02 prosomthem sel - Public · 2018-05-25 · β) Nα δείξετε ότι ηf αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

7

Διαγώνισμα 1

Θέμα Α

Α1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f x x x ln , ,( ) = ∈ ∗ είναι παραγωγίσιμη στο∗

και ισχύει f xx1 .( )′ = Μονάδες 7

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5

Α3. Πότε λέμε ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει πλάγια ασύμπτωτητην ευθεία με εξίσωση = +λ βy x ; Μονάδες 3

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x ,0 ∈ Α όταν f x f x0( ) ( )≥ για κάθε x .∈ Α

β) Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f x > 0( )′ για κάθε πραγματικό αριθμό x.

γ) Η εικόνα f Δ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.

δ) Αν f g g , , ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα , α β , τότε:

( ) ( ) ( ) ( )′ = ⋅ ′⌠⌡

⌠⌡

⌠⌡α

β

α

β

α

βf x g x dx f x dx g x dx.

ε) Αν > 1,α τότε lim 0.x

x =α→ −∞

Μονάδες 10

Θέμα Β

Δίνεται η συνάρτηση f : ,→ με τύπο f x x x 1.2( ) = + +B1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 8

Β2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . Μονάδες 8

B3. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f 1− της συνάρτησης f . Μονάδες 9

Θέμα Γ

Γ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x x2ln 22+ = έχει μοναδική ρίζα, η οποία

περιέχεται στο διάστημα 1,2 .( ) Μονάδες 5

02 prosomthem sel.indd 7 8/5/18 2:56 μμ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

8

Δίνονται οι συναρτήσεις f xx

x x1 ln 1 12

( ) ( )= − + + και g x x2

.2

( ) = −

Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός x0 τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο x f x,0 0( )( )Α να είναι κάθετη στην εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της g στο σημείο x g x, .0 0( )( )Β Μονάδες 5

Γ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 4

Γ4. Να βρείτε όλους τους θετικούς αριθμούς ,α β για τους οποίους ισχύειe

ln ln 1 .2 2+ =α

αβ

β Μονάδες 6

Γ5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι =+ −⌠

⌡

x x xx

dx2ln2

.e 2 3

21

Μονάδες 5

Θέμα Δ

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ,→ η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:• f 0 1( ) = .

• f x > 0( ) για κάθε x ∈ .

• f xe x

x

1 f

f1

x( )( ) ( )( )′ =

+

+για κάθε x ∈ .

Δ1. Να αποδείξετε ότι f x e ,x( ) = x .∈ Μονάδες 6

Δ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x xfx1 ,( ) =

x .∈

Μονάδες 6

Δ3. Να αποδείξετε ότι +<

+

α β α βe e23

ln 23

για κάθε , ∈α β , με < .α β Μονάδες 6

Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f , την παραβολή y x 12= + και την ευθεία με εξίσωση x 1.= Μονάδες 7



9


Θέμα Α

Α1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα , ,( )α β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x ,0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ′ διατηρεί πρόσημο στο x x, , ,0 0( ) ( )α β τότε να αποδείξετε ότι το f x0( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο , .( )α β Μονάδες 7

Α2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να γράψετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Μονάδες 5

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Κάθε συνάρτηση f που είναι1 1− στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως μονότονη.β) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x ,0 τότε και οι συναρτήσεις f g fg ,+ και ν f είναι συνεχείς στο x .0

γ) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x ,0 τότε είναι και συνεχής στο ση-μείο αυτό.

δ) Η συνάρτηση f με f x x( ) = είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.ε) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x < 0( )′ σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Μονάδες 10

Θέμα Β

Δίνεται η συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο 0,1 και ισχύει ότι f f0 1( ) ( )= και

f f23

1 .( )

≠

Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g x f x f x13

( ) ( )= +

− είναι συνεχής στο 0, 23

.

Μονάδες 8

Β2. Να αποδείξετε ότι ισχύει g g g0 13

23

0.( ) +

+

= Μονάδες 5

Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g x 0( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο 0, 23

.

Μονάδες 6

Β4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι1 1− στο 0,1 .) Είναι η συνάρτηση fγνησίως μονότονη στο 0,1 ;) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 6



10

Θέμα Γ

Δίνεται συνάρτηση f : → δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει ( ) ( ) ( )− ≥f x f x 2 1 13 2 για κάθε x .∈

Γ1. Να δείξετε ότι ηCf διέρχεται από τα σημεία ( ) ( )Α Β −1,1 , 1,1 και 0,1( )Γ και ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία τηςCf με τετμημένες x x, 1,11 2 ( )∈ − στα οποία ηCf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. Μονάδες 9

Γ2. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′f f f1 0 1 . Μονάδες 5

Γ3. Να δείξετε ότι η f έχει τέσσερα πιθανά σημεία καμπής. Μονάδες 5

Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση g x xe f x x, 1, .x( ) ( ) )= + ∈ − +∞ Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της Cg με τετμημένη x 0,10 ( )∈ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cg στο σημείο αυτό να είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) − − =ε ex y e: 0. Μονάδες 6

Θέμα Δ

Α. Θεωρούμε συνάρτηση f : 0,1 → , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0,1 , η γραφική της παράσταση εφάπτεται στον άξονα x x′ στην αρχή των αξόνων και η εφαπτομένη της στο σημείο f1, 1( )( )Β είναι παράλληλη προς τον άξονα x x.′ Να αποδείξετε ότι:

α) f x dx x f x dx1 .0

1

0

1

∫ ∫( ) ( ) ( )= − ′ Μονάδες 4

β) Υπάρχει x 0,10 ∈ τέτοιο ώστε f x f x dx2 .0 0

1

∫( ) ( )′ = Μονάδες 6

Β. Δίνεται συνάρτηση f : ,→ η οποία είναι παραγωγίσιμη με f xx

112( )′ =

+για κάθε x ∈

και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 4

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f εϕx( )− x = 0 έχει άπειρες στο πλήθος λύσεις στο

διάστημα2

,2

−

π π και να υπολογίσετε το f 1 .( ) Μονάδες 6

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςf , τον άξονα ′x x και τις ευθείες με εξισώσεις x 0= και x 1.= Μονάδες 5



11


Θέμα Α

Α1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ.Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,

τότε να δείξετε ότι f x 0.0( )′ = Μονάδες 7

Α2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f : Α → είναι συνάρτηση −1 1; Μονάδες 4

Α3. Να γράψετε ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 4

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Κάθε συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,( )α β έχει σύνολο

τιμών το διάστημα f x f xlim , lim .x x

( ) ( )

→ →α β+ −

β) Αν οι συναρτήσεις f g, είναι συνεχείς στο x ,0 τότε και η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο x .0

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α ,β ,γ ∈Δ, τότε ισχύει

( ) ( ) ( )= +⌠⌡

⌠⌡

⌠⌡α

β

α

γ

γ

βf x dx f x dx x dx.

δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , α β και υπάρχει x ,0 ( )∈ α β τέτοιο

ώστε f x 0,0( ) = τότε θα ισχύει ( ) ( ) <α βf f 0.ε) Αν η συνάρτηση Δ είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x 0( )′ > σε κάθε

εσωτερικό σημείο του Δ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.Μονάδες 10

Θέμα Β

Δίνεται η συνάρτηση f , με f x e xln 1 , .x( )( ) = + ∈Β1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 7

Β2. Αν ϕ x( ) = f −1 x( ) = ln ex −1( ), x ∈ f Α( ), όπου f ( )Α είναι το σύνολο τιμών της f , να μελετή-σετε τη συνάρτηση ϕ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Μονάδες 5

Β3. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της γραφικής παράστασης της ϕστο σημείο τομής της με τον άξονα x x′ και να αποδείξετε ότι ( )− ≤ −e xln 1 2 ln4x για κάθεx 0, .( )∈ +∞ Μονάδες 6



12

Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ϕ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ϕ . Μονάδες 7

Θέμα Γ

Δίνεται η συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύουν τα εξής:α) Eίναι δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο.β) f f0 0 0( ) ( )= ′ = .γ) f x0 1( )< ′′ < για κάθε x 0,2 .( )∈

δ) ( ) ( ) ( )− ′′ −

= −⌠

⌡x f x f x dx4 2 8.2

0

2

Γ1. Να αποδείξετε ότι: α) f 2 2( ) = και β) f x 0( ) ≥ για κάθε x 0,2 .∈ Μονάδες 8

Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( ) ∈ξ ξ, 0,2 ,1 2 με < ξ ξ ,1 2 έτσι ώστε να ισχύει:f f f2 2 1 .2 1( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξ Μονάδες 6

Γ3. Να αποδείξετε ότι ( )< <f0 1 1. Μονάδες 5

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x x x f x2 1 3 62 2( ) ( )− + + = − έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα 0,2 .( ) Μονάδες 6

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύουν τα εξής:α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο.

β) f f1 1 0( ) ( )+ − = και γ) f x f x16 2( ) ( )′ = + για κάθε x .∈

Δ1. Να αποδείξετε ότι:α) f x f x x,( ) ( )′′ = ∈ . Μονάδες 2

β) Η συνάρτηση ( )( ) ( ) ( )= ′ + ∈−g x f x f x e x, ,x είναι σταθερή στο. Μονάδες 4

Δ2. Να αποδείξετε ότι f x dx 0.1

1 ( ) =⌠⌡−

Μονάδες 4

Δ3. Αν επιπλέον ισχύει f 0 0,( ) = τότε:

α) Να αποδείξετε ότι f x e e x2 ,x x( )( ) = − ∈− . Μονάδες 4

β) Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5

Δ4. Να υπολογίσετε το + +⌠

⌡

x x dxln 164

.2

0

3

Μονάδες 6


∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

13


Θέμα Α

Α1. Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ είναι συνεχής στο Δ και για κάθεεσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει ότι f x 0,( )′ = τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 7

Α2. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι f xlim 0,x

( ) =→ +∞

ποια είναι η σχέση του ημιάξονα xΟ με τη γραφική παράσταση της f και τι σημαίνει αυτό; Μονάδες 4

Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα κλειστό διάστημα, α β και με τη βοήθεια σχήματος να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος.

Μονάδες 4

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για κάθε ∈κ ισχύει ότι x x .1( )′ = κ −κ κ

β) Αν μία συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο

g Δ( ), τότε και η f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ότι f g x f g x g x .( )( ) ( )( ) ( ) ( )′ = ′ ′γ) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η παράγωγός της εί-

ναι θετική στο εσωτερικό του διαστήματος Δ.δ) Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά

μέγιστα.ε) Το ορισμένο ολοκλήρωμα f x dx( )⌠

⌡α

βδίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x′ και τις ευθείες x = α και x .= βΜονάδες 10

Θέμα Β

Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης f ′ μιας συνάρτησης f , η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα

0,3 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Β1. Αν2

3,1 23( ) ( ) ( )

Ε Ω = Ε Ω =Ε Ω

= να υπολογίσετε τις

τιμές f f f0 , 1 , 2( ) ( ) ( ) και f 3 .( ) Μονάδες 6

Β2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησηςf και τα ακρότατά της. Μονάδες 7

Β3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα ση-μεία καμπής της. Μονάδες 6

1 2 3-1-1

-2

-3

-4

1

2

Ο

-5

-6

x΄ x

y΄

y

Ω1 Ω2

Ω3



14

Β4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0,3 . Μονάδες 6

Θέμα Γ

Δίνεται η συνάρτηση f , με ( ) =+

∈f x xe

x1

, .x

2

Γ1. Να αποδείξετε ότι f x f x x 0,2( ) ( )+ − − = για κάθε x .∈ Μονάδες 4

Γ2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της f , τον άξονα x x′ και τις ευθείες με εξισώσεις x 2= − και x 2.= Μονάδες 6

Γ3. Να αποδείξετε ότι ≤+

≤+

⌠

⌡

xedx

e0

18

1.x

2

0

2

2 Μονάδες 8

Γ4. Να αποδείξετε ότιe

exedx

8 2

3 1 183

.x

2

2

2

2

0( )( )

−

+≤

+≤

⌠

⌡

−

Μονάδες 7

Θέμα Δ

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση g 0, ): +∞ → με g x x e1 .x2( ) = − − −

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g έχει με τον άξονα x x′ ακριβώς δύο κοινά σημεία. (Δίνεται ότι ln2 0,6932≈ .) Μονάδες 3

Δ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση f 0, ( ): +∞ → με f x x e 1 .x2

12

( ) = −

α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0,( )+∞ και να εκφράσετε την f ′ως συνάρτηση της g. Μονάδες 3

β) Να βρείτε το πρόσημο της gx1

και να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία

και τα ακρότατα. Μονάδες 3

γ) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )= + + −

∈ +∞

−f x

xx x e xln 1 1 ln 1

2ln 1 , 0,x

2

, και να

υπολογίσετε το f xlim .x 0

( )→ +

Μονάδες 3

Δ3. Να αποδείξετε ότι:α) e ex0 1 ,x≤ − ≤ για κάθε x 0,1 .∈ Μονάδες 2

β) u e u e u1 12

,u 2+ ≤ ≤ + + για κάθε u 0,1 .∈ Μονάδες 2

γ) f x x e0 2 2 ,2( )≤ − ≤ για κάθε x 2.≥ Μονάδες 2

Δ4. Να υπολογίσετε τα f x xlim 2x ( )( ) −

→ +∞και f xlim .

