Embed Size (px)
Citation preview
PROPOSAL PEMBUATAN ALAT PERAGA PEMBELAJARAN
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengembangan Media
Pembelajaran Matematika
Dosen Pengampu: Kintoko, M.Pd
Disusun Oleh:
IV A4
Kelompok 8
1. Nurul Istoqomah 14144100130
2. Azah Elvana 14144100139
3. Rina Andriyani 14144100140
4. Dabi Tri Kurniawan 14144100149
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
limpahan Rahmat dan karunia-Nya, sehingga proposal alat peraga pembelajaran
matematika ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Dengan terselesaikannya
proposal ini, kami mengucapkan segenap terima kasih kepada :
1. Kintoko M.Pd selaku dosen mata kuliah pengembangan media pembelajaran
matematika, yang telah membimbing sehingga proposal ini dapat
terselesaikan dengan baik.
2. Teman-teman yang telah berdiskusi, bekerjasama, dan memberikan motivasi
sehingga resume ini dapat terselesaikan.
Proposal ini disusun sebagai bukti tertulis mengenai rencana pembuatan
alat peraga pembelajaran matematika dan untuk melengkapai tugas kegiatan
belajar-mengajar dalam mata kuliah Pengembangan Media Pembelajaran
Matematika. Penulisan proposal ini merupakan kajian singkat mengenai alat
peraga pembelajaran matematika yang akan kami buat nantinya.
Kami menyadari, bawah penyusunan proposal ini masih jauh dari
sempurna. Maka dari itu, kami mengharap kritik maupun saran yang bersifat
membangun dan memperbaiki proposal yang mungkin akan kami tulis untuk
kegiatan lainnya nanti. Proposal makalah ini bermanfaat dalam perkembangan
ilmu pengetahuan serta bermanfaat bagi pembacanya.
Yogyakarta, 17Mei 2016
PROPOSAL PEMBUATAN ALAT PERAGA PEMBELAJARAN
iii
Disusun Oleh:
IV A4
KELOMPOK 8
1. Nurul Istiqomah NPM 14144100130
2. Azah Elvana NPM 14144100139
3. Rina Andriyani NPM 14144100140
4. Dabi Tri Kurniawan NPM 14144100149
Proposal pembuatan Alat Peraga Pembelajaran ini disusun dalam rangka
memenuhi tugas mata kuliah Pengembangan Media Pembelajaran Matematika
Yogyakarta, 17 Mei 2016
Menyetujui,
Dosen Pembimbing Ketua Tim Pembuatan
Kintoko, M.Pd Dabi Tri Kurniawan
NIP. NIM 14144100149
DAFTAR ISI
iv
Halaman Sampul............................................................................................ i
Halaman Judul................................................................................................ ii
Kata Pengantar............................................................................................... iii
Lembar Pengesahan....................................................................................... iv
Daftar Isi.......................................................................................................... v
BAB I PENDAHULUAN............................................................................... 1
A.Latar Belakang Penulisan............................................................... 1
B.Tujuan Penulisan............................................................................. 3
C.ManfaatPenulisan............................................................................ 3
BAB II KAJIAN TEORI................................................................................ 4
A. Lingkaran..................................................................................... 4
B. Unsur-Unsur Lingkaran............................................................... 4
C. Menghitung Keliling dan Luas Lingkaran.................................. 5
D. Teorema Pythagoras.................................................................... 6
E. Garis Singgung Lingkaran........................................................... 8
BAB III PEMBAHASAN............................................................................... 10
A. Alat dan Bahan............................................................................ 10
B. Estimasi Dana.............................................................................. 10
C. Cara Pembuatan Alat Peraga....................................................... 11
D. Cara Penggunaan Alat Peraga..................................................... 12
BAB IV PENUTUP......................................................................................... 27
A. Kesimpulan ................................................................................. 27
B. Saran............................................................................................
Daftar Pustaka................................................................................................
v
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Teori Jean Piaget dan Brunner mengemukakan bahwa siswa SMP
berada dalam tahap peralihan dari tahap operasional konkrit menuju ke tahap
formal. Oleh karena itu, agar siswa dapat menguasai konsep-konsep
matematika yang bersifat abstrak maka dalam membelajarkan matematika
kepada siswa masih diperlukan benda nyata (benda konkret) sebagai alat
peraga yang dapat digunakan sebagai jembatan bagi siswa untuk berpikir
abstrak berkaitan dengan topik-topik tertentu yang dapat membantu
pemahaman siswa.
