УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИlc.kubagro.ru/KTS/0493712_29EDE_kozlov_v_n_kupriyanov_v... · 2017-04-15 · теля. Для определения

В.Н. КОЗЛОВ, В.Е. КУПРИЯНОВ, В.Н. ШАШИХИН

УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета

2008

Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Н. КОЗЛОВ, В.Е. КУПРИЯНОВ, В.Н. ШАШИХИН

УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

под редакцией В.Н. Козлова

третье издание

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

в качестве учебного пособия для обучающихся по направлению «Системный анализ и управление»

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета

2008

УДК 681.5: 519.71(075.8) ББК 32.965: 22.18 К 592

Рецензенты: кафедра Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения, зав. каф. – д.т.н., проф. В.И. Хименко; д.т.н., проф. В.В. Изранцев (Международный банковский

институт, г. Санкт-Петербург)

Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Теория автоматического управления / под ред. В.Н. Козлова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. 255 c.

Представлены основные математические модели и методы теории автоматического управления. Определены базисные категории: базисные понятия и определения, базисные операции (действия) и базисные методы как направленные совокупности операций над категориями классической и современной теории управления. Изложение построено в рамках концеп-ции – «методы моделирования – методы анализа устойчивости процессов – методы синтеза управлений основного контура и контура адаптации» сис-тем автоматического управления для объектов с сосредоточенными и рас-пределенными параметрами.

Предназначено для студентов вузов, изучающих курс «Теория авто-матического управления», «Теория систем», а также инженеров и аспиран-тов. Табл. 10. Ил. 28. Библиогр. 50 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Санкт-Петербургского государственного политехнического университета

Учебное пособие подготовлено по проекту межвузовской комплексной работы «Инновационные технологии образования»

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2008

© В.Н. Козлов, 2008 © В.Е. Куприянов, 2008 © В.Н. Шашихин, 2008

ISBN 5-7422-0858-8

Содержание

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..........................................................................................................5 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ..........................................................9

1.1. Объекты управления..................................................................................9

1.2. Классификация и принципы создания систем

автоматического управления .........................................................................12 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ........................................................17

2.1. Классификация математических моделей объектов и систем ............17

2.2. Линейные уравнения «вход–выход» и уравнения «вход–состояние–выход» ..............................................................................................................20

2.3. Анализ переходных процессов в линейных системах .........................37

2.4. Уравнения свертки и импульсные переходные функции....................54

2.5. Преобразование Лапласа и передаточные функции

непрерывных объектов и систем...................................................................60

2.6. Передаточные функции и матрицы дискретных объектов и систем .65

2.7. Частотные характеристики непрерывных объектов и систем ............75

2.8. Дискретное преобразование Фурье и частотные

характеристики дискретных объектов и систем..........................................83

2.9. Нелинейные математические модели объектов и систем

с сосредоточенными параметрами................................................................88

2.10. Нелинейные математические модели объектов и систем c распределенными параметрами...................................................................104

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ................................................................................................117

3.1. Основные понятия теории устойчивости ............................................117

3.2. Методы теории устойчивости, функции, теоремы и критерии Ляпунова ........................................................................................................122 3.3. Корневые критерии устойчивости .......................................................125

4

3.4. Алгебраические критерии Гурвица, Харитонова и Шура – Кона ....127

3.5. Частотные критерии Михайлова и Найквиста....................................137

3.6. Критерий абсолютной устойчивости...................................................144 4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ...........................................................................................................147

4.1. Синтез следящих систем .......................................................................147

4.2. Управляемость объектов и систем.......................................................151

4.3. Синтез модальных регуляторов ...........................................................152

4.4. Синтез оптимальных стабилизирующих управлений .......................160

4.5. Наблюдаемость объектов и систем......................................................166

4.6. Синтез стабилизирующих регуляторов на основе моделей «вход–выход» ............................................................................................................170

4.7. Синтез локально-оптимальных дискретных систем ..........................175

4.8. Синтез управлений для распределенных объектов............................194 5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ .....211

5.1. Синтез робастных систем в частотной области .................................211

5.2. Идентификация линейных по параметрам

статических и динамических объектов и систем ......................................218

5.3. Синтез адаптивных систем методом рекуррентных

целевых неравенств ......................................................................................226

5.4. Синтез адаптивных систем с идентификатором методом стохастической аппроксимации ..................................................................229

5.5. Синтез адаптивных систем методом скоростного градиента ...........235

5.6. Анализ грубости методами функционального анализа .....................238

5.7. Анализ развития методов синтеза адаптивных систем .....................241

Приложение 1. К АНАЛИТИЧЕСКОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МИНИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ ...................246

Библиографический список ............................................................................255

ВВЕДЕНИЕ

5

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие (третье издание) написано на основе лек-ций по теории автоматического управления и теории систем, чи-таемых авторами с 1992 года по настоящее время на кафедре «Системный анализ и управление» Санкт-Петербургского госу-дарственного политехнического университета для бакалавров и магистров, обучающихся по направлению «Системный анализ и управление».

Книга состоит из пяти разделов. В первом разделе дана ха-рактеристика проблем теории управления техническими объек-тами, описаны типовые задачи и структуры систем управления. Приведены примеры технических объектов управления из раз-личных отраслей техники, что позволяет получить общие пред-ставления о классах задач управления и единстве подходов к управлению объектами в соответствии с целями управления.

Второй раздел посвящен математическим моделям линей-ных и нелинейных объектов и систем управления с сосредото-ченными и распределенными параметрами. Дана системная ха-рактеристика математических моделей теории управления и оп-ределены связи между ними, которые для линейных объектов и систем преимущественно формируются прямыми и обратными преобразованиями Фурье и Лапласа для непрерывного и дискрет-ного времени. Определены модели типа «вход–выход», «вход-состояния-выход» (уравнения состояния), «модели свертки» и другие, а также установлены способы взаимного преобразования моделей. Особенностью изложения является ориентация на мно-гомерные объекты и системы управления. Рассмотрены взаимо-связи между моделями «вход–выход», «вход–состояния–выход», которые определяются алгебро-дифференциальными преобразо-

6

ваниями, а также матрицами передаточных функций и частотных характеристик. Анализ переходных процессов в линейных объек-тах и системах выполнен на основе жордановых форм матриц линейных уравнений непрерывных и дискретных объектов и сис-тем на основе алгебраического подхода и конструктивных ранго-вых критериев количества клеток Жордана с учетом кратности собственных чисел. Использование рангового критерия позволяет аналитически выполнить преобразование Фурье и Лапласа для объектов и систем управления. На основе жордановых форм предложены конструктивные варианты взаимосвязей между ли-нейными моделями различных типов. Все модели подробно ил-люстрированы примерами, что создает условия для усвоения тео-рии. В определенной степени «аналитическое единство» подхода для описания линейных объектов создает универсализм исследо-вания, направленный на интеллектуальный комфорт исследова-теля. Для определения степени общности кусочно-линейных мо-делей даны обобщенные теоремы сравнения решений на конеч-ном интервале. Нелинейные модели объектов и систем с сосредо-точенными параметрами представлены в основном кусочно-линейными уравнениями. Приведены кусочно-линейные диффе-ренциальные и разностные уравнения объектов и систем с рас-пределенными параметрами на примере моделей теплопроводно-сти.

В третьем разделе изложены методы анализа устойчиво-сти линейных и нелинейных объектов и систем. Даны определе-ния «устойчивости по Ляпунову», «асимптотической устойчиво-сти», «абсолютной устойчивости», «интервальной устойчивости» и «входо-выходной устойчивости». Рассмотрены методы анализа устойчивости, следующие из второго метода Ляпунова (критерий Ляпунова и др.) и корневые критерии для непрерывных и дис-кретных объектов и систем. Даны формулировки алгебраических

ВВЕДЕНИЕ

7

и корневых критериев устойчивости, критерии асимптотической, абсолютной и интервальной устойчивости. Приведены примеры, иллюстрирующие технологию применения критериев.

В четвертом разделе рассмотрены методы синтеза детер-минированных многомерных систем, включающие синтез мо-дальных, оптимальных и локально-оптимальных регуляторов. Синтез модальных регуляторов рассмотрен для моделей в виде уравнений состояния и моделей типа «вход–выход». Для первых использована замена базиса, для вторых – полиномиальные мо-дели объектов и регуляторов. Синтез оптимальных систем вы-полнен методом динамического программирования. В ряде слу-чаев изложение методов анализа и синтеза систем управления для непрерывных и дискретных объектов проводится параллельно. Даны общие методы моделирования и анализа систем управления с распределенными параметрами на примере кусочно-линейных моделей теплопроводности, позволяющих построить разностные схемы на основе обращения кусочно-линейных операторов. Для этих операторов даны условия монотонности и методики обра-щения, обеспечивающие устойчивость частично неявных одно-родных разностных схем (п. 4.8 написан совместно с д.т.н., проф. К.А. Магомедовым и к.т.н., доц. С.В. Хлопиным).

Пятый раздел содержит методы синтеза грубых систем в частотной области и алгоритмы адаптивных систем во временной области. Анализ и синтез грубых систем выполнен на основе ме-тодов для пространств Харди. Описание современных методов синтеза адаптивных и грубых (интервальных) систем позволяет ввести обучающихся в современную проблематику синтеза, ис-пользующие элементы функционального анализа, что целесооб-разно при подготовке современных инженеров и магистров. Представлены адаптивные алгоритмы синтеза на основе рекур-рентных целевых неравенств, скоростного градиента, стохастиче-

8

ской аппроксимации, идентификации. Изложение построено по схеме – постановка задачи, алгоритм синтеза, анализ замкнутых систем (написано совместно с к.т.н., доц. А.Г. Пономаревым).

Авторы будут благодарны за замечания по содержанию кни-ги, которые можно направить по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул. д. 29, Cанкт-Петербургский го-сударственный политехнический университет, факультет техни-ческой кибернетики, кафедра «Системный анализ и управление».

Авторы Санкт-Петербург, март 2008 г.

1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

9


Предмет теории автоматического управления состав-

ляют методы математического моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ). САУ - совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего уст-ройства (УУ), взаимодействующие на основе принципов управления. Определена структура управления как целене-правленного воздействия на объект.

1.1. Объекты управления Объект управления – это неизменяемая часть САУ. Рас-

смотрим примеры объектов, их структурные схемы (совокуп-ность связанных элементов - звеньев) и цели управления.

Пример 1.1.1. Дифференциальные уравнения ОУ - электро-энергетической системы (ЭЭС) конечной мощности, работающей параллельно с ЭЭС бесконечной мощности, имеют вид:

2 , ,y г э г гT T p T p p k uαω ω ρϕ μ ϕ ω ω+ = − + + = + = − + ,

где ( ), ( ), ( ), ( )t t p t tω ϕ μ – отклонения частоты, угла ротора, мощ-ности и нагрузки эквивалентного генератора от некоторого ста-ционарного состояния; эy TkTT ,,,,2 ρα – параметры ОУ, u –

управление (управляющее воздействие) для изменения активной мощности генератора. Структурная схема ОУ приведена на

рис. 1.1, где /p d dtΔ

= - оператор дифференцирования по времени, а далее p s= - параметр преобразования Лапласа. Цели управле-ния заданы целевыми неравенствами для частоты:

2| ( ) |задt ωω ω σ− ≤ , где задω , 2ωσ - заданное значение частоты и допус-

тимая ошибка - отклонение от заданного значения по частоте.

10

Рис. 1.1. Структурная схема энергосистемы Пример 1.1.2. Уравнения динамики ОУ - летательного ап-

парата (рис. 1.2) можно представить в форме:

1 2 3 4

1 2

( ),

( ), , / 57.3 ,e

в

M M M M u M t

Y Y u Y t n

ϑ ϑ α α

θ α ϑ θ α νθ ρ

= + + + +

= + + = + =

где ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )t t t n t u t tϑ α θ ν – отклонение углов тангажа, атаки, наклона траектории, нормальная перегрузка, угол откло-нения рулей высоты, скорость полета как функции времени, а остальные величины – параметры объекта управления.

Рис. 1.2. К математической модели летательного аппарата

ygy

x

v

gx0

α

θ υ

ya TpT +21

pρ

1+pTk

э

1−k

μ ω

гp

u

ϕ


11

Целью управления является достижение целевого условия

типа неравенства: _

2| ( ) |t cϑϑ ϑ− ≤ , что соответствует стабилизации угла тангажа аппарата с помощью управляющих воздействий.

Пример 1.1.3. Уравнения, описывающие изменение скорости двигателя постоянного тока имеют вид:

,,2

21 ωϕωωω ==++ kuTT

а соответствующая структурная схема, иллюстрирующая взаимо-связь звеньев, приведена на рис. 1.3. В уравнениях и на рис. 1.3

Рис. 1.3. Структурная схема двигателя постоянного тока

использованы следующие обозначения переменных: ( ), ( ), ( )t t u tω ϕ – отклонения скорости, угла и управления в ви-

де изменения напряжения. Цель управления состоит в обеспече-нии целевого условия: | ( ) | mintω ω− → , задающего цель управ-ления в виде минимизации отклонения скорости от заданного значения ω с помощью синтезированных законов управления.

Рассмотренные объекты управления описываются обыкно-венными дифференциальными уравнениями, которые могут быть исходными для получения других видов математического описа-ния, в частности, описаний в форме «вход-выход», «вход-состояния-выход» (в непрерывном и дискретном времени), час-тотной области, а также в других формах «временного» и «час-тотного» описаний.

1222

1 ++ pTpTk

p1u ω φ=y

12

1.2. Классификация и принципы создания систем автоматического управления

Управление – это целенаправленное воздействие на объ-

ект управления для достижения заданных целей. Управление формируется управляющим устройством (УУ) в соответствии с целями управления, типы которых определяются классами САУ.

1.2.1. Основные классы систем управления. Различают основные классы САУ в зависимости от целей управления:

1. Системы стабилизации характеризуются наличием внешних воздействий v(t), а цель управления заключается в под-держании заданных значений координат – y(t) с помощью обрат-ной связи, когда сигнал ошибки используется для формирования управляющих воздействий на объект управления.

2. Системы программного управления содержат заданные программы как функции времени – w(t), а цель управления – ор-ганизация изменения выходных координат САУ по заданной про-грамме.

3. Следящие системы реализуют достижение цели управ-ления – организация изменения координат y(t) по программе w(t) с помощью обратной связи по отклонению от заданной програм-мы изменения координат системы.

В зависимости от количества управляемых координат объ-екта и управлений используются одномерные и многомерные САУ. Современные САУ создаются с применением ЭВМ на эта-пах проектирования и формирования управляющих воздействий на ОУ, что требует дискретизации процессов управления. Структурная схема дискретной САУ с ЭВМ (рис. 1.4) реализует управляющее устройство (УУ) основного контура (ОК) с помо-щью ЭВМ, связанной с объектом аналого-цифровым (АЦП) и цифро-аналоговым (ЦАП) преобразователями.


13

Рис. 1.4. Структурная схема дискретной САУ с объектом управления (ОУ) и управляющим устройством (УУ)

Применение ЭВМ качественно изменяет законы управления САУ в связи с алгоритмической формой задания законов про-граммного управления, стабилизации и слежения, которая опре-делила специфику качественного исследования. Это обстоятель-ство требует математического аппарата для конструктивного описания системы управления с ЭВМ. Использование ЭВМ по-зволяет реализовать все основные принципы управления и обес-печить достижение целей систем автоматического управления.

1.2.2. Основные классы, принципы и цели управления. Различают следующие основные классы и принципы САУ, структуры которых рассматриваются далее.

Разомкнутые САУ определяются соответствующей струк-турной схемой (рис. 1.5.а), иллюстрирующей формирование управлений только на основании информации о цели управления и возмущении, а истинное значение управляемой координаты y(t)

ОУ

УУ ОК

АЦП

ЦАП

v(t) y(t)

yt ut

u(t)

14

не контролируется. Этот классс САУ реализует принцип управ-ления по возмущению.

Замкнутые САУ (рис. 1.5.б) формируются на основе прин-ципа обратной связи. В замкнутых системах управления изме-ряются отклонения управляемой координаты y(t) от заданного значения w(t). Цель управления состоит в формировании управ-лений, устраняющих ошибки: )()()( tytwte −= и реализуется принцип управления по отклонению.

Комбинированные САУ (рис. 1.5.в) реализуют принципы управления по возмущению и по отклонению.

Расширение функциональных возможностей САУ с управ-ляющими устройствами с ЭВМ позволяет существенно увели-чить возможности управления за счет перехода к модальному, локально-оптимальному, оптимальному, адаптивному и робаст-ному управлению как варианта адаптивного управления.

Структурные схемы САУ приведены на рис. 1.6 и 1.7. Схема системы управления с управляющими устройствами сложного типа (см. рис. 1.6) образуется объектом управления (ОУ) и УУ – регулятором основного контура (РОК), для которого заданы це-ли РОК.

Управление осуществляется при наличии или отсутствии полной информации о координатах и параметрах объекта управ-ления. При неполной информации о параметрах объекта управ-ления в структуру САУ может включаться регулятор контура адаптации (РКА), подстраивающего неизвестные параметры на основе целевых условий РКА (см. рис. 1.7). При этом регулятор основного контура формирует управления )(tu в функции откло-нений координат )(ty от заданных значений, а РКА, как правило, формирует управления подстройкой параметров tτ , в непрерыв-ном Rt∈ или дискретном времени .Nt∈


15

Рис. 1.5. Структурные схемы разомкнутых, замкнутых и

комбинированных САУ

УУ ОУ

v(t)

w(t) u(t) y(t) –

в)

УУ ОУ

v(t)

w(t) u(t) y(t) -

б)

УУ ОУ

v(t)

w(t) u(t) y(t)

а)

16

Рис.1.6. САУ с регулятором Рис.1.7. САУ с регуляторами основного контура (РОК) основного контура (РОК) и

контура адаптации (РКА)

Системы управления с регулятором контура адаптации на-зываются адаптивными САУ. Адаптивные САУ синтезируются с применением методов идентификации, метода стохастической аппроксимации, методом рекурретных целевых неравенств, ме-тодом скоростного градиента, методом функций Ляпунова. Пере-численные методы разработки РКА определяют соответствую-щие целевые условия этого регулятора.

Общие принципы построения САУ реализуются на основе математических моделей объектов, целей управления, мате-матических формулировок задач управления с применением моделей, принципов и целей. Это позволяет синтезировать и реализовать алгоритмы управляющих устройств (регуляторов) основного контура управления и контура адаптации.

РОК

ОУ )(tu )(ty

РКА

tτ

РОК

ОУ )(tu )(ty

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

17


Системная характеристика линейных моделей объектов

и систем управления дана в виде совокупности взаимных пре-образований моделей. Преобразование моделей выполняется непрерывными и дискретными (прямыми и обратными) пре-образованиями Лапласа и Фурье, на основе формулы Коши и резольвенты линейного оператора систем. Приведены кусоч-но-линейные модели объектов управения и их свойства.

2.1. Классификация математических моделей объектов и систем

При решении задач автоматического управления использу-ются различные математические модели объектов, систем авто-матического управления (САУ) и их отдельных звеньев. Сущест-венной характеристикой системы автоматического управления являются типы сигналов, используемых при измерении и форми-рования управляющего воздействия.