x( )

→ +∞ Μονάδες 4



15


Θέμα Α

Α1. Έστω μία συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , . α β Αν η fείναι συνεχής στο , α β και f f ,( ) ( )≠α β τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( )α και f ( )β υπάρχει ένας τουλάχιστον x ,0 ( )∈ α β τέτοιος ώστε ( ) = ηf x .0 Μονάδες 7

Α2. Ποια σημεία ενός διαστήματος Δ λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ; Μονάδες 4

Α3. Να γράψετε ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησηςf σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 4

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Η συνάρτηση f με τύπο ( ) = ≠f x xx

x, 0,2

είναι σταθερή συνάρτηση.

β) Αν υπάρχει το f xlimx x0

( )→

και f xlim 0,x x0

( ) =→

τότε f xlim 0.x x0

( ) =→

γ) Αν f x dx 0,( ) ≥⌠⌡α

βτότε θα ισχύει πάντα ότι f x 0( ) ≥ για κάθε x , .∈ α β

δ) Αν μία συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παρά-στασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

ε) Έστω f g, δύο συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα Δ τέτοιες ώστεf x g x( ) ( )′ = ′ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Τότε ισχύει ότι f x g x( ) ( )= για κάθεx ∈Δ.

Μονάδες 10

Θέμα Β

Α. Έστω η συνεχής συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύει:f xx

f xx

lim lim 0,x x

( ) ( )= =

→ +∞ → −∞ν νμε .∈ν ∗

α) Να υπολογίσετε: i. το f x xlimx

( )( ) +→ +∞

ν και ii. το f x xlim .x

( )( ) +→ −∞

ν Μονάδες 8

β) Αν ο ν είναι περιττός, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 0( ) + =ν έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Μονάδες 7

Β. Δίνεται συνάρτηση f , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x 0,0 = η γραφική της παράσταση δι-έρχεται από την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει ότι f x x f x x x x3 ,3 2 2 3( ) ( )− ⋅ − ≤ηµ ηµγια κάθε x .∈ Να υπολογίσετε τον παράγωγο αριθμό της f στο x 0.0 = Μονάδες 10



16

Θέμα Γ

Α. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο x 0,0 = με f 0 0( ) = και f 0 1.( )′ =

Να υπολογίσετε τοxf xx xe

lim .x x0

( )−ηµ→

Μονάδες 10

Β. Δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο , με ( ) ( )= ′ =h h0 0 0, η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στο =x 0,0 με ( )′′ =h 0 2. Ορίζουμε τη συνάρτηση g, με ( )( )

= ≠

=

g xh xx

x

x

, 0

0 , 0.

α) Να βρείτε τον g 0 .( )′ Μονάδες 7

β) Να αποδείξετε ότι η g x( )′ είναι συνεχής στο x 0.0 = Μονάδες 8

Θέμα Δ

Έστω συνάρτηση )+∞ → f : 0, , για την οποία ισχύουν:α) ( ) =f 0 1.β) H f είναι παραγωγίσιμη στο 0, .)+∞γ) ( ) ( ) ( )′ + = f x f x e 1 ,x για κάθε x 0, .)∈ +∞

Δ1. Να αποδείξετε ότιf xx

lim10

x 0

( ) −=

→και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γρα-

φικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x 0.0 = Μονάδες 5

Δ2. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f και να δείξετε ότι f x f x( ) ( )′′ = για κάθε x 0, .)∈ +∞ Μονάδες 5

Δ3.α)Να αποδείξετε ότι xx1 2+ ≥ για κάθε x 0.> Μονάδα 1

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g x e e x x, 0,x x( ) = − − ≥ηµ− ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 4

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x x12

.( )′ = ηµ Μονάδες 4

Δ4. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ,

τον άξονα y y′ και την ευθεία y 54

.= Μονάδες 6


Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ

73

1

Θέμα Α

Α3. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ.

Θέμα Β

Β1. ( )′ = =+ +

+

+

+≥f x x x

x

x x

x>... 1

1 10,

2

2 2 αφού ≥ −x x, για κάθε ∈x .

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

Β2. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο , το σύνολο τιμών της είναι τοf f x f xlim , lim .

x x ( )( ) ( ) ( )=

→ −∞ → +∞

Είναι ( ) ( )( ) = + + =− +

− +=

−

+ +

=( )

→ −∞ → −∞

−∞ + ∞

→ −∞ → −∞f x x x

x x

x x xx

lim lim 1 lim1

1lim 1

1 1 10.

x x x x

22 2

2

2

Eπίσης ( )( ) = + + = + +

= +∞→ +∞ → +∞ → +∞

f x x x xx

lim lim 1 lim 1 1 1 .x x x

22

Οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το ( ) ( )= +∞f 0, .

B3. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και −1 1, επομένως ορίζεται η −f .1

Θέτουμε y = f x( )⇔ ...⇔ x = y2 −12y

. Άρα ( )+∞ →−f : 0, ,1 με ( ) =−−f x xx

12

.12

Θέμα Γ

Γ1. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) = + − >h x x x x x2ln 2 , 0.2 H h είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, ,

με ( )′ = + − = + −

+ = −

+h xx

xxx x

x>2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0,

2

για κάθε ( )∈ +∞x 0, , άρα η h

είναι γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0, , οπότε η εξίσωση ( ) =h x 0 θα έχει το πολύ μία θετική ρίζα.Είναι ( ) = −h 1 1και ( ) =h >2 2ln2 0.Οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,2 , η οποία είναι μοναδική.

Γ2. ( )′ = = +f xx

x... 1 ln 12,2 ( )′ = −g x x. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός x0

τέτοιος ώστε ( ) ( )′ ′ = −f x g x 1,0 0 δηλαδή ότι η εξίσωση ( ) ( )+

− = −x

x x 1 ln 12

1 12 έχει ακρι-

==

05 prosomapan sel.indd 73 8/5/18 3:00 μμ


74

βώς μία θετική ρίζα. Είναι 1x2ln x + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−x( ) = −1⇔ 2ln x + x2 = 2x⇔ 2ln x + x2 − 2x = 0,

δηλαδή ( ) =h x 0, που από το (Γ1) έχει ακριβώς μία θετική ρίζα.

