Kinematika Na Tocka

8/18/2019 Kinematika Na Tocka

1/26

2.1

2. КИНЕМАТИКА НА ТОЧКА

Движењето на тело или систем од тела ќе биде наполно определено акосе знае положбата на било која нивна избрана точка во текот на движењето.Според тоа, пред да почнеме со изучувањето на движењето на сложенисистеми треба да се изучи движењето на една точка.

Во кинематиката на точка се изучува движењето на една точкаисклучувајќи ја масата и силите кои дејствуваат врз истата. Станува зборза една геометриска точка која се движи во просторот со текот навремето.

Точка може да биде елементарен дел од круто тело, модел на крутотело чии димензии се незначителни во однос на димензиите на патот илимодел на круто тело кое се движи транслаторно (сите точки се движат наисти начин).

Од сите претходно наведени случаи произлегува важноста за изучување

на кинематичките карактеристики на една точка.

2.1 КОНЕЧНИ РАВЕНКИ НА ДВИЖЕЊЕ НА ТОЧКА, ТРАЕКТОРИЈА И ЗАКОННА ПАТ

Положбата на една точка М во однос на референтен координатен системсе определува преку нејзиниот радиус вектор r

, чиј почеток се поклопува со

почетокот на координатниот систем (полот О), а крајот со точката М (Сл.2.1.1). Ако точката М се движи во просторот радиус векторот r

се менува

непрекинато со текот на времето.

Времето е една скаларна независнопроменлива и позитивна големина којанепрекинато се менува и се означува со t.

Според тоа, радиус векторот семенува во функција од времето, односнопретставува една векторска функција воформа:

)( t r r

(2.1.1)

Равенката (2.1.1) го определува законот на движењето на точката М

во векторски облик и претставува една конечна равенка на движење.При решавањето на многубројни задачи во кинематиката се преминува од

векторски кон координатен метод. Координатниот метод се состои во задавањена координатите на точката како функција од времето, за дефиниран

координатен систем. Од математичка гледна точка векторската функција )( t r

е

еднозначна, непрекината и диферанцијабилна (постои прв, втор и повисокизвод), следува дека и координатите на векторската функција истотака ќе бидатеднозначни, непрекинати и диферанцијабилни.

Ако точката О е пол на декартов координатен систем со базни вектори

k ji

,, , тогаш векторот r и координатите се во следна зависност:

k z j yi xr

(2.1.2)

Сл. 2.1.1

r

x

z

yO

M


2/26

2.2

Координатите x , y и z се непрекинати скаларни функции кои зависат одвремето, односно:

)(

)(

)(

t z z

t y y

t x x

(2.1.3)

Равенките (2.1.3) го определуваат законот на движењето на точката Мво скаларна (аналитичка) форма. Тоа се трите конечни равенки на движење во Декартов координатен систем.

Должината на радиус векторот и неговите насочени косинуси можат да сеопределат преку декартовите координати на точката:

222 z y xr r

(2.1.4)

r

xr x

,cos , r

yr y

,cos , r

z r z

,cos (2.1.5)

Ако движењето на точката е во рамнината OXY законот на движење седобива преку двете координати:

)(

)(

t y y

t x x

(2.1.6)

Бидејќи Декартовиот координатен систем се усвојува за апсолутен, заистиот се поврзува подвижниот цилиндричен координатен систем и подвижниот

сферен координатен систем.

Во цилиндричниот координатен систем положбата на точката се определува прекупроекцијата на радиус векторот r

во рамнината

OXY, означен со , поларниот агол помеѓу x и и декартовата координата z, растојанието одточката до рамнината OXY (Сл.2.1.3).

r

x

z

y

O

M

x

z

y

k

i

j

Сл. 2.1.2

r

x

z

yO

M

z

M’

Сл. 2.1.3


3/26

2.3

Трите координати се функција од времето и претставуваат триконечни равенки на движење во цилиндричен координатен систем, т.е.:

Ако движењето на точката е во рамнината OXY можат да се искористат

координатите на поларниот координатен систем, поларниот радиус =r и

поларниот агол . Двете конечни равенки на движење во поларниоткоординатен систем се:

Во сферниот координатен систем положбата на точката се определува

со должината на радиус векторот и аглите и (Сл. 2.1.4). Трите координати се функција од

времето и претставуваат три конечниравенки на движење во сферникоординати т.е.:

Декартовите координати се поврзани со цилиндричните и сфернитекоординати со посредство на формулите:

z z y x sin cos (2.1.10)

sin sincos coscos r z r yr x (2.1.11)

Претходно изнесеното покажува дека разгледаните форми на законот надвижењето се еквивалентни помеѓу себе и движењето на точката не зависи одначинот на неговото прикажување. Според тоа, движењето на една точка вопростор се определува со три независни координати. Следува дека точкакоја слободно се движи во простор има три степени на слобода.

При мерењето на времето се користат следниве термини: почетенмомент, даден момент и временски интервал.

Почетен момент на времето t 0 е момент кога е започнато да се меривремето, најчесто се усвојува t 0=0. Секој даден момент t е определен со број на

секунди кои поминале во однос на почетното време. Временски интервал еразликата во времето помеѓу два последователни моменти, односно t =t 1-t.