Alat peraga pembelajaran matematika dapat diartikan sebagai
seperangkat benda konkret yang dirancang, dibuat, dihimpun atau disusun
secara sengaja yang digunakan untuk membantu menanamkan atau
mengembangkan konsep-konsep atau prinsip-prinsip dalam matematika
(Djoko Iswadji, 2003: 1 dalam Pujiati, 2004: 3). Dengan media atau alat
peraga pembelajaran, hal-hal abstrak dapat disajikan dalam bentuk benda
konkret yang dapat dilihat, dipegang, dan diputarbalikkan sehingga lebih
mudah dipaham. Fungsi utamanya adalah menurunkan kebasahan konsep
agar siswa mampu menangkap arti dari konsep tersebut (Pujiati, 20014: 3).
Alat peraga pembelajaran matematika sebagai media pembelajaran
adalah sebuah alat yang berfungsi dan digunakan dalam proses pembelajaran.
Pembelajaran adalah proses komunikasi antara pembelajar, pengajar, dan
bahan ajar. Dapat dikatakan bahwa bentuk komunikasi tidak akan berjalan
tanpa bantuan sarana untuk menyampaikan pesan. Bentuk stimulus dapat
dipergunakan sebagai media, diantaranya adalah hubunga atau interaksi
manusia, realitas, gambar bergerak atau tidak, tulisan, dan suara yang
direkam (Sundayana, 2013: 6).
Media atau alat peraga yang dapat digunakan sebagai pembawa pesan
dalam kegiatan pembelajaran, pesan yang dimaksud adalah materi pelajaran,
1
dimana keberadaan media pembelajaran tersebut dmaksudkan agar pesan
dapat lebih mudah dipahami dan dimengerti oleh siswa (Sundayana, 2013: 6).
Sehingga dapat disimpulkan bahwa alat peraga pembelajaran berperan dalam
membantu meningkatkan kualitas pembelalajaran di kelas. Dengan alat
peraga pembelajaran, pembelajaran akan lebih menyenangkan dan menarik
perhatian siswa, sehingga ketertarikan (minat) siswa dalam mempelajari.
Pada jenjang sekolah menengah pertama (SMP), salah satu pokok
pembahasan dalam matematika adalah teorema pythagoras, lingkaran dan
garis singgung lingkaran. Materi pada teorema pythagoras adalah pembuktian
teorema pythagoras. Materi pada lingkaran diantaranya meliputi: unsur-unsur
lingkaran, keliling dan luas lingkaran, busur, juring dan tembereng.
Sedangkan materi pada garis singgung lingkaran meliputi: garis singgung
lingkaran persekutuan dalam dan garis singgung lingkaran persekutuan luar.
Materi dalam pembelajaran matematika merupakan materi beruntun dan
saling berkaitan antara materi yang satu dengan yang lain, hal itu juga dapat
dilihat dalam materi teorema pythagoras, lingkaran, dan garis singgung
lingkaran yang merupakan materi yang saling berkaitan. Keterkaitan antar
materi tersebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini.
Pada diagram di atas, jelas terlihat bahwa pada materi garis singgung
lingkaran terdapat materi teorema pythagoras dan lingkaran sebagai materi
prasyarat dalam mempelajari materi garis singgung tersebut. Oleh karena itu,
penulis terinspirasi untuk menciptakan media pembelajaran matematika yang
dapat menggabungkan keterkaitan anatar materi tersebut dalam sebuah alat
peraga pembelajaran matematika.
2
Teorema pythagoras
Lingkaran
Garis singgung lingkaran
B. Tujuan Pembuatan Alat Peraga
Tujuan yang akan dicapai pada pembuatan alat peraga ini adalah :
1. Untuk meminimalisasi keabstrakkan materi teorema pythagoras,
lingkaran, dan garis singgung lingkaran agar pembelajaran dan
pemahaman siswa lebih kongkrit.
2. Untuk mempermudah guru dalam menyampaikan materi teorema
pythagoras, lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
3. Untuk meningkatkan ketertarikan (minat) belajar siswa dalam materi
teorema pythagoras, lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
4. Untuk menambah keaktifan siswa dalam mempelajari materi teorema
pythagoras, lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
5. Untuk membantu siswa dalam mempelajari materi teorema pythagoras,
lingkaran, dan garis singgung lingkaran sehingga pembelajaran lebih
mudah dan menyenangkan.
6. Untuk menanamkan konsep matematika secara benar kepada siswa
melalui kegiatan percobaan yang dibungkus dalam kegiatan permainan
melalui alat peraga pembelajaran.
7. Untuk meningkatkan kualitas pembelajaran matematika.
C. Manfaat Pembuatan Alat Peraga
1. Sebagai media pembelajaran dalam mempelajari materi teorema
pythagoras, lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
2. Menambah variasi dalam proses pembelajaran matematika, sehingga
dapat meningkatkan mutu pembelajaran matematika.
3. Sebagai pemicu kreativitas siswa dalam menciptakan alat peraga.
4. Melengkapi media pembelajaran yang ada di laboratorium prodi
pendidikan matematika upy.
