001-044 U 01 · Matrici e sistemi lineari 2 Trasposta di una matrice Si definisce trasposta della matrice quadrata A la matrice, indicata con AT, ottenuta da A scambiando le righe

© 2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica

Matrici e sistemi lineari

1. Matrici 1Trasposta di una matrice, 2Matrice diagonale e matrice unità, 2Matrici triangolari, 2

2. Operazioni con le matrici 3Addizioni di matrici, 3Moltiplicazione per un numero, 3Prodotto tra matrici, 4Prodotto matrice-vettore, 6

3. Determinante 84. Proprietà dei determinanti 105. Sistemi lineari 126. Sistemi lineari omogenei 157. Sistemi triangolari superiori. Metodo di Gauss 17

Trasformazioni di un sistema lineare, 18Il metodo di Gauss, 19

8. Matrice inversa 21Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24

9. Formula di Laplace 2510. Rango di una matrice 2611. Teorema di Rouché-Capelli 2712. Risoluzione di un sistema 29

Compatibilità, 29Unicità, 31Soluzioni, 31

Quesiti di verifica 32Laboratorio di informatica 33

1. Le matrici su DERIVE, 33 – 2. Operazioni con le matrici, 33 – 3. Un esperimento, 34 – 4. Sistemi lineari, 34 – 5. Esercizi, 35 – 6. Programmi, 36

Esercizi 37Matrici. Operazioni tra matrici, 37 – Determinanti e loro proprietà, 38 – Sistemi lineari, 40 –Sistemi lineari omogenei, 42 – Metodo di Gauss, 44 – Matrice inversa, 46 – Risoluzionedi un sistema con il metodo della matrice inversa, 48 – Formula di Laplace, 49 – Rango diuna matrice, 50 – Teorema di Rouché-Capelli, 50 – Discussione di un sistema lineare pa-rametrico, 52

Soluzioni 56

Indice

1© 2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica


Matrici

Una matrice è una tabella di numeri disposti su righe e colonne. Per esempio la tabella:

costituisce una matrice formata da due righe e da tre colonne; essa viene anche detta matricerettangolare 2 ¥ 3. Se il numero delle righe è uguale a quello delle colonne la matrice si di-ce quadrata e il comune numero di righe e colonne si dice ordine della matrice quadrata.Per esempio:

è una matrice quadrata 2 ¥ 2 o di ordine 2.L’elemento di una matrice appartenente alla riga i e alla colonna j si indica con aij; così, nel-la matrice considerata sopra, si ha:

a11 = 1 a12 = 7 a21 = –5 a22 = 3

In una matrice quadrata la diagonale contenente gli elementi a11, a22, a33… prende il nomedi diagonale principale. Nella matrice:

la diagonale principale è formata dagli elementi a11 = 3, a22 = – 4, a33 = 2.

3 1 4

2 4 0

0 5 2

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 75 3–

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 3 72 5 1–

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1


2

Trasposta di una matriceSi definisce trasposta della matrice quadrata A la matrice, indicata con AT, ottenuta da Ascambiando le righe con le colonne.

Una matrice si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta:

A = AT

cioè se sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Matrice diagonale e matrice unitàUna matrice quadrata si dice diagonale se sono nulli tutti gli elementi non appartenenti alladiagonale principale.La matrice diagonale con gli elementi della diagonale principale: a11, a22, a33... uguali a 1 sidice matrice unità.

Per l’ordine 2 la matrice unità è:

Per l’ordine 3 è:

Matrici triangolariUna matrice triangolare superiore è una matrice quadrata che ha nulli tutti gli elementiche si trovano al di sotto della diagonale principale, come per esempio:

Analogamente, una matrice triangolare inferiore è una matrice quadrata che ha nulli tuttigli elementi che si trovano al di sopra della diagonale principale, come per esempio:

1 0

3 4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0 0

2 3 0

8 4 1−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 1 4

0 4 6

0 0 5

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 3

0 2−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

I =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 0 00 1 00 0 1

I = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1


A AT=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

––

–

–

1 0 43 7 56 2 9

1 3 60 7 24 5 9

sempio

1

A AT=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=0 2 12 3 11 1 7

––

sempio

2

3


Operazioni con le matrici

Sull’insieme delle matrici si possono definire numerose operazioni. Consideriamo in questoparagrafo matrici quadrate di ordine 2 o 3.

Addizione di matriciDEFINIZIONE Date due matrici A e B quadrate e dello stesso ordine, si definisce loro somma:

C = A + B

la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B:

cij = aij + bij

La somma di matrici gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.La matrice nulla, cioè la matrice i cui elementi sono tutti zero, è l’elemento neutro per l’ad-dizione, e si indica con N.Si dice matrice opposta di A la matrice i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti ele-menti di A.

La matrice opposta di A si indica con – A e si ha:

A + (– A) = N

Moltiplicazione per un numeroDEFINIZIONE Si definisce prodotto di un numero reale l per una matrice A, la matrice l Ai cui elementi sono quelli di A moltiplicati per l.


2

A B C A B= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = + = − +

+– – –1 30 1

3 45 0

1 3 3 40 5 1 ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟0

4 75 1

–

sempio

3

A A= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 11 0

2 11 0

– –

sempio

4

Dati

Date le matrici , si ha:

12

23 12 0

4 02 6

7 10 6A B− = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

A B= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 24 0

2 01 3e

33 09 12A = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

–A = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =–

,1 03 4 3e sarà:λ

sempi

5

6



Proprietà della somma tra matrici quadrate dello stesso ordine e del prodottodi una matrice per un numero realeSiano A, B, C tre qualsiasi matrici quadrate di ordine n e N la matrice nulla dello stesso ordi-ne, l e m due qualsiasi numeri reali:

Prodotto tra matriciDEFINIZIONE Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine; si definisce loro pro-dotto righe per colonne:

C = A * B

la matrice i cui elementi chk si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della rigah-esima di A per gli elementi della colonna k-esima di B.

Così, se l’ordine è 2, si ha:

chk = ah1 ◊ b1k + ah2 ◊ b2k

mentre, se l’ordine è 3, si ha un altro addendo:

chk = ah1 ◊ b1k + ah2 ◊ b2k + ah3 ◊ b3k

somma tra due matrici prodotto di una matrice per un numero reale

1. A + (B + C) = (A + B) + C I. l (A + B) = lA + lB2. A + N = N + A = A II. (l + m) A = lA + mA3. A + (– A) = (– A) + A = N III. l (m A) = (l m) A4. A + B = B + A IV. 1 ◊ A = A

Date le matrici:

si ha:

c11 = (–1) ◊ 3 + 0 ◊ 0 = –3c12 = (–1) ◊ (– 4) + 0 ◊ 5 = 4c21 = 4 ◊ 3 + 3 ◊ 0 = 12c22 = 4 ◊ (– 4) + 3 ◊ 5 = –1

e quindi:

Date le matrici:

risulta:

A B*

( )

=⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅1 4 3 3 5 1 1 1 3 0 5 6 1 8 3 2 5 7

2 44 1 3 6 1 2 1 1 0 6 6 2 8 1 2 6 7

4 4 0

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅

( )

33 3 1 4 1 0 0 3 6 4 8 0 2 3 7+ − ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅

⎛

⎝

⎜

( ) ( ) ( ) ( )⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

18 29 49

1 38 28

13 22 11

A B= −−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 3 52 1 64 0 3

4 1 83 0 21 6 7

A B* *–= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 04 3

3 40 5

3 412 1

A B= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

– –1 04 3

3 40 5

sempi

7

8

5



Il consumo annuale medio di pane, carne, pesce (in kg) di 4 famiglie a1, a2, a3, a4, viene rappresenta-to dalla matrice:

pane carnepesce

I prezzi (in euro al kg) degli stessi prodotti negli anni 2004, 2005 vengono rappresentati dalla matrice B

2004 2005

Gli elementi della matrice prodotto C = A*B, composta da 4 righe e 2 colonne, forniscono la spesa to-tale di ciascuna famiglia per ciascun anno.Per esempio, l’ elemento c11 del prodotto è la spesa totale in euro della famiglia a1 nell’anno 2004:

c11 = 150 ¥ 2,30 + 125 ¥ 12,40 + 82 ¥ 16,60 = 3256,20 euro

l’elemento c12 è la spesa totale in euro della famiglia a1 nell’anno 2005:

c12= 150 ¥ 2,50 + 125 ¥ 12,50 + 82 ¥ 18,50 = 3454,50 euro

Analogamente, la seconda riga è formata dalla spesa totale della famiglia a2 in ciascun anno, la terza ela quarta riportano rispettivamente le spese delle famiglie a3 e a4 per ciascun anno:

2004 2005

a

a

a

a

1

2

3

4

3256 20 3454 50

6275 40 6555 00

2292 20

, ,

, ,

, 22477 50

3037 10 3253 00

,

, ,

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

B

pane

carne

pesce3 2

2 30 2 50

12 40 12 50

16 60 1,

, ,

, ,

,

=88 50,

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A

a

a

a

a

4 3

1

2

3

4

150 125 82

240 321 105

92 54 85

101 95 98

,=

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

In generale, il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa, cioè i due prodotti:

A * B e B * Apossono essere diversi.

9

Riferendosi all’esempio 7 si ottiene infatti, scambiando l’ordine, un prodotto diverso da quello precedente:

Vale, invece, la proprietà commutativa nel caso seguente:

Il prodotto delle due matrici, indipendentemente dall’ordine, è uguale alla matrice unità. Vedremo nelparagrafo 8 che ciascuna delle matrici scritte è l’inversa dell’altra.

3 12

2 1

14

18

12

34

14

18

12

3−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

*

44

3 12

2 1

1 00 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟*

B A* *= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − −⎛

⎝⎜⎞⎠

3 40 5

1 04 3

19 1220 15⎟⎟

sempi

10

11


6

Il prodotto di una matrice quadrata A per la matrice unità I dello stesso ordine coincide con A:

A * I = I * A = A

Prodotto matrice-vettoreSia A una matrice quadrata di ordine 2 e sia v (v1; v2) un vettore di �2, cioè una coppia ordi-nata di numeri reali.

DEFINIZIONE Si definisce prodotto di A per v il vettore:

w = A v

che ha come elementi le somme dei prodotti degli elementi delle righe di A per i corrispon-denti elementi di v.

Si osservi che se l’ordine è 2, indicate con (w1; w2) le componenti del vettore w, il prodotto

w = Av è il prodotto tra la matrice A e il vettore colonna , cioè:

dove:

w1 = a11v1 + a12v2

w2 = a21v1 + a22v2

Aa a

a a

v

v

w

wv =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∗

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟11 12

21 22

1

2

1

2

v

v1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟


Osservazione 1

Il prodotto tra due matrici quadrate non nulle può essere uguale alla matrice nulla, come per esem-pio nel caso del prodotto:

Pertanto nel prodotto tra matrici non vale la legge di annullamento del prodotto.

1 0

5 0

0 0

3 7

0 0

0 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟*

Il prodotto della matrice per il vettore v = (–2; 3)

è il vettore:

w =

tale che:

w1 = 1 ◊ (–2) + (–3) ◊ 3 = –11

w2 = 4 ◊ (–2) + 5 ◊ 3 = 7quindi:

w = (–11; 7)

ww

1

2

1 34 5

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟*

A = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 34 5

sempio

12

7


Il prodotto della matrice per il vettore v = (4; –2; 1) è il vettore:

w =www

1

2

3

0 3 73 5 11 4 2

421

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−⎛

⎝*⎜⎜

⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

136

A =− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

0 3 73 5 11 4 2

sempio

13

Indichiamo con (�n; +) l’insieme delle matrici quadrate di ordine n in cui sia stata introdotta l’operazione diaddizione tra matrici. L’addizione in �n è un’operazione interna, cioè la somma di due matrici qualsiasi A e B di ordine n è an-cora una matrice di ordine n: " A, B Œ �n, risulta:

A + B Œ �n

Questa proprietà si esprime dicendo che l’insieme �n è chiuso rispetto all’addizione. Inoltre, l’addizione gode delle seguenti proprietà:

1a associativa (A + B) + C = A + (B + C) "A, B, C Œ�n

1b esiste l’elemento neutro (la matrice nulla N)

A + N = N + A "A Œ�n

1c ogni elemento A Œ�n ha l’elemento opposto (o reciproco) – A Œ�n, tale che:

A + (– A) = – A + A = N "A Œ�n

1d commutativa A + B = B + A "A, B Œ �n

Un insieme in cui è definita un’operazione interna che gode delle proprietà 1a, 1b, 1c si dice che è un grup-po rispetto all’operazione considerata. Se vale anche la proprietà commutativa 1d, si dice che è un gruppo commutativo o abeliano.L’insieme �n rispetto all’addizione, indicato con (�n; +), è pertanto un gruppo commutativo o abeliano.

Nell’insieme �n, delle matrici quadrate di ordine n, consideriamo le due operazioni:

• una legge di composizione interna: l’addizione tra due matrici;• una legge di composizione esterna: la moltiplicazione di un numero reale per una matrice.