Γ3. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με ( )′′ = =−f x ... .xx

1 2 ln3

Είναι ′′f x( ) = 0⇔ 1− 2ln xx3

= 0⇔1− 2ln x = 0⇔ ln x = 12⇔ x = e και

′′f x( ) > 0⇔ 1− 2ln xx 3

> 0⇔x>0

1− 2ln x > 0⇔ x < e.

Άρα η f είναι κυρτή στο ( e0, και είναι κοίλη στο )+∞

e, .

Παρουσιάζει καμπή στο =x e,0 με σημείο καμπής το ( )( )Α e f e, .

Γ4. Από το (Γ3) έχουμε ότι η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ( e0, και είναι γνησίως φθίνουσα

στο )+∞ e, , άρα η ′f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για =x e το ( )′ = + = +f e e

e eln 1

212

12,

και συνεπώς έχουμε ′f α( ) < ′f e( )⇔ lnαα 2 + 1

2≤ 12e

+ 12⇔ lnα

α 2 ≤ 12e.

Ομοίως ′f β( ) < ′f e( )⇔ lnββ 2

+ 12≤ 12e

+ 12⇔ lnβ

β 2≤ 12e, οπότε με πρόσθεση των δύο

σχέσεων κατά μέλη έχουμε + ≤α

αβ

β e1.ln ln

2 2Το =« » ισχύει για = =α β e.

Γ5. ( ) ( )Ι =+ −

= + −

= ′ + ′

=⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

x x xx

dx xx

x dx f x g x dx2ln2

ln 12 2

12

e e e2 3

21

21 1

( ) ( ) ( )= +

= − + + −

=

− + + −f x g xx

x x x e e ee

12

1 ln 1 12 4

2 3 84

.e e

1

2

1

3 2

Θέμα Δ

Δ1. Για κάθε ∈x είναι ′f x( ) = 1+ ex( ) f x( )1+ f x( ) ⇔ ′f x( ) 1+ f x( )⎡⎣ ⎤⎦ = 1+ e

x( ) f x( )⇔

⇔f x( )>0 ′f x( )

f x( ) +′f x( ) f x( )f x( ) = 1+ ex ⇒ ln f x( )+ f x( )⎡⎣ ⎤⎦

′ = x + ex( )′ .Άρα υπάρχει ∈c τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) ( )+ = + +f x f x x e cln ,x για κάθε ∈x . Για =x 0 έχουμε ( ) ( )+ = +f f cln 0 0 1 και επειδή ( ) =f 0 1, προκύπτει =c 0. Άρα ln f x( )+ f x( ) = x + ex ⇔ ln f x( )+ f x( ) = x lne+ ex ⇔

( ) ( )+ = +f x f x e eln ln ,x x ( )∈x . 1 .Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με ( ) = +h t t tln , με t > 0.



75

H h είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, , με ( )′ = +h tt

>1 1 0, άρα η h είναι

γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0, , οπότε είναι και −1 1.

Έτσι, από τη σχέση ( )1 έχουμε ( ) ( )( ) =h f x h e ,x άρα ( ) = ∈f x e x , .x

Δ2. Είναι ( ) =

=g x xfx

xe1 ,x1

∈ ∗x .

( ) = =

→ → →+ + +g x xe e

x

lim lim lim1.

x x

x

x

x

0 0

1

0

1

Θέτουμε =ux1 και έχουμε = = +∞

→ →+ +u

xlim lim 1 ,x x0 0

οπότε

( )( )( )

= = = =′

′= = +∞

→ → → → +∞

+∞+∞

→ +∞ → +∞+ + +g x xe e

x

eu

e

uelim lim lim

1lim lim lim .

x x

x

x

x

u

u

u

u

u

u

0 0

1

0

1

Άρα η ευθεία =x 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C .g Επειδή η g είναι συνεχής στα δια-

στήματα ( )−∞,0 και ( )+∞0, , δεν υπάρχουν άλλες κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Επίσης είναι

( )= =

=

→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞

g xx

xex

elim lim lim 0x x

x

xx

11

και

( ) − = −

= −

=−

=

( )( )

→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞

±∞ ⋅

→ ± ∞

g x x xe x x ee

x

lim lim lim 1 lim1

1x xx

xx

x

x1 1 0

100

=

−

′

′=

⋅

′

′=

=

→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞

e

x

ex

x

elim1

1lim

1

1lim 1.

x

x

x

x

xx

1 1

1

Άρα η ευθεία = +y x 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ και στο −∞.

Δ3. Ισχύει ότι +α

α ββ< <3

3. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα

+

α

α β, 23

και +

α ββ

23

, , επομένως υπάρχουν ∈+

ξ α

α β, 231 και ∈

+

ξ

α ββ

23

,2

τέτοιοι ώστε ( )( )

( )′ =

+

−

−ξ

α βα

β αf

f f23

23

1 και ( )( )

′ =− +

−ξ

βα β

β αf

f f 23

3

.2

Έχουμε ( )′′ =f x e > 0,x για κάθε ∈x , άρα η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο , οπότε έχουμε

==



76

για ξ1 < ξ2 ⇒ ′f ξ1( ) < ′f ξ2( ), δηλαδή f α + 2β3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟<f α( )+ 2 f β( )

3⇔

eα+2β3 < e

α + 2eβ

3⇔ α + 2β

3< ln e

α + 2eβ

3.

Δ4. Θεωρούμε ( )Φ = − − ∈x e x x 1, .x 2 Είναι ( )′Φ = − ∈x e x x 2 ,x , και

( )′′Φ = − ∈x e x 2, .x Έχουμε ′′Φ x( ) > 0⇔ ex − 2 > 0⇔ x > ln2.Η ′Φ παρουσιάζει ελάχιστο για =x ln2 το ( ) ( )′Φ = − >ln2 2 1 ln2 0, άρα ( ) ( )′Φ ≥ ′Φx >ln2 0για κάθε ∈x , οπότε η Φ είναι γνησίως αύξουσα στο .Ακόμη ( )Φ =0 0, άρα η =x 0 είναι μοναδική ρίζα της ( )Φ =x 0, και επειδή

( )Φ = − e0,1 0, 2 , έχουμε ( )Φ ≥x 0, για κάθε ∈ x 0,1 .

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ( )( )Ε = Φ = − − = − − = − −

= −⌠

⌡⌠⌡

⌠⌡

x dx e x dx e x e x x e1 13

73.

x x x

0

1 2

0

1 2

0

1 3

0

1

( )( )Ε = Φ = − − = − − = − −

= −⌠

⌡⌠⌡

⌠⌡

x dx e x dx e x e x x e1 13

73.

x x x

0

1 2

0

1 2

0

1 3

0

1

2

Θέμα Α

Α4. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ.

