Embed Size (px)
Citation preview
KINEMATIKA
Ø Kinematikata, kako del od Mehanikata, pretstavuva nau~na disciplina koja go izu~uva dvi`eweto na telata, nevodej}i smetka za materijalnosta i pri~inite koi dovele do dvi`ewe (sili).
Ø Osnovni elementi (parametri) : - koli~ina - prostor - vreme
Ø Podelba: - kinematika na to~ka (dimeziite na teloto se mali vo odnos na traektorijata na dvi`ewe pa mo`at da se zanemarat, no samo ako postoi translacija. - kinematika na kruto telo (transklacija + rotacija).
KINEMATIKA NA TO^KA
)(trr rr= - osnovna kone~na ravenka na dvi`ewe vo vektorski oblik
Traektorija e neprekinata linija {to to~kata mo`e da ja opi{e pri svoeto dvi`ewe - hodograf na vektorot )(trr rr
= . Se dobiva ako od parametarskite ravenki se eliminira vremeto t.
Izminat pat e del od traektorijata {to teloto go pominuva vo odreden vremenski interval. Site to~ki od traektorijata ne pripa|aat na patot, a site to~ki od patot pripa|aat na traektorijata.
Zakon na pat - ja dava zavisnosta pome|u izminatiot pat i vremeto t. )(tss =
Cdtzyxdtdzdydxs
dzdydxds
+++=++=
++=
∫∫ 222222
222
&&&
za 0tt = , 0ss =
0222 sdtzyxs +++±= ∫ &&&
dx
dy ds
rr
x
z
y O
M
- 2 -
Ø Dekartov koordinaten sistem
)()()(
tzztyytxx
kzjyixr
===
⋅+⋅+⋅=rrrr
Ø Polarno cilindri~en koordinaten sistem
)()()(
tzztt
===
ρρϕϕ
Ø Sferen koordinaten sistem
)()()(
ttt
ρρψψϕϕ
===
- parametarski ravenki na dvi`ewe vo dekartov koordinaten sistem
rr
x
z
y
O
M γ
α β x
z
y
kr
ir
jr
- parametarski ravenki na dvi`ewe vo polarno cilindri~en koordinaten sistem
rr
x
z
y O
M
ϕ
z
ρ
M’
- parametarski ravenki na dvi`ewe vo sveren koordinaten sistem
rr
x
z
y O
M
ϕ
M’
ψ
ρ
- 3 -
Brzina - izminat pat vo edinica vreme [m/s].
rdtrdv
r&
rr
==
- intenzitet: sdtdsv &==
- pravec: tangenta vo razgleduvanata to~ka,
- nasoka: vo nasoka na dvi`eweto na to~kata.
Brzina na to~ka vo dekartov koordinaten sistem:
)()()(
tzVztyVytxVx
kVzjVyiVxV
&
&
&
rrrr
===
⋅+⋅+⋅=
intenzitet: 222 VzVyVxV ++=
Brzina na to~ka vo polarno cilindri~en koordinaten sistem:
)()()(
)(
tzVzttrVn
trVr
&
&
&
=⋅=
=ϕ
intenzitet: 2222 zrrV &&& +⋅+= ϕ
Hodograf na brzina:
( ) ( )ttx ξ==ξ &
( ) ( )tty η==η &
( ) ( )ttz ζ==ζ &
η y 1O
ζ z
ξ x
N
V
No
1N
oV
1V
- 4 -
Zabrzuvawe - promena na brzinata vo edinica vreme [m/s2].
rdt
rdVdtVda
r&&
r&r
&r
r==== 2
2
- pravec: tangenta na hodografot na brzina vo razgleduvanata to~ka.
- nasoka: zabrzano dvi`ewe - nasokata e vo pravecot na dvi`ewe usporeno dvi`ewe - nasokata e obratna od pravecot na dvi`ewe. Zabrzuvawe na to~ka vo dekartov koordinaten sistem:
)()()(
tzatyatxa
kazjayiaxa
z
y
x
&&
&&
&&
rrrr
=
==
⋅+⋅+⋅=
intenzitet: 222zyx aaaa ++=
Zabrzuvawe na to~ka vo polarno cilindri~en koordinaten sistem:
)(2
2
tzarra
rra
z
n
r
&&
&&&&
&&&
=+⋅=⋅−=
ϕϕϕ
intenzitet: 222znr aaaa ++=
Zabrzuvawe na to~ka vo priroden koordinaten sistem:
0
2
=
=
=
B
N
T
aR
Va
dtdVa
intenzitet: 222znr aaaa ++=
Hodograf na zabrzuvawe:
( ) xatxX == &&
( ) yatyY == &&
( ) zatzZ == &&
Y y 1O
Z z
X x a
oa
1a
- 5 -
Zada~a 1: To~ka se dvi`i po zakonot:
023 2
2
=−=
=
zty
tx
Da se opredeli linijata na traektorijata, zakonot na patot, brzinata, zabrzuvaweto i hodografot na brzinata i zabrzuvaweto. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
23 2
2
−=
=
tytx
23 −= xy - linija na traektorija (prava mkxy += )
za ⇒= 0t2
0
0
0
−==
yx
To~kata go zapo~nuva svoeto dvi`ewe od polo`ba M0(0;-2) 2. Zakon na patot:
00
2222 sdtyxdtdydxdsst
++=+== ∫∫ ∫ &&
za ⇒= 0t 00 =s
tytx
62
==
&
&
( ) ( ) 22
00
2
0
22 102
102404062 ttdttdttdtttsttt
⋅==⋅⋅==+= ∫∫∫
210 ts ⋅= - zakon na patot
3. Brzina:
tydtdyVy
txdtdxVx
6
2
===
===
&
&
( ) ( ) tttV ⋅=+= 10262 22
tV ⋅= 102 [m/s]- zakon na brzina (prava V=6.32t)
x
y
Vr
ar
M0(0;-2)
s
t[s]
s[m]
210 t⋅
- 6 -
4.Hodograf na brzinata:
tVytVx
62
====
ηξ
- go eliminirame parametarot t
2ξ
=t
ξη 3= - hodograf na brzina 5. Zabrzuvawe:
6
2
2
2
2
2
===
===
ydt
yda
xdt
xda
y
x
&&
&&
10262 2222 =+=+= yx aaa
102=a [m/s2]- zakon na zabrzuvawe (a=const.)