5. Menciptakan pembelajaran yang menyenangkan melalui alat peraga
pembelajaran.
6. Menarik minat, perhatian dan keaktifan siswa untuk mempelajari teorema
pythagoras, lingkaran, dan garis singgung lingkaran.
3
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Lingkaran
Dalam kehidupan seharu-hari, kita sering melihat benda yang
permukaannya berbentuk lingkaran, diantaranya adalah uang logam, roda
sepeda, kepingan CD atau DCD, dan lain sebagainya.
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak
yang sama disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.
Garis lengkung yang dicetak tebal di bawah ini disebut keliling
lingkaran, sedangkan daerah arsiran didalamnya disebut bidang lingkaran
atau luas lingkaran.
Gambar 1
B. Unsur-unsur lingkaran
Unsur-unsur lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Gambar 2
4
Unsur-unsur lingkaran dapat dilihat pada gambar di atas, unsur-unsur
lingkaran tersebut antara lain:
1. Titik pusat lingkaran.
2. Jari-jari lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan titik pada keliling lingkaran yang disimbolkan
dengan r .
3. Diameter atau garis tengah adalah ruas garis yang menghubungkan dua
titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran yang
disimbolkan dengan d . Diameter (d )=2× r
4. Tali busur yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling
lingkaran.
5. Apotema adalah jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
6. Busur lingkaran yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi
menjadi dua, yaitu busur besar dan busur kecil.
7. Juring atau sektor adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari. Juring
terbagi menjadi dua, yaitu juring besar dan juring kecil.
8. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya.
Tembereng terbagi menjadi dua, yaitu tembereng kecil dan tembereng
besar.
C. Keliling Dan Luas Lingkaran
1. Menemukan Pendekatan Nilai π
Nilai keliling keliling
diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14
sehingga disebut dengan konstata π.
2. Menghitung Keliling Lingkaran
Jika keliling
diameter adalah π maka keliling = π d
Karena panjang diameter adalah2× jari− jari , maka:
K=2 πr
3. Menghitung Luas Lingkaran
Jika sebuah lingkaran dibagi menjadi juring-juring tak berhingga,
kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun maka hasilnya akan
5
mendekati bangunan persegi panjang. Bangun yang mendekati persegi
panjang tersebut panjangnnya sama dengan setengah keliling lingkaran
dan lebarnya sama dengan panjang jari-jari-jari lingkaran.
jadi, Luas lingkaran = luas persegi dengan panjang dan lebar.
Dengan demikian, dapat kita katakana bahwa luas lingkaran dengan jari-
jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang π danlebar r
sehingga diperoleh:
L=πr ×r L=π r2
karena r=12
d , maka :
L=π ( 12
d)2
L=π ( 14
d2)L=14
π d2
Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran dengan jari-
jari r atau diameter d adalah:
L=π r2 atau L=14
π d2
D. Teorema Pythagoras
Menemukan teorema Pythagoras menggunakan persegi berukuran (
b+c). persegi dengan nama ABCD pada keempat sudutnya dibuat segitiga
siku-siku dengan panjang sisinya b cm dan c cm.
Gambar 3
Tampak bahwa: luas persegi ABCD sama dengan luas empat segitiga
siku-siku (luas daerah yang diarsir) ditambah luas persegi (luas daerah yang
tidak diarsir). Sehingga diperoleh
6
Luas daerah yang diarsir=luas empat segitiga siku−siku .¿4 × 12
×b× b
¿2 bc
Luas daerah yang tidak diarsir=luas persegi PQRS¿a× a=a2
Persegi EFGH berukuran (b+c ) cm seperti pada gambar di bawah ini.
Pada dua buah sudutnya terdapat empat segitiga siku-siku sedemikian
sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran (b × c ) cm.
Gambar 4
Luas persegi EFGH sama dengan luas empat segitiga siku-siku (luas
daerah yang diarsir) ditambah luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir).
Sehingga diperoleh:
Luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang.
¿2 ×b × c
¿2bc
Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+¿ luas persegi
OFML.
¿ (b × b )+ (c ×c )
¿b2+c2
Luas persegi ABCD=¿ luas daerah yang diarsir+¿ luas daerah yang tidak
diarsir
¿ luas dua persegi panjang+¿ (luas persegi KMGN+¿
luas persegi OFML)
¿2 bc+b2+c2
7
Dari ukuran persegi yang 1 dan ke 2 ukuran persegi ABCD=¿ ukuran
persegi EFGH .
Luas persegi ABCD = luas persegi EFGH
2bc+a2=2bc+b2+c2 2bc−2bc+a2
2bc−2bc+a2=2bc−2bc+b2+c2
a2=b2+c2
Jika digambarkan, akan menjadi seperti gambar berikut ini:
Gambar 5
E. Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran disatu
titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari dititik singgungnya
1. Menentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik diluar
lingkaran.
