008. Cvrstoca -Z.Vaucec

0. U V O D0. U V O D0.1. NAZIV I SADR0.1. NAZIV I SADRŽŽAJ PREDMETA AJ PREDMETA ““ČČVRSTOVRSTOĆĆAA””

ČČvrstovrstoćća: 0. U V O D a: 0. U V O D 11

““Nauka o Nauka o ččvrstovrstoććii””

totoččnije: nije: Mehanika deformabilnih tijelaMehanika deformabilnih tijela

““Strength of MaterialsStrength of Materials””

oror

““Mechanics of MaterialsMechanics of Materials””

””FestigkeitslehreFestigkeitslehre””

RazrađujuRazrađuju

se metode prorase metode proraččunauna

ččvrstovrstoćće,e,

krutosti krutosti ii stabilnostistabilnosti

dijelovadijelova

konstrukcija i strojeva te jednostavnijih konstrukcija i strojeva te jednostavnijih

konstrukcijskih cjelina, da bi oni imalikonstrukcijskih cjelina, da bi oni imali

potrebnu sigurnost potrebnu sigurnost (pouzdanost) i trajnost, tj. optimalnu u(pouzdanost) i trajnost, tj. optimalnu uččinkovitostinkovitost

(optimalizacija elemenata).(optimalizacija elemenata).

ČČvrstovrstoććaa

sposobnost elemenata konstrukcije da sposobnost elemenata konstrukcije da prenose optereprenose optereććenja bez pojave loma, trajnih plastienja bez pojave loma, trajnih plastiččnih nih deformacija ili odeformacija ili oššteteććenja (pukotine).enja (pukotine).


KrutostKrutost

otpornost elemenata konstrukcije deformiranjuotpornost elemenata konstrukcije deformiranju ((promjeni oblikapromjeni oblika

i i dimenzijadimenzija

pod opterepod optereććenjem).enjem).

Pri zadanom opterePri zadanom optereććenju deformacije ne smiju biti veenju deformacije ne smiju biti većće ode od dopudopušštenih, tj. tenih, tj. predviđenih kod projektiranja elemenata ili predviđenih kod projektiranja elemenata ili

cijelih konstrukcija i strojeva.cijelih konstrukcija i strojeva.

StabilnostStabilnost

sposobnost konstrukcije ili njenih elemenata sposobnost konstrukcije ili njenih elemenata da zadrda zadržže poe poččetni ravnoteetni ravnotežžni oblik kod optereni oblik kod optereććenja. enja. Gubitak elastiGubitak elastiččne stabilnosti zovemo ne stabilnosti zovemo izvijanjeizvijanje..Pod opterePod optereććenjem enjem ćće se u e se u ččvrstom (realnom) tijelu pojaviti vrstom (realnom) tijelu pojaviti unutarnje sileunutarnje sile, a tijelo , a tijelo ćće promijenitie promijeniti

oblik i dimenzijeoblik i dimenzije..

NaprezanjeNaprezanje

unutarnja sila na jedinicu povrunutarnja sila na jedinicu površšine.ine.Duljinska deformacijaDuljinska deformacija

relativna promjena duljine,relativna promjena duljine,

kutna deformacijakutna deformacija

promjena pravog kuta.promjena pravog kuta.


PRISTUP RJEPRISTUP RJEŠŠAVANJU ZADATAKA:AVANJU ZADATAKA:

Razlikuju se:Razlikuju se:

Teorija elastiTeorija elastiččnostinosti

(elasti(elastiččne deformacije tijela),ne deformacije tijela),

Teorija plastiTeorija plastiččnostinosti

(plasti(plastiččne deformacije tijela),ne deformacije tijela),

Teorija viskoelastiTeorija viskoelastiččnostinosti

(pojava puzanja i relaksacije).(pojava puzanja i relaksacije).

Kad se ne mogu naKad se ne mogu naćći stroga analitii stroga analitiččka rjeka rješšenja, enja, primjenjuju se primjenjuju se eksperimentalneeksperimentalne

(fotoelasticimetrija, (fotoelasticimetrija,

tenzometrija itd.) i tenzometrija itd.) i numerinumeriččke metodeke metode

(metoda kona(metoda konaččnih nih elemenata, metoda rubnih elemenata i druge).elemenata, metoda rubnih elemenata i druge).

1.1.

TeorijskiTeorijski

iliili

matematimatematiččki pristupki pristup

određivanja naprezanjaodređivanja naprezanjai deformacija i deformacija

u opu opććem sluem sluččaju zahtijeva uporabu aju zahtijeva uporabu

slosložženog matematienog matematiččkog aparata i mukotrpno se dolazikog aparata i mukotrpno se dolazido egzaktnih rjedo egzaktnih rješšenja.enja.


RjeRješšenja enja ““ČČvrstovrstoććee””

nisu egzaktna, ali pogrenisu egzaktna, ali pogrešškakauz dana ograniuz dana ograniččenja rijetko prelazi 5 %!enja rijetko prelazi 5 %!Kad ne postoje toKad ne postoje toččni izrazi dopuni izrazi dopuššta se i veta se i većća pogrea pogrešška, ka, ali to se uzima u obzir pri određivanjuali to se uzima u obzir pri određivanju

faktora sigurnosti.faktora sigurnosti.

2. Prakti2. Praktiččnini

ili ili ininžženjerski pristupenjerski pristup

uvodimouvodimopretpostavke o deformiranju tijelapretpostavke o deformiranju tijela

ili ili o raspodjeli o raspodjeli

naprezanja po presjeku tijelanaprezanja po presjeku tijela

te te o materijaluo materijalu. . Ove pretpostavke omoguOve pretpostavke omoguććuju jednostavnije prorauju jednostavnije proraččuneuneuz dovoljnu touz dovoljnu toččnost u innost u inžženjerskoj praksi. Na temelju enjerskoj praksi. Na temelju

toga geometrijskom analizom određujemo raspodjelu toga geometrijskom analizom određujemo raspodjeludeformacija, a zatim pomodeformacija, a zatim pomoćću izraza za ovisnosti izmeđuu izraza za ovisnosti između

naprezanja i deformacija naprezanja i deformacija (Hookeov (Hookeov zakon) odrzakon) određujemoeđujemoi raspodjelu naprezanja. Uporabom uvjeta ravnotei raspodjelu naprezanja. Uporabom uvjeta ravnotežžee

tijela određujemo vrijednosti naprezanja i deformacija tijela određujemo vrijednosti naprezanja i deformacija..


Osnovne pretpostavkeOsnovne pretpostavke

u u ““ČČvrstovrstoććii””

za za idealiziranoidealizirano ččvrsto tijelo su:vrsto tijelo su:

tijelo je neprekinuto ili kontinuirano,tijelo je neprekinuto ili kontinuirano,

tijelo je u cijelosti ili u pojedinim dijelovima homogeno tijelo je u cijelosti ili u pojedinim dijelovima homogeno izotropnoizotropno, tj. u svakom djeli, tj. u svakom djelićću u svakom smjeru imau u svakom smjeru imajednaka fizikalna svojstva (elastijednaka fizikalna svojstva (elastiččna, mehanina, mehaniččka,ka,toplinska itd.),toplinska itd.),

deformacije su male u odnosu na dimenzije tijela,deformacije su male u odnosu na dimenzije tijela,

materijal tijela je idealno elastimaterijal tijela je idealno elastiččan,an,

postoji linearna ovisnost između deformacija ipostoji linearna ovisnost između deformacija inaprezanja (tj. vanaprezanja (tj. važži Hookeov zakon).i Hookeov zakon).

Anizotropna tijelaAnizotropna tijela

imaju elastiimaju elastiččna i mehanina i mehaniččka svojstva ka svojstva ovisna o smjeru.ovisna o smjeru.


Pretpostavke o malim deformacijama i linearna ovisnost Pretpostavke o malim deformacijama i linearna ovisnost između naprezanja i deformacija omoguizmeđu naprezanja i deformacija omoguććuju koriuju korišštenjetenje

principa superpozicijeprincipa superpozicije

kod rjekod rješšavanja zadataka u avanja zadataka u ““ČČvrstovrstoććii””

(princip nezavisnosti sumiranja djelovanja (princip nezavisnosti sumiranja djelovanja

pojedinapojedinaččnih opterenih optereććenja na promatrano tijelo).enja na promatrano tijelo).

BC a

F

2a

M

A

q

BC a

F

2aA + BC a 2aA

q

+BC a 2a

M

A


Kod rjeKod rješšavanja zadataka u "avanja zadataka u "ČČvrstovrstoććii””

sila jesila je

vezana za vezana za mjesto djelovanja mjesto djelovanja

nije klizni vektor!nije klizni vektor!

EA

B

CD

F

BEA

CD

My

a)

EAB

CD

F

BEA

CD

My

b)

U U ““ČČvrstovrstoććii””

proraproraččunavaju se elementi tehniunavaju se elementi tehniččkih kih konstrukcija. To su tijela jednostavnog oblika: konstrukcija. To su tijela jednostavnog oblika: ravniravni

i i

zakrivljeni zakrivljeni šštapovitapovi, , ploploččee, , ljuskeljuske, , stijenestijene, , diskovidiskovi, , prsteniprsteni, , debele cijevidebele cijevi. Za svaki od tih oblika posebno se . Za svaki od tih oblika posebno se izvode izrazi za naprezanja i deformacije.izvode izrazi za naprezanja i deformacije.


ŠŠtaptap

je tijelo kojem su popreje tijelo kojem su popreččne dimenzije malene u ne dimenzije malene u odnosu na uzduodnosu na uzdužžnu. nu. ŠŠtap motap možže biti ravan ili zakrivljen, e biti ravan ili zakrivljen, konstantnog ili promjenjivog poprekonstantnog ili promjenjivog popreččnog presjeka.nog presjeka.a) b)

ravni prizmatiravni prizmatiččni ni šštapovitapovi ravni ravni šštapovi promjenjivog presjekatapovi promjenjivog presjeka

c)

O

debeli zakrivljeni debeli zakrivljeni šštaptap

d)

šštap s tankom stjenkomtap s tankom stjenkom


PloPloččee

i i ljuskeljuske

ploploššni su elementi konstrukcija kojima je ni su elementi konstrukcija kojima je debljina malena u odnosu na ostale dvije dimenzije.debljina malena u odnosu na ostale dvije dimenzije.

prizmatiprizmatiččne i krune i kružžne plone ploččee stijenastijena

PloPločče imaju e imaju ravnu srediravnu središšnju povrnju površšinuinu, tj. povr, tj. površšinu inu koja je jednako udaljena od obje vanjske povrkoja je jednako udaljena od obje vanjske površšine. Kod ine. Kod ljuski je ljuski je sredisrediššnja povrnja površšina zakrivljenaina zakrivljena..

e) f)


rotirajurotirajućći diski diskljuskaljuska

g) h)

i)

prstenprsten

j)

debela cijevdebela cijev


0.2. ZADACI I METODE 0.2. ZADACI I METODE ““ČČVRSTOVRSTOĆĆEE””

određivanje nosivostiodređivanje nosivosti

(tj. dopu(tj. dopušštenog opteretenog optereććenja) enja) za izvedenu konstrukciju poznate su dimenzije i svojstva za izvedenu konstrukciju poznate su dimenzije i svojstva materijala, a treba iz analize naprezanja i deformacija odreditimaterijala, a treba iz analize naprezanja i deformacija odrediti

dopudopuššteno optereteno optereććenje enje

kod zadatka promjene namjene neke kod zadatka promjene namjene neke konstrukcije.konstrukcije.

RjeRješšavamo tri tipa zadataka:avamo tri tipa zadataka:

dimenzioniranjedimenzioniranje

poznat je oblik konstrukcije, poznat je oblik konstrukcije,

optereoptereććenje i materijal, a enje i materijal, a određujemo popreodređujemo popreččne dimenzije tako ne dimenzije tako da budu zadovoljeni uvjeti da budu zadovoljeni uvjeti ččvrstovrstoćće, krutosti i stabilnosti e, krutosti i stabilnosti kod kod projektiranja i konstruiranja novih strojeva i uređajaprojektiranja i konstruiranja novih strojeva i uređaja,,

odabiranje materijalaodabiranje materijala

zadane su dimenzije i zadane su dimenzije i optereoptereććenje, a treba naenje, a treba naćći raspodjelu naprezanja i deformacija i i raspodjelu naprezanja i deformacija i na osnovu toga odabrati materijal potrebne na osnovu toga odabrati materijal potrebne ččvrstovrstoćće i ostalih e i ostalih mehanimehaniččkih i elastikih i elastiččnih svojstava,nih svojstava,

presjeka poprečnog tikekarakteris kegeometrijselementapresjeku poprečnomu eopterećenjnaprezanje


U svim se zadacima pojavljujuU svim se zadacima pojavljuju

tri parametratri parametra

elementa elementa konstrukcije:konstrukcije:

Dva su parametra uvijek poznata ili ih slobodno biramo, Dva su parametra uvijek poznata ili ih slobodno biramo, dok tredok trećći određujemo metodama i određujemo metodama ““ČČvrstovrstoććee””

i pritom se i pritom se

sluslužžimoimo

metodom presjekametodom presjeka

na mjestu presjeka na mjestu presjeka određujemo rezultantu i rezultirajuodređujemo rezultantu i rezultirajućći moment unutarnjih i moment unutarnjih sila iz uvjeta ravnotesila iz uvjeta ravnotežže, a zatim raspodjelu naprezanja po e, a zatim raspodjelu naprezanja po presjeku pomopresjeku pomoćću pretpostavki o deformiranju i uporabom u pretpostavki o deformiranju i uporabom Hookeovog zakona:Hookeovog zakona:

dimenzije,dimenzije,

optereoptereććenje,enje,

mehanimehaniččka i elastika i elastiččna svojstva materijalana svojstva materijala..


Npr. odNpr. određivanjeređivanje

naprezanjanaprezanja

u popreu popreččnom presjeku nom presjeku šštapa:tapa:

npr. odnpr. određivanjeređivanje

dimenzijadimenzija

poprepopreččnog presjeka nog presjeka šštapa:tapa:

,,,dop

maxt p

dop

max s

dop

max

MWMWNA y

.,, doppdopt dopdop sdopdop WMWMAN y

,,, dopp

tmaxdop

smaxdop

WM

WM

AN

y

npr. odnpr. određivanjeređivanje

nosivostinosivosti

(dopu(dopušštenog opteretenog optereććenja) enja) šštapa:tapa:


0.3. PRORA0.3. PRORAČČUNSKA SHEMA KONSTRUKCIJEUNSKA SHEMA KONSTRUKCIJEStvarnu konstrukciju prikazujemo pomoStvarnu konstrukciju prikazujemo pomoćću njezineu njezine

proraproraččunske sheme,unske sheme,

zanemarivanjem nebitnih detalja, a zanemarivanjem nebitnih detalja, a zadrzadržžavanjem osnovnih karakteristika konstrukcije: avanjem osnovnih karakteristika konstrukcije: optereoptereććenjeenje

ii

glavne dimenzijeglavne dimenzije

konstrukcije.konstrukcije.

ProraProraččunska shema ovisi ounska shema ovisi o

žželjenoj toeljenoj toččnostinosti

određivanja određivanja raspodjele naprezanja i deformacija u stvarnoj konstrukciji, raspodjele naprezanja i deformacija u stvarnoj konstrukciji, odnosno u njezinim elementima.odnosno u njezinim elementima.

Primjeri realnih konstrukcija i njihovih proraPrimjeri realnih konstrukcija i njihovih proraččunskih unskih shema:shema:



F

F1 F2

F5

F4F3

F F FFF/2

G

F/2

FBFA


1. NAPREZANJA 1

1. NAPREZANJA 1.0. UVOD Ako na tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da razdvoje ili približe pojedine čestice tijela. Tome se tijelo suprotstavlja unutarnjim silama koje djeluju među njegovim česticama. Unutarnja sila podijeljena ploštinom presjeka na kojem djeluje zove se naprezanje. Normalnim naprezanjem tijelo se opire međusobnom primicanju ili razmicanju svojih čestica.

Primjer 1: Štap opterećen na rastezanje s dvije jednake i suprotno usmjerene sile F čiji pravac djelovanja prolazi kroz uzdužnu os štapa ⇒ osno opterećen štap! Normalno naprezanje σ djeluje jednoliko po poprečnom presjeku ploštine A, pa je ukupna sila u presjeku σ ⋅A. Iz ravnoteže odsječenog dijela štapa je:

FA =⋅σ , odnosno iznos normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa određen je izrazom:

AF=σ .

l

l+Δl

F

F

F

σ =F/A

A

Posmičnim naprezanjem tijelo se opire klizanju jednog sloja čestica tijela po drugom. Primjer 2: Zglobna veza dviju poluga; sila F prenosi se s poluge 1 na polugu 2 preko osovinice 3. U poprečnim presjecima osovinice pojavljuje se posmično ili tangencijalno naprezanje τ.

F

F

F/2 F/2

F

1

3

2

τ

F/2 F/2

F τ

AF/2 F/2

F3

3

A A

1. NAPREZANJA 2

Unutarnje sile u tijelu općenito ne djeluju okomito na presjek, tj. u općem slučaju u presjeku djeluje normalno i posmično naprezanje. 1.1. TENZOR NAPREZANJA 1.1.1. Vektor naprezanja, normalno i posmično naprezanje

Djelovanje vanjskih sila (sile opterećenja i reakcije veza) ⇒ između čestica tijela izazivaju unutarnje sile koje se suprotstavljaju deformiranju tijela. Deformabilno tijelo pod djelovanjem vanjskih sila je u ravnoteži, a nakon zamišljenog presjeka ravninom Π lijevi i desni dio tijela također moraju biti u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila.

D

a)

L

S

irv

Π

F1

F2

F3

F4

Fi

Fn

Ravnoteža vanjskih sila na tijelo (u vektorskom izražaju):

1. 01

vvr== ∑

=

n

iiFR ,

2. 0)(1

S

vvvv=×= ∑

=

n

iii FrM .

L

iAΔ

S

b)

F1

F2

F3

ΔFn

ΔF1ΔF2

ΔF3

ΔFi

nv

Kod ravnoteže vanjskih i unutarnjih sila na lijevi dio tijela (L) moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti (u vektorskom izražaju):

1.

0)()( LLLL

vvvvr=Δ+=+ ∑∑ ii FFFR ,

2. 0)()( L)(

L)(

SS

vvv=+ Δ ii FF MM .

Vektor srednjeg (prosječnog) naprezanja na dijelu površine presjeka ΔAi oko točke M je:

i

ii A

FpΔΔ=v

v )( sr , N/m2.

1. NAPREZANJA 3

nv

M

A′ΔA ′′Δ

A ′′′Δ

ΔF ´˝

ΔF ´

ΔF ˝

Ako se elementarna površina smanjuje, tj. 0→Δ iA tako da stalno obuhvaća točku M, bit

će manja i sila iFr

Δ , a srednje naprezanje će se manje razlikovati od pravog naprezanja. Dakle, vektor srednjeg naprezanja teži stvarnom vektoru naprezanja pv u točki M, tzv. vektoru punog naprezanja. nv je vanjska normala na površinu iAΔ u točki M.

nv

dA τ

ϕM

σ

pv

tr

Vektor punog (pravog) naprezanja u točki M je:

AFp

A ΔΔ=

→Δ

vv

lim0

,N/m2.

Vektor punog naprezanja pv u općem slučaju nije okomit na presjek na kome djeluje, nego s normalom nv čini kut ϕ, te se može rastaviti na dvije komponente: normalnu σ i posmičnu ili tangencijalnu τ.

Normalna komponenta naprezanja (kraće: normalno naprezanje) je: ϕσ cos⋅= p , MPa.

Vrijednosti normalnog naprezanja σ mogu biti: .0,0,0 <=> σσσ

Kut ϕ je kut između vektora pv i normale nv : o1800 ≤≤ ϕ .

Posmična komponenta naprezanja (kraće: posmično naprezanje) je:

ϕτ sin⋅= p , MPa.

Vrijednosti posmičnog naprezanja τ mogu biti: 0≥τ .

Komponente naprezanja σ i τ nisu vektori!

Jedinica tlaka i naprezanja u SI-mjernom sustavu je paskal (znak Pa), a definirana je kao njutn po četvornom metru, u počast francuskom fizičaru Blaise Pascalu (1623.-1662.):

1 Pa = 1 N/m2 ,

U proračunima u "Nauci o čvrstoći" također se koriste veće jedinice:

1 MPa = 106 Pa , 1 GPa = 109 Pa ,

te u posebnim slučajevima: 1 kN/cm2 = 10 MPa, 1 N/mm2 = 1 MPa.

Za iznos tlaka tekućina i plinova često se upotrebljava jedinica: 1 bar = 105 Pa.

1. NAPREZANJA 4

Komponente naprezanja σ i τ u nekoj točki ovise između ostalog i o orijentaciji presjeka na kojem djeluju komponente.

Primjer: Rastezanje ravnog prizmatičnog štapa poprečnog presjeka A silama F.

F

B

B C

C

b

hx

ϕF

A

M

a) naprezanja u poprečnom presjeku štapa B – B (ϕ = 0):

F

B

Bxp

A

MM

L

n

→ u poprečnom presjeku štapa djeluje samo normalno naprezanje.

Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:

0=⋅+−=∑ ApFFx , ⇒ AFp = , MPa.

Za kut ϕ = 0 komponente naprezanja su: σ = p i τ = 0.

b) naprezanja u kosom presjeku C - C (ϕ > 0):

MFx

nv

L C

C ϕ Aϕ

M

tv

p

Komponente naprezanja su: nv

ϕM

tv

τ

σ

pv

ϕϕσ 2coscos ⋅=⋅=AFp ,

Ploština kosog presjeka je:

ϕcosAA = ,

gdje je: hbA ⋅= ,

ploština poprečnog presjeka štapa.

Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:

0=⋅+−=∑ ApFFx .

ϕσϕ coscos ⋅===AF

AFp , MPa.

Komponente naprezanja u kosom presjeku štapa C-C su:

ϕϕϕτ cossinsinAFp =⋅= , MPa.

Slijedi: ϕσσ 2cos⋅= , MPa i ϕϕστ cossin⋅= , MPa.

1. NAPREZANJA 5

Prema tome, vrijednost (iznos) naprezanja u nekoj točki tijela ovisi o: • dimenzijama i obliku tijela, (a može ovisiti i o elastičnim svojstvima materijala tijela), • vrijednosti i rasporedu vanjskog opterećenja, • orijentaciji presjeka kojemu pripada ta točka. Numerički: Primjer 1. 1.1.2. Tenzor naprezanja, matrica tenzora naprezanja

U “Nauci o čvrstoći” → veličine za čije je definiranje potrebno 32 = 9 podataka ( u ravnini 4) ⇒ tenzori 2. reda: npr. naprezanje, deformacija, momenti tromosti masa i površina. Tipovi tenzora u “Nauci o čvrstoći”: Red Poseban naziv Potreban broj podataka Primjeri u “Nauci o čvrstoći”, “Mehanici”,

tenzora u primjeni u ravnini u prostoru “Mehanici kontinuuma” i dr.

nulti skalar 20 = 1 30 = 1 masa, duljina, vrijeme, temperatura i dr.

prvi vektor 21 = 2 31 = 3 sila, brzina, ubrzanje, pomak i dr.

drugi tenzor 22 = 4 32 = 9 naprezanje, deformacija i dr.

četvrti -- 24 = 16 34 = 81 tenzor elastičnosti, tenzor krutosti i dr.

Komponente tenzora mijenjaju se pri rotaciji koordinatnog sustava po zakonu transformacije tenzora. Za definiranje tenzora naprezanja u točki M tijela potrebna su tri vektora punog naprezanja u tri međusobno okomita presjeka, tj.

→ 3 x 3 = 9 komponenti naprezanja. Predznak tih komponenti u odnosu na koordinatni sustav određuje se

jednako kao i za unutarnje sile u presjeku tijela: → komponenta naprezanja je pozitivna, ako na pozitivnom presjeku (vanjska normala usmjerena je u pozitivnom smjeru koordinatne osi) djeluje u pozitivnom smjeru koordinatne osi, u suprotnom je negativna, kao na slici.

Komponente naprezanja označuju se simbolom σ i s dva indeksa:

σi j

normala presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja

oznaka koordinatne osi s kojom je komponenta paralelna i, j = x, y ili z

Na slici su sve prikazane komponente naprezanja pozitivne.

1. NAPREZANJA 6

Negativnipresjek x

Negativnipresjek y

Pozitivnipresjek x

Pozitivnipresjek z

O x

y

z

Ox y

z

σx τx y

dy dx

dz

σy

σz

τy x

τz x τz y

τy zτx z

++

+

U tehničkoj se praksi normalne komponente označavaju znakom σ s jednim indeksom, a posmične komponente znakom τ s dva indeksa (slika desno).

Devet komponenata naprezanja u okolišu točke M, diferencijalni element obujma dV = dxdydz, određuju kvadratnu matricu tenzora naprezanja σij:

Ox

z

σxσy

σz

+

+

−

τy z

τx zτx y

τy x

τz y

τz x

dydx

dz

y1

y

Na slici su sve komponente naprezanja prikazane pozitivne.

i = j - normalna komponenta naprezanja, i ≠ j - posmična komponenta naprezanja.

Matrica tenzora naprezanja σij za stanje naprezanja u nekoj točki M tijela u tehničkom označavanju je:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

ji

στττστττσ

σ .

U prvom su retku komponente naprezanja koje djeluju na presjeku +

xA , u drugom su retku komponente koje djeluju na presjeku +

yA i u trećem su retku komponente koje djeluju na presjeku +

zA .

Prvi stupac matrice [ ]jiσ čine komponente

naprezanja koje su paralelne s osi x, drugi

stupac čine komponente naprezanja koje su

paralelne s osi y i treći stupac čine

komponente naprezanja koje su paralelne s

osi z u točki tijela.

1. NAPREZANJA 7

Posmična su naprezanja jednaka ako djeluju na međusobno okomitim presjecima:

xyyx ττ = , yzzy ττ = , xzzx ττ = .

Dokaz za jednakost posmičnih komponenata naprezanja, npr. xzzx ττ = :

[ ] [ ] .:/0)()(1 xzzxxzzxy zyxzyxxzyM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ ddddddddd

τ

M τ

τ

τ. .

τ

M τ

τ

τ. .

Na dva međusobno okomita presjeka elementa posmična su naprezanja jednaka po predznaku i iznosu, a oba su usmjerena k zajedničkom bridu elementa ili od brida.

Tenzor naprezanja u nekoj je točki tijela definiran s 9 komponenata, od kojih su 6 međusobno različite. Prema tome matrica tenzora naprezanja je simetrična, tj. vrijedi jednakost:

[ ] [ ].jiji σσ =

Postoji orijentacija koordinatnih osi u prostoru za koju su posmične komponente jednake nuli, a normalna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti. To su osi 1, 2 i 3 → glavni pravci naprezanja, a naprezanja u njima su glavna naprezanja σ1 > σ2 > σ3.

2

1

3

σ2

σ1

σ3

M

Pri promjeni orijentacije presjeka mijenja se vektor naprezanja pv po smjeru i iznosu, te se razlikuju:

• linearno (jednoosno) stanje naprezanja: σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0

⇒ vektor naprezanja pv uvijek leži na jednom pravcu, • ravninsko (dvoosno) stanje naprezanja:

σ1 > σ2 ≠ 0, σ3 = 0 ⇒ vektor naprezanja pv uvijek leži u istoj ravnini,

• prostorno (troosno) stanje naprezanja: σ1 > σ2 > σ3 ≠ 0

⇒ vektor naprezanja pv u nekoj točki tijela mijenja orijentaciju u prostoru.

1. NAPREZANJA 8

1.2. TRANSFORMACIJA KOMPONENATA TENZORA NAPREZANJA 1.2.1. Transformacija komponenata ravninskog stanja naprezanja

Tenzor naprezanja u točki M tijela koje je u ravninskom stanju naprezanja

određen je s komponentama naprezanja σx, σy i τx y = τy x u osnovnom koordinatnom sustavu Oxy. Komponente naprezanja xyyxyx ττσσ = i, u novom za kut ϕ zarotiranom koordinatnom sustavu određuju se pomoću izraza za transformaciju, danih u matričnom zapisu:

dx

y

x

y τy xσy

dy M

O x

ϕ σx

τx y

ϕ

dx

dy

x

y

O

M

σy τy x

ϕ

σx

τx y

a)

b)

x

[ ]MM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yx

y

x

yx

y

x

τσσ

τσσ

σT ,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

)(

2

22

22

22

nmmnmn2mnmnmnnm

σT

gdje su za kut ϕ rotacije osi:

ϕϕ sin,cos == nm ,

Izrazi za transformaciju komponenata naprezanja mogu se izvesti razmatranjem ravnoteže trokutnog elementa konstantne debljine, u okolišu točke M tijela, prema slici.

dx

y

ϕ

x

a)

O

dyy

dy

x

ϕ

b)

σy

τx y σx

y

y

xO

ϕϕσx

τy x

τx y

x

Trokutni je element pravokutan, slika a), pa je:

ϕsindd =yx

i ϕcosdd =yy

,

gdje su dx, dy i yd apsolutne vrijednosti duljina stranica trokuta.

Uvjeti ravnoteže elementa (jedinične debljine) za osi x i y glase:

,0sindcosdcosdsindd =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅=Σ ϕσϕτϕσϕτσ xxyyyF yxyxyxxx

.0cosdsindsindcosdd =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅=Σ ϕσϕτϕσϕττ xxyyyF yxyxyxyxy

1. NAPREZANJA 9

Te izraze treba podijeliti s yd , u njih uvrstiti ranije izraze, te uz xyyx ττ = slijede izrazi za transformaciju dviju komponenata naprezanja:

,cossin2sincos 22 ϕϕτϕσϕσσ yxyxx ++=

).sin(cossin)cos( 22 ϕϕτϕϕσστ −+−−= yxyxyx

Izrazi za preostale dvije komponente mogu se dobiti razmatranjem na sličan način ili pomoću gornjih izraza, ako se uzme u obzir da je:

)(2

ϕσπϕσ yx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + i )(

2ϕτπϕτ xyyx −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + .

Ti izrazi glase: ,cossin2cossin 22 ϕϕτϕσϕσσ yxyxy −+=

).sin(cossin)cos( 22 ϕϕτϕϕσστ −+−−= yxyxxy

Pomoću trigonometrijskih relacija: ϕϕϕ 2sincossin2 = ,

ϕϕϕ 2cossincos 22 =− , )2cos1(21cos2 ϕϕ += , )2cos1(

21sin 2 ϕϕ −=

mogu se gornji izrazi preinačiti u izraze:

ϕτϕσσσσ

σ 2sin2cos22 yx

yxyxx +

−+

+= ,

ϕτϕσσσσ

σ 2sin2cos22 yx

yxyxy −

−−

+= ,

ϕτϕσσ

ττ 2cos2sin2 yx

yxxyyx +

−−== .

Između komponenata naprezanja vrijede ovi odnosi:

const. 211 =+=+=+= σσσσσσσ yxyxI ,

const. 2122

2 =⋅=−⋅=−⋅= σστσστσσσ yxyxyxyxI

Veličine σ1I i σ2I nazivaju se prva odnosno druga invarijanta tenzora naprezanja, jer se ne mijenjaju pri rotaciji koordinatnog sustava.

1. NAPREZANJA 10

1.2.2. Glavna naprezanja Za određivanje maksimalnog normalnog naprezanja u nekoj točki, kao i presjeka na kome ono djeluje derivirat će se izraz za xσ po ϕ i derivacija se izjednači s nulom:

022cos2sin2

2d

d ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= yxyx

yxx τϕτϕσσ

ϕσ .

Kad ta derivacija postane jednaka nuli, bit će oϕϕ = i ujedno 0=yxτ .

Na presjecima na kojima djeluju ekstremna normalna naprezanja, posmična naprezanja bit će jednaka nuli.

Nakon sređivanja slijedi izraz: 2/)(2tan o

yx

yx

σστ

ϕ−

= .

Očito je da kut oϕ ima dvije različite vrijednosti → oϕ′ i oϕ ′′ koje se međusobno razlikuju za kut 2/π . Jedna vrijednost kuta daje položaj maksimalnog naprezanja maxσ , a druga minimalnog naprezanja minσ . Ekstremne vrijednosti normalnih naprezanja nazivaju se glavna naprezanja (σ1 = σmax i σ2 = σmin), međusobno okomiti presjeci na kojima normalne komponente naprezanja poprimaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavni presjeci, a pripadne normale 1, 2 određene kutom ϕo su glavni pravci naprezanja.

x

y

ϕo

1σ2

2

ψ

x

ϕ

σ1

b)

M

σx

τy x

M

σy

τx y

a) y

x

Vrijedi izraz za kutove:

oϕϕψ += .

Glavna naprezanja dana su izrazima:

22

2,1 22 yxyxyx τ

σσσσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= , MPa

Uvijek je: σ1 > σ2!, tj. vrijedi:

max,1 σσ = min2 σσ = .

Glavni pravci naprezanja određeni su izrazom:

yx

yx

σστ

ϕ−

=2

2tan o

Kut ϕo mjeri se od osi x do glavnog pravca 1, a može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli:

oo

o 9090 ≤≤− ϕ .

1. NAPREZANJA 11

Ako su poznata glavna naprezanja, izrazi za transformaciju komponenata naprezanja u Oxy i yxO koordinatnim sustavima glase:

oo ϕσϕσσ 22

21 sincos +=x , oo ϕσϕσσ 2

22

1 cossin +=y , oϕσσττ 2sin2

21 −== xyyx .

ψσσσσσ 2cos22

2121 −++=x , ψσσσσσ 2cos22

2121 −−+=y , ψσστ 2sin2

21 −=yx .

1.2.3. Mohrova kružnica naprezanja Mohrova kružnica naprezanja (Otto Mohr, 1895.) zorno grafički prikazuje promjene komponenata naprezanja u nekoj točki tijela pri zakretanju presjeka kroz tu točku. Izrazi za transformaciju komponenta naprezanja kod zakreta osi mogu se pisati u obliku:

,2sin2cos22

ϕτϕσσσσ

σ yxyxyx

x +−

=+

− / 2

.2cos2sin2

ϕτϕσσ

τ yxyx

yx +−

−= / 2

Ako oba ta dva izraza kvadriramo, a zatim zbrojimo, slijedi jednadžba Mohrove kružnice naprezanja u koordinatnom sustavu Oστ:

22

22

22 yxyx

yxyx

x τσσ

τσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ,

gdje su polumjer Mohrove kružnice naprezanja i koordinata središta na osi σ :

max2

2

AS2

ττσσ

==+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= yx

yxR i S2SO σ

σσ=

+= yx

.

Pri crtanju Mohrove kružnice naprezanja posmično naprezanje crta se u gornju poluravninu ako nastoji zakrenuti element na koji djeluje u smjeru kazaljke na satu, a u donju poluravninu ako zakreće element suprotno od gibanja kazaljke na satu. Kod crtanja normalnih naprezanja, vlačno je naprezanje pozitivno, a tlačno je negativno.

Postupak crtanja Mohrove kružnice naprezanja u primjeru kad je stanje naprezanja zadano na uobičajeni način, tj. pomoću četiri komponente naprezanja: σx, σy i τx y = τy x koje se odnose na presjeke u (x, y) – koordinatnom sustavu:

+

1. NAPREZANJA 12

1) Skicira se element i na njemu se ucrtaju zadane komponente naprezanja. Na elementu se označe dva okomita presjeka velikim slovima, npr. A i B, kao na slici.

2) U koordinatnom sustavu Oστ ucrtaju se točke ),A( yxx τσ i ),B( xyy τσ koje odgovaraju presjecima A i B.

3) Konstruira se kružnica koja prolazi točkama A i B, a njeno je središte S na osi σ. Središte S nalazi se u presjecištu osi σ i dužine BA . Apscise presjecišta C i D Mohrove kružnice naprezanja s osi σ predstavljaju glavna naprezanja σ1 i σ2.

5) Pol normala P određuje se tako da se iz bilo koje točke na Mohrovoj kružnici povuče paralela s pripadnom normalom na elementu. Ta paralela siječe kružnicu u točki P, koja predstavlja pol normala. Npr. kroz točku A povlači se paralela s normalom u A na elementu, tj. s osi x. Pol P nalazi se uvijek na paraleli s osi y, ali u odnosu na os σ na suprotnoj strani od točke B.

6) Kad je poznat pol P, mogu se lako odrediti glavni pravci naprezanja. To su na slici pravci 1 i 2 koji prolaze kroz pol P i točke C i D.

7) Komponente naprezanja na bilo kojem presjeku E određuju se tako da se iz P povlači paralela s normalom nE, tj. s osi x . Ta paralela siječe Mohrovu kružnicu u točki E kojoj apscisa i ordinata određuju naprezanja xσ i yxτ .

−τx y

+τy x

+τx y

−τy x

O +σ−σD

BE

C

AF

τx y

τx yσ2

σy

σy

σx

σ1

σx

σS=(σx+σy)/2 (σx−σy)/2

R2ϕo

2ϕ

τmaxG

H

S

Sve točke naprezanja u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.

Koordinate točaka presjeka kod crtanja Mohrove kružnice naprezanja:

τy x

σx x

yσy

τx y

M AB A (σx, τx y)

B (σy, τy x)

τx y = τy x

σ1ϕo

1

x

2

MD C

σ2

C (σ1, 0)

D (σ2, 0)

τx y

σx

σyϕ

xy

x

τy x

F EM

τx y =

E (σx, τx y)

F (σy, τy x)

τy x

1. NAPREZANJA 13

Mohrova kružnica naprezanja:

O σD

B E

CS

AF

τx y

τx yσ2

σy

σ1

σx

ϕoϕ

P

12

x

y

x

y

ψ

Mjerilo: 1 cm = λσ MPa

G n

ϕN

τmax

σS

xσ

yσ H

+τy x

−τx y

+τx y

−τy x

σS ϕN=ϕo+π/4n

xH G

M

G (σS, τmax)

H (σS, τmax)τmax

τmaxσS

Iz crteža se trebaju očitati pripadajuće vrijednosti komponenata naprezanja i kutova.

Kut između osi x i glavne osi 1 je:

oϕϕψ −= .

Crtanje Mohrove kružnice kada su poznata naprezanja za dva proizvoljna presjeka u točki M tijela:

SOD

P

E

A

C

E

A

σx

σ

τσx

τxy

σxτxy

x

x

2

1

ϕ

2ϕϕ

σx

τxyτxy

x

Mjerilo: 1 cm = λσ MPa

ϕo

x

1. NAPREZANJA 14

Mohrove kružnice nekih tipičnih ravninskih stanja naprezanja: a) jednoosno vlačno (tlačno) naprezanje, b) izotropno stanje naprezanja, c) čisto smicanje

a1) rastezanje, vlak

τD=AB

CD

B,P

C

AO

σ

τ

σC=σx/2

S

σD=σx/2 D

τCσx/2 τC

σC

τD=σx/2

a2) sabijanje, tlak

τD

=AB C

D B,P

C

AO

σ

τ

S

σx <0

σC=σx/2D

τC

σx/2

τC=σx/2σC

σD

τD=σx/2

τC=σx/2

τD

σx

σD

σD=σx/2

σx >0

= A B

FE

σx

τ

σO

σx= σy= σx= σy S A,B

σy= σx >0

= A B

F

E

σxσ O

σx= σy= σx= σy S A,B

τσx= σx

b) izotropno stanje

σy= σx

σx= σx

σy= σx

σy= σx <0

1. NAPREZANJA 15

c) čisto smicanje

τxy<0 σ2= τxy

σ1=−τxy σ2= τxy

σ1=−τxy

= A B

C D C

AP

DO σ

τ

τxy>0σ1= τxy

σ2=−τxy σ1= τxy

=A B C

D C

AP

D O σ

τ

σ2=−τxy

S

B

B

τxy

τxy

1.2.4. Transformacija komponenata prostornog naprezanja

Komponente prostornog naprezanja transformiraju se kao komponente tenzora 2. reda. Glavna naprezanja 321 σσσ ≥≥ su rješenja za σ korijeni jednadžbe 3.

stupnja:

0322

13 =−+− σσσ σσσ III ,

gdje su prva, druga i treća invarijanta tenzora naprezanja:

const. 3211 =++=++= σσσσσσσ zyxI ,

const. =⋅+⋅+⋅=−−−⋅+⋅+⋅= 133221222

2 σσσσσστττσσσσσσσ xzzyyxxzzyyxI

const. =⋅⋅=−−−+= 321222

3 2 σσστστστστττσσσσ yxxzzy zyxxzzyyxzyxI

Pravci glavnih naprezanja definirani su kosinusima smjera aij koji pravci glavnih naprezanja σi čine s koordinatnim osima x, y i z, a mogu se odrediti iz tri homogene linearne jednadžbe:

,0)(

,0)(

,0)(

=−++

=+−+

=++−

iizizyizx

izyiiyiyx

izxiyxiix

nml

nml

nml

σστττσστττσσ

gdje je: 321, σσσσ ili =i , uz: 1222 =++ iii nml , a kosinusi kutova pravca glavnog naprezanja σi su:

),cos( xnl iiv

>= , ),cos( ynm iiv

>= , ),cos( znn iiv

>= .

1. NAPREZANJA 16

Mohrova kružnica troosnog naprezanja može se konstruirati samo ako su poznata glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3. Na slici je pokazano određivanje komponenti naprezanja u kosom presjeku čija normala nv zatvara kutove α, β i γ s glavnim pravcima 1, 2 i 3. Točka N pada u sjenčano područje između najveće kružnice i manjih kružnica naprezanja.

O AC

σ

τMjerilo: 1 cm = λσ MPa

τ12

τ13

σ1

σ2

σn

σ3

τ23

α

S1

R1

N

γ

S3 S2

R2

τn

B

E F

pnrotacija oko osi 1

rotacija oko osi 2

rotacija oko osi 3

Koordinate točaka su: A(σ1, 0), B(σ2, 0), C(σ3, 0).

1coscoscos 222 =++ γβα .

n

σ2

σ1

σ3

M

N

σn

τn

γ

βα

Puno je naprezanje u kosom presjeku određenom normalom nv :

22nnnp τσ += , MPa

Maksimalna posmična naprezanja u kosim presjecima kroz točku M tijela:

O AC σ

τ

τ12

τ 13= τ max

σ1

σ2

σ3

τ23

S1S3 S2B

τ13

2

σ1

σ3

M

σ2

1

3

σ2

σ1 + σ3

2

45o

45o

2,

2,

231

max1332

2321

12σσττσστσστ −==−=−=

.

Vrijednosti maksimalnih posmičnih naprezanja su od posebne važnosti u primjeni kod energijskih teorija čvrstoće izotropnih tijela. Primjeri Mohrove kružnice naprezanja: prema "Vježbenici ispitnih zadataka"!

2. DEFORMACIJA 1 2. DEFORMACIJA 2.2. TENZOR DEFORMACIJE 2.2.1. Pomak, duljinska i kutna deformacija Pod nazivom deformiranje tijela podrazumijeva se promjena oblika i dimenzija tijela. Uzrok deformiranju tijela osim vanjskog opterećenja, može biti promjena temperature, vlažnosti, promjene u strukturi tijela itd.

Pomak δv

je vektor koji spaja početni položaj čestice s položajem u deformiranom stanju tijela.

Aδr

B

deformirani oblik

C

x

y

z

FB FC

O Fi

F3 F2

F1

Fn

A A1

početni oblik

Aδr

uA vA

wA

..

l

l+Δl

Na slici je pomak čestice A:

1A AA=δv

.

jv

iv

Aδr

uA vA

wA

..

z

y

xO

A

A1

kv

Vektor pomaka δv

u pravokutnom x, y, z – koordinatnom sustavu izražava se pomoću svojih komponenti:

kwjviuvvvv

++=δ .

U općem slučaju komponente pomaka ovise o položaju čestice u tijelu te vrijedi:

),,( zyxuu = , ),,( zyxvv = , ),,( zyxww = .

Deformacija je skup geometrijski definiranih veličina koje jednoznačno definiraju deformiranje beskonačno malog elementa tijela.

Potrebno je definirati 9 veličina koje tvore simetrični tenzor 2.reda. Te su veličine duljinske i kutne deformacije.

Duljinska deformacija definira se kao relativno produljenje, tj.:

ll

l

Δ=→

lim0

ε ,

gdje su: l - početna duljina dužine, a ∆l – produljenje pri deformiranju.

Za ε > 0 – dužina se produljuje, a kod ε < 0 – dužina se skraćuje. Kutna deformacija definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta.

2. DEFORMACIJA 2 Radi jednostavnosti definiranja tih veličina rabi se ravninski model na slici.

iFv

1Fv

2Fv

nFv 4F

v

3Fv

početni oblik

A B

C

A1B1

C1

π/2−γABC

δA

deformirani oblik

x

y

O

Prave deformacije u točki A definiraju se u Oxy – koordinatnom sustavu izrazima:

xεε =−=→ AB

ABBA 11

ABAB lim ,

yεε =−=→ AC

ACCA 11

ACAC lim ,

yxγπγ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∠−=

→→ 111

ACABABC CBA

2lim

Također vrijede jednakosti:

xyyx γγ = , yzzy γγ = , xzzx γγ = .

Predznak kutne deformacije je pozitivan ako se kut koji čine pozitivne koordinatne osi ili negativne koordinatne osi smanjuje. Kutna deformacija još se naziva i posmična deformacija, jer su uz nju vezana posmična naprezanja.

Tenzorske kutne deformacije definirane su izrazima:

xyyxyx εγε ==21 , yzzyzy εγε ==

21 , zxxzxz εγε ==

21 .

Obujamna ili volumenska deformacija definira se kao relativna promjena obujma, tj.:

VV

V

Δ=Θ→0

lim , gdje je ∆V- promjena početnog obujma V.

U području malih deformacija, reda veličine 10−3, obujmna je deformacija jednaka približno zbroju duljinskih deformacija za tri međusobno okomite osi:

εεεεεεε 1321 Izyx =++=++≈Θ ,

tj., obujamna deformacija jednaka je prvoj invarijanti tenzora malih deformacija. Jedinica za duljinske deformacije je bez ikakve oznake ili npr. kod mjerenja m/m ili češće 10−6 m/m= 1 μm/m (engl. microstrain).

Jedinica za kutne deformacije je jedinica kuta, tj. radijan, a oznaka je rad ili 10−6 rad = 1 μrad.

2. DEFORMACIJA 3 2.2.2. Tenzor malih deformacija

Za definiranje deformacije u točki tijela potrebno je poznavati 9 podataka, tj. tri duljinske deformacije koje se odnose na tri međusobno okomite dužine (npr. u pravcima osi Oxyz – koordinatnog sustava ⇒ εx, εy, εz), te šest kutnih deformacija (γx y=γy x, γz y=γy z, γx z=γz x).

Komponente deformacije predstavljaju komponente simetričnog tenzora 2. reda kojima matrica u tenzorskim odnosno tehničkim oznakama glasi:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzyzx

zyyyx

zxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

εγγγεγγγε

εεεεεεεεε

ε2/2/

2/2/2/2/

.

2.3. RAVNINSKA DEFORMACIJA Stanje je deformacije ravninsko, ako je ispunjen uvjet:

),,(),,(),,( yxyxyx yxyxyyxx γγεεεε === 0=== zyzxz γγε .

2.3.1. Transformacija komponenata tenzora deformacije Kako je deformacija simetričan tenzor 2. reda kao i naprezanje, svi izrazi

izvedeni za naprezanje vrijedit će i za deformaciju, ako se σx, σy i τxy zamijene

sa εx, εy i γxy/2.

Izrazi za transformaciju komponenata deformacije kod rotacije osnovnog koordinatnog sustava Oxy za kut ϕ u zarotirani koordinatni sustav yxO glase:

ϕ

εydy

ϕ

x

y

x

y B1

M

O

A

Bπ/2−γxy

A1

dx

dy

εxdx

ϕ

εydy

x

y

x

F1

M

O

E

F π/2−γxy E1

dxdy εxdx

a)osnovni koordinatni sustav b) zarotirani koordinatni sustav

• u matričnom obliku, gdje su za kut ϕ rotacije osi: ϕϕ sin,cos == nm :

[ ]M

ε

M⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yx

y

x

yx

y

x

γεε

γεε

T ,

a matrica transformacije je:

[ ] .)( ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

22

22

22

nm2mn2mnmnmn

mnnm

εT

2. DEFORMACIJA 4 • u razvijenom obliku:

ϕϕγϕεϕεε cossinsincos 22yxyxx ++= ,

ϕϕγϕεϕεε cossincossin 22yxyxy −+= ,

)sin(coscossin)(2 22 ϕϕγϕϕεεγ −+−−= yxyxyx ,

• odnosno, nakon trigonometrijskih transformacija:

ϕγ

ϕεεεε

ε 2sin2

2cos22

yxyxyxx +

−+

+= ,

ϕγ

ϕεεεε

ε 2sin2

2cos22

yxyxyxy −

−−

+= ,

ϕγϕεεγγ 2cos2sin)( yxyxxyyx +−−== .

Prva i druga invarijanta ravninske deformacije su:

const. 211 =+=+=+= εεεεεεε yxyxI ,

const. 2122

2 =⋅=−⋅=−⋅= εεεεεεεεε yxyxyxyxI .

2.3.2. Glavne deformacije Glavne deformacije ε1 i ε2 određene su izrazom:

[ ]222,1 )(

21

yxyxyx γεεεεε +−±+= .

Glavni pravci deformacija 1 i 2 određeni su kutom ϕo za koji vrijedi izraz:

yx

yx

εεγ

ϕ−

=o2tan .

U primjeni, izrazi za glavne deformacije ε1 i ε2 te za kut ϕo koji određuje glavne pravce deformacija, rabe se kod obrade podataka duljinskih deformacija u nekoj točki na površini opterećene konstrukcije, određenih pomoću tzv. mjernih rozeta (elektrootpornih tenzometara) kod uporabe metode tenzometrije.

2. DEFORMACIJA 5 2.3.3. Mohrova kružnica deformacije Mohrova kružnica deformacije konstruira se analogno Mohrovoj kružnici naprezanja. Na osi apscisa nanose se duljinske deformacije, a na osi ordinata polovične kutne deformacije. Ako je γxy > 0 , γyx < 0 crtaju se ispod osi ε, dok se γxy < 0 i γyx > 0 crtaju iznad vodoravne osi ε. Koordinate točaka komponenti deformacije u točki tijela kod crtanja Mohrove kružnice deformacija su:

−γx y /2+γy x /2

O εD

B

E

CS

A

F

γx y/2

γx y/2

ε2

εy

εy

εx

ε1

εx

ϕo

ϕ

12

x

y

x

y

Mjerilo: 1 cm = λε

+γx y /2−γy x /2

H

G

n

γx y max /2

P

εS

ϕN

Sve točke deformacija u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.

ε1

εxεy

εx

ϕo

ϕ

1

xy

x

yεy (π/2− γx y)

M A

B

x

F E

M

x

2

M

D

C

ε2

A (εx, γx y/2)

B (εy, γy x/2)

γx y = γy x > 0

γx y= γy x < 0

E (εx, γx y/2)

F (εy, γy x/2)

C (ε1, 0)

D (ε2, 0)

(π/2− γx y)

εS

ϕNn1

x

H G

M

γ x y max < 0

G (εS, γ x y max /2)

H (εS, γ x y max /2)

π /2 − γx y max

d) n

εS

2.4. PROSTORNA DEFORMACIJA Komponente tenzora deformacije transformiraju se prema zakonima za transformaciju komponenata tenzora 2. reda, analogno kao i kod tenzora naprezanja.

Glavne deformacije 321 εεε ≥≥ određuju se rješavanjem kubne jednadžbe:

0322

13 =−+− εεε εεε III ,

2. DEFORMACIJA 6 gdje su invarijante tenzora deformacije:

const. 3211 =++=++= εεεεεεε zyxI ,

const. =⋅+⋅+⋅=−−−⋅+⋅+⋅= 133221222

2 εεεεεεεεεεεεεεεε xzzyyxxzzyyxI

const. =⋅⋅=−−−+= 321222

3 2 εεεεεεεεεεεεεεεε yxxzzy zyxxzzyyxzyxI

Kod izotropnih materijala glavni pravci deformacija ε1, ε2 podudaraju se s glavnim pravcima naprezanja σ1, σ2.

Kod anizotropnih materijala to nije slučaj te se pravci glavnih deformacija moraju odrediti prema izrazima tenzorskog računa.

Primjeri: deformacije kod ravninskog stanja naprezanja tijela.

3. MEĐUSOBNA OVISNOST NAPREZANJA I DEFORMACIJA 1

3. MEĐUSOBNA OVISNOST NAPREZANJA I DEFORMACIJA 3.1. Eksperimentalni podaci o međusobnoj ovisnosti naprezanja i deformacija Naprezanja i deformacije opterećenog tijela su međusobno ovisni, tj. pri povećanju opterećenja rastu naprezanja ali istodobno rastu i deformacije tijela. Kod smanjivanja naprezanja, smanjit će se i deformacije, te se zaključuje da su naprezanja i deformacije međusobno ovisni, tj.:

),( jiji f εσ = odnosno )(1 jiji f σε = .

Osim o naprezanjima, deformacije ovise i o deformabilnosti tijela. Npr. deformacije u gumenom štapu bit će mnogostruko veće od onih u čeličnom, a kod jednakog opterećenja.

Ovisnost naprezanja o deformacijama za razne materijale određuje se u ispitnim laboratorijima normiranim pokusima: rastezanja, sabijanja, smicanja, jednolikoga troosnog sabijanja, savijanja i dr. Najčešće se provodi pokus rastezanja na normiranoj epruveti, kao npr. od niskougljičnog čelika i crta se dijagram ovisnosti sile i produljenja:

F

FF

F

∆ll

l

dd+∆d

∆d < 0

d

mjerno područje

vrat epruvete

T

F

∆lO

M

P

ET´

L

pravac

Kod ispitivanja epruvete razlikuju se sljedeće karakteristične vrijednosti:

• konvencionalno naprezanje: o

o AF=σ ,

gdje je Ao – početna ploština poprečnog presjeka epruvete,

• stvarno naprezanje: AF=σ ,

gdje je A – stvarna ploština poprečnog presjeka epruvete,


• prosječna uzdužna duljinska deformacija mjernog dijela epruvete: llΔ=ε ,

• prosječna poprečna duljinska deformacija mjernog dijela epruvete:

dd

qΔ=ε ,

gdje je d – početni promjer epruvete, a ∆d – promjena promjera kod ispitivanja. Kad se naprezanje približi granici tečenja, počinje naglo suženje i pojavljuje se “vrat” epruvete. Do pojave vrata naprezanja i deformacije jednoliko su raspodijeljeni u epruveti. Nakon pojave vrata, naprezanja i deformacije u blizini vrata su veći od naprezanja i deformacija u ostalom dijelu epruvete, a konvencionalno σo i stvarno naprezanje σ se sve više razlikuju. Na slici je ovisnost pravog naprezanja σ o deformaciji ε prikazana crtkano.

pravo naprezanje σ

konvencionalnonaprezanje σo

T

K

M

T´

E

P

O

σP

σE (σT)ReL

ReH

ε

σ

Rm (σM)

Na dijagramu prikaza ovisnosti konvencionalnog naprezanja σo o prosječnoj deformaciji ε, uočavaju se karakteristične vrijednosti naprezanja: • σP – granica proporcionalnosti, • σE – granica elastičnosti, • ReH (σ´T) – gornja granica razvlačenja (tečenja), • ReL (σT) – donja granica razvlačenja (tečenja), • Rm (σM) – vlačna (rastezna) čvrstoća.


U zagradi su dane “starije”, ranije rabljene oznake za karakteristične

vrijednosti naprezanja.

Za vrijednosti naprezanja od 0 do σP ovisnost naprezanja i deformacija je linearna, od σP do σE ovisnost postaje nelinearna ali se materijal i dalje ponaša elastično, tj. nakon rasterećenja epruveta se vraća u prvobitni oblik i dimenzije. Kad naprezanje premaši granicu elastičnosti, materijal se počinje ponašati neelastično ili plastično, tj. nakon rasterećenja u materijalu zaostaju trajne ili plastične deformacije. Kad naprezanje dostigne gornju granicu tečenja ReH, naglo opada na vrijednost ReL; deformacije dalje rastu bez povećanja sile, odnosno naprezanja. Nakon određene deformacije konvencionalno naprezanje ponovno raste, dostiže maksimalnu vrijednost Rm (statička ili vlačna čvrstoća), a zatim opada dok se epruveta ne slomi. Kod materijala koji imaju kontinuirani prijelaz iz područja elastičnih u područje plastičnih deformacija, npr. bakar i njegove legure i dr., utvrđuje se konvencionalna granica razvlačenja (ponekad se naziva i tehnička granica elastičnosti). To je ono naprezanje koje će u materijalu nakon rasterećenja ostaviti određenu plastičnu deformaciju. Tako npr. kod konvencionalne granice razvlačenja Rp0,2 ostaje u materijalu nakon rasterećenja plastična deformacija od 0,2 %.

konvencionalno naprezanje σo

E

O ε

σ

Rp 0,2

0,2 %

K

Dijagrami rastezanja različitih tehničkih materijala vrlo su različiti po obliku i vrijednostima naprezanja, a mogu se svrstati u četiri osnovne skupine, prema slici. Svojstva materijala ovise o temperaturi, brzini opterećivanja i dr.

Vrijednosti mehaničkih svojstava tehničkih materijala određuju se normiranim ispitivanjima, a daju se u tablicama u priručnicima.


D

A

B

C

σ

εO

linearna ovisnost naprezanja i deformacija

Dijagrami smicanja τ = τ (γ) po obliku slični su dijagramima rastezanja.

Tipovi dijagrama σ=f(ε) tehničkih materijala: A – krhki materijali: npr. legirani čelik, staklo, sivi lijev ⇒ lom bez većih deformacija, B – konstrukcijski čelik, C – rastezljivi ili duktilni materijali, npr. legure bakra, aluminija i dr. ⇒ lom nakon velikih deformacija, D – polimerni materijali (dugački lanci molekula - viskoelastični materijali).

Dijagrami sabijanja velikog broja tehničkih materijala vrlo su slični dijagramima rastezanja. Analogno vlačnoj definira se tlačna čvrstoća, koja kod krhkih materijala može biti nekoliko puta veća od vlačne čvrstoće.

3.2. Hookeov zakon, modul elastičnosti, modul smičnosti, Poissonov faktor 3.2.1. Jednoosno naprezanje

Za sve vrste dijagrama postoji područje proporcionalnosti naprezanja i deformacija. Kod rastezanja epruvete postoji mjerni dio koji je jednoliko opterećen na rastezanje.

dσ

σ l=lo

l+∆l

d+∆d x

početni oblik nakon deformiranjaPočetna duljina l povećala se za ∆l, a promjer d smanjio se za ∆d. Kod rastezanja je ∆l > 0 i ∆d < 0, dok je kod sabijanja suprotno, tj. ∆l < 0 i ∆d > 0. Prosječne deformacije su jednake pravima, te se sa ε označuje uzdužna deformacija, a sa εq poprečna deformacija dijela epruvete l.

Pokusi pokazuju da pri malim deformacijama postoji proporcionalnost

između opterećenja F i produljenja ∆l, odnosno između naprezanja σ i uzdužne deformacije ε, te između uzdužne i poprečne deformacije. Matematički se to može izraziti pomoću Hookeovog zakona jednoosnog stanja naprezanja (1687.):

εσ ⋅= E , ενε ⋅−=q .


