01 TESTR Sebenta CAP1 Introducao

Licenciatura em Engenharia Civil

TEORIA DE ESTRUTURASApontamentos das Aulas TericasJos Filinto Castro Trigo Manuel Trigo Neves Maro 2012

Captulo 1 - Verso 3Teoria de Estruturas 03

ndice:1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.9 1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.4 1.10.5 1.10.6 1.10.7 INTRODUO. ................................................................................................ 1 CONCEITOS GERAIS............................................................................................... 1 HIPTESES E PRINCPIOS FUNDAMENTAIS ............................................................... 2 GRAUS DE LIBERDADE DE UM CORPO RGIDO.......................................................... 3 LIGAES AO EXTERIOR........................................................................................ 3 ESTRUTURAS PLANAS E ESPACIAIS......................................................................... 4 ESTRUTURAS RETICULADAS .................................................................................. 4 PRINCPIO GERAL DO EQUILBRIO........................................................................... 5 DETERMINAO DO GRAU DE HIPERSTATICIDADE EM ESTRUTURAS RETICULADAS PLANAS ................................................................................................................ 6 Introduo ........................................................................................................... 6 Estruturas contnuas ............................................................................................ 7 Estruturas articuladas (sistemas articulados rgidos planos, estruturas articuladas indeformveis ou trelias) ................................................................. 8 SOLICITAES EXTERIORES .................................................................................. 9 ESTUDO DAS PEAS PRISMTICAS ....................................................................... 10 Definies.......................................................................................................... 10 Reduo da solicitao a uma seco ................................................................ 10 Esforos internos ............................................................................................... 11 Expresso da solicitao interna normal ........................................................... 12 Expresso das solicitaes internas tangenciais ................................................ 13 Estado de tenso................................................................................................ 14 Estado de deformao elstica lei de Hooke generalizada .............................. 15

___________________________________________________________________________ Bibliografia: Structural Analysis R. C. Hibbeler Apontamentos de Estruturas I do Bacharelato em Engenharia Civil do ISEP Jos Carvalho e Manuel Trigo Neves Apontamentos de Resistncia de Materiais da FEUP Mota Freitas ___________________________________________________________________________

Teoria de Estruturas 03

ii

1 1.1

Introduo. Conceitos gerais. A Teoria de Estruturas estuda a resistncia mecnica oferecida pelas estruturas

reticuladas, isto , os corpos constitudos por peas lineares, realizadas com materiais istropos, contnuos e homogneos, deformando-se em regime de elasticidade perfeita, com deformaes muito pequenas em relao s dimenses do corpo em que ocorrem e ligados entre si e com o exterior de certas formas peculiares. As Teorias da Elasticidade e da Plasticidade estudam a resistncia mecnica oferecida aco das solicitaes pelos corpos slidos de quaisquer natureza e forma e de qualquer maneira ligados ao exterior. Nas barras de eixo curvilneo a Teoria de Estruturas ou a Resistncia dos Materiais conduzem a resultados que diferem aproximadamente de 5% dos valores correctos oferecidos pela Teoria Matemtica da Elasticidade se:

H 1 P 7

Figura 1.1 Barras de eixo curvilneo E conduzem a erros inferiores a 5%, quando aplicadas a barras rectilneas se:

H 1 L 5

Figura 1.2 Barras de eixo rectilneoH 1 H 1 H 1 em barras de beto armado e a em barras de ao. L 10 L 20 L 301

Geralmente


A Esttica e a Resistncia dos Materiais tratam das estruturas isostticas. A Teoria de Estruturas trata das estruturas isostticas e das hiperstticas.

1.2

Hipteses e princpios fundamentaisHipteses fundamentais relativas constituio da matria: Continuidade Homogeneidade Isotropia Hipteses fundamentais relativas natureza das deformaes:

Proporcionalidade com as tenses - Lei de Hooke ( = E ) Grandeza muito pequena em relao s dimenses do corpo em que ocorrem Destas duas hipteses decorre o Princpio da Sobreposio de Efeitos:F1 F1

F2

F2

Figura 1.3 Princpio da sobreposio dos efeitos

Princpio de Saint-Venant A distribuio das tenses e das deformaes na seco S1 , desde que esta se encontre suficientemente afastada das aces exteriores, uniforme, funo da resultante das aces exteriores, independentemente do seu nmero, da sua distribuio e da forma como actuam.Teoria de Estruturas 03

2

Figura 1.4 Princpio de Saint-Venant

Hiptese de Bernoulli-Navier As seces transversais mantm-se planas aps a deformao:

Antes

Depois

Figura 1.5 Hiptese de Bernoulli-Navier

1.3

Graus de liberdade de um corpo rgidoNo espao 6 (3 translaes e 3 rotaes) No plano 3 (2 translaes e uma rotao)