Если сигналы о состоянии объектов и управляющие воздей-ствия являются непрерывными функциями времени, такие систе-мы называются непрерывными САУ. Если аналогичные сигналы в САУ формируются в дискретном времени, то координаты сис-темы и управляющая функция (управление) являются дискрет-ными функциями времени, а такие системы называются дис-кретными САУ.

Непрерывные САУ описываются обыкновенными диффе-ренциальными уравнениями или дифференциальными уравне-ниями в частных производных. Дискретные САУ описываются уравнениями в конечных разностях. Дифференциальные и конеч-но-разностные уравнения объектов и систем могут быть линей-ными и нелинейными уравнениями. В соответствии с этим го-ворят о линейных или нелинейных объектах и системах автома-

18

тического управления. Большое значение имеют специальные классы нелинейных автоматических систем – кусочно-линейные САУ, описываемые кусочно-линейными дифференциальными и разностными уравнениями.

В дальнейшем большое внимание будет уделено линейным объектам и системам. Будут рассмотрены уравнения объектов и систем типа «вход–выход», «вход–состояния–выход», модели в виде свертки, частотных характеристик (матриц частотных ха-рактеристик) и передаточных функций (матриц передаточных функций), взаимосвязи между которыми показаны на рис. 2.1. Из данных рис. 2.1 можно сделать вывод о том, что ряд конкретных математических моделей объектов и систем можно получить пу-тем применения к их дифференциальным или разностным урав-нениям интегральных или дискретных преобразований Лапласа или Фурье.

Использование преобразования Лапласа дает возможность ввести в рассмотрение уравнение свертки и изучать передаточ-ные функции САУ. С помощью преобразований Фурье могут быть построены и изучены частотные характеристики непрерыв-ных и дискретных САУ. Далее будут изучены связи между раз-личными математическими моделями объектов и систем автома-тического управления (см. рис. 2.1).

Для этого необходимо использовать методы теории функ-ций комплексного переменного (ТФКП), формулу Коши для ре-шения систем линейных уравнений, представленных в форме «вход–состояние–выход» (уравнения состояния). Возможно так-же применение общих методов для уравнений «вход–выход» для полиномиальных моделей с правыми и левыми частями операто-ров дифференцирования (полиномами от оператора дифференци-рования) или разностными операторами (полиномами от опера-тора сдвига или оператора конечных разностей).


19

Рис. 2.1. Системная классификация линейных моделей ОУ (САУ) и взаимосвязи между моделями

Важную роль играют интегральные преобразования Лапласа

и Фурье. При этом используются непрерывные преобразования Лапласа (прямое L и обратное L-1 преобразования), а также дис-кретные преобразования Лапласа (прямое DL и обратное DL-1

преобразования), позволяющие перейти от оригинала к изобра-жению по Лапласу или от изображения к оригиналу для перемен-ных, описывающих динамику непрерывных и дискретных объек-тов и систем. Непрерывное или дискретное преобразования Лап-

Анализ на основе ТФКП

Методы для формы

«вход-выход»

Методы на основе

формулы Коши

Модели в виде

«свертки»

Уравнения состояния

Передаточные функции

Уравнения «вход-выход»

Частотные характеристики

Анализ на основе ТФКП

11, −− DLL

DLL, DFF ,

11, −− DFF

DLL,

1

1,−

−

DL

L

DFF,

1

1,−

−

DF

F

20

ласа позволяют получить модели объектов или систем в виде пе-редаточных функций или матриц (см. рис. 2.1).

Аналогично применяются прямое непрерывное или прямое дискретное ( F или DF ) и обратное непрерывное или обратное дискретное ( 1−F или 1−DF ) преобразования Фурье, позволяющие перейти от оригинала к изображению по Фурье или от изображе-ния к оригиналу для координат и управлений объекта или систе-мы. Преобразования Фурье, определяющие частотные характери-стики непрерывных или дискретных объектов (систем) (см. рис. 2.1), доставляют комплекс соответствующих математических мо-делей для описания.

2.2. Линейные уравнения «вход–выход» и уравнения «вход–состояние–выход»

Математические модели «вход–выход» для объектов управ-ления и систем автоматического управления представляются дифференциальными уравнениями непрерывных объектов (сис-тем) или конечно-разностными уравнениями дискретных объек-тов (систем). Эти уравнения связывают линейные комбинации входных и выходных координат и их производных (для непре-рывного времени) или входных и выходных координат и их ко-нечных разностей (для дискретного времени). Установление свя-зей между уравнениями «вход–выход» и уравнениями «вход–состояния–выход» (уравнениями состояния) – важная задача моделирования.

2.2.1. Уравнения «вход–выход» и уравнения «вход–состояние–выход» непрерывных объектов и систем. Связи между моделями «вход–выход» и уравнениями «вход–состояние–выход» (уравнения состояния) и способы перехода от одной мо-дели к другой устанавливается с помощью ряда операций.


21

Переход от уравнений «вход–выход» к уравнениям «вход–состояния–выход». Как показывают приведенные в разд. 1.1 примеры, дифференциальные уравнения непрерывных объектов и систем могут быть записаны следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( )tupBtypA = , (2.1)

где ( ) ( ) ( )( )1( ) , , , , Ti my t y t y t y t= , ( ) ( ) ( )( )1( ) , , , , T

i ru t u t u t u t=

– векторы выходных координат и воздействий (входных коорди-нат); ( ) ( ) gg

ggg

g BpBpBpBApApApA +++=+++= −− 1010 ...,... –

полиномиальные матрицы, причем 0, 0 ≠∈ × ARA mmj , rm

j RB ×∈ и

элементы этих матриц постоянны; dtdp = – оператор дифферен-

цирования по времени t. При переходе к уравнениям состояния выполним очевидные преобразования. Перенесем все слагаемые правой части равенства (2.1) в левую часть и получим:

.0)(

)()(

11

111

00

=−+−+

+−+−

−−

−

uByAuByAp

uByApuByAp

gggg

gg

(2.2)

Представим по схеме Горнера полином в левой части (2.2). Тогда

0))...)(((... 11100 =−+−−+− − uByA

разg

uBuByAuByAppp ggg . (2.3)

В соответствии с формулой (2.3) введем новые переменные

– векторы ix , равные линейным комбинациям переменных в скобках уравнения (2.3). Тогда получим систему дифференциаль-ных уравнений:

22

.0

,

..................................,

,

,

111

2223

1112

001

=−+

−+=

−+=

−+=

−=

−−−

uByAx

uByAxx

uByAxx

uByAxx

uByAx

ggg

gggg

Решив уравнения относительно y и производных вектора состоя-ния x, получим алгебраические и дифференциальные уравнения:

,

),(

1121

011

0

uByAxx

uBxAy

+−=

+= −

.

,

..................................,

111

2232

uByAx

uByAxx

uByAxx

ggg

gggg

+−=

+−=

+−=

−−−

Подставим y из первого уравнения в другие уравнения. Тогда элементарными преобразованиями можно получить уравнения:

.)(

,)(

,)(

,)(

01

011

0

01

01111

011

01

022311

022

01

011211

011

uBAABxAAx

uBAABxxAAx

uBAABxxAAx

uBAABxxAAx

gggg

ggg

gg

−−

−−−

−−

−

−−

−−

−+−=

−++−=

−++−=

−++−=


23

Если ввести вектор состояний: Tgi xxxx )...,,...,,( 1= и матрицы:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

−

mmmg

mmmg

mmm

mmm

CAECA

ECAECA

A

00000

0000

1

11

12

11

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

−−

DABDAB

DABDAB

B

gg

gg 11

22

11

,

,,,),,,( 01

01

11 BADACOOCC mm−− === …

в которых mE и mO – единичная и нулевая квадратные матрицы порядка m, то можно получить уравнения «вход-состояния–выход», известные в литературе как «уравнения состояния»:

DyCxyBuAxx +=+= , , (2.4)

где входные координаты – вектор управлений и возмущений. На основании проведенного анализа можно сформулировать

следующее утверждение. Утверждение 2.2.1. Если уравнения типа «вход–выход»

имеют вид (2.1), то «вход-состояния-выход» (уравнения состоя-ния) можно представить в форме (2.4).

Уравнению состояния (2.4) соответствует структурная схема объекта или системы, приведенная на рис. 2.2.

Исследование устойчивости объектов или САУ требует формирования характеристического полинома объекта или замк-нутой системы. Наиболее просто характеристический полином вычисляется для случая, когда матрица A – фробениусова, что будет показано далее. В ряде случаев для определения характери-стического полинома объекта или системы управления с блоч-ными матрицами целесообразно использовать лемму Шура.

24

Рис.2.2. Структурная схема для уравнений состояния ОУ (САУ)

Лемма 2.2.1 (лемма Шура о вычислении определителя блочной матрицы).

Если mmnmmnnn RDRCRBRA ×××× ∈∈∈∈ ,,, являются

блоками матрицы ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DCBA

A , такими, что 0det,0det ≠≠ DA ,

то справедливы следующие равенства для определителей:

( ) ( )CDBADBACDADCBA 11 detdetdetdetdet −− −⋅=−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡.

Последние равенства доказываются приведением исходной

блочной (клеточной) матрицы к квазитреугольному виду

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

BACDCA

EBAE

DCBA

m

n1

1 00

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

− DBCDBA

ECDE

DCBA

m

n

0

0 1

1 ,

B ∫ C

A

D

y

xxu


25

и с помощью вычисления определителя квазитреугольной матри-цы. На основании этого правила определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагональных под-матриц. Лемма доказана.

Если коэффициенты характеристического полинома ia –

скалярные величины, т.е. 1Rai ∈ , то матрица A в уравнениях «вход-состояния-выход» может иметь «фробениусов вид»:

01

2

1

1

000100

010001

a

aa

aa

A

n

n

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

−

.

Применив для вычисления характеристического определителя правило вычисления «разложением по столбцу или строке» (тео-рему Лапласа), можно получить характеристический полином матрицы в виде:

nnnn

n aaaAE ++++=−= −− λλλλλχ 11

1)(det)( , 10 =a ,

коэффициенты которого определяются элементами первого столбца фробениусовой формы матрицы объекта или САУ.

Переход от уравнений состояния к уравнениям «вход–выход». Рассматривая обратный переход, ограничимся случаем r = 1, т.е. будем считать, что в САУ имеется только одно скалярное управление.

Оператор дифференцирования по времени dtdp = вводится

следующим образом: pxx = . Тогда уравнения «вход-состояния-выход» (2.4) можно записать в следующей форме

26

.)()()(),()()( tDutCxtytButxApEn +==−

Решив первое из этих уравнений относительно вектора со-стояний x(t) и подставив полученный результат во второе уравне-ние, можно получить окончательное представление вектора вы- ходных координат системы или объекта управления

)(])([)( 1 tuDBApECty n +−= − . (2.5)

Напомним, что матрица )()( AEf n −= λλ называется ха-рактеристической матрицей матрицы А, а матрица, обратная характеристической 1)]([ −λf – резольвентой матрицы А.

Вычислить резольвенту 1)( −− ApEn можно на основе сле-дующего равенства

),(~)(

1)( 1 pBp

ApEn

n χ=− − (2.6)

в которой )(~ pB – матрица, присоединенная к матрице f(p), т.е. матрица, транспонированная по отношению к матрице алгебраи-ческих дополнений элементов f(p).

В соответствии с этим присоединенная матрица )(~ pB при-нимает вид:

1 21 2 1( ) ,n n

n nB p B p B p B p B− −−= + + + +

где iB~ – числовые квадратные матрицы порядка n, причем мат-

рица 1 nB E= . Представим характеристический полином )( pnχ матрицы А

в стандартном виде:

.)( 11

1 nnnn

n apapapp +++= −−χ


27

Заметим, что разность )()( qp nn χχ − делится на (p–q) без остатка

так, что полином:

,1,)(

)()()(),(

012

113

212

21

1

=+++=++++

+++=−−

=Δ

−−−−

−−

bbpbppaqaq

paqpqp

qpqp

nnnn

nnnn

……

χχ

является многочленом относительно p и q . Коэффициенты этого полинома можно вычислить по рекуррентному соотношению:

,1,1,1 −=+= − nkabqb kkk

причем 01 =+− nn abq .

Рассмотрим тождество ),()()()( qpqpqp nn Δ⋅−=− χχ , кото-рое справедливо, если вместо p и q в него подставить перестано-вочные матрицы npE и А, соответственно. После такой подста-новки будем иметь следующее равенство:

( ) ( , )( )n n n npE pE A pE Aχ = Δ − . При доказательстве использована теорема Гамильтона–Кели, на основании которой всякая квад-ратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению .0)( =Anχ

Если переписать соотношение (2.6) в виде

)()(~)( AnpEpBnEpn −=χ

и сравнить его с ранее полученным представлением, то можно придти к следующему результату: ),()(~ ApEpB nΔ= .

Выполним переход от скалярных переменных p и q к матри-цам npE и A в рекуррентной формуле, а также заменим скаляр-

ные коэффициенты kb матричными – kB~ .

28 Тогда можно получить следующую совокупность рекур-

рентных соотношений:

1 , 2, ; 0.k k k n n n nB AB a E k n AB a E−= + = + =

Обратимся далее к формуле Ньютона:

1 1 1 1 , 1, ,k k k kka s a s a s k n− −= − − − − =

для вычислния коэффициентов ka характеристического полино-ма. В формуле использовано следующее обозначение для следа матриц Ak:

∑===

n

i

ki

kk trAs

1λ

Подставим ks в формулу Ньютона для .1=k Тогда будем иметь следующее равенство:

)(11 Atrsa −=−= .

Для 2=k можно получить равенство:

2 2 1 1 1 11 1 1( ) ( ( )) ( ).2 2 2na s a s tr A A a E tr AB= − + = − + = −

При 3=k будем иметь:

22 3 1 2 2 1 1 2

1 2 2

1 1( ) ( ( ))3 31 1( ( )) ( ).3 3

n

n

a s a s a s tr A A a A a E

tr A AB a E tr AB

= − + + = − + + =

= − + = −

Продолжив этот процесс, можно получить окончательные фор-мулы для вычисления коэффициентов характеристического по-


29

линома и компонентов kB присоединенной матрицы:

1 1 1

2 1 1 2 2

1 1

1 1

, ( ),1, ( ),2

1, ( ),

1, ( ).

n

n

k k k n k k

n n n n n n

B E a tr AB

B AB a E a tr AB

B AB a E a tr ABk

B AB a E a tr ABn

− −

− −

= = −

= + = −

= + = −

= + = −

(2.7)

Таким образом, доказана следующая лемма. Лемма 2.2.2 (о вычислении резольвенты). Пусть nnRA ×∈ –

постоянная квадратная матрица с вещественными коэффициен-тами. Тогда ее резольвента 1)( −− ApEn вычисляется по формулам

(2.6), (2.7), в которых )(~ pB – присоединенная матрица, kB~ – ее матричные коэффициенты, ka – коэффициенты характеристиче-ского полинома.

Рассмотрим равенство (2.5). Подставим в его правую часть представление резольвенты оператора линейной модели системы. Тогда представление передаточной матрицы для многомерной динамической модели типа «вход-выход» для непрерывного объекта или системы автоматического управления имеет сле-дующий вид:

.101

)(11)

)...()(

))()(~((

nnn

n

nn

n

bpbpbp

pDBpBCpDBApEC

+++

=+

−=

=+−−

χ

χχ

Коэффициенты kb в этом полиноме вычисляются при умножении

30

числовых и операторных матриц BpBC ),(~, . После выполнения вычислений уравнение объекта или системы (2.5) может быть приведено к виду (2.1):

ubpubupbupb

yapyaypayp

nnnn

nnnn

++++

=++++

−−

−−

11

10

11

1

...

...

и является уравнением объекта или системы управления типа «вход–выход». Таким образом, доказано утверждение.

Утверждение 2.2.2. Пусть уравнения «вход-состояние-выход» (уравнения состояния) объекта или системы имеют вид (2.4). Тогда уравнения типа «вход–выход» можно записать в форме (2.1).

Пример 2.2.1. Рассмотрим уравнения электромеханических процессов в электроэнергетической системе, введенные в ранее рассмотренном примере раздела 1:

,,,2 ωϕωμρϕωω =+−=+++−=+ UkгPгPэTгPyTaT

где ω , ϕ , гP , μ , U – отклонение частоты, угла ротора, мощно-

сти, нагрузки и управляющего воздействия; ,04.0 cTа = ,5.0,005.0 cэTcyT == 05.0,03.0 == ρk – параметры объекта.

Если вектор состояния системы Tг

T Pxxxx ),,(),,( 321 ϕω== , компоненты которого – отклонения частоты, мощности агрегата и угла, вектор внешних воздействий определить вектором

TT Uuuu ),(),( 21 μ== , компонентами которого являются управ-ления и нагрузки агрегата, а в качестве выхода выбрать отклоне-ние частоты ω=y , то уравнения состояния ЭЭС примут вид:


31

),()(,)0(),()(0001

210

00101

2212

)(

0 txCtyxxtuBtxAU

эTаТ

rPэТэTkaTaTaTyT

tx

==+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

μ

ϕ

ωρ

(2.8)

где ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−−=

00102060.025.125125.0

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0002250

B , [ ] .0,001 == DC

Рассмотрим переход к модели типа «вход–выход» от модели в виде уравнений состояния. Как было показано, связь выходных координат с входными координатами в операторной форме опре-деляется соотношением (2.6):

.])([ 1 uDBApECy n +−= −

Для определения резольвенты, определяемой соотношением (2.6),

( ) ( ) ( )1 1n

npE A B p

pχ−− = ,

необходимо вычислить матрицу ( )B p и характеристический по-

лином )( pnχ :

.)(,~~~)(~32

21

3332

21 apapappBpBpBpB +++=++= χ

На основе алгоритма п. 2.2.1, можно вычислить матрицы:

32

,125.2)~(,100010001

~1131 =−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== ABtraEB

,3)~(21,

125.2010125.006.025.1252

~~223112 =−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=+= ABtraEaABB

.5.2)~(31,

75.1252075.025.10

5.200~~

333223 =−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=+= ABtraEaABB

Для проверки правильности выполненных вычислений сле-дует убедиться в выполнении следующего алгебраического соот-ношения: .0~

333 =+ EaAB

Таким образом, вычисленная резольвента матрицы А имеет следующий вид:

( ) 13

3 2

2

2

2

12.125 3 2.5

2 25 1.25 2.5

0.06 0.125 1.25 0.075

2 25 2.125 1.75

pE A

p p p

p p p p

p p p

p p p

−− =

= ×+ + +

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥× − + +⎢ ⎥

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Используя взаимосвязь в операторной форме выходной пе-ременной y с входными воздействиями u, получим модель ЭЭО в форме «вход-выход»


33

[ ] ,5025505.23125.2

1 223 uppp

pppy +

+++=

которая соответствует дифференциальному уравнению вида:

.)5025(50)5.23125.2( 223 μppUpyppp ++=+++

Рассмотрим переход от модели ЭЭС типа «вход–выход», определяемой последним соотношением, к модели в пространст-ве состояний. Приведем это соотношение к виду (2.1):

,)()( 322

1322

13

0 uBpBpByApApApA ++=+++

где ,10 =A ,125.21 =A ,32 =A ,5.23 =A 1 (0, 25),B = ),50,50(2 =B )0,0(3 =B . Это равенство можно представить в виде

0)))((( 33221100 =−+−+−+− uByAuByAuByAuByAppp ,

где матрица )0,0(0 =B .