Θέμα Β

Β1. Η συνάρτηση g1, με ( ) = +

g x f x 131 , είναι σύνθεση της ϕ x( ) = x + 13, Dϕ

= !, με την f ,

η οποία είναι συνεχής στο 0,1 , δηλαδή g1 x( ) = f ϕ x( )( ).Άρα Dg1 = x ∈D

ϕ/ϕ x( )∈Df = x ∈! / x + 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈ 0,1⎡⎣ ⎤⎦

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭.

Είναι 0 ≤ x + 13≤1⇔ 0 ≤ 3x +1≤ 3⇔− 1

3≤ x ≤ 2

3. Άρα = −

D 1

3, 23

.g1

Η συνάρτηση g είναι άθροισμα των g f, ,1 οπότε = = −

=

D D D 0,1 1

3, 23

0, 23

.g f g1

Τελικά η συνάρτηση g είναι συνεχής στο

0, 2

3ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

Β2. Στη σχέση ( ) ( )= +

−g x f x f x13

θέτουμε διαδοχικά = =x x0, 13

και =x 23

και έχουμε

/ /



77

( ) ( ) ( ) ( )=

−

=

−

g f f g f f0 13

0 1 , 13

23

13

2 και ( ) ( )

= −

g f f23

1 23

3 .

Προσθέτουμε τις τρεις σχέσεις κατά μέλη και προκύπτει ότι ( ) +

+

=g g g0 13

23

0.

Β3. Αν ( )

=f f13

0 , τότε ( ) =g 0 0, δηλαδή η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει λύση τη =x 0.

Είναι f 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟≠ f 1( )⇔ f 2

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− f 1( ) ≠ 0, άρα

≠g 23

0.

Συνεπώς από τη σχέση ( ) +

+

=g g g0 13

23

0 έχουμε ότι δύο από τους αριθμούς

( )

g g g0 , 13

, 23

είναι ετερόσημοι. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο αντίστοιχο

διάστημα των τιμών της μεταβλητής και έχουμε ότι η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει μία τουλάχιστον

λύση στο

0, 23

. Τελικά η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει μία τουλάχιστον λύση ∈

x 0, 23

.0

Β4. Από το (Β3) έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈

x 0, 230 έτσι ώστε

g x0( ) = 0⇔ f x0 +13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− f x0( ) = 0⇔ f x0 +

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= f x0( ).Επειδή ∈

x 0, 23

,0 έχουμε

0 ≤ x0 <23⇔ 13≤ x0 +

13<1.Άρα η f δεν είναι −1 1 στο )0,1 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο )0,1 , οπότε, αν ήταν γνησίως μονότονη, θα ήταν και −1 1.

Θέμα Γ

Γ1. Για =x 1 από ( )1 έχουμε 2 f 1( )− f 2 1( ) ≥1⇔ f 2 1( )− 2 f 1( )+1≤ 0⇔ f 1( )−1⎡⎣ ⎤⎦2≤ 0, άρα

( ) − =f 1 1 0,2

οπότε ( ) =f 1 1. Άρα το σημείο ( )Α ∈C1,1 .f Ομοίως για = −x 1 από ( )1 έχουμε

( )− =f 1 1 και για =x 0 έχουμε ( ) =f 0 1. Άρα τα σημεία ( )Β − ∈C1,1 f και ( )Γ ∈C0,1 .fΗ συνάρτηση f πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στα διαστήματα − 1,0 και 0,1 , οπότε υπάρχουν ( )∈ −x 1,01 και ( )∈x 0,1 ,2 έτσι ώστε ( ) ( )′ = ′ =f x f x 0.1 2 Άρα υπάρ-χουν δύο τουλάχιστον σημεία της Cf με τετμημένες ( )∈ −x x, 1,11 2 στα οποία η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

Γ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )= − − ∈h x f x f x x2 1, .3 2 Είναι ( )( ) ( ) ( )′ = ′ ⋅ − ′h x f x x f x f x2 3 2 ,3 2 για κάθε ∈x . Από την ( )1 έχουμε ( ) ≥h x 0 για κάθε ∈x . Έχουμε ( )− =h 1 0, άρα ( ) ( )≥ −h x h 1 , για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο



78

στο = −x 1.1 Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι′h −1( ) = 0⇔ 6 ′f −1( )− 2 f −1( ) ′f −1( ) = 0 και επειδή ( )− =f 1 1, προκύπτει ( )′ − =f 1 0.

Ομοίως έχουμε ( ) ( )≥ =h x h0 0 για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο=x 0.0

Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι ′h 0( ) = 0⇔ 6 ′f 0( )− 2 f 0( ) ′f 0( ) = 0.Είναι όμως ( ) =f 0 1, οπότε ( )′ =f 0 0. Επίσης έχουμε ( ) ( )≥ =h x h0 1 για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

=x 1.2 Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι ′h 1( ) = 0⇔ 6 ′f 1( )− 2 f 1( ) ⋅ ′f 1( ) = 0. Είναι όμως ( ) =f 1 1, οπότε ( )′ =f 1 0.Τελικά ισχύει ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′ =f f f1 0 1 0.

Γ3. Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′ = ′ = ′ =f f x f f x f1 0 1 01 2 και επειδή η f είναι δύο φορές παρα- γωγίσιμη, έχουμε ότι η ′f ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle σε καθένα από τα διαστήματα − x x x 1, , ,0 , 0,1 1 2 και x ,1 .2

Άρα υπάρχουν ( ) ( ) ( )∈ − ∈ ∈ξ ξ ξx x x 1, , ,0 , 0,1 1 2 1 3 2 και ξ ( )∈ x ,1 ,4 2 τέτοια ώστε

( ) ( ) ( ) ( )′′ = ′′ = ′′ = ′′ =ξ ξ ξ ξf f f f 0,1 2 3 4 δηλαδή η f έχει τέσσερα πιθανά σημεία καμπής.

Γ4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ( ) − − =ε ex y e: 0 είναι =λε

e, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση ( )′ − =g x e 0 έχει μία τουλάχιστον λύση ( )∈ξ 0,1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( )= − ∈ h x g x ex x, 0,1 . Η h είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 , με ( ) ( )′ = ′ − ∈ h x g x e x, 0,1και ισχύουν ( ) ( ) ( )= − = =h g f0 0 0 0 1 και ( ) ( ) ( ) ( )= − = + − = =h g e e f e f1 1 1 1 1, άρα

( ) ( )=h h0 1 , οπότε από το θεώρημα Rolle υπάρχει ( )∈ξ 0,1 τέτοιο ώστε ′h ξ( ) = 0⇔ ′g ξ( ) = e.