L’insieme �n è un gruppo commutativo rispetto all’addizione tra matrici.Inoltre il prodotto per un numero reale gode delle seguenti proprietà:

I distributiva rispetto all’addizione in �n:

l(A + B) = l A + lB "A, B Œ�n, " l Œ�

Struttura di spazio vettoriale dell’insieme �n sull’insieme �

Struttura di gruppo dell’insieme delle matrici quadrate (�n; +)


Se l’ordine è 3 si avrà un addendo in più:

w1 = a11v1 + a12v2 + a13v3w2 = a21v1 + a22v2 + a23v3w1 = a31v1 + a32v2 + a33v3


8

Determinante

DEFINIZIONE Data una matrice quadrata di ordine 2:

si definisce determinante di A, e si indica con det A, il numero reale:

det A = a11 ◊ a22 – a12 ◊ a21

ottenuto come differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello de-gli elementi dell’altra diagonale.

In particolare, il determinante det I della matrice unità vale 1; il determinante di una matri-

ce diagonale vale p ◊ q, ovvero il prodotto degli elementi della diagonale.

DEFINIZIONE Sia, invece, A una matrice quadrata di ordine 3:

Si definisce determinante di A il numero reale:

det A = a11 ◊ a22 ◊ a33 + a12 ◊ a23 ◊ a31 + a13 ◊ a21 ◊ a32 – a31 ◊ a22 ◊ a13 +– a32 ◊ a23 ◊ a11 – a33 ◊ a21 ◊ a12

Aa a aa a aa a a

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Dp

q= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

00

Aa aa a= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11 12

21 22


II distributiva rispetto all’addizione in �:

(l + m) A = l A + m A "A Œ�n, "l, mŒ�

III associativa l(m A) = (lm) A "A Œ�n, "l, mŒ�

IV neutralità rispetto a 1, elemento neutro della moltiplicazione in �

1 ◊ A = A "A Œ�n

Un insieme in cui siano definite due operazioni, una interna, indicata con +, rispetto alla quale l’insieme siaun gruppo commutativo e una esterna, indicata con ◊, che operi su � e che goda delle proprietà sopra elen-cate, si dice che è uno spazio vettoriale.Pertanto l’insieme (�n; +; ◊ ) è uno spazio vettoriale sull’insieme � dei numeri reali.

3

Data la matrice , si ha: det A = 4 ◊ 5 – 3 ◊ (–2) = 26A = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 32 5

sempio

14

9


Prepariamo la tabella formata da A e dalle sue prime due colonne ripetute alla sua destra:

La formula del determinante risulta analoga a quanto definito nel caso dell’ordine 2, cioè:

La regola enunciata per il determinante di ordine 3 si chiama regola di Sarrus.

Anche nell’ordine 3 la matrice unità:

ha det I = 1, mentre qualsiasi matrice diagonale:

ha come determinante det D = p ◊ q ◊ r, cioè il prodotto degli elementi della diagonale.Nonostante la sua complessa definizione, il determinante rispetta sul prodotto di matrici lasemplice relazione:

det (A * B) = det (A) ◊ det (B) = det (B * A)

Le matrici A * B e B * A, pur essendo in generale diverse, hanno lo stesso determinante.

Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi della diagonaleprincipale, per esempio:

Dp

qr

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

0 00 00 0

I =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 0 00 1 00 0 1

det A = somma dei prodotti relativi alle diagonali discendenti – sommadei prodotti relativi alle diagonali ascendenti

a12a11

a21

a31 a32

a13

a33

a23

a11

a31

a21

a12

a32

a22a22

3 1 4

0 4 6

0 0 5

3 4 5 60

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⋅ − ⋅ = −( )


Data la matrice:

la tabella è:

e di conseguenza: det A = 1 ◊ 7 ◊ 3 + 3 ◊ 4 ◊ 6 + 5 ◊ 2 ◊ 8 – 6 ◊ 7 ◊ 5 – 8 ◊ 4 ◊ 1 – 3 ◊ 2 ◊ 3 = – 87

1 3 5 31

2 7 4 2 7

6 8 3 6 8

A =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 3 52 7 46 8 3

sempio

15 SARRUS, matematicofrancese (1798-1861)


10

Proprietà dei determinanti

Elenchiamo ora alcune proprietà dei determinanti.

1. Se tutti gli elementi di una riga o tutti quelli di una colonna della matrice A sono nul-li, risulta det A = 0.

2. Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga o tutti quelli di una colonna di A perun fattore, risulta moltiplicato per lo stesso fattore anche il determinante.

3. Se si scambiano tra loro due righe o due colonne il determinante cambia segno.


4

Se:

si ha det A = 0, det B = 0.

A B= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 30 0

1 0 97 0 3

11 0 6

sempio

16

Se:

si ha det A = –18, mentre se si moltiplicano gli elementi della seconda riga per 3 si ottiene la ma trice:

e risulta det B = –54 = 3 det A.

B = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 56 24

A = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 52 8

sempio

17

Consideriamo la matrice:

si ha det A = –90; scambiando la prima e la terza colonna si ottiene la matrice:

e risulta det B = 90 = – det A.

B =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

7 5 22 4 05 1 3

A =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 5 70 4 23 1 5

sempio

18

11


4. Se due righe o due colonne di A hanno elementi uguali o proporzionali risulta det A = 0.

5. Se si sommano agli elementi di una riga o di una colonna di A i corrispondenti ele-menti di un’altra riga o colonna di A il determinante non cambia.

6. Se gli elementi di una colonna (o di una riga) si decompongono in due addendi, il de-terminante di A è la somma dei due determinanti delle matrici che hanno in tale co-lonna (in tale riga) i rispettivi addendi.

7. Se una colonna (o una riga) è combinazione lineare delle altre, il determinante è nullo.


Se:k Œ �

risulta det A = –5k + 5k = 0.

A k k= −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 55

sempio

19

Se:

risulta det A = 104; sommando gli elementi della prima riga con i corrispondenti elementi della se-conda riga si ottiene:

e risulta det B = 104 = det A.

B = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 102 0 94 0 8

A = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3 2 12 0 94 0 8

sempio

20

Se:

si ha det A = 51; scomponendo gli elementi della seconda colonna, si ottiene:

Infatti 51 = 32 + 19.

det det det5 61 9

5 2 41 6 3

5 21 6−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟det

5 41 3

5 61 9−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sempio

21


12

Sistemi lineariNel corso degli studi è stato già affrontato il problema della ri-soluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite:

che può anche essere considerato come il problema dell’in-tersezione di due rette.I metodi sviluppati saranno ora rienunciati e generalizzati con il linguaggio delle matrici e deiloro determinanti.Fissiamo la nostra attenzione sui sistemi di tre equazioni in tre incognite:

I numeri a11, a12, ..., a33 si chiamano coefficienti del sistema; i due indici posti stanno appun-to a indicare l’equazione e l’incognita cui si riferiscono; i numeri b1, b2, b3 vengono detti ter-mini noti. Indicata con A la matrice dei coefficienti:

con x il vettore a tre componenti: x (x1; x2; x3),

con b il vettore ancora a tre componenti: b (b1; b2; b3),

possiamo, ricordata l’operazione di prodotto di una matrice per un vettore, riscrivere il siste-ma nella forma vettoriale:

A x = b

Se il sistema ammette soluzioni, cioè se esistono terne di numeri (x1; x2; x3) che soddisfanotutte e tre le equazioni del sistema, questo si dice compatibile.Naturalmente, se non esistono soluzioni, il sistema si dice incompatibile.Un sistema compatibile che ammetta una sola soluzione si dice determinato.Se det A π 0, si può enunciare il teorema di Cramer, qui riportato nella forma riferita a un si-stema di tre equazioni in tre incognite.

Aa a aa a aa a a

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a x a x a x ba x a x a x ba

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31

+ + =+ + =

xx a x a x b1 32 2 33 3 3+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

ax by ca x b y c

+ =′ + ′ = ′

⎧⎨⎩


Nella matrice:

si osserva che l’ultima riga si ottiene moltiplicando la prima riga per –2 e sommando con la seconda ri-ga; si verifica che det A = 0.

A =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 4 23 2 51 6 1

sempio

22

5Le due rette di equazioni ax + by = ce a¢ x + b¢y = c¢ sono incidenti seab¢ – a¢b π 0, parallele se a¢ = ka,b¢ = kb, c¢ π kc, coincidenti sea¢ = ka, b¢ = kb, c¢ = kc, cioè se ilsistema da esse formato ha rispetti-vamente una sola soluzione, nessu-na soluzione, infinite soluzioni.

13


TEOREMA 1 (TEOREMA DI CRAMER) Un sistema di tre equazioni in tre incognite:

Ax = b

la cui matrice dei coefficienti abbia determinante diverso da zero, è compatibile e deter-minato: la terna soluzione (x1; x2; x3) è espressa dalle seguenti formule:

essendo A1, A2, A3 le tre matrici ottenute da A sostituendo rispettivamente la prima, la se-conda o la terza colonna con il vettore b dei termini noti.

Se det A = 0 il sistema può essere incompatibile o anche compatibile e non determinato.

xAA

xAA

xA

A11

22

33= = =

detdet

detdet

det

det


23CRAMER Gabriel (Ginevra 1704 –Bagnoles, Nîmes, 1752) Ma te ma ticoe filosofo svizzero, rivolse i suoistudi soprattutto alle cur ve algebri-che e alle loro singolarità e alla riso-luzione dei sistemi lineari: a lui sideve la regola risolutiva, che porta ilsuo nome, con il metodo dei deter-minanti.

Risolvere il sistema:

Consideriamo la matrice A dei coefficienti:

Poiché: det A = 2 ◊ 2 ◊ 3 + 1 ◊ 1 ◊ 1 + 4 ◊ 3 ◊ 3 – 1 ◊ 2 ◊ 4 – 3 ◊ 1 ◊ 2 – 3 ◊ 3 ◊ 1 = 26 π 0si può applicare il teorema di Cramer. Essendo:

Quindi la terna soluzione è:

x x x1 2 32626

1 5226

2 7826

3= = = = = =; ;

A A

A

1 1

2

16 1 410 2 116 3 3

26

2 1

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=

si ha: det

66 43 10 11 16 3

52

2 1 163 2

2

3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=

si ha: det A

A 1101 3 16

783

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=si ha: det A

A =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 1 43 2 11 3 3

2 4 16

3 2 10

3 3 16

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =

+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪⎪

sempio

Dato il sistema:x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

3 4 1

5 2 1

+ + = −− − =+ − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

sempi

24

detta A la matrice dei coefficienti:

risulta det A = 0, quindi il sistema non è determinato. Si osserva che la terza equazione è combinazio-ne lineare delle altre due (si ottiene moltiplicando per 2 la prima equazione e sommandola alla secon-da membro a membro); è quindi sufficiente considerare il sistema formato dalle prime due equazioni:

nelle incognite x1 e x2, visto che la matrice dei coefficienti di x1 e x2: ha determinante diver-so da zero. Posto x3 = l (l Œ �), basta risolvere il sistema:

Il sistema è dunque compatibile, ma indeterminato. Le infinite soluzioni sono date da:

Non è compatibile il sistema:

Esso, non solo non è determinato in quanto il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, ma èanche impossibile. Infatti, mentre il primo membro della terza equazione è combinazione lineare deiprimi due membri delle prime due equazioni:

x1 – 3x2 + 8x3 = 3x1 – x2 – 2 (x1 + x2 – 4x3)

non è così per i secondi membri: 4 – 2 ◊ 1 π 7.

Discutere, al variare di k Œ �, la compatibilità del sistema:

Consideriamo la matrice A dei coefficienti:

Si ha: det A = –k2 – 3k + 4

• Per k π – 4 e k π 1, si ha det A π 0, quindi il sistema è determinato: l’unica soluzione si calcola conla regola di Cramer.

A = − −−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 1 13 1 45 1 2

3 4

4 1

3 8 7

1 2

1 2 3

1 2 3

x x

x x x

x x x

− =+ − =− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x x x1 2 334

1 74

= = − − = ∈λ; λ; λ λ ( )�

x x

x x1 2

1 2

1

3 1 4

+ = − −− = +

⎧⎨⎩

λλ

1 13 1−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x x

x x x1 2 3

1 2 3

1

3 4 1

+ + = −− − =

⎧⎨⎩

A kk

=−+ −

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 01 1 12 0

x y

x k y z

x kz

− = −+ + − = −

− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

1 1

2 2

( )



25

26

15



• Per k = – 4 il sistema diventa:

Si osserva che la terza equazione si ottiene moltiplicando la prima equazione per 6, la seconda per– 4 e sommando membro a membro.È sufficiente quindi considerare il sistema formato dalle prime due equazioni nelle incognite x e y,visto che il determinante della matrice dei coefficienti:

è diverso da zero, porre z = l (l Œ �) e risolvere il sistema:

Il sistema è dunque compatibile e ha infinite soluzioni:

x = –1 – 2l y = –l z = l

• Per k = 1 il sistema diventa:

Anche in questo caso il sistema è compatibile; basta osservare che la terza equazione si ottiene som-mando le prime due membro a membro, porre z = l (l Œ �) e considerare il sistema:

che risolto fornisce le infinite soluzioni:

x y z= − + = =12 4λ λ λ

x y

x y

− = −+ = − +

⎧⎨⎩

2 1

2 1 λ

x − 2y = −1x + 2y −z = −1

2x –z = −2

⎧⎨⎪

⎩⎪

x y

x y

− = −− = − +

⎧⎨⎩

2 1

3 1 λ

1 21 3

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x − 2y = −1x − 3y − z = −1

2x +4z = −2

⎧⎨⎪

⎩⎪

Sistemi lineari omogenei

Se il vettore dei termini noti è il vettore nullo:

A x = 0

il sistema si dice omogeneo.È evidente che i sistemi omogenei sono compatibili, infatti hanno almeno la soluzione x1 = 0,x2 = 0, x3 = 0.Se inoltre det A π 0 allora il sistema è anche determinato e quindi non esistono altre solu-zioni oltre la soluzione (0; 0; 0) che si dice a volte banale.Se invece det A = 0 si possono trovare altre terne soluzione: esse vengono dette autosolu-zioni del sistema.