Введем координаты вектора состояния 3Rxi ∈ , определяемые со-ответствующими выражениями в скобках последнего уравнения:

.0

,

333,2223

,1112001

=−+−+=

−+=−=

uByAxuByAxx

uByAxxuByAx

Решение полученных уравнений относительно производных вектора состояния и представление выхода y как функции со-стояний x и управлений u позволяет получить уравнения в фор-ме «вход-состояние-выход»:

,, uDxCyuBxAx +=+=

34

где матрицы определяются равенствами

,005.200301125.2

001001

103

102

101

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=−

−

−

AAAAAA

A

11 1 0 0

12 2 0 0

13 3 0 0

0 2550 50 ,0 0

B A A B

B B A A B

B A A B

−

−

−

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]0,0,10,0,10 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= AC ,

001

0 == − BAD .

Представление модели объекта в пространстве состояний не является единственным, о чем свидетельствует отличие ранее по-лученных значений элементов матриц A и B в (2.8).

2.2.2. Уравнения типа «вход–выход» и уравнения со-стояния дискретных объектов и систем. Дискретные системы содержат в структуре ЭВМ, в которых входные и выходные сиг-налы которых определены в дискретные моменты времени. Для описания процессов в дискретном времени используются конеч-но-разностные уравнения линейных дискретных объектов (сис-тем), аналогичные дифференциальным уравнениям (2.1). В отли-чие от (2.1), разностные уравнения связывают линейные комби-нации значений входных (управлений и возмущений) и выход-ных координат (как правило, регулируемых координат) в различ-ные дискретные моменты времени и имеют вид:

0 1 1 1 1

1 1 1 1 ,

t g t g g t g t

t g g t g t

A y A y A y A y

B u B u B u

+ + − − +

+ − − +

+ + + + =

= + + + (2.9)


35

где rt

mt RuRy ∈∈ , – векторы выходных и входных переменных,

вычисленные в дискретный момент времени Nt∈ ; mmj RA ×∈ ,

rmj RB ×∈ – числовые матрицы. Если ввести оператор сдвига по

времени ξ такой, что 1+= tt yyξ , то уравнение (2.9) примет вид

tt uByA )()( ξξ = , (2.10)

где полиномиальные матрицы A(ξ) и B(ξ) определяются равенст-вами:

,...)( 11

10 gggg AAAAA ++++= −− ξξξξ

....)( 12

21

1 gggg BBBBB ++++= −−− ξξξξ

Переход от разностного уравнения «вход–выход» к разно-стным уравнениям состояния. Уравнение (2.10) отличается от (2.1) операторами сдвига «ξ » и операторами дифференцирования «р». Преобразования уравнений типа (2.2), (2.3) и введение обо-значений:

,0

,

......................................,

,

1

111

1

111

12

01

tgtggtm

tgtggt

gt

tttt

tt

uByAx

uByAxx

uByAxx

yAx

−+=

−+=

−+=

=

+

−−−+

+

определяют уравнения состояния объекта или системы автома-тического управления следующего вида:

36

.

,

..........................................,

,

,)(

1

111

1

2232

1

1121

1

011

0

tgtggt

tgtgg

tgt

tttt

tttt

ttt

uByAx

uByAxx

uByAxx

uByAxx

uBxAy

+−=

+−=

+−=

+−=

+=

+

−−−+

+

+

−

Для векторно-матричного описания последней системы введем

расширенный вектор состояния

Tgt

jttt xxxx )...,,...,,( 1= .

Тогда полученную систему линейных разностных уравнений объекта или системы управления можно записать в виде:

,,1 tttttt uDxCyuBxAx +=+=+ (2.11)

причем числовые матрицы A, B, C, D совпадают с соответствую-щими матрицами уравнений (2.4). Таким образом, доказано ут-верждение.

Утверждение 2.2.3. Пусть уравнения «вход–выход» имеют вид уравнений (2.10). Тогда уравнения состояния можно предста-вить в форме (2.11), причем матрицы A, B, C, D вычисляются по соотношениям для уравнений (2.4).

Чтобы выполнить «обратный переход» от уравнений со-стояния (2.11) к уравнению типа «вход–выход», воспользуемся оператором сдвига ξ. Тогда уравнения можно записать в виде:


37

., tttttt uDxCyuBxAx +=+=ξ (2.12)

Решив первое уравнение системы (2.12) относительно tx и подставив результат во второе уравнение, можно получить ра-венство tt uDBAECy ))(( 1 +−= −ξ , аналогичное (2.2). Повторив описанные выше преобразования, получим уравнение:

.1...22

11

1...11

tugbtugbtugbtugb

tygatygatygatyg

+−++−+−=

=+−++−+

ξξξ

ξξξ

(2.13)

Поэтому доказано утверждение. Утверждение 2.2.4. Для разностных уравнений состояния

объектов управления и систем автоматического управления вида (2.11) равенство (2.13) определяет уравнение объекта (системы) управления типа «вход–выход».

Приведенные математические модели объектов и систем по-зволяют перейти к анализу переходных процессов.

2.3. Анализ переходных процессов в линейных системах

Анализ переходных процессов в объектах и системах явля-

ется одним из методов исследования их свойств, которые прояв-ляются в реакции на типовые воздействия.

2.3.1. Переходные процессы в линейных непрерывных объектах и системах управления. Пусть уравнения объектов или систем имеют вид (2.4), а задача исследования переходных процессов формулиуется как задача Коши: найти решение систе-мы при заданных начальных условиях и заданных входных воз-действиях )(tu , которые могу иметь смысл управлений или

38

внешних возмущений: 0)0(,, xxDyCxyBuAxx =+=+= . (2.14)

Решение задачи (2.14) определяется известной из теории линей-ных дифференциальных уравнений формулой Коши:

∫+= −t tAtA duBexetx0

)(0 )()( τττ . (2.15)

Справедливость формулы Коши устанавливается непосредствен-ной подстановкой (2.15) в первое уравнение (2.14). В результате этого можно получить цепочку равенств:

=++= ∫ −t

tAAt dBuAetBuxAex0

)(0 )()( τττ

.)()(0

)(0 tBudBuexeAt

tAAt +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫ − τττ

Анализ переходных процессов будет выполнен с помощью при-ведения матрицы системы к канонической жордановой форме. Это приведение позволяет свести вычисление матричной экспо-ненты в (2.15) к расчету скалярных экспоненциальных функций и выполнить преобразование Лапласа и Фурье выходной перемен-ной. Для этого в уравнении (2.14) перейдем к новому базису про-странства состояний с помощью преобразования подобия:

Szx = , где Tnzzz ],,[ 1= , SRS nn ,×∈ – неособенная матрица:

.,111 DuCSzyBuSJzBuSASzSz +=+=+= −−− (2.16)

Напомним, что две матрицы A и J называются подобными, если они связаны равенством ASSJ 1−= , которое называется


39

преобразованием подобия. Любая числовая квадратная матрица может быть приведена с помощью преобразования подобия:

ASSJ 1−= к канонической форме – квазидиагональной матрице J, называемой матрицей Жордана.

Структура канонической формы матрицы Жордана опреде-ляется распределением некратных и кратных собственных чисел и соответствующих им собственных или корневых векторов (геометрический подход) и элементарных делителей исходной матрицы A (алгебраический подход). Эти подходы изучаются в теории матриц, а ниже приводится описание соответствующих результатов, основанных на ранговых критериях.

Пусть среди n собственных чисел iλ матрицы A имеется p

простых (некратных): pλλλ ...,,, 21 , и s кратных:

spipp +++ λλλ ...,,,...,1 собственных чисел с кратностями

.,,,,1 si mmm …… Некратным собственным числам соответствует

матрица 0J , а каждому кратному собственному числу – «ящик» Жордана iJ . Поэтому матрица в форме Жордана имеет следую-щий вид:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

s

i

J

J

JJ

J

0

0

1

0

. (2.17)

Простые (некратные) собственные числа pλλλ ...,,, 21 состав-

ляют клетки «ящика» Жордана 0J , который представляется в форме :

40

).,,,(diag

00

0000

212

1

0 p

p

J λλλ

λ

λλ

…=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Каждая клетка в 0J имеет размерность 1. «Ящик» Жордана iJ , соответствующий собственному числу ip+λ кратности im , может

содержать «клетки Жордана» iki JJ ,...,1 – квадратные матрицы размера от 1 до im . «Ящик Жордана» имеет стандартный вид:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ik

i

i

i

J

JJ

J

0

0

2

1

,

где первый индекс – номер «ящика», а второй – номер «клетки». Главная диагональ содержит числа ip+λ , а первая наддиагональ –

число «1», если размер «клетки» не меньше двух. Пример 2.3.1. «Ящик» Жордана для собственного числа

ip+λ кратности «3» можно представить одним из вариантов:

1). ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

ip

ip

ip

iJλ

λλ

000000

– три клетки размера «1»;

2). ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

ip

ip

ip

iJλ

λλ

000001

– одна клетка размера «2» и одна

клетка размера «1»;


41

3). ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

ip

ip

ip

iJλ

λλ

001001

– одна клетка размера «3».

Из примера следует, что для задания структуры «ящика» не-обходимо определить число клеток hg размера )( hh× . Число «клеток» hg размера )( hh× для кратных собственных чисел

ip+λ определяется ранговым критерием:

( ) ( )

( )

1

1

2

, 1, .

h hh p i n p i n

hp i n i

g rang A E rang A E

rang A E h m

λ λ

λ

−+ +

++

= − − − +

+ − =

(2.18)

Сумма размеров всех клеток «ящика» равна кратности соот-ветствующего собственного значения, что в примере 2.3.1 опре-деляется равенством: iiim mmggg =⋅++⋅+⋅ …21 21 .

Таким образом, число и структура «ящиков» iJ , определяе-мые ранговым критерием (2.18), позволяют задать жорданову форму матриц в уравнениях состояния.

После преобразования подобия (перехода к жордановой форме матриц) уравнения объектов или систем вида (2.14) и (2.16) имеют связанные решения на основе формулы Коши:

),()()(

,)()(),()(0

1)(01

tuDtxCty

dBuSexSetztSztxt tJJt

+=

∫+== −−− τττ

(2.19)

где ASSJ 1−= , матрица S вычисляется далее, а матричная экспо-нента имеет вид:

42

10diag , , , , , sJ t J tJ tJ tJt ie e e e e⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Матричные экспоненты для жордановых клеток в последней диа-гональной матрице будут иметь следующие представления:

0 1diag , , ,p tJ t te e eλλ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ,,...,,...,diag 1 tilJtihJtiJtiJ eeee =

где ihJ – h-ая клетка k -го порядка i-го «ящика». Матричная экс-

понента для этой клетки имеет вид:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

= −

−

−

+

1000000

)!3(100

)!2(10

)!1(!21

3

2

12

t

kt

ktt

kttt

ee k

k

k

tiptihJ λ.

Поскольку для решения системы (2.19) надо найти преобразую-щую матрицу S, то для ее определения рассмотрим уравнение

,],...,,[],...,,[ 2121 JssssssA nn =

где ls – l -й столбец матрицы S . Пусть в l -ом столбце матрицы J единственным отличным от нуля элементом является ip +λ . То-

гда l -му столбцу этого уравнения соответствует равенство l

ipl ssA += λ , имеющее эквивалентный вид


43

0)( =+− lsnEipA λ . (2.20)

Соотношение (2.20) определяет выбор в качестве l -го столбца матрицы S собственного вектора матрицы А, соответст-вующего собственному числу ip +λ .

Если в l -ом столбце матрицы J (2.17) выше главной диаго-нали находится единица, то будет получено соотношение:

l

ipll sssA ⋅+=⋅ +− λ1 или ,)( 1−

+ =− llnip ssEA λ

где 1−ls – )1( −l -й вектор матрицы S, являющийся или собствен-ным вектором матрицы A , соответствующим значению ip +λ ,

или ранее определенным корневым вектором, если размер «клет-ки» более «2».

Таким образом, решение уравнения состояния объекта или системы автоматического управления (2.14) записывается сле-дующим образом:

).()()(

,)()(,)()(0

1)(01

tuBtxCty

duBSexSetztzStxt tJJt

+=

∫+== −−− τττ

(2.21)

Решение задачи Коши (2.21) может использоваться для ана-лиза переходных процессов при ограниченных начальных усло-виях и произвольных или типовых входных воздействиях. В ка-честве типовых воздействий используются единичные, гармони-ческие, экспоненциальные и другие воздействия.

Пример 2.3.2. Рассмотрим анализ переходных процессов

44

при типовом воздействии на объект, описываемый уравнением «вход-состояния-выход»:

),()(,)0(),()( 0 txCtyxxtuBtxAx ==+= (2.22.а)

где ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=411

020621

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100

B , [ ]001=C .

Рассмотрим переходный процесс при типовом единичном (ступенчатом) входном воздействии по управлению )(1)( ttu = , где 1(t) – единичная функция (функция Хевисайда):

⎩⎨⎧

≥<

=.0,1,0,0

)(1tt

t

Вычислим собственные числа матрицы A из характеристическо-го уравнения рассматриваемого объекта или системы автомати-ческого управления:

.0)1()2(485

411020621

)det(

223

3

=++=+++=

=+−

+−−

=−

λλλλλ

λλ

λλ AE

Матрица A имеет некратное собственное число 11 −=λ и кратное 2,2 22 =−= mλ .

Жорданова форма J матрицы A строится с учетом вида «клеток», соответствующих собственным кратным числам. Опре-делим число и структуру «клеток» на основе рангового критерия по формуле (2.18). Тогда можно получить следующие результаты по количеству клеток Жордана различного размера:


45

.1122)(rang)(rang2)(rang

,01223)(rang)(rang2)(rang

332

232

1322

232

132

0321

=+−=−+−−−=

=+⋅−=−+−−−=

EAEAEAg

EAEAEAg

λλλ

λλλ

Жорданова форма матрицы A имеет вид

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

200120001

J .

Столбцы is матрицы преобразования подобия ],,[ 321 sssS = най-дем из условия, представляющего собой систему линейных ал-гебраических уравнений

SJAS = . (2.22.б)

Столбец 1s является собственным вектором A , соответствующим 11 −=λ , и определяется соотношением: 0)( 1

31 =− sEA λ . По-

скольку 031 =− EA λ , то линейная система имеет не единствен-

ное решение. Произвольно задав третью компоненту вектора 1s 131 =s , вычисляем остальные компоненты из уравнений:

.0,622 212111 =−−=− sss

В результате вычислений можно определить вектор [ ]Ts 1,0,31 −= .

Второй столбец 2s матрицы S системы (2.22.б) является собственным вектором, соответствующим 22 −=λ , который оп-

ределяется системой 0)( 232 =− sEA λ . Решение этой системы не

единственное, поскольку собственный вектор определен с точно-

46

стью до постоянного множителя. Задав произвольное значение первой компоненты 112 =s , можно получить систему алгебраиче-ских уравнений

,12,362 32223222 =−−=+− SSSS

решение которой определяет собственный вектор [ ]Ts 5.0,0,12 −= .

Вектор 3s является корневым вектором «высоты 2», удов-летворяющим линейному алгебраическому уравнению:

0)( 3232 =− sEA λ или 23

32 )( ssEA =− λ :

.5.0

01

211000623

)(

33

23

133

32

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−

SSS

sEA λ

Приняв 113 =S , вычислим вектор [ ]Ts 5.0,5.0,13 −−= . В результа-те преобразующая матрица и обратная для нее определяются сле-дующим образом:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

5.05.015.000

113S ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=−

020622201

1S .

Аналитическое решение задачи Коши для системы уравне-ний (2.22.а) формируется на основе равенств (2.19), (2.21), кото-рое можно использовать для анализа переходных процессов в рассматриваемой системе управления при различных начальных условиях и входных переменных (управлениях или возмущени-ях). Это решение представляется равенством вида:


47

,00

)(000

000

00)()(

0

1

)(2

)(2)(2

)(

0

2

22

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

∫ −

−−

−−−−

−−

−

−−

−

t

t

tt

t

t

tt

t

dBSe

etee

zetee

eStSztx

τττ

ττ

τ

где вектор 010 xSz −= . Пример 2.3.3. Определим соотношения для вычисления пе-

реходного процесса в объекте, представляющем собой электро-энергетическое объединение, общепринятые уравнения которого для исследования систем управления частотой и активной мощ-ностью рассмотрены в примере 2.2.1. Эти уравнения в форме «вход-состояние-выход» имеют вид:

),()(,)0(),()( 0 txCtyxxtuBtxAx ==+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−−=

00102060.025.125125.0

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0002250

B , [ ]001=C .

Для вычисления решения )(tx используем замену: Szx = , с по-мощью которой матрица A приводится к форме жордана:

ASSJ 1−= . Вычислим собственные числа матрицы A из ее ха-рактеристического уравнения 0)det( 3 =− AEλ . Поскольку реше-ния уравнения: ,325.1414.02,1 i±−=λ ,298.13 −=λ то жорданову

форму с учетом комплексных собственных чисел матрицу можно представить в форме:

48

.298.1000325.1414.0000325.1414.0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

+−= i

iJ

Столбцы is матрицы преобразования подобия ],,[ 321 sssS = , являющиеся собственными векторами матрицы

A, вычисляются из условия 0)( 3 =− ii sEA λ :

.

609.0425.0401.0425.0401.0

0675.00215.00096.00215.00096.0

790.0356.0729.0356.0729.0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−+−

−+−

=

ii

ii

ii

S

Процессы на выходе объекта или системы описываются (2.19) и (2.21):

.)(0

))(1)(01()( ττττ uDt

duBStJeSxSJteSCty +∫ −−+−=

Так как D - нулевая, J - неособая матрицы, реакция объекта на постоянные воздействия )(1)( tGtu ⋅= , где constG = , имеет вид

,))(1)(0()( tBuAnEAtexAteCty −−+=

где .1−= SJteSAte На рис. 2.3 приведены переходные процессы по выходной пере-менной )(ty : при нулевых входных воздействиях и начальных

условиях ( )0 10, 0, 0 Tx = - зависимость «1»; при нулевых


49

Рис. 2.3. Переходные процессы в ОУ третьего порядка

начальных условиях, нулевом возмущении и единичном управле-нии ))(1,0( tU ==μ - зависимость «2»; переходный процесс с ну-левыми начальными условиями, единичном возмущении и нуле-вом управлении: ( )0),(1 == Utμ - зависимость «3».

