1

Marketing Research

일원분산분석 (one-way ANOVA) 분산분석 (analysis of variance ; ANOVA) : 각 모집단이 정규분포를 이루며 분산이

같다는 가정 하에 두 개 이상의 독립 모집단들의 평균값을 비교하는데 사용하는 통계기법이며 , 이때의 검증통계량은 F 이다 .

분산분석의 원리• 두 모집단으로부터 각각 n=5 의 표본을 추출하고 각 표본의 평균을 계산한 결과 .

제 13 장 분산분석제 13 장 분산분석

A

3.0 8.0

7.0 5.0

5.0 6.0

4.0 7.0

6.0 4.0

평균 5.0 6.0

B

3.0 9.0

7.0 6.0

5.0 7.0

4.0 8.0

6.0 5.0

5.0 7.0

C

4.7 5.8

5.0 5.8

5.0 6.0

5.2 6.0

5.1 6.4

5.0 6.0

일원분산분석 : 두 개 이상의 모집단들의 평균값 ( 또는 처치집단들의 평균값 ) 을 비교하는 것으로 두 개의 독립모집단의 평균비교를 확장한 것이다 .

2

Marketing Research• A 와 B 를 비교하면 , A 에 비해 B 의 경우 두 모집단의 평균차이가 있을 가능성이

높다 . 왜냐하면 A 에 비해 B 의 경우 두 평균값들의 분산이 더 크기 때문이다 .• A 와 C 를 비교하면 , A 에 비해 C 의 경우 두 모집단의 평균차이가 있을 가능성이

높다 . 왜냐하면 A 에 비해 C 의 경우 각 집단내의 분산이 더 작기 때문이다 .• 요약 : 두 개 이상의 모집단으로부터 표본을 추출한 경우 표본평균값 간의 차이가

클수록 ( 집단간 분산이 클수록 ) 그리고 각 표본의 요소들 간의 차이가 작을수록 (집단 내 분산이 작을수록 ) 모집단의 평균값에는 차이가 있을 가능성이 높다 . → 분산분석은 이러한 논리에 바탕을 두고 분산값들을 분석함으로써 모집단 평균의 차이를 검증하는 통계기법 .

분산분석의 절차• 자연모집단들의 평균간에 차이가 있는 가를 보는 것 ( 예를 들어 신입생들의

수능시험 평균성적이 세 대학교간에 차이가 있는가 ?) 이지만 , 어떤 실험변수에 여러 수준의 처치를 가하고 그 결과가 다르게 나타나는지를 보는데도 자주 사용됨 .

• 교육방법 / A, B / 판매실적

• n 개의 실험대상을 무작위로 k 개의 집단으로 나누고 각각의 집단에 처치를 가하여 실험대상으로부터 처치에 따른 결과 값을 추정 ( 각 집단의 크기 n1, n2, …, nk).

처치수준 (treatment level)

처치변수 (treatment variable)

결과변수 무작위화

3

Marketing Research• 분산분석을 위한 기본자료의 배열

• 전체 제곱합 (total variance ; total sum of squares ; Total SS)

처치 1 처치 2 … 처치 k

x11 x12 … x1k

x21 x22 … x2k

· · ·

· · ·

· · ·

xn1 xn2 … xnk

집단평균

집단평균으로부터의 편차의 제곱합 …

1X 2X kX 전체평균:X

1

1

2

11

n

ii XX

2

1

2

22

n

ii XX

kn

ikik XX

1

2

k

j

n

iij

j

XX1 1

2

4

Marketing Research• 집단간 제곱합 (between variance ; sum of squares due to treatment ; SST)

• 집단내 제곱합 (within variance ; sum of squares due to error ; SSE)

• 전체 제곱합 (Total SS) = 집단간 제곱합 (SST) + 집단내 제곱합 (SSE)• SST 와 SSE 를 각각의 자유도로 나누면 MST 와 MSE 를 얻게 되며 이로부터

검증통계량 F 값을 계산할 수 있다 .

k

jjj XXn

1

2

k

j

n

ijij

j

XX1 1

2

분산분석표

원천 제곱합 (SS) 자유도 제곱평균 (MS) Fobs

처치 ( 집단간 )

k – 1

오차 (집단내 ) n – k

합계 n – 1

2

1

k

jjj XXnSST

k

j

n

ijij

j

XXSSE1 1

2

k

j

n

iij

j

XXSSTotal1 1

2

)1k(SSTMST

)kn(SSEMSE

MSE

MST

5

Marketing Research• k 개 모집단 평균값들 ( 혹은 k 개 처치집단 평균값들 ) 간에 차이가 있는지를 조사하기 위한

가설설정과 검증절차 .