Θέμα Δ

A. Η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα ′x x, στην αρχή των αξόνων, άρα έχουμε( ) =f 0 0 και ( )′ =f 0 0. Επίσης, επειδή η εφαπτομένη της Cf στο σημείο ( )( )Β f1, 1 είναι πα-

ράλληλη προς τον άξονα ′x x, έχουμε ( )′ =f 1 0.

α) Είναι ∫ ∫⌠⌡( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ′ = − − − ′ =f x dx x f x dx x f x x f x dx1 1 1

0

1

0

1

0

1

0

1

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − ′ = − ′f x f x dx x f x dx0 1 1 ,0

1

0

1αφού ( ) =f 0 0.

β) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0,1 , άρα η ′f είναι συνεχής στο 0,1 , οπότε παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Αν Μm , είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της ′fστο 0,1 , τότε έχουμε ότι για κάθε ∈ x 0,1 , ισχύει ( ) ( )≤ ′ ≤ Μm f x 1 . Για κάθε ∈ x 0,1 είναι − ≥x1 0, οπότε από την ( )1 έχουμε:

1− x( )m ≤ 1− x( ) ′f x( ) ≤ 1− x( )Μ⇔ m 1− x( )dx0

1

∫ ≤ 1− x( ) ′f x( )dx ≤Μ 1− x( ) ′f 1− x( )dx0

1

∫0

1⌠⌡ .



79

Είναι ∫ ( )− = −

= − =x dx x x1

21 1

212

,0

1 2

0

1

οπότε από την παραπάνω σχέση έχουμε ότι:

12m ≤ 1− x( )

0

1

∫ ′f x( )dx ≤ 12Μ⇔ m ≤ 2 1− x( )0

1

∫ ′f x( )dx ≤Μ, και επειδή από (α) έχουμε

∫ ∫( ) ( ) ( )= − ′f x dx x f x dx1 ,0

1

0

1συμπεραίνουμε ότι ∫ ( )≤ ≤ Μm f x dx2 ,

0

1δηλαδή ότι η τιμή

∫ ( )f x dx20

1είναι τιμή που μπορεί να πάρει η συνάρτηση ′f , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον

∈ x 0,1 ,0 τέτοιο ώστε ∫( ) ( )′ =f x f x dx20 0

1(θεώρημα ενδιάμεσων τιμών).

B. α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα ( ) =f 0 0.

Η ′f είναι παραγωγίσιμη στο, με( )

( )′′ =+

′= −

+f x

xx

x

11

2

1.2 2 2

Είναι ′′f x( ) = 0⇔− 2x

x2 +1( )2= 0⇔ x = 0 και ′′f x( ) > 0⇔− 2x

x2 +1( )2> 0⇔ x < 0.

Άρα η f είναι κυρτή στο (−∞ ,0 και είναι κοίλη στο )+∞0, .

Παρουσιάζει καμπή στο σημείο ( )( )Ο f0, 0 , δηλαδή στο ( )Ο 0,0 .

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h x( ) = f εϕx( )− x, με ∈ −

π πx2

,2

.

Η h είναι παραγωγίσιμη στο −

π π,22

με ′h x( ) = f εϕx( )− x( )′ = 11+ εϕ 2x

⋅ εϕx( )′ −1= συν 2x ⋅ 1συν 2x

−1= 0, για κάθε π π∈ −

x2

,2

,

άρα η h είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή υπάρχει ∈c τέτοιο ώστε

h x( ) = c⇔ f εϕx( )− x = c για κάθε ∈ −

π πx2

, .2

Για =x 0 έχουμε f εϕ0( )− 0 = c, δηλαδή ( ) =f c0 , και επειδή ( ) =f 0 0, έχουμε =c 0, άρα

f εϕx( )− x = 0, για κάθε ∈ −

π πx2

,2

, οπότε η εξίσωση f εϕx( )− x = 0⇔ f εϕx( ) = x 1( ) έχει

άπειρες στο πλήθος λύσεις στο διάστημα −

π π2

,2

.

Για =πx4

από την ( )1 έχουμε f εϕπ4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= π4⇔ f 1( ) = π

4.

γ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ∫ ( )Ε = f x dx.0

1 Έχουμε ότι ( )′ =

+f x

x>1

102 για κάθε

∈x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Οπότε για x > 0⇔f ↑

f x( ) > f 0( ) = 0.Άρα↑



80

∫ ∫ ∫ ∫ ⌠⌡

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ε = = = ′ = − ′ = −+

=f x dx f x dx x f x dx xf x xf x dx f xx

dx110

1

0

1

0

1

0

1

0

1

20

1

⌠

⌡

⌠⌡ ( )( ) ( ) ( )= −

+ ′

+= − + ′ = − +

= −

π π π πx

xdx x dx x

412

1

1 412

ln 14

12ln 1

412ln2.

2

2

0

1

2

0

12

0

1

3

Θέμα Α

Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ.

Θέμα Β

Β1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στοως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με

( )( )( )′ = + ′ =+

> 0f x e ee

ln 11

xx

x για κάθε ∈x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο και

συνεπώς είναι και 1 1− . Άρα η f αντιστρέφεται.Το πεδίο ορισμού της −f 1 είναι το σύνολο τιμών της f . Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = , οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το ( )( ) ( ) ( )Α =

→ −∞ → +∞f f x f xlim , lim .

x x

Είναι ( )( )( ) = + =→ −∞ → −∞

f x elim lim ln 1 0,x x

x διότι ( )+ =→ −∞

elim 1 1,x

x οπότε

( )( )( ) ( )= + = =→ −∞ → −∞

= +

→f x e ulim lim ln 1 lim ln 0

x x

xu e

u

1

1

x

και ( )( )( ) = + = +∞→ +∞ → +∞

f x elim lim ln 1 ,x x

x διότι

( )+ = +∞→= ∞

elim 1 ,x

x οπότε ( )( )( ) ( )= + = = +∞→ +∞ → +∞

= +

→ +∞f x e ulim lim ln 1 lim ln .

x x

xu e

u

1 x

Άρα ( ) ( )Α = +∞f 0, .

Θέτουμε y = f x( )⇔ y = ln ex +1( )⇔ ex +1= ey ⇔ ex = ey −1⇔ x = ln ey −1( ), y > 0. Η αντίστροφη συνάρτηση της f ορίζεται ως εξής:

( ): +∞ →−f 0,1 με τύπο ( )( ) = −−f x eln 1 .x1

Β2. Η συνάρτησηϕ είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων

με ′ϕ x( ) = ln ex −1( )( )′ = ex

ex −1> 0, για κάθε ( )∈ +∞x 0, , άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα στο

( )+∞0, , οπότε δεν υπάρχουν ακρότατα.