2.3.2. Анализ процессов в дискретных объектах и систе-мах. Рассмотрим методику решения уравнений (2.11) дискретных ОУ и САУ. Эти уравнения имеют вид

.,, 001 xxDuCxyBuAxx tttttt =+=+=+ (2.23)

Анализ динамики дискретных объектов (систем) основан на приведении матрицы А к канонической форме Жордана (как и в случае непрерывных объектов). С этой целью используется пре-образование подобия: tttt xSzSzx 1, −== и приведение уравне-ний состояния (2.23) к следующей форме:

11 , ,t t t t t tz Jz S Bu y CSz Du−+ = + = + (2.24)

50

причем ASSJ 1−= – каноническая форма Жордана для матрицы А. Можно убедиться, что первому уравнению системы (2.23) при

00 xx = удовлетворяет функция дискретного аргумента t :

,,, 01

0

1

0

110 xSzSzxBuSJzJz tt

t

hh

httt

−−

=

−−− ==+= ∑ (2.25)

которая является формулой Коши для неоднородных конечно-разностных уравнений объектов (систем). Если перейти к мо-менту времени (t+1), то можно получить равенство для исследо-вания переходных процессов в дискретном времени

.111

0

110

0

1011

ttt

t

hh

htt

t

hh

httt

BuSJzBuSBuSJzJJ

BuSJzJz

−−−

=

−−−

=

−−++

+=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=+=

∑

∑

Формула (2.25) представляет общее решение конечно-разностного уравнения (2.24).

Степени квазидиагональной матрицы Жордана определяют-ся равенствами

]...,,,[diag 10ts

ttt JJJJ = , где

1 1

2 10

0 0 0

0 0, .

0

0 0 0

t ti

t tt t i

i

t tp ik

J

JJ J

J

λ

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦


51

Пусть ijJ – j-я клетка h -го размера i -го «ящика» Жордана, ко-

торая может быть представлена в виде суммы: (1)ij i h hJ E Iλ= + ,

где )1(hI – первый единичный «косой ряд» h -го размера, имею-

щий единицы в первой «наддиагонали»

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00001000

01000010

)1(hI

и обладающий свойством:

⎩⎨⎧

≥<=

.при,0,при,)(

)()1(

hlhlIlI

lh

h .

Матрицы )(l

hI – имеют единицы в l -ой «наддиагонали». Тогда

степень «клетки» при ht ≥ определяются равенством:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

−

=

−1

0

)()1( )(h

l

lh

ltthhi

t Iilt

IEijJ λλ .

Решения (2.19) и (2.25) используются при анализе переход-ных процессов в непрерывных и дискретных САУ, а также для исследования переходных и частотных характеристик дискрет-ных обьектов и систем управления.

Пример 2.3.4. а). Рассмотрим переход от математической модели непрерывного объекта управления, заданной в простран-стве cостояний, к дискретной модели. Сформируем уравнения электроэнергетического объединения, рассмотренного ранее, для дискретного времени htk /= :

52

).()()(),()()1( kuDkxCkykuBkxAkx дд +=+=+

Очевидно, что матрицы C и D этой модели совпадают с соответ-ствующими матрицами непрерывной модели. Выбрав величину шага h достаточно малой (такой, чтобы входные воздействия на этом интервале можно было считать постоянными) и заменив в

соотношении (2.15) 0x на ( )x kh , ( )x t на (( 1) )x k h+ , получим

0

, .h

Ah Ag gA e B e dτ τ= = ∫

Учитывая ранее полученные соотношения для tAe и при ch 01.0= , вычислим матрицы уравнений состояния в дискретном

времени:

.001.0014.10020.0250.0002.0

,1001.0009.00980.0001.0012.0247.0998.0

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=−==

дB

SJheSAheдA

б). Переход к модели «вход–выход». Уравнение «вход–выход» для данной дискретной системы можно задать в виде:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ],)(3)(2)(21

)(3)(2)(21)(3

kubkubkub

kyakyakyaky

++=

=+++

ξξ

ξξξ

(2.26)

где ξ – оператор сдвига вперёд, а коэффициенты ia , ib вычисля-


53

ется по формулам, аналогичным формулам для непрерывных систем (2.8). Используя представление резольвенты

)()(

11)( ξξχ

ξ Bn

AnE g =−− , где )(ξχn – характеристический по-

лином матрицы A, 322

1)( BBBB ++= ξξξ – полиномиальная

матрица, определение которых было рассмотрено ранее, получим

дBCBb 11 = , ,22 дBCBb = дBCBb 33 = .

Согласно алгоитму п. 2.2, резольвенту системы можно опреде-лить следующими равенствами:

,978.2)(,100010001

1131 −=−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== дABtraEB

),250.0002.0(11 == дBCBb

,978.1001.0009.00998.1001.0012.0247.0980.1

3112

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=+= EaABB д

,956.2)(21

22 =−= дABtra ),495.0011.0(22 −−== дBCBb

,978.0001.0009.00998.0001.0012.0247.0980.0

3223

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=+= EaABB д

,978.0)(31

33 −=−= дABtra .)245.0009.0(33 −== дBCBb

54 При подстановке вычисленных коэффициентов в уравнение

(2.26) можно получить модель объекта или системы управления типа (2.13) для дискретного времени, которая представляется разностным уравнением:

[ ][ ] .)(245.0)(009.0)(495.0)(011.0

)(25.0)(002.0

)()()()(

2

322

13

kkUkkU

kkU

kyakyakyaky

μμξ

μξ

ξξξ

++−−+

++=

=+++

Последнее уравнение является моделью типа «вход-выход» (полиномиальной моделью) дискретного объекта или системы, которое используется при анализе и синтезе объектов и систем управления.

2.4. Уравнения свертки и импульсные переходные функции

«Модели в виде свертки» для линейных объектов и систем

управления можно определить из аналитических решений, опре-деляемых формулой Коши, для линейных уравнений состояния.

2.4.1. Уравнения свертки для непрерывных объектов или систем. Рассмотрим реакцию линейной системы на входное воздействие )(tu , определяемую формулой Коши (2.15) при ну-левых начальных условиях. Тогда для анализа процессов можно использовать равенства:

).()()(,)()(0

)( tuDtxCtydBuetxt

tA +== ∫ − τττ (2.27)

Ситуация, когда при t < 0 на систему не воздействуют внешние возмущения, а начальные условия нулевые, типична для многих


55

вариантов работы систем. Введем специальную функцию вре-менного аргумента:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥

=.0,0

0,)(

ttBAte

tw (2.28)

Тогда формула (2.27) с учетом (2.28) определит уравнение свертки, в котором правая часть задается интегралом свертки:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, .t

x t w u w t u d y t Cx t Du tτ τ τ= ∗ = − = +∫ (2.29)

Определение 2.4.1. Функция (2.28) называется импульсной (весовой) функцией или импульсной переходной функцией (ИПФ).

Учитывая, что u(t) приложено в момент t = 0 и управление

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=

,0),(

,0,0)(

ttu

ttu

формулу (2.29) можно записать в виде

).()()(

,)()()()()(

1

0 011

tDtwCtw

dtutwdutwtyt t

δ

τττττ

+=

∫ ∫ −=−= (2.30)

Содержательный смысл ИПФ можно определить, если считать, что управление – δ-функция (функция П. Дирака), определяемая равенствами:

1)(,0,0,0,

)( =⎩⎨⎧

≠=∞+

= ∫∞+

∞−

dtttt

t δδ .

56 Фильтрующее свойство δ-функции, математически опреде-

ляемое интегралом свертки: )()()( tfdtf =∫ −∞+

∞−ττδτ , позволяет

получить равенства:

).()()()(),()()()( 10

twtDtCwtytwdtwtxt

=+==−= ∫ δττδτ (2.31)

Из равенств (2.31) следует, что ИПФ - реакция на входное воз-действие, равное δ-функции, приложенное к объекту или систе-ме управления при t = 0. Вычисление ИПФ можно выполнить с помощью алгоритма, основанного на приведении матрицы урав-нений состояния к форме Жордана (см. п.2.3).

Пример 2.4.1. Нетрудно видеть, что ИПФ объекта управле-ния, рассмотренного в примере 2.3.2:

== − BSeStw Jt 1)(

,32

066

100

020622201

000

00

5.05.015.000

113

2

2

2

22

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

−−

−−

−

−−

−

tt

tt

t

tt

t

ee

ee

etee

e

).(6)()( 21

tt eetwCtw −− −=⋅=

Полученные равенства можно использовать далее для по-строения других типов моделей, в частности, моделей в виде


57

матриц часточных характеристик и передаточных функций (мат-риц).

2.4.2. Уравнения свертки для дискретных объектов и систем. Введем понятие ИПФ для дискретных систем на основе формулы Коши (2.25), определяющей реакцию линейной систе-мы на входное воздействие tu при нулевых начальных условиях:

nx 00 = . Тогда

.,1

0

1ttt

t

ll

ltt uDxCyuBAx +=∑=

−

=

−− (2.32)

Если ввести функцию дискретного аргумента так, что

⎩⎨⎧

<≥=

,0,0,0,

ttBAw

t

t (2.33)

то формула (2.32) примет вид

,1

0,1 ttt

t

llltt uDxCyuwuwx +=∑=∗=

−

=−− (2.34)

где функция (2.33) называется ИПФ дискретных ОУ или САУ. Вычисление ИПФ можно (как и для непрерывных объектов и сис-тем) выполнить с применением форм Жордана (2.17).

Модели объектов и систем в виде уравнений свертки ис-пользуются при анализе переходных процессов и входо-выходной устойчивости объектов или систем автоматического управления.

Пример 2.4.2. Рассмотрим методику построения переходно-го процесса при нулевых начальных условиях на основе уравне-ния свертки для объекта, рассмотренного в примере 2.3.3. Урав-нение свертки для рассматриваемого объекта имеет вид:

58

,)()()()()(0

τττ dutwtutwtxt∫ −=∗=

где 23)( ×∈Rtw – матричная импульсная переходная функция:

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=)(32)(31

)(22)(21

)(12111)(twtwtwtwtwtw

BSJteStw , 1,31,3{ } ,j

ij iS s ==

=

{ } 3,13,1

~1 ===− j

iijSS , ),,diag( 321 teteteJte λλλ= , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0002250

B

была ранее определена в приведенном выше примере 2.3.3. То-

гда, учитывая диагональную форму Jte , элементы матрицы S и значения элементов B , можно получить соотношения для эле-ментов импульсной переходной функции рассматриваемой сис-темы:

[ ] ,576.25)325.1sin(672.20)325.1cos(576.25

)~~~()(

298.14136.0

32133

22122

12111

2111

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− −+=

=++= λλλ

[ ] ,981.8)325.1sin(546.0)325.1cos(981.33

)~~~()(

298.14136.0

31133

21122

11111

1212

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− −−=

=++= λλλ

[ ] ,185.2)325.1sin(937.0)325.1cos(185.0

)~~~()(

298.14136.0

32233

22222

12211

2121

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− ++−=

=++= λλλ


59

[ ] ,767.0)325.1sin(620.0)325.1cos(767.0

)~~~()(

298.14136.0

31233

21222

11211

1222

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− ++−=

=++= λλλ

[ ] ,854.9)325.1sin(152.13)325.1cos(708.19

)~~~()(

298.14136.0

32333

22322

12311

2131

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− ++−=

=++= λλλ

[ ] .920.6)325.1sin(487.23)325.1cos(920.6

)~~~()(

298.14136.0

31333

21322

11311

2132

tt

ttt

ette

SSeSSeSSebtw

−− ++−=

=++= λλλ

Компоненты вектора состояния исследуемой системы опре-деляются равенствами:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 120

,t

x t w t U w t dτ τ τ μ τ τ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 220

,t

x t w t U w t dτ τ τ μ τ τ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 31 320

,t

x t w t U w t dτ τ τ μ τ τ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∫

а переходные процессы на выходе объекта управления )()( txCty = при различных комбинациях внешних воздействий

на управляющих Ū (t) и возмущающих μ (t) входах, имеющие вид дельта-функций δ(t), даны на рис. 2.4. Переходный процесс с индексом «1» соответствует входным управляющим воздейст-виям Ū(t) = δ(t) при нулевом возмущающем воздействии: μ(t)≡0. Переходный процесс «2» характеризует динамику объекта при

60

Рис. 2.4. Переходные процессы при воздействии на ОУ по управлению (1)

и по возмущению (2). нулевом управлении и входном возмущении в виде дельта-функции: Ū (t) ≡ 0 , μ(t) = δ(t).

Предлагаемые методы позволяют исследовать переходные процессы в объектах и системах автоматического управления при различных начальных условиях и внешних воздействиях - воз-мущениях и управлениях.

2.5. Преобразование Лапласа и передаточные функции

непрерывных объектов и систем Передаточные функции (ПФ) линейных непрерывных ОУ

или САУ вводятся с помощью преобразования Лапласа для урав-нений «вход-выход» или уравнений состояния.

2.5.1. Определение прямого и обратного преобразований Лапласа. Пусть f(t) – функция ограниченного роста:


61

∞<≤ cMeMtf ct ,;)( . Тогда интегральное преобразование

[ ] ∫==∞

−

0)()()( dtetfsFtfL st (2.35)

существует и называется прямым преобразованием по Лапласу функции )(tf , где s - комплексный параметр преобразования Лапласа. Изображения по Лапласу )(sF как функции пара-метра s для некоторых функций-оригиналов, зависящих от ар-гумента t , приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

f (t) L [ f (t) ] f (t) L [ f (t) ]

1(t) s1 tte ωα sin− 22)( ωα

ω++s

)(tδ 1 tte ωα cos− 22)( ωα ++ss

te α− α+s1 tent α− 1)(

!++ ns

nα

Ate 1)( −− AsE )(tfteα )( α−sF

tωsin 22 ωω+s

)()( tf n )0(

)0()()1(

1

−

−

−−

−−n

nn

f

fssFs

tωcos 22 ω+ss ∫

tdf

0)( ττ )(1 sF

s

В теории управления широко используется также обратное интегральное преобразование Лапласа, задаваемое равенством:

62

( ) ( ) ( )1 1 , 0,2

c jst

c jf t L F s F s e ds t

jπ

+ ∞−

− ∞

= = >⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ (2.36)

определяющее по изображению F(s) функцию-оригинал f(t). Прямое и обратное преобразования Лапласа используются в

теории автоматического управления для определения переда-точных функций непрерывных объектов и систем.

2.5.2. Передаточные функции (матрицы) непрерывных объектов и систем. Для получения передаточных функций (мат-риц) применим к уравнениям (2.1) преобразование Лапласа (ПЛ) с учетом изображений производных при нулевых начальных ус-ловиях. Тогда получим изображение по Лапласу уравнения «вход-выход»

)()()()( susBsysA = , (2.37)

где )(sy , )(su – скалярные или векторные изображения выхода и входа, причем

ggg

gggg BsBsBsBAsAsAsAsA +++=++++= −

−− 1

1011

10 )(,)(

– скалярные или матричные полиномы от s – параметра преобра-зования Лапласа. Умножив (2.37) на )(1 sA− , можно получить сле-дующие уравнения

[ ] ).()()(),()()( 1 sBsAsWsusWsy −== (2.38)

Определение 2.5.1. Функция или матрица W(s) в (2.38), свя-зывающая изображения по Лапласу функций или векторов y(s) и u(s) при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией (ПФ) или передаточной матрицей (ПМ) ОУ (САУ).


63

Пример 2.5.1. Для электроэнергетического объединения, уравнения динамики которого рассматривались в приведенном выше примере, было получено уравнение:

,)5025(50)5.23125.2( 223 μppUpyppp ++=+++ (2.39)

определяющее связь выходной переменной )(ty и входных сигна-лов – управлений и возмущений: )(tU и )(tμ . Применив к (2.39) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, мож-но получить изображение по Лапласу этого уравнения:

3 2 2( 2.125 3 2.5) ( ) 50 ( ) (25 50 ) ( ),s s s y s sU s s s sμ+ + + = + +

где )(),(),( ssUsy μ – изображения по Лапласу перечисленных переменных. Связи по Лапласу между изображенииями выхо-дов и изображений входов имеют вид:

),()()( susWsy =

где ,))(),(()( TssUsu μ= а )(sW – передаточная матрица:

.5.23125.2

5025;5.23125.2

50)( 23

2

23 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

+++=

sssss

sssssW

Обращение полиномиальной матрицы A(s) из (2.38) в общем слу-чае затруднено, однако трудности преодолеваются следующим образом. В п. 2.2 определены связи между уравнениями «вход–выход» (2.1) и уравнениями состояния (2.4). Применив к обеим частям (2.4) преобразование (2.35), можно получить при нулевых начальных условиях изображение по Лапласу уравнений со-стояния:

.)()()(,)()()( suDsxCsysuBsxAsxs +=+=

64

В результате изображения по Лапласу выходных координат, передаточной функции или передаточной матрицы объекта или системы )(sW (в зависимости от числа выходных координат) определяются с помощью резольвенты матрицы A следующими равенствами:

( ) ,)(,)()()( 1 DBAsECsWsusWsy n +−== −

где резольвента матрицы А вычисляется на основе леммы (2.2.2). Установим связи между изображениями входа и выхода,

вытекающие из модели объекта или системы типа свертки (2.29). Лемма 2.5.1. Если функции f1 (t) и f2 (t) – оригиналы, а их

изображения по Лапласу есть соответственно F1 (s) и F2 (s), то

[ ] .)()()()( 2120

121 sFsFdftfLffLt

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ −=∗ τττ

Применяя преобразование Лапласа к равенству (2.30), вычис-лив преобразование Лапласа свертки в правой части (2.30), с помощью леммы 2.5.1, можно получить

[ ] )()()()(0

susWdutwLuwLt

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ −=∗ τττ . (2.40)

Из (2.40) следует, что преобразование Лапласа для импульсной переходной функции (матрицы) объекта или системы определя-ет передаточные функции (матрицы) объекта или системы. Справедливы обратные преобразования, задающие равенства:

[ ] [ ] ).()(),()( 1 twsWLsWtwL == −

Приведенные результаты позволяют сформулировать сле-


65

дующее утверждение. Утверждение 2.5.1. Прямое преобразование Лапласа им-

пульсной переходной функции (матрицы) есть передаточная функция (матрица), а обратное преобразование Лапласа передаточной функции (матрицы) определяет импульсные переходные функции (матрицы) объекта или системы.

Пример 2.5.1. Найти передаточную функцию (ПФ) ЭЭО как объекта управления на основе использования его ИПФ, получен-ной ранее. Тогда равенство

[ ]23

6)](6[)()( 22

1++

=−== −−

sseeLtwLsW tt

определяет предаточную функцию, вычисленную как прямое преобразование Лапласа импульсной переходной функции объек-та или системы управления.

2.6. Передаточные функции и матрицы

дискретных объектов и систем Дискретные системы оперируют с дискретными данными,

представляющими собой сеточные функции как функции дис-кретного аргумента. Для описания процессов в дискретных объ-ектах и системах управления используются решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа.

2.6.1. Прямое и обратное дискретные преобразования Лапласа. Исследование дискретных объектов и САУ может быть основано на применении дискретного преобразования Лапласа к решетчатым функциям, описывающим дискретные сигналы, и к разностным уравнениям объектов или систем управления.

Определение 2.6.1. Для решетчатой функции tf дискрет-

66

ное преобразование Лапласа определяется соотношением:

,,)(*][0

ωσ jqtfqteqftfDL

t+=∑

∞ −===

(2.41)

причем )(* qf – изображение функции tf ограниченного роста:

0 ; 0 при 0tt tf Me f tσ< = < .