1.4

Ligaes ao exteriorApoios. Ligaes ao exterior:


1 ordem: 2 ordem: 3 ordem:

ou

(biela)

3

1.5

Estruturas planas e espaciais

Enquanto que nas estruturas planas os eixos das peas e as solicitaes pertencem a um plano, nas estruturas espaciais os eixos referidos podem ou no pertencer a um s plano:y

y

x

x

y

x z y z

x

x

Figura 1.6 Estruturas planas e espaciais

1.6

Estruturas reticuladasEstruturas reticuladas so estruturas constitudas por peas lineares (barras), ligadas

entre si e com o exterior por: 1. Articulaes sem atrito (estruturas articuladas)

2

3 1Figura 1.7 Estruturas articuladas


4

As extremidades das barras concorrentes num n tm todas os mesmos 1 e 2, mas diferentes 3. 2. Ligaes de continuidade (estruturas contnuas)

Figura 1.8 Estruturas contnuas As extremidades das barras concorrentes num n tm todas os mesmos 1, 2 e 3. Enquanto que nas estruturas articuladas os ns no transmitem momentos flectores (s transmitem esforos axiais), nas estruturas contnuas os ns transmitem esforos axiais, esforos transversos e momentos flectores: 3. Ligaes dos dois tipos (estruturas mistas)

Figura 1.9 Estruturas mistas

1.7

Princpio geral do equilbrioOs corpos objecto de estudo so considerados em equilbrio esttico sob a aco das

foras exteriores que os solicitam: foras directamente aplicadas e reaces dos apoios. A condio de equilbrio esttico fornece seis equaes gerais de equilbrio; suficientes para a determinao das reaces dos apoios nos corpos ditos isostticos e insuficientes nos hiperstticos.Teoria de Estruturas 03

5

No plano estas equaes reduzem-se a trs.

1.8

Determinao do grau de hiperstaticidade em estruturas reticuladas planas

1.8.1 IntroduoAs estruturas podem classificar-se em: Isostticas Hipostticas Hiperstticas

Condio para um sistema (estrutura) ser isosttico:

N. de ligaes ao exterior = N de equaes de equilbrio fornecidas pela condio de equilbrio esttico

Mas esta condio no suficiente, existindo excepes:

Figura 1.10 Equilbrio instvel

Nesta estrutura o deslocamento horizontal possvel, pelo que o equilbrio instvel.


6

1.8.2 Estruturas contnuas

Para a determinao do grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas suprimem-se ligaes, de modo a obter uma estrutura isosttica a partir da estrutura dada. Como cada corte corresponde a eliminar um momento flector, um esforo axial e um esforo transverso, por cada corte so eliminadas trs incgnitas hiperstticas.

3 3 3

Grau de liberdade = 3 cortes x 3 incgnitas por corte = 9 Figura 1.11 Grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas Podem tambm constituir-se arcos de trs rtulas que so, tambm, estruturas isostticas.

Figura 1.12 Grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas

Regra prtica:O grau de hiperstaticidade de uma estrutura reticulada contnua, com todos os apoios encastrados, pode obter-se multiplicando por 3 o nmero de polgonos formados pelas barras da estrutura e por barras fictcias, ligando os apoios.Teoria de Estruturas 03

7

1.8.3 Estruturas articuladas (sistemas articulados articuladas indeformveis ou trelias)

rgidos

planos,

estruturas

Nas estruturas articuladas, em cada n podem estabelecer-se duas equaes de equilbrio de foras concorrentes e complanares. Designando por: a nmero de componentes de reaces nos apoios, b nmero de barras e n nmero de ns, resultaro 2n equaes a (a+b) incgnitas. Se b = 2n a - estrutura articulada interiormente isosttica. Estruturas articuladas deformveis assumem configuraes de equilbrio compatveis com as foras exteriores. Pode acontecer que as foras exteriores sejam equivalentes a 0 (R=0 e M R = 0 ) e o sistema no fique em equilbrio sob a aco arbitrria inicial. A condio de

equilbrio das foras exteriores, que necessria e suficiente para corpos rgidos indeformveis, ainda uma condio necessria, mas no suficiente, para o equilbrio dos sistemas articulados deformveis. A condio necessria e suficiente de rigidez de uma estrutura articulada que

b = 2n 3 , sendo esta construda a partir de um tringulo, composto por trs barras, eadicionando a este um novo n e duas novas barras, sequencialmente. Se b > 2n 3 - trelia indeformvel e interiormente hipersttica (Figura 1.13);

Figura 1.13 Trelia indeformvel e interiormente hiperstticaTeoria de Estruturas 03

8

Se b < 2n 3 - trelia deformvel e interiormente hiposttica (Figura 1.14).