= ( t)

= ( t) (2.1.7)z=z(t)

= ( t)

= ( t) (2.1.8)

r =r(t)

= ( t) (2.1.9)

= (t)

сл. 2.1.4

r

x

z

yO

M

M’

r


4/26

2.4

Времето како основна величина во SI системот за мерни единици, се мериво секунди, што значи дека за мерна единица на времето е усвоена еднасекунда.

Трите конечни равенки на движењето ги содржат следните особини:

се еднозначни функции на времето т.е. точката не може да се совпаде истовремено со различни точки во просторот.

се непрекинати во соодветниот интервал од време, бидејќи и самотодвижење е непрекинато.

дозволуваат прв и втор извод, а соодветната примена ќе бидесогледана подоцна.

Со движењето точката опишува непрекината линија во простороткоја е наречена траекторија или пат на подвижната точка . Следува декагеометриското место на точки од просторот со кои се совпаднуваподвижната точка ја определува траекторијата на точката.

Со движењето на точката се менува радиус векторот r

по интензитет,правец и насока. Линијата која ја опишува врвот на радиус векторот еодограф на дадениот вектор. Може да се заклучи дека траекторијата наточката се совпаднува со одографот на векторот на положбата (Сл 2.1.5).

За да се конструира траекторијата,од практична гледна точка, се користи

линијата на траекторијата која може да сеопредели со пресекот на две површиникои се определени со равенките:

f 1( x,y,z )=0 f 2( x,y,z )=0 (2.1.13)

Равенките (2.1.13) можат да се определат од трите параметарскиравенки на движење на точката (рав. 2.1.3).

Траекторијата на точка во некои случаи е идентична со линијата натраекторија, а во некои е само дел од неа.

Ако точката се движи по дадената траекторија нејзината положба можеда се определи и преку должината на лакот определена од точката М до еднапостојна точка О1 која припаѓа на траекторијата (Сл. 2.1.6).

Големината s M O 1

претставува криволиниска координата која се

менува непрекинато и е функција од времето. Со оваа координата сеопределува законот на патот на подвижната точка, т.е.

s=s(t) (2.1.14)

r

x

z

yO

M

nr

0r

Mn

M0

сл. 2.1.5


5/26

2.5

Равенката (2.1.14) го определувазаконот на движење во природнаформа.

Со равенката на линијата натраекторијата и со законот на патотнаполно се определува движењето наедна точка во простор.

Ако е даден законот на движењето наедна точка во декартов координатенсистем може да се изврши премин воприродна форма. Со елиминирање навремето од трите параметарски се

определува линијата на движењето, равенка (2.1.13). За определување назаконот на патот се користи елементарниот лак на кривата, кој се добива одследниов израз:

222dz dydxds (2.1.15)

каде dx, dy и dz се диференцијали на координатите на точка и се опрелуваат наследниот начин:

dt xdx dt ydy dt z dz (2.1.16)

Со замена на равенките (2.1.16) во (2.1.15) и извршена интеграција во

интервалот од момент t 0 до даден момент t се добива законот на патот воследна форма:

t

t

sdt z y x s

0

0

222 (2.1.17)

Знакот пред интегралот се избира во зависност од тоа дали движењето е вопозитивна или во негативна насока.

r

x

z

yO

M

01r

O1

s(t) f 1( x,y,z )=0

f 2( x,y,z )=0

Сл. 2.1.6


6/26

2.6

2.2 БРЗИНА НА ТОЧКА, ОДОГРАФ НА БРЗИНА И ЗАБРЗУВАЊЕ

Нека точката М се движи во просторот и во моментот t положбата е

определена со радиус векторот ,t r а во моментот t t t 1

со радиус вектор

r t r

(Сл. 2.2.1). Векторот

t r t t r r (2.2.1)

е наречен прираст на радиус векторот r

на точката М за интервалот .t

Односот на прирастот на радиус

векторот r на точката и соодветниотинтервал од време t се нарекува

средна брзина на точката М воинтервалот од време t , т.е:

t

r V

SR

(2.2.2)

Средната брзинаSR

V е вектор, со

правец на тетивата ,1

MM и насока на

векторот .r Таа ја карактеризира

брзината со која се менува радиус

векторот r

за времето .t

Со воведувањето на поимот средна брзина се отстапува од вистинското

движење на точката по лакот .1 MM Средната вредност е брзина нарамномерно праволиниско движење на точката * M по патот .

1 MM Kолку е

помал интервалот од време ,t толку двете движења се поблиски помеѓу себе.

Границата на количникот на прирастот r на радиус векторот на

точката и соодветниот прираст на времето ,t кога истиот клони кон нула,

претставува брзина на точка М во даден момент, т.е:

r dt

r d

t

r V

t

0lim (2.2.3)

Од претходниот израз следува дека границата е еднаква на векторскиизвод на r

по времето t . Со тоа се дефинира и поимот брзина на точка во

даден момент (моментна брзина) како прв извод на радиус векторот на

положба по времето .t

Кога ,0 t M M 1

и граничната положба на тетивата1

MM се совпаѓа

со тангентата на траекторијата во точката . M Следува дека брзината на

точката е вектор со правец по тангентата на траекторија и насока еднаква на

насоката на движењето на точката. Мерната единица за интензитетот на

брзината V ќе произлезе од мерните единици на основните физички големини

должина и време. Димензиите се: V должина/време= T / L , а мерна единица

е 1 m/sec и определува изминат пат од еден метар за време од една секунда.

