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第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function). §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒( Taylor )级数 §4.4 洛朗 (Laurent) 级数. 第一讲. §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数. §4.1 复数项级数. (Series of complex number ). 一、复数序列的极限. 二、复数项级数. 一、复数序列 的极限. 记作. 定理 4.1. 证明. 那末对于任意给定. - PowerPoint PPT Presentation
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第四章 解析函数的级数表示(The representation of power series of analytic function) §4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数§4.3 泰勒( Taylor)级数
§4.4 洛朗 (Laurent)级数
第一讲§4.1 复数项级数§4.2 复变函数项级数
§4.1 复数项级数一、复数序列的极限二、复数项级数
(Series of complex number )
,}{ 时的极限当称为复数列那末 nzz n0 记作.lim 0zznn
. }{ 0zzn 收敛于此时也称复数列
, ),,( }{ 其中为一复数列设 21nzn
,nnn yxz i ,y 0为一确定的复数又设 i00 xz
.),(,
0
0zzNn
N
n时,有当
总存在正整数如果对于任意给定
就能找到一个正数 N,
从而有.lim aann
所以 .lim bbnn
同理
的充分必要条件是
则设复数列
nn
nnn babalim
,, ii定理 4.1
0那末对于任意给定证明
反之 , 如果 ,lim,lim bbaa nnnn
从而有
[ 证毕 ]
称为复数项级数 .
称为级数的部分和 .若 {sn}(n=1,2,…,) 以有限复数 s 为极限 ,
二、复数项级数
即
是一复数列,则设 n
则称复数项无穷级数 (4.1) 收敛于 s, 且称 s为 (4.1) 的和 , 写成否则称级数 (4.1) 为发散 .
01
n
nz级数例
,)1(11
z
zzn
zzs
n
nnn
1
1limlim ,1
1z
1n
nS
定理 4.2 复级数
收敛于 s=a+ib(a,b 为实数 ) 的充要条件为 :
bbaan
nn
n
11
nnnnn
n iba
其中211
解( 1 )
( 2 )
例 3 1 1
12
?是否收敛级数
n
n
ni
.故原级数仍发散
, 1 1发散级数因为
n n,)( 收敛
1
11
n
n
n
1
1n n
1
1)1(n
n
ni解
11
12 )1(11n
n
n
n
ni
ni
定理 4.3 级数 收敛的必要条件是nnn yxz 其中
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛, 再由实级数 收敛的必要条件是
定理 4.4 若级数 收敛, 则级数 也收敛 .
1nnz
1nnz
为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。若级数 收敛 , 则称 绝对收敛 . 若级数 收敛 , 发散,则称
: 1 1 1
n n nn n n
a b
定理 绝对收敛 与 绝对收敛
? 收敛是绝对收敛?还是条件
是否收敛,若收敛, !(8i) 判断级数
1
n
n
n例 4
, !
81收敛
n
n
n故原级数收敛 , 且为绝对收敛 .
所以由正项级数的比值判别法知 :
,!!
)(nn
nn 8i8
解:因为
故原级数收敛 .
,)1(1
收敛为条件但
n
n
n
所以原级数条件收敛 .
.
])([
还是条件收敛,若收敛,是绝对收敛
是否收敛,判断级数
1 211
nn
n
in
例 5
; )1( 1
收敛因为
n
n
n,
21
1收敛也
nn解
§4.2 复变函数项级数
一、复变函数项级数二、幂级数
(Series of function of complex variable)
设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)
的各项均在区域 D 内有定义 , 且在 D 内存在一个函数 f(z), 对于 D 内的每一点 z, 级数( 4.2 )均收敛于f(z), 则称 f(z) 为级数 (4.2) 的和函数 , 记为 :
一、复变函数项级数
1n
n zfzf
的复函数项级数称为幂级数 , 其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数 .