Определение 2.6.2. Z -изображение решетчатой функции

tf определяется равенством

[ ] ( )*

0, гдеt q

t tt

Z f f z z f z e∞

−

== = =∑ .

Формулы обращения связывают оригинал и изображение:

0

0

*1 ( ) , 0;2

jqt

tj

f f q e dq tj

σ π

σ ππ

+

−

= ≥∫ ,)(2

1 1* dzzzfj

fC

tt ∫ −=

π

причем интегрирование в последнем равенстве производится по окружности C радиуса 0R eσ= .

Рассмотрим свойства дискретного преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности определяется соотношением:

[ ] [ ] [ ]tttt gDLfDLgfDL βαβα +=+ ,

где βα , – числа; tt gf , – функции-оригиналы. 2. Свойство сдвига, определяемое изображением функций

при сдвиге аргумента в прямом направлении. а) Пусть ][)(*

tfDLqf = . Тогда имеет место равенство:

])([][1

0

*r

k

r

qrqkkt feqfefDL ∑−=

−

=

−+ .


67

Если начальные значения функции

0110 ==== −kfff , (2.42)

то ])(*[][ qfqkektfDL =+ .

б) Свойства сдвига аргумента в обратном направлении. Если ][)(*

tfDLqf = , то имеет место соотношение

[ ] ( )*

1

kqk qr

t k rr

DL f e f q e f−− −

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ .

При выполнении условий

( 1) 1 0,k kf f f− − − −= = = = (2.43)

можно получить равенство: [ ] ( )*qkt kDL f e f q−− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

Следствие (теорема сдвига). Если выполняются условия (2.42) (или (2.43)), то смещению независимой переменной ориги-нала на k± соответствует умножение изображения на qke± .

3. Изображение свертки двух оригиналов решетчатых функций равно произведению их изображений:

)()( **

00qgqfgfDLgfDL

t

rrtr

t

rrrt ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ ∑∑

=−

=− .

4. Предельные значения оригинала, если они существуют, определяются выражениями

)(*)1(lim0 qfqeq

f ⋅−−∞→

= , )(*)1(0

lim qfqeq

f ⋅−→

=∞ .

Дискретные преобразования Лапласа ( DL -изображения) наи-

68

более распространенных типовых решетчатых функций приведе-ны в табл. 2.2.

Таблица 2.2

tf ][ tfDL tf ][ tfDL

1 1−qe

qe ta aqe

qe

−

t 2)1( −qe

qe tfΔ )()1( * qfqe ⋅−

2t 2)1(

)1(

−

+qe

qeqe tfkΔ )()1( * qfkqe ⋅−

Данные этой таблицы позволяют аналитически исследовать динамику линейных дискретных объектов и систем автоматиче-ского управления с применением дискретного преобразования Лапласа.

2.6.2. Передаточные функции и матрицы линейных дис-кретных объектов и систем управления. Найдем взаимосвязь DL -изображений выходного и входного сигналов, если модель объекта в операторной форме определяется соотношением (2.9):

tggtgttggtgt uBuBuByAyAyA +++=+++ −++−++ ...... 110110 , (2.44)

где rt

mt RuRy ∈∈ , – векторы выходных и входных переменных,

вычисленные в дискретные моменты времени; mmj RA ×∈ ,

rmj RB ×∈ – числовые матрицы. Применив к левой и правой части

(2.44) DL-преобразование при нулевых начальных условиях вида


69

(2.42) для переменных ty и tu , получим уравнение

)()(

)()(

*1

)1(10

*1

)1(10

quBeBeBeB

qyAeAeAeA

gq

ggqqg

gq

ggqqg

⋅++++=

=⋅++++

−−

−−

или )()()()( ** quqBqyqA = ,

где )(qA и )(qB определяются следующими равенствами:

gq

ggqgq AeAeAeAqA ++++= −−

1)1(

10)( ,

gq

ggqgq BeBeBeBqB ++++= −−

1)1(

10)(

В результате можно получить изображение уравнений дис-кретных объектов и систем в виде

)()()( *** quqWqy = , (2.45)

где [ ] )()()( 1* qBqAqW −= - передаточная матрица (функция) дис-кретных объектов или систем.

Определение 2.6.3. Функция )(* qW в (2.45), связывающая при нулевых начальных условиях дискретные изображения по Лапласу выходных и входных переменных, называется переда-точной функцией (матрицей) дискретного объекта или сис-темы.

Переходя к Z -изображению в уравнении (2.44), получим уравнение для изображений

)()()( *** zuzWzy = ,

где )(),( ** zuzy – Z-изображения выхода и входа;

70

[ ] )()()( 1* zBzAzW −= – передаточная функция дискретной систе-мы при использовании Z -преобразования.

Вычислив Z -преобразование уравнения состояний объекта или системы (2.11) при нулевых начальных условиях, получим

)()()(,)()()( ****** zDuzCxzyzBuzAxzxz +=+= .

Исключение )(* zx из последнего уравнения, определяет соотно-шения

)()()( *** zuzWzy = , DBAzECzW n +−= −1* )()( ,

где )(* zW – передаточная функция дискретноых объекта или системы при использовании Z - преобразований.

2.6.3. Передаточные функции и матрицы импульсных объектов и систем. Объекты и САУ, в которых применяется им-пульсная модуляция сигналов, будем называть импульсными системами автоматического управления. Ограничимся рассмот-рением амплитудно-импульсной модуляции, при которой не-прерывный сигнал )(tf заменяется последовательностью им-пульсов, следующих друг за другом с постоянным интервалом времени T (рис. 2.5). Амплитуды импульсов пропорциональны

Рис. 2.5. К амплитудно-импульсной модуляции сигналов

t0 T кТ

f(t)


71

или равны значениям сигнала )(tf в дискретные моменты време-ни kTt = .

Модели импульсных элементов. Системы управления с ЭВМ используют информацию и формируют управления в рав-ноотстоящие моменты времени. При этом используется ряд мо-делей импульсных элементов (ИЭ).

Пусть )(te – функция, описывающая форму одиночного импульса, амплитуда которого равна единице. Тогда сигнал

)(~ tf , получаемый в результате амплитудно-импульсной моду-ляции сигнала )(tf , определится равенствами:

+−⋅+−⋅+⋅= )2()2()()()()0()(~ TteTfTteTfteftf ,

∑∞

⋅−==0

)()()(~k

kTfkTtetf . (2.46)

Реальный импульсный элемент (ИЭ), описываемый уравнением (2.46), представлен на рис.2.6 последовательным соединением простейшего ИЭ и формирующего элемента (ФЭ).

1. Простейший импульсный элемент, отмеченный знаком ⊥ , модулирует сигнал )(tu последовательностью δ -функций:

∑∞

⋅−==0

* )()()(k

kTukTttu δ . (2.47)

Рис. 2.6. Схема простейшего импульсного элемента

ФЭ

)(* tu)(~ tu

ИЭ

)(tu

72

Простейший ИЭ будем называть квантователем первого типа. 2. Квантователи с фиксатором. Формирующий элемент

(ФЭ) преобразует δ -импульсы в импульсы заданной формы e(t), а выходной сигнал ИЭ имеет вид (2.46):

∑∞

=⋅−=

0)()()(~

kkTukTtetu .

Рассмотрим часто используемый на практике вариант, при котором сигнал на выходе ФЭ является кусочно-постоянным. Импульсная переходная функция ФЭ определяется равенством:

)(1)(1)( Tttte −−= , а выходной сигнал – суммой единичных функций различного аргумента:

[ ] )())1((1)(1)(~0

kTuTktkTttuk

⋅∑∞

+−−−==

.

Вид сигналов ИЭ представлен на рис. 2.7. Совокупность про-стейшего ИЭ и ФЭ данного типа называют квантователем второго порядка (квантователем с фиксатором).

Установим связь между обычным преобразованием Лапласа и дискретным преобразованием для решетчатой функции (2.47). При нулевых начальных условиях справедливо равенство:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

00

0 00.

st

k

st kTs

k k

L u t u s u kT t kT e dt

u kT t kT e dt u kT e

δ

δ

∞ ∞−

=

∞∞ ∞− −

= =

⎡ ⎤ = = ⋅ − ⋅ =⎣ ⎦

= − =

∑∫

∑ ∑∫

Если в полученное выражение подставить Tsq = и )(kTuuk = , то окажется, что изображение по Лапласу функции, промодулиро-


73

ванной δ -импульсами, совпадает с дискретным преобразованием решетчатой функции ku : ][)]([ *

kuDLtuL = .

Рис. 2.7. Сигналы с квантованием второго порядка

Изображение выходного сигнала импульсного элемента оп-

ределяется равенством:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

00

0 00

1 1 1

1[1 1 1 ] .

st

k

sTst kTs

k k

u s u kT t kT t k T e dt

eu kT t kT t k T e dt u kT es

∞ ∞−

=

∞ −∞ ∞− −

= =

⎡ ⎤= ⋅ − − − + ⋅ =⎣ ⎦

−= − − − + ⋅ = ⋅

∑∫

∑ ∑∫

Передаточная функция фиксатора определяется равенством:

2T 3T 4T t

)(* tu

0 T 2T 3T 4T t

)(~ tu

0 T

)(tu

74

)1(11)()(~

)( 1*

−−

−=−

== zss

esususW

sT

ф , sTez = .

Обычно импульсная модуляция в системах управления осу-ществляется управляющим устройством. Структурная схема ра-зомкнутой импульсной системы (с квантованием по времени) представлена на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Структурная схема импульсной системы

Схема содержит ИЭ, линейную дискретную часть, отмеченную передаточной функцией )(* zWд , и линейную непрерывную часть с передаточной функцией ( )нW s . Сигналы импульсной системы имеют двойственный характер. С одной стороны, импульсным элементом осуществляется преобразование непрерывного вход-ного сигнала в моменты квантования kT в дискретный сигнал. Преобразование дискретного сигнала, определяемое передаточ-ной функцией )(* zWд , должно учитывать часть передаточной

функции фиксатора, задаваемой множителем )1( 1−− z . Другую часть передаточной функции фиксатора, соответствующую мно-

жителю s1 , можно учесть в передаточной функции непрерывной

части системы )(sWн . Если рассматривать все сигналы разомкну-той системы только в моменты квантования, то выходной сигнал

ИЭ

)(* zдW

)(sнW

y(t)u(t


75

)(kTyyk = можно определить как результат преобразования дис-кретного входного сигнала ku системой с эквивалентной переда-точной функцией

[ ])()(*)(* sнWZzдWzэквW ⋅= .

Процесс перевода передаточной функции аргумента s в пе-

редаточную функцию аргумента z )]([)(* sнWZzнW = должен быть

выполнен так, чтобы импульсная переходная функция, соответ-

ствующая дискретной передаточной функции )(* zнW , совпадала

со значениями импульсной переходной функции непрерывной части системы )(sWн в моменты квантования сигнала kTt = . Процедура этого преобразования может быть выполнена сле-дующим образом:

1). По передаточной функции )(sWн определяется импульс-ная переходная функция )(tw ;

2). Вычисляется решетчатая функция )(kTwwk = ; 3). Строится Z-изображение kw и вычисляется требуемое

преобразование ][)]([ kн wZsWZ = .

2.7. Частотные характеристики непрерывных объектов и систем

Частотные характеристики описывают свойства объектов

или систем управления в функции от одного параметра – часто-ты. Частотные характеристики – это однопараметрическое семей-ство комплексных чисел, когда параметр – частота.

2.7.1. Постановка задачи. Пусть объект или система управ-ления описываются линейными скалярными или векторными

76

уравнениями «вход–выход»:

( ) ( ) ( ) ( )tupBtypA = , (2.48) или уравнениями в пространстве состояний

0)0(),()()(),()()( xxtuDtCxtytuBtxAtx =+=+= . (2.49)

Требуется построить модели, связывающие реакции на входе и выходе объекта или системы при гармонических входных воз-действиях, на основе преобразования Фурье линейных моделей и обобщенных функций, изучаемых в функциональном анализе.

2.7.2. Прямое и обратное преобразования Фурье. Рас-смотрим определения и свойства преобразований.

Определение 2.7.1. Если кусочно-непрерывная функция )(tg определена для ),( ∞−∞∈t и абсолютно интегрируемая, т.е.

выполнено условие

∫∞

∞−

∞<= Mdttg )( . (2.50)

Тогда существует прямое преобразование (изображение) Фурье этой функции, определяемое соотношением:

∫∞

∞−

−⋅== dttjetgjGtgF ωω )()()]([ . (2.51)

Обратное преобразование Фурье (формула интеграла Фу-рье) имеет вид:

∫∞

∞−⋅=− ωωω

πω dtjejGjGF )(

21)]([1 . (2.52)


77

Прямое преобразование Фурье преобразует функцию аргу-мента t в функцию комплексного аргумента jω. Изображение по Фурье )]([)( tfFjG =ω функции )(tf характеризует спектраль-ный состав функции и его называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции )(tf .

Преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа при s = jω, то для отыскания изображений по Фурье уравнений или координат объекта и сис-темы можно воспользоваться данными таблицы изображений по Лапласу, если )(tg отвечает требованиям к прообразам Фурье-изображений.

Использование свойств δ -функции Дирака позволяет найти спектральную характеристику для некоторых функций, не удов-летворяющих требованию абсолютной интегрируемости. Рас-смотрим Фурье-преобразования некоторых наиболее распростра-ненных функий, используемых в теории управления:

1). ),cos()( 11 tAtf ω=

.)]()([)]cos([)( 11111 ωωδωωδπωω ++−== AtAFjf

В справедливости последнего соотношения можно убедиться, выполнив обратное преобразование Фурье в силу (2.52) и фильт-рующих свойств δ -функций П. Дирака. В результате можно по-лучить равенство

.)cos(2

)(21

)(21))]()(([

1111

111

111111

∫ =+

=++

∫ +−=++−

∞

∞−

−

∞

∞−

tAeeAdeA

deAAF

tjtjtj

tj-

ωωωωδππ

ωωωδππ

ωωδωωδπ

ωωω

ω

78

2). .)]()([)]sin([Α 111

11 ωωδωωδπτω +−−Α

=j

F

3). .)(1)](1[ ωδπω+=

jtF

Соотношения 2) и 3) доказываются аналогично доказательству соотношения 1).

2.7.3. Частотные характеристики непрерывных объектов и систем. Перейдем к анализу реакций непрерывных объектов или систем управления на гармонические воздействия. Следует отметить, что частотные характеристики имеют реальный смысл только для устойчивых объектов и систем.

Рассмотрим реакцию объекта на гармоническое входное воздействие, которое воздействует на вход бесконечно долго. То-гда связи Фурье-изображений входа и выхода для полиномиаль-ных моделей «вход-выход» определяются соотношениями:

)(]...)()([

)(]...)()([

110

110

ωωω

ωωω

juBjBjB

jyAjAjA

ggg

ggg

+++=

=+++

−

−

,

где )( ωju , )( ωjy – изображения входов и выходных координат. Тогда Фурье-изображение выходных координат имеет вид:

)()()( ωωω jujWjy = , (2.53)

где )()]([)( 1 ωωω jBjAjW −= – комплексная частотная харак-теристика (матрица) объекта или системы управления.

Определение 2.7.2. Матрицей частотных характери-стик называется матрица )( ωjW в равенстве типа (2.53), связы-вающем Фурье-преобразования векторов входного и выходного сигналов объекта или системы управления.


79

Если вход и выход объекта – скалярные функции, то частот-ная характеристика объекта определяется дробно-рациональной функцией комплексного аргумента, которую можно рассматри-вать как однопараметрическое семейство комплексных функций:

)(arg)()()(

)()()( 1

10

110 ωω

ωω

ωωω jWjejW

ajaja

bjbjbjW

ggg

ggg

⋅=+++

+++= −

−

.

Отношение Фурье-изображений входных и выходных сигналов определяет частотную характеристику, определяющую изме-нение модуля и фазы выходного сигнала (как функцию часто-ты) относительно входного сигнала. Пусть входной сигнал яв-ляется гармонической функцией )sin()( 11 tAtu ω= , а его Фурье-изображение имеет вид

)]()([)()]([ 111 ωωδωωδπω +−−==

jAjutuF .

Полученные соотношения определяют реакцию объекта на входное воздействие, которое представляется в форме:

),()(arg)()()]([ ωωωω jujWjejWjytyF ==

=−

=

=∫ +−−=

==

+−+

∞

∞−

−

jeejWA

dejAejW

jyFy(t)

jWtjjWtj

tjjWj

2)(

)]()([)(21

)]([

))1(arg1())1(arg1(

11

111)(arg

1

ωωωω

ωω

ω

ωωωδωωδπωπ

ω

80

.))(argsin()( 1111 ωωω jWtjWA +=

Полученное выражение позволяет сформулировать сле-дующее утверждение.

Утверждение 2.7.1. Если объект или система управления являются устойчивыми, то установившаяся реакция на гармони-ческое воздействие частоты 1ω является гармонической функцией этой с амплитудой )( 1ωjWвхAвыхA = и относительным сдвигом

фаз: )(arg 1ωjW=Ψ . Таким образом, если входное воздействие )sin()( 1tвхAtu ω= ,

то выходная переменная определяется функцией )sin()()( 11 Ψ+= tjWвхAty ωω , где )( 1ωΨ=Ψ - фазочастотная

функция, зависящая от частоты 1ω . Учитывая свойство зависимо-сти о частоты амплитудной и фазовой частотных характеристик, на практике используются амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазочастотная характеристики (ФЧХ), которые опреде-ляются равенствами:

,)()(

)( ωω

ω jWвхA

выхAA == ),0[,)(arg)( ∞∈=Ψ ωωω jW .

При фиксированном значении ω величина, определяемая функцией W(jω), отображается точкой на комплексной плоско-сти. Зависимость комплексного числа (матрицы) W(jω) при изме-нении ω от 0 до ∞, называют годографом частотной характе-ристики или амплитудно-фазовой частотной характеристи-кой (АФЧХ) или соответствующих матриц.

На практике используются также: логарифмическая ам-плитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) объекта или системы:


81

)(lg20)L( ωω A= ,

логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ):

)(arg)( ωω jW=Ψ ,

которые строятся в функции аргумента-частоты в логарифмиче-ском масштабе по оси ординат и оси абсцисс.

Частотные характеристики используются при анализе и син-тезе линейных и нелинейных объектов и систем управления.

2.7.4. Связь между частотными и временными характе-ристиками. Пусть линейные объект или система управления описываются частотной характеристикой W(jω), и в момент t=0 на входе системы имеется воздействие в виде δ-функции, т.е.

)()( ttu δ= . Как было показано в п. 2.4.1, реакция y(t) на импульс-ное воздействие есть импульсная переходная функция w(t). Вы-числим ее спектральную характеристику, применив Фурье-преобразование импульсной функции:

)()]([)(]|)([)]([ )()( ωδωδ jWtFjWtyFtwF ttu === = ,

поскольку 1)]([ =tF δ . Следовательно, комплексная частотная характеристика (матрица) является спектральной характе-ристикой импульсной переходной функции.

Справедливо обратное преобразование Фурье, опреде-ляющее связь между импульсной переходной функцией (мат-рицей) и передаточной функцией (матрицей):

∫∞

∞−== ωωω

πω dtjejWjWFtw - )(

21)]([)( 1 .

