В · Web viewω, рад/с 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 20 50 100 lg(ω) -1 -0,7 -0,3 0 0,3 0,7 1 1,3 1,7 2 Для упрощения действительную ЛАЧХ заменяют

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университетим. С. Торайгырова

В. А. Бороденко

ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРСТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Павлодар2007

УДК 681.5(075)ББК 32.965.4я73

Б83

Рекомендовано Ученым советом ПГУ им. С. Торайгырова

Рецензенты:В.Ф Хацевский – доктор технических наук, профессор,зав. кафедрой АиУ ПГУ им. С. ТорайгыроваП.И. Сагитов – доктор технических наук, профессор,зав. кафедрой ЭАПУ АИЭСГ.М. Никитин – доктор технических наук, профессор,Инновационный Евразийский университет

Б83 Бороденко В.А.Практический курс теории линейных систем автоматического

регулирования: учеб. пособие. – Павлодар: Изд-во ПГУ, 2007. – 263 с., ил.

ISBN 9965-583-14-5

Учебное пособие соответствует программе лекций по теории ли-нейных систем автоматического регулирования для бакалавров. Оно рассматривает основные вопросы дисциплины с упором на их практи-ческую реализацию и снабжено примерами расчета систем автомати-ческого управления или их компьютерного моделирования в количе-стве, достаточном для самостоятельного овладения материалом.

Пособие предназначено для студентов специальности «Автома-тизация и управление» и может быть полезно студентам, инженерам и магистрантам других специальностей при изучении основ теории ав-томатического управления.

ISBN 9965-583-14-5 УДК 681.5(075)ББК 32.965.4я73

© Бороденко В.А., 2007© Павлодарский государственныйуниверситет им. С. Торайгырова, 2007

Содержание

Введение ........................................ 51 Математические модели линейных систем регулирования. 91.1 Задачи теории автоматического управления ............91.2 Структурные преобразования ........................101.3 Дифференциальное уравнение системы ................

17

1.4 Преобразование Лапласа ............................

19

1.5 Передаточная функция ............................. 231.6 Решение уравнений движения системы ................251.7 Разомкнутая и замкнутая системы .................... 271.8 Типовые воздействия ...............................

30

1.9 Временные характеристики ..........................

32

1.10 Частотные характеристики ..........................331.11Логарифмические частотные характеристики ...........372 Устойчивость линейных систем ...................... 402.1 Условия устойчивости линейных САУ ................ 402.2 Критерий Гурвица .................................432.3 Критерий Рауса ................................... 452.4 Критический коэффициент усиления ..................472.5 Критерий Михайлова ...............................

48

2.6 Метод D-разбиения ................................ 512.7 Критерий Найквиста ............................... 532.8 Логарифмический критерий устойчивости ............. 572.9 Запасы устойчивости ...............................593 Качество процессов регулирования ................... 613.1 Показатели качества и методы их оценки .............. 613.2 Прямые оценки качества ............................613.3 Корневые оценки качества .......................... 643.4 Метод корневого годографа ......................... 663.5 Частотные оценки качества ..........................

67

3.6 Интегральные оценки качества .......................683.7 Оценка качества в установившемся режиме ............ 703.8 Коэффициенты ошибок .............................723.9 Построение переходного процесса по ВЧХ .............74

4 Многомерные системы регулирования ................. 774.1 Переменные состояния .............................774.2 Переход к пространству состояний ...................784.3 Каноническая управляемая форма .................... 834.4 Каноническая наблюдаемая форма ....................

85

4.5 Описание по структурной схеме ......................874.6 Представление системы структурной схемой ........... 914.7 Решение уравнения движения ........................

95

4.8 Основные матричные функции .......................974.9 Вычисление фундаментальной матрицы ............... 984.10Устойчивость и наблюдаемость систем ................1014.11Наблюдатели ..................................... 1054.12Проектирование модального регулятора ...............1084.13 Преобразования подобия ............................

111

5 Синтез систем автоматического регулирования ......... 1155.1 Функциональная и структурная схемы ................ 1155.2 Типовые динамические звенья ....................... 1175.3 Непрерывные регуляторы и законы регулирования ...... 1255.4 Свойства объектов управления .......................1275.5 Линеаризация нелинейных объектов .................. 1295.6 Корректирующие звенья ............................1315.7 Синтез систем регулирования по ЛАЧХ ............... 1345.8 Системы регулирования с запаздыванием ..............1355.9 Классификация систем управления ....................

138

6 Компьютерное моделирование систем управления ...... 1436.1 Моделирование систем управления на ЭВМ ............1436.2 Пакет программ LinCAD ............................1466.3 Основы MATLAB ................................. 1536.4 Специальные операторы и функции .................. 1586.5 Графические средства MATLAB ..................... 1626.6 Программирование в MATLAB ...................... 1666.7 Математические модели систем управления ............1726.8 Структурные преобразования модели ................. 1806.9 Визуальное моделирование ..........................

190

6.10Моделирование временных характеристик .............1936.11 Моделирование частотных характеристик 204

..............6.12 Оценка устойчивости линейных систем ................

209

6.13Оценка качества процесса регулирования ..............2236.14Создание модели в пространстве состояний ............ 2356.15 Особенности исследования многомерных систем ........2396.16Проектирование регулятора в пространстве состояний ... 2416.17Преобразования базиса ............................. 249

Литература .......................................254Приложение А Расчет числителей простых дробей ...... 256Приложение Б Основы алгебры матриц ................259

Введение

Настоящее пособие имеет следующие особенности.Теоретический материал излагается в последовательности, при-

вязанной к проведению практических и лабораторных занятий. Спе-цифика расписания занятий в ВУЗе такова, что практика проводится не после изучения значительной части теории, а параллельно с ним. Поэтому, например, классификация систем управления рассматрива-ется не в начале работы с пособием, когда у студента еще отсутствует знакомство с терминологией и основными понятиями, а в конце его, тогда как структурные преобразования, необходимые для практиче-ской деятельности, изучаются сразу же в начале курса.

Важные положения, как правило, даны в виде словесных фор-мулировок, что позволяет студентам при необходимости давать крат-кие ответы по существу на вопросы преподавателей или тестов. По возможности исключены словесные выражения типа «... это и называ-ется тем-то и тем-то», особенно когда «это» представлено в виде не-понятной сложной формулы. Отсутствуют и ссылки на формулы предшествующих разделов пособия, что обычно заставляет тратить время на поиск и нарушает непрерывность процесса изучения.

Большинство вопросов излагается конспективно и раскрывается лишь в той мере, в какой это необходимо для понимания и решения возникающих перед специалистом проблем. В основном отсутствуют доказательства тех или иных положений, что определяется справоч-ным характером пособия. Необходимые отступления и примеры да-ются более мелким шрифтом, полезные сведения, например, из облас-ти высшей математики, вынесены в приложения. Учитывается, что отдельные положения подробно рассматриваются в смежных курсах.

Теоретические вопросы поясняются примерами ручного счета, в то же время даны необходимые сведения по порядку анализа и син-теза систем с применением ЭВМ. В качестве среды для компьютер-ного моделирования систем управления выбрана матричная лаборато-рия MATLAB (версия 7) фирмы The Math Works, кратко рассматрива-ется программный продукт LinCAD, созданный при участии автора.

Материал по пространству состояний вынесен в отдельный раз-дел, что позволяет для одних специальностей исключить его из рас-смотрения, для других – перенести на следующий семестр.

Список рекомендуемой литературы ограничен, в основном, дос-тупным фондом библиотеки университета, что не исключает его рас-ширения самими учащимися. Как и любой учебник, данная работа преимущественно компилятивна и базируется на большом количестве

5

учебной литературы, в частности [1-18], в связи с чем ссылка на ис-пользованный источник дается лишь в особых случаях.

Знакомство с предметом принято начинать исторической справ-кой. Впервые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского "Пневматика" и "Механика", где описаны автоматы, созданные самим Героном и его учителем Ктеси-бием: пневмоавтомат для открытия дверей храма, водяной орган, ав-томат для продажи святой воды и др. В средние века значительное развитие получила так называемая "андроидная" автоматика, объеди-няющая созданные механиками человекоподобные автоматы, подра-жающие отдельным действиям человека [16].

На рубеже ХVIII и XIX веков, в эпоху промышленного перево-рота, начинается новый этап в развитии автоматики, связанный с ее внедрением в промышленность. Появились первые автоматические устройства, к которым относятся регулятор уровня Ползунова (1765 г.), регулятор скорости паровой машины Уатта (1784 г.), система про-граммного управления ткацким станком Жаккара (1804-1808 гг.) и т.д. Этим было положено начало регуляторостроению. В 1854 г. выдаю-щийся русский механик и электротехник К. Константинов предложил использовать в паровых машинах электромагнитный регулятор скоро-сти вращения, а А. Шпаковский в 1866 г. разработал регулятор, изме-няющий подачу топлива в топку соответственно изменению давления пара в котле. В 1879 г. Й. Возняковским и К. Ворониным впервые был осуществлен принцип прерывистого регулирования при управлении питанием котла водой.

Если первые регуляторы были связаны с паровой машиной, то со второй половины XIX в. существенную роль в регуляторостроении начинают играть потребности в электрическом освещении. Так, в 60-е годы в работах В. Чиколаева впервые был применен электрический двигатель, а в 1874 г. он предложил и осуществил метод регулирова-ния, составляющий основу современной электромашинной автома-тики. В то же время постепенно начинают формироваться важнейшие принципы автоматики: принцип регулирования по отклонению Пол-зунова-Уатта, развившийся в концепцию обратных связей; принцип регулирования по нагрузке, послуживший основой теории инвариант-ности, и др. Начиная с курса профессора Петербургского универси-тета Д. Чижова в 1823 г., теория регуляторов входит составным эле-ментом в курсы и монографии по механике и паровым машинам.

Общая теория регуляторов была разработана, в основном, в 1868-1876 гг. в работах Д. Максвелла и И. Вышнеградского. Осново-полагающими трудами Вышнеградского являются: "Об общей теории

6

регуляторов", "О регуляторах непрямого действия". В этих работах можно найти истоки современных инженерных методов исследования устойчивости и качества регулирования. Исследованию устойчивости ряда схем регулирования, в частности, непрямого регулирования с жесткой обратной связью, были посвящены также работы словацкого инженера А. Стодолы. В этот же период сформулированы алгебраиче-ские критерии устойчивости Рауса и Гурвица.

Бурный рост промышленности отражается и на развитии работ в области теории регулирования. В конце XIX в. и начале XX столетия создаются новые виды электромеханических регулирующих прибо-ров, такие, как программные регуляторы, следящие системы и схемы компаундирования. Так, в 1877 г. А. Давыдов разработал проект пер-вой следящей системы автоматической наводки артиллерийских ору-дий. В 1882 г. на Промышленно-художественной выставке в Москве был показан прототип современного программного регулятора, разра-ботанного Н. Захаровым. До настоящего времени используется прин-цип "установления допустимых предельных значений регулируемого параметра", предложенный в 1884 г. Л. Снегуровым. В этот же период развивается параметрическое регулирование: разработаны дифферен-циальный регулятор В. Чиколаевым и схема компаундирования гене-раторов М. Доливо-Добровольским.

Большое значение для развития теории регулирования имели исследования А. Ляпунова. Опубликованная им в 1892 г. работа "Об-щая задача устойчивости движения" явилась важной вехой в развитии теории устойчивости. В ней А. Ляпунов дал первое в истории науки математически строгое определение устойчивости движения, а также разработал методы решения задач об устойчивости. Крупный вклад в теорию внес Н. Жуковский, который создал теорию орбитальной ус-тойчивости на основе вариационных принципов динамики, а также дал математическое описание процессов в длинных трубопроводах, рассмотрел влияние сухого трения в регуляторах, исследовал некото-рые процессы импульсного регулирования. Им написан первый рус-ский учебник "Теория регулирования хода машин" (1909 г.).

К началу XX в. и в первом его десятилетии теория автоматиче-ского регулирования формируется как общая дисциплина с рядом прикладных разделов. Особенно четко мысль о теории регулирования как дисциплине общетехнического характера проводится в работах И. Вознесенского (1922-1949 гг.) – руководителя одной из крупных советских школ в этой области, который в 1934 г. впервые выдвинул принцип автономного регулирования. Данный период также характе-ризуется развитием вопросов автоматического регулирования произ-

7

водства и распределения электрической энергии, в частности, рабо-тами С. Лебедева и П. Жданова в области устойчивости энергосистем.

В тридцатые годы XX в. создаются более эффективные методы исследования, в частности, частотные. Появляются работы X. Найкви-ста (1932 г.), содержащие критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью, и А. Михайлова (1938 г.) "Гармониче-ский метод в теории регулирования", которые вошли в практику в по-слевоенные годы. В 1946 г. Г. Боде и Л. Маккол ввели в практику ло-гарифмические частотные характеристики. Г. Браун, А. Холл, Д. Кем-пбелл, Г. Честнат, В. Солодовников завершили разработку частотных методов синтеза и расчета систем, придав им форму, удобную для инженерных расчетов.

В 40-50-е годы разрабатываются основы теории нелинейных систем, сложность которых состоит в отсутствии единого общего ма-тематического аппарата. Здесь следует отметить работы по устойчи-вости А. Лурье (1944-1951 гг.), А. Летова (1955 г.). Завершающим этапом этого направления считается разработка теории абсолютной устойчивости, выдвинутой А. Лурье и В. Постниковым (1944 г.), бо-лее детально сформулированной М. Айзерманом (1949, 1963 гг.) и усовершенствованной румынским ученым В. Поповым (1959 г.).

Большое значение для качественного исследования нелинейных систем имеют методы фазовой плоскости и фазового пространства, основы которых заложены А. Андроновым и его школой в 1930-1940 гг. Я. Цыпкиным разработаны основы теории релейных (1955 г.) и импульсных (60-е годы) систем с различными видами модуляции. Н. Крыловым и Н. Боголюбовым (1934 г.) разработан метод гармони-ческого баланса для определения параметров автоколебаний и усло-вий их возникновения.

В послевоенные годы теория автоматического управления раз-вивалась плодотворно и во многих направлениях, в силу чего воз-можно упомянуть лишь некоторые результаты: теория автоматиче-ского регулирования по возмущению, теория компенсации возмуще-ний и инвариантности разработаны в трудах Г. Щипанова, В. Кулеба-кина, Б. Петрова и др.; принципы экстремального управления и теория поиска экстремума разработаны В. Казакевичем, А. Фельдбаумом, А. Красовским. В эти же годы создаются основы теории оптимального управления Л. Понтрягиным, А. Летовым, Н. Красовским и др.

В настоящее время значение теории автоматического управле-ния переросло рамки только технических систем. Ее элементы ис-пользуются при изучении процессов в живых организмах, экономиче-ских и организационных человеко-машинных системах.

8

1 Математические модели линейных систем регулирования

1.1 Задачи теории автоматического управленияВ общем смысле управление – это организация некоторого про-

цесса для достижения поставленной цели. Управление оптимально, если в условиях имеющихся ограничений оно осуществляется в из-вестном смысле наилучшим образом. Оно называется терминальным, если требуется достичь заданной конечной точки в пространстве.

Общую схему управления отображает рисунок 1.

Рисунок 1

Здесь ОУ – объект управления, УУ – управляющее устройство, f(t) – возмущающее воздействие (возму-щение, помеха), y(t) – выходная или управляемая величина (отклик, реак-ция), u(t) – управляющее воздействие (управление), r(t) – задающее воздей-ствие (цель, задание, программа).

Все, что не относится к объекту управления и управляющему устрой-ству, считается окружающей средой.

В соответствии с желаемым результатом процесса, формируе-мым с помощью задания r(t), УУ вырабатывает управляющее воздей-ствие u(t) на ОУ. К возмущениям относятся все те факторы, которые нарушают нормальную работу системы и влияние которых необхо-димо устранить. Неизмеряемое возмущение называется помехой, воз-мущение, обусловленное технологическим процессом – нагрузкой. Как правило, производится контроль реакции объекта на управляю-щие воздействия для коррекции характера этих воздействий, тогда как непосредственный контроль возмущений может и отсутствовать. Сис-темы, сравнивающие результат управления с заданием, относятся к системам с обратной связью (по-английски Feedback Control System).

Объект управления характеризуется функцией преобразования (передачи) – законом, по которому входные величины f(t) и u(t) пре-образуются им в выходную y(t).

Управление называют автоматическим, если основной техно-логический процесс осуществляется полностью без участия человека, и автоматизированным, если функции управления поделены опреде-ленным образом между человеком и машиной (имеется в виду ЭВМ).

Совокупность объекта управления и управляющего устройства образует систему управления (СУ). К автоматическим СУ относятся САУ – система автоматического управления, САР – система автома-

9

тического регулирования, САК – система автоматического контроля; к автоматизированным АСУ – автоматизированная система управле-ния, АСУП – АСУ производством, АСУТП – АСУ технологическим процессом, САПР или, по-английски, CAD – система автоматизиро-ванного проектирования.

Обычно, если не требуется специально разграничить эти сис-темы, под САУ и САР подразумевают одно и то же. Регулированием называется частная задача управления, состоящая в отработке задаю-щего воздействия без выбора его характера.

Теория автоматического управления (ТАУ) является теоретиче-ской базой автоматизации в любых отраслях науки и техники. Она изучает принципы построения САУ независимо от их назначения, конструкции, физической природы. Основным методом исследования в ТАУ является математическое моделирование – физическую систе-му заменяют ее математической моделью, результаты эксперимента с которой переносят на реальный объект. Наибольшие трудности пред-ставляют обычно этапы перехода от реального объекта к модели и возвращения от модели к реальной системе. Следует помнить, что аб-солютно точного совпадения модели и реальной системы добиться невозможно, речь может идти лишь о степени их сходства. Физиче-ские системы, имеющие математические модели одинакового вида, называются подобными.

В число задач, решаемых ТАУ как наукой, входят проблемы оценки устойчивости и качества регулирования, исследования чувст-вительности к изменению внешних и внутренних параметров систем, синтеза оптимальных по структуре или характеристикам регуляторов (управляющих устройств), коррекции свойств систем управления, вы-бора законов регулирования и методов построения моделей.

1.2 Структурные преобразованияОбщая функция преобразования системой входных величин в

выходные (передаточная функция) зависит от состава образующих систему элементов и характера связей между ними.

Для анализа или синтеза систему представляют структурной схемой, состоящей из звеньев, ветвей, узлов и сумматоров. Звено или блок обычно изображается прямоугольником, имеющим слева вход, справа выход с указанием функции преобразования внутри прямо-угольника. Функция передачи может указываться в общем виде Wi, ki

или в виде некоторой зависимости, например, k/(Ts+1), для линейных звеньев, и в форме статической характеристики или условного изо-бражения – для нелинейных звеньев.

10

Узлы обозначаются на графической схеме точкой с диаметром 1,5 - 2 мм, они соответствуют месту разветвления сигнала. Ветвь (связь) представляется линией со стрелкой в конце, отображающей направление движения сигнала. Сумматоры (элементы сравнения) представляют собой места схождения сигналов.

Они обозначаются либо пустым кружком среднего размера (крупнее уз-ла), либо крупным кружком, перечерк-нутым крест накрест прямыми линиями.

Сумматор, как правило, имеет не более трех входов, не более одного выхода и коэффициент передачи k = 1. Все входы сумматора независимы друг от друга. Если на входе сумматора производится из-менение знака сигнала (инвертирование), т. е. по этому входу коэф-фициент сумматора равен минус единице, вход называется инверти-рующим, а сумматор – элементом сравнения. Такой вход сумматора обозначается минусом для изображения в виде пустого кружка, и за-тушеванным сектором для обозначения в виде крупного кружка.

Как правило, при известных функциях передачи отдельных звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ) некоторого объединения звеньев (объекта, регулятора), либо всей сис-темы в целом. Для этого используют правила структурных преобразо-ваний, и в первую очередь три правила преобразования последова-тельного, параллельного и встречно-параллельного соединений.

1) Последовательное соединение звеньев.Эквивалентная передаточная функция последовательно соеди-

ненных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Соединение Преобразуется в Передаточная функция

W=W1∙W2

В общемвиде

Считают, что перестановка последовательно включенных по пу-ти сигнала звеньев не влияет на результат, т. е. W1W2 = W2W1.

2) Параллельное соединение звеньев (согласно-параллель-ное).


W=W2 ± W1

В общемвиде

11

Эквивалентная передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знака входа сумматора на пути сигнала).

3) Соединение с обратной связью (встречно-параллельное).Вначале введем несколько необходимых определений. Путь –

непрерывная последовательность направленных звеньев, в которой ни одно звено не встречается дважды. Путь от входа к выходу системы называется прямой связью, от выхода ко входу – обратной связью. Если сигнал на пути меняет знак (обычно на инвертирующем входе сумматора), обратная связь называется отрицательной (ООС), если не меняет знак – положительной (ПОС). Замкнутый путь называется контуром, например, замкнутый контур обратной связи (ЗКОС). Сиг-нал ООС вычитается из входного сигнала ЗКОС.

Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на пря-мом пути, а в знаменателе – единица минус произведение ПФ звеньев по замкнутому контуру обратной связи.


Важно запомнить характерные особенности этого вида соедине-ния звеньев:- если в системе есть хоть одна обратная связь, передаточная функция будет всегда представлять собой дробь;- знак перед произведением ПФ звеньев в знаменателе обычно проти-воположен знаку обратной связи.

Величина называется определителем ЗКОС.4) Перенос воздействий в системах с перекрещивающимися

связями (правило структурных преобразований, применяющееся, ес-ли система включает соединения смешанного типа – не чисто после-довательные, и не чисто параллельные).

Чтобы результирующая система не изменилась, в цепь перено-симого воздействия вводят фиктивное звено с ПФ, равной переда-точной функции потерянных, либо обратной передаточной функции приобретаемых при переносе звеньев.

Смысл правила состоит в том, что любые изменения по сравне-нию с исходной схемой, появляющиеся в системе после ее преобразо-вания, не должны влиять на результирующую передаточную функ-

12

цию. Заметим, что при наличии обратных связей следует особенно внимательно подходить к переносу сумматоров или их обходу.

Рассмотрим систему такого рода (рисунок 2, а)

а бРисунок 2

Из схемы следует, что нельзя, в частности, объединить звенья W2 и W3, как последовательно включенные, из-за связи в точке m. Пе-ренесем ветвь из узла m в узел n.

В исходной схеме на пути от точки m к входному сумматору не было звеньев, преобразующих сигнал, тогда как в новой схеме на пути между теми же точками появляется звено с передаточной функцией W3. Следовательно, в цепь переносимого воздействия нужно ввести фиктивное звено с обратной передаточной функцией, т. е. 1/W3 или W3

-

1 (рисунок 2, б).После переноса начнем свертывание схемы, заменяя каждый раз

несколько звеньев одним эквивалентным на основе правил 1-3 и уве-личивая границы преобразуемого участка. Промежуточные (вспомо-гательные) ПФ обычно индексируют римскими цифрами, их исполь-зуют временно и обязательно заменяют в итоге на ПФ с реально су-ществующими индексами.

; ;

Конечный результат всегда представляется в виде простой ра-циональной дроби и выражается только через исходные передаточные функции. Сигнал не может пройти через одну и ту же точку дважды, поэтому появление в выражении кратных величин вида 2Wi или Wi

2 и т. п. является признаком допущенной при преобразованиях ошибки.

5) Правило Мейсона (Mason, 1953 г.).Правило рассматривает систему как ориентированный граф и

позволяет описать ее всю сразу, без преобразований по отдельным фрагментам, что следует считать его достоинством. Недостаток – от-

13

сутствие каких-либо признаков (как в предыдущем правиле), указы-вающих на допущенную ошибку, пропущенный путь или контур.

Формула Мейсона имеет вид

,

где Wпр,i – передаточные функции отдельных прямых путей между за-данными входом и выходом, ΣWi – сумма передаточных функций всех контуров, Δ = 1 – ΣWi + ΣWiWj - ΣWiWjWk + … – главный определитель схемы, Δi – главный определитель после изъятия из схемы i-го прямо-го пути, с учетом исключения и других параллельных путей, начи-нающихся или заканчивающихся в общих с изымаемым путем точках, ΣWiWj, ΣWiWjWk и т.д. – суммы произведений двух, трех и более пере-даточных функций контуров, не соприкасающихся друг с другом.

Структурная схема представленной на рисунке 3 системы регу-лирования имеет три замкнутых контура обратной связи с передаточ-ными функциями WI = -W3W10, WII = -W6W9, WIII = -W2W3W4W9 (минус учитывает прохождение через инвертирующий вход сумматора).

Рисунок 3

Передаточные функции прямых путей от входа u к выходу y, учитывая, что сигнал не может пройти дважды одну и ту же точку: Wпр1 = W1W6W5; Wпр2 = W7W4W5; Wпр3 = W1W2W8; Wпр4 = W1W2W3W4W5; Wпр5 = -W7W10W8; Wпр6 = -W7W4W9W2W8 (минус для инвертирующего входа сумматора). Отметим, что два последних пути и второй ЗКОС могли бы остаться незамеченными и выпасть из описания, что и явля-ется недостатком правила Мейсона.

Знаменатель ПФ (главный определитель системы)Δ = 1 – (WI + WII + WIII)+ (WI∙ WII) =

1+W3W10+W9W6+W2W3W4W9+W3W10W9W6.

14

Частные определители: Δ1 = 1 – WI = 1 + W3W10 (не равен 1, так как с изымаемым первым прямым путем не имеет общих точек контур I), Δ5 = 1 – WII = 1 + W6W9 (не равен 1, так как с изымаемым пятым прямым путем не имеет общих точек контур II), остальные частные определители равны единице, поскольку с соответствующими пря-мыми путями соприкасаются все три ЗКОС схемы.

Осталось подставить найденные выражения в общую формулу

При описании структурной схемы по Мейсону можно восполь-зоваться и словесной формулировкой, особенно удобной для описания простых систем.

Передаточная функция многоконтурной системы образует дробь, числитель которой равен сумме произведений передаточных функций прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не ка-сающихся этих путей, а знаменатель – единица минус сумма произ-ведений определителей несоприкасающихся ЗКОС и передаточных функций общих ЗКОС.

Порядок системы одинаков для всех путей через нее, поэтому, если контуры обратной связи не касаются прямого пути, это отража-ется на числителе ПФ, если не касаются друг друга – на ее знаменате-ле. Рассмотрим в качестве примера знакомую систему (рисунок 2, а).

При составлении полинома числителя передаточной функции убеждаемся, что все замкнутые контуры обратной связи касаются прямого пути (он в системе один). Это условие выполняется, поэтому умножать произведение ПФ звеньев прямого пути W1W2W3 на какие-либо определители ЗКОС не требуется. При составлении полинома знаменателя передаточной функции убеждаемся, что все замкнутые контуры обратной связи касаются друг друга (имеют общий участок), тогда единица на все контуры одна, что и наблюдается в рассматри-ваемом примере. Следовательно, записываем в знаменателе единицу и далее плюс-минус произведения ПФ звеньев по каждому ЗКОС

Для системы (рисунок 4) определим две передаточные функции, т. е. характер преобразования по двум путям сигнала через нее.

15

Рисунок 4

При числе передаточных функций более одной их помечают подстроч-ными индексами, указывая первым обозначение (индекс) выхода, а вто-рым – обозначение (индекс) входа.

Соответственно, найдем передаточные функции для выходов y и e относительно входа r. Первая передаточная функция равна

.

Оба ЗКОС касаются прямого пути, поэтому полином числителя передаточной функции содержит лишь произведение ПФ звеньев на прямом пути от входа к выходу. Однако контуры обратной связи не касаются друг друга, т. е. являются независимыми. Поэтому в знаме-нателе сначала описывается один контур обратной связи (и все со-пряженные лишь с ним, если бы таковые имелись), а затем этот опре-делитель умножается на определитель ЗКОС, не соприкасающегося с ним (и сцепленные с этим контуром ЗКОС, если бы таковые имелись).

Единица в числителе второй ПФ соответствует передаточной функции сумматора, через который проходит сигнал на пути от входа r к выходу e. Она умножается на определитель замкнутого контура обратной связи со звеном W2, не касающегося прямого пути от r к e.

.

Обсудим сразу необходимость сокращения одинаковых сомно-жителей 1 – W2 в числителе и знаменателе передаточной функции. Их сокращение кажется естественным, поскольку в рассматриваемом слу-чае сигнал явно не проходит через звено W2. Тем не менее, произво-дить сокращения в общей передаточной функции системы не реко-мендуется, так как при этом снижается порядок описывающей ее мо-дели, т. е. из поля зрения выпадают реально существующие в ней зве-нья, которые могут влиять на поведение системы, например, ее устой-чивость. (Не следует путать с обязательным сокращением знаменате-лей сложных дробей при промежуточных преобразованиях).

Кроме того, из-за сокращений неверно определяется реакция системы на ненулевые начальные условия. Поэтому обычно и раскры-вают все скобки в числителе и знаменателе ПФ, получая многочлены.

В заключение вернемся к системе, показанной на рисунке 3. Ее передаточная функция представляет собой дробь (есть по меньшей мере одна обратная связь), в числителе которой записана сумма про-

16

изведений ПФ звеньев по всем шести прямым путям сигнала, причем ПФ первого пути умножаем на определитель не соприкасающегося с ним контура (1 + W3W10), а ПФ пятого пути – на определитель не со-прикасающегося с ним контура (1 + W9W6). Контуры обратной связи I и II не соприкасаются друг с другом, но оба имеют общие точки с контуром III, поэтому в знаменателе дроби сначала перемножаются определители независимых ЗКОС I и II, а затем к ним добавляется (с учетом знака обратной связи) сопряженный контур III, а именно

Δ = (1+W3W10 )(1+W9W6 ) + W2W3W4W9 = 1+W3W10+W9W6+W3W10W9W6+W2W3W4W9.

1.3 Дифференциальное уравнение системыОпределим предмет изучения. Это линейные, непрерывные,

стационарные, одномерные системы с сосредоточенными параметра-ми.

У непрерывных элементов выходная величина изменяется плав-но при плавном изменении входной величины. Важным свойством ли-нейных систем является применимость к ним принципа суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любое сочетание воз-действий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий в от-дельности.

Математический аппарат, используемый для описания линейных систем, проще, чем для нелинейных. Поскольку реально в мире суще-ствуют только нелинейные системы, то для изучения их предвари-тельно некоторым образом линеаризируют. Линеаризацией называется такое упрощение математического описания объекта, при котором его параметры становятся постоянными величинами или отображаются линейными зависимостями.

У стационарных систем коэффициенты и параметры – это по-стоянные величины, не являющиеся функциями времени. Характери-стики любых систем со временем меняются, однако, поскольку мы проводим анализ в течение короткого отрезка времени, возможные изменения параметров за этот период считаются несущественными.

Одномерные системы и объекты описываются по методу «один вход – один выход» (SISO – Single Input Single Output) с помощью пе-редаточной функции. Для многомерных объектов и систем управления с несколькими входами или выходами чаще используется векторно-матричное описание. Если выходные величины зависят друг от друга, системы называются многосвязными.

Наконец, элементы систем (емкость, сопротивление) будем ус-ловно считать сосредоточенными в одной точке, хотя реально это и не

17

всегда так, например, для протяженных линий электропередачи или водопроводов необходимо учитывать распределение параметров по длине объекта – это системы с распределенными параметрами.

Поведение линейных, непрерывных, стационарных систем с со-средоточенными параметрами описывается во времени обыкновен-ным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффи-циентами ai, bj

,

где слева – выходная функция y(t) и ее производные (результат), спра-ва – входная функция x(t) и ее производные. В этом смысле запись со-ответствует расположению результата и действий при программиро-вании, или записи подстрочных индексов передаточной функции.

Данное уравнение можно записать в алгебраизированном виде, используя оператор (символ) дифференцирования p ≡ d/dt, что позво-ляет производить с дифференциальным уравнением алгебраические операции – выносить члены за скобки, складывать, умножать и т. п.

(a0 pn + a1 pn-1 + ... + an ) y(t) = (b0 pm + b1 pm-1 + ... + bm ) x(t).

Здесь слева в скобках – собственный оператор объекта, справа – оператор входа (воздействия). При этом в алгебраизированном урав-нении используются, как правило, не сами величины x и y, а их абсо-лютные ∆y/∆x или относительные ∆y/y0, ∆x/x0 отклонения от рабочей точки c координатами (x0, y0).

Оператор D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + ... + an называется также ха-рактеристическим, так как характеризует собственные свойства сис-темы (объекта), а уравнение D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + ... + an = 0 – харак-теристическим уравнением системы.

Удобным способом записи дифференциального уравнения явля-ется операторная передаточная функция

.

Она отображает действия, которые необходимо произвести с входной величиной данного объекта, чтобы получить выходную вели-чину. При этом следует иметь в виду, что оператор p ≡ d/dt лишь об-легчает запись дифференциальных уравнений, но не дает способа их решения – y(t) и x(t) остаются функциями времени. Он не обладает свойством коммуникативности: можно записать p∙y(t), но нельзя y(t)∙p.

18

1.4 Преобразование ЛапласаВ ТАУ основным инженерным методом решения дифференци-

альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя-ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле-ния. Из-за необходимости вычислять корни характеристического уравнения преобразование Лапласа целесообразно использовать лишь для систем до четвертого порядка, решать ОДУ более высокого по-рядка удобнее численными методами на ЭВМ.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. На первом этапе производят пря-мое преобразование X(s) = L{x(t)} – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ. Здесь ω = 2πf – это известная из электротехники круговая частота, рад/с. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав-нения D(s) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен-ными значениями разлагается реакция. В конце вычислений выпол-няют обратное преобразование Лапласа x(t) = L-1{X(s)} – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t.

Общее обозначение описанных операций x(t)÷X(s), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе-ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Практически все функции электротехники и ТАУ соответствуют требованиям к ориги-налу (функция кусочно-непрерывна на участке исследования, равна нулю при t < 0 и ограничена функцией , где σ0 – абсцисса абсо-лютной сходимости).

Иногда для обозначения оператора дифференцирования p ≡ d/dt и комплексной переменной s = σ + jω = α + jβ используют один и тот же символ p, что может приводить к недоразумениям или неправиль-ным результатам. Мы будем далее использовать отдельные обозначе-ния.

Приведем без доказательств свойства преобразования Лапласа.- Линейность x(t) + y(t) ÷ X(s) + Y(s).- Однородность kx(t) ÷ kX(s).

- Подобие .

19

- Дифференцирование оригинала

При нулевых начальных условиях (значениях переменных в мо-мент t = 0-, уже существующих в системе) запись упрощается

.

Дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на s в степени, равной порядку дифференцирования (производной).- Интегрирование оригинала

При нулевых начальных условиях запись упрощается (интегри-рованию оригинала соответствует деление его изображения на s)

.

- Запаздывание (смещение) оригинала во времени на величину τ > 0

.

- Смещение изображения на комплексной плоскости на величину λ

.

- Начальное значение оригинала (при t = 0+), вычисляемое (обратите внимание на то, что в выражении использован знак равенства, а не со-ответствия)

.Для вычисления начального значения производной по времени

от функции x(t) n-го порядка производится умножение изображения на sn+1

.

Пример: определим начальные значения функции F(s) и ее производной

20

Полином, отражающийначальные условия

Учет начальных условий

При подстановке значения переменной s, равного бесконечности, раскры-тие неопределенности производится по правилу Лопиталя, которое, применитель-но к данному случаю, можно сформулировать следующим образом. Если макси-мальная степень, в которую возводится бесконечное число в числителе, больше аналогичной в знаменателе, то все выражение стремится к бесконечности (не за-бывать про знак!), если меньше, то стремится к нулю. Если максимальные степе-ни бесконечных чисел в числителе и знаменателе дроби равны, то все выражение равно отношению коэффициентов при бесконечных величинах.- Конечное значение оригинала (при t = ∞), также вычисляется с ис-пользованием знака равенства, а не соответствия

.

Пример: .

Прямое

и обратное

преобразования Лапласа являются интегральными, т.е. достаточно сложными для вычисления. Однако, учитывая ограниченное количе-ство используемых функций, в инженерной практике используют вместо них готовые таблицы соответствия оригиналов и изображений (таблица 1).

Таблица 1Изображение X(s) Оригинал x(t)

импульсная функция k∙δ(t)– простой

нулевой корень скачок k∙1(t) или просто k

– кратныйнулевой корень k∙tn – степенной ряд от t

– простойдействительный корень – экспонента

– кратныйдействительный корень , при n > 1

21

Изображение X(s) Оригинал x(t)– сопряженныемнимые корни

k∙sinωt – гармоническаяфункция

– сопряженныемнимые корни

k∙cosωt – гармоническаяфункция

сопряженные комплексные корни, объединенные в одну

дробь

,

с вычислением

а) предпочтительная форма

б) через синус

в) через косинус

сопряженные комплексные корни(раздельное представление) перед d ставят плюс, если знаки

мнимых частей изображения в числителе и знаменателе сов-падают (как показано), и минус в противном случае

Примечание – Даже если скачок 1(t) в формуле для входной функции не пишется, то всегда подразумевается, т.к. по Лапласу при t = 0- любая функция f(t) равна нулю, а затем она появляется скачком. Однако сомножитель 1/s вводят в изображение входной функции лишь в том случае, если она представляет собой чисто ступенчатое воздействие, даже если в функциях-оригиналах другого вида скачок и был указан.

1.5 Передаточная функцияОператорная передаточная функция W(s) является основной

формой описания систем в операторной области по методу один вход, один выход.

Она может быть получена:- по структурной схеме (методы эквивалентных преобразований были рассмотрены нами ранее);- по дифференциальному уравнению – заменяя операцию дифферен-цирования переменной s, функции времени их изображениями по Ла-пласу и считая начальные условия нулевыми, получаем из ОДУ

(a0 sn + a1 sn-1 + ... + an ) Y(s) = (b0 sm + b1 sm-1 + ... + bm ) X(s),

.

22

Отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией.

Для реальных систем m ≤ n, поэтому передаточная функция обычно представляет собой правильную рациональную дробь.

Корни характеристического уравнения

D(s) = a0 sn + a1 sn-1 + ... + an = 0

характеризуют собственные свойства системы и дают решение одно-родного дифференциального уравнения без правой части, т. е. описы-вают свободное движение автономной системы.

Функция 1/D(s) называется системной, функция N(s) – возбуж-дающей.

С точностью до коэффициента b0/a0 ПФ может быть выражена корнями полинома числителя (нулями) и полинома знаменателя (полюсами)

.

На комплексной плоскости нули обозначают кружком, а полюса – крестиком.

Поскольку и числитель, и знаменатель представляют собой ал-гебраические многочлены с действительными коэффициентами, ком-плексные корни могут быть только сопряженными, т.е. образовывать пары с положительной и отрицательной мнимыми частями. Число корней равно степени многочлена.

Как правило, ПФ приводят к стандартному виду (нормируют), приравнивая к единице старший коэффициент при s, либо свободный член полиномов.

Нормирование по старшему коэффициенту вида

обычно применяется при работе с корнями или при переходе к описа-нию системы в пространстве состояний.

Нормирование по свободному члену

23

используется при работе с типовыми динамическими звеньями.Число перед дробью (общий множитель) называется коэффици-

ентом передачи в общем случае и коэффициентом усиления (Gain), ес-ли параметры входа/выхода безразмерны или имеют одинаковую раз-мерность. и k в общем случае не равны. Коэффициент k = bm/an, обозначаемый также kуст или k(∞), называется коэффициентом усиле-ния системы в установившемся режиме.

Из W(s) = Y(s)/X(s) следует Y(s) = X(s)∙W(s). Иначе говоря, изо-бражение реакции системы на любое воздействие, имеющее изобра-жение по Лапласу, может быть определено как произведение послед-него на передаточную функцию системы.

Вид W(s) и W(p) схож лишь при нулевых начальных условиях и только для стационарных систем.

Если звено (система) является стационарным, т.е. описывается ОДУ с постоянными коэффициентами, то имеет место сходство меж-ду передаточными функциями в форме изображения Лапласа W(s) и в операторной форме W(p). Чтобы перейти от одной формы к другой, достаточно сделать подстановку p = s и наоборот. Однако для неста-ционарных звеньев эта операция не допускается, для них возможна только форма W(p, t). При ненулевых начальных условиях отличается функция W(s, x0), в которой появляются элементы учета начальных значений переменных при t = 0, которых нет в W(p).

1.6 Решение уравнений движения системыДля решения дифференциального уравнения с помощью преоб-

разования Лапласа необходимо:- найти корни характеристического уравнения ;- найти изображение реакции Y(s) и записать его в виде суммы про-стых дробей по теореме разложения в соответствии с полюсами;- найти коэффициенты числителей каждой дроби (вычеты в полюсах);- найти оригинал для каждой дроби по таблице соответствия и запи-сать конечное решение в виде суммы отдельных оригиналов.

При этом целесообразно учитывать следующие рекомендации:а) перед вычислением корней знаменатель обязательно следует

нормировать по старшему коэффициенту при s, иначе может возник-нуть типичная ошибка (в примере потерян коэффициент 0,5 при s2, на самом деле после преобразования должно быть 10/(s+1)/(s+2))

24

!

б) нельзя сокращать существующие нули и полюсы с положи-тельной действительной частью, ведущие к неустойчивости системы, если их части не являются целыми числами; остальные нули и полюса могут быть сокращены перед переходом во временную область;

в) для кратных полюсов записывают дробями все степени корня от наибольшей до первой в порядке их убывания;

г) комплексные сопряженные корни записывают, как правило, в виде одной общей дроби.

После разложения на простые дроби и вычисления вычетов по-лезно проверить правильность результата. Первое правило проверки – сумма дробей правой части должна быть равна изображению в левой части равенства. Второе правило проверки – сумма всех составляю-щих оригинала при t = 0 (начальное значение оригинала) в соответст-вии со свойствами преобразования Лапласа должна быть равна

.В общем случае реакция системы состоит из вынужденной и

свободной составляющих y(t)=yвын(t)+yсв(t), изображения которых имеют одинаковый знаменатель (характеристический полином систе-мы)

.

Вынужденная составляющая yвын(t) является реакцией системы на входное воздействие при нулевых начальных условиях y(0_) = 0. Свободная составляющая yсв(t) или переходный процесс автономной системы является решением однородного дифференциального урав-нения (без правой части) и определяется начальными условиями.

Используют два способа вычисления совокупного переходного процесса. В первом случае система обычно задается ОДУ, производят индивидуальное преобразование каждого члена дифференциального уравнения, вычисляются одновременно вынужденная и свободная со-ставляющие.

По второму способу выполняют независимое вычисление вы-нужденной и/или свободной составляющих, при этом система обычно задана ПФ или структурной схемой. Для вычисления N0(s) по D(s) ис-пользуется формула (схожая, но не равная вычислению производной)

25

Если рассчитывается полное движение системы с учетом нену-левых начальных условий, запрещается производить сокращения в левой части ОДУ (в характеристическом полиноме D(s) системы). Обусловлено это требование тем, что именно вид характеристическо-го полинома определяет свободную составляющую переходного про-цесса, т.е. реакцию на начальные условия.

Если начальные условия не заданы, то по умолчанию они счи-таются нулевыми.

Пример: для системы, заданной однородным дифференциальным уравне-нием , найти реакцию на начальные условия ; (начальные значения должны задаваться до n-1 производной выходной величины). Преобразуем индивидуально каждый член ОДУ по Лапласу с учетом свойств дифференцирования оригинала при ненулевых начальных условиях

.

Группируем и переносим подобные члены, подставляем значения

,

.

Находим корни характеристического уравнения s1 = -1, s2 = -2 по формуле

записываем разложение на простые дроби, вычисляем вычеты в полюсах (смотри приложение А), переходим к оригиналу по таблице 1

,

.

Пример. Система задана ОДУ . Найти

реакцию системы, если u(t) = δ(t), y(0) = 1, .Прежде всего находим изображение входного воздействия по Лапласу

из таблицы 1. Вычисляем передаточную функцию и вынуж-денную составляющую переходного процесса

26

,

.

Определяем по характеристическому полиному числитель N0(s) и свобод-ную составляющую переходного процесса

,

.

Полное описание переходного процесса

.

1.7 Разомкнутая и замкнутая системыОбратная связь (ОС), охватывающая всю систему, называется

главной, остальные – местными (вспомогательными). Главная ОС обеспечивает контроль результатов регулирования, местные изменяют свойства системы в целом или ее отдельных элементов (регулятора).

Система, имеющая главную ОС, называется замкнутой (рисунок 5, а), не имеющая – разомкнутой. ОС, не создающая задержку или опережение сигнала во времени, называется жесткой (ЖОС), соз-дающая их – гибкой (ГОС). ГОС проявляется только в переходном режиме и характеризуется присутствием s в передаточной функции ОС. Наличие в числителе s обеспечивает обратную связь по скорости изменения выходной величины, наличие s2 – по ускорению. Обратная связь может создаваться специально или образовываться непроиз-вольно (например, паразитная связь через емкость монтажа, через акустическую колонку и микрофон, обращенные друг к другу).


Структурные схемы СУ обычно приводят к одноконтурному ви-ду, собирая отдельные элементы в укрупненные блоки: регулятор, объект регулирования и датчик в цепи обратной связи. Если датчик (элемент, преобразующий выходную величину в стандартный сигнал,

27

пригодный для сравнения с заданием) включен в состав регулятора (рисунок 5, б) или объекта, система охватывается единичной ОС, при этом передаточная функция, обратная ПФ датчика, включается в со-став задающего устройства. Величины ε(t) (ошибка регулирования) и δ(t) (отклонение регулируемой величины от заданного значения) чис-ленно абсолютно идентичны, но отличаются по смыслу. Обозначение ε употребляют при изменяющемся во времени задании r = f(t), обо-значение δ – если задание является постоянной величиной r = const.

Передаточная функция замкнутой системы для выходной вели-чины по управляющему воздействию (это главная ПФ системы)

.

Для главной ПФ системы допускается не указывать индексы. Иногда используют разные обозначения для передаточной функции разомкнутой W(s) и замкнутой Ф(s) системы.

Разомкнутая система получается из замкнутой, если ра-зорвать контур главной обратной связи по сумматору и соединить по-следовательно ПФ всех звеньев, образующих ЗКОС. Передаточная функция разомкнутой системы равна произведению ПФ звеньев по ЗКОС при исключенном сумматоре, у которого в этом случае всегда подразумевается инвертирующий вход в цепи обратной связи

.

Передаточная функция замкнутой системы для выходной вели-чины по возмущающему воздействию

.

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки регули-рования по управляющему воздействию

.

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки регули-рования по возмущающему воздействию

.

28

Знаменатель всех ПФ системы управления одинаков и равен ее характеристическому полиному (если не производилось сокращение одинаковых нулей и полюсов). В операторной форме сокращать оди-наковые нули и полюса не рекомендуется. Заметим, что одинаковым знаменатель всех ПФ системы будет при записи в общем виде и после раскрытия всех скобок, сокращения подобных членов; на промежу-точных же этапах вычислений вид знаменателей может отличаться.

Помимо возмущений, прикладываемых обычно на входе ОУ, иногда учитывают шумы (ошибки измерения) на выходе объекта.

По найденным передаточным функциям записывают общие уравнения движения замкнутой САР с учетом принципа суперпози-ции:- для регулируемой величины ;- для ошибки регулирования .

Если разомкнутую систему замыкают единичной отрицательной обратной связью (ООС), то для получения ПФ замкнутой системы до-статочно к знаменателю ПФ разомкнутой системы добавить ее числитель, складывая коэффициенты при одинаковых степенях s.

Пусть разомкнутая система имеет передаточную функцию.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы обычным образом, с помощью третьего правила структурных преобразований

.

Полученный результат подтверждает, что при замыкании систе-мы единичной ООС для получения ПФ замкнутой системы достаточ-но было к знаменателю ПФ разомкнутой системы добавить ее числи-тель, т.е. в данном случае коэффициент k.

1.8 Типовые воздействияСигналы делятся на регулярные (детерминированные) и нерегу-

лярные (случайные). Регулярные изменяются по закону, описывае-мому математической функцией. Если значения сигнала определены в каждый момент времени, то сигнал называется непрерывным (анало-говым), в противном случае он называется дискретным.

Регулярные сигналы, используемые для исследования СУ, назы-ваются типовыми воздействиями. Они позволяют сравнивать свойства

29

различных систем, для чего их ставят в равные начальные условия и подают на вход сигналы одинаковой формы. К типовым обычно отно-сятся следующие сигналы (функции).

а) Ступенчатая функция (скачок) или функция Хевисайда

; A = const

Обозначается: A∙1(t), при А = 1 называется единичным скачком, имеет изображение по Лапласу L{1(t)} = 1/s.

Это наиболее часто применяемая в практических экспериментах функция. Скачок может быть как положительным, так и отрицатель-ным, например, наброс и сброс нагрузки, возникновение и отключе-ние короткого замыкания (КЗ) в энергосистеме.

б) Импульсная функция (дельта-функция или функция Дирака)

,

Воздействие соответствует пределу прямоугольного импульса, у которого основание стремится к нулю, высота к ∞, а площадь к А. Обозначается А∙δ(t), при А = 1 импульс называется единичным, имеет изображение по Лапласу .

Это наиболее часто применяемая в теоретических эксперимен-тах функция, реально воссоздать ее затруднительно.

в) Гармоническая функция

;

где – это основная частота, рад/с (Тк – период собственных колебаний в секундах), при А = 1 функция называется единичной.

г) Степенные (полиномиальные) функции времени t

– воздействие с постояннойамплитудой (скачок)

– воздействие с постояннойскоростью (линейное)

– воздействие с постояннымускорением (квадратичное)

30

или в общем случае . При А = 1 (ν = 1, a = 1) воз-

действие называется единичным.Любую функцию времени с заданной погрешностью можно раз-

ложить на совокупность типовых воздействий с соответствующими коэффициентами веса. Тогда по принципу суперпозиции реакция на это воздействие определяется как сумма реакций на отдельные воз-действия, принцип вычисления которых известен. В частности, сигнал может быть представлен набором прямоугольных ступенек (скачков), импульсов, следующих с заданным интервалом времени, в виде при-ближения алгебраическим полиномом или степенным рядом от t, в ко-тором некоторые члены ряда могут быть и нулевыми

x(t) = k0 + k1t + k2t2 + k3t3 … ,

приближения тригонометрическим полиномом или рядом Фурье

.

Смысл существования типовых воздействий заключается также в том, что они позволяют сравнивать между собой совершенно разные по принципу действия, назначению и конструктивной базе системы по виду их реакции при одинаковых воздействиях и начальных условиях.

1.9 Временные характеристикиК типовым функциям времени (реакциям системы) относятся

переходная и импульсная переходная (весовая) функции.Переходной функцией h(t) называется реакция системы на еди-

ничный скачок при нулевых начальных условиях. Реакция на скачок произвольной величины называется кривой разгона.

Импульсной (весовой) функцией g(t) называется реакция систе-мы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Установившийся режим характеризуется неизменными парамет-рами, например, постоянной скоростью движения. Переходным назы-вается любой процесс перехода системы от одного установившегося режима к другому. Однако в ТАУ переходной функцией описывается лишь реакция на единичный скачок при нулевых начальных условиях. Единичный скачок получается при приведении реальной величины к некоторым номинальным (базисным) условиям. Так, при номиналь-ном напряжении сети 220 В включение лампы с подачей напряжения будет соответствовать единичному скачку после приведения 220/220=1.

31

Поскольку всегда Y(s)=X(s)·W(s), то,

.Следовательно, импульсная функция является оригиналом пере-

даточной функции, поэтому импульсную функцию иногда обозначают w(t). Наоборот, обозначение g является сокращением от слова Gain – усиление, и иногда передаточную функцию системы обозначают G(s).