二、 幂级数形如:
以上幂级数还可以写成如下形式
nn
n
nn zczczcczc 2
2100
定理 4.5( 阿贝尔 ) 如果幂级数 (4.3)在某点 z1(≠a) 收敛 , 则它必在圆K:|z-a|<|z1-a|( 即以 a 为圆心圆周通过 z1 的圆 )内绝对收敛 .
a 1z•
收敛 , 它的各项必然有界 , 即有正数 M, 使(n=0,1,2,…),
11 1
| ( ) | | ( ) ( ) | | |n n n nn n
z a z ac z a c z a M
z a z a
因为 |z-a|<|z1-a|, 故级数 收敛
证明 设 z 是所述圆内任意点 . 因为 1
0
nn
n
c z a
0
( )nn
n
c z a
在圆 K 内绝对收敛 .
推论 若幂级数 (4.3) 在某点 z2(≠a) 发散 , 则满 足 |z-a|>|z2-a| 的点 z 都是幂级数 (4.3) 发散点 .
a
z1
z2
当 z≠a 有以下三种情况 :
(1) 对所有的复数 z幂级数( 4.3 )均收敛 .
幂级数 , 首先它在 z=a 点处总是收敛的,
例如 , 级数 n
n
nzzz 2
2
21
对任意固定的 z, 从某个 n 开始 , 总有 ,21
nz
于是有 ,21 n
n
n
nz
故该级数对任意的 z 均收
敛 .
(2) 对于任意 z≠a 幂级数( 4.3 )都发散 .例如 , 级数 nnznzz 2221
, 0 时当 z 通项不趋于零 , 故级数发散 .
(3) 存在一点 z1≠a, 使级数收敛 ( 此时 , 根据定理 4.5 的第一部分知 , 它必在圆周 |z-a|=|z1-
a| 内部绝对收敛 ), 另外又存在一点 z2, 使幂级数( 4.3 )
发散 .( 肯定 |z2-a|≥|z1-a|); 根据推论知 ,它必在圆周 |z-a|=|z2-a| 外部发散 .)在这种情况下 , 可以证明 , 存在一个有限正数R, 使得级数 (4.3) 在圆周 |z-a|=R 内部绝对收敛 , 在圆周 |z-a|=R 外部发散 .R 称为此幂级数的收敛半径 ; 圆 |z-a|<R 和圆周 |z-a|=R 分别称为它的收敛圆和收敛圆周 . 在第一情形约定 R=+∞; 在第二情形 , 约定 ,并也称它们为收敛半径 .
R=0
x
y
o
1z .2z.
R
收敛圆收敛半径
幂级数
0n
nnzc 的收敛范围是以 O 点为中心的圆域 .
收敛圆周
一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能 : (1) 处处发散 . (2) 处处收敛 . (2) 既有收敛点 , 又有发散点 .
lim | | ,( )nnn
c l
柯西Cauchy
1lim ,( 'n
nn
cl D Alembert
c
达朗贝尔 )
幂级数的收敛半径的求法
则幂级数 的收敛半径为 :
0
)(n
nn azc
R=
1/l (l≠0,l≠+∞);
0 (l=+∞);
+∞ (l=0).
(4.4)
例 1 求下列幂级数的收敛半径 :
(1)
13
n
n
nz ( 并讨论在收敛圆周上的情形 )
(2)
1
)1(n
n
nz ( 并讨论 20 ,z 时的情
形 )解 (1)
n
n
n cc 1lim
3)1
(lim
n
nn
因为 ,1
所以收敛半径 ,1R
即原级数在圆 1z 内收敛 , 在圆外发散 ,
在圆周 1z 上 ,级数 收敛。
1
31
3
1nn
n
nnz
,11
limlim)2( 1
nn
cc
nn
n
n.1R即
,0时当 z ,1)1(1
收敛
n
n
n,2时当 z ,1
1
n n发散
这个例子表明:在收敛圆周上既有级数的收敛点 , 也有级数的发散点 .
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的 .
所以 .22
21
R
例 2
0
)1(n
nn zi求 的收敛半径 .
解 )4
sin4
(cos21 ii 因为 ,2 4
ie
nn ic )1( ;)2( 4
inn e
n
n
n cc
l 1
lim
n
n
n )2()2(lim
1
.2
例 3 把函数bz
1 表成形如
0
)(n
nn azc 的幂
级数 , 其中 ba与 是不相等的复常数 .