Konstante E i ν su uvijek pozitivne i nazivaju se Youngov modul elastičnosti

(uveo T.Young, 1807.) i Poissonov omjer (ili Poissonov faktor → uveo S. D. Poisson, 1828.).

Npr. za konstrukcijski čelik modul elastičnosti je E ≈ 200 GPa, a Poissonov omjer ν ≈ 0,3. Kod izotropnih je materijala 0 ≤ ν ≤ 0,5.

Vrijednosti konstanti elastičnosti E i ν određuju se normiranim ispitivanjima, a daju se u tablicama u priručnicima.

3.2.2. Smicanje Linearnu ovisnost posmičnog naprezanja i kutne deformacije kod smicanja

opisuje izraz: γτ ⋅= G → (Hookeov zakon smicanja).

Veličina G naziva se Coulombov modul ili modul smičnosti (smicanja, klizanja). Za konstrukcijski čelik modul smičnosti je G ≈ 80 GPa.

Ako uzorak materijala opteretimo jednolikim tlakom p u svim smjerovima, promijenit će se njegov obujam. Eksperimenti pokazuju da je obujamna deformacija proporcionalna tlaku p, tj.:

Θ⋅=− Kp , gdje je K - obujamni modul elastičnosti (kompresibilnosti, stlačivosti).

Za elastično izotropno tijelo od četiri konstante elastičnosti materijala E, ν, G i K, dovoljno je poznavati samo dvije, jer se ostale mogu izračunati iz njih. Među njima postoje sljedeće veze (kako će kasnije biti dokazano!):

)1(2 ν+= EG ,

)21(3 ν−= EK .

3.3. Hookeov zakon za ravninsko stanje naprezanja Npr. za ravnu ploču opterećenu u ravnini x-y, tj. u kojoj vlada ravninsko stanje naprezanja je 0=== zyzxz ττσ , ali je 0≠zε . Dok se materijal ponaša elastično i dok su male deformacije, smije se primijeniti princip superpozicije, tj. pravilo nezavisnosti djelovanja sila, odnosno naprezanja.

σyτyx

M

τxy

y

z

x

d

d x

xxy

xy d∂

∂+

ττ

dx

dy σx

dydx d

xx

xx d

∂∂

+σ

σ

yyx

yx d∂∂

+τ

τy

yy

y d∂

∂+

σσ

xyτyxτ

xσ

yσ

q

F1 F2

F3


Komponente deformacije elementa εx, εy i γxy određuju se primjenom

principa superpozicije. Ravninsko stanje naprezanja može se prikazati kao zbroj jednoosnog naprezanja u smjeru osi x, jednoosnog naprezanja u smjeru osi y i čistog smicanja u ravnini x-y:

σx

σyτyx

τxy

=M

τxy+ +σx σx

σy

σy

τyx

a) b) c)

(1+ε´x)dx

(1+ε´´x)dx

(1+ε

´ y)dy

(1+ε

´´y)d

y

xyγπ ′′′−2

Za stanje na slici a) vrijedi: ,E

xx

σε =′ E

xy

σνε −=′ , .0=′xyγ

Za stanje na slici b) vrijedi: ,E

yx

σνε −=′′

Ey

yσ

ε =′′ , .0=′′xyγ

Za stanje na slici c) vrijedi: ,0=′′′xε ,0=′′′yε , .G

yxxy

τγ =′′′

Ukupne komponente deformacije za element u ravninskom stanju naprezanja dobit će se zbrajanjem deformacija od pojedinačnih opterećenja:

xxxx εεεε ′′′+′′+′= , yyyy εεεε ′′′+′′+′= , yxyxxyyx γγγγ ′′′+′′+′= ,

odnosno Hookeov zakon za ravninsko stanje naprezanja je:

0+−= yx

x EEσνσε ⇒ )(1

yxx Eσνσε ⋅−= ,

0++−=EE

yxy

σσνε ⇒ )(1xyy E

σνσε ⋅−= ,

G

yxyx

τγ ++= 00 ⇒

Gyx

yxτ

γ = , ( )( yxz Eσσνε +−= ).

Ako su poznate deformacije, komponente naprezanja na elementu su:

.

),(1

),(1

2

2

yxyx

xyy

yxx

G

E

E

γτ

ενεν

σ

ενεν

σ

⋅=

⋅+−

=

⋅+−

=


Ako su poznata glavna naprezanja odnosno glavne deformacije, Hookeov

zakon za dvoosno stanje naprezanja može se napisati u sljedećim oblicima:

.0),(1

),(1

12122

211

=⋅−=

⋅−=

γσνσε

σνσε

E

E .0),(

1

),(1

121222

2121

=⋅+−

=

⋅+−

=

τενεν

σ

ενεν

σ

E

E

3.4. Hookeov zakon za prostorno (troosno) stanje naprezanja Za opće troosno stanje naprezanja mogu se analognim razmatranjima dobiti izrazi za Hookeov zakon troosnog stanja naprezanja i on glasi:

[ ]

[ ]

[ ] .,)(1

,,)(1

,,)(1

GE

GE

GE

xzxzyxzz

zyzyxzyy

yxyxzyxx

τγσσνσε

τγσσνσε

τγσσνσε

=+−=

=+−=

=+−=

Ako su poznata glavna naprezanja, Hookeov zakon za troosno stanje naprezanja glasi:

[ ]

[ ]

[ ].)(1

,)(1

,)(1

2133

1322

3211

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

E

E

E

Kod izotropnih materijala se pravci glavnih deformacija uvijek podudaraju s pravcima glavnih naprezanja. Kod anizotropnih materijala to nije slučaj i pravci glavnih deformacija moraju se posebno odrediti.

Ako se komponente naprezanja prikažu kao funkcije deformacije, gdje je

obujamna deformacija:

Θ = εx+ εy+ εz= ε1+ ε2+ ε3.

Hookeov zakon ima oblik: odnosno u obliku:

.),21

(1

,),21

(1

,),21

(1

xzxzzz

zyzyyy

yxyxxx

GE

GE

GE

γτν

νεν

σ

γτν

νεν

σ

γτν

νεν

σ

⋅=Θ⋅−

++

=

⋅=Θ⋅−

++

=

⋅=Θ⋅−

++

=

).21

(1

),21

(1

),21

(1

33

22

11

Θ⋅−

++

=

Θ⋅−

++

=

Θ⋅−

++

=

ννε

νσ

ννε

νσ

ννε

νσ

E

E

E


3.5. Hookeov zakon za ravninsko stanje deformacija Za ravninsko stanje deformacija vrijedi: 0=== zyzxz γγε , ali je naprezanje

0≠zσ .

Hookeov zakon za ravninsko stanje deformacija glasi:

.

),1

(1

),1

(1

2

2

G

E

E

yxyx

xyy

yxx

τγ

σν

νσνε

σν

νσνε

=

−−−=

−−−=

Ako se uvedu tzv. “reducirane konstante elastičnosti”:

2*

1 ν−= EE ,

ννν−

=1

* , GG =* ,

Hookeov zakon za ravninsko stanje deformacija može se napisati u obliku:

.

),(1

),(1

*

**

**

G

E

E

yxyx

xyy

yxx

τγ

σνσε

σνσε

=

⋅−=

⋅−=

odnosno:

.

),()(1

),()(1

*

*2*

*

*2*

*

yxyx

xyy

yxx

G

E

E

γτ

ενεν

σ

ενεν

σ

⋅=

⋅+−

=

⋅+−

=

3.6. Međusobna ovisnost konstanti elastičnosti Deformacije elementa a) na slici, koji je podvrgnut čistom smicanju tj. vrijedi: σx= σy=0, su:

.0,/ === yxyxyx G εετγ

Odgovarajuće glavne deformacije elementa izračunavaju se iz izraza:

.22

1,22

121 GG

yxyx

yxyx

τγε

τγε −=−=== ……(a)

Na slici b) pokazana su glavna naprezanja na elementu, a na slici c) pripadajuća Mohrova kružnica deformacija za opterećeni element a).


c)

σ1=τxy

A

B

D C

P

x

y

ε

γ/2b)

σ2=−τxy

1

γxy/2

12

ε1ε2

45o

x

ya)2

τxy≡

B

AD C

S O

Element b) napregnut je naprezanjima iznosa: σ1=−σ2=τxy. Njegove su deformacije:

.0),(1),(112122211 =⋅−=⋅−= γσνσεσνσε

EE

Kad se u gornje izraze uvrsti σ1=τxy, σ2=−τxy slijedi:

.1,121 yxyx EE

τνετνε +−=+= ……….(b)

Kako na oba elementa djeluju ekvivalentna stanja naprezanja, bit će i glavne deformacije jednake. Usporedbom izraza (a) i (b) slijedi:

)1(2 ν+= EG .

Npr. za konstrukcijski čelik je E ≈ 200 GPa i ν ≈ 0,3 → G ≈ 0,4 E ≈ 80 GPa.

Za prostorni element na koji sa svih strana djeluje hidrostatički pritisak p, Hookeov zakon je:

Θ⋅−= Kp , gdje je obujamna deformacija elementa zyx εεε ++=Θ ,

a K – prostorni (obujamni) modul elastičnosti.

dz pp

p

dydx

Za element vrijedi: pzyx −=== σσσ ,

što uvršteno u Hookeov zakon: [ ],)(1zyxx E

σσνσε +−=

daje: .)21( zyx Ep εενε ==−−=

Obujamna se deformacija može izraziti kao: E

p )21(3 νΘ −−= ,


a to u usporedbi s ranijim izrazom daje: K

pE

p 1)21(3 −=−−= νΘ .

Odavde je obujamni modul elastičnosti: )21(3 ν−

= EK .

Vidi se, da za izotropne tehničke materijale Poissonov omjer mora biti iznos ν < 0,5, jer bi u suprotnom deformacije bile fizikalno neprihvatljive: kada bi bio ν > 0,5 modul K bi postao negativan, što znači da bi pri tlačnom

naprezanju obujam rastao, odnosno da bi se pri vlačnom naprezanju obujam smanjivao.

Primjer: Cilindrična posuda pod unutarnjim tlakom, slika a)

a) y

xp

σϕ

σx

r

r

Zadano: polumjer posude r, debljina stijenke h, pretlak p, modul elastičnosti E.

Naći: - normalna naprezanja σx i σϕ, - povećanje polumjera posude Δr.

a) Naprezanja u cilindričnoj tlačnoj posudi Za određivanje naprezanja σx presiječemo posudu poprečnom ravninom,

slika b), te ravnoteža presječenog dijela glasi:

x

σx

b)

ph

02 2 =−=Σ πσπ rphrF xx ,

odakle je naprezanje σx u uzdužnom smjeru tlačne posude:

hrp

x 2=σ .

c)

x

yp

σϕ

σϕ

h

h

Δx

2r

Za određivanje cirkularnog naprezanja

σϕ, ravnoteža dijela posude, slika c) je:

022 =Δ−Δ=Σ xrphxFy ϕσ ,

odakle je cirkularno naprezanje:

hrp=ϕσ .


Naprezanje σϕ u cirkularnom smjeru dvaput je veće od normalnog

naprezanja σx u uzdužnom smjeru (“kotlovska formula”).

b) Povećanje polumjera tlačne posude Duljinska deformacija u cirkularnom smjeru εϕ iznosi:

rr

rrrr Δ=−Δ+=

πππε

22)(2

ϕ ,

gdje je 2(r+Δr)π opseg posude nakon deformiranja, a 2rπ opseg prije deformiranja. U plaštu posude vlada približno ravninsko stanje naprezanja, jer je naprezanje sz zanemarivo maleno u odnosu na iznose σx i σϕ. Na vanjskoj strani plašta je σz = 0, a na unutarnjoj je σz = −p.

U tom slučaju Hookeov zakon glasi:

xEEσνσ

ε −= ϕϕ .

Uvrštavanjem izraza za naprezanja slijedi:

rr

Ehrp Δ=−= )2(

2νε ϕ .

Odavde se može dobiti izraz za povećanje polumjera tlačne posude:

)2(2

2

ν−=ΔEh

rpr .

4. OPĆI SLUČAJ OPTEREĆENJA ŠTAPA 1

4. OPĆI SLUČAJ OPTEREĆENJA ŠTAPA 4.1. Dopušteno i proračunsko naprezanje, faktor sigurnosti U tablicama u normama i tehničkim priručnicima daju se prosječne vrijednosti konstanti elastičnosti i mehaničkih svojstava materijala. Stvarne vrijednosti za konkretni materijal mogu se razlikovati od navedenih u tablicama ⇒ prije upotrebe je na materijalu potrebno provesti ispitivanja (testiranje) svojstava propisanim postupcima. Takvi podaci služe pri dimenzioniranju tehničkih konstrukcija. ELASTIČNA I MEHANIČKA SVOJSTVA METALNIH TEHNIČKIH MATERIJALA:

MATERIJAL E, GPa ν G, GPa Re (Rp 0,2), MPa αT, 10−6 K−1

Aluminij 72 0,34 27 50 - 125 23,8

Aluminijske legure 69 - 72 0,33 26 60 - 450 22 - 26

Bakar 125 0,35 46 200 - 360 17

Mjed 80 - 125 0,35 - 0,38 30 - 46 200 - 390 16 - 18

Bronca 115 - 120 0,35 42 - 44 120 - 270 17 - 19

Magnezij i legure 44 - 45 0,3 - 0,33 17,7 80 - 190 25 - 26

Nikal i legure 200 0,31 75 220 - 1035 13 - 14

Cink i legure 94 - 130 0,25 38 - 52 150 - 250 27 - 29

Olovo i legure 16 0,44 5,7 Rm = 50 - 115 29

Titan 105 0,33 38,7 180-390 8,35

Ti-legure 105 0,33 39 820-1140 8,4

Konstrukcijski čelici 200 - 210 0,3 - 0,33 76 - 80 215 - 365 11 - 12

Čelici za poboljšavanje 192 - 215 0,28 - 0,34 75 - 80 300 - 1030 11 - 13

Sivi lijev 100 - 120 0,26 40 Rm = 100 - 400 12

Nodularni lijev 170 0,28 66 250 - 500 12,5

Temper lijev 170 0,27 67 200 - 550 12

Čelični lijev - nelegirani 190 0,29 74 185 - 410 12

Čelični lijev - legirani 180 - 195 0,29 - 0,32 70 - 75 175 - 665 11 - 12,5

Bitno pitanje pri dimenzioniranju je: koliko je najveće naprezanje koje se smije pojaviti u dijelu što ga treba dimenzionirati?

Uvode se pojmovi stvarnog i proračunskog naprezanja, koja se u pravilu razlikuju: • stvarno naprezanje je ono koje se pojavljuje u elementu u radu konstrukcije,


• proračunsko naprezanje je ono koje se očekuje da će se pojaviti u elementu na temelju proračuna kod predviđenog opterećenja konstrukcije.

Razlike između proračunskog i stvarnog naprezanja su posljedica: - nedovoljnog poznavanja cjelokupnog opterećenja konstrukcije, - izbora proračunske sheme konstrukcije, pri čemu se mnogi detalji

zanemaruju radi jednostavnijeg proračuna elementa, - ograničene točnosti izraza koji se rabe u “Nauci o čvrstoći”, - pojave početnih, montažnih ili toplinskih naprezanja, a koja su najčešće

nepoznata.

Stvarno naprezanje mora biti manje od čvrstoće materijala, inače bi se konstrukcija slomila. Vrlo često ne smije se dopustiti pojava ni najmanje plastične deformacije, a to znači da stvarno naprezanje u duktilnim materijalima mora biti manje od naprezanja na granici tečenja. Budući da stvarno naprezanje može biti veće od proračunskog, treba osigurati da maksimalno proračunsko naprezanje bude manje od dopuštenog naprezanja:

,dopmax σσ ≤ odnosno dopmax ττ ≤ .

Dopušteno naprezanje krhkih materijala definira se izrazima:

,Mmdop ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR σσ odnosno ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR Mm

dop)( ττ τ ,

gdje su Rm (ili σM) – vlačna, odnosno tlačna čvrstoća, a (Rm)τ (ili τM) – smična čvrstoća.

Dopušteno naprezanje duktilnih (rastezljivih) materijala definira se izrazima:

,Tedop ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR σσ odnosno ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

SSR Te

dop)( ττ τ ,

gdje su Re (ili σT) – granica tečenja (donja granica tečenja!), a (Re)τ (ili τT) – smična granica tečenja materijala.

Faktor sigurnosti S uvijek je veći od jedinice i obično je zadan u propisima za proračunavanu vrstu konstrukcije. U strojarstvu je najčešće njegova vrijednost:

5,25,1 ≤≤ S , ali može biti i 10>S .


Izbor faktora sigurnosti ovisi o mnogim okolnostima, npr. o poznavanju

opterećenja kojima će biti izložena konstrukcija (osnovno opterećenje, vjetar, snijeg, potres i dr.), o opasnosti za ljudski život, o važnosti konstrukcije itd. 4.2. Osnovni načini opterećenja štapa 4.2.1. Definicija unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa Kod općeg slučaja opterećenja štapa vanjske sile moraju biti u statičkoj ravnoteži, tj. rezultanta i rezultirajući moment svih vanjskih sila jednaki su nuli. U koordinatnom sustavu Oxyz, uzdužna os štapa podudara se s osi x, a osi y i z su osi u poprečnom presjeku štapa (presjek okomit na uzdužnu os x štapa).

Ravnina poprečnogpresjeka štapa

F1

F2

F3

F4

M1 M2

q2

xDL

∆F1F1

F2

∆Fi

∆Fn

M1x

L

F

M

x

MLFL

zyL

S

a)

b)

c)

q1

q1

My

F1

F2

x

y z

M1Mx= Mt

N

Mz

QzQyL

S

d)q1

kQjQiNF zy

vvvv++= ,

Za ravnotežu vanjskih sila reduciranih na težište poprečnog presjeka štapa vrijedi:

1. 01

vvv== ∑

=

n

iiR FF , 2. 0)(

1

vvvv=×= ∑

=)(S

n

iiiR FrM .

Ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila lijevog dijela štapa je za:

1. 0)()(vvvvv

=Δ+=+ ∑∑ LiLiL FFFF ,

2. 0)()( )()(SS

vvvvv=+=+ Δ

LF

LF

Lii MMMM .

Po zakonu akcije i reakcije rezultanta unutarnjih sila desnog dijela, jednaka je:

Fv

− i Mv

− . Za ravnotežu dijelova štapa vrijedi:

DL FFFvvv

=−= , DL MMMvvv

=−= .

Rezultantu i rezultirajući moment unutarnjih sila rastavljamo na komponente u smjerovima osi koordinatnog sustava Oxyz u težištu presjeka štapa:

kMjMiMM zyx

vvvv++= .

Komponente unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa označavaju se sa: • N = Fx → normalna ili uzdužna sila (osna ili aksijalna sila), izaziva rastezanje ili sabijanje u pravcu uzdužne osi x štapa, • Qy = Fy i Qz = Fz → poprečne sile, izazivaju smicanje u ravnini poprečnog

presjeka, • Mx = Mt → moment uvijanja ili moment torzije, uvijanje oko uzdužne osi


x štapa, • My i Mz → momenti savijanja oko poprečnih osi y i z štapa.

Na temelju razmatranja ravnoteže presječenih dijelova, za komponente unutarnjih sila u poprečnom presjeku štapa vrijede sljedeće definicije: a) Normalna ili uzdužna sila N jednaka je po apsolutnoj vrijednosti

algebarskom zbroju uzdužnih komponenata svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka:

( ) ( )DxiLxi FFN ∑∑ =−= .

b) Poprečna sila Qy jednaka je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju poprečnih y - komponenata svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka. Analogna definicija vrijedi i za poprečnu silu Qz:

( ) ( )DyiLyiy FFQ ∑∑ =−= , ( ) ( )

DziLziz FFQ ∑∑ =−= .

c) Moment uvijanja Mt jednak je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju momenata s obzirom na uzdužnu os x od svih vanjskih sila i spregova što djeluju s jedne strane presjeka:

( ) ( )DxiLxix MMMM ∑∑ =−==t .

d) Moment savijanja My jednak je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju momenata s obzirom na poprečnu os y od svih vanjskih sila i spregova što djeluju s jedne strane presjeka. Analogna definicija vrijedi i za moment savijanja Mz:

( ) ( )DyiLyiy MMM ∑∑ =−= , ( ) ( )

DziLziz MMM ∑∑ =−= .

A(+)

Komponente unutarnjih sila: a) pozitivne, b) negativne

A(+)

A(+)

A(+)

b) a)

Mt

Qz

My

Qy

N

Mz

y x

z

zz

z

yy

y

xx

x N

N

N

Qz

Qz

Qz

Qy

Qy Qy

My

My My

Mz

MzMz

Mt

Mt

Mt

Predznak komponenata unutarnjih sila definira se na isti način kao i predznak komponenata naprezanja: komponenta je unutarnjih sila pozitivna, ako na pozitivnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru pripadajuće koordinatne osi, odnosno ako na negativnom presjeku djeluje u negativnom smjeru pripadajuće koordinatne osi.


4.2.2. Osnovni načini opterećenja štapa Analiza naprezanja i deformacija u proizvoljno opterećenu štapu vrlo je složena i stoga se analiziraju pojedine vrste opterećenja štapa. Osnovne vrste opterećenja štapa su:

a) Osno opterećenje štapa: u poprečnom presjeku N ≠ 0, ostale komponente = 0:

F RastezanjeN > 0

SabijanjeN < 0

F

F

F

b) Smicanje (smik, odrez):u poprečnom presjeku Q ≠ 0, ostale komponente = 0:

F

F

c) Uvijanje (torzija): u poprečnom presjeku Mx = Mt ≠ 0, ostale komponente = 0:

Mt

Mt

d) Savijanje (fleksija) štapa: 1) čisto savijanje: u poprečnom presjeku My = const. ≠ 0, ostale komponente = 0:

M

Mkružnica


2) savijanje silama (poprečno savijanje), npr. savijanje u ravnini x-z: My ≠ 0 i Qz ≠ 0 ili savijanje u ravnini x-y → Mz ≠ 0 i Qy ≠ 0, ostale komponente = 0:

FB

F1

F2

q

MFAz

y

xelastična linija

3) koso savijanje, savijanje u dvije ravnine x-z i x-y istovremeno → My ≠ 0, Qz ≠ 0, Mz ≠ 0 i Qy ≠ 0, ostale komponente = 0. Težišne osi y i z poprečnog presjeka su glavne osi tromosti presjeka.

e) Izvijanje (gubitak stabilne elastične ravnoteže) → kod vitkih štapova opterećenih na sabijanje.

F F

4.3. Veza između komponenata unutarnjih sila i naprezanja u poprečnom presjeku štapa

U poprečnom presjeku štapa postoji veza između komponenata unutarnjih sila i komponenata naprezanja. One se prikazuju u integralnom obliku, gdje se integracija vrši po poprečnom presjeku štapa.

A

N

My

Mz

Mt x

z

y

M1

F1

F2

F3

σxτxy

τxz

dA

S

z

QyQz

y r

q1a)

Na elementarnoj površini presjeka dA djeluje vektor punog naprezanja:

{ }zxyxxp ττσ ,,v , koji je posljedica

unutarnje sile ∫=)( A

ApF drv

i unutarnjeg sprega sila:

∫ ×=)(

)(A

AprM drvv.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u težištu S poprečnog presjeka ploštine A, veza između naprezanja i komponenata unutarnjih sila jest:


ANA

xd)(∫= σ , AQ

Ayxy d

)(∫= τ , AQ

Azxz d

)(∫= τ ,

AzyMM yxA

zxx d)()(

t ⋅−⋅== ∫ ττ , AzMA

xy d)(

⋅= ∫σ , AyMA

xz d)(

⋅−= ∫σ .

4.4. Opći pristup rješavanju problema metodama Nauke o čvrstoći. Pri analizi naprezanja i deformacija štapova postupamo kod rješavanja problema na jednak način za sve načine opterećenja štapa: • vanjsko opterećenje reduciramo na težište S poprečnog presjeka štapa, • rezultirajuću silu rastavljamo na normalnu i poprečne komponente, a

rezultirajući moment na moment uvijanja i momente savijanja, • uvodimo pretpostavke o deformiranju štapa, npr. da poprečni presjeci ostaju

ravni pri deformiranju, a mogu se uvesti i direktno pretpostavke o raspodjeli naprezanja,

• na temelju pretpostavki o deformiranju, geometrijskom analizom dolazimo do izraza za raspodjelu deformacija, ali ne i do iznosa samih deformacija,

• pomoću Hookeovog zakona (kod elastičnih tijela) dobivamo raspodjelu naprezanja, • pomoću uvjeta ravnoteže određujemo vrijednosti nepoznatih parametara, a

samim tim i izraze za iznose naprezanja i deformacija za pojedinu vrstu opterećenja. Nepoznatih parametara smije biti toliko koliko u konkretnom slučaju ima

nezavisnih uvjeta ravnoteže. Nakon što su izvedeni izrazi za naprezanja, deformacije i pomake, potrebno ih je provjeriti. To se može učiniti eksperimentalno (npr. metodom tenzometrije) ili usporedbom s rezultatima iz Teorije elastičnosti. Smatra se da je odstupanje do 5 % zadovoljavajuće u praksi.


Shematski prikaz pristupa analizi naprezanja i deformacija metodama “Nauke o čvrstoći”:

Pretpostavke o deformiranju ilipretpostavke o raspodjeli naprezanja

Geometrijska analiza

Izrazi za raspodjelu deformacija uovisnosti o nepoznatim parametrima

Hookeov zakon ili σij = f(εij)

Izrazi za raspodjelu naprezanja uovisnosti o nepoznatim parametrima

Uvjeti ravnoteže

Vrijednosti nepoznatih parametara,tj. konačni izrazi za naprezanja i

deformacije

5. OSNO OPTEREĆENJE ŠTAPA 1

5. OSNO OPTEREĆENJE ŠTAPA 5.1. Ravni prizmatični štapovi 5.1.1. Naprezanje i deformacija Ravni prizmatični štap ⇒ ravna uzdužna os štapa, proizvoljnog ali konstan-tnog poprečnog presjeka. Opterećenje štapa je silama u smjeru uzdužne osi kroz težište poprečnog presjeka štapa ⇒ vanjsko se opterećenje reducira na uzdužnu silu N ⇒ štap je osno (aksijalno) opterećen. Normalna ili uzdužna sila N jednaka je po apsolutnoj vrijednosti algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka štapa:

( ) ( )DiLi FFN ∑∑ =−= .

x

Područje jednolikeraspodjele σx

F F

FF≈ h

h

≈ h

x

SA

a) Rastezanje ili vlak

b) Sabijanje ili tlak

N > 0

N < 0

l

Područje nejednolike raspodje-le naprezanja σx proteže se na oba kraja približno za jednu de-bljinu (visinu) štapa h. U osta-lom dijelu naprezanje i defor-macija raspodijeljeni su jednoli-ko i određuju se izrazima:

AN

x =σ , EAN

Ex

x == σε ,

gdje je N – normalna sila, a EA – aksijalna krutost štapa.

5.1.2. Produljenje štapa Duljina štapa l je obično mnogo veća od poprečne dimenzije h (50 do 100 puta ili više) te se za izračunavanje produljenja štapa neravnomjernost raspod-jele naprezanja u blizini krajeva štapa može zanemariti. U tom slučaju za pro-duljenje štapa vrijedi izraz:

( )ll

xxΔ=≈ srεε , odnosno xll ε⋅=Δ .

Primjenom Hookeova zakona, produljenje štapa može se izraziti u obliku:

EAlNl

Ell x

x ==⋅=Δ σε , (vrijedi samo za N=const. i EA=const.).

Ako je štap sastavljen od više dijelova različite krutosti ili ako uzdužna sila nije konstantna već se mijenja skokovito, tada je produljenje štapa:


N1

F1F2 F3

F4F5

F1 F2

F3

F4 F5

N2

N3 N4

N5

x

A1A5

l1 l2 l3 l4 l5

−

+

−

N- dijagram

∑∑==

=Δ=Δn

i i

iin

ii EA

lNll11

,

gdje je n – broj dijelova štapa na kojima je Ni=const. i EAi=const. Pri kontinuiranoj promjeni bilo uz-dužne sile bilo osne krutosti, rabe se sljedeći izrazi za produljenje štapa duljine l:

∫=Δ)( )(

)(

l xEAxxNl d

, odnosno za EA=const.: ∫=Δ)(

)(1

lxxN

EAl d .

5.1.3. Pomak presjeka štapa Pomak presjeka štapa u smjeru osi x kod osnog opterećenja štapa ne ovisi o koordinatama y i z, tj. pomak je određen izrazom u=u(x).

A

a) neopterećeni štap, b) opterećeni štap

xF

x

∆l

l

l+∆l

xu u+du

dx

a)

b)

A1 B1

B

Deformacija dužine AB = dx je:

xu

xxux

x dd

dddd

ABABBA 1 =−+=−= )(1ε .

Pomak presjeka A štapa je:

xu xdd ε= → .Cd += ∫ xu xε

Konstantu integracije C možemo od-rediti iz rubnih uvjeta štapa.

Uz izraze za naprezanje i deformaciju u poprečnom presjeku štapa, pomak presjeka štapa može se odrediti pomoću jednog od izraza:

CdCdCd +=+=+= ∫∫∫ xEANx

Exu x

xσε .

5.1.4. Osnovne diferencijalne jednadžbe osno opterećenog štapa Kako je AN xσ= , a Exx εσ = , bit će xEAN ε= , odnosno vrijedi:

xuEAN

dd= ili EA

Nxu =

dd

.