Особые значения переходной функции, по которым можно сде-лать проверку реакции системы без проведения сложных расчетов.

Начальное:

Конечное: .

Таким образом, определить начальное и конечное (установив-шееся) значения переходной характеристики довольно просто – нуж-но лишь найти отношение коэффициентов при s в степени n числителя и знаменателя ПФ в первом случае, и отношение свободных членов передаточной функции во втором.

Все характеристики линейной системы взаимосвязаны, т.е. имея одну из них, можно вычислить все остальные характеристики.

Связь между импульсной и переходной функциями определяет-

ся соотношением G(s)=H(s)∙s , откуда и .

Иначе говоря, импульсная функция является производной от переход-ной функции по времени.

Отсюда вытекает графоаналитический метод построения g(t) по h(t): разбивают интервал исследования на равные отрезки времени, измеряют на каждом отрезке приращение переходной функции и от-кладывают его как значение импульсной характеристики на этом ша-ге. Масштаб характеристики уточняется по фактическому значению выбранного отрезка времени (шага).

1.10 Частотные характеристикиВ частотной области главной формой описания систем является

частотная передаточная функция W(jω) или комплексный коэффици-ент передачи K(jω), где ω = 2πf – круговая (угловая) частота, радиан в секунду. Частотная передаточная функция определяет изменение ам-плитуды и фазы реакции системы относительно гармонического воз-действия в установившемся режиме.

32

Рисунок 6

Если на вход системы подать сигнал , то после окончания

переходного процесса на ее выходе будет наблюдаться сигнал той же частоты ω, но, в общем случае, с другой амплитудой и фазой (рисунок 6)

.

Изменяя значения частоты входного сигнала, получим иные зна-чения амплитуды и фазы реакции системы. Отношение выходной и входной величин образуют комплексную передаточную функцию

,

откуда можно выделить две частотные характеристики, обычно полу-чаемые при экспериментальном исследовании систем регулирования.

A(ω)=Aвых(ω)/Aвх – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), характеризует кратность изменения модуля сигнала при прохождении через систему (четная функция).

φ(ω)=φвых(ω) - φвх – фазочастотная характеристика (ФЧХ), ха-рактеризует запаздывание сигнала по фазе при прохождении через систему (нечетная функция).

Рисунок 7

Как любую комплексную величину, W(jω) можно изобразить (рисунок 7) векто-ром на комплексной плоскости и, переходя от полярных координат к прямоугольным, выразить через его проекции – коэффициен-ты при действительной и мнимой частях

.

P(ω) = ReW(jω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), соответствует проекции вектора W(jω) на действительную ось.

Q(ω) = ImW(jω) – мнимая частотная характеристика (МЧХ), со-ответствует проекции вектора W(jω) на мнимую ось.

Обычно ВЧХ и МЧХ вычисляются в ходе теоретических по-строений, АЧХ и ФЧХ получаются экспериментально. Аналитические выражения для , , , называются соответственно амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотными функ-циями. Взаимосвязь между частотными функциями определяется из-вестными свойствами комплексных величин:

33

, ;

, .

Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характе-ристика (АФЧХ или просто АФХ) – графическое изображение частот-ной передаточной функции W(jω) на комплексной плоскости.

Кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора при изменении частоты ω от 0 до +∞, на-зывается АФЧХ.

При изменении ω в диапазоне от 0 до -∞ вычерчивается допол-нительная кривая, подобная основной и симметричная относительно действительной оси, которая обычно не используется. Поэтому полу-чаемые в ходе расчетов отрицательные, мнимые и комплексные час-тоты при построении частотных характеристик отбрасываются.

Из свойств преобразования Фурье вытекает, что W(jω) можно получить по операторной передаточной функции W(s), приравняв в переменной Лапласа s = σ + jω действительную часть σ нулю. При возможности следует обязательно сократить получающиеся выраже-ния для действительной и мнимой частей на ω.

Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ω в показательной форме получают путем умножения на А(ω) ампли-туды входного сигнала и добавления φ(ω) к его фазе.

При построении частотных характеристик учитывают особенно-сти, которые позволяют быстро проверить правильность расчетов:- АФЧХ и АЧХ начинаются при значении bm/an = kуст;- АФЧХ и АЧХ заканчиваются в нуле (m<n) или при b0/a0 (для m= n);- АФЧХ устойчивой системы, не имеющей нулей, проходит по часо-вой стрелке столько квадрантов, каков порядок характеристического полинома.

Пример. Записать аналитически реакцию системы с известными АЧХ и ФЧХ (рисунок 8) на воздействие х(t) = 3,5sin(t).

34

Рисунок 8

Входное воздействие характеризуется параметрами: амплитуда 3,5, фаза0 градусов, частота ω = 1 рад/с, находим для этой частоты по графику A(ω) = 0,36; φ(ω) = -45°, отсюда амплитуда выходной величины 3,5·0,36 = 1,26; фаза выходной величины 0 - 45° и окончательный вид реакции y(t) = 1,26sin(t-45°).

Пример: построить частотные характеристики системы W(s) = 2/(s2+5s+6).Подставляем s=jω, учитывая, что , снижаем порядок j (j2 = -1; j3 = -j и т.п.), избавляемся от мнимости в знаменателе, умножая числитель и знаменатель дроби на комплексное выражение, сопряженное стоявшему в знаменателе, отде-ляем действительную и мнимую части, приводим в знаменателе подобные члены.

.

Составляем таблицу особых частот (таблица 2), используя обязательные значения (можно взять больше точек, но не меньше):- крайние частоты 0 и +∞;- частоты пересечения характеристик с осями (определяются путем приравнивания числителей дробей мнимой и действительной части к нулю);- частоты разрыва характеристики (приравнивая знаменатель нулю);- прочие частоты для повышения точности расчета.

Приравнивая Re(ω) = 0, получаем 6 - ω2 = 0, откуда ω = 2,45.Приравнивая Im(ω) = 0, получаем 10ω = 0, откуда ω = 0.

Таблица 2ω Re(ω) Im(ω) A(ω) φ(ω)0 0,33 0 0,3 0∞ 0 0 0 ~

2,45 0 -0,16 0,16 -90°1 0,2 -0,2 0,28 -45°3 -0,03 -0,14 0,14 -120°

Исходя из вида биквадратного уравнения 36+13ω2+ω4=0 определяем, что частот разрыва (действительных корней) нет. Частоты 1 и 3 рад/с добавлены про-извольно для более точного построения графика. При построении учитывают гладкость кривой (при разрывах годограф изменяется асимптотически), указыва-ют на графике стрелкой направление увеличения частоты и/или крайние частоты. В каком бы порядке не были расположены частоты в таблице, построение кривой следует всегда производить по возрастанию значений частоты. По одной таблице можно построить АФЧХ на комплексной плоскости (рисунок 9, а), индивидуаль-но ВЧХ и МЧХ (рисунок 9, б), и, пересчитав, АЧХ и ФЧХ (рисунок 9, в).

35

а б вРисунок 9

36

1.11 Логарифмические частотные характеристикиЛогарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) или диа-

граммы Боде позволяют упростить построения за счет замены реаль-ной характеристики асимптотической; упростить расчеты за счет за-мены умножения коэффициентов последовательных звеньев геомет-рическим сложением графиков; растянуть низкочастотный диапазон исследования системы и сжать высокочастотный.

Зависимость L(ω)=20lgA(ω) от lg(ω) называется логарифмиче-ской амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) или ЛАХ.

Зависимость φ(ω) от lg(ω) называется логарифмической фаз-ной частотной характеристикой (ЛФЧХ) или просто ЛФХ.

Используемые единицы измерения: для ЛАЧХ L(ω) – децибелы или дБ (1 дБ = 0,1 Б), для ЛФЧХ φ(ω) – градусы, для частоты, откла-дываемой по оси абсцисс ω – декады (дек). Декадой называется отре-зок частот, равный изменению частоты в 10 раз. Практически уже не применяется устаревшая единица измерения октава, соответствую-щая изменению частоты в два раза. Величина 20lgA в децибелах соот-ветствует усилению мощности в 100 раз.

Начало координат выбирают произвольно слева от минималь-ной частоты, расчет при ω = 0 не делают. Взаимосвязь масштабов для оси частот показана в таблице 3, при построениях удобно использо-вать значения частоты, кратные 10 в степени ±k, где k – целое число.

Таблица 3ω, рад/с 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 20 50 100

lg(ω) -1 -0,7 -0,3 0 0,3 0,7 1 1,3 1,7 2

Для упрощения действительную ЛАЧХ заменяют асимптоти-ческой, т.е. ломаной линией из прямых отрезков, имеющих стандарт-ный наклон, кратный ±20дБ/дек.

Левая (начальная) часть ЛАЧХ называется низкочастотной асимптотой. Частоты пересечения отрезков ωсi называются частотами сопряжения, они соответствуют корням ПФ. Частоты пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс ωср называются частотой среза, они соответст-вуют значению lgA(ω)=0 или A(ω)=1 (усиление или ослабление сиг-нала на частоте среза отсутствует). Реальная ЛАЧХ расходится с асимптотической на частотах сопряжения, например, для звена с дей-ствительным корнем эта разница составляет 3 дБ.

Построение ЛЧХ начинается с низкочастотной асимптоты, ее строят по двум параметрам:- степень астатизма ν = r – l (здесь r – число нулевых корней знамена-теля, l – числителя);

37

- добротность К – отношение свободных членов полиномов числителя и знаменателя ПФ после выделения нулевых корней.

Низкочастотную асимптоту или ее продолжение проводят через точку с координатами lgω=0 (ω = 1) и L(ω)=20lgK слева направо с на-клоном ν∙(-20 дБ/дек) до первой (наименьшей) частоты сопряжения.

Частоты сопряжения находят по корням (постоянным времени Т) простых дробей, на которые разбивают ПФ, или типовых звеньев, из которых состоит структурная схема системы регулирования.

Звено первого порядка (один действительный корень):

→ или → .

Звено второго порядка (комплексные сопряженные корни):

→ ,

или

→ , ,

где ξ – показатель затухания (коэффициент демпфирования), характе-ризует величину резонанса в звене. При ξ = 1 резонанс отсутствует, при ξ → 0 резонансный выброс h стремится к бесконечности. Чем меньше действительная часть корня α, тем ближе частота сопряжения ωс к собственной частоте колебаний звена β (мнимой части корня).

При 0,38 < ξ < 0,707 расхождение между асимптотической и ис-тинной ЛАЧХ не превышает 3 дБ, при меньших значениях ξ асимпто-тическую ЛАЧХ корректируют на величину выброса h. Значение h

находят по приблизительной формуле , где l – число

одинаковых корней (кратность корня), или по типовым характеристи-кам (таблица 4).

Таблица 4ξ 0,05 0,1 0,15 0,3 0,6 1

h, дБ 20 14 10 5 0 -5

На каждой частоте сопряжения ЛАЧХ проводят с отклонением от предыдущего направления: вверх (+20 дб/дек) для корня числителя; вниз (–20 дБ/дек) для корня знаменателя. Если кратность корня l ≠ 1, наклон асимптоты изменяется в l раз. Общий наклон ЛАЧХ в конце равен (n–m)∙(–20 дБ/дек). Выбросы при комплексных корнях отклады-

38

вают вверх для корней знаменателя, вниз для корней числителя, близ-кие выбросы суммируются графически.

Для удобства построения через значения сопрягающих частот проводят вертикальные линии, а на свободном поле графика – вспо-могательные линии со стандартными наклонами k(-20) дБ/дек.

ЛФХ устойчивых систем строят по шаблону, неустойчивых – по вычисляемым точкам. Приближенно считают, что участку ЛАЧХ с на-клоном ±20 дБ/дек соответствует фазовый сдвиг около ±90°, а участку с наклоном ±40 дБ/дек сдвиг на ±180°; действительному корню зна-менателя соответствует угол наклона ЛФЧХ на сопрягающей частоте φ = -arctg(ωT)=-45°, комплексной паре φ = -arctg(ξ∙2ωT/(1- ω2T2)).

Пример: построить ЛАЧХ системы, заданной структурной схемой (рисунок 10, а). Передаточная функция системы равна W(s) = 50/[s(s + 5)].


Определяем параметры НЧ-асимптоты:- порядок астатизма ν = 1 – 0 = 1 (имеется один нулевой корень в знаменателе);- добротность К = 50/5 = 10; 20lgK = 20.

Нули в системе отсутствуют, полюс имеется, отсюда частота сопряжения ωс = 5 рад/с; lg5 = 0,7. Строим график ЛАЧХ толстой сплошной линией, проводя слева вниз прямую линию с наклоном 1·(-20 дБ/дек) через точку с координатами (20 дБ, 0) до первой частоты сопряжения (рисунок 10, б). Поскольку частота со-пряжения соответствует полюсу, отклоняемся вниз на угол -20 дБ/дек, общий на-клон ЛАЧХ в конце равен -40 дБ/дек. Корень действительный – резонанса нет, выбросы не учитываем.

Пример: составить ПФ системы с заданной ЛАЧХ рисунок 10, в), предпо-лагая, что все корни имеют отрицательную действительную часть.

На частотах сопряжения ωс1 и ωс4 наблюдается отклонение характеристики от предыдущего направления вверх на +20 дБ/дек, на частотах сопряжения ωс2 и ωс3 – вниз на -20 дБ/дек, поэтому передаточная функция будет иметь вид

.

Поскольку 20lgK = 20 дБ, то lgK = 1, K = 10 и окончательно

.

39

2 Устойчивость линейных систем

2.1 Условия устойчивости линейных САУУстойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное

состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния. Устойчивость является обязательным условием работоспособности систем регулирования, проверяемым в первую очередь при их анализе и синтезе.

Исследуем для системы поверхность-шарик поведение шарика после того, как приложенное к шарику усилие x снято, т.е. начинается его свободное движение (рисунок 11).


а) Шарик после нескольких качаний возвращается к исходному состоянию равновесия на дне лунки, следовательно, система устойчи-ва. Для такой системы характерен затухающий (сходящийся) процесс возвращения.

б) Шарик не возвращается к исходному состоянию и продолжа-ет уходить от него все дальше, т.е. свободное движение имеет расхо-дящийся характер. Это неустойчивая система.

в) После снятия воздействия x шарик остается в новом положе-нии равновесия, не возвращаясь к начальному состоянию, но и не уходя дальше. Это нейтральная система.

Таким образом, устойчивость определяется характером свобод-ного движения системы. Физический признак устойчивости гласит: система устойчива, если свободная составляющая yсв(t) переходного процесса с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива – ес-ли она стремится к бесконечности, и нейтральна, если она стремит-ся к некоторой постоянной величине.

Рисунок 11, б показывает, что в системе при некоторых услови-ях может существовать временное равновесие, когда система кажется

40

устойчивой. Из рисунка 11, а следует, что, если вывести шарик на край лунки, т.е. приложить достаточно большое усилие, его дальней-шее поведение становится неопределенным – система может оказать-ся нейтральной и даже неустойчивой. В связи с последним различают устойчивость в малом (при малых медленных отклонениях парамет-ров) и устойчивость в большом (при резких сильных возмущениях). Далее мы исследуем системы только на устойчивость в малом.

Свободный процесс можно представить в виде суммы состав-ляющих

Согласно преобразованию Лапласа имеется соответствие

где – это действительная часть корня характеристического уравне-ния системы

D(s) = a0 sn + a1 sn-1 + … +an = 0.

Поскольку yсв(t)0 только при стремлении всех составляющих к нулю, что имеет место лишь при отрицательных значениях α, то ха-рактер процесса зависит от корней характеристического уравнения системы следующим образом: yсв(t) затухает в случае, если действи-тельная часть корня меньше нуля (рисунок 12).

а б в г д еРисунок 12

От действительной части корня зависят возможность и ско-рость затухания процесса, от мнимой части корня – наличие, частота и размах колебаний.

Случаям а, в и д, когда система имеет только один действитель-ный корень, соответствует апериодический процесс, в случаях, когда

41

корни комплексные сопряженные, процесс имеет колебательный ха-рактер. Если все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси ( < 0), система устойчива; если хотя бы один корень на-ходится справа от мнимой оси ( > 0), система неустойчива. Система находится на апериодической границе устойчивости, если при осталь-ных левых корнях имеет один нулевой корень, и на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых корнях характеристического уравнения имеет пару чисто мнимых корней (значение мнимой части таких корней равно частоте незату-хающих колебаний системы на границе устойчивости). Отсюда следу-ет, что мнимая ось является границей устойчивости системы в плос-кости корней характеристического уравнения.

Сформулируем математический (главный) признак устойчиво-сти: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицатель-ную действительную часть. Другими словами – чтобы все полюса системы были левыми. Корни полинома числителя передаточной функции (нули) на устойчивость системы не влияют.

Анализ всегда начинают с худшего случая – проверяют наличие хотя бы одного правого полюса, затем наличие полюсов с нулевой действительной частью, и лишь при отсутствии всех указанных кор-ней можно сказать, что система устойчива.

При оценке устойчивости по характеристическому уравнению (полиному знаменателя передаточной функции) следует проверить, что ранее не было сокращения сомножителей числителя и знаменате-ля. Например, несмотря на кажущееся сокращение корня +2 переда-точной функции

,

в реальной системе он продолжает оставаться и влиять на ее устойчи-вость.

Поскольку выходная величина устойчивой системы при t асимптотически стремится к вынужденной составляющей переходно-го процесса, такую устойчивость системы называют асимптотиче-ской. Нейтральная система не является асимптотически устойчивой, иногда ее называют устойчивой по Ляпунову.

Математиком Ляпуновым А.М. показана связь между устойчи-востью нелинейной (исходной) и линеаризированной (приблизитель-ной модели) систем в теоремах, упрощенно звучащих так:

42

- если линеаризированная система устойчива, то устойчива и исходная нелинейная;- если линеаризированная система неустойчива, то неустойчива и ис-ходная нелинейная;- если линеаризированная система находится вблизи или на границе устойчивости, то для оценки устойчивости исходной нелинейной сис-темы следует провести дополнительные исследования (другим мето-дом или с большей точностью, учитывая малые нелинейности, отбро-шенные при линеаризации по первому приближению).

В процессе исследования систем прежде всего оценивают их ус-тойчивость при заданных параметрах, при необходимости выполняют далее выбор параметров для обеспечения устойчивости, наконец, ино-гда требуется изменение структуры для обеспечения устойчивости системы, если изменением параметров она не может быть достигнута. Система, устойчивость которой не может быть достигнута при любых изменениях параметров в допустимых пределах, является структурно неустойчивой.

Если корни характеристического уравнения вычислить сложно, для оценки устойчивости системы используют критерии устойчиво-сти. Критериями или условиями устойчивости называются правила, позволяющие оценить знак действительной части корней характери-стического уравнения без вычисления их значений.

Алгебраические критерии устойчивости используют связь между положением на комплексной плоскости корней характеристического (алгебраического) уравнения и значениями его коэффициентов.

Частотные критерии устойчивости используют связь между устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.

2.2 Критерий ГурвицаКритерий Гурвица (Hurwitz, 1895 г.) относится к алгебраиче-

ским. Он гласит: система устойчива, если все коэффициенты ее ха-рактеристического уравнения и все диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля.

Если все коэффициенты характеристического уравнения

D(s) = a0 sn + a1 sn-1 + … +an = 0

отрицательны, то, умножив обе части уравнения на –1, делают коэф-фициенты положительными, поэтому такой случай и берут в качестве основного. Важно, чтобы все коэффициенты имели одинаковый знак. Диагональными минорами называются определители порядка, мень-шего порядка системы n, лежащие на главной диагонали матрицы.

43

Критерий распадается на два условия: необходимое – все коэф-фициенты положительны, и достаточное – все диагональные миноры положительны, в таком порядке и производится проверка устойчиво-сти системы. Если имеется хотя бы один нулевой или отрицательный коэффициент, систему сразу же нельзя признать устойчивой, однако положительность всех коэффициентов характеристического уравне-ния еще не дает гарантий устойчивости системы.

Достаточное условие проверяют, составив матрицу Гурвица. Для этого по главной диагонали матрицы размером , где n – это порядок системы, выписывают последовательно коэффициенты ха-рактеристического уравнения от a1 до an. Столбцы матрицы заполня-ют: вверх – последующими, вниз – предшествующими коэффициен-тами, отсутствующие коэффициенты заменяют нулем. Существуют и другие правила составления матрицы Гурвица.

Главный определитель матрицы поэтому достаточно вычислить только n–1 определитель. Если n = 0, а остальные миноры положительны, то система находится на границе устойчивости: апериодической – при an = 0 (имеется один нулевой корень), пе-риодической – при n-1 = 0 (имеется пара чисто мнимых корней).

Пример: оценить по критерию Гурвица устойчивость системы с ПФ

Выписываем характеристическое уравнение D(s) = s3 + 2s2 + 3s + 4 = 0,а) проверяем необходимое условие – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, что можно кратко записать как ai > 0 – условие выпол-няется;б) проверяем достаточное условие, составив определитель Гурвица

1 = 2 > 0,2 = 6 – 4 = 2 > 0.

Оба минора положительны, система устойчива.Полезно знать частные случаи применения критерия Гурвица:

- система первого порядка: D(s) = a0s + a1 = 0 – вычисления опреде-лителей не требуется;- система второго порядка: D(s) = a0s2 + a1s + a2 = 0 – вычисляется только 1 = a1, что соответствует необходимому условию.

Отсюда следует, что для устойчивости систем первого и второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характе-ристического уравнения были положительны (одного знака);- система третьего порядка: D(s) = a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0 – вычис-ляются два минора 1 = a1 и 2 = a1a2 - a0a3, т.е. для устойчивости

44

системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы при поло-жительности всех коэффициентов характеристического уравнения произведение средних коэффициентов уравнения было больше произ-ведения крайних.

Для устойчивости системы четвертого порядка при положи-тельности коэффициентов характеристического уравнения должно выполняться 3 = a32 – a1

2a4 = a3·(a1a2 - a0a3) – a12a4 > 0, причем

предыдущее условие 2 = a1a2 - a0a3 > 0 вытекает автоматически из требования a3 > 0.

Обычно критерий Гурвица используют для систем не выше чет-вертого порядка. Анализ всегда начинают с худшего случая i < 0 и с самого старшего минора, затем ищут i = 0 и т.д. Алгебраический по-лином, удовлетворяющий условиям устойчивости по Гурвицу, назы-вают полиномом Гурвица.

2.3 Критерий РаусаКритерий Рауса (Routh, 1877 г.) также относится к группе ал-

гебраических критериев.Система устойчива, если все коэффициенты ее характеристи-

ческого уравнения и все элементы первого столбца таблицы Рауса больше нуля.

Заметим, что, если по критерию Гурвица строят матрицу (точ-нее, определитель n-го порядка), то для применения критерия Рауса строят таблицу, т.е. оформление расчетного массива отличается.

Необходимое условие устойчивости (положительность всех ко-эффициентов) проверяют аналогично критерию Гурвица. Для провер-ки достаточного условия составляют таблицу, первую и вторую стро-ки которой заполняют попарно коэффициентами характеристического уравнения, начиная со старшего, недостающий коэффициент заменя-ют нулем. Элементы последующих строк вычисляют по формулам

ci, j = ci-2, j+1 – ci-1, j+1ri ; ri = ci-2, 1 / ci-1, 1,

где i – номер строки, j – номер столбца. Таблица содержит n+1 строку.Число правых корней характеристического уравнения равно

числу перемен знака элементов первого столбца таблицы. При поло-жительности остальных элементов первого столбца система находится на апериодической границе устойчивости, если равен нулю последний элемент столбца, и на периодической границе устойчивости, если ра-вен нулю какой-либо иной элемент первого столбца.

Появление нулевых строк в середине таблицы, что соответству-ет попарно кратным комплексным корням, приводит к неправильному

45

заключению об устойчивости системы. В этом случае рекомендуется элементы строк со всеми нулевыми коэффициентами (это не касается двух последних строк таблицы) заменить коэффициентами производ-ной от полинома вышестоящей строки.

При делении числа на ноль образуется бесконечное число, для которого обязательно следует учитывать знак; считают также, что произведение бесконечности на ноль дает в результате ноль.

Пример: оценить по Раусу устойчивость системы с характеристическим уравнением D(s) = s5 + 2s4 + 3s3 + 4s2 + 5s + 6 = 0.

Необходимое условие ai > 0 выполняется.Проверяем достаточное условие – состав-

ляем таблицу Рауса: число строк равно числу ко-эффициентов (шесть), число столбцов n/2 с ок-руглением в большую сторону (три). Заполняем две первые строки попарно коэффициентами с четными a0, a2, a4 и нечетными a1, a3, a5 индек-сами. Нули попарно опускаются и сдвигаются из последнего столбца в левую часть таблицы.

Последний коэффициент an = a5 = 6 перемещается вниз и влево ходом шахматного коня (три клетки вниз и одна влево). Вычисляем вспомогательное число и элементы третьей строки: r3 = a0/a1 = 1/2 = 0,5; отсюда с31 = 3 - 4·0,5 = 1; с32 = 5 - 6·0,5 = 2. Остальные элементы таблицы вычисляются аналогично.

Сначала должно проверяться присутствие в первом столбце таблицы отри-цательных элементов, затем нулевых, при отсутствии и тех, и других система ус-тойчива. В первом столбце имеется отрицательное число, следовательно, система неустойчива. Число перемен знака в первом столбце равно двум (от 1 к - и от - к 6), поэтому число правых корней характеристического уравнения равно двум. (Напомним, что общее количество корней алгебраического полинома равно его степени).

Пример: оценить по Раусу устойчивость системы с характеристическим уравнением D(s) = s3 + 3s2 + s + 3 = 0.

Необходимое условие ai > 0 выполняется.Достаточное условие – составляем таблицу Рауса.

Система находится на колебательной границе устойчивости, т.к. при положительности остальных элементов в первом столбце таблицы имеется нуль не в последней строке.

Пример: оценить по Раусу устойчивость системы с характеристическим уравнением D(s) = s5 + s4 + 6s3 + 6s2 + 25s + 25 = 0 (корни уравнения равны 1j2; -1j2; -1, т.е. имеются правые сопряженные комплексные корни, парные левым аналогичным корням, откуда заранее известно, что система неустойчива).

Необходимое условие ai > 0 выполняется.Для проверки достаточного условия составля-

ем таблицу Рауса. Нулевая третья строка в середине таблицы говорит о специальном случае – наличии со-пряженных пар комплексных корней, следовательно, заключение о нахождении системы на периодической границе устойчивости будет неверным.

46

1 6 251 6 250 0 06 25 00 0 0

25 0 0

1 3 52 4 6

r3 = 0,5 1 2 0r4 = 2,0 0 6 0r5 = +∞ -∞ 0 0

6 0 0

1 13 30 03 0

Пересчитываем таблицу, записывая в третью строку коэффициенты производной от полинома в предыдущей, второй строке,

,

равные 4, 12 и 0, и вычисляя затем элементы ниже-стоящих строк как обычно.

После пересчета таблица позволяет получить правильный результат – система неустойчива, имеет два правых корня характеристического уравнения.

Критерий Рауса обычно применяют для систем четвертого по-рядка и выше. Если критерий Гурвица в основном используют при ручном счете, то алгоритм Рауса эффективен для программирования рекуррентных вычислений на ЭВМ при оценке устойчивости систем высокого порядка.

2.4 Критический коэффициент усиленияКритическим или предельным называется значение параметра

(коэффициента), входящего в характеристическое уравнение, при ко-тором система находится на границе устойчивости.

При проектировании обычно вначале имеется разомкнутая сис-тема (готовый набор элементов), который затем дополняют необхо-димыми датчиками, замыкая систему отрицательной обратной связью.

В качестве примера найдем критическое значение коэффициен-та усиления kкр разомкнутой системы (рисунок 13), если требуется обеспечить устойчивость системы после замыкания (Т – это постоянная времени). Передаточная функция разомкнутой системы равна

Рисунок 13

.

Разомкнутая система находится на апериодической границе ус-тойчивости (свободный член характеристического полинома a3 = 0), значение коэффициента усиления k не влияет на устойчивость систе-мы, т.к. он находится в числителе передаточной функции. Используем аналитический способ замыкания системы единичной ООС – добавим к знаменателю передаточной функции ее числитель, получим

47

1,0 6,0 25,01,0 6,0 25,04,0 12,0 03,0 25,0 0

-21,3 0 025,0 0 0

Теперь характеристическое уравнение замкнутой системы уже содержит коэффициент k

D(s) = T1T2 s3 + (T1 + T2)s2 + s + k = 0.

Сформулируем условия нахождения системы на границе устой-чивости по критерию Гурвица (он наиболее удобен и нагляден для систем первого-третьего порядка):- на апериодической границе an = 0, откуда an = k = 0; kкр1 = 0;- на периодической границе n-1 = (T1 + T2)1 – T1T2k = 0, откуда полу-чаем kкр2 = (T1 + T2)/(T1T2). Таким образом, учитывая опущенные знаки неравенств, система устойчива при значениях 0 < k < (T1+T2)/T1T2.

Множество значений коэффициента (параметра), обеспечиваю-щих устойчивость системы, может лежать между критическими зна-чениями, слева или справа от всех них, либо не существовать вообще. Если исследуемый параметр попадает не только в свободный член, но и в другие коэффициенты характеристического уравнения, для опре-деления критических значений следует дополнительно использовать необходимое условие устойчивости ai > 0.

Методы, позволяющие найти отрезок (область) значений пара-метра, удовлетворяющих условиям устойчивости системы, обычно применяют при проектировании (синтезе) систем.

2.5 Критерий Михайлова (1938 г.)Критерий относится к группе частотных. Он основан на иссле-

довании характеристической функции D(jω) = U(ω) + jV(ω), получен-ной из характеристического многочлена подстановкой s = jω, и также предполагает положительность его коэффициентов, как необходимое условие устойчивости.

Критерий имеет несколько формулировок. Приведем вначале формулировку, использующую принцип аргумента, известный в тео-рии комплексной переменной.

Линейная система n-го порядка устойчива, если при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности характеристический вектор системы D(j) повернется против часовой стрелки на угол n/2, не обращаясь нигде в ноль.

Конец вектора D(j) при изменении частоты чертит годограф Михайлова или характеристическую кривую. На этом основана другая формулировка критерия, чаще используемая в инженерной практике.

Система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начи-наясь при =0 на действительной положительной полуоси, проходит при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности последо-

48

вательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоско-сти.

На рисунке 14, а показана кривая Михайлова неустойчивой сис-темы, у которой нарушена последовательность обхода квадрантов комплексной плоскости. Система находится на апериодической гра-нице устойчивости (рисунок 14, б), если кривая при = 0 начинается в начале координат, и на периодической границе устойчивости, если кривая при 0 проходит через начало координат. Заметим, что обо-значения осей U(ω) и V(ω) обычно используются при построении час-тотных характеристик на комплексной плоскости не по всей переда-точной функции, а лишь по ее знаменателю.


Число правых корней характеристического уравнения можно определить по формуле , где – это полное приращение аргумента характеристической функции (суммарный угол поворота). Вектор D(jω) системы пятого порядка (рисунок 14, в) сначала поворачивается на угол 3·(π/2) или три квад-ранта против часовой стрелки, затем возвращается на угол 2·(π/2) или два квадранта по часовой стрелке, что в итоге соответствует полному приращению = π/2. Отсюда число правых корней m равно 5/2–1/2=2 (числу неправильных пересечений кривой осей координат).

Характеристическая кривая всегда начинается в точке на дейст-вительной оси, удаленной от начала координат на величину an. По-этому, если k входит только в свободный член an уравнения D(s) = 0, то критические значения kкр определяются из графика при нулевом значении мнимой координаты V() = 0: апериодическая граница по условию an = 0, периодическая граница по an = |x| + y (рисунок 14, а).

Кривая Михайлова представляет собой уходящую в бесконеч-ность развертывающуюся спираль, у которой при высоком порядке уравнения практически не видно начальную часть, вследствие этого ее чертят обычно не в точном масштабе, а лишь фиксируя последова-тельность и места пересечения с осями.

49

U()

jV()n=3устойчива

неустойчива

U()

jV()n=3 апериодическая

граница

колебательная граница

U()

jV()n=5

D(j)

x y

Действительная часть содержит только четные степени переменной ω и называется четной функцией, мнимая часть содержит только нечетные сте-пени переменной ω и называется нечетной функцией.

Пример: оценить устойчивость по критерию Михайлова системы, задан-ной ПФ

Выписываем характеристическое уравнение D(s) = s3 + 2s2 + 3s + 4 = 0. Производим замену s = j, снижаем порядок j и группируем

D(j) = ( j)3 + 2( j)2 + 3j + 4 = 4 - 22 + j(3 – 2).

Здесь 4 - 22 – это четная (действительная) функция U(), а (3 – 2) – это нечетная (мнимая) функция V().

Таблица частот Приравнивая поочередно четную и нечетную функции нулю, находим частоты 1,41 и 1,73, соот-ветствующие пересечению кривой с осями коорди-нат, подставляем эти частоты в характеристическую функцию и заполняем таблицу. Строим график – начинаясь на действительной положительной полу-оси при ω = 0, он проходит последовательно против часовой стрелки n = 3 квадрантов комплексной плоскости, уходя в бесконечность при ω = ∞.

Система устойчива (рисунок 15, а). Она будет находиться на апериодиче-ской границе устойчивости при an = 0 и на периодической границе устойчивости при an = 2 + 4 = 6.


Существует еще одна формулировка критерия Михайлова, ос-нованная на анализе графиков четной и нечетной функций. Она носит название следствия или второй формы критерия Михайлова.

Система устойчива, если четная U() и нечетная V() функции при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности обраща-ются в нуль поочередно, начиная с нечетной функции, т.е. их корни перемежаются. Это вытекает из условия последовательного прохож-дения квадрантов. Для построения графика (рисунок 15, б) использу-ется та же таблица частот, что и в первой форме.

50

U() V()0 4 0 - -

=1,41 0 1,41=1,73 -2 0

U()

jV()n=3

-2 4

1.41U()V()

U(),V()

41.41

0-2

n=3

1.41 1.73

Очевидно, что при нарушении очередности пересечения функ-циями оси абсцисс (частот) система неустойчива (рисунок 16, а). Сис-тема находится на апериодической границе устойчивости (рисунок 16, б), если обе функции начинаются в начале координат, и на периодиче-ской границе устойчивости (рисунок 16, в), если при кривые пе-ресекают ось частот в одной точке. В остальном диапазоне изменения функций условия устойчивости при этом не должны нарушаться. Час-тота , при которой система находится на периодической границе ус-тойчивости, равна частоте незатухающих колебаний.

а б в гРисунок 16

На графике с кривой Михайлова обязательно должен указывать-ся порядок системы n, так как при его отсутствии может быть сделан ошибочный вывод. Например, приводимый график (рисунок 16, г) для системы первого порядка говорил бы о ее устойчивости, но на самом деле принадлежит неустойчивой системе пятого порядка с уже из-вестным нам характеристическим уравнением

D(s) = s5 + s4 + 6s3 + 6s2 + 25s + 25 = 0.

2.6 Метод D-разбиенияМетод используется при синтезе систем для определения допус-

тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па-раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян-ной времени T регулятора.

Процесс построения в пространстве параметров системы об-ластей с разным числом правых корней характеристического урав-нения называется D-разбиением.

Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю-сом, D(2) – с двумя и т.д.

Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет-

51

ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне-ния системы находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре-зультатом является плоскость).

Рассмотрим порядок D-разбиения по одному параметру.Построения производят, изменяя значения одного параметра

при постоянстве остальных. Чтобы получить плоскость, веществен-ный параметр искусственно делают двумерным, заменяя s = j с об-разованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действительной оси.

Подставив s = j в характеристическое уравнение системы, раз-решают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U() и нечетную (мнимую) V() функции. Изменяя частоту от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига-ясь по кривой от точки = - до точки = + , наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото-бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j к +j об-ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-пре-тендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого крите-рия, подставив значение параметра из этой области в характеристиче-ское уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи-тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст-вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).

Пример: найти методом D-разбиения критические значения коэффициента усиления k системы, заданной передаточной функцией

Разрешаем характеристическое уравнение системы

D(s) = 0,002s3 + 0,12s2 + s + k = 0

относительно исследуемого параметра k

k = –0,002s3 – 0,12s2 – s,

52

производим замену s = j

k(j) = –( j)30,002 –( j)20,12 – j,

снижаем порядок j и группируем

k(j) =0,122 – j(1 – 0,0022).

Таблица частотОпределяем частоты пересечения основной

кривой с осями:

U() = 0,122 = 0, отсюда = 0,V() = 1 – 0,0022 = 0 и = = 22,36.

Строим основную и зеркальную кривые на комплексной плоскости, указы-вая направление возрастания частоты стрелкой на характеристике (рисунок 17). Наносим штриховку, обозначаем области с предполагаемым числом правых по-люсов в скобках. Проверяем область-претендент D(0) на устойчивость по крите-рию Гурвица при значении k = 1, выбранном на отрезке внутри области D(0) меж-

Рисунок 17

ду точками 0 и 60

D(s) = 0,002s3 + 0,12s2 + s + 1 = 0.

Так как и необходимое, и достаточ-ное условия устойчивости по Гурвицу при k = 1 выполняются, то система будет ус-тойчивой при любых значениях коэффи-циента усиления в интервале 0 < k < 60. Критические значения коэффициента равны kкр1 = 0; kкр2 = 60.

D-разбиение по двум параметрам достаточно просто выполняет-ся на ЭВМ. Для этого задают пределы и шаг изменения для каждого параметра, подставляют очередные значения изменяемых параметров в характеристическое уравнение и оценивают устойчивость в данной точке пространства изменяемых параметров посредством любого из-вестного критерия. По критерию Рауса определяется и число правых корней, которое можно отображать на графике цифрой или цветом.

2.7 Критерий Найквиста (Nyquist, 1932 г.)Графоаналитический критерий Найквиста относится к частот-

ным и основан на анализе вида АФЧХ системы регулирования.Критерии Гурвица, Рауса и Михайлова дают оценку устойчиво-

сти именно той системы (замкнутой или разомкнутой), характеристи-ческое уравнение которой анализируется. По сравнению с ними кри-терий Найквиста имеет следующие особенности:- по характеристикам разомкнутой системы судят об устойчивости системы после ее замыкания;

53

U() V()0 0 0

60,00 01 0,12 -1

- для анализа используют передаточную функцию целиком, а не толь-ко ее знаменатель;- для анализа можно использовать не расчетную, а экспериментально полученную АФЧХ разомкнутой системы;- можно исследовать по имеющимся АФЧХ системы с запаздыванием.

Обычная формулировка критерия (рисунок 18):Система, устойчивая в разомкнутом состоянии или нейтраль-

ная, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если ее АФЧХ при из-менении частоты от нуля до плюс бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, j0).


Говоря про замыкание системы, подразумевают ее замыкание единичной ООС. АФЧХ называют также годографом Найквиста или годографом комплексного коэффициента передачи W(j). Отрица-тельные, мнимые или комплексные частоты, получающиеся в резуль-тате расчетов, при построении АФЧХ отбрасывают, и ветвь годографа Найквиста для диапазона частот от 0 до -∞ обычно не строят.

Годограф нейтральной в разомкнутом состоянии системы с ПФ вида W(s) = W0(s)/s дополняется дугой (-/2) бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси. Здесь – степень астатизма системы (число нулевых корней в знаменателе пе-редаточной функции), если , то годограф Найквиста при = 0 начинается в бесконечности (рисунок 18, б).

Замкнутая система находится на апериодической границе ус-тойчивости, если при = 0 годограф Найквиста начинается в точке (-1, j0), и на периодической границе устойчивости, если при 0 го-дограф проходит через точку (-1, j0).

Особая роль точки (-1, j0) заключается в том, что она:а) указывает на превращение ООС в ПОС, т.е. соответствует

моменту изменения знака фазы сигнала в цепи обратной связи, пере-ходу отставания в опережение по фазе;

54

б) является границей между режимами усиления (k > 1) и ослаб-ления (k < 1) сигнала. Считая Dзам(s) = 1 + Wраз(s) = 0, получаем кри-тическое значение Wраз(s) = -1.

Универсальная (общая) формулировка критерия Найквиста учи-тывает и случаи, когда разомкнутая система неустойчива.

Замкнутая система устойчива, если сумма переходов АФЧХ ра-зомкнутой системы отрезка ]-, -1[ при увеличении частоты от нуля до плюс бесконечности равна p/2, где p – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Иначе говоря, система будет устойчивой после замыкания, если АФЧХ охватывает точку (-1,j0) против часовой стрелки на угол p∙π.

Рисунок 19

АФЧХ, имеющую несколько пе-ресечений с отрезком ]-, -1[, называ-ют АФЧХ II-го рода (рисунок 19) в от-личие от простой АФЧХ I-го рода. Пе-реход на интервале -∞ < Re(ω) < -1 сверху вниз считают положительным, снизу вверх – отрицательным.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на критическом от-резке ]-, -1[, исключая точки -∞ и -1, то считают, что АФЧХ совер-шает ½ перехода. При единственном правом полюсе замкнутая систе-ма устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы начинается на крити-ческом отрезке и уходит вниз, совершая ½ положительного перехода.

Особые случаи применения критерия Найквиста:- при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, когда ее АФЧХ имеет разрывы непрерывности (рисунок 20), она дополняется для анализа дугами бесконечного ра-диуса в соответствии с начальным направлением обхода;

а) система устойчива б) система неустойчиваРисунок 20

- правило штриховки – для АФЧХ сложной формы рекомендуется на-нести штриховку справа, если двигаться по кривой от = 0 до = , и замкнуть кривую в соответствии с начальным направлением обхода (по или против часовой стрелки относительно

55

начала координат). Замкнутая система устойчива, если точка (-1, j0) не попадает в заштрихованную область (рисунок 21).

а) неустойчива б) устойчива в) неустойчиваРисунок 21

Для систем с отсутствием нулей, т.е. передаточной функцией вида W(s) = k/D(s), проще строить не прямую, а обратную АФЧХ для K-1(jω) = D(jω)/k (не нужно избавляться от мнимости в знаменателе). При этом изменяется формулировка критерия Найквиста. Для устой-чивости в замкнутом состоянии обратная АФЧХ разомкнутой сис-темы должна охватывать точку с координатами (-1, j0).

Пример: оценить устойчивость системы (рисунок 22) по Найквисту.

Рисунок 22

Решение. Поскольку необходимо оценить устойчивость имеющейся системы, ее предвари-тельно следует сделать разомкнутой – разорвать контур обратной связи по сумматору.

Передаточная функция разомкнутой систе-мы равна

блок с коэффициентом усиления 20 стоит вне контура обратной связи и на устой-чивость системы не влияет. Проверим устойчивость системы в разомкнутом со-стоянии: характеристическое уравнение D(s) = 0; корни s1, 2 = j1 – система нахо-дится на колебательной границе устойчивости. Находим комплексный коэффици-ент передачи разомкнутой системы W(j) = 1/(1 - 2).

Таблица частот Определяем частоты пересечения годо-графа с осями координат: мнимая часть отсутст-вует, приравниваем Re() = 0, видно, что корни, т.е. частоты пересечения с мнимой осью, отсут-ствуют. Зато имеется частота разрыва характери-стики: уравнение 1 - 2 = 0 дает частоту разрыва р = 1. В подобном случае обычно берут еще две частоты (произвольно) – немного меньше часто-ты разрыва и немного больше.

Пусть это будут частоты 0,1 и 10. Замкнутая система также находится на колебательной границе устойчивости (рисунок 23, а), т.к. АФЧХ проходит через точку (-1, j0).

56

Re() Im()0 1,00 0 0 0

1,0 00,1 1,01 0

10,0 -0,01 0


Пример: оценить по критерию Найквиста устойчивость после замыкания системы, заданной передаточной функцией W(s) = -1/(s3 + 2s2 + 3s + 1).

Рассматриваемую систему предполагается замкнуть, значит она является разомкнутой и все построения выполняются для ее передаточной функции. Замк-нутая система находится на апериодической границе устойчивости, поскольку АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 23, б) начинается в точке (-1, j0), а корни с положительной действительной частью в ее характеристическом уравнении отсутствуют и иметь переходы критического отрезка не требуется.

2.8 Логарифмический критерий устойчивостиЕсли заранее известна схема разомкнутой системы в виде по-

следовательного соединения простых звеньев не выше второго поряд-ка, критерий Найквиста удобнее использовать в логарифмическом ви-де. Обычная формулировка критерия:

Замкнутая система устойчива, если в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы линии -180 ее ЛАЧХ отрицательна.

Напомним, что значение ЛАЧХ L()=20lgA()=0 соответствует коэффициенту усиления, равному единице, и частоте сигнала, назы-ваемой частотой среза ср (рисунок 24, а). При этой частоте ЛАЧХ пе-ресекает ось абсцисс (частот). Все значения ЛАЧХ, лежащие выше оси абсцисс, соответствуют усилению сигнала (k > 1), лежащие ниже оси абсцисс – ослаблению сигнала (k < 1).


В момент, когда фазовый угол равен -180, мы находимся на от-рицательной действительной полуоси. Если при этом происходит уси-ление сигнала, то АФЧХ охватывает критическую точку (-1, j0) и сис-

57

lg

lg

L()

()

0

-90

-180

ср

-180

устойчива

lg

lg

L()

()

0

-90

-180

ср

-180

устойчива неустойчива

тема неустойчива. Если наблюдается ослабление сигнала, то АФЧХ не охватывает критическую точку (-1, j0) и система устойчива. Наконец, если частота -180 совпадает с частотой среза ср, то система нахо-дится на границе устойчивости.

Общая формулировка охватывает дополнительно АФЧХ II рода и системы, неустойчивые в разомкнутом состоянии (рисунок 24, б).

Замкнутая система устойчива, если на интервале положи-тельности ЛАЧХ разомкнутой системы сумма переходов ее ЛФЧХ линии -180 равна p/2, где p – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Следует отметить, что критерий Найквиста в логарифмической форме не столь однозначно характеризует устойчивость системы, как АФЧХ. Примером может служить система с ПФ

.

Если по АФЧХ (рисунок 25, а), используя правило штриховки, можно сделать заключение, что в замкнутом состоянии система будет неустойчивой, то из ЛЧХ это неясно. ЛАЧХ на всем интервале частот отрицательна (рисунок 25, б) и пересечение ЛФЧХ с линией -180° от-сутствует. Можно предложить в качестве косвенного признака воз-можной неустойчивости системы (без вычисления корней) изменение направления движения ЛФЧХ с пересечением начального значения.


При оценке устойчивости следует помнить о расхождении ап-проксимирующей и действительной ЛАХ вблизи частот сопряжения.

2.9 Запасы устойчивостиПри проектировании системы бывает важно не только опреде-

лить качественно – устойчива ли она, но и оценить количественно, на-

58

сколько устойчива, как далеко значения параметров системы отстоят от критических величин. Такая количественная оценка называется за-пасом устойчивости. Запасы устойчивости обычно находят с помо-щью критерия Найквиста в обычном или логарифмическом виде.

Оценка запасов устойчивости по АФЧХ (рисунок 26).Запас устойчивости по амплитуде Am устойчивой системы

равен расстоянию от критической точки (-1, j0) до ближайшей точки пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью.

Рисунок 26

Первый способ: измеряют непосредст-венно расстояние от точки (-1, j0) и до точки пересечения АФЧХ с действительной полу-осью без учета знака, тогда для устойчивой системы запас по амплитуде будет находиться в пределах от 0 до 1, норма равна |Am| =1 - А(ω-π) 0,5.. 0,6.

Второй способ: запас устойчивости по амплитуде находят как величину, обратную амплитуде А вектора при угле -180° или отрезку r, т.е. Am = 1/r, где r – расстояние от точки пересечения АФЧХ с отри-цательной действительной полуосью до начала координат. Физически такая оценка говорит о том, во сколько раз можно увеличить усиление системы без угрозы потерять устойчивость. Значение Am = , имею-щее место при отсутствии пересечения АФЧХ с отрицательной дейст-вительной полуосью, означает полную независимость устойчивости системы от величины ее коэффициента усиления.

Запас устойчивости по фазе m равен углу между отрицатель-ной действительной полуосью и лучом, проведенным из начала коор-динат в точку пересечения АФЧХ с дугой единичного радиуса.

Запас по фазе m = π - |φ(ωср)| находится в пределах от 0 до 180, при проектировании обычно нормой является m 30..60. Он харак-теризует возможность без изменения общего усиления системы до-бавлять звенья с суммарным сдвигом по фазе не более m. Макси-мальное значение m, равное 180, говорит о том, что смещение по фа-зе сигнала при прохождении его по данной системе никак не отра-жается на устойчивости системы.

Запасы устойчивости иногда задают в процентах, например:

На практике возможны частные случаи расчета запасов устой-чивости, когда необходимо учитывать особенности конфигурации конкретных АФЧХ. Это случай клювообразной АФЧХ, у которой при

59

уменьшении фазы может уменьшаться и реальный запас устойчивости по амплитуде (рисунок 27, а), и расчет для АФЧХ II рода, у которой запас устойчивости по амплитуде должен определяться как при уве-личении усиления Am>, так и при его уменьшении Am< (рисунок 27, б).


В сравнении с алгебраическими частотные критерии позволяют более наглядно представить опасные по условиям устойчивости зоны.

Оценка запасов устойчивости по ЛЧХ (рисунок 28).Запас устойчивости по амплитуде Am равен отклонению ЛАЧХ

от нуля в сторону отрицательных значений на ближайших к часто-те среза ср частотах пересечения ЛФЧХ с линией минус 180.

Запас устойчивости по фазе m равен отклонению ЛФЧХ на частоте среза ср от линии минус 180 в сторону положительных значений.

Рисунок 28

Как обычно, прежде всего сле-дует оценить, устойчива ли вообще данная система, только затем перехо-дить к определению запасов устойчи-вости. Из графика видно, что у систем со сложной формой ЛАЧХ (АФЧХ) могут существовать два запаса устой-чивости по амплитуде – запас на уве-личение коэффициента усиления Am> и запас на уменьшение коэффициента усиления Am<.

Напомним, что при увеличении коэффициента усиления ЛАЧХ смещается параллельно самой себе вверх, а при уменьшении – вниз.

Нормы запасов устойчивости, рекомендуемые при проектирова-нии: Am = |L()| = 20|lgA(ω-π)| 6…12 дБ; m 30…60.

60

Re() jIm()

-1Am

m

Re() jIm()

-1

Am< Am>

3 Качество процессов регулирования

3.1 Показатели качества и методы их оценкиКачество – свойство системы удовлетворять поставленным тех-

ническим требованиям с заданной эффективностью. Количественные оценки эффективности системы называются показателями качества.

Хотя к показателям качества изделия относятся также энергопо-требление, габариты, вес, стоимость и т.п., в настоящем разделе рас-сматриваются только показатели качества процесса регулирования. Качество регулирования оценивается только для устойчивых систем и лишь после проверки устойчивости. Точность системы в динамиче-ском режиме определяется величиной и длительностью отклонения управляемой переменной y(t) от заданного значения r(t), в установив-шемся режиме – только величиной отклонения δ(t) (или ошибки регу-лирования ε(t)).

Величина и длительность отклонений определяются видом входного воздействия, местом его приложения и собственными свой-ствами системы.

Все переходные процессы можно отнести к одной из групп:

Рисунок 29

1 – монотонные процессы (рисунок 29); 2 – апе-риодические процессы, имеющие один или два экстремума; 3 – колебательные процессы.