Lingkaran berpusat dititik O dengan jari- jari OB dan OB⊥ garis
AB garis AB merupakan garis singgung lingkaran melalui titik A diluar
lingkaran dengan teorema Pythagoras berlaku:
O B2+ A B2=O A2 A B2=O A2−O B2 AB=√O A2−O B2
2. Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran.
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam pada
lingkaran, dapat memanfaatkan teorema Pythagoras. Apabila dua buah
lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, Berjari-jari R dan r .
8
Gambar 6
Dari gambar tersebut diperoleh:
Jari-jari lingkaran yang berpusat di P=R.
Jari-jari Lingkaran yang berpusat di Q=r.
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB=d .
Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ=p.
Jika garis AB digeser sejajar keatas sejauh BQ maka diperoleh Garis SQ.
Garis SQ sejajar AB sehingga ∠PSQ=∠PAB=90 ° (sehadap).
Garis AB /¿SQ , AS /¿BQ, dan sudut ∠PSQ=∠PAB=90 °.
Jadi segi empat ABQS Merupakan persegi panjang dengan panjang AB=d
dan Lebar BQ=r.
Segitiga PQS siku-siku dititik S dengan menggunakan teorema pythagoras
diperoleh:
Q S2=P Q2−P S2
QS=√P Q2−P S2
QS=√P Q2−( R+r )2
Karena panjang QS=AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan
dalam dua lingkaran (d ) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari
lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah:
d=√ p2−(R+r )2
BAB III
PEMBAHASAN
A. Alat dan Bahan
9
Pembuatan alat peraga untuk model teorema pythagorass, lingkaran,
dan garis singgung lingkaran, membutuhkan beberapa alat dan bahan sebagai
berikut:
No Alat Bahan
1. Gergaji Kayu
2. Soldier Tiner dan cat warna
3. Bor Triplek
4. Jangka Angsel
5. Kuas Baut
6. Pensil Paku
7. Penggaris Pengait
8. Gunting Permanen maker
9. Palu Tali
B. Estimasi Dana
Pembuatan alat peraga pembelajaran ini membutuhkan biaya, yang
rinciannya adalah sebagai berikut:
No BahanJumlah
(Qty)Harga satuan Total
1. Kayu 2 m2 −¿ Rp. 50.000
2. Tiner dan cat warna 2 buah −¿ Rp. 15.000
3. Triplek 2 m2 −¿ Rp. 30.000
4. Angsel 2 buah Rp. 3.000 Rp. 6.000
5. Baut 10 buah Rp. 1.000 Rp. 10.000
6. Paku −¿ −¿ Rp. 3.000
7. Pengait 2 buah Rp. 5.000 Rp. 10.000
8. Permanen maker 1 buah Rp. 5.000 Rp. 5.000
9. Tali 2 m2 −¿ Rp. 3.000
10. Kuas 1 buah Rp. 6.000 Rp. 6.000
Total keseluruhan Rp. 138.000
10
C. CARA PEMBUATAN ALAT PERAGA
Langkah-langkah dalam pembuatan alat peraga pembelajaran ini adalah:
1. Siapkan peralatan yang akan digunakan.
2. Siapkan bahan yang akan digunakan.
3. Potong papan berukuran 40 × 40 cm sebanyak 2 buah.
4. Gabungkan papan tersebut dengan menggunakan engsel.
5. Buatlah lingkaran dari bahan kayu dengan ukuran diameter masing-
masing lingkaran 20 cm dan 15 cm.
6. Bor kedua titik pusat lingkaran dengan bor berdiameter 5 mm.
7. Buatlah lubang berdiameter 19 cm pada lingkaran yang berdiamater 20
cm dan buatlah lubang yang berdiamater 14 cm pada lingkaran yang
berdiamater 15 cm.
8. Tempelkan lingkaran yang telah dipotong tersebut ke papan yang telah
dibuat tadi.
9. Potong lingkaran (lingkaran yang dilubangi yang berdiameter awal 20
cm) menjadi beberapan bagian dan membentuk juring-juring lingkaran.
10. Buatlah potongan 3 buah persegi dengan sisi 3,4 , dan 5 cm serta segitiga.
Gabungkan sehingga membentuk seperti gambar di bawah ini !
Gambar 7
11. Buat garis singgung dengan kayu berukuran 47 cm sebanyak 3 buah.
12. Buat jari-jari dengan kayu berukuran 10 cm dan 7,5 cm.
13. Bor tiap ujung kayu dengan diameter 5 mm.
14. Rangkai jari-jari, garis garis singgung di pusat lingkaran lingkaran.
15. Tulis unsur-unsur lingkaran dalam papan yang telah ditempel lingkaran
besar.