Deriviranjem izraza po x dobivaju se osnovne diferencijalne jednadžbe osno opterećenog štapa:


xqxuEA

xxN −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dd

dd

dd

ili ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

EAN

xxu

dd

dd2

2 .

Za slučaj štapa sa EA = const. je:

xqxuEA −=2

2

dd

.

Rubni uvjeti određuju se prema slici:

x

0=Au

Fx xA

A

A

0==xuEAN

dd

A FxuEAN ==

dd

A

5.1.5. Štap opterećen vlastitom težinom Štap duljine l i konstantnog presjeka ploštine A, izrađen od materijala speci-fične težine γ = ρg, a učvršćen je u vertikalnoj ravnini prema slici.

qx

Elu

2

2

maxγ=

γA

l

∆l

dx

x-l

x

x

γA(l−x)

γl/E

u = 0O

y

dG

σx εx u(x)

+

+ +

+qx

N

γl

Za štap konstantnog presjeka, izraz za diferencijalnu jednadžbu ima oblik:

EAq

xu x−=2

2

dd .

Opterećenje štapa qx je duljinska težina, tj.:

const.dd

dd

dd ===== A

xxA

xV

xGqx γγγ ,

gdje je dV obujam elementa dx kojemu je težina dG.


Slijedi izraz: γ−=2

2

xuE

dd , čije je opće rješenje: 21

2

2CC ++−= xxEu γ .

Rubni uvjeti su: za x=0, u=0 i za x=l, du/dx = 0, te slijedi C2=0 i C1=γl.

Konačni izrazi za pomak u=u(x) i ukupno produljenje ∆l štapa glase:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

22 l

xlx

Elu γ

, EAlG

Elul

22

2

max ===Δ γ.

Vidi se da je produljenje štapa dvaput manje ako je opterećenje jednoliko ra-spodijeljeno po čitavoj duljini, nego da na slobodnom kraju štapa zanemarive težine djeluje koncentrirano sila F = G. Izraz za zakon promjene normalne sile duž štapa je:

)( xlAxuEAN −== γ

dd

, što odgovara težini štapa ispod presjeka x.

Izrazi za naprezanje σx duž štapa, odnosno za deformaciju εx glase:

)( xlAN

x −== γσ , gdje je za lx ⋅=⇒= γσ max0 ,

)( xlEEA

Nx −== γε , gdje je za l

Ex γε =⇒= max0 .

5.2. Štapovi promjenjivog presjeka Za štap promjenjivog presjeka A = A(x), kod postepene promjene presjeka vrijede ranije dani izrazi (s pogreškom max. do 5 %):

AN

x =σ , ∫=Δ)( )(

)(1

lx

xAxN

El d , ∫ +=

)( )()(1

lx

xAxN

Eu Cd .


5.2.1. Štap jednake čvrstoće To je štap koji je tako oblikovan da je naprezanje u svakom presjeku jedna-ko. Takav štap opterećen je vlastitom težinom i silom F na slobodnom kraju.

l

A2

dx

x x

yO

F F

σx εx

u(x)

σol/Eσo/Eσo

O

qx

+ +

+

A1 xA

Tada je const.o =σ , te je uzdužna sila u presjeku štapa: AN oσ= ,

a kontinuirano opterećenje qx je duljinska težina štapa:

const.dd

dd

dd ≠⋅==== A

xxA

xV

xGqx γγγ ,

gdje je A promjenjiva ploština poprečnog presjeka štapa.

Slijedi: xqxN −=

dd , odnosno: AA

x⋅−= γσ )( od

d .

Zbog σo = const. jest: AxA ⋅−= γσ

dd

o .

Nakon sređivanja i integriranja dobiva se:

∫−= /xAA dd

oσγ → CxA +−=

oσγln .

Rubni uvjet glasi: za x = 0, A = A1, odnosno C = ln A1.

Sređivanjem slijedi izraz zakona promjene poprečnog presjeka štapa:

xAAoσ

γ−=− 1lnln ili xAA

oσγ−=

1ln , odnosno konačni izraz jest:

xoeAA σ

γ−= 1 (eksponencijalni zakon).

Za x = l je:


oσσγ

FeAAl

o ==−

12 .

Odavde slijedi: l

oeFA σγ

σ o=1 , odnosno izraz:

)( xloeFA

−= σ

γ

σ o.

Prema Hookeovu zakonu deformacija štapa jest:

const.o ===EE

xx

σσε .

Pomak u presjeka štapa možemo odrediti pomoću izraza:

CxE

CxE

Cxu x +=+=+= ∫∫ oo dd σσε .

Kako je za x = 0, u = 0, bit će C= 0. U tom je slučaju zakon pomaka:

xE

u oσ= (linearni zakon).

Maksimalni pomak ujedno je jednak produljenju štapa:

lE

ul oσ==Δ max .

U praksi se zbog lakše izrade, štap izvodi sa skokovitom promjenom popre-čnog presjeka štapa. Kod toga treba paziti da prijelazi presjeka ne budu nagli, već se izvode s zaobljenjem kako bi smanjila koncentracija naprezanja. 5.3. Plan pomaka Za određivanje pomaka čvora konstrukcija sastavljenih od štapova rabi se grafički postupak, tzv. metoda plana pomaka. Npr. za konstrukciju sastavljenu od dva štapa prema slici:

A

C

B

Fβ γ

α

l1 , E1 A1

l2 , E2 A2 z

x

Fz

xB

γβ

α

N1

N2

Sile u čvoru B:

B

B1z

x∆l2∆l1

δB

wB

uB

Plan pomaka:Plan položaja:

Plan sila:

FN2

N1

B´´

B´


Nakon opterećenja konstrukcije silom F u štapovima će se pojaviti sile N1 i N2

koje izazivaju produljenje ∆l1 štapa 1 i skraćenje ∆l2 štapa 2. Sile u štapovima možemo odrediti grafički metodom plana sila ili analitički

iz uvjeta ravnoteže čvora B konstrukcije: 1. 0sinsinsin 21 =⋅+⋅−⋅=∑ βαγ NNFFx ,

2. 0coscoscos 21 =⋅−⋅+⋅=∑ βαγ NNFFz .

Zatim pomoću izraza za produljenje/skraćenje štapova odredimo:

)(),(22

222

11

111 −=Δ+=Δ

AElNl

AElNl .

Deformacije štapova crtamo na odgovarajuće štapove i povlačimo okomice na nove duljine štapova u B´ i B´´, te njihovo sjecište određuje novi položaj čvora B konstrukcije. Spojnica B1BB δ= predstavlja pomak točke B. Komponente pomaka δB na koordinatne osi x i z su uB i wB, a koje možemo od-rediti grafičkim postupkom očitavanjem vrijednosti iz plana pomaka koji mora biti crtan u mjerilu ili analitički pomoću izraza izvedenih iz analize plana poma-ka, kako je to pokazano na slici:

Plan pomaka:

B

B1z

x∆l2 ∆l1

wB

uBB´

B´´E

β

α(α−β)

(α−β)

αβ

δB

∆l2

Iz plana pomaka slijede vrijednosti duži-na:

)sin(1

βα−Δ= lBE ,

)sin(2

βα−Δ= lEB1 .

Komponente pomaka δB čvora B su:

,)sin(

coscoscoscos

21

βααβαβ

−⋅Δ+⋅Δ=

=⋅+⋅=ll

u EBBE 1B

.)sin(

sinsinsinsin

21

βααβαβ

−⋅Δ+⋅Δ=

=⋅+⋅=ll

w EBBE 1B

Numerički primjer!


5.4. Statički neodređeni zadaci štapnih konstrukcija Ako na nekoj konstrukciji imamo k nepoznatih reakcija veza ili nepoznatih si-la, a konstrukcija ima s stupnjeva slobode gibanja (odgovara broju nezavisnih uvjeta ravnoteže u danom problemu: s = 1, 2 ili 3 za ravninske probleme, te s = 3 ili 6 za prostorne probleme), stupanj statičke neodređenosti n određen je izrazom:

skn −= .

Za rješenje n puta statički neodređenog problema, mora se postaviti n do-punskih uvjeta deformacije. Dopunske uvjete deformacije postavljamo geomet-rijskom analizom načina deformiranja tijela u danom problemu. Pojedini dijelovi konstrukcije koji su vezani međusobno, npr. zglobom, pomiču se zajedno tije-kom deformiranja tijela! Pri rješavanju statički neodređenih zadataka treba prvo iskoristiti sve ras-položive nezavisne uvjete ravnoteže, pa tek onda dopunske uvjete deforma-cije. Pri postavljanju uvjeta deformacije kod linearno-elastične konstrukcije često koristimo metodu superpozicije: ako je neko tijelo opterećeno s više sila, po-mak neke točke možemo odrediti tako da odredimo pomak te točke pod djelo-vanjem svake pojedinačne sile, a rezultate zbrojimo. Primjer 1. Primjer 2. 5.5. Toplinska i početna naprezanja kod štapnih statički neodređenih konstrukcija 5.5.1. Početna naprezanja Tijela se ne deformiraju samo uslijed djelovanja opterećenja, nego i pri promjeni temperature, vlažnosti, toplinske obrade, kemijskih reakcija, uslijed pogrešne montaže i sl. Pri tome mogu nastati samouravnotežena naprezanja koja nisu posljedica vanjskog opterećenja i čiji se iznos teško može ustanoviti.

U radu konstrukcije zbrajaju se početna naprezanja s naprezanjima koja uzrokuju vanjska opterećenja konstrukcije. Zbog tih naprezanja može nastati lom konstrukcije, iako je naprezanje od vanjskog opterećenja manje od dopuš-tenog. Za sigurni rad konstrukcije uvijek mora biti zadovoljen izraz:

dopopter. vanjskomax.počstv.max )()( σσσσ ≤+=

Primjer 1.


Primjer 2. 5.5.2. Toplinska (temperaturna) naprezanja Produljenje štapa duljine l pri porastu temperature za iznos ∆T iznosi:

T+∆T

l

l+ ∆lT

x

x

T∆lT

Tll TT Δ⋅⋅=Δ α ,

gdje je αT - linearni koeficijent toplinskog

rastezanja, a njegova je jedinica: K−1. Toplinska (temperaturna) deformacija je:

Tll

TT

T Δ⋅=Δ= αε .

Pri malim promjenama temperature (ΔT=100 do 200 oC) može se koeficijent αT smatrati konstantnim.

Ako je širenje krajeva štapa potpuno spriječeno, u njemu nastaje toplinsko (temperaturno) naprezanje, čiji je iznos:

T+∆T

lx

αT, EAQ

A BFA FB

,:/0 llll T =Δ+Δ=Δ σ → 0=Δ+ TE T

x ασ ,

ETTx ⋅Δ⋅−= ασ .

Za 00 <→>Δ xT σ , za 00 >→<Δ xT σ .

Sila u štapu je:

EATAFF Tx ⋅Δ⋅=⋅== ασBA .

Toplinska, početna (montažna) naprezanja mogu se pojaviti samo kod sta-tički neodređenih konstrukcija. Primjer 1. Primjer 2. 5.6. Koncentracija naprezanja i St’Venantov princip 5.6.1. St’Venantov princip Jednoliki raspored naprezanja po poprečnom presjeku štapa ostvarit će se samo ako je presjek dovoljno udaljen od mjesta djelovanja koncentrirane sile i ako u blizini nema nagle promjene poprečnoga presjeka.

Prvi oblik St’Venantovog principa glasi: Ako na malom dijelu tijela djeluje međusobno uravnoteženo opterećenje, ono uzrokuje samo lokalno naprezanje u neposrednoj blizini djelovanja opterećenja. Ta se naprezanja naglo smanjuju s udaljenošću od mjesta djelovanja opterećenja.


Drugi oblik St’Venantovog principa glasi: U točkama tijela koje su dovoljno

udaljene od mjesta opterećenja naprezanje će se zanemarivo malo promijeniti ako se jedno opterećenje zamijeni drugim, njemu statički ekvivalentnim optere-ćenjem. Rezultanta opterećenja mora prolaziti kroz težište S poprečnog presjeka štapa.

x

≈ jednolikraspored naprezanja

F/2F≈ h

h

≈ hS

l

F/2 Utjecaj koncentrirane sile na raspo-red naprezanja u poprečnom pres-jeku u ovisnosti od njegove udalje-nosti od mjesta djelovanja koncen-trirane sile pokazan je na slici.

Rezultati rasporeda naprezanja iz Teorije elastičnosti za plosnati štap širine h i ploštine poprečnog presjeka A te opterećenog koncentriranom silom F:

FF F F

σmax=1,027 σn

hh/2 h/4

σn

σnσn

σmax=1,378 σn σmax=2,575 σn

hA

σn=F/A

σxσx σx

Vidi se da je u presjecima štapa bliskim mjestu djelovanja koncentrirane sile,

raspored naprezanja vrlo nejednolik.

5.OSNO OPTEREĆENJE ŠTAPA - KONCENTRACIJA NAPREZANJA 1

5.6.2. Koncentracija naprezanja U blizini otvora, naglih prijelaza ili na mjestu djelovanja koncentriranih sila raspored naprezanja nije ni približno jednolik. Maksimalno naprezanje može biti mnogo puta veće od prosječnog (nominalnog ili nazivnog) naprezanja. Ta se pojava zove koncentracija naprezanja.

Za rješavanje problema koncentracije naprezanja osim složenih metoda Teorije elastičnosti, danas se primjenjuju pretežno eksperimentalne metode (npr. fotoelasticimetrija) i numeričke metode (npr. metoda konačnih elemenata).

Faktor koncentracije naprezanja K (ili u njemačkoj literaturi α k) i tzv. teorijski faktor koncentracije naprezanja Kt definirani su izrazima:

o

maxt

n

max ,σ

σσ

σ == KK ,

gdje su: σmax – maksimalno naprezanje u presjeku, σn – prosječno (srednje, nazivno) naprezanje u presjeku, a σo – jednoliko naprezanje u neoslabljenom presjeku (tzv. naprezanje u beskonačnosti!).


σoσo

Faktor koncentracije naprezanja ovisi o obliku i dimenzijama geometrijskog diskontinuiteta (otvora, utora i slično). Podaci o faktorima koncentracije naprezanja nalaze se u tablicama ili dijagramima u priručnicima u posebnoj literaturi (npr. Peterson), a njihovi iznosi određuju se analitičkim metodama teorije elastičnosti, numeričkim metodama (metoda konačnih elemenata ⇒ MKE), primjer na slici c) i eksperimentalno ⇒ metoda fotoelasticimetrije na modelima, primjer na slici a) i na izvedenim konstrukcijama metodom tenzometrije, primjer na slici b).

a) metoda fotoelasticimetrije b) metoda tenzometrije

σo

c) model za numeričku analizu metodom konačnih elemenata (MKE)


Kao primjer, pokazana je ovisnost faktora koncentracije naprezanja o

vrijednosti 2r/b za plosnati štap sa središnjim kružnim otvorom i s dva polukružna utora, na dijagramima.

A σn

b

σo

σo σmax

FF

σo

F

r b

B

σo

σo

σnσmax

F

2r

2r/b0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

1

2

3K

B

A

K=σmax/σn

Raspodjela naprezanja oko eliptičnog otvora u beskonačnoj ploči:

σo σoσmax

2b 2a

Faktor koncentracije naprezanja je:

baK 21

o

max +==σ

σ.

Za kružni je otvor: a = b → K = 3.

Npr. za eliptični otvor:

za a = 5b → K = 11,

za b = 5a → K = 1,4.

Utjecaj geometrijskih diskontinuiteta na tijek silnica opterećenja u okruglom

štapu (osovina, vratilo) pokazan je na slikama.


najpovoljnije nepovoljno povoljnije

najpovoljnije povoljnijenepovoljno

Koncentracija naprezanja na mjestima promjene presjeka vratila,

odnosno kod spoja vratila s glavčinom rotacijskog elementa

Koncentracija naprezanja u vratilu s bočnim utorima (zarezima)

Uslijed geometrijskog diskontinuiteta u štapu ili vratilu (utori za klin, kanali

za podmazivanje, nagli prijelazi presjeka i dr.) dolazi do nejednolike raspodjele naprezanja u poprečnom presjeku. Na slici je prikazana raspodjela naprezanja kod opterećenja okruglih konstrukcijskih elemenata s geometrijskim diskontinuitetima na rastezanje, savijanje i uvijanje, prema Decker, Maschinenelemente.


Faktori koncentracije naprezanja za štapove i vratila opterećene na

rastezanje, savijanje ili uvijanje, prema primjerima u B. Assmann: Technische Mechanik, Festigkeitslehre.

Dijagrame za faktore koncentracije naprezanja za štapove i vratila

opterećene na rastezanje, savijanje ili uvijanje, kod raznih geometrijskih diskontinuiteta može se naći u priručnicima od G. M. Savina i R. E. Petersona.

6. UVIJANJE ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA 1

6. UVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA

6.1. Naprezanje i deformacije pri uvijanju

a) Pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: Analiza naprezanja i deformacija uvijanja ravnih štapova provest će se uz

sljedeće pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: 1. Pri deformiranju štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu

os štapa. 2. Poprečni presjeci zakreću se kao krute figure, tj. materijalni polumjeri pri

zakretanju ostaju ravni (ne deformiraju se u svojoj ravnini). 3. Normalno naprezanje σx jednako je nuli.

Izvedeni izrazi vrijedit će uz sljedeća ograničenja:

1. Promatrani presjeci dovoljno su udaljeni od mjesta djelovanja koncentriranih spregova (dovoljna udaljenost je oko jedan polumjer presjeka). 2. Štapovi su ravni, konstantnog poprečnog presjeka.

3. Poprečni presjek može biti samo krug ili kružni vijenac.

Navedene pretpostavke u cijelosti su ispunjene pri uvijanju okruglih štapova, slike c) i d):

a) mirujuća (savijanje)

b) rotirajuća osovina (savijanje)

c) puni presjek vratila d) šuplje vratilo

(opterećenje na savijanje i uvijanje)


A B

Mt

O

x

y z

xo ∆x∆x

Mt

Mt = const. duž štapa → bilo koja dva elementa A i B deformirat će se jednako, jer su geometrijski identični i opterećeni na isti način. Štap i svi njegovi dijelovi su rotacijski simetrični oko uzdužne osi x.

Simetrija problema uvijanja prizmatičnog okruglog štapa uvjetuje da kod deformiranja poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os.

Analiza pretpostavki o deformiranju pri uvijanju štapa pokazana je na slikama.

180o

∆x/2

1

xa)

Mt

∆x/2y

z

2

L

D

Mtb)

c)

d)

x

x

x

180o

x

yz

a) b)x

yz

Prema drugoj pretpostavci o deformiranju, ako se jedan polumjer pri deformiranju iskrivi, iskrivit će se svi polumjeri u svim presjecima na isti način, jer to slijedi iz uvjeta simetrije.

To uvjetuje da polumjeri pri deformiranju ostaju ravni, tj. poprečni presjeci zakreću se kao krute figure oko uzdužne osi x štapa.

b) Geometrijska analiza

O

∆x

αoα

α+d α

xz

y xo

x

Mt

Mt

Kut zakreta α je funkcija položaja presjeka:

rad,)(xαα= .

Relativni kut uvijanja ϑ definiran je izrazom:

rad/mdd ,lim

0 xxx

ααϑ =ΔΔ=

→Δ.


Za infinitezimalno mali element duljine dx kut zakreta dα je:

∫= /xdd ϑα → ∫ ∫=α

αo o

ddx

xxϑα → )( oo xx −+= ϑαα (za ϑ =const.).

Relativni kut uvijanja ϑ ovisi o momentu uvijanja Mt, promjeru štapa d i o materijalu štapa. Ako su sve te veličine konstantne, bit će i parametar ϑ konstantan.

Ako je ishodište koordinatnog sustava na lijevom kraju štapa, bit će:

x⋅+= ϑαα o .

U tom slučaju kut αo predstavlja zakret lijevog kraja štapa, tj. zakret štapa kao krutog tijela i ne utječe na pojavu naprezanja i deformacija. Naprezanja i deformacije u štapu pojavit će se samo ako je jedan kraj nepomičan, a drugi se zakreće za mali kut.

A

dx

d ρMt

Mt

O

A C

C1

B

l

dA

α

x

x

dρRavnina OACB prelazi u zavojnu plohu OAC1B. Iz vratila je isječen diferencijalni element štapa duljine dx i polumjera ρ i ρ+dρ. Na njegovom plaštu ucrtan je pravokutnik DEFG. Kod zakreta desnog kraja za dα, pravokutnik prelazi u romboid DEF1G1.

γ

B

αα+dα

dα ρ

dρ

dx

D

E

G

G1

F1

F

Mt

Kutna deformacija γ kod smicanja elementa je:

xdDG = , xddGG1 ρϑαρ =⋅= → ϑργ ⋅==DGGG1 ,

gdje je ϑ nepoznati parametar. Kutna deformacija je u uzdužnoj osi štapa jednaka nuli i raste linearno prema površini štapa gdje ima maksimalni iznos:

ϑργ ⋅= , → ϑγ ⋅= rmax , za r = d/2.

c) Primjena Hookeova zakona Za slučaj čistog smicanja elementa vrijedi:

ϑργτ GG =⋅= , ϑτ Gr=max .

Posmično je naprezanje u osi štapa jednako nuli i raste linearno prema površini.


d) Primjena uvjeta ravnoteže Za štap u ravnoteži, moment vanjskih sila jednak je momentu unutarnjih sila:

Mtx

zy

O

A

ρ

dA

τ

τmax

τmax

0)(

=⋅+−= ∫∑ ρτA

x AMM dt

Slijedi: pt dd IGAGAGM

AAϑρϑρϑρ ==⋅⋅= ∫∫ 2 ,

odnosno nepoznati parametar je:

rad/mp

t ,GIM=ϑ .

Veličina GIp naziva se torzijska krutost

štapa, N⋅m2.

Konačni izraz za raspodjelu posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku štapa glasi:

ρτp

t

IM= → MPa

p

t

p

t ,maxmax WM

IM == ρτ , → 3

max

pp cm,

ρI

W = ,

gdje su: Ip - polarni moment tromosti, m4 Wp - polarni moment otpora poprečnog presjeka štapa, m3.

Za puni kružni presjek:

d

A

4

2dA π= , ploština poprečnog presjeka štapa

32

4dI π=p , polarni moment tromosti presjeka

16

3dW π=p , polarni moment otpora presjeka

Za kružni vijenac je:

d

D

A

Ddk = , omjer unutarnjeg i vanjskog promjera,

( )22

14

kDA −= π ,

( )44

132

kDI −= πp i ( )4

3

116

2kD

DI

W −== πpp .


Konačni izraz za kut zakreta ravnog okruglog štapa je:

Iz xIG

Mx dddp

t== ϑα , integriranjem slijedi: ∫+=l

o xIG

M0

dp

tαα .

Za Mt = const. i GIp = const., kut zakreta (kut uvijanja) štapa duljine l je:

radp

t ,IG

lMo += αα .

e) Osnovne diferencijalne jednadžbe uvijanja štapa Iz ranijeg izraza za deformaciju štapa pri uvijanju, slijedi:

xM

xIG

dd

dd

tp /=α → tt

p dd

dd

dd m

xM

xIG

x−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

ili u obliku: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

p

t2

dd

dd

IGM

xx2α

.

Ako je GIp = const., vrijedi:

tt

2

p dd

dd m

xM

xIG −==2

α ili u obliku

p

tt

p

2

dd

dd

IGm

xM

IGx−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

2α

.

f) Raspodjela naprezanja u okruglom štapu pri uvijanju

Mt

x

τmax

τmax

Posmično naprezanje raste od nule u osi x štapa do maksimalne vrijednosti τmax na površini štapa. U okomitim presjecima, posmična naprezanja su međusobno jednaka, a sve ostale komponente naprezanja jednake su nuli. Čisto smicanje je ekvivalentno istovremenom rastezanju i sabijanju u dva međusobno okomita pravca, a glavna naprezanja činit će kut od 45o s uzdužnom osi x štapa; lijeva slika.

Na desnoj slici su prikazane trajektorije naprezanja pri uvijanju. To su dvije ortogonalne familije krivulje sa svojstvima da se tangenta na jednu familiju krivulja podudara s pravcem glavnog naprezanja σ1, a tangenta na drugu familiju krivulja podudara se s pravcem glavnog naprezanja σ2 u danoj točki.


Mt

Mt

x

45o

τ

σ1= τ

σ2=−τ Mt

Mtσ1

σ2σ2

σ1x

6.2. Dimenzioniranje vratila opterećenih na uvijanje Vratila i drugi štapovi opterećeni na uvijanje mogu se dimenzionirati prema uvjetu čvrstoće i prema uvjetu krutosti. Za laka vratila malog promjera najvažnija je krutost, a za teška vratila čvrstoća.

Način loma štapa opterećenog na uvijanje ovisi o materijalu štapa. Kod štapa od krhkog materijala lom nastupa kad najveće vlačno naprezanje prijeđe vlačnu čvrstoću materijala, pri čemu lom nastaje po presjeku koji čini s osi štapa kut od 45o, slika a). Ako je štap izrađen od rastezljivog (duktilnog) materijala, lom nastupa nakon znatne plastične deformacije kad posmično naprezanje prijeđe smičnu čvrstoću, slika b).

a)

Mt

σ2=−τ

45o

Mt

τ

σ1= τ

b)

Mt

a) Proračun na čvrstoću Potrebno je poznavati dopušteno posmično naprezanje τdop materijala štapa.

Uvjet čvrstoće glasi:

dopp

t

p

t τρτ ≤==WM

IM

maxmax .


Kod zadatka dimenzioniranja vratila mora biti zadovoljen uvjet:

dop

tp τ

MW ≥ .

Za puno vratilo:

316

dop

t

τπMd ≥ .

Za šuplje vratilo vanjski promjer je:

3 4 )1(16

dop

t

τπ kMD

−≥ ,

Ddk = .

Kod zadatka određivanja nosivosti vratila mora biti zadovoljen uvjet:

( ) doppdopt τ⋅≤ WM .

b) Proračun na krutost Potrebno je poznavati dopušteni relativni kut uvijanja ϑdop materijala štapa,

izražen u rad/m.

Za konstrukcijski čelik je min. vrijednost ϑdop=0,25 o/m, odnosno

ϑdop=4,363⋅10−3 rad/m.

Uvjet krutosti vratila glasi:

dopp

t ϑϑ ≤=GIM

max .

Kod zadatka dimenzioniranja vratila mora biti zadovoljen uvjet:

dop

tp ϑG

MI ≥ .

Za puno vratilo:

432

dop

t

ϑπ GMd ≥ .

Za šuplje vratilo vanjski promjer je:

4 4 )1(32

dop

t

ϑπ GkMD

−≥ ,

Ddk = .

Kod zadatka određivanja nosivosti vratila mora biti zadovoljen uvjet:

( ) doppdopt ϑ⋅≤ GIM .

Vrijednost prijelaznog promjera do (ili Do), odnosno prijelaznog momenta

uvijanja Mto, može se odrediti izjednačavanjem vrijednosti za dopušteni moment uvijanja prema proračunu na čvrstoću odnosno proračunu na krutost:

( ) doppdoppot ϑτ ⋅=⋅= GIWM → dopo

dopo

3216ϑπτπ Gdd 43

= ,


odakle slijede vrijednosti za do , odnosno za Mto:

dop

dopo ϑ

τG

d2

= , dopdop

dopto τ

ϑτπ

3

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

GM .

Ako je d > do , odnosno Mt > Mto , proračun se vrši prema čvrstoći, a ako je d <

do , odnosno Mt < Mto , za proračun je mjerodavna krutost štapa.

Npr. ako je materijal vratila konstrukcijski čelik s karakteristikama:

MPadop 90=τ , /m25,0 odop =ϑ i GPa80=G ,

vrijednost je prijelaznog promjera: mo 5157,0=d .

Ako vratilo prenosi snagu P, kW kod brzine vrtnje n, s−1, zakretni moment M koji opterećuje vratilo je:

mN ⋅⋅= ,103

ωPM ,

gdje je kutna brzina rotacije vratila:

rad/s,2 nπω = .

Ako je rotacija vratila zadana brojem okretaja u minuti, tj. n, okr/min, kutna brzina rotacije vratila je:

rad/s,30

nπω = .

Analiza uvijanja štapova neokruglih presjeka mnogo je složenija i provodi se u teoriji elastičnosti. 6.3. Statički neodređeni zadaci štapova opterećenih na uvijanje

Štapovi su ukliješteni na oba kraja i opterećeni na uvijanje momentima oko uzdužne osi, a zadatak je najčešće jedanput statički neodređen: a) nepoznanice su reaktivni momenti MA i MB u osloncima A i B, te je uvjet ravnoteže:

1. 01

=−−= ∑∑=

BA MMMMn

iix ,

b) dopunski uvjet deformacije je zahtjev da kutni zakret štapa na mjestima uklještenja štapa A ili B bude jednak nuli, tj. mora biti:

2. 0=Aα ili 0=Bα .


Primjer 1. Zadano: lbaIGM ,,,, p ; Naći: dijagram. skicirati tBA −MMM ,,

MAA

x

la b B

M

C

MBGIp

M

MA

MB

+

+

−

αC

Mt2

Mt1

α −dijagram

Mt −dijagram

1. Uvjet ravnoteže: 0=−−=∑ BA MMMM x ,

2. Uvjet deformacije:

0=⋅−⋅=p

B

p IGlM

IGaM

Bα .

Slijede reaktivni momenti uklještenja u A i B:

lbMM =A ,

laMM =B .

Kut zakreta presjeka C: lIG

MabIG

aMC

pp

t == 1α .

Primjer 2. … iz Vježbenice!

