturi i pritiskujuće u betonu daju dijagonalnu

rezultantu 2 V⋅ , koja izaziva cepanje u upravnom pravcu ukoliko je dostignuta

zatežuća čvrstoća betona.

Sl. 160. Proračunski model čvora - naponi cepanja u betonu izazvani skretnim silama

Sl. 161. Armiranje čvora sa obezbeñenjem od cepanja


127

U cilju predupreñenja formiranja dijagonalne pukotine, čvor može biti i dodatno

armiran čelikom (mrežom), u dva ili tri reda obično, za prijem sila cepanja. Radijalno

postavljene uzengije učestvuju u prenosu pritiska, ukrućuju čvor i, horizontalnim

delovima, prihvataju poprečne sile cepanja (Sl. 161).

Sl. 162. Vertikalno i horizontalno opterećen uklješteni okvir

Horizontalno opterećeni okviri, na mestu posmatranog čvora, mogu biti u situaciji,

zavisno od smera horizontalnog opterećenja, da im je unutrašnja ivica zategnuta (Sl.

162). Ukoliko je horizontalno opterećenje velikog intenziteta, pozitivni momenti

mogu da budu veći od negativnih koji odgovaraju gravitacionom, te da ceo čvor

dovedu u stanje zategnute unutrašnje ivice. Jasno, u tim situacijama čvor će naiz-

menično biti zatezan na spoljašnjoj i na unutrašnjoj strani.

Sa stanovišta analize i armiranja ovo je znatno nepovoljniji slučaj. Pojedina ispitiva-

nja su pokazala da je nosivost ovako opterećenog čvora može biti znatno manja od

prethodnog, kada je zategnuta spoljašnja ivica. Posebno je to slučaj (Sl. 163) kada

zategnuta armatura nije pravilno usidrena, bilo po pitanju dužine, bilo načina (ne

obuhvata čvor). Već za mali nivo opterećenja, u ovako armiranim čvorovima se for-

miraju prsline i stvaraju mogućnosti za odvajanje pritisnutog dela.

Sl. 163. Zategnuta unutrašnja strana čvora

Bolju nosivost je moguće obezbediti upravo dovoljnim dužinama sidrenja zategnute

armature i njenim povijanjem na način da uteže čvor. U tom smislu, korišćenje

armaturnih petlji (Sl. 164a) je idealno, ali je, zbog poluprečnika povijanja, ograniče-

no na manje armaturne profile. Sličan efekat obezbeñuje i način armiranja dat na Sl.

164b.


128

Sl. 164. Pravilno armiranje čvora sa pozitivnim momentom

Dalje povećanje nosivosti čvora, u smislu približavanja nosivosti priključnih eleme-

nata, moguće je postići dodavanjem kose armature (Sl. 164c). Preporučuje se (Evro-

kod) da količina dodatne kose armature (Asv) bude bar polovina veće od armatura

As1, za slabije armirane elemente (koeficijent armiranja manji od 1%), odnosno da joj

bude jednaka za jače armirane preseke (Sl. 165).

Sl. 165. Kosa armatura kod čvora opterećenog pozitivnim momentom

Ako za ovaj slučaj opterećenja čvora formiramo idealizovani proračunski model (Sl.

166), opet se može konstatovati da su glavni naponi dijagonalnog pravca, suprot-

nog znaka od onih na Sl. 160. Ako se, dodatno pretpostavi (potvrñeno ispitivanima)

da su naponi zatezanja raspodeljeni po paraboličnom zakonu i da deluju na širini

bliskoj 0.8 visine preseka, može se proračunati i maksimalni zatežući napon, te

armatura potrebna za njegovo prihvatanje, ukoliko je veći od zatežuće čvrstoće

betona (Asd na Sl. 167).

Sl. 166. Proračunski model

Na Sl. 167 su prikazani pravilni načini armiranja čvora opterećenog pozitivnim

momentom i čvora opterećenog momentima alternativnog znaka.


129

Sl. 167. Armiranje čvora koji je ili može biti zategnut po unutrašnjoj ivici

Sl. 168. Armiranje kolenaste grede

Slična situacija se javlja i kod kolenastih delova grednih elemenata. Način prihvata-

nja pozitivnih momenata armaturom je, ovde, zavisan od ugla koji priključni ele-

menti zaklapaju (Sl. 168). Za uglove bliske 180° (veće od 160°) dozvoljava se nepre-

kinuto voñenje zategnute armature. Nepovoljan uticaj skretnih sila (težnja odvaljiva-

nju zaštitnog sloja betona) se predupreñuje njihovim prihvatanjem dovoljnom koli-

činom uzengija.

Za uglove manje od 160°, armiranje odgovara armiranju prethodno analiziranih uga-

onih čvorova opterećenih pozitivnim momentom savijanja.

3.3.4.2.3.3.4.2.3.3.4.2.3.3.4.2. Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji i gornji i gornji i gornji i gornji čvorčvorčvorčvor

Na Sl. 169 su prikazani, uz detalje klasičnog armiranja, karakteristični oblici i sme-

rovi dijagrama momenata savijanja za spoljašnje i gornje čvorove okvirnih konstruk-

cija.

Nosivost spoljašnjeg čvora može biti narušena bilo dostizanjem čvrstoće prionlji-

vosti izmeñu betona i armature (Sl. 170a), bilo dostizanjem zatežuće čvrstoće beto-

na u jezgru čvora.


130

Sl. 169. Momentni dijagrami u spoljašnjem i gornjem čvoru

Mala čvrstoća prionljivosti je karakteristična za gornju zonu grede neposredno uz

čvor, gde se očekuje pojava prsline, ali i gde je i beton lošiji.

Veliki naponi prijanjanja pojavljuju se izmeñu armature stuba i betona u području

čvora. Sile, zatezanja i pritiska, Fs2g+Fs1d prenose se prijanjanjem na visini ne većoj

od visine grede hb. Malu visinu grede prate veliki naponi prijanjanja, te vertikalne

pukotine (trend odvaljivanja zaštitnog sloja) sa spoljašnje strane čvora. Otud, mala

visina grede može biti uzrokom male nosivosti čvora.

Sl. 170. Naponsko stanje u čvoru

Sa druge strane, pod dejstvom sila na čvor, pojavljuju se približno dijagonalni glavni

naponi zatezanja i pritiska (Sl. 170b). Ovi zatežući relativno brzo dostižu zateznu

čvrstoću betona, što ima za posledicu formiranje dijagonalne prsline.

U cilju prevencije ovih pukotina, eksperimentalno je pokazano, od najvećeg značaja

su gusto postavljene horizontalne zatvorene uzengije u čvoru (Sl. 171a, b, c).

Sl. 171. Armiranje spoljašnjeg čvora

Zategnuta, gornja, armatura grede može biti usidrena u stub (Sl. 171a), ali je ovo

povezano sa problemima izvoñenja, zbog prekida betoniranja neposredno ispod


131

grede. Otud, rešenja prikazana na slikama Sl. 171b i c mogu biti razmatrana kao

alternativa.

3.3.4.3.3.3.4.3.3.3.4.3.3.3.4.3. Unutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvor

Na Sl. 172 je prikazan najnepovoljniji slučaj opterećenja unutrašnjeg čvora, koji

odgovara visokim intenzitetima horizontalnog dejstva. I ovde, zbog delovanja sila na

čvor, u njegovom jezgru se javljaju dijagonalno orijentisani glavni naponi pritiska i

zatezanja. Ovi drugi su, zbog malih zatežućih čvrstoća betona, razlog pojavi pukoti-

na.

Sl. 172. Proračunski model

Najefikasniji način prijema napona zatezanja u čvoru podrazumeva propuštanja kroz

čvor uzengija i stuba i grede, iako je ovo, izvoñački posmatrano, vrlo zahtevno.

Podužna armatura optimalno neprekinuta prolazi pravo kroz čvor, bez povijanja iz

stuba u gredu (Sl. 172b).

3.3.4.4.3.3.4.4.3.3.4.4.3.3.4.4. Kruta vezKruta vezKruta vezKruta veza stuba i temeljaa stuba i temeljaa stuba i temeljaa stuba i temelja

Na Sl. 173 prikazani su detalji armiranja stuba uklještenog u temelj. U prvom slučaju

dato je uklještenje stuba u nearmirani temelj preko temeljnog jastuka, a u drugom

klasični primer uklještenog temelja. Ukoliko se na spoju temeljnog jastuka i temelja

mogu pojaviti i zatežući naponi, njih je, kako je pokazano, potrebno prihvatiti pose-

bnom armaturom.

Sl. 173. Veza temelja i stuba


132

3.3.5.3.3.5.3.3.5.3.3.5. ZZZZGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVI U OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCIJAMAIJAMAIJAMAIJAMA

Zglob (momentni zglob) je mesto u armiranobetonskoj konstrukciji koje dozvoljava

relativnu rotaciju delova sa njegove dve strane. Može biti projektovan u cilju sma-

njenja stepena statičke neodreñenosti konstrukcije ili postizanja statički odreñenih

sistema (Sl. 174). Izložen je uticajima aksijalne i transverzalne sile (ne i momenta

savijanja). Načelno, može biti ostvaren naglim suženjem poprečnog preseka na

maloj dužini elementa (pravi zglob) ili se sličan efekat može ostvariti i promenljivom

visinom preseka elementa, te izborom preseka malog momenta inercije, u poreñe-

nju sa susednim elementom (Sl. 175).

Sl. 174. Primena zglobova

Sl. 175. Način ostvarivanja zglobova

Zavisno od toga kakvu rotaciju omogućuju, zglobovi mogu biti linijski i tačkasti (Sl.

176). Linijski zglob dozvoljava rotaciju samo u jednom pravcu, dok je tačkasti ekvi-

valent sfernom zglobu.

