01 Order1 Sep+Hom 2

ปการศกษา 2554 เอกสารประกอบการสอนวชา 01417267 คณตวศวกรรม III

อ.ดร.วชรพล พมพเสรฐ

บทท 1

สมการเชงอนพนธอนดบหนง

ปการศกษา 2554 เอกสารประกอบการสอนวชา 01417267 อ.ดร.วชรพล พมพเสรฐ

บทท 1 คาบ 1 : สมการอนดบหนงแบบแยกตวแปรจากกนไดและแบบเอกพนธ หนา 2 จาก 27

บทนยาม

สมการเชงอนพนธ หมายถงสมการทมอนพนธของฟงกชน

หรออนพนธของตวแปรปรากฏอย

ตวอยาง ตวอยางของสมการเชงอนพนธ

2 logdy x y x

dx+ = (1)

2

279 4 cosd x dx x t

dt dt+ + = (2)

2

2 5 3 2u u x yx y∂ ∂

− = −∂ ∂ (3)

บทนยาม ในสมการเชงอนพนธ

ตวแปรทถกหาอนพนธจะเรยกวา ตวแปรตาม

สวนตวแปรทใชหาอนพนธเทยบเรยกวา ตวแปรอสระ

ตวอยาง

ใน (1) ........ เปนตวแปรอสระ ........ เปนตวแปรตาม





บทนยาม สมการเชงอนพนธสามญ หมายถงสมการเชง

อนพนธซงมตวแปรอสระเพยงตวเดยว สมการเชงอนพนธ ทมตว

แปรอสระมากกวาหนงตวเรยกวา สมการเชงอนพนธยอย

ตวอยาง

สมการ (1) และ (2) เปนสมการเชงอนพนธ...........

สมการ (3) เปนสมการเชงอนพนธ...........

บทนยาม อนดบของสมการเชงอนพนธ หมายถงอนดบสงสด

ของอนพนธทปรากฏอยในสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง

สมการ (1) เปนสมการเชงอนพนธอนดบ ............

(เนองจากอนพนธสงสดทบรรจในสมการเปนอนพนธอนดบหนง)

สมการ (2) เปนสมการเชงอนพนธอนดบ ........ และ

สมการเชงอนพนธยอย (3) เปนสมการอนดบ ...........



สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง

สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงทพจารณาในบทนหมายถง

สมการทเขยนอยในรปอนพนธ

),( yxfdxdy

=

หรอเขยนอยในรปคาเชงอนพนธ

0),(),( =+ dyyxNdxyxM



ตวอยาง สมการ

yxy

dxdy

+=

2

สามารถเขยนอยในรปคาเชงอนพนธเปน

0)(2 =+− dyyxdxy

สมการในรปอนพนธ จะเหนไดชดเจนวา y เปนตวแปรตาม

และ x เปนตวแปรอสระ แตสมการในรปคาเชงอนพนธเราอาจถอ

วาตวแปรใดเปนตวแปรตามกได ขณะทอกตวแปรหนงเปนตวแปร

อสระ

ทานองเดยวกนสมการในรปคาเชงอนพนธ

2( 1) ( 2 ) 0y dx xy y dy+ − + =

สามารถเขยนอยในรปเชงอนพนธเปน

2 12

dy ydx xy y

+=

+



วธการในการหาผลเฉลยของสมการทงสองแบบมหลายวธข นกบ

รปแบบเฉพาะของสมการในทนเราจะพจารณาบางแบบทเปนพนฐานของ

สมการอนดบหนง กอนอนเพอเปนการรบประกนวาผลเฉลยของสมการ

เชงอนพนธอนดบหนงมจรงจะกลาวถงทฤษฎบทวาดวยการมอยของผล

เฉลยโดยทจะละการพสจนทฤษฎบทไว

ทฤษฎบท พจารณาสมการเชงอนพนธอนดบหนง

( , )dy f x ydx

=

ให R เปนบรเวณสเหลยมผนผาซงบรรจจด 0 0( , )x y

กาหนดโดย

( ){ }, / ,R x y a x b c y d= < < < <

สมมต f และ fy∂∂

เปนฟงกชนตอเนองของ x และ y

ในบางชวง 0 0x h x x h− < < + ซงบรรจใน a x b< <

แลวสมการเชงอนพนธ

( , )dy f x ydx

=



จะมผลเฉลย ( )y y x= ใกลๆจด 0 0( , )x y และปญหาคา

เรมตน

( , )dy f x ydx

= , 0 0( )y x y=

มผลเฉลยเพยงหนงเดยว



สมการตวแปรแยกกนได

พจารณาสมการในรป

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

เรยกวาเปน สมการตวแปรแยกกนได ถาสามารถจดรปไดเปน

( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G y dx f x g y dy+ =

หรอ

( ) ( ) 0A x dx B y dy+ = (*)