Комплексная частотная характеристика позволяет вычислить пе-

82

реходную функцию – реакцию системы на единичное входное воздействие. Спектральная характеристика как Фурье-преобразование переходной функции определяется равенством:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )(1)()]([ ωδπ

ωω

jjWthF ,

или

0,0)(;0

)()(1)( <=−∫∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ tthdttjeth

jjW ωωδπ

ωω .

Представим переходную функцию h(t) как реакцию объекта или системы на единичное ступенчатое воздействие с помощью об-ратного Фурье-преобразования:

.0,)(1)(21)( >∫

∞

∞−ωω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωδπ+

ωω

π= tdtje

jjWth

Известно, что умножение спектральной характеристики на jω эк-вивалентно дифференцированию по времени оригинала во вре-менной области. Поэтому справедливо следующее дифференци-альное соотношение

[ ]

.)()(2

)(21

)(1)(21)(

∫∞

∞−+∫

∞

∞−=

=∫∞

∞−+=

ωωωδωωωωωπ

ωωωδωπωπ

dtjejWjdtjejW

dtjejjWdt

thd

В силу «фильтрующего свойства δ-функции» второе слагаемое в последнем равенстве равно нулю. В результате справедливо ра-венство:


83

∫∞

∞−= ωωω

πdtjejW

dtthd )(

21)( .

Следовательно, можно утверждать, что справедливо равен-

ство: dttdhtw )()( = , т.е. импульсная переходная функция является

производной по времени переходной функции как реакции объ-екта или системы управления на единичное входное воздействие.

Таким образом, импульсная переходная функция есть производная по времени от переходной функции, определяю-щей реакцию системы на единичное воздействие в виде функции Хевисайда.

2.8. Дискретное преобразование Фурье и частотные характеристики дискретных объектов и систем

Введем в рассмотрение частотные характеристики дискрет-

ных объектов и систем управления с учетом квантования по вре-мени, также характеризующие свойства объектов в зависимости от одного параметра – частоты.

2.8.1. Постановка задачи. Пусть объект или система управления описываются уравнениями (2.44). Требуется сформу-лировать характеристики объектов и систем для анализа реакции на периодические воздействия с помощью дискретного преобра-зования Фурье для решетчатых функций.

2.8.2. Прямое и обратное дискретные преобразования Фурье. На основе «дискретного» преобразования Лапласа введем дискретное преобразование Фурье.

Определение 2.8.1. Прямое дискретное преобразование Фурье для решетчатых функций следует из равенства (2.41) при ωjq = :

84

*

0[ ] ( ) ,j k

k kk

DF f f j e fωω∞

−

=

= =∑ (2.50)

где )(kTfkf = – дискретная функция (k = 0, 1, 2, ...); T – период

квантования; T⋅= ωω – относительная частота. Определение 2.8.2. Обратное дискретное преобразование

Фурье имеет вид:

∫−

=π

πωωω

π.)(

21 * dkjejfkf

«Дискретные» Фурье-преобразования сигналов можно по-лучить из табл. 2.2, положив ωjq = , поскольку это преобразова-ние является частным случаем дискретного преобразования Лап-ласа.

2.8.3. Частотные характеристики дискретных объектов и систем. Рассмотрим реакцию линейных дискретных устойчивых объектов и систем автоматического управления на гармоническое входное воздействие

)cos( 11 ϕω += kAuk . (2.55)

Для определения реакции линейной дискретной системы на пе-риодические воздействия расширим класс входных сигналов сис-темы, выбрав в качестве входного воздействия функциюследую-щего вида:

)1(1

ϕω += kjk eAf . (2.56)

Очевидно, что это воздействие содержит воздействие вида (2.55), поскольку )(cosRe 11 ϕω += kAfk .

Дискретное изображение Фурье (DF-изображение) решет-


85

чатой функции типа (2.56) можно представить в силу определе-ния данного изображения в следующей форме:

1 1

1 1

1

( ) ( )1 1

0

( ) 11 1

0

11

[ ] [ ]

(1 )

( ) .

j k j k qkk

k

q j k q jj j

k

jj q q

DF f DF A e A e e

A e e A e e

A e e e e

ω ϕ ω ϕ

ω ωϕ ϕ

ωϕ

∞+ + −

=

∞− + − + −

=

−

= = = =

= = − =

= −

∑

∑

Для определения реакции воспользуемся моделью объекта или системы управления в виде дискретной передаточной функ-ции )(/)()( *** qQqPqW = .

Дискретные Фурье-преобразования решетчатых функций определятся путем применения обратного преобразования Фурье к исходным изображениям. Оригиналы сигналов на выходе объ-екта или системы определяются на основе теории вычетов теории функции комплексной переменной:

=∫− −

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==

π

πωω

ωπ

ϕ

ω

ϕω

dkjejeqe

qeqWjeA

jeqe

qejeAqW-DFjy-DFyk

1

1

11

*1*1

)(*2

)()]([

∑=

=−

−=

lqq

kqejeqe

qeqWsjeA0

|)1()(*Re1

1υ υω

ϕ ,

причем вычеты берутся в полюсах lqqq ...,,, 21 передаточной функции и в точке 10 ωjq = , определяемой входным сигналом

86

(2.56). Пусть )(* qW не имеет полюсов на мнимой оси. Рассмот-рим эти вычеты. Вычет функции в точке 0q равен:

.)()()(lim

|)(Re

11

*

1

1*

1

11

*

kjejWjeqe

jeqeqkeqW

jqjeqe

qkeqWs

jq

ωωω

ω

ωω

ω=

−

−=

==−

→

При вычислении вычетов в точках lqqq ,,, 21 надо учесть, что полюсы могут быть простыми и кратными. Вычет в простом полюсе функции )(* qW определяется следующим равенством:

( ) ( )( )

( )( )( )

1 1

1

* *

*

*

Re lim

.

qqk qqk

q=qj jq qq q

q k

q j

e e ees W q W qe e e e

P q e

Q q e e

υ

υ υ

υ

υ

ω ω

υω

υ

→

−= =

− −

=−

Вычет в полюсе υq кратности υr описывается соотношением:

( )

( ) ( )( )

( )

1

1

*

1*

1

Re

1 lim .1 !

qk

q=qjq

rqqk qr

r jqq q q

es W qe e

e e ed W qr e ed e

υ

υυυ

υυ

ω

ωυ

−

−→

=−

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦


87

Суммируя вычеты по всем полюсам, можно записать реакцию дискретной системы управления на воздействие типа (2.56):

.)!1(!

)()(

1

)(1

011

1*)1(

1

∑−−

∑+

+==

=

−−

=−−

+

k ikqir

iir

j

kjk

iriekCeA

jWeAkTyy

υ υ

υϕ

ϕω

υυ

υ

ω

(2.57)

Если все полюсы простые, то оригинал определяется равенством:

∑+==

+ k kqjkjk eCeAjWeAy

1.1011

)1(1 )()(*

υυυϕϕω ωω (2.58)

Поскольку действительные части полюсов υq отрицательны, что связано с предположением устойчивости объектов, то с течением времени вторые слагаемые (2.57), (2.58) стремятся к нулю, а пер-вые слагаемые характеризуют установившийся процесс:

)(*)1

(1

1 ωϕω jWeAy kjk

+= .

Для исследования реакции объекта или системы на воздей-ствие (2.55) требуется выделить вещественную часть сигнала ky :

))(*arg(cos)(*Re 1111 ωϕωω jWkjWAyy kk ++== .

Определение 2.8.3. Функция )(*arg* )(*)( ωωω jWjejWjW =

называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) дискретной системы с квантованием по времени. Мо-дуль АФЧХ определяет изменение амплитуды входного сигнала, а аргумент – фазу выходного сигнала относительно входного сигнала.

88 Дискретные системы имеют периодические частотные

характеристики с периодом 2π, поскольку )2()( ** πωω += jWjW . Поэтому при использовании амплитуд-

но-фазовой частотной характеристики рассматривают ее значе-ния только в интервале ]2,0[ πω ∈ . В терминах частотных харак-теристик линейных дискретных объектов или систем управления далее будут формулироваться критерии устойчивости.

2.9. Нелинейные математические модели объектов и систем с сосредоточенными параметрами

Нелинейные математические модели описывают широкие классы объектов и систем с сосредоточенными параметрами. Не-линейные модели весьма разнообразны, однако в теории управ-ления часто используются кусочно-линейные дифференциальные или разностные уравнения состояния объектов и систем. Эти мо-дели представляются обыкновенными кусочно-линейными диф-ференциальными или разностными уравнениями для объектов (систем) с сосредоточенными параметрами и типовыми звеньями.

2.9.1. Операторы типовых кусочно-линейных звеньев. Конструктивной формой описания таких звеньев являются ку-сочно-линейные операторы. Эти операторы позволяют описать типовые нелинейности (табл. 2.3), которые можно определить на классах функций непрерывного и дискретного времени.

Определение 2.9.1. Кусочно-линейные непрерывные опера-торы определяются равенством

1

100 ,,)( Rzqzzzbzq

p

iii ∈−++== ∑

=ααϕ . (2.59.а)

а разрывные операторы представляются в форме

10 0

1

( ) | | /( ), , .p

i i ii

q z z z z z z q z Rψ γ β β=

= = + + − − ∈∑ (2.59.б)


89

Важные следствия и обобщения (2.59), данные в табл. 2.3, определяют статические и динамические типовые нелинейные звенья, включая «звенья с памятью». К последним нелинейным звеньям относятся звенья типа «гистерезис», «люфт», которые описываются интегро-алгебраическими или эквивалентными

Таблица 2.3

Характери-стика нели-нейного звена

Предикатное описание

нелинейного звена

Описание звена нелинейным оператором

⎩⎨⎧

>−<

=azazk

az),(

,0ϕ

0,0,/ <>−= baabk

2/|)|()(

azazkzq

−++−==ϕ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<=

21

21

12

,,

,

azbazakz

azbϕ

)/()( 1221 aabbk −−=

2/)|||(|)(

212

12

aaazazkbzq

+−−−−−+==ϕ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤≤−

<<≤≤−

<

=

41

433

32

212

12

,),(

,0),(,

azbazaazk

azaazaazk

azb

ϕ

)/()/(

341

122

aabaabk

−==−=

2/)||

|||||(|)(

4

3214

32

12

aaaaaz

azazazkbzq

++−+−−−

−−+−−−−+==ϕ

90





ii nizf ,...,2,1)),(max( ==ϕ

ni

zfmmzf

mzfzq

ii

,...,2

)),)((max2/|))(|))(()(

1

1

=

=−+

++==ϕ

nizfii

,...,2,1)),((min ==ϕ

ni

zfmmzf

mzfzq

ii

,...,2

)),((min,2/|))(|)(()(

1

1

=

=−−

−+==ϕ

⎩⎨⎧

<−>

=0,

0,zb

zbϕ

=== )/|(|)( zzbzq ϕ

b= )(zsign

PP

PP

aza

hb

<<

+=

−

∑

1

0 ,ϕ

slaaazazhbzq

Sl

r

P P

PP

>>

−−

+== ∑=

,

,||)(1

0ϕ

Сложное

описание )1||(||

2

)1||(||2

)(

+−

++

+

++−−

==

•

•

•

•

z

zazazb

z

zazazbzq ϕ


91





Сложное

описание

2/)1||(

,,

,|)||(|21

|)||(|21

)(

+±=

+=−=

−−++

+−−+=

==

•

•±

−

+

z

zs

azazu

sbb

sbubu

zq

ω

ωω

ϕ

Сложное

описание

1

,2/|)||(|

)(,)](

)([)0()(

|12

10

1

>>

+−−+=

=−

−+= ∫

М

azazz

zdqk

zkМqtqt

ϕττ

τϕ

Сложное

описание

1

,2/|)||(|

)(

,2/|)||(|

)(

,)]()([

)0()()),(()(

2

1

021

1

2

>>

−−+=

=

+−−+=

=

−+

+==

∫

М

bpbp

p

aqaqq

q

dzkpkМ

ptptptq

t

ϕ

ϕ

τττϕ

ϕ

92

дифференциально-алгебраическими операторами (операторы 11, 12, табл. 2.3). Приведенные описания звеньев позволяют сформу-лировать модели объектов и систем с типовыми нелинейностями.

2.9.2. Кусочно-линейные дифференциальные и разност-ные уравнения объектов и систем управления. Канонические формы кусочно-линейных дифференциальных систем, учиты-вающих типовые звенья, можно сформулировать различным об-разом. Одна из таких канонических форм имеет вид:

),()(,)0(),()( 0 uDxCyxxuBxAx Ψ+Ψ==Φ+Φ= (2.60.а)

где mn RuRx ∈∈ , – векторы состояний и управления; lRy∈ –

вектор выходных координат; ,nnRA ×∈ ,mnRB ×∈ nlRC ×∈ и mlRD ×∈ – матрицы параметров. Координатные функции уравне-

ний (2.60.а) определяются равенствами:

Tmm

jj

Tnn

ii

uuuu

xxxx

))(,...),(,...),(()(

,))(,...),(,...),(()(

11

11

ϕϕϕ

ϕϕϕ

=Φ

=Φ

и формируются с помощью операторов (2.59) и операторами табл. 2.3. Форма (2.60.а) включает системы с интегральными опе-раторами, которые представлены в дифференциальной форме.

Кусочно-линейные разностные уравнения объектов и сис-тем формулируются следующим образом:

)()(,),()( 001 tttttt uDxCyxxuBxAx Ψ+Ψ==Φ+Φ=+ . (2.60.б)

Уравнения (2.60.а) и (2.60.б) включают уравнения в форме А. И. Лурье (когда первый оператор в системах – тождествен-ный), используемые в задачах абсолютной устойчивости:


93

.),(, xcBAxx T==+= σσϕξξ (2.61.а)

Соответствующие системе (2.61.а) кусочно-линейные разно-стные уравнения для дискретных объектов или систем имеют следующий вид:

,),(,1 tT

tttttt xcBAxx ==+=+ σσϕξξ (2.61.б)

где нелинейные функции )(σϕ удовлетворяют «секторным усло-

виям:» 2)(0 σσϕσ k≤≤ . Эти условия характеризуют широкие классы нелинейностей – звенья, описываемые операторами типо-вых нелинейностей, разрывные и гладкие статические характери-стики нелинейности, принадлежащие «сектору (0, k)». Пример статических «секторных нелинейностей» приведен на рис.2.9. Секторные условия описывают широкий класс нелинейностей гладкого и негладкого типа.

Рис. 2.9. К характеристике «секторных нелинейностей» Рассмотренные кусочно-линейные дифференциальные и

разностные уравнения не охватывают общие классы моделей не-линейных объектов и систем управления. Поэтому на практике используются конкретизации моделей, адекватные исследуемым

y = kσ

ξ ξ=φ(σ)

σ

0

94

объектам и системам. 2.9.3. Обобщенные модели объектов и систем управления. С помощью введенных выше операторов можно обобщить ис-ходные нелинейные дифференциальные уравнения объектов и систем (без учета типовых нелинейностей)

),(),,( uxyuxfx Ψ== , (2.62)

где )(),( ⋅Ψ⋅f – вектор-функции аргументов x и u, соответствую-щих координатам состояния и управления. Из теории дифферен-циальных уравнений известно, что решение системы (2.62) суще-ствует и единственно, если правые части удовлетворяют услови-ям непрерывности и условию Липшица.

Определение 2.9.2. Обобщенные нелинейные уравнения, учитывающие наличие нелинейных звеньев, имеют вид:

))(),(()),(),(( uxyuxfx ΦΦΨ=ΦΦ= , (2.63)

где осуществлена суперпозиция координат правой части и опера-торов типовых нелинейностей (см. табл. 2.3).

Определение 2.9.3. Условием Липшица для правой части системы (2.63) называется условие

xxLLxfxf f ′′−′≤⋅′′Φ−⋅′Φ Φ)),(()),(( ,

где fL и ΦL – константы Липшица для функций )(⋅f и )(⋅Φ .

Условие Липшица представляет собой условие типа непрерывно-сти, и позволяет оценить норму разности образов с помощью нормы разности прообразов. При этом «постоянная Липшица» является параметром такой широко используемой оценки.

Утверждение 2.9.1. Если операторы и правые части диффе-ренциальной системы (2.63) непрерывны и удовлетворяют усло-виям Липшица, то ее решение существует и единственно. По-


95

следний факт изучен в теории дифференциальных уравнений. Аналогично формируется пара уравнений для дискретных

объектов или систем управления. При этом уравнения без учета операторов типовых нелинейностей записывают как

),(),,(1 tttttt uxyuxfx Ψ==+ , (2.64)

а аналоги непрерывных уравнений (2.63) принимают вид

))(),(()),(),((1 tttttt uxyuxfx ΦΦΨ=ΦΦ=+ . (2.65)

Введенные модели позволяют существенно расширить воз-можности конструктивного описания нелинейных объектов и систем управления. Однако при этом весьма актуальной является классическая задача о погрешности аппроксимации нелиней-ных уравнений кусочно-линейными уравнениями, решения кото-рой доставляет обобщенная теорема сравнений решений по норме. Эта теорема дает ответ на ряд практических вопросов, возникающих при описании объектов и систем, на основе мето-дов функционального анализа.

2.9.3. Численные методы анализа переходных процессов в кусочно-линейных системах. Рассмотрим методы анализа пе-реходных процессов на основе разностных схем, для которых анализируются условия устойчивости, приведенные в теоремах.

Теорема 2.9.1. Пусть выполнены следующие условия: 1. Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид:

01

( ), (0) , 1, ,n

j i ii ij ij

j

x a x x x i nϕ=

= = =∑

где 0)0(,)(,)( =≤= ijj

ijj

ijii

ii xLxxx ϕϕϕ . Исследуется ус-

тойчивость решения 0)( =tx .

96 2. Разностная схема для решения задачи Коши (анализа пе-

реходных процессов в кусочно-линейной системе) представляет-ся разностными уравнениями:

nihaxahxx ii

n

ij

jkijij

ik

ik ,1,)1()( 1

1 =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += −

≠+ ∑ ϕ .

Тогда решение 0* =ix разностной схемы устойчиво при условиии:

. (2.66)

Таким образом, при определенных ограничениях на пара-метры разностная схема устойчива для любого шага h . В некото-рых исследованиях аналогичные условия называются условиями «сверхустойчивости». Имеются другие способы построения раз-ностных схем, обладающих свойством условной устойчивости при любом шаге. Ниже рассматриваются такие разностные схемы решения задачи Коши для кусочно-линейных систем и условия их устойчивости, которые используется для анализа процессов. Рассмотренные разностные схемы могут быть обобщены для ана-лиза процессов при ненулевых входных воздействиях.