Pravi zglobovi se projektuju naglim suženjem poprečnog preseka (najčešće stuba),

kako je prikazano na Sl. 177a. Visina poprečnog preseka zgloba, kao i širina prese-

ka tačkastog zgloba se usvajaju u sledećim granicama, ne manji od 15cm:

0

1 115cm

4 3d d = ÷ ⋅ ≥

, 0

1 115cm

4 3b b = ÷ ⋅ ≥

, .................................... (3.41)

dok se visina zgloba (t) redovno usvaja kao petina manje dimenzije poprečnog pre-

seka. Grlo zgloba se projektuje zaobljeno, a visina zgloba se ka krajevima postepe-

no povećava za, ukupno, 1 do 2cmm, kako bi se omogućilo lakše uklanjanje oplate.

Prekid betoniranja ne sme biti u samom zglobu.


133

Sl. 176. Linijski i tačkasti zglob

Sl. 177. Pravi zglob – geometrija

Zglob mora biti kontrolisan u smislu zadovoljenja lokalnih napona pritiska. Čvrstoća

betona pri lokalnom pritisku (f0) je veća od čvrstoće pri pritisku betonske kocke –

marke betona (fbk). Razlog ovome je sprečenost bočnog deformisanja okolnim beto-

nom (ekvivalent utegnutosti preseka) i, posledično, formiranje troosnog (kod linij-

skih - dvoosnog) stanja pritiska. Saglasno Pravilniku, lokalna čvrstoća definisana je

na sledeći način, za tačkasti, odnosno linijski zglob:

10

0

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ , 1

300

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ ................................... (3.42)

Ab0 i Ab1 površina preseka suženog i nesuženog dela (Sl. 177b).

Apsolutnim ograničenjem lokalnog napona sprečava se obračunavanje prevelike

angažovane površine.

Podužna armatura stuba se dodatno obavija ukosnicama koje prate njegovo donje

čelo. Kontrolisan na lokalna pritiskujuća naprezanja, zglob se, kao pritisnut, armira

minimalnom količinom podužne armature (0.8 do 1.0%). Usvajaju se tanji profili,

koji moraju biti gusto utegnuti preklopljenim uzengijama. U slučaju većih intenziteta

aksijalne sile, podužnu armaturu zgloba treba obuhvatiti i unutrašnjim uzengijama

(Sl. 178, Sl. 179).


134

Sl. 178. Armiranje zgoba i okolnih elemenata

U pravcu upravnom na pravac rasprostiranja napona pritiska, javljaju se zatežući

naponi (sile cepanja), koji mogu prouzrokovati cepanje betonskih elemenata, te

moraju biti obezbeñeni armaturom. Saglasno pravilniku, armaturu je potrebno pro-

računati iz granične zatužeće sile37 deinisane na sledeći način:

0

1

0.3 1u u

dZ N

d

= ⋅ ⋅ −

u

av

ZA

σ⇒ = . . .................................................... (3.43)

Ova armatura se obezbeñuje u obliku progušćenih uzengija na strani stuba, te u

obliku armaturne mreže ili zmijaste armature na strani temelja.

Ukoliko je zglob opterećen transverzalnom silom visokog intenziteta, tj. kada je

transverzalna sila veća od 0.75Nu, potrebno je projektovati i kosu armaturu za pri-

jem smicanja38. Njen oblik je prikazan na Sl. 178b. Potrebna količina ove armature

se odreñuje iz celokupne transverzalne sile:

2 sin

uak

v

TA

α σ=

⋅ ⋅. .............................................................................. (3.44)

37 Kako je sila posledica pritiskujućih napona, to se njena granična vrednost odreñuje sa

maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata.

38 Menager-ov zglob.


135

Sl. 179. Armiranje zgloba

Sl. 180. Armiranje Gerber-ovog zgloba

Zglob u grednom elementu može biti izveden kao Gerber-ov, uzajamnim oslanja-

njem dva kratka elementa. Armiranje i proračun su povezani sa projektovanjem kra-

tkih elemenata (Sl. 180).

3.4.3.4.3.4.3.4. REŠETKASTI NOSREŠETKASTI NOSREŠETKASTI NOSREŠETKASTI NOSAČIAČIAČIAČI

3.4.1.3.4.1.3.4.1.3.4.1. UVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENA

Rešetkasti nosač se formira od niza štapova povezanih u čvorovima u stabilnu

strukturu. Formiraju je pojasni štapovi – štapovi gornjeg i donjeg pojasa, i štapovi

ispune – dijagonale i, ne neophodno, vertikale (Sl. 181).

Sl. 181. Rešetkast nosači: elementi i geometrija

Odlikuju se malim utroškom betona i komplikovanom oplatom, zbog čega se pri-

menjuju za savladavanje većih raspona, kada su troškovi proizvodnje kompenzovani

uštedom u materijalu. Nalaze primenu u konstrukcijama zgradarstva, kao glavni

krovni nosači, i kod mostovskih konstrukcija, gde se koriste kao glavni nosači. U

zgradarstvu, rasponi su uobičajeno izmeñu 15 i 30m.


136

Rešetkasti nosači u zgradarstvu su, po pravilu, montažni elementi, a mogu da se

proizvode prefabrikovane u celini ili u delovima. Za raspone preko cca. 15m, u situ-

acijama kada postoji mogućnost (ako ne postoje visinska ograničenja, te ako posto-

je dovoljno snažne dizalice) za njihovo izvoñenje, rešetkastim nosačem je, u odnosu

na gredni, moguća ušteda čelika i do 40%. No, troškovi oplate, popravilu, anuliraju

ovaj benefit.

Za mostovske rešetkaste nosače su karakteristična polumontažna ili monolitna

rešenja. Mogu se projektovati kao armiranobetonske ili prednapregnute.

Iako su, kod armiranobetonskih rešetkastih nosača, veze izmeñu štapova su krute,

izborom odgovarajućih oblika i dimenzija poprečnih preseka, te samom konfigura-

cijom strukture, štapovi rešetke su pretežno aksijalno opterećeni. Pri tome, štapovi

gornjeg pojasa su izloženi pritisku, donjeg zatezanju, a štapovi ispune, zavisno od

orijentacije, mogu biti pritisnuti ili zategnuti. Mali utrošak materijala čini ih racio-

nalnim elementima i, u polju navedenih raspona, konkurentnim drugim vrstama

nosača.

3.4.2.3.4.2.3.4.2.3.4.2. GEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJA

Odnos ukupne visine rešetke (H) prema rasponu (L) naziva se stinjenost rešetke. Kod

krovnih konstrukcija, stinjenost ovih nosača se kreće u rasponu od 1/10 do 1/7.

Stinjenost opredeljuje nivo uticaja, pre svega, u pojasnim štapovima na način da

manjim vrednostima stinjenosti (rešetke manje visine) odgovaraju veće sile (manji

krak unutrašnjih sila), i obrnuto.

Oblik rešetke zavisi od nagiba krovne površine (štapovi gornjeg pojasa se obično

projektuju u nagibu koji prati nagib krovne ravni), visinskog položaja krovnog

pokrivača u odnosu na rešetku, kao i od stinjenosti. Uobičajeno je da se svi štapovi

krovne rešetke projektuju unutar zatvorene prostorije (Sl. 182a, b), čime se izbega-

vaju neprijatni prodori štapova kroz krovni pokrivač (prokišnjavanje), eliminišu

nejednaka temperaturna dejstva na štapove i postiže bolji estetski efekat. Retko,

rešetka može biti postavljena i izvan gabarita korisnog prostora, kada krovni pokri-

vač opterećuje donji pojas nosača (Sl. 182c).

Sl. 182. Oblici rešetkastih nosača

Kako su rešetkasti nosači montažni elementi, to je od značaja obezbediti sigurnost

od njegovog prevrtanja u fazi montaže, kada još nije pričvršćen za ostatak konstru-

kcije (na primer vetrom upravnim na ravan rešetke). Zato je izborom oblika zgodno

obezbediti da se ravan oslanjanja rešetke nalazi iznad težišta ukupne njene mase,

kako je pokazano na Sl. 182a. U suprotnom, neophodno je kontrolisati stabilnost

rešetke u fazi montaže, ali i eksploatacije, te preduzeti privremene i/ili konstruktiv-


137

ne mere kojima se ona (stabilnost) obezbeñuje. Po pravilu, rešetkasti nosač povezan

rožnjačama sa drugim elementima krovne konstrukcije (drugim rešetkastim nosači-

ma, najčešće) je obezbeñen od preturanja u eksploatacionoj fazi.

Kod krovova na jednu vodu ili, uopšte, kod „jednovodnih“ rešetki, pojasevi se naj-

češće projektuju kao paralelni (Sl. 182b), a stubovi na koje se oslanja se rade različi-

tih dužina.

Kao krovni pokrivači kojima se zatvara krovna ravan, a oslanjaju se na rešetkaste

nosače, koriste se najčešće laki krovni pokrivači koji se oslanjaju na sistem paralel-

no postavljenih rožnjača, najčešće armiranobetonskih i/ili prednapregnutih. U ovom

slučaju opterećenje se sa pokrivača prenosi na rožnjače, a dalje, u vidu koncentrisa-

nih sila, na rešetkasti nosač. Alternativno, umesto rožnjača, mogu se koristiti i mon-

tažne betonske ploče ili ploče od lakog betona, kojima se savladava raspon dva

rešetkasta glavna nosača. U tom slučaju, krovno opterećenje se na rešetkasti nosač

prenosi kao ravnomerno raspodeljeno.