Η ′ϕ είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, , με ′′ϕ x( ) = ex

ex −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′= −ex

ex −1( )2< 0 για κάθε ( )∈ +∞x 0, ,

άρα ηϕ είναι κοίλη στο ( )+∞0, , οπότε δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

===

===



81

Β3. Είναιϕ x( ) = 0⇔ ln ex −1( ) = 0⇔ ex −1= 1⇔ x = ln2. Άρα η Cϕ

τέμνει τον άξονα ′x x στο

σημείο ( )Μ ln2,0 . Η εφαπτομένη ( )ε της Cϕ

στο ( )Μ ln2,0 έχει εξίσωση

ε( ) : y −ϕ ln2( ) = ′ϕ ln2( ) x − ln2( ). Είναι ′ϕ ln2( ) = eln2

eln2 −1= 2.

Άρα ε( ) : y = 2 x − ln2( )⇔ y = 2x − 2ln2⇔ y = 2x − ln4. Έχουμε ότι η ϕ είναι κοίλη στο ( )+∞0, , οπότε η C

ϕ βρίσκεται «κάτω» από την εφαπτομένη

σε οποιοδήποτε σημείο της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. Άρα θα ισχύει ότιϕ x( ) ≤ 2x − ln4⇔ ln ex −1( ) ≤ 2x − ln4, για κάθε ( )∈ +∞x 0, .

Β4. Είναι limx→0+

ϕ x( ) = limx→0+

ln ex −1( )( ) =u=ex−1

limu→0+

lnu( ) = −∞, άρα η ευθεία με εξίσωση =x 0 είναι

κατακόρυφη ασύμπτωτη τηςCϕ.

Η ϕ είναι συνεχής στο ( )+∞0, , άρα δεν υπάρχουν άλλες κατακόρυφες ασύμπτωτες της Cϕ.

Είναι limx→+∞

ϕ x( )x

= limx→+∞

ln ex −1( )x

=

+∞+∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

limx→+∞

ln ex −1( )( )′′x

= limx→+∞

ex

ex −1= 1 και

limx→+∞

ϕ x( )− x⎡⎣ ⎤⎦ = limx→+∞ln ex −1( )− x⎡⎣

⎤⎦ =

+∞−∞( )limx→+∞

ln ex −1( )− lnex⎡⎣

⎤⎦ ==

−

=→ +∞

ee

lim ln 1 0,x

x

x αφού

−=

→ +∞

ee

lim 1 1.x

x

x Άρα η ευθεία ( ) : =η y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cϕ

στο +∞.

Η γραφική παράσταση της ϕ είναι:

Θέμα Γ

Γ1. α) x2 − 4( ) ′′f x( )− 2 f x( )⎡⎣

⎤⎦0

2

∫ dx = −8⇔ x2 − 4( ) ′′f x( )0

2

∫ dx − 2 f x( )0

2

∫ dx = −8⇔

x2 − 4( ) ′f x( )⎡⎣

⎤⎦02− 2x ′f x( )

0

2

∫ dx − 2 f x( )0

2

∫ dx = −8⇔

4 ′f 0( )− 2xf x( )⎡⎣ ⎤⎦02+ 2 f x( )

0

2

∫ dx − 2 f x( )0

2

∫ dx = −8⇔−4 f 2( ) = −8⇔ f 2( ) = 2.β) Είναι ( )′′ >f x 0 για κάθε ( )∈x 0,2 , άρα η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ∈ x 0,2 , οπότε για x ≥ 0⇒ ′f x( ) ≥ ′f 0( ) = 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2 , συνεπώςγια x ≥ 0⇒ f x( ) ≥ f 0( ) = 0.

x΄ x

y΄

y

Οln2

=y x

===



82

Γ2. H f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα 0,1 και 1,2 , άρα υπάρχουν

( )∈ξ 0,11 και ( )∈ξ 1,22 έτσι ώστε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ =−−

= −ξff f

f f1 01 0

1 01 και ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ =−−

= −ξff f

f f2 12 1

2 1 .2

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − ′ = − +ξ ξf f f f f2 2 1 02 1 και επειδή ( ) =f 0 0 και ( ) =f 2 2, έχουμε

( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξf f f2 2 1 .2 1

Γ3. Έχουμε < ξ ξ1 2 και επειδή η ′f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει′f ξ1( ) < ′f ξ2( )⇔ ′f ξ2( )− ′f ξ1( ) > 0. Από (Γ2) έχουμε ( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξf f f2 2 1 ,2 1

άρα 2− 2 f 1( ) > 0⇔ f 1( ) <1.Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε ότι

( ) ( )> =f f1 0 0. Τελικά ισχύει ( )< <f0 1 1.

Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )= − + + − + ∈g x f x x x x f x x2 1 3 6 , .2 2 Η g είναι συνεχής

στο 0,1 ως παράσταση συνεχών συναρτήσεων. Είναι ( ) ( ) ( ) ( )= + = >g f f f0 1 0 1 0 από (Γ3)

και ( ) ( ) ( ) ( )= + − + = − +( )=

g f f f1 2 3 6 1 1 1 <0,f 2 2

αφού ( ) <f 1 1. Άρα ( ) ( ) <g g0 1 0, οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈x 0,11 τέτοιο ώστε ( ) =g x 0.1

Ομοίως με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1,2 , έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )= + = +( )=

g f f f2 1 2 2 1 >0,f 2 2

άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈x 1,22 τέτοιο ώστε

( ) =g x 0.2 Τελικά η εξίσωση ( ) ( )− + + = −f x x x x f x2 1 3 62 2 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα ( )0,2 .

Θέμα Δ

Δ1. α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η ( ) ( )′ = +f x f x16 2 είναι παραγωγίσιμη στο

με ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )′′ =

′

+=

′

′=f x

f x f x

f x

f x f xf x

f x2

2 161 .

2

β) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο , ως παράσταση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′′ + ′ − ′ − = ′′ − ∈− −g x e f x f x f x f x e f x f x x,x x

και επειδή από (α) έχουμε ( ) ( )′′ =f x f x , προκύπτει ότι ( )′ =g x 0 για κάθε ∈x , άρα υπάρχει∈c τέτοιο ώστε ( ) = ∈g x c x, .

Δ2. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ′′ = ′ = + − + −− − −f x dx f x dx f x f f16 1 16 1 .

1

1

1

1

1

1 2 2

Eίναι όμως f 1( )+ f −1( ) = 0⇔ f −1( ) = − f 1( ),οπότε ∫ ( ) =−f x dx 0.