Оптимальным является апериодический процесс, обеспечивающий быстрый выход на заданный уровень при незначительных колеба-ниях.

Показатели качества, определяемые непосредственно по пере-ходным характеристикам, называют прямыми оценками качества, а сам метод их вычисления называется прямым.

Менее точные методы оценки качества называются косвенными. К косвенным методам оценки качества относятся корневые, частот-ные и интегральные методы. Обычно качество исследуют при типо-вых входных воздействиях: 1(t) – скачок положения; t·1(t) – скачок скорости; t2·1(t) – скачок ускорения; A·sinωt ·1(t) – скачок качания.

3.2 Прямые оценки качестваПрямые оценки качества определяются по переходной характе-

ристике выхода y(t) или ошибки ε(t) относительно входа задания r(t) или возмущения f(t). Напомним, что переходная характеристика – это реакция системы на единичный скачок при нулевых начальных усло-виях.

61

Основные показатели качества (время регулирования, перерегу-лирование) характеризуют величину и длительность отклонения в ди-намическом режиме. Их определяют как прямым, так и косвенными методами, в частности, корневым и частотным.

Время регулирования tрег или время переходного процесса tпп

(время установления) – время перехода системы в новое устойчивое состояние после приложения воздействия (рисунок 30). Оно равно времени от начала переходного процесса до момента, после которого характеристика не отклоняется от установившегося значения более, чем на величину допустимой ошибки ∆.

а) – выходная величина y(t) б) – ошибка регулирования ε(t)или h(t) или отклонение δ(t)

Рисунок 30

Зону допустимой ошибки ∆=0,05·h(∞) или ∆=0,05·ε(0) отклады-вают с обеих сторон от линии установившегося значения. При нену-левых начальном или установившемся значениях в качестве допусти-мой зоны принимают 5% от разницы |h(∞)–h(0)| или |ε(∞)–ε(0)|. Для систем повышенной точности принимают ∆ = 2 %. Поэтому, указывая время регулирования, обязательно следует уточнять, при какой зоне ошибки ∆ оно получено. Время регулирования задается индивидуаль-но для конкретных систем, типовые нормы отсутствуют, однако в об-щем случае чем оно меньше, тем качество регулирования выше.

Перерегулирование σ – величина максимального относительного заброса переходной характеристики от начальной величины за линию установившегося значения (в относительных единицах или %)

или .

Перерегулирование характеризует склонность системы к коле-баниям, рекомендуются значения не более 15…30 %, имеется в виду первый заброс. Дополнительно к перерегулированию может задавать-ся максимальное динамическое отклонение переходной характеристи-ки от линии установившегося значения, обычно выражаемое в едини-

62

цах измерения выходной величины. На рисунке 30, б максимальное отклонение равно ε(0), направлено противоположно перерегулирова-нию и существенно превышает абсолютное значение заброса пере-ходной характеристики за линию установившегося значения.

Рисунок 31

При нулевых начальном и конечном значениях переходной характеристики (ри-сунок 31) перерегулирование σ = |εmax2 / εmax1|, а для оценки времени регулирования прини-мают зону ∆=0,05·εmax1 или ∆=0,02·εmax1.

Дополнительные показатели качества регулирования.Время нарастания tн, характеризует скорость реакции в началь-

ный период, определяется как:- время от начала процесса до момента пересечения кривой с линией установившегося значения – этот метод не подходит для оценки мо-нотонных процессов, когда характеристика приближается к устано-вившемуся значению асимптотически в течение бесконечного интер-вала времени;- промежуток времени между моментами достижения заданных уров-ней (например, 10 и 90 %) установившегося значения – более универ-сальный метод.

Очевидно, что при указании времени нарастания следует указы-вать, каким способом оно получено.

Время достижения первого максимума tmax (подразумевается, что система по характеристикам близка к системе второго порядка, а первый максимум кривой является и наибольшим из всех).

Коэффициент колебательности N – число забросов переходной характеристики через линию установившегося значения за время ре-гулирования, рекомендуется не более двух-трех забросов.

Частота собственных колебаний ω = 2π/Тк, где Тк – период ко-лебаний переходной характеристики (подразумевается система не выше третьего порядка с единственной колебательной составляющей).

Степень затухания (демпфирования) – величина относитель-ного уменьшения ψ = (hmax1 - hmax3)/hmax1 или ψ = (εmax1 - εmax3)/εmax1 ам-плитуды колебаний выходной величины за один период Тк, удовлетворительной считают систему с ψ = 0,75...0,95.

Рисунок 32

При проектировании не всегда рас-считывают точную форму переходной ха-рактеристики, считают достаточным, что-бы она находилась внутри области допус-тимых отклонений (рисунок 32).

63

Если можно косвенным путем, без построения h(t), оценить принадлежность переходной характеристики указанной области, гра-фик не строят.

Рисунок 33

Если входное воздействие изменяется во времени, то и установившееся значение реакции системы непрерывно меняется, а время регулирования фактически является временем затухания свободной составляю-щей переходного процесса (рисунок 33).

После окончания переходного процесса характеристика может точно совпадать с k·x(t), либо отличаться от этого значения. В первом случае установившаяся ошибка ε(∞) = 0 и система называется аста-тической, во втором случае ε(∞) ≠ 0, такая система называется ста-тической. Установившаяся ошибка характеризует точность системы в статическом режиме.

3.3 Корневые оценки качестваКорневые оценки учитывают влияние на вид переходного про-

цесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско-сти. Корневые методы обеспечивают достаточную точность только для систем первого-второго порядка при отсутствии нулей в ПФ.

Корни, ближайшие к мнимой оси, называют доминирующими, если влиянием остальных корней можно пренебречь (остальные корни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Рисунок 34

Расстояние от мнимой оси до ближайше-го к ней корня (пары комплексных сопряжен-ных корней) называется степенью устойчивости αmin или η, оно характеризует быстродействие системы (рисунок 34).

Основные показатели качества регулиро-вания определяют следующим образом.

Для оценки времени регулирования tрег находят сначала степень устойчивости системы αmin или η, отсюда при ошибке ∆=5 %

.

При заданной зоне ошибки 2 % вместо коэффициента 3 прини-мают приблизительно 4.

Для оценки перерегулирования определяют прежде степень колебательности системы , а затем значение пе-ререгулирования . Для расчета μ выбирают комплексный

64

корень (полюс), у которого отношение мнимой части к действитель-ной максимально. При единственной паре комплексных корней необ-ходимость выбора отпадает. При нескольких парах комплексных кор-ней максимальное значение μ у того корня, который первым встреча-ется лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки.

Сближение полюсов увеличивает размах переходного процесса. Сближение нуля с полюсом позволяет уменьшить или исключить (компенсировать) его влияние на качество процесса. Установлено, что наименьшее время регулирования соответствует совпадению действи-тельных частей наибольшего числа полюсов.

Корневым методом решают следующие задачи:- по заданным параметрам системы, входящим в характеристическое уравнение, найти показатели качества (задача анализа),- по заданным показателям качества найти допустимые или желаемые значения параметров системы (задача синтеза).

Вторую задачу можно решать методом корневого годографа (если несложно вычислить корни характеристического уравнения сис-темы), методом смещенного уравнения или методом D-разбиения.

Метод смещенного уравнения.Проектируя систему, по заданному tрег находят степень устойчи-

вости min. Если в плоскости корней провести вертикальную линию через min и считать, что это новая мнимая ось, то остальные корни характеристического уравнения должны находиться слева от этой оси, а новая система попадает на границу устойчивости, поэтому смещен-ное характеристическое уравнение (корни сдвинуты влево на min)

должно удовлетворять граничным условиям устойчивости (например, по критерию Гурвица). Отсюда находят требуемые значения парамет-ров.

Пример: найти диапазон значений k, обеспечивающий tрег 5 с. Характе-ристическое уравнение системы D(s)=s3+3s2+4s+k=0. Находим αmin ≈ 3/5 ≈ 0,6. Смещенное характеристическое уравнение

D(s)=(s-0,6)3+3(s-0,6)2+4(s-0,6)+k=s3+1,2s2+1,48s+k-1,536=0.

По Гурвицу: используем условие нахождения системы на апериодической границе устойчивости an = 0, отсюда k–1,536 = 0, k =1,536; условие нахождения системы на периодической границе устойчивости 2 = 0 1,21,48 – (k – 1,536)=0, k = 3,311. Время регулирования tрег 5 с обеспечивается при 1,536 k 3,311.

Метод D-разбиения.

65

В уравнении D(s) = 0 производится замена или в зависимости от того, по времени регулирования или

перерегулированию производится выбор параметра. Выполняя далее стандартные операции D-разбиения, получают области заданной сте-пени устойчивости или степени колебательности в пространстве из-меняемых параметров системы.

3.4 Метод корневого годографаМетод применяют при проектировании систем регулирования

для прогноза допустимых пределов изменения параметров системы по критериям устойчивости и качества регулирования.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос-кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ∞, называется корне-вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк-нутой системы. Если , то . Чаще всего изменяют k – коэффициент усиления регулятора.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче-ского уравнения;- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно-сительно действительной оси;- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным корням характеристического уравнения;- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю-сах передаточной функции разомкнутой системы;- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи-ваются в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос-тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена-теля передаточной функции системы.

Число асимптот равно n–m, угол между асимптотами равенδ = 360/(n – m), градусов, первый угол, откладываемый от положи-тельной действительной полуоси, равен δ/2. Центр пересечения асим-птот (рисунок 35) удален от мнимой оси на расстояние

,

где p – полюса, а z – нули системы, ai и bj – коэффициенты полиномов

66

Рисунок 35

знаменателя и числителя передаточной функции соответственно порядка n и m.

На ветвях стрелкой указывают на-правление движения корней при увеличе-нии исследуемого параметра, а при ручном построении возле точек корневого годо-графа пишут значения параметров, при ко-торых они получены. В качестве примера приведен корневой годограф системы чет-вертого порядка.

Метод корневого годографа широко используется при проекти-ровании систем регулирования, позволяя оценить границы изменения исследуемого параметра, обеспечивающие заданные требования по устойчивости и качеству регулирования.

3.5 Частотные оценки качестваКачество регулирования оценивают по АЧХ или ВЧХ. Рассмот-

рим методы оценки качества по вещественной частотной характери-стике P(ω). Общие положения, вытекающие из свойств преобразова-ния Фурье:- P(0)=h(∞)=kуст – конечное значение переходной характеристики численно равно начальному значению ВЧХ;- P(∞)=h(0) – начальное значение переходной характеристики числен-но равно конечному значению ВЧХ;- a·P(ω) ÷ a·h(t) – кратность изменения масштаба ВЧХ и переходной характеристики одинакова;- P(a·ω) ÷ h(t/a) – расширение полосы рабочих частот ведет к повыше-нию быстродействия системы;- время tрег > π/ω+, где ω+ – граница интервала частот положительности ВЧХ.- перерегулирование σ определяется по форме ВЧХ (рисунок 36).


Кроме ω+, для оценки качества используются также ω0 – частота собственных колебаний, и ωсущ – граница интервала существенных

67

частот (полосы пропускания), вне которых текущее значение функции пренебрежимо мало P(ω) < (0,05…0,1)P(0). Критерии оценки:

а) производная dP(ω)/dω < 0 – перерегулирование σ = 0;б) dP(ω)/dω ≤ 0 – ВЧХ – положительная невозрастающая функ-

ция, перерегулирование σ ≤ 18%, время регулирования лежит в грани-цах от π/ω+ до 4π/ω+;

в) dP(ω)/dω меняет знак, ВЧХ имеет подъем, перерегулирование

равно , время регулирования такое же;

г) ВЧХ терпит разрыв при ω=ω0, система совершает незатухаю-щие колебания, tрег → ∞ и показатели качества не определяются.

При оценке качества регулирования по АЧХ обычно оценивают значение частотного показателя колебательности, равное отношению максимума характеристики к ее начальному значению М = Ам/А(0) или отношению максимума характеристики к ее значению на частоте ре-зонанса М = Ам/А(ωр). При М < 1 переходная характеристика системы не колебательна, при М → ∞ система находится на границе устойчи-вости, наблюдаются незатухающие колебания с частотой ωр. Опти-мальным считается значение М = 1,1..1,5, которому соответствует пе-ререгулирование 10-30 % и запас по фазе 30-50°.

3.6 Интегральные оценки качестваИнтегральные оценки качества регулирования позволяют полу-

чить совокупную (обобщенную) оценку быстродействия и колеба-тельности без вычисления их значений. Они характеризуют отклоне-ние реального переходного процесса от заданного идеального.

1) Интегральная линейная оценка (ИЛО)

определяется площадью отклонения реального процесса от идеально-го ступенчатого (рисунок 37). Она учитывает одновременно как вели-чину динамических отклонений, так и длительность их существова-ния.


Система тем лучше, чем меньше значение оценки (площадь за-штрихованной фигуры, определяемой ошибкой регулирования). Не-

68

достатком оценки является то, что она дает хорошие результаты лишь для заведомо неколебательных, апериодических процессов.

2) Интегральная квадратичная оценка (ИКО)

исправляет недостаток ИЛО – возможность неверной оценки качества при колебательном переходном процессе, когда сумма разнополярных полуволн может дать минимальную величину (рисунок 37, б).

Недостаток этой оценки – из-за возведения сигнала ошибки в квадрат в значении интеграла существенно больший вес имеют пер-вые (максимальные) отклонения от заданного значения. В итоге ми-нимальные значения оценки всегда соответствуют колебательным процессам с малым затуханием.

3) ИЛО и ИКО оценивают качество процесса относительно сту-пенчатого образцового процесса. Для объектов, у которых такой про-цесс недопустим, применяют улучшенную интегральную квадратич-ную оценку

где T определяет крутизну процесса, а έ – его колебательность. Она позволяет получить оптимальный процесс с небольшим перерегули-рованием, близкий к экспоненте. Обычно коэффициент Т при произ-водной отклонения выбирают равным желаемому времени нарастания tн или в диапазоне tрег/6 ≤ T ≤ tрег/3.

Рассчитаны формулы для вычисления интегральных оценок че-рез коэффициенты передаточной функции ошибки и стандартный ин-теграл. Например, если

, то .

Абсолютное значение любой из интегральных оценок несуще-ственно, представляет интерес лишь направление изменения оценки (в сторону увеличения или уменьшения) при изменении заданного пара-метра регулятора одной и той же системы для выбора наилучшего значения этого параметра.

Интегральные критерии применяют в теории оптимальных сис-тем, где их вычисляют как целевые функции. Оптимальными являют-ся те значения параметров настройки системы, которые соответству-ют минимуму используемой интегральной оценки качества.

69

3.7 Оценка качества в установившемся режимеУстановившаяся ошибка характеризует точность системы в ста-

тическом режиме и равна отклонению действительного значения ре-гулируемой величины от заданного.

Система с нулевой установившейся ошибкой ε(∞) = 0 называет-ся астатической, а при ε(∞) ≠ 0 и система и ошибка называются стати-ческими.

В общем случае установившаяся ошибка складывается из не-скольких составляющих ε(∞) = εr(∞) + εf(∞) + εап(∞), где εr(∞) – ошибка отработки задающего воздействия, εf(∞) – ошибка от возмущающего воздействия, εап(∞) – аппаратная погрешность.

Ошибка зависит от вида входного воздействия, места его при-ложения и степени астатизма ν разомкнутой системы. По умолчанию подразумевают вход задания – r(t), вид воздействия – скачок при ну-левых начальных условиях, в ином случае эти параметры должны оговариваться специально.

Рассмотрим случай, когда вход – r(t), воздействие – скачок, чис-ло нулевых полюсов разомкнутой системы ν = 0 (рисунок 38).

Рисунок 38

,

,

где kpk0 – коэффициент усиления системы kc.Из формулы видно, что значение ошибки зависит:

- от величины входного воздействия r или f – пропорционально;- от коэффициента передачи по каналу ошибки от задания или возму-щения – пропорционально;- от общего коэффициента усиления системы kc = kp·k0 – обратно про-порционально.

Относительная величина установившейся ошибки называется коэффициентом статизма (статизмом) системы по соответствующе-му каналу.

70

r(t) ε(t) u(t)f(t)

y(t)kp k0

– статизм от задания,

– статизм от возмущения.

Из формулы следует, что ошибку регулирования и статизм мож-но уменьшить, увеличивая общий коэффициент усиления системы.

По заданной величине статизма (относительной статической ошибки) системы можно выбрать требуемый коэффициент усиления.

Пример: пусть допустимая ошибка не должна превышать значения ε(∞) = 2% или ε(∞) = 0,02, для этого необходим коэффициент усиления не менее

.

Изменим при тех же условиях порядок астатизма ν = 1 (рисунок 39, а), для чего введем в состав регулятора звено с нулевым корнем в знаменателе (интегратор), и рассчитаем значение установившейся ошибки по заданию и от возмущения, как конечное значение оригина-ла.


; .

; .

Увеличение астатизма разомкнутой системы при том же воздей-ствии привело к исключению статической ошибки.

Введем теперь интегратор в ПФ объекта (рисунок 39, б).

; осталось .

, изменилось .

Вывод: устраняют статическую ошибку только интеграторы, размещенные вне цепи прямой связи сигнала ошибки.

71

r(t) ε(t) u(t)f(t)

y(t)

sk p k0

r(t) ε(t) u(t)f(t)

y(t)kp s

k0

Сформулируем общее правило: если записать ПФ системы в ви-де W(s) = W0(s)/sν, а входное воздействие в виде R(s) = M(s)/sr, то:- при r < ν+1 => εr(∞)=0;- при r = ν+1 => εr(∞)=const;- при r > ν+1 => εr(∞)= f(t).

3.8 Коэффициенты ошибокУстановившийся динамический режим имеет место при возму-

щенном движении системы с момента затухания свободной состав-ляющей переходного процесса.

Считая, что входное воздействие аппроксимируется полиномом от t, т.е.разлагается в степенной ряд

,

для расчета вынужденной составляющей ошибки используют метод коэффициентов ошибок.

По этому методу передаточную функцию ошибки представляют в виде аналогичного ряда

,

где С0 – коэффициент статической ошибки (позиционной),С1 – коэффициент ошибки по скорости,С2 – коэффициент ошибки по ускорению.Сравнивая две формы записи передаточной функции ошибки,

находим значения коэффициентов ошибок (в обоих случаях полиномы начинаются со свободного члена)

s0 → bm=anC0 → ,

s1 → → ,

s2 → → и т.д.Пример: найдем три первых коэффициента ошибок для системы

72

.

,

,

.

Вынужденная составляющая ошибки равна

.

Пусть задающее воздействие равно , тогда производные , и установившаяся динамическая ошибка

при С0 = 0 имеет вид .

Обычно вычисляют не более трех первых коэффициентов оши-бок. Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи k (добротность) находится в знаменателе всех выражений, обуславливает уменьшение всех видов ошибок и является главным фактором повышения точно-сти замкнутой системы автоматического регулирования.

Коэффициенты передачи ошибки называются:

– позиционная добротность;

– добротность по скорости;

– добротность по ускорению.

3.9 Построение переходного процесса по ВЧХПереходные характеристики наиболее наглядно представляют

динамические свойства САР. Их построение производится на основе численных, аналитических и графоаналитических методов. Числен-ные методы используются, как правило, в специализированных паке-тах прикладных программ для ЭВМ.

К аналитическим (точным) относятся классический и оператор-ный методы решения дифференциальных уравнений. Классический метод основан на решении характеристического уравнения при опре-делении его корней и решении системы алгебраических уравнений при определении постоянных интегрирования с учетом начальных ус-ловий. Трудности существенно возрастают с увеличением порядка

73

дифференциального уравнения и появлением производных в правой его части, поэтому в ТАУ классический метод находит ограниченное применение.

Решение дифференциального уравнения операторным методом сводится к отысканию оригинала функции по известному ее изобра-жению путем обратного преобразования Лапласа. Здесь также требу-ется нахождение корней характеристического уравнения, однако, бла-годаря действиям над передаточными функциями, которые определя-ются при нулевых начальных условиях, отпадает сложная операция определения произвольных постоянных интегрирования. Этот метод является основным, используемым в инженерной практике ТАУ.

Графоаналитические (частотные) методы построения переход-ных процессов САУ основаны на связи временных и частотных харак-теристик, вытекающей из подобия преобразований Лапласа и Фурье. Наиболее распространено построение переходной характеристики h(t) по вещественной частотной характеристике P(ω) в соответствии с за-висимостью

.

По этому методу действительную ВЧХ заменяют асимптотиче-ской, т.е. ломаной линией из прямых отрезков, по которым затем формируют типовые трапеции (В. В. Солодовников) или типовые тре-угольники (А.А. Воронов). Каждая трапеция начинается от ω = 0, ее вершина ограничена частотой ω1, а основание частотой ω2. Необходи-мые параметры трапеций, которые требуется вычислить: коэффициент масштаба k1 = Р(0) – Р(ω2) и коэффициент наклона k2 = ω1/ω2, который изменяется в пределах от 0 (тогда трапеция вырождается в треуголь-ник) до 1 (тогда имеет место прямоугольник).

Существуют таблицы h-функций, в которых приведены расчет-ные значения переходной характеристики для типовых единичных трапеций, например, с шагом по коэффициенту наклона 0,05 от 0 до 1, с шагом по табличному времени 0,5 с от 0 до 26 с [7]. Чтобы перейти от типовой характеристики к реальной, необходимо умножить каждое значение h(t) из таблицы на коэффициент масштаба k1 и изменить масштаб времени, разделив табличное время tтабл на значение частоты ω2.

Главное достоинство метода – отсутствие необходимости в вы-числении корней характеристического уравнения. Наиболее сложным в нем является согласование масштабов по времени, поскольку после перехода от табличного времени к реальному изменяется как времен-

74

ной диапазон построения каждой характеристики в целом, так и шаг, который у каждого графика оказывается индивидуальным.

Пример: построить переходную характеристику для системы с ПФ

,

ВЧХ которой показана на рисунке 40, а.


Заменяем реальную ВЧХ асимптотической, проводя к ней касательные.Первая трапеция ограничена вершинами а-б-в-г, она имеет коэффициент

масштаба k1 = 0,25 – (-0,65) = 0,9 и коэффициент наклона k2 = 1,4/1,6 ≈ 0,85, где ω1

= 1,4 рад/с, ω2 = 1,6 рад/с. Вторая трапеция ограничена вершинами г-в-д-е, она имеет коэффициент масштаба k1 = -0,65 и коэффициент наклона k2 = 1,6/2,1 ≈ 0,75, где ω2 = 2,1 рад/с.

Для более точного построения процесса целесообразно было бы сформи-ровать третью трапецию на уровне -0,2, с частотами ω1 = 2 рад/с, ω2 = 3,5 рад/с, однако в целях упрощения примера мы ограничимся двумя основными трапеция-ми.

Воспользуемся таблицей h-функций, сведя результаты пересчета в таблицу 5. Приведем к общему (наименьшему) интервалу масштаб всех характеристик по оси времени, после чего выполним суммирование ординат кривых, соответст-вующих индивидуальным переходным функциям h1(t) и h2(t) (рисунок 40, б), по-лучив результирующую характеристику h(t). Масштаб графика по оси времени определяется наименьшим вычисленным значением интервала t, в данном случае 11,905 с.

Таблица 5

tтаблТрапеция 1 (k2 ≈ 0,85) Трапеция 2 (k2 ≈ 0,75)

t1=tтабл/ω2 hтабл h1=hтабл·k1 t2=tтабл/ω2 hтабл h2=hтабл·k1

0 0 0 0 0 0 01 0,625 0,560 0,504 0,476 0,534 -0,3472 1,250 0,974 0,877 0,952 0,938 -0,6103 1,875 1,162 1,046 1,429 1,143 -0,7434 2,500 1,150 1,035 1,905 1,161 -0,755

75

5 3,125 1,036 0,932 2,381 1,069 -0,6956 3,750 0,934 0,841 2,857 0,956 -0,6217 4,375 0,909 0,818 3,333 0,917 -0,5968 5,000 0,955 0,860 3,810 0,936 -0,6089 5,625 1,023 0,921 4,286 0,990 -0,644

10 6,250 1,059 0,953 4,762 1,036 -0,67315 9,375 1,018 0,916 7,143 0,977 -0,63520 12,500 0,982 0,884 9,524 1,001 -0,65125 15,625 0,997 0,897 11,905 1,000 -0,650

Следует заметить, что, в связи с широким распространением компьютерной техники, сравнительно просто реализующей числен-ные методы решения дифференциальных уравнений, также не тре-бующие вычисления корней, частотные методы построения переход-ных характеристик постепенно утрачивают свою актуальность.

76

4 Многомерные системы управления

4.1 Переменные состоянияПередаточной функцией описываются простые системы с одним

входом и одним выходом (одномерные или SISO). Многомерной (MIMO, т.е. Multi-Input Multi-Output) называется система (объект), имеющая более одного управляемого входа (наблюдаемого выхода).

При этом подразумевается, что систему нельзя разбить на неза-висимые подсистемы с отдельными входом и выходом, т.е. между подсистемами (каналами регулирования) имеются взаимосвязи. К внутренним отнесем те связи, что физически существуют между вы-ходными (регулируемыми) величинами в самом объекте: изменение одной координаты всегда сказывается на значении другой координа-ты. Внешними по отношению к объекту являются связи, организуе-мые в управляющей схеме (перекрестные связи между регуляторами).

Иногда целью организации перекрестных связей является уст-ранение взаимосвязи между регулируемыми величинами, что приво-дит к автономному регулированию (когда изменение одной регули-руемой величины не ведет к изменению других). Подсистемы регули-рования можно считать условно автономными при значительном от-личии их скоростных характеристик, например, различии на порядок времени регулирования по каждому из контуров. В некоторых систе-мах применяется подчиненное регулирование, когда выходной сигнал предыдущего контура регулирования служит заданием для после-дующего контура, здесь важно наблюдать сразу несколько сигналов.

Многомерные системы описываются в пространстве состояний методом переменных состояния с помощью векторно-матричного представления. N-мерное пространство, координатами которого яв-ляются переменные состояния xi, называют пространством состоя-ний, а способ векторно-матричного описания системы – методом пространства состояний.

Переменные состояния образуют минимальный набор незави-симых переменных, достаточный для полного описания состояния системы в любой момент времени. Их число равно порядку системы и наоборот. Переменные состояния соответствуют:- фактически контролируемым параметрам (реально существующим выходам системы) – в этом случае они назначаются единственным образом. Примером служат ток в катушке индуктивности и напряже-ние на конденсаторе RLC-контура – объекта второго порядка;- абстрактным математическим величинам, тогда они назначаются произвольным образом и разными способами.

77

Методы пространства состояний обычно относят к современной теории управления, чтобы отличить их от моделей одномерных сис-тем (классических). Эти методы наиболее эффективны, если перемен-ные состояния назначены непосредственно по структурной схеме сис-темы, соответствующей ее конструктивному построению, что позво-ляет наблюдать процессы не только на выходах, но и во всех внутрен-них узлах системы. К их достоинствам относят также более высокую устойчивость и эффективность численных векторно-матричных мето-дов по сравнению с одномерными при реализации последних на ЭВМ.

В остальных случаях преимущества векторно-матричного опи-сания не столь очевидны. В частности, таким образом не могут быть описаны отдельно звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя (дифференцирующие, форси-рующие), и элементы с запаздыванием, создающие задержку появле-ния сигнала на выходе относительно момента его формирования на входе. А формально выбранные переменные состояния не дают реаль-ного представления о процессах внутри физической системы.

4.2 Переход к пространству состоянийПоведение во времени системы, описываемой по методу один

вход-один выход, характеризуется общим обыкновенным дифферен-циальным уравнением (ОДУ) n-ого порядка. При описании системы в пространстве состояний методом вход-состояние-выход, ему соответ-ствует система n дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши, разрешенных относительно производной.

Среди методов перехода от описания посредством ОДУ к опи-санию переменными состояния наиболее распространен метод фазо-вых переменных. По этому методу за первую переменную состояния принимают выходную величину, за остальные переменные состояния принимают n–1 производную выходной величины.

Рассмотрим в первую очередь ОДУ объекта регулирования без производных в правой части a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = b0u. Выразим выходную величину y(t) и ее производные через переменные состоя-ния xi(t)

Разрешив уравнения относительно первых производных и под-ставив их в исходное уравнение, получают матричное дифференци-альное уравнение состояния

78

и алгебраическое уравнение наблюдения (выхода) y(t) = x1(t).Полная матричная запись этих уравнений

соответствует записи в свернутом виде

Иногда записывают СТ, чтобы подчеркнуть, что это горизон-тальная матрица (вектор-строка), но самого транспонирования не де-лают. Если система имеет один вход и один выход, то b, c – векторы.

Принятые обозначения:x(t) – вектор переменных состояния,

– вектор производных переменных состояния,u(t) – вектор входных воздействий (управлений),y(t) – вектор выходных величин (реакций),A(n x n) – матрица собственных коэффициентов системы,B(n x m) – матрица коэффициентов входа (m – число входов),C(l x n) – матрица коэффициентов выхода (l – число выходов).Указанной системе уравнений соответствует обобщенная струк-

турная схема объекта регулирования в пространстве состояний (рису-нок 41), где двойными линиями обозначены векторные многомерные сигналы; основу схемы образует набор интеграторов 1/s.

Рисунок 41

Алгоритм перехода от ОДУ к пространству состояний:

79

– нормировать ОДУ по коэффициенту a0 при старшей производной выходной величины (разделить на него обе части уравнения);– составить сопровождающую квадратную матрицу А размера n×n, записав единицу во вторую позицию первой строки нулевой матрицы, смещая ее вправо в каждой следующей строке, и поместив в послед-нюю строку с обратным знаком коэффициенты характеристического полинома, начиная со свободного члена;– в последнюю строку нулевой матрицы В записать коэффициент при входном воздействии;– в первую позицию нулевой матрицы С записать единицу.

Пример: по исходному дифференциальному уравнению составим матрицы

.

Развернутое описание системы управления

Пример: По ОДУ системы 2y(4) + 3y(3) + 7y(2) + 4y(1) + y = 10u записываем и нормируем передаточную функцию

,

откуда следует описание системы

Если ОДУ имеет производные входной величины в правой час-ти a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = k(b0u(m) + b1u(m-1) + … + bmu) и m<n, то вид сопровождающей матрицы А не изменяется, в последнюю строку матрицы b помещают нормированный общий множитель правой час-ти, а матрицу с заполняют, начиная с коэффициента bm перед входной функцией (в обратном порядке)

80

.

Пример: дифференциальное уравнение системы уже нормировано по старшему коэффициенту a0, поэтому сразу перейдем к пространству состояний

, (считаем k = 1).

Важное замечание: если вид матриц А, В, С соответствует опи-санию системы с одним входом и одним выходом методом фазовых переменных, то по матрицам можно восстановить вид передаточной функции без специальных вычислений.

Пример: для системы, описанной в пространстве состояний уравнениями

передаточная функция имеет вид . Все элементы вектора

с умножаются на коэффициент вектора b, причем первый элемент соответствует свободному члену полинома числителя ПФ, второй – коэффициенту при s, третий – при s2 и т.п., а передаточная функция всегда оказывается нормированной по старшему коэффициенту знаменателя, взятого из матрицы А.

Матрицы В и С взаимосвязаны, поэтому при изменении одной из них обязательно изменяется другая. Поскольку они расположены по пути следования сигнала от входа к выходу системы последова-тельно, их соответственные коэффициенты перемножаются.

Более сложным является преобразование ОДУ с одинаковым порядком производных входной и выходной величин. Если порядок производных входа и выхода одинаков (m = n), появляется дополни-тельная матрица D(l × m) коэффициентов обхода (рисунок 42).

81

Рисунок 42

Соответственно изменяется и вид системы уравнений

.

Если m < n, то матрица D нулевая и ее допускается не писать.Пусть передаточная функция объекта с m = n равна

.

Разделив числитель на знаменатель, получим в результате

.

Коэффициент 3 целой части характеризует обходной путь от входа системы к ее выходу, он-то и образует матрицу D.

4.3 Каноническая управляемая формаРассматривая передаточную функцию, мы выяснили, что она

имеет по крайней мере три представления (не считая записи в виде нулей и полюсов): произвольное, нормированное по старшему коэф-фициенту при s, нормированное по свободному члену. Нормирован-ные представления удобны для определенного рода операций с систе-мой и позволяют выявлять равносильные системы. Соответственно, и описание системы в пространстве состояний имеет несколько стан-дартных представлений, помимо произвольного. Следует попутно за-метить, что при составлении описания по передаточной функции или дифференциальному уравнению, а также в результате преобразований модели, теряется смысл единиц измерения параметров внутри систе-мы, в связи с чем исследование систем в пространстве состояний про-изводится, как правило, в безразмерной форме.

Каноническим называется упрощенное описание объекта в про-странстве состояний, предназначенное для определенного вида опера-ций. Каноническая форма представления характеризуется тем, что

82

матрица А является либо сопровождающей (называется также фробе-ниусовой или матрицей Фробениуса), либо диагональной. С сопрово-ждающей матрицей А мы уже познакомились, ее свойство – по одной из сторон выписывается характеристический полином системы, нор-мированный по старшему коэффициенту и взятый с обратным знаком. Диагональная или блочно-диагональная матрица А в канонической форме образуется из корней характеристического полинома системы.

Представление объекта называется канонической управляемой формой, если матрица B (вектор b) записывается формально (без вы-числений) и содержит единственную 1 при остальных нулевых эле-ментах. Для перехода к этой форме после нормирования по а0 произ-водится вычисление матрицы с (и вектора d, если m=n); сопровож-дающая матрица А находится обычным образом, вектор b содержит нули в строках с первой по предпоследнюю и 1 в последней строке. Назовем это переходом через матрицу с:

d = b0; c1 = bn - an∙d; c2 = bn-1 – an-1∙d … и т.п.

Очевидно, что при d = b0 = 0 формулы для вычисления элементов век-тора с сводятся к более простому варианту, используемому для систем с m < n, т.е. просто в матрицу с записываются коэффициенты числи-теля передаточной функции, начиная со свободного члена.

Пример: передаточная функция объекта равна .

Описание системы в пространстве состояний (нормирование не нужно)

где c1 = b2 – a2d = 1 – 9 = -8c2 = b1 – a1d = 2 – 6 = -4

Сравнение с предыдущим расчетом позволяет предложить еще один путь перехода к пространству состояний при m = n: нужно разделить числитель ПФ на ее знаменатель, получившееся отдельно стоящее слагаемое (частное) поместить в матрицу d, а коэффициенты числителя полученной рациональной дроби (остатка) записать в матрицу с, начиная со свободного члена, т.е. как обычно.

Пример: Сначала нормируем ПФ по старшему коэффициенту знаменателя,

, затем вычисляем матрицы

.

83

Можно применять простое мнемоническое правило вычисления элементов матрицы с по ПФ: начинают справа, движутся влево по дроби, беря произведение коэффициентов числителя и знаменателя справа налево вниз – с плюсом, слева направо и вниз – с минусом.

,

.

Система в пространстве состояний может быть представлена набором интеграторов, т.е. звеньев, осуществляющих операцию ин-тегрирования входной величины по времени, сумматоров и блоков, воспроизводящих коэффициенты усиления в собственных и перекре-стных связях.

Например, представление в канонической управляемой форме с переходом через матрицу с объекта второго порядка c m < n (рисунок 43), без учета коэффициента 1 матрицы b на входе для воздействия u соответствует передаточной функции W(s) = (b1s + b2)/(s2 + a1s + a2) и матрицам коэффициентов передачи в пространстве состояний

.

Рисунок 43

Переменные состояния х1, х2 назначены методом фазовых пере-менных. Если изменить порядок назначения переменных состояния, т.е. на схеме переменные х1, х2 поменяются местами, будет иметь ме-сто транспонированная каноническая форма управляемости, а именно

Здесь переход к пространству состояний проще: после нормиро-вания по a0 в первую строку сопровождающей матрицы записываются

84

+–

+–

коэффициенты характеристического полинома с обратным знаком в порядке возрастания индекса, начиная с a1, в оставшуюся часть мат-рицы А вписывается единичная матрица (без последней строки); мат-рица b заполняется формально, с единицей в первой строке. Матрица с включает коэффициенты числителя ПФ в порядке возрастания ин-дексов, при необходимости места спереди заполняются нулями. Если m = n, т.е. матрица d ненулевая, элементы матрицы с вычисляются по правилу d = b0; c1 = b1 – a1∙d, …, сn = bn – ∙an∙d.

4.4 Каноническая наблюдаемая формаПо аналогии с управляемой формой признаком наблюдаемой

формы является формальное составление матрицы с из нулей и еди-ницы, а вычисляются матрица b и, при необходимости, матрица d. На-зовем это переходом через матрицу B.

Сопровождающая матрица А выглядит после нормирования по старшему коэффициенту при s в знаменателе ПФ, как в канонической управляемой форме, первый элемент матрицы с равен 1, а остальные 0. Покажем принцип расчета элементов матриц b и d:

Пусть , m = n, тогда

D = k0 = b0,b1 = k1 – b0a1,b2 = k2 – b0a2 – b1a1,b3 = k3 – b0a3 – b1a2 – b2a1 …

Пример: по уравнению y(3) + 2y(2) + 3y(1) + 4y = 5u(1) +6u составим канони-ческую наблюдаемую форму. Нормирование по старшему коэффициенту знаме-нателя при sn не требуется, так как он уже равен единице, многочлен числителя ПФ дополняем коэффициентами до той же степени, что и многочлен знаменателя

,

и окончательно

.

Простое мнемоническое правило вычисления элементов вектора b: вычисляя новый член вектора, надписываем его над соответствую-щим коэффициентом числителя передаточной функции. Начинают слева c k1, движутся вправо по дроби, беря первое произведение ко-

85

эффициентов числителя и знаменателя справа налево вниз – с плюсом, остальные произведения слева направо и сверху вниз – с минусом.

,

,

.

Заметим, что если в канонической управляемой форме элементы матрицы с вычисляются лишь при ненулевой матрице d, а в осталь-ных случаях просто используются коэффициенты полинома числителя передаточной функции, то в канонической наблюдаемой форме вы-числение элементов матрицы b производится всегда. Например, для системы второго порядка с ПФ вида W(s) = (k1s+k2)/(s2+a1s+a2) и m<n элементы вектора b соответственно равны b1 = k1, b2 = k2 – b1a1.

Представляется целесообразным отказаться от единообразия в форме матрицы А ради облегчения работы с коэффициентами переда-точной функции при преобразовании. Для этого составим специаль-ным образом структурную схему системы. Представление объекта с ПФ W(s) = (b1s + b2)/(s2 + a1s + a2) в канонической наблюдаемой фор-ме с использованием вектора b (рисунок 44) без учета коэффициента 1 вектора с на выходе y соответствует матрицам коэффициентов

.

Рисунок 44

Теперь переход к пространству состояний проще: после норми-рования по a0 в первый столбец сопровождающей матрицы записыва-ются коэффициенты характеристического полинома с обратным зна-

86

+

0 +

0 5 +

ком в порядке возрастания индекса, начиная с a1, в оставшуюся часть матрицы А вписывается единичная матрица (без последнего столбца); матрица с заполняется формально, с единицей в первом столбце. Мат-рица b просто включает коэффициенты числителя ПФ в порядке воз-растания индексов, при необходимости места сверху дополняются ну-лями. Лишь если m = n, т.е. матрица d ненулевая, элементы матрицы b вычисляются по правилу d = k0; b1 = k1 – a1∙d, …, bn = kn – ∙an∙d.

4.5 Описание по структурной схемеНа структурной схеме системы регулирования переменные со-

стояния могут быть назначены различным образом, а, следовательно, и описания системы в пространстве состояний будут отличаться. Од-нако правила составления дифференциальных уравнений для каждого блока являются общими и состоят в следующем. Переменная всегда назначается на выходе блока, записывают ОДУ первого порядка для каждого блока с s в знаменателе в зависимости от вида знаменателя:

а) звено с нулевым корнем в знаменателе (рисунок 45, а) или ;


б) звено с действительным корнем, две формы (рисунок 45, б)

или ; .

Правая часть после нормирования равна произведению входа на числитель минус произведение выхода на коэффициент знаменателя).

Звено c комплексными сопряженными корнями (рисунок 45, в), не разлагается на два простых, поэтому вводят условно переменную состояния с промежуточным индексом и составляют два уравнения.

.

Эта запись соответствует рассмотренному выше переходу от дифференциального уравнения к пространству состояния через мат-рицу b с нормированием по старшему коэффициенту знаменателя

87

.

Из предыдущего пункта следует, что любой блок порядка n>1 может быть описан с использованием перехода через матрицу b без его разложения на простые звенья. В особенности это необходимо, ес-ли блок имеет нули, т.е. порядок полинома числителя его передаточ-ной функции не менее единицы.

→ .

Умножая матрицу А на вектор и вектор b на вход x3, полу-

чаем систему уравнений, которую затем совмещаем с уравнениями оставшейся части структурной схемы.

Поскольку в пространстве состояний не могут быть отдельно описаны дифференцирующие и форсирующие звенья с m > n, то, по-лучив в правой части уравнения дополнительную производную с ин-дексом, меньшим текущего номера уравнения, ее пробуют выразить через значение, полученное ранее, в предыдущих дифференциальных уравнениях. Обычно это имеет место при обратных связях через s.

Рассмотрим порядок перехода посредством метода фазовых пе-ременных (классический метод). Подготовка системы к преобразова-нию в большинстве случаев выполняется следующим образом:– разбивают, если возможно, сложные звенья на простые не выше второго порядка, соответствующие простым дробям;– переносят звенья с s в знаменателе из обратных и вспомогательных прямых связей в главную прямую связь;– совмещают звенья без s или с s в числителе с другими звеньями бо-лее высокого порядка;– назначают переменные состояния в порядке возрастания индексов, начиная с выхода, двигаясь встречно по главной прямой связи ко вхо-ду, при каждом переходе через s в знаменателе, исключая последний;– записывают дифференциальные уравнения для каждого блока и уравнения наблюдения (выхода).

Пример: исходная схема (рисунок 46) требует ряда преобразований

88

Рисунок 46

Подготовленная к описанию фазовыми переменными состояния схема по-казана на рисунке 47, переменные назначаются всегда на выходе блока, перемен-ная δ имеет чисто вспомогательный характер и назначена временно.

Рисунок 47Уравнения состояния и наблюдения

Очередность записи воздействий соответствует движению с выхода схемы к входу – сначала f, а затем u, при перемножении матриц соответственные коэф-фициенты и воздействия должны совпадать. Коэффициенты матрицы D нужно искать в уравнении выхода y(t) перед воздействиями – в данном случае их нет.

Пример: описать переменными состояния систему (рисунок 48, а)

89

y

Нужно убрать (примем за выход)

u f

-3

s2s1

s1

34s

Нужно убрать (перенесем узел)

25s

yu f

-3

s2

21

s1

34s

25s

x1

x2x3x4

δ


Сначала рассматриваем сложный блок с переменной s в числителе, учиты-вая, что вектор с для него составлен единственной единицей и в вычислениях не нуждается, а переменная состояния на выходе блока имеет индекс 2:

→

Затем описываем всю систему, включая в нее этот блок:


Пример. Составляя уравнения состояния для случая, когда в цепи обрат-ной связи есть звено дифференцирования с s (рисунок 48, б) учитываем, что ум-ножение на s в операторной области соответствует взятию производной во вре-менной области. Поскольку в правой части выражения производных быть не должно, вместо производной подставляется ее значение, вычисленное ранее


.

4.6 Представление системы структурной схемойКак уже говорилось, система в пространстве состояний может

быть представлена набором интеграторов, т.е. звеньев, осуществляю-щих операцию интегрирования входной величины по времени, сумма-торов и блоков, воспроизводящих коэффициенты усиления в собст-венных и перекрестных связях.

Пусть система второго порядка с одним входом и одним выхо-дом задана уравнениями состояния и наблюдения в полном виде

90

,,

.

Они могут быть представлены структурной схемой (рисунок 49). Очевидно, что по схеме может быть сформировано описание сис-темы, минуя процедуру записи дифференциальных уравнений – ко-эффициенты прямых и обратных связей aij составят матрицу собст-венных коэффициентов А, остальные коэффициенты образуют матри-цы b, c и d. Первый индекс коэффициентов aij соответствует номеру строки матрицы А, второй – номеру ее столбца; в то же время, как и для всякой функции передачи, j – это начало, а i – конец связи.

Рисунок 49

Применим эти принципы описания к системе (рисунок 50).

Рисунок 50

Диагональ матрицы А содержит коэффициенты внутренних об-ратных связей a11, a22, a33. По переменной х1 это коэффициент -1 (ко-рень знаменателя передаточной функции W4), по переменной х2 внут-ренние обратные связи отсутствуют, по переменной х3 обратная связь организуется через блоки W6 и W1, следовательно, коэффициент связи a33 будет равен -1,5*2 = -3. Описываем прямые связи (выше диагонали матрицы А): коэффициент a12 = 1 равен числителю ПФ звена W4, ко-торый обеспечивает связь между второй и первой переменными со-стояния, аналогичное значение имеет коэффициент a23 связи третьей

91

переменной состояния со второй. Описываем обратные связи (ниже диагонали матрицы А): от х1 к х2 связи нет, коэффициент a31 связи х1 с х3 равен -0,5*2 = -1, коэффициент a32 связи х2 с х3 равен -3.

Воздействие u(t) поступает только на переменную состояния х3 с коэффициентом 2*1 = 2, выходная величина y(t) образуется из пере-менных состояния х1(t) и х2(t). Окончательный вид матриц A, b, c, d:

.

Если теперь аналогичным образом перейти от матриц A, b, c, d к структурной схеме (рисунок 51), вид ее может не соответствовать пер-воначальной структуре, однако по всем параметрам эти системы рав-носильны. При составлении структурной схемы по описанию выбира-ем число звеньев (равно порядку матрицы А), определяем корни зна-менателей ПФ (s = -1 у блока с переменной х1 на выходе и s = -3 у блока с переменной х3), находим числители ПФ блоков между х2 и х1, между х3 и х2 (оба числителя равны 1). В схеме имеются две отрица-тельные обратные связи: единичная ООС от х1 к х3 и с коэффициентом 3 от х2 к х3. На входе системы находится блок с коэффициентом 2.

Рисунок 51

Матрица А содержит корни характеристического полинома сис-темы (собственные значения) на главной диагонали, однако не соот-ветствует каноническому виду. Каноническая модальная матрица А должна быть диагональной, причем возможны две ее формы: первая содержит в каждой ячейке главной диагонали собственное значение, которое может быть как вещественным, так и комплексным. Сопря-женные комплексные полюса занимают при этом соседние клетки диагонали. Вторая форма модальной канонической матрицы А опери-рует только вещественными числами и имеет блочно-диагональную форму: действительные части комплексных сопряженных корней за-писываются на главной диагонали, а мнимые – в ячейках справа и слева также в виде вещественных чисел. Вид матриц А для системы с характеристическим полиномом D(s) = s3 + 2s2 + 3s + 4 (таблица 6).

Таблица 6

92

Сопровождающая А Диагональная матрица А Блочно-диагональная А

Диагональная матрица А позволяет строить модель системы из независимых, соединенных параллельно простых звеньев.

Пример: переход к переменным состояния разложением на простые дроби заданной передаточной функции (рисунок 52):

Рисунок 52

; или

Если часть системы представлена блоком с s в числителе или неразлагаемым на простые дроби знаменателем, возможно комбини-рованное применение нескольких методов перехода (рисунок 53, а).


Используя каноническую форму наблюдаемости, описываем подобный блок расширенной матрицей А (с увеличенным на единицу числом столбцов), причем в последний ее столбец вставляем вектор b описания блока. Затем заносим готовую подматрицу в полную матри-цу А системы так, что индексы ячейки верхнего левого угла подмат-рицы совпадают с индексом переменной состояния на выходе блока (переменные состояния назначаются методом фазовых переменных). А остальную часть схемы описываем через внутренние и внешние прямые и обратные связи. Описание блока (описание с = [1 0] не тре-буется)

,

93

записанное в полную матрицу А системы, начиная с а11 (на выходе блока назначена переменная состояния х1). Остальные элементы мат-рицы А: а33 = 0 (полюс у входного блока отсутствует), а31 = -1 (есть ООС от х1 к х3), b3 = 2,5 (сигнал u поступает на вход переменной х3)

.

Обратный переход дает структурную схему равносильной моде-ли (рисунок 53,б), в которой все звенья являются простыми.

4.7 Решение уравнения движенияПреобразуем по Лапласу с учетом начальных условий матрич-

ное дифференциальное уравнение

,

где x(0) – вектор начальных значений переменных состояния (началь-ных условий). Группируя и вынося за скобки, получаем

,.

где 1 – единичная матрица необходимого размера. Умножая обе части на (s1 - A)-1, получили решение дифференциального уравнения для переменных состояния x(t), т.е. изменение вектора состояния при из-вестном векторе управления и начальных условиях (внутри системы)

.

Реакция на выходе системы вычисляется с учетом матрицы с

.

Дадим необходимые определения.(s1 – A) – характеристическая матрица, аналог характеристиче-

ского полинома одномерной системы D(s).Ф(s) = (s1 – A)-1 – системная матрица (резольвента), называемая

также передаточной матрицей или матрицей передаточных функций (МПФ) для переменных состояния.

– реальная МПФ для назначенных входов и выходов, совпадает по виду с Ф(s) только в частном случае.

Свободная составляющая– внутри системы,– на ее выходах.

Вынужденная составляющая – внутри системы,

94

– на ее выходах.Если система задана в наблюдаемой форме с упрощенной мат-

рицей с, вместо вектора начальных значений переменных состояния х(0) может непосредственно использоваться вектор y(0) начальных значений рассогласования, скорости, ускорения и т. п. на выходе сис-темы.

Пример: найти при u(t) = δ(t) и начальных условиях y(0) = 1; (0) = -1 уравнения движения системы, описанной матрицами

.

Вектор начальных условий (с учетом представления системы в наблюдаемой форме, т.е. с матрицей с = [1 0], используем значения на выходе системы)

.

Характеристическая матрица

.

Характеристический полином (определитель характеристической матрицы)

.

Резольвента , где присоединенная матрица

.

Алгоритм вычисления присоединенной матрицы: каждый элемент исход-ной матрицы (s·1 – A) заменяют его алгебраическим дополнением и полученная матрица транспонируется (приложение Б).

Заменяем по таблице соответствия изображения на оригиналы

95

.

4.8 Основные матричные функцииСистемная матрица (резольвента) Ф(s) = (s1–A)-1 описывает

множество передаточных функций

.

Частная передаточная функция Фij(s) подразумевает вход сиг-нала на j-ую переменную состояния (точнее на место существования ее производной), а выход с i-ой переменной состояния, т.е. порядок назначения индексов такой же, как и у одномерных систем.

,

Рисунок 54

Это подтверждается независимым вычислением передаточных функций для системы (рисунок 54) от х2 к х1 и от х1 к х2

(начало пути на входе блока).

; .

Если переменные состояния назначены классическим методом, то Ф1n(s) – главная передаточная функция без учета матриц b и с, из-меняющих вид числителя.

Если не было сокращения нулей и полюсов, знаменатели всех ПФ одинаковы и равны характеристическому полиному, а корни ха-рактеристического уравнения являются собственными числами (зна-чениями) матрицы А.

Многомерная система устойчива, если все собственные значе-ния характеристической матрицы имеют отрицательную действи-тельную часть, иначе – все корни характеристического полинома яв-ляются левыми. Вычислив характеристическое уравнение системы

, можно оценить ее устойчивость любым из рассмотренных в разделе 2 способов.