Pri odreñivanju oblika ispune i razmaka čvorova rešetke poželjno je imati situaciju u

kojoj se koncentrisano opterećenje sa krova na rešetku prenosi u njenim čvorovima,

zbog čega valja uskladiti razmak rožnjača sa razmakom čvorova rešetke. Iako su

rešetke sa trougaonom ispunom estetski prihvatljivije, često se njima ne obezbeñuje

dovoljno mali razmak čvorova, pa je neophodno projektovati i vertikalne štapove

ispune, kao na Sl. 183.

Sl. 183. Potreba za vertikalama uzrokovana rasporedom rožnjača

Takoñe, dijagonalne štapove valja projektovati u nagibu što bližem uglu od 45°, a,

generalno, kod štapova ispune, poželjna je struktura u kojoj su dužištapovi zateg-

nuti, a kraći pritisnuti (zbog izvijanja). Štapovi pritisnutog pojasa se mogu projekto-

vati promenljivog nagiba, čime je, osim praćenja krovne ravni, moguće postići i sta-

tičke pogodnosti (oblik potporne linije). Zategnuti pojas, pak, zbog nepovoljnog uti-

caja skretnih sila, treba projektovati pravim.

Čvorovi rešetke se oblikuju tako da se ose svih štapova koji se u jednom čvoru sus-

tiču seku u jednoj tački (centrisanje štapova). Čvor treba da bude bez oštrih ivica

kako bi se izbegli nepovoljni uticaji koncentracije napona. U slučaju da se u čvoru

sustiču štapovi različitih širina, čvor treba da ima širinu najšireg štapa (Sl. 197).

Sl. 184. Oblikovanje čvora rešetkastog nosača


138

Poprečni preseci štapova rešetke zavise primarno od znaka i intenziteta aksijalne

sile, te od nivoa sekundarnih uticaja (momenti savijanja). Najčešće se štapovi pro-

jektuju konstantnog poprečnog preseka po dužini, jednostavnih oblika preseka,

najčešće pravougaonih. Zbog većih sila, pojasni štapovi su obično većih površina

preseka od štapova ispune.

Pritisnuti pojasni štapovi su projektuju pravougaonog ili T preseka (Sl. 185). Veći

moment inercije u ravni rešetke je logičan izbor u situacijama kada momenti savija-

nja nisu mali. Savojnom krutošću van ravni rešetke, štapovi se odupiru bočnom izvi-

janju. Oblikovanjem štapa u T obliku moguće je postići oba cilja.

Sl. 185. Mogući poprečni preseci štapova pritisnutog pojasa

Zategnuti pojasni štapovi su izloženi velikim aksijalnim silama zatezanja, a nedvos-

misleno je od interesa umanjiti momente savijanja. Zato se najčešće projektuju pra-

vougaonog preseka (oblik nije od posebnog interesa, a pravougaoni je najjednosta-

vniji) na način da im se minimizira savojna krutost (Sl. 185b).

Štapovi ispune se biraju pravougaonog ili kvadratnog oblika preseka. Poželjno je da

meñusobno budu jednake širine, radi lakšeg izvoñenja. Estetski, prednost imaju

rešetkasti nosači kojima su svi štapovi (i pojasni i štapovi ispune) jednake širine (Sl.

184a).

3.4.3.3.4.3.3.4.3.3.4.3. UTICAJIUTICAJIUTICAJIUTICAJI

Rešetke se najčešće konstruišu kao jednorasponske, a retko kao kontinualne. Domi-

nantno su opterećene u svojoj ravni.

S obzirom da su veze štapova, de facto, krute, rešetke su višestruko statički neod-

reñene strukture. Kao dominantni, u štapovima rešetke se javljaju aksijalni uticaji,

dok se, kao posledica krutih veza u čvorovima, kao sekundarni javljaju relativno mali

momenti savijanja u ravni rešetke. Često se ovi uticaji savijanja nazivaju sekundar-

nim, a cilj projektovanja rešetki je njihova minimizacija. To se postiže izborom pre-

seka štapova sa malom savojnom krutošću u ravni rešetke, te forsiranjem prenosa

krovnog opterećenja u čvorove rešetke. Ipak, rešetkasti nosači su neminovno, ako

ničim onda sopstvenom težinom, opterećeni i van čvorova, a prenos krovnog opte-

rećenja van čvora, po dužini štapa, može da ima za posledicu potrebu potrebu za

većom savojnom krutošću štapa.

Iako je uobičajeno da se, statičkim proračunom, AB rešetkasti nosači tretiraju kao

nosači sa zglobno vezanim štapovima, danas, kada ni analiza znatno složenijih

modela nije problem, nema potrebe za ovom vrstom pojednostavljenja proračuna.

Štapove rešetke valja modelirati kruto spojenima u čvorovima.


139

Meñutim, pravilan izbor aksijalnih krutosti pojedinih štapova je od velikog značaja

kad je o deformacijama rešetkastog elementa reč, ali i, s njima vezano, preraspodeli

uticaja unutar elemenata samog nosača. Posebno je značajan pravilan izbor aksijal-

ne krutosti zategnutih štapova, pre svega štapova donjeg pojasa (videti deo kod

Lučnih nosača, Sl. 202). Tako, kod armiranobetonskih zatega (štapovi donjeg poja-

sa), aksijalna krutost je bliska onoj koja potiče samo od armature, dok se kod pred-

napregnutih donjih pojaseva najčešće računa sa aksijalnom krutošću bruto beton-

skog preseka.

Kako se u pojasnim (nekad i u štapovima ispune) realizuju velike sile pritiska, to

problem stabilnosti (izvijanja) postaje aktuelan. Za dužinu izvijanja štapa u ravni

rešetke uvek, bez obzira na krute veze, treba usvajati čvorno rastojanje, a dimenzije

poprečnog preseka pritisnutih štapova birati imajući na umu moguće izvijanje.

Mnogo većim problemom se može pojaviti izvijanje upravno na ravan rešetke, prob-

lem aktuelan u fazi montaže rešetkastog nosača, kada pritisnuti pojas nije ničim

bočno pridržan. Iako je opterećenje u fazi montaže malo i isključuje težinu krovnog

pokrivača, dužina izvijanja je cela dužina pritisnutog pojasa. Naknadnim poveziva-

njem rešetke sa ostalim elementima krovne konstrukcije problem bočnog izvijanja

nestaje (osim ukoliko se krvno opterećenje ne prenosi na donji pojas), ali za fazu

montaže se potrebnim mogu pojaviti mere privremenog obezbeñenja od izbočava-

nja.

Rešetkasti montažni elementi se najčešće izvode u horizontalnom položaju, u drve-

noj ili čeličnoj oplati. Nakon očvršćavanja i skidanja oplate, ispravljaju se u vertikalni

položaj u kojem se vrši njihov transport i montaža. Pri tome, iako poželjno, prihva-

tanje rešetke najčešće ne odgovara njenom eksploatacionom oslanjanju, zbog čega

pojedini štapovi u ovoj fazi mogu biti izloženi aksijalnim silama suprotnog znaka od

eksploatacionog. Zato, rešetkasti nosači, kao uosatlom svi montažni elementi,

moraju biti proračunski obezbeñeni i za sve predeksploatacione faze.

3.4.4.3.4.4.3.4.4.3.4.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Preseci pritisnutih pojasnih štapova se, najčešće, nalaze u stanju pritiska malog

ekscentriciteta, čime je i njihovo armiranje odreñeno, poput odgovarajućih stubova.

Presek se armira (Sl. 186) minimalnom količinom podužne armatue, 0.8 do 1.0%. S

obzirom da je reč o montažnim elementima, te da se koristi pritisna čvrstoća beto-

na, prednost ima primena viših marki betona, preko 30 (naravno, u meri u kojoj je

to limitirano stabilnošću elementa).

Sl. 186. Armiranje poprečnih preseka pritisnutog pojasa


140

Zategnuti pojas se karakteriše velikim intenzitetima aksijalne sile, te vrlo malim

momentima savijanja. Dimenzionišu se kao centrično ili ekscentrično (faza malog

ekscentriciteta) zategnuti, po pravilu uz pretpostavljanje simetričnog rasporeda

armature po površini preseka. Kako kod zategnutih elemenata krak armature nije od

interesa, to je, u cilju smanjenja površine poprečnog preseka štapa, poželjno podu-

žnu armaturu rasporeñivati po celoj površini preseka, kako je dato na Sl. 187. „Zmi-

jasta“ armatura na slici ima funkciju obezbeñenja položaja (i razmaka) šipki poduž-

ne armature. Ukoliko je moguće, treba izbeći nastavljanje podužne armature, a uko-

liko nije, armaturu je poželjno nastavljati zavarivanjem.

Sl. 187. Armiranje preseka zatege

Aksijalne sile u štapovima ispune su znatno manjih intenziteta, a opet je reč o pre-

secima koji su centrično ili ekscentrično (mali ekscentricitet) pritisnuti ili zategnuti.

Generalno, minimalna armatura pritisnutih štapova može biti odreñena i njihovom

vitkošću, u skladu sa odredbom Pravilnika kojom se ove dve veličine dovode u vezu:

min 0.4 0.650

λµ = − ≥ . ...................................................................... (3.45)

Na narednim skicama su dati karakteristični detalji armiranja čvorova rešetkastih

nosača. Načelno, konstruisanje armature mora biti takvo da se obezbedi monolit-

nost i krutost uz što jednostavnije izvoñenje. Armatura pritisnutog štapa se vodi do

teorijskog čvora39, a zategnuta se produžava za dužinu sidrenja. Sidrenje može biti

pravim delom šipke, sa ili bez kuke, ili talasasto (Sl. 188, Sl. 189). Na Sl. 190 prika-

zana su armiranja čvora u kojem se sustiču dva zategnuta štapa i pritisnuta vertika-

la. Promena pravca sile zatezanja unosi veliku aksijalnu (skretnu) silu u vertikalu.