6. UVIJANJE OKRUGLOG ŠTAPA – KONCENTRACIJA NAPREZANJA 1

6_2. Koncentracija naprezanja kod uvijanja okruglog štapa

Uslijed geometrijskog diskontinuiteta u vratilu dolazi do nejednolike raspodjele naprezanja u poprečnom presjeku. Na slici je prikazana raspodjela naprezanja kod opterećenja okruglih konstrukcijskih elemenata s geometrijskim diskontinuitetima na uvijanje, prema Decker: Maschinenelemente.

τmaxτn

Maksimalno posmično naprezanje uslijed geometrijskog diskontinuiteta u

vratilu je veće od nominalnog (ili nazivnog) posmičnog naprezanja. Ta se pojava zove koncentracija naprezanja. Faktor koncentracije naprezanja kod uvijanja definiran je izrazom:

n

maxτ

ττ =K ,

p

tkmax W

MK ⋅== τττ , maksimalno posmično naprezanje u vratilu,

p

tn W

M=τ , nominalno posmično naprezanje u vratilu.

Za rješavanje problema koncentracije naprezanja osim složenih metoda Teorije elastičnosti, danas se primjenjuju pretežno eksperimentalne metode (npr. fotoelasticimetrija) i numeričke metode (npr. metoda konačnih elemenata).

6. UVIJANJE OKRUGLOG ŠTAPA – KONCENTRACIJA NAPREZANJA 2

Faktor koncentracije naprezanja ovisi o obliku i dimenzijama

geometrijskog diskontinuiteta (otvora, utora i slično). Podaci o faktorima koncentracije naprezanja nalaze se u tablicama ili dijagramima u priručnicima u posebnoj literaturi (Peterson, Savin i dr.).

Faktori koncentracije naprezanja za vratila s utorom za podmazivanje i kod nagle promjene poprečnog presjeka, kod opterećenja na uvijanje dani su na slici prema primjerima u B. Assmann: Technische Mechanik, Festigkeitslehre:

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA 1

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA 7.1. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA PRIZMATIČNOG PRESJEKA 7.1.1. Uvodne napomene i razvoj teorije savijanja štapa U slučajevima opterećenja štapova na rastezanje, sabijanje i uvijanje, uzdužna os štapa pri deformiranju ostaje ravna. Pri savijanju ravni se štapovi zakrivljuju, a zakrivljeni štapovi mijenjaju svoju zakrivljenost. Ravna uzdužna os štapa pri savijanju postaje zakrivljena linija i naziva se elastična ili progibna linija. U tehničkoj praksi štap opterećen na savijanje naziva se nosač ili greda.

Razlikuju se sljedeći oblici savijanja štapova: a) Čisto savijanje ili savijanje spregovima → vanjske sile u nekom poprečnom presjeku štapa reduciraju se samo na spreg (moment savijanja).

b) Poprečno savijanje ili savijanje silama → vanjske sile u poprečnom presjeku štapa reduciraju se na spreg (moment savijanja) i poprečnu silu. Čisto savijanje i savijanje silama nazivaju se i obično savijanje, jer moment savijanja djeluje oko glavne osi tromosti poprečnog presjeka štapa.

c) Koso savijanje → moment vanjskih sila ne djeluje ni oko jedne glavne osi tromosti poprečnog presjeka štapa.

a) Čisto savijanje ( 0,const. == zy QM )

B

C

FA

Dl

x

a a

Elastična linija

zQz -dijagram

F

FBFA

FA

FBF

F

+

−

−

My -dijagram

F⋅a

čisto savijanje

b) Poprečno ili savijanje silama .)const,const.( ≠≠ zy QM

B

CF1

A

D

l

x

a c

Elastična linija w = w(x)

z

FBFA

FA

FB

+

My -dijagram

b

F2

+

−

F1F2

Qz -dijagram

+

−

α w

h


c) Koso savijanje )0,0( ≠≠ zy MM

Rezultirajući moment savijanja ne djeluje niti u jednoj od glavnih osi tromosti presjeka:

22A zy MMM += .

F

x

y

zα

MA

My

Mz

lB

A

Svi izrazi izvedeni u Nauci o čvrstoći za savijanje ravnih štapova vrijede uz sljedeća ograničenja: 1. Visina h presjeka štapa je mala u usporedbi s rasponom l nosača, tj.

4/1...5/1/ ≤lh i pri tome će greška biti oko 2 %. 2. Maksimalni nagib tangente na elastičnu liniju je također mali, tj. )1,0...05,0max

oo 5 do (3rad<α . Ponekad se taj uvjet izražava omjerom maksimalnog progiba wmax i raspona l, tj. 05,0...02,0/max <lw .

Razvoj teorije savijanja štapa: Rješenje G. Galileja iz 1638. na slici a) je krivo, jer uz pretpostavku jednolike

raspodjele naprezanja po visini presjeka, daje izraz za maksimalno normalno naprezanje:

D

l l

b

h

σmax

A

B

C F2

FF

F1B D

A C

h/2a) hbF ⋅⋅= max1 σ ⇒

021A =⋅−⋅=∑hFlFM , 2max 2

hblF

=σ .

E. Mariotte je 1690. dao trokutnu raspodjelu naprezanja u kritičnom presjeku, slika b), ali je zadržao krivu pretpostavku da se tu javljaju samo vlačne sile i da se pri deformiranju poprečni presjek okreće oko osi kroz A:

l

b

h

σmax

F2F

F1

B D

A C

2h/3b)

hbF ⋅⋅= max1 21σ ⇒ 0

32

1A =⋅−⋅=∑hFlFM ,

2max 3hblF

=σ .

To rješenje su prihvatili mnogi istraživači, kao npr. J. Bernoulli, L. Euler, Leibnitz i drugi.

Prvo točno rješenje dao je Parent 1713., a neovisno i Coulomb 1773., koji su uočili da se pojavljuju vlačna i tlačna naprezanja, slika c), te dali točno rješenje za σmax:


l

b

h

σmax

F2

F

F1B D

A C

2h/3c)

−σmax

hbFF ⋅⋅== max21 41σ ⇒ 0

32

1A =⋅−⋅=∑hFlFM ,

2max 6hblF

=σ .

7.1.2. Naprezanje i deformacije pri čistom savijanju štapa Za početak se razmatra čisto savijanje prizmatičnog štapa, čiji poprečni

presjek ima os simetrije z, a savijanje se izvodi u ravnini koja sadrži uzdužnu os x i os simetrije z. Nakon opterećenja štap se deformira, a uzdužna os prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastična ili progibna linija. a) Pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja

Analiza naprezanja i deformacija čistog savijanja ravnih prizmatičnih štapova provest će se uz sljedeće pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja:

S

elastična linija

os štapaO

M

zyx

r

M

MM

z

A A

AA

a)

A A

AA

b)

Simetričnost elementa uvjetuje da poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju nosača.

1. Pri deformiranju štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju. 2. Sve komponente naprezanja osim normalnog naprezanja σx jednake su nuli. Prva je pretpostavka potpuno ispunjena, što slijedi iz uvjeta simetrije. b) Geometrijska analiza c) Deformacije elementa ABCD:

b)

M ρ

z

xz

yS

O

x dx

D

B C

AA

G H

Mdα

A1

B1 C1

D1

G1 H1 e

a)

Elastična linija

a) neopterećeni ravni prizmatični štap b) deformacije štapa opterećenog na čisto savijanje

dαρ

dx

D

B C

A

G H

z

A1

B1 C1

D1

G1 H1F

F1

O

z

EE1

x

nakon deformiranja

neutralna plohaelastična linija

prije deformiranja


Pravokutni element ABCD deformira se, ali ostaje ortogonalan, tj. stranice deformiranog elementa sijeku se pod pravim kutom. Ishodište koordinatnog sustava postavlja se u neutralnu površinu u kojoj vlakna ne mijenjaju svoju duljinu. Uzdužna vlakna na gornjoj strani štapa se skraćuju, a na donjoj se produljuju.

Deformacija vlakna EF iznosi: EF

EFFE 11 −=xε , gdje je αρddGHEF === x

duljina vlakna prije deformiranja, a αρ dFE )(11 z+= duljina vlakna nakon deformiranja. Slijedi:

αραραρε

ddd −+

=)( z

x ⇒ ρ

ε zx = (linearni zakon).

Nepoznati parametar ρ je polumjer zakrivljenosti elastične linije.

c) Primjena Hookeova zakona Prema pretpostavci u štapu vlada jednoosno stanje naprezanja. Za raspodjelu naprezanja u štapu vrijedi izraz:

zEE xx ⋅=⋅=ρ

εσ (linearni zakon).

Normalno naprezanje σx u osi štapa jednako je nuli i raste linearno prema površinama štapa.

d) Primjena uvjeta ravnoteže Za štap u ravnoteži, položaj neutralne površine i polumjer zakrivljenosti ρ određuju se pomoću uvjeta ravnoteže.

x

zy dA

AMz=0

My

σx

N=0yz

S

M

Uvjeti ravnoteže su:

1. 00)(

==→= ∫∑ ANFA

xx dσ ,

2. MzAMMA

xyy =⋅=→= ∫∑ d)(

0 σ ,

3. 00)(

=⋅−=→= ∫∑ yAMMA

xzz dσ .

Uvrštenjem izraza za σx u (1) slijedi:

0)()(

==== ∫∫ yAA

x SEAzEANρρ

σ dd , gdje je 0)(

== ∫ AzSA

y d ,

Sy – statički moment površine A poprečnog presjeka oko osi y. Pri savijanju zakrivljuje se uzdužna os, pa je ∞≠ρ , pa prema tome mora biti 0=yS . To znači da neutralna os y prolazi kroz težište poprečnog presjeka štapa.


Kada se izraz za σx uvrsti u (3) slijedi:

0)()(

=−=−=⋅−= ∫∫ zyAA

xz IEAzyEyAMρρ

σ dd , gdje je AzyIA

zy d∫=)(

,

odakle je 0=zyI , tj. os y ili os z jest glavna os tromosti poprečnog presjeka štapa. Prema tome izvedeni izrazi vrijede samo za obično savijanje, tj. savijanje oko jedne glavne osi tromosti presjeka štapa. U protivnom, u nosaču se javlja koso savijanje. Ako se izraz za σx uvrsti u (2) slijedi:

MIEAzEzAM yAA

xy ===⋅= ∫∫ ρρσ dd

)(

2

)(, gdje je AzI

Ay d∫=

)(

2 .

Slijedi izraz za nepoznati parametar ρ, odnosno izraz za raspodjelu naprezanja σx:

κρ

==y

y

IEM1 , gdje je κ = const.,

zI

M

y

yx ⋅=σ ,

σx → linearna zakonitost.

h

σmax

σmin

z

y S

A

+

−

pravac

U gornjim izrazima su: κ − zakrivljenost elastične linije štapa, Iy – moment tromosti oko težišne osi y poprečnog presjeka štapa, EIy – savojna (fleksijska) krutost štapa. 7.1.3. Analiza naprezanja i deformacija pri savijanju silama

Ako u poprečnom presjeku prizmatičnog štapa uz moment savijanja My djeluje i poprečna sila Qz, pojavit će se u presjeku opterećenog nosača normalno naprezanje σx i posmično naprezanje τxz, tako da je:

zAMA

xy ⋅= ∫ d)(σ i AQ

Azxz d∫=

)(τ .

a) Deplanacija elementa i normalno naprezanje u poprečnom presjeku Na gornjoj i donjoj površini štapa posmična naprezanja moraju biti jednaka nuli jer te površine nisu opterećene. Zbog jednakosti posmičnih naprezanja koja dolaze u parovima, bit će uz gornji i donji rub poprečnog presjeka 0== xzzx ττ , pa je uz te rubove i kutna deformacija 0== xzzx γγ , te elementi A i B ostaju pravokutni. Posmično naprezanje raste prema sredini, te na element C djeluje


najveće posmično naprezanje odnosno kutna deformacija i on se iskrivljuje, tj. dolazi do deplanacije ili iskrivljenja poprečnog presjeka. Za nosače velikog raspona, tj. kad je l/h >> 1, pomaci zbog deplanacije maleni su u uspordbi s pomacima zbog zakretanja poprečnog presjeka, pa deplanacija neznatno utječe na duljinsku deformaciju εx, a time i na naprezanje σx. Prema tome za nosače velikog raspona vrijedi približan izraz (uz pogrešku 2 ÷ 3 %) za raspodjelu normalnih naprezanja u poprečnom presjeku:

zI

M

y

yx ⋅≈σ .

B

F

A

x

x

zFBFA

x

FA

Qz=FA

My=FA⋅x

FA

h

σmax

σmin

+

−

h

h

τz x = 0

τxz

σxx

τz x = 0

a) b) τz x = τx z = 0

τx z ≠ 0

τxz A

BC

D

E

τz x = τx z = 0

Qzγx z ≠ 0

γx z = 0

γx z = 0

QzMy

My

A

C

Elastična linija

Deplanirani element

c)

B

Ako je Qz = const., dva susjedna presjeka deplaniraju se na isti način, pa deplanacija presjeka uopće ne utječe na deformacije εx, a time i na naprezanje σx, pa vrijedi egzaktno:

zI

M

y

yx ⋅=σ (linearni zakon raspodjele).

b) Posmično naprezanje u poprečnom presjeku nosača Izraz za određivanje posmičnog naprezanja u poprečnom presjeku nosača može se dobiti razmatranjem elementa grede CDFE duljine dx, uz aksonometrijsku sliku naprezanja. Na element djeluju s lijeve strane poprečna sila Qz i moment savijanja My, a s desne strane poprečna sila Qz i moment savijanja My + dMy. Normalna naprezanja σx ovise o momentu savijanja, te će naprezanja biti različita na obje strane elementa nosača.


B

F

A

x

x

z

FBx

Qz

My

h

a)

FA

Qz

dx

My + dMy

C D

z E F

C D

E FMy

My + dMy

+

O

z x

Neutralna ploha

A3

dx

τxz

σx + dσx

C

τz x

A1

A2

b

O

D

EF

τxz

σx

z

b)

y

Na presjeku A1 djeluje normalno naprezanje σx i posmično naprezanje τx z, a na presjeku A3 naprezanja σx + dσx i τx z. Površine su jednake (A1 = A3), te normalna naprezanja ne mogu biti u ravnoteži, što uvjetuje pojavu posmičnih naprezanja τz x na površini A2. Ravnoteža elementa štapa (CDFEb), slika b), u smjeru osi x glasi:

0)( 3)()(

2)

132

=++−−= ∫∫∫∑ AAAF xxAA

xzA

xx dddd1(

σστσ .

Kako je 31 AA = i xbA d⋅=2 , gdje je b – širina poprečnog presjeka, uz izraz za σx slijedi:

01)()

13

=⋅+

+⋅−⋅− ∫∫ AzI

MMxbAz

IM

A y

yyxz

A y

y dd

dd1(

τ ,

odnosno nakon sređivanja:

0)(

13

== ∫Ay

yxz Az

IM

xb dd

dτ → y

yyxz Ib

Sx

M⋅=

dd

τ ,

gdje je ∫=)(

11A

y AzS d - statički moment presjeka A1, odnosno A3 oko neutralne osi

y. Iz Statike je poznata ovisnost: zy Q

xM

=d

d, pa izraz za određivanje posmičnog

naprezanja glasi:

y

yzzxxz Ib

SQ== ττ .

1) Posmična naprezanja na pravokutnom presjeku Zakon raspodjele posmičnih naprezanja za pravokutni presjek pokazan je na

slici, a krivulja raspodjele je parabola 2. stupnja.


Ploština iscrtanog dijela površine (Az) poprečnog presjeka nosača i udaljenost težišta Sz od osi y iznose:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= zhbAz 2

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += zhz

221

Sz .

Statički moment površine Az oko osi y jest:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅= 2

2

42221

2zhbzhzhbzAS zy Sz .

Moment tromosti pravokutnog presjeka oko osi y jest 12/3hbI y = , pa posmično naprezanje na udaljenosti z od osi y iznosi:

Qz

τxz

S

z

b

z

2h

zh−

2

2h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + zh

221

Sz

y

(τxz)max

(τxz)sr.

A

Az

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=== 2

2

42zh

IQ

IbSQ

y

z

y

yzzxxz ττ ,

tj. posmična su naprezanja raspodijeljena po zakonu parabole 2. stupnja.

Ploština površine pravokutnog poprečnog presjeka je:

hbA ⋅= .

Maksimalno posmično naprezanje javlja se u sredini poprečnog presjeka nosača, tj. za:

z = 0: → ( ) sr.

2

max5,15,1

23

8ττ ====

AQ

hbQ

IhQ zz

y

zzx .

Maksimalno posmično naprezanje je 50 % veće od prosječnog posmičnog naprezanja u presjeku. 2) Posmična naprezanja na kružnom presjeku Zakon raspodjele posmičnih naprezanja za kružni presjek pokazan je na slici. Rezultirajuće posmično naprezanje τ usmjereno je u pravcu tangente na rub presjeka. Komponente posmičnog naprezanja τxy poništavaju se međusobno.


τxz

z

zy

(τxz)max

(τxz)sr.

A

Qz

r

τxzτ

τxy

τ

S

Posmično naprezanje na udaljenosti z od osi y iznosi:

( )223

zrI

Qy

zzxxz −==ττ ,

tj. posmična su naprezanja raspodijeljena po zakonu parabole. Maksimalno posmično naprezanje je u sredini presjeka:

( ) ( )sr.

2

max33,1

34

3 zxz

y

zzx A

QIrQ ττ =⋅== .

Maksimalno posmično naprezanje je za 33 % veće od prosječnog.

3) Posmična naprezanja u simetričnim tankostjenim presjecima nosača Zakon raspodjele posmičnih naprezanja u simetričnim tankostjenim

presjecima nosača pokazan je na slici za I - presjek. Tankostjeni presjeci sastavljeni su od dva pojasnika debljine t i rebra širine br.

t

y

τxz

τxy

S

τxy

br

bp

τpτr

(τxz)max

τxz

rebro

pojasnikh/2

h/2

y

τxy

Izrazi za posmična naprezanja su:

)(),(, zbbzSSIbSQ

yyy

yzzx ===τ ,

)(, ySSItSQ

yyy

yzyx ′=′

′=τ ,

gdje je: 22hy

bS p

y ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅′ .

Omjer posmičnih naprezanja u rebru i pojasniku je:

r

ppr b

bττ = .

7.1.4. Glavna naprezanja, trajektorije naprezanja Ako na mjestu x nosača djeluju moment savijanja My i poprečna sila Qz,

moment tromosti poprečnog presjeka je Iy a širina b presjeka na udaljenosti z od uzdužne osi x, normalna i posmična naprezanja u točki M (x, z) određena su izrazima:


y

yzzx

y

yx Ib

SQz

IM

=⋅= τσ , .

Glavna naprezanja i glavni pravci naprezanja u točki M nosača su:

22

2,1 22 zxxx τσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±= ,

x

zx

στ

ϕ2

2tan o −= .

B

F

A

x

x

FB

h

a)

FA

zM

O

xϕo

1σxM

τxz

σ2σ1

2

M

z

x

b)

τ

O σD

B

CS

A

τx z

σ2 σ1

σx

ϕoP

12

x

Mjerilo: 1 cm = λσ MPac)

Normalna naprezanja σx mijenjaju se po linearnom zakonu, a posmična

naprezanja τx z gotovo uvijek po zakonu parabole. Normalno naprezanja σz jednako je nuli ili se zanemaruje.

Glavna naprezanja σ1 i σ2 u nekoj točki unutar nosača opterećenog na savijanje uvijek imaju suprotan predznak. Duž rubova nosača σx je jedno glavno naprezanje, dok je drugo glavno naprezanje jednako nuli. U sredini štapa vlada čisto smicanje, pa glavna naprezanja čine kut od 45o s osi x, a po apsolutnom iznosu su jednaka maksimalnom posmičnom naprezanju u presjeku.

Na slici su prikazane trajektorije naprezanja ili izostatičke linije: to su dvije ortogonalne familije krivulja sa svojstvom da kroz svaku točku nosača prolaze dvije trajektorije, po jedna iz svake familije, a tangente na te krivulje podudaraju se s glavnim pravcima naprezanja 1 i 2.


τxz max

σx

σx

τxz

σx

x1

x2

σ2

σ1

45o

σx τxz

qz

+

−

+

x

x

σ1 45o

qz

σ2

a)

b)

7.1.5. Proračun čvrstoće nosača opterećenih na savijanje U općem slučaju savijanja nosača pojavljuju se normalna i posmična naprezanja. Za uobičajene raspone i oblike poprečnog presjeka normalna naprezanja su mnogo veća od posmičnih. Osim toga, u točkama gdje se pojavljuju najveća normalna naprezanja, tj. u krajnjim vlaknima poprečnog presjeka, posmična su naprezanja jednaka nuli. Zbog toga se posmična naprezanja mogu zanemariti u proračunu čvrstoće nosača, pa se proračun čvrstoće izvodi prema najvećem normalnom naprezanju, tj. uvjet čvrstoće glasi:

dopmaxmax

max σσ ≤= zI

M

y

yx , odnosno: dop

max σ≤y

y

WM

,

gdje je Wy - aksijalni moment otpora poprečnog presjeka nosača oko poprečne osi y definiran izrazom:

maxzI

W yy = , odnosno slijedi:

dop

max

σy

yM

W ≥ i dopmax σ⋅≤ yy WM .

Ovi izrazi vrijede za nosače od materijala koji imaju jednaku čvrstoću na rastezanje i sabijanje.


Ako je nosač izrađen od krhkog materijala (npr. sivi lijev), vlačna je čvrstoća nekoliko puta manja od tlačne. Tada se rabe nesimetrični presjeci, te treba posebno provjeriti čvrstoću na vlačnom i posebno na tlačnom dijelu presjeka, tj. vrijede izrazi:

yx

z

σx min

σx max

σx

MyMy

S

−

+

ht

hv

dopvvmax

maxmaxv σσσ ≤== hI

M

y

yx i doptt

maxminmaxt σσσ ≤== h

IM

y

yx ,

gdje su σv max i σt max maksimalno vlačno i maksimalno tlačno naprezanje, a σv dop i σt dop dopušteno vlačno i dopušteno tlačno naprezanje materijala. Najbolje iskorištenje poprečnog presjeka nosača od krhkog materijala jest kod ispunjenja uvjeta racionalnog oblikovanja presjeka, tj.:

dopt

dopv

t

v

σσ

=hh

.

Idealni moment otpora, iskorištenost presjeka Visina nosača h gotovo je uvijek određena konstrukcijskim razlozima. Poprečni presjek visine h i ploštine površine A ima najveći (idealni) moment otpora, ako je materijal presjeka raspodijeljen u dva tanka pojasa ploštine površine A/2 koji su povezani rebrom zanemarive debljine. Moment otpora takvog idealnog presjeka nosača kod savijanja jest:

y

z

Sh/2

h/2

A/2

A/2

22

id 41

222 hAAhI y ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

hAhI

W yy ⋅=≅

21

2/id

id .

Moment otpora realnog presjeka jest:

idyy WW < .


Omjer momenta otpora nekog presjeka i momenta otpora idealnog presjeka iste visine h naziva se iskorištenost presjeka i označava se s η, tj.:

1id

<=y

y

WW

η .

Vrijednosti η iskorištenja nekih važnijih oblika presjeka dane su u tablici:

Presjek Iskorištenost presjeka η

puni kružni 0,25

puni pravokutni 0,33

I - profil 0,61 ÷ 0,65

U – profil, C - profil 0,59 ÷ 0,61

Z - profil 0,57 ÷ 0,60 Što je rebro tanje i više, bit će u njemu veća posmična naprezanja. Ako tlačna naprezanja djeluju pod kutom od 45o prema osi štapa mogu dovesti do gužvanja ili izvijanja rebra. Zbog toga visina rebra mora biti ograničena, a debljina mora biti veća od neke minimalne vrijednosti.

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA - DEFORMACIJE 1

7.1.6. Deformacije grede kod opterećenja na savijanje a) Diferencijalna jednadžba elastične linije Pri deformiranju štapa opterećenog na savijanje u ravnini Oxz, uzdužna os postaje zakrivljena i naziva se elastična linija (ili progibna linija). Pomaci točaka na osi štapa u smjeru osi x i y, tj. pomaci u i v zanemarivo su mali u odnosu na pomake w (progibi grede) u smjeru osi z. Pri analizi progiba rabi se desni koordinatni sustav, tj. pozitivni smisao kuta definiran je po pravilu desnog vijka → pozitivan smjer kuta α suprotan je od gibanja kazaljke na satu.

B

F1

Al

x

x c

Elastična linija w = w(x)

z

FBFA

F2

α w(x)hq

w

O

y

α

)(xww = - progib grede, jednadžba elastične linije grede,

)(xαα = - kut nagiba tangente na elastičnu liniju grede.

Definicije predznaka za progib w, kut nagiba α i zakrivljenost κ :

My +dαw

O ρ

ds

z

xMy > 0

01>==

sddα

ρκ

w

O

z

x

ds−dαMy < 0

Myρ

01<==

sddα

ρκ

Moment savijanja My > 0 izaziva pozitivnu zakrivljenost, tj. κ > 0, odnosno negativni moment savijanja My < 0 izaziva negativnu zakrivljenost, tj. κ < 0.

Iz Matematike → zakrivljenost krivulje w = w(x) definirana je izrazom:

2/32

2

2

dd1

dd

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±==

xw

xw

κρ

Za male progibe i kutove nagiba vrijedi: sx dd ≈ , te slijede jednakosti:

− α dwdx

xw

ddtan −=≅ αα

2

2

dd

xw

±≈κ , odnosno:


2

2

dd

dd

dd

dd

dd1

xw

xw

xxs−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=≅=

ααρ

.

Slijedi: y

y

IEM

xw

−=2

2

dd

→ diferencijalna jednadžba elastične linije grede.

Integriranjem te jednadžbe mogu se odrediti izrazi za izračunavanje progiba i kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju u bilo kojoj točki grede.

Povezano s izrazima iz Statike, nakon deriviranja slijede također izrazi:

yy MxwIE −=2

2

dd

xdd/ ,

zy

y Qx

MxwEI

x−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dd

dd

dd

2

2

xdd/ ,

zzy

y qx

QxM

xwEI

x=−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dd

dd

dd

dd

2

2

2

2

2

2.

Ovaj je oblik diferencijalne jednadžbe pogodan za statički određene slučajeve kad je poznata zakonitost promjene momenta savijanja duž grede My = My(x).

U slučajevima kad je fleksijska krutost grede konstantna, tj. .const=yIE vrijede izrazi:

α−=xw

dd

→ xw

dd

−=α

y

y

IEM

xw

−=2

2

dd

→ 2

2

dd

xwIEM yy −=

y

zIE

Qxw

−=3

3

dd

→ 3

3

dd

xwIEQ yz −=

y

zIE

qxw

=4

4

dd

→ 4

4

dd

xwIEq yz = .


Integriranjem četvrte jednadžbe mogu se odrediti progibi i kutovi nagiba tangente direktno bez prethodnog izračunavanja reakcija i dijagrama momenata savijanja i poprečnih sila. Dovoljno je poznavati samo zakon opterećenja )(xfqz = i način učvršćenja štapa → metoda početnih parametara, uz uporabu PC.

Najčešći rubni uvjeti za određivanje konstanti kod integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije dani su na slici.

b) Krajnji zglobni oslonaca) Uklještenje c) Slobodni kraj grede

0=w

0=xw

dd

0=w

yEIM

xw o

2

dd

=2

Mo

α

αw

Mo

Fo

,2yEI

Mxw o

2

dd

=yEI

Fxw o

3

dd

=3

PRIMJERI: 1. Konzolni nosač Zadano: F, l, EIy

Naći: kut nagiba tangente i progib u točki A.

F

BAwA

EIy

elast. linijaA1 αA

w(x)l

x

+α+w

xFM y ⋅−= - moment savijanja u presjeku x.

∫⋅

=−= /dd

2

2

yy

y

IExF

IEM

xw → integriranjem slijedi:

a) ∫+= /2d

d1

2

CxFxwIE y →

b) 21

3

6CxCxFwIE y +⋅+=⋅ .

Konstante integracije C1 i C2 određuju se iz rubnih uvjeta učvršćenja konzolnog nosača:

1. Za 2

0dd 2

1lFC

xwlx −=→=→= ,

2. Za 3

03

2lFCwlx =→=→= .

Sređivanjem izraza a) slijedi jednadžba kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

22

12d

d)(lx

EIlF

xwx

yα .


Sređivanjem izraza b) slijedi jednadžba elastične linije nosača (progibna linija):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

33

326

)(lx

lx

EIlFxw

y.

Na slobodnom kraju A deformacije konzolnog nosača su:

:0=x yy EI

lFEI

lFww2

)0(,3

)0(2

A

3

A ==== αα .

2. Nosač na dva oslonca opterećen koncentriranom silom F Zadano: F, l, a, EIy (a < l/2, b = l− a) Naći: kutove nagiba i progibe nosača.

A

l

BEIy

elast. linija

αB

+α

F

wC

C

a b+w

αA E

α(x)

xw(x)

xm

wmaxFB

FA

Reakcije u osloncima nosača su:

lbFF =A ,

laFF =B .

Momenti savijanja u presjecima nosača:

1. za :0 ax ≤≤ xlbFxFM y =⋅= A ,

2. za :lxa ≤≤

xlaFaFxlFM y −⋅=−⋅= )(B .

Nakon uvrštenja u diferencijalne jednadžbe elastične linije i integriranja slijedi:

1. Za dio AC: :0 ax ≤≤

∫⋅−=−=⋅ /dd

2

2

xlbFM

xwIE yy

∫+−= /2d

d1

2

CxlbF

xwIE y (a)

21

3

6CxCx

lbFwIE y +⋅+−=⋅ (b)

2. Za dio CB: :lxa ≤≤

∫⋅+⋅−=−=⋅ /dd

2

2

xlaFaFM

xwIE yy

∫++⋅−= /2d

d3

2

CxlaFxaF

xwIE y (c)

43

32

62CxCx

laFxaFwIE y +⋅++⋅−=⋅ (d)

Konstante integracije određuju se iz rubnih uvjeta učvršćenja nosača:

1. Za 00 =→= wx , te iz (b) slijedi 02 =→ C .

2. Za 0=→= wlx , te iz (d) slijedi izraz: 062 43

22

=+⋅++− ClClaFlaF ,


3. Za )c()a( =→= ax → 3

32

1

2

22C

laFaFCa

lbF ++⋅−=+− ,

4. Za )d()b( =→= ax → 43

43

1

3

626CaC

laFaFaCa

lbF +⋅++−=⋅+− .