解: 把函数 bz 1 写成如下的形式 :
bz1
)()(1
abaz abazab
1
11
代数变形 , 使其分母中出现 )( az
凑出 )(11
zg
时,当 1
abaz
,)()()(11
1 2
n
abaz
abaz
abaz
abaz
bz1故 2
32 )()(
1)()(
11 azab
azabab
n
n azab
)()(
11
,Rab 设 ,时那末当 Raz 级数收敛 ,
且其和为 .1bz
收敛半径另一求法
O x
y
a
b
当 |za|<|ba|=R时级数收敛
(1) 幂级数
0
)()(n
nn azczf
的和函数 f(z) 在其收敛圆 K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析 .
说明:同实变函数幂级数一样,我们有
可以逐项求导至任意阶 .
可以逐项求积分 .
(2) 在收敛圆 K 内 , 幂级数
0
)()(n
nn azczf
(3) 在收敛圆 K 内 , 幂级数
0
)()(n
nn azczf
例 4 求级数
0
)1(n
nzn 的收敛半径与和函数 .
利用逐项积分 ,得 :
解12limlim 1
nn
cc
nn
n
n因为 .1R所以,1
0
000
d)1(d)1(n
z nz
n
n zznzzn
0
1
n
nz .1 z
z
所以 )1
()1(0
zzzn
n
n .)1(
12z
1z
课后作业 一、 思考题: 1 、 2 二、习题四: 1-5
101100P
第二讲§4.3 泰勒( Taylor)级数
§4.4 洛朗 (Laurent) 级数
一、解析函数泰勒定理二、一些初等函数的泰勒展式
§4.3 泰勒( Taylor)级数 (Taylor’s series)
一、解析函数泰勒定理 幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数 . 反过来,解析函数能否展开成幂级数 ?
,,,n)(zfn!
c
)z(zcf(z)
RzzD
zD,Rzf(z)
(n)n
n
nn
2101
0
00
0
00
:
(4.4)
,,
其中
时则当,离的边界上各点的最短距到为D在区域 内解析设定理 4.6
.αzR
αf(z)zRz
f(z)f(z)
0
0
0
Talor
即,的距离
之间的最近的一个奇点到于从
等展开式的收敛半径的解析点在那么,有奇点(1)说明: 若
此式称为 在 的泰勒展开式 , 它右端的级数称为 在 处的泰勒级数 .0z zf
zf 0z
.只能在收敛圆周上奇点,因此,大收敛半径还可以扩,不然的话,不可能在收敛圆外
奇点.不可能在收敛圆内 又所以奇点,内解析在收敛圆这是因为,上在收敛圆奇点(2)
α
ααf(z)α 周
.的泰勒展式唯一点)( 03 zf(z)在
zR
enzzz
ze
nee
z
nz
z
z
z
nz
收敛圆是
所以该级数的收敛半径在复平面上解析而
解:
.
!!!
),,,()( )(
321
210132
00
二、一些初等函数的泰勒展式.展开式
0 Talor的在求1例 z,sinz,coszef(z) z
00 !)(
!)(
21
2sin
n
n
n
nzizi
nzi
nzi
iiee
z
zn
zzz
nz
zz
nn
n
nn
)!(
)(!!
)!()()'(sincos
21
421
21
242
0
2
Rzz 它们的半径在全平面上解析,所以cos,sin
zn
zn
nn
0
12
121
)!()(
例 2 把下列函数展开成 z 的幂级数
111
1)1( 2
zzzzz
n 由解:
1)1(1)(1
11
1
zzz
zznn 得
)1ln()()3()1(
1)()2(1
1)()1( 2 zzfz
zfz
zf
1)1(321
)1(11
1)1(
1)2(
112
122
znzzz
zzzdzd
zdzd
znn
nn
( 3 ) 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0 处的幂级数展开式 .
[解 ] ln(1+z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内是解析的 , 1 是它的奇点 , 所以可在 |z|<1 展开为 z的幂级数 .