96

Матрицы, элементами которых являются весовые gij(t) или пе-реходные hij(t) функции объекта, называются соответственно весовой (импульсной) g(t) и переходной h(t) матрицами. Их изображения оп-ределяют обычным способом.

– весовая матрица,– переходная матрица.

Матрица Ф(s) входит во все матричные уравнения движения системы, ее оригинал называется фундаментальной матрицей Ф(t, t0). Если отсчет времени начинается с нуля, т.е. t0 = 0, то матрицу обозна-чают просто Ф(t).

Фундаментальная переходная матрица Ф(t) описывает единст-венное решение однородного матричного дифференциального урав-нения .

Каждый элемент фундаментальной матрицы Фij(t) описывает процесс перехода i-ой переменной состояния во времени, если j-ая пе-ременная состояния имеет начальное значение xj(0) = 1.

4.9 Вычисление фундаментальной матрицыЛюбые реакции объекта известны, если известна его фундамен-

тальная матрица. Например, при ступенчатом воздействии на систему

можно сразу найти решение во временной области

Общее изменение во времени вектора состояния x(t) также вы-ражается через фундаментальную матрицу

Используют два принципа вычисления Ф(t):а) поскольку , то Ф(t) определяют как матричную

экспоненту от A∙t.В первом случае для вычисления матричной экспоненты ис-

пользуют разложение в бесконечный ряд или конечный ряд

97

,

где n – порядок системы.Здесь не нужно знать корни характеристического уравнения

системы, но снижается точность из-за ограниченности членов ряда.Во втором случае может быть использована формула Сильвест-

ра , где αi – собственные значения матрицы А (корни ха-

рактеристического уравнения системы), или в развернутом виде

.

Здесь – все разности для других корней,

– все разности этого корня с другими.

Особенности метода – коэффициенты сразу получаются в мат-ричном виде, но обязательно нужно знать корни характеристического уравнения. Приведенная формула пригодна для простых действитель-ных корней характеристического уравнения, для кратных корней ис-пользуется более сложная формула.

б) Ф(t) вычисляется как обратное преобразование Лапласа от системной матрицы Ф(s), или .

Здесь также нужно обязательно знать корни, требуется много-кратное поэлементное преобразование, но зато способ пригоден для любых корней (комплексных, кратных, простых).

Пример: определим Ф(t) методом Сильвестра для системы

.

Вычисляем характеристический полином, находим его корни

; s1 = –1; s2 = –3.

Вычисляем матрицы коэффициентов при собственных модах системы

;

98

;

.

Пример: определение Ф(t) с помощью обратного преобразования Лапласа.

Система .

Вычисляем характеристический полином и находим корни

; s1 = –1; s2 = –3.

; .

Общий вид разложения на простые дроби

.

Находим коэффициенты числителей простых дробей:

k1 = 1,5; k2 = -0,5k1 = 0,5; k2 = -0,5k1 = -1,5; k2 = 1,5k1 = -0,5; k2 = 1,5,

откуда получаем вид системной и фундаментальной матриц

;

.

Найдем реакцию на начальные условия х1(0) = 2, х2(0) = 0, если с=[1 0].

.

4.10 Управляемость и наблюдаемость систем

99

Описание систем одним ОДУ по методу вход/выход имеет огра-ничения, связанные с понятиями управляемости и наблюдаемости. Рассмотрим систему (рисунок 55).

Рисунок 55

Она описывается уравнениями состояния и наблюдения

.

Вычисленная обычным образом передаточная функция системы соответствует первому порядку Wyu(s) = 1/(s+2), хотя на самом деле имеет место система третьего порядка.

Физически видно, что воздействие u(t) не влияет на значение x1(t), т.е. система не управляема по x1. В свою очередь, на выходе y(t) не наблюдается (не измеряется) переменная x2(t), т.е. система не на-блюдается по x2. В ПФ отсутствуют сведения по x1 и x2.

Отсюда следует, что передаточная функция W(s) и матрица пе-редаточных функций описывают только управ-ляемую и наблюдаемую часть системы.

Управляемость систем управления.Система полностью управляема, если существует воздействие

u(t), переводящее ее из любого начального состояния x(0) в заданное конечное x(t) за ограниченный интервал времени t.

Математический признак управляемости (теорема Калмана).Для управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы

матрица управляемости вида Q=[B| AB| A2B|…|An-1B] имела ранг, равный n. При управляемости системы говорят также, что пара (А, В) управляема.

Ранг матрицы (Rank) равен порядку наибольшего минора, от-личного от нуля. Матрица Q составляется присоединением справа к матрице В произведения матриц АВ, затем произведения А(АВ) и т.д. Размерность матрицы Q равна (n x nr), где r – число входов.

100

Ошибка! Закладка не определена.

21s

11s

-1

1

1

1

x1

x2

x3u y

Если матрица Q имеет ранг n уже при некотором ν < n, т.е. RankQ=Rank[B; AB; …; Aν-1B] = n, то наименьшее значение ν, при ко-тором матрица управляемости имеет ранг n, называется индексом управляемости.

Если ранг матрицы B (обозначим его RB) не равен единице, то вычисление матрицы Q можно закончить досрочно, используя при вычислениях формулу Q=[B; AB; …; An-RbB].

Возможны три состояния системы: RankQ = n – система полно-стью управляема, RankQ = 0 – система полностью неуправляема, и со-стояние 0 < RankQ < n – система частично управляема (порядок управляемости равен RankQ).

Пример: оценить управляемость системы (достаточно иметь пару А и b).

Система: . Находим .

Определитель матрицы управляемости , следовательно, ранг

матрицы равен 2, что равно порядку системы n = 2, система полностью управляе-ма.

Пример: оценить управляемость системы (рисунок 55).

Система: Находим:

; ;

; т.к. , ,

то RankQ = 2 ≠ n. Система частично управляема, порядок управляемости равен двум.

Наблюдаемость систем управления.Свойство наблюдаемости дуально (двойственно) свойству

управляемости. Система полностью наблюдаема, если по результатам наблюдения (измерения) выхода y(t) за ограниченный интервал вре-мени можно оценить (восстановить) начальные значения всех пере-менных состояния.

Математический признак наблюдаемости: для полной наблю-даемости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица на-блюдаемости N = [cT; ATcT; (AT)2сT; …; (AT)n-1cT] имела ранг, равный порядку системы n. Символ Т означает транспонирование или пере-вод вектора-строки в вектор-столбец.

101

Говорят также, что пара (А, с) – наблюдаема.Если матрица N имеет полный ранг при некотором μ<n, т.е

RankN = Rank[cT; ATcT; …; (AT)µ-1cT] = n, то наименьшее значение μ, при котором ранг матрицы N равен n, называется индексом наблю-даемости.

Если RankN = n, система полностью наблюдаема, при RankN = 0 система полностью ненаблюдаема, при 0 < RankN < n система частич-но наблюдаема, порядок наблюдаемости равен RankN.

Если ранг матрицы С (обозначим его RC) больше единицы, то число вычислений можно сократить, пользуясь формулой

N = [cT; ATcT; (AT)2сT; …; (AT)n-RccT].

Пример: оценить наблюдаемость системы (достаточно иметь пару А и с)

Система , откуда

; .

RankN = 2 равен порядку системы n = 2, поэтому система полностью на-блюдаема.

Пример: оценить наблюдаемость системы.

Система , откуда

; Δ2 = 0; Δ1 = 1,5.

RankN=1 – система частично наблюдаема, порядок наблюдаемости равен 1.Неуправляемость или ненаблюдаемость системы может прояв-

ляться из-за сокращения нулей и полюсов, например, при объедине-нии подсистем с близкими корнями (рисунок 56), либо при совпаде-нии корней входного воздействия U(s) и системы W(s). Пусть

Рисунок 56

Тогда происходит сокращение .

102

В реальных системах играет роль порядок прохождения сигнала по звеньям: если ближе ко входу сокращаемый ноль, а дальше полюс – имеет место неуправляемость, при обратном порядке – ненаблюдае-мость. Показанная система неуправляема по корню +1 и ненаблюдае-ма по корню -1. Увеличение числа входов/выходов, либо изменение места их приложения позволяет улучшить свойства управляемости (наблюдаемости).

4.11 НаблюдателиВ реальных системах регулирования часть переменных либо не-

возможно измерить вообще, либо они измеряются с большими поме-хами. Отсюда возникает задача оценивания всех переменных x(t) по имеющейся неполной и неточной информации о состоянии многомер-ного объекта. Для решения этой задачи в контур управления включа-ют специальные устройства оценивания – наблюдатели (рисунок 57).

Рисунок 57

Наблюдателем называет-ся компенсирующее устройство в цепи ОС системы, позволяю-щее получить информацию о неизмеряемых переменных со-стояния.

Используют наблюдатели полного порядка n, равного порядку системы, и неполного n – l, где l – число переменных состояния, дос-тупных для измерения. Наблюдатель состояния формируется на базе модели объекта регулирования.

Уравнения объекта ; , уравнения наблюда-теля ; , где – текущее значение оценки выходной переменной y(t); – текущее значение оценки вектора состояния x(t).

Оценки представляют собой величины, аналогичные имеющим-ся у объекта-оригинала, однако вырабатываемые его моделью. Пове-дение модели корректируется за счет обратных связей по выходной ошибке (невязке) с помощью специального векторного вход-ного воздействия наблюдателя uн, при точном совпадении состояний оригинала и модели невязка стремится к нулю.

Вектор ошибок наблюдения (вектор невязок) харак-теризует отклонение состояния модели от состояния объекта регули-рования. Уравнения ошибок наблюдения имеют вид

;.

103

Задача синтеза наблюдателя сводится к выбору входного воз-действия uн, которое обеспечивало бы устойчивость модели, т.е. уст-ранение с течением времени отклонений и . Вектор uн формиру-ется с помощью обратных связей , где kн – вектор-столбец коэффициентов

.

После подстановки , где Ан – матрица наблюдателя (замкнутой системы оценивания). Устойчивость положения равновесия модели и заданные динамические пока-затели качества наблюдателя достигаются за счет соответствующего выбора корней характеристического уравнения наблюда-теля.

Если система полностью наблюдаема, то существует единст-венная матрица обратной связи kн, обеспечивающая получение задан-ных значений корней характеристического полинома наблюдателя.

Общий вид наблюдателя полного порядка для системы второго порядка с ОДУ р2y + a1py + a2y = bu представлен на рисунке 58.

Рисунок 58

Специальное воздействие, улучшающее динамику наблюдателя

.

104

Из характеристического уравнения

очевидно влияние коэффициентов обратной связи по переменным со-стояния наблюдателя на его характеристики.

Практически используются такие способы построения наблюда-телей состояния, как способ параллельной модели и фильтр Калмана.

Способ параллельной модели может использоваться для устой-чивых линейных стационарных объектов. При этом структурная схема (уравнение) наблюдателя полностью повторяет структуру объекта с нормированной по старшему коэффициенту передаточной функцией в каноническом управляемом представлении (рисунок 59), а специ-альное воздействие uн и блок WКУ(s) не используются, например

Рисунок 59

Если объект неустойчив, либо требуется ускорить процесс оцен-ки его переменных состояния, используют фильтр Калмана, который дополнительно содержит стабилизирующую добавку WКУ(s), форми-рующую специальное воздействие uн. При разных начальных усло-виях объекта и наблюдателя , стабилизирующая добавка ускоряет процесс выравнивания y и оценки . Вид характеристического уравнения наблюдателя T2s2+2ξTs+[kWКУ(s)+1]=0 для этого случая подтверждает влияние параметров добавочного звена на устойчивость и динамику наблюдателя. Следует заметить, что использование на-блюдателя практически вдвое увеличивает общий порядок системы.

Если объект содержит нули, наблюдатель в виде параллельной модели для него строится по схеме, представленной на рисунке 43.

105

4.12 Проектирование модального регулятораПри создании замкнутой системы регулирования к объекту до-

бавляется регулятор, что изменяет структурную схему (рисунок 60)

Рисунок 60

и вид уравнений состояния (добавляется управляющее воздействие u)

.

Знак транспонирования указывает на то, что k – вектор-строка. Если обратная связь производится только по x1 (выходу), решение эк-вивалентно выбору корректирующего устройства в цепи ОС системы. Матрицы коэффициентов замкнутой системы могут быть вычислены по параметрам разомкнутой системы (объекта) следующим образом: b = Kbp; d = Kdp; A = Ap - Kbpk = Ap - bk; c = cp – Kdpk = cp – dk.

Наиболее просто в пространстве состояний реализуется модаль-ный регулятор – пропорциональный или П-регулятор с параметрами, выбираемыми единственным образом по желаемому виду характери-стического полинома замкнутой системы регулирования. К парамет-рам регулятора относятся матрица коэффициентов k (вектор-строка), описывающая обратные связи по переменным состояния х1, …, хn, и коэффициент усиления К в блоке, устанавливаемом либо после, либо до главного сумматора (на выходе задатчика), тогда r(t) = r0(t)∙K.

Для получения единственного решения обычно выбирают ко-эффициент передачи К из условия Kbm/an = 1 нулевой ошибки на вы-ходе системы в установившемся состоянии при ступенчатом входном сигнале, а коэффициенты матрицы обратных связей – по формулеki = (ai – aio)/Kb = (ai – aio)/an. Здесь b = bm – коэффициент числителя передаточной функции объекта, ai0 – действительные коэффициенты ее знаменателя, ai – коэффициенты желаемого характеристического полинома, удовлетворяющего заданным требованиям по устойчивости и качеству регулирования. Эти зависимости справедливы только в том случае, если описание системы приведено к каноническому виду.

106

Коэффициент К и матрица k образуют произведение и взаимо-зависимы. Если требуется выбрать К из других соображений, а не из величины установившейся ошибки, изменится и значение элементов k, причем во сколько раз увеличится К, во столько же раз уменьшится k и возрастет числитель главной передаточной функции системы. Для случая, когда блок с коэффициентом К вынесен из контура обратной связи, взаимосвязь его с матрицей k отсутствует и они могут вычис-ляться независимо.

Желаемый характеристический полином замкнутой системы может быть сформирован самостоятельно, либо заимствован из числа типовых. В частности, стандартные переходные функции обеспечи-ваются использованием в системе типовых характеристических поли-номов Баттерворта, Ньютона и т.п. [11]. Так, нормированный полином Баттерворта второго порядка вида s2 + 1,41s + 1 обеспечивает время регулирования 2,9 с и перерегулирование 4,5 %; нормированный по-лином Ньютона вида s2 + 2s + 1 обеспечивает отсутствие перерегули-рования при времени регулирования 4,8 с. Не следует, однако, забы-вать, что указанные характеристики гарантируются только при отсут-ствии у системы нулей.

Пример: ПФ объекта регулирования после нормирования имеет вид

,

заданные показатели качества: время регулирования 6 с, перерегулирование 0,02, выбрать параметры модального регулятора.

Исходя из требований к процессу регулирования замкнутой системы, вы-бираем корни s1, s2 ... sn и определяем эталонный (желаемый) характеристический полином с коэффициентами a1 ... an. Характеристический полином системы третьего порядка будет содержать один действительный корень и два комплекс-ных сопряженных, по которым и будем формировать показатели качества регули-рования, полагая их доминирующими.

При заданном времени регулирования tрег = 6 с степень устойчивости для ошибки Δ = 5% равна αmin = 3/6 = 0,5, отсюда действительная часть комплексного корня будет равна -0,5. Действительный корень принимаем в 10 раз большим, т.е. -5, чтобы исключить его влияние на переходный процесс. По заданной величине перерегулирования σ = 0,02 вычисляем степень колебательности μ = -π/ln(σ) == -3,1415926/ln(0,02) = 0,803, после чего можно вычислить мнимую часть ком-плексного корня β = μ* αmin = 0,803*0,5 = 0,401.

По значениям корней -5 и -0,5 ± j0,401 находим вид желаемого характери-стического полинома

.

Из условия нулевой ошибки регулирования значение коэффициента усиле-

107

ния регулятора K = an/b = 2,05/100 = 0,0205. Значения коэффициентов обратной связи по переменным состояния равны

Замкнутая система регулирования (рисунок 61) содержит объект управле-ния на выходе U(t), наблюдатель в форме, соответствующей каноническому управляемому представлению, П-регулятор с коэффициентом усиления К и об-ратными связями koc по переменным состояния, формируемым наблюдателем.

Рисунок 61

Передаточная функция замкнутой системы регулирования равна

.

Проверка подтверждает, что установившаяся ошибка отсутствует, так как коэффициент передачи в установившемся режиме равен 2,05/2,05 = 1, а получен-ный характеристический полином системы регулирования равен желаемому.

Если для измерения доступна только одна величина на выходе y(t), для создания обратных связей по переменным состояния устанавливают наблюдатель, либо в цепи главной обратной связи системы используют ПД-регулятор с эквива-лентной передаточной функцией Heq(s)

108

.

4.13 Преобразования подобияПроектирование модального регулятора производится только

для объекта, заданного в канонической форме управляемости, тогда как в общем случае система может быть описана произвольными мат-рицами A, b, c, d. Отсюда следует необходимость уметь переходить от одной формы к другой – поскольку все эти системы подобные, такой переход называется преобразованием подобия или базиса.

Введем новый вектор состояния той же размерности, что и ис-ходный вектор, т.е. x(t)=P-1h(t), где Р – матрица преобразования базиса или просто матрица преобразования. Тогда подстановка в стандартное уравнение состояния дает , а, умножив обе части уравнения на матрицу Р, получим . Новая система уравнений состояния и наблюдения объекта имеет вид

откуда следует, что матрицы коэффициентов новой системы равны Ah=PAP-1, Bh=PB, Ch=P-1 (матрица D, при ее наличии, не претерпевает изменений, поскольку не связана с вектором состояний). Задаваясь произвольной матрицей Р необходимого размера, можно получить бесконечное множество описаний одной и той же системы в про-странстве состояний. Однако при любых преобразованиях должны выполняться два важных условия:1) исходная и преобразованная система должны иметь одинаковые собственные значения (характеристические многочлены и их корни);2) преобразование базиса не меняет передаточную функцию системы.

Первое условие мы используем далее для вычисления матрицы преобразования Р, второе может применяться для проверки правиль-ности преобразования.

Рассмотрим приведение к канонической управляемой форме. Доказано, что матрица преобразования в этом случае равна отноше-нию матрицы управляемости новой системы к матрице управляемости исходной, т.е. P = QcQ-1. Проблема состоит в том, где взять параметры новой системы, однако для канонической формы управляемости эта проблема решается достаточно просто – вид матрицы А (сопровож-дающей или матрицы Фробениуса) полностью определяется характе-ристическим полиномом, вид матрицы В также формализован. Таким образом, необходимо найти характеристический полином системы,

109

записать матрицы Ас и bс системы в канонической управляемой фор-ме, вычислить матрицы управляемости обеих систем и по ним матри-цу преобразования Р, с помощью которой осуществляется переход.

Процедура преобразования к канонической наблюдаемой форме аналогична и отличается лишь тем, что используются матрицы на-блюдаемости, причем матрица преобразования базиса вычисляется по отношению матрицы наблюдаемости исходной системы к матрице на-блюдаемости новой P = NNо

-1.Обратный переход, т.е. возвращение к исходной системе, на-

пример, после выбора параметров модального регулятора, во всех случаях осуществляется применением матрицы Р в обратном порядке, т.е. A = P-1AhP, B = P-1Bh, C = ChP, k = khP, где kh – матрица обратных связей замкнутой системы по переменным состояния.

Рассмотрим выбор параметров модального регулятора с преоб-разованием объекта к канонической форме управляемости для случая u(t) = K∙r(t) - k∙x(t), когда коэффициент К вынесен из контура обрат-ных связей по переменным состояния и включен в задатчик (рисунок 62). Такое построение регулятора требует меньше вычислений благо-даря независимости коэффициента К и матрицы k друг от друга.

Рисунок 62

Преобразуемый объект третьего порядка описывается системой уравнений

.

Характеристический полином объекта равен D(s)= s3+s2+3s+3, матрица управляемости

.

110

Используя вычисленный характеристический многочлен, запи-сываем сопровождающую матрицу Ас, затем для пары (Ас, bc) найдем матрицу управляемости Qс новой системы и матрицу преобразования Р=QcQ-1

; ; .

Применяя формулы Ас=РАР-1, bc=Pb, cc=cP-1, найдем описание той же системы в канонической форме управляемости (учитывая, что две матрицы были нам уже известны, оставалось вычислить лишь сс)

.

Предположим, что необходимо спроектировать модальный ре-гулятор при требовании, чтобы система в замкнутом состоянии имела характеристический полином D(s) = s3 + 4s2 + 6s + 4. Отдельно нахо-дим коэффициент усиления регулятора К = a3c/cc(1) = 4/2 = 2 из усло-вия равенства свободных членов числителя и знаменателя ПФ замкну-той системы, т.е. нулевой установившейся ошибки (если переменные состояния назначены в схеме не методом фазовых переменных, т.е. не с конца, индексы коэффициентов могут меняться, однако в любом случае это должно быть отношение свободных членов числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, соответст-вующих индексу переменной состояния, назначенной на выходе).

Далее записываем матрицу Ас замкнутой системы согласно тре-бованиям к проектируемой установке и преобразовываем ее с помо-щью матрицы Р к исходной схеме (матрицы b и с не изменялись и по-этому не нуждаются в преобразовании)

.

Сравнение первоначальной и вновь вычисленной матриц А об-наруживает несовпадение элементов a31 и а33, что позволяет вычис-лить необходимые значения коэффициентов матрицы обратных связей регулятора по переменным состояния k3= 0-(-1) =1; k2=0; k1= 0-(-3) = 3 (напомним, что для фазовых переменных коэффициенты записывают-

111

ся в обратном порядке). Отрицательная обратная связь организуется посредством инвертирующего входа сумматора (рисунок 38).

Мы использовали в данном случае нестандартный подход, а обычный путь при проектировании регулятора с вынесенным на вы-ход задатчика блоком К заключается в вычислении коэффициентов матрицы k обратных связей по переменным состояния замкнутой сис-темы, как разницы между значениями коэффициентов нового и старо-го характеристического полиномов, т. е. kc3=ac3 – a3=4-3=1; kc2=6-3=3; kc1=4-1=3 и ее обратном преобразовании с помощью матрицы Р

.

112

5 Синтез систем автоматического регулирования

5.1 Функциональная и структурная схемыПри разработке систем регулирования используют различные

графические модели: графы, полные (принципиальные) схемы, функ-циональные структурные схемы, алгоритмические структурные схе-мы.

Принципиальная схема отображает конструктивные особенно-сти системы с необходимой степенью детализации и позволяет полу-чить представление о принципах работы. Например, принципиальная схема САР напряжения генератора постоянного тока (рисунок 63) включает генератор постоянного тока G с обмоткой возбуждения ОВг, электромашинный усилитель ЭМУ с обмотками опорной и возбужде-ния ОВэ, резистор задатчика Rз, включенный на образцовое напряже-ние Uo, и резистор Rд датчика в цепи обратной связи, включенный на выходное напряжение генератора Uвых.

Рисунок 63

Источники напряжения в цепи обратной связи включены встречно, что соответствует сумматору с инвертирующим входом, по-этому напряжение на обмотке возбуждения ОВэ равно разности

. В зависимости от знака, это напряжение добавляется к опорному или вычитается из него, соответственно изменяются напряжение Uв на выходе ЭМУ и Uвых на выходе генератора относи-тельно номинального значения, устанавливаемого величиной опор-ного напряжения.

Функциональная (блочная) схема отображает систему регулиро-вания в виде совокупности блоков, выделенных по выполняемым в процессе регулирования функциям. В разных областях техники ис-пользуется разный набор типовых функциональных блоков. Для сис-тем регулирования это чаще всего:

ОУ (ОР) – объект регулирования;ИП – измерительный преобразователь (датчик), устройство для

измерения контролируемых величин и преобразования их в необхо-димые по виду и значению сигналы;

113

ЗУ – задающее устройство (задатчик), в простейшем случае представляет собой потенциометр, в более сложном, например, фор-мирует образцовую функцию по заданной программе;

СУ – сравнивающее устройство (сумматор), приспособление для выделения разности сигналов, может быть реализовано способом со-единения разных блоков системы, например, встречно-последова-тельным;

_У – усилительное устройство, обычно в начале обозначения указывается особенность конструкции усилителя, например, МУ (магнитный), ЭМУ (электромашинный), ЭУ (электронный);

КУ – корректирующее устройство, используемое для улучшения устойчивости и качества системы;

ИУ – исполнительное устройство, чаще всего контактор, клапан;РО – регулирующий орган, например, задвижка, вентиль с элек-

тромеханическим приводом, в отличие от ИУ осуществляет измене-ние регулируемой величины плавно.

Эти элементы могут объединяться, отсутствовать и во многих случаях не совпадают с конструктивным делением системы. Напри-мер, функциональная схема той же САР напряжения генератора по-стоянного тока (рисунок 64) будет содержать следующие элементы.

Рисунок 64

Структурная схема отображает САР в виде совокупности типо-вых динамических звеньев, соответствующих реализуемым в разных частях системы уравнениям статики или динамики при стандартных начальных условиях и возмущениях (рисунок 65).

Рисунок 65

По сути, это графическая запись математических формул. Раз-ные по конструкции и назначению элементы могут характеризоваться одинаковыми уравнениями (звеньями). Число звеньев и конструктив-

114

ных элементов в системе не всегда совпадает, например, один конст-руктивный элемент может быть представлен несколькими уравне-ниями (звеньями), соединенными определенным образом.

Характер уравнений вытекает из характера конструктивного элемента и его технических данных. Например, электрический двига-тель постоянного тока с независимым возбуждением, входным воз-действием которого является ЭДС еи от источника регулируемого на-пряжения, а выходной величиной – частота вращения вала n (об/с), описывается передаточной функцией апериодического звена второго порядка .

Здесь kд = 1/сеФ – коэффициент передачи двигателя по управ-ляющему воздействию, (об/с)/В; Тя = Lя/rя – электромагнитная посто-янная времени якорной цепи, с; Тм = 2πJrя/сесмФ2 – электромеханиче-ская постоянная времени, с; J – динамический момент инерции вра-щающихся масс (якоря, редуктора, рабочей машины), приведенных к валу двигателя, кг·м2; rя и Lя – соответственно активное сопротивле-ние и индуктивность цепи якоря, включая выходные цепи источника напряжения, Ом и Гн; се и см – конструктивные постоянные двигателя, В·Вб-1/(об/с), Н·м/(А·Вб); Ф – магнитный поток возбуждения, Вб.

Для большинства типовых элементов САР параметры и правила их приведения к типовым передаточным функциям указаны в спра-вочниках.

5.2 Типовые динамические звеньяВ структурной схеме реальные элементы заменяются типовыми

звеньями, характеризующими динамику процесса (линейные звенья) или его статику (нелинейные звенья). Элементарное звено должно:- иметь только одну зависимую переменную, достаточную для пол-ного описания звена;- иметь дифференциальное уравнение не выше второго порядка;- обладать детектирующими свойствами (однонаправленностью);- не менять свойств при подключении других звеньев.

Передаточную функцию типовых звеньев принято нормировать по свободному члену, тогда общий коэффициент k = bm/an сразу равен коэффициенту усиления в установившемся режиме.

К типовым динамическим звеньям обычно относят усилитель-ное 1, интегрирующее 2, инерционное 3, звено второго порядка 4 (апериодическое, колебательное, консервативное), дифференцирую-щее 5, форсирующее звено первого и второго порядка 6, звено чистого запаздывания 7. В передаточной функции системы они занимают сле-дующее место

115

Типовые звенья являются не только устойчивыми, но и мини-мально-фазовыми – это означает, что как в знаменателе, так и в чис-лителе у них отсутствуют корни с положительной действительной ча-стью. Минимально-фазовые звенья имеют при одинаковых с иными звеньями АЧХ наименьшие по модулю фазовые характеристики (ми-нимальную конфигурацию годографа). Между амплитудной и фазо-вой характеристиками таких звеньев имеется однозначное соответст-вие, поэтому достаточно иметь АЧХ, а ФЧХ строится по шаблону.

Усилительное звено (пропорциональное, безинерционное) – это звено, выходная величина которого в любой момент времени пропор-циональна входной величине. Возможно как усиление (k > 1), так и ослабление (k < 1) сигнала.

Дифференциальноеуравнение Передаточная функция Комплексный

коэффициент передачи

y=kx W(s)=k W(jω)=k

Переходнаяхарактеристика АФЧХ ЛЧХ

Примеры реализации – делитель на резисторах, рычажная пере-дача, сопряженная пара шестерен, инвертирующий усилитель.

Интегрирующее звено (астатическое, нейтральное) – это звено, скорость изменения выходной величины которого пропорциональна входной величине. Можно сказать иначе – выходная величина про-порциональна интегралу входной величины.



или или

116

1 5 2 3 6 4 6 7

sesTsTsTsssssksW

)1)(1()1)(1()(

22

10

2210

tk

h(t)

k Re

jIm

L

lgω

20lgk

0


На всех частотах интегратор создает отставание выходного сиг-нала от входного на 90о, он является фильтром низких частот (ФНЧ). Примеры реализации – емкость, наполняемая насосом с постоянной производительностью, интегратор на операционных усилителях.

Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка) – это звено, выходная величина которого при ступенчатом входном воз-действии стремится к установившемуся значению по экспоненте.

Дифференциальное уравнение

Передаточнаяфункция

Комплексныйкоэффициент передачи


Является типичным фильтром низких частот (ФНЧ). При увели-чении времени исследования t>>T инерционное звено приобретает свойства усилительного звена, а при уменьшении t<<T – интегри-рующего. Примеры реализации – нагревательная печь, лампа накали-вания, термопара, электродвигатель, RC-делитель.

Постоянная времени T численно равна длине отрезка, отсекае-мого на линии установившегося значения касательной, восстановлен-ной к характеристике из начала координат. Иной способ определения – это время достижения 0,63 от установившегося значения. Время ус-

117

t

h(t)Re

jIm

L

lgω

20lgk

0-90о

-90о

0

L

t

h(t)

lgω

20lgk

0-90о

kT

0,63

jImRek

-k/245o

k/2

3 дБ3T

тановления (завершения переходного процесса) инерционного звена равно примерно 3Т.

Звено второго порядка – этим именем описывается несколько звеньев, конкретный тип звена определяется характером корней квад-ратного трехчлена, вид дифференциального уравнения общий для всех звеньев второго порядка.

Апериодическое звено – это звено второго порядка, реакция ко-торого при ступенчатом входном воздействии образуется двумя про-тивопоставленными экспонентами. Оно имеет место при выполнении условия a1

2 ≥ 4a0, т.е. при чисто вещественных корнях характеристи-ческого уравнения D(s)=a0s2+a1s+1=0, нормированного по свободно-му члену.




или ,


Как правило, постоянной Т4 называют ту из двух постоянных времени, значение которой меньше, т.е. выполняется условие Т4<<T3. Между постоянными времени выполняются соотношения T1=T3+T4, T2

2=T3T4. Критический случай имеет место при кратных корнях T3=T4.Реализация соответствует двум последовательно соединенным

инерционным звеньям. Характерная особенность АФЧХ – модуль вектора постоянно убывает при увеличении частоты от 0 до бесконеч-ности. Характерная особенность ЛАЧХ – два перелома вниз на часто-тах сопряжения с отклонением каждый раз на -20 дБ/дек.

Колебательное звено – это звено, выходная величина которого при ступенчатом входном воздействии стремится к новому устано-вившемуся значению, совершая относительно него экспоненциально затухающие колебания. Звено имеет место при условии 0<a1

2<4a0, со-

118

L

h(t)

t

k

jImRek

lgω

20lgk

0ω=1/T2 -180o

Т1

Т4

ответствующем комплексным сопряженным корням характеристиче-ского уравнения.




или ,


Здесь – показатель затухания (демпфирования), для колебательного звена лежит в пределах 0 << 1, для апериодического звена второго порядка 1, = /T = 0 = 1/(2T0)·ln(a2/a1).– действительная часть корня характеристического уравнения, 0 – собственная частота колебаний. Выброс (пик) ЛАЧХ h наблюдается на частоте сопряжения с = при ξ < 0,707. Уклон в конце ЛАЧХ равен –40 дБ/дек. Без резонанса разница между реальной и асимптотической ЛАЧХ равна минус 6 дБ, большее значение уже говорит о наличии резонанса. Чем меньше , тем выпуклей АФЧХ, тем выше пик ЛАЧХ, тем круче ЛФЧХ в точке резонанса.

Примеры реализации – физический маятник, защемленная бал-ка, вибрирующий контакт, качания синхронного электродвигателя в процессе синхронизации с источником питания и т.п.

Для быстрого распознавания типа звена – колебательное или апериодическое второго порядка, проверяются условия: при записи знаменателя в общем виде a0s2+a1s+1 звено колебательное, если a1

2<4a0 или показатель затухания ξ = a1/(2 )<1, для записи в виде T2

2s2+T1s+1 колебательному звену соответствует соотношение T1<2T2. Рост постоянной времени Т2 увеличивает размах колебаний, рост Т1

уменьшает (демпфирует) их.Консервативное звено (идеальное колебательное) – это звено,

выходная величина которого при ступенчатом входном воздействии

119

Lh(t)

t

k

jIm

Rek lgω

20lgk

0ωc=1/T2

-180o

T0

a2a1

lg(ωc)

совершает колебания с постоянной амплитудой. Оно имеет место при условии a1 = 0 ( = 0), т.е. при чисто мнимых корнях характеристиче-ского уравнения.

Дифференциальное уравнение Передаточная функция Комплексный


или

Переходнаяхарактеристика

АФЧХ ЛЧХ

Примеры реализации – генератор синусоидальных колебаний, осуществим только при наличии подпитки от постороннего источ-ника.

Дифференцирующее звено – это звено, выходная величина ко-торого пропорциональна скорости изменения входной величины.



или или


120

Lh(t)

tk

jImRek

lgω

20lgk

0

-180o

T0

lg(ωc)

Идеальное дифференцирующее звено создает опережение вы-ходного сигнала относительно входного на 90о для всех частот и явля-ется фильтром высокой частоты (ФВЧ). Физически такое звено не-осуществимо (m > n), поэтому на практике используется реальное дифференцирующее звено.

Реальное дифференцирующее звено – это совокупность инер-ционного и идеального дифференцирующего звеньев, соединенных последовательно.

Дифференциальноеуравнение




Реальное интегрирующее звено – это последовательное вклю-чение интегратора с инерционным звеном.





121

L

t

h(t)

Re

jIm

lgω

20lgk

0

90о

90о

0

t

h(t)

k/T

T

Re

jIm

k/T

L

lgω

20lgk

090о

45o

=1/T

2Tk

2Tk

0

lgωc

Форсирующее звено первого порядка – самостоятельного зна-чения не имеет, как и форсирующее звено второго порядка, может ис-пользоваться только в совокупности с другим звеном при m ≤ n. У форсирующих звеньев перелом ЛЧХ происходит вверх, а выброс кор-ректируется вниз.


Передаточная функция Комплексныйкоэффициент передачи


Реализация соответствует параллельному соединению пропор-ционального и дифференцирующего звеньев.

Запаздывающее звено (звено чистого запаздывания) – повто-ряет входное воздействие на выходе без изменения масштаба или формы, но с задержкой на время чистого запаздывания.




122

t

h(t)kT*(t)

k Re

jIm

k

lgω

20lgk

090о

L

t

h(t)L

lgω

20lgk

0-90о

-180о

Re jIm

-kT

T

arctg(k) 0

Наиболее характерный пример реализации – транспортер. За-паздывание в системе имеет место всегда, если точки воздействия на объект регулирования и контроля результатов воздействия разнесены в пространстве, например, при регулировании толщины проката.

Для приведения передаточной функции звена к обычному виду рациональной дроби используют разложение в ряд Паде, например, разложение первого порядка

.5.3 Непрерывные регуляторы и законы регулированияЗаконом регулирования называют функциональную связь между

управляющим воздействием на выходе регулятора и ошибкой регули-рования на его входе. Особенность в том, что назначение регулятора – свести к минимуму (нулю) свою входную величину. Перечислим типы линейных непрерывных регуляторов и законы регулирования:- П-регулятор – регулирование по отклонению действительного зна-чения управляемого параметра от заданного;- И-регулятор – регулирование по интегралу отклонения по времени;- ПД-регулятор – регулирование по отклонению и производным от-клонения по времени;- ПИ-регулятор (изодром) – регулирование по отклонению и инте-гралу отклонения по времени;- ПИД-регулятор - регулирование по отклонению, интегралу и произ-водным отклонения по времени.

Пропорциональный П-регулятор (статический) имеет закон ре-гулирования u(t) = kр(t), передаточную функцию W(s) = kр и характе-ристику регулирования (рисунок 66, а). Он обеспечивает самый быст-рый переходный процесс, но имеет статическую ошибку регулирова-ния.

Величину, обратную коэффициенту усиления регулятора kр, на-зывают статизмом или коэффициентом неравномерности регуля-тора. Разность между максимальным и минимальным установивши-мися значениями регулируемой величины называется абсолютной статической неравномерностью.

123

t

h(t)

L

lgω

0

0-180о

-360о

Re

jIm

1-1

а б в г дРисунок 66

Интегральный И-регулятор (астатический) имеет закон регули-

рования , передаточную функцию и показан-

ную на рисунке 66, б характеристику регулирования. Достоинство ре-гулятора – отсутствие статической ошибки, в установившемся режиме заданное значение регулируемой величины поддерживается при лю-бом значении возмущения. Недостатком является большое время на-растания (регулирования).

Пропорционально-интегральный ПИ-регулятор (изодром) имеет

закон регулирования , передаточную функцию

и характеристику регулирования (рисунок 66, в). За

счет П-составляющей ускоряется процесс перехода к новому устано-вившемуся состоянию, за счет И-составляющей исключается остаточ-ная неравномерность. Регулятор реализуется параллельным соедине-нием интегратора и усилительного звена. Постоянная времени Tи на-зывается также временем удвоения, поскольку численно равна вре-мени удвоения значения пропорциональной части.

Пропорционально-дифференциальный ПД-регулятор (регулятор

с предварением) имеет закон регулирования ,

передаточную функцию и характеристику регулирова-ния (рисунок 66, г). После броска управления в момент появления воз-мущения характеристика переходит на уровень, соответствующий по-зиционной части с коэффициентом регулирования kp. Включение про-изводной в закон регулирования позволяет предвидеть изменение ре-гулируемого параметра, что особенно важно при резких и больших возмущениях для объектов со значительной инерцией. Вследствие предварения время переходного процесса и амплитуда колебаний ре-гулируемой величины могут быть уменьшены (это другой способ ис-ключения ошибки регулирования, более быстрый по сравнению с дей-ствием интегратора, но менее точный).

124

Регулятор реализуется параллельным соединением дифферен-цирующего и усилительного звеньев (в виде форсирующих звеньев первого и второго порядка). В энергетике называется регулятором сильного действия и применяется для форсировки напряжения генера-торов при коротком замыкании (КЗ) в энергосистеме.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный ПИД-регу-лятор (изодром с предварением) имеет закон регулирования

, ПФ и ха-

рактеристику регулирования (рисунок 66, д). В момент возмущения превалирует регулирование по производной отклонения выходной ве-личины от заданного значения, интегрирующая часть действует на устранение ошибки в течение всего времени ее существования, но проявляется в конце переходного процесса.

Для всех регуляторов с И-составляющей характерно то, что при приближении ошибки (т.е. входного сигнала регулятора) к нулю вы-ходная величина регулятора (управление) фиксируется на некотором уровне, который может не совпадать с предшествующим уровнем управляющего воздействия. Д-регулятор отдельно не применяют, так как его действие приводит к неустойчивости системы, которая начи-нает реагировать на любые помехи и колебания входной величины, не осуществляя в то же время регулирование в установившемся режиме.

Регуляторы могут выполняться с независимым исполнением со-ставляющих (такие регуляторы дороже, сложнее по конструкции, но их легче настраивать) и интерактивными, с взаимным влиянием со-ставляющих закона регулирования (это более дешевые и простые по конструкции регуляторы, настройка которых предусматривается еди-ножды, в заводских условиях, за счет выбора параметров элементов схемы). Современные регуляторы реализуются на микропроцессорах.

5.4 Свойства объектов управленияВыбор типа проектируемой САР и качество регулирования за-

висят от свойств самого объекта регулирования. К статическим свой-ствам объекта регулирования относятся емкость и самовыравнивание, к динамическим – время разгона, постоянная времени и запаздывание.

Емкость – это способность объекта регулирования (одно- или многоемкостного) накапливать энергию, сохранять уровень жидкости, давление газа, скорость вращения и иные регулируемые параметры. Чем меньше емкость, тем быстрее изменяется регулируемая величина при возмущении, тем труднее осуществлять регулирование.

125

Самовыравниванием называется способность объекта регулиро-вания приходить после возмущения к новому устойчивому состоянию без участия регулятора. Степень самовыравнивания определяется ко-эффициентом ρ = 1/kв, где kв – коэффициент передачи возмущающего воздействия. Существуют объекты с положительным самовыравнива-нием (статические), без самовыравнивания (нейтральные, астатиче-ские) и с отрицательным самовыравниванием (неустойчивые).

Время разгона характеризует инерцию объекта, это время, необ-ходимое для изменения значения регулируемого параметра от нуля до номинального значения при полной нагрузке объекта.

Постоянная времени для объектов без самовыравнивания (аста-тических) равна времени разгона, для объектов с самовыравниванием равна времени уменьшения отклонения регулируемого параметра от заданного значения в 2,71 раза (времени достижения величины 0,63 от установившегося значения).

Запаздывание – время отставания начала изменения величины регулируемого параметра от момента возмущения. Существует пере-ходное (емкостное) запаздывание, например, из-за гидравлического сопротивления трубы, и передаточное (чистое), например, за счет времени прохождения расстояния (называется также транспортным).

При создании системы регулирования нередко приходится ре-шать задачу идентификации, т.е. построения математической модели объекта регулирования на основе анализа его входных и выходных сигналов.

В большинстве случаев идентификация производится по пере-ходной характеристике объекта (кривой разгона), причем в первом приближении предполагается модель не выше второго порядка, т.е. совокупность инерционного и запаздывающего звеньев (рисунок 67, а, б), либо совокупность двух инерционных звеньев (рисунок 67, в), на-конец, колебательное звено (рисунок 67, г).


Перед анализом необходимо провести сглаживание и усредне-ние экспериментальных данных для исключения случайных помех измерения. Объект с кривой разгона «а» представляется моделью вида

126

, у которой коэффициент k равен отношению устано-вившегося значения характеристики y∞ к величине воздействия x, время чистого запаздывания τ – длине начального участка с y = 0, а постоянная времени Т – времени возрастания характеристики до 0,63 установившегося значения. Аналогично, хотя и с погрешностью в на-чальной части, может быть представлен объект с кривой разгона «б». Аппроксимация передаточной функции считается удовлетворитель-ной, если теоретическая и экспериментальная кривые разгона отлича-ются по ординате не более, чем на 3 %.

Следует заметить, что наличие в системе звена чистого запазды-вания ухудшает ее свойства, и поэтому предпочтительнее аппрокси-мация апериодическим звеном второго порядка (рисунок 67, в). Ха-рактерной точкой кривой переходного процесса является точка пере-гиба М, соответствующая середине линейного участка характери-стики (моменту изменения знака второй производной) и времени tп. Обозначим расстояния от кривой до линии установившегося значения в точке М, как а, а в точке 2tп, как b, и запишем передаточную функ-цию системы в виде

.

Тогда определение параметров модели производится следую-щим образом. Проводится касательная в точке перегиба М переход-ной характеристики, которая отсекает на линии установившегося зна-чения отрезок, равный сумме постоянных времени Т2 = Т3 + Т4. Боль-шая из двух постоянная времени Т3 равна

.

По экспериментально снятой переходной характеристике коле-бательного звена (рисунок 67, г) его параметры определяют следую-щим образом. Коэффициент передачи, как указывалось выше, равен отношению y∞ к величине воздействия x. Частота колебаний ω0 = 2π/Т0, где Т0 измеряется между двумя любыми максимумами (точками одноименных переходов кривой линии установившегося значения). Действительная часть корня равна α = Т0

-1ln(a2/a1), где a2/a1

– отношение соседних (через период Т0) однополярных амплитуд. По-стоянная времени и коэффициент демпфирования звена определяются из соотношений

127

, ,

после чего записывается передаточная функция системы в виде

.

5.8 Линеаризация нелинейных объектовАппарат описания непрерывных линейных систем проще аппа-

рата, применяемого для нелинейных систем, и характеризуется общ-ностью подхода, поэтому при построении модели объекта или систе-мы регулирования обычно производят линеаризацию.

Линеаризируются нелинейные характеристики, не имеющие разрывов или изломов, при небольших отклонениях выходного пара-метра от заданного (номинального) режима.

Если статическая характеристика задана графически, обычно используются методы касательной или секущей. Пусть задана нели-нейная характеристика y = f(x) и точка номинального режима (рису-нок 68, а) с координатами (x0, y0).


Для линеаризации этой характеристики через рабочую точку проводится касательная к кривой, описываемая уравнением y = a + bx, где b = tgα. Если начало координат перенести в рабочую точку, то ра-бочее уравнение может быть записано в отклонениях Δy = b·Δx = k·Δx. Диапазон, в котором характеристика считается линейной, определяет-ся из максимально допустимых отклонений y1пр – y1д ≤ Δ, где Δ – за-данное отклонение, которое обычно принимается в пределах 3 % от номинальной величины y0.

При линеаризации нелинейной характеристики методом секу-щей (рисунок 68, б) через точки А1 и А2 с ординатами предельного ре-жима проводится секущая, а затем параллельно ей касательная к кри-вой. Линейная характеристика объекта выбирается между этими пря-мыми, а начало координат может быть перенесено в любую точку, лежащую на этой характеристике в диапазоне (x1, x2).

128

С изменением режима работы нелинейной системы или диапа-зона (x1, x2) линеаризацию необходимо выполнить повторно.

Если нелинейная функция y = f(x) задана аналитически и извест-на точка номинального режима с координатами (x0, y0), для ее линеа-ризации используют разложение в ряд Тейлора с ограниченным чис-лом членов

Пренебрегая малыми нелинейностями высокого порядка при небольших отклонениях (x – x0) считают, что функция преобразования описывается уравнением

, где =const.

Перенося начало координат в рабочую точку (x0, y0), получают

.

Пример. Выполним линеаризацию статической характеристики электро-магнита Ф = Вi0,17 в точке J0. Разложим функцию, связывающую между собой магнитный поток Ф (выходная величина) и ток в обмотке электромагнита i (вход-ная величина) в ряд Тейлора с двумя первыми членами разложения

откуда . Перенеся начало координат в точку (J0, Ф0), получим линеаризованную статическую характеристику электромагнита в прира-щениях .

5.5 Корректирующие звеньяК основным способам исправления (коррекции) характеристик

систем в процессе проектирования относятся изменение параметров системы путем настройки и изменение структуры системы путем вво-да дополнительных звеньев (корректирующих устройств).

Корректирующие устройства (КУ) делят на четыре класса:- последовательные корректирующие устройства (фильтры);- параллельные корректирующие устройства, выполняемые в виде до-полнительных местных ОС;- корректирующие устройства по внешнему воздействию (инвариант-ные);- корректирующие устройства в цепи главной ОС.

129

Последовательные КУ включаются согласно в цепь главной прямой связи разомкнутой системы последовательно с объектом (ри-сунок 69,а), либо последовательно с одной частью системы и парал-лельно с другой (рисунок 69, б).


Корректирующие звенья могут представлять собой типовые ре-гуляторы. При этом:- включение П-регулятора увеличивает общий коэффициент усиления системы, уменьшает статизм, т.е. ошибку регулирования, повышает точность системы, но уменьшает запас устойчивости;- включение И-регулятора повышает астатизм разомкнутой системы и исключает статическую ошибку, но ухудшает устойчивость;- включение ПД-регулятора – при вводе производной по ошибке до-бавляется положительная фаза, радиус-векторы АФЧХ поворачивают-ся против часовой стрелки, увеличивая запас устойчивости и улучшая качество переходного процесса;- включение ПИ-регулятора улучшает точность, практически не влияя на устойчивость.

Параллельные КУ (рисунок 70) выполняются в виде местных обратных связей, охватывающих часть существующих блоков систе-мы. Для коррекции используются: Рисунок 70- жесткая обратная связь Wk(s)=koc;- инерционная жесткая ОС Wk(s)=koc /(Tocs+1);- гибкая обратная связь Wk(s)=koc s;- инерционная гибкая ОС Wk(s)=koc s/(Tocs+1).

Корректирующая обратная связь может быть как отрицатель-ной, так и положительной. Жесткая ОС устраняет интегрирующие свойства звена (его астатизм), гибкая ОС сохраняет их.

Инвариантные КУ предназначены для снижения влияния внеш-них воздействий на поведение системы. Инвариантностью называется нечувствительность системы к изменению ее параметров, режимов работы, внешних воздействий и т.п. При введении коррекции по

130

внешнему воздействию теоретически возможно свести величину ус-тановившейся ошибки к нулю.

Рисунок 71

Создадим КУ по задающему воз-действию (рисунок 71). Для полной компенсации ошибки от задания необ-ходимо обеспечить равенство нулю со-ответствующей передаточной функции

,

откуда следует 1- Wk(s)Wo(s) = 0 и, окончательно, Wk(s) = 1/Wo(s).

Рисунок 72

Рассмотрим КУ по воз-мущающему воздействию (ри-сунок 72). Для полной компен-сации ошибки от возмущения нужно обеспечить равенство нулю соответствующей переда-точной функции

,

откуда следует Wk(s) = W3(s)/W1(s).Важное преимущество метода: в обоих случаях улучшение точ-

ности достигается без изменения знаменателя передаточной функции, т.е. устойчивость системы и качество переходного процесса не ухуд-шаются. К недостаткам метода обычно относят то, что не все возму-щения можно измерить (наблюдать), не всегда известна передаточная функция W3(s) на входе для возмущений.

Неединичная главная обратная связь, как правило, изменяет вид характеристического уравнения, а, следовательно, влияет одновре-менно на устойчивость и качество регулирования. Этим обусловлены и достоинства, и недостатки метода.

Рисунок 73

Запишем ПФ системы (рисунок 73)

.

Для полной инвариантности системы по задающему воздейст-вию Y(s) = R(s) передаточная функция должна быть равна единице, откуда и следует Wk(s)=[Wo(s)-1]/Wo(s)=1-1/Wo(s).

131

Качественные характеристики системы регулирования могут изменяться в результате старения, износа конструкций, кроме того, действительные параметры элементов системы могут изначально от-личаться от расчетных в пределах допуска. Влияние изменения пара-метров САР на ее статические и динамические свойства называют па-раметрическими возмущениями, а возникающие при этом отклонения от расчетных характеристик – параметрическими ошибками.

Чувствительность характеризует степень изменения показате-лей качества системы в результате отклонения ее параметра от исход-ного или расчетного значения. Противоположное свойство называется грубостью, а системы, сохраняющие свои свойства в заданных грани-цах при любых параметрических возмущениях, называются грубыми или робастными.

Количественными оценками чувствительности служат функции или коэффициенты чувствительности. Функция чувствительности представляет собой частную производную выбранного показателя (например, запаса устойчивости, W(s), σ, tрег) по варьируемому пара-метру, откуда и определяется значение параметра, минимизирующее чувствительность системы. Чем меньше значения функции (коэффи-циента) чувствительности и грубее система, тем выше ее качество ре-гулирования, тем стабильнее ее поведение во времени.