เมอ

( )( )( )

F xA xf x

= และ ( )( )( )

g yB yG y

=

โดยการปรพนธของสมการ (*) ไดผลเฉลยทวไปคอ

( ) ( )A x dx B y dy C+ =∫ ∫

เมอ C เปนคาคงตวไมเจาะจง



ตวอยาง จงแกสมการเชงอนพนธ

2( ) 0y dx xy x dy+ + =

เมอ 0 , 0x y≠ ≠




2( ) 0y dx xy x dy+ + =

เมอ 0 , 0x y≠ ≠

วธทา จดรปสมการใหมได

2( 1) 0y dx x y dy+ + =

คณทงสองขางของสมการดวย 1xy

ได

21 1 0ydx dyx y

++ =

เปนสมการตวแปรแยกกนได โดยการหาปรพนธไดผลเฉลยทวไป

2

ln | | ln | |2 2y cx y+ + =

เมอ c เปนคาคงตวไมเจาะจง

หรอ

2 2ln( )xy c y= −




2 2(1 ) (1 ) 0y dx x dy+ + + =

พรอมดวยเงอนไขเรมตน

0 , 1x y= =




2 2(1 ) (1 ) 0y dx x dy+ + + =

พรอมดวยเงอนไขเรมตน

0 , 1x y= =

วธทา ตวแปรแยกกนไดโดยคณทงสองขางของสมการดวย

2 2

1(1 )(1 )x y+ +

ได

2 2 01 1

dx dyx y

+ =+ +

หาปรพนธแตละพจนได

arctan arctanx y c+ =

เงอนไขเรมตน 0 , 1x y= = ทาใหได 4

c π=

ดงนนผลเฉลยของสมการคอ

arctan arctan4

x y π+ =



ตวอยาง จงแกปญหาคาเรมตน

2sin ( 1)cos 0,x y dx x y dy+ + =

(0)2

y π=



ตวอยาง จงแกปญหาคาเรมตน

2sin ( 1)cos 0,x y dx x y dy+ + = (0)2

y π=

วธทา คณทงสองขางของสมการดวย 2

1( 1)sinx y+

ได

2

cos 01 sin

x ydx dyx y

+ =+

ดงนน 2

cos 01 sin

x ydx dyx y

+ =+∫ ∫ ∫

21 ln( 1) ln | sin |2

x y c+ + =

เมอแทน 0x = และ 2

y π= จะได 0c =

ผลเฉลยของปญหาคาเรมตน คอ

( )21 ln 1 ln sin 02

x y+ + =

หรอ 2 2( 1)sin 1x y+ =



สมการเอกพนธ

ในหวขอนจะพจารณากลมของสมการเชงอนพนธซง

สามารถลดรปเปนสมการตวแปรแยกกนได

บทนยาม

สมการเชงอนพนธอนดบหนง เรยกวาเปน สมการเอกพนธ

ถาสามารถเขยนไดในรป

dy ygdx x

=



ตวอยาง สมการเชงอนพนธ

2 2( ) 0x y dx xydy+ − =

เปนสมการเอกพนธ



ตวอยาง สมการเชงอนพนธ

2 2( ) 0x y dx xydy+ − =

เปนสมการเอกพนธ

วธทา

เนองจากเมอเขยนสมการนใหมไดเปน

2 2dy x ydx xy

+=

เพราะวา

12 2x y x y y yxy y x x x

− + = + = +

ดงนน

1dy y y ygdx x x x

− = + =



บทนยาม ฟงกชน ( ),F x y เรยกวาเปน ฟงกชนเอกพนธ

ดกร n ถา

( , ) ( , )nF tx ty t F x y=

ตวอยางเชน 2

2 2( , ) ex

yF x y x y = +

เนองจาก

( , )F tx ty 2

2 2( ) ( ) etx

tytx ty = +

2

2 2 2( e )tx

tyt x y = +

2 ( , )t F x y=

เปนฟงกชนเอกพนธ ดกร ...............