1) H0 : μ1=μ2=…=μk

H1 : 모든 μ 가 동일하지는 않다 . 즉 최소한 어떤 두 개의 평균값들간에는 차이가 있다 .

2) Fobs 계산 :

3) F-table 에서 Fcrit 값을 찾는다 : Fcrit = F(α; k-1, n-k) ( 여기서 k-1 과 n-k 는 각각 집단간

및 집단내 분산의 자유도이다 .)

4) 기각역은 Fcrit값의 우측에 위치한다 . 따라서 Fobs ≥ Fcrit이면 H0는 기각되고 Fobs ＜ Fcrit

이면 Ho는 기각되지 않는다 .

분산분석의 예 : A 잡지회사의 영업부에서는 영업사원 교육을 위한 네 가지 교육프로그램의 효과에 차이가 있는지를 조사하기 위하여 실험을 실시하였다 . 이 실험에서 28 명의 신입사원들을 무작위로 네 집단으로 나누어 교육프로그램 A, B, C, D 로써 교육을 실시하였다 . 교육도중 5 명이 탈락하고 교육을 마친 후 1 주일간의 장기구독 판매실적은 다음의 표와 같다 . 여기서 신입사원들을 무작위로 네 집단으로 나누었으므로 각 집단에 속한 사원들의 교육이전 판매능력은 동일한 것으로 가정된다 . 이러한 자료로써 교육프로그램에 따라 판매실적이 다르다고 할 수 있는가 (α=.05)?

)(

1

knSSE

kSST

MSE

MSTFobs

6

Marketing Research 가설검증

1) Ho : μ1=μ2=μ3=μ4

H1 : 모든 μ 가 동일하지는 않다 ( 즉 , 어떤 집단의

평균값은 다른 집단의 평균값과 다르다 ).

2) F-test 를 한다 .

3) Fobs 계산을 위하여 분산분석표를 작성한다 . 먼저 , 각 집단의 평균값과 전체 평균값을 계산하면 ,

교육프로그램별 판매실적교육프로그램

A B C D

658773798169

75698381727976

597867628376

94898088

교육프로그램별 판매실적과 평균교육프로그램

A B C D

658773798169

75698381727976

597867628376

94898088

75.67

78.43

70.83

87.75

ix 3477.x

29091347788

347787347765

2

22

1 1

2

.,....

..XXSSTotalk

j

n

iij

j

6712347775874347743787

347767756

22

2

1

2

........

..XXnSSTk

jjj

91961758788

677587677565

2

22

1 1

2

.,....

..XXSSEk

j

n

ijij

j

7

Marketing Research

4) Fcrit =F(α;k-1, n-k) = F(.05 ; 3, 19) = 3.13

5) F = 3.13 보다 우측이 기각영역이 되면 Fobs = 3.77 은 기각역에 위치하므로 H0는

기각된다 . 따라서 모든 교육프로그램효과가 동일하지는 않다 . 즉 , 최소한 어느 두 가지 프로그램간에는 그 효과가 다르다고 결론지을 수 있다 .

분산분석표

원천 제곱합 (SS) d.f.

평균제곱(MS)

Fobs

처치 ( 집단간 )

SST = 712.6 3MST = 237.5

3.77

오차 (집단내 ) SSE = 1,196.9

19

MSE = 63.0

합계 Total SS = 1,909.2

22

5.237146.712)1k(SSTMST

0.634239.196,1)kn(SSEMSE

773063

5237.

.

.

MSE

MSTFobs

3.13

Fobs = 3.77

.05

C, D 가 기각하는데 있어 가장 많이 공헌 (contribution)

8

Marketing Research 분산분석의 추가 이슈들

• 추가 1 : p-value 를 이용한 가설검증 → “ p-value/ 자유도 (3, 19) 의 F 분포”는

다음 영역임 .