5.6 Синтез систем регулирования по ЛАЧХПоследовательные КУ часто выбирают, используя ЛЧХ, в сле-

дующем порядке:- строят реальную ЛАЧХ разомкнутой системы;- строят желаемую ЛАЧХ по заданным показателям качества;- находят разностную ЛАЧХ;- подбирают к ней структуру фильтра (корректирующего устройства);- проверяют полученный результат построением временных и частот-ных характеристик новой системы управления.

У желаемой ЛАЧХ выделяют три части – низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Добротность К и астатизм НЧ-асимптоты определяются по требуемой точности в установившемся режиме.

Центром среднечастотной части является пересечение ЛАЧХ с осью частот на частоте среза ðåãñð tk / , где коэффициент k прини-мают равным 1,3 … 2,5 для перерегулирования σ = 15 … 30 %. Наклон этой части обычно равен -20 дБ/дек, что обеспечивает запас устойчи-вости по фазе приблизительно 45°. Слева и справа среднечастотная

132

часть ограничена частотами ωmin и ωmax, выбираемыми по одному из условий:

а) ,б) расстояние 0,5-0,9 декады между частотами ωmin и ωmax.Общее замечание – чем больше интервалы ωmin- ωср и ωср -ωmax,

тем быстрее затухает переходный процесс.Точки, соответствующие ωmin и ωmax, соединяют с реальной

ЛАЧХ линиями с наклоном (-40 … -60) дБ/дек. Высокочастотная часть ЛАЧХ обычно совмещается с реальной, что позволяет сохра-нить порядок системы.

Пример: система имеет реальную ЛАЧХ (рисунок 74).По показателям качества выбрана частота среза ωср, через которую с на-

клоном -20 дБ/дек проведен отрезок: влево – до частоты ωmin, выбранной на рас-стоянии 0,5 декады от частоты среза, вправо – до пересечения с высокочастотной асимптотой реальной ЛАЧХ, что будет соответствовать ωmax. Точка ωmin соединена с реальной ЛАЧХ отрезком с наклоном -40 дБ/дек.

Рисунок 74

По частотам сопряжения этих двух характеристик получены значения по-стоянных времени Т1 – Т4 и построена разностная ЛАЧХ, что позволяет опреде-лить углы наклона на каждой частоте. Отсюда получаем параметры последовательного корректирующего звена

.

5.7 Системы регулирования с запаздываниемНаряду со стандартными линейными системами регулирования

существуют особые, к которым относятся:- САУ с запаздыванием;- САУ с распределенными параметрами;- САУ с переменными параметрами (нестационарные);- дискретные линейные САУ.

Наиболее часто в инженерной практике встречаются системы с запаздыванием, имеющие по крайней мере одно звено, реакция на вы-

133

ωmin

желаемая ЛАЧХ

разностная ЛАЧХ

ωmax

ωср1/T1

1/T2 1/T3

1/T4 ω

реальная ЛАЧХ

ходе которого отстает по времени от входного воздействия на посто-янную величину τ. Такой объект описывается дифференциально--разностным уравнением с запаздывающим аргументом

.

Здесь член соответствует изображению . Если входное воздействие , то реакция системы имеет вид

. Характерными примерами систем с запаздыванием являются системы дозирования вещества, пе-ремещаемого по транспортеру, измерения толщины проката на рас-стоянии от регулируемых валков. Рассмотрим особенности их проек-тирования.

Звено чистого запаздывания может находиться в цепи прямой

связи , тогда после замыкания ПФ системы

будет иметь вид Ф(s) . Если звено

запаздывания в прямой цепи охвачено местной обратной связью, либо находится в цепи главной обратной связи, выражение усложняется, и эти случаи необходимо рассматривать отдельно.

Из комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы следует )()( 0AA и )()( 0 , т.е.

наличие элемента запаздывания не изменяет амплитуду частотной ха-рактеристики, но существенно влияет на ее фазу, причем с ростом частоты фазовый сдвиг все более смещается к минус бесконечности. Поэтому векторы А(ω) для всех частот поворачиваются по часовой стрелке на угол τω и годограф W(jω) принимает спиралевидную фор-му, асимптотически приближаясь к началу координат (рисунок 75, а). Для правильного отсчета фазовых углов АФЧХ должна строиться в равномерном масштабе по всем осям.

134


Вид ЛАХ не изменяется, ЛФХ с ростом частоты все сильнее от-клоняется вниз (рисунок 75, б) и пересекает линию -180° при меньшей частоте, система может стать неустойчивой.

Отсюда вытекает, что системы с запаздыванием имеют меньшие запасы устойчивости при одинаковых параметрах основной части W0(s). Даже в системах первого порядка типа инерционного звена, за-ведомо устойчивых при положительных значениях k и Т, при добав-лении запаздывания переходный процесс из монотонного преобразу-ется в колебательный и возникают предпосылки неустойчивой рабо-ты, усиливающиеся с ростом τ. В то же время оценка устойчивости систем с запаздыванием сложнее, чем у обычных систем.

Характеристическое уравнение САР с запаздыванием является не алгебраическим, а трансцедентальным, поскольку его свободный член содержит оператор сдвига . Хотя такое уравнение содержит бесконечное множество корней, их отрицательная действительная часть по-прежнему является обязательным условием устойчивости системы.

Положительность коэффициентов уравнения не является здесь достаточным для устойчивости систем 1-го и 2-го порядка, а прямое использование критериев Гурвица и Рауса невозможно. Применяют замену оператора сдвига разложением в ряд Паде заданного порядка m для приведения к обычному полиномиальному виду, например

,

однако это увеличивает общий порядок системы на величину порядка разложения в ряд Паде.

Критерий Михайлова и D-разбиение применимы для замкнутой системы в обычных формулировках, однако вид кривых отличается от стандартных из-за наличия колебательных по параметру τ составляю-щих. Так, система со знаменателем ПФ после за-мыкания при оценке устойчивости по Михайлову имеет характе-ристическую функцию

.

Из-за колебательного характера кривых небольшое изменение параметров системы чревато потерей устойчивости. Критическое за-паздывание может быть определено по критерию Найквиста. Графоа-

135

налитический метод – для системы без запаздывания W0(s) строим АФЧХ, находим величину запаса устойчивости по фазе φм и значение соответствующей ему частоты ωм, откуда и определяется запас по за-паздыванию , где ψ – угол, до-полняющий φм до 180°, . По аналитиче-скому методу критическое запаздывание определяется из условия А(ω) = 1. Пусть , тогда условие А0(ω) = 1 имеет вид

, откуда . Учитывая, что , получим

.

Если элемент запаздывания находится в цепи местной обратной связи, его влияние может быть иным, в частности, даже улучшать об-щую устойчивость системы.

5.9 Классификация систем управленияНе рассматривая возможное деление систем регулирования по

области применения (авиация, энергетика…), стоимости, массе, габа-ритам и прочим характеристикам, уделим внимание лишь классифи-кации по особенностям процесса регулирования. В этом смысле сис-темы можно делить:- по использованию информации в рабочем процессе (циклические, ациклические);- по характеру изменения задающего воздействия во времени (стаби-лизирующие, программные, следящие);- по точности в установившемся режиме (статические, астатические);- по методу формирования управляющих воздействий (с управлением по отклонению, по возмущению, комбинированные);- по характеру сигнала (непрерывные – дискретные) и виду модели (линейные – нелинейные);- по степени приспосабливаемости к изменению условий работы (обычные, адаптивные, поисковые).

Рассмотрим несколько подробнее основания для приведенной классификации.

Использование информации в процессе управления.Циклические (детерминированные, безрефлексные, с жестким

управлением) системы выполняют свои функции по заранее заданной программе независимо от фактического протекания процесса. Они ли-бо вообще не используют текущую (рабочую) информацию, либо она имеет чисто вспомогательное значение. Для таких систем требуется

136

большой объем заранее собранной (априорной) информации об объ-екте регулирования, так как отсутствует возможность последующей корректировки поведения.

Ациклические (рефлексные) системы действуют в зависимости от фактического протекания процесса, на основе непрерывно полу-чаемой рабочей информации. Они требуют меньшего объема априор-ной информации и обладают некоторой свободой поведения.

Обычно первые – разомкнутые, не охваченные главной обрат-ной связью, вторые – замкнутые отрицательной ОС.

Характер изменения задающего воздействия во времени.У стабилизирующих систем задающее воздействие постоянно во

времени, регулируемый параметр в пределах допустимой погрешно-сти поддерживается постоянным при любых возмущениях.

В системах программного управления задающее воздействие изменяется во времени по заранее выбранному закону (программе), регулируемый параметр в пределах допустимой погрешности воспро-изводит изменения задающего воздействия.

Система называется следящей, если характер изменения задаю-щего воздействия заранее неизвестен и оно является произвольной функцией времени, не зависящей от САР, регулируемый параметр в пределах допустимой погрешности воспроизводит изменения задаю-щего воздействия.

Метод формирования управляющих воздействий.Системы с управлением по отклонению регулируемой величины

от заданного значения формируют управляющее воздействие в зави-симости от величины и знака рассогласования r(t) – y(t) (принцип Ползунова) и были рассмотрены нами ранее.

Системы такого рода реагируют на любые возмущения, не из-меряя их, поэтому их точность выше, а структура обычно проще. Од-нако их быстродействие ниже, поскольку они срабатывают уже после появления реакции объекта на возмущение. Принципиальный недос-таток – обязательно должно наступить ухудшение в работе объекта, чтобы его можно было исправить. Это замкнутые системы с главной ОС, наличие обратной связи может в некоторых случаях приводить к нарушению устойчивости.

Система с управлением по возмущению (рисунок 76, а) реагиру-ет только на появление выбранного возмущающего воздействия, не универсальна и действует по принципу компенсации возмущения (принцип Понселе).

137


Для таких САР необходимо, чтобы выбранное возмущение x было основным по влиянию на объект ОУ, поддавалось измерению, а характеристики возмущений М и объекта были точно известны. Эти системы имеют высокое быстродействие и позволяют получить нуле-вую ошибку в процессе управления за счет того, что управление фор-мируется устройством управления УУ сразу же с появлением возму-щения (если оно превышает уставку x0) и производится с упреждени-ем ухудшения состояния объекта.

Однако они характеризуются меньшей точностью, так как кон-тролируется лишь часть возможных возмущений, требуют тщательно-го изучения объекта, не обеспечивают контроль правильности дейст-вий.

Комбинированные системы сочетают достоинства обоих рас-смотренных принципов управления (рисунок 76, б). В установивших-ся режимах или режимах с малыми отклонениями у них превалирует подсистема регулирования УР, осуществляющая управление по от-клонению, а в переходных режимах с резкими большими возмуще-ниями подключается часть УУ с управлением по возмущению.

Точность в установившемся режиме.У статических систем всегда имеется ошибка регулирования в

установившемся режиме, существует точное соответствие между зна-чениями регулируемой и управляющей величин, между величиной возмущения и значением рассогласования (ошибки). Статическая ха-рактеристика отражает зависимость установившейся ошибки от вели-чины входного воздействия и коэффициента передачи ошибки (смот-ри раздел 3).

В астатических системах ошибка регулирования остается ну-левой при разной величине возмущений благодаря тому, что управ-ляющее воздействие непрерывно возрастает по модулю до тех пор, пока контролируемое рассогласование не исчезнет. Эти системы точ-нее, но требуют времени на устранение ошибки. В момент полной компенсации рассогласования величина управляющего воздействия может быть произвольной в рамках возможного диапазона.

Вид используемой информации (характер сигнала).

138

Непрерывные (аналоговые) системы воздействуют на объект в течение всего времени работы, используют монотонно изменяющиеся или непрерывные периодические сигналы.

Работа дискретных систем основана на кусочном изменении (квантовании, дискретизации) сигнала. В импульсных системах осу-ществляется квантование по времени (управляющее воздействие фор-мируется в течение коротких интервалов времени, разделенных пау-зами), в релейных – квантование по уровню (позиции), в цифровых используются оба способа.

Обычно в составе дискретных линейных систем имеется эле-мент преобразования непрерывных величин в дискретные при суще-ственном преобладании линейной части ЛЧ системы (рисунок 77, а). Например, работа импульсного регулятора с амплитудной модуляци-ей (дискретный линейный) характеризуется тем (рисунок 77, б), что амплитуда а импульсов, следующих через равные промежутки вре-мени Т0, линейно зависит от входной величины u.


Релейный двухпозиционный регулятор без зоны нечувствитель-ности осуществляет двухпозиционное регулирование (рисунок 77, в) в пределах umax и umin. Его работа сопровождается автоколебаниями ре-гулируемого параметра вблизи заданного значения yзад после выхода системы на это значение. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от инерционности объекта регулирования и уровня управляющего воздействия.

Приспосабливаемость к изменению условий работы.Обычные системы регулирования, которые мы и изучали до сих

пор, не способны подстраиваться к изменениям условий работы, ха-рактеристик энергоносителей, они следуют заданному алгоритму управления без всяких отступлений.

Поисковые системы формируют представление о состоянии объекта с помощью пробных воздействий и анализа их результатов в условиях максимальной неопределенности.

Самоприспосабливающиеся (адаптивные) системы делятся на:

139

- самонастраивающиеся (подобные системы самостоятельно изменя-ют значения параметров выбранных элементов регулировки);- самоорганизующиеся (изменяют собственную структуру);- самопрограммирующиеся (изменяют свой алгоритм функционирова-ния).

Они имеют в своем составе специальное устройство, изменяю-щее настройку, структуру или программу регулятора на основе до-полнительной информации, поступающей в процессе управления объ-ектом.

К адаптивным относятся и экстремальные регуляторы, автома-тически выводящие систему на экстремальное значение регулируемой величины при вариациях прочих параметров. Они выбирают наилуч-шее по заданному критерию управление в условиях имеющихся огра-ничений при дрейфующих экстремальных характеристиках объекта. Закон регулирования экстремальных регуляторов – поиск экстремума регулируемой величины путем пробных изменений управляющего воздействия. Регулируемая величина в таких системах также непре-рывно совершает автоколебания, однако, в отличие от релейных регу-ляторов, не после выхода на заданное значение, а сразу же после вво-да в работу.

Адаптивные системы обеспечивают получение оптимальных по некоторому критерию (целевой функции) результатов управления и изучаются в теории оптимального управления.

140

6 Компьютерное моделирование систем управления

6.1 Моделирование систем управления на ЭВММоделью называется отображение реального объекта (оригина-

ла), обладающее теми его свойствами, которые существенны для цели исследования. Модель не может содержать все параметры оригинала, так как тогда сама будет являться оригиналом (клоном).

Моделирование – это замещение оригинала его условным обра-зом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели. К любой модели, не прошедшей достаточной проверки, следует относиться критически, допуская воз-можность неверного подхода или неправильной трактовки результа-тов. Адекватность модели реальности проверяется из здравого смыс-ла, опыта, других источников.

При моделировании предполагается, что модель обеспечивает правильное (адекватное) отображение существенных свойств ориги-нала и позволяет устранить проблемы, мешающие исследовать реаль-ный объект (размеры объекта, масштаб времени, невозможность по-вторения эксперимента, высокая стоимость изготовления образца только для опытов над ним и т.п.).

Моделирование основано на том, что каждый объект в каких-то свойствах похож на другие. Это выражается в принципах ограничен-ности количества фундаментальных законов природы и подобия (яв-ления разной физической природы могут описываться одинаковыми математическими зависимостями). Соответственно модели можно раз-делить на физические (геометрически подобные, сходные по физиче-ским законам) и абстрактные (словесные, математические). Матема-тические модели подразделяются на графические (структурные схе-мы, графы), табличные (таблицы данных, истинности), алгоритмиче-ские (программы для ЭВМ), аналитические (формулы).

Существует двоякое отношение к моделированию. Один подход предполагает, что из модели невозможно получить новые знания об объекте, поскольку при создании модели в нее закладываются только известные связи. Следовательно, модель – это всего лишь расчетный объект, замещающий оригинал. По другому подходу у системы, т.е. совокупности известных элементов и связей между ними, могут про-явиться новые свойства, отсутствующие у элементов в отдельности, и возникать новые знания. Однако лишь сравнение с оригиналом под-тверждает или отрицает их достоверность.

Компьютерное моделирование – это математическое моделиро-вание объекта с использованием средств вычислительной техники.

141

Обычно оно складывается из таких этапов, как определение цели мо-делирования, разработка концептуальной модели, формализация мо-дели, программная реализация модели, планирование модельных экс-периментов, реализация экспериментов, анализ и интерпретация ре-зультатов экспериментов.

Содержание этапов зависит от принятого метода моделирова-ния, распределения их между исполнителями. Так, в лабораторном практикуме студенты выполняют обычно реализацию экспериментов и анализ их результатов, реже планирование эксперимента. При ана-литическом моделировании математическая модель задается в виде готовых алгебраических, дифференциальных или иных уравнений, связывающих входные переменные с выходными при установленных ограничениях. Здесь существует однозначная вычислительная проце-дура получения точного решения. При имитационном моделировании математическая модель воспроизводит алгоритм (логику) поведения исследуемой системы во времени для различных сочетаний значений параметров системы и внешней среды, задаваемых экспериментато-ром.

В компьютерном моделировании существуют три представления времени – реальное, в котором движется система, модельное (систем-ное) время, в масштабе которого организована работа модели, машин-ное время, характеризующее затраты ЭВМ на процесс имитации. Мо-дельное время может иметь больший и меньший масштаб по сравне-нию с реальной длительностью протекания процесса, изменяться с по-стоянным шагом или по особым состояниям.

Устойчивость модели характеризует ее способность соответст-вовать оригиналу во всем возможном диапазоне применения или при внесении изменений в структуру системы.

Процедуру построения модели называют идентификацией объ-екта (распознаванием), в нее входят:- структурная идентификация, в процессе которой подбирают наибо-лее соответствующий объекту тип модели и состав образующих мо-дель элементов (структуру);- параметрическая идентификация, при которой вычисляют значения параметров, существенных для выбранного типа модели, по экспери-ментальным данным. Она включает обработку данных, например, ап-проксимацию, и т.п.;- проверка адекватности, т.е. проверка близости объекта и модели в известном смысле.

Цель идентификации – путем наблюдения за входным и выход-ным сигналами объекта на некотором интервале времени определить

142

вид оператора, связывающего эти сигналы, и его количественные оценки в условиях помех и шумов измерения, ведущих к ошибке. Наиболее просто задача идентификации решается для линейных не-прерывных стационарных динамических объектов.

Важную роль при этом играет выбор времени исследования и величины шага. Для выбора интервала исследования, например, при выполнении лабораторной работы, проводят несколько пробных экс-периментов с разными исходными данными и анализируют результат. Выбор величины шага производят по средней интенсивности появле-ния событий разного типа. Особые состояния выявляют сторонними способами, например, для автоматического выбора интервала по-строения переходного процесса исследуют корни характеристическо-го полинома системы.

Задачи идентификации систем управления с использованием ЭВМ подразделяются: по типу объекта (линейный, нелинейный, ста-ционарный, нестационарный, непрерывный. дискретный), по виду мо-дели (дифференциальное уравнение, передаточная функция, импульс-ная характеристика, переходная характеристика, частотные характе-ристики, разностные уравнения), по способу обработки информации (нестатистический или детерминированный подход, статистический или вероятностный подход). Идентификация производится на основе либо пассивного эксперимента – простого наблюдения за входом-выходом объекта и обработки данных, либо активного эксперимента, когда исследователь сам выбирает и формирует воздействия.

Начальным средством моделирования систем управления слу-жили аналоговые вычислительные машины (АВМ), представляющие собой по сути набор решающих блоков (операционных усилителей), поле для составления схемы с помощью проводников, элементы регу-лировки параметров и индикатор (показывающий прибор, осцилло-граф). С помощью АВМ строится модель, основанная на подобии фи-зических законов работы объекта и модели [19].

Современные методы исследования систем управления основа-ны на использовании цифровых ЭВМ. Различными организациями разрабатываются собственные программные средства (в ПГУ это, на-пример, комплекс программ LinCAD), приспособленные для конкрет-ного круга задач. Одновременно развиваются и широко используются универсальные программные средства широкого назначения, к како-вым относится, в частности, MATLAB фирмы The Math Works, Inc. Специализированные продукты малы по объему, просты в установке и использовании. Универсальные могут применяться одновременно для решения разнообразных задач, но, как правило, объемны и дороги.

143

6.2 Пакет программ LinCADБиблиотека LinCAD включает набор программ для исследования

линейных систем под управлением DOS [20] и предназначена для об-разовательных целей. В лабораторном практикуме [21] используется лишь часть программ библиотеки, относящаяся к одномерным систе-мам управления: TIMECHAR "Временные характеристики", FREQ-CHAR "Частотные характеристики", MICHCHAR "Критерий Михай-лова", DRAZBTWO "D-разбиение по двум параметрам", ROOTLOCS "Корневой годограф", EILERPIC "Переходная характеристика", BODECHAR "Логарифмические характеристики".

Ввод данных во всех программах производится единообразно в виде передаточной функции или характеристического полинома, це-лая часть числа отделяется точкой. В обоих случаях предварительно запрашивается порядок полинома (максимальная степень s, не выше семи), а затем вводятся коэффициенты в порядке убывания степени s (от старшего коэффициента к младшему, включая нулевые значения). Индексы коэффициентов полинома соответствуют записи

.

Программа TIMECHAR позволяет исследовать реакцию на ти-повое воздействие во временной области звеньев (фильтров) по пере-даточной функции, числитель и знаменатель которой вводятся. Вход-ной сигнал выбирается из набора: единичный скачок 1(t), линейное t, квадратичное t^2, гармоническое sin(t) и экспоненциальное 1-exp(-t) воздействия, длительность периода исследования задается пользова-телем. Каждый раз входное воздействие разлагается в ряд Фурье

,

постоянная составляющая a0, частота первой гармоники ω и коэффи-циенты Ak, Bk части гармоник которого (не более пятнадцати) выво-дятся на экран. Отклик фильтра является суммой реакций на гармони-ческие воздействия, число которых m ограничено значением 100, в ре-зультате отсутствие высших гармоник искажает начальную часть кри-вой – снижает максимальное значение при t=0 (рисунок 78).

Целью работы, выполняемой с помощью программы FREQ-CHAR, является изучение типовых частотных характеристик САР, ис-следование в частотной области реакции звеньев (фильтров) на гар-моническое воздействие. Вводятся числитель и знаменатель переда-точной функции звена, в окне «Просмотр» выводятся зависимости от-ношения амплитуд A() и разности фаз () в градусах выходного и

144

входного гармонического сигналов системы от частоты (рад/с) в ус-тановившемся режиме, называемые соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характеристиками. Можно вы-брать линейный или логарифмический масштаб изменения частоты, в последнем случае ввод частоты ω = 0 блокируется (рисунок 79).

Рисунок 78

Рисунок 79

Для выбранного положения курсора рассчитываются также дей-ствительная Re(ω) и мнимая Im(ω) части комплексного коэффициента передачи, графики которых можно построить самостоятельно. По ко-манде Tab выводятся параметры реакции звена на заданной частоте.

Программой MICHCHAR производится оценка устойчивости САР по частотному критерию Михайлова для вводимого характери-

145

стического полинома системы. Выводятся кривая Михайлова на ком-плексной плоскости с таблицей частот, соответствующих начальной, конечной точкам графика и пересечениям кривой с осями координат (рисунок 80). Диапазон частот подбирают экспериментально для бо-лее точного определения координат пересечения действительной и мнимой осей и получения желаемого вида кривой Михайлова. По по-лученной таблице можно построить графики четной и нечетной функ-ций в соответствии со второй формой (следствием) критерия Михай-лова и сделать вывод об устойчивости системы.

Рисунок 80

Для изучения метода D-разбиения по двум параметрам служит программа DRAZBTWO, позволяющая получить на плоскости пара-метров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффициента an и одного из коэффициентов a1 - an-1 характеристиче-ского уравнения. Для остальных коэффициентов сохраняются номи-нальные значения. Какой из коэффициентов a1 - an-1 лучше выбрать для изменения, подбирается экспериментально по наиболее характер-ному проявлению областей устойчивости, при этом его значение ре-комендуется задавать в пределах 0.9-1.1 номинального (рисунок 81).

Перемещением визира по линии, соответствующей номиналь-ному значению неосновного изменяемого коэффициента, можно оп-ределить критическое значение an крит, при котором пересекается гра-ница области устойчивости, а в самой области устойчивости выбрать желаемое значение an приблизительно равноудаленным от границ об-ласти. На полученном графике областей D-разбиения область устой-чивости выделена зеленым цветом, границы устойчивости – желтым, прочие цвета соответствуют областям с разным числом правых кор-

146

ней характеристического уравнения. Предполагается, что параметры системы входят в изменяемые коэффициенты характеристического уравнения линейно.

Рисунок 81

Программа ROOTLOCS позволяет получить корневой годограф замкнутой системы при изменении коэффициента an (свободного чле-на) в задаваемом диапазоне (рисунок 82). Предполагается, что система не имеет нулей и при замыкании коэффициент передачи попал в сво-бодный член передаточной функции замкнутой системы.

Рисунок 82

Целью работы является изучение методов проектирования сис-тем по корням характеристического уравнения при заданных показа-телях качества регулирования. При этом для устойчивой системы в соответствии с положением курсора на комплексной плоскости выво-дятся общие значения времени регулирования, перерегулирования и

147

текущего значения коэффициента an. Кроме того, в окне «Корни» вы-водятся все значения корней полинома, соответствующие текущему значению изменяемого коэффициента. Клавишей Ins может изменять-ся масштаб графика (видимая часть), клавишами курсора «вверх-вниз» производится растяжка графика по горизонтальной оси (если один из корней расположен слишком далеко от мнимой оси и осталь-ных корней и им можно пренебречь). Траектории корней выписыва-ются только маркерами, соединительная линия отсутствует и ее сле-дует добавить при необходимости самому пользователю.

Программа EILERPIC по введенным коэффициентам числителя и знаменателя передаточной функции строит отклик системы на еди-ничный скачок от нуля до заданного момента времени (рисунок 83).

Рисунок 83

Целью работы является изучение методов проектирования сис-тем с использованием прямых показателей качества регулирования в переходном и установившемся режимах. Длительность периода ис-следования подбирают экспериментально так, чтобы к концу периода переходный процесс заканчивался, но в то же время все параметры характеристики легко определялись. Клавиша TAB позволяет вклю-чить в график нулевую отметку оси ординат, если она отсутствует.

Для построения логарифмических характеристик используется программа BODECHAR, которая по введенным коэффициентам поли-номов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы вычисляет частоты сопряжения, добротность системы, поря-док астатизма, указывает кратность для комплексных сопряженных корней и направление асимптоты: вверх (/) – для корней числителя, вниз (\) – для корней знаменателя. Целью работы является изучение

148

методов определения количественных оценок запасов устойчивости системы с помощью частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме или диаграммы Боде (рисунок 84).

Рисунок 84

Разработана версия программы LinCAD [22], работающая в опе-рационной системе Windows и позволяющая исследовать линейные системы управления и регулирования во временной, частотной, опе-раторной областях с применением моделей в виде пространства со-стояний, передаточной функции, нулей-полюсов-коэффициента и ис-пользованием конструктора структурных схем (рисунок 85).

Рисунок 85

Библиотека элементов конструктора структурных схем содер-жит блоки, узлы, сумматоры, входы и выходы. Блоки, входы и выхо-ды могут иметь индивидуальное имя, сумматоры – разнополярные входы. Описание блока выполняется одним из способов: передаточ-ной функцией (отношением полиномов от s), нулями и полюсами

149

(комплексными числами), матрицами A, B, C, D в пространстве со-стояний. Сборка схемы производится направленными ветвями с по-мощью мыши по сетке или без нее, для собранной схемы рассчитыва-ется эквивалентная модель в любой из перечисленных форм. Пара-метры модели могут быть сохранены в файл, а ее схема распечатана.

В блок временных характеристик входит пять видов реакций на типовые воздействия: единичный скачок, импульс, гармоническое воздействие, степенной ряд, начальные условия. Доступно также по-лучение реакции на произвольную функцию времени, имеющую пре-образование Лапласа. Для любой точки графика с помощью курсора могут быть получены численные величины. Для переходной характе-ристики выводятся показатели качества: время регулирования, нарас-тания, максимума, значение перерегулирования. Зоны контроля вре-мени регулирования и нарастания задаются. Диапазон расчета может задаваться вручную или выбирается автоматически. Каждая опция формирует собственное рабочее окно.

В блок частотных характеристик входит построение амплитуд-ной и фазовой, действительной и мнимой характеристик в логариф-мическом и линейном масштабе. Для годографа Найквиста указывает-ся особая точка (-1, j0) и направление кривой, могут быть показаны дуга единичного радиуса и луч оценки запасов по амплитуде и фазе. Кривая Михайлова строится либо на комплексной плоскости, либо в виде четной и нечетной функций. Выполняется D-разбиение по одно-му или двум параметрам. Строится диаграмма Боде с выводом значе-ний запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Для всех частотных характеристик, позволяющих судить об устойчивости системы, воз-можно размыкание и замыкание главной обратной связи системы. Диапазон расчета для положительных частот может задаваться вруч-ную или выбирается автоматически. Для любой точки графика с по-мощью курсора могут быть получены численные величины.

В блоке дополнительных исследований может быть построен корневой годограф системы с выводом для заданной величины анали-зируемого параметра общих значений перерегулирования и времени регулирования системы. Производится разложение модели системы (заданного изображения) на простые дроби с помощью обратного преобразования Лапласа с выводом графика каждой составляющей оригинала. Выполняется расчет коэффициентов присоединенной и фундаментальной матриц, оценка управляемости и наблюдаемости многомерной системы. Осуществляется расчет устойчивости системы по алгебраическим критериям Рауса и Гурвица, обеспечивается раз-мыкание и замыкание главной обратной связи системы.

150

Особенностью принятого подхода к построению программы яв-ляется избыточный вывод информации – так, помимо собственно за-ключения об устойчивости системы пользователю выводятся таблица Рауса (матрица Гурвица) с выделением цветом оснований для заклю-чения об устойчивости, т.е. отрицательных определителей матрицы или элементов первого столбца таблицы.

Все графики могут быть выведены в файл, в буфер или на пе-чать с выбором разрешения изображения, имеется возможность нане-сения подписей и оцифровки шкалы. Прилагаемая справка поясняет отдельные опции программы на основе базовых положений теории автоматического регулирования.

6.3 Основы MATLABMATLAB – открытая система, состоящая из основной части и

пакетов расширения [23-27], предназначенных для решения научных, технических или математических задач. Система может расширяться и за счет функций пользователя, реализованных в виде текстовых ис-ходных модулей программ (файлов с расширением .m).

При первом запуске программы количество открытых окон пре-вышает необходимое и на начальных этапах работы рекомендуется использовать только командное окно (Command Window). Для этого следует выбрать опцию в меню Desktop-Desktop Layout-Command Window Only. Вид диалогового окна программы упрощается. Осталь-ные окна можно вызвать позднее: либо по отдельности, установив флажки (птички) против названий в меню, либо все сразу с помощью опции Desktop-Desktop Layout-Default (вид по умолчанию). Возможно использование окон Command History (журнал команд), Current Direc-tory (используемая папка), Workspace (рабочее пространство или база данных, хранящая все сведения о переменных и объектах текущей сессии, может быть сохранена и вызвана повторно). Команда Clear очищает окна Command Window, Command History и Workspace, она же обнуляет значения переменных пользователя и восстанавливает значения по умолчанию системных переменных. Через меню File-Pref-erences задаются основные характеристики общения MATLAB с пользователем, например, параметры шрифта, формат вывода и т.п.

По ходу вычислений все записи в командном окне смещаются вверх и становятся неактивными, т.е. их можно скопировать, но нель-зя уже исправить и запустить повторно. Активной является лишь строка с приглашением >>, справа от которого мигает курсор. По ходу сеанса программа ведет журнал операций (Command History), откуда использованные ранее команды можно вызывать повторно. Вставлять

151

команды в рабочую строку можно и скопировав их из какого-либо текста, например, отчета по лабораторной работе, сохраненного в формате MS Word. Общая справка вызывается командой help, справка по конкретной функции или оператору командой help имя_функции.

Основной режим работы программы MATLAB – прямые вычис-ления (режим интерпретатора). Минимальный рабочий элемент – комплексная матрица, размеры массивов и тип данных можно не ука-зывать. Обработка производится по строкам, в одной строке допуска-ется несколько операторов, разделенных запятой или точкой с запя-той, перенос длинной строки осуществляется знаком троеточия ... Ес-ли в конце строки нет точки с запятой, сразу выводится результат или значение описанной переменной (выражения). Числа выводятся в не-скольких форматах по выбору (по умолчанию Short), вычисляется все-гда 16 значащих цифр в диапазоне от 10-308 до 10308. При выводе может быть выбран интервал между строками (по умолчанию Loose). Различаются прописные и строчные символы, функции вводят строч-ными буквами. Клавиши управления курсором вверх-вниз вызывают предыдущие операции (строки) по журналу команд, клавиши управ-ления влево-вправо позволяют перемещаться по командной строке. Команда вводится нажатием клавиши Enter при любом положении курсора в командной строке.

Программа использует системные переменные и константы – величины с собственным именем (идентификатором), значения кото-рых предустановлены:

ans – переменная, которой присваивают последний результат, если для него не указано имени; результат последней операции без знака присваивания (его можно использовать в выражениях, пока не произошло изменение);

eps – относительная точность числа с плавающей точкой, равна 2-52=2.2204e-016;

pi – число π = 3.14159265358979;realmin – наименьшее вещественное число 2-1022 = 2.2251e-308;realmax – наибольшее вещественное число 21022 = 1.7977e+308;Inf – бесконечность (Infinity);NaN – не число (Not a Number), неопределенность (результат

операций типа 0/0 или Inf-Inf и т.д.);i, j – обозначения мнимой единицы . Ввод комплексного

числа производится в форме a = -1+0.3i, a = -1+0.3j или a = -1+ i*0.3, a=-1+j*0.3.

Значения системных переменных могут быть переопределены в пределах одной сессии и восстановлены командой clear, например

152

>> realminans = 2.2251e-308>> realmin=0.1realmin = 0.1000

Особые символы:>> – приглашение к работе;% – предваряет комментарий;'(апостроф) – кавычки для текста или строковых переменных;точка – разделитель десятичной части дробного числа;точка с запятой – отменяет немедленный вывод результата;[ ] – назначить, например P=[1 2 3 4] – назначить коэффициенты

полиному Р, обозначение векторов и матриц;( ) – от аргумента (используя), например, вычислить корни

roots(P);{ } – выделение подсистем, групп однотипных массивов;= – знак присваивания;пробел и запятая – объединение (конкатенация) по горизонтали;Enter и точка с запятой – объединение (конкатенация) по верти-

кали, например, при задании матрицы A = [1 2; 3 4].Функция – это слово (имя) со скобками, в которых записывают-

ся аргументы функции, т.е. величины, от которых зависит результат, возвращаемый функцией. Оператор обозначает действие, которое не-обходимо проделать. Например, оператор disp печатает запись справа от него, как текст, функция disp() позволяет показать результат без присвоения его значения переменной аns:>> disp 2-72-7>> disp(2-7) -5

Оператор format устанавливает текущее значение интервала ме-жду строками при выводе (loose – больше, compact – меньше) и спо-соб вывода чисел: short – 5 цифр с фиксированной точкой; short е – 5 цифр с плавающей точкой; long – 15 цифр при двойной, 7 цифр при одинарной точности с фиксированной точкой; long е – то же с пла-вающей точкой; short g, long g – то же, с выбором наилучшего способа представления. Форма format rat определяет вывод чисел в виде ра-циональной дроби с целыми числителем и знаменателем, например>> format rat>> pians = 355/113

153

Использование оператора format без дополнений восстанавлива-ет первоначальные установки. Не во всех случаях использование опе-ратора приводит к изменению способа вывода чисел, в частности, функция damp() имеет свой собственный неизменный формат вывода.

Операторы и функции проверки отношений:== или eq() равно;~= или ne() не равно; > или gt() больше; < или lt() меньше;>= или ge() не менее;<= или le() не более.Если отношение выполняется, результатом является логическая

1, если не выполняется – нуль:>> eq(2,5)ans = 0>> eq(2,2)ans = 1>> 2==2ans = 1

Арифметические операторы и функции:+ или plus() сложение;- или minus() вычитание,uplus() и uminus() – присвоение знака плюс (минус) числу;* или mtimes() умножение;/ или mrdivide() деление слева направо, например, 2/5 = 0.4;\ или mldivide() деление справа налево, например, 2\5 = 2.5;^ или mpower() возведение в степень;( ) изменение порядка вычислений.Логические операторы и функции:& или and() И;| или or() ИЛИ;~ или not() НЕ;xor() ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ;any() истина, если хотя бы один элемент массива не ноль;all() истина, если все элементы массива не ноль.Тригонометрические функции – приведем лишь некоторые,

справку по остальным можно получить командой help elfun (элемен-тарные функции):

sin() и sind() синус угла, заданного в радианах и градусах;

154

asin() и asind() угол по его синусу, возвращается в радианах и градусах;

cos() и cosd() косинус угла, заданного в радианах и граду-сах;

acos() и acosd() угол по его косинусу, в радианах и градусах;tan() и tand() тангенс угла, заданного в радианах и градусах;atan() и atand() угол по его тангенсу, в радианах и градусах;atan2() выводит результат для всех четырех квадран-

тов комплексной плоскости в радианах при вводе двух аргументов.Экспоненциальные функции:exp() степень натурального числа е;log() натуральный логарифм;log10() логарифм по основанию 10;log2() логарифм по основанию 2;pow2() степень двух, например, pow2(3) = 8;sqrt() квадратный корень, например, sqrt(-4) = 0 + 2.0000i;realpow() степень действительного числа;reallog() натуральный логарифм действительного числа;realsqrt() корень квадратный из неотрицательного числа;nthroot() корень n-ой степени из вещественного числа.Функции округления и вычисления остатков:fix() округление к нулю;floor() округление к минус бесконечности;ceil() округление к плюс бесконечности;round() округление к ближайшему целому;mod() остаток от деления с учетом знака аргументов;rem() остаток от деления;sign() знак числа.Функции обработки данных:max() максимальный элемент массива (и его индекс);min() минимальный элемент массива (и его индекс);mean() среднее значение элементов вектора;median() срединное значение элементов вектора;sum() сумма элементов вектора или колонок матрицы;prod() произведение всех элементов вектора (вектор-строка

произведений элементов колонок матрицы);Особенностью применения функций в MATLAB является то,

что возвращаемый результат зависит от числа передаваемых парамет-ров и вида обращения, например, возможны plot(y), plot(x, y) и plot(x1,y1,x2,y2). Обычно выводится столько элементов результата из разрешенного количества, сколько аргументов перечислено в квад-

155

ратных скобках левой части равенства – по умолчанию при отсутст-вии левой части выводится лишь первый элемент из возможного ко-личества, либо график. Встроенные функции и операторы могут вести себя не совсем обычно с учетом того, что минимальным элементом MATLAB является комплексная матрица, а матрицы и массивы здесь не одно и то же.

6.4 Специальные операторы и функцииВ операциях с комплексными числами используются:real() выделение действительной части числа, [Re]=real(a);imag() выделение мнимой части числа, [Im]=imag(a);abs() модуль числа ;angle() аргумент числа, arctg(Im/Re), в радианах, от - до +

(аналог функции ATAN2);conj(a) комплексная сопряженная к величина (тот же ре-

зультат образуется применением сопряженного транспонирования a’);complex(a,b) композиция комплексного числа a + jb из двух ве-

щественных чисел;cplxpair(v) сортировка элементов вектора комплексных чисел v

по возрастанию значения действительных частей.Многочлены вида a1xn + a2xn-1 + … + an+1 вводятся своими ко-

эффициентами P = [a1 a2 … an+1] через пробел или запятую в порядке убывания степени переменной как вектор (обратите внимание на ин-дексы коэффициентов, первый индекс равен единице, ни один коэф-фициент не пропускается). Возможные действия с полиномами:

+ или plus(P1, P2) cложение полиномов (действие выпол-няется лишь при совпадении размера векторов-полиномов);

- или minus(P1, P2) вычитание полиномов (действие выпол-няется только при совпадении размера векторов-полиномов);

conv(P1, P2) умножение полиномов (операция свертки);deconv(P1, P2) деление P1 на P2; при указании левой части

производится деление с вычислением остатка [Q, R]=deconv(P1, P2), где Q – частное, R – полином остатка;

roots(P) вычисление корней полинома Р;poly(R) построение полинома по вектору корней R;poly(A) построение характеристического полинома матрицы

А вида P(s)=det(s∙1-A), здесь 1 – единичная матрица;polyval(P,x)значение полинома Р при заданной переменной x;polyder(P) значение коэффициентов производной от полинома.Векторы задаются как вектор-строка V=[1 2 3], вектор-столбец

V=[1; 2; 3] и вычисляемый вектор. Последнему соответствуют:

156

- линейная прогрессия V=1:0.1:10 – в примере от 1 до 10 с ша-гом 0.1 (шаг по умолчанию равен единице V=1:10);

- логарифмический масштаб V=logspace(-2,2,100) – от 10-2 до 102, всего 100 точек. Если число точек не указано, по умолчанию оно принимается равным 50.

Векторизация позволяет отказаться от использования циклов. Например, создадим таблицу логарифмов от 1 до 2 с шагом 0.1>> x=(1:0.1:2)'; % формируем вектор-столбец аргументов>> logs=[x log10(x)]

Ввод матрицы производится по строкам A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] или поэлементно A(1,1)=1; A(3,3)=9 или A(1)=1; A(2)=4; A(9)=9 (одиноч-ный индекс отсчитывается по столбцам). Первый индекс указывает строку, второй – столбец, начальный индекс 1. Размер устанавливает-ся автоматически по последнему введенному элементу, не обозначен-ные элементы внутри установленной размерности автоматически об-нуляются>> w(2,4)=-1.234w = 0 0 0 0 0 0 0 -1.2340>> w(8)ans = -1.2340

Задав блоки v1=[1 2], v2=[3 4], можно образовать матрицу из них А=[v1;v2]. Часть матрицы описывается через индексы с помощью двоеточия, например, A(1:k,j). Слово End обозначает последний стол-бец (строку). В MATLAB легко изменяются размеры матриц удалени-ем (добавлением) строк или столбцов. Так, использование пустой (Empty) матрицы (вектора) A(:,2)=[ ] удаляет все элементы второго столбца матрицы А, при этом число столбцов уменьшается на едини-цу. Открыв окно Workspace и дважды щелкнув мышью имя массива, можно вызвать редактор массивов Array editor, в котором быстро мо-дифицируются данные любой ячейки выбранного массива. Здесь же, использовав инструмент Plot Selection, по данным массива можно по-строить один из видов графиков (plot, bar, imagesc, contour и т.д.).

В MATLAB формируются и вычисляются:zeros(n) нулевая матрица размера n;eye(n) единичная матрица размера n;ones(n) матрица размера n из одних единиц;diag(A) вектор-столбец из элементов главной диагонали

матрицы A, либо диагональная матрица из вектора-столбца А;A' комплексно сопряженное транспонирование матри-

цы A;

157

compan(Р) сопровождающая к полиному Р матрица;det(A) определитель матрицы А;trace(A) след матрицы А (сумма элементов главной диагона-

ли);rank(A) ранг матрицы А;poly(A) характеристический полином матрицы А;eig(A) вектор-столбец собственных значений матрицы А;inv(A) обратная к А матрица.Размер вектора (матрицы) позволяют определить функции size()

и length():>> a=[1 2 3];>> size(a)ans = 1 3>> length(a)ans = 3

Функции fliplr() и flipud() позволяют отразить (повернуть) мат-рицу или вектор соответственно относительно вертикальной и гори-зонтальной осей.

Плюс, минус и звездочка (mtimes) применяются как операторы сложения, вычитания и умножения матриц, за размерами должен сле-дить сам пользователь. При сложении матрицы и скалярной величины последняя добавляется ко всем элементам матрицы. Операция возве-дения в степень (mpower) выполняется, если основание – матрица, а степень – скаляр, либо наоборот. Операция деления матриц справа обозначается mrdivide или /, операция деления слева mldivide или \ .

Решить систему линейных уравнений можно несколькими спо-собами: x=A^(-1)*b, или так x=inv(A)*b, либо так x=A\b, причем мат-рицы А и b могут быть комплексными.

Арифметические операции на массивах в MATLAB производят-ся поэлементно, т.е. только суммирование и вычитание для массивов выполняется так же, как для матриц. Форма остальных операторов для массива дополняется точкой, отличаются и имена функций:

.* или times() поэлементное умножение;

./ или rdivide() поэлементное деление;

.\ или ldivide() поэлементное левое деление;

.^ или power() поэлементное возведение в степень;

.' или transpose() несопряженное матричное транспонирование.Сравним возведение в степень А как матрицы и как массива

А =1 23 4

158

» А^2ans =7 1015 22» А.^2ans =1 49 16

Символьная математика (дополнительно к элементарным и спе-циальным функциям):

simplify() упрощение символьной формулы;expand() раскрытие скобок;factor() разложение выражения или числа на множители;collect() приведение подобных членов;simple() поиск минимальной формы записи с выводом всех

возможностей;numden() раздельный вывод числителей и общего знаменателя

с целыми коэффициентами;subs() подстановка известных значений символьных пере-

менных в указываемое выражение;solve() решение алгебраических уравнений в символиче-

ском виде;dsolve() решение дифференциальных уравнений в символи-

ческом виде;digits(D) целая D определяет точность численных вычислений

(по умолчанию равна 32 разрядам);diff() дифференцирование символьного полинома (может

определяться k-я производная по указанной переменной);compose() составление общей формулы из отдельных путем

подстановки;fourier() преобразование Фурье;laplace() преобразование Лапласа;ifourier() обратное преобразование Фурье;ilaplace() обратное преобразование Лапласа;double() преобразование символьного объекта в численный с

выводом результата двойной точности;single() преобразование символьного объекта в численный с

выводом результата одинарной точности;poly2sym() преобразование вектора-многочлена в символиче-

скую запись;sym2poly() преобразование символического многочлена в век-

тор-многочлен;

159

sym создание символического объекта;syms упрощенная форма создания такого объекта;vpa() вывод символьных вычислений в численном виде;pretty() печать функции в виде, близком к общепринятой за-

писи математических выражений.Большинство численных операций с многочленами и матрицами

работоспособно и в символьной математике, хотя имеются и отличия. Так, для вычисления корней многочлена в символьной форме исполь-зуется не roots(), а solve(), правда, лишь до четвертой степени>> solve('a*x^2+b*x+c')ans = 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))

6.5 Графические средства MATLABПрограмма содержит как средства для построения стандартных

графиков, используемых при исследовании систем управления, так и средства реализации нестандартных замыслов пользователя. К первым следует отнести LTI Viewer – графический анализатор для линейных непрерывных систем, функционирующий совместно с пакетом рас-ширения Control System Toolbox (рисунок 86).

Рисунок 86

Вызов ltiview(sys1,sys2,...,sysN) открывает окно анализатора с выведенной по умолчанию переходной характеристикой системы, отображаемой сплошной линией. Для нескольких систем цвет линии выбирается по порядку перечисления в списке из последовательности b (синий), g (зеленый), r (красный), c (голубой), m (лиловый), y (жел-тый), k (черный). Имеется возможность специально указать в форме

160

строковой переменной цвет, тип линии и вид маркера отдельно для каждой системы, например, ltiview(sys1,'r-*',sys2,'m--'), где тип линии обозначается соответственно символами: сплошная “-“, пунктирная “:”, штрихпунктирная “-.”, прерывистая “--“. Вид маркера задается символом соответственно: точка “.”, круг “о”, икс “х”, плюс “+”, звез-дочка “*”, квадрат “s”, ромб “d”, пятиугольник “p”, шестиугольник “h”, уголок вниз “v”, вверх “^”, влево “<”, вправо “>”. Поскольку сим-волы не совпадают, порядок их указания в строковой переменной без-различен. Если в строковой переменной пропущен тип линии, она не чертится и график выполняется только маркерами в расчетных точках.

Обращение ltiview(plottype,sys1,sys2,...,sysN) конкретизирует вид графика plottype, который задается в виде одной или нескольких строковых переменных и выбирается из следующего списка:1) 'step' Step – переходная характеристика;2) 'impulse' Impulse – импульсная характеристика;3) 'bode' Bode – диаграмма Боде (ЛЧХ);4) 'bodemag' Bode Magnitude – ЛАЧХ;5) 'nyquist' Nyquist – годограф Найквиста;6) 'nichols' Nichols – диаграмма Николса;7) 'sigma' Singular value – график сингулярных значений;8) 'pzmap' Pole/Zero – карта нулей и полюсов;9) 'iopzmap' I/O Pole/Zero – карта проходных нулей и полюсов;10) ‘lsim’ реакция на произвольное воздействие11) ‘initial’ реакция на начальные условия.

Так, команда ltiview({'step';'nyquist'},sys1,sys2) строит переход-ную характеристику и АФЧХ двух систем с согласованным масшта-бом. Для некоторых видов графиков (lsim, initial) необходимы специ-альные дополнения, приводимые в конце списка аргументов, напри-мер, ltiview('lsim',sys1,sys2,u,t,x0).

Опция контекстного меню Grid формирует масштабную сетку, опция Properties вызывает редактор свойств графика с закладками La-bels (заголовки), Limits (пределы), Units (единицы измерения), Style (стиль отображения), Characteristics (параметры). Содержание закла-док определяется видом графика, однако, как правило, в закладке La-bel можно задать название графика и подписи к осям координат; в за-кладке Limits – пределы измерения по каждой из осей, что позволит более внимательно исследовать часть графика, либо оставить масштаб на усмотрение компьютера, выбрав Auto-Scale; в закладке Style можно отрегулировать цвет осей и сетки, шрифт надписей.

Перечисленные в списке функции могут быть использованы не-зависимо от LTI Viewer для построения стандартных графиков, в этом

161

случае сразу выводится окно Figure, в рамках которого переход по-средством контекстного меню к другим видам графиков невозможен.

Основной функцией для построения нестандартных двумерных графиков является функция plot(), придерживающаяся стандартов, описанных выше для графического анализатора, при задании цвета Color, типа линии LineStyle и ее ширины LineWidth, вида маркеров и их размера MarkerSize. Для любого массива вещественных данных при обращении plot(y), будет построен график с использованием по оси абсцисс (горизонтальной) количества точек. Если же Y является комплексной величиной, то ее действительные значения откладыва-ются по оси абсцисс, мнимые – по оси ординат.

При обращении plot(x,y), где x и y векторы одинаковой длины, значения элементов x откладываются по оси абсцисс, значения эле-ментов y – по оси ординат (вертикальной). При условии равенства длины векторов-результатов в качестве аргументов могут быть ис-пользованы функции, например, plot(t,cos(t)). Аргументами функции могут быть обе матрицы, либо сочетания вектор-матрица, матрица-вектор, от соотношения количества их строк и столбцов будет зави-сеть число и вид выводимых в одном окне графиков. Так, команды t=0:0.1:5; plot(t,[sin(t); cos(t)]) строят две зависимости одновременно.

Совмещение при построении в одном окне нескольких графиков с независимым управлением цветом и типом линий обеспечивается формой обращения plot(x1,y1,’s1’,x2,y2,’s2’), где каждая тройка аргу-ментов должна содержать данные для оси абсцисс Х, оси ординат Y, и может содержать строковую переменную S с параметрами линии. При обращении одинаковые данные для оси абсцисс должны все равно по-вторяться в каждой тройке (двойке) аргументов plot(x,y1,x,y2,'k--').