1 O
R=1
x
y
:)1(,
)1(01
逐项积分得的展开式两边沿将的路径
任意取一条从内在收敛圆
cc
zzz
因为)1(1)1(1
11
zzzz
nn
11
)1(31
2)1ln(
13
2
znz
zz
zzn
n
z nnz zzdzzzdzdz
zdz
00 00)1(
1
.)()()2(
.)(
)()()1(
00
00
幂级数内可展成在内解析在区域函数
数某一邻域内可展成幂级
的在解析在点函数结论:
DzfDzf
zzc
zzfzzf
n
nn
解析的等价条件:在区域函数 Dzf )(
内可导;在区域函数 Dzf )()1(
条件,内可微,且满足在区域 RCDvu ,)2(
关;内连续且积分与路径无在区域函数 Dzf )()3(
内可展开为幂级数在区域函数 Dzf )()4(
推论 2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。 ( 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 )
而如果把函数中的 x换成 z, 在复平面内来看函数2
11 z
1z2+z4…
它有两个奇点 i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上 , 所以这个级数的收敛半径只能等于 1. 因此 , 即使我们只关心 z的实数值 , 但复平面上的奇点形成了限制 .
在实变函数中有些不易理解的问题 , 一到复变函数中就成为显然的事情 , 例如在实数范围内 , 展开式
2 4 22
1 1 ( 1)1
n nx x xx
的成立必须受 |x|<1 的限制 , 这一点往往使人难以理解 , 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的 .
§4.4 洛朗 (Laurent)级数 (Laurent’s series)
一、双边幂级数二、解析函数的洛朗展式
一个以 z0 为中心的圆域内解析的函数 f
(z), 可以在该圆域内展开成 zz0 的幂级数 . 如果 f
(z)在 z0 处不解析 , 则在 z0 的邻域内就不能用zz0 的幂级数来表示 . 本节将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法 .
一、双边幂级数
10 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,
n nn n
n
nn
c z z c z z c z z
c c z z c z z
的级数称为双边幂级数
形如
0双边幂级数 ( )nn
n
c z z
负幂项部分 非负幂项部分主要部分 解析部分同时收敛收敛
nn
nn zzc )( 0
n
nn
n
nn zzczzc )()( 0
00
1
f1(z) f2(z)f(z)
n
nn zzc )( 0
0
n
nn zzc
)( 0
1
10 )( zz令 n
nnc
1收敛半径收敛时,R
0 11
z z RR
收敛域收敛半径 2R
0 2z z R 收敛域
1 2 1( ) :若 R R 两收敛域无公共部分 ,
1 22( ) :R R 两收敛域有公共部分 H: 1 0 2 .R z z R
R
aaR
a r
H
f(z)=f1(z)+ f2(z
z0 R1
R2
例如级数1 0
1 1
0
( )
, 1,
| | | | ,
| | | | . | | | || | | | | | | | | |
.
n n
n nn n
nn
nn n
n
nn
a z a bz b
a a az z z
zz ab
z b a ba z b a b
与 为复常数
中的负幂项级数 当
即 时收敛 而正幂项级数 则当
时收敛所以当 时,原级数在圆环域 收敛;当 时,原级数处处发散
z0 R1
R2
问:在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数 ?
2
1( ) 0 1 ,(1 )
0 | | 1 0 | 1| 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .
(1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .
n
f z z zz z
z z z
f z z z zz z z z zf z z
函数 在 及 都不解析 但在圆环域
及 内都是解析的先研究 的情形:
由此可见 在 内是可以展开为z的幂级数
其次 , 在圆环域 :0<|z-1|<1 内也可以展开为 z-1 的幂级数 :
2
1 2 1
1 1 1( )(1 ) 1 1 (1 )1 [1 (1 ) (1 ) (1 ) ]
1(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 )
n
n
f zz z z z
z z zzz z z z
1O x
y
定理 4.7 设 f (z) 在圆环域 R1< |zz0| < R2 内 解析 , 则0
10
( ) ( )
1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )
nn
n
n nC
f z c z z
fc ni z
其中
C 为在圆环域内绕 z0 的任
何一条正向简单闭曲线 .