6



Il sistema omogeneo:

ha matrice dei coefficienti:

e risulta det A = –1 π 0. Il sistema ha l’unica soluzione:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0


ha matrice dei coefficienti:

e risulta det A = 0. Il sistema ammette, oltre alla soluzione banale:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0

anche autosoluzioni.Poiché la terza equazione è combinazione lineare delle altre due (si ottiene moltiplicando la secondaper due e sommando con la prima), basta considerare il sistema formato dalle prime due equazioni nel-le incognite x1, x2:

visto che il determinante della matrice è diverso da zero, porre x3 = l Œ � e risolvere il sistema:

Le infinite soluzioni del sistema al variare di l Œ � sono:

In particolare, per l = 0 si ottiene la soluzione:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0

x x x1 2 352

34

= = − =λ λ λ

A =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 0 20 1 41 1 1

x x

x x

x x x

1 3

2 3

1 2 3

2 0

4 0

0

− =+ =

+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x x

x1 2

2

2

4 3

+ == −

⎧⎨⎩

λλ

1 20 4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x1 + 2x2 − x3 = 04x2 + 3x3 = 0

⎧⎨⎩

A =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 10 4 31 10 5

x x x

x x

x x x

1 2 3

2 3

1 2 3

2 0

4 3 0

10 5 0

+ − =+ =

+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

sempi

27

28

17



Discutere, al variare di k Œ �, il sistema omogeneo:

Calcoliamo dapprima il determinante della matrice A dei coefficienti; risulta:

det A = k2 + 2k – 3

Per k π –3 e k π 1 si ha det A π 0, quindi il sistema è determinato, ammettendo solo la soluzione banale:

x = 0 y = 0 z = 0

Per k = –3, il sistema si scrive:

Si osserva che la terza equazione si ottiene moltiplicando la prima per e la seconda per e som-

mando membro a membro; basta quindi considerare il sistema formato dalle ultime due equazioni nel-le incognite y e z, visto che il determinante della matrice dei coefficienti:

è diverso da zero.Posto x = l (l Œ �), il sistema si scrive:

Le soluzioni sono:

Per k = 1 il sistema diventa:

Con procedimento analogo si ottengono le soluzioni:

kx y kz

x k y z

x ky

− − =− − + =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 2 0

1 0

0

( )

−3x − 3y + 6z = 0

x + 4y + z = 0x + 3y = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

x y z= = = −λ λ λ

x y z

x z

x y

− − =+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 2 0

0

0

x y z= = − =λ λ λ3 3

4

3

y z

y

+ = −= −

⎧⎨⎩

λλ

4 13 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

− 19

29

Sistemi triangolari superioriMetodo di Gauss

Gli algoritmi proposti nel seguito sono considerati sotto la limitazione di tre equazioni in treincognite per semplicità.Il titolo del paragrafo si riferisce al caso di sistemi con matrice dei coefficienti con gli elemen-ti posti al di sotto della diagonale principale tutti nulli, matrice quindi determinata dal “trian-golo superiore”:

a x a x a x ba x a x b

a x b

11 1 12 2 13 3 1

22 2 23 3 2

33 3 3

+ + =+ =

=

⎧⎨⎨⎪

⎩⎪

7


18

Si comincia dall’ultima equazione:

Sostituendo nella penultima il valore x3 trovato, si ha:

quindi:

Sostituendo nella prima equazione i valori di x3 e x2 trovati, si ha:

La risoluzione di sistemi triangolari (inferiori o superiori) non richiede algoritmi speciali: èuna risoluzione diretta!

Trasformazioni di un sistema lineareLe “trasformazioni” possibili di un sistema lineare sono:

a) moltiplicare (o dividere) membro a membro un’equazione del sistema per un fattore nonnullo;

b) addizionare (o sottrarre) da un’equazione una qualsiasi altra equazione (dello stesso sistema).

Tali trasformazioni cambiano la matrice dei coefficienti ma, se essa aveva determinante di-verso da zero, tale risulta anche il determinante della nuova matrice.

x b ab a

ba

aa

ba1 1 12

2 233

33

2213

3

33

= − ⋅− ⋅

− ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⋅ 1

11a

xb a

ba

a2

2 233

33

22

=− ⋅

a x aba

b22 2 233

332⋅ + ⋅ =

xba3

3

33

=


Osservazione 2

Quanto detto sopra richiede che:

a11 π 0 a22 π 0 a33 π 0

Se per esempio fosse stato a33 = 0, è evidente che il sistema sarebbe stato incompatibile a meno cheanche b3 non fosse zero.Tenuto presente che, nel caso di una matrice A triangolare (superiore o inferiore), si ha:

det A = a11 a22 · a33

la richiesta che i tre coefficienti siano diversi da zero non appare sorprendente. È noto, dal teoremadi Cramer, che i sistemi di tre equazioni in tre incognite sono risolubili qualunque siano i termininoti se e solo se det A π 0.Nell’ipotesi a11 π 0, a22 π 0 e a33 π 0, si può dividere la prima equazione per a11, la seconda per a22e la terza per a33; il sistema si riduce allora a

x c x c x d

x c x d

x d

1 12 2 13 3 1

2 23 3 2

3 3

+ + =+ =

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

19


Il metodo di GaussLe soluzioni di un sistema di tre equazioni in tre incognite possono essere ricercate medianteun procedimento di eliminazioni successive detto metodo di Gauss.Dato il sistema:

moltiplichiamo la prima equazione per a21 e la seconda per a11 e quindi sottraiamole tra loro.L’equazione che così si ottiene non ha più il termine in x1.Analogamente, moltiplichiamo la prima equazione per a31 e la terza per a11 e quindi sottraia-mole; l’equazione che così si ottiene è anch’essa priva del termine in x1. Con le due operazioniindicate abbiamo trasformato il sistema in un altro equivalente, nel quale tuttavia la secondae la terza equazione non contengono l’incognita x1:

Naturalmente i coefficienti a¢22 ecc. sono diversi dai precedenti a22 ecc.A questo punto moltiplichiamo la seconda equazione per a¢32 e la terza per a¢22 e sottraiamole; l’e-quazione che così si ottiene non ha più neanche l’incognita x2: si tratta di un’equazione nella sola x3.

Il sistema si presenta ora nella forma detta a matrice triangolare superiore:

Dalla terza equazione, almeno se a¢¢33 π 0, è possibile ricavare:

Se ne sostituisce il valore nella seconda e da essa, almeno se a¢22 π 0, si ricava x2. Trovate x3e x2, si sostituiranno nella prima equazione dalla quale, almeno se a11 π 0, si ricava x1.

a x a x a x ba x a x b

a x

11 1 12 2 13 3 1

22 2 23 3 2

33

+ + =′ + ′ = ′

′′ 33 3= ′′

⎧⎨⎪

⎩⎪ b

a x a x a x ba x a x ba x

11 1 12 2 13 3 1

22 2 23 3 2

32 2

+ + =′ + ′ = ′′ ++ ′ = ′

⎧⎨⎪

⎩⎪ a x b33 3 3


11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31

+ + =+ + =

xx a x a x b1 32 2 33 3 3+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

xba3

3

33

=′′′′


GAUSS, Karl Friedrich (Brunswick 1777 – Gottinga 1855) Matematico, fisico, astronomo e geodeta tede-sco, si occupò di tutti i rami delle ma tematiche pure e applicate, la sciando ovunque tracce del suo ec -cezionale ingegno; per i suoi studi e i risultati conseguiti, i suoi contemporanei lo chiamarono princeps ma - thematicorum. Iniziò giovanissimo ad occuparsi di teoria dei numeri; le successive ricerche di alta aritme-tica lo portarono a elaborare la prima dimostrazione rigorosa del teorema fondamentale dell’algebra. Fornìun metodo generale per la risoluzione delle equazioni binomie e in generale la decomposizione in fattorisemplici del binomio x2n+1 – 1 nel caso che 2n + 1 sia primo.In astronomia studiò nuovi metodi per il calcolo delle orbite dei pianeti e delle comete. In fisica matematicaelaborò i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proposizioni fondamentali dellateoria del potenziale legati al suo nome. Fra le sue numerosissime opere ricordiamo le Di squi sitiones arith-meticae del 1801, primo trattato moderno di teoria dei numeri, e Theoria motus corporum coelestium in sec-tionibus conicis solem ambientium.


20

Il metodo di Gauss pertanto consente di stabilire il seguente

TEOREMA 2 Ogni sistema di n incognite, con matrice dei coefficienti a determinante di-verso da zero, può essere trasformato in un sistema a matrice triangolare superiore condiagonale principale fatta di tutti uno.


Risolvere con il metodo di Gauss il sistema:

Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e sottraiamola dalla seconda; si ottiene:

–11x2 + x3 = –12

Analogamente, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e sottraiamola dalla terza; si ottiene:

–7x2 – 5x3 = –2

Il sistema resta trasformato così nel sistema equivalente:

Moltiplichiamo ora la seconda equazione per –7 e la terza per –11 e sottraiamo membro a membroottenendo:

– 62x3 = 62 fi x3 = –1

Quindi il sistema può scriversi in modo equivalente:

da cui, risalendo e sostituendo, si ottiene:

x2 = 1 x1 = 1

Quindi la terna soluzione è (1; 1; –1).

Risolvere con il metodo di Gauss il sistema:

Si ha, moltiplicando la prima equazione per 5 e sottraendola dalla seconda:

x y z

y z

x y z

− + =− = −

+ − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 7 10

14 34 42

4 10 11

sottraendo dalla 3 la1a a

⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯

x y z

y z

y z

− + =− = −− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 7 10

7 17 21

7 17 21

x y z

x y z

x y z

− + =− + =+ − =−

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 7 10

5 8

4 10 11

x x x

x x

x

1 2 3

2 3

3

3 3

11 12

1

+ + =− + = −

= −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x x x

x x

x x

1 2 3

2 3

2 3

3 3

11 12

7 5 2

+ + =− + = −− − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 3

3 2 4 3

2 3 4

+ + =− + = −− − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

sempi

30

31

21


Matrice inversa

DEFINIZIONE Se A è una matrice quadrata di ordine n, si chiama matrice inversa di A, e siindica con A–1, una matrice di ordine n, se esiste, tale che:

A–1 * A = A * A–1 = I

dove I indica la matrice unità di ordine n.

Si osservi che la definizione è analoga a quella di reciproco di un numero a (infatti a–1 recipro-co di a è tale che a ◊ a–1 = a–1 ◊ a = 1) e che la sua esistenza è assicurata dalla condizione a π 0.In analogia, si può provare che esiste ed è unica la matrice inversa della matrice A sedet A π 0.

Se det A π 0, il sistema:

per il teorema di Cramer ha una sola soluzione:

La matrice:

si chiama matrice inversa della matrice A, poiché risulta:

A–1 * A = A * A–1 = I

x

b ab a

Ab

aA

ba

1

1 12

2 221

222

12=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +−

det

det det ddet Ax

a ba b

Ab

aA

ba

2

11 1

21 21

212

11=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

+det

det det ddet A

a x a x ba x a x b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

+ =+ =

⎧⎨⎩

n = 2

A

aA

aA

aA

aA

− =

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1

22 12

21 11

det det

det det⎟⎟


Perciò il sistema si riduce a un sistema di due equazioni in tre incognite che si può scrivere:

Il sistema è compatibile, ma indeterminato. Posto z = l, calcolando prima y e successivamente x, siottengono, al variare di l Œ �, le infinite soluzioni:

z = l

che si possono anche scrivere nel modo seguente:

x = 2l + 1 y = 17l –3 z = 7l

x y z

y z

− = − += −

⎧⎨⎩

3 7 10

7 17 21

y = −177

3λx = +27

1λ

8


22

Infatti:

Inoltre è facile verificare che det A–1 = .

Ora, considerato il generico elemento ahk della matrice:

se sopprimiamo la riga h-esima e la k-esima colonna che incrociano l’elemento stesso e cam-biamo segno se h + k è dispari, determiniamo il cosiddetto complemento algebrico dell’ele-mento ahk, che indicheremo con Ahk.Risulta quindi:

A11 = a22 A12 = –a21 A21 = –a12 A22 = a11

La matrice inversa della matrice A può quindi essere scritta:

Considerata la matrice:

il complemento algebrico dell’elemento ahk è il determinante del secondo ordine che si ottie-ne sopprimendo la riga h-esima e la colonna k-esima e cambiando segno se h + k è dispari.

aA

aA

aA

aA

22 12

21 11

det det

det det

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∗ aa aa a

a11 12

21 22

11 00 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e 11 12

21 22

22 12

21

aa a

aA

aA

aA

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∗

−

− det det

detaa

A11

1 00 1

det

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1det A

Aa aa a= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11 12

21 22

A

AA

AA

AA

AA

– det det

det det

1

11 21

12 22

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

n = 3

Aa a aa a aa a a

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

11 12 13

21 22 23

31 32 33


Determinare la matrice inversa della matrice .