11
16. Warnai / cat papan.
D. CARA PENGGUNAAN ALAT PERAGA
1. Unsur-unsur Lingkaran
Gambar 8
Pada alat peraga pembelajaran, akan tergambar lingkaran beserta
unsur-unsurnya. Unsur-unsur lingkaran yang terlihat seperti gambar di atas
adalah:
a. Titik pusat lingkaran.
b. Jari-jari lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan titik pada keliling lingkaran yang disimbolkan
dengan r .
c. Diameter atau garis tengah adalah ruas garis yang menghubungkan
dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran yang
disimbolkan dengan d . Diameter (d )=2× r
d. Tali busur yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
keliling lingkaran.
e. Apotema adalah jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
12
f. Busur lingkaran yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi
menjadi dua, yaitu busur besar dan busur kecil.
g. Juring atau sektor adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari.
Juring terbagi menjadi dua, yaitu juring besar dan juring kecil.
h. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya.
Tembereng terbagi menjadi dua, yaitu tembereng kecil dan besar.
2. Menentukan Konsep Pendekatan Nilai π (pi)
Untuk menemukan pendekatan nilai π (pi), lakukan kegiatan
dengan langkah-langkah berikut ini:
a. Perhatikan dua buah lingkaran yang berukuran beda (besar dan kecil)
terdapat pada papan bermain yang telah disediakan.
b. Ukurlah diameter pada lingkaran besar dan lingkaran kecil dengan
menggunakan penggaris.
c. Ukurlah keliling pada lingkaran besar dan lingkaran kecil dengan
melilitkan tali pada bagian tepi lingkaran, kemudian panjang tali
tersebut diukur dengan menggunakan penggaris.
d. Isikan hasil pengukuran yang telah diperoleh pada tabel di bawah ini:
No NamaDiameter (
d ¿
Keliling
(K )Keliling (K )Diameter (d )
1. Lingkaran besar … … …
2. Lingkaran kecil … … …
e. Apakah didapat nilai perbandingan antara keliling dan diameter
lingkaran besar dan lingkaran kecil tetap sama (tetap) ?
Kesimpulan:
Jika kegiatan di atas dilakukan dengan teliti, maka akan diperoleh:
KelilingDiameter mendekati nilai 3,14.
Untuk selanjutnya, nilai KelilingDiameter
=3,14 disebut sebagai konstanta π (π
dibaca: pi)
Jadi, nilai Keliling
Diameter=π
13
3. Menemukan Konsep Keliling Lingkaran
Dari pendekatan nilai π (pi) diatas, diketahui bahwa setiap
lingkaran memiliki nilai perbandingan Keliling (K )Diameter (d ) menunjukkan
bilangan yang sama besar dan disebut sebagai π (pi).
Karena Keliling (K )Diameter (d )
=π
Maka diperoleh: Keliling (K )=π × Diameter (d )
¿ π × d=πd
Panjang diameter (d )=2× jari− jari (r )
¿2 ×r=2r
Maka diperoleh keliling ( K ) lingkaran dengan diameter (d ) atau jari-jari r:
keliling ( K )=π d atau keliling ( K )=2 πr.
Kesimpulan:
Jadi, keliling ( K ) lingkaran=π d atau keliling ( K )=2πr.
4. Menemukan Konsep Luas Lingkaran
Untuk menemukan luas ( L ) lingkaran, lakukan kegiatan dengan
langkah-langkah berikut ini:
a. Perhatikan lingkaran besar pada papan bermain yang telah disediakan.
b. Ambilah kotak yang berisi potongan puzzle yang telah disediakan di
dalam papan bermain. Kotak potongan puzzle tersebut memiliki kode
Z−1.
c. Susunlah potongan puzzle secara urut pada lingkaran besar
berdasarkan nomer yang tertera pada potongan puzzle.
d. Atur potongan puzzle tersebut sehingga memenuhi lingkaran besar
secara penuh seperti gambar berikut.
14
Gambar 9
e. Kemudian ambil potongan puzzle yang telah ditempel pada lingkaran
besar (secara urut berdasarkan nomor) dan tempelkan pada papan
persegi yang terletak di bawah lingkaran besar.
f. Atur potongan puzzle tersebut sehingga membentuk mirip persegi
panjang seperti pada gambar berikut.