Sl. 188. Čvor: gornji pojas – vertikala – dijagonala

39 I pritisnuta armatura se sidri.


141

Sl. 189. Čvor: donji pojas – vertikala - dijagonala

Sl. 190. Čvor: donji pojas – krajnja dijagonala – vertikala

Usidrenje zategnute armature u oslonački čvor, ukoliko ne postoji dovoljno prostora

za razvoj dužine sidrenja, može biti sprovedeno preko ploče za sidrenje (Sl. 191b).

Sam donji pojas može biti prednapregnut (Sl. 190b). Oslonački čvor se karakteriše

prostornim stanjem naprezanja usled unosa velik koncentrisanih sila. Zato ga treba

armirati u sva tri pravca kako bi se obezbedio od cepanja.

Sl. 191. Oslonački čvor

3.5.3.5.3.5.3.5. LLLLUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČI

3.5.1.3.5.1.3.5.1.3.5.1. UVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENA

Lukovi su zakrivljeni ili izlomljeni nosači sa konveksnom stranom prema gore i sa

nepomerljivim (praktično nepomerljivim) osloncima. Primenjuju se kao glavni nosači


142

srednjih i velikih raspona industrijskih ili sportskih hala ili drugih objekata visoko-

gradnje, te kao glavni mostovski nosači.

Sl. 192. Elementi i geometrija luka

Osa luka je linija koja spaja središta njegovih poprečnih preseka, raspon (L) je hori-

zontalno rastojanje oslonaca, a strela (f) je visina luka merena u polovini raspona (Sl.

192). Odnos strele i raspona se naziva stinjenost luka.

Na mestu oslanjanja, lukovi mogu biti zglobno nepomerljivo oslonjeni ili uklješteni.

Horizontalna, uz vertikalnu, nepomerljivost oslonaca obezbeñuje postojanje hori-

zontalnih reakcija pri vertikalnim opterećenjima, čime se oslonci odupiru težnji

„ispravljanja“ luka. Ovim se duž luka, od uticaja, javljaju dominantno sile pritiska i,

ukoliko je pravilno projektovane geometrije, relativno mali momenti savijanja, što,

dalje implicira rad preseka u fazi malog ekscentriciteta pritiska i odsustvo prslina.

Ovim, armiranobetonski luk predstavlja jedan od najracionalnih elemenata u beton-

skim konstrukcijama uopšte. U konstrukcijama zgradarstva se primenjuju za raspo-

ne veće od 20m, dok se kod mostovskih konstrukcija retko koriste za raspone

manje od 30m (do nekoliko stotina metara). Primena betona visokih čvrstoća je, u

novije vreme, učinila lučne elemente još lakšim i racionalnijim i omogućila savlada-

vanje izuzetno velikih raspona (danas, kod mostovskih konstrukcija, višestruko pre-

vazilaze raspone od 100m). Danas se vrlo često primenjuju lučne konstrukcije sa

krutom armaturom (čelični profili ispunjeni betonom visoke čvrstoće), kada čelična

armatura ima i ulogu skele i oplate. Takoñe, za novije vreme je karakteristično i

montažno izvoñenje lučnih konstrukcija, spajanjem lamela u konzolnom načinu

gradnje.

3.5.2.3.5.2.3.5.2.3.5.2. GEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMI

Za poznatu konfiguraciju opterećenja, oblik ose luka je moguće pogodno izabrati na

način da se poklapa (da minimalno) sa potpornom linijom opterećenja i, time, da se

minimiziraju momenti savijanja, a preseci lukova pretežno aksijalno opterete. Kako

je opterećenje tokom eksploatacije promenljivo, to se oblik ose luka prilagoñava

uglavnom stalnom opterećenju kod konstrukcija zgradarstva, odnosno stalnom i

polovini korisnog (prosek minimalnog i maksimalnog eksploatacionog opterećenja),

kod mostovskih konstrukcija.

Stinjenost lukova u konstrukcijama zgradarstva je uobičajeno u intervalu izmeñu

1/10 i 1/6. Kod mostovskih sistema, zavisno od statičkog sistema, uslova oslanjanja

ili nivoa opterećenja, stinjenost može biti u širokom intervalu izmeñu 1/16 i 1/2. Pri


143

tome, plići lukovi odgovaraju slabo opterećenim, pešačkim mostovima, a duboki su

karakteristični za mostove visokog nivoa opterećenja, preko dubokih dolina (pove-

zano sa dobrom mogućnošću prijema horizontalnih sila na mestima oslanjanja).

Sl. 193. Statički sistemi prostih lukova

Mogući statički sistemi prostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosača su (Sl. 193):

• Uklješteni luk je najjednostavnija lučna konstrukcija i, ujedno, najpogodnija

za savladavanje velikih raspona. Negativna (loša) posledica uklještenih kraje-

va je pojava većih momenata savijanja (tzv. sekundarni uticaji), posebno blis-

ko krajevima. Takoñe, kao višestruko statički neodreñena konstrukcija relati-

vno velike savojne krutosti, osetljiva je na deformacijska dejstva kakva su

pomeranje oslonaca, temperaturni uticaji ili uticaji skupljanja betona. Veličine

sekundarnih uticaja su srazmerne stinjenosti (veće su kod dubljih lukova).

• Dvozglobi luk se najčešće primenjuje kod plitkih lukova u cilju smanjenja

statičke neodreñenosti i redukcije intenziteta momenata savijanja.

• Trozglobni lukovi su statički odreñene konstrukcije minimalnih momenata

savijanja i imune na deformacione uticaje. Ovo i opredeljuje njihovu primenu

na slučajeve kada postoji realna opasnost od pomeranja/razmicanja oslona-

ca, ili na lukove velike stinjenosti (plitke). Zglobovi komplikuju i usporavaju

izvoñenje, izazivaju oštre lomove deformacione linije (neprijatni udari vozila,

kod mostova) i zahtevaju strožiji režim održavanja tokom eksploatacije.

Kod svih ovih sistema neophodno je, kako je rečeno, obezbediti horizontalnu

nepomerljivost oslonaca, te je od posebnog značaja pravilan izbor načina i realizaci-

ja fundiranja, kojim je potrebno primiti opterećenje uz minimiziranje deformacija

tla.

U cilju dalje racionalizacije elementa, kao i oslobañanja temeljnih konstrukcija od

velikih horizontalnih sila, luk se često kombinuje sa ostalim elementima krovne ili

mostovske konstrukcije, čime se formiraju kombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemi. Osnovni rep-

rezenti ovakvih sistema su (Sl. 194):


144

Sl. 194. Kombinovani lučni sistemi

• Luk sa zategom je lučna konstrukcija čiji su krajevi spojeni zategom, koja

preuzima horizontalne reakcije luka i time oslobaña oslonce potrebe njihovog

prijema. Kombinovani sistem sada može biti samo prosto oslonjen. Ipak,

ovde se mora puna pažnja posvetiti izduženjima zatege: s jedne strane ovo je

ekvivalent razmicanju oslonaca, sa druge opredeljuje projektovanje oslonač-

kih elemenata. Sama zatega može biti projektovana u armiranom ili prednap-

regnutom betonu, ili kao čelični element. Primena ovakvog sistema je redov-

na kod industrijskih hala (Sl. 196a), gde bi prenos horizontalnih reakcija u

vrhove stubova za posledicu imala velike momente u uklještenjima stubova.

Radi smanjenja momenata savijanja u zatezi (usled sopstvene težine), zatega

se, takozvanim vešaljkama (Sl. 195), „veša“ o lučni element.

Sl. 195. Vešaljke luka sa zategom

• Greda ojačana vitkim lukom, ili Langer-ova greda, podrazumeva lučni deo

male savojne krutosti, zbog čega se u njemu generišu vrlo mali momenti

savijanja, čime je izložen skoro isključivo aksijalnom pritisku. Greda, koja se

projektuje kao savojno kruta, sada, osim uloge zatege, preuzima na sebe

kompletno savijanje. Ovakav sistem je pogodan za mostovske konstrukcije sa

kolovoznom konstrukcijom postavljenom preko ovih krutih greda. Reñe, u

situacijama kada postoji potreba da se sekundarni elementi oslone u hori-

zontalnoj ravni, ovakvi sistemi se koriste i za glavne krovne nosače konstruk-

cija hala (Sl. 196b).

Sl. 196. Luk sa zategom i Langer-ova greda kao glavni krovni vezači


145

• Luk sa zategom i kosim vešaljkama, ili Nilsen-ov luk, se projektuje sa kosim

vešaljkama, kako bi se i one angažovale u prijemu savijanja i, time, rasteretile

lučni nosač u izvesnoj meri.

• Vitki luk sa gredom za ukrućenje sa gornje strane, za razliku od prethodnih

sistema, nema zategu, nego se horizontalne reakcije predaju fundamentima.

Kruta greda je elastično oslonjena na stubove, kojima opterećenje predaje

vitkom luku. Opet, mala savojna krutost luka implicira i dominantno stanje

pritiska u presecima luka. Sistem se često primenjuje kod mostovskih kons-

trukcija.

Osa lukaOsa lukaOsa lukaOsa luka je najčešće zakrivljena, kružnog ili paraboličnog oblika, ili poligonalna na

način da aproksimira neku od ovih krivih. Većim stinjenostima (dubokim lukovima)

odgovara parabolični, a manjim oblik kružnog luka. Luk se može projektovati i kao

poligonalni ili kolenast, u situacijama kada je to iz nekog razloga pogodno ili potre-

bno (montažne konstrukcije, velika koncentrisana opterećenja koja prave lomove u

potpornoj liniji...).

Mogućnosti izbora oblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog preseka lučnih nosača su velike, a neke od njih

su prikazane na Sl. 197. Najjednostavniji, i najstariji u primeni, je pravougaoni oblik.