Sl. 2.2.1

yx

z

O

t r

t t r

M

r SR

V

MV

T

1 M


7/26

2.7

Компонентите на брзината во декартов координатен систем сеопределуваат на следен начин:

Нека е даден законот на движење на точката со координатите, односноравенките:

,t x x ,t y y t z z

Согласно законот на движење, во векторска форма се добива:

k t z jt yit xr

Единечните вектори ,i

j , k за избраниот координатен систем се постојани и

брзината на точката се добива во форма:

k dt

dz j

dt

dyi

dt

dxk t z jt yit x

dt

d

dt

r d V

(2.2.4)

Од добиената векторска равенка следуваат и проекциите на брзината наточката по однос на соодветните координатни оски:

xdt

dxV

x y

dt

dyV

y z

dt

dz V

z (2.2.5)

Проекциите на векторот на брзината на точката по однос нанеподвижните координатни оски се еднакви на првите изводи насоодветните координати на точката по времето.

Интензитетот на брзината се определува со формулата:

2222

z

2

y

2

x z y xV V V V (2.2.6)

Правецот и насоката се определуваат со косинусите:

V

xV x

,cos V

yV y

,cos V

z V z

,cos (2.2.7)

Ако интензитетот на брзината е константен во текот на времето,движењето се нарекува рамномерно, а во спротивен случај е нерамномерноодносно променливо.

const V рамномерно

t V V променливо

Интензитетот на брзината преку законот на патот се изразувасо релацијата:

2

2

2

222222

222

dt

ds

dt

dz dydx

dt

dz

dt

dy

dt

dx z y xV

sdt

dsV (2.2.8)


8/26

2.8

Точка М се движи во просторот и врши променливо движење. Векторот набрзината се менува како по интензитет, така и по правец и по насока, односно:

t V V .

Се разгледува низа од последова-

телни положби: ,0

M ,1

M ,2

M ,...,3

M n

M .

За секоја положба е определен и

векторот на брзинатаi

V (сл.2.2.2).

Ако векторите на брзините сенанесат во постојана точка (пол О1) сосоодветен интензитет, правец и насока,краевите на векторите на брзините ќеопишат непрекината линија нареченаодограф на брзината.

Нека полот О1 се усвои закоординатен почеток на ортогоналенкоординатен систем O , , паралелен

на декартовиот координатен системO , x , y . z Точката N од одографот на

брзината има радиус вектор t V N O 1

(сл.2.2.3). Проекциите на радиус

векторот V N O 1

по координатен систем

O , , се:

;t xV x ;t yV y t z V Z .

Равенките:

t t x

t t y (2.2.9)

t t z

го определуваат законот на брзина, односно законот на движењето на

точката N од одографот на .V Ако се елиминира времето t се добива

равенката на одографот на брзината:

Со двете параметарски равенки се дефинираат две цилиндричниповршини во просторот чиј пресек го определува одографот на векторот набрзината.

Ако е познат одографот на брзината може да се определи и начинот накој се движи точката М.

y

x

z

O

0r 1r

0V

1V

M

V

o M

1 M

r

Сл. 2.2.2

y 1

O

z

x

N

V

No

1 N

oV

1V

сл.2.2.3

(2.2.10)


9/26

2.9

При променливо, односно нерамномерно движење, брзината V на

точката се менува по интензитет, правец и насока, .t V V За да се

окарактеризира промената на векторот на брзината во даден момент севоведува поимот забрзување.

Нека точката М се движи по траекторија L и врши променливо движење.Истовремено точката N го опишува одографот на векторот на брзината L1(сл.2.2.8).

а) б) Сл.2.2.8

Нека во моментот t , точката М има брзина t V V , а во моментот

,1

t t t t t V V 11 . Прирастот на векторот на брзината е ,1 V V V

односно: t V t t V V . Количникот добиен од прирастот на брзината V и временскиот интервал t е наречен средно забрзување на точката придвижење од положба М до положба М1.

t

V a

SR

(2.2.11)

Средното забрзување е вектор по правец на тетивата на лакот1

NN

(сл.2.2.8б) од одографот на брзината и насока еднаква на насоката наприрастот на векторот на брзината.

SRa ја карактеризира промената на брзината за временскиот интервал .t

Забрзување на точката во даден момент (моментно забрзување) енаречена границата на средното забрзување кога временскиот интервал

,0 t односно:

dt

V d

t

V aa

t SR

t

00limlim (2.2.12)

или:

2

2

dt

r d

dt

r d

dt

d V

dt

d a

(2.2.13)

Следува дека забрзувањето на точка во даден момент е еднакво на првизвод од векторот на брзината по времето, или втор извод од векторот наположбата по времето (рав.2.2.13).