Risulta: det A = 1 π 0. Poiché: A11 = 3, A21 = –5, A12 = –1, A22 = 2, si ha:

e det A–1 = 1. Proviamo ora che A–1 * A = A * A–1 = I.Infatti, moltiplicando righe per colonne:

2 51 3

3 51 2

1 00 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟* e

3 51 2

2 51 3

1 00 1

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝* ⎜⎜⎞⎠⎟

A− = −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 3 51 2

A = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 51 3

sempio

32

23


Così, per esempio:

Consideriamo ora il sistema di 3 equazioni in 3 incognite:

Se det A π 0, l’unica soluzione è:

La matrice:

è la matrice inversa della matrice A, poiché risulta A–1 * A = A * A–1 = I.

Riassumendo, per ottenere la matrice inversa di A si può procedere al modo seguente:

1. formare una matrice che ha per elementi i complementi algebrici Ahk degli elementi ahk;2. considerare la trasposta della matrice ottenuta (scambiare le righe con le colonne);3. dividere ciascun elemento della matrice così ottenuta per det A.

A

AA

AA

AA

AA

AA

A− =1

11 21 31

12 22 32

det det det

det det deet

det det det

AA

AA

AA

A13 23 33

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

x

b a ab a ab a a

A1

1 12 13

2 22 23

3 32 33=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

det

detbb

AA

bA

Ab

AA

x

a b a

111

221

331

2

11 1 1

det det det

det

+ +

=

33

21 2 23

31 3 331

122

a b aa b a

Ab

AA

b

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= +det det

AAA

bA

A

x

a a ba a ba

223

32

3

11 12 1

21 22 2

31

det det

det

+

=aa b

Ab

AA

bA

Ab

A32 31

132

233

3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= + +det det det

33

det A


11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31

+ + =+ + =

xx a x a x b1 32 2 33 3 3+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Aa aa a A

a aa a11

22 23

32 3332

11 13

21= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −det det223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Considerata la matrice:

si ha che det A = 12.Poiché:

A11 = 7 A21 = –4 A31 = –5A12 = 2 A22 = 4 A32 = 2A13 = 1 A23 = –4 A33 = 1

A = −−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 10 1 21 2 3

sempio

33


24

Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversaConsideriamo un sistema in cui il numero delle equazioni sia uguale al numero delle incognitescritto nella forma vettoriale

Ax = b

Se det A π 0 il sistema ammette una sola soluzione e la matrice A ha la sua inversa A-–1.Moltiplicando entrambi i membri della precedente uguaglianza a sinistra per A–1 si ha:

A–1[Ax] = A–1b

ed essendo A–1 * A = I, si ha:x = A–1b

che fornisce la soluzione del sistema.


Considerato il sistema:

si ha det A = 12. La matrice inversa calcolata nell’esempio precedente è la seguente:

quindi

da cui:

x x1 27

124 4

125

122 17

62

124 4

122

1= ⋅ − − ⋅ − = = ⋅ + +( ) ;

222 2

31

124 4

121

122 1

63⋅ − = = ⋅ − + ⋅ − = −( ) ; ( ) x

x = ( ) =

− −

−

x x x1 2 3

712

412

512

212

412

212

112

412

112

; ;

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⋅−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

412

A–1

712

412

512

212

412

212

112

412

112

=

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x x x

x x

x x x

1 2 3

2 3

1 2 3

2 4

2 1

2 3 2

+ + =− =

− + + = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

sempio

34

la matrice inversa è:

e risulta: .det A− =1 112

A− =

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

1

712

412

512

212

412

212

112

412

112

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

25


Formula di Laplace

DEFINIZIONE Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma deiprodotti di una riga (o colonna) qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Nel caso n = 2 l’asserto è ovvio.Verifichiamo nel caso n = 3 prendendo in considerazione la prima riga; si ha:

a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11(a22a33 – a23a32) – a12 (a21a33 – a23a31) + a13 (a21a32 – a22a31) == a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 = det A

La formula osservata è detta formula di Laplace per determinanti.


9

Osservazione 3

La formula di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 servendosidei determinanti di tre matrici di ordine 2. Sotto questo punto di vista la formula suggerisce la de-finizione di determinante per matrici di ordine anche maggiore di 3, come somma dei prodotti de-gli elementi di una riga per i rispettivi complementi algebrici. Così per una matrice di ordine 4 laformula conduce alla somma dei prodotti dei quattro elementi di una riga per i rispettivi comple-menti algebrici, che comportano il calcolo di quattro determinanti di matrici di ordine 3.

Calcoliamo il determinante della matrice:

Si ha:

= 2 (2 – 15) – 3 (– 6 – 35) + 4 (9 + 7) = – 26 + 123 + 64 = 161

det det det detA =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+21 5

3 23

3 5

7 24

3 −−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

7 3

A = −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 3 4

3 1 5

7 3 2

sempio

35

LAPLACE Pierre-Simon de (1749-1827) Astronomo e ma tematico fran-cese, uno dei massimi scienziatifrancesi dell’epoca napoleonica. Lasua opera è legata ai suoi studi diastronomia e meccanica celeste. Incampo matematico compì fonda-mentali ricerche di analisi infinitesi-male, sulla teoria delle serie, sull’in-tegrazione delle equazioni differen-ziali.

Calcoliamo il determinante della matrice quadrata di ordine 4:

sviluppando secondo gli elementi della terza riga:

det A = A33 + 4A34Essendo:

A A33 34

1 3 0

5 2 2

3 3 2

1 3 4

5 2 0

3 3 3

= − = −−

−−

det det

A =

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 3 4 0

5 2 0 2

0 0 1 4

3 3 3 2

sempio

36


26

Rango di una matriceIntroduciamo ora un nuovo concetto, il rango di una matrice, strettamente collegato con la ri-solvibilità di un sistema lineare.Una matrice m ¥ n è una tabella numerica formata da m righe ed n colonne del tipo:

Scelte ad arbitrio p righe e p colonne di A, la matrice quadrata formata da tali righe e colon-ne si dice estratta da A. Il determinante della matrice estratta prende il nome di minore.

DEFINIZIONE Si definisce rango (o caratteristica) di una matrice A l’ordine più alto rispet-to al quale esistono matrici quadrate estratte da A con determinante diverso da zero.

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

=

…

…

… … … ……

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

11 12 1

21 22 2

1 2

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟


si ha:A33 = – 22 A34 = 33

quindi: det A = 110

10

Dalla matrice:

si possono estrarre 4 matrici di ordine 3:

18 matrici di ordine 2, per esempio:

e 12 matrici di ordine 1 formate da ciascun elemento di A.

7 5

3 4

0 8

3 7

1 7

2 3−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0 4

1 7 5

2 3 4

1 0 8

1 7 1

2 3 7

1 4

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

88

1 5 1

2 4 7

0 4 8

7 5 1

3 4 7

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a = −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 4 8

1 7 5 1

2 3 4 7

sempio

37

Il rango della matrice A considerata nell’esempio precedente è 3. Infatti, matrici estratte da A con p >3 non ce ne sono e del resto la matrice:

ha determinante – 45 π 0.

A = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 4 8

1 5 1

2 4 7

sempi

38

27


Sussiste il seguente teorema:

TEOREMA 3 In una matrice il numero di vettori riga linearmente indipendenti coincide conil numero di vettori colonna linearmente indipendenti e coincide con il rango.

Possiamo dunque dare un’altra definizione di rango:

Il rango di una matrice è il numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti.

Teorema di Rouché-Capelli

Consideriamo il sistema di tre equazioni in tre incognite:

e poniamo:a1 = (a11; a21; a31)a2 = (a12; a22; a32)a3 = (a13; a23; a33)b = (b1; b2; b3)

a x a x a x b

a x a x a x b

a

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31

+ + =

+ + =

xx a x a x b1 32 2 33 3 3+ + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


La matrice:

ha determinante nullo perché la terza riga è la somma delle altre due, mentre la matrice estratta

di ordine 2 ha determinante non nullo. Quindi il rango di B è uguale a 2.

Il rango della matrice:

è uguale a 1 in quanto, essendo le righe proporzionali, tutte le matrici estratte di ordine 3 e di ordine 2hanno determinante nullo.

C =

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2 3 1

4 6 2

8 12 4

23

1 13

3 2

1 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 2 4

1 0 1

4 2 3

39

40

Osservazione 4

Si osservi che ciascuna riga (o colonna) di una matrice può considerarsi come un vettore. È possi-bile che i vettori riga (o colonna) siano linearmente indipendenti o dipendenti (vedi § 4.4).Nei tre esempi precedenti, nella matrice A i tre vettori riga sono linearmente indipendenti, nella ma-trice B i primi due vettori riga sono linearmente indipendenti mentre il terzo vettore riga dipende li-nearmente dagli altri due, infine nella matrice C un solo vettore riga è indipendente.

11 ROUCHÉ Eugène (1832-1910)Matematico francese, i suoiprin cipali lavori riguardano losviluppo in serie delle funzioni,la teoria delle equazioni algebri-che, il calcolo delle probabilità.

CAPELLI Alfredo (Milano 1855– Napoli 1910) Matematico,pro fessore di algebra primaall’università di Palermo e dal1886 a quella di Napoli. I suoistudi furono rivolti soprattuttoall’analisi algebrica.


28

Dire che il sistema iniziale è compatibile corrisponde a dire che il vettore b è combinazionelineare, con opportuni coefficienti x1, x2 e x3, dei tre vettori a1, a2 e a3:

x1 · a1 + x2 · a2 + x3 · a3 = b

Quanto osservato corrisponde a riconoscere che l’iniziale sistema ha soluzione se il vettore bdei “termini noti” è linearmente dipendente dai tre vettori dati dalle tre “colonne dei coeffi-cienti”.In altri termini, affinché il sistema sia compatibile, il numero di vettori linearmente indipen-denti tra a1, a2 e a3 e tra a1, a2, a3 e b deve essere lo stesso, perché quest’ultimo deve esserecombinazione lineare dei primi tre.Questo insieme di osservazioni fornisce una risposta esauriente al problema della decisionesull’esistenza o meno di soluzioni per un sistema lineare. La questione è trasformata nel cal-colo del rango di due matrici, la matrice A dei coefficienti del sistema:

detta anche “matrice incompleta del sistema” e la matrice B dei coefficienti e dei termini noti:

TEOREMA 4 (TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI) Condizione necessaria e sufficiente affinché unsistema di equazioni lineari ammetta soluzioni è che la matrice dei coefficienti e la matri-ce dei coefficienti e termini noti abbiano lo stesso rango.

B

a a a b

a a a b

a a a b

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

⎟⎟⎟

A

a a a

a a a

a a a

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11 12 13

21 22 23

31 32 33


Consideriamo il sistema:

Poiché la matrice incompleta:

ha rango 2, essendo diverso da zero il minore di ordine 2 formato dalle prime due righe, e la matri-ce completa:

1 4 5

2 5 1

5 6 7

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 4

2 5

5 6

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x y

x y

x y

− =+ =+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

4 5

2 5 1

5 6 7

sempio

41

29


Risoluzione di un sistema

Illustriamo brevemente i passi fondamentali, suggeriti dai risultati precedenti (teoremi diRouché-Capelli e di Cramer), per rispondere alle seguenti domande:

• il sistema assegnato è compatibile?• la soluzione è unica?• quali sono le soluzioni?

CompatibilitàLa risposta è nel teorema di Rouché-Capelli: occorre che il rango della matrice completa equello della matrice incompleta siano uguali.Questo accade certamente nei sistemi quadrati con matrice dei coefficienti a determinante di-verso da zero, qualunque siano i termini noti.

Se il sistema non è quadrato o, pur essendo quadrato, la matrice dei coefficienti ha determi-nante zero, la condizione di compatibilità di Rouché-Capelli coinvolge i termini noti.È giusto osservare che i sistemi omogenei sono naturalmente sempre compatibili.


ha anch’essa rango 2, in quanto il minore di ordine 3, cioè il determinante della matrice stessa, è ugua-le a zero, il sistema ha soluzioni; per calcolarle basta considerare il sistema:

le cui soluzioni sono:

x y= = −2913

913

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

4 5

2 5 1

12

Sia dato il sistema quadrato d’ordine 2:

La matrice dei coefficienti ha determinante zero e rango 1.La matrice completa:

può avere rango 1 oppure 2 a seconda dei valori di h e k.Così, se h = 1 e k = 1, la matrice completa ha rango 2 perché in essa si trova il minore

formato dalla seconda e terza colonna che ha determinante – 1 π 0.Se invece k = 2h si riconosce facilmente che la matrice completa ha anch’essa rango 1. Infatti è evi-dente che, stante la proporzionalità dei primi membri, l’unica possibilità che il sistema assegnato siacompatibile è che siano altrettanto proporzionali i secondi membri.