ทฤษฎบทตอไปนจะไวชวยพจารณาสมการเอกพนธ

ทฤษฎบท ถา ( ),M x y และ ( ),N x y เปนฟงกชน

เอกพนธดกรเดยวกน

ดงนนฟงกชน ( )( )

,,

M x yN x y

เปนฟงกชนเอกพนธ ดกร 0

ทฤษฎบท ถา ( ),F x y เปนฟงกชนเอกพนธดกร 0 ดงนน

( ),F x y เปนฟงกชนของ yx



ตอไปพจารณาสมการเชงอนพนธอนดบหนง

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

สมมตวาสมประสทธ ( ),M x y และ ( ),N x y เปนฟงกชนเอก

พนธดกรเดยวกน

ดงนนอตราสวน ( )( )

,,

M x yN x y

เปนฟงกชนเอกพนธ ดกร 0 และ

สามารถเขยนสมการไดใหมในรป

0dy ygdx x

+ =

นนคอสมการดงกลาวเปนสมการเอกพนธ โดยการเปลยนตวแปร

y vx= (หรอ x vy= ) สมการกลายเปน

( ) 0dvx v g vdx

+ + =

เปนสมการตวแปรแยกกนได



ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ

2 2( ) 0y x y dx xdy+ + − =



ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ

2 2( ) 0y x y dx xdy+ + − =

วธทา ในทน 2 2( , )M x y y x y= + + และ ( , )N x y x=−

เนองจาก

2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( )M tx ty ty tx ty t y x y= + + = + +

และ

( , )N tx ty tx=−

ดงนน M และ N ทงคเปนฟงกชนเอกพนธดกรหนง สามารถเขยน

สมการไดใหมในรป

2 2y x ydydx x

+ +=

หรอ

2

1dy y ydx x x

= + +



โดยการเปลยนตวแปร

y vx= , dy dvx vdx dx

= +

ได

21dvx v v vdx

+ = + +

เปนสมการตวแปรแยกกนได

2

1 11

dv dxxv

=+

โดยการหาปรพนธ 2

1 11

dv dxxv

=+

∫ ∫

ได 2ln 1 ln lnv v x c+ + = +

21v v cx+ + =

เมอแทนคา yvx

= จะไดผลเฉลยของสมการเปน

2 2 2y x y cx+ + =



ตวอยาง จงแกสมการ 2 2( 3 ) 2 0dyx y xydx

− + =



ตวอยาง จงแกสมการ 2 2( 3 ) 2 0dyx y xydx

− + =

วธทา สงเกตวาสมการนเปนสมการเอกพนธ เขยนสมการให

อยในรปอนพนธ 3

2 2dy x ydx y x

=− +

ถาให y vx= , dy dvv xdx dx

= + แลวได

1 32 2

dv vv xdx v

+ = − + หรอ 2 12

dv vxdx v

−=

สมการนตวแปรแยกกนไดเปน 2

21

vdv dxv x

=−

โดยการหาปรพนธ 2

2 11

v dv dxv x

=−∫ ∫

ได 2ln | 1| ln | | lnv x c− = + หรอ 2 1v cx− =

แทนคา yvx

= ได 2 2 3y x cx− =



ตวอยาง จงแกสมการ

(1 2 ) 2 1 0x y x y xe dx e dyy

+ + − =



ตวอยาง จงแกสมการ (1 2 ) 2 1 0x y x y xe dx e dyy

+ + − =

วธทา สามารถตรวจสอบไดโดยงายวาสมการเปนเอกพนธดกร 0

และเนองจากมพจนในรป yx ปรากฏอยในสมการดงนนให

xvy

= หรอ x vy= , dx vdy ydv= +

สมการลดรปไดเปน

(1 2 )( ) 2 (1 ) 0v ve vdy ydv e v dy+ + + − =

( 2 ) (1 2 ) 0v vv e dy y e dv+ + + =

สมการตวแปรแยกกนไดเปน

(1 2 ) 0( 2 )

v

v

dy e dvy v e

++ =

+

โดยการหาปรพนธไดผลเฉลย ln ln 2 lnvy v e c+ + =

แทนคา xvy

= ได ln | 2 | lnx yx ye c+ =

หรอ 2 x yx ye c+ =

Documents

01 Order1 Sep+Hom 2