Помимо строковой переменной, установка дополнительных па-раметров линии возможна и с использованием принципов объектно-ориентированного программирования. Так, построение графика лини-ей шириной (LineWidth) 2 пункта темно красного цвета (Color) обес-печивает команда plot(x,y,'linewidth',2,'color',[.6 0 0]), использующая соответствующие свойства линии как объекта. Цвет задается в стан-дарте RGB вектором [красный зеленый синий] с пределами уровня по каждому оттенку 0.0-1.0, вычисленному по отношению значения цве-та в палитре RGB к максимальному значению 255.

Управление масштабом графика и видом осей координат произ-водится функцией и оператором axis. Масштаб для текущего графиче-ского окна задается в форме axis([x1,x2,y1,y2]) и может быть получен в виде вектора v из четырех элементов командой v = axis. Режим ото-бражения осей mode в команде axis mode выбирается из списка: auto –

162

устанавливается по умолчанию, пределы по осям выбираются так, чтобы график не касался границ окна; tight – график точно вписывает-ся в окно; equal – устанавливает одинаковый масштаб изображения по обеим осям, что соответствует реальному виду графика; square – уста-навливает одинаковый размер изображения по осям независимо от масштаба; normal – отменяет действие двух предыдущих команд; off – удаляет все вспомогательные построения, сохраняя только график; on – отменяет действие предыдущей команды. Добавочные команды:

clf – очистка текущего графического окна во избежание наложе-ния нового изображения на старое;

hold on/off – оставляет открытым текущее графическое окно (on) для вывода в него следующих графических объектов или закрывает его (off), оператор hold без дополнительного параметра действует как переключатель, т.е. осуществляет переход в противоположный режим;

box on/off или просто box – переключатель вида рамки окна;subplot(m,n,p) – выделяет несколько графических окон в виде

элементов матрицы размером m на n, отсчитывая номер окна слева направо, сверху вниз построчно. Например, subplot(2,2,3) объявляет текущим левое окно снизу из четырех возможных;

title(’txt’), xlabel(’txt’), ylabel(’txt’) используют заданный текст в качестве заголовка окна, оси Х, оси У. Функция text(x,y,’txt’) разме-щает текст в графическом окне от точки с физическими координатами xmin<x<xmax, ymin<y<ymax, функция text(’txt’) ждет для размещения текста выбора позиции мышью и щелчка левой кнопкой, функция leg-end() создает прямоугольник с поясняющими подписями. Все эти функции и функции нанесения линий, стрелок на график доступны в режиме редактирования фигуры из меню Insert или кнопкой Edit plot.

При проблемах с русскими шрифтами в XP рекомендуется в ветви реестра HKEY_LOCAL_MACHINE\System\CurrentControlSet\Control\Nls\Codepage установить значения кодовых страниц 1250 = "C_1251.nls", 1252 = "C_1251.nls", либо в названиях избегать использования русских символов «с» и «я».

Все возможности функции plot() имеются и у функций loglog(), semilogx(), semilogy(), которые отличаются тем, что строят графики в логарифмическом масштабе соответственно по обеим осям, по оси Х, по оси У. Функция plotyy() строит график с обозначениями оси У как слева, так и справа. Основные формы обращения: plotyy(x1,y1,x2,y2) – пара х1, у1 для левой оси ординат, пара х2, у2 для правой; вызов в форме plotyy(x1,y1,x2,y2,fun) уточняет способ построения графика, например, plotyy(x1,y1,x2,y2,@loglog) или plotyy(x1,y1,x2,y2,'loglog'), из списка plot, semilogx, semilogy, loglog. Если указаны две функции plotyy(x1,y1,x2,y2,fun1,fun2), то fun1(x1,y1) строит график для левой оси У, а fun2(x2,y2) предназначена для правой оси ординат.

163

К области специальной графики относятся функции:polar(Phase, Mag) – построение в полярных координатах зависи-

мости модуля вектора Mag от его угла Phase (рад);compass(U, V) – построение в полярных координатах векторной

диаграммы по проекциям U (ось абсцисс) и V (ось ординат). Каждый вектор отображается стрелкой из начала координат, U и V могут быть наборами данных для нескольких векторов;

contour() – построение линий равного уровня в пространстве двух параметров по предварительно сформированной сетке.

fplot(f,[a,b]) – построение графика функции f в интервале (a, b).Командой ezplot() осуществляется построение графика сим-

вольной функции, которая может быть задана непосредственно име-нем ezplot(eq2,x1,x2), либо как строковая переменная ezplot(‘sin(x)’). Пределы изменения переменной х1 и х2 могут указываться без квад-ратных скобок, если это целые числа, либо в квадратных скобках в ином случае; если они не указываются, программа использует значе-ния по умолчанию. При исследовании двух функций одной перемен-ной f1(x) и f2(x) график использует первую из них для организации изменения по оси Х, вторую – по оси У. Диапазон изменения пере-менной х может быть указан специально ezplot(f1,f2,[xmin,xmax]), ли-бо оставлен на усмотрение программы ezplot(f1,f2), тогда 0 < x < 2.

Для функции двух переменных f(x,y)=0 возможны обращения: ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) при разных пределах изменения x и y; ezplot(f,[a,b]) – при изменении обеих переменных в диапазоне от a до b. В данном случае в описание функции не включают ноль и знак ра-венства, так как программа их ставит автоматически, поэтому функ-цию нужно приводить к соответствующему виду. Например, вместо записи ‘x^2+y^2=1’ следует вводить ‘x^2+y^2-1’. Первые по порядку пределы указываются для переменной, встречающейся в описании функции также первой, независимо от ее имени.

6.6 Программирование в MATLABОсновные виды структур управления потоками в MATLAB:

оператор if (elseif, else) end проверки выполнения условий;оператор switch (case, otherwise) end выбора исполняемого действия;операторы цикла for …end и while … end;оператор break – позволяет досрочно выйти из того блока for или while, в котором он встречается;оператор return – досрочный выход из тела функции.

Как только написан первый оператор блока, выполнение в пря-мом режиме приостанавливается до ввода оператора конца блока End.

164

Цикл for повторяет действия заданное число раз, напримерfor i=1:m

for j=1:nH(i,j)=1/(i+j);

endendпри этом может быть указан шаг изменения for i=1:0.1:2, в том числе отрицательный for i=1:-0.1:0. По умолчанию шаг равен 1, если усло-вие цикла не выполняется, цикл не выполняется ни разу. (Внимание! Переменные i и j являются системными, они отведены под указание мнимой единицы, поэтому следует внимательно относиться к их ис-пользованию в прямом режиме во избежание переопределения).

Оператор Switch осуществляет выбор действия по условию, вы-полняется только первый соответствующий случай. Выбор альтерна-тивных путей алгоритма функционирования осуществляется операто-рами nargin и nargout, проверяющими соответственно число входных и выходных переменных. Функция pause останавливает выполнение программы до нажатия пользователем любой клавиши с выводом со-общения Paused: Press any key, вариант вызова pause(n) формирует за-держку выполнения на n секунд с автоматическим возобновлением операций, причем n может быть дробным числом с точностью 0.01. Для вывода сообщения об ошибке или предупреждения используются функции error(‘текст’) с прекращением выполнения программы или warning(‘текст’) с его продолжением.

Программирование в MATLAB удобно рассмотреть на примере реализации алгебраических критериев Гурвица и Рауса в виде m-файлов, позволяющих многократно использовать готовые функции. Встроенных функций расчета критериев Рауса и Гурвица система MATLAB не имеет. Для редактирования следует открыть редактор (Editor) опцией меню File-New-M-File.

Создадим пользовательскую функцию routh(), формирующую из n коэффициентов полинома матрицу r размером n x m, где m = n/2 при четном n и m = (n+1)/2 при нечетном n. Первые строки комментариев после заголовка функции, начинающиеся символом %, обычно выво-дятся на экран при запросе справки по функции, например, help routh. Прекращается их вывод пустой строкой. Операторы в одной строке разделяются символом «;», этот же символ в конце строки отменяет немедленный вывод результата на экран.

Функция length() позволяет найти длину вектора (количество коэффициентов полинома) n, которая и определит число строк в таб-лице. Число столбцов m получим с помощью функции округления round(). Применив функцию zeros(), создадим нулевую матрицу раз-

165

мером n на m. Символ двоеточия в MATLAB позволяет указывать це-ликом строку, столбец матрицы, задавать числовой вектор его началь-ным, конечным значением и шагом (если величина шага не указана, по умолчанию она равна единице), либо крайними индексами элемен-тов и шагом. Учитывая изложенное, запишем порядок вычисления первой и второй строки таблицы [28].n=length(p); m=round(n/2); r=zeros(n,m);r(1,:)=p(1:2:n); r(2,1:fix(n/2))=p(2:2:n);

Функция fix(), отбрасывающая дробную часть числа, позволяет соблюсти требования равенства размеров присваиваемого и читаемого векторов для четного и нечетного n при формировании второй строки таблицы Рауса.

Задача программирования расчета остальных элементов табли-цы облегчается в MATLAB тем, что векторная форма задания измене-ния переменной освобождает порой даже от необходимости записы-вать сам цикл (например, как это сделано для переменной j).for i=3:n

j=1:m;r(i,j)=r(1-2,j+1)-r(i-1,j+1)*r(i-2,1)/r(i-1,1);

endЦикл в MATLAB начинается словом for и заканчивается словом

end, аналогично формируется блок проверки условия if … end (без слова then).

Осталось предусмотреть случай, когда в первом столбце оказы-вается нулевой элемент r(i-1,1), на который делить нельзя. Рекоменду-ется вместо нуля принять в этом случае очень маленькую положи-тельную величину и продолжать вычисления. Воспользуемся для это-го имеющейся в MATLAB константой realmin, которая и является ми-нимально возможным действительным числом 2.2251е-308.den=r(i-1,1);if den==0

den=realmin;end

Обратите внимание на то, что в MATLAB символ «=» соответ-ствует присваиванию, а равенство записывается двойным таким сим-волом.

Результат, полученный при использовании созданной функции routh() для оценки устойчивости полинома

P(x)=x6 + 2x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + 6x + 7,

нельзя считать удовлетворительным.>> p=[1 2 3 4 5 6 7];>> routh(p)

166

ans = 1 3 5 7 2 4 6 0 1 2 7 0 0 -8 0 0 Inf 7 0 0 -8 0 0 0 NaN NaN NaN 0

Здесь Inf – обозначение бесконечности, эта величина может иметь знак и не мешает анализу устойчивости, тогда как NaN (не чис-ло, неопределенность), величина, получающаяся при операциях вида умножения бесконечности на ноль, отношения двух нулей и т.п., не способствует правильности анализа.

В силу этого введем вторую проверку – если элемент r(i-2,1) ра-вен бесконечности Inf, что и ведет к появлению NaN, заменяем его на очень большое число realmax, равное 1.7977е+308, сохраняя знак бес-конечностиnom=r(i-2,1);if abs(nom)==Inf

nom=realmax*sign(nom);end

Повторим расчет для полинома p>> routh(p)ans = 1 3 5 7 2 4 6 0 1 2 7 0 0 -8 0 0 Inf 7 0 0 -8 0 0 0 7 0 0 0

Для большинства полиномов работа функции в таком виде бу-дет удовлетворительной. Однако следует учесть и специальный слу-чай, вызываемый наличием пар комплексных корней, одинаковых по величине, но разных по знаку. Найдем корни такого полинома и при-меним к нему созданную функцию>> p=[1 3 8 18 37 75 50]; roots(p)ans = 1.0000 + 2.0000i 1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -2.0000 -1.0000 >> routh(p)ans =

167

1 8 37 50 3 18 75 0 2 12 50 0 0 0 0 0 12 50 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0

У полинома имеется два правых корня 1±j2, однако в первом столбце полученной таблицы Рауса отсутствуют отрицательные эле-менты, что приводит к неверному заключению. Признаком рассмат-риваемого случая является строка, в которой все элементы нулевые (четвертая сверху).

Предложено [16] заменять нулевой ряд производной полинома, составленного из коэффициентов предшествующей строки, в частно-сти, по следующим формулам

Дополним данные формулы условием, что количество значащих коэффициентов в строке должно быть больше одного, это позволит избежать ошибки при наличии нулевого коэффициента в последней или предпоследней строке.if r(i,:)==0 & i<n-1 ni=n+1-i; for j=1:m r(i,j)=r(i-1,j)*ni; ni=ni-2; endend

Теперь для того же полинома созданная функция возвращает таблицу с отрицательным коэффициентом в первом столбце, что пра-вильно указывает на неустойчивую систему с двумя правыми корнями характеристического уравнения.>> routh(p)ans = 1.0000 8.0000 37.0000 50.0000 3.0000 18.0000 75.0000 0 2.0000 12.0000 50.0000 0 8.0000 24.0000 0 0 6.0000 50.0000 0 0 -42.6667 0 0 0 50.0000 0 0 0

Ниже приводится текст окончательно записанного файла routh.m, который соответствует функции пользователя, допускающей применение наряду со стандартными функциями системы MATLAB. Вывод по устойчивости системы пользователь делает самостоятельно.

168

function r = routh(p)% Расчет таблицы Рауса% Входной параметр - полином p, выходной - матрица r n=length(p);m=round(n/2);r=zeros(n,m);r(1,:)=p(1:2:n); r(2,1:fix(n/2))=p(2:2:n);m=m-1;for i=3:n den=r(i-1,1); if den==0 den=realmin; end nom=r(i-2,1); if abs(nom)==Inf nom=realmax*sign(nom); end j=1:m; r(i,j)=r(i-2,j+1)-r(i-1,j+1)*nom/den; if r(i,:)==0 & i<n-1 ni=n+1-i; for j=1:m r(i,j)=r(i-1,j)*ni; ni=ni-2; end endend

Текст m-файла с реализацией критерия Гурвица приводится без дополнительных пояснений.function r = hurwitz(p)% Расчет определителей и матрицы Гурвица% Входной параметр - полином p, выходной - матрица r n=length(p)-1; % проверка порядка (длины) полинома if n<=1 return; endr=zeros(n); % формирование матрицы Гурвица m = 1; for i = 1:2:n k = 1; for j = m:n if k <= n r(i, j) = p(1 + k); end if k <= n + 1 & i < n r(1 + i, j) = p(k);

169

end k = k + 2; end m = m + 1; endfor i=1:n % вычисление диагональных миноров Determinants(i)=det(r(1:i,1:i));endDeterminants % вывод значений определителейend

При обращении к функции указывается полином, функцией воз-вращаются значения определителей 1..n-порядка и матрица Гурвица. Вывод по устойчивости системы пользователь делает самостоятельно.>> k=[1 2 3 4 1];>> hurwitz(k)Determinants = 2 2 4 4ans = 2 4 0 0 1 3 1 0 0 2 4 0 0 1 3 1

Если разработанные пользователем m-файлы будут находиться в рабочей папке Work, программа при вызове будет загружать их ав-томатически.

6.7 Математические модели систем управленияСтруктура системы управления может быть описана в команд-

ном окне (Command Window) программы, либо сформирована в кон-структоре-симуляторе Simulink. Пакет расширения Control System Toolbox поддерживает следующие LTI-модели линейных непрерыв-ных систем (Linear Time-Invariant system): пространство состояний (SS), передаточную функцию (TF), описание посредством нулей-полюсов-усиления (ZPK) и частотных характеристик (FRD).

MIMO-модель многомерной системы в пространстве состояний (State Space) формируется функцией ss() по матрицам коэффициентов собственных A, входов B, выходов C, обходов D, или модели системы W, заданной иным образом.

sys=ss(a, b, c, d)sys=ss([0 1;-2 -3],[0; 0; 1],[3.12 0 0],[0])sys=ss(w)Это основная (рекомендуемая) модель для систем управления в

MATLAB. Матрицы описания системы в пространстве состояний мо-

170

гут быть получены обращением [a, b, c, d]=ssdata(sys), при этом не обязательно, чтобы система была SS-моделью.

SISO-модель одномерной системы в виде передаточной функ-ции (Transfer Function) формируется функцией tf() по полиномам чис-лителя Num{erator} и знаменателя Den{ominator}, либо по готовой модели системы sys. По умолчанию для комплексной переменной Ла-пласа используется обозначение s.>> num=10;>> den=[1 2 3 4];>> sys=tf(num,den)Transfer function: 10---------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

Параметры системы, заданной передаточной функцией, могут быть получены (с указанием на векторный характер данных в виде строковой переменной 'v') обращением [num, den]=tfdata(sys, 'v').

Для привыкших обозначать и оператор дифференцирования p ≡ d/dt, и комплексную переменную Лапласа s =σ + jω = α + jβ одина-ково символом «p», имеется возможность указать его в качестве ос-новного вместо «s»:>>w=tf(num, den, 'variable', 'p')Transfer function: 10---------------------p^3 + 2 p^2 + 3 p + 4

Программа позволяет описывать передаточную функцию и в символической форме отношения полиномов от s или р, например

s=tf('s');w=s/(s^2+2*s+10)Модель в виде корней числителя (нулей zero), корней знамена-

теля (полюсов pole) и общего коэффициента усиления k (Zero-Pole--Gain) передаточной функции формируется оператором zpk. При выво-де она отображается в виде отношения произведений полиномов не выше второго порядка, при вводе задается векторами корней.

w=zpk(z, p, k)w=zpk(sys)[z, p, k]=zpkdata(sys,'v') – извлечь данные в форме zpk-модели, с

обязательной ссылкой на векторный характер данных в виде ‘v’.Пример задания системы триадой нули-полюса-коэффициент (отсутст-

вующим нулям соответствует пустая матрица, в знаменателе действительный ко-рень -2 и комплексная пара корней -1±j3, коэффициент усиления равен 5).>> w=zpk([],[-2, -1+3i, -1-3i],5) % формирование ZPK моделиZero/pole/gain:

171

5----------------------(s+2) (s^2 + 2s + 10)>> [z,p,k]=zpkdata(w,'v') % выборка параметров моделиz = Empty matrix: 0-by-1 % пустая матрица – нули отсутствуютp = -2.0000 -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000ik = 5

Если, вызвав командой ltiview(имя_системы) окно графического анализатора, выбрать в контекстном меню графиков тип графика Plot Types-Pole/Zero, для одномерной системы будет выведена карта раз-мещения нулей Zero (кружки) и полюсов Pole (крестики) системы на комплексной плоскости. Аналогичные действия выполняет функция pzmap(имя_системы). Отдельно вычисляет полюса системы функция pole(), нули – функция zero(). Во всех приведенных случаях недостат-ком является отсутствие сведений о значении общего коэффициента усиления, а следовательно, неоднозначное описание системы. Функ-ция dcgain() выводит коэффициенты усиления, но в установившемся режиме, т.е. для записи ПФ с нормированием по свободному члену, и для описанной выше системы выводится не 5, а bm/an = 5/20 = 0.25.>> dcgain(w)ans = 0.2500

Функции преобразования модели tf2zpk() и tf2zp() рассчитыва-ют значения нулей, полюсов и коэффициента усиления по известным числителю и знаменателю ПФ, отличаясь друг от друга способом вы-вода матрицы нулей; функция zp2tf() производит обратное преобразо-вание от ZPK-модели к описанию передаточной функцией.>> num=[1 2]; den=[1 2 3 4]; w=tf(num, den); ww=zpk(w)Zero/pole/gain: (s+2)----------------------------------(s+1.651) (s^2 + 0.3494s + 2.423)>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)z = -2p = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469ik = 1

172

>> [nums,dens]=zp2tf(z,p,k)nums = 0 0 1 2dens = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000

Использовать функцию tf2zpk() не рекомендуется, так как об-ратное преобразование по выведенному ею вектору нулей приводит к неверному формированию числителя ПФ (коэффициенты оказывают-ся смещенными в сторону старших степеней), что иллюстрирует при-мер, следовательно, по таким значениям числителя и знаменателя бу-дет ошибочно создана совсем другая система.>> [z,p,k]=tf2zpk(num,den)z = 0 0 -2p = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469ik = 1>> [nums,dens]=zp2tf(z,p,k)nums = 1 2 0 0dens = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000>> tf(nums,dens)Transfer function: s^3 + 2 s^2---------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

Модель, заданная в виде экспериментально полученных частот-ных характеристик (Frequency Response Data model), формируется функцией frd() по значениям вещественной и мнимой составляющих комплексного отклика K(jω) на заданных значениях вещественных неотрицательных частот freqs, измеряемых по умолчанию в рад/c.

sys=frd(response, freqs)sys=frd(sys, freqs)[response, freqs]=frdata(sys)В последнем случае для табуляции функции автоматически вы-

бирается 200 частот, записываемых в вектор freqs. Можно перейти на отсчет частоты в герцах, если при обращении указать соответствую-щие единицы измерения sys=frd(response, freqs,'Units','Hz').>> [yf,fr]=freqs(num,den); ww=frd(yf,fr)From input 1 to:

173

Frequency(rad/s) output 1 ---------------- -------- 0.010000 0.133339+0.001022i 0.010353 0.133339+0.001058i 0.010718 0.133339+0.001096i ... ... 9.642880 0.021834-0.102662i 10.000000 0.020276-0.099063iContinuous-time frequency response data model.

Это модель низшего уровня, она позволяет строить, в основном, стандартные частотные характеристики (bode, bode magnitude, nyquist, nichols, singular value, margins, sigma) и не преобразуется в другие формы моделей.

Описание звеньев дифференцирующего (порядок m числителя больше порядка n знаменателя) и чистого запаздывания (трансцедент-ного звена) имеет особенности. При формировании ПФ дифференци-рующего и форсирующих звеньев необходимо указывать единицу в качестве знаменателя передаточной функции TF-модели>> w=tf([1 0],1) % дифференцирующее звеноTransfer function:s>> forse=tf([1 2 3],1) % форсирующее звено второго порядкаTransfer function:s^2 + 2 s + 3

Используя iodelay, inputdelay и outputdelay свойства LTI-объектов, можно вводить чистую задержку (Transport Delay) без спе-циальных звеньев, причем независимо для каждой пары вхо-дов/выходов системы. Так, в частности, создается непрерывная TF-модель многомерной системы с передаточными функциями

,

или модель в пространстве состояний

,

имеющая задержку τ между входом и вектором состояний, задержку θ между вектором состояний и выходом. Воспользоваться свойствами iodelay, inputdelay, и outputdelay можно как в процессе создания моде-ли посредством функций tf, zpk, ss или frd, так и позднее с помощью

174

команды set или приемов объектно-ориентированного программиро-вания. Суммарную задержку системы находит функция totaldelay(sys).

В качестве примера опишем одномерную (SISO) модель нагре-вателя с названием «A simple heater model» (рисунок 87), имеющую задержку 0.3 с, вход «energy» и выход «temperature».

Рисунок 87

Зададим основные свойства системы при ее создании, а имена входа, выхода и общий комментарий присвоим позднее командой set.>> sys = tf(1,[1 1],'inputdelay',0.3);>> set(sys,'inputname','energy','outputname','temperature',...'notes','A simple heater model')

Рассмотрим также в виде иллюстрации описание системы с раз-ными длительностями задержек для каждой пары вход/выход

.

После ввода всех параметров>> H = tf({12.8 –18.9;6.6 –19.4},...{[16.7 1] [21 1];[10.9 1] [14.4 1]},...'iodelay',[1 3;7 3],...'inputname',{'R' , 'S'},'outputname',{'Xd' , 'Xb'})получаем результирующую TF модель многомерной системыTransfer function from input "R" to output... 12.8Xd: exp(–1*s) * ---------- 16.7 s + 1 6.6Xb: exp(–7*s) * ---------- 10.9 s + 1Transfer function from input "S" to output... –18.9Xd: exp(–3*s) * -------- 21 s + 1 –19.4Xb: exp(–3*s) * ---------- 14.4 s + 1

175

Для определения групповых (одинаковых) задержек моделей TF, ZPK или FRD удобнее использовать свойства inputdelay и output-delay. Например, при описании системы

командами>> s = tf('s');>> H = [1/s ; 2/(s+1)]; % рациональная часть>> H.inputdelay = 0.1формируется модель с одинаковыми задержками на всех входахTransfer function from input to output... 1#1: exp(–0.1*s) * - s 2#2: exp(–0.1*s) * ----- s + 1

Если же использовать в подобных случаях свойство iodelay, не-обходимо указывать задержку отдельно для каждого пути>> H = [1/s ; 2/(s+1)]; H.iodelay = [0.1 ; 0.1];

Функция pade() вычисляет рациональную аппроксимацию чис-той задержки для непрерывных LTI-моделей. При обращении [num, den] = pade(τ, n) она возвращает Паде-аппроксимацию n-го порядка задержки exp(-τ*s) на время τ в виде передаточной функции. Векторы num и den содержат коэффициенты полиномов числителя и знамена-теля, расположенные по убыванию степени s. При отсутствии левой части выражения функция строит переходную и фазовую характери-стики приближенной модели и сравнивает их с реакцией звена чисто-го запаздывания в экспоненциальной форме.

Сформируем звено задержки на время 1 с вида , используя аппроксимацию Паде второго порядка>> [num, den]=pade(1, 2)num = 1 -6 12den = 1 6 12>> wd=tf(num,den)Transfer function:s^2 - 6 s + 12--------------s^2 + 6 s + 12

176

При обращении sysp = pade(sysd, n) функция заменяет систему sysd с задержками в экспоненциальной форме на систему sysp, в кото-рой задержки выражены дробью в виде аппроксимации Паде n-го по-рядка. Только после такого преобразования к разомкнутой системе с задержкой может быть применена функция feedback().

Для модели с множественными задержками, либо размещенны-ми разным образом на входах и выходах, используется более сложное обращение sysp=pade(sysd,ni,no,nio), где векторы ni, no и матрица nio определяют порядок аппроксимации независимо для каждого входа (input), выхода (output) и проходной I/O задержки. При отсутствии за-держек на входе, выходе или проходных задержек нужно указывать в пропускаемой позиции пустую матрицу [ ].

От системы с задержками, имеющую по два входа и выхода

.

перейдем к системе Н без экспоненциальных функций, задав первый порядок аппроксимации Паде для задержек величиной 1 и 3 с, второй порядок аппроксимации Паде для задержки 7 с.>> pade(H,[ ],[ ],[1 1;2 1])

Указанная в списке аргументов Н – это исходная система с за-держками в экспоненциальной форме. Новая Н-система не содержит задержек в явном виде, но, тем не менее, воспроизводит их; погреш-ности воспроизведения зависят от порядка аппроксимации. Размер системы увеличивается на порядок аппроксимации задержки рядом Паде, например, при объекте первого порядка и аппроксимации вто-рого порядка задержки 7 с получается система третьего порядкаTransfer function from input "R" to output... –12.8 s + 25.6Xd: --------------------- 16.7 s^2 + 34.4 s + 2 6.6 s^2 – 5.657 s + 1.616Xb: --------------------------------------- 10.9 s^3 + 10.34 s^2 + 3.527 s + 0.2449Transfer function from input "S" to output... 18.9 s – 12.6Xd: ---------------------- 21 s^2 + 15 s + 0.6667 19.4 s – 12.93Xb: -------------------------- 14.4 s^2 + 10.6 s + 0.6667

177

6.8 Структурные преобразования моделиВ соответствии с определением, передаточная функция (ПФ)

системы может быть получена по известным входному воздействию и реакции системы на него, если существует преобразование Лапласа от этих временных функций. Прямое и обратное преобразования Лапласа являются элементами пакета символьной математики, в начале дейст-вий необходимо объявить используемые символьные переменные s и t>> syms s t; yt=2.5+2.5*exp(-2*t)-5*exp(-t)yt =2.5+2.5*exp(-2*t)-5*exp(-t)>> rs=laplace(t^0) % преобразование Лапласа от скачка 1(t) rs =1/s>> ys=laplace(yt) % преобразование Лапласа от реакции системыys =5/2/s+5/2/(s+2)-5/(1+s)>> ws=ys/rs % отношение преобразований Лапласа выхода и входаws =(5/2/s+5/2/(s+2)-5/(1+s))*s>> w=simplify(ws) % окончательный вид передаточной функцииw =5/(s+2)/(1+s)

MATLAB позволяет решить задачу идентификации объекта (по-строения его модели в виде передаточной функции или описания вход-состояние-выход), если для объекта известен закон изменения входа u(t) и выхода y(t) во времени (обе функции должны быть пред-ставлены вектором-столбцом значений одинаковой размерности, по-этому вектор-строка u транспонирован в вектор-столбец) [29]. При создании набора данных da функцией iddata() последним указано зна-чение шага дискретности таблицы по времени ts = 0.01 с.>> da=iddata(y,u',0.01)Time domain data set with 201 samples.Sampling interval: 0.01 Outputs Unit (if specified) y1 Inputs Unit (if specified) u1

По набору da формируется непрерывная (ts = 0) модель методом предсказаний Prediction Error Method в пространстве состояний ‘ss’ с каноническим представлением ‘can’. Программа самостоятельно оп-ределяет матрицу К влияния шумов e(t) на входах объекта и вектор начальных условий х0, в дальнейшем SS-модель преобразована в пе-редаточную функцию W(s) = 5/(s+3).>> w=pem(da,'ts',0,'ss','can')

178

State-space model: dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t) y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)A = x1 x1 -3B = u1 x1 5C = x1 y1 1D = u1 y1 0K = y1 x1 8.6974x(0) = x1 4.7539e-016 Estimated using PEM from data set da Loss function 1.58473e-031 and FPE 1.64909e-031 >> sys=tf(w)Transfer function from input "u1" to output "y1": 5-----s + 3

Составление структурной схемы системы и ее преобразования могут выполняться аналитическим путем в командном окне. Для по-следовательного соединения звеньев используется знак умножения w1*w2 или функция series(w1,w2). Параллельное соединение звеньев выполняется знаками «+», «-» и функцией parallel(w1,w2). Соединение с обратной связью производится функцией feedback(w1,w2), где звено w1 находится на прямом пути, а w2 в цепи отрицательной обратной связи. Положительная обратная связь должна указываться особо при обращении, например, при установке звена w3 в цепи положительной обратной связи: feedback(w1*w2,w3,+1). Функция append() просто объединяет под одним названием несколько подсистем, оставляя их независимыми, функция sysc = connect(sys,q,inputs,outputs) строит из них объединенную систему sysc с помощью матрицы связей q.

Система может быть сформирована по описанию отдельных пе-редаточных функций от всех входов ко всем выходам, например, для системы с входом u и выходами y (первый) и e (второй) – сначала фи-

179

гурные скобки всех числителей, потом то же для всех знаменателей, точка с запятой между ними говорит о вертикальном соединении:>> h=tf({2;[1 4 3]},{[1 4 5];[1 4 5]})Transfer function from input to output... 2 #1: ------------- s^2 + 4 s + 5

s^2 + 4 s + 3 #2: ------------- s^2 + 4 s + 5

Без вычислений с символьными переменными не обойтись, если хотя бы один параметр является неизвестной величиной. Кроме того, вычисления с символьными переменными позволяют проследить уча-стие тех или иных параметров в общей функции преобразования.

В общем виде MATLAB позволяет выполнять алгебраические действия над передаточными функциями звеньев, как символьными переменными>> syms w1 w2 w3>> w=w1*w2w =w1*w2>> w=w1-w2w =w1-w2>> w=times(w1,w2)w =w1*w2>> w=minus(w1,w2)w =w1-w2однако специализированные функции serial(), parallel() и feedback() к символьным переменным не применимы.

Передаточные функции могут быть выражены в общем виде че-рез коэффициенты усиления и постоянные времени с использованием упомянутых алгебраических операций>> syms s k1 k2 k3 T1 T2 T3>> w1=k1/(T1*s+1); w2=k2/(T2*s+1); w3=k3/(T3*s+1);>> w=w1*w2+w3w =k1/(T1*s+1)*k2/(T2*s+1)+k3/(T3*s+1)причем результат можно распечатать в более наглядном виде>> pretty(w) k1 k2 k3 --------------------- + -------- (T1 s + 1) (T2 s + 1) T3 s + 1

180

привести выражение к общему знаменателю, с выводом отдельно чис-лителя и знаменателя>> [num,den]=numden(w)num =k1*k2*T3*s+k1*k2+k3*T1*s^2*T2+k3*T1*s+k3*T2*s+k3den =(T1*s+1)*(T2*s+1)*(T3*s+1)и привести подобные, например, в числителе>> collect(num)ans =k3*T1*s^2*T2+(k1*k2*T3+k3*T1+k3*T2)*s+k1*k2+k3

Можно проделать те же действия, подставив вместо коэффици-ентов передачи и постоянных времени их численные значения>> w1=1/(0.1*s+1); w2=2/(0.2*s+1); w3=3/(0.3*s+1);>> w=w1*w2+w3w =2/(1/10*s+1)/(1/5*s+1)+3/(3/10*s+1)>> pretty(w) 2 3 ------------------------ + ---------- (1/10 s + 1) (1/5 s + 1) 3/10 s + 1>> [num,den]=numden(w)num =750*s+2500+30*s^2den =(s+10)*(s+5)*(3*s+10)>> den=expand(den) % Раскрываем скобки в знаменателеden =3*s^3+55*s^2+300*s+500

Опишем систему, охваченную жесткой отрицательной обратной связью с передаточной функцией k4 звена в цепи ОС.>> w1=1/(0.1*s+1); w2=2/s; w3=3/(0.3*s+1); w4=k4;>> w=(w1+w2)*w3 % прямая связь – разомкнутая системаw =3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)>> ww=w/(1+w*w4) % замкнутая системаww =3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)/(1+3*(1/(1/10*s+1)+2/s)/(3/10*s+1)*k4)>> [num,den]=numden(ww)num =120*(3*s+5)*(s+10)*s*(3*s+10)den =(s+10)*s*(3*s+10)*(3*s^3+40*s^2+100*s+360*k4*s+600*k4)>> n=collect(num); d=collect(den); ww=n/dww =(1080*s^4+16200*s^3+60000*s^2+60000*s)/(9*s^6+240*s^5+(2200+1080*k4)*s^4+(8000+16200*k4)*s^3+(10000+60000*k4)*s^2+60000*k4*s)

181

>> r=simplify(ww) % упрощаем выражениеr =120*(3*s+5)/(3*s^3+40*s^2+100*s+360*k4*s+600*k4)>> pretty(r) 3 s + 5 120 ---------------------------------------- 3 2 3 s + 40 s + 100 s + 360 k4 s + 600 k4

Если все параметры системы известны, удобнее строить модель в виде передаточной функции, используя функцию tf() и представле-ние числителя и знаменателя передаточной функции в виде векторов. При этом коэффициенты должны задаваться по убыванию степени переменной s, вместо коэффициента отсутствующей степени обяза-тельно указывается ноль. Эквивалентная ПФ образуется из переда-точных функций отдельных звеньев по правилам структурных преоб-разований, например>> w1=tf(1,[0.1 1]); w2=tf(2,[0.2 1]); w3=tf(3,[0.3 1])>> w=w1*w2+w3Transfer function: 0.06 s^2 + 1.5 s + 5--------------------------------0.006 s^3 + 0.11 s^2 + 0.6 s + 1>> series(w1,w2) % последовательное соединениеTransfer function: 2--------------------0.02 s^2 + 0.3 s + 1>> parallel(w1,-w2) % параллельное соединениеTransfer function: -1--------------------0.02 s^2 + 0.3 s + 1>> feedback(w1*w2,w3) % соединение с обратной связьюTransfer function: 0.6 s + 2--------------------------------0.006 s^3 + 0.11 s^2 + 0.6 s + 7

Затруднения возникают при попытке описать систему с пере-крещивающимися связями, когда недостаточно использовать только три основных правила структурных преобразований. В этом случае следует либо самостоятельно получить общую структурную формулу, пользуясь правилом переноса воздействий или правилом Мейсона, либо воспользоваться методом решения узловых уравнений.

Для системы (рисунок 88) главная передаточная функция по Мейсону равна

182

.

Рисунок 88

Подставляя численные значения коэффициентов и упрощая вы-ражение, получим>> syms s>> w1=2; w2=3/s; w3=1/(s+2); w4=1/(s+3);>> w=w1*w2*w3*w4/(1+w2*w3+w3*w4)w =6/s/(s+2)/(s+3)/(1+3/s/(s+2)+1/(s+2)/(s+3))>> w=simplify(w)w =6/(s^3+5*s^2+10*s+9)

Во многих случаях целесообразно перейти от символической записи к записи в виде полиномов-векторов, поскольку ассортимент функций, применимых к символьным выражениям, достаточно огра-ничен. Для перехода используется функция sym2poly()>> [num,den]=numden(w)num =6den =s^3+5*s^2+10*s+9>> num=sym2poly(num)num = 6>> den=sym2poly(den)den = 1 5 10 9>> ww=tf(num,den)Transfer function: 6--------------------s^3 + 5 s^2 + 10 s + 9

Коэффициенты из символьных констант преобразуются в чи-словые, что позволяет далее выполнять над объектом различные опе-рации. Структурная формула может быть выражена в общем виде, ко-

183

гда по крайней мере один параметр остается неизвестной переменной, и в числовом виде, когда значения всех параметров известны.

Метод узловых уравнений исследуем на примере системы (ри-сунок 89). Составляем уравнения для сигналов в точках e, f, m, n, y (на выходах блоков или сумматоров, за исключением известных сигналов, т. е. воздействий на входах системы), уравнения в форме 1 разрешены относительно нуля, уравнения в форме 2 разрешены относительно входных воздействий (таблица 7).

Рисунок 89

Таблица 7Исходные уравнения Форма 1 Форма 2

e=-W7 f+W1 r e+W7f-W1r=0 e+W7f=W1rf=W2 e f-W2 e=0 f-W2 e=0

m=W3 f-W8 n+W6 r m-W3 f+W8 n-W6 r=0 m-W3 f+W8 n=W6 rn=W4 m n-W4 m=0 n-W4 m=0y=W5 n y-W5 n=0 y-W5 n=0

Результатом является сигнал, т.е. реакция системы по выбран-ному выходу относительно входа r. По умолчанию подразумевается, что правая часть уравнений равна нулю (уравнения в форме 1), при этом знак «равно» и ноль по правилам MATLAB не пишутся. >> syms e f m n y r>> syms w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8>> eq1=e+w7*f-w1*r;>> eq2=f-w2*e;>> eq3=m-w3*f+w8*n-w6*r;>> eq4=n-w4*m;>> eq5=y-w5*n;>> s=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,e,f,m,n,y);>> s.yans =w5*w4*r*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Можно выбрать в качестве выходного другой сигнал и, соответ-ственно, получить реакцию (произведение входного сигнала на пере-даточную функцию) для данного выхода. Например, реакции на вы-ходах n и f

184

>> s.nans =w4*r*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)>> s.fans =w2/(1+w2*w7)*w1*r>> pretty(ans) w2 w1 r --------- 1 + w2 w7

Решение системы линейных уравнений для определения переда-точной функции может быть выполнено, например, методом Крамера. Знаменателем передаточной функции является характеристический полином, т.е. главный определитель матрицы А, включающей коэф-фициенты левой части уравнений в форме 2. Числитель передаточной функции вычисляется посредством определителя, получаемого из об-щего определителя системы заменой столбца переменной, считаю-щейся выходом системы, на входной вектор-столбец матричного уравнения b, образованный коэффициентами при входных воздейст-виях – правой части уравнений в форме 2.>> syms w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8>> A=[1 w7 0 0 0;-w2 1 0 0 0;0 -w3 1 w8 0;0 0 -w4 1 0;0 0 0 -w5 1]A =[ 1, w7, 0, 0, 0][ -w2, 1, 0, 0, 0][ 0, -w3, 1, w8, 0][ 0, 0, -w4, 1, 0][ 0, 0, 0, -w5, 1]>> b=[w1;0;w6;0;0]b = w1 0 w6 0 0>> den=det(A)den =1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8>> AA=[A(:,1:4) b]AA =[ 1, w7, 0, 0, w1][ -w2, 1, 0, 0, 0][ 0, -w3, 1, w8, w6][ 0, 0, -w4, 1, 0][ 0, 0, 0, -w5, 0]>> num=det(AA)num =

185

w4*w6*w5+w2*w7*w4*w6*w5+w2*w3*w4*w1*w5>> sys=simplify(num/den)sys =w4*w5*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Решая систему линейных уравнений другим методом, получаем сразу матрицу передаточных функций для всех выходов e, f, m, n, y соответственно (матрица А и вектор b описаны выше)>> sys=inv(A)*bsys = 1/(1+w2*w7)*w1 w2/(1+w2*w7)*w1 w3*w2/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+1/(1+w4*w8)*w6 w4*w2*w3/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+w4/(1+w4*w8)*w6 w5*w2*w4*w3/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)*w1+w4*w5/(1+w4*w8)*w6

В последней строке матрицы sys получили уже известную пере-даточную функцию для выхода y относительно входа r. В зависимости от способа решения системы линейных уравнений результат может отличаться по форме (но не по сути), например>> sys=A\bsys = 1/(1+w2*w7)*w1 w2/(1+w2*w7)*w1 (w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8) w4*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8) w4*w5*(w6+w2*w7*w6+w2*w3*w1)/(1+w4*w8+w2*w7+w2*w7*w4*w8)

Для системы второго порядка (рисунок 90) уравнения формиро-вания сигналов имеют вид a=-c+W1e; b=-d+W2a; c=W3b; d=W4c. Пе-ренося все слагаемые в левую сторону и отбрасывая согласно прави-лам MATLAB нуль, решаем уравнения и получаем аналитическое представление сигналов a, b, c и d.

Рисунок 90>> syms e a b c d w1 w2 w3 w4>> eq1=a+c-w1*e; eq2=b+d-w2*a; eq3=c-w3*b; eq4=d-w4*c;>> sys=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,a,b,c,d);>> ya=sys.aya =(1+w4*w3)*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)>> yb=sys.byb =w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)>> yc=sys.c

186

yc =w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)>> yd=sys.dyd =w4*w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)или, если сразу заданы выходные аргументы в левой части выражения>> syms e a b c d w1 w2 w3 w4>> eq1=a+c-w1*e;>> eq2=b+d-w2*a;>> eq3=c-w3*b;>> eq4=d-w4*c;>> [ya,yb,yc,yd]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,a,b,c,d)ya =(1+w4*w3)*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)yb =w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)yc =w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)yd =w4*w3*w2*w1*e/(1+w4*w3+w3*w2)

Найдем решение, сформировав матрицу А коэффициентов при переменных a, b, c, d и вектор-столбец коэффициентов при e.>> A=[1 0 1 0;-w2 1 0 1;0 -w3 1 0;0 0 -w4 1]A =[ 1, 0, 1, 0][ -w2, 1, 0, 1][ 0, -w3, 1, 0][ 0, 0, -w4, 1]>> b=[-w1;0;0;0]b = w1 0 0 0>> sys=A\bsys = w1*(1+w4*w3)/(1+w4*w3+w3*w2) 1/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1 w3/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1 w4*w3/(1+w4*w3+w3*w2)*w2*w1

Подставив значения передаточных функций, а затем значения параметров, получим в конечном итоге численное выражение переда-точной функции>> syms s k1 k2 T1 T2>> w1=k1; w2=k2; w3=1/(T1*s+1); w4=1/(T2*s+1);>> Wbe=subs(sys(2)) % подставляем обозначения коэффициентовWbe =1/(1+1/(T2*s+1)/(T1*s+1)+1/(T1*s+1)*k2)*k2*k1

187

>> k1=1; k2=0.1; T1=0.2; T2=2;>> Wben=subs(Wbe) % подставляем числовые значения коэффициентовWben =1/10*(2*s+1)*(1/5*s+1)/(2/5*s^2+12/5*s+21/10)>> [num,den]=numden(Wben);>> num=sym2poly(num); % преобразуем символьную запись в числовую>> den=sym2poly(den);>> Wben=tf(num,den) % формируем стандартную TF-модельTransfer function: 2 s^2 + 11 s + 5--------------------20 s^2 + 120 s + 105

Если значения передаточных функций или их параметров были уже известны к моменту команды на решение уравнений, они под-ставляются автоматически и необходимость в специальном примене-нии функции подстановки subs() отпадает.

Все рассмотренные положения можно применить к описанию структурной схемы в виде ориентированного графа, произведя заме-ны: входной сигнал – входной узел, выходной сигнал – выходной узел, блок – ветвь, сигнал – узел.

6.9 Визуальное моделированиеРассмотрим другой путь и предоставим вычислить ПФ компью-

теру – обратимся к системе Simulink. В среде Simulink структурная схема системы регулирования составляется с помощью готовых ус-ловных графических обозначений (УГО) из библиотеки программы. Для этого нужно открыть рабочее поле опцией File-New-Model и ка-талог библиотеки кнопкой Simulink (в командном окне) или Library Browser (в окне конструирования модели).

Достаточно перетащить мышью нужное количество блоков Пе-редаточная функция (Transfer Fcn – раздел Continues), Усилитель Gain, интегратор Integrator и Сумматор Sum (раздел Commonly Used Blocks) из окна элементов в окно конструирования и составить струк-турную схему системы, соединяя их входы и выходы. При соединении узла и входа блока начинать соединительную линию лучше с входа. Соединительные линии можно подписать, используя названия сигна-лов или имена переменных состояния, окно для подписи открывается двойным щелчком на линии, перетаскивается относительно линии. Командами Flip и Rotate в контекстном меню Format можно изменить ориентацию блока в пространстве. Стандартные названия блоков сле-дует поменять на желаемые, открыв поле двойным щелчком. Выделив с помощью левой кнопки мыши фрагмент схемы или схему целиком, их можно перетащить на новое место, скопировать или удалить.

188

В Simulink основной моделью является пространство состояний, а в нем не могут быть заданы отдельно дифференцирующие и любые иные звенья с m > n, поэтому предварительно их следует совместить с соседними звеньями, у которых m < n.

Открывая двойным щелчком левой кнопки или правой кнопкой мыши свойства элемента (Block parameters), задают численные вели-чины. Коэффициенты полиномов записывают в виде векторов в квад-ратных скобках, последовательно, начиная с коэффициента при стар-шей степени s, разделяя пробелами или запятыми (саму переменную s не пишут). Если в изображении блока видны не все коэффициенты или они заменены надписью типа den(s), нужно увеличить видимый размер блока (растянуть прямоугольник).

Аналогично, открыв свойства сумматора, у инвертирующего входа заменяют плюс на минус (рисунок 91). Входы сумматора раз-мещаются симметрично относительно левой середины, вертикальная черта соответствует неиспользуемому входу. Например, ++| означает расположение входов посередине и сверху, |+- означает неинверти-рующий вход посередине, инвертирующий снизу, +|+ означает по од-ному входу сверху и снизу.

Рисунок 91

Звено чистого запаздывания (Transport Delay) моделируется в Simulink приближенно разложением в ряд Паде. При составлении схемы в свойствах типового блока необходимо указать время задерж-ки τ (секунд) и обязательно порядок разложения n. При нулевом по-рядке, который выставлен по умолчанию, коэффициент передачи зве-на равен 1 и задержка отсутствует, независимо от того, какая величи-на ее была установлена. Не забывайте привести к единому масштабу все временные параметры модели (постоянные времени, величины за-держки, коэффициенты передачи), они должны задаваться в секундах.

Готовую схему можно испытать, подключив на ее входы источ-ники сигналов (Sources), а на выходы – отображающие средства (Sincs), и сохранить в виде файла с расширением .mdl (по умолчанию – в рабочую папку). Однако более эффективно подключить к входам и выходам системы блоки вход (In1) и выход (Out1) из библиотеки эле-ментов Commonly Used Blocks. Тогда, вызвав через меню Tools-Control Design-Linear Analysis (Инструменты-Проектирование систем

189

управления-Линейный анализ) окно Control and Estimation Tools Manager, командой Linearize Model (Заимствовать модель) можно пе-редать численные параметры математической модели системы графи-ческому анализатору. В его окне LTI Viewer: Linearization Quick Plot по умолчанию будут построены переходные характеристики.

Чтобы передать параметры модели в базу данных (рабочее про-странство – WorkSpace) программы MATLAB следует, вызвав посред-ством меню File-Export диалоговое окно LTI Viewer Export, после двойного щелчка мышью задать имя своей модели в графе Export As, а затем командой Export to WorkSpace передать данные и закрыть три последних окна, не сохраняя проект.

Кроме того, если к системе подключены блоки вход (Input) и выход (Output), параметры системы в виде матриц A, B, C, D можно определить с помощью обращения [a, b, c, d] = linmod('имя_модели'), после чего получить описание в пространстве состояний функцией ss(a, b, c, d). Обращение [num, den] = linmod('имя_модели') позволяет получить векторы коэффициентов числителей и знаменателей переда-точных функций линеаризированной модели системы.

На назначение номеров узлов (индексов переменных состояния) влияет то, в каком порядке помещаются блоки на схему. В схеме (ри-сунок 92) интеграторы, а, следовательно, и переменные состояния, на-значались с конца, от выхода Out1, классическим методом.

Рисунок 92

В результате получено описание системы в пространстве со-стояний вида>> [a,b,c,d]=ssdata(sys1)a = 0 1 -3 -2b = 0 1c =

190

1.5000 0.5000d = 0

Поменяв местами блоки Integrator и Integrator1, получили мо-дель с иным порядком индексов переменных – начиная от входа In1.>> [a,b,c,d]=ssdata(sys2)a = -2 -3 1 0b = 1 0c = 0.5000 1.5000d = 0

Таким образом, только за счет выбора порядка расстановки бло-ков с s в знаменателе получили прямую и инверсную канонические управляемые формы описания системы в пространстве состояний.

6.10 Моделирование временных характеристикИспользуя созданную модель, можно получить ее основные ха-

рактеристики во временной области – переходную функцию (Step Response), импульсную функцию (Impulse Response), реакцию на на-чальные условия (Response to Initial Conditions) и разложение на про-стые дроби (Residue). Расчет временных характеристик выполняется в аналитическом виде и численно, с построением графиков. Команда ctrlpref вызывает окно Control System Toolbox Preferences, в котором можно определить для стандартных графиков единицы измерения (Units), формат подписей и осей (Style), зону ошибки Δ и способ оцен-ки времени нарастания (Characteristics), параметры программы проек-тирования регулятора для одномерных объектов (закладка SISO Tool).

Переходную характеристику строит функция step() или, по умолчанию, графический анализатор ltiview(имя_системы). Вы може-те установить отличительный цвет, тип линии и/или вид маркера для каждой системы при сравнительном построении нескольких характе-ристик на одном графике. Например, система 1 – сплошная красная (red) линия, система 2 – штриховая зеленая: step(sys1,'r',sys2,'g--'). Ско-пировать график в другой документ можно, выбрав в LTIView опцию File-Print to Figure, а в окне Figure опцию Edit-Copy Figure. Опция кон-текстного меню Normalize вписывает все характеристики в графиче-ское окно независимо от масштаба для их наилучшего обзора.

191

Если схема собрана в Simulink, переходную характеристику можно увидеть на экране осциллографа Scope, подключив ко входу системы блок Constant и задав в нем необходимую величину (1 для переходной характеристики, произвольное значение – для кривой раз-гона). Но лучше использовать для этого блок Step, в свойствах по-следнего можно установить не только величину сигнала (Initial-Final Value), но и момент его формирования (Step Time). Для пуска симуля-ции служит кнопка Start Simulation на панели инструментов, там же можно задать общее время моделирования процесса. Следует учесть, что при несоответствии масштаба Scope иногда кажется, что реакция отсутствует. В этом случае следует попробовать изменить масштаб графика опцией AutoScale или выбором пределов в Axes Properties.