1 1

2 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

2 2

h

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y h

x y k

+ =+ =

⎧⎨⎩2 2

sempio

42


30

UnicitàLa questione è subordinata all’avere ottenuto risposta positiva alla domanda precedente.Supponiamo quindi di lavorare con un sistema per il quale la matrice dei coefficienti e la ma-trice completa abbiano lo stesso rango r.Possono verificarsi due casi:

a) il rango r è uguale al numero delle incognite;b) il rango r è minore del numero delle incognite.

Nel primo caso c’è unicità, nel secondo no.

SoluzioniLa questione della determinazione “esplicita” delle soluzioni è subordinata all’avere ottenutorisposta positiva alla prima domanda.Supponiamo quindi di lavorare con un sistema per il quale la matrice dei coefficienti e la ma-trice completa abbiamo lo stesso rango r.Dire che la matrice dei coefficienti del sistema ha rango r vuol dire che certe sue “fortunate”r righe e certe sue “fortunate” r colonne offrono un minore con determinante diverso da zero.Scartiamo dal sistema tutte le equazioni che non rientrano nelle r righe “fortunate”. Siamo ridotti a questo punto a un sistema con r equazioni.In esse portiamo a secondo membro tutte le incognite, se ce ne sono, che non rientrano nelle rcolonne “fortunate” di cui sopra, cioè se il numero delle incognite del sistema è superiore a r.Diamo a ciascuna di tali incognite eccedenti r valori arbitrari l, m ecc. Siamo ridotti a questopunto a un sistema “di Cramer”:

• r equazioni;• r incognite;• matrice dei coefficienti a determinante diverso da zero.

Questo sistema si risolve appunto come il teorema di Cramer insegna.Se il numero delle incognite del sistema supera r, tali soluzioni tuttavia dipenderanno dagli ar-bitrari valori l, m ecc. che abbiamo attribuito alle incognite eccedenti portate a secondo mem-bro. Avremo in questo caso “infinite soluzioni”.


Consideriamo il sistema d’ordine 2:

Il rango r in questo caso è 1; si hanno due incognite… quindi non c’è unicità della soluzione!Infatti il sistema equivale, in questo caso, alla sola prima equazione:

x + y = hla quale equivale anche a

x = h - y

Possiamo dare ad y un valore arbitrario l e ricavare:

x = h – l

Il sistema quindi ha le infinite soluzioni:

x = h – l, y = l per ogni l Œ �

x y h

x y h

+ =+ =

⎧⎨⎩2 2 2

sempio

43

31



Consideriamo il sistema:

La matrice dei coefficienti:

ha rango 2, come si riconosce osservando che la terza riga è esattamente il doppio della seconda.Lo stesso dicasi per la matrice completa:

Il sistema è quindi compatibile.Le prime due righe e le prime due colonne sono quelle “fortunate” secondo il linguaggio convenziona-le usato sopra; esse forniscono un minore nella matrice dei coefficienti:

con determinante – 2 π 0.Scegliamo quindi dal sistema le prime due equazioni, scartiamo cioè la terza:

Successivamente portiamo a secondo membro le incognite che non figurano nelle colonne “fortunate”,attribuendo loro i valori arbitrari z = l e w = m:

Risolviamo il sistema “di Cramer” rimasto:

Le soluzioni del sistema “iniziale” sono le seguenti:

z = l w = m

qualunque siano i numeri reali l e m.

y = − +22

λx = − −4 3 2

2λ μ

y = − +22

λx = − −4 3 22λ μ

x y

x y

+ = − −− = − −

⎧⎨⎩

1

3 2

λ μλ μ

x y z w

x y z w

+ + + =− + + =

⎧⎨⎩

1

2 3

1 1

1 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 1 1 1

1 1 2 1 3

2 2 4 2 6

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1 1

1 1 2 1

2 2 4 2

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x y z w

x y z w

x y z w

+ + + =− + + =

− + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

2 3

2 2 4 2 6

sempio

44

32


Quesiti di verifica


Il prodotto della matrice per il

vettore v(2; –1) è il vettore:

(5; 3) (–2; –6)

(–11; –5) (11 ; 3)

Data la matrice calcolare la

matrice A * A = A2 e verificare quale delle se-guenti relazioni è esatta:

det A = det (A2) (det A)2 > det (A2)

(det A)2 = det (A2) (det A)2 < det (A2)

Il prodotto righe per colonne tra matrici ècommutativo?Giustificare la risposta, considerando lematrici:

Se allora:

x = 1, y = –2, z = –1, t = 4

x = –1, y = –2, z = –1, t = 4

x = –1, y = 2, z = 1, t = 4

x = 1, y = –2, z = 1 , t = –4

Se

allora x, y, z, t sono nell’ordine:

1, 2, 3, 4 non si possonodeterminare

nessunadelle precedenti

In un codice cifrato, ogni lettera è sostituitacon il numero corrispondente alla posizionenell’alfabeto italiano; così, “per esempio”,BENE diventa la matrice:

Per ulteriore segretezza ciascun messaggiodi 4 lettere è inviato in codice come M * C,dove:

Se l’agente riceve la matrice:

allora il messaggio è:

SANO VINO

FARO CANE

Per quali valori di a e b la matrice

ha rango 1?

a = 0, b = 0

a = 3, b = 1

a = 0, b = 1

a = 1, b = 3


ha la sola soluzione x = y = z = 0

ha infinite soluzioni

non ha soluzioni

L’inversa della matrice A = è:

non esiste

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

5 1 2

3 1 2

2 1 0

c

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 2

5 1 2

2 1 2

b d

a

−− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

7 1 2

5 1 1

2 1 0

1 2 1

2 4 3

3 5 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

d

c

b

a

3 4

6 2

a b a b

a b

− −− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d52

32

0 2; ; ;b

ca

2 1

0 1

5 1

0 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y

z t

5

d

c

b

a

x y

z t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∗−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1 3

3 8

5 144

d

c

b

a

A =−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 3

2 1

9

8

7

6

3

2

c

b

a

x y z

x y z

x y z

+ − =− − =+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 3 0

3 0

4 0

db

ca

13 5

45 3

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 1

1 1

M =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 5

12 5

A B=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

2 4

3 2

5 1

db

ca

A =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 3

4 1

1

33

Laboratorio di informatica



Comandi

1. Le matrici su DERIVE

Una matrice si può assegnare su DERIVE con due procedimenti equi va lenti:

• da Author, scrivendo esplicitamente i vettori righe della matrice: così per assegnare la matrice

si deve scrivere:[[ 3 , 4],[–2, 5]]

• l’altro procedimento si avvale della tendina Matrici, che propone prima un box per numero di ri-ghe e di colonne, e successivamente (fig. 1), un box in cui scrivere i termini della matrice.

Per esempio, per assegnare la matrice a si-nistra si compila il box a destra:

Dato l’OK, la matrice viene scritta sulla pagina d’Algebra, per esempio al primo rigo: per darleun nome, per esempio A, indispensabile per usare la matrice, basta scrivere, sempre da Author

A:= #1

Le matrici identità di ordine n, matrici quadrate d’ordine n con 1 sulla diagonale principale e 0 al-trove, sono costruite automaticamente da DERIVE con il comando IDENTITY_MATRIX(n).

2. Operazioni con le matrici

Assegnate due matrici A e B si possono costruire con DERIVE:

• aA, comando alpha*A;• A + B, comando A + B;• A ◊ B, comando A*B; • An, comando A^n;• Av, con A matrice e v vettore, comando A*v.

Tutto come con l’algebra dei numeri reali..., tutto tranne la divisione! Si provi ad assegnare, da Author, A/B, e se ne chieda la semplificazione, cioè il risultato.DERIVE proporrà una matrice (che certanente non si poteva prevedere) che corrisponde ad aver let-to A/B come A*B^(–1) avendo dato a B^(–1) il significato di matrice inversa di B.

7 3 1

0 5 2

1 5 1

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 4

2 5−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

DERIVE

MATRICESOLVESOLUTIONSROW_REDUCE

Figura 1

34


3. Un esperimento

Assegnata una matrice A, per esempio 2 ¥ 2 e assegnato un vettore v a due componenti, possiamoconsiderare i vettori

A*v, A*A*v, A*A*A*v, ...

che si ottengono trasformando, ritrasformando e ritrasformando ancora v tramite la matrice A.L’esperimento consiste nell’indagare sulle direzioni che tali trasformati assumono: per eseguiremeglio l’indagine possiamo normalizzare tali vettori, cioè dividerli ciascuno per la propria lun-ghezza, operazione che non altera la direzione ma consente anzi di studiarla meglio evitando didover lavorare con vettori troppo grandi o troppo piccoli.La costruzione di tali trasformati-normalizzati si fa con il comando DERIVE:

A^n*v/|A^n*v|Il comando

vector(A^n*v/|A^n*v|, n, 0, 10)

consente di vedere direttamente i primi 10 trasformati (il primo, per n = 0 è il vettore v stesso).DERIVE consente anche di disegnare tali vettori: basta selezionare gli 11 vettori calcolati e chie-derne il grafico.

4. Sistemi lineari

La soluzione di un sistema si può chiedere a DERIVE, come per l’assegnazione di una matrice, condiversi procedimenti equivalenti. Consideriamo i vari procedimenti relativamente al sistema

• da Author, con il comando SOLVE, scrivendo esplicitamente il sistema:

SOLVE([3·x + 5·y + 2·z = 1,...], [x, y, z])

• da Author, con il comando SOLUTIONS, scrivendo analogamente:

SOLUTIONS([3·x + 5·y + 2·z = 1,...], [x, y, z])

La differenza tra SOLVE e SOLUTIONS sta nella forma in cui vengono offerte le soluzioni:

x = –11 Ÿ y = 8 Ÿ z = –3

il primo

[–11, 8, –3]

il secondo, che presenta quindi il vettoredelle soluzioni;

• dalla tendina Solve, assegnando il nume-ro di equazioni e di incognite e scriven-do, esplicitamente, le equazioni del si-stema nel box che viene proposto; il boxda compilare con le equazioni del siste-ma è riportato in figura 2;

3 5 2 10

2 3 1

x y zx y z

x y z

+ + =− + =

+ − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

Figura 2. Il box in cui assegnare le equazioni del sistema 3 ¥ 3.


35

Matrici e sistemi lineariInformatica


• con il metodo di Gauss, comando ROW_REDUCE, per il quale occorre assegnare la matricedei coefficienti e quella (il vettore) dei termini noti.

Il risultato si vede in figura 3.

5. Esercizi

1. Assegnate le matrici

determinare:

a) le potenze A2, A3, ..., A6;b) la matrice inversa; c) le matrici A–2, A–3, ..., A–6.

2. Assegnata la matrice

determinare per ogni n Œ� le potenze Bn.

A B: , := −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

⎛

⎝

⎜3 5 2

1 1 1

2 3 1

1

0

1⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 1

1 0

A

a

b

c

a b c=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

≠0 0

0 0

0 0

0, , ,

Figura 3. Il comando ROW_REDUCE(A, B).

36



3. Assegnato il sistema

a) determinare per quali l, a, b è compatibile; b) esaminare in tali casi che rapporto passi tra il modulo del vettore delle soluzioni e il modu-

lo del vettore dei termini noti.

4. Assegnati i due sistemi 2 ¥ 2 collegati

Av = w, Bw = cdeterminare il sistema

Dv = cad essi corrispondente.

5. Assegnata la matrice

e assegnato un primo vettore v, determinare le direzioni che assumono i vettori

Av, A2v, A3v, ...al crescere dell’esponente.

6. Programmi

Il programma di questo Laboratorio riguarda l’assegnazione di due matrici 2 ¥ 2 e la determina-zione della loro somma e del prodotto: la proposta nei tre linguaggi QBASIC, PASCAL e C++ aiutaad apprezzare i diversi modi con i quali memorizzare nel computer le matrici.

x y ax y b+ =

+ ={λ

A =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

3 0

37



Matrici. Operazioni tra matrici

Dati: l1 = 2 l2 = 5

determinare:

a) l1A; l2A; l1B; l2Bb) A + Bc) A – Bd ) l1A + Be) l2A – l1B

Date le due matrici:

e

determinare le matrici A + B; A – B; 3A + 2B.

Date le due matrici A e B, determinare le matrici A * B e B* A.

B = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 74 2

–A = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 10 41

2

B =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

5 6 23 1 29 0 1

– –A = −−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 0 42 1 50 2 4

A * B =−14 −1

5 −2⎛⎝

⎞⎠ ; B * A =

−22 15−11 6

⎛⎝

⎞⎠B = −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 22 3A = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

4 31 0

3

A * B =14 −18 −1

⎛⎝

⎞⎠ ; B * A =

1 63 12

⎛⎝

⎞⎠B = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 13 0

–A = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 41 2

4

A * B =−3 10

6 −2⎛⎝

⎞⎠; B * A =

0 69 −5⎛⎝

⎞⎠B = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 33 1A = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

3 10 2

5

A * B =6 3 01 0 7−2 1 8

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ; B * A =

0 4 40 8 −13 2 6

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟B = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 1

1 0 2

2 1 0

A =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

0 0 33 2 00 4 1

6

eserciziQ

uesi

ti

1. Dare la definizione di matrice, matrice quadrata e matrice trasposta e simmetrica.

2. Quali valori si devono dare ad a e b affinché la matrice sia simmetrica?Una matrice simmetrica può essere rettangolare?