• 추가 2 : 사후다중비교 ; 분산분석결과 네 집단 중 적어도 어느 두 집단간에는

평균차이가 있다고 결론 내렸다 . 그러면 6 개의 두 집단 비교 중 어느 두

집단에서 차이가 있는가 (4C2 = 6) ? 이를 위하여 사후다중비교 (post hoc multiple c

omparisons) 를 할 수 있다 .

3.77

p-value F(.05 ; 3, 19) = 3.19 / F(.025 ; 3, 19) =

3.90

3.77 은 3.13 와 3.19 사이에 위치하므로 .025＜ p-value ＜ .05 라고 할 수 있다 . p-value ＜α=.05 보다 작으므로 H0 는 역시 기각된다 .

9

Marketing Research• 추가 3 : 분산분석에 의한 두 집단 평균의 비교 – 일반적으로 두 집단의

평균차이검증을 위해서는 t-test 를 사용하지만 분산분석에 의한 F-test 에

의해서도 물론 가능하다 . 12 장의 판매사원 교육프로그램 예를 통해 분산분석에

의한 가설검증을 하면 , 귀무가설과 대립가설은 t-test 의 경우와 같다 .

분산분석결과 Fobs=2.70 으로 나타나며 , Fcrit = F(.05 ; 2-1, 18-2) = 4.49 로서 H0는

기각되지 않는다 .

(tobs)2 = (1.64)2 = 2.70 = Fobs

(tcrit)2 = (2.12)2 = 4.49 = Fcrit로 나타남을 알 수 있다 . 이와 같이 두 모집단

평균차이검증을 위하여 F-test 를 하더라도 t-test 결과와 같다 . 그러나 t-test

가 보다 간편하므로 흔히 t-test 를 사용한다 .

10

Marketing Research 분산분석 ( 무작위 블럭디자인 ; paired-difference test)

마케팅 관리자가 패키지 디자인으로 두 가지가 아닌 세 가지를 비교하고자 하는 경우 , 선정된 수퍼마켓을 세 집단을 나누어 각 집단의 수퍼마켓에 A, B, C 중 한 가지 패키지 디자인의 비누를 진열하여 매출을 비교한다면 수퍼마켓의 크기 , 내점고객수 , 그 지역의 소득 , 경쟁상황 등 여러 가지 요인들이 매출에 영향을 줄 수 있다 ( 외생변수 ). 그러므로 무작위 블럭디자인 (randomized block design) 을 통해서 실험을 해야 한다 . 이 실험에서 4 개의 수퍼마켓을 선정하여 각 수퍼마켓에 세 가지 디자인의 비누를 모두 진열하였다 . 그 결과 각 수퍼마켓에서 패키지 디자인별로 다음과 같이 매출이 실현되었다 . 이 경우 각 수퍼마켓의 조건이 세 가지 디자인의 비누판매에 공통적으로 영향을 미치며 , 이와 같은 변수를 블럭 (block) 변수라고 한다 . 이 자료로부터 패키지 디자인에 따라 매출이 다르다고 할 수 있는가 ?

수퍼마켓별 각 패키지 디자인의 판매실적

패키지 디자인

A B C

수퍼마켓

1 17 34 23

2 15 26 21

3 1 23 8

4 0 22 16

한 처치변수의 수준 (treatment level) 에 따라 결과변수의 값이 달라지는가를 조사할 때 외생변수로 작용할 수 있는 변수를 통제하기 위하여 블럭변수로 처리한 것으로 엄격히 말해 한 개의 처치변수의 효과를 조사하는 것 .

11

Marketing Research

가설검증• H0 : μ1=μ2=μ3, H1 : 모든 μ 가 동일하지는 않다 .

• F-test 를 한다 .

• 분산분석표를 작성하여 Fobs를 구한다 .

무작위 블럭디자인의 분산분석표

원천 제곱합 (SS) 자유도 평균제곱 (MS) Fobs

처치 ( 집단간 )

SST t – 1 MST=SST/(t-1)MST/MSE

블럭 SSB b – 1 MSB=SSB/(b-1)MSB/MSE

오차 ( 집단내 ) SSE

(b-1)(t-1)

MSE=SSE/(b-1)(t-1)

합계 Total SS bt – 1

b : 블럭의 수

t : 처치의 수

무작위 블럭디자인의 분산분석표

원천 제곱합 (SS) d.f. 평균제곱 (MS) Fobs

처치 ( 집단간 )

547.17 2 273.58 36.09

블럭 348.00 3 116.00 15.30

오차 ( 집단내 ) 45.50 6 7.58

합계 940.67 11

주관심대상

12

Marketing Research• 관심의 대상 : 패키지 디자인에 따라 매출이 다른가에 관한 것이므로 Fobs( 처치 )=36.