1

O

1 N

N

a

N T

V

1V

V

SRa

1

L

M

1 M

V

1V

r z

y

x

O

r

1r

L

a

M T


10/26

2.10

Кога временскиот интервал 0 t точката N1 се приближува кон N, атетивата на лакот кон тангентата во точката N, па правецот на забрзувањето вомоментот t го има правецот на тангентата на одографот на брзината воточката N, односно правец кој со тангентата на проекцијата во точката Мзаклопува агол .

Димензии на забрзувањето произлегуваат од димензиите на брзината ивремето, односно:

2

1

T LT

LT

T

V a

Во согласност со SI системот за мерни единици усвоено е: 1m/sek 2. Забрзување од 1 m/sek 2 покажува промена на брзината од 1 m/sek за време од 1sek.

Ако точката се движи во Декартов координатен систем забрзувањетоможе да се определи преку компонентите, т.е:

k V dt d jV

dt d iV

dt d k

dt dV j

dt

dV i

dt dV k V jV iV

dt d

dt V d a

z y x z y x

z y x

k dt

z d j

dt

yd i

dt

xd k

dt

dz

dt

d j

dt

dy

dt

d i

dt

dx

dt

d

2

2

2

2

2

2

(2.2.14)

Од изразот 2.2.14 се добиваат проекциите на забрзувањето во форма:

x

dt

xd

dt

dV a

2

2

x

x ; y

dt

yd

dt

dV a

2

2 y

y ; z

dt

z d

dt

dV a

2

2

z

z (2.2.15)

Интензитетот на забрзувањето се определува според изразот:

2

2

22

2

22

2

2

222

dt

z d

dt

yd

dt

xd aaaa

z y x (2.2.16)

Правецот и насоката се определуваат според следните изрази:

a

xa , xcos

;

a

ya , ycos

;

a

z a , z cos

(2.2.17)

За поочигледен преглед за промена на векторот на забрзувањето се користиодографот на забрзувањето.


11/26

2.11

2.3. ДВИЖЕЊЕ НА ТОЧКА ВО ПРИРОДЕН КООРДИНАТЕН СИСТЕМ

Нека точка М се движи по траекторија определена со равенките f 1( x,y,z )=0 и f 2 ( x,y,z )=0 , согласно со законот s=s(t ). Во тој случај движењето на точката еопределено во т.н природна форма.

За да се определат компонентите на брзината и забрзувањето во природнаформа, се избира природен коориднатен систем, со координатен почетокво самата точка М. Трите ортогонални координатни оски, тангентата T,главната нормала N и бинормала B, кои се ориентирани со трите

ортогонални ортови N T

, и B

го сочинуваат природниот координатен

систем (сл.2.3.1).

Тангентата Т се ориентира вонасоката на прирастот надолжината на лакот s. НормалатаN се ориентира секогош кон

центарот на кривината на кривата,односно кон точката С (Сл.2.3.1).Радиусот на кривината на криватаво точката М се означува со Rf .

Правецот на бинормалата B сеориентира во насока десноориентирана во однос на T и N.

Координатната рамнина ориентирана со ортот на бинормалата ( B

) енаречена оскулаторна рамнина. Координатната рамнина ориентирана со

ортот на тангентата (T

) е наречена нормална рамнина и координатнатарамнина ориентирана со ортот на главната нормала ( N

) е нареченаректификациона рамнина (Сл.2.3.5).

Сл. 2.3.5

Компонентите на брзината на точката М во П.К.С, се определуваат наследниот начин:

T V T

dt

ds

dt

T ds

dt

r d V

(2.3.12)

r

x

z

yO

M

N

N

TT

B

B

O1

+s

Сл. 2.3.1

Rf

C

M

N

T

B

on

r


12/26

2.12

Со (2.3.12) може да се констатира дека брзината има компонента поправец на тангентата.

Големинатаdt

ds е алгелбарска вредност со која е определен интензитетот

на брзината V

.Забрзувањето на точката М се определува со диференцирање по

времето на изразот 2.3.12.

dt

T d

dt

dsT

dt

sd T

dt

ds

dt

d a

2

2

(2.3.13)

Изводот на ортот на тангентата е даден со следниот израз:

N ds Rf

T d

1

(2.3.14)

Со замена на 2.3.14 во 2.3.13 се добива:

N Rf dt

dsT

dt

sd a

12

2

2

(2.3.14')

односно:

N Rf

V T

dt

dV a

2

(2.3.15)

Следува дека векторот на забрзувањето a е геометриски збир од две

заемно нормални компонени: тангенцијалнаT

a

и нормалната N

a

која е по

правец на главната нормала, односно:

T dt

dV a

T

, N

Rf

V a

N

2

(2.3.16)

Компонентата во бинормалата не постои т.е. 0 B

a

. Следува дека

забрзувањето на точката лежи во оскулаторната рамнина (Сл.2.3.6).

Интензитетите на тангенцијалното и нормалното забрзување се:

2

2

dt

sd

dt

dV a

T ,

Rf

V a

N

2

(2.3.17)

Сл.2.3.6

r

O

M

C

N

T

B

O1

s

N a

T a

a

V

os


13/26

2.13

Од равенката (2.3.17 ) може да се констатира следното:

Тангенцијалното забрзување ја карактеризира промената на брзинатапо интензитет и е еднакво на прв извод по времето на интензитетот набрзината, или втор извод по времето на криволиниската координата наточката М.