1

1

===

===



228

Παράγωγος βασικών – σύνθετων συναρτήσεων

f ′′ f g(( ))′′

( ) ′ = ∈ −ν νν −νx x , 0,11 ( ) ( ) ( )

′= ′ ∈ν ν

− ∗ν νg x g x g x ,

1

( )′ =xx

12

,

) ( )= +∞ = +∞′D D0, , 0,f f

( )( ) ( )( )

( )′=

′ >g x

g x

g xg x

2, 0

( )′ =ηµ συνx x ( ) ( )( ) ( ) ( )

′ = ′ηµ συνg x g x g x

( )′ = −συν ηµx x ( ) ( )( ) ( ) ( )

′ = − ′συν ηµg x g x g x

( )′ =e ex x ( ) ( )′ = ′( ) ( )e e g xg x g x

( )′ = >xx

xln 1 , 0 ( )( ) ( )( ) ( )

′ =′

>g xg xg x

g xln , 0

( )′ = ∈ ∗xx

xln 1 , ( )( ) ( )( ) ( )′ =

′ ∈ ∗g x

g xg x

g xln ,

εϕx( )′ = 1συν 2x εϕ g x( )( )⎡

⎣⎤⎦′ =

′g x( )συν 2g x( )

σϕx( )′ = − 1ηµ2x σϕ g x( )( )⎡

⎣⎤⎦′ = −

′g x( )ηµ2g x( )

( )′ = >α α α αln , 0x x ( ) ( ) ( )′ = ′ = ⋅ ⋅ ′ 0 < ≠α α α α( ) ( ) ( )αe g xln , 1g x g x g xln

09 Parartima teliko sel.indd 228 8/5/18 3:34 μμ

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α

229

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Κάθε συνάρτηση f συνεχής στο α β, είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό.

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι σταθερός αριθμός, οπότε ∫ ( )

′=

α

βf x dx 0.

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Αν f g, είναι συνεχείς συναρτήσεις στο α β, και ∈λ , τότε ισχύουν:

• ∫ ∫( ) ( )=λ λα

β

α

βf x dx f x dx.

• ∫ ∫ ∫( )( ) ( ) ( ) ( )+ = +α

β

α

β

α

βf x g x dx f x dx g x dx.

Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α ,β ,γ ∈Δ, τότε ισχύει:

∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )= +α

β

α

γ

γ

βf x dx f x dx f x dx.

Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα α β, . Αν ( ) ≥f x 0 για κάθε ∈ α βx ,

και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ∫ ( ) >α

βf x dx 0.

• ∫ ∫( ) ( )= −α

β

β

αf x dx f x dx.

• ∫ ( ) =α

αf x dx 0.

Βασικά ορισμένα ολοκληρώματα

∫ ( )= = −β αα

β

α

βcdx c x c x dx x

11

1, 1v

11 1∫ ν ( )=

+

=

+− ≠ −

νβ α ν

α

βν

α

β

ν ν+

+ +

∫ ( ) ( )= −

ηµ κσυν κ

κα

β

α

β

x dxx

∫ ( ) ( )=

συν κηµ κ

κα

β

α

β

x dxx

1συν 2 κ x( ) dxα

β⌠

⌡⎮ =

εϕ κ x( )κ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥α

β

1ηµ2 κ x( ) dxα

β⌠

⌡⎮ = −

σϕ κ x( )κ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥α

β

∫ =

κ

κ

α

βκ

α

β

e dx exx

∫ α=

< ≠α

ααα

β

α

β

dxln

, 0 1xx

⌠⌡

= α

β

α

β

xdx x1 ln ⌠

⌡ −= − κ

κα

β

α

β

xdx x1 ln



230

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Παραγοντική ολοκλήρωση

f x g x dx f x g x f x g x dx,∫∫ ∫∫(( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( ))′′ == −− ′′αα

ββ

αα

ββ

αα

ββ

f g,′′ ′′ συνεχείς συναρτήσεις

∫⌠

⌡( ) ( )Ρ = Ρ

′

κκ

α

βκ

α

β

x e dx x e dxxx

∫⌠

⌡

( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Ρ −

′ηµ κ

συν κ

κα

β

α

β

x x dx xx

dx

∫ ⌠⌡( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Η ′

α

β

α

β

x f x dx x f x dxln ln ∫⌠

⌡

( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Ρ

′συν κ

ηµ κ

κα

β

α

β

x x dx xx

dx

∫⌠

⌡( ) ( )=

′ηµ λ ηµ λ

κκ

α

βκ

α

β

e x dx x e dxxx

∫⌠

⌡( ) ( )=

′συν λ συν λ

κκ

α

βκ

α

β

e x dx x e dxxx

Όπου ( )Ρ x είναι πολυωνυμική συνάρτηση και ( )Η x μία αρχική συνάρτηση της ( )Ρ x .

Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής

∫∫ (( ))(( )) (( ))ΙΙ == ′′αα

ββ

f g x g x dx

Θέτουμε ( )=u g x , τότε ( )= ′du g x dx. Νέα όρια ολοκλήρωσης: Για = αx είναι

( )= αu g1 και για = βx είναι ( )= βu g .2 Οπότε ∫ ( )Ι = f u duu

u

1

2 .

Συνήθεις περιπτώσεις

1. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+

∈ν

ν+ ∗ν

α

β ν

α

β

f x f x dx f x11

,1

2. ⌠

⌡ ( )

( )( ) ( )

′

= −

−

∈ −ν

ν−∗

ν

α

β

ν

α

β

f x

f xdx

f x

11

1 , 11

3. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+

∈ − −κ

κ+ ∗κ

α

β κ

α

β

f x f x dx f x11

, 11

∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+

∈ − −κ

κ+ ∗κ

α

β κ

α

β

f x f x dx f x11

, 11

4. ⌠

⌡

( )( ) ( )′

=

α

β

α

βf xf x

dx f xln

5. ⌠

⌡

( )( )

( )′=

α

β

α

βf x

f xdx f x

2

6. ∫ ( )′ =

( ) ( )α

β

α

β

e f x dx ef x f x

7. ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )′ = −

ηµ συν

α

β

α

β

f x f x dx f x

8. ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )′ =

συν ηµ

α

β

α

β

f x f x dx f x

9. ′f x( )

συν 2 f x( ) dxα

β⌠

⌡⎮ = εϕ f x( )⎡⎣ ⎤⎦α

β

10. ′f x( )

ηµ2 f x( ) dxα

β⌠

⌡⎮ = −σϕ f x( )⎡⎣ ⎤⎦α

β


Documents

02 prosomthem sel - Public · 2018-05-25 · β) Nα δείξετε ότι ηf αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της