Upload
others
View
44
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Системы с запаздывающими силамипри малом коэффициенте интегрированияпредставляют из себя релаксационныегенераторы.
Стабилизатор температуры
K1=0.03
30C
Метод Лемерея
ttzz
zy zy
zy zy
zz
yy
tT 2
22
34 ttUmeasUset
RRAtUmeas
2
2
34 zUset
RRAz
Стабилизатор температуры t 0
Есть критический коэффициент усиления К, начиная с которого система самовозбуждается.
А если ограничить коэффициент усиления К, то проигрываемв точности.
22
2121
22121
21
4422
1roomsetroomsetroomset TKTKKKTKTKTKTK
KKT
PID регулятор
ПропорциональныйProportional (K)
ИнтегральныйIntegration (Ti)
ДифференциальныйDifferential (Td)
22
21 roomheater
meassetmeassetmeasset TTK
dtTTdDdtTTITTK
dtdT
PID регулятор
AVR221: Discrete PID controller
PID регулятор
1. Увеличивая коэффициент К, добиваются началасамовозбуждения регулятора. Измеряют этоткоэффициент усиления КВ и период колебаний T.
2. Устанавливают К=0.65 КВ , Ti=3-5 T , Td=Ti /5
3. Подбирают точнее….
AVR221: Discrete PID controller
Теория автоматическогоуправления
Входнойсигнал
Передаточнаяфункция
Регулятор
Задача теории управления подобрать«Передаточную функцию», чтобы получить
нужное изменение входного сигнала.
К примеру: входной сигнал быстроприближается к опорному, но ускорение не
превышает 3.
Опорныйсигнал
CNC
mk
)(2 20 tFxxx
С точки зрения математики
• Задача сводится к преобразованиюЛапласа входных и выходных величин, функции отклика регулятора (позволяетизбавится от дифф. уравнений).
• Затем с помощью метода наименьшихквадратов находим передаточнуюфункции в пространстве Лапласа.
• Затем берем обратное преобразованиедля передаточной функции.
yxtFxyy
)(2 2
0
)(2 20 tFxxx
iii
iiiii
yxxFxyyy
1
201 2
...12 iy
С точки зрения инженерииТак как система каждый раз немногоотличается (производство) строимцепочку из обычных регуляторов, азатем подбираем коэффициенты.
В обоих случаях
• А что будет если кто то хлопнетдверью?
• Проверка системы на устойчивость
Устойчивость колебательныхсистем
Устойчивость
1.Устойчивость по Ляпунову2.Абсолютная устойчивость.3.Неустойчивость.
Абсолютная устойчивость
Абсолютная устойчивость – она жеасимптотическая устойчивость. Системаприближается к состоянию равновесия
асимптотически. Т.е. в каждый последующий момент
времени система ближе к положениюравновесия.
ЛКС со слабым затуханием
x
y
Устойчивость по Ляпуновуx
x
Состояние равновесияназывают устойчивым поЛяпунову, если для малойобласти допустимыхотклонений , существуетобласть ,
включающая состояниеравновесия, такая, чтовсякое движениеначавшиеся в ней не выйдетза пределы области .
ЛКС
x
x=y.
Второй метод Ляпуноваанализа устойчивости. Устойчивость стационарныхрешений нелинейных систем.
Линейный случай
nnnnnn
nn
nn
xaxaxadt
dx
xaxaxadt
dx
xaxaxadtdx
...
....................................
...
...
2211
22221212
12121111
Система с N степенями свободы описывается n=2N дифференциальными линейными уравнениями первого
порядка.
Линейный случай
0.......................................
0...0...
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
Состояние равновесия: 0...21 dt
dxdt
dxdtdx n
Стационарное решение
0
...........................
.....
.....
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
Тогда все xk =0
Линейный случай
tkk eUx
Решение ищем в виде
nknkkkkk xaxaxa
dtdx
......11
tnkn
tkkk
tk
tk eUaeUaeUaeU ......11
0.....11 nknkkkk UaUaUa
Линейный случай
0.......................................
0...0...
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
UaUaUa
UaUaUaUaUaUa
Т.е. получаем систему однородных линейныхуравнений.
Характеристическое уравнение
0
...........................
.....
.....
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
Ненулевое решение существует если определительравен нулю
Характеристическое уравнение
0...11
nnn CC
n ,..., 21t
knt
kt
kkneUeUeUx ...21
21
n постоянных Ulm независимы и определяютсяначальными условиями.
Остальные определяются из решения системыуравнений
lml U
Теорема об устойчивости
kkk j
m
tjtkmk
mm eeUx
Если все корни характеристического уравнения имеютотрицательные вещественные части m, то
соответствующие состояние равновесияасимптотически устойчиво.