3. Data la matrice A, che cosa si può dire della matrice ?

4. Considerate due matrici quadrate A e B dello stesso ordine n e un numero reale l, come si defi-niscono e di quali proprietà godono le operazioni A + B e lA?

5. Considerate due matrici quadrate A e B dello stesso ordine n, come si definisce il prodotto A * B?Vale la proprietà commutativa? Vale la legge di annullamento del prodotto?

6. Indicare quali valori si devono dare ad a, b, c affinché risulti: .

1 3

2 3 1

4 2

1

1

1

4

6

−− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⋅ −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=a

b

c −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟6

( )A T T( )

A

a

a b=− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 0

2 1

0 1 3

3

38


Date le matrici: e

calcolare le matrici A *B; B *A; A2; B2; A2 *B2; (A *B)2.

Se X e Y sono due matrici quadrate di ordine 2 e

2X – 3Y = X – Y =

determinare X e Y.

X = ; Y =

Determinanti e loro proprietà

8

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 5

2 10

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 5

5 16

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0

3 6

1 5

4 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7 A = −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 22 3 B = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

0 21 0

B2 =−2 00 −2

⎛⎝

⎞⎠; A2 * B2 =

−10 1616 −26

⎛⎝

⎞⎠ ; (A * B) 2 =

−2 −46 10

⎛⎝

⎞⎠

A * B =2 2

−3 −4⎛⎝

⎞⎠; B * A =

−4 6−1 2

⎛⎝

⎞⎠; A2 =

5 −8−8 13

⎛⎝

⎞⎠;

Vero

o f

also

? 1. Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinantedella matrice rimane inalterato.

2. Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommanoi corrispondenti elementi di un’altra colonna moltiplicati per uno stessonumero, il determinante rimane inalterato.

Il determinante della matrice :

3. è uguale a zero se x = y

4. è uguale a 8 se x – y = 2

5. è uguale a 1 solo se x = 2 e y = 1

Si ha:

6.

7.

8. Se A, B, C sono tre matrici quadrate dello stesso ordine:

9. Se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine da segue che una delle due matrici (A oppure B) è la matrice nulla.

10. Se A e B sono due matrici quadrate invertibili dello stesso ordine, dette A–1

e B–1 le loro inverse, allora la matrice inversa del prodotto A * B è la matriceprodotto B–1 * A–1.

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

A B∗ = 0

A B A C B C∗ = ∗ ⇒ = .

det2 2 22 4 62 6 12

23⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

det deta b b c c ap q q r r px y y z z x

+ + ++ + ++ + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= 2aa b cp q rx y z

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Ax xy y

x x y y= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 2

2 21 1 1


39

ese

rciz

i



Calcolare il valore dei seguenti determinanti.

–5; 8; –1

–29; –37; 34

–2; 26

–4; 71

156; 432

Verificare che:

Se quanto vale ? k

Date le matrici:

verificare che:

a) det A · det B = det (A * B ) = det (B * A )b) (det A)2 = det A2; (det B)2 = det B 2

c) det A2 · det B 2 = det (A2* B2)

Dimostrare, senza calcolarli, che sono nulli i determinanti delle seguenti matrici.

[Nella seconda riga si può scrivere 4 = 1 + 3, 5 = 2 + 3, 6 = 3 + 3, nella terza riga7 = 1 + 6, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, quindi scomponendo il determinante nella somma

di due determinanti...]

171 2 3

4 5 6

7 8 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

16A B= −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 22 3

0 21 0e

15 det

a b c

d e f

g h i

k

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= det

− − −− − −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

d e f

a b c

g h i

14

det

cos

cos

cos

1

1

1

sen

sen

sen

se

α αβ βγ γ

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= nn sen( sen(( ) ) )β γ γ α α β− + − + −

10 − −5 23 7

4 15 8−

2 34 11

−

9 −1 30 5

7 24 0

− 3 27 5

−–

13

12

113 2 15 1 43 2 1

−−

−−−

1 0 13 5 41 1 0

−−

−

1 3 45 4 10 2 3

3 7 12 0 23 4 1

−−−

15 4 13 5 30 2 4

−−

−

5 2 70 4 07 1 2

−−−

191 2 3

6 7 8

11 12 13

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟18

1 2 3

5 6 6

9 10 11

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

40


Sapendo che det determinare senza svilupparlo il valore di ciascuno dei seguenti determinanti.

x y z

5 0 3

1 1 1

1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ,

3

1

1

1

20 det

3 3 3

5 0 3

1 1 1

x y z⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

22 det

x y z

x y z2 5 2 2 3

1 1 1

+ +⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

21 det

5 5 5

1 0 35

1 1 1

x y z⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

23 det

x y z

x y z

x y z

3 5 3 3 3

1 1 1

+ ++ + +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Sistemi lineari

Risolvere i seguenti sistemi (si suggerisce di incolonnare le incognite come si vede negli esercizi 24-27).

Que

siti

1. Dopo aver fornito le definizioni di sistema lineare compatibile, incompatibile, determinato, enun-ciare il teorema di Cramer per un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite.

2. Se det A = 0, quante soluzioni può avere il sistema Ax = b?Quante soluzioni può avere un sistema lineare di due equazioni in tre incognite?

3. È determinato un sistema lineare in cui una equazione sia combinazione lineare di altre due?

4. Cosa succede alle soluzioni di un sistema lineare se:

• si cambia l’ordine delle equazioni che compongono il sistema;• si moltiplica una delle equazioni (o tutte) per un numero diverso da zero;• si sostituisce a una delle equazioni una sua combinazione lineare con un’altra equazione del

sistema?

Rispondere alle domande riferendosi al sistema x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

2 3

2 1

1; 0

19; –31

[Posto z = l (l Œ �), il sistema si scrive:

da cui, sommando membro a membro…]

[Si osservi che i coefficienti delle variabili dellaseconda equazione si ottengono da quelli dellaprima moltiplicandoli per –2, ma ciò non accadeper i termini noti…] nessuna soluzione

[Si osservi che la terza equazione è combinazionelineare delle prime due…]

[Sottraendo dalla prima la terza equazione si ottie-ne y = …] x = 5; y = –2; z = –2

30x z

x y z

x y z

+ =+ + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

2 3 2

2 3

x =−5 λ+12

7; y =

8λ −17

; z = λ (λ ∈�)

292 3 2 3

2 3 2

4 4 7

x y z

x y z

x y z

+ − =− + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

28x y z

x y z

− + =− + − =

⎧⎨⎩

3 2

2 2 6 1

x = 75

; y = 135+ λ; z = λ (λ ∈�)

4 34

x yx y

− = −+ = +{ λ

λ

27 4 3

4

x y z

x y z

− + =+ − =

⎧⎨⎩

26x y

x y

− =− =

⎧⎨⎩

2 3

4 1x = − 1

7; y = −11

7

255 3 2

3 2 5

x y

x y

+ =+ = −

⎧⎨⎩

24x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

2 1

1


41

ese

rciz

i



x = 3; y = –1; z = 2

x = –1; y = 1; z = 3

x = 1; y = 3; z = –5

x = 0; y = –3; z = 2

x = –3l; y = 7l + 1; z = l (l Œ �)

incompatibile

incompatibile

x = –2; y =4; z =6

424 3 3

2 3 3

0

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

y z

= −

= − − = ∈

3 45

35

λ

λ λ λ

;

; ( ) �

41

2 5 16

2 3 2

4

x y

x y z

x z

+ =+ − =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

403 2 1

8 5 4 3

1

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

392 3 5 0

4 7

4 11 5 0

x y z

x y

x y z

+ − =+ =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

x y z= − = − = ∈8 165

6 35

λ λ λ λ; ; ( ) �

38x y z

x y z

x y z

− + =+ + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 8 4

2 1

2 13 22 11

37− + + =

+ + =− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 4 1

4 8 3 5

4 4 0

x y z

x y z

x y z

x y z= = = −12

34

1; ;

36

3 2 5 2

4 1

3 0

x y z

x y z

x z

+ − =+ − =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

35x y z

x y z

x y z

− + =− + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

8 4 1

2 8 2

12 7x y z= − = =2 0 3

4; ;

344 5

2 3 6 3

5 5

x y z

x y z

x y z

− + =+ + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

337 5 2 2

3 5

2 0

x y z

x y z

x y z

− − =− − =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

32x y z

x y z

x z

− + = −− + =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 2

2 3 6

2 1

31

x y

x y z

y z

− =+ − =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7

2 2 2

3 5

Que

siti

a r

ispo

sta

mul

tipl

a Dato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite determinato, la cui soluzione è la terna(–2; 3; 6), allora:

1. se si cambia segno ai termini noti:

la soluzione è (–2; 3; 6) il sistema diventa incompatibile

la soluzione è (2; –3; –6) il sistema diventa indeterminato

2. se si moltiplicano per 2 solo i coefficienti delle variabili:

la soluzione è (–4; 6; 12) la soluzione è (–2; 3; 6)

la soluzione è la soluzione è (2; –3; –6)

3. se si moltiplicano per 2 solo i coefficienti della variabile x, allora:

la soluzione è (–4; 3; 6) la soluzione è (–1; 3; 6)

la soluzione è (–2; 3; 6) il sistema diventa incompatibile

4. se alla prima equazione si sottrae la seconda e si sostituisce alla prima l’equazione così ottenuta,allora:

la soluzione è (–2; 3; 6) la soluzione è (2; –3; –6)

il sistema diventa incompatibile il sistema diventa indeterminato d

c

b

a

c

db

a

d

c

b

a

d

c

b

a

−⎛⎝

⎞⎠1 3

23; ;


Sistemi lineari omogenei

Risolvere i seguenti sistemi lineari omogenei.

esercizio risolto

a.

Il sistema è omogeneo, pertanto ammette almeno la soluzione x = 0, y = 0, z = 0.Per determinare altre eventuali soluzioni, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:

Si ha:

Pertanto il sistema è determinato e ammette solo la soluzione banale:

x = 0, y = 0, z = 0

b.

Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:

Risulta:

det ( ) ( ) ( )A = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅1 4 13 2 2 7 3 5 14 7 4 3 14 22 1 13 5 2 0⋅ − ⋅ ⋅ − =( )

– –

–

x y zx y zx y z

−− −− ==++ ++ ==++ ++ ==

⎧⎧⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪

2 3 05 4 2 07 14 13 0

A =− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 3

5 4 2

7 14 13

det ( ) ( ) ( )A = ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 −− ⋅ ⋅ − = + + − + + = ≠2 1 1 4 1 2 1 4 2 12 0( )

A =−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 1

1 1 1

1 2 2

2 00

2 2 0

x y zx y zx y z

−− ++ ==++ −− ==++ ++ ==

⎧⎧⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪

Que

siti

1. Che cosa si deve verificare affinché un sistema omogeneo Ax = 0 ammetta altre soluzioni (cioèautosoluzioni) oltre a quella banale?

2. Un sistema omogeneo può essere incompatibile?

3. Cambiano le soluzioni di un sistema omogeneo se si scambiano tra loro due equazioni del sistema?

4. Quale valore si deve dare ad a affinché il sistema non ammetta autosoluzioni?

x ay z

x y z

x y z

+ + =+ − =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

3 3 5 0

2 2 0

© 2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica42

43

ese

rciz

i



[La terza equazione si ottiene sommando le primedue…]

x = 0; y = 0; z = 0

x = 0; y = 0; z = 0

x = l; y = 0; z = –l (lŒ�)

x = 0; y = l; z = –2l (lŒ�)

43x y z

x y z

x y z

− + =− + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 8 0

2 0

2 3 0

x y z= = = ∈λ λ λ λ3

53

; ; ( ) �

444 2 0

5 0

7 3 3 0

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪x y

z

= =

= ∈

92

192

λ λ

λ λ

; ;

( )

�

45

x = −3λ; y = 5λ; z = λ (λ ∈�)

3 2 0

2 0

4 3 3 0

x y z

x y z

x y z

+ − =+ − =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

x y z

x y z

x y z

− + =− − =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 0

5 0

3 3 11 0

46

x y z

y z

x y z

+ − =− =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 2 0

2 3 0

3 0

47

x y z

x y z

x y z

+ + =− + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

3 3 3 0

48

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 2 0

2 0

2 0

49

Poiché il determinante dei coefficienti è uguale a zero, il sistema ammette, oltre alla terna banale(0; 0; 0), anche autosoluzioni.Osserviamo che la terza equazione del sistema è combinazione lineare delle altre due: infatti, si ottienemoltiplicando la prima per –3, la seconda per 2 e sommando membro a membro; pertanto il sistema datoè equivalente al sistema, considerato nelle incognite x e y, costituito dalle prime due equazioni:

Essendo diverso da zero, il determinante della matrice , posto z = l, l Œ�, risolviamo ilsistema nelle incognite x e y:

Risulta:,

Pertanto il sistema dato ha le autosoluzioni:

Osserviamo che basta porre l = 0 per ottenere la soluzione (0; 0; 0).

x y

x y

− =+ = −

⎧⎨⎩

2 3

5 4 2

λλ

1 2

5 4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x y z

x y z

− − =+ + =

⎧⎨⎩

2 3 0

5 4 2 0

x = 47

λ y = − 1714

λ

x y z= = − =47

1714

λ λ λ, ,

Vero

o f

also

?