4.Hodograf na zabrzuvaweto:
62
====
y
x
aYaX
( ) ( )6,2, NYXN ≡ - hodograf na zabrzuvaweto
e to~ka
ξ
η
1Vr
2Vr
nVr
Hodograf na brzinata
xaX =
yaY = Hodograf na zabrzuvaweto
( )6,2N
- 7 -
Zada~a 2: Daden e zakonot na dvi`ewe na to~kata M:
03
cos3
13
sin3
=
=
+=
z
ty
tx
π
π
Da se opredeli traektorijata, zakonot na patot, brzinata, zabrzuvaweto i hodografot na brzinata i zabrzuvaweto. Da se izrazat polo`bata, komponentite na brzinata i zabrzuvaweto vo dekartov koordinaten sistem za vreme t=0,1,2,4 i 5 sekundi. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
ty
tx
3cos3
13
sin3
π
π
=
+=
ty
tx
3cos3
3sin31
π
π
=
=−
( )
( )
+
=+−
+
=+−
ttyx
ttyx
3cos
3sin31
3cos3
3sin31
22222
222222
ππ
ππ
( ) 222 31 =+− yx - linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(1,0)
radius: r =3m
za:
( )( )( )( )( )5.1;6.1sec5
5.1;6.1sec45.1;6.3sec2
5.1;6.3sec13,1sec0
5
4
2
1
0
−⇒=−−⇒=
−⇒=⇒=⇒=
MtMtMtMtMt
2. Zakon na patot:
00
2222 sdtyxdtdydxdsst
++=+== ∫∫ ∫ &&
za ⇒= 0t 00 =s
+2
x
y
0Vr
M0(1;3)
C(1;0)
M1(3.6;1.5)
M2(3.6;-1.5) M4(-1.6;-1.5)
M5(-1.6;1.5) 0ar
5Vr
4Vr
2Vr
1Vr
4ar 2ar
1ar 5ar
- 8 -
−=
=
ty
tx
3sin
3cos
ππ
ππ
&
&
tdtdtttdtttsttt
⋅==
+
=
−+
= ∫∫∫ ππ
πππ
ππ
ππ
00
222
0
22
3sin
3cos
3sin
3cos
ts ⋅= π - zakon na patot
3. Brzina:
−==
==
tyVy
txVx
3sin
3cos
ππ
ππ
&
&
ππ
ππ
π =
−+
=+=
2222
3sin
3cos ttVyVxV
.constV == π [m/s]- zakon na brzina
za:
,/57.1sec5,/57.1sec4,/57.1sec2
,/57.1sec1,/14.3sec0
5
4
2
1
0
smVxtsmVxtsmVxt
smVxtsmVxt
=⇒=−=⇒=−=⇒=
=⇒===⇒= π
smVysmVy
smVysmVy
Vy
/72.2/72.2
/72.2/72.2
0
5
4
2
1
0
==
−=−=
=
4.Hodograf na brzinata:
−==
==
tVy
tVx
3sin
3cos
ππη
ππξ
- go eliminirame parametarot t
222 πηξ =+ - hodograf na brzina
5. Zabrzuvawe:
−===
−===
tydt
yda
txdt
xda
y
x
3cos
3
3sin
32
2
2
2
2
2
ππ
ππ
&&
&&
- 9 -
constaaa yx ==+=3
222 π
consta ==3
2π[m/s2]- zakon na zabrzuvawe
za:
,/85.2sec5
,/85.2sec4,/85.2sec2
,/85.2sec1
,/0sec0
25
24
22
21
20
smaxtsmaxt
smaxtsmaxt
smaxt
=⇒=
=⇒=
−=⇒=
−=⇒=
=⇒=
25
24
22
21
20
/645.1
/645.1/645.1
/645.1
/92.3
smaysmaysmay
smaysmay
−=
=
=
−=
−=
4.Hodograf na zabrzuvaweto:
−==
−==
taY
taX
y
x
3cos
3
3sin
32
2
ππ
ππ
2222
3
=+
πYX - hodograf na zabrzuvaweto e krug so radius 3
2π
X≡ξ
Y≡η
0Vr
0ar
5Vr
4Vr
2Vr
1Vr
4ar 2ar
1ar 5ar
Hodograf na brzinata
Hodograf na zabrzuvawe
- 10 -
Zada~a 3: Dvi`eweto na to~ka opredeleno e so kone~nite ravenki:
2
2
5sin55cos5tytx
=
=
Da se opredeli traektorijata, zakonot na patot, brzinata, zabrzuvaweto i hodografot na brzinata. Da se opredeli brzinata i zabrzuvaweto za vreme od 2 sekundi. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
2
2
5sin55cos5tytx
=
=
( ) ( )( )ttyx 5cos5sin5 22222 +=+
222 5=+ yx - linija na traektorija
(kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(0,0)
radius: r =5m
Po~etni uslovi: za t0=0 ⇒ M0(5,0) 2. Zakon na patot:
00
22 sdtyxdsst
++== ∫∫ &&
za ⇒= 0t 00 =s
5
5
5cos50
5sin50
ttdtdyy
ttdtdxx
==
−==
&
&
2
00
2222 25505cos5sin50 ttdtdttttstt
==+= ∫∫
225 ts ⋅= - zakon na patot
3. Brzina:
2
2
5cos505sin50ttyVyttxVx
==
−==
&
&
tVyVxV 5022 =+= [m/s]- zakon na brzina - promenlivo kru`no dvi`ewe
+2
x
y
( )tVr
r
M0(5;0) C(0;0)
M
( )trr r
x(t)
y(t) s=s(t)
- 11 -
4. Zabrzuvawe:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
422
22222222222
22222222
22222222
2222222222
2222
2
2222
2
50050
5cos5sin505cos5sin500
5sin5005sin5005cos5025cos50
5cos5005cos5005sin5025sin50
5sin5005cos505cos5005sin50
5sin5005cos50
5cos5005sin50
t
ttttt
tttttt
tttttt
ttttttaaa
tttydt
yda
tttxdt
xda
yx
y
x
⋅+=
=+++
=+⋅⋅−
++⋅⋅+−=
=−+−−=+=
−===
−−===
&&
&&
4100150 ta ⋅+= [m/s2]- zakon na zabrzuvawe
5.Hodograf na brzinata:
2
2
5cos505sin50ttVyttVx
==
−==
η
ξ - go eliminirame parametarot t
( )222 50t=+ηξ - hodograf na brzina Hodografot na brzinata e otvorena spirala. Intenzitetot na brzinata raste, poradi {to stanuva zbor za promenlivo (zabrzano) kru`no dvi`ewe.
6.Analiza na to~ka za t=2sek:
2442
2
22
22
22
/62.20002100150100150
/1002505010042525
56.45sin5
04.25cos5
sekmta
sekmtVmts
mtymtx
=⋅+=⋅+=
=⋅===⋅==
==
==
ξ
η
tVr
0Vr
tVr
- 12 -
Zada~a 4: Dvi`eweto na to~ka opredeleno e so kone~nite ravenki:
ktktyktktx
sin3cos4sin4cos3
−=+=
Da se opredeli traektorijata na dvi`ewe i koordinatite na to~kata vo po~etniot moment t=0sek. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
ktktyktktx
sin3cos4sin4cos3
−=+=
ktktktktyktktktktx
2222
22222
sin3sincos432cos4sin4sincos432cos3
+⋅⋅⋅⋅−=
+⋅⋅⋅⋅+=
( ) ( ) ( )
2543
sincossincos24cossin4sincos3
22
2222
22222222
=+
+=+
⋅−⋅++++=+
yxyx
ktktktktktktktktyx-
linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(0,0)
radius: r =5m.
2. Po~etni uslovi: za t0=0
mymx
yx
43
40sin30cos430sin40cos3
0
0
0
0
==
=−==+=
Zada~a 5: Kone~nite ravenki na dvi`ewe na to~ka M se:
tytxπ
πsin41
cos42+−=
+=- parametarski ravenki na dvi`ewe.
Kade x i y se izrazeni vo cm, a t vo sekundi. Da se opredeli vo dekartov koordinaten sistem oblikot na traektorijata i koordinatite na polo`ba na to~kata M vo tretata sekunda t=3sek. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
tytx
ππ
sin41cos42
=+=−
2
+
2+
- 13 -
( ) ( )( ) ( ) ( )ttyx
ttyx
ππ
ππ22222
222222
sincos412
sin4cos412
+=++−
+=++−
( ) ( ) 222 412 =++− yx
linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(2,-1)
radius: r =4cm.
2. Polo`ba na to~kata za vreme t=3sek.: za t=3sek.
cmycmx13sin41
23cos42−=⋅+−=
−=⋅+=π
π
Zada~a 6: Edna to~ka se dvi`i po zakonot:
tytx
6423
−=+=
)2()1(
Da se opredeli traektorijata i brzinata na to~kata. Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
od ravenka (1)
3223 −
=⇒−=xtxt
zameneto vo ravenka (2)
4243
264
+−=
−⋅−=
xy
xy
082 =−+ yx - linija na traektorija
(prava mkxy += )
2. Brzina:
63−==
==yVyxVx&
&
jijyixVrrr
&r
&r
⋅−⋅=⋅+⋅= 63
534563 2222 ==+=+= VyVxV [cm/s]- zakon na brzina
x
y
( )tVr
r
M0(4;0)
C(0;0)
82 +−= xy
8
- 14 -
Zada~a 7: Dvi`eweto na edna to~ka vo intervalot 0≤t≤π vo vektorski oblik e dadeno so ravenkata:
jtitrrrr
⋅+⋅= sin2
tan
Da se opredeli traektorijata. Re{enie: 1. Linija na traektorijata Od vektorskata ravenka jyixr
rrr⋅+⋅= , ravenkite na dvi`ewe vo skalaren
oblik se: ty
tx
sin2
tan
=
=
)2()1(
Traektorijata na dvi`ewe }e ja dobieme so eliminirawe na parametarot t. Ravenkata (2) so trigonometriski relacii mo`e da se pretstavi kako:
2tan1
2tan2
2tan1
1
2tan1
2tan2
2cos
2sin2
222t
t
tt
ttty+
⋅=
+⋅
+=⋅⋅=
od ravenka (1) xt=
2tan sleduva:
212
xxy
+⋅
= - traektorija na dvi`ewe.