Zavisno od statičkog sistema u kom se primenjuju, mogu se projektovati većih i

manjih savojnih krutosti (a ili b), zavisno od težnje za minimiziranjem momenata

savijanja ili njenog odsustva. Većom širinom preseka, u odnosu na visinu, postiže se

veća stabilnost luka na izvijanje upravno na svoju ravan, a minimizira se i savojna

krutost luka u svojoj ravni.

Sl. 197. Poprečni preseci lučnih nosača

Visina preseka luka (Sl. 195), kod objekata zgradarstva je redovno u granicama

izmeñu 1/40 do 1/30 raspona, dok je kod mostovskih konstrukcija manja (1/100

do 1/60 raspona).

Povećanje bočne stabilnosti se još efikasnije ostvaruje projektovanjem višesdelnih

poprečnih preseka, kojim se obezbeñuje velika krutost van ravni luka uz minimalan

utrošak materijala. Delovi poprečnog preseka su povezani poprečnim rebrima (c, d,

e). Sa druge strane, višedelni preseci zahtevaju i skupu i komplikovanu oplatu.

Optimalno (najracionalnije) rešenje podrazumeva primenu sandučastih preseka (f do

i). I ovi preseci se projektuju velike savojne krutosti na bočno savijanje, a karakterišu


146

se i manjim vitkostima u ravni luka. Primenjuju se kod mostovskih konstrukcija veli-

kih raspona.

SiluetaSiluetaSiluetaSilueta luka može biti konstantne ili promenljive visine i/ili širine. Promenom

momenta inercije utiče se na raspodelu uticaja duž statički neodreñenog luka, a

time je moguće postići i efekat zglobnih veza. Zglobove je, naravno, moguće pro-

jektovati i u obliku naglog suženja poprečnog preseka luka (Sl. 198). Pri izboru

zakona promene visine/širine luka, teži se maksimalnom iskorišćenju materijala.

Kako se aksijalna naprezanja relativno malo menjaju duž luka, to promenu otpornih

momenata preseka treba uskladiti sa promenom maksimalnih (anvelopa) momenata

savijanja.

Sl. 198. Zglobovi

Na Sl. 199 prikazani su dijagrami momenata savijanja u lukovima različitih statičkih

sistema: 1 – uklješteni luk sa prirastom momenta inercije ka osloncima (Sl. 193a),

2 – uklješteni luk sa konstantnim momentom inercije, 3 – uklješteni luk u obliku

srpa, 4 – luk na dva zgloba, i 5 – luk na tri zgloba. U slučaju uklještenog luka, najra-

cionalnije je srednje dve trećine projektovati konstantnog preseka, a ka krajevima

povećavati moment inercije. Dvozglobni lukovi, optimalno, srednju polovinu imaju

konstantne visine i sužavaju se ka krajevima. Saglasno, luk na tri zgloba ima najveće

momente inercije u četvrtinama i sužava se ka zglobovima.

Sl. 199. Dijagrami momenata savijanja za lukove različitih statičkih sistema

Kako je horizontalna nepomerljivost krajeva element na kojem bazira racionalnost

lučnih elemenata, od izuzetnog je značaja njeno obezbeñenje. Kod prostih lučnih

sistema, bez zatege, kada se na oslonce luka prenose kosa sila i, eventualno,

momenat savijanja, oslonci se projektuju kao masivni temelji oblika prilagoñenog

pravcu i veličini opterećenja. Dodatno, oblik i dimenzije temelja su odreñene i vrs-

tom i karakteristikama tla na kojem se fundira.

Kod kvalitetnog tla (npr. stena), temeljna stopa se obično konstruiše u nagibu, kako

bi se povećala otpornost na klizanje. Dodatno povećanje je moguće postići stepena-

stim oblikovanjem kontaktne površine temelja (Sl. 200). Pri proračunu sigurnosti na

klizanje, dodatne sigurnosti radi, pretpostavlja se da ukupna horizontalna sila luka


147

mora biti primljena samo silama trenja na donjoj površini (A-B), a zanemaruje se,

osim u slučaju kvalitetne stene, doprinos (pasivni otpor tla) površine A-C. U slučaju

kombinovanih sistema kod kojih se horizontalna reakcija prima zategom, fundiranje

je uobičajeno za prijem vertikalnih opterećenja.

Sl. 200. Oslonci prostih lučnih sistema

Kod krovnih nosača u sistemu luka sa zategom, oslanjanje na stubove se projektuje

preko ležišta od tvrde gume ili preko metalnih valjaka, kada se želi postići pokretni

oslonac. Nepokretna veza se može ostvariti zavarivanjem čeličnih pločica ankerova-

nih u stub i u luk, ili preko ispuštenih ankera i direktnog (preko sloja cementnog

maltera) oslanjanja oslonačkog dela luka na stub40 (Sl. 201).

Sl. 201. Oslanjanje lučnih krovnih nosača sa zategom na stubove

Kod lukova sa zategom koji se fundiraju u tlu, i zatega se redovno projektuje ispod

nivoa terena, u zatvorenom kanalu, kojim je obezbeñena zaštita i kontrola zatege.

Unutar kanala, zatega se oslanja na blisko postavljene pokretne (omogućuju rad

zatege) oslonce (ekvivalent vešaljki), opet u cilju minimiziranja momenata savijanja

od sopstvene težine.


Preseci luka su izloženi centričnom pritisku ili pritisku u fazi malog ekscentriciteta,

zbog čega proračun saglasno uticajima proizašlim iz proračuna prema teoriji prvog

reda daje zadovoljavajuće rezultate. Ovi uticaji se odreñuju standardnim postupcima

teorije konstrukcija (metoda sila) ili, danas uobičajeno, uz pomoć odgovarajućih

softverskih alata.

Pri tome, logično, lučne elemente je opravdano modelirati takvima da im savojna i

aksijalna krutost proizilaze iz bruto betonskog preseka. Doprinos armature, budući

da preseci nisu jako armirani, nema potrebe obuhvatati prilikom procene krutosti.

Meñutim, pravilna procena krutosti (aksijalne) zatege može biti od velikog značaja.

Kod čeličnih zatega usvaja se aksijalna krutost bruto čeličnog preseka. Kod zatega

40 Primetiti da su lučni nosači u zgradarstvu redovno montažni elementi.


148

od prednapregnutog betona obračunava se aksijalna krutost bruto betonskog ili

idealizovanog (doprinos čelika) preseka. Ovde je od interesa trenutak utezanja kab-

lova – utezanje kablova nakon izvoñenja luka ima za posledicu uticaje u luku izaz-

vane silom prednaprezanja. Ovi uticaji izostaju ukoliko se zatega prednapreže pre

izvoñenja luka. Kod armiranobetonske zatege, procena aksijalne krutosti je složeni-

ja. Zategnuta, armiranobetonska zatega će imati razvijene prsline, a samim tim i

krutost značajno redukovanu u odnosu na krutost bruto betonskog preseka. Sa dru-

ge strane, beton koji se u eksploatacionom stanju karakteriše izvesnom zatežućom

čvrstoćom, izmeñu dve prsline saučestvuje u prijemu zatezanja, zbog čega napon u

armaturi zatege nije konstantan (Sl. 202), prosečan napon σap je manji od onog na

mestu prsline σa, a samim tim i izduženje čelika (ujedno i izduženje zatege) je

manje nego što bi bio slučaj kada bi se aksijalna krutost zatege izjednačila sa kru-

tošću samo čelika za armiranje. Neka je sa ψ obeležen odnos maksimalnog i prose-

čnog napona, a (EF)ef efektivna aksijalna krutost zatege:

ap

a

σψ

σ= . ( ) a a

ef

E FEF

ψ= . .................................................................. (3.46)

Sl. 202. Promena napona u armaturi armiranobetonske zatege

Za odreñivanje koeficijenta ψ, modelom propisa CEB-FIP je predloženo:

2

1 z bz a a

a a bz bz

F E F

F E F

βψσ

⋅ ⋅= − ≥ ⋅ ⋅ , .............................................................. (3.47)

βz čvrstoća betona na zatezanje,

Fbz površina betonskog preseka zatege,

Fa površina armature u zatezi,

Ebz modul deformacije betona pri zatezanju, okvirno oko polovine onoga

koji odgovara pritisku.

Treba primetiti da procena krutosti zatege zavisi od količine armature, koja u trenu-

tku odreñivanja uticaja nije poznata, čime je impliciran iterativni proračun.


149

Kod lučnih nosača velikog raspona41 neophodna je kontrola kontrola kontrola kontrola stabilnostistabilnostistabilnostistabilnosti luka, kako u

ravni, tako i upravno na ravan luka. U prilog ovoj „opreznosti“ idu i sve manje

dimenzije poprečnih preseka lukova sa porastom čvrstoća betona. Na Sl. 203 su pri-

kazani karakteristični oblici deformacije lukova u trenutku gubitka stabilnosti, za

slučaj simetrične i antimetrične deformacije. Načelno, za uklještene i dvozglobne

lukove, merodavna je antimetrična konfiguracija, a za trozglobne – simetrična za

stinjenosti manje od 0.3, odnosno antimetrična za stinjenosti veće od ove.

Sl. 203. Karakteristični oblici pri gubitku stabilnosti

Za proračunske dužine izvijanja približno mogu biti usvojene sledeće dužine (sa s je

obeležena kriva/razvijena dužina luka):

0.58 za trozglobne lukove

0.54 za dvozglobne lukove

0.36 za ukljestene lukovei

s

l s

s

⋅= ⋅ ⋅

. ..................................................... (3.48)

Aksijalna sila pritiska koja odgovara pravom (ispravljenom) proračunskom, ekviva-

lentnom, štapu, u trenutku gubitka stabilnosti iznosi:

2

2cm m

ci

E IN

l

π ⋅ ⋅= , .............................................................................. (3.49)

Im srednja vrednost momenta inercije luka,

Ecm sekantni modul elastičnosti betona.