Использовав в контекстном меню графика команды Plot Types-Impulse, получим импульсную (весовую) характеристику системы, обозначаемую обычно w(t) или g(t). Если вызывать эту и другие ха-рактеристики не через графопостроитель ltiview(), а отдельной функ-цией, например, impulse(sys), выводится сразу рисунок (Figure).

Вычисление реакции на начальные условия функцией initial() производится в MATLAB только при описании системы в пространст-ве состояний матрицей передаточных функций для вектора начальных условий x0, который, например, у системы четвертого порядка должен включать четыре независимых величины. Так, реакция многомерной системы sys на начальные условия x1(0)=1; x2(0)=0; x3(0)=0; x4(0)=0 определяется командами>>x0=[1 0 0 0]; initial(sys,x0), grid

Не следует забывать, что начальные значения вектора состояний х(0) задаются внутри системы, а не на ее выходах, т.е. без учета мат-рицы с. Кроме того, в MATLAB переменные состояния обычно назна-чаются от входа, поэтому первой в традиционном понимании пере-менной у(0) здесь будет соответствовать n-ая, т.е. последний элемент вектора х0. При задании начальных значений переменных состояния следует тщательно разобраться с тем, как присвоила индексы пере-менным состояния программа. Более или менее уверенным в индексах переменных состояния можно лишь при самостоятельном визуальном моделировании системы по реальной структурной схеме.

Реакцию системы в аналитическом виде (оригинал) по ее изо-бражению Лапласа можно найти с помощью функции residue(), задав полиномы b, a числителя и знаменателя рациональной дроби изобра-жения самостоятельно, либо получив их из модели. Функция residue выводит значения вычетов в полюсах (коэффициентов числителей), полюсов и свободной части разложения на простые дроби. Вычеты

192

(элементы вектора r) печатаются в том же порядке, в каком выводятся полюса (вектор p) – первый сверху вычет соответствует первому по-люсу, т.е. корню характеристического уравнения, и т.п. Пользуясь таблицей соответствий оригиналов и их изображений по Лапласу, можно составить оригинал для действительного полюса λ с вычетом α

,

и для комплексной пары полюсов и вычетов (здесь – действи-тельная и мнимая части вычета, – аналогичные части полюса)

Плюс перед записывается при несовпадении знака мнимой части у соответствующих друг другу вычета и полюса.

Коэффициенты для кратных полюсов выводятся в порядке воз-растания кратности, т.е. сначала коэффициент и полюс в степени 1, затем в степени 2 и так до максимальной степени корня. В качестве примера найдем коэффициенты разложения для функции 5/(s+1)^3>> [r,p,k]=residue(5,[1 3 3 1])r =

0 0 5p = -1.0000 -1.0000 -1.0000k = []

Напомним, что оригинал подобного разложения должен быть записан по таблице соответствия в виде 0∙e-t + 0∙t∙e-t + 5/2∙t2∙e-t.

Обращение [num, den]=residue(r, p, k) позволяет восстановить по разложению на простые дроби вид изображения, например, проверить правильность вычисления коэффициентов числителей простых дро-бей, если они выполнялись не в среде MATLAB. Отсутствующее зна-чение k должно вводиться при этом в виде пустой матрицы. Заметим, что элемент вектора k будет ненулевым при равенстве степеней поли-номов числителя и знаменателя изображения.

Имея аналитическую запись оригинала, можно рассчитать и по-строить временную характеристику, например, организовав цикл типа FOR … END в интервале времени от 0 до tуст для заданного количест-

193

ва точек (время tуст следует взять из переходной характеристики). Длинную формулу можно продолжить на другой строке, прервав зна-ком троеточия. Внимание! Вместо матричного умножения использу-ется поэлементное перемножение массивов, обозначаемое точкой пе-ред знаком умножения.

Найдем оригинал передаточной функции с помощью разложе-ния на простые дроби и обратного преобразования Лапласа. Коэффи-циенты числителей и корни знаменателей разложения на простые дроби находим, определив числитель b и знаменатель a ПФ Wyr(s)>> [b,a]=tfdata(wyr,'v');>> [r,p,k]=residue(b,a)r = 0.0023 + 0.0001i 0.0023 - 0.0001i -0.0023 - 0.0258i -0.0023 + 0.0258ip = -5.2523 + 5.2380i -5.2523 - 5.2380i -0.2477 + 0.4596i -0.2477 - 0.4596ik = [ ]

Расчет значений оригинала в интервале 0-tуст (25 с) с шагом 0.1 с и построение графика для двух пар комплексных сопряженных полю-сов>>t=0:0.1:25;>>y= ...2*exp(-5.2523*t).*(0.0023*cos(5.238*t)-0.0001*sin(5.238*t))+...2*exp(-0.2477*t).*(-0.0023*cos(0.4596*t)+0.0258*sin(0.4596*t));>>plot(t,y), grid; title('Оригинал передаточной функции')

Оригиналом передаточной функции является импульсная функ-ция, поэтому полученная характеристика по виду и числовым значе-ниям должна совпадать с импульсной.

Наконец, в MATLAB с помощью функции lsim() возможен рас-чет реакции системы на воздействие произвольной формы, заданное отсчетами (матрица u) в течение интервала времени (вектор t). Число столбцов матрицы u должно быть равно числу входов системы, вектор t формируется с равномерным шагом. Приведем пример построения графика реакции системы sys с единственным входом на гармониче-ское воздействие sin(t) в течение 5 секунд.>> t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t)

Сравним на графике изменение во времени переменных состоя-ния х1 … х3 и выхода y системы sys, описанной SS-моделью (рисунок

194

93). В соответствии с нумерацией переменных программа строит пер-вый график синим цветом, второй – зеленым, третий – красным и т.д.>> sys=ss([0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2],[0; 0; 1],[2 0 0],0);>> t=0:0.1:30;>> u=t.^0; % формируем воздействие в виде единичного скачка>> [y,t,x] = lsim(sys,u,t);>> plot(t,y,t,x),grid; title('Переходный процесс')>> xlabel('Время, с')

Рисунок 93

Форма и численные значения графика y(t) будут соотноситься с графиками переменных состояния так, как это определяет матрица с. В данном случае выход формируется только переменной состояния х1

и амплитуда реакции в два раза выше согласно коэффициенту с(1) = 2. Очевидно, что при с = [1 1 0] будет выполняться y(t) = x1(t) + x2(t).

Реакция одновременно на начальные условия и вынуждающее воздействие требует формы обращения lsim(sys,u,t, x0) и вычисляется только в пространстве состояний. Наличие левой части выражения отменяет построение графика: при обращении y = lsim(sys,u,t,x0) вы-числяется матрица y, размер которой определяется числом отсчетов и выходов системы; при обращении [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) вычисляется дополнительно матрица х значений переменных состояния в точках отсчета времени. Напомним, что график может быть получен и с по-мощью графического анализатора ltiview(‘lsim’,sys,u,t,x0).

Вычисление свободной составляющей вызывает трудности при задании начальных условий в традиционном виде начальных значений рассогласования у(0), скорости (0) и ускорения (0), т.е. показате-лей, фиксируемых на выходе системы. Для использования функции lsim() в подобном случае следует преобразовать вектор y(0) в вектор х(0), разделив его на элемент матрицы с, соответствующий перемен-

195

ной состояния, назначенной на выходе системы (остальные элементы матрицы с должны быть нулевыми). Пусть заданы начальные условия y(0) = -1.5, (0) = 75. С учетом особенностей MATLAB формируем вектор y(0) в обратном порядке и преобразуем его в вектор х(0).>> num=5; den=[0.048 0.4 10]; % задаем ПФ системы>> y0=[75 -1.5];>> [a,b,c,d]=tf2ss(num,den); % переход к канонической форме>> sys=ss(a,b,c,d)a = x1 x2 x1 -8.333 -208.3 x2 1 0b = u1 x1 1 x2 0c = x1 x2 y1 0 104.2d = u1 y1 0>> x0=y0/104.2x0 = % приведенные начальные значения переменных состояния 0.7198 -0.0144>> lsim(sys,u,t,x0);

Расчет упрощается, если система задана в наблюдаемом пред-ставлении (с единственной единицей в матрице с), тогда преобразова-ния начальных значений не требуется. Чтобы избежать указанных за-труднений, разработаны функции dtoy() и xsim(), предназначенные для расчета только свободного движения и совокупного переходного процесса по передаточной функции системы. Функция dtoy(den,x0) по характеристическому полиному и начальным значениям выходной ве-личины системы позволяет получить график свободной составляю-щей, либо полином числителя ее изображения N0(s).function[num0,y0,t0]=dtoy(den,x0)% Расчет свободной составляющей по знаменателю ПФ [m,n]=size(x0);if m>n % перевести вектор-столбец в вектор-строку x0=x0';n=m;endfor i=1:n % расчет числителя изображения Yсв(s) num(i)=sum(x0(1:i).*fliplr(den(1:i)));endw=tf(num,den); % формирование изображения Yсв(s)

196

if nargout==0 % если требуется только построить график impulse(w); title('Свободная составляющая'); ylabel('Yсв(t)');xlabel('Время')else num0=num; [y0,t0]=impulse(w);end

Результат использования созданной функции (рисунок 94).>> den=[0.048 0.4 10];>> x0=[-1.5 75];>> [n0]=dtoy(den,x0)n0 = -0.0720 3.0000% возможен вывод числителя Yсв(s) и таблицы отклика>> [n0,y0,t0]=dtoy(den,x0);>> dtoy(den,x0) % без левого аргумента выводится график

0 0.5 1 1.5-2

-1

0

1

2

3

4Свободная составляющая

Время (sec)

Yсв(

t)

Рисунок 94

Для расчета произвольного переходного процесса, включающе-го вынужденную и свободную составляющие, системы, заданной в виде передаточной функции, разработана функция xsim(), являющаяся аналогом функции lsim().function[y,t]=xsim(w,u,t,x0)% Расчет произвольной реакции системы [num,den]=tfdata(w,'v');[m,n]=size(x0);if m>n % перевести вектор-столбец в вектор-строку x0=x0';n=m;endfor i=1:n % расчет числителя изображения Yсв(s)

197

n0(i)=sum(x0(1:i).*fliplr(den(1:i)));endw0=tf(n0,den); y0=impulse(w0,t);yt=lsim(w,u,t);y=y0+yt;if nargout==0 % если нет левых (выходных) аргументов plot(t,y,'linewidth',2); hold on; plot(t,yt,'--k',t,y0,':k',t,u,'k'); title('График выходной величины'); xlabel('Время, с'); legend('Y(t)','Yв(t)','Yo(t)','u'); hold offend

Таблица значений выходной величины y(t), полученных на за-данном массиве t, выводится при обращении y=xsim(w,u,t,x0), в этом случае график не строится. Пример расчета переходного процесса для сложного вынуждающего воздействия и заданных на выходе системы начальных условий с представлением графиков (рисунок 95).>> w=tf(5,[0.048 0.4 10]);>> x0=[-1.5 75];>> t=0:0.001:0.5;>> u=5+100*t.*(t<0.1)+10*(t>=0.1);>> xsim(w,u,t,x0)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16График выходной величины

Время, с

Y(t)Yв(t)Yo(t)u

Рисунок 95

Для аналитических расчетов используется раздел символьной математики, имеющийся в MATLAB. Символьные переменные долж-

198

ны быть объявлены явно, если при вызове исследуемая функция не взята в апострофы. Объявление производится оператором syms.

При преобразовании Лапласа выражение выводится с коэффи-циентами, представленными в виде рациональных дробей. Сразу же можно построить график функцией ezplot(), задав диапазон изменения времени t и масштабную сетку, график полностью совпадает с им-пульсной характеристикой от этого же изображения (рисунок 96).>> syms s t>> q=1/(s^3+6*s^2+11*s+6);>> temp=ilaplace(q)temp =-exp(-2*t)+1/2*exp(-3*t)+1/2*exp(-t)>> ezplot(temp,[0,4.5]),grid>> impulse(1,[1 6 11 6]),grid

Рисунок 96

Функция dirac(t) в символической математике соответствует единичному импульсу (дельта-функции), а heaviside(t) – единичному скачку. Они функционируют как при прямом, так и при обратном преобразовании Лапласа.>> syms s t>> w=(3*s^2+2*s+1)/(s^2+2*s+2);>> temp=ilaplace(w) % обратное преобразование Лапласаtemp =3*dirac(t)-4*exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)>> simplify(laplace(temp)) % прямое преобразованиеans =(3*s^2+2*s+1)/(s^2+2*s+2)>> q=heaviside(t)+2*exp(-3*t);>> laplace(q)ans =1/s+2/(s+3)

Реакцию на любое воздействие, имеющее преобразование Лап-ласа, можно определить как произведение ПФ двух блоков, представ-ляющих входное воздействие и систему. Например, на вход системы с

199

ПФ W(s) = (s+1)/(s^2+s+3) поступает сигнал 10e-3t, изображение кото-рого равно R(s) = 10/(s+3). Строим временную характеристику, ис-пользуя функцию impulse(), поскольку она не вносит дополнительных полюсов или нулей в изображение реакции>> w=tf([1,1],[1,1,3]); r=tf(10,[1,3]); rw=w*r; impulse(rw)

Вычислим теперь реакцию системы с ПФ W(s) = 1/(s+7) на про-извольную функцию времени x(t) = 5e-0.1t + 0.2t2 аналитически>> syms t s>> xt=5*exp(-0.1*t)+0.2*t^2xt =5*exp(-1/10*t)+1/5*t^2>> xs=laplace(xt)xs =5/(s+1/10)+2/5/s^3>> y=xs*1/(s+7)y =(5/(s+1/10)+2/5/s^3)/(s+7)>> r=ilaplace(y)r =-85888/118335*exp(-7*t)+50/69*exp(-1/10*t)-2/245*t+1/35*t^2+2/1715>> [num,den]=numden(r)num =-85888*exp(-7*t)+85750*exp(-1/10*t)-966*t+3381*t^2+138den =118335

Задав вектор отметок времени, можно построить график>> t=0:0.1:30; yt=subs(r); plot(t,yt),grid; title(‘Реакция’)

Не всегда выражение, возвращаемое функцией преобразования, приемлемо для дальнейшего использования, например, при достаточ-но простом изображении получается маловразумительный оригинал>> w=5/(s^3+2*s^2+3*s+4);>> temp=ilaplace(w)temp =1/4*sum(_alpha*(-1+_alpha)*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(_Z^3+2*_Z^2+3*_Z+4))

Частично в этом случае помогают функция перевода в цифровой формат vpa() и ограничение числа разрядов вычисляемых чисел от 32, используемых по умолчанию, до меньшего значения, например, 4. Ра-зовое применение vpa() к результату>> temp=vpa(temp)temp =1.0938014797678091851515394567267*exp(-1.6506291914393882188808009674262*t)- ...выводит выражение, которое не приводится здесь целиком в связи с нецелесообразностью полного воспроизведения, его в таком виде сложно даже прочитать. Далее оно преобразовано в уменьшенный

200

цифровой формат, который можно задать и отдельной функцией dig-its(D), где D – число обрабатываемых разрядов. Однако, поскольку влияние этой команды на последующие операции нежелательно, луч-ше воспользоваться возможностью временного изменения числа раз-рядов в самой функции vpa(). Двойное преобразование функцией vpa() обеспечивает эффект уменьшения разрядной сетки для всех чисел, входящих в преобразуемое выражение.>> temp=vpa(temp,4)temp =1.094*exp(-1.651*t)-1.094*exp(-.1747*t)*cos(1.547*t)+1.044*exp(-.1747*t)*sin(1.547*t)+.2500*i*(2.087*exp(-.1747*t)*cos(1.547*t)+2.188*exp(-.1747*t)*sin(1.547*t))+.2500*i*(-2.087*exp(-.1747*t)*cos(1.547*t)-2.188*exp(-.1747*t)*sin(1.547*t))

Однако и это выражение содержит семь составляющих переход-ного процесса, включая даже мнимые, в отличие от трех составляю-щих, возвращаемых численной функцией residue() и соответствующих 1.0938e-1.6506t -1.0938e-0.1747tcos(1.5469t) + 1.0436e-0.1747tsin(1.5469t).>> [r,p,k]=residue(5,[1 2 3 4])r = 1.0938 -0.5469 - 0.5218i -0.5469 + 0.5218ip = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469ik = []

Еще пример. Приводимое ниже выражение с гиперболическим синусом менее информативно, чем возвращаемый функцией residue() в числовом варианте результат -0.5*exp(-3*t) + 0.5*exp(-t), хотя и пол-ностью ему адекватно. Вдобавок оно включает корень -2, который на самом деле сократился с исключением соответствующей моды из пе-реходного процесса, что может ввести пользователя в заблуждение.>> w=(s+2)/(s^3+6*s^2+11*s+6);>> temp=ilaplace(w)temp =exp(-2*t)*sinh(t)

6.11 Моделирование частотных характеристикИспользуя созданную модель, можно получить ее основные ха-

рактеристики в частотной области – амплитудно-фазовую характери-стику (АФЧХ) или годограф Найквиста (Nyquist Diagram), амплитуд-

201

ную (АЧХ) и фазовую (ФЧХ), действительную (ВЧХ) и мнимую (МЧХ) характеристики, логарифмические характеристики (ЛЧХ) или диаграмму Боде (Bode Diagram), реакцию на моногармонический сиг-нал.

Графики нетиповых функций обычно строят с помощью коман-ды Plot, либо используя команды semilogx() и semilogy() – с логариф-мическим масштабом только по оси x или только по оси y, loglog() – с логарифмическим масштабом по обеим осям графика. Необходимые подписи и оси на графике обычно добавляют в режиме редактирова-ния окна Figure через меню Insert, вид графиков корректируют после нажатия кнопки Edit Plot на панели инструментов фигуры.

Функция еvalfr позволяет вычислить значение комплексного ко-эффициента передачи (Frequency Response) системы W(jω) на задан-ной частоте в виде действительной Real() и мнимой Imag() состав-ляющих, например>> fr=0+j*0.5; % перевод частоты 0.5 рад/с в комплексную>> evalfr(w,fr) % расчет действительной и мнимой частейans =

0.0723 - 0.0378iа его описание через амплитуду M(ω) и фазу P(ω) вектора можно по-лучить с помощью функций Abs() и Angle().

Для заданного вектора частот отклик вычисляется посредством функции freqresp(имя_системы, диапазон_частот). Диапазон частот можно задавать в виде вектора f = 0:0.1:10, в линейном f = lin-space(0,10,100) или логарифмическом f = logspace(-2,2,100) масштабе, причем во всех случаях было задано 100 точек. В первых двух коман-дах – для диапазона частот от 0 до 10 рад/с, в последней команде для диапазона частот от 10^-2 до 10^+2 рад/с. Если число точек не указа-но, по умолчанию функция logspace() использует 50 логарифмически равномерно распределенных отсчетов. Функция freqs(num,den) строит для предустановленных значений частот амплитудную (в логарифми-ческом масштабе) и фазную (в градусах) характеристики по числите-лю и знаменателю ПФ системы. Возможно построение для указанного диапазона частот freqs(num,den,w) или табулирование комплексного отклика y=freqs(num,den,w), [y,w]=freqs(num,den) без графика.

Логарифмические амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ЛФЧХ) час-тотные характеристики строятся по команде Bode(имя_системы) с сеткой Grid на графике, если необходимо, или выбором опции Plot Types-Bode в графопостроителе ltiview(). При этом ЛАЧХ (Magnitude) вычисляется по формуле L(ω)=20lgA(ω) и измеряется в децибелах (dB), ЛФЧХ (Phase) откладывается в градусах, а частота (Frequency) по оси абсцисс откладывается в рад/с и в логарифмическом масштабе.

202

По команде damp(имя_системы) выводятся величины собственных значений (Eigenvalue) или полюсов системы, соответствующие им значения коэффициента демпфирования или затухания (Damping) и частот сопряжения, а по команде dcgain(имя_системы) – значение ко-эффициента усиления на нулевой частоте, что бывает полезно при са-мостоятельном построении ЛАЧХ.

Штатные функции bodemag(sys) и sigma(sys) практически оди-наково выводят логарифмическую амплитудную характеристику, раз-личаясь заголовками Bode Diagram и Singular Value.

Если применить команду plot(real(y),imag(y)) или просто plot(y), то будет построена АФЧХ на комплексной плоскости для заданного диапазона частот по вычисленным значениям комплексного отклика y(jω). АФЧХ также выводится опцией Plot Types-Nyquist в контекст-ном меню графического анализатора ltiview() или отдельной командой nyquist(имя). Напомним, что MATLAB строит в дополнение к основ-ной кривой в диапазоне частот ω от 0 до плюс бесконечности симмет-ричную ей в диапазоне частот от 0 до минус бесконечности. Для вы-вода только основной кривой следует в опции Show контекстного ме-ню графика убрать отметку у команды Negative Frequencies (отрица-тельные частоты), а если не производится оценка устойчивости – у команды Zoom on (-1,0) – масштабировать по точке (-1, j0).

Для построения других частотных функций используем функ-цию передачи W12(s) от входа R(t) к выходу Y(t) многомерной системы управления w33 второго порядка. >> wyr=tf(w33(1,2))Transfer function from input "w33/R(t)" to output "w33/Y(t)": 1.25--------------------------------------s^4 + 11 s^3 + 60.5 s^2 + 30.12 s + 15

Вычисляем комплексный коэффициент передачи системы в ли-нейном диапазоне частот от 0 до 5 рад/с (200 точек).>> f=linspace(0,5,200); % задаем вектор частот в линейном масштабе>> for ii=1:200y(ii)=evalfr(wyr,0+j*f(ii)); % вычисляем вектор комплексного откликаend

Совмещаем вещественную (синий цвет – ‘blue’) и мнимую (красный цвет – ‘red’) характеристики на одном графике. Надписи на графике Real(w) и Imag(w) добавлены в режиме редактирования фигу-ры (рисунок 97).>> hold on; % фиксируем графическое окно>> plot(f,real(y),'b'); % выводим график ВЧХ синим>> plot(f,imag(y),'r'); % выводим график МЧХ красным>> title(‘ВЧХ и МЧХ’); grid; % выводим название и сетку

203

>> hold off

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1ВЧХ и МЧХ

Real(w)

Imag(w)

Рисунок 97

Строим в линейном масштабе амплитудную и фазовую характе-ристики системы в двух окнах одновременно (рисунок 98).

Рисунок 98>> subplot(2,1,1); % задаем первое окно>> plot(f,abs(y)), grid; % рисуем АЧХ>> title('АЧХ'); ylabel('Амплитуда'); % делаем подписи>> subplot(2,1,2); % задаем второе окно>> plot(f,angle(y)*180/pi), grid; % рисуем ФЧХ в градусах>> title('ФЧХ'); ylabel('Фаза, град')

В отличие от стандартной диаграммы Боде, выводимой MAT-LAB, на данном графике по оси ординат откладывается значение ам-

204

плитуды A(ω), а не двадцать десятичных логарифмов этой величины, а по оси абсцисс – частота в линейном масштабе.

Приведем пример построения графика, на котором по оси абс-цисс откладывается не частота, а ее десятичный логарифм, т.е. вели-чина, измеряемая в декадах (рисунок 99). Кроме того, оба графика со-вмещены в одном окне, что позволяет нагляднее установить величины ЛАЧХ при пересечении фазовой характеристики с линией -180 граду-сов, и ЛФЧХ на частоте среза (при L(ω) = 0). Поскольку легенда здесь не выводит более одного пояснения, указание на характер линии ЛФЧХ введено в поясняющую подпись правой оси ординат – оси ЛФЧХ. Подписи к осям ординат необходимо делать в порядке индек-сов (1 – левая, 2 – правая), вызывая их поочередно.

Рисунок 99>> num=[3 2 1]; den=[1 2 3];>> f=logspace(-2,2,100); y=freqs(num,den,f);>> ly=20*log10(abs(y)); phi=angle(y)*180/pi;>> clf>> [haxes,hline1,hline2]=plotyy(f,ly,f,phi,'semilogx');>> xlabel('log(w)'); title('ЛЧХ'); grid;>> axes(haxes(1)); ylabel('ЛАЧХ, дБ')>> axes(haxes(2)); ylabel('ЛФЧХ, град (пунктир)')>> set(hline2,'linestyle','--','linewidth',2)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика приводится на рисунке 100, оси, надписи и стрелка на кривой добавлены в режиме редактирования фигуры (учитывая комплексный характер отклика y, можно было использовать более простую форму обращения plot(y)).>> plot(real(y),imag(y)), grid; title ('АФЧХ')

205

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02АФЧХ

Re(w)jIm(w)

Рисунок 100

При подаче на вход линейной системы моногармонического сиг-нала отклик системы будет иметь ту же частоту ω, но отличаться по амплитуде в M(ω) раз и по фазе на P(ω) радиан (градусов), где M(ω) – это значение АЧХ, а P(ω) – значение ФЧХ при этой частоте. Реакция на моногармонический сигнал с частотой 0,5 рад/с (рисунок 101).

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Реакция на моногармонический сигнал

Время, с

u(t)

y(t)

Рисунок 101>> x=evalfr(wyr,0+0.5i); % значение комплексного коэффициента>> t=linspace(0,14,200); % время от 0 до 14 с (подобрано)>> u=sin(0.5*t); % входной сигнал с частотой 0.5 рад/с>> y=abs(x)*sin(0.5*t+angle(x)*180/pi); % выходной сигнал

206

>> hold on; plot(t,y,'r'); plot(t,u,'g'); grid; hold off;>> title('Реакция на моногармонический сигнал');>> xlabel('Время, с')

6.12 Оценка устойчивости линейных системИз физического признака устойчивости, требующего стремле-

ния с течением времени всех свободных составляющих переходного процесса к нулю, вытекает, что у устойчивой системы установившееся значение импульсной характеристики impulse() или реакции на нену-левые начальные условия initial(sys,x0) должно стремиться к нулю. Для полноты картины все элементы вектора начальных значений х0 следует задать ненулевыми.

Математический признак устойчивости линейной системы тре-бует, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрица-тельную действительную часть (все полюса системы были левыми). Применим для расчета корней полинома функцию roots().>> D=[1 2 3 4 2]; roots(D)ans = -0.0000 + 1.4142i -0.0000 - 1.4142i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i

Представленная в примере система близка к колебательной гра-нице устойчивости, поскольку ее характеристический полином D(s) содержит корни с практически нулевой действительной частью при остальных левых корнях (минус перед нулевой действительной ча-стью корня говорит о том, что необходимо более точное исследование устойчивости системы – по крайней мере, другой формат вывода).

В MATLAB корни характеристического полинома или полюса системы выводят также [p, z] = pzmap(sys), damp(sys), pole(sys) и eig(sys), residue(num, den), tf2zp(num,den).

Применение алгебраических критериев устойчивости Гурвица и Рауса было показано в разделе 2. Построение кривой Михайлова в MATLAB не предусмотрено, однако для этого можно воспользоваться существующей функцией nyquist(). Кривая Михайлова строится с тем отличием, что целесообразно самостоятельно задать диапазон частот f (в примере от 0 до 2 рад/с с шагом 0.1) и указать у дроби передаточ-ной функции единицу в качестве знаменателя, поскольку вводится только числитель, равный характеристическому полиному [30].>> f=0:0.1:2; d=[1 2 3 4 1]; nyquist(d, 1, f)

На графике следует убрать кривую для отрицательных частот (рисунок 102) – снять флажок в меню Show-Negative Frequencies.

207

Рисунок 102

Аналогичный результат может быть получен без использования функции nyquist(). Надпись к графику, оси и подписи к ним придется делать самостоятельно, но зато не будет креста в точке (-1,j0).>> d=[1 2 3 4 1]; w=0:0.01:2; f=0+j*w; h=polyval(d,f);>> plot(h),grid; title('Критерий Михайлова')

Приводимая далее функция uv() реализует критерий Михайлова (вторую форму) путем вычисления коэффициентов четной и нечетной функций и выводом (если указано в левой части выражения) их кор-ней, т.е. частот пересечения графиков U(ω) и V(ω) с осью абсцисс.function [u,v,ur,vr] = uv(p)% Входной параметр - полином p, выходной - векторы U и V n=length(p);pp=p;p=fliplr(p);m=n-(n~=fix(n/2)*2);k=0;kk=1;for i=1:n if k==2 k=0;kk=kk*(-1); end p(i)=p(i)*kk; k=k+1;endut=[];vt=[];urt=[];vrt=[];i=1:2:n; ut(i)=[ut,p(i)];i=1:2:m; vt(i)=[vt,p(i+1)];ut=fliplr(ut);vt=[fliplr(vt),0];urr=roots(ut);vrr=roots(vt); % вычисление корней функцийmur=(real(urr)>=0 & imag(urr)==0); % выбор действительных частотmvr=(real(vrr)>=0 & imag(vrr)==0);for i=1:length(urr) % формирование вектора частот четной функции if mur(i)==1 urt=vertcat(urt,urr(i)); endend

208

for i=1:length(vrr) % формирование вектора частот нечетной функции if mvr(i)==1 vrt=vertcat(vrt,vrr(i)); endendif nargout==0 % проверка необходимости строить график w=0:0.01:(max([urt vrt])*1.1); % до максимальной частоты f=0+j*w; h=polyval(pp,f); plot(w,real(h),w,imag(h),'--',w,0,'k.-'), grid; title('Критерий Михайлова (форма 2)'); xlabel('Частота, рад/c'); legend boxoff; % без рамки legend('U(w)','V(w)','location','best') % выбрать местоelse u=ut;v=vt;ur=urt;vr=vrt; % только вывод полиномов и частотend

Результатом обращения к этой функции с указанием выходных аргументов (слева от знака равенства) будет вид четной и нечетной функций, представленных коэффициентами, и их корни (частоты)>> den=[1 2 3 4 5]; [u,v,ur,vr]=uv(den)u = 1 0 -3 0 5v = -2 0 4 0ur = []vr = 0 1.4142откуда видно, что частот пересечения графиков с осями только две, это 0 и 1.4142 (при построении частотных характеристик мнимые, комплексные и отрицательные частоты отбрасываются, что и делает разработанная функция), причем обе принадлежат нечетной функции V(ω). Средствами MATLAB можно придать стандартный вид четной и нечетной функциям, используя символьную переменную ‘w’>> u=poly2sym(u,'w')u =w^4-3*w^2+5>> v=poly2sym(v,'w')v =-2*w^3+4*w

График (рисунок 103), построенный с помощью этой же функ-ции, но при обращении без выходных аргументов, подтверждает сде-ланные выводы – система неустойчива, так как отсутствует поочеред-ное пересечение характеристиками оси частот (чередование корней).

209

0 0.5 1 1.5 2-5

0

5Критерий Михайлова (форма 2)

Частота, рад/c

U(w)V(w)

Рисунок 103

Универсальная функция nyquist() может использоваться также для оценки устойчивости методом D-разбиения по одному параметру. При этом в качестве аргумента функции задают отношение полино-мов от s, получающееся после разрешения характеристического урав-нения относительно исследуемого параметра, либо задают в знамена-теле 1. Приведем пример исследования влияния на устойчивость сис-темы коэффициента усиления регулятора k, входящего в характери-стическое уравнение D(s)= s4 + 2s3 + (k + 3)s2 + (2k + 4)s + (3k + 1)=0. Разрешая уравнение относительно k, получаем дробь

,

и строим график (рисунок 104) последовательностью команд>> k=tf([-1 -2 -3 -4 -1], [1 2 3]); nyquist(k)

Рисунок 104

Оставляем на графике кривые как для положительных, так и для отрицательных частот. Значения k, соответствующие устойчивости системы, лежат на отрезке действительной оси (Real Axis) между от-метками -0.333 и 0.5, что требует проверки. Подставив значение коор-

210

динаты точки на этом отрезке k = 0 в характеристическое уравнение, убеждаемся, что это действительно область устойчивости, так как все корни уравнения имеют отрицательную действительную часть.>> roots([1 2 3 4 1])ans = -0.1018 + 1.4711i -0.1018 - 1.4711i -1.4873 -0.3092

Рассмотрим пример D-разбиения по двум параметрам.Для построения методом D-разбиения области устойчивости в

пространстве параметров Т и k системы четвертого порядка с характе-ристическим уравнением D(s)=Ts4 + (2T + 1)s3 + (2T+2)s2 + 2s + k = 0 воспользуемся достаточным условием Δ3 = a3(a1a2 - a0a3) - a1

2a4 ≥ 0 критерия Гурвица и сформируем по нему функцию Z(T, k), подставив значения параметров. При вычислениях заменяем Т на х и k на y, что-бы не объявлять символьные переменные, поскольку переменные x, y и z MATLAB принимает по умолчанию. Задав пределы изменения по-стоянной времени 0 ≤ Т ≤ 2 и коэффициента усиления 0 ≤ k ≤ 4 с ша-гом 0.1, построили с помощью функции contourf() график с залитой зеленым цветом областью устойчивости D(0) (рисунок 105).>> [x,y]=meshgrid(0:0.1:2,0:0.1:4); % сетка значений>> z=2*((2*x+1).*(2*x+2)-x*2)-(2*x+1).^2.*y;% функция% построить контурный график и залить область, выделенную на уровне 0-0>> [c,h]=contourf(x,y,z,[0 0]);>> set(h,'showtext','on'); % включить печать значений уровней>> title('D-разбиение по двум параметрам'); grid;>> xlabel('Постоянная времени Т'); ylabel('Коэффициент k')

0

00 0

D-разбиение по двум параметрам

Постоянная времени Т

Коэф

фиц

иент

k

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

Рисунок 105

График не учитывает требований, вытекающих из необходимых условий устойчивости ai > 0, а именно: Т > 0 – вытекает из требования

211

a0 = T > 0, и k > 0 – обусловлено требованием a4 = k > 0. Эти условия учтены выбором пределов изменения параметров, начиная от нуля.

Если необходима оценка устойчивости по Найквисту, то следует задавать для анализа передаточную функцию разомкнутой (Open-Loop) системы, а на графике оценивать положение особой точки с ко-ординатами (-1, j0) – АФЧХ неустойчивой в замкнутом состоянии (Closed-Loop) системы охватывает эту точку. АФЧХ выводится опци-ей Plot Types-Nyquist в контекстном меню графического анализатора ltiview() или отдельной командой nyquist(имя). Напомним, что MATLAB строит в дополнение к основной кривой в диапазоне частот ω от 0 до плюс бесконечности симметричную ей в диапазоне частот от 0 до минус бесконечности. Для вывода только основной кривой сле-дует в опции Show контекстного меню графика убрать отметку у ко-манды Negative Frequencies (отрицательные частоты).

При выборе в контекстном меню графика опций Characteristics-Stability Margins в точках, отмеченных маркерами, указываются запа-сы устойчивости по амплитуде Gain Margin в децибелах, по фазе Phase Margin в градусах, по запаздыванию Delay Margin в секундах и соот-ветствующие им частоты в рад/с, а также дается общая оценка устой-чивости системы после замыкания единичной отрицательной обрат-ной связью. Значение Inf говорит о том, что по данному параметру система имеет бесконечный запас устойчивости, отрицательные (в большинстве случаев) или нулевые значения – об отсутствии запасов. Обратите внимание на то, что в СНГ максимальным значением запаса по фазе (100 %) является не бесконечность, а 180°.

Если задана уже замкнутая система, передаточную функцию ра-зомкнутой системы можно получить одним из следующих способов:

- вычесть соответственно из коэффициентов полинома знамена-теля передаточной функции замкнутой системы значения коэффици-ентов полинома числителя;

- разомкнуть систему, созданную в среде Simulink, убрав (Cut) главную обратную связь и подключив к точке разрыва выход Out1, после чего уже известным нам путем передать параметры модели в рабочее пространство MATLAB.

Первый способ может применяться только в случае охвата всей системы главной единичной отрицательной обратной связью, второй более универсален.

Стандартная АФЧХ разомкнутой системы третьего порядка без нулей проходит по часовой стрелке, начинаясь на положительной действительной оси, столько квадрантов, каков порядок системы (ри-сунок 106). Она не охватывает точку с координатами (-1, j0), следова-

212

тельно, система в замкнутом состоянии будет устойчивой. Об этом гласит и заключение по каждому из запасов Closed Loop Stable? Yes.

Рисунок 106

Запас по модулю Gm (дБ) можно вычислить самостоятельно, по расстоянию от начала координат до точки пересечения АФЧХ с от-резком отрицательной действительной полуоси, равному 0.747. По другому способу запас устойчивости равен расстоянию от критиче-ской точки до точки пересечения АФЧХ с указанной полуосью, в дан-ном случае Ам = 0.253 = 1 – 0.747. Запас устойчивости Dm по чистой задержке в секундах можно вычислить, используя значения запаса по фазе Pm и соответствующей ему частоты (с пересчетом в градусы).>> w=tf(3,[1 2 3 2]); ltiview(w) % из графика получаем 0.747>> Gm=log10(1/0.747)*20Gm = 2.5336>> Dm=17.1/1.56/180*piDm = 0.1913

Исследуем ту же систему при введенной транспортной задержке 2 с, существенно превышающей показанный на графике допустимый запас 0.192 с.>> set(w,'outputdelay',2); wTransfer function: 3exp(-2*s) * --------------------- s^3 + 2 s^2 + 3 s + 2

Параметры системы изменились настолько (рисунок 107), что она стала неустойчивой, запасы по фазе и модулю отрицательные. Ха-

213

рактерный признак присутствия чистой задержки – закручивание АФЧХ спиралью вокруг начала координат.

Рисунок 107

Особенность АФЧХ нейтральной системы, имеющей в разомк-нутом состоянии нулевой полюс (рисунок 108) – она начинается в бес-конечности и стремится к началу координат.>> w=tf(5,[1 2 3 0]); nyquist(w)

Рисунок 108

MATLAB позволяет просмотреть сразу несколько графиков и проанализировать влияние отдельных параметров на устойчивость системы. Например (рисунок 109), при значениях коэффициента уси-ления разомкнутой системы k = 0.5, 1.0 и 2.0 замкнутая система будет соответственно устойчивой, на границе устойчивости и неустойчивой (объединяем значения коэффициентов фигурными скобками).>> sys=tf({0.5;1;2},[1 2 3 4 1])Transfer function from input to output... 0.5 #1: ----------------------------- s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 1

214

1 #2: ----------------------------- s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 1 2 #3: ----------------------------- s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 1>> nyquist(sys)

Рисунок 109

Обычная формулировка критерия Найквиста не позволяет сде-лать заключение о неустойчивости в замкнутом состоянии системы с ПФ w=tf(4,[1 2 3 4 3]) (рисунок 110), так как АФЧХ разомкнутой сис-темы на первый взгляд не охватывает точку с координатами (-1, j0).

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

Рисунок 110

Здесь следует использовать для проверки правило штриховки – при движении по кривой в направлении увеличения частоты (по стрелке) наносят штриховку справа от нее; система устойчива в

215

замкнутом состоянии, если критическая точка не попадает в за-штрихованную область. Поскольку на графике кривая изменяет на-правление движения, выворачиваясь наизнанку, штриховка из внут-ренней области выливается наружу и захватывает критическую точку, система будет неустойчивой.

Иногда приходится менять масштаб графика, чтобы проверить устойчивость системы. Так, при автоматическом выводе годографа Найквиста для системы с ПФ w=tf([10 20 30],[1 2 20 20 2 1]) участок с критической точкой практически не просматривается (рисунок 111, а). После изменения масштаба с помощью контекстного меню Properties-Limits на пределы -10 … 0.5 по оси Х и -0.3…0.3 по оси У становится очевидным, что система устойчива, так как кривая обходит критиче-скую точку (рисунок 111, б). Другим способом детального исследова-ния части характеристики является отказ от автоматического задания диапазона частот и самостоятельный его выбор, в этом случае кривая бывает обычно более сглаженной по сравнению с первым способом.

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-60 -40 -20 0 20 40 60

-100

-50

0

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-10 -8 -6 -4 -2 0

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


Это пример системы с двумя видами запаса устойчивости по амплитуде – на увеличение и уменьшение коэффициента усиления. Он показывает, что отрицательное значение запаса устойчивости по амплитуде еще не является признаком неустойчивости системы – это может быть просто запас на уменьшение коэффициента усиления.

Особенный случай показан на рисунке 112 для системы с пере-даточной функцией w=tf(1,[1 3 2 6 4 5 2]). Запасы устойчивости про-грамма находит и система кажется устойчивой (даже при использова-нии правила штриховки), хотя заведомо известно, что в замкнутом со-стоянии эта система будет неустойчивой – об этом говорит и вывод Closed Loop Stable? No. Очевидно, что этот вывод программа делает не с помощью критерия Найквиста, а иным способом, вероятнее всего самостоятельно замкнув систему и вычислив ее полюса.

216

а б

Рисунок 112

>> w=tf(1,[1 3 2 6 4 5 2]); % разомкнутая система>> [num,den]=tfdata(w,'v');>> roots(num+den) % полюса замкнутой системыans = -2.9137 0.5109 + 1.1043i 0.5109 - 1.1043i -0.2378 + 1.0212i -0.2378 - 1.0212i -0.6325

По корням видно, что замкнутая система неустойчива (есть ком-плексная сопряженная пара полюсов с положительной вещественной частью 0.5109 ± j1.1043), однако из АФЧХ разомкнутой системы это отнюдь не следует (рисунок 112, а), годограф не охватывает точку с координатами (-1, j0). Кривая Михайлова (рисунок 112, б) в этом от-ношении предпочтительнее – она правильно указывает на неустойчи-вость системы, т.к. при порядке системы n=6 годограф проходит лишь два квадранта комплексной плоскости, уходя далее в бесконечность.

Оценим устойчивость замкнутой системы и по диаграмме Боде. Фазовый угол не будет выходить из пределов +180° и -180° (рисунок 113), если сбросить флажок в опции Unwrap phase окна Characteristics.>> bode(b,a)

При выборе в контекстном меню диаграммы Боде опций Charac-teristics-Minimum Stability Margins в точках, отмеченных маркерами, указываются запасы устойчивости системы после замыкания: 41.3 дБ по амплитуде и бесконечные по фазе и запаздыванию. Для этой цели могут также использоваться функция margin(), отображающая мини-мальные запасы устойчивости (в одну сторону), и allmargin(), осуще-ствляющая вывод всех значений запасов устойчивости в формате:

217

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-90

0

90

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-250

-200

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysGain Margin (dB): 41.3

At frequency (rad/sec): 1.65Closed Loop Stable? Yes

Рисунок 113>> w=tf(1,[1 2 3 4]); S=allmargin(w)S = GainMargin: 2.0001 % запасы устойчивости по амплитуде (1/K-180°) GMFrequency: 1.7321 % частоты пересечения линии -180° (рад/с) PhaseMargin: [1x0 double] % запасы по фазе (не вычислялись) PMFrequency: [1x0 double] % частоты среза (нет) DelayMargin: [1x0 double] % запасы по задержке (не вычислялись) DMFrequency: [1x0 double] % частоты среза (нет) Stable: 1 % система после замыкания устойчива (иначе 0)

При обращении [Gm, Pm, GmF, PmF] = margin() данная функция возвращает наименьшие из возможных значения запасов устойчиво-сти по амплитуде и фазе (в градусах) и соответствующие им частоты, а при отсутствии левой части margin() строит диаграмму Боде с вы-численными значениями запасов. В первом и втором случаях Gm из-меряется в разных единицах: в первом это относительная величина K=1/G=1/0.5=2.0001 при пересечении ЛАХ с линией -180°, во втором она будет равна 20lg(K)=6.02 в дБ.

Отметим попутно, что для системы W(s)=1/(s4+2s3+3s2+4s+5) функция дает бесконечные значения запасов устойчивости Gm = Inf и Pm = Inf, что не соответствует действительности, хотя при этом и вы-водится предупреждение о неустойчивости системы в замкнутом со-стоянии The closed-loop system is unstable, полученное не из диаграм-мы Боде, а необъявленным способом.>> ww=tf(1,[1 2 3 4 5]); [Gm,Pm]=margin(ww)

218

Warning: The closed-loop system is unstable.Gm = InfPm = Inf

Поскольку сама программа MATLAB не пользуется для оценки критерием Найквиста или диаграммой Боде, а проверяет устойчивость иным способом, напрашивается вывод, что для SS, TF и ZPK моделей критерий Найквиста имеет ограниченное применение лишь для расче-та запасов устойчивости, и необходимо внимательно следить за об-щим заключением об устойчивости системы, чтобы не придти к оши-бочным результатам. В то же время для FRD-модели это единствен-ный способ оценить устойчивость системы после замыкания.

Диаграмма Николса является полной аналогией годографа Найквиста и предназначена для тех же целей. Она имеет два сущест-венных отличия:- если годограф Найквиста строится в координатах действительная часть-мнимая часть на комплексной плоскости, то годограф Николса строится в дополняющих их координатах фаза (градусы)-амплитуда (децибелы); - положение характеристики оценивается относительно точки с коор-динатами (0 дБ, -180°).

Для работы с экспериментальными данными диаграмма Никол-са удобнее годографа Найквиста, так как обычно в опытах произво-дится замер отношения амплитуд и разности фаз гармонических сиг-налов на входе и выходе объекта. Построим оба графика для одной и той же разомкнутой системы (рисунок 114).

Оценки запасов устойчивости полностью совпадают. Все про-блемы оценки устойчивости систем в особых случаях, выявленные при рассмотрении критерия Найквиста, относятся и к диаграмме Ни-колса, но дополнительные условия, вроде правила штриховки, здесь не применяются.

Замкнутая система устойчива, если годограф Николса разомк-нутой системы проходит ниже точки с координатами (0 дБ, -180°). За-пас устойчивости по амплитуде (Gain Margin) равен расстоянию от указанной точки до кривой по вертикали вниз, запас устойчивости по фазе (Phase Margin) – расстоянию от указанной точки до кривой по горизонтали вправо. В этой же точке рассчитывается запас по чистой задержке (Delay Margin).

219

Рисунок 114

Для сравнения приведена диаграмма Николса (рисунок 115) не-устойчивой в замкнутом состоянии системы – кривая охватывает осо-бую точку и запас устойчивости по амплитуде отрицателен, т.е. отсут-ствует. Табличка с индикацией параметров в позиции маркера может быть размещена относительно кривой посредством опции контекстно-го меню Alignment-Top-Right (вверху справа), Top-Left (вверху слева), Bottom-Right (внизу справа), Bottom-Left (внизу слева) или удалена.

Рисунок 115

220

С помощью MATLAB можно осуществить декомпозицию сис-темы на две параллельно соединенные устойчивую и неустойчивую части W(s) = W1(s) + W2(s) посредством функции stabsep(sys). В пер-вую подсистему объединяются моды с отрицательной действительной частью, во вторую – моды с нулевой и положительной действитель-ной частью, обусловливающие нестабильность системы.>> w=tf(1,[1 1 6 6 25 25]); [w1,w2]=stabsep(w)Transfer function:0.01875 s^2 + 0.0875 s + 0.1938------------------------------- s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5Transfer function:-0.01875 s + 0.00625-------------------- s^2 - 2 s + 5>> eig([w w1 w2]) %распределение полюсов по подсистемам W, W1, W2ans = 1.0000 + 2.0000i -1.0000 + 2.0000i 1.0000 + 2.0000i 1.0000 - 2.0000i -1.0000 - 2.0000i 1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i -1.0000 -1.0000 - 2.0000i -1.0000 >> ww=w1+w2 % обратная композиция системы для проверки точностиTransfer function:3.469e-018 s^4 + 1.388e-017 s^3 - 2.498e-016 s^2 + 2.776e-016 s + 1------------------------------------------------------------------- s^5 + s^4 + 6 s^3 + 6 s^2 + 25 s + 25

избавляясь от членов полинома числителя со значением менее 1e-15>> [num,den]=tfdata(ww,’v’); nn=num.*(abs(num)>1.e-15);>> ww=tf(nn,den)Transfer function: 1-------------------------------------s^5 + s^4 + 6 s^3 + 6 s^2 + 25 s + 25

6.13 Оценка качества процесса регулированияПостроив переходную характеристику для заданных входа--

выхода (рисунок 116) с помощью функции step() или графического анализатора ltiview(имя_системы), на вкладке Characteristics (Харак-теристики) контекстного меню можно задать показ максимума (Peak Response), времени регулирования (Settling Time), времени нараста-ния (Rise Time) и установившегося значения (Steady State, DC Gain или Final Value). Рекомендуется установить в окне редактирования свойств (Properties) на вкладке Characteristics зону Δ для оценки вре-мени регулирования равной 5 % (по умолчанию она равна 2%), интер-вал оценки времени нарастания можно оставить прежним – от 10 до

221

90 %. Значения показателей качества определяются по табличке, фор-мируемой при установке указателя мыши на маркеры графика.

Рисунок 116

Из графика время нарастания по диапазону (0,1-0,9) установившегося значения равно 3.05 с, время регулирования при ошибке 5 % равно 10.3 с, значение максимума 0.0986 при времени достижения максимума 7.13 с, перерегулирование (Overshoot) 18.4 %, установившееся значение 0.0833.

Типовой график переходного процесса в MATLAB (рисунок 117) поясняет принципы оценки ею прямых показателей регулирования.

Рисунок 117

Из рисунка видно, что программа различает заброс от устано-вившегося значения вверх (Overshoot) и провал от начального (Init) значения вниз (Undershoot). Последнее понятие отсутствует в учебной литературе СНГ и не вычисляется специально с выводом результата самой MATLAB. Кроме того, хотя в справке MATLAB говорится, что зона Δ (% Settling) для оценки времени регулирования равна 5 %,

222

однако на самом деле по умолчанию выставлено 2 % и интервал оценки времени нарастания составляет от 10 до 90 %. Утверждение справки, что обе эти величины вычисляются от установившегося значения (Final Value), не всегда подтверждается в экспериментах. MATLAB считает максимумом (Peak Response) наибольшее отклонение от установившегося значения (не сказано, что первое, и не обязательно с переходом через линию установившегося значения).

Заметим, что при исследовании систем регулирования возмож-ны три типа передаточных функций: с m = 0 (нули отсутствуют) – та-кова главная передаточная функция от входа задания r(t) к регулируе-мому выходу y(t); с m = n (порядок полинома числителя m равен по-рядку полинома знаменателя n) – это соответствует функции передачи ошибки регулирования от задания; с 0 < m < n (это функции влияния возмущения на регулируемую величину и ошибку регулирования).

Анализ результатов моделирования в MATLAB показал, что для систем с m = n возможно неверное определение показателей качества, в частности, значения перерегулирования и времени достижения мак-симума. Так, для системы с передаточной функцией ошибки статиче-ской системы W(s) = (s^2+2s+1)/(s^2+2s+3) перерегулирование (Over-shoot) на графике переходной функции охарактеризовано значением 200 % (рисунок 118), тогда как при оценке корневым методом по по-люсам передаточной функции для той же самой системы программа MATLAB дает значение перерегулирования только 10,8 %.

Рисунок 118

При самостоятельном расчете по кривой на основе стандартного подхода перерегулирование равно σ = (0.333-0.261)/(1.000-0.333) = 0.072/0.667 = 0.108, т.е. те же 10,8 %. Это же значение 10,8 % выводит программа по переходной характеристике при полном удалении из системы нулей (m = 0), например, для главной передаточной функции

223

W(s) = 3/(s^2+2s+3). Как же следует оценить нашу систему по величи-не перерегулирования – она плохая (200 %) или хорошая (10,8 %)?