Теорема 2.9.2. Пусть выполнены следующие условия: 1. Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид

01

( ), (0) , 1, ,n

j i ii ij ij

j

x a x x x i nϕ=

= = =∑

где iiii xx =)(ϕ , причем j

ijj

ijii xLx ≤= )(,0)0( ϕϕ . Исследуется ус-

тойчивость решения 0)( =tx . 2. Разностная схема для исследуемой кусочно-линейной

дифференциальной системы представлена системой алгебраиче-ских равенств

∑≠=

>><n

ijj

ijijiiii hLaaa1

0,,0


97

∑=

+ ===n

j

jjk

jkijij

ik nixxxHx

1001 ,,1,),(ϕ

где параметры разностной схемы определяются следующими ра-

венствами: , ( 1) / .iia hii ij ii ij iiH e H H a a= = −

Тогда условия устойчивости решения 0=∗x имеют вид:

(2.67)

Как видно из утверждений последних теорем, условия ус-тойчивости для постоянной Липшица 1ijL = включают условия

типа Адамара для матриц исходной кусочно-линейной системы. Рассмотрим устойчивость обобщенных разностных схем. Теорема 2.9.3. Пусть выполнены следующие условия: 1. Задача Коши для кусочно-линейных объектов пред-

ставлена соотношениями для кусочно-линейных уравнений:

0)0(),()( xxuBФxAФx ux =+= .

2. Разностная схема для задачи Коши имеет вид:

[ ]huФxФxx kkkk ),(),(,1 Ψ=+ ,

где [ ])()(()( 21

1

kkk uhBФxФhAxA ++=•Ψ −−−

Φ , причем [ ]•−1Ф -

оператор, обратный для кусочно-линейного оператора )(•Ф ,

координатные функции которого определены функциями – iϕ , а

стационарная точка ∗x разностной схемы единственна и опреде-ляется при условии: ),0[,* ∞∈== kconstuuk , системой кусочно-линейных алгебраических уравнений

[ ] [ ]*1

**2*11

* )()(( zФuhBФxФhAxAФx ux−−− =++= ,

.0,,01

∑=

>><n

jijijiiii hLaaa

98

причем операторы системы и разностной схемы липшицевы:

.][][,][][ '''2

''''''1

''1'1 yyLyФyФzzLzФzФ xx −≤−−≤− −−

Тогда стационарная точка схемы *x устойчива, если выполнены условия:

( )22

111 1

0LA

ALh

−<<

−−

, .1|||| 11 <−AL (2.68)

Доказательство. Рассмотрим цепочку соотношений для

норм элементов x конечномерного пространства nR , в котором

норма определена равенством 1,...,

|| || max | |i

i nx x

== . Тогда можно полу-

чить совокупность оценок норм отклонений решений от стацио-нарного значания:

[ ]

[ ]

.1(

)()(

)(()((

][][

*221

1

*2*1

1

*2*1

21

1

*1*11

*1

xxLAhAL

xФxФhAxxAL

xФhAxAxФhAxAL

zzLzФzФxx

k

xkxk

xkxk

kkk

−⋅+⋅≤

≤−+−⋅≤

≤+−+=

=−≤−≤−

−

−

−−

−−+

Воспользовавшись принципом сжимающих отображений, можно записать условие сжатия для оператора разностной схемы:

1)1( 221

1 <+− LAhAL . Разрешая последнее условие относительно

h, получаем утверждение теоремы. Рассмотренные разностные схемы порождают соответст-


99

вующие процедуры для линейных систем. Эти схемы могут ис-пользоваться при анализе и синтезе в качестве дискретных анало-гов непрерывных линейных и кусочно-линейных дифференци-альных систем, представляющих модели объектов управления.

Таким образом, рассмотренные разностные схемы и мето-дика доказательства устойчивости кусочно-линейных разностных схем позволяет исследовать определенные классы разностных схем для кусочно-линейных дифференциальных уравнений.

2.9.4. Теорема о сравнении решений. При анализе объек-тов (систем) управления возникает классическая проблема срав-нения решений - оценки нормы оценки разности решений исход-ной (нелинейной) системы уравнений и аппроксимирующей (ку-сочно-линейной) системы. Степень отличия решений при ап-проксимации можно оценить на основе традиционных или обоб-щенных теорем сравнения. Обобщенные теоремы сравнения решений используется для оценки нормы отклонений решений в функциональных пространствах. Сущность обобщения состоит в том, что искомая оценка отклонений норм решений двух систем сводится к квадратурам, заданным на решениях линейных (базо-вых) дифференциальных уравнений. При доказательстве обоб-щенной теоремы сравнения будет использована лемма.

Лемма Грoнуола. Пусть 1)( RXf ∈ - непрерывная функция

на интервале 10 ),( RXX ∈ такая, что: 0)( ≥Xf . Кроме этого:

∫+≤≤X

XdfXf

0

)()(0 ξξμλ , где 0,0 >≥ μλ , причем λ и μ - кон-

станты. Тогда имеет место следующая оценка: 0)( XXXf −≤ μλε . Теорема 2.9.4 (обобщенная теорема сравнения решений). Пусть имеются две системы дифференциальных уравнений объ-ектов или систем с непрерывными правыми частями: 1). Исходная нелинейная система:

100

))(),((),(~ UXFUXFX UX ΦΦ==•

,

2). Аппроксимирующая кусочно-линейная система:

)()( uBxAx ux Φ+Φ=•

,

правые части которых удовлетворяют условию Липшица с посто-янной L . Тогда если )(tX - решение первой системы с началь-

ными данными ( ))(, 00 tXt , а )(tx - решение кусочно-линейной системы с такими же начальными данными, то оценка отклоне-ний решений для 0 1[ , ]t t t∈ по норме:

0 11,..., [ , ]|| ( ) || max max | ( ) |ii n t t t

z t z t= ∈

=

имеет вид:

∫ +−−≤

≤−+−≤−

t

t

duByAUyF

tytxtytXtxtX

0

||)()),((~||[

||)()(||||)()(||||)()(||

τττ

(2.69)

∫ −−−Φ+Φ+t

t

ttLux

oeduByAUByA0

||]||)()())((|| τττ

где ( )ty - решение линейной (третьей) системы сравнения

uByAy += с липшицевой правой частью с константой L . Доказательство. Эквивалентные интегральные уравнения

систем, решения которых будут сравниваться между собой: 1). Исходной нелинейной системы:


101

∫+=t

t

dUXFtXtX0

,))(),(()()(~

0 τττ

2). Аппроксимирующей кусочно-линейной системы:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )∫ Φ+Φ+=t

t ux duBxAtxtx0

0 τττ

3). Линейной системы сравнения:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ++=t

tduByAtyty

00 τττ .

Разность решений рассматриваемых дифференциальных систем уравнений в силу соответствующих эквивалентных интегральных уравнений можно представить с помощью вычитания уравнений соотношениями:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .

,~

00

0 0

∫∫

∫ ∫

Φ+Φ−+ +

++−=

= −+−=−

t

t uxt

t

t

t

t

t

d u BxAdB y A

d uByAdU X F

txtytytXt x t X

τ τ τττ τ

τ τττττ

Оценка нормы разности ( ) ( )txtX − , элементарные преобра-зования и аксиома треугольника позволяют определить совокуп-ность оценок для норм разности решений дифференциальных систем:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−≤− tytxtytXtxtX

102

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )∫

∫

+−Φ+Φ+

++−=

t

t ux

t

t

dBuyAuBxA

duByAUXF

0

0,~

τττττ

τττττ

при равенстве начальных условий: ( ) ( ) ( )000 tytxtX == . Добавле-

ние и вычитание вектор-функции ( ) ( )( )ττ uyF ,~ к подынтеграль-

ному выражению первого интеграла и вектор-функции вида ( )( ) ( )( )ττ uByA ux +Φ второго интеграла, учет условия:

( )( ) ( )( )∫∫ ≤t

t

t

tdXfdXf

00

ττττ

и применение аксиомы треугольника для подынтегральных вы-ражений в последних соотношениях приводит к оценке нормы для рассматриваемых отклонений решений сравниваемых урав-нений следующего вида:

.||]))}(())(({))(())((||

||))}(())(({))(())(([||

||]))}()({))(),((||

||))(),((())(),(([||||)()(||

~

~~

τττττ

ττττ

τττττ

ττττ

duФByФAuBФyAФ

uBФyAФuBФxAФ

duByAUyF

UyFUXFtxtX

uxux

t

tuxux

t

t

o

o

−−

−−

+−++

++−++

++−+

+−≤−

∫

∫

После применения условия Липшица для норм в подинтеграль-


103

ных функциях последнего неравенства оценка принимает вид:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0

0

0

0

,

.

tt

tt

tt

tx ut

X t x t L X x d

F y U Ay Bu d

L x y d

AФ y BФ u Ay Bu d

τ τ τ

τ τ τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ τ

− ≤ − +

+ − + +

+ − +

+ + − +

∫

∫

∫

∫

Последнее неравенство можно рассматривать как сумму двух неравенств, которые следуют из рассмотрения полученных интегралов. В результате можно получить оценки нормы откло-нений решений (координат) исходной и кусочно-линейной сис-тем в следующем виде:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫

∫

∫

∫

+−Φ+Φ+

+−≤−

+−+

+−≤−

t

t ux

t

t

t

t

t

t

duByAuByA

dyxLtytx

duByAUyF

dyXLtytX

o

0

0

0

.

,),~

τττττ

τττ

τττττ

τττ

Для каждого из последних неравенств справедлива оценка,

следующая из леммы Гронуола, поскольку

( ) ( ) 01 ≥−= tytXf , ( ) ( ) 02 ≥−= tytxf .

Поэтому применение леммы Гронуола доказывает утвер-ждение обобщенной теоремы сравнения. Применение доказанной

104

теоремы позволяет получить оценки отклонений решенй для раз-личных моделей, используемых при анализе и синтезе и условий функционирования объектов и систем.

2.10. Нелинейные математические модели объектов и систем

c распределенными параметрами Методы анализа процессов в нелинейных объектах и систе-

мах с распределенными параметрами будут рассмотрены на при-мере моделей теплопроводности. Уравнения в частных производ-ных будут представлены кусочно-линейными уравнениями теп-лопроводности, а задача исследования переходных процессов сформулирована как задача Коши или краевая задача.

2.10.1. Кусочно-линейные уравнения теплопроводности и основные задачи. Для процессов с сильными изменениями свойств теплопроводности имеет смысл сформулировать разно-стные схемы для одной из канонических форм уравнений. В этих уравнениях изменение характеристик теплопроводности учиты-вается кусочно-линейными функциями от первых производных температуры по времени так, что уравнения имеют вид

( ) .Tt,x,t,xfx

u)tu( <<<<+

∂

∂=

∂∂ 0102

21Φ (2.70)

Кусочно-линейный оператор от первой производной температу-ры по времени в (2.70) учитывает изменение параметров тепло-проводности как функции скорости изменения температуры. Ес-ли оператор левой части монотонный, то возможны обобщения методики на случай кусочно-линейной правой части уравнения теплопроводности.

Задача Коши для данного уравнения теплопроводности – вычисление его решения при заданных начальных условиях:


105

( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

≤≤=

<<<<+∂

∂=

∂∂

.x,xu,xu

,Tt,x,t,xfxu)

tu(

100

010

0

2

21Φ

(2.71.а)

На основе (2.70) и краевых условий можно сформулировать так-же краевую задачу в прямоугольнике ( )Tt,xD ≤≤≤≤= 010 : найти

непрерывное в области D решение ( )t,xuu = краевой задачи

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

≤≤==

≤≤=

<<<<+∂

∂=

∂∂

.Tt,tut,u,tut,u

,x,xu,xu

,Tt,x,t,xfx

u)tu(

02110

1000

0102

21Φ

(2.71.б)

В уравнениях (2.70), задаче Коши (2.71.а) и краевой задаче (2.71.б) используются кусочно-линейные операторы

1 0 1( ) , , s

p p р kpy z b z z q q q p kα α

== Φ = + + − > >∑ , (2.72)

которые позволяют учесть изменяющиеся свойства среды. 2.10.2. Основное соотношение и разностные схемы. Ос-

новные разностные схемы для одномерных уравнений могут быть сформулировны дискретизацией по времени и пространст-ву. В результате можно получить однопараметрическое семейст-во кусочно-линейных разностных схем для (2.70) и задач (2.71):

jiφ

jiy)σ(j

iyσ)τ

jiyj

iy( +−++=

−+ΛΛΦ 11

11 , (2.73)

106

где jiy - сеточная функция для функции ( , )u x t , причем i - сеточ-

ный аргумент для пространственной координаты x , а j - для времени; - оператор вычисления второй разности температуры по x . На основе (2.73) формулируются разностные схемы с по-мощью исчисления кусочно-линейных операторов.

Явные кусочно-линейные разностные схемы. Для уравне-ний (2.70) из разностной схемы (2.73) при σ = 0 следует кусочно-линейный аналог «четырехточечной» разностной схемы:

jiφ

jiy)

τ

jiyj

iy( +=

−+ΛΦ

11 . (2.74)

Применение к обеим частям (2.74) обратного оператора и преоб-разования определяют явную «четырехточечную» схему:

.)j

iφj

iy(τjiyj

iу +−+=+ ΛΦ 11

1 (2.75)

Из (2.75) следует окончательный вид явной разностной схемы:

,jiφhj

iyjiyj

iyτjiyj

iу⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−

−+=+ 2121

11

1 Φ (2.76)

где ( ) qz =Φ−11 – обратный кусочно-линейный оператор, вычисляе-

мый с применением леммы об обращении кусочно-линейных операторов.

Неявные и частично-неявные кусочно-линейные разно-стные схемы. При 0≠σ неявная схема для уравнения

( ) fxxutu +=1Φ принимает вид:

( ) jiφ

jiyσj

iyστ

jiyj

iy+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+11

11 ΛΦ . (2.77)


107

Из уравнения (2.77) при 1=σ определяется схема с опережением или чисто неявная разностная схема для кусочно-линейного уравнения:

jiφh

jiyj

iyjiyj

iyτ

jiyj

iy+

+++−+−=+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

2

112111

11 ΛΦ . (2.78.а)

Проблема построения семейства кусочно-линейных разно-стных схем на основе общего вида неявных схем сводится к раз-решимости алгебраических кусочно-линейных уравнений (2.78.а), что в общем случае приводит к определенным трудно-стям. Объем вычислений при формулировке однородных схем сокращается при переходе к частично-неявным разностным схе-мам. С учетом (2.72) уравнение (2.78.а) преобразуется к следую-щему виду:

1 1 1

1 1 2

1 1 1

201

j 1

2 ,

j j j j j ji i i i i i

j j j j j jsi i i i i i

p pp

jji i

i

y y y y y yh

y y y y y yb qh

y yh

τ τ

α ατ τ

ϕ

+ + +Δ

+ + +

=

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −Ψ = Φ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − −= + + − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= +

∑

где переменные 1jiy + вычисляются с помощью явных разностных

схем типа (2.76). Применение обратного оператора ψ-1 к обеим частям последнего равенства определяет частично-неявную ку-сочно-линейную разностную схему «предиктор-корректор» первого типа, которая определяется совокупностью соотноше-ний:

108

1 11 1 1

1 2

j jj j ji i

i i iy yy y

hτ ϕ

+ ++ − −⎛ ⎞−= + Ψ +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (2.78.б)

Для повышения порядка аппроксимации можно также ис-пользовать более простые соотношения для разностных схем ти-па «предиктор-корректор». После применения к обеим частям (2.78.а) обратного оператора и преобразований можно сформиро-вать разностную схему «предиктор-корректор» второго типа:

1 1 11 1 1 1

1 2

2( )j j j

j j ji i ii i i

y y yy yh

τ ϕ+ + +

+ − − +− += + Φ + , (2.78.в)

где 1j ji iy и y+ вычисляются с применением явной схемы (2.76). При 50,σ = из (2.77) следует частично-неявный аналог

«шеститочечной» симметричной разностной схемы типа Кран-ка-Никольсона для рассматриваемого кусочно-линейного одно-мерного уравнения:

jiφ

jiyj

iyτ

jiyj

iy+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+1

21

1ΛΦ . (2.79)

Разностная схема (2.79) с учетом структуры оператора правой части может быть преобразована к виду:

jiφh

jiyj

iyjiyj

iyjiyj

iyτ

jiyj

iy+++−−++

+++−+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

22121

11

1211

1Φ . (2.80)

Если в числителе дроби правой части уравнений добавить и вычесть 4 j

iy , ввести кусочно-линейный оператор 1Ψ , то (2.80) представляется в виде, позволяющем сформировать канониче-скую форму оператора правой части. В результате можно полу-чить равенство:


109

1 1 1

1 1 2

1 11 1 1 1

2

4 .2


j j j j jji i i i ii

y y y y y yh

y y y y yh

ττ τ τ

ϕ

+ + +Δ

+ +− + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −Ψ = Φ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − += +

Решение последнего уравнения относительно τ/jiyj

iy ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+1 , оп-

ределяет частично-неявную схему повышенной точности:

1 1

1 1 1 1 1 11 2

42

j j j j jj j ji i i i i

i i iy y y y yy y

hτ ϕ

+ ++ − − + − +⎡ ⎤+ + − += + Ψ +⎢ ⎥

⎣ ⎦, (2.81)

где переменные на (j+1)-м слое в правой части соотношения (2.81) вычисляются с помощью явных разностных схем (2.76).

Частично-неявная разностная схема «предиктор-корректор». Разностная чисто неявная схема следует из соотно-шений для схемы с параметрами (2.77) при σ = 1, которая будет

разрешаться относительно ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+ j

iyjiy 1 . Если в числителе дроби

правой части (2.78) добавить и вычесть слагаемое 2 jiy , то уравне-

ние примет вид:

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

h

)yy(yyyyyϕ

τΦ +

−++−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − ++

++−

+

2

11

111

1

1222

. (2.82)

Выделение в правой части слагаемых, соответствующих аргу-менту оператора левой части, приводит к равенству:

jiφh

jiyj

iyjiy

h

jiyj

iyτ

jiyj

iy+

−++++

−+−+

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

221

11

12

12

11Φ . (2.83)

110 Для формирования разностной схемы необходимо (как и ра-

нее) ввести вспомогательный оператор, который позволяет пре-образовать (2.83) к эквивалентному виду:

1 1 1

1 1 2

1 11 1

2

2

2 ,


j j jji i i

i

y y y y y yh

y y yh

ττ τ τ

ϕ

+ + +Δ

+ +− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −Ψ =Φ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −= +

(2.84)

где прогнозируемые значения переменных 1 11 1,j j

i iy y+ +− + вычисля-

ются на основании (2.76), а оператор в левой части имеет вид:

1 1 1

1 1 2

1 1 1

0 0 21

2

2 .


j j j j j jsi i i i i i

p pp

y y y y y yh

y y y y y yb qh

ττ τ τ

τα ατ τ τ

+ + +Δ

+ + +

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −Ψ =Φ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

(2.85.а)

Окончательно разностная схема представляется соотношениями:

1 1

1 1 1 1 11 2

2j j j jj j ji i i i

i i iy y y yy y

hτ ϕ

+ ++ − − + +⎡ ⎤+ − += + Ψ +⎢ ⎥

⎣ ⎦, (2.85.б)

где прогнозируемые переменные вычисляются на основе явной кусочно-линейной разностной схемы (2.76).