Sređivanjem slijede konstante integracije:

)(6

221 bl

lbFC −= , )2(

622

3 allaFC += , 6

3

4aFC −= .

Sređivanjem izraza (a) i (c) slijede jednadžbe kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača:

Za dio AC: :0 ax ≤≤ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

316

)(lx

lb

EIblFxy

α ,

Za dio CB: :lxa ≤≤ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

22

3626

)(lx

lx

la

EIalFxy

α .

Sređivanjem izraza (b) i (d) slijede jednadžbe elastične linije nosača (progibna linija): Za dio AC: :0 ax ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lbax

lx

bl

EIbaF

lx

lb

lxb

EIlFxw

yy

3222

2

3

16

16

)( ,

Za dio CB: :lxa ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lbaxl

lxl

al

EIbaF

lax

lx

lb

lxb

EIlFxw

yy

32322

2

3 )(16

16

)( .

Maksimalni progib nosača je na mjestu mxx = :

1. U slučaju kad je ba > : → 3

22

mblx −

= , lEIblbFwy39

)( 322

max−

= ,

2. U slučaju kad je ba < : → 3

22

mallx −

−= , lEIalaFw

y39)( 322

max−

= ,

Maksimalni kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju su na mjestima A i B oslonaca nosača:


)(6A bl

lEIbaF

y+−=α , )(

6B allEI

baF

y+=α .

U slučaju simetričnog opterećenja nosača: 2/lba == maksimalni kutovi nagiba i progib su:

yEIlF

16

2

BA −=−= αα , yEI

lFww48

3

Emax == .

b) Metoda analogne grede Za jednostavno i brzo određivanje progiba i kuta nagiba tangente u određenoj točki grede rabi se metoda analogne grede, koja se zasniva na analogiji diferencijalnih jednadžbi koje povezuju qz, Qz i My i diferencijalnih jednadžbi koje povezuju progib w, kut nagiba tangente α i My/EIy:

zy q

xM

−=2

2

dd

i y

y

IEM

xw

−=2dd2

,

zy Q

xM

=d

d i α−=

xw

dd

,

zz q

xQ

−=d

d i

y

y

IEM

x==

ddα

ρ1 .

Postoji analogija veličina:

wM y → , y

yz IE

Mq → i α−→zQ .

Uz osiguranje analognih rubnih uvjeta, bit će i rješenja tih diferencijalnih jednadžbi analogna. Da bi se odredili pomaci stvarne grede, treba stvarnu gredu zamijeniti analognom gredom, tj. gredom koja će imati analogne rubne uvjete.

Analogna (fiktivna, konjugirana) greda opterećena je fiktivnim kontinuiranim

opterećenjem y

yz EI

Mq =* koje odgovara momentu savijanja stvarne grede

podijeljenom s krutosti na savijanje.

Poprečna sila analogne grede Q* odgovarat će negativnom kutu nagiba −α, a moment savijanja M* analogne grede odgovarat će progibu w stvarne grede.

Vrijede izrazi: *** ,, iii

y

yz MwQ

IEM

q =−== α .


Analogni rubni uvjeti za osnovne slučajeve učvršćenja stvarne grede i odgovarajuće analogne grede dani su u tablici:

A

Stvarna greda Analogna greda

αA

AwA = 0αA ≠ 0

wA

A

αA

αA ≠ 0wA ≠ 0

Elastična linijaA1

αA = 0wA = 0

Elastična linija

Elastična linija

A αA

Elastična linijawA = 0αA ≠ 0

A

wA

αA, l αA, dA1

αA, l ≠ αA, d ≠ 0wA ≠ 0

Nagib tangente je različit lijevo i desno od zgloba A.

A*

FA*

QA* ≠ 0

MA* = 0

A* QA* ≠ 0

MA* ≠ 0FA*MA*

QA* = 0

MA* = 0A*

A* QA* ≠ 0

MA* = 0

MA* ≠ 0

A*(QA*)l ≠ (QA*)d ≠ 0

FA*Q* - dijagram ima skok u točki A*.

Pri primjeni metode analogne grede potrebno je poznavati površinu i položaj težišta ispod pojedinog dijela momentnog dijagrama.

Najčešći oblici površina u zadacima analogne grede su:

a) Pravokutnik b) Trokut

S h

b/2 b/2F*=b⋅h

Sh

b/32b/3

F*=b⋅h/2

h

F*=b⋅h/3

S

b/4

c) Parabola 2.stup.

3b/4

tjeme h S

3b/8 F*=(2/3)b⋅h5b/8

d) Parabola 2.stup.

Primjer 1. Konzolni nosač Primjer 2. Ravni nosač Postupak rješavanja zadatka je sljedeći: 1. Odrediti i skicirati momentni dijagram stvarne grede (nosača). 2. Ispod stvarne grede skicirati analognu gredu koja je opterećena kontinuiranim opterećenjem qz*=My/EIy. 3. Odrediti moment savijanja M* i poprečnu silu Q* analogne grede u točkama u kojima se traži progib w i kut α nagiba tangente stvarne grede.


4. Prema analogiji su deformacije u točki „i“ stvarne grede: wi = Mi* i α =−Qi*.

U tablici su navedene apsolutne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente za karakteristične presjeke nekih nosača:

F

A

l

B wB

EIy

elast. linijaB1

αB

yIElFw

3

3

=B , yIE

lF2

2

=Bα .

A

l

B wB

EIy

elast. linijaB1αB

M

yIElw

2

2M=B ,

yIElM

=Bα .

q

A

l

B wB

EIy

elast. linija

B1

αB

yIElqw

8

4

=B , yIE

lq6

3

=Bα .

A

l/2

BEIy elast. linija

αB

MαA wmax

xm

wo

l/2

C

C1

yIEl

3M

=Aα , yIE

l6M

=Bα ,

yIElw

16

2M=O ,

yIElw

39

2M=max za 3/llxm −= .

A

l/2B

EIy elast. linija

αBαA

F

wC

C1

C

l/2

yIElF

16

2

== BA αα , yIE

lFw48

3

=C .

A

l/2B

EIy

αBαA wC

C1

C

l/2

q

elast. linija

yIElq

24

3

== BA αα , yIE

lqw384

5 4

=C .

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA – KOSO SAVIJANJE 1

7.2. KOSO SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA

7.2.1. Naprezanje Koso savijanje nastaje kad moment savijanja vanjskih sila ne djeluje oko glavne osi tromosti poprečnog presjeka štapa. Na slici je prikazano nekoliko greda koje su opterećene na koso savijanje. Koso savijanje je istovremeno savijanje u dvije međusobno okomite ravnine koje čine uzdužna os x i po jedna od glavnih osi presjeka grede.

a)

z

y

x

FS

b)

c) F

y x

zF1 F2

F3

12

l

My

My = F⋅l

z =2

y =1M

S

l

Problem analize naprezanja kod kosog savijanja rješava se rastavljanjem

opterećenja u dvije ravnine: Oxy (ili Ox1) i Oxz (ili Ox2) gdje se osi y (1) i z (2) podudaraju s glavnim osima tromosti poprečnog presjeka grede, a os x je uzdužna os grede. Momente savijanja My i Mz u svakoj ravnini određuje se kao kod običnog savijanja.

x

a)

zM

l

y Mz

b)

My

y

zz

Mz

yS

S

z

c) d)

neutralna osM

os momenta

++

−−

S

−

+yα β

σmax

=

==

σ´x σ´´x

Myα S

zI

M

y

yx =′σ y

IM

z

zx −=′′σ xxx σσσ ′′+′=

+ =

σmin

zyN N N

Normalno naprezanje u točki N(y, z):


Komponente momenata oko glavnih osi tromosti presjeka ukupnog momenta savijanja M su:

αα sin,cos MMMM zy == ,

gdje je α kut između vektora momenta savijanja Mv

i glavne osi y (1) poprečnog presjeka.

Vrijednost normalnog naprezanja σx u točki N(y, z) [ili N(Y, Z)] poprečnog presjeka određuje se primjenom principa superpozicije, tj. zbrajanjem komponenti naprezanja od svake komponente momenta savijanja:

NNN)( yI

MzI

M

z

z

y

yx −=σ ili N

2

2N

1

1N)( Y

IMZ

IM

x −=σ ,

gdje su 1II y = i 2II z = → glavni momenti tromosti poprečnog presjeka grede.

Jednadžba neutralne osi poprečnog presjeka, tj. pravca na kojem je normalno naprezanje σx jednako nuli jest:

0sincos=− y

IMz

IM

zy

αα ⇒ αβ tantanz

y

II

yz

== ,

gdje je β kut koji neutralna os čini s glavnom osi tromosti y (1). Kad je zy II > , odnosno 21 II > , onda je i β > α. S jedne strane neutralne osi naprezanja su pozitivna, a s druge negativna. NAPOMENA: Neutralna os poprečnog presjeka štapa i vektor momenta savijanja nalaze se uvijek u istom kvadrantu! Prostorna skica naprezanja za pravokutni presjek dana je na slici.

S

σx < 0

σx > 0

neutralna ospresjeka

y

z

y

z

N

σmin

σmaxβ


7.2.2. Deformacije grede kod kosog savijanja

Kako se kod kosog savijanja radi o istovremenom savijanju u dvije ravnine Oxy i Oxz, ukupni pomak δ ima dvije komponente pomaka: v u pravcu osi y i w u pravcu osi z. Iznos ukupnog pomaka δ određuje se vektorskim zbrojem komponenti v i w:, npr. u presjeku B grede jest:

2B

2BB wv +=δ ,

a kut γ koji ukupni pomak δB čini s osi y jest:

B

Btanvw

=γ .

Ukupni pomak δ okomit je na neutralnu os presjeka grede, tj. vrijedi: o90=+ βγ .

F

x

y

zα

M

My

Mz

l BA

δB

γy

B

zB1

wB

vBβn

n

Općenito vrijedi pravilo: Ako pri kosom savijanju sve vanjske sile i spregovi leže u jednoj ravnini,

elastična linija jest ravninska krivulja. Međutim, ravnina elastične linije ne podudara se s ravninom opterećenja, nego je okomita na neutralnu površinu, tj. pomaci su okomiti na neutralnu os.

Ako vanjsko opterećenje ne leži u jednoj ravnini, elastična linija jest prostorna krivulja.

Primjer iz Vježbenice!

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA – DEBELI JAKO ZAKRIVLJENI ŠTAP 1

7.3. SAVIJANJE DEBELOG JAKO ZAKRIVLJENOG ŠTAPA Izrazi za ravni štap mogu se rabiti i za slabo zakrivljene štapove kod kojih

je težišni polumjer zakrivljenosti značajno veći od visine poprečnog presjeka štapa, tj. kod hr >>T , odnosno ( 105/T ÷≥hr ). U slučaju kad je omjer

5/T <hr radi se o debelom jako zakrivljenom štapu, npr. kuka dizalice, tijelo prese i dr.

Pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: Analiza naprezanja u debelim zakrivljenim štapovima provodi se uz sljedeće pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: 1. poprečni presjeci ostaju tijekom deformiranja ravni i okomiti na

deformiranu težišnu liniju štapa, 2. u štapu vlada približno jednoosno stanje naprezanja. Izvedeni izrazi vrijedit će uz sljedeća ograničenja: 1. poprečni presjeci štapa, a time i čitav štap, imaju jednu ravninu simetrije u kojoj leži težišna linija štapa koja spaja težišta svih poprečnih presjeka štapa; 2. štap je opterećen na čisto savijanje, tj. sve komponente unutarnjih sila jednake su nuli osim momenta savijanja.


rr1r2 rn

rT rn

rT

z z edr

dzz

σϕ

rnrn rT

z

r

zy

dϕ+dα

dα/2

dϕ

e

BB1C1

E1 F1

A1D1

C

D A

FE

BC

F

AD

E

N=0

dA

My

MM

OO

A

T

z

Kako je: ϕdFE r= , αϕ ddFE 11 zr += bit će:

ϕα

ϕαε

dd

dd n

rrr

rz −

==ϕ .

Uporabljene oznake su: r1 i r2 – unutarnji i vanjski polumjeri štapa, rT – polumjer težišne linije, rn – polumjer neutralne linije, r i ϕ – polarne koordinate, z – udaljenost elementa od neutralne plohe.

Geometrijska analiza: ABCD- nedeformirani oblik elementa, A1B1C1D1 – deformirani oblik.

Duljinska deformacija vlakna EF jest:

FEFEFE 11 −

=ϕε .

Zaključuje se da su duljinske deformacije raspodijeljene po visini presjeka po zakonu hiperbole. Primjena Hookeova zakona: Uz pretpostavku da u štapu vlada jednoosno stanje naprezanja jest:

ϕαεσ

ddn

rrrEE −

=⋅= ϕϕ . (a)

Primjena uvjeta ravnoteže: Uvjeti ravnoteže elementa na slici glase:

,0d0.1 === ∫∑ NAFA

x ϕσ (b)

.d)(0.2 ynA

y MArrM =−= ∫∑ ϕσ (c)

Uvrštavanjem izraza (a) u (b) nakon sređivanja slijedi:

0d1dd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫ A

rrE

A

n

ϕα .


Veličina ϕα

ddE je konstantna za svaki presjek te slijedi: ∫∫ =

AAn r

ArA dd .

Izraz za određivanje polumjera neutralne površine štapa je:

∫=

A

n

rA

Ar d , odnosno 1J

Arn = ,

gdje je: ∫=A r

AJ d1 → geometrijska značajka štapa.

Uvrštavanjem izraza (a) u (c) nakon sređivanja slijedi:

yA

n MrArrE =−∫

d)(dd 2

ϕα

.

Integral J u gornjem izrazu može se preurediti u oblik:

ArrrrArrA

rrrrrrr

rArrJ

AAAAdd)(dd)( n

nn

2nnn

22

n ∫∫∫∫−

−−=+⋅−⋅−

=−= ,

a sređivanjem slijedi:

yAA

n SAeArArArArJ =⋅=⋅−⋅=−= ∫∫ nTdd ,

gdje je nT rre −= udaljenost neutralne osi od težišne osi, a Sy statički moment poprečnog presjeka oko neutralne osi y. Sređivanjem gornjih izraza slijedi izraz za raspodjelu naprezanja po visini presjeka štapa:

,dd

yy MSE =ϕα

odnosno y

y

SEM

=ϕα

dd

, te slijedi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

rr

SM

y

y n1ϕσ (zakon hiperbole).


MM

+

−

My/Sy

rnrT

e

σmax

O

hiperbola

Raspodjela naprezanja u debelom

zakrivljenom štapu

y y

y y

rr

r r Racionalni presjeci štapa

Ako je presjek simetričan prema osi y, maksimalno naprezanje djeluje na unutarnjoj strani štapa. Pri oblikovanju štapa treba nastojati da se težište približi unutarnjoj strani presjeka, tako da naprezanja na obje strane budu po mogućnosti jednaka. Na slici su pokazani neki povoljni (racionalni) oblici poprečnog presjeka štapa.

Ako djeluje i uzdužna (aksijalna) sila u presjeku debelog jako zakrivljenog štapa normalno naprezanje jest:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

rr

SM

AN

y

y n1ϕσ .

U praksi se kod određivanja momenta savijanja u presjeku štapa može računati s momentom savijanja oko težišne osi poprečnog presjeka štapa, tj.

TMM y ≈ . Primjeri određivanja polumjera neutralne površine kod različitih poprečnih

presjeka štapa:

a) Pravokutni presjek

z

h T

b

r

rT

r2

r1

zTrn

dr

r

dA

1

2

)(1 lndd 2

1rrb

rrb

rAJ

r

rA=== ∫∫ →

1

2lnrr

hrn = .

rbA dd ⋅= , T1T zrr += , hbA ⋅= ,

hrr += 12 .


b) Sastavljeni pravokutni presjek

z

T

b1

rT

b3

h2

h1

r

b2

h3

r1

r2

rn

r3

r4

zT

Općenito: ∑∫=

+=++==n

i i

ii

A rrb

rrb

rrb

rAJ

1

1

2

32

1

21

)(1 ln...lnlnd

∑=

⋅=+⋅+⋅=n

iii hbhbhbA

12211 ... →

∑

∑

=

+

=⋅

== n

i i

ii

n

iii

rrb

hb

JAr

1

1

1

1n

ln.

Za presjek na slici polumjer neutralne linije jest:

3

43

2

32

1

21

332211

lnlnlnrrb

rrb

rrb

hbhbhbrn++

⋅+⋅+⋅= .

Primjer: usporedba naprezanja kod ravnog i debelog zakrivljenog štapa, ako je zadano: b=5 cm, h=6 cm, My=300 kN⋅cm: a) ravni štap ( ∞=Tr ), b) cm30T =r , c) cm9T =r , d) cm6T =r

a) ravni štap: 0/ T =rh

.cm306

MPa,100

32

max

==

==

hbW

WM

y

y

yσ

y

r

T

z

b

h

nn

rn

rT

r2

r1

b) 5/130/6/ T ==rh , nT rre −= , eAS y ⋅= , cm271 =r , cm332 =r .

cm8997,29

2733ln

6

lnd

1

2

)(

====∫ r

rh

rA

Ar

A

n , cm1003,0=e , 3cm008,3=yS ,

MPa 11,107)( 1 −=rϕσ , MPa 697,93)( 2 =rϕσ . c) 3/29/6/ T ==rh , cm61 =r , cm122 =r .

cm6562,8=nr , cm3438,0=e , 3cm3149,10=yS , MPa 754,128)( 1 −=rϕσ , MPa 0437,81)( 2 =rϕσ .

d) 16/6/ T ==rh , cm31 =r , cm92 =r . cm4614,5=nr , cm5386,0=e , 3cm1569,16=yS ,

MPa 346,152)( 1 −=rϕσ , MPa 004,73)( 2 =rϕσ .

nT rre −= eAS y ⋅=→


Dijagrami raspodjele naprezanja u debelim štapovima različite zakrivljenosti:

rnrTh/2

h/2

−100 MPa

100 MPa

a) h/rT=0 b) h/rT=1/5 c) h/rT=2/3

−

+

rn

−107,11 MPa

93,7 MPa

d) h/rT=1

−128,75 MPa −152,35 MPa

81,04 MPa 73 MPa

rn

e ≈0,1 cme =0,3438 cm e =0,5386 cm

σϕ

+ + +

− − −

Primjer: Vježbenica

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA – STATIČKI NEODREĐENI ZADACI 1

7.4. STATIČKI NEODREĐENI ZADACI SAVIJANJA RAVNOG ŠTAPA Uz uvjete ravnoteže treba postaviti onoliko uvjeta deformiranja koliko je puta zadatak statički neodređen. Primjenjuju se dva osnovna načina rješavanja zadataka: 1. “metoda sila”, 2. jednadžba triju momenata (Clapeyronova jednadžba) za kontinuirane

ravne nosače na više oslonaca.

1. “Metoda sila” Postupak rješavanja statički neodređenih zadataka je sljedeći: • odrediti osnovni sustav (statički određen) uklanjanjem prekobrojnih veza, • umjesto uklonjenih prekobrojnih veza stavljaju se dodatne “sile” (sile za

linearne pomake, odnosno momente za kutne pomake), • odrediti vrijednosti dodatnih sila iz uvjeta da je deformacija na mjestu

njihovog djelovanja jednaka nuli. Primjer: Ravni nosač ukliješten je na jednom kraju i oslonjen na pomični oslonac u B. Zadano: M, l, EIy Naći: reakcije veza u A i B, skicirati Qz - i My – dijagrame, te skicirati elastičnu liniju nosača.

a) uklonjen je oslonac u B

w”B

elast. linija

A

lB

EIy M

zMA

FA

FB

A

B

EIy

zMA

FA

a)

l

w´BM

Qz - dijagram

M

+

−

My - dijagram

X=FB

FAFB

+

MA

točka infleksije

A Belastična linija

1. Uvjeti ravnoteže nosača: 1. 00 BA =−=Σ FFFz ,

2. 00 BAA =⋅−+=Σ lFMM M .

Uporabljene su oznake, slika a): w'B – progib u B od opterećenja M, w''B – progib u B od nepoznate sile X.

2. Uvjet deformiranja nosača:

0"' BBB =+= www ,

gdje su progibi nosača na mjestu B:

yEIlw

2'

2

B⋅

−=M

, yEI

lXw3

"3

B⋅

= .

Sređivanjem slijedi:

B23 F

lX ==

M,

lFF M

23

BA == , 2AM

=M .


b) uklonjeno je uklještenje u A

B A

elast. linija

b)

A l B

EIy M X=MA

FA FB

α′′A

α′A

Uporabljene su oznake, slika b): α 'A – kut nagiba tangente na elastičnu liniju u A od opterećenja vanjskim momentom M, α ''A – kut nagiba tangente na elastičnu liniju u A od nepoznate sile X.

1. Jednadžbe ravnoteže ostaju nepromijenjene, tj. iste kao u slučaju a).

2. Uvjet deformiranja nosača:

0"' AAA =+= ααα , gdje su kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju nosača na mjestu A:

yEIl

6'A

⋅−=

Mα , yEIlX

3"A

⋅=α .

Sređivanjem slijedi nepoznata sila na mjestu A: A2MX ==

M,

odnosno iz uvjeta ravnoteže: l

FF M23

BA == .

Dijagrami unutarnjih sila i elastična linija nosača jednaki su kao u načinu a).

2. Jednadžba triju momenata (Clapeyronova jednadžba) Postupak rješavanja za ravne nosače na više oslonaca → kontinuirani nosači, npr. na slici:

B

F1

A

l1 aFBFA

F2q

l2 l3FC FD

C D EM

F3

• na temelju metode izjednačavanja kutnih deformacija na mjestu srednjeg oslonca za dva susjedna raspona nosača (statički određeni nosači): od nepoznatih unutarnjih momenata savijanja i od vanjskog opterećenja.

a) kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju srednjeg oslonca od unutarnjih momenata savijanja:

L

lL

S

EIyML

F ″L

α ″L

F ″S,L

α ″S,L

lD

D

EIyMS

α ″S,D

F ″D

α ″D

MDMS

F ″S,D

L – lijevi oslonac, S – srednji oslonac,D – desni oslonac. lL – lijevi raspon, lD –desni raspon.


yy EIlM

EIlM

36" LSLL

LS, +=α , yy EI

lMEI

lM63

" DDDSDS, −−=α ,

b) kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju srednjeg oslonca od vanjskog opterećenja na lijevom i desnom raponu nosača:

F1 q

L

lL

S

EIy

F ′L

α ′S,L

lD

D

EIy

F ′D

α ′D F2 F3 F4

F ′S,DF ′S,L

α ′S,D

My - dijagrami+ +

S∗

lD

bD

F ∗S,DF ∗

S,L

D∗

lL

(F ∗)L aL

L∗ S∗

(qz∗)L

(qz∗)D

(F ∗)D

yEIF LS

LS,)(

∗

=′α , yEI

F DSDS

,)(∗

−=′α ,

gdje su reakcije srednjeg oslonca S* analognih greda lijevog i desnog raspona nosača, kod opterećenja momentima savijanja od vanjskog opterećenja:

L

LLLS

)(,l

aFF ⋅=

∗∗ ,

D

DDDS

)(,l

bFF ⋅=

∗∗ .

Uvjet deformacija za srednji oslonac S nosača jest:

DSLS )()( αα = ⇒ DSDSLSLS )()()()( αααα ′′+′=′′+′ .

Uvrštenjem slijedi:

yyyyyyy

EIEI

lMEI

lMEIF

EIlM

EIlM

EIF 6/

63,

36, DDDSDSLSLLLS ⋅−−−=++

∗∗

Sređivanjem slijedi jednadžba triju momenata (Clapeyronova jednadžba): ∗∗∗ −=+−=⋅+++⋅ SDSLSDDDLSLL 6),,(6)(2 FFFlMllMlM ,

koja je dopunska jednadžba za srednji oslonac kontinuiranog ravnog nosača.

Postavlja se toliko dopunskih jednadžbi koliko ima unutarnjih (srednjih) oslonaca kod kontinuiranog nosača na više oslonaca.

Reakcije u svakom osloncu kontinuiranog ravnog nosača određuju se zbrajanjem komponenti od vanjskog opterećenja i od unutarnjih momenata savijanja na tom osloncu:


( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

−+′+′=′′+′=

D

DS

L

SLDSLSSSS ,,

lMM

lMMFFFFF .

Ako je nosač na jednom kraju ukliješten, uvjet deformacije na mjestu uklještenja je 0S =α , uz to da lijevi (odnosno desni) raspon nosača ne postoji:

S

lD

DEIy

MSFS

F

lL=0

yyyy

EIEIF

EIlM

EIlM 6/0,

36DSDSDD ⋅=++

∗

→ slijedi:

DSDDDS ,62 ∗−=⋅+⋅ FlMlM , D

DSDSS ,

lMMFF +−

+′= .

S

lL

LEIy

MSFSM

F

lD=0

yyyy

EIEIF

EIlM

EIlM 6/0,

36LSLSLL ⋅=−−−

∗

→ slijedi:

LSLSLL ,62 ∗−=⋅+⋅ FlMlM , L

SLLSS ,

lMMFF −

+′= .

Primjer:

8. ENERGIJA ELASTIČNOG DEFORMIRANJA 1

8. ENERGIJA ELASTIČNOG DEFORMIRANJA 8.1. RAD VANJSKIH SILA, SNAGA, ENERGIJA DEFORMIRANJA U mehanici krutih tijela definirani su pojmovi rada, snage, kinetičke i potencijalne energije. a) Rad sile F

v koja djeluje na česticu m koja se giba po nekoj putanji p, na putu

od točke A do B može se izraziti na sljedeći način:

rv

A

M m

x

z

y

B

Arv

rvdBrv α

pO

F

Elementarni rad dW sile Fv

na malom pomaku rvd definiran je sa:

αcosddd ⋅⋅=⋅= rFrFW vv.

Npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz vrijedi: kFjFiFF zyx

vvvv++= , kzjyixr

vvvv ++= , kzjyixrvvvv dddd ++= ,

zFyFxFrFW zyx ddddd ⋅+⋅+⋅=⋅= vv.

Ukupan rad na putu čestice od A do B jest: ∫ ⋅=B

AdrFW vv

.

Snaga P jest brzina vršenja rada, odnosno derivacija rada po vremenu:

vFtrF

tWP vvvv

⋅=⋅==dd

dd

.

b) Rad sprega M kod rotacije tijela oko osi Δ jest:

ω

ΔM

aF

F

Kod zakreta tijela oko osi Δ za mali kut dϕ, rad sprega aFM ⋅= jest: ϕdd ⋅= MW .

Ukupan rad kod zakreta tijela od ϕ1 do ϕ2 bit će:

∫=2

1

ϕ

ϕ

ϕdMW .

Snaga jest: ωϕ⋅=== M

tM

tWP

dd

dd

.

Ako os oko koje djeluje spreg Mv

i vektor kutne brzine ωv nisu kolinearni, snaga P određena je skalarnim produktom:

ωvv

⋅= MP .

c) Rad sile F u opruzi pri deformiranju opruge za iznos ∆l jest: Sila u opruzi konstante c u ovisnosti o pomaku slobodnog kraja x je:

xcF ⋅= ,


gdje je c → karakteristika opruge u N/m.

x

F

x dx

WdW=F dx

xcF ⋅=

lo Δl

A

B

cO

c

Elementarni rad sile opruge F dan je izrazom:

xxcxFW ddd =⋅= .

Ukupni rad te sile na produljenju opruge za Δl jest:

2d

2

0

lcxxcWl Δ

== ∫Δ

.

Taj je rad prikazan iscrtanom površinom trokuta OAB na slici. Ako produljenje opruge ne počinje iz nenapetog položaja x = 0, nego iz položaja x1 do položaja x2, izvršeni rad jest:

x

F

x1

W12

A

B

O x2−x1

C

D

x2

c(x2+x1)/2

( ) ( )12122

122 22

d2

1

xxxxcxxcxxcWx

x−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−== ∫ ,

te predstavlja iscrtanu površinu trapeza ABCD. Izvršeni rad sile opruge akumulira se u opruzi u obliku potencijalne energije.

Rad vanjskih sila nFFF

vvv...,, 21 na deformabilnom tijelu troši se deformiranje

tijela, a pritom vanjske sile vrše rad We. Osim tog tijelo od okoliša prima ili predaje okolišu toplinu Q.

Rad vanjskih sila i dovedena toplina troše se na povećanje unutarnje energije tijela U i na povećanje njegove kinetičke energije Ek.

F2 Fi

FnF1

FA FB

AB

Q

Prema prvom zakonu termodinamike vrijedi:

ke EUQW Δ+=+ .

Pri polaganom povećanju opterećenja prirast kinetičke energije može se zanemariti, kao i izmjena topline s okolišem, te vrijedi:

UW ≅e ,

tj. čitav rad vanjskih sila troši se na povećanje unutarnje energije, koja se tada naziva i energijom deformiranja. Kad je tijelo elastično, energija deformiranja može se ponovno pretvoriti u mehanički rad.

Dalje se razmatraju samo linearno-elastična tijela, što znači da sile linearno rastu s porastom pomaka njihovih hvatišta, odnosno da naprezanja


linearno ovise o deformacijama, kao i da se tijela nakon rasterećenja potpuno vraćaju u prvobitni oblik i dimenzije.