Funkcijata na traektorijata ima ekstremi za 1±=y i 1±=x . Za intervalot
0≤t≤π to~kata se dvi`i po desnata granka od krivata linija.
x
y
Mo(0;0)
1
1
- 15 -
Zada~a 8: Dvi`eweto na edna to~ka e dadeno so vektorskata ravenka: ktjtitrrrrr
⋅−+⋅++⋅+= )34()62()23( Da se opredeli traektorijata i zakonot na brzinata. Re{enie: 1. Linija na traektorijata Od vektorskata ravenka kzjyixr
rrrr⋅+⋅+⋅= , ravenkite na dvi`ewe vo
skalaren oblik se:
tztytx
346223
−=+=+=
tztytx
346223
−=−=−=−
( )3)2()1(
tz
ty
tx
=−−
=−
=−
34
62
23
⇒
czz
byy
axx
zyx
000
34
62
23
−=
−=
−−−
=−
=−
- traektorijata e prava vo prostor
Po~etnata to~ka M0 ima koordinati:
Za t=0, M0(3,2,4) Traektorijata e prava niz M0 so pravec:
;72cos
222=
++=
cbaa
α 73cos ;
76cos
222222−=
++==
++=
cbac
cbab
γβ
2. Brzina:
jzjyixV
jVzjVyiVxVr
&r
&r
&r
rrrr
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
362
−======
zVzyVyxVx
&
&
&
⇒ kjiVrrrr
⋅−⋅+⋅= 362
7499364222 ==++=++= VzVyVxV [m/s]- zakon na brzina
3. Zabrzuvawe:
jzjyixjazjayiaxar
&&r
&&r
&&rrrr
⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=
000
======
zazyayxax
&&
&&
&&
0222 =++= azayaxa [m/s2]- Dvi`eweto e ramnomerno pravolinisko.
- 16 -
Zada~a 9: Da se opredeli traektorijata, zakonot na patot i zabrzuvaweto na to~ka, ako e poznata brzinata preku nejzinite dve komponenti:
( )( )smtVy
smtVx/4sin8/4cos8
==
Dadeni se po~etnite uslovi: sec00 =t ; mx 00 = ; my 20 =
Re{enie: 1. Brzina:
jtitjVyiVxVrrrrr
⋅+⋅=⋅+⋅= 4sin84cos8
( ) ( ) ( ) smttttVyVxV /84sin4cos84sin84cos8 2222222 =+=+=+=
.8 constV == [m/s]- zakon na brzina
2. Ravenki na dvi`ewe:
2
1
2
1
4cos24sin2
4sin8
4cos8
4sin84cos8
CtyCtx
CdttdtVyy
CdttdtVxx
dttdydttdx
dtdyyVy
dtdxxVx
+−=+=
+⋅=⋅=
+⋅=⋅=
⋅=⋅=
==
==
∫∫∫∫
&
&
sec00 =t ; mx 00 = ; my 20 =
01 =C 42 =C
44cos24sin2
+−==
tytx
3. Traektorija na dvi`ewe:
ty
tx
4cos24
4sin2
=−−
=
( ) ( ) ( )
( ) 144
4
4cos4sin44
422
2222
=−
+
+=−
+
yx
ttyx
+2
- 17 -
( ) 44 22 =−+ yx - linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(0,4)
radius: r =2m
4. Zakon na pat:
38
8
Cts
dtVdts
Vdtds
+=
==
=
∫ ∫
sec00 =t ; ms 00 =
03 =C
ts 8=
5. Zabrzuvawe:
jaiaa yx
rrr⋅+⋅=
( )
( ) ttydt
yda
ttxdt
xda
y
x
4cos3244cos8
4sin3244sin8
2
2
2
2
=⋅===
=⋅−===
&&
&&
( ) ( )( ) constttaaa yx ==+=+= 324cos4sin32 2222
consta == 32 [m/s2]- zakon na zabrzuvawe
x
y
C(0;4)
R=2m
- 18 -
Zada~a 10: Brzinata na to~kata se menuva po zakonot: [ ][ ]
[ ]smVzsmtVysmtVx
/1/4/3
===
Da se opredelat zakonot na dvi`eweto ako e vo po~etniot moment to~kata vo polo`ba M0(2,0,0). Re{enie:
dtdzzVz
dtdyyVy
dtdxxVx
==
==
==
&
&
&
;
1
4
3
=
=
=
dtdz
tdtdy
tdtdx
∫∫∫∫∫∫
⋅=
⋅=
⋅=
dtdz
dttdy
dttdx
1
4
3
3
2
2
1
2
242
3
Ctz
Cty
Ctx
+=
+=
+=
za t=0 to~kata ima polo`ba M0(2,0,0)
002
3
2
1
===
CCC
tzty
tx
==
+=2
2
225.1
0
4
3
2
2
2
2
2
2
===
===
===
dtdVz
dtyda
dtdVy
dtyda
dtdVx
dtxda
y
y
x
constmaaaa zyx ==++=++= sec/50169222
- 19 -
Zada~a 1: Da se opredeli traektorijata, normalnoto i tangencijalnoto zabrzuvawe ako to~kata M se dvi`i po zakonot:
ty
tx
2sin8
2cos8
π
π
=
=
Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
ty
tx
2sin8
2cos8
π
π
=
=
+
=+
+
=+
ttyx
ttyx
2cos
2sin8
2cos8
2cos8
22222
222222
ππ
ππ
222 8=+ yx - linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(0,0)
radius: r =8m
2. Brzina:
==
−==
tyVy
txVx
2cos4
2sin4
ππ
ππ
&
&
πππ
π 42
cos2
sin16 22222 =
+
=+= ttVyVxV
.4 constV == π [m/s]- zakon na brzina
+2
x
y
0Vr
C(0;0)
ar R=8m
- 20 -
3. Zabrzuvawe:
3.1. Dekartovi koordinati jaiaa yx
rrr⋅+⋅=
−===
−===
tydt
yda
txdt
xda
y
x
2sin2
2cos2
22
2
22
2
ππ
ππ
&&
&&
constttaaa yx ==
+
=+= 222422 2
2sin
2cos4 π
πππ
consta == 22π [m/s2]- zakon na zabrzuvawe 3.1. Prirodni koordinati NaTaa NT
rrr⋅+⋅=
[ ]( ) [ ]22
222
2
/28
168
4
/0
smR
Va
smdtdVa
N
T
πππ
====
==
( ) constaaa NT ===+= 22222 22 ππ
ili, ako ne ni e poznat radiusot na krivina Rf:
[ ]m
aVR
smaaa
aaa
N
TN
NT
82
16
/202
2
22
222222
222
===
=−=−=
+=
ππ
ππ
Zada~a 2: Avtomobil zapo~nuva dvi`ewe od sostojba na mir i toa po pat so radius na krivina e R=32m. Tangencijalnoto zabrzuvawe se menuva po sledniot zakon: [ ]2/16 smtaT = . Da se opredeli tangencijalnoto i vkupnoto zabrzuvawe vo momentot koga e izminat pat s=16m. Re{enie:
12
1
2
2
816
16
16
CtCdttV
dttdV
tdt
sddtdVaT
+=+⋅=
⋅=
===
∫
za st 0= ⇒= smV /00 ⇒+= 100 C 01 =C
28tdtdsV == ⇒ dttds ⋅= 28
23
22
38
8
Cts
Cdtts
+=
+= ∫
- 21 -
za st 0= ⇒= ms 00 ⇒+= 200 C 02 =C
3
38 ts =
za s=16m ⇒ 3
3816 t=
.sec68163 33 =
⋅=t
Posle vreme .sec63=t avtomobilot }e ima izminato pat od 16m. Vo toj moment tangencijalnoto i vkupnoto zabrzuvawe }e iznesuvaat:
( ) ( )
28222
2
223222
23
/34.368.2107.29
/8.2132
68
328
/07.2961616
smaaa
smtR
Va
smta
NT
N
T
=+=+=
=
===
=⋅=⋅=
Zada~a 3: Edna to~ka se dvi`i po nekoja kriva linija. Vo daden moment
.sec6=t , totalnoto zabrzuvawe zaklopuva agol od 60° so normalata. Da se opredeli radiusot na krivinata vo toj moment, ako brzinata se menuva po zakon tV 66 += Re{enie:
( )6
6660tan
tan
2
22
tRf
dtdV
VRf
RfVdtdV
aa
N
T
+=°
===α
( ) ( ) 732.12166
60tan16 222
⋅++=°⋅+
= tttRf
za .sec6=t
( ) mRf 21.509732.1361216 =⋅++=
60o
n
t
Rf
C
Tar
Nar ar
Vr
- 22 -
Zada~a 4: Pri dvi`ewe na to~ka po krug so radius R, tangencijalnoto zabrzuvawe e proporcionalno so kvadratniot koren na normalnoto zabrzuvawe (koeficient na proporcionalnost K>0). Da se opredeli zakonot na promenata na patot, brzinata i zabrzuvaweto vo vo funkcija od vremeto t . Re{enie:
NT aKa = , ako zamenime za dtdVaT = i
RVaN
2
= se dobiva: VR
KR
VKdtdV
==2
dtR
KVdV
= ⇒ ∫ ∫= dtR
KVdV
⇒ 1ln CtR
KV +=
za t=0 0VV =
10 0ln CR
KV +⋅= ⇒ 01 lnVC =
0lnln VtR
KV += , tR
KVV
=0
ln
kone~no: t
RK
eVV ⋅= 0 - zakon za promena na brzinata vo funkcija od vremeto.