09 를 다음의 Fcrit과 비교한다 (α=.05)

Fcrit = F(α; t-1, (b-1)(t-1)) = F(.05 ; 2, 6) = 5.14

• Fobs＞ Fcrit이므로 H0는 기각되며 , α=.05 에서 패키지 디자인에 따라 매출이 달라질

수 있다는 결론을 내릴 수 있다 . 또한 F(.005 ; 2, 6) = 14.54 이므로 p-value ＜ .005

이고 따라서 H0는 α=.005 에서도 기각된다 ( 자유도가 커질수록 F 값은 작아지는

경향이 있다 ).

• 추가적으로 원래 관심의 대상은 아니지만 슈퍼마켓간에 매출이 동일하다 (μ1=μ2=μ3=μ4)

는 귀무가설을 생각할 수 있는데 ,

H0 : μ1=μ2=μ3=μ4 , H1 : 모든 μ 가 동일하지는 않다 .

Fobs = 15.30, Fcrit = F(α ; b-1, (b-1)(t-1)) = F(.05; 3, 6) = 4.76

Fobs＞ Fcrit이므로 H0는 기각되며 , α=.05 에서 비누매출이 동일하지는 않다는

결론을 내릴 수 있다 . 또한 F(.005 ; 3, 6) = 112.92 이므로 p-value ＜ .005 이고

따라서 H0는 α=.005 에서도 기각된다 .

13

Marketing Research 이원분산분석 (factorial design) : 2 개 이상의 독립처치변수의 수준변화에 따른

결과변수값의 변화를 조사하기 위한 실험디자인으로 이때 각 처치변수를 factor라고 부른다 (factor A 의 처치수준 a, factor B 의 처치수준 b 일 때 이 실험디자인을 a×b factorial design 이라 부르며 처치변수가 2 개이므로 처치효과(treatment effect) 를 조사하기 위하여 이원분산분석 (two-way ANOVA) 을 적용 ) . 이원분산분석 결과 : 처치효과로서 주효과와 상호작용효과 .

• 주효과 (main effect) : 한 처치변수의 변화가 결과변수에 미치는 영향에 관한 것 .• 상호작용효과 (interaction effect) : 다른 처치변수의 변화에 따라 한 처치변수가

결과변수에 미치는 영향에 관한 것 . 예 : 탄산화 정도와 단맛정도가 청량음료태도에 미치는 영향을 알기 위한 실험으로

각 처치변수의 수준을 고 · 저로 하는 경우 이 실험디자인은 2×2 factorial design 이 된다 .• 두 처치변수의 주 효과태도

탄산화

태도

단맛저 저고 고

탄산화의 정도가 높을수록

태도가 호의적이며 단맛 정도가

높을수록 태도가 비호의적인

것으로 추정 .

14

Marketing Research• 두 가지 처치변수의 상호작용효과

태도

단맛

태도

단맛저 저고 고

고탄산화

고탄산화

저탄산화 저탄산화

다른 처치변수의 변화에 따라 한 처치변수가 결과변수에 미치는 영향에 관한 것 .

저탄산화에 비해 고탄산화 경우 태도가 호의적이며 이러한 경향은 단 맛의 고 · 저에 관계없이 동일하게 나타난다 : 상호작용효과는 없다고 할 수 있다 .

저탄산화에 비해 고탄산화의 경우 태도가 호의적 ( 저단맛의 경우 : 탄산화의 정도에 따라 태도가 크게 다르지 않음 ; 고단맛의 경우 : 저탄산에 비해 고탄산의 경우 태도가 호의적 : 상호작용효과가 있는 것으로 추정 .