Теорема об устойчивости
0 200 400 600 800 1000
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
t
U11et
U12et
U13et
x1
Теорема об неустойчивости по первомуприближению
Если среди корней характеристического уравнениясистемы встречается хотя бы один корень с
положительной вещественной частью, то состояниеравновесия линейной системы неустойчиво.
m
tjtkmk
mm eeUx kkk j
Теорема об устойчивости
0 200 400 600 800 1000
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
U11et
U12et
U13et
x1
Теорема об особенных случаях
Если среди корней характеристического уравнениявстречается хотя бы один корень с нулевой
вещественной частью, то система устойчива поЛяпунову.
m
tjtkmk
mm eeUx kkk j
Теорема об устойчивости
0 200 400 600 800 1000-1
0
1
t
U11et
U12et
U13et
x1
Нелинейная система
nnn
n
n
xxxFdt
dx
xxxFdt
dx
xxxFdtdx
,....,,
....................................
,....,,
,....,,
21
2122
2111
Система с N степенями свободы описывается n=2N дифференциальными нелинейными уравнениями.
Стационарное решение
0,....,,..............................
0,....,,0,....,,
21
212
211
nn
n
n
xxxF
xxxFxxxF
0...21 dt
dxdt
dxdtdx n
002
01 ,....,, nxxx Решений может
быть не одно)2(0)2(0
2)2(0
1
)1(0)1(02
)1(01
,....,,
,....,,
n
n
xxx
xxx
Приближение линейности
002
01 ,....,, nxxx
nnn xx
xx
xx
0
20
22
10
11
...................
Разложение в ряд …
..
...,....,,
101
011
121
1
011
xF
xxxFxxxF
k
xxk
nk
dtd
dtdx kk
Приближение линейности
nn
nnnn
nn
nn
xF
xF
xF
dtd
xF
xF
xF
dtd
xF
xF
xF
dtd
...
....................................
...
...
22
11
22
2
21
1
22
12
2
11
1
11
m
lml x
Fa
,
Дальше решаем также, как и в случаелинейных систем.
Теорема об устойчивости по первомуприближению
Если все корни характеристическогоуравнения системы первого
приближения имеют отрицательныевещественные части то
соответствующие состояниеравновесия асимптотически
устойчиво.
Теорема об неустойчивости по первомуприближению
Если среди корней характеристическогоуравнения системы первого приближения
встречается хотя бы один корень сположительной вещественной частью, тосостояние равновесия нелинейной системы
неустойчиво.
Теорема об особенных случаях
Если среди корней характеристическогоуравнения системы первого приближения
встречается хотя бы один корень снулевой вещественной частью, то
невозможно сделать вывод обустойчивости или неустойчивости
нелинейной системы.
Решение уравнение Ван-дер-Поля
01 2 xxxx
Укороченные уравнения
082
3
AAA
3
81
21 AAA AFAAA 3
81
21
Стационарные решения
3
41
2AAA
041 3
AA
20
AA
0A
2;0 3,21 AA
0AA
0
81
21
0
3
011
AA
A
AA
AAAAFa
AFAAA 3
81
21
2
011 83
21 Aa
Матрица
0.........11
a
Характеристическое уравнение
111 a
011 a
2
0111 83
21 Aa 2,00 A
00 A
21
0 Неустойчивое решение
20 A
0 Устойчивое решение
CtK )21exp(
CtK )exp(
Параметрический резонанс. Определение областейпараметрического резонансапо Мейснеру.
Качели
Качели
l
А
BC
D
l
Энергия
l
lg
00
2
21 WmVT
cos1 mglП
А
BC
D lmgWVAB AB 0:
llmVlmgWVCD CD
221max: 2
l
ll
lll
22
22
Прирост энергии за период
l
А
BC
D
lmgWVAB AB 0:
llmVlmgWVCD CD
221max: 2
2
0121
llWW
n
n llWW
2
021
llmVlmglmgW
2
21 2
Частота
l
А
BC
D0 2 4 6 8 10
0
t
0
колебанийвоздескогопараметрич 2.
А
B C
D
Контур с нелинейной емкостью
L C
R
0)2cos(1 320 xxtmx
U
Контур с нелинейной емкостью
L C
R 0)2cos(1 32
0 xxtmx
01)2cos(1 322
20 xxmx
322
20
2
20 )2cos(1 xxmxxx
Метод медленно меняющихся амплитуд
322
20
2
20 )2cos(1 xxmxf
2
0
2
0
cos,,2
sin,,2
dvufv
dvufu
sincos vux cossin vux
Интегрирование - укороченное уравнение на u.
3322
2233
2
32
23
2
20
2
20
sinsincos3sincos3cos
)(sinsin)(coscos)(sin)(cos
sincos1
vuvvuu
vvuu
m
vuf
41
43
sin*
41
43
22 sincos2cos
Укороченное уравнение на u –упрощение
43
413
43
411
21
322
2
20
2
20
vvu
vvmv
u
43
413
43
41
2222
020
22 vumvu
Укороченное уравнение на u –упрощение
22
020
22 4
321
2Amvu
43
413
43
41
2222
020
22 vumvu
Интегрирование - укороченное уравнение на v.