1. Un sistema omogeneo ammette sempre almeno una soluzione.

2. Un sistema omogeneo di m equazioni in n incognite, con m < n, ammette soluzioninon banali.

Il sistema

3. è determinato solo se k Œ�+. FV

FV

FV

3 0

2 0

x ky

kx y

− =+ =

⎧⎨⎩


Metodo di Gauss

Risolvere con il metodo di Gauss i seguenti sistemi.

Que

siti

a r

ispo

sta

mul

tipl

a

Il sistema

1. è determinato per

m Œ�0 m Œ� – {1} m Œ�0– {1} "m Œ�

2. se m = 0 ammette la soluzione

(l; 0; 0) (l; –l; 0) (0; –l; l) (0; 0; l)

3. se m = 1 ammette la soluzione

(l; 0; 0) (l; –l; 0) (0; l; –l) (0; 0; l)d

d

d

c

c

c

b

b

b

a

a

a

mx y z

my z

y z

+ + =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

0

4. è indeterminato "k Œ�.

5. è determinato "k Œ�.

Il sistema ammette autosoluzioni se:

6. a = –3b

7. b = 2a

8. 10a + 5b = 0 FV

FV

FV

FV

FV

2 0

3 0

3 0

x ay z

x by z

x z

− − =− − =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Que

siti

1. Quali sono le possibili trasformazioni di un sistema lineare?

2. Che cosa significa trasformare un sistema lineare in un sistema triangolare superiore?

3. In che cosa consiste il metodo di Gauss?

4. Applicare il metodo di Gauss alla risoluzione del sistema:

x y z

x y z

x y z

x y z

+ − =+ + =

+ − =+ + =

⎧

⎨⎪

2 3 4

3 11

2 5 4 11

2 6 2 22

⎪⎪

⎩⎪⎪

esercizio risolto

Utilizzando opportune combinazioni lineari delle equazioni, eliminiamo la variabile x dalla seconda eterza equazione, poi la variabile y dalla terza equazione, trasformando così il sistema in un sistematriangolare superiore.

2 5 3 42 3

5 7 11

x y zx y zx y z

−− ++ ==−− ++ ==++ ++ ==

⎧⎧⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪


45

ese

rciz

i



Moltiplichiamo la seconda equazione per –2, sommiamola alla prima e sostituiamo alla seconda l’e-quazione ottenuta mancante della variabile x:

Per eliminare la variabile x dalla terza equazione moltiplichiamo la prima per 5, la terza per –2,sostituiamo la terza con quella ottenuta sommandola alla prima e lasciamo inalterata la primaequazione:

Per eliminare y dalla terza equazione moltiplichiamo la seconda per –27, sostituiamo alla terza lasomma delle ultime due:

Determiniamo z dalla terza equazione

z = –2

sostituiamo il valore trovato nella seconda: –y – 2 = –2 e calcoliamo y:

y = 0

sostituendo nella prima: x + 3(–2) = 4, ricaviamo x:

x = 5

Pertanto la soluzione del sistema è la terna (5; 0; –2).

2 5 3 4x y z− + =⎧⎨⎪

⎩⎪

22

x y z

x y z

x y z

− + =+ − = −+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

5 3 4

4 2 6

5 7 11

−− −−2 ⋅− + =− + =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

2 5 3 4

2 3

5 7 11

x y z

x y z

x y z

−−27 ⋅− + =− + = −− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

2 5 3 4

2

27 2

2x y z

y z

y z

xx y z

y z

y z

x− + =− =+ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

5 3 4

27 54

2

2

2727−−

−− + =− + = −

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 3 4

2

26 52

y z

y z

z

5

2

⋅

⋅

− + =− + = −+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

−−

2 5 3 4

2

5 7 11

x y z

y z

x y z

10

10

x y z

y z

x y z

− + =− + = −

− − = −

⎧⎨⎪

25 15 20

2

2 14 22−−⎩⎩⎪⇒

− + =− + = −− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 5 3 4

2

27 2

x y z

y z

y z

–y + z = –2

5x + y + 7z = 11

x = 1; y = 0; z = 1

nessuna soluzione

x = 2t + 1; y = t + 2; z = t (t Œ �)

x = –2; y = 3; z = 5

x = –1; y = 2; z = 2

x = –1; y = 1; z = 055

x y z

x y z

x y z

− − = −+ − =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 2

2 3 1

8 5 7

54x y z

x y z

x y z

− + =+ − = −− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 1

4 2 2

2 3 2

53x z

y z

x y z

− = −+ =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

7

8

2 3 19

52x y

x y z

x y z

− = −+ − =− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3

2 5 4

2 5 8

512 5

3 2 4

11 6 4 1

x y z

x y

x y z

+ − = −+ =+ − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

50x y

y z

x z

+ =− = −

− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

1

2 1

46


Matrice inversa

x = 2; y = 1; z = 4

x = –4; y = 9; z = 0

x = –3 – k; y = 1 + k; z = k

x = 1; y = –2; z = 3

x = 1; y = 1; z = –5; t = –1

x = 1; y = 2; z = 3; t = 0

63

x y z t

x y z t

x y z t

x y

− + − =− + + = −

− + + =− −

2 3 0

3 2 2

5 3 2 2 5

3 2 4zz = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ 13

62

x y z t

x y z t

x y z t

x y z

+ + + = −− + − + =

+ + + =+ + =

⎧

⎨

4

4

8 4 2 1

3 2 0

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

613 3 5 0

2 3 1

2 3 6 0

x y z

x y z

x y z

+ − =+ − =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪x y z= − = =3

42 3

4; ;

60x y z

x y z

x y z

+ − =+ + = −

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 1

2 4 1

3 2x y z= = − = −35

4154

72

; ;

59x y z

x y z

x y z

+ + =− − =

− + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

3 2 4

2 2 2

58x y z

x y z

x y z

− + = −− + = −

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 4

3 5 8 14

3 2 0

574 5 25

7 5 17

3 21

x y z

x y z

x y z

− + = −+ − =− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

565 13

2 3 12

2 9

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Vero

o f

also

? 1. Se in un sistema lineare si sostituisce una riga con una combinazione linearedi altre due si ottiene un sistema equivalente.

2. Indicate ogni volta con L1 la prima riga e con L2 la seconda riga di un sistemalineare, se sul sistema si eseguono nell’ordine le seguenti trasformazioni:

a) si sostituisce a L1 la somma L1 + 3 L2,b) si scambiano L1 e L2,c) si sostituisce a L1 la differenza L1 L2,

si ritorna al sistema di partenza.

3. Un sistema quadrato triangolare superiore, avente i coefficienti della diagonalediversi da zero, ammette una e una sola soluzione.

4. Se in un sistema lineare i coefficienti delle incognite di una riga sono proporzionaliai corrispondenti coefficienti di un’altra riga il sistema è incompatibile. FV

F

FV

FV

V

– 13

Que

siti

Data la matrice quadrata A di ordine n:

1. che cosa si intende per matrice inversa A–1?

2. esiste sempre l’inversa?

3. che cosa si intende per complemento algebrico dell’elemento aij di A?

4. supposta A invertibile, come si determina A–1 nel caso n = 2 o n = 3?

5. Si verifichi se la seguente matrice è invertibile:

A =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 0

3 4 5

1 7 3


47

ese

rciz

i



[Si ha: A11 = 0, A12 = –1, A13 = 1, A21 = 4, A22 = 3,A23 = 1, A31 = –4, A32 = –1, A33 = 1, det A = 4…]

66 A =−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 20 1 11 1 1

A−1 = 14

0 4 −4−1 3 −1

1 1 1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

65 A =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 1

2 3A− =

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

35

15

25

15

64 A = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 22 3

A−1 =−3 2

2 −1⎛⎝

⎞⎠

70 A =−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 2 12 2 11 0 2

0− 13

13

14

14

− 14

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A−1 =

16

− 16

12

69 A =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 1 23 0 15 2 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A−1 =

− 27

27

17

− 17

− 67

47

67

17

− 37

68 A =− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 1

1 0 1

1 2 1

A− =

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

1 32

12

0 12

12

1 52

12

67 A = −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 0

1 0 0

1 0 1

A− =−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

0 1 0

1 1 0

0 1 1

Calcolare la matrice inversa delle seguenti matrici.

Que

siti

a r

ispo

sta

mul

tipl

a

1. La matrice è invertibile se:

a π 0 a π 3

2. Se A è una matrice quadrata con det A π 0 si ha:

det A–1 = det A (det A) ◊ (det A–1) = 1

det A–1 = (det A)2 det A–1 = 0

3. L’inversa della matrice è la matrice:

4. L’inversa della matrice è la matrice:

dcba

c

dcba

b d

dcb

a

a

1 0 0

0 2 0

0 0 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 13

0

0 0 52

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 0 0

0 13

0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1 0 0

0 3 0

0 0 25

1 0 0

0 3 0

0 0 25

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

0 1 0

0 1 0

0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 0 1

0 1 0

1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a ≠ 23

a = 23

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a 2

1 3

48


x = 3, y = 2

x = 1, y = 2

x = 1, y = 2, z = 3

x = 3, y = 3, z = 3

x = 2, y = –2, z = 2

x = –1, y = 2; z = 0

x = –4, y = 9; z = 0

2 3 12

3 7

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

71

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

3 7

3 572

x y z

x y z

x y z

+ + =− + =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

6

2 3

3 273

x y z

x y z

x y

+ − =− + + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 12

3 2 12

2 2 1274

3 2 12

2 4

2 2

x y z

x y z

x y

− + =− − − = −

+ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪75

5 7

4 7

2 5

x y z

x y z

x y z

− + = −+ − =

− + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪76

3 21

7 5 17

4 5 25

x y z

x y z

x y z

− + = −+ − =− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪77

Risoluzione di un sistema con il metodo della matrice inversa

Determinare la soluzione dei seguenti sistemi con il metodo della matrice inversa, sull’esempio dell’eserci-zio risolto precedente.

esercizio risolto

Dopo aver calcolato la matrice A–1, inversa della matrice A dei coefficienti del sistema

determinare la soluzione con il metodo della matrice inversa.

Data la matrice dei coefficienti si ha:

, A11 = 1, A12 = –2, A21 = –3, A22 = 4

pertanto la matrice inversa è:

Il vettore soluzione x = (x; y) del sistema è il vettore ottenuto dal prodotto:

cioè:

Pertanto il sistema ha la soluzione (5; 6).

y = ⋅ − ⋅ = −1 2 2 4 6

x = − ⋅ + ⋅ =12

2 32

4 5

x = =−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( ; )x y12

32

1 2

2

4

A− = −−−

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠1

12

32

22

42

12

32

1 2⎟⎟⎟

det A = − = − ≠4 6 2 0

A =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 3

2 1

4 3 2

2 4

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩


49

ese

rciz

i



Formula di Laplace

Calcolare, per mezzo della formula di Laplace, il valore dei determinanti delle seguenti matrici.

2

11

13

31

–295

1 0 1

2 1 1

1 1 0

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

78

1 3 2

0 4 1

2 1 0

− −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

79

3 4 1

1 2 0

0 3 1

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

80

−− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3 1 0

2 1 3

1 1 5

81

1 3 2 5

5 0 3 1

2 5 6 3

1 2 3 2

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

82

esercizio risolto

Calcoliamo det A sviluppando secondo gli elementi della prima riga:

Per il calcolo di det B possiamo procedere sviluppando secondo gli elementi della seconda riga; si ha:

e poiché:

risulta:det B = 2A21 – 2A22 + A24 = 2(–17) – 2(–6) + 41 = 19

A24

3 2 1

4 1 4

3 1 2

3 2 2 20=− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= − + −det ( ) ( ) (( )− =7 41

A22

3 1 1

4 4 2

3 2 1

3 8 2 20 6=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= − − + = −det ( )

A21

2 1 1

1 4 2

1 2 1

2 8 3 2= −− −

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= − − − + −det ( )⎡⎡⎣ ⎤⎦ = −17

det B A A A= − +2 221 22 24

det det det detA =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

24 2

1 15

3 2

2 1

3 4

22 12 6 5 7 5 18

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ − ⋅ + = −

B ==

−− −−−−

−−−−

⎛⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

3 2 1 1

2 2 0 1

4 1 4 2

3 1 2 1

A==−− −−

⎛⎛

⎝⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2 5 1

3 4 2

2 1 1


Rango di una matrice

Determinare il rango delle seguenti matrici.

2; 2

[Il determinante della matrice di ordine 3 è ugualea zero (la terza riga è la somma delle prime due),mentre esiste una matrice estratta di ordine 2 condeterminante diverso da zero…]

1; 3

2; 2

2; 2

1; 18913

2

1 6

2 4

72

7

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

88−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 1

0 2

0 5

1 0

851 4

0 1

1 2 4

5 0 1

6 2 5−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

87 2 1 4

5 3 2

1 2

4 8

5 2−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

864 2

2 1

1 3 0

1 4 5

7 2 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2; 1; 2

3; 3; 2

Teorema di Rouché-Capelli

Stabilire se i seguenti sistemi sono compatibili o incompatibili.