Gambar 10
g. Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga
banyaknya, kemudian juring tersebut dipotong dan disusun seperti
gambar P−3 ,hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang.
h. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut
panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran. Sehingga dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Luas lingkaran ¿ luas persegi panjang yang tersusun
¿ panjang × lebar
15
¿ 12
× keliling lingkaran × jari-jari lingkaran
¿ 12
×2 πr × r¿ πr× r¿ πr2
Karena r=12
d maka diperoleh:
Luas lingkaran ¿ πr2
¿ π ( 12
d )2
¿ π ( 14
d2)=14
π d2
Kesimpulan:
Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari (r )
dan diameter (d ) adalah:
Luas lingkaran ¿ πr2 atau luas lingkaran¿14
π d2
5. Menemukan Konsep Panjang Busur Lingkaran
Untuk menemukan panjang busur lingkaran, lakukan kegiatan
dengan langkah-langkah berikut ini:
a. Perhatikan lingkaran kecil yang terdapat pada papan permainan.
b. Pada lingkaran kecil tersebut, susunlah dua potongan puzzle secara
berdampingan dan susun satu buah potongan puzzle yang letaknya
berjauhan dengan dua potong puzzle yang sudah disusun. Tampak
seperti gambar di bawah ini.
Gambar 11
c. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudut pusat. Apakah
panjang kedua, dan luas kedua juringbusur akan menghasilkan
perbandingan yang sama?
16
d. Jika kegiatan di atas dilakukan secara teliti, akan diperoleh bahwa:
besar∠1besar∠1+∠2
= panjang 1̂panjang 1̂+2
= luas juring∠1luas jurng∠1+∠2
=12
Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus
dengan besar sudut pusatnya.
e. Misalkan diambil besar sudut satu putaran penuh
(∠1+C 2+…+∠1+∠17 )=360 ° maka akan diperoleh:
besar∠1360°
= panjang 1̂360 °
Sehinggan panjang busur ¿besar∠
360 °× 2πr
Kesimpulan:
Panjang busur lingkaran dengan keliling lingkaran 2πr dengan jari-
jari r adalah:
Panjang busur ¿besar∠
360 °× 2 πr.
6. Menemukan Konsep Luas Juring Lingkaran
Untuk menemukan luas juring lingkaran, lakukan kegiatan dengan
langkah-langkah berikut ini:
a. Perhatikan lingkaran kecil yang terdapat pada papan permainan.
b. Pada lingkaran kecil tersebut, susunlah dua potongan puzzle secara
berdampingan dan susun satu buah potongan puzzle yang letaknya
berjauhan dengan dua potong puzzle yang sudah disusun. Tampak
seperti gambar di bawah ini.
Gambar 12
17
c. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudut pusat. Apakah
panjang kedua, dan luas kedua juringbusur akan menghasilkan
perbandingan yang sama?
d. Jika kegiatan di atas dilakukan secara cermat, akan diperoleh bahwa:
besar∠1besar∠1+∠2
= panjang 1̂panjang 1̂+2
= luas juring∠1luas jurng∠1+∠2
=12
Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus
dengan besar sudut pusatnya.
e. Misalkan diambil besar sudut satu putaran penuh
(∠1+C 2+…+∠1+∠17 )=360 ° maka akan diperoleh:
besar∠1360°
=luas juring∠1360 °
=12
Sehinggan luas juring lingkaran ¿besar∠
360 °× π r2
Kesimpulan:
Luas juring lingkaran dengan luas lingkaran π r2 dengan jari-jari r:
Panjang busur ¿besar∠
360 °× π r2 .
7. Menemukan Konsep Luas Tembereng
Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan
busurnya. Tembereng terbagi menjadi dua, yaitu tembereng kecil dan
tembereng besar.Untuk menentukan luas tembereng, perhatikan ilustrasi
berikut ini:
Gambar 13
Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa:
18
Luas tembereng¿ luas juring1−¿luas segitiga 1.
Kesimpulan:
Jadi luas tembereng luas juring1−¿luas segitiga 1.
8. Menemukan Konsep Teorema Pythagoras
Untuk menemukan teorema Pythagoras, lakukan kegiatan dengan
langkah-langkah berikut ini:
a. Ambilah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran (b+c ) cm
(potongan kertas telah disediakan). Kita akan menemukan hubungan
antara besarnya a ,b , dan c.
b. Potongan kertas yang pertama menunjukkan persegi ABCD
berukuran (b+c ) cm (seperti gambar di bawah ini). Pada keempat
sudutnya terdapat empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-
sikunya b cm dan c cm.
Gambar 14
Pada potongan kertas tersebut, tampak bahwa: luas persegi ABCD
sama dengan luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir)
ditambah luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir).
Sehingga diperoleh:
Luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku.
19
¿4 × 12
×b× b¿2bc
Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS
¿a × a¿a2
Luas persegi ABCD=¿ luas daerah yang diarsir+¿ luas daerah yang
tidak diarsir
¿ luas empat segitiga siku-siku+¿ luas persegi
PQRS
¿2bc+a2
c. Potongan kertas yang ke−2 menunjukkan persegi EFGH berukuran
(b+c ) cm seperti pada gambar di bawah ini. Pada dua buah sudutnya
terdapat empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk
dua persegi panjang berukuran (b × c ) cm.
