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1.3.2 函数极值与导数. ① 求. ② 令. 如果在某个区间内恒有 , 则 为常数. 知识回顾 :. 用“导数法” 求单调区间的步骤 :. ③ 求单调区间. 注意: 函数 定义域. 问题:如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象. 归纳 : 函数 在点 处 , 在 的附近 , 当 时 , 函数 h(t) 单调递增, ; - PowerPoint PPT Presentation
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1.3.2 函数极值与导数
知识回顾 :
如果在某个区间内恒有 , 则 为常数 .0)( xf )(xf
用“导数法” 求单调区间的步骤 :
注意:函数定义域
① 求 '( )f x
② 令 '( ) 0 ( )
'( ) 0 ( )
f x f x
f x f x
解不等式 的递增区间解不等式 的递减区间
③ 求单调区间
ao
h
t
' 0h a
h t问题:如图表示高台跳水运动员的高度 随时间
变化的函数 的图象 2( ) 4.9 6.5 10h t t t
单调递增 单调递减
0)( th 0 )(th
a
at
at
归纳 : 函数 在点 处 , 在 的附近 ,
当 时 , 函数 h(t) 单调递增, ;
当 时 , 函数 h(t) 单调递减 , 。
( )h t t a0)( ah
0)( th
0)( th
y
xa ob y f x
( 3 )在点 附近 , 的导数的符号有 什么规律 ?
,a b y f x
( 1 )函数 在点 的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系 ?
y f x ,a b
( 2 )函数 在点 的导数值是多少 ? y f x ,a b
( 图一 )问题:
0)( xf0)( xf 0)( xf
0)( af
0)( bf
x
y
y f x
o hgfe
dc( 图二 )
y
xa ob y f x
( 图一 )
0)( xf0)( xf 0)( xf
0)( af
0)( bf
x
y
y f x
o hgfe
dc( 图二 )
极大值 f(b)
点 a 为函数 y=f(x) 的极小值点, f(a) 叫做函数 y=f(x) 的极小值 .
点 b 为函数 y=f(x) 的极大值点, f(b) 叫做函数 y=f(x) 的极大值 .
极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值 .
极小值 f(a)
思考:极大值一定大于极小值吗?
y f x
6x5x4x3x
2x1xa b x
y
( 1 )如图是函数 的图象 ,试找出函数 的极值点 ,并指出哪些是极大值点 ,哪些是极小值点?
o
( 2 )如果把函数图象改为导函数 的图象 ? 'y f x
y f x
y f x
答:
'y f x
1 、 x1,x3,x5,x6 是函数 y=f(x) 的极值点,其中 x1,x5 是函数 y=f(x) 的极大值点, x3,x6 函数 y=f(x) 的极小值点。2 、 x2,x4 是函数 y=f(x) 的极值点 , 其中 x2 是函数 y=f(x)
的极大值点, x4 是函数 y=f(x) 的极小值点。
下面分两种情况讨论 : ( 1 )当 ,即 x > 2, 或 x < -2 时 ;
( 2 )当 ,即 -2 < x < 2 时。
例 4 :求函数 的极值 . 314 4
3f x x x
314 4
3f x x x
' 2 4 2 2f x x x x
' 0f x
' 0,f x
解 :∵∴
' 0f x
当 x 变化时, 的变化情况如下表: ' ,f x f x
x 'f x
f x
, 2 2,2 2,
28
3
4
3
∴当 x=-2时 , f(x)的极大值为 28
( 2)3
f
42
3f
令 解得 x=2, 或 x=-2.
00
22
单调递增 单调递增单调递减
当 x=2 时 , f(x) 的极小值为
22
探索 : x =0 是否为函数 f(x)=x3 的极值点 ?
x
y
O
f (x)x3
若寻找可导函数极值点 , 可否只由 f(x)=0 求得即可 ?
f(x)=3x2 当 f(x)=0 时, x =0 ,而 x =0 不是该函数的极值点 .
f(x0) =0 x0 是可导函数 f(x) 的极值点
x0 左右侧导数异号 x0 是函数 f(x) 的极值点 f(x0) =0
注意: f /(x0)=0 是函数取得极值的必要不充分条件
( 2 )如果在 附近的左侧 ,右侧 , 那么 是极小值
归纳:求函数 y=f(x)极值的方法是 :
( 1 )如果在 附近的左侧 ,右侧 , 那么 是极大值;
解方程 , 当 时:
' 0f x 0f x
' 0f x
0x
'0 0f x
0f x
0x ' 0f x ' 0f x
' 0f x
练习: 下列结论中正确的是( )。 A 、导数为零的点一定是极值点。 B 、如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0, 右侧 f'(x)<0, 那么 f(x0) 是极大值。 C 、如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0, 右侧 f'(x)>0, 那么 f(x0) 是极大值。 D、极大值一定大于极小值。
B 3f x x
0
x
y
( 最好通过列表法 )
巩固练习:求函数 的极值 33f x x x
x
'f x
f x
, 1 1,1 1,
2
00
11
单调递增 单调递减单调递减
当 时 , 有极大值,并且极大值为
2
)(xf
)(xf∴ 当 时 , 有极小值,并且极小值为
2.2.1x
1x
x
解 :∵ ∴ 令 ,得 ,或 下面分两种情况讨论:( 1 )当 ,即 时;( 2 )当 ,即 ,或 时。当 变化时, 的变化情况如下表:
33f x x x
' 0f x
' 23 3f x x ' 23 3 0f x x 1x 1.x
' 0f x 1 1x
1x 1x ' ,f x f x
思考:已知函数 在 处取得极值。
( 1 )求函数 的解析式( 2 )求函数 的单调区间
3 2 2f x ax bx x 2, 1x x
f x f x
f x
f x
解:( 1 )
∵ 在 取得极值 ,∴
即 解得
∴
( 2 ) ∵ , 由 得
∴ 的单调增区间为
由 得
的单调减区间为
' 23 2 2f x ax bx
f x 2, 1x x 12 4 2 0
3 2 2 0
a b
a b
1 1,
3 2a b
3 21 12
3 2f x x x x
' 2 2f x x x ' 0f x 1 2x x 或
' 0f x 2 1x )1,2(
, 2 1, 或
0)1(,0)2( ff
函数 在 时有极值 10,则 a, b的值 为( )
A 、 或B 、 或C 、 D 、以上都不对
223)( abxaxxxf 1x
3,3 ba 11,4 ba1,4 ba 11,4 ba
11,4 ba
C
,
解 :由题设条件得:
0)1(
10)1(/f
f
023
101 2
ba
aba
解之得
11
4
3
3
b
a
b
a或
注意: f/(x0)=0 是函数取得极值的必要不充分条件
注意代入检验
课堂小结 :
一、方法 : (1) 确定函数的定义域(2) 求导数 f'(x)
(3) 求方程 f'(x) =0 的全部解(4) 检查 f'(x) 在 f'(x) =0 的根左 . 右两边值的符号 , 如果左正右负 ( 或左负右正 ), 那么 f(x) 在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值,并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业: P32 5 ① ④
今天我们学习函数的极值 , 并利用导数求函数的极值
ab
x
y )(xfy
O
ab
x
y )(xfy
O
( 2006年天津卷 ) 函数 的定义域为开区间)(xf
导函数 在 内的图像如图所示,则函数 在开区间 内有( )个极小值点。
A.1 B.2 C.3 D. 4
)(xf
),( ba
),( ba),( ba
)(xfA
f(x) <0 f(x) >0
f(x) =0
注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别