Od ravenkata dtdsV = sleduva deka Vdtds = , odnosno 2CdtVs +⋅= ∫ .
20 CdteVst
RK
+⋅⋅= ∫ smena: tR
Ku = , dtR
Kdu = , odnosno duKRdt =
20202020 CeKRVCe
KRVCdue
KRVCdu
KReVs
tR
Kuuu +⋅=+⋅=+⋅=+⋅⋅= ∫∫
za t=0 0=s
200 CKRV +⋅= ⇒
KRVC ⋅−= 02
=⋅−⋅=KRVe
KRVs
tR
K
00
−⋅ 10
tR
K
eKRV -zakon na patot.
tRKt
RK
N
tR
KtR
K
T
eR
VReV
RVa
eRKV
RKeV
dtdVa
220
22
02
00
=⋅
==
⋅⋅
=⋅⋅==
2220
2
022
+
⋅
⋅=+=
tRKt
RK
NT eR
VeRKVaaa
tRKt
RK
eKR
VeRKVa
2
2
200 1
⋅+⋅
⋅= -zakon za promena na zabrzuvaweto vo funkcija od
vremeto.
∫
- 23 -
Zada~a 5: Dve to~ki M2 i M2 se dvi`at po ist krug vo ist pravec soglasno na ravenkite:
21 28 tS += , 4
2 tS = Po~etokot na merewe na krivolinijskite koordinati e od isto mesto. Da se opredeli vremeto na sredbata na dvete to~ki, i nivnite brzini i zabrzuvawa vo toj moment, ako R=16m. Re{enie: a) 21 SS =
sektt
u
uuutt
tt
24
42
3242
082 t,082
28
2
21
2
224
42
==
=+±
=
=−−
==−−
=+
tdtdsv 41
1 == 322 4t
dtdsv ==
22
11
11 4
tR
va
dtdva
N
T
==
==
62
22
222 12
tR
va
tdt
dva
N
T
==
==
za :2sekt =
221
211
21
21
1
/24
/4
/4/8
smaaa
smasma
smv
NT
N
T
=+=
=
=
=
222
222
22
22
2
/80
/64
/48/32
smaaa
smasma
smv
NT
N
T
=+=
=
=
=
Zada~a 6: To~ka se dvi`i po kru`na linija so radius R=0.4m, so zabrzuvawe ~ij pravec so pravecot na brzinata zaklopuva konstanten agol α=45°. Da se opredeli brzinata na to~kata, zakonot na patot, vremeto po koe brzinata }e se zgolemi za pet pati vo odnos na po~etnata brzina V0=3 m/sek, kako i patot koj go pominuva za istoto vreme.
Re{enie:
R=0.4m
ar 45°
vr
1
22
2
1
,
,,1
,
CRt
v
vdv
Rdt
vdv
Rdt
dtdv
Rvaa
aa
aatg
tnt
n
t
n
+=−
==
=⇒=⇒=
=
∫ ∫
α
- 24 -
Za t=0 Vo=3m/s
2222
2
11
)3ln()ln(3
33
3
,
33,
331
311
31,0
31
CtRRCuRCuduRCdu
uRs
CdttR
Rs
vdtds
vdtdsdtdsv
tRRv
RtR
v
Rt
v
CC
+−−=+−=+−=+−=
+−
=
=
=⇒=
−=⇒
−=
−=−
−=⇒+=−
∫∫
∫
∫ ∫
Za t=0 so=0 m
−=+−−=
=+−−=
tRRRRRtRRs
RRCCRR
3ln)ln()3ln(
)ln()0ln(0
2
2
mR
RRs
t
RtRt
RtRRtRtR
RsmVvt
644.05ln4.0106667.03
ln
sec106667.045
12,1245
34515,3)3(15,3
315
/155?, 0
=⋅=
⋅−=
=
=⇒=
=−⇒=−⇒−
=
===
Zada~a 7: Dvi`eweto na materijalna to~ka dadeno e so ravenkite:
.2
;2tgbtyatx −== Da se opredeli tangencijalnoto i normalnoto zabrzuvawe
na to~kata. Re{enie:
2
2tgbty
atx
−=
=
ggyxa
gtbayxv
=+=+=
−+=+=222
2222
0
)(
&&&&
&&
Smena, R-3t=u -3dt=du dt=-du/3 dt
- 25 -
gav
vgav
avR
Rva
vga
gtbagaa
gtbagtbggtbgag
gtbagtbggaaa
vbgtga
gtbagtbg
gtbaggtb
dtdva
NN
N
TN
T
T
3222
22
22
222222
22
22222
2222
)(
)()()(
)()(
)()(
)()(2
)(2
===⇒=
=−+
=
−+−−−+
=−+
−−=−=
−=
−+
−−=
−+
−−==
- 26 -
Zada~a 1: Daden e kinemati~ki dijagram V=V(t) za to~ka koja se dvi`i po krug so radius R=2m. Da se opredelat: zakonot na patot, brzinata i zabrzuvaweto za sekoj interval oddelno i da se nacrtaat nivnite kinemati~ki dijagrami. Da se opredeli i vkupno izminatiot pat vo intervalot od t=5sek. do t=10sek.
Re{enie: Del OA:
1
4
13
2
124
662
2
3
3
3
2051
50259
50225
53
5051
51525
CtCdttVdts
tta
ttR
Va
tdtdVa
sekt tV
kk
tkV
N
T
+=+⋅==
+⋅=
=⋅
==
⋅==
≤≤⋅=
=⇒⋅=
⋅=
∫∫
za mssekt 0 ,0 ==
100 C+= ⇒ 01 =C
20
4ts =
za sekt 5=
mts 25.31205
20
44
1 === ; 22
124 sec/86.312
5055
259 ma =+⋅=
Del AB:
)( 112
121 xx
xxyyyy −
−−
=−
sekt tV
tV
tV
105 505
)5(52525
)5(510
250)25(
≤≤+−=
−−
=−
−−
−=−
t(sek)
V(m/s)
25
5 10 0
A
B k⋅t3
- 27 -
( )
( )
( )
22
2
222
22
5025
505
25055
2505
5
Ctts
CdttVdts
ta
tR
Va
dtdVa
N
T
++−=
++−==
+−+=
+−==
−==
∫∫
za t=5sek s1= m25.31
25.156
550252525.31
2
2
−=
+⋅+⋅−=
C
C
25.156505.2 2 −+−= tts za t=5sek
ms 25.3125.15655055.2 21 =−⋅+⋅−= ;
( ) 2
222 sec/46.13
250555 m a =
+⋅−+=
za t=10sek
ms 75.9325.1561050105.2 22 =−⋅+⋅−= ;
( ) 2
222 sec/5
2501055 m a =
+⋅−+=
msssAB 5.6225.3175.9312 =−=−= Kinemti~ki dijagrami: a(t): s(t):
t(sek)
s(m)
93.75
5 10 0
A
B
31.25
5 t(sek)
a(m/s2)
312.86
5 10 0
A
B 13.46 5
- 28 -
Zada~a 2: To~ka vr{i pravolinisko dvi`ewe. Zavisnosta na brzinata od vremeto dadena e so kinemati~kiot dijagram prika`an na slikata. Da se opredelat: zakonot na patot, brzinata i zabrzuvaweto i nacrtaat nivnite dijagrami.
Re{enie: Ravenka na krug: 222 )()( Rqypx =−+−
Ravenka na prava: )( 112
121 xx
xxyyyy −
−−
=−
Del OA:
( ) 12
12
2
22
2
222
222
25510
10)5(
102)5(2)210(
1021
50 10
)5(55)0()5(
CdttCdtttvdts
ttta
tttt
ttdtdva
sekt ttv
tvvt
+⋅+−−=+−==
−
−=
−
−=−
−==
≤≤−=
−−=
=−+−
∫∫∫
smena: xt =− 5 , dxdt =
∫∫ ⋅−=⋅+−= dxxsdxxs 2222 5 ,5
xvx
xdudxdvxu =−
−==−= ,5
, ,522
22
( )
1
222
1222
1222
22
22222
22
2
22
2222
22
22222
22
222
5arcsin
255
2
5arcsin552
5arcsin55
5555
55
555
5555
55
Cxxxs
Cxxxs
Cxsxx
xdxdxxxxdx
xdx
xxxx
dxx
xxxdxx
xxxvduuvs
++−=
++−=
++−−=
=−
+−−−=−
−−
−−−
=−
−−−−=
−
−−−=−=
∫∫∫∫
∫∫∫
t(sek)
V(m/s)
5
5 8 0
A
B
- 29 -
( )
1
22
1
222
55arcsin
2510
25
55arcsin
2555
25
Ctttts
Cttts
+−
+−−
=
+−
+−−−
=
za mssekt 0 ,0 ==
425
22500
1
1
2
π
π
=
+
−+=
C
C
425
55arcsin
2510
25 2
2 π+
−+−
−=
tttts
za sekt 5=
425
425
555arcsin
255510
255 2
2
π
π
=
+−
+−⋅−
=
s
s
Del AB:
22
2
65
340
35
340
35
85 35
340
)5(355
)5(5850)5(
Ctts
Cdttvdts
dtdva
sekt t v
tv
tv
+−=
+
−==
−==
≤≤−=
−−=
−−−
=−
∫∫
za t=5sek s=4
25π
6275
425
6125
3200
425
2
2
−=
+−=
π
π
C
C
6275
425
65
340 2 −+−=
πtts
za t=8sek
425
645
425
6275320
6275
42564
658
340
π
ππ
+=
+−
=−+−=
s
s
- 30 -
Zada~a 3: To~ka zapo~nuva da se dvi`i od polo`ba M1 (2,5,7) i se dvi`i po prava definirana so vektorot na pravec:
kjiprrrr 860.0452.0235.00 ++=
Zakonot na brzinata e daden so kinemati~kiot dijagram V(t) sl.1. Da se opredeli zakonot na patot i na zabrzuvaweto i istite da se definiraat vo dekartov koordinaten sistem.