Gambar 15
Pada potongan kertas tersebut tampak bahwa: luas persegi EFGH
sama dengan luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir)
ditambah luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir).
Sehingga diperoleh:
Luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang.
¿2×b× c
¿2bc
Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+¿ luas persegi
OFML.
¿ (b × b )+(c ×c )
20
¿b2+c2
Luas persegi ABCD=¿ luas daerah yang diarsir+¿ luas daerah yang
tidak diarsir
¿ luas dua persegi panjang+¿ (luas persegi
KMGN+¿ luas persegi OFML)
¿2 bc+b2+c2
d. Dari potongan kertas pertama dan ke−2 tampak bahwa ukuran persegi
ABCD=¿ ukuran persegi EFGH .
Luas persegi ABCD = luas persegi EFGH
2 bc+a2=2bc+b2+c2
2bc−2bc+a2=2bc−2bc+b2+c2
a2=b2+c2
Gambar 16
Jika digambarkan akan tampak seperti pada gambar di atas.
Kesimpulan:
Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu
segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang
sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut. Kesimpulan tersebut
selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras
tersebut selanutnya dapat dirumuskan bahwa untuk setiap segitiga siku-
21
siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat
panjang sisi siku-sikunya.
Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a adalah sisi miring,
sedangkan b dan c adalah panjang sisi siku-sikunya, maka berlaku:
a2=b2+c2
Pernyataan tersebut jika diubah ke dalam bentuk
pengurangan akan menjadi:
b2=a2−c2 atau
c2=a2−b2
Gambar 17
9. Menemukan Konsep Garis Singgung Persekutuan Dalam
Untuk menggunakan dan menemukan rumus garis singgung
persekutuan dalam lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-langkah
berikut ini:
a. Perhatikan papan bermain yang telah disediakan.
b. Pada papan bermain tersebut terdapat lingkaran besar yang
berdiameter 20 cm dengan titik pusat P yang disebut lingkaran roda 1.
Pasangkan jari-jari lingkaran yang berdiamater 10 cm (jari-jari
tersebut telah diberi nama P dan A pada ujung garis. Jari-jari
lingkaran besar bernama R seperti gambar di bawah ini.
Gambar 18
c. Terdapat pula lingkaran kecil yang berdiameter 15 cm dengan titik
pusat Q yang disebut lingkaran roda 2. Pasangkan jari-jari lingkaran
yang berdiamater 7,5 cm (jari-jari tersebut telah diberi nama Q dan B
22
pada ujung garis. Jari-jari lingkaran besar bernama r seperti gambar di
bawah ini.
Gambar 19
d. Buka perpanjangan garis P−A sehingga terlihat seperti gambar di
atas. Perpanjangan garis P−A tersebut memiliki panjang yang sama
dengan jari-jari r.
e. Pasangkan potongan kayu yang telah disediakan (diberi nama pada
ujungnya dengan nama S−Q) yang menyinggung lingkaran besar
roda 1 , dimana garis tersebut tegak lurus terhadap jari jari atau
membentuk sudut 90 ° sehingga terbentuklah bangun segitiga dengan
tinggi R+r .
Gambar 20
f. Dengan teorema pythagoras diketahui bahwa QS2=PQ2−PS2
g. Pasangkan potongan kayu menyinggung dari titik A ke titik pusat
lingkaran roda kecil, yaitu titik Q. Sehingga terlihat seperti gambar
dibawah ini:
23
Gambar 21
h. Dari gambar tersebut diperoleh:
jari-jari lingkaran yang berpusat di P=R.
jari-jari lingkaran yang berpusat di Q=r.
panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB=d .
jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ=p.
Jika potongan kayu AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka
diperoleh garis SQ.
Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠PQS=∠PAB=90 °(sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS.
Garis AB⫽ SQ , AS⫽BQ dan ∠PQS=∠PAB=90 °.
Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang
AB=d dan lebar BQ=r.
Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan
teorema Pythagoras diperoleh:
QS2=PQ2−PS2QS=√PQ2−PS2QS=√PQ2−(R+r )2
Karena panjang QS=AB, maka rumus panjang garis singgung
persekutuan dalam dua lingkaran (d ) dengan jarak kedua titik pusat p,
jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah:
d=√ p2−(R+r )2
Kesimpulan:
Jadi rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua
lingkaran (d ) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R,
dan jari-jari lingkaran kecil r adalah: d=√ p2−(R+r )2.