91

3 1 4

0 2 1

5 1 0

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 3 0

4 0 13

25

1 43

−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

10 74

12

3 2 4

20 72

1

90−

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12 1 10

4 13

5

22 8 14

11 4 7

0 5 6

5 00 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1628 h (c – h) (b – c) (a – b)84

h h h h

h c c c

h c b b

h c b a

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

83

7 4 1 9

2 0 6 3

5 1 6 11

1 7 2 8−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

esercizio risolto

a.

Consideriamo le matrici incompleta e completa:

B = − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 5

1 3 1

1 4 3

A = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1

1 3

1 4

2 53 14 3

x yx yx y

++ ==−− == −−++ ==

⎧⎧

⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪


51

ese

rciz

i



e osserviamo che:

• la matrice A ha rango 2 in quanto esiste un minore di ordine 2 non nullo; • la matrice B ha rango 3 in quanto det B = 21 π 0.

Si conclude che, essendo rango A π rango B, il sistema è incompatibile.

b.

Consideriamo le matrici incompleta e completa:

Poiché det A = 0 ed esiste un minore non nullo di ordine 2 (per esempio quello indicato), risultarango A = 2. Considerata poi la matrice B, poiché sono nulli tutti i minori del terzo ordine (si può procedere in duemodi: o si calcolano oppure si osserva che la terza riga si ottiene moltiplicando per 2 la seconda e sot-traendo la prima riga), anch’essa ha rango 2, quindi il sistema è compatibile, ma indeterminato.Considerato il sistema formato dalle prime due equazioni con il determinante dei coefficienti di x e y π 0:

posto z = l, si ha:

Risolvendo si hanno le soluzioni:

Si conclude che il sistema dato è compatibile e ha infinite soluzioni date da:

; ; z = l " l Œ�y = +1 34

λx = +74

λ

y = +1 34

λx = +74

λ

x y

x y

+ = +− = −

⎧⎨⎩

2

3 1 2

λλ

x y z

x y z

+ − =− + =

⎧⎨⎩

2

3 2 1

B =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1 2

1 3 2 1

1 7 5 0

A =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 1

1 3 2

1 7 5

x y zx y zx y z

++ −− ==−− ++ ==−− ++ ==

⎧⎧

⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪

23 2 17 5 0

x = 1; y = –2; z = 3

(2; –1; –1) λ λ λ λ+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∈77

27

; ; ( )�95x y z

x y z

y z

− + =− + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 1

3 2 3

2 7 0

− − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

214

554

52

; ;x y z

x y z

y z

− + =− − =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 1

3 2 3

2 7 10

94

x y z

x y

x y z

+ − =+ =− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3 4

7 2 12

2 3

93

2 3

3 2 13

3 12

x y z

x y z

x y z

+ − = −− + =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪92

52


Discussione di un sistema lineare parametrico

Discutere i seguenti sistemi al variare del parametro.

h π –1: determinato; h = –1: impossibile

h π 1: determinato; h = 1: impossibile97x y

x hy h

+ =+ =

⎧⎨⎩

6

2

96hx y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

1

2

Vero

o f

also

? 1. Un sistema lineare ha una e una sola soluzione se la matrice dei coefficienti e quella dei coefficienti e dei termini noti hanno lo stesso rango.

2. Un sistema lineare di 4 equazioni e 3 incognite non può avere una e una sola soluzione.

3. Un sistema lineare è compatibile se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite.

4. Un sistema lineare di n equazioni in n incognite con determinante dei coefficienti uguale a zero è incompatibile.

5. Se in un sistema lineare che ha una sola soluzione si elimina una equazione si ottiene ancora un sistema che ha una sola soluzione.

6. Se in un sistema lineare compatibile si elimina una equazione si ottiene ancora un sistema compatibile.

7. Se un sistema lineare è incompatibile è possibile che, eliminando una delle equazioni, il nuovo sistema sia compatibile.

8. Il numero delle soluzioni di un sistema lineare diminuisce se si aggiunge al sistema una equazione. FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

esercizio risolto

Dopo aver osservato che per k = 0 il sistema ammette la soluzione (5; –3; –3), supposto ora k π 0,moltiplicando la 1a per k e sottraendo la 2a, si ha:

da cui:

• se k = 1, il sistema è impossibile;• se k π 1, il sistema ha soluzione data da:

y = k2 – 3 z kk

= −−

3 21

x k k kk

= − + + −−

3 22 3 51

x y kz k

y k z k k

k z k

+ + = −+ − = −− = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2

1

1 3 2

2 2( )

( )

sottraendodalla 1 la 3a a

⎯ →⎯⎯⎯

x y kz k

y k z k k

x y z k

+ + = −+ − = −+ + = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2

1

1

2 2( )

x y kz kkx k y z kx y z k

++ ++ == −−++ −− ++ ==

++ ++ == −−

⎧⎧

⎨⎨⎪⎪

⎩⎩⎪⎪

21

1( )


53

ese

rciz

i



h π –2, h π 1: determinatoh = –2: impossibile; h = 1: • soluzioni

h π 0, h π 4: determinatoh = 0: impossibile; h = 4: • soluzioni

k π –4, k π 1: determinatok = –4, k = 1: • soluzioni

" k ((–k – 1) l; (k + 2) l; l)

m = –1: incompatibile;

incompatibile;

determinato

h = 32

, impossibileh ≠ 32

: determinato;3 2 3

2

x y h

hx y

+ = −+ =

⎧⎨⎩

98

hx y

h x hy

+ =− + =

⎧⎨⎩

2

2 2( )99

4 31 2 1

22 1

2 2 31 1 2

2kk k k

k kk k

++ − −

− −+ −( )( )

; ;( )( )

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k k≠ ≠ −12

1, :

k k= ∨ = −12

1 :

kx y z

x ky z

x y z

− + =− − =

− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

0

2 2 2109

⎩autosoluzioni per

⎧⎨⎪

⎪ (λ; 0; − λ)k = −3:

k = −1: − 35λ; 2

5λ; λ⎛

⎝⎞⎠

x ky z

x y z

x y k z

+ + =− + =

+ + − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

4 1 0( )

108

m ≠ 0, m ≠ –1: determinato −10m +1

; 5m +1

; 5mm +1

⎛⎝

⎞⎠

;m = 0: (5 −3λ; λ; 0)m = −1: incompatibile;

x y z

mx z

my z

+ + =

+ =

− =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3 5

2 0

0

107

: 10− 4mm +1

; m −6m +1

; 7m +1

⎛⎝

⎞⎠m ≠ –1 determinato

2 3 2

3 1

1

x y mz

x y z

y z

+ + =+ + = −+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪106

autosoluzioni per ⎧⎨⎩k = 0 (λ; 0; 0)k =1 (0; −λ; λ)

kx y z

ky z

y z

+ + =+ =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

0

105

x y z

x y kz

+ − =+ + =

⎧⎨⎩

0

2 0104

a a= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≠5

232 2

52

0 0 0: : λ λ λ; ; ; ( ; ; )

x y z

x y az

x y z

+ − =− − =

− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

2 0

0

103

k ≠ 23

: determinato; k = 23

: ∞ soluzioni

x y z k

y z

kx z k

+ + = +− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 3

2 0

3102

x y

x k y z

x kz

− = −+ + − = −

− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

1 1

2 2

( )101

3 1 3

1

hx h y

hx y

− − =− =

⎧⎨⎩

( )100

54


incompatibile; determinato

incompatibile

determinato; incompatibile

determinato se k = 1 (1; 1; 3);incompatibile se k π 1

determinato se k = 0 (1; 1; 1);incompatibile se k π 0

determinato se a = 1 (3; 2; 1);incompatibile se a π 1


determinatose k = 6 −2;

43

;83

⎛⎝

⎞⎠

se k = −2 2; 0; 0

⎧⎨⎪

⎩⎪ ( )

x y zx k y z

y zx y z k

+ + =+ −( ) + =

− =+ − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

22 2 4

2 02

119

determinatose α = 1 1; 3; − 1

se α = 4 0; 3; 0

⎧⎨⎩

incompatibiles se α ≠ 1, α ≠ 4

(

(

)

)

x y zx y zx y zx z

+ + =− − = −+ + =

+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

αα

32 1

2 60

118

x y zx y zx y zx y z

+ + =− + =− − =− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

32 2 3

2 03 5

α

α

117


+ + =− − =− + =− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

α

α

62 3

22 0

116

x y kzx y zx ky zx y z

− + =− − =+ + =− − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

02 0

23 1

115

x y kzx y kzx y zx y

+ + =+ − =+ − =− =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

52 0

2 00

114

a a= ∨ =1 23

:a a≠ ≠1 23

, :

5 3

0

1

x y z a

ax y z

x az

− + =− + =

− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪113

autosoluzioni perα = 2

α = 12

⎧⎨⎪

⎩⎪(−5λ; λ; 2λ)

(λ; λ; − λ)x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

3 2 0

2 2 3 0

αα α

112

a a= ≠2 1 3 2:( ; ; ); : λ λx y z

x y z

x y z a

+ − =+ − =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 1

2 6 1

2 3 9

111

− ++

− ++

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k kk

kk

kk

( ); ;

13 1

2 13 1 3 1

k ≠ − 13

:k = − 13

:

2 0

1

2 1 2

x ky z

x y kz

x y k z

− − =+ − = −+ + − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪ ( )110


55

ese

rciz

i



determinato se a = 1 (3; –1; 1);incompatibile se a π 1

determinato se a = 1 (3; –2; 1);incompatibile se a π 1


autosoluzioni se a = 1 (l; l; 2l)


+ − =+ + =− − =+ − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

α

α

12 6

33 5 2 2

120

x y zx y zx y zx y

+ − =− − =− − =− =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

03 07 5 0

0

αα

124


+ + =− − =+ + =+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 52 0

14 2 8

α123

determinato se α =23

83

;23

;43

⎛⎝

⎞⎠ ;

incompatibile se α ≠23

x yx y zx y zx y z

− =− − =+ + =+ − =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

22 0

2 2 82 4α

122

x y zx y zx y zx z

+ − = −+ + =− − =

− =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

αα

α

12 3 1

3 82

121

Vero

o f

also

?

1. Per almeno un valore di k il sistema ammette infinite soluzioni.

2. Dire se è possibile determinare una terna di valori h, k, t affinché ammetta esattamente tre soluzioni il seguente sistema:

Il sistema

3. è incompatibile "k Œ�

4. è incompatibile per k = –8

5. per k = 2 è determinato

6. "k Œ�–{–8} è determinato

7. ammette la soluzione (1; 0; 0) per k = 0

Il sistema

8. è determinato se a π 0

9. è determinato e la soluzione (x0; y0) è tale che x0 > 0 e y0 > 0 se a > 35

V F

V F

3 2

5 1

x y a

x ay

+ =− =

⎧⎨⎩

V F

V F

V F

V F

V F

x y z

x ky k z

y z k

− + =+ − − = −

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 1

1 1

2 4

( )

FV

hx y z

x ky z

x y t z

–

– –

( – ) –

2 1

2 3 2

4 1 1

+ =+ =+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

FV( – )

–

k x ky k

x ky k

1 2 1

2

+ = +=

⎧⎨⎩

Soluzioni


Soluzioni

Quesiti di verifica, p. 321. b – 2. b – 3. no – 4. a – 5. b – 6. b – 7. b – 8. a – 9. a

Quesiti, p. 372. a = b = –1 – 6. a = 0; ; c = 0

Vero o falso?, p. 381. F: il determinante cambia segno – 2. V – 3. V: det A = (x – y)3 = 0 € x = y4. V: det A = (x – y)3 = 8 € x – y = 2 5. F: det A = (x – y)3 = 1 € x – y = 1, cioè se x = k, y = k – 1, "k Œ� – 6. V: infatti

e i determinanti dei due addendi sono uguali – 7. V –8. F: in quanto , manell’algebra delle matrici non vale la legge diannullamento del prodotto, cioè l’annullarsi delprodotto non implica necessariamente l’annullarsi dialmeno uno dei fattori – 9. F – 10. V: infatti bastaverificare che

essendo I la matrice unità, utilizzando la proprietàassociativa

Quesiti a risposta multipla, p. 411. b – 2. b – 3. c – 4. a

Quesiti, p. 424. a π –1

Vero o falso?, p. 431. V – 2. V – 3. F – 4. F – 5. V – 6. F – 7. V – 8. F

Quesiti a risposta multipla, p. 441. c – 2. a – 3. c

Quesiti, p. 444. (1; 3; 1)

Vero o falso?, p. 461. V – 2. F – 3. V – 4. F

Quesiti a risposta multipla, p. 471. d – 2. c – 3. b – 4. c

Vero o falso?, p. 521. F – 2. F – 3. F – 4. F – 5. F – 6. V – 7. V – 8. F

Vero o falso?, p. 551. F – 2. F: un sistema lineare ammette o una sola onessuna o infinite soluzioni – 3. F – 4. V – 5. V – 6

b = 73

a b b c c ap q q r r px y y z z x

a b cp q rx

+ + ++ + ++ + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=zz x

b c aq r py z x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

A B A C A B C∗ = ∗ ⇒ ∗ − =( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )A B B A B A A B I∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =− − − −1 1 1 1

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001-044 U 01 · Matrici e sistemi lineari 2 Trasposta di una matrice Si definisce trasposta della matrice quadrata A la matrice, indicata con AT, ottenuta da A scambiando le righe