Тангенцијалното забрзување може да биде позитивно

0

dt

dV , или

негативно

0

dt

dV . Во случај кога брзината е константна или има екстремни

вредности тангенцијалното забрзување има вредност нула

0

dt

dV .

Нормалното забрзување ја карактеризира промената на брзината поправец, секогаш е позитивно и е насочено кон внатрешната страна натраекторијата, односно кон центарот С на кривината во точката М.

Во случај ако е an=0 следува дека е V =0, а тоа е моментот кога брзината ја

менува насоката на движењето, или ако е R f =, односно ако точката се движиправолиниски (Сл.2.3.7).

Сл.2.3.7

Нормалното забрзување N

a

е наречено центрипетално, со оглед

на контантната насоченост кон центарот С на кривината .

Интензитетот , правецот и насоката на забрзувањето a

сеопределуваат од изразите:

222

22

Rf

V

dt

dV

aaa N T (2.3.18)

dt

dV Rf

V

a

aaT tg tg

T

N

a

2

,

(2.3.19)

каде е а агол помеѓу тангентата и забрзувањето (Сл.2.3.8).

Од производот на алгебарските вредности на брзината итангенцијалното забрзување, произлегуваат следни карактеристичникриволиниски движења:

M

N

T

C

T aa

)0(

0

V

a N

M T

T

aa

)(

0

Rf

a N

V


14/26

2.14

a) за V аТ > 0 се добива забрзано криволиниско движење, векторот набрзината и на тангенцијалното забрзување се еднакво насочени вопозитивна или негативна насока на движење (Сл.2.3.8).

Сл.2.3.8

b) За V аТ


15/26

2.15

2.5 ЗАДАЧИ ВО КИНЕМАТИКАТА НА ТОЧКА

Постојат два вида на задачи во кинематиката на точка:

1. Прва (основна) задача во кинематиката:

Даден е законот на движење на точка во векторска форма, а се бараатбрзината и забрзувањето. Со користење на математичката операцијадиференцирање, односно извод на векторски функции, се добива соодветноторешение, односно:

2

2

dt

r d

dt

V d a

dt

r d V

; 2.5.1

Од практична гледна точка векторските изводи се сведуваат наскаларни изводи на координатите кои одговараат на избраниоткоординатен систем.

Пример:

Нека е даден законот на движење со параметрите: )();( t y yt x x и

)(t z z , а се бараат: векторот на брзината V

и векторот на забрзувањето a

.

Векторот на брзината V

се определува преку соодветните компоненти кои

се добиваат од диференцијалната зависност:

k dt

dz j

dt

dyi

dt

dxk t z jt yit x

dt

d

dt

r d V

))()()((

односно:

dt

dz V

dt

dyV

dt

dxV z y x ;; 2.5.2

Интензитетот, правецот и насоката на векторот на брзината V

се добиваатсоодветно:

222

Z y x V V V V ;V

V xv cos ;

V

V y

v cos ;V

V z v cos 2.5.3

Векторот на забрзувањето a

се определува преку соодветните

компоненти кои се добиваат од диференцијалната зависност:

k

dt

z d j

dt

yd i

dt

xd k t z jt yit x

dt

d

dt

r d

dt

V d a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

))()()((

односно:

2

2

2

2

2

2

dt

z d a

dt

yd a

dt

xd a

z y x ;; 2.5.4

Интензитетот, правецот и насоката на векторот на брзината a

се добиваатсоодветно:

222

Z y x aaaa ;a

a xa cos ;

a

a ya

cos ;a

a z a cos 2.5.5


16/26

2.16

2. Втора (спротивна) задача во кинематиката:

Дадено е забрзувањето a во векторска форма, а се бара векторот на

брзината V

и законот на движењето на точка )( t r r

. Решението се добива

со едноструко и двоструко интегрирање на диференцијалните равенки.

За да постои решение, односно за да можат да се определат векторскитеинтеграциони константи, потребни се почетни услови на движењето, односно:

ot t oV V

и or r

2.5.6

Законот на брзината се добива преку интеграција на следнавадиференцијална равенка:

)( t adt

V d

1

C dt t aV

)( 2.5.7

Векторот на брзината е неопределен интеграл на векторот назабрзувањето.

Интеграционата векторска константа се определува од почетните услови

на движењето, односно: ot t oV V

1C dt t aV

ot t

o

)(

ot t

o dt t aV C )(

1

t

t t

o

o

dt t aV V )(

2.5.8

Брзината зависи од подинтегралната функција и од почетните услови надвижењето.

Законот на движење во векторска форма се определува од интеграцијатана следната диференцијална равенка:

t

t t

o

o

dt t aV dt

r d )(

Интегралот се добива во форма:

2C dt dt t at V r

t

t t

o

o

))(( 2.5.9

Интеграционата векторска константа се определува од почетните услови

на движење: ot t

or r

2C dt dt t at V r

t

t t t t

ooo

oo

))(( dt dt t at V r C t

t t t t

ooo

oo

))((

2

dt dt t at t V r r

t

t t

t

t t

ooo

oo

))(()(

2.5.10

Законот на движењето зависи од подинтегралната функција и одпочетните услови на движењето.