Figura 1.14 Trelia deformvel e interiormente hiposttica

1.9

Solicitaes ExterioresSo as aces capazes de provocar num corpo um estado de tenso e de deformao:

Figura 1.15 Solicitaes exteriores Podendo apresentar-se como exemplos: Foras de massa; Variaes de temperatura; Foras de superfcie (vento, etc.); Assentamentos; etc..

Estas solicitaes instalam no corpo:

Um estado de Tenso: Teoria de Estruturas 03

9

Um estado de Deformao: 1.10 Estudo das Peas Prismticas

1.10.1 Definies Peas PrismticasP P' S G' PP' - Fibra Eixo Longitudinal (Fibra Neutra)

G

Figura 1.16 Pea prismtica

Nota: A seco S pode no ser constante, desde que assuma uma variao contnua elenta.

1.10.2 Reduo da solicitao a uma secoR

Ry F1 F3 F1

x Rx Rz F3 -R z II F4

I F2 S

II F4 F2

I y

Figura 1.17 Reduo da solicitao a uma seco

R - resultante dos esforos internos da seco S do lado I-R - resultante dos esforos internos da seco S do lado II

R e -R esto em equilbrio


10

f F1 A

x

z I F2 y

Figura 1.18 Reduo da solicitao a uma seco

A - rea elementar f - esforo interno elementar

f = - Tenses ( e ) AR = dA

1.10.3 Esforos internosNo caso geral, a resultante R pode: a) ter trs componentes: R x - Esforo Transverso ( Tx )R y - Esforo Transverso ( Ty )Ry R x Rx z Rz y

R z - Esforo Normal ( N z )

Figura 1.19 Foras


11

b) provocar trs momentos: M x - Momento Flector M y - Momento Flector M z - Momento TorsorMy x Mx z Mz y

Figura 1.20 Momentos

N z = z dA M x = z y dA

Tx = zx dA M y = z x dA

Ty = zy dA M z = ( zx y zy x ) dA

Notao de Karman:

zyz Eixo perpendicular superfcie

y Eixo paralelo superfcie

No plano, estes esforos resumem-se a trs: Um esforo normal N Um esforo transverso T Um momento flector M

1.10.4 Expresso da solicitao interna normalO caso mais geral o de Flexo Composta Desviada:

z =

My Iy

x

Mx N y z Ix A


12

1.10.5 Expresso das solicitaes internas tangenciais

Duas componentes para o esforo transverso:Ty

Tx zx =

Tx Q y a Iy

b zy Tx a x

Ty zy =

Ty Q x b Ix

y zx

Figura 1.21 Tenses tangenciais

Resultando numa tenso tangencial total de:

z = zx 2 + zy 2

zy

z

zxFigura 1.22 Tenses tangenciais


13

E a contribuio do momento torsor:

M z z =

Mz It

dA x

yFigura 1.23 Momento torsor

1.10.6 Estado de tensoConsidere-se um ponto P de um corpo submetido a solicitaes exteriores e considerese, ainda nesse ponto P , trs elementos de superfcie, infinitesimais, paralelos aos eixos coordenados:

y

z

yzP yx zy zx xz zy

yz

x yx

xy yz y yx xz

x z

zx xy

O

z x

Figura 1.24 Estado de tenso


14

As tenses nesses elementos tm por componentes:

x xz

y yx yz

z zx

xy

zy

Facilmente se conclui que apenas seis componentes so independentes, uma vez que:

xy = yx ; zx = xz ; zy = yz(Reciprocidade dos ndices) Em cada ponto existem, pelo menos, trs direces ortogonais entre si tais que nos elementos de superfcie a elas perpendiculares apenas ocorrem tenses normais ( ), sendo as tenses de corte ( ) nulas. Essas direces designam-se por Direces Principais.

1.10.7 Estado de deformao elstica lei de Hooke generalizadaFy Fx Fz y x Fx O Fy z Fy Fx Fz Fz Fz

Fx Fy

Figura 1.25 Lei de Hooke generalizada

y =

y

E x = z = y

z E x = y = z z =

x E y = z = x x =


15

E - Mdulo de elasticidade longitudinal ou de Young - Coeficiente de Poisson G - Mdulo de elasticidade transversal ou de Coulomb

G=

E 2 (1 + )

As extenses ficam expressas por:

x =

( y + z ) = 1 + x ( y + z ) = x ( y z ) x E E E E 1 y = y ( x + z ) E 1 z = z ( x + y ) E

e as distores, caso existam tenses de corte, resultam:

yz =

yz G

xz =

xz G

xy =

xy G


16

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