8.2. ENERGIJA DEFORMIRANJA I GUSTOĆA ENERGIJE DEFORMIRANJA KOD OPĆEG STANJA NAPREZANJA

Primjenjuje se metoda superpozicije, tj. posebno se razmatra energija deformiranja svake komponente naprezanja, a ukupnu energiju deformiranja odredit će se zbrajanjem na odgovarajući način pojedinih dijelova energije. Razmatranje se provodi na elementu tijela obujma zyxV dddd = . a) element opterećen normalnom komponentom naprezanja σx

dxdz

dys

σx

σx

nakon deformiranja

dV

a) linearno-elastično tijelo

σx

εx

Uo

Uo*= Uoσ

ε

b) nelinearno-elastično tijelo

σx

εx

Uo

Uo*< Uoσ

ε

Elementarni rad vanjskih sila je:

UsFWs

x ddd e =⋅= ∫)(

.

Sila Fx raste od 0 do svoje konačne vrijednosti: zyF xx dd⋅= σ .

Konačni pomak s hvatišta sila Fx jest: xxsxs xxx dd)d(ddd ⋅==⇒= εεε .

Slijedi izraz za rad vanjskih sila: UVsFW xxx dd21

21d e ==⋅= εσ .

Izraz za energiju deformiranja tijela može se izvesti i na sljedeći način, uz primjenu Hookeovog zakona za jednoosno stanje naprezanja, tj. xx E εσ ⋅= :

VVEVExzysFU xxx

xxxs

xx

xx

d21ddddddddd

2

0)( 0εσ

2ε

εεεσ ===⋅== ∫∫ ∫εε

.

Energija deformiranja po jedinici obujma tijela jest gustoća energije deformiranja Uo.

Za element opterećen jednoosnim normalnim naprezanjem σx, gustoća energije deformiranja dana je izrazom:


xxVUU εσ

21

dd

o == .

b) element opterećen posmičnim komponentama naprezanja τx z = τz x

dxdz

dys

τx z

nakon deformiranja

dV τz x

γz x

Elementarni rad vanjskih sila je:

( ) UzxyW xzxz ddddd e =⋅⋅= )(21 γτ .

Gustoća energije deformiranja dana je izrazom:

xzxzVUU γτ

21

dd

o == .

c) opći slučaj opterećenja elementa Naprezanje σx vrši rad samo na deformaciji εx, naprezanje σy vrši rad na deformaciji εy, naprezanje τz x na deformaciji γz x, itd.

Radovi se mogu nezavisno računati, pa je u općem slučaju naprezanja ukupni rad unutarnjih sila dan izrazom:

x

y

z

σxσy

σz

τy z

τx z

τx yτy x

τz y

τz x

dydx

dz

( ) VUW xzxzyyxx ddd e γτεσεσ +++== ...21

,

a gustoća energije deformiranja jest:

( )xzxzzyzyyxyxzzyyxxU γτγτγτεσεσεσ +++++=21

o

U slučaju glavnih naprezanja i glavnih deformacija gustoća deformiranja jest:

( ) 3332211 /,

21 mJo εσεσεσ ++=U

Komponente naprezanja i deformacija povezane su Hookeovim zakonom, te se energija deformiranja može izraziti samo kao funkcija naprezanja, odnosno deformacija. Slijedi:

( ) ( ) ( )222222

21

21

xzzyyxxzzyyxzyx GEEU τττσσσσσσνσσσ +++++−++=o , J/m3.

Gustoća energija ne ovisi o izboru koordinatnog sustava, pa u slučaju podudaranja osi s pravcima glavnih naprezanja slijedi jednostavniji oblik:

( )[ ]13322123

22

21o 2

21 σσσσσσνσσσ ++−++=E

U , J/m3.


8.3. DILATACIJSKA I DISTORZIJSKA ENERGIJA Deformiranje okoliša svake točke može se rastaviti na istovremenu promjenu oblika (distorzija) i promjenu obujma (dilatacija). Energiju deformiranja može se rastaviti na energiju promjene obujma ili dilatacijsku (hidrostatičku) energiju, te na energiju promjene oblika ili distorzijsku energiju. Obujamna deformacija Θ izražava promjenu obujma i vezana je uz duljinske deformacije izrazom:

321 εεεεεεΘ ++=++≈ zyx .

Ako uvrstimo Hookeov zakon slijedi:

KEEo

o321)21(3)(21 σσνσσσν

=−

=++−

=Θ ,

gdje su: K – obujamni modul elastičnosti i σo – srednje normalno naprezanje (“hidrostatički tlak”) definirani izrazima:

)21(3 ν−=

EK , 33321

oσσσσσσ

σ ++=

++= zyx

.

Svaki se tenzor naprezanja može rastaviti u dva dijela: sferni i devijatorski. Prvi izaziva samo dilataciju ili promjenu obujma, a drugi samo distorziju ili promjenu oblika. U matričnom zapisu tenzor naprezanja jest:

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+=

)()(

)(

000000

o

o

o

o

o

oo

σστττσστττσσ

σσ

σσσ

zyzxz

zyyxy

zxyxx

jijiji s .

x

y

z

σx

σy

σz

τy z

τy x

τz yτz x

dydx

dz

τx z

τx y x

y

z

σo

σo

σo

dydx

dz

x

y

z

σy−σo

τy z

τy x

τz yτz x

dydx

dz

τx z

τx y

+

σz−σo

σx−σo

ili s glavnim naprezanjima:

2

σ1

σ2

σo

σo

σo

σ2−σo

+

σ3−σo

σ1−σo

3

1

σ3

1

2

3 3

2

1


Ako uvrstimo komponente sfernog tenzora naprezanja oσσσσ === 321 , gustoća dilatacijske (hidrostatičke) energije Uo h dana je izrazom:

KEU

22)21(3 2

o2oho

σσν=

−= ⇒ 2

321ho )(6

21 σσσν++

−=

EU , J/m3.

Gustoću distorzijske energije deformiranja Uo d možemo dobiti tako da u izraz za Uo uvrstimo komponente devijatorskog tenzora naprezanja ili tako da od ukupne gustoće energije deformiranja oduzmemo gustoću dilatacijske energije:

dohoo UUU += → hoodo UUU −= .

Slijedi izraz za gustoću distorzijske energije deformiranja:

( )[ ] 2321133221

23

22

21do )(

6212

21 σσσνσσσσσσνσσσ ++

−−++−++=

EEU ,

koji nakon sređivanja ima oblik:

[ ]213

232

221do )()()(

61 σσσσσσν

−+−+−+

=E

U , J/m3

odnosno ⇒ ( )213

223

212do 3

1 τττ ++=G

U , J/m3.

Maksimalna posmična naprezanja kod prostornog stanja naprezanja tijela dana su izrazima:

2,

2,

231

1332

2321

12σστσστσστ −

=−

=−

= .

Primjer.

9. TEORIJE ČVRSTOĆE 1

9. TEORIJE ČVRSTOĆE 9.0. Uvodne napomene

Svojstva čvrstoće i elastičnosti tehničkih materijala određuju se pokusima rastezanja, sabijanja ili čistog smicanja. a) Jednoosno stanje naprezanja

Kod opterećenja štapa: - uzdužnom silom na rastezanje ili sabijanje (na vlak ili tlak), na čisto savijanje: ⇒ naprezanje maxxσ ,

- na uvijanje, na smicanje ⇒ posmično naprezanje maxτ . Provjera čvrstoće ⇒ maksimalno naprezanje u štapu uspoređuje se s kritičnim naprezanjem određenim na epruveti pokusom rastezanja, sabijanja ili smica-nja. Uvjet čvrstoće glasi:

dopmax σσ ≤x , odnosno dopmax ττ ≤ .

Dopušteno naprezanje materijala, uz faktor sigurnosti S (S = 1,2 ÷ 10) jest: - za krhke materijale:

SR /mdop =σ ,

gdje je Rm – vlačna ili tlačna čvrstoća, odnosno

S/Mdop ττ = ,

gdje je τM – lomna smična čvrstoća materijala, - za elastoplastične (duktilne, rastezljive) materijale:

SR /edop =σ ,

gdje je Re – naprezanje tečenja, a dopušteno posmično naprezanje:

dopdop )65,05,0( στ ÷= .

b) Višeosno stanje naprezanja Kod dvoosnog i troosnog stanja naprezanja ⇒ opasno stanje u materijalu

elementa ovisi o vrijednostima glavnih naprezanja 321 i, σσσ , odnosno o nji-hovoj kombinaciji 321 :: σσσ ⇒ teško (skupo) je ispitati sve moguće kombina-cije kod složenog opterećenja elementa konstrukcije.

Teorije čvrstoće (kriteriji loma) nastoje predvidjeti pojavu kritičnog stanja (lom, odnosno tečenje) materijala na temelju podataka dobivenih pri jednoos-


nom rastezanju epruvete na kidalici. U tehničkoj praksi postoji više teorija čvrstoće. Nijedna nije sveobuhvatna, tj. nije upotrebljiva za sve vrste materija-la. Ekvivalentno naprezanje ekvσ je takvo jednoosno naprezanje koje izaziva is-to stanje kao složeno stanje naprezanja u elementu konstrukcije.

Uvjet čvrstoće kod svih teorija čvrstoće glasi: dopekv σσ ≤ .

UVJETČVRSTOĆE:

dopekv σσ ≤

Ri

Ri

F

F

F

p

Mt

Ri = Rm ili Re ili Rp0,2

TEORIJAČVRSTOĆE

F

Mtp

ISPITIVANJEEPRUVETE

σekv

σekv

τmax σx

σy

σdop = Ri/S

σ1


U slučaju troosnog stanja naprezanja uvjet čvrstoće prikazuje se površi-nom čvrstoće u koordinatnom sustavu 0σ1σ2σ3.

U slučaju dvoosnog stanja naprezanja uvjeti čvrstoće prikazuju se pomoću krivulja čvrstoće u koordinatnom sustavu 0σ1σ2.

9.1. Teorija najvećeg normalnog naprezanja (teorija σmax) Opasnost od loma nastaje kad najveće normalno naprezanje postigne kritič-

nu vrijednost (Galilei,1638.; Rankine, 1861.).

a) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak glasi:

( ) dop321maxekv ,,max σσσσσσ ≤== .

Površina čvrstoće je površina kocke bridova duljine 2σdop, slika a).

Ako materijal ima različitu vlačnu i tlačnu čvrstoću uvjet čvrstoće je:

dopv1ekv σσσ ≤= (za 01 >σ )

i dopt3ekv σσσ ≤= (za 03 <σ ).

b) Za dvoosno stanje naprezanja ( 0=3σ ) uvjet čvrstoće glasi:

( ) dop21maxekv ,max σσσσσ ≤== .

Krivulja čvrstoće je kvadrat stranica duljine 2σdop, slika b).


dopv1ekv σσσ ≤= (za 01 >σ ) i dopt2ekv σσσ ≤= (za 02 <σ ).

Krivulja čvrstoće prikazana je kvadratom stranica duljine )doptdopv σ(σ + ,slika c.

σ dop

σ dop

σ2

σdopσdop

σ3

σdop

σdop

a)

σ1

O

σdop σdop

σ dop

σ dop

σ2

σ1O

b)

T

σ1

σ2

σt dop σv dop

σ t d

opσ v

dop

σ2

σ1O

c)


Mogućnost primjene ⇒ samo za krhke materijale u području vlačnih napreza-nja!

9.2. Teorija najveće duljinske deformacije (teorija εmax) Opasnost od loma nastaje kad jedna od duljinskih deformacija postigne kriti-

čnu vrijednost (Saint Venant):

( )Edop

dop321max ,,maxσ

εεεεε =≤= ,

gdje je maxε najveća apsolutna vrijednost duljinske deformacije. a) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja ( 321 σσσ >> ) glasi:

za :31 σσ > [ ]EEdop

3211max )(1 σσσνσεε ≤+−== ,

odnosno: dop321ekv )( σσσνσσ ≤+−= ,

za :13 σσ > [ ]

EEdop

2133max )(1 σσσνσεε ≤+−== ,

odnosno: dop213ekv )( σσσνσσ ≤+−= .


dop v321 )( σσσνσ ≤+− i dopt 213 )( σσσνσ ≤+− .

b) Za dvoosno stanje naprezanja ( 0=3σ ) uvjeti čvrstoće glase:

dop21ekv σνσσσ ≤−= , dop12ekv σνσσσ ≤−= .

σdop σdop

σ dop

σ dop

σ2

σ1

α

tan α = ν

45o

45oOPodručjesigurnosti

Rezultati se ne podudaraju s pokusima, pa se danas rijetko upotrebljava.


9.3. Teorija najvećeg posmičnog naprezanja (teorija τmax) Opasnost od loma nastaje kad najveće posmično naprezanje maxτ dostigne

kritičnu vrijednost dopτ , (Coulomb,1773.; Tresca, 1868.; Guest, 1900.):

22dop

dop31

maxσ

τσσ

τ =≤−

= .

b) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja ( 321 σσσ >> ) glasi:

dop31ekv σσσσ ≤−= .

U općem je slučaju površina čvrstoće (površina tečenja) šesterostrana priz-ma čija je os jednako nagnuta prema koordinatnim osima 321 ,, σ σσ , tj. pravac

321 σσσ == (hidrostatička os) čini s njima kut od α = 54,7o.

Uvjeti čvrstoće su:

dop21 σσσ ≤− ,

dop32 σσσ ≤− ,

dop13 σσσ ≤− .

σ3

σ2

σ1

O Presjek ravninom Oσ1σ2α

αα

Površinatečenja

Pravac σ1=σ2=σ3

c) Kod dvoosnog stanja naprezanja ( 0=3σ ) razlikuju se tri slučaja određiva-nja maksimalnog posmičnog naprezanja, slike a), b) i c), te uvjeti čvrstoće glase:

τmax=σ1/2

O

σ1

σ1 σ1σ2

σ2σ2

σ3=0 σ3=0 σσσ

τ ττ

τmax τmax τmax

τmax= σ2 /2τmax=(σ1− σ2)/2

OO

a) Oba glavna naprezanja veća su od nule ( 01 >σ , 02 >σ ):



b) Oba glavna naprezanja manja su od nule ( 01 <σ , 02 <σ ):


c) Glavna naprezanja imaju suprotan predznak ( 0=3σ ):

dop21minmaxekv σσσσσσ ≤−=−= .

Krivulja čvrstoće omeđuje "šesterokut" na slici: σ2

σ1

σ dop

σdop σdop

O

σ dop

M

Područjesigurnosti

σ2

σ1

Uvijanje,čisto smicanje

45o

Mogućnost primjene ⇒ za elastoplastične (duktilne) materijale. Nedostaci teorije: - za krhke materijale ne daje zadovoljavajuće rezultate, - ne uzima u obzir utjecaj srednjeg po iznosu glavnog naprezanja na čvrstoću materijala.

9.4. Energijske teorije čvrstoće 9.4.1. Teorija najveće gustoće energije deformacija

Opasno stanje materijala nastaje kad gustoća energije deformacija oU dos-tigne kritičnu vrijednost dop oU , (Beltrami, 1885.; Haigh, 1921.).

Gustoća energije deformacija pri troosnom stanju naprezanja iznosi:

[ ])(221

13322123

22

21o σσσσσσνσσσ ⋅+⋅+⋅−++=

EU .

Pri jednoosnom stanju naprezanja je kritična gustoća energije deformacija:

2dopdopo 2

1σ

EU = .


Iz uvjeta čvrstoće slijedi izraz:

dop13322123

22

21ekv )(2 σσσσσσσνσσσσ ≤⋅+⋅+⋅−++= .

Ova teorija nije eksperimentalno potvrđena i rijetko se primjenjuje.

9.4.2. Teorija najveće gustoće distorzijske energije deformacija (energijska teorija HMH)

Opasno stanje materijala nastaje kad gustoća distorzijske energije (energija promjene oblika) d oU dostigne kritičnu vrijednost ,dop d oU (Maxwell, 1856.;Huber,1904.; von Mises, 1913.; Henckey, 1924.), tj. uvjet čvrstoće glasi:

dop d od o UU ≤ .

Gustoća distorzijske energije pri troosnom stanju naprezanja iznosi:

[ ]213

232

221d o )()()(

61

σσσσσσν

−+−+−+

=E

U .

Pri jednoosnom stanju naprezanja dopuštena je gustoća distorzijske energije:

2dopdop d o 3

1σ

νE

U += .

Iz uvjeta čvrstoće slijedi izraz:

[ ] dop2

132

322

21ekv )()()(21

σσσσσσσσ ≤−+−+−= .

U općem slučaju je površina čvrstoće (površina tečenja) valjak polumjera dop3/2 σ=r , čija je os jednako nagnuta prema koordinatnim osima

321 ,, σ σσ , tj. pravac 321 σσσ == (hidrostatička os), slika a).

d) Kod dvoosnog stanja naprezanja ( 03 =σ ) vrijedi izraz:

dop2122

21ekv σσσσσσ ≤⋅−+= .

Taj se izraz može napisati u obliku:

1dop

2

dop

2

dop

1

dop

1 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

σσ

+σσ

σσ

−σσ

.

Krivulja čvrstoće je elipsa s poluoosima: dopdop 3/2,2 σσ == ba , slika b).


Devijatorska ravninaokomita na pravac

σ1 = σ2 = σ3

Krivulja čvrstoće

σ3

σ2

σ1

pravacσ1 = σ2 = σ3

O

r

αα

α

Površina čvrstoće

α = 54,7o

0 σ1

σ2

45o

45o

b

a

σ dop

σ dop

σdop σdop

b

a

Područjesigurnosti

Uvijanje,čisto smicanje

O

9.5. Usporedba teorija čvrstoće Usporedba krivulja čvrstoće prema svim teorijama čvrstoće dana je na slici.

Područje sigurnosti prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja nalazi se unutar područja sigurnosti svih ostalih teorija. To znači da teorija τmax za rav-ninsko stanje naprezanja daje najveću sigurnost, te se zbog jednostavnosti ra-čunanja σekv mnogo primjenjuje.

Primjer eksperimentalne provjere teorija čvrstoće pokazan je na epruveti, slika a), na kojoj se mogu ostvariti različite kombinacije dvoosnog stanja naprezanja ( 21, σσ ).To je tanka kružna cijev, koja se može istodobno opteretiti unutarnjim tlakom p, uzdužnom silom F i momentom uvijanja M. Rezultati eksperimenata za različite kombinacije opterećenja p, F i M pokazani su na slici b). a)

FM

Mp

F

σ2

σ1

+++

+++

+ + ++++

++

++++

+ +++++

+++ +

O

σmax

τmax HMH

b)


Usporedba krivulja čvrstoće prema osnovnim teorijama čvrstoće:

O

σmax

σdop

−σdop

−σdop

σ1

σ2

45o

45o

εmaxα

HMH

τmax

σdop

uvijanje, čistosmicanje

tan α = ν

Primjer primjene teorija čvrstoće kod čistog smicanja ili uvijanja:

Glavna naprezanja su: τσσ =−= 21 .

Uvjet čvrstoće jest: dopττ ≤ .

Dopuštena vrijednost posmičnog naprezanja dopτ prema teorijama čvrstoće je:

1. Teorija najvećih normalnih naprezanja: dopdop στ = ,

2. Teorija najvećih normalnih deformacija, za ν = 0,3: dopdop 77,0 στ =

3. Teorija najvećih posmičnih naprezanja: dopdop 5,0 στ =

4. Teorija najveće gustoće distorzijske energije (HMH): dopdop 577,0 στ =

Usporedba s eksperimentalnim rezultatima daje najbolje slaganje: - za elastoplastične (duktilne) materijale ⇒ teorija najveće gustoće distorzijske energije (HMH), - za krhke materijale kod rastezanja ⇒ teorija najvećih normalnih naprezanja. Osnovni primjera stanja naprezanja na konstrukcijskim elementima:


sferna posuda pod unutarnjim tlakom

σ1

σ2

45o

12

1 −=σ

σ

12

1 =σ

σ

sferna posuda pod vanjskim tlakom

uvijanje, čisto smicanje

22

1 =σ

σ

cilindrična posuda pod unutarnjim tlakom

45o

cilindrična posuda pod vanjskim tlakom

savijanje silama (σx > 0)

osno opterećenje, tlak

osno opterećenje, vlak

osno opt. (σx < 0) +uvijanje ( σ2 >> σ1)

O

45o

osno opt. (σx > 0) +uvijanje (σ1 >> σ2 )

savijanje silama (σx < 0) Primjeri opterećenja elemenata u ravninskom stanju naprezanja: 1) osno opterećenje štapa:

a) rastezanje, vlak: 0,0 21 => σσ ,

b) sabijanje, tlak: 0,0 21 <= σσ ,

2) sferna posuda: pod unutarnjim tlakom: ,021 >= σσ

pod vanjskim tlakom: ,021 <= σσ

3) cilindrična posuda (plašt): pod unutarnjim tlakom: ,02 21 >= σσ

pod vanjskim tlakom: ,02 21 <= σσ

4) uvijanje, čisto smicanje: ,, 21 τστσ −==

5) osno opterećenje + smicanje (ili uvijanje), poprečno savijanje:

glavna naprezanja su: 2τσσ

σ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=

2

2,1 22xx ,


pri tom glavna su naprezanja 21 σσ i uvijek različitog predznaka, tj. u slučaju kada je: a) 0>xσ ⇒ 1σ >> 2σ ,

b) 0<xσ ⇒ 2σ >> 1σ .

10. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA 1

10. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA 10.1. METODA SUPERPOZICIJE OPTEREĆENJA Do sada su analizirana naprezanja i deformacije za osnovna opterećenja štapa kod kojih su se unutarnje sile reducirale na samo jednu komponentu: osno opterećenje, smicanje, uvijanje i savijanje.

Ako u presjeku štapa djeluje istodobno nekoliko komponenti unutarnjih sila, radi se o složenom opterećenju štapa. Za linearno-elastične konstrukcije u području malih pomaka, tj. za konstrukcije kojima su pomaci linearno i jednoznačno ovisni o opterećenju, smije se primijeniti princip superpozicije. Prvo se odrede komponente naprezanja pojedinačno od svakog opterećenja, a zatim se pripadne komponente zbroje. Pri tom se sve komponente naprezanja moraju odnositi na isti koordinatni sustav, tj. zbrajanje se vrši prema pravilu tenzorske algebre, tj.:

...+′′+′= xxx σσσ , ...+′′+′= yxyxyx τττ ,

...+′′+′= yyy σσσ , ...+′′+′= zyzyzy τττ ,

...+′′+′= zzz σσσ , ...+′′+′= xzxzxz τττ .

Nakon određivanja svih komponenti rezultirajućeg tenzora naprezanja, odrede se glavna naprezanja i s pomoću njih ekvivalentno naprezanje prema jednoj od teorija čvrstoće. Ekvivalentno naprezanje zatim se uspoređuje s dopuštenim naprezanjem, tj. treba uvijek biti ispunjen uvjet čvrstoće:

dopekv σσ ≤ .

Za primjenu u tehnici posebno su zanimljivi istodobno savijanje i osno opterećenje, te savijanje i uvijanje okruglih štapova (kružni poprečni presjek).

10.2. SAVIJANJE I OSNO OPTEREĆENJE ŠTAPA Štap na slici, u presjeku A – A istodobno je opterećen uzdužnom silom N i momentom savijanja My. Naprezanje σx u presjeku analizirano je za simetrični i nesimetrični presjek štapa, kao i za materijale jednake i različite čvrstoće na vlak i tlak. Najveće vrijednosti naprezanja σx u presjeku A – A štapa iznose:

od osnog opterećenja: AN

=vσ , od savijanja: y

y

WM

±=sσ .


A

x

Fl

A

h

U presjeku A-A jest:

N = F, My = F⋅l.

a) simetrični presjek štapa

S

zb

y

A

h

σv =N/A

+

σx max = σv +σs

σx

+

+

−

σs = −My/Wy

=

σs = My/Wy

−

+

σx min

Nakon zbrajanja komponenata ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa su:

y

yx W

MAN

+=maxσ , y

yx W

MAN

−=minσ .

Uvjet čvrstoće štapa od materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak jest, da najveće normalno naprezanje po apsolutnom iznosu (naprezanja od osnog opterećenja i savijanja se zbrajaju) bude manje od dopuštenog naprezanja, tj.:

dopmax σσ ≤+=y

yx W

MAN

.

Uvjet čvrstoće štapa od materijala različite čvrstoće na vlak i tlak jest:

dop vmax σσ ≤x i dopt min σσ ≤x .

b) Najveće vrijednosti komponenata naprezanja u nesimetričnom presjeku su:

y

z

σx

S

h2

h1

σv =N/A

++

+

−

σx max = σv +σs A

=

σs A= My/W1y

σx min = σv +σs Bσs B= −My/W2y

+

−

B

Aod osnog opterećenja:

AN

=vσ ,

od savijanja:

y

y

y

y

WM

WM

2Bs

1As , −== σσ .

Ovdje su aksijalni momenti otpora nesimetričnog presjeka:

22

11 ,

hI

WhI

W yy

yy == .


Nakon zbrajanja komponenata, ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja u točkama A i B poprečnog presjeka štapa su:

y

yxx W

MAN

1AsvAmax +=+== σσσσ ,

y

yxx W

MAN

2BsvBmin −=+== σσσσ .

Uvjet čvrstoće štapa od materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak jest, da najveće normalno naprezanje po apsolutnom iznosu (naprezanje od osnog opterećenja i maksimalno naprezanje od savijanja se zbrajaju) bude manje od dopuštenog naprezanja, tj.:

dopmin

max σσ ≤+=y

yx W

MAN

.

Uvjet čvrstoće štapa od materijala različite čvrstoće na vlak i tlak jest:

dop vmax σσ ≤x i dopt min σσ ≤x .

Za presjek jednake čvrstoće treba postići vrijednosti naprezanja na oba kraja presjeka jednake vrijednostima dopuštenih naprezanja σv dop i σt dop, tj. treba postići omjer:

dopt

dop v

min

max

σσ

σσ

=x

x.

10.3. SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

Štap na slici a) istodobno je opterećen momentima savijanja My i Mz, momentom uvijanja Mt, a kružnog je poprečnog presjeka (krug ili kružni vijenac), od materijala jednake vlačne i tlačne čvrstoće. Raspodjele komponenata posmičnog i normalnog naprezanja u poprečnom presjeku dane su na slici b). a)

Mz

Mt

xz

yS

My

S

Ms

B

A

A

Rezultirajući moment savijanja u presjeku kod savijanja u dvije ravnine jest:

22s zy MMM += .

Aksijalni i polarni momenti otpora poprečnog presjeka štapa su:

yWW = , yp WW 2= .


Najveća posmična i normalna naprezanja javljaju se na obodu presjeka u točkama A i B, tj. na pravcu okomitom na vektor sM

v.

Oznake za iznose maksimalnih naprezanja u presjeku su:

minmax xx σσσ == , maxττ = .

σx max= Ms/W

A

B

S

−

+

Ms

Mt

σx min= −Ms/W

τ max= Mt/Wp

τ maxb)τ

τσx

Komponente naprezanja na elementima A i B presjeka su:

σA

τ

x σB

τ

x

Element A Element B

Glavna naprezanja u točki A iznose (σ2 = 0):

[ ] [ ]223

221 4

21,4

21 τσσστσσσ +−−=++−= ,

odnosno u točki B (σ2 = 0):

[ ] [ ]223

221 4

21,4

21 τσσστσσσ +−=++= ,

gdje su σ i τ apsolutne vrijednosti najvećeg normalnog naprezanja od savijanja i posmičnog naprezanja od uvijanja, a čije su vrijednosti dane izrazima:

WM s=σ ,

WM

WM

p 2tt ==τ .

Glavna naprezanja mogu se izraziti i u obliku (npr. za točku B):

[ ]2t

2ss3,1 2

1 MMMW

+±=σ .

Provjera čvrstoće provest će se u točki B pomoću sve četiri navedene teorije čvrstoće, a za koje uvjet čvrstoće glasi:

dopekv

ekv σσ ≤=W

M,

gdje je Mekv ekvivalentni moment savijanja prema primijenjenoj teoriji čvrstoće.


a) Teorija najvećeg normalnog naprezanja Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

( ) dop22

1ekv 421 στσσσσ ≤++== .

Nakon uvrštenja izraza za σ i τ slijedi izraz za ekvivalentni moment savijanja:

( )W

MMMMW

ekv2t

2ssekv 2

1=++=σ ⇒ ( )2

t2ssekv 2

1 MMMM ++= .

b) Teorija najveće duljinske deformacije Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

dop31ekv σσνσσ ≤⋅−= .


WMMMM

Wekv2

t2ssekv 2

12

11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

−=

ννσ .

Ako se uzme, npr. za čelik ν ≈ 0,3, bit će ekvivalentni moment savijanja: 2t

2ssekv 65,035,0 MMMM ++= .

c) Teorija najvećeg posmičnog naprezanja Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

dop22

31ekv 4 στσσσσ ≤+=−= .


WMMM

Wekv2

t2sekv

1=+=σ ⇒ 2

t2sekv MMM += .

d) Teorija najveće gustoće distorzijske energije (energijska teorija HMH) Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

3123

21ekv σσσσσ −+= ⇒ dop

22ekv 3 στσσ ≤+= .


WMMM

Wekv2

t2sekv 75,01

=+=σ ⇒ 2t

2sekv 75,0 MMM += .


Kod dimenzioniranja presjeka koristi se izraz: dop

ekv

σMW ≥ .

Za puni kružni presjek promjer d štapa, odnosno za kružni vijenac, uz omjer

unutarnjeg i vanjskog promjera Ddk u /= , vanjski promjer D štapa jest:

d

3dop

ekv32σπMd ≥ , d D 3

dop4

ekv

)1(32

σπ kMD

−≥

Vanjski promjer štapa treba zaokružiti na veći standardni promjer, npr. s korakom od 5 mm ( …, 70 mm, 75 mm, 80 mm, 85 mm, …).