Решението се добива преку интеграција на скаларни

диференцијални равенки кои одговараат на соодветните векторски диференцијални равенки.


17/26

2.17

3. Мешовита задача

Дадена е брзината )( t V V

, а се бара законот на движењето )( t r r

и

забрзувањето )( t aa

. Со интегрирање и диференцирање на векторот V

сеопределуваат бараните кинематички карактеристики на движењето, односно

)( t r r

и )( t aa

. За определување на интеграционата константа се користи

почетниот услов на движењето: за ot t и or r

.

Законот на движење во векторска форма се добива со интеграција се

добива со интегрирање на дадената векторска равенка:

)( t V dt

r d

1

C dt t V r

)( 2.5.11

За почетни услови: ot t и or r

се определува векторската интеграциона

константа:

ot t

o dt t V r C )(

1

t

t t

o

o

dt t V r r )(

2.5.12

Законот на забрзувањето во векторска форма се добива со

диференцирање на векторот на брзината:

dt

V d a

2.5.13

Решението на мешовитата задача се определува преку скаларните функции,

односно координатите кои одговараат на соодветните векторски функции.


18/26

2.18

2.6. КИНЕМАТИЧКИ ДИЈАГРАМИ

Кинематичките дијаграми овозможуваат графички преглед на променитена кинематичките карактеристики на една подвижна точка.

Како основни кинематички карактеристики на подвижна точка сеодвоени: законот на патот s=s(t), брзината v=v(t) и тангенционалнотозабрзување aT=aT(t). Кинематички дијаграми кои ги прикажуваат променитена основните кинематички карактеристики се наречени основникинематички дијаграми.

За оформување на овие дијаграми, се користи рамнински ортогоналенкоординатен систем од десна диспозиција, со апциса на која, во определенаразмера, се прикажува времето t во секунди, и со ординатата на која, воопределена размера, се прикажува патот s во метри, односно брзината V вометри/секунда, односно тангенционалното забрзување во метри/сек 2.

Во праксата и техниката, многу често, по експериментален пат серегистрира некој од наведените кинематички дијаграми. За добивање нааналитички решенија од дадени дијаграми, се наидува на проблеми одматематичка природа. Затоа, од графичките податоци на даден дијаграмкористејќи ги и диференцијалните зависности помеѓу патот, брзината и

тангенционалното забрзување, односно2

2

dt

sd

dt

dva

t , може да се определат и

дополнителни кинематички карактеристики на подвижна точка.

Нека е регистриран кинематичкиот дијаграм пат и време (s(t) дијаграм)во временски интервал од момент t1 до момент t2 (Сл.2.6.1), односно t1-t2.

Во секој момент t воинтервалот t2-t1, може да се

определи патот s и аголот којго заклопува тангентата Т накривата во точка M со

апсцисната оска.

Тангенсот на аголот гоопределува изводот на функцијата

s по времето t, а со тоа еопределена брзината на точкатаМ, односно:

vdt

dstg (2.6.1)

Во случај ако е регистриран кинематички дијаграм брзина и време(v(t) дијаграм) во временскиот интервал t1-t2, (Сл. 2.6.2):

s(t)

t (s.)

M

T

ss2

s1

O

a

t1 t2

t

Сл. 2.6.1


19/26

2.19

Во моментот t во интервалот од t1 до t2,

се определува брзината V и аголот . Истовремено се определува иповршината A ограничена со криватаV(t), двете ординати V1 и V2 и

апсцисната оска .

Тангенсот на аголот го определува тангенционалното забрзување at наточката М, односно:

t a

dt

dvtg (2.6.2)

Површината А се определува преку интегралот:

2

!

2

!

12

t

t

s

s

V s sdt dt

dsVdt A (2.6.3)

Површината А го определува изминатиот пат во временскиотинтервал t1-t2.

Од овој дијаграм може да се определат трите дадени кинематичкикарактеристики, брзината, тангенцијалното забрзување и изминатиот пат вовременскиот интервал t1-t2.

Дијаграмот a(t) (Сл. 2.6.3) во

временскиот интервал t1-t2, ниовозможува во секој момент t да сеопредели тангенционалнотозабрзување at и површината А,ограничена со кривата a(t), дветеординати V1 и V2 и апсцисата, прекуопределениот интеграл:

2

1

2

1

2

1

12

a

a

a

a

V

V

t a vvdvdt

dt

dvdt a A (2.6.4)

Површината А ја определува разликата во брзините на подвижната точка,односно прирастот на интезитетот на брзината во временскиот интервал t1-t2

Од трите основни кинематички дијаграми може да се констатира дека дијаграмот V(t) е најпрактичен, бидејќи овозможува определување на трикинематички карактеристики: брзина, тангенционално забрзување иизминат пат, а со тоа е определено и движењето на точката во дадениот

временски интервал.

a[m/s2]

0

a(t)

aT2

t1

aT1

t2

aT

t (s)

tdt

сл. 2.6.3

t (s)

0 t1 t2

Nβ

Tv

V(t)

V2 VV

V m/s

dtt

сл. 2.6.2


20/26

2.20

КАРАКТЕРИСТИЧНИ ДВИЖЕЊА НА ТОЧКА

2.7 КРУЖНО ДВИЖЕЊЕ

Ако траекторијата на точката е кружница, движењето е наречено кружно

движење (Сл.2.7.1). Нека точка М се движи по кружна линија со радиус р. Координатата на

поларниот координатен систем, аголот , наполно ја определува положбата наточката по кружницата, односно:

= (t ) (2.7.1)

Со (2.7.1) е определен законот (конечна равенка) на кружното движење.