Re{enie: Zakonot na brzinata V(t) se menuva vo dva intervala i toa 0-5sek i od 5-10sek. Zakonot na brzinata vo ovie intervali }e go dobieme od kinemeti~kiot dijagram. Del O-A:
tv
tvttttvvvv
=
−−−
=−⇒−−−
=− )0(05050);( 0
01
010
Bidej}i vektorot na brzinata se poklopuva so vektorot na pravecot zakonot za promena na brzinata po trite koordinatni oski }e go dobieme so proektirawe na brzinata po trite koordinatni oski, za {to go koristeme vektorot na pravecot koj e daden so kosinusite od nagibnite agli na traektorijata so oskite x,y i z.
vx = .x = v⋅cosα = t⋅0.235 = 0.235t
vy =.y = v⋅cosβ = t⋅0.452 = 0.452t
vz = .z = v⋅cosγ = t⋅0.860 = 0.860t
Zabrzuvaweto }e go dobieme ako pobarame izvod na brzinata po vremeto t. a=1
ax =..x = (v⋅ cosα)’ = 0.235
ay =..y = (v⋅ cosβ)’ = 0.452
az = ..z =( v⋅ cosγ)’ = 0.860
Zakonot za promena na patot }e go dobieme so integracija na zakonot na brzinata, a konstantite od integracijata }e gi dobieme od po~etnite uslovi da za vreme t=0 sek to~kata imala polo`ba opredelena so koordinatite na to~kata M1(2,5,7).
21175.02
235.0235.0 20
2
+=+=⋅== ∫ ∫⋅ txtdttdtvx x
V
B
A
O t
5m/s
5sek 10sek
Sl.1
- 31 -
5226.02
452.0452.0 20
2
+=+=⋅=⋅= ∫ ∫ tytdttdtvy y
7430.02
860.0860.0 20
2
+=+=⋅=⋅= ∫ ∫ tztdttdtvz z
Za vreme t=5sek to~kata M }e ima koordinati opredeleni so zakonite za promena na patot, odnosno: xt=5=0.1175⋅25+2=4.9375 yt=5=0.226⋅25+5=10.65 zt=5=0.430⋅25+7=17.75
Del A-B
tv
tvttttvvvv
−=
−−−
=−⇒−−−
=−
10
)5(510505);( 0
01
010
vx = .x = v⋅cosα =(10- t)⋅0.235 =2.35- 0.235t
vy =.y = v⋅cosβ =(10- t)⋅0.452 = 4.52-0.452t
vz = .z = v⋅cosγ =(10- t)⋅0.860 = 8.6-0.860t
a = .v = −1
ax =..x = (v⋅ cosα)’ =− 0.235
ay =..y = (v⋅ cosβ)’ =− 0.452
az = ..z =( v⋅ cosγ)’ =− 0.860
0
2
2235.035.2)235.035.2( xttdttdtvx x +−=⋅−== ∫ ∫⋅
0
2
2452.052.4)452.052.4( yttdttdtvy y +−=⋅−=⋅= ∫ ∫
0
2
2860.06.8)860.06.8( zttdttdtvz z +−=⋅−=⋅= ∫ ∫
Konstantite x0, y0 i z0 }e gi dobieme od uslovot da to~kata za vreme t=5sek ima koordinati xt=5=4.9375, yt=5=10.65, zt=5=17.75.
,2
5235.0535.29375.4 0
2
x+−⋅= 875.30 −=x
,2
5452.0552.465.10 0
2
y+−⋅= 3.60 −=y
,2
5860.056.875.17 0
2
z+−⋅= 5.140 −=y
Kone~nite ravenki na zakonite za promenata na patot vo dekartovi koordinati }e bidat:
,875.32
235.035.22
−−⋅=ttx ,3.6
2452.052.4
2
−−⋅=tty ,5.14
2860.06.8
2
−−⋅=ttz
- 32 -
Primeri od integrali na diferencijalnite ravenki pri pravolinisko dvi`ewe na to~ka
Dadeno: ),,( Vrtaa
rrrr= i po~etni uslovi: t=t0
0
0
VV
rrrr
rr
=
=
Zada~a 1: To~ka se dvi`i pravoliniski so zabrzuvawe ( )tka ⋅= ωcos kade constk = i const=ω . Da se opredeli brzinata na to~kata i kone~nata ravenka
na dvi`eweto ako se definirani po~etnite uslovi na dvi`eweto 00 =t ,
00 =x i 00 Vx =& .
Re{enie: 1. Brzina:
( )
( )
( )
( ) 1sin
cos
cos
cos
Ctkx
dttkxd
tkdtxd
tkx
+⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
ωω
ω
ω
ω
&
&
&
&&
za 00 =t , 00 Vx =& .
10 CV =
( ) 0sin Vtkx +⋅= ωω
& - brzina
2. Kone~na ravenka na dvi`ewe:
( )
( ) 202
0
cos
sin
CtVtkx
Vtkdtdx
+⋅+⋅−=
+⋅=
ωω
ωω
za 00 =t , 00 =x
( )
22
202 00cos0
ω
ωωkC
CVk
=
+⋅+⋅−=
( ) 202 cosω
ωω
ktVtkx +⋅+⋅−= - kone~na ravenka na dvi`ewe
To~kata se dvi`i slo`eno, zbir od edno ramnomerno pravolinisko dvi`ewe
i harmonisko oscilatorno dvi`ewe vo intervalot 2ωkA ±=±
x O=M0
0Vr
ar
- 33 -
Zada~a 2: To~ka se dvi`i pravoliniski so zabrzuvawe xa ⋅−= 2ω kade const=ω . Da se opredeli brzinata i zakonot na dvi`eweto, ako se poznati
po~etnite uslovi na dvi`eweto 00 == tt , 0xx = i 000 == Vx& .
Re{enie:
1. Brzina:
xdtxd
⋅−= 2ω&
/ dx⋅
1222
1222
2
2
222Cxx
Cxxdxxxdx
dxxxddtdx
+⋅−=
+⋅
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−=
ω
ω
ω
ω
&
&
&&
&
za 00 =t , 0xx = i 000 == Vx& .
12
020 Cx +⋅−= ω , 2
02
1 xC ⋅= ω
2
02222 xxx ⋅+⋅−= ωω&
220 xxx −= ω& - promena na brzinata vo funkcija od rastojanieto.
2. Kone~na ravenka na dvi`ewe:
20
222
0
220
arcsin Ctxx
Cdtxx
dx
xxdtdx
+⋅=
+⋅=−
−=
∫∫
ω
ω
ω
za 00 =t , 0xx =
21arcsin
0arcsin
2
20
0
π
ω
==
+⋅=
C
Cxx
2arcsin
0
πω +⋅= t
xx
)2
sin(0π
ω +⋅= txx ⇒ )cos(0 txx ⋅= ω - kone~na ravenka na dvi`ewe
(harmonisko oscilatorno dvi`ewe )
)sin(0 txxV ⋅⋅⋅−== ωω& - promena na brzinata vo funkcija od vremeto.