Между тем, величину Δ для оценки времени регулирования рас-сматриваемого переходного процесса программа берет, в соответст-вии с рекомендуемым подходом, как 5 % от разницы начального и ус-тановившегося значений 0.05*(1.000-0.333) = 0.05*0.667=0.033. Этот же подход применен для расчета времени нарастания. И можно пред-положить, что программа пренебрегает корневыми оценками и стан-дартными методами расчета перерегулирования по той причине, что при броске регулируемой величины для нее важнее определять не собственные свойства системы, а пагубность этого броска для потре-бителей. Правда, случай с m = n характерен не для выхода регулиро-вания, а для выхода ошибки, где потребителей не бывает, но вот раз-личить, на каком выходе анализируется качество процесса, программа не может, это уже удел того, кто сидит перед компьютером.

Пример говорит о том, что, программа не различает относитель-ную величину – перерегулирование, и абсолютную величину – мак-симальное динамическое отклонение. Таким образом, каким бы мощным ни был программный продукт, к результатам моделирования следует всегда подходить осторожно, проверяя их по возможности иными способами и представляя примерно ожидаемый результат.

Понятно, что в соответствии с теоремой о начальном значении переходной функции пик характеристики в момент t = 0 определялся не характеристическим полиномом системы, т.е. ее собственными свойствами, а отношением коэффициентов при старших степенях s в числителе и знаменателе передаточной функции. А оно не связано не-посредственно с собственными свойствами системы и, естественно, не может вытекать из расположения нулей и полюсов на комплексной плоскости. Таким образом, временные и корневые модели в MATLAB могут при оценке качества регулирования давать противоречащие друг другу результаты.

ПФ W(s)=(s^3+2s^2+3s)/(s^4+2s^3+3s^2+4s+1.2) характеризует-ся тем, что переходная характеристика начинается и заканчивается в нуле (рисунок 119). Значение перерегулирования равно бесконечности (Inf)! Карта корней дает, естественно, иное значение 83,5 %. Если же последовать обычным рекомендациям, то перерегулирование следует в этом случае считать как отношение максимума к единичному скач-ку, т.е. 105 %, либо как отношение второго максимума к первому, или 0,237/1,05 = 0,226 (22,6 %). Система вообще получается вполне при-личной.

224

Рисунок 119

Согласно общепринятому подходу, перерегулирование должно определяться по первому максимуму, и время tmax – это время дости-жения первого максимума. Однако MATLAB берет на кривой (рису-нок 120) не первый, а третий максимум, т.е. не локальный максимум и не первый по порядку, а просто наибольший (абсолютный). К корне-вым методам этот принцип уж точно не имеет отношения, но зато со-образуется с желанием защитить потребителя, о котором мы уже упо-минали, так как выбирается самое большое отклонение из всех.

Рисунок 120

Вопреки стандартному определению перерегулирования про-грамма может выбрать в качестве максимума и экстремум обратной полуволны (рисунок 121). Установившееся значение здесь отрица-

225

тельно, график начинается с нуля, поэтому и перерегулированием должен был быть переброс через линию установившегося значения вниз.

Рисунок 121

Итак, MATLAB выбирает не первый, а абсолютный максимум независимо от его знака и порядкового номера (наибольшее отклоне-ние от нуля в ту или иную сторону), и вычисляет перерегулирование, не всегда учитывая знак установившегося значения. При этом может получиться и минус перерегулирование (-691% на рисунке 121), хотя в учебной литературе СНГ подобное не предусмотрено.

Наконец, совсем уж характерный пример представляют собой переходные характеристики систем с передаточными функциями W(s)=(-2s+0.93)/(s^2+2s+2) и W(s)=(-2s+0.935)/(s^2+2s+2), показан-ные на рисунке 122, а и б.


226

Первая система имеет полюса -1±1j и ноль 0.465. Время регули-рования составляет 2.67 с; время нарастания 0.952 с; провал -0.509, максимум 0.507, перерегулирование -210 %. Вторая система имеет полюса -1±1j и ноль 0.468, время регулирования 2.67 с; время нарас-тания 0.953 с; провал -0.509, максимум 0.51, перерегулирование 9.02 %. Разница в параметрах звеньев и характеристик находится в пре-делах погрешности измерений (ноль в первом случае равен 0.465, во втором 0.468; максимум в первом случае 0.507, во втором 0.51). Прак-тически системы и их характеристики неразличимы. Однако вычис-ленные для них программой MATLAB значения перерегулирования различаются на порядок, да еще и отличаются знаком!

Таким образом, результаты, полученные при моделировании в MATLAB, зачастую противоречат как друг другу, так и определени-ям, традиционным для учебной литературы СНГ. Их следует исполь-зовать достаточно осторожно, особенно для случаев, когда переходная характеристика начинается не с нуля (т. е. при m = n); заканчивается в нуле (астатические звенья, bm = 0); начинается и заканчивается на од-ном и том же уровне; имеет разнополярные значения.

Используя программу MATLAB, можно изучить также принци-пы моделирования системы нулями-полюсами на комплексной плос-кости, метод корневого годографа, корневые методы коррекции пара-метров и синтеза одномерных (SISO) систем с заданными свойствами.

Если, вызвав окно графического анализатора, выбрать в контек-стном меню графиков тип графика Plot Types-Pole/Zero, для одномер-ной системы будет выведена карта размещения нулей Zero (кружки) и полюсов Pole (крестики) системы на комплексной плоскости. Анало-гичные действия выполняет функция pzmap(имя_системы). Отдельно вычисляет полюса системы функция pole(), нули – функция zero().

Функция rlocus(имя_системы) производит расчет и вывод в гра-фическое окно корневого годографа (Root Locus). Требования к ана-лизируемой системе в этом случае аналогичны требованиям критерия Найквиста, т. е. исходная система должна быть разомкнутой.

Пусть задана передаточная функция Wyr(s) замкнутой системы. Разомкнутой системе (Open Loop), ПФ которой мы получим сами>> [b,a]=tfdata(wyr,'v'); wol=tf(b,a-b);соответствуют значения полюсов (нули отсутствуют)>> pole(wol)ans = -5.2500 + 5.2381i -5.2500 - 5.2381i -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i

227

Корневой годограф системы (рисунок 123) вызывается коман-дой rlocus(wol)

Рисунок 123

Для каждой точки годографа можно получить с помощью мы-ши: текущее значение коэффициента передачи Gain, значение корня Pole, значения коэффициента демпфирования Damping и частоты соб-ственных колебаний Frequency (рад/с), значение перерегулирования Overshoot (%). У неустойчивой системы действительная часть хотя бы одного полюса положительна, а значение коэффициента демпфирова-ния этого корня отрицательно.

Из просмотре годографа с помощью маркеров устанавливаем, что изменение коэффициента усиления системы до kс = 107 приводит к ее неустойчивости, корни характеристического полинома выходят на мнимую ось. Время регулирования системы при kс = 0 по домини-рующим корням равно 3/0,25 = 12 с, перерегулирование 16,3 %.

Функция rltool(plant) – частная, или sisotool(plant) открывает ок-но SISO Design Tool (рисунок 124) проектирования системы регулиро-вания одномерного объекта Plant, описанного предварительно. Оно позволяет спроектировать методом корневого годографа для одномерной системы вводимый дополнительно в схему регулятор (Compensator), наблюдая результирующее изменение переходной ха-рактеристики, годографа Найквиста или диаграммы Боде (в этих слу-чаях программа размыкает систему сама). Регулятор C может распола-гаться в цепи как прямой (Forward), так и обратной (FeedBack), как

228

отрицательной, так и положительной (кнопка +/-) связи. Место уста-новки регулятора выбирается с помощью кнопки FS, результирующая передаточная функция регулятора C(s) выводится в окне.

Рисунок 124

В процессе моделирования могут быть исключены, компенсиро-ваны или добавлены действительные и комплексные полюса или ну-ли, заданы характеристики звена Prefilter (фильтра F) на входе задания и измерительного преобразователя Sensor (датчика H) в цепи обрат-ной связи. Исходный объект (Plant) сохраняется неизменным в виде блока G. В меню Tools может быть выбран вид исследуемой характе-ристики (с помощью опции Loop Responses), либо построена специ-ально для целей исследования структурная схема в среде Simulink.

Создадим объект регулирования, имеющий передаточную функ-цию W(s) = 0.25/(s2+0.5s+0.25). При оценке его в окне проектирования методом корневого годографа Siso Design Tool диаграмма Боде дает запас устойчивости по амплитуде Gm=Inf (бесконечный), по фазе Pm=90 град (рисунок 124). По переходной характеристике перерегу-лирование равно 30.4 %, время регулирования для зоны 5% составляет 15.5 с. При коэффициенте передачи П-регулятора kр = 1 точность в ус-тановившемся режиме характеризуется установившейся ошибкой, ко-торая равна 1-0.5=0.5 или 50.0 %, система статическая.

Пойдем простым путем и выполним коррекцию системы, уменьшив статизм системы до 5 % за счет увеличения коэффициента

229

усиления П-регулятора, для чего будем перемещать маркер положе-ния полюса на комплексной плоскости Root Locus Editor (рисунок 125).

Рисунок 125

После корректировки точность в установившемся режиме повы-силась и соответствует ошибке регулирования 1-0.952=0.048 или 4.8 % при коэффициенте передачи П-регулятора Кр=20. Новое значе-ние запаса устойчивости по амплитуде равно бесконечности, по фазе 13.1 град, перерегулирование 70.8 %, время регулирования 15.4 с (ри-сунок 126). Полюса замкнутой системы при Кр=20 равны -0.25±j2.28.

Рисунок 126

Как следует из переходной характеристики, увеличение коэф-фициента передачи П-регулятора уменьшило установившуюся ошиб-ку, однако ухудшило устойчивость системы и увеличило колебатель-

230

ность процесса регулирования. Полученные характеристики трудно назвать оптимальными, поэтому изменим структуру регулятора, введя в закон регулирования интегральную составляющую – устраним уста-новившуюся ошибку другим путем, переводя систему из статических в астатические. Построим для того же объекта регулирования И-регулятор с передаточной функцией W(s) = 1/s и именем comp.>> plant=tf(0.25,[1 0.5 0.25]); comp=tf(1,[1 0]);>> sisotool(plant,comp)

Зацепив левой кнопкой мыши маркер на траектории комплекс-ного корня, перетаскиваем его в левую (устойчивую) полуплоскость до тех пор, пока не получим достаточные значения запаса устойчиво-сти по амплитуде (не менее 6 дБ) на диаграмме Боде (рисунок 127).

Рисунок 127

При значении коэффициента передачи Kp = 0.2 запасы устойчи-вости замкнутой системы оказались равны 7.96 дБ и 61.8°, что вполне удовлетворяет стандартным требованиям. Динамические характери-стики замкнутой системы регулирования получим, выбрав в меню

231

Analysis пункт Response to Step Command (рисунок 128, а) и Rejection of Step Disturbance (рисунок 128, б). Первый график позволяет прове-рить, что перерегулирование выходной величины y(t) по заданию r(t) не превышает 30 % (на графике оно равно 12.1 %, при необходимости можно подобрать значение перерегулирования, изменяя положение полюса на комплексной плоскости). Вторая кривая этого рисунка ото-бражает изменение во времени управления u(t) на выходе регулятора.


Второй график показывает реакцию проектируемой системы при возмущении (Disturbance) на входе объекта регулирования (du to y) и на его выходе (dy to y). В худшем случае за время 24.1 с регуля-тор возвращает систему в установившееся состояние. Таким образом, использование ПИ-регулятора позволило уменьшить значение перере-гулирования и полностью устранить статическую ошибку, поскольку при единичном скачке на входе задания выходная величина также приходит к единичному значению, а возмущения в виде ступенчатой функции на входе и выходе объекта сходят к нулю.

Выбрав опцию меню View-Closed-Loop Poles, определяем, что в итоге проектирования корни характеристического уравнения замкну-той системы равны -0.266 и -0.117±0.417i.

Необходимо отметить, что те же результаты получаются, если регулятор С установлен в цепи обратной связи последовательно с дат-чиком H (изменение положение регулятора выполняется кнопкой FS). Можно провести дальнейшее улучшение показателей качества, в ча-стности, времени регулирования, вызвав одновременно на экран окна SISO Design for Sysem … и LTI Viewer for SISO Design Tool, переме-щая мышью полюс на комплексной плоскости и наблюдая за проис-ходящими изменениями запасов устойчивости и показателей качества.

Если окно проектирования регулятора для SISO-объекта уже от-крыто, изменить параметры регулятора позволяет опция Compensa-tors-Edit-C. В открывшемся диалоговом окне можно установить коэф-

232

фициент усиления регулятора Gain, добавить действительный и нуле-вой (Add Real Pole) или комплексный (Add Complex Pole) корни, уда-лить уже имеющийся полюс регулятора. Можно сформировать ПИ-регулятор, добавив к передаточной функции действительный нуль.

6.14 Создание модели в пространстве состоянийВозможно бесчисленное множество описаний одной и той же

системы в пространстве состояний, однако удобнее использовать не-сколько стандартных моделей. Рассмотрим порядок создания SS-модели штатными функциями MATLAB на примере системы с пере-даточной функцией W(s)=(s^2 + 3 s + 2)/(s^3 + 5 s^2 + 11 s + 15), имеющей нули -1, -2, полюса -3, -1±j2 и коэффициент усиления 1.

Функция ss() используется для построения SS-модели по матри-цам A, B, C, D или модели системы, описанной в иной форме (кроме FRD-модели)>> sys=ss(w)a = x1 x2 x3 x1 -5 -2.75 -3.75 x2 4 0 0 x3 0 1 0b = u1 x1 2 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 0.5 0.375 0.25d = u1 y1 0

Эта модель не является стандартизированной, тогда как обычно модели приводят к одной из канонических форм (представлений), т.е. упорядоченных заданным образом форм описания системы методом переменных состояния, предназначенных для выполнения определен-ного круга операций. Например, функция tf2ss() осуществляет преоб-разование TF-модели в каноническую инверсную управляемую форму SS-модели, с коэффициентами характеристического полинома в верх-ней строке матрицы А (сопровождающей). У управляемой формы обычно нормированный вид с единственной единицей имеет матрица коэффициентов входов В.>> [a,b,c,d]=tf2ss(num,den)a =

233

-5 -11 -15 1 0 0 0 1 0b = 1 0 0c = 1 3 2d = 0

Здесь и далее во всех именах, например, tf2ss, цифра 2 заменяет предлог to, подразумевающий направление преобразования – в кон-кретном примере из записи передаточной функцией в (to) описание переменными состояния. Преобразование ZPK-модели в управляемую SS-модель с произвольно образованной матрицей А функцией zp2ss()>> [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)a = -3.0000 0 0 1.0000 -2.0000 -2.2361 0 2.2361 0b = 1 0 0c = 1.0000 1.0000 -1.3416d = 0

Каноническая модальная форма характеризуется тем, что в мат-рице А собственные значения расположены по диагонали, причем ис-пользуются лишь вещественные числа, поэтому каждая пара ком-плексных корней выводится в виде блока, у которого действительные части находятся на главной диагонали, а мнимые – справа (положи-тельная) и слева (отрицательная) от нее.>> sys=canon(w,'modal')a = x1 x2 x3 x1 -3 0 0 x2 0 -1 2 x3 0 -2 -1b = u1 x1 3.881 x2 3.69 x3 1.23c =

234

x1 x2 x3 y1 0.06442 0.1626 0.122d = u1 y1 0

Каноническая управляемая форма с сопровождающей (compan-ion) матрицей А, содержащей характеристический многочлен в пра-вом столбце (авторы MATLAB советуют избегать этой формы ввиду численной неустойчивости) может быть получена обращением>> sys=canon(w,'companion')a = x1 x2 x3 x1 0 0 -15 x2 1 0 -11 x3 0 1 -5b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 1 -2 1d = u1 y1 0

Все формы модели в пространстве состояния, создаваемые MATLAB, не совпадают с общепринятыми каноническими управляе-мым и наблюдаемым представлениями. Этот пробел призваны ком-пенсировать специально разработанные и приводимые далее функции пользователя tf2cs() и tf2os(). Первая по числителю и знаменателю пе-редаточной функции выводит каноническую управляемую форму, причем предлагаются два варианта этой функции: с вычислением матриц делением полинома числителя ПФ на полином знаменателяfunction [a,b,c,d]=tf2cs(num,den)a=flipud(fliplr(compan(den)));b=flipud(eye(length(den)-1,1));[d,c]=deconv(num/den(1),den/den(1));c=fliplr(c); c=[c zeros(1,length(b))]; c=c(1:length(b));и с вычислением элементов матрицы с по правилу ci = bn+1-I – an+1-i∙dfunction [a,b,c,d]=tf2cs(num,den)a=flipud(fliplr(compan(den)));b=fliplr(eye(1,length(den)-1))';num=[zeros(1,length(den)-length(num)) num/den(1)];d=num(1); c=num-den/den(1)*d; c=fliplr(c(2:end));

Результат работы обоих вариантов функции совпадает до нуле-

235

вого порядка числителя и знаменателя передаточной функции>> num=[1 3 2]; den=[1 5 11 15];>> [a, b, c, d]=tf2cs(num,den)a = 0 1 0 0 0 1 -15 -11 -5b = 0 0 1c = 2 3 1d = 0

Вторая функция tf2os()function [a,b,c,d]=tf2оs(num,den)a=flipud(fliplr(compan(den)));ld=length(den); c=eye(1,ld-1);num=[zeros(1,ld-length(num)) num/den(1)]; den=den/den(1);b(1)=num(1); n=1;while n<ld n=n+1; b(n)=num(n)-sum(b.*fliplr(den(2:n)));endd=b(1); b=b(2:ld)';по числителю и знаменателю передаточной функции возвращает тра-диционное описание системы в канонической наблюдаемой форме>> [a, b, c, d]=tf2оs(num,den)a = 0 1 0 0 0 1 -15 -11 -5b = 1 -2 1c = 1 0 0d = 0

MATLAB позволяет упростить модель системы регулирования (снизить ее порядок). К этому направлению относятся функции:

modred(sys,elim) – снижает порядок модели, описанной в про-странстве состояний, исключая состояния, обозначенные вектором индексов elim. Последний можно сформировать с применением функ-ции balreal(), выявляющей переменные с пренебрежимым вкладом в

236

реакцию системы. >> [sys,g] = balreal(sys) % вычисление сбалансированной реализации>> elim = (g<1e-8) % индикация пренебрежимых состояний>> rsys = modred(sys,elim) % удаление пренебрежимых состояний

minreal() – строит минимальную реализацию системы путем ис-ключения неуправляемых и ненаблюдаемых переменных состояния (пар нуль-полюс с одинаковыми значениями);

sminreal – удаляет состояния, не имеющиеся связи ни с одним входом или выходом.

6.15 Особенности исследования многомерных системРассмотрим особенности моделирования многомерных (MIMO)

систем, синтеза модального регулятора и наблюдателя состояния.Сопровождающую матрицу (матрицу А в канонической форме

описания системы) можно получить по характеристическому полино-му Р функцией compan(P). Характеристическая матрица вычисляется в символической записи, характеристический полином является ее определителем.>> a=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2]; % задаем матрицу А третьего порядка>> syms s % определяем символьную переменную s>> sa=s*eye(3)-a % вычисляем характеристическую матрицуsa =[ s, -1, 0][ 0, s, -1][ 4, 3, s+2]>> det(sa) % определитель характеристической матрицыans =s^3+2*s^2+3*s+4

Системную матрицу или резольвенту Ф(s) можно получить от-дельно, либо как обратную матрицу к известной характеристической>> a=[0 1 0; 0 0 1; -4 -3 -2]; % задаем матрицу А третьего порядка>> syms s % определяем символьную переменную s>> w=s*eye(3)-a; % вычисляем характеристическую матрицу>> inv(w) % вычисляем резольвентуans =[(s^2+2*s+3)/(s^3+2*s^2+3*s+4), (s+2)/(s^3+2*s^2+3*s+4), 1/(s^3+2*s^2+3*s+4)][-4/(s^3+2*s^2+3*s+4), s*(s+2)/(s^3+2*s^2+3*s+4), s/(s^3+2*s^2+3*s+4)][-4*s/(s^3+2*s^2+3*s+4), -(3*s+4)/(s^3+2*s^2+3*s+4), s^2/(s^3+2*s^2+3*s+4)]

Для некоторых частных передаточных функций при определен-ных сочетаниях полюсов можно сразу получить оригинал с помощью обратного преобразования Лапласа и построить график (рисунок 129)>> syms s t w y % объявляем символьные переменные>> w=1/(s^3+2*s^2+2*s+1); % описываем изображение W(s)>> y=ilaplace(w, t) % обратное преобразование Лапласа от w по ty =

237

exp(-t)-exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+1/3*3^(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)>> ezplot(y,0,20) % строим график y(t) в диапазоне 0-20 с

0 5 10 15 20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

exp(-t)-...+1/3 31/2 exp(-1/2 t) sin(1/2 31/2 t)

Рисунок 129

Кроме того, фундаментальную матрицу можно получить как матричную экспоненту от At, например>> syms t; A=[0 1;-2 -3]A = 0 1 -2 -3>> expm(A*t)ans =[ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)][ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]

Матрицы управляемости (controllability) Q и наблюдаемости (observability) N формируются в MATLAB командами ctrb() и obsv(), причем последняя иначе, чем принято в СНГ, без транспонирования матриц А и с (в соответствии со свойством матриц АТсТ = (сА)Т).

, .

Затем с помощью функции rank() вычисляется ранг матриц.Ранг матрицы управляемости объекта регулирования w033 ра-

вен порядку объекта n = 2, следовательно, он полностью управляем.>> ctrb(w033)ans = 1.0000 -0.5000 0 1.0000>> rank(ans)

238

ans = 2

Ранг матрицы наблюдаемости объекта регулирования w033 ра-вен порядку объекта n = 2, следовательно, он полностью наблюдаем.>> obsv(w033)ans = 0 0.2500 0.2500 0>> rank(ans)ans = 2

6.16 Проектирование регулятора в пространстве состоянийМодальный регулятор представляет собой П-регулятор с коэф-

фициентом К и обратными связями по переменным состояния x1 ... xn, значения которых определяются лишь заданными модами замкнутой системы. Выбор коэффициентов ki матрицы обратных связей k обес-печивает получение заданных динамических свойств системы, причем единственным образом. Управление в MATLAB описывается матрич-ным уравнением u = -kx, где k – матрица коэффициентов обратной связи регулятора по переменным состояния, замыкающей систему. Общий коэффициент усиления регулятора К вынесен в задатчик (Pre-filter). Одномерное уравнение регулятора соответствует использова-нию в цепи обратной связи замкнутой системы ПД-регулятора.

Замкнутая система регулирования, объединяющая объект регу-лирования и регулятор (рисунок 130), получается в этом случае из ра-зомкнутой системы по формулам D = d; C = c – Dk; B = b; A = a – Bk, где a, b, c, d – матрицы коэффициентов разомкнутой системы, A, B, C, D – замкнутой.

Рисунок 130

Исходя из требований к процессу регулирования замкнутой сис-темы, выбирают корни s1, s2 ... sn и определяют эталонный (желаемый) характеристический полином с коэффициентами a1 ... an. Если система

239

приведена к канонической форме управляемости, коэффициенты мат-рицы обратных связей вычисляют из условия ki = ai - ai0, где ai0 – ко-эффициенты характеристического полинома разомкнутой системы, для получения единственного решения обычно находят коэффициент передачи К П-регулятора из условия нулевой ошибки на выходе сис-темы в установившемся состоянии K∙bm/an=1.

Пусть передаточная функция объекта регулирования равна W(s)=(s+10)/(s3+2s2+3s+4). Используя функцию tf2ss(num, den), по-лучим описание системы переменными состояния в инверсной кано-нической управляемой форме>> num=[1 10];>> den=[1 2 3 4];>> [a,b,c,d]=tf2ss(num,den);>> sys=ss(a,b,c,d)a = x1 x2 x3 x1 -2 -3 -4 x2 1 0 0 x3 0 1 0b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 0 1 10d = u1 y1 0

Используем желаемое расположение полюсов замкнутой систе-мы с регулятором, описываемое вектором v, для вычисления матрицы коэффициентов обратной связи по переменным состояния k с помо-щью функции place().>> v=[-1; (-1+i); (-1-i)]; k=place(a, b, v)k = 1.0000 1.0000 -2.0000

Имеется также функция аналогичного назначения acker(a,b,v), реализующая метод Аккермана, однако она не рекомендуется автора-ми MATLAB к применению в связи с недостаточной численной на-дежностью при порядке исследуемых систем свыше 10.

Матрицу прямой связи (коэффициент регулятора К) вычисляем из условия получения единичного коэффициента усиления системы в установившемся состоянии>> K=1/(d-(c-d*k)/(a-b*k)*b)

240

K = 0.2000

Определяем все матрицы описания замкнутой системы>> ap=a-b*k; bp=b*K; cp=c-d*K; dp=d*K;и формируем ее математическую модель в пространстве состояний>> sysp=ss(ap, bp, cp, dp)a = x1 x2 x3 x1 -3 -4 -2 x2 1 0 0 x3 0 1 0b = u1 x1 0.2 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 0 1 10d = u1 y1 0

Результаты можно проверить, вычислив собственные значения замкнутой системы (корни характеристического уравнения) и ее пере-даточную функцию.>> eig(sysp)ans = -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -1.0000 >> tf(sysp)Transfer function: 0.2 s + 2---------------------s^3 + 3 s^2 + 4 s + 2

Рассмотрим вычисление матрицы k коэффициентов обратной связи по переменным состояния модального регулятора для произ-вольно заданного объекта (рисунок 131) при включенном в замкнутый контур обратной связи блоке с коэффициентом регулятора К, в том числе для случая измерения только выходной переменной.>> a=[-1 1 0;0 0 1;0 -3 0]; % самостоятельно описываем объект>> b=[0 0 1]'; c=[1 1 0]; d=0;

241

1y

1

s+1Transfer Fcn

1s

Integrator1

1s

Integrator

3

Gain

1u

x3 x2 x1

Рисунок 131

>> sys=ss(a,b,c,d) % строим его модель в пространстве состоянийa = x1 x2 x3 x1 -1 1 0 x2 0 0 1 x3 0 -3 0b = u1 x1 0 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 1 1 0d = u1 y1 0>> w=tf(sys) % вычисляем передаточную функцию объектаTransfer function: s + 2-------------------s^3 + s^2 + 3 s + 3>> [num,den]=tfdata(w,'v');>> DD=poly(a) % характеристический полином разомкнутой системыDD = 1.0000 1.0000 3.0000 3.0000>> [ac,bc,cc,dc]=tf2ss(num,den) % матрицы канонической формыac = -1.0000 -3.0000 -3.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0bc = 1 0 0cc = 0 1 2dc = 0>> sysc=ss(ac,bc,cc,dc); % модель объекта в канонической форме

242

>> v=[-10,-1+i,-1-i]; % вектор с желаемым расположением полюсов>> D=poly(v)D = 1 12 22 20 % новый характеристический полином>> K=D(end)/cc(end) % находим коэффициент усиления регулятора КK = 10>> k=(D-DD)/Kk = 0 1.1000 1.9000 1.7000>> k=k(2:end) % матрица k коэффициентов обратной связиk = 1.1000 1.9000 1.7000>> Heq=tf(k,cc) % ПФ ПД-регулятора в цепи главной обратной связиTransfer function:1.1 s^2 + 1.9 s + 1.7--------------------- s + 2>> wh=feedback(w*K,Heq) % передаточная функция замкнутой системыTransfer function: 10 s^2 + 40 s + 40---------------------------------s^4 + 14 s^3 + 46 s^2 + 64 s + 40>> ww=minreal(wh) % главная ПФ после удаления лишних корнейTransfer function: 10 s + 20------------------------s^3 + 12 s^2 + 22 s + 20

Получили систему с ПДД-регулятором в цепи главной обратной связи (передаточная функция Heq(s)), обеспечивающую те же характе-ристики (нулевую установившуюся ошибку, заданный вид полинома), что и система с обратными связями по всем переменным состояния (рисунок 132).

1y

1.1

k30.8

k20.9

k1

10

K1

s+13

1s

2

1s

1

3

1r

x1x3 x2u

Рисунок 132

243

Проверим это. Воспользовавшись матрицей преобразования Т, найдем значения коэффициентов обратной связи системы в исходном виде, подставим их в модель, созданную в среде Simulink и вычислим числитель и знаменатель передаточной функции созданной системы>> kk=k*T % запишем вычисленные значения в блоки k1, k2, k3 моделиkk = 0.9000 0.8000 1.1000>> [ne,de]=linmod('untitled') % получим ПФ модели без названияReturning transfer function modelne = 0 -0.0000 10.0000 20.0000de = 1.0000 12.0000 22.0000 20.0000

На практике для измерения чаще всего доступна лишь выходная переменная объекта y(t), поэтому для оценки неизмеряемых перемен-ных состояния применяют специальное устройство – наблюдатель со-стояния. В его основе лежит модель объекта управления в виде набора интеграторов, охваченных прямыми связями с коэффициентами пере-дачи b0 ... bm и обратными связями с коэффициентами передачи a10 ... an0 (рисунок 43).

Рисунок 133

Функция reg(plant,k,L) помогает построить регулятор для заданного в пространстве состояний объекта регули-рования Plant, используя матрицу k об-ратных связей по оценкам переменных состояния и матрицу L коэффициентов передачи наблюдателя, входящего в со-став регулятора (рисунок 133).

Обычно коэффициенты матрицы k выбираются с помощью функции place() или LQG-проектирования. Подразумевается при этом, что объект полностью управляем и наблюдаем.

При стандартном описании объекта матрицами A, B, C, D про-ектируемому регулятору соответствует набор матриц Ан, bн, сн

Такой регулятор связан с объектом контуром положительной ОС, поскольку минус содержится в матрице k – эта матрица будет на-ходиться на месте матрицы сн наблюдателя. Размерность матрицы L соответствует размерности матрицы В объекта, она и будет поме-щаться на место матрицы bн наблюдателя: записываем в матрицу 1 на месте х3, поскольку по правилам MATLAB переменные назначаются

244

от входа системы к выходу Полюса наблюдателя должны обеспечи-вать ускоренное затухание переходного процесса оценки переменных состояния – задав желаемые значения полюсов матрицей Ан и матрицу L, можно получить необходимую матрицу k=(А–Ан–LC)(B–LD)-1.

Сформируем объект регулирования plant и перейдем к его опи-санию переменными состояния>> plant=tf(1,[1 2 3 4]); plant=ss(plant);>> [a,b,c,d]=ssdata(plant) % описание объекта SS-модельюa = -2.0000 -1.5000 -2.0000 2.0000 0 0 0 1.0000 0b = 0.5000 0 0c = 0 0 1d = 0>> v=roots([1 3 3 2]); % формируем вектор полюсов замкнутой системы>> k=place(a,b,v) % вычисляем матрицу обратных связей как обычноk = 2.0000 -0.0000 -2.0000>> L=[0;0;1]; % задаем матрицу коэффициентов наблюдателя>> compensator=reg(plant,k,L) % формируем регулятор по двум матрицамa = x1 x2 x3 x1 -3 -1.5 -1 x2 2 0 0 x3 0 1 -1b = u1 x1 0 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 -2 3.997e-015 2d = u1 y1 0Input groups: Name Channels Measurement 1 Output groups: Name Channels

245

Controls 1 Continuous-time model.

Практический выбор параметров ПИД-регулятора, включенного последовательно с объектом, можно выполнить в среде Simulink. Вы-брав из библиотеки элементов Simulink Extras-Additional Linear ПИД-регулятор (PID Controller), составим структурную схему замкнутой системы регулирования с запаздыванием, как наиболее сложной для реализации (рисунок 134). На входе системы подключим источник ступенчатого сигнала Step (библиотека Sources), на выходе индикатор Scope (библиотека Commonly Used Blocks) и блок настройки Signal Constraint (библиотека Simulink Response Optimization).

4s +2s+121

W3TransportDelay

Step

Signal Constraint

Scope

PID

PID Controller

Рисунок 134

В блоке Step зададим момент скачка, равный нулю, время запаз-дывания в блоке Transport Delay ставим равным 1 с и обязательно ука-зываем порядок аппроксимации, например, второй. Дважды щелкнув на изображении регулятора, вписываем вместо чисел символические обозначения изменяемых коэффициентов Kp (пропорциональная часть), Ki (интегральная часть) и Kd (дифференцирующая часть). Дважды щелкнув на блоке Signal Constraint, откроем окно параметров этого блока, в котором красными линиями заданы границы рабочей зоны переходного процесса, определяемые тремя параметрами: вре-менем регулирования (узкая зона вдоль линии установившегося зна-чения), время нарастания (первый выступ снизу) и перерегулирования (выступ сверху). Через меню Optimization-Tuned Parameters открыва-ется окно, в котором после импорта командой Add можно указать ми-нимальное, максимальное, начальное и типичное значения настраи-ваемых параметров Kp, Ki, Kd.

Кнопкой Start в блоке Block Parameters: Signal Constraint запус-кается процесс выбора параметров, отображаемый в окнах этого бло-ка, Scope и Optimization Progress. Если за установленное число итера-ций решение не найдено, процесс подбора останавливается, а в случае успеха выводятся рекомендуемые значения коэффициентов. Интервал исследования задается в меню Optimization-Simulation Options, мас-штаб отображения в меню Edit-Axes Properties. Можно убрать про-

246

шлые графики Plots-Clear Plots, масштабировать по уровню 1,0 Edit-Scale Constraint, сбросить предыдущие установки Edit-Reset Constraint.

Установив в блоке Transport Delay задержку 1 с и порядок ап-проксимации 2, задали границы допустимой области переходного процесса по времени нарастания 3,5 с, по времени регулирования 5 с для величины перерегулирования 25 % (рисунок 135). Требуемый вид переходного процесса регулирования получен при значениях коэффи-циентов Kd = 3.1051, Ki=0.3525, Kp=1.5335.

Рисунок 135

Моделирование поведения системы подтверждает, что наличие в системе транспортной задержки значительно ухудшает время нарас-тания и регулирования (больше, чем само время задержки τ).

6.17 Преобразования базисаПреобразовывать модель системы из одного представления в

другое приходится в разнообразных целях, в частности, при проекти-ровании модальных регуляторов необходимо перейти к канонической форме управляемости и затем обратно. Как указывалось в разделе 4, новая система уравнений состояния и наблюдения имеет вид

откуда следует, что матрицы коэффициентов новой системы равны Ah=PAP-1, Bh=PB, Ch=CP-1, kh = kP-1. Задаваясь произвольной матри-цей Р необходимого размера, можно получить бесконечное множест-во описаний одной и той же системы в пространстве состояний. Одна-ко при любых преобразованиях исходная и преобразованная система

247

должны иметь одинаковые собственные значения, а преобразование подобия не должно менять передаточную функцию системы.

Рассмотрим преобразование произвольной системы к канониче-ской управляемой форме, канонической наблюдаемой форме и пред-ставлению с диагональной матрицей А, составленной из собственных значений системы.

Перейдем к пространству состояний от описания системы пере-даточной функцией>> w=tf([1 2 3],[1 6 11 6])Transfer function: s^2 + 2 s + 3----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6>> sys=ss(w);>> [A,b,c,d]=ssdata(sys)A = -6.0000 -2.7500 -1.5000 4.0000 0 0 0 1.0000 0b = 2 0 0c = 0.5000 0.2500 0.3750d = 0

Имея цель создать описание с диагонализированной матрицей А, матрицу Т собственных векторов системы, обратную к матрице преобразования Р, и преобразованную матрицу Аd с комплексными значениями собственных чисел (корней характеристического полино-ма), можно получить стандартной функцией eig().>> [T,Ad]=eig(A)T = -0.5797 0.4082 0.1741 0.7730 -0.8165 -0.6963 -0.2577 0.4082 0.6963Ad = -3.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -1.0000

Используя функцию ss2ss(), создадим преобразованное к диаго-нальному виду описание системы (по диагонали матрицы А размеща-ются полюса системы, в том числе комплексные)>> P=inv(T); sysd=ss2ss(sys,P)a =

248

x1 x2 x3 x1 -3 -8.438e-015 -7.994e-015 x2 1.155e-014 -2 -1.155e-014 x3 -3.109e-015 3.553e-015 -1b = u1 x1 -15.52 x2 -19.6 x3 5.745c = x1 x2 x3 y1 -0.1932 0.1531 0.1741d = u1 y1 0и проверим его правильность, восстановив передаточную функцию>> tf(sysd)Transfer function: s^2 + 2 s + 3----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

Рассмотрим приведение к канонической управляемой форме. В этом случае, как мы уже обсуждали (раздел 4), вид матрицы А (сопро-вождающей или матрицы Фробениуса) полностью определяется ха-рактеристическим полиномом, вид матрицы В также формализован. Таким образом, формируем матрицы Ас и bс системы в канонической управляемой форме и вычисляем матрицы управляемости обеих сис-тем, тогда матрица преобразования Р равна отношению матрицы управляемости новой системы к матрице управляемости исходной.>> Ac=fliplr(flipud(compan(poly(A))))Ac = 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -6.0000 -11.0000 -6.0000>> bc=[0; 0; 1]bc = 0 0 1>> q=ctrb(A,b); qc=ctrb(Ac,bc); p=qc/qp = 0 0 0.1250 0 0.1250 0 0.5000 0 0>> sysc=ss2ss(sys,p)a = x1 x2 x3

249

x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6b = u1 x1 0 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 3 2 1d = u1 y1 0

Проверим результат, самостоятельно осуществляя преобразова-ния>> Ac=p*A/pAc = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6>> cc=c/pcc = 3 2 1

Обязательным условием преобразования является невырожден-ность матрицы управляемости исходной системы, т.е. система должна быть полностью управляема и иметь ненулевой определитель.

Процедура перехода к канонической наблюдаемой форме анало-гична и отличается лишь тем, что используются матрицы наблюдае-мости, причем матрица преобразования базиса вычисляется по отно-шению матрицы наблюдаемости исходной системы к матрице наблю-даемости новой. Очевидным условием возможности преобразования является полная наблюдаемость новой системы.>> Ao=fliplr(flipud(compan(poly(A))))Ao = 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -6.0000 -11.0000 -6.0000>> co=[1 0 0]; n=obsv(A,c); no=obsv(Ao,co);>> P=n/noP = 0.5000 0.2500 0.3750 -2.0000 -1.0000 -0.7500 8.0000 4.7500 3.0000>> syso=ss2ss(sys,P)a = x1 x2 x3

250

x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6b = u1 x1 1 x2 -4 x3 16c = x1 x2 x3 y1 1 0 0d = u1 y1 0

Произведем проверку самостоятельным вычислением матриц А, b новой системы и ее передаточной функции – результаты совпадают.>> Aо=P*A/PAо = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6>> bo=P*bbo = 1 -4 16>> tf(syso)Transfer function: s^2 + 2 s + 3----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

Обратный переход (возвращение к исходной системе), напри-мер, после выбора параметров модального регулятора, во всех случаях осуществляется применением матрицы Р в обратном порядке, т.е. A=P-1AhP, B=P-1Bh, C=ChP, k = khP или обратной матрицы inv(P) в функции ss2ss(). Например, для системы, приведенной к канонической наблюдаемой форме>> sys=ss2ss(syso,inv(P))a = x1 x2 x3 x1 -6 -2.75 -1.5 x2 4 -1.066e-014 -7.105e-015 x3 0 1 0b = u1 x1 2 x2 0

251

x3 0c = x1 x2 x3 y1 0.5 0.25 0.375d = u1 y1 0

252

Литература

1 Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Энергия, 1967. – 648 с.

2 Теория автоматического управления: Под ред. А.В. Нетушила. – М. : Высш. шк., 1967. – 424 с.

3 Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л. : Энер-гия, 1969. – 375 с.

4 Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автомати-ческого регулирования. – М.: Машиностроение, 1977. – 592 с.

5 Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления: Под ред. В.А. Бесекерского. – 5-е изд., перераб. – М. : Наука, 1978. – 512 с.

6 Электрические системы. Математические задачи электроэнер-гетики / Под ред. В.А. Веникова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1981. – 288 с.

7 Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. – М. : Машиностроение, 1985. – 536 с.

8 Теория автоматического управления. В 2-х ч. – Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления: Под ред. А.А. Воро-нова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1986. – 367 с.

9 Теория управления. Терминология. – М.: Наука, вып. 7, 1988. – 56 с.

10 Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регу-лирования и управления. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, 1989. – 304 с.

11 Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматиче-ского регулирования. – М.: Машиностроение, 1989. – 752 с.

12 Лукас В.А. Теория автоматического управления. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Недра, 1990. – 416 с.

13 Избранные главы теории автоматического управления с при-мерами на языке MATLAB / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков. – СПб.: Наука, 2000. – 475 с.

14 Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной свя-зью. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.

15 Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматическо-го управления: Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб.: Профессия, 2003. – 752 с.

253

16 Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автомати-ческого управления. – 2-е изд., перераб. и доп. – Тамбов : Изд-во ТГТУ, 2004. – 352 с.

17 Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб. : Политехника, 2005. – 302 с.

18 Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линей-ные системы. – СПб. : Питер, 2005. – 336 с.

19 Тетельбаум И.М., Шнейдер Ю.Р. Практика аналогового мо-делирования динамических систем: Справочное пособие. – М. : Энер-гоатомиздат, 1987. – 384 с.

20 Бороденко В.А. Методические рекомендации по математиче-скому моделированию линейных систем на ЭВМ. – Алма-Ата : РИК, 1993. – 60 с.

21 Бороденко В.А. Теория автоматического управления. Лабо-раторный практикум. – Павлодар, Изд-во ПГУ, 2004. – 15 с.

22 Бороденко В.А., Баум С.В. Автоматизированное проектиро-вание линейных систем управления в среде Дельфи. // Ученые записки ПГУ, №4(13), 2000. – C. 51-56.

23 Лазарев Ю.Ф. MatLAB 5.x. – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 384 с.

24 Дьяконов В. МАТЛАБ 6: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.

25 Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. – 448 с.

26 Новгородцев А.Б. Расчет электрических цепей в MATLAB: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2004. – 250 с.

27 MATLAB 6.х: программирование численных методов / Кет-ков Ю.Л. и др. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 672 с.

28 Бороденко В.А. Оценка устойчивости линейной системы по критерию Рауса в среде MatLAB 5.x. // Наука и техника Казахстана, №2, 2001. – С.180-185.

29 Бороденко В.А. Математические задачи энергетики и компь-ютерное моделирование. Лабораторный практикум. – Павлодар, Изд--во ПГУ, 2004. – 27 с.

30 Бороденко В.А. Оценка устойчивости линейных систем по результатам моделирования в MATLAB // Вестник ПГУ. Энергетика. – 2007. – №2. – С. 14-22.

254

Приложение А(справочное)

Расчет числителей простых дробей

Метод неопределенных коэффициентов (системы уравнений). Универсальный, хотя и громоздкий, метод, пригодный для любых корней характеристического полинома.

Левую и правую часть разложения на простые дроби приводят к общему знаменателю, который отбрасывается. Приравнивая коэффи-циенты при одинаковых степенях s левой и правой частей равенства, составляют систему линейных алгебраических уравнений и решают ее любым известным методом.

Пример. Изображение разлагается на две дроби

в соответствии с полюсами s1 = 0; s2 = -1. Приводим левую и правую части к общему знаменателю, отбрасывая его, группируем коэффици-енты, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях s слева и справа

1=k0s +k0 + k1s = (k0 + k1)s + k0

при s0 →при s1 → откуда k0 = 1

k1 = -1

Подставляем значения коэффициентов числителей

и переходим по таблице соответствия от изображений к оригиналам

.

Метод подстановки полюсов (пригоден только для простых полюсов или дроби с полюсом максимальной кратности).

Формула:

Пример: возьмем ту же функцию .

; ,

255

получили аналогичный результат. Действия сводятся к тому, что в знаменателе левой части равенства исключают полином с соответст-вующим полюсом, а в оставшуюся часть подставляют его значение.

Метод вычисления производной (для простых полюсов).

Формула: .

Пример: возьмем ту же функцию .

От знаменателя изображения D(s) = s2 + s вычисляем производ-ную и находим коэффициенты

; .

Метод вычисления производной (для кратных полюсов). Ис-ходное изображение необходимо разделить на две части – часть, со-держащую кратные корни, и оставшуюся часть F(s). Кратные корни в правой части выражения записывают по убыванию кратности (степе-ни s). Пусть разложение функции имеет вид, где

,

тогда формула для вычисления коэффициента числителя Ar (1< r ≤ j) дроби с кратным корнем

.

Пример: дана функция с простым корнем s = -1 и корнем s = 0 с кратностью 3

.

Остаток после удаления кратных корней равен F(s) = 1/(s+1) = (s+1)-1. Коэффициенты А1 и k определяем другим способом, например, подстановкой полюсов

; .

Остальные коэффициенты

r = 2 ,

256

r = 3

и реакция в целом

(изображение),

(оригинал).

Метод вычитания найденной дроби (для кратных полюсов). Пример: дана функция с простым корнем s = -1 и корнем s = 0 с крат-ностью 3

.

Находим сразу А1 = 1 любым методом, например, подстановкой полюсов. Вычитаем найденную дробь из левой части

и определяем А2 каким-либо методом, например, подстановкой полю-сов

.

Снова вычитаем найденную дробь

.

Осталось найти методом подстановки полюсов А3 = 1 и k = -1, т.е. получены те же результаты, что и в предыдущем примере.

257

Приложение Б(справочное)

Основы алгебры матриц

Матрицей называется упорядоченный двумерный массив эле-ментов. Матрица обозначается в тексте полужирным шрифтом про-писным символом (вектор – строчным), ограничивается скобками ви-да ( ), [ ], || || и ни в коем случае не одинарными вертикальными ли-ниями | |, т.к. это обозначение соответствует числу (определителю).

, где

– индекс строки, – индекс столбца, – размер матрицы,

n – число строк,m – число столбцов.

Индексы, представляющие собой число более десяти или выра-жение, записываются через запятую, например ai, k+1. Элементы aij|i=j

образуют главную диагональ матрицы. Множество элементов, при-надлежащее отрезку, соединяющему правый верхний угол с левым нижним, называется побочной диагональю.

Матрица называется:- противоположной А, если она равна –А;- транспонированной относительно А, если ее столбцы равны

строкам, а строки – столбцам исходной матрицы А (если , то

). Свойства операции транспонирования:

(Ak)T=kAT; (A + B)T = AT + BT; (BA)T = ATBT; (AT)T = A;

- квадратной, если n = m, тогда n – порядок матрицы; вектором-столбцом, если m = 1; вектором-строкой, если n = 1; скаляром, если m = n =1.

Квадратная матрица называется:

- нулевой, если aij = 0, например ;

- верхней треугольной, если , например ;

- нижней треугольной, если , например ;

258

- симметричной, если ;- диагональной, если , обозначается ;

- единичной, если , обозначается E, I, 1, пример

.

Размер единичной и нулевой матриц всегда может быть выбран в соответствии с выполняемой операцией.

Матрице можно поставить в соответствие специальные числа: определитель, след, ранг, норму, собственное значение и т.п.

След матрицы равен сумме ее диагональных элементов. Обозна-

чение SpA или TrA, пример: , .

Правильным называется произведение n элементов квадратной матрицы с последовательно возрастающими индексами строк и столбцов. При нарушении последовательности индексов строк или столбцов произведение берется с минусом.

Определителем матрицы называется алгебраическая сумма всех ее правильных произведений с учетом знака. Определитель (детерми-

нант) обозначается D, Δ, detA, |A|. Пример: .

Определитель существует только для квадратной матрицы, он не изменяется при транспонировании матрицы. Определитель произ-ведения матриц равен произведению их определителей. Матрица, оп-ределитель которой равен нулю, называется особой (вырожденной, сингулярной), матрица с ненулевым определителем соответственно регулярной (неособой, невырожденной).

Вычеркнем в матрице А i-строку и j-столбец. Определитель по-лученной матрицы (n-1)-го порядка называют минором элемента aij в определителе матрицы А и обозначают через Mij. Алгебраическое до-полнение элемента aij равно .

Порядок наибольшей подматрицы, минор которой не равен ну-лю, называется рангом матрицы А (обозначается RangA или RankA). Матрица является неособой, если имеет полный ранг, равный ее по-рядку. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании. Пример:

определитель матрицы равен Δ2 = 0, однако есть минор пер-

вого порядка Δ1 = 2 ≠ 0, поэтому ранг матрицы RankA = 1.Если матрица приведена к трапецеидальному виду, ранг матри-

цы равен числу ее диагональных элементов. Пример:

259

Ненулевых диагональных элементов триангулированной матри-цы два (1 и 7), поэтому RankA = 2.

Матрицы равны при равенстве их размерностей и соответствен-ных элементов. Складывать можно лишь матрицы с одинаковым чис-лом строк и столбцов. Суммой двух матриц является матрица, каждый элемент которой равен сумме их соответственных элементов. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Произведение двух матриц определено, если число столб-цов левой матрицы равно числу строк правой матрицы. Число строк результирующей матрицы равно числу строк левой матрицы, а число столбцов – числу столбцов правой матрицы. Матрицы называются сцепленными, если их произведение существует, и перестановочны-ми, если результат их перемножения как слева, так и справа одинаков. Результат умножения как слева, так и справа любой матрицы на еди-ничную всегда равен исходной матрице, на нулевую – нулевой. Опе-рация деления соответствует умножению на обратную матрицу.

Квадратная матрица А называется обратимой, если существует такая матрица А-1, для которой АА-1 = А-1А = 1. Матрица А-1 называ-ется обратной к А. Матрица обратима только тогда, когда не является особой (когда ее определитель не равен нулю). Свойства обратной матрицы: (А-1)-1 = А, (АВ)-1 = А-1В-1.

Поскольку , где в числителе дроби на-ходится присоединенная матрица, один из методов определения об-ратной матрицы связан с вычислением присоединенной матрицы (матрицы алгебраических дополнений). Присоединенной к матрице А называется матрица, полученная путем замены каждого элемента ис-ходной матрицы его алгебраическим дополнением и транспонирова-ния полученной матрицы.

Пример: , ,

,

.

Существует простое мнемоническое правило учета знака алгеб-раических дополнений (шахматка): после вычисления миноров знаки

260

элементов матрицы изменяются в шахматном порядке, начиная с (+) у левого диагонального элемента. Кроме того, для вычисления присое-диненной матрицы второго порядка достаточно в исходной матрице элементы главной диагонали поменять местами, а у элементов побоч-ной диагонали поменять знаки.

Число λ называется собственным значением (характеристиче-ским числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подоб-рать такой n-мерный ненулевой вектор х, что Ах = λх. Если раскрыть определитель матрицы [λ·1 - A], то получится многочлен n-ой степени относительно λ

,

называемый характеристическим многочленом матрицы А, у которого а0 = 1, а an = |A|. Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Иногда для него используется запись

.

Пример: матрица ,

характеристическая матрица

,

характеристический полином ,

собственные значения λ1 = 5,415; λ2 = -0,415.Матрицы А и А* подобны, если выполняются требования

равенства их характеристических полиномов a(λ) и собственных значений si

det(λ1 - A) = det(λ1 - A*) = a(λ);

λi {A} = λi {A*} = si.

261

Бороденко Виталий Анатольевич

Учебное пособие

Практический курстеории линейных систем

автоматического регулирования

Технический редактор Г.Н. СейтахметоваКомпьютерная верстка М.А. Ескожинова

Подписано в печать 01.06.2007 г.Гарнитура Times.

Формат 29,7 х 42 ¼. Бумага офсетная.Усл. печ. л. 11,23. Тираж 500 экз.

Заказ № 0094

Научный издательский центрПавлодарского государственного университета

им. С. Торайгырова140008, г. Павлодар, ул. Ломова, 64

Documents

В · Web viewω, рад/с 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 20 50 100 lg(ω) -1 -0,7 -0,3 0 0,3 0,7 1 1,3 1,7 2 Для упрощения действительную ЛАЧХ заменяют