Истовремено, може да се

определи природната координата

M O s1

= R (2.7.2)

За позитивна насока на движење по кружницата е избранаспротивната насока на часоватастрелка.

Брзината V

и забрзувањето a

на точката М се определуваат преку

компонентите на природниот коорди-натен систем, т.е.

T dt

dsT V V

(2.7.3)

со замена на (2.7.2) во (2.7.3) се добива:

T dt

d r T r

dt

d T s

dt

d V

(2.7.4)

Интензитетот на брзината се добива во форма:

r dt

d r V (2.7.5)

Изводотdt

d ја определува агловата брзина на радиус векторот r

и се

означува со , т.е.

dt

d (2.7.6)

Со е окарактеризирана промената на аголот во даден момент.

M

N

T

T a

N a

V

a

a

O1

s

x

y

r=const.

сл . 2.7.1


21/26

2.21

Димензиите произлегуваат од димензиите на основите големини

T

1 ,а мерната единица е 1 сек -1.

Следува, дека интензитетот на брзината е еднаков на производот од

радиусот на кружницата р и агловата брзина т.е.

r V (2.7.7)

Забрзувањето a на точката М се определува преку компонентите во

природниот кординатен систем (Сл.2.7.1) :

N aT aa N T

r dt

d r r

dt

d V

dt

d

dt

dV a

T (2.7.10)

222

r r

r

Rf

V a

N (2.7.11)

Со е означено агловото забрзување со кое е окарактеризиранапромената на агловата брзина во даден момент, односно:

2

2

dt

d

dt

d (2.7.12)

Димензиите на агловото забрзување се

21

T , а мерната единица е 1 сек

-2

.

Аглово забрзување може да се дефинира како вектор, чии правец инасока се поклопуваат со правецот и насоката на агловата брзина (Сл.2.7.2),т.е.

k

(2.7.13)

Интензитетот, правецот и наоската на вкупното забрзување сеопределуваат од изразите:

42 r a ;

2,

r atg tg

a

(2.7.14)

Карактеристични кружни движења кои се среќаваат во техничката пракса:

За =0=const, точката М се движи рамномерно по кружницата, и = 0.

За =0= const, точката се движи рамномерно променливо.

Како основни кинематички карактеристики на кружното движење

можат да се усвојат, аголот , агловата брзина и агловото забрзување .

Со следните кинематички равенки се опредлеуваат карактеристичните кружни

движења:


22/26

2.22

- рамномерно:

.0

const )0(

t 00

(2.7.15)

Знакот (+) означува движење во позитивна наоска, а знакот (-) движењево негативна насока.

- рамномерно променливо:

2

.

0

00

00

0

t t

t

const

(2.7.16)

Знакот (+) покажува прираст на агловата брзина, што значи декастанува збор за рамномерно забрзано кружно дивжење, и спротивно знакот(-) ја намалува агловата брзина, и се добива рамномерно забавено кружнодвижење.

- променливо кружно движење

t (2.7.17)

Во најопшт случај агловото забрзување може да зависи од

времето t , од аголот и од агловата брзина , т.е.

,,t (2.7.18)

2.8 ПРАВОЛИНИСКО ДВИЖЕЊЕ

Од практична гледна точка, за траекторија на праволиниското движење се усвојува една од координатните оски на Декартовиоткоординатен систем, најчесто кординатната оска Оx.

Координатниот почеток се усвојува за постојана точка 0 во однос на којасе определува положбата на точката М (Сл.2.8.4).

Сл.2.8.4.

Законот на праволиниското движење се определува само со еднакоордината и тоа:

t x x (2.8.7)

(2.8.7) е конечна равенка на движење, а истовремено и закон на патот.

xO

V

a

M

x=x(t)


23/26

2.23

Интензитетот на брзината V

и интензитетот на забрзувањето a

сеопределуваат од следните изрази:

xdt

dxV V

x ,

2

2

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dV aa

x

(2.8.8)

Правецот на брзината V

и на забрзувањето a се еднакви со

правецот на оската x.

Според интензитетот на брзината, праволиниското движење на точкатаМ може да биде рамномерно, рамномерно променливо и променливо.

За .0

const V V точката се движи рамномерно праволиниско во

позитивна или негативна насока. Законот на движењето е: t V x x 00

.

За .0

const aa точката се движи рамномерно променливо. Законот

на брзината е: t aV V 00 и законот на патот е:2

2

00

t at V x x

. Со знакот (+)

се определува еднакво забрзано праволиниско движење, а со знакот (-)еднакво забавено праволиниско движење.

За )( t aa точката врши променливо праволиниско движење.