)cos(20 txxa ⋅⋅⋅−== ωω&& - promena na zabrzuvaweto vo funkcija od vremeto.
x O V
r 0ar ar
-x0 x0
- 34 -
Zada~a 3: To~ka se dvi`i vertikalno nagore so zabrzuvawe ( )xkga &⋅+−= . Da se opredeli maksimalnata visina na iska~uvaweto i potrebnoto vreme ako se dadeni po~etnite uslovi na dvi`eweto 00 == tt , 00 == xx
sec/1000 mVx ==& i koeficientot na proporcionalnost so brzinata 1sec1.0 −=k , zemjano zabruvawe .sec/81.9 2mg =
Re{enie: 1. Brzina:
( )
( )xkgdtxd
xkga
&&
&
⋅+−=
⋅+−=
( ) dtxkg
xd−=
⋅+ &
& / ⋅k
( ) dtkxkg
xdk⋅−=
⋅+⋅
&
&
smena: dpxkd
pxkg=
=⋅+&
&
( ) 1
1
lnln
CktxkgCktp
dtkp
dp
+−=++−=
⋅−=
&
za 00 =t , 0Vx =&
( )( )01
10
ln0ln
VkgCCVkg
⋅+=+=⋅+
( ) ( )( )
( )kte
Vkgxkg
ktVkgxkg
−=⋅+
+−=⋅+−+
0
0lnln&
&
( )kgekVg
kx kt −⋅+= −
01
& promena na brzinata vo funkcija od vremeto.
2. Kone~na ravenka na dvi`ewe:
( )kgekVg
kdtdx kt −⋅+= −
01
( ) 202
1 CtkgekVg
kx kt +−⋅+−= −
za 00 =t , 00 == xx
x
M
0Vr
ar
M1 01 =Vr
H
- 35 -
( )
( )022
20
02
1
010
kVgk
C
CkgekVg
k
+=
+⋅−⋅+−=
( ) ( )0202
11 kVgk
tkgekVg
kx kt ++−⋅+−= −
( ) ( ) tkgekVg
kx kt −−⋅+= −11
02 - kone~na ravenka na pravolinisko dvi`ewe
3. Karakteristiki pri maksimalno iska~uvawe:
( )
( )
gkVg
kt
kVgge
kgekVg
k
txV
kt
kt
01
0
0
1
ln
010)(
1
+=
+=
=−⋅+
==
−
−
&
gkVg
kt 01 ln1 +
=
-maksimalna visina H:
( ) ( ) gkVg
kkg
kVggkVg
kxH 0
002max ln111 +
⋅−
+
−⋅+==
+⋅−= 02
0 1ln Vgk
kg
kVH
za sec/100 mV = , 1sec1.0 −=k
.sec97.081.9
101.081.9ln1.0
11 =
⋅+=t
mH 72.41081.91.01ln
01.081.9
1.010
=
+⋅−=
- 36 -
Zada~a 1: Dvi`eweto na to~ka vo ramnina e opredeleno vo polaren
koordinaten sistem preku proekciite na brzinata 2
1r
vr = i rc
vn ⋅=
1kade e
c=const. Da se opredeli traektorijata na to~kata, radijalnoto i transverzalnoto zabrzuvawe ako vo po~etokot na svoeto dvi`ewe to~kata se nao|ala vo polo`ba so koordinati (r0,ϕ0).
1. Traektorija na dvi`ewe
dtdrvvr == & ,
dtdrrvnϕ
ϕ == &
),1...(..........12rdt
dr= )2.......(..........1
rcdtdr
⋅=
ϕ
od (1) sleduva:
1
3
2
3Ctr
dtdrr
+=
=
za t=t0=0, r=r0
3
30
1rC = ,
30
3 3 rtr +=
od ravenka (2) sleduva:
( )dt
rtcddt
rcd
323
0
23
1,1
+⋅=⇒
⋅= ϕϕ , voveduvame smena :
3
3 30
dkdt
krt
=
=+
( ) 23
130
23
1
2
32
31
13
1
Crtc
Ckc
Cdkkc
++=
+=+= ∫−
ϕ
ϕ
za t=t0=0, ϕ =ϕ0
( )
−++=
−=
03
1300
002
31 rrtc
crC
ϕϕ
ϕ
ako zamenime za ( ) 313
03 rtr +=
[ ]001 rrc
−+= ϕϕ , ili
[ ]00 ϕϕ −+= crr , traektorijata na dvi`ewe e spirala.
r0 ϕ0
M0
M
rt
ϕt
- 37 -
2. Radijalno i transferzalno zabrzuvawe
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−==
=
=+
−⋅+++⋅+=
−−=−−=
=+⋅+−+−=
+−=⋅+−=
+=⋅+=
−++=
+−=⋅+−=
+=⋅+=
+=
+=−=
−−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
223
353
03
130
323
03
230
2233
25
343
03
1302
353
0
353
03
530
323
03
230
03
1300
353
03
530
323
03
230
313
0
2
1210
03233132
12112
33132
323332
313331
31
323332
333313
2
crraa
a
rtc
rtrtc
rta
crrr
cr
rtrtc
rta
rtc
rtc
rtc
rtc
rrtc
rtrtr
rtrtr
rtr
rrarra
r
n
n
r
n
r
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
&&
&
&&
&
&&&&
&&&
nvr
raa rr=
r0 ϕ0
M0
rr
ϕ
rvr
vr
- 38 -
1. To~ka M1 se dvi`i po prava 11BA so konstantna brzina 1vr , a to~ka M2 se
dvi`i po pravata 22 BA so konstantna brzina 2vr . Rastojanieto pome|u to~kite
A1 i A2 e bBA =11 . Agolot pome|u pravcite 11BA i 22 BA e α. Vo po~etokot to~kata M1 e vo A1, a M2 vo A2. Da se opredeli vremeto t, koga rastojanieto pome|u to~kite M1 i M2 e minimalno, ako dvi`eweto na dvete to~ki po~nuva istovremeno.
αcos2 2212
2
22
2
12
2
21
11112
2222
1111
⋅⋅−−=
−=−=
==
==
MAMAMAMAMM
btvbMAMA
tvsMA
tvsMA
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
α
ααα
αα
α
αα
α
cos2cos
cos2cos22
cos22cos422
0cos222
0cos2cos22
1
0
cos2
212
22
1
21
21212
22
1
21212
22
1
21212211
,
212
22
1
212
22
1
21
212
22
121
vvvvvvbt
vvbvvvvt
bvbvtvvtvtv
vbtvtvvvtvvbtv
tvbtvtvbtvtvbtvtvbtv
dtMMd
tvbtvtvbtvMM
−+
−=
⋅−=⋅−+
⋅−=⋅−+
=−+⋅−⋅+⋅−
=−−+−−−+−
=
−−+−=
α b
A1
B2
B1 M1 A2
M2
- 39 -
Zada~a 1: Topka e obesena za konec so dol`ina 32cm i oscilira vo vertikalna ramnina okolu nepodvi`na horizontalna oska. Dvi`eweto na
to~kata e opredeleno so ravenkata t2
sin8
ππϕ = . Da se opredeli momentot
koga aN=0, aT=0 i zabrzuvaweto vo moment T=2sek. Re{enie:
( ) tt2
sin8
ππϕϕ ==
( ) tt2
cos16
2 ππϕω == & - aglova brzina
( ) tt2
sin32
3 ππωε −== & - aglovo zabrzuvawe
Od ravenkata: RV ⋅= ω sleduva:
εωω
⋅==⋅
== RdtdR
dtRd
dtdVaT
)(, 2
222
ωω
⋅=⋅
== RR
RR
VaN
Od uslovot 0=Ta sleduva:
ttRRaT 2sin
2sin
323
3 ππ
ππε −=
−⋅=⋅=
02
sin3 =−= taTπ
π
02
sin =tπ 0arcsin
2=tπ
ππ
=t2
.sec2=t
Za .sec2=t
022
sin8
==ππ
ϕ
Od uslovot 0=Na sleduva:
02
cos16
02
cos16
2
22
=
=
⋅=
t
tRaN
ππ
ππ
02
cos =tπ 0arccos
2=tπ
22ππ
=t sec1=t
Za .sec1=t
max81
2sin
8ϕ
πππϕ ===
max8
==π
ϕ
0=Ta
l=32cm
Na 0=Na
- 40 -
Zada~a 2: Vrz makara so radius R e obeseno nerasteglivo ja`e koe na krajot go nosi tovarot A. Da se opredeli zabrzuvaweto i brzinata na tovarot A kako i agolnata brzina i zabrzuvawe na to~ka od makarata, ako zakonot na
dvi`ewe na tovarot A e daden preku ravenkata: 2
2tcx ⋅= , kade .constc =
Re{enie:
2
2tcxA⋅
= -zakon na dvi`ewe na tovarot A
tcVx AA ⋅==& -zakon na promena na brzinata na tovarot A
cax AA ==&& -zakon na promena na zabrzuvaweto na tovarot A
tcVM ⋅= -zakon na promena na brzinata na to~ka M (obemna brzina)
cdt
dVa MMT == -tangencijalno zabrzuvawe na to~ka M
Rtc
RVa MN
222 ⋅== -normalno zabrzuvawe na to~ka M
2
44222
Rtccaaa NTM
⋅+=+= -totalno zabrzuvawe na to~ka M
od ravenkata: 2222
ωω
⋅=⋅
== RR
RR
VaN sleduva:
Rtc
RRtc
RaN ⋅
=⋅⋅
==22
ω - aglova brzina
od ravenkata: εωω
⋅==⋅
== RdtdR
dtRd
dtdVaT
)( sleduva:
Rc
RaT ==ε - aglovo zabrzuvawe
VA
MTa MNa M
A
VM
- 41 -
Zada~a 3: To~ka M od disk, od sostojba na mir e doveden vo ramnomerno zabrzana rotacija. Po vreme od 22 sekundi pravi 105 zavrtuvawa vo minuta. Da se opredeli: zakonot na dvi`eweto na to~kata M, aglovata brzina i zabrzuvawe, hodografot na obemnata brzina, tangencijalnoto, normalnoto i totalnoto zabrzuvawe na to~kata M koja e na rastojanie r vo odnos na centarot na diskot. Vo momentot t0=0sek to~kata M se nao|a vo polo`ba M0 pri {to cmOM 200 = . Re{enie:
-vreme t1=22sec. n=105 zavr./min.