24
10. Menemukan Konsep Garis Singgung Persekutuan Luar
Untuk menggunakan dan menemukan rumus garis singgung
persekutuan luar lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah berikut ini:
a. Perhatikan papan bermain yang telah disediakan. Papan tersebut
memiliki lingkaran besar yang berdiamater 20 cm dengan titik pusat P
yang disebut roda 1.
b. Pasangkan kayu yang bernama jari-jari R dari titik P, kemudian dari
titik diluar lingkaran yang telah dibuat sebelumnya, tempelkan garis
yang menyinggung roda 1 dimana garis tersebut tegak lurus terhadap
jari-jari atau membentuk sudut 90 ° sehingga terbentuklah bangun
segitiga dengan tinggi R dan garis miring Q.
c. Pada roda 2dengan diameter 15 cm dengan titik pusat Q, tariklah titik
pusat roda 1 terhadap titik pusat roda 2.
d. Tariklah garis singgung luar yang melewati garis luar lingkaran roda 1
dan roda 2 yang berdiameter 15 cm, dengan ketentuan garis tersebut
harus membentuk sudut 90 ° atau siku-siku terhadap titik pusat roda 1
dan roda 2. Berilah nama d pada garis singgung persekutuan luar
tersebut.
e. Buatlah garis bantu yang sejajar garis d yang ditarik dari titik pusat
lingkaran roda 2 berdiameter 15 cm dan tegak lurus terhadap garis R
( jari-jari lingkaran 1). Sehingga diperoleh gambar seperti di bawah
ini:
Gambar 22
25
f. Dari gambar tersebut diperoleh:
jari-jari lingkaran yang berpusat di P=R.
jari-jari lingkaran yang berpusat di Q=r.
panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB=d .
jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ=p.
Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis
SQ.
Garis ABsejajar SQ, sehingga ∠PQS=∠PAB=90 °(sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS.
Garis AB⫽ SQ , AS⫽BQ dan ∠PQS=∠PAB=90 °.
Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan
menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
QS2=PQ2−PS2QS=√PQ2−PS2QS=√PQ2−(R−r )2
Karena panjang QS=AB, maka rumus panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran (d ) dengan jarak kedua titik pusat p,
jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah:
d=√ p2−(R−r )2
Kesimpulan:
Jadi rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran (d ) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran
besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah: d=√ p2−(R+r )2.
26
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Akan dikembangkan media pembelajaran untuk mempelajari dan
mengkonstruksi garis singgung lingkaran luar dan lingkaran dalam. Selain
dapat digunakan dalam pembelajaran garis singgung lingkaran luar dan
lingkaran dalam, media pembelajaran ini juga dapat digunakan untuk: 1)
mempelajari unsur-unsur lingkaran, 2) menentukan pendekatan nilai π (pi), 3)
menemukan konsep keliling lingkaran, 4) menemukan konsep luas lingkaran,
5) menemukan konsep panjang busur lingkaran, 6) menemukan konsep luas
juring lingkaran, 7) menemukan konsep luas tembereng, 8) menemukan
konsep teorema pythagoras, 9) menemukan konsep garis singgung
persekutuan dalam lingkaran, dan 10) menemukan konsep garis singgung
persekutuan luar lingkaran.
B. SARAN
Proposal ini diharapkan menambah pengetahuan dan kontribusi bagi
pemahaman mahasiswa mengenai alat peraga pembelajaran matematika. Alat
peraga dipergunakan dalam pembelajaran matematika dan memiliki
konstribusi positif dalam meningkatkan pemahaman siswa terhadap materi
yang mereka pelajari. Oleh karena itu, mahasiswa sebagai calon guru harus
berupaya memperbaiki, memodifikasi, mengembangkan, dan menciptakan
karya baru dalam alat peraga pembelajaran sebagai sumbangan terhadap
kemajuan ilmu pendididkan.
DAFTAR PUSTAKA
27
Agus, Avianti Nuniek. 2008. Mudah Belajar MATEMATIKA untuk Kelas VIII
Sekolah Menengah Pertama. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional.
J. Dris dan Tasari. 2011. MATEMATIKA Untuk SMP dan MTs Kelas VIII. Jakarta:
Pusat Kurikulum dan Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. MATEMATIKA Kurikulum 2013
SMP/MTs Kelas VIII Semester 2. 2014. Jakarta: Kementerian Pendidikan
dan Kebudayaan.
Marsigit, dkk. 2011. MATEMATIKA Untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat
Kurikulum dan Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Nugroho, Heru dan Lisda Meisaroh. 2009. MATEMATIKA SMP dan MTs Kelas
VIII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni. 2008. MATEMATIKA KONSEP DAN
APLIKASINYA Untuk Kelas VIII SMP dan MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional.`
Pujiati. 2004. Penggunaan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika SMP.
Yogyakarta: Pusat Pengembangan Penataran Guru (PPPG) Matematika.
Sundayana, Rostinah. 2013. Media Pembelajaran Matematika. Bandung: Penerbit
Alfabeta.
28