10.4. OSNO OPTEREĆENJE, SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

Štap kružnog presjeka na slici istodobno je opterećen uzdužnom silom N, rezultirajućim momentom savijanja Ms i momentom uvijanja Mt.

Maksimalno normalno naprezanje je zbroj apsolutnih vrijednosti normalnih naprezanja od uzdužne sile i od rezultirajućeg momenta savijanja, tj. vrijedi izraz:

WM

AN

xs

maxsvmax +=+== σσσσ .

Maksimalno posmično naprezanje u presjeku jest:

WM2

tmax == ττ .

Mz

Mt

xz

yS

My

S

Ms

B

AN

A

Provjera čvrstoće štapa jest:a) prema teoriji τ max:

dop22

ekv 4 στσσ ≤+= ,

c) prema energijskoj teoriji HMH:

dop22

ekv 3 στσσ ≤+= .

Kod dimenzioniranja presjeka zanemaruje se utjecaj uzdužne sile, a izračunati promjer zaokružuje se na veću standardnu vrijednost.


Za dimenzioniranja poprečnog presjeka štapa rabe se izrazi:

2t

2sekv MMM += ⇒

dop

ekv

σMW ≥ .

Nakon odabira većeg standardnog promjera potrebno je izračunati geometrijske značajke poprečnog presjeka A i W s odabranim promjerom, te prema ranije danim izrazima izračunati vrijednosti maksimalnih naprezanja

maxσ i maxτ . Zatim treba ponovno provjeriti čvrstoću štapa prema odabranoj teoriji čvrstoće uspoređivanjem ekvivalentnog naprezanja s dopuštenim naprezanjem materijala štapa, tj. uvijek mora biti zadovoljen uvjet čvrstoće:

dopekv σσ ≤ .

U primjerima štapa s pojavom koncentracije naprezanja, potrebno je iz odgovarajućeg priručnika očitati vrijednosti faktora koncentracije naprezanja za dotični oblik i dimenzije geometrijskog diskontinuiteta (otvor, bočni utor, nagli prijelaz presjeka ili dr.) te za vrstu opterećenja elementa (osno opterećenje, savijanje ili uvijanje).

U općem se primjeru iznosi maksimalnih normalnih i posmičnih naprezanja izračunavaju prema izrazima:

yWM

KAN

K ssnmaxsvmax ⋅+⋅=+== σσσσ ,

WM

K2

tτmax ⋅== ττ ,

gdje su za određeni geometrijski diskontinuitet štapa: Kn - faktor koncentracije kod osnog opterećenja,

Ks - faktor koncentracije kod opterećenja na savijanje,

Kτ - faktor koncentracije kod opterećenja na uvijanje.

Za provjeru čvrstoće vratila najčešće se rabi teorija najveće gustoće distorzijske energije deformiranja (teorija HMH):

dop2max

2maxekv 3 στσσ ≤+= .

Kod dinamičkog opterećenja vratila treba računati s istovremenim opterećenjima na savijanje i uvijanje, te se čvrstoća provjerava prema izrazu:

( ) .3 dop2

max02maxekv στασσ ≤⋅+=


Faktor 0α očitava se iz dijagrama ili tablica u priručnicima, npr. u Decker: Maschinenelemente, ovisno o oblicima opterećenja (istosmjerno ili izmjenično). Tako je npr. za promjenjivo opterećenje štapa: - izmjenično savijanje i mirno uvijanje: faktor ≈0α 0,7 - izmjenično savijanje i pulsirajuće uvijanje: faktor ≈0α 0,85,

itd.

Primjer za proračun koljenastog štapa ⇒ iz Vježbenice!

10. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA – KONCENTRACIJA NAPREZANJA 1

10.5.1. Faktori koncentracije naprezanja kod osnog opterećenja štapa

Na slikama 10.1. do 10.4 vidimo da se kod smanjenja vrijednosti polumjera ρ povećava vrijednost faktora koncentracije naprezanja kod plosnatih i okruglih štapova opterećenih na rastezanje.

Slika 10.1. Faktori koncentracije

naprezanja za plosnati štap s dva bočna otvora kod opterećenja na

rastezanje


naprezanja za plosnati štap s promjenom presjeka kod opterećenja

na rastezanje


naprezanja za okrugli štap s utorom kod opterećenja na rastezanje


naprezanja za okrugli štap s promjenom presjeka kod opterećenja

na rastezanje


10.5.2. Faktori koncentracije naprezanja kod savijanja štapa

Iz primjera na slici 10.5. vidi se da raspodjela naprezanja kod savijanja štapa s bočnim utorom nije po zakonu pravca, nego je došlo do neravnomjerne raspodjele naprezanja.

Slika 10.5. Raspodjela naprezanja u presjeku štapa s utorom

kod opterećenja na čisto savijanje

Faktor koncentracije naprezanja štapa kod savijanja definiran je izrazom:

n

maxs σ

σ== KK , (10.1)

nominalno naprezanje od savijanja u oslabljenom presjeku jest:

,sn W

M=σ (10.2)

gdje je W - aksijalni moment otpora oslabljenog presjeka, npr. za puni okrugli štap promjera d:

32

3

mindWW π

== . (10.3)


Na slikama 10.6. i 10.7. vidi se da kod smanjenja vrijednosti polumjera ρ otvora ili prijelaza presjeka, tada rastu vrijednosti faktora koncentracije naprezanja.


naprezanja za okrugli štap s utorom kod opterećenja na savijanje

Slika 10.7. Faktori koncentracije naprezanja za okrugli štap s

promjenom presjeka kod opterećenja na savijanje

10.5.3. Faktori koncentracije naprezanja kod uvijanja štapa Iz primjera na slici 10.8. vidi se da raspodjela posmičnih naprezanja u oslabljenom presjeku štapa kod uvijanja nije po zakonu pravca, nego je to neravnomjerna raspodjela naprezanja.

Slika 10.8. Raspodjela posmičnih naprezanja u štapu s utorom kod

opterećenja na uvijanje


Faktor koncentracije naprezanja štapa kod uvijanja definiran je izrazom:

,n

max

ττ

τ == KK (10.4)

a nominalno posmično naprezanje od uvijanja u oslabljenom presjeku jest:

,p

tn W

M=τ (10.5)

gdje je polarni moment okruglog štapa promjera d, slika 10.6.

16

3

minpdWW π

== . (10.6)

Na slikama 10.9. i 10.10. vidimo ukoliko se smanjuje vrijednost polumjera ρ otvora i d promjer najužeg presjeka, tada raste i vrijednost faktora koncentracije naprezanja.

Slika 10.9. Faktori koncentracije naprezanja za okrugli štap s utorom opterećen na uvijanje

Slika 10.10. Faktori koncentracije naprezanja za okrugli štap s

promjenom presjeka opterećen na uvijanje


10.4. Proračun čvrstoće elemenata konstrukcije s koncentracijom naprezanja kod istovremenog opterećenja na savijanje i uvijanje Za konstrukcijske elemente bez koncentracije naprezanja kod opterećenja na rastezanje ili čisto savijanje uvjet čvrstoće štapa je: a) za normalno naprezanje:

,dopmax σσ ≤ (10.7)

gdje je: maxσ - maksimalno naprezanje u štapu, a dopσ - dopušteno naprezanje:

kod rastezanja/sabijanja: ,maxmax A

N=σ (10.8)

gdje je: maxN - maksimalna osna sila rastezanja/sabijanja, A - ploština početnog presjeka štapa,

kod savijanja: ,maxmax W

Ms=σ (10.9)

gdje je: maxsM - maksimalni moment savijanja, W - aksijalni moment otpora presjeka štapa, a dopušteno naprezanje jest:

,dop SRe=σ (10.10)

gdje je: eR - granica tečenja kod rastezanja, a S - faktor sigurnosti štapa:

max

dop

σσ

=S . (10.11)

Faktor sigurnosti S uvijek je veći od jedinice i obično je zadan u propisima za proračunavanu vrstu konstrukcije. U strojarstvu je najčešće njegova vrijednost S =1,5÷2,5, ali u posebnim slučajevima može biti i S >10. Izbor faktora sigurnosti ovisi o mnogim okolnostima, npr. o poznavanju opterećenja kojima će biti izložena konstrukcija (osnovno opterećenje, vjetar, snijeg, potres i dr.), o opasnostima za ljudski život, o važnosti konstrukcije, o težini konstrukcije itd. Pri naglom djelovanju opterećenja (udar) naprezanja u elementu su veća nego kod statičkog djelovanja opterećenja. Posebno treba voditi računa o zamoru materijala kod vremenski promjenljivog opterećenja, npr. kod harmonijski promjenljivog opterećenja.


b) za posmično naprezanje:

,dopmax ττ ≤ (10.12)

gdje je: dopτ - dopušteno posmično naprezanje:

,dop SReττ = (10.13)

gdje je: τeR - granica tečenja kod uvijanja, S - faktor sigurnosti kod uvijanja. Maksimalno posmično naprezanje u presjeku okruglog štapa jest:

p

maxtmax W

M=τ , (10.14)

gdje je: maxtM - maksimalni moment uvijanja, pW - polarni moment otpora presjeka štapa. Kod konstrukcijskih elemenata s koncentracijom naprezanja te istovremeno opterećenih osnim opterećenjem i na savijanje, nominalno normalno naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja je zbroj apsolutnih vrijednosti normalnih naprezanja od uzdužne sile i od rezultirajućeg momenta savijanja, tj. vrijedi izraz:

WM

AN s

minsnnom +=+= σσσ , (10.15)

gdje je:

minA - ploština poprečnog presjeka na mjestu koncentracije naprezanja u štapu, W - aksijalni moment otpora poprečnog presjeka na istom mjestu. Maksimalno normalno naprezanje u tom je slučaju dano izrazom:

,dopssnnmax σσσσ ≤⋅+⋅= KK (10.16)

gdje su nK i sK odgovarajući faktori koncentracije naprezanja elementa kod osnog opterećenja odnosno kod savijanja. Maksimalno posmično naprezanje od uvijanja u kritičnom presjeku štapa jest:


.p

tnom W

M=τ (10.17)

gdje je: tM - maksimalni moment uvijanja, pW - polarni moment otpora presjeka okruglog štapa.

Kod konstrukcijskih elemenata s koncentracijom naprezanja te opterećenih na uvijanje, maksimalno posmično naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja jest:

nomτmax ττ ⋅= K , (10.18)

gdje je: τK - faktor koncentracije naprezanja za okrugli štap kod uvijanja.

Provjera čvrstoće okruglog štapa poprečnog presjeka kod složenog opterećenja (osno opterećenje, savijanje i uvijanje) najčešće se provodi prema energijskoj teoriji čvrstoće HMH:

.3 dop2max

2maxekv στσσ ≤⋅+= (10.19)

Kod dinamičkog opterećenja vratila treba računati s istovremenim opterećenjima na savijanje i uvijanje, te se čvrstoća provjerava prema izrazu:

( ) .3 dop2

max02maxekv στασσ ≤⋅+= (10.20)

Faktor 0α očitava se iz dijagrama ili tablica u priručnicima, npr. u Decker: Maschinenelemente, ovisno o vrsti i oblicima opterećenja (istosmjerno ili izmjenično). Tako je npr. za promjenjivo opterećenje štapa: - izmjenično savijanje i mirno uvijanje: faktor ≈0α 0,7 - izmjenično savijanje i pulsirajuće uvijanje: faktor ≈0α 0,85, itd.

11. IZVIJANJE 1

11. IZVIJANJE, GUBITAK ELASTIČNE STABILNOSTI

11.1. Stabilna, labilna i indiferentna ravnoteža Pojam stabilnosti ravnoteže na primjeru krutih tijela na slici: 1- kugla i 2- štap, koja su pod djelovanjem opterećenja i reakcija veza zauzela ravnotežni položaj. Ako tijelo neznatno udaljimo od ravnotežnog položaja i zatim prepustimo samo sebi, moguća su tri slučaja:

a) stabilna ravnoteža

G G

GG

GG

G

G

F FFG =

F

F

F

MM=0

M=0MM

M

b) labilna ravnoteža c) indiferentna ravnoteža

S S S

SS

S

A

A

A

G

S

F e

S

G

Fe

S

F

G

e=0

e e e=0

M = G⋅e

1)

2)

a) Tijelo se vraća u prvobitni ravnotežni položaj zbog djelovanja sprega M koji čine težina G i reakcija F ⇒ stabilna ravnoteža tijela.

b) Tijelo se sve više udaljava od prvobitnog ravnotežnog položaja, jer spreg M teži da udalji tijelo od stanja ravnoteže ⇒ labilna ravnoteža tijela.

c) Tijelo ostaje u ravnoteži u bilo kojem novom položaju koji je blizak prvobitnom ravnotežnom položaju, jer nema sprega M budući su sile G i F kolinearne ⇒ indiferentna ravnoteža tijela.

Problem stabilnosti ravnoteže postoji kod elastičnog odnosno deformabilnog tijela pod tlačnim opterećenjem, jer se tijelo deformira dok ne poprimi ravnotežni deformirani oblik. Deformirani oblik tlačno opterećenog štapa može biti stabilan, labilan (nestabilan) ili indiferentan.

11. IZVIJANJE 2

ΔF

A

B

F

x x x x

F Fkr Fkr

F > Fkr

F < Fkr

ΔF

x

b) indiferentnaravnoteža

a) stabilna elastičnaravnoteža

c) nestabilna elastičnaravnoteža

Na slici je prikazan štap koji je na donjem kraju ukliješten, a na gornjem je opterećen silom F. Štap je idealno ravan, idealno centrično opterećen i izrađen od homogenog materijala → štap će se pod djelovanjem sile F skratiti, ali će zadržati ravan oblik. Ako na štap djeluje kratkotrajno mala bočna sila ΔF, on će se saviti u stranu.

Daljnje ponašanje štapa može biti trojako: a) Ako je sila F manja od neke kritične vrijednosti krFF < , nakon uklanjanja poremećaja ΔF štap se ponovno vraća u ravan ravnotežni oblik ⇒ štap je u stabilnoj elastičnoj ravnoteži.

b) Ako je sila krFF = , nakon uklanjanja poremećaja štap zadržava izvijeni oblik, ali se dalje ne deformira ⇒ štap je u indiferentnoj elastičnoj ravnoteži.

c) Ako je sila krFF > , štap se i pri najmanjem poremećaju izvija u stranu i nastavlja se deformirati nakon uklanjanja poremećaja, tako da se jako savija u stranu i može doći do loma štapa ⇒ štap je u nestabilnoj elastičnoj ravnoteži. U realnim konstrukcijama tlačno opterećeni štapovi nikada nisu idealno ravni, homogeni i strogo osno (centrično) opterećeni. To odstupanje od idealnosti adekvatno je poremećaju ΔF, te se uvijek pojavljuje izvijanje kada sila F postane veća od kritične vrijednosti Fkr.

11. IZVIJANJE 3

11.2. Izvijanje štapa u elastičnom području, Eulerova kritična sila izvijanja

Određivanje vrijednosti kritične sile Fkr pri kojoj počinje izvijanje štapa, objašnjeno je na primjeru štapa zglobno vezanog na oba kraja i opterećenog tlačnom silom F prema slici a).

B

F x

A

x x

F F

F F

N=Fx

l

z z

w

w(x) w

My

B B

A My=F⋅w

a) b) c)

Dok je sila manja od kritične sile izvijanja krFF < , štap ostaje ravan. Čim sila F dostigne kritičnu vrijednost Fkr , počinje bočno savijanje (izvijanje), a uzdužna os štapa prelazi u elastičnu liniju )(xww = , slika b).

U tom se slučaju u presjeku x štapa pojavljuju: uzdužna sila FN = i moment savijanja wFM y ⋅= , slika c).

Diferencijalna jednadžba elastične linije glasi:

wEIF

EIM

xw

yy

y −=−=2

2

dd ,

odnosno:

,0dd 2

2

2

=+ wxw α gdje je

yEIF

=2α .

Opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda glasi:

xCxCw αα cossin 21 += .

Ovdje su C1 i C2 konstante integracije koje se mogu odrediti iz rubnih uvjeta štapa zglobno učvršćenog na oba kraja, tako da su pomaci oba kraja jednaki nuli:

11. IZVIJANJE 4

1. 0)0( =w → 0cos0sin0 21 ⋅+⋅= αα CC ⇒ 02 =C ,

2. 0)( =lw → lC ⋅= αsin0 1 ⇒ 01 =C ili 0sin =lα .

Prvo rješenje je trivijalno rješenje 0)( =xw , tj. elastična linija je pravac.

Kritičnu silu izvijanja može se odrediti iz izraza:

0sin =lα , odnosno πα nl = , gdje je ...3,2,1,0=n

Slijedi: yEI

F=α → πn

EIFl

y=⋅ .

Vrijednost sile F pri kojoj nastupa izvijanje jest:

22

2 πl

EInF y= .

Jednadžba elastične linije u tom slučaju glasi:

xl

nCxCw πα sinsin 11 == .

Elastična linija može imati više oblika, ovisno o vrijednosti n. Svakom obliku elastične linije odgovara druga sila izvijanja, slika.

F≤Fkr

F

B B B B

Fkr 4Fkr

Fkr

n=0 n=1

n=2

n=3

9Fkr

9Fkr 4Fkr

A A A A

B

F

A

x

F

l

z

a) d) e) f) g)

Ako je 0=n , bit će 0=F , a elastična linija je pravac, slika d). Ako je 1=n , elastična linija ima oblik sinusnog poluvala, slika e), a sila izvijanja ima u tom slučaju najmanju vrijednost, tj. ona je kritična sila pri kojoj nastupa izvijanje → tzv. Eulerova kritična sila (L. Euler, 1757.):

11. IZVIJANJE 5

22kr π

lEI

F y= .

Ovaj se izraz može rabiti samo kod malih pomaka w.

Kad je 2=n , elastična linija ima oblik pune sinusoide, slika f), dok je sila izvijanja krFF 4= . Na slici g) prikazana je forma izvijanja pri 3=n , a sila izvijanja je krFF 9= . Više forme izvijanja mogu se ostvariti u laboratorijskim uvjetima.

U praksi izvijanje štapa nastupa uvijek po formi 1=n , tj. čim sila F prijeđe kritičnu vrijednost Fkr. Ako se sila i dalje povećava, doći će ili do loma štapa ili do savijanja štapa u oblik petlje.

Izvijanje nastaje oko one osi poprečnog presjeka za koju je krutost štapa najmanja, tj. u izraz za kritičnu silu treba uvrstiti vrijednost minimalnog momenta tromosti:

2min III y == ,

a za l treba uvrstiti duljinu lo koja se naziva slobodna duljina izvijanja (duljina jednog sinusnog poluvala, tj. duljina između dvije točke infleksije):

2o

min2kr l

EIFF π== (Eulerova kritična sila izvijanja).

Umjesto kritične sile uvjetno se uvodi kritično naprezanje po presjeku pri izvijanju štapa:

2o

min2krkr

/l

AEIA

F πσ == ,

gdje je minimalni polumjer tromosti poprečnog presjeka štapa: AIi min

min = .

Slijedi izraz za kritično naprezanje pri izvijanju štapa: 2

o

min2kr ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

liEπσ ⇒ 2

2kr λ

πσ E= .

Ovdje je uvedena bezdimenzijska karakteristika štapa λ i naziva se vitkost štapa:

min

oil

=λ .

11. IZVIJANJE 6

U koordinatnom sustavu (λ, σkr) izraz za )(kr λσ f= označuje hiperbolu koja se naziva Eulerova hiperbola.

Na slikama a) do d) dane su forme izvijanja te vrijednosti duljine izvijanja lo i izrazi za vrijednost Eulerove kritične sile izvijanja Fkr za najčešće slučajeve učvršćenja štapova:

B

F

A

F

l

B1

2min2

lEIFkr π=

b)

A

l

lo = 2l lo = l

2min2

4lEIFkr π=

a) c)

B

F

A

llo = 0,7l

2min2 2

lEIFkr π= 2

min2 4l

EIFkr π=

B

F

A

l

d)

lo = 0,5l

Eksperimenti pokazuju da izraz za σkr vrijedi samo u području vitkih štapova,

tj. za: Pkr σσ ≤ , odnosno za vitkosti Pλλ ≥ .

σkr

λλP

σP

Eulerovahiperbola

0 λ

σkr

Granična vitkost Pλ je za Pkr σσ = :

PP σ

πλ E= .

Naprezanje na granici proporcionalnosti:eP )9,08,0( R÷≈σ .

Eulerov izraz vrijedi za: Pλλ ≥ .

Granične vrijednosti za konstrukcijske čelike za nosive konstrukcije su, kod E = 210 GPa:

čelik λP σP, MPa

Č0361 104 192 Č0561 89 262

11. IZVIJANJE 7

11.3. Izvijanje štapa iznad granice proporcionalnosti

Eulerov izraz za kritičnu silu izvijanja izveden je uz pretpostavku da je const.=E , tj. da je naprezanje razmjerno deformaciji. Ovaj izraz može vrijediti i

u području kad je Pσσ > , ako se umjesto E primijeni tzv. tangentni modul elastičnosti Et koji je definiran izrazom:

σ

ε

σP

01

E

Et

1

εσ

dd

=tE → 22

kr λπσ tE

= za Pλλ < .

Ovaj izraz predložio je Engeser, 1889. Zakonitost promjene Et vrlo je složena i ovisi o obliku dijagrama rastezanja )(εσ f= . U praksi se koriste empirijski izrazi određeni na temelju pokusa. Krivulja )(kr λσ f= u području Pkr σσ > , tj. za Pλλ < , aproksimira se pravcem (Tetmajer, Jasinskij), parabolom (Tetmajer, Johnson), hiperbolom (Rankine, Gordon) itd.

Tetmajer je za čelik i neke druge materijale predložio izraz u obliku:

PPookr )(λλσσσσ −−= ,

gdje je σP - granica proporcionalnosti, a σo - karakteristično naprezanje kad se eksperimentalne podatke o izvijanju aproksimira pravcem.

Tetmajerov izraz često se navodi u obliku: 2

kr λλσ ⋅+⋅−= cba ,

a vrijednosti za neke čelike i sivi lijev dane su u tablici.

Materijal Kritično naprezanje σkr, MPa

Č0361 310 − 1,14⋅λ

Č0561 335 − 0,62⋅λ

Č4720 470 − 2,30⋅λ

sivi lijev 776 − 12⋅λ + 0,053⋅λ2 Smanjenjem vitkosti štapa raste kritično naprezanje i pri vitkosti λT dostiže granicu tečenja Re (σT). Pri vitkosti manjoj od λT prije će doći do gnječenja (tečenja) štapa nego do izvijanja, tako da Tetmajerov izraz nema opravdanja.

11. IZVIJANJE 8

Vitkost λT pri kojoj se za proračun štapa rabi proračun na gnječenje jest:

Po

eoPT σσσλλ

−−

=R

.

Za konstrukcije od čelika je vrijednost granične vitkosti: λT ≈ 40 ÷ 60. Budući da u konstrukcijama mora biti ispunjen uvjet )( Te σσ R< razlikuju se

tri slučaja tlačno opterećenog štapa: σkr

λλP

σP

Eulerova hiperbola

0

(σT)

Re

σo

Tetmajerov pravac

λT

AB

C

D

b)c)

a)

250 Dijagram ovisnosti kritičnog naprezanja o vitkosti štapa

a) kratki štapovi: Tλλ ≤ → štapovi se proračunavaju na tlačnu čvrstoću i izvijanje se ne uzima u obzir, a kritično je naprezanje: ekr R=σ . b) srednje dugi štapovi: PT λλλ << → štapovi se proračunavaju prema Tetmajerovom izrazu:

P

Pookr )(λλσσσσ −−=

ili s pomoću nekog drugog empirijskog izraza. c) vitki štapovi: Pλλ ≥ → štapovi se proračunavaju prema Eulerovom izrazu:

22

kr λπσ E

= .

11. IZVIJANJE 9

Štapovi u nosivim čeličnim konstrukcijama (mostovi, dizalice i sl.) proračunavaju se na izvijanje do vitkosti (prema propisima):

250λ = - za spregove i sekundarne elemente konstrukcije, 200λ = - za glavne nosive elemente konstrukcije, 150λ = - za opterećene štapove kod oslonaca i za nosive elemente u

konstrukcijama izloženim zamoru.

Neki izrazi iz prakse za kritično naprezanje izvijanja štapova koji se daju za proračun kritičnog naprezanja izvijanja centrično opterećenih štapova čeličnih konstrukcija ( eT R=σ ), gdje su granična vitkost, vitkost štapa i minimalni polumjer tromosti poprečnog presjeka:

PP

Eλ πσ

= ; o

min

li

λ = ; minmin

IiA

= .

1. Eulerov izraz:

22

kr λπσ E

= , koji se koristi u području vitkosti štapa: Pλλ ≥ ,

2. Euler - Johnsonova jednadžba:

22

kr λπσ E

= u području vitkosti štapa Pλλ ≥ ,

i ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

2

PPTTkr )(

λλσσσσ u području Pλλ ≤ .

3. Parabolična jednadžba:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

v

TT2

Tkr 4

44

4 λλσσ

πλσσ

E.

gdje je granična vitkost štapa kod nosive čelične konstrukcije:

Tv σ

πλ E= .

4. Rankineova jednadžba:

2

v

T

T2

Tkr

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

λλ

σσ

πλσσ

E

.

Dijagrami na slici su izračunati za vrijednosti naprezanja čelika za nosive konstrukcije Č0561, prema gornjim izrazima.

11. IZVIJANJE 10

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 λ

1. Eulerov izraz 2. Euler-Johnsonova jednadžba 3. Parabolična jednadžba 4. Rankineova jednadžba 5. Tetmajerov izraz

Kritičn

o na

prez

anje

izvi

janj

a, σ

kr, M

Pa

Vitkost štapa λT λP

11.4. ω - postupak

Pri proračunu čeličnih i drvenih konstrukcija često se rabi stariji postupak proračuna na izvijanje, tzv. ω – postupak. Uz pretpostavku da je const.=E , uvođenjem faktora ω proračun na izvijanje svodi se na proračun tlačnog opterećenja. Da bi se štap osigurao protiv izvijanja, uzima se da je štap opterećen silom koja je ω puta veća od stvarne, tj. vrijedi izraz:

dopσωσ ≤⋅

=A

F,

gdje je dopušteno tlačno naprezanje: SR /edop =σ .

Faktor sigurnosti na izvijanje kod proračuna čeličnih štapova je: )5,3(5,25,1 ÷=S .

Za manje vitkosti štapa λ uzimaju se niže vrijednosti faktora sigurnosti S.

Faktor ω ima to veću vrijednost što je veći λ, a njegove vrijednosti daju se u tablicama u tehničkim priručnicima u ovisnosti o vitkosti λ i materijalu štapa.

11. IZVIJANJE 11

Npr. za neke konstrukcijske čelike i drvo vrijednosti faktora ω su:

λ 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 250

Č0361 1,14 1,30 1,55 1,90 2,43 3,31 4,32 5,47 6,75 8,17 10,55

Č0561 1,19 1,41 1,79 2,53 3,65 4,96 6,48 8,21 10,13 12,26 15,83

drvo 1,26 1,62 2,20 3,00 4,32 5,88 7,68 9,72 12,00 14,52 18,75

Primjeri ispitivanja tlačno opterećenih štapova na konstrukcijama u praksi.

Primjer iz Vježbenice!

Tablica mehaničkih svojstava konstrukcijskih materijala i dopuštena naprezanja, u MPa, ovisno od vrste i načina opterećenja elemenata konstrukcija: I. način: mirno opterećenje ( 0const. ≠=F ); ( 0const. ≠=M ) II. način: istosmjerno promjenjivo opterećenje ( :)(tFF = 0,0ili0,0 minmaxminmax <≤≥> FFFF );

( :)(tMM = 0,0ili0,0 minmaxminmax <≤≥> MMMM );

III. način: izmjenično promjenjivo opterećenje ( 0i0:)( minmax <>= FFtFF ); ( 0i0:)( minmax <>= MMtMM )

Oznake vrste konstrukcijskog materijala

Vrste i načini opterećenja, značajke materijala

RSt37-2 S235JRG2Č0361

St50-2 E295 Č0545

St70-2 E360 Č0745

GG15 EN-GJL-150

SL 15

GG25 EN-GJL-250

SL 25

Naprezanje tečenja Re Rastezna čvrstoća Rm Savojna čvrstoća Rm s Savojno napr. tečenja Re s

Smično naprez. tečenja τ e

200..250 370..470

-

190 110

270..300 470..610

-

260 140

350..400 670..830

-

350 200

- 150 280

60 50

- 250 460

120 90

Rastezanje σ v dop I II

III

100..150 65..95 45..70

140..210 90..135 65..95

210..310 135..200 90..140

35..45 27..37 20..30

65..85 50..67 35..50

Sabijanje σ t dop I II

III

100..150 65..95 45..70

140..210 90..135 65..95

210..310 135..200 90..140

85..115 55..75 20..30

160..215 100..135 35..50

Savijanje σ s dop I II

III

110..165 70..105 50..75

150..220 100..150 70..105

230..345 150..220 105..125

50..70 35..50 25..35

100..135 65..90 40..60

Smik, uvijanje τ dop I II

III

65..95 40..60 30..45

85..125 55..85 40..60

125..190 80..125 60..90

40..55 30..40 20..30

75..100 55..75 35..50

Podaci prema:

1. Inženjerski priručnik IP4, Školska knjiga, Zagreb 1998.

2. http://www.fbm.fh-aalen.de/..../tabellen.html

3. Zebisch, H.-J.: Festigkeitslehre, kurz und bündig, Vogel-Verlag, Würzburg 1976.

Documents

008. Cvrstoca -Z.Vaucec