602 111 ⋅=⋅=⋅= ωωπϕ Tn
0
sec1130
14.31053060
2
0
11
=
=⋅
=⋅
=⋅
= −
ω
ππω
nn
Od uslovot na zada~ata: const== 0εε -ramnomerno zabrzana rotacija
dtdω
ε = ⇒ 01 ωεεω +⋅=+⋅= ∫ tCdt
t⋅+= εωω 0
za t0=0sec. i 10 sec0 −=ω
za t1=22sec. i 11 sec11 −=ω
22011 ⋅+= ε 2sec5.0 −=ε -zakon za promena na aglovoto zabrzuvawe
10 sec5.0 −⋅=⋅+= ttεωω -zakon za promena na aglovata brzina
dtdϕ
ω = ⇒ 2
2
1 25.0 CtCdt +
⋅=+⋅= ∫ωϕ
za t0=0sec. 00 =ϕ 225.0 t⋅=ϕ -zakon za dvi`ewe
Obemna brzina (izrazena prekuaglovata brzina):
sec/c 105.020 mttrV ⋅=⋅⋅=⋅= ω
Hodograf na obemnata brzina:
( )( )2
2
25.0sinsin25.0coscos
trrytrrx
⋅⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=
ϕ
ϕ
( ) ( )( ) ( ) η
ξ
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==
=⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−==22
22
25.0cos5.025.0cos25.0225.0sin5.025.0sin25.02
trtttryVytrttrtxVx
&
&
2222 25.0 tr ⋅⋅=+ηξ - hodograf na obemnata brzina e otvorena spirala
y
MVr
M
M0 x
O ϕ
rr ω
- 42 -
Obemna brzina (izrazena prekukomponentite na brzinata vo dekartov koordinaten sistem):
( )( ) ( )( ) sec/c 105.025.0sin5.025.0sin5.0 222222 mttrtrttrtVVV yx ⋅=⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅−=+=
Zabrzuvawe (izrazeno preku aglovata brzina i zabrzuvawe):
( ) 2sec/10cmrdtrd
dtdVaT =⋅=
⋅== ε
ω
2222222
sec/525.020 cmttrr
rr
VaN ⋅=⋅⋅=⋅=⋅
== ωω
( ) ( ) 244424222222 sec/c 455.05.020 mttrrraaa TN +=+=+=⋅+⋅=+= ωεωε
Zabrzuvawe (izrazeno preku obemnata brzina):
2sec/10cmdtdVaT ==
2222
sec/520
100 cmttR
VaN ⋅=⋅
==
( ) 24422222 sec/c 4525100510 mtttaaa TN +=+=+=+=
ϕ V 0 0
4/π 17.72
2/π 25.09
4/3π 30.5 π 35.0
4/5π 39.62
2/3π 43.3
ξ
η
6Vr
1Vr
2Vr
3Vr
4Vr
5Vr
- 43 -
Fakultet: GRADE@EN Predmet: TEHNI^KA MEHANIKA II U~ebna godina: 2004/2005
I K O L O K V I U M - pismen del
(I-grupa) 1. Dvi`eweto na to~ka vo Oxy ramninata e definirano so ravenkite:
ty
tx
2sin24
2cos23
π
π
+=
−−=
Da se opredeli i skicira traektorijata na dvi`ewe, zakonot na patot, brzinata, zabrzuvaweto (preku komponentite vo priroden i dekartov koordinaten sistem) i hodografot na brzinata i zabrzuvaweto.
(3.5 poeni)
Re{enie: 1. Linija na traektorijata:
ty
tx
2sin24
2cos23
π
π
+=
−−=
ty
tx
2sin24
2cos23
π
π
=−
−=+
( ) ( )
( ) ( )
+
=−++
+
=−++
ttyx
ttyx
2sin
2cos243
2sin2
2cos243
22222
222222
ππ
ππ
( ) ( ) 222 243 =−++ yx - linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 Rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(-3,4)
radius: R =2m
2. Zakon na patot:
00
2222 sdtyxdtdydxdsst
++=+== ∫∫ ∫ &&
za ⇒= 0t 00 =s
=
=
ty
tx
2cos
2sin
ππ
ππ
&
&
tdtdtttdtttsttt
⋅==
+
=
+
= ∫∫∫ ππ
πππ
ππ
ππ
00
222
0
22
2cos
2sin
2cos
2sin
ts ⋅= π - zakon na patot
+2
x
y
C(-3;4) 4
-3
R=2m
O
- 44 -
3. Brzina:
== txVx
2sin π
π&
== tyVy
2cos π
π&
ππ
ππ
π =
−+
=+=
2222
2cos
2sin ttVyVxV
.constV == π [m/s]- zakon na brzina 4. Zabrzuvawe:
4.1 Dekartovi koordinati:
=== tx
dtxdax 2
cos2
2
2
2 ππ&&
−=== ty
dtyda y 2
sin2
2
2
2 ππ&&
constaaa yx ==+=2
222 π
consta ==2
2π[m/s2]- zakon na zabrzuvawe
4.1 Prirodni koordinati:
0==dtdVaT
2
22 π==
RVaN
constaaa NT ==+=2
222 π
5.Hodograf na brzinata:
==
==
tVy
tVx
2cos
2sin
ππη
ππξ
222 πηξ =+ - hodograf na brzina
6.Hodograf na zabrzuvaweto:
−==
==
taY
taX
y
x
2sin
2
2cos
22
2
ππ
ππ
2222
2
=+
πYX - hodograf na zabrzuvaweto e krug so radius 2
2π
X≡ξ
Y≡η
Vr
ar
Hodograf na brzina
Hodograf na zabrzuvawe
- 45 -
2. To~ka vr{i pravolinisko dvi`ewe pri {to brzinata V(t) se menuva spored dadeniot kinemati~ki dijagram. Da se opredelat: kinemati~kite dijagrami s-t i a-t, kako i pominatiot pat za vreme t=8sek.
(3.5 poeni)
Re{enie: Del AB:
mtkV +⋅=
404
4,0
=+⋅===
mm k
Vt
3/268
8,6
=+⋅===
km k
Vt 4
32
+⋅= tV
32
==dtdVa
1
2
1
423
2
432
Ctts
CdttVdts
++=
+
+== ∫∫
za mssekt 0 ,0 == 100 C+= ⇒ 01 =C
tts 43
2
+=
za sekt 6=
mtts 36643
643
22
1 =⋅+=⋅+= ; 2sec/666.0 ma =
Del BC:
mtkV +⋅= 2
81
10036868
8,62
−=
−=+⋅=
==
k
kkm k
Vt
8100
100100
0,102
=
−=+⋅=
==
m
kmm k
Vt
8
10081 2 +⋅−= tV
tdtdVa
41
−==
t(sek)
V(m/s)
4
6 10 0
A
B
V=k⋅t2+m
C
8
- 46 -
2
3
22
8100
24
8100
81
Ctts
CdttVdts
++−=
+
+−== ∫∫
za t=6sek s1= m36
3075936
68
10024636
2
2
3
−=−+=
++−=
C
C
308
10024
3
−+−= tts
za t=6sek
ms 363068
1002463
=−+−= ; 2sec/5.1641 ma −=⋅−=
za t=8sek
ms 66.483088
1002483
=−+−= ; 2sec/2841 ma −=⋅−=
za t=10sek
ms 33.5330108
10024
103
=−+−= ; 2sec/5.21041 ma −=⋅−=
Kinemti~ki dijagrami: a(t): s(t):
t(sek)
a(m/s2)
10 6
0
A B 2/3
C
-1.5
-2.5 t(sek)
s(m)
53.33
6 10 0
A
B 36
48.66
8
C
- 47 -
3. To~ka se dvi`i po kru`nica so R=4m, pri {to zakonot na promena na aglovoto zabrzuvawe se menuva po zakonot:
82 −⋅= tε
Da se opredeli: aglovata brzina, zakonot na dvi`eweto vo dekartovi i polarni koordinati, tangencijalnoto i normalnoto zabrzuvawe i zakonot na patot, ako za t=0sek. 1
0 sec0 −=ω ; 00 =ϕ .