15

Marketing Research

팩토리얼 디자인에 의한 이원분산분석의 예 : 저관여 신제품의 경우 소비자의 광고에 대한태도는 브랜드태도에 상당한 영향을 미칠 수 있다 . 신제품 광고로서 세 가지 광고대안을 개발하였으며 피실험자들에게 노출시킨 후 광고태도를 측정하여 소비자들이 좋아하는 광고를 선택하고자 한다 . 마케터는 이러한 광고대안들에 대한 태도가 남녀간에 다를지도 모른다고 생각하고 남 · 녀 중 어느 집단이 어떤 광고를 더 좋아하는지 알기를 원했다 남 · 녀 각각 9 명의 피실험자들을 다음과 같이 6 개의 cells 에 할당하고 각 피실험자에게 세 가지 광고 중 하나를 보여주었다 . 피실험자들은 광고태도를 0 ~ 5.0( 간격 0.1) 의 척도상에 표시하였다 . 그 결과는 다음과 같다 . 이때 , 세 가지의 연구문제를 생각할 수 있다 .• 광고대안에 따라 광고태도가 다른가 (α=.05) ?• 성별에 따라 광고태도가 다른가 (α=.05) ?• 성별과 광고대안 간에는 상호작용효과가 있는가 (α=.05) ?

a×b factorial design 에 대한 이원분산분석표원천 제곱합 (SS) 자유도 평균제곱 (MS) Fobs

Factor A SS(A) (a-1) MS(A) = SS(A)/(a-1) MS(A)/MSE

Factor B SS(B) (b-1) MS(B) = SS(B)/(b-1) MS(B)/MSE

상호작용 A×B SS(AB) (a-1)(b-1)MS(AB) = SS(AB)/(a-1)(b-

1)MS(AB)/

MSE

오차 SSE (n-ab) MSE = SSE/(n-ab)

합계 Total SS (n-1)

16

Marketing Research

< 가설검증 >

• H0 : μ1=μ2=μ3, H1 : 모든 μ 가 동일하지는 않다 .

H0 : μ 남＝ μ 여 , H1 : μ 남≠ μ 여

H0 : 상호작용효과가 없다 . H1 : 상호작용효과가 있다 .

• 2×3 factorial design 에 의한 이원분산분석 ( 세 개의 F-검증 )

• cell 별로 평균을 계산하면…

남 · 여별 각 광고에 대한 태도점수

성별광고

1 2 3

남 4.1 3.1 3.5

3.9 2.8 3.2

4.3 3.3 3.6

여 2.7 1.9 2.7

3.1 2.2 2.3

2.6 2.3 2.5

자료의 평균값

성별광고

계1 2 3

남 4.10 3.06 3.43 3.53

여 2.80 2.13 2.50 2.48

계 3.45 2.60 2.97 3.00

자료의 이원분산분석표

원천 제곱합 (SS) 자유도 평균제곱(MS)

Fobs

광고 (A) 2.1811 2 1.090621.8

1

성별 (B) 5.0139 1 5.0139100.28

상호작용 (A×B) .1344 2 .0672 1.34

오차 .6000 12 .0500

합계 7.9294 17

17

Marketing Research• 연구가설별로 F-table 에서 Fcrit를 찾는다 .• 이원분산분석의 경우 보통 상호작용과정을 먼저 조사 .

상호작용효과가 유의적 : 전체 패턴을 주의 깊게 해석 ( 주효과를 추가적으로 조사하지만 , 의미는 크지 않다 .)

상호작용효과가 비유의적 : 주효과를 조사하고 유의적이면 이에 따라 해석 . 상호작용효과에 대한 검증 : Fobs = 1.34 ＜ Fcrit = F(.05 : 2, 12) = 3.89 ∴

상호작용효과는 유의적이지 않음 . 광고대안 (A) 의 주효과에 대한 검증 : Fobs = 21.81 ＞ Fcrit = F(.05 : 2, 12) = 3.89 ∴

광고대안 (A) 의 주효과는 유의적 . 성별 (B) 의 주효과에 대한 검증 : Fobs = 100.28 ＞ Fcrit = F(.05 : 1, 12) = 4.75 ∴ 성별 (B)

의 주효과는 유의적 .

광고

광고태도

123

1

2

3

4

남

여

남녀 모두 광고 1 을 광고 2 보다 선호하는 경향이 있으며 ,

전체적으로 남자가 여자보다 실험용 광고에 대한 태도가 호의적

이며 , 성별에 따라 특정 광고를 선호하는 경향이 다르지 않다

(6 개 평균태도점수 간의 차이가 통계적 유의성이 있는지 알기 위해

사후다중비교를 실시해야 함 ).

Comment : 남자가 여자보다 실험광고를 선호하며 , 광고 1 을 세 개 중 가장 선호하는 것으로 추정 .