3322
2233
2
32
23
2
20
2
20
sinsincos3sincos3cos
)(sinsin)(coscos)(sin)(cos
sincos1
vuvvuu
vvuu
m
vuf
41
43
cos*
41
43
22
020
22 4
321
2Amvu
22
020
22 4
321
2Amuv
Укороченные уравнения
222 vuA
Стационарные решения
22
020
22 4
321
20 Amvu
22
020
22 4
321
20 Amuv
0 Avu
vAvu 0,0
uAuv 0,0
2
020
22
21
34
mA
2
020
22
21
34
mA
m-амплитуда параметрическоговоздействия
222 vuA
Контур с нелинейной емкостью
)sin(0,0Ax
vAvu
)cos(
0,0Ax
uAuv
+ -
0 2 4 6 8 10 12
(рад)
)2cos(
sincos vux
ParamAmplPhase.py
ParamAmplPhase.py
Регенеративный усилитель
Q
QEA
0
0
CL
21
20
регRQ
C
MSRRрег0
Подбирая R или Mможно добиться
значений Q близких к ∞.Получить фильтр сочень узкой полосой
пропусканияи большим усилением
Параметрический усилитель
tExtmxx c cos)2cos(120
Сигнал
НакачкаL C
R
ParamAmplFreq.py
ParamAmplFreq.py
Контур с нелинейной емкостью
А
0
Сильный резонанс
Слабый резонанс
Контур с нелинейной емкостью
А
0с х
х –холостая частота
Параметрический резонансОпределение областейпараметрического резонансапо Мейснеру.
Параметрический резонанс, уравнение Матье (Mathieu )
0120 xtmfx
t
f(t)
tmxx
tmxx
0;1;0
0;1;0
0222
0121
0
Решение
tmxx
tmxx
0;1;0
0;1;0
0222
0121
tbtaxtbtax
22222
11111
sincossincos
tbtaxtbtax
2222222
1111111
cossincossin
Сшивка 1-ая точка, t=0
tbtaxtbtax
22222
11111
sincossincos
0000
,0sin,1cos,021
21
xxxx
t
21 aa 2211 bb 2
112 bb
tbtaxtbtax
2222222
1111111
cossincossin
21 aaa 1bb
Сшивка 2-ая точка –t,t
2 1
2 1
x x
x x
tbtax
tbtax
22
122
111
sincos
sincos
tbtaxtbtax
21222
11111
cossincossin
Сшивка 2-ая точка
11112122
1122
12
cossincossin
sincossincos
baba
baba
;2,12,1
11112122
1122
12
cossincossin
sincossincos
baba
baba
t t
Решение системы однородных уравнений(сам. работа)
11112122
1122
12
cossincossin
sincossincos
baba
baba
0coscossinsin
0sinsincoscos
21112211
22
1121
ba
ba
Детерминант(сам. работа)
0sinsinsinsin
coscoscoscos
221122
11
211121
0sinsinsinsin
sinsinsincos
coscoscoscoscos
22122
2
1
22112
12
22
1
11221112
12
1
Сокращения(сам. работа)
0sinsinsinsin
sinsinsincos
coscoscoscoscos
22122
2
1
22112
12
22
1
11221112
12
1
0sinsin
coscos2
12
1
1
2121
21112
Уравнение на альфа(сам. работа)
0sinsin
coscos2
12
1
1
2121
21112
01
2sinsin
coscos2
2
1
1
221
212
Корни
012sinsincoscos2
2
1
1
22121
2
0122 P
122,1 PP
P
Отношения периодов
0 0
0
222 нT
Отношение периодов
Качели
21
0 2 4 6 8 10
0
t (рад)
0
2
0T
Отношения периодов
2
22 0
0
T
0
mm 1102,12,1
22
1
1
2
12
11
11
mmm
mm
Корни
m 12,1 2
2
1
1
2
12
m
2111sin1sin
1cos1cos
mmm
mmP
2
1
1
22121 2
sinsincoscos
P
Малое изменение параметра
2111sin1sin
1cos1cos
mmm
mmP
0m
sinsincoscos P
2cosP
Решение
12cos0 mP122,1 PP
.....3,2,1,2 nn
m 02 003
2
½ 1 3/2
Система с затуханием
0120 xtmfxx
2
0121
llWW kmWW 0
0WW WW
Система с затуханием
½ 1 3/2
m 02 0 032
0120 xtmfxx
Итоги лекции:
Систему нелинейных уравнений можно линеаризоватьвблизи положения равновесия (стационарное решение).
Устойчивым решение окажется только если все корнихарактеристического уравнения имеют отрицательныевещественные части.