3.5.4.3.5.4.3.5.4.3.5.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Dimenzionisanje preseka luka se sprovodi saglasno uticajima proisteklim iz statič-

kog proračuna. Preseci luka su najčešće pritisnuti u fazi malog ekscentriciteta, zbog

čega se u njima usvaja minimalna armatura, poput preseka stubova, oko 0.8%.

Armatura se rasporeñuje simetrično (Sl. 204), a retke su situacije (veliki momenti

savijanja) kada je opravdan njen nesimetričan raspored. Nastavljanje podužne arma-

ture se projektuje preklopom ili zavarivanjem. Obuhvata se uzengijama, dvosečnim

ili, za veće širine, višesečnim, dodavanjem unutrašnjih, radi boljeg utezanja preseka.

41 Prema Eurocode 2, proračun luka na izvijanje u sopstvenoj ravni je neophodna uvek kada

je visina preseka luka manja od 1/25 raspona.


150

Sl. 204. Armiranje poprečnih preseka lukova

Sl. 205. Uzengije, spoljašnje i unutrašnje

Pritisnuta armatura na spoljašnjoj i zategnuta na unutrašnjoj strani savijanih lukova,

imaju tendenciju ka izbacivanju zaštitnog sloja betona skretnim silama, zbog čega

treba predvideti uzengije kojima će ove sile biti primljene. Sila u uzengijama (po

metru dužnom) se odreñujeprema kotlovskoj formuli, ako je Fa sila u armaturi:

auz

FF

r= . ......................................................................................... (3.50)

Sl. 206. Prihvatanje skretnih sila uzengijama

Zglobovi se dimenzionišu i armiraju () na način kako je to pokazano kod okvirnih

konstrukcija (#3.3.5).

Sl. 207. Armiranje zglobova lučnog nosača

Vešaljke kombinovanih lučnih sistema se dimenzionišu na centrično zatezanje

(eventualno na zatezanje u fazi malog ekscentriciteta) i armiraju simetrično uz pra-

vilno obezbeñenje dobrog sidrenja šipki (Sl. 208).

Od velikog je značaja dobro usidrenje armature zatege (Sl. 209). Kod manjih raspo-

na (a) treba nastojati da se veći deo armature zatege prevede preko oslonca (tačka

A) a ostatak, bar, preko ivice oslonca. Kako bi se smanjile sile cepanja (posledica

skretnih sila), savijanje armature u čvoru mora biti po blagom luku, a ovu zonu tre-

ba ojačati i gustom poprečnom armaturom. Ukoliko postoji mogućnost, dobro je

obezbediti konzolno produženje zatege preko oslonca, čime je omogućeno jednos-

tavno pravo sidrenje šipki (b). U nedostatku prostora za sidrenje, ankerovanje se


151

može sprovesti zavarivanjem armature za čeličnu ploču koja se postavlja na oslona-

čki blok sa spoljašnje strane (c).

Sl. 208. Armiranje vešaljke

Sl. 209. Sidrenje armature zatege

Oslonački blok i ovde, u cilju prihvatanja lokalnih napona, treba armirati gustom

troosnom mrežom formiranom od tanjih profila (Sl. 210).

Sl. 210. Armiranje oslonačkog bloka i sidrenje armature zatege

3.6.3.6.3.6.3.6. OOOOSTALI STALI STALI STALI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI LINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČI

3.6.1.3.6.1.3.6.1.3.6.1. ARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJI

Gredni roštilji su ravanske konstrukcije formirane od greda dva ili više pravca pru-

žanja, koje se meñusobno presecaju u čvorovima. Oslonjene su na krajevima greda

i/ili u pojedinim čvorovima (Sl. 211). Najčešća je primena roštilja sa ortogonalno

postavljenim gredama, ali su moguće i drugačije dispozicije, poput onih primenjiva-

nih kod rebrastih meñuspratnih konstrukcija (Sl. 212). U objektima zgradarstva se

koriste u sklopu meñuspratnih konstrukcija, kada su u čvorovima oslonjeni na stu-

bove.


152

Sl. 211. Nekoliko primera statičkih sistema grednih roštilja

Sl. 212. Neki primeri grednih roštilja

U statičkom smislu, opterećenje koje deluje na jedan nosač se prenosi na susedne,

budući da je opterećena elastično oslonjena na poprečne elemente, a ovi, opet, na

podužne... Ovo ih čini racionalnim nosačima. Roštiljne konstrukcije se u zgradarstvu

koriste za pokrivanje većih površina, najčešće pravougaone, ali i trougaone, kružne,

trapezne ili nekog drugog oblika osnove.

Poprečni preseci greda su najčešće pravougaoni, odnosno, u sadejstvu sa pločom, T

oblika. Grede dva pravca mogu biti iste ili različite visine, što je uslovljeno intenzite-

tom sila u presecima, te uslovima pravilnog voñenja armature.

Sl. 213. Uvrtanje grede roštilja

Pod dejstvom vertikalnog opterećenja, u gredama roštilja se javljaju i torzioni uticaji,

izazvani ugibom grede drugog pravca. Prilikom odreñivanja statičkih uticaja, od

posebnog je značaja procena torzione krutosti greda roštilja. Precenjivanjem (na

primer usvajanjem torzione krutosti homogenog betonskog preseka), mogu se zna-

čajno podceniti vrednosti momenata savijanja. Za granično stanje nosivosti oprav-

dano je zanemariti postojanje torzione krutosti. U statičkom proračunu ovo može da

znači značajnu redukciju statičke neodreñenosti, kako je pokazano na Sl. 214.

Sl. 214. Redukcija statičke neodreñenosti zanemarenjem torzione krutosti greda

Armiranje grednih roštilja u svemu odgovara armiranju grednih elemenata. Zbog

pojave uvrtanja greda, uzengije treba izvoditi preklopljene preko kraće strane.

Pogodno je da grede dva pravca budu različite visine iz razloga nesmetanog prolas-

ka podužne armature dva pravca kroz čvor. U suprotnom, kada su grede dva pravca


153

iste visine, na mestu ukrštanja armatura se reña naizmenično, ukoliko je usvojena u

više redova (Sl. 215).

Sl. 215. Podužna armatura u čvoru

3.6.2.3.6.2.3.6.2.3.6.2. GREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMA (DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)

Kombinacijom grednog nosača i poligonalne zatege mogu se formirati vrlo racional-

ni elementi sposobni da savladaju velike raspone uz minimalan utrošak materijala.

Primena ovakvih sistema je karakteristična za krovne konstrukcije velikog raspona,

gde se upotrebljavaju kao glavni ili sekundarni nosači.

Sl. 216. Dvopojasni nosači

Greda se projektuje kao armiranobetonski element, vertikale mogu biti armiranobe-

tonske ili čelične, a zatega se projektuje kao čelična, prednapregnuta ili armirano-

betonska. Kod nosača velikog raspona, u armiranobetonskoj zatezi, meka armatura

može uspešno biti zamenjena kablovima od visokokvalitetnog čelika. Meñutim, u

takvim situacijama, znatno većim vrednostima dopuštenih napona odgovaraju i zna-

tno veća izduženja zatege, pa se proračun saglasan teoriji drugog reda javlja neop-

hodnim.

Statički, greda se oslanja kruto na krajevima, a elastično, na zategu, na mestima

vertikala – kontinualni nosač na elastičnim osloncima. Ovim se značajno redukuju

momenti savijanja u gredi, u odnosu na prostu gredu, a pošto je zatega usidrena u

samu gredu, predaje joj i značajne sile pritiska. Ovim, gredni element može da

ostane u stanju pritiska u fazi malog ekscentriciteta.

Kako je greda pritisnuta, to se i u ovom slučaju mora kontrolisati mogućnost boč-

nog izvijanja. Ovo je razlog što su poprečni preseci greda često većeg momenta

inerciju u ravni normalnoj na ravan nosača, često i višedelni (Sl. 217). Za velike ras-

pone povoljna je primena sandučastih preseka.

Sl. 217. Poprečni preseci dvopojasnih nosača


154

Vertikale se obično projektuju u trećinama raspona u slučaju kolenaste grede,

odnosno u četvrtinama kod pravih greda. Stinjenost ovakvih nosača je u granicama

izmeñu 1/15 i 1/7.

Dvopojasni nosači, osetljivi na deformacije generalno, moraju biti kontrolisani i u

smislu vremenskih deformacija betona – promene dužine (skraćenja) pritisnute gre-

de. Skraćenje grede ima za posledicu i skraćenje raspona zatege (lančanice), te

povećanja ugiba kablova.

Primer uspešno izvedene konstrukcije velikog raspona sa ovim sistemom je kons-

trukcija Hangara 2 na aerodromu u Surčinu, a u novije vreme, krovna konstrukcija

Beogradske arene.

Sl. 218. Shematski prikaz konstrukcije Hangara 2 na aerodromu u Surčinu

3.6.3.3.6.3.3.6.3.3.6.3. VIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČI

Virandel nosači su gredni elementi sastavljeni od mreže krutih četvorouglova, koji

formiraju gornji i donji pojas, te sistem vertikala. Mogu biti projektovani u sistemu

proste ili kontinualne grede, a primenjuju se kao krovni i meñuspratni glavni nosači

u zgradarstvu, te kao glavni nosači mostovskih konstrukcija. Pojasevi se konstruišu

kao paralelni pravolinijski ili poligonalni. Sve veze elemenata su krute.