二、解析函数的洛朗展式
C
z0R1
R2
0
10
( ) ( )
1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )
nn
n
n nC
f z c z z
fc ni z
其中
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正 , 负幂项的级数是唯一的 , 这个级数就是 的洛朗级数 .
zf
称为函数 在以 为中心的圆环域 :
内的洛朗 (Laurent)展开式 , 它右端的级数称为 在此圆环域内的洛朗级数 .
zf
zf
0z201 RzzR
称为洛朗系数nc
常见的特殊圆环域 :
2R
.0z
200 Rzz
1R .0z
01 zzR 00 zz
. 0z
将函数展成洛朗级数常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法
1. 直接展开法利用定理公式计算系数 nc
),2,1,0(d)()(
π21
10
nz
fi
cC
nn
然后写出 .)()( 0n
nn zzczf
缺点 : 计算往往很麻烦 .
根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 , 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .
优点 : 简捷 , 快速 .
2. 间接展开法
典型例题例 1 , 0 内在 z . )( 2 展开成洛朗级数将
zezf
z
解 ,)( n
nnzczf
由定理知 :
d)()(
π21
10
C nn zf
ic
dπ21
3 C n
ei其中
)2,1,0(,)0(: nzC
, 3 时当 n
0nc
, 2 在圆环域内解析ze z
故由柯西–古萨基本定理知 :
, 2 时当 n 由高阶导数公式知 :
02
2
)(dd
)!2(1
z
zn
n
ezn )!2(
1
n
2 )!2()(
n
n
nzzf故
!4!3!2111 2
2zz
zz z0
dπ21
3 C nn
ei
c
另解
!4!3!211 432
22zzzz
zze z
!4!3!2
111 2
2zz
zz
本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点 ,
. 2的奇点也是函数ze z
分别在圆环域 ( 1) 0 < |z| <1; ( 2) 1<| z|
< 2;
( 3) 2 < |z| < + 内展开成洛朗级数 .
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
2112
zzzf将函数例
zzzf
21
11)(解:
21
121
11)( zz
zf
故
12
110)1( z
zz
0
10
10 2
11
21
n
nn
n
nn
n
n zzz )(
01
101
0 21
211
21
121
11
112
11
1)(
nn
n
nn
nn
n
nn
zz
zzz
zz
zzzzf
12
2 z
z又11121)2( z
zz
1222)3( z
zz
zz
zzzz
zf 21
1111
112
11
1)(
1
1
00
122111n
n
nn
n
n
n zzzzz
0
2
0
12
0)!12(
)1()!12(
)1(1sin
n
nn
n
nn
zn
z
nz
zzz
解:
.0sin3 展开成洛朗级数+在求例 zzz
y
xo 1 2
)1(11
11
21
11)(
zzzzzf
2
0
)2()1(11
1
)1(1
1
zzz
zz
n
n
解 :(1) 在 ( 最大的 ) 去心邻域 110 z
)(,
))(()(
讨论域内展开成洛朗级数的去心邻在以点
将例
2121
14
zzzz
zf
(2) 在 ( 最大的 ) 去心邻域 内120 z
)2(11
21
21
11)(
zzzzzf
2
0
)2()2(12
1
)2()1(2
1
zzz
zz
n
n
n
注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数,也
可在非奇点展开。
函数可以在以 z0 为中心的 ( 由奇点隔开的 ) 不同圆环域内解析 , 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 ( 包括泰勒展开式作为它的特例 ). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆 . 所谓洛朗展开式的唯一性 , 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的 .
特别的,当洛朗级数的系数公式1
0
1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )n n
C
fc ni z
1n 时,有 Cdzzf
iC )(
21
1 12)( CidzzfC
(即可利用 Laurent 系数计算积分) 其中 C 为圆环域 R1<|z-z0|<R2 内的任何一条简单闭曲线 ,f(z) 在此圆环域内解析。
例 5
rzz
zz dzzze0
0 30
1
)(求积分
内解析,在 0
30
1
0)()( 0 zzzzezf zz
0Laurent 1C系数其
12 0.iC
解:
例 6 2
1ln 1 .z
dzz
求积分
zznz n
nn
1)1(11ln1
1
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解:
课后作业一、 思考题: 3 二、习题四: 6-10
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