(3.0 poeni)
Re{enie:
82 −⋅= tε
εω
=dtd
∫ ⋅= dtεω ( )∫ ⋅−⋅= dtt 82ω
1
2
82
2 Ctt+−=ω
za t=0sek; ω= 1sec0 − 1082020 C+⋅−= 01 =C
tt 82 −=ω - agolna brzina
ωϕ
=dtd
∫ ⋅= dtωϕ ( )∫ ⋅⋅−= dttt 82ϕ
2
23
28
3Ctt
+⋅−=ϕ
za t=0sek; ϕ= rad0 2000 C+−= 02 =C
4
43
23
=
⋅−=
r
ttϕ - zakon na dvi`ewe vo polarni koordinati
−⋅=⋅=
−⋅=⋅=
23
23
43
sin4sin
43
cos4cos
ttry
ttrx
ϕ
ϕ
- zakon na dvi`ewe vo dekartovi koordinati
( ) ( )
( ) ( )ttrr
rr
Va
tdtdr
dtrd
dtdVa
N
T
84
8244
2222
−=⋅=⋅
==
−=⋅=⋅=⋅
==
ωω
εωω
−⋅=⋅= 2
3
43
4 ttrs ϕ - zakon na patot
Skopje, 22.12.2004 godina. Od Predmetniot nastavnik
y
MVr
M
M0 x
O ϕ
rr ω
- 48 -
Fakultet: GRADE@EN Predmet: TEHNI^KA MEHANIKA II U~ebna godina: 2004/2005
I K O L O K V I U M - pismen del
(II-grupa) 4. Dvi`eweto na to~ka vo Oxy ramninata e definirano so ravenkite:
ty
tx
6cos41
6sin42
π
π
−=
+−=
Da se opredeli i skicira traektorijata na dvi`ewe, zakonot na patot, brzinata, zabrzuvaweto (preku komponentite vo priroden i dekartov koordinaten sistem) i hodografot na brzinata i zabrzuvaweto.
(3.5 poeni)
Re{enie:
1. Linija na traektorijata:
ty
tx
6cos41
6sin42
π
π
−=
+−=
ty
tx
6cos41
6sin42
π
π
−=−
=+
( ) ( )
( ) ( )
+
=−++
+
=−++
ttyx
ttyx
6cos
6sin412
6cos4
6sin412
22222
222222
ππ
ππ
( ) ( ) 222 412 =−++ yx - linija na traektorija (kru`nica ( ) ( ) 222 Rqypx =−+− )
centar: C(p,q)=C(-2;1)
radius: R =4m 2. Zakon na patot:
00
2222 sdtyxdtdydxdsst
++=+== ∫∫ ∫ &&
za ⇒= 0t 00 =s
=
=
ty
tx
6sin
32
6cos
32
ππ
ππ
&
&
tdtdtttdtttsttt
⋅==
+
=
+
= ∫∫∫ 3
23
26
sin6
cos3
26
sin3
26
cos3
2
00
222
0
22πππππππππ
ts ⋅=3
2π- zakon na patot
+2
x
y
C(-2;1) 1
-2
R=4m
O
- 49 -
3. Brzina:
== txVx
6cos
32 ππ
&
== tyVy
6sin
32 ππ
&
32
6sin
32
6cos
32
2222 πππππ
=
−+
=+= ttVyVxV
.3
2 constV ==π
[m/s]- zakon na brzina
4. Zabrzuvawe:
4.1 Dekartovi koordinati:
−=== tx
dtxdax 6
sin9
2
2
2 ππ&&
=== ty
dtyda y 6
cos9
2
2
2 ππ&&
constaaa yx ==+=9
222 π
consta ==9
2π[m/s2]- zakon na zabrzuvawe
4.1 Prirodni koordinati:
0==dtdVaT
9494 222 ππ
=⋅
==R
VaN
constaaa NT ==+=9
222 π
5.Hodograf na brzinata:
==
==
tVy
tVx
6sin
32
6cos
32
ππη
ππξ
2
22
32
=+
πηξ - hodograf na brzina
6.Hodograf na zabrzuvaweto:
==
−==
taY
taX
y
x
6cos
9
6sin
92
2
ππ
ππ
2222
9
=+
πYX - hodograf na zabrzuvaweto e krug so radius 9
2π
X≡ξ
Y≡η
ar Vr
Hodograf na brzina
Hodograf na zabrzuvawe
- 50 -
5. To~ka vr{i pravolinisko dvi`ewe pri {to brzinata V(t) se menuva spored dadeniot kinemati~ki dijagram. Da se opredelat: kinemati~kite dijagrami (s-t) i (a-t), kako i pominatiot pat za vreme t=10sek.
(3.5 poeni)
Re{enie: Del AB:
tkV ⋅=2
0,0 == Vt
999
9,92
=⋅=
==
k k
Vt
tV
tV
3
92
=
⋅=
tt
tdtdVa
23
23
===
13
1
2
3
Cts
CdttVdts
+=
+== ∫∫
za mssekt 0 ,0 == 100 C+= ⇒ 01 =C 32 ts =
za sekt 0=
ms 002 30 =⋅= ; ∞=a
za sekt 9=
ms 54729292 31 ==⋅= ; 2sec/5.0 ma =
Del BC:
mtkV +⋅=
31299
999,9
−=−=
+⋅===
kkk
m kVt
3612120
0,12
=−=
+⋅===
mkm
m kVt
363 +⋅−= tV
3−==dtdVa
t(sek)
V(m/s)
9 12 0 A
B
V2=k⋅t
C
9
- 51 -
( )
2
2
2
362
3
363
Ctts
CdttVdts
++−=
++⋅−== ∫∫
za t=9sek s= m54
5.1483245.12154
9362
9354
2
2
2
−=−+=
+⋅+−=
C
C
5.148362
32
−+−= tts
za t=9sek
ms 545.1489362
932
=−⋅+−= ; 2sec/3ma −=
za t=10sek
ms 5.615.14810362
1032
=−⋅+−= ;
za t=12sek
ms 5.675.14812362
1232
=−⋅+−= ;
Kinemti~ki dijagrami: a(t): s(t):
t(sek)
a(m/s2)
10 6
0
A B 0.5
-3 t(sek)
s(m)
67.5
9 12 0
A
B 54
61.5
10
C
- 52 -
6. To~ka se dvi`i po kru`nica so R=6m, pri {to zakonot na promena na aglovoto zabrzuvawe se menuva po zakonot:
44 +⋅−= tε
Da se opredeli: aglovata brzina, zakonot na dvi`eweto vo dekartovi i polarni koordinati, tangencijalnoto i normalnoto zabrzuvawe i zakonot na patot, ako za t=0sek. 1
0 sec0 −=ω ; 00 =ϕ .
(3.0 poeni)
Re{enie:
44 +⋅−= tε
εω
=dtd
∫ ⋅= dtεω ( )∫ ⋅+⋅−= dtt 44ω
1
2
42
4 Ctt++−=ω
za t=0sek; ω= 1sec0 − 1042040 C+⋅+−= 01 =C
tt 42 2 +⋅−=ω - agolna brzina
ωϕ
=dtd
∫ ⋅= dtωϕ ( )∫ ⋅⋅+−= dttt 42 2ϕ
2
23
24
32 Ctt
+⋅+⋅
−=ϕ
za t=0sek; ϕ= rad0 2000 C+−= 02 =C
6
23
2 23
=
⋅+⋅
−=
r
ttϕ
- zakon na dvi`ewe vo polarni koordinati
+−⋅=⋅=
+−⋅=⋅=
23
23
23
2sin6sin
23
2cos6cos
ttry
ttrx
ϕ
ϕ
- zakon na dvi`ewe vo dekartovi koordinati
( ) ( ) ( )
( ) ( ) =+−=⋅=⋅
==
−=+−=⋅=⋅=⋅
==
22222
426
1244446
ttrr
rr
Va
ttdtdr
dtrd
dtdVa
N
T
ωω
εωω
⋅+−⋅=⋅= 2
3
23
26 ttrs ϕ - zakon na patot
Skopje, 22.12.2004 godina. Od Predmetniot nastavnik
y
MVr
M
M0 x
O ϕ
rr ω