Sl. 219. Pravolinijska i poligonalna konfiguracija

Nastali su u težnji da se racionalizuje puni gredni element formiranjem četvorouga-

onih otvora. Postignuta je racionalna konstrukcija, koja u nekim situacijama može

biti konkurentna sa rešetkastim ili lučnim nosačima.

Forsirano krute veze izmeñu štapova imaju za posledicu izuzetno krutu konstrukciju

velike nosivosti, nezavisno od konfiguracije ili promene opterećenja. Sa druge stra-

ne, zbog momenata savijanja i transverzalnih sila visokog nivoa, utrošak armature je

neuporedivo veći nego kod ostalih kombinovanih linijskih sistema.

Velika vertikalna opterećenja mogu usloviti projektovanje virandel nosača bez otvora

u krajnjim poljima, radi mogućnosti prijema smicanja.


155

3.7.3.7.3.7.3.7. KRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOSAČISAČISAČISAČI

3.7.1.3.7.1.3.7.1.3.7.1. UVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKOVANJE...OVANJE...OVANJE...OVANJE...

Kružni zatvoreni prstenasti nosač je čest element armiranobetonskih konstrukcija

kružne osnove i javlja se kao obodni oslonački element kružnih i prstenastih ploča,

obodni nosač na spoju ljuskastih elemenata, temeljni nosač (greda) ispod stubova

rsporeñenih po obimu kruga... (Sl. 220).

Sl. 220. Primena kružnog prstenastog nosača

U konstrukcijama, prstenasti nosač se koristi kao prelazni oslonački element, kojim

se, na primer, kružne ploče oslanjaju na niz stubova, a kada ploči, dovoljnom savoj-

nom krutošću, obezbeñuje linijske uslove oslanjanja po obodu, dok je sam oslonjen

diskontinualno na stubove. U tom slučaju, prstenasti nosač je dominantno savijan u

vertikalnoj ravni, a kao posledica zakrivljenosti realizuju se i momenti torzije po

dužini prstena (Sl. 221a). U drugom slučaju, prstenasti nosač može biti kontinualno

oslonjen na zidove, bilo da je reč o zidovima od opeke ili da je monolitno spojen sa

armiranobetonskim ljuskastim elementom kružne osnove. I tada, i pored obezbeñe-

ne vertikalne nepomerljivosti, usled momenata uvrtanja, može biti izložen uticajima

momenata savijanja. U oba slučaja, prstenasti element može biti izložen i dejstvu

horizontalnog opterećenja, u sopstvenoj ravni, kada se kao posledica javljaju domi-

nantno aksijalne sile. Šta više, neretka uloga prstenastog nosača je obezbeñenje

horizontalnog oslonca ljuskastim (sferični, konični) elementima, kada je nosač izlo-

žen aksijalnim silama visokog intenziteta. U takvim situacijama, uobičajeno je nje-

govo projektovanje u prednapregnutom betonu.

Kako se javlja elementom konstrukcija koje svojom geometrijom zadovoljavaju rota-

cionu simetriju42, te kako su ovakve konstrukcije gravitaciono najčešće rotaciono-

simetrično i opterećene gravitacionim opterećenjem, to se i sam prsten često prora-

čunava u uslovima zadovoljene rotacione simetrije geometrije i opterećenja (Sl.

221b).

42 Rotaciona simetrija podrazumeva nezavisnost oblika od rotacije, ili, jednake karakteristike

u svim radijalnim pravcima.


156

Sl. 221. Diskontinualno oslonjen prsten i rotaciono-simetrično opterećenje prstenastog nosača

U poprečnom preseku, prstenasti nosač se najčešće oblikuje pravougaonog oblika,

mada su, posebno kad je spoj ljuskastih elemenata u pitanju, mogući i drugi, nepra-

vilni, oblici (Sl. 220b, na primer).


3.7.2.1.3.7.2.1.3.7.2.1.3.7.2.1. Kontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prsten

U uslovima rotacione simetrije, kontinualno oslonjen kružni prstenasti nosač može

biti opterećen ravnomerno podeljenim (linijskim) opterećenjem, koje se može razlo-

žiti na vertikalnu i horizontalnu komponentu, te ravnomerno raspodeljenim

momentima uvrtanja.

Membranski (statički odreñeni) uslovi oslanjanja prstena podrazumevaju nesmetanu

promenu prečnika ploče i sprečeno vertikalno ugibanje.

Sl. 222. Prsten opterećen u svojoj ravni (kotlovska formula)

Pod dejstvom horizontalnog rotaciono-simetričnog opterećenja (Sl. 222) koje deluje

u težištu prstena43, za „membranske“ uslove, u prstenu se realizuje aksijalna sila,

prema kotlovskoj formuli (direktno iz uslova ravnoteže):

Z H r= ⋅ . ......................................................................................... (3.51)

Normalni naponi i dilatacije su, zapravougaoni presek:

Z H r

F b dσ ⋅= =

⋅, r

H r

E b dϕε ε ⋅= =⋅ ⋅

, ........................................................ (3.52)

dok je promena poluprečnika (∆r) data narednim izrazom, a obrtanje izostaje:

2H r

r rE b d

ε ⋅∆ = ⋅ =⋅ ⋅

, 0χ = . ................................................................ (3.53)

Uz zanemarenje širine b prema radijusu, može se smatrati da sve tačke preseka

prstena imaju jednaku deformaciju, tj. da se presek pomera kao kruto telo (Sl. 223).

43 Primetiti da je opterećenje ravnotežno.


157

Sl. 223. Deformacija prstena opterećenog u svojoj ravni

Sl. 224. Prsten opterećen rotaciono-simetričnim momentima uvrtanja i kombinovanim uticajima

Pod dejstvom rotaciono-simetričnih momenata uvrtanja (m), budući da je opet reč o

ravnotežnom opterećenju, ne ralizuju se nikakve oslonačke reakcije. Kako „mem-

branski“ uslovi oslanjanja obezbeñuju nesmetanu rotaciju poprečnih preseka, uz

ponovno zanemarenje širine preseka prema radijusu, u prstenu se realizuju kon-

stantni momenti savijanja u vertikalnoj ravni44 (Sl. 224a):

M m r= ⋅ . ........................................................................................ (3.54)

Normalni naponi, linearno promenljivi, su funkcija položaja po visini preseka:

3

12M m ry y

I b dσ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅, ..................................................................... (3.55)

dok su naponi na ivici:

2

6 m r m r

b d Wσ ⋅ ⋅ ⋅= ± = ±

⋅. ....................................................................... (3.56)

Prsten se deformiše obrtanjem poprečnih preseka oko svog težišta za veličinu χ.

Dilatacija, odnosno promena poluprečnika, u funkciji položaja po visini preseka je:

3

12 m ry

E b dε ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅,

2

3

12 m rr r y

E b dε ⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅. ............................................. (3.57)

44 Kao posledica zakrivljenosti, situacija je „pomalo“ paradoksalna: po dužini linijski element

ne trpi vertikalnu deformaciju, a izložen je momentima savijanja. Prikazanom smeru optere-

ćenja odgovaraju momenti savijanja koji zatežu donju stranu prstena.


158

Sada se do obrtanja preseka kao krutog tela može doći iz promene poluprečnika ivi-

čnih vlakana (∆r0):

2

0 2

6 m rr

E b d

⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅

→ 2

0

/ 2

r m r

d EIχ ∆ ⋅= = . ................................................... (3.58)

U opštem slučaju, kada na kontinualno, „membranski“ oslonjen, prsten deluju rota-

ciono-simetrična opterećenja proizvoljnog pravca, i kada se širina preseka može

zanemariti u odnosu na radijus, svoñenjem spoljašnjih sila na težište preseka i

dekompozicijom (projekcijama) moguće je opšti slučaj opterećenja svesti na dva

navedena (Sl. 224b). Uslovi oslanjanja koji podrazumevaju slobodno horizontalno

pomeranje redovno se ne javljaju u realnim konstrukcijama, ali je moguće usvojiti ih

u osnovnom, statički odreñenom sistemu, a za statički prekobrojnu izabrati hori-

zontalnu, rotaciono-simetričnu, reakciju.

3.7.2.2.3.7.2.2.3.7.2.2.3.7.2.2. Diskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosač

Uslovi ravnoteže za diferencijalno mali isečak diskontinualno oslonjenog prstenas-

tog nosača, prema Sl. 225, su:

0dQ

p rdα

+ ⋅ = , 0xy

dMdM

dα+ = , y

x

dMQ r M

dα= ⋅ + , .............................. (3.59)

Sl. 225. Analiza sila na elementarnom delu diskontinualno oslonjenog kružnog prstena

iz čega se sreñivanjem dolazi do diferencijalne jednačine, te njenog rešenja:

2

22

yy

d MM p r

dα+ = − ⋅ , 2sin cosyM A B p rα α= ⋅ + ⋅ − ⋅ . .......................... (3.60)

Integracione konstante su u funkciji ivičnih uslova. Sile u presecima su, u opštem

slučaju, statički neodreñene, ali se za neke specijalne slučajeve opterećenja mogu

izvesti samo iz uslova ravnoteže. Primera radi, u nastavku su data rešenja za dva

karakteristična slučaja opterećenja.


159

Sl. 226. Ravnomerno vertikalno opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

Kružni nosač sa proizvoljnim brojem (n) ravnomerno po obimu rasporeñenih oslo-

naca i opterećen ravnomerno raspodeljenim vertikalnim opterećenjem (p) (Sl. 226):

• 2

R r pn

π= ⋅ ⋅ , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,

• 2

0

cos1

sinyM rn

π απα

⋅= − ⋅ , 2

0

sin

sinxM rn

π απ αα

⋅= − − ⋅ , 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .

Kružni nosač sa parnim brojem oslonaca ravnomerno rasporeñenih po krugu, opte-

rećen u poljima naizmeničnim ravnomerno podeljenim opterećenjem ±p (Sl. 227):

• 0R = , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,

• 2

0

cos1

sinyM rαπα

= −

, 2

0

sin

sinxM rαπ αα

= − +

, 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .


160

Sl. 227. Naizmenično opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

3.7.3.3.7.3.3.7.3.3.7.3. DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE

Dimenzionisanje i armiranje kružnog prstenastog nosača u svemu odgovara onom

kod grednih elemenata napregnutih pomenutim uticajima momenata savijanja, tor-

zije, aksijalne i transverzalne sile. Pravila i preporuke za voñenje i nastavljanje

armature su, takoñe, identična.

3.8.3.8.3.8.3.8. KRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTI

Kratki elementi su, načelno, kratki konzolni nosači opterećeni koncentrisanom

silom, često velikog intenziteta, na svom kraju. Raspon elementa (krak sile u odnosu

na uklještenje), a, nije veći od statičke visine elementa, h (Sl. 228a). Slično, kratkim

elementima se, prilikom proračuna, smatraju i delovi grednih nosača na kojima

dolazi do znatne promene transverzalne sile na dužini grede koja nije veća od nje-

gove visine, kakav je, na primer, slučaj kada u neposrednoj blizini oslonca deluje

poprečna koncentrisana sila velikog intenziteta (Sl. 228b). U praksi, kratki elementi

se često primenjuju (Sl. 229): kao oslonci podužnih nosača kranskih staza, kao

oslonci prefabrikovanih elemenata u montažnom načinu gradnje, ili na dilatacionim

razdelnicama, pri oblikovanju Gerber-ovih zglobova...

Sl. 228. Kratki elementi


161

Zbog specifičnosti oblika, kratki elementi su pre površinski elementi opterećeni u

svojoj ravni nego linijski, zbog čega ni njihov proračun kao linijskih nije prihvatljiv.

Takoñe, primena teorije elastičnosti kod ovih elemenata nije primerena, zbog prsli-

na koje su karakteristika već eksploatacionih opterećenja, a za posledicu imaju

plastične i viskozne deformacije.

Sl. 229. Primena kratkih elemenata

Na Sl. 230 prikazane su trajektorije glavnih napona45 kod kratkih elemenata optere-

ćenih vertikalnom silom, koji se razlikuju u nagibu donje ivice. Punim linijama su,

očigledno, date trajektorije napona pritiska, a isprekidanim – zatezanja. Slika prava-

ca naprezanja je izuzetno informativna i omogućava postavljanje aproksimativnih

postupaka proračuna. Uporeñenjem dva slučaja, može se zaključiti da je kosa ivica

povoljnija u statičkom smislu, jer obezbeñuje nešto povoljniji (male razlike) ugao

unosa sile pritiska u stub. Kod ravne donje ivice (jednostavnije za izvoñenje), dodat-

no, jedan deo elementa ostaje neiskorišćen i, pogotovu izložen dinamičkim i udar-

nim opterećenjima, sklon odvaljivanju na spoju napregnutog i nenapregnutog dela.

Sl. 230. Trajektorije naprezanja kratkih elemenata sa zakošenom i ravnom donjom ivicom46

Eksperimentalno je pokazano47 da su naponi zatezanja uz gornju ivicu konzole pra-

ktično konstantni celom dužinom od ivice stuba do mesta dejstva sile. Samim tim, i

ukupna zatežuća sila Fs je nepromenljiva. Takoñe, sila pritiska, koja se pruža od

45 Trajektorije mogu biti odreñene, na primer, fotoelastičnim postupkom, eksperimentalno,

ili primenom metode konačnih elemenata, računski.

46 Visina nosača, a ne statička visina, na crtežima je obeležena sa hc (ovakvo obeležavanje,

invertovane oznake za ukupnu i statičku visinu, karakteristično je za Evrokod).

47 Najčešće se citiraju eksperimentalna istraživanja Franz-a i Niedenhoff-a.


162

napadne tačke sile do korena kratkog elementa je približno konstantna, a već je

konstatovan relativno mali uticaj oblika konzolnog elementa na trajektornu sliku. Na

osnovu iznetog kristalisao se štapni mehanizam kao aproksimativni pristup prora-

čunu kratkih elemenata (Sl. 231), koji podrazumeva razlaganje spoljašnjeg koncen-

trisanog dejstva (u opštem slučaju – kosog) na horizontalnu silu zatezanja i kosu

silu pritiska.

Sl. 231. Štapni mehanizam kratkog elementa

Na Sl. 232 prikazani su mogući mehanizmi otkaza kratkih elemenata, intenzivno

istraživani od strane Kriz-a i Raths-a.

Sl. 232. Mogući tipovi sloma kratkih elemenata

Slomu usled zatezanja gornje zone izazvanog momentom savijanja (slika a) pretho-

de velike deformacije horizontalne armature, a slom se „realizuje“ drobljenjem priti-

snutog betona. Dijagonalno cepanje po dužini pritisnutog štapa (slika b), nakon

pojave pukotine uz lice stuba, rezultiraće slomom smicanjem u pritisnutoj zoni. Niz

kratkih i odvojenih dijagonalnih pukotina (slika c) vodi slomu usled klizanja, nakon

spajanja ovih prslina. Opterećenje naneto blizu kraja konzole (slika d) formira verti-

kalni pritisnuti štap i vodi slomu odsecanjem. Kod malih površina podložnih pločica

može doći do lokalnog preopterećenja i drobljenja betona ispod pločice (slika e).

Konačno, horizontalno, uz vertikalno, opterećenje može biti uzrok vertikalnim prsli-

nama i slomu po njoj (slika f).


163

Armatura za prijem napona zatezanja izazvanih momentom savijanja se odreñuje i

konstruiše na isti način kao i kod ostalih konzola. Pri tome je, saglasno Sl. 231,

moment savijanja uz lice stuba:

v c cM F a H h= ⋅ + ⋅ ∆ . ......................................................................... (3.61)

Sl. 233. Armatura za prijem napona zatezanja od momenta savijanja

Granična vrednost ovog momenta i horizontalne sile rezultuje potrebnom količinom

armature, nakon što se za krak unutrašnjih sila, preporučeno, usvoji nešto niža vre-

dnost od one koja odgovara grednim elementima – oko 80% statičke visine. Ova

armatura se oblikuje na način prikazan na Sl. 233, i sidri se, dovoljnom dužinom, u

stub, na oba kraja.

Armatura za prijem uticaja od transverzalne sile se sračunava direktno iz ukupne

transverzalne sile i, preporučeno, postavlja se kao kosa, potrebne površine:

2 cos

uak

v

TA

σ β=

⋅ ⋅, .......................................................................... (3.62)

gde je sa β obeležena razlika uglova nagiba kose armature i kosog pravca od 45º.

Potrebna količina kose armature treba da bude rasporeñena na način (prema tzv.

Mehmel-ovom modelu) da bude relativno ravnomerno rasporeñena duž linije koja

spaja napadnu tačku sile i koren elementa (Sl. 234a).

Sl. 234. Kosa armatura za prijem transverzalnih sila i armiranje kratkih kratkih elemenata

Kod vrlo kratkih konzola, kada je raspon znatno manji od visine, kosi glavni naponi

zatezanja, umesto kosom, mogu biti primljeni horizontalnom armaturom (otvorene

uzengije) rasporeñenom po visini elementa (Sl. 234b). Treba naglasiti i da mnogi

savremeni propisi ne preporučuju korišćenje kose armature za prijem glavnih napo-


164

na zatezanja ni kod kratkih elemenata. Razlog ovome je nemogućnost njenog pot-

punog iskorišćenja, ali i komplikovano izvoñenje i otežano betoniranje. Shema

armiranja u kojoj izostaju kose šipke je prikazana na Sl. 235, za kratki element

horizontalne donje ivice.

Sl. 235. Armiranje samo horizontalnom i vertikalnom armaturom

Osim proračunskom, kratki element, dodatno, mora biti gusto armiran i horizontal-

nim i vertikalnim konstruktivnim uzengijama. Razlog ovome je i u mogućim druga-

čijim mehanizmima sloma kratkog elementa.

Saglasno Evrokodu, kod kratkog elementa je neophodno dokazati i nosivost pritis-

nute dijagonale/štapa. U tom cilju se granična vrednost sile pritiska deli površinom

odreñenom širinom preseka, b, i širinom (efektivnom) pritisnutog štapa, c, za koju

se usvaja jedna petina statičke visine (Sl. 231). Ovako odreñen napon se uporeñuje

sa računskom vrednošću pritisne čvrstoće pri savijanju.

Sl. 236. Indirektno opterećen kratki element

Indirektno opterećeni kratki elementi (Sl. 236) mogu biti približno analizirani pode-

lom vertikalnog opterećenja na dva jednaka dela, od kojih jedan deluje u gornjem, a

drugi u donjem delu. Za silu na gornjoj ivici proračun odgovara iznetom, a donja

polovina sile se razlaže na jednu zatežuću, Fs2, i jednu pritiskujuću, Fc2. Zatežućoj

sili, sada, odgovara i dodatna količina armature.

Podmetač, preko kojeg se prenosi sila na kratki element, mora biti dovoljno udaljen

od ivice, kako je slikom prikazano (Sl. 237a).


165

Proračun i armiranje grednog elementa opterećenog u blizini oslonca je u svemu

analogno proračunu i armiranju kratkog elementa (Sl. 237b).

Sl. 237. Udaljenje podmetača od ivice i deo grede koji se tretira kao kratki element

Oslabljeni deo grede kod Gerber-ovog zgloba se, takoñe, tretira kao kratki element.

Jedan način njegovog armiranja prikazan je na Sl. 238.

Sl. 238. Armiranje Gerber-ovog zgloba

Documents

03 - Linijski elementi