Во најопшт случај забрзувањето на праволиниското движење a е

променливо и зависно од времето t , положбата x и брзината xV , т.е.:

),,( x xt aa (2.8.9)

2.9 ХАРМОНИСКО ОСЦИЛАТОРНО ДВИЖЕЊЕ

Едно од наједноставните осцилаторни движења е хармониското, коеможе да биде праволиниско или криволиниско во зависност од тоа далиточката се движи по права или крива линија. За да се дефинирааткинематичките карактертистики на хармониското осцилаторно движење, серазгледува рамномерно кружно движење кое е определено со радиусот r и

агловата брзина .0

const

Нека е движењето на точката N, покружница започната од положба Nо (Сл.2.9.1). Законот на кружното движење еорпеделен со равенкта:

t (2.9.1)

Кога точката N се движи покружницата, соодветната нејзина проекцијапо координатната оска О x , точката М=N',

се движи праволиниски во границата r.

Положбата на М во однос накоординатниот почеток се определува со

x

N

M0

r

O

N0 M1

M=N'x

-r +r

Сл. 2.9.1


24/26

2.24

координата x , а со тоа е дефиниран и законот на движењето во форма:

t r x cos (2.9.2)

Од (2.9.2), може да се заклучи дека положбата на точката се менува

периодично во ограничен интервал r . Ваквото движење е нареченохармониско осцилаторно движење.

Кога точката N же направи едно завртување по кружницата, тогаш точката М, ќе изврши една цела осцилација и ќе го помине патот од положбатаМо до М1 и од М1 до Мо.

Координатниот почеток “О” е средна точка на отсечките10

M M и01

M M ,

односно точка околу која се извршува хармониското осцилаторно движење.Според тоа, точката “О” е наречена центар на хармониското осцилаторно движење.

Од равенката (2.9.2) може да се констатира дека константата r е

најголемото растојание кое го достигнува точката М во однос на центаротО. Оваа карактеристики на хармониското осцилаторно движење е нареченаамплитуда на поместувањето и се означува со А.

r x A max (2.9.3)

Времето потребно за да точката изврши една цела осцилација енаречено период на хармониското осцилаторно движење и се означува соТ, а се определува од времето потребно за едно завртување на точката N покружницата, т.е.

2 t

од каде се добива и периодот на движењето:

2T (2.9.4)

Големината е наречена кружна фреквенција, на хармонискотоосцилаторно движење која всушност произлегува од реципрочната вредностна периодот и изнесува:

f T

21

2 (2.9.5)

каде е: f - фреквенција со која се определува бројот на осцилации за времеод 1 сек.

Со кружна фреквенција се определува бројот на осцилациите за

време од 2 сек.

Аголот t е наречен фаза на хармониско осцилаторно

движење.


25/26

2.25

Во најопшт случај законот на хармонониско осцилаторно движење сеопределува со равенката:

t A x cos (2.9.6)

каде е: t - фаза на хармониско осцилаторно движење, а - почетна

фаза, ако движењето започнува од положба r x 0

.

Хармониското осцилаторно движење може да се определи и со следнатапериодична функција.

t A x sin (2.9.7)

(2.9.6) и (2.9.7) се две периодични функции, кои се разликуваат во фаза од /2.

Брзината V и забрзувањето а при хармониско осцилаторно движење,

се определуваат од равенката:

xt Adt

dV a

t Adt

dxV

t A x

22cos

sin

cos

(2.9.8)

Амплитудата на брзината е AV max

, а на забрзувањето е 2max

Aa .

Од изразот xa 2 , може да се констатира дека големината назабрзувањето е пропорционална со положбата на точката, а насоката есекогаш кон центарот на хармониското осцилаторно движење, односно конточката О (Сл.2.9.2).

Кинематичките дијаграми на: основните карактеристики на движењето: ( x,t) ;(V,t) и (а,t) се прикажани на Сл. 2.9.3.

Сл.2.9.3

T

T

T

+A

-A

+A

x m

t s

-A

t s

t s

x0

V(m/s)

a m/s

v0

a

A -A

A

-A2A2

-A2

0

0

0


26/26

2.26

Од изразите (2.9.8) и од кинематичките дијаграми (Сл.2.9.3) може да сезаклучи дека поместувањето x , брзината V и забрзувањето а при хармонискотоосцилаторно движење се периодични функции со иста периода, а се

разликуваат во фаза од2

. Таму, каде е екстремот на x , брзината V е еднаква

на нула и обратно. Истото се однесува и за забрзувањето на точката.Екстремите на забрзувањето се совпаѓаат со екстремите на поместувањето.

Кога точката се оддалечува од центарот О, 0V a , движењето е

забавено. Спротивно, кога точката се приближува кон центарот 0V a ,движењето е забрзано.

Хармониското осцилаторно движење е променливо праволиниско движење, движење кое се повторува по време Т, а времето на движењетоможе да биде неограничено, т.е. nT t за t .

Хармониското осцилаторно движење е идеализирано движење. Во

техничката пракса хармониските осцилаторни движења се квази периодичнидвижења, при кои со текот на времето, како резултат на отпорот во медиумите,се намалува амплитудата на поместувањето и движењето се придушува. Когабројот на осцилациите n , времето ( nT t ) исто така t , а амплитудата

0 A , точката се приближува кон состојба на мир.

Documents

Kinematika Na Tocka