Кусочно-линейный аналог трехслойной разностной схе-мы Ричардсона. Обобщение схемы Ричардсона для кусочно-линейных уравнений теплопроводности представляется в форме:

ji

ji

jjj

yy,yyy ϕΛΦϕΛτ

Φτ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −+

0111

1 2, (2.86)


111

где 01 1, , , ,

2j j j

xxy yy y y y y y y y y

τ τ+ −−

= = = = Λ = .

Схема имеет второй порядок аппроксимации, однако является аб-солютно неустойчивой. Если переписать (2.86) в виде:

ji

ji

ji

ji

jj

h

yyyyy ϕτ

Φ ++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − +−−+

211

111

22

,

заменить jiy2 суммой 11 −++ j

iyjiy (как в трехслойной схеме

«Ромб»), то разностная схема представляется в виде:

.jiφh

jiyj

iyjiyj

iyτ

jiyj

iy+++−−+−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−+

21

111

2

111Φ (2.87)

Если в правой части уравнения (2.87) добавить и вычесть

слагаемое 12 −jiy , то после преобразований можно получить эк-

вивалентное представление для кусочно-линейной схемы:

1 1 1 1 1 11 1

1 2

1 1 11 1

2

2 22

( ) 2

j j j j j j j jji i i i i i i i

i

j j j j jji i i i i

i

y y y y y y y yh

y y y y yh

ϕτ

ϕ

+ − + − − −− +

+ − −− +

⎛ ⎞− − − + + −Φ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

− − + −= +

Или

1 1 1 1 1 1

1 1 2

11 1

2

22 2 2

2 .


j j jji i i

i

y y y y y yh

y y yh

ττ τ τ

ϕ

+ − + − + −Δ

−− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −Ψ =Φ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −= +

(2.88)

112

Из (2.88) следует частично-неявная разностная схема:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−++=

−+−−−+ j

i

ji

ji

jij

ij

i h

yyyyy ϕΨτ 2

1111

111 2

2 , (2.89)

которая представляет аналог схемы Дюфорта-Франкела для ку-сочно-линейных уравнений теплопроводности (см. табл. 2.4). Оператор в разностной схеме (2.89) определен в (2.88).

Достаточные условия устойчивости кусочно-линейных раз-ностных схем, приведенных в табл. 2.4, можно получить по мето-дике, основанной на принципе сжимающих отображений или аналогах метода А.М. Ляпунова для «распределенных» дискрет-ных систем. Для анализа устойчивости формируется оператор на временном слое и условия устойчивости как условия сжа-тия этого оператора на временном слое, учитывающегодинамику координат как функций пространственных переменных.

Таблица 2.4 1. Явные двухслойные кусочно-линейные разностные схемы:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= +−

−+ ji

ji

ji

ji

ji

ji hyyyyу ϕΦτ 2

111

11 2 . (2.76)

2. Двухслойные частично-неявные разностные схемы:

1 1

1 1 11 2

j jj j ji i

i i iy yy y

hτ ϕ

+ ++ − −⎛ ⎞−= + Ψ +⎜ ⎟

⎝ ⎠, (2.78.б)

где для прогноза используется (2.76).

2. Двухслойные разностная схема «предиктор-корректор»:

1 1 1

1 1 1 11 2

2j j jj j ji i i

i i iy y yy y

hτ ϕ

+ + ++ − − +⎛ ⎞− += + Φ +⎜ ⎟

⎝ ⎠, (2.78.в)



113

4. Кусочно-линейный аналог двухслойной схемы Кранка-Никольсона:

1 1

1 1 1 1 1 11 2

42

j j j j jj j ji i i i i

i i iy y y y yy y

hτ ϕ

+ ++ − − + − +⎡ ⎤+ + − += + Ψ +⎢ ⎥

⎣ ⎦, (2.81)


5. Частично-неявные двухслойные кусочно-линейные схемы

1 1

1 1 1 1 11 2

2[ ]j j j j

j j ji i i ii i i

y y y yy yh

τ ϕ+ +

+ − − + ++ − += + Ψ + , (2.85.б)

где кусочно-линейный оператор схемы, адаптированный для рассматриваемого аргумента схемы, принимает следующий вид:

.yyyy

h

yyb

yy

h

yy)

yy(

з

s

ji

ji

s

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

∑=

+++

+++

−+

−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

=−

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

−

1

11

2

1

00

1

2

1

1

1

1

2

2

τα

ττ

τα

ττ

τΦ

τΨ

(2.85.а)

6. Трехслойный кусочно-линейный аналог схемы Дюфорта-Франкела:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

−−++−−+−=+ jiφh

jiyj

iyjiy

τjiyj

iy 2

121111211 Ψ . (2.89)

Пример 2.10.1. Рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности в бесконечном стержне. Явная разностная схема имеет вид (2.76). Начальный нагрев (начальное условие) задано экспонентой вида: ( )mexpy m, −= 20 , где m – пространст-

114

венная координата. Используется явная однородная схема (2.76) с параметрами: h = 0.1, τ = 0.001. Приведенные на рис. 2.10.а и

y y а) б)

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0.5

1

1.5

2

2.5

3

trace 1trace 2trace 3trace 4

3

0

y0 m,

y T10

m,

y T2

m,

yT m,

X 1−1 m

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0.5

1

1.5

2

2.5

3

trace 1trace 2trace 3trace 4

3

0

y0 m,

y T10

m,

y T2

m,

yT m,

X 1−1 m

в) г)

Рис. 2.10. Сеточные функции устойчивых и неустойчивых разностных схем


115

2.10.б результаты свидетельствуют об уменьшении температуры с ростом времени и координаты. Применение частично-неявных схем позволяет устранить неустойчивость, характерную для яв-ных схем, иллюстрируемую на рис. 2.10.в. Подтверждение этого обстоятельства с помощью частично-неявных схем иллюстриру-ется на рис. 2.10.г.

Таким образом, рассмотренная методика формулировки разностных схем, применимая для линейных и нелинейных раз-ностных схем, может быть использована при анализе процессов и исследовании устойчивости разностных схем для задач тепло-проводности.

116

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Рассматриваются основные понятие математической

теории устойчивости как парной категории к категории «изменчивости». Даны определения и критерии различных типов устойчивости, включая устойчивость по А.М. Ляпуно-ву, асимптотическую устойчивость, «входо-выходную» и «ин-тервальную» устойчивости. Рассмотрено применение мето-дов теории устойчивости к синтезу регуляторов основного контура автоматических систем.

3.1. Основные понятия теории устойчивости

Понятие устойчивости является фундаментальным для мно-

гих областей науки. Анализ устойчивости является важным эта-пом исследования, без которого невозможно создание современ-ных автоматических систем.

Начало математической теории устойчивости восходит к трудам русского математика А.М. Ляпунова (1892 г., Санкт-Петербургский университет). В этих трудах сформулированы ос-новы математической теории устойчивости. В настоящее время теорию устойчивости можно рассматривать как раздел теории дифференциальных уравнений, а прикладные аспекты этой теории составляют основу прикладной теории устойчивости. В этом разделе будут рассмотрены важные с точки зрения при-ложений к задачам управления методы теории устойчивости для дискретных и непрерывных объектов и систем управления. При этом сохраняется концептуальное единство изложения теории непрерывных и дискретных систем, используемое в разделе 2. Рассмотрены также критерии интервальной устойчивости (крите-рии В.Л. Харитонова), которые являются разделом теории управ-


117

ления, относящейся к синтезу грубых (робастных) систем. Основные методы имеют конструктивные доказательства.

Изложение основ доказательств позволяет далее использовать соответствующую технологию при синтезе оптимальных и дру-гих типов автоматических систем управления и стабилизации.

Устойчивость – один из важных качественных показателей объектов и систем управления. Устойчивые системы способны осуществлять управление в соответствии с поставленными целя-ми. Определим понятие «устойчивости по А.М. Ляпунову», «асимптотической» и «входо-выходной устойчивости».

Определение 3.1.1. Решение ),( 0XtX системы )(XfX = , nn RRf →: , устойчиво по Ляпунову, если для любого 0>ε су-

ществует 0>δ , такое, что ( ) ( ) ε≤− 00 ,, XtXXtX для всех

*tt > , если δ≤− 00 XX . (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. К определению устойчивости по Ляпунову

( )0,X t X

0X

0X0X δ+ ( )0,X t X

0X δ−

118 Определение 3.1.2. Решение ( )tX системы ( )XfX = асим-

птотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и вы-

полнено условие: ( ) ( ) 0,, 00 ⎯⎯⎯ →⎯ ∞→− tXtXXtX .

Определение 3.1.3. САУ или ОУ устойчивы по входу, если ограниченное входное воздействие ( )tu вызывает ограниченную выходную реакцию ( )ty (рис. 3.2, зависимость а). В противном случае системы неустойчивы (см. рис. 3.2, зависимость б).

Рис. 3.2. К определению устойчивости по входу

Для исследования устойчивости решений ( )0, XtX А.М. Ляпунов определил уравнения невозмущенного движения, которым удовлетворяет решение ( )0, XtX , и уравнения возму-щенного движения (УВД), которые описывают поведение от-клонений: ( ) ( ) ( )00 ,, XtXXtXtx −= .

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений: ( ) ( )X t f X= , ( ) 00 XX = и пусть решение ( )0, XtX та-кое, что:

0


119

( ) ( )X t f X= , ( ) 00 XX = . (3.1)

Рассмотрим также разность ( ) ( ) ( )00 ,, XtXXtXtx −= и по-строим дифференциальные уравнения возмущенного движения, описывающие динамику отклонения ( )tx . Дифференцирование последнего равенства по времени позволяет получить уравнение: ( ) ( ) ( )00 ,, XtXXtXtx −= , а замена X и X в силу уравнения (3.1)

приводит к системе, соответствующей УВД, которые имеют вид:

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ).x t X t X t x X f X f X x= − = Ψ = − − (3.2)

Исследование устойчивости решения ( )tX системы (3.1) сведено к исследованию устойчивости решения 0=x для уравне-ний возмущенного движения (3.2).

Выведем УВД для уравнений, соответствующих линейным непрерывным и дискретным ОУ. Общность подхода позволяет рассматривать методы параллельно для непрерывных и дискрет-ных объектов и систем. Введя соответственно разности решений дифференциальных и разностных уравнений

( ) ( ) ( )x t X t X t= − , ttt XXx −= ,

а также производные и разности этих решений

( ) ( ) ( )x t X t X t= − , 111 +++ −= ttt XXx

и, выполнив преобразования, можно получить уравнения:

непрерывных объектов (систем)

( ) ( ( ) ( )) ( ),x t A X t X t Ax t= − =

дискретных объектов (систем)

1 ( ) .t t t tx A X X Ax+ = − =

Из структуры уравнений следует, что УВД для линейных

120

систем – однородные уравнения, однако в общем случае имеет-ся ряд иллюстрируемых ниже особенностей.

Пусть исходные уравнения объектов и систем управления имеют вид:

( ) ( , ).X t f X U=

Выполним линеаризацию в окрестности стационарных точек* ( )00,UX . Разложим в ряд векторную функцию ( )UXf , в окрест-

ности точки ( )00,UX , учтем линейные слагаемые по координате 0XXx −= и управлению 0UUu −= . Тогда

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

0 0 ' 0 0 0 ' 0 0 0

0 0

, , , , ,

, 0 .

x u

n

f X U f X U f X U X X f X U U U

f X U

≅ + − + −

=

Введем, как и ранее, новые координаты, равные разности теку-щих решений - X и решений 0X , которые исследуются на ус-тойчивость:

0XXx −= ,

при управлениях вида 0UUu −= учтем, что Xx = . В результате линеаризованное уравнение примет вид

( )x t Ax Bu= + , ( )00,UXxfA ′= , ( )00,UXufB ′= . (3.3)

Вывод УВД позволяет перейти к изучению критериев ус-тойчивости, с помощью которых можно анализировать устой-

* При глобальном рассмотрении в ряде случаев имеет смысл ввести семей-ство функций Ляпунова 20

ii xxV −= и исследовать общие свойства реше-

ний, анализируя области притяжения решения 0ix как множества, из ко-

торых решение (система) «возвращается» в окрестность этого решения.


121

чивость объектов или систем автоматического управления, не решая их уравнений.

3.2. Методы теории устойчивости, функции, теоремы и критерии Ляпунова

Теория устойчивости базируется на классических определе-ниях этой теории.

3.2.1. Основные определения. Рассмотрим функцию ( ) ( )nxxxVxV ,...,, 21= , определенную в пространстве состояний

объекта или системы управления, которая непрерывна в области D , включающей в себя начало координат. Предположим также, что функция ( )nxxxV ,...,, 21 обладает в области D непрерывны-ми частными производными по переменным nxxx ...,,, 21 .

Определение 3.2.1. Функция ( )xV называется положи-тельно определенной в области D [обозначается ( ) 0>xV ], если: 1). Функция ( ) 0>xV для любых принадлежащих области D зна-чениях 0x ≠ ; 2). Функция ( ) 0V x = , если 0x = принадлежит области D .

Начало координат, как правило, определяет стационарное положение объекта (системы) как решение сответствующих уравнений (в частности, стационарное решение). Стационарные решения исследуются на устойчивость.

Если функция ( ) 0<xV в области D и ( ) 0V x = , если 0x = прнадлежит области D , то функция ( )xV называется отрица-тельно определенной. Заметим, что в обоих рассмотренных слу-чаях функция называется знакоопределенной.

Определение 3.2.2. Функция ( )xV называется неотрица-тельно определенной в области D , если ( ) 0≥xV для любого x из области D . Если функция ( ) 0≤xV в области D , то она назы-

122

вается неположительно определенной. Перейдем к анализу с помощью функций А.М. Ляпунова

устойчивости решений УВД общего вида:

.)0(),( 0xxxfx == (3.4)

Теорема 3.2.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если для УВД существует положительно определенная функция V(x), производная которой в силу исследуемой системы неположи-тельно определена, то тривиальное решение x(t)=0 устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Рассмотрим множество значений x, таких, что 0, >= εεx . Обозначим

.0)(inf >==

αε

xVx

Так как V(0n)=0, то из непрерывности функции V(x) следует, что можно указать такую δ-окрестность начала координат в Rn, что функция δα ≤< xxV ,)( .

Рассмотрим решение ξ(t) анализируемой на устойчивость системы, удовлетворяющее начальному условию 0x δ≤ . Функ-

ция V(ξ(t)) будет невозрастающей вдоль этого решения, так как производная V в силу решения исследуемой системы неположи-тельна. Следовательно, для t>t0 справедливо: αξξ <≤ ))(())(( 0tVtV . Отсюда получаем, что для любых t>t0 справедливо неравенство

εξ <)(t .

3.2.2. Критерии устойчивости А.М. Ляпунова. Сформули-руем критерии асимптотической устойчивости линейных ОУ или САУ, используя их УВД. Для этого выберем квадратичные функции Ляпунова: xPxxV T=)( и t

Ttt xPxxV =)( , P=PT>0, для


123

непрерывных и дискретных систем соответственно и вычислим полную производную по времени функции Ляпунова ( )xV в силу уравнений непрерывных систем и приращение ΔVt в силу урав-нений дискретных систем. Тогда будем иметь: для непрерывных систем

xPAPAxxPxxPxxxVxV TTAxx

TTx )()()( +=+=⋅=

=,

для дискретных систем

.)(1

111 tTT

ttAxtxt

Ttt

Ttttt xPPAAxxPxxPxVVV +=−=−=Δ

=++++

Если потребовать отрицательную определенность функций )(xV и ΔVt , приравняв эти функции некоторой отрицательно опреде-ленной функции (–xTQx) или (–xt

TQxt), где Q=QT>0, то можно по-лучить уравнения Ляпунова: для непрерывных систем

QPAPAT −=+ , (3.5.а)

для дискретных систем

QPPAAT −=− . (3.5.б)

Теорема 3.2.2 (критерий Ляпунова). Для асимптотической устойчивости решений линейной непрерывной (дискретной) сис-темы необходимо и достаточно, чтобы матрица 1P - решение уравнения Ляпунова для непрерывной системы (матрица 2P - ре-шение уравнения Ляпунова для дискретной системы) была бы положительно определенной.

Можно показать, что для асимптотически устойчивых ли-нейных непрерывных и дискретных систем уравнения Ляпунова

124

имеют решения, представимые в виде интеграла и суммы сле-дующего вида: для непрерывных систем для дискретных систем

∫∞

=0

1 dteQeP tAtAT, ∑

∞

==

02 )(

l

llT AQAP .

Действительно, если матрица ∫∞

=0

1 dteQeP tAtAT, то, интегрируя

по частям, получим равенство:

APQdtAeQeeQedteQeAPA tAtAtAtAtAtATT TTT1

0001 −−=−== ∫∫

∞∞∞

.

Таким образом, можно убедиться, что ∫∞

=0

1 dteQeP tAtAT яв-

ляется решением уравнения Ляпунова. Матрицы P1=P1T и P2=P2

T - положительно определенные.

3.3. Корневые критерии устойчивости

Корневые критерии определяют условия устойчивости ли-нейных объектов и систем управления с помощью анализа кор-ней характеристических уравнений. Пусть уравнения непрерыв-ных и дискретных объектов (систем) имеют вид:

BuAxx += , (3.6.а)

ttt BuAxx +=+1 . (3.6.б)

Как и в п. 2.3, введем новые координаты zSx = и tt zSx = , по-зволяющие с помощью рассматриваемых преобразований подо-бия перейти к жордановой форме матриц непрерывных и дис-


125

кретных систем:

BuSJzz 1−+= , (3.7.а)

ttt BuSJzz 11

−+ += . (3.7.б)

Общее решение уравнений (3.7.а) и (3.7.б) для непрерывных и дискретных объектов (систем) задается формулами Коши (2.19) и (2.25) соответственно. Как показано в п. 3.1, уравнения возму-щенного движения линейных систем однородные. Поэтому для анализа асимптотической устойчивости необходимо изучить ус-ловия стремления к нулю матричных экспонент от жордано-вой формы для непрерывных объектов (систем):

tsJtJtJtJ eeee i ...,,,...,, 10

и степеней матриц от жордановой формы для дискретных объ-ектов (систем):

ts

ti

tt JJJJ ...,,...,,, 10 .

Очевидно, что эти условия имеют следующий вид для непрерыв-ных объектов (систем):

0Re <jλ , (3.8.а)

а для дискретных объектов (систем) представляются в форме:

1<jλ . (3.8.б)

Утверждение 3.3.1 (корневые критерии асимптотиче-ской устойчивости). Чтобы системы (3.6.а) или (3.6.б) были асимптотически устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены корневые условия (3.8.а) или (3.8.б) соответст-

126

венно. Для устойчивости по Ляпунову (ограниченности реше-ний) допускается выполнение указанных неравенств как ра-венств, при условии, что размер «ящиков» Жордана, соответст-вующих этим собственным числам, не превышает единицы. При этом ограниченность решений УВД следует из свойств экспонен-циальных решений для уравнений непрерывных и для разност-ных уравнений дискретных объектов (систем).

Корневые критерии используются при анализе объектов и синтезированных систем управления.

3.4. Алгебраические критерии Гурвица, Харитонова и Шура – Кона

Алгебраические критерии определяют условия устойчиво-сти путем анализа коэффициентов характеристических полино-мов уравнений объектов или систем.

3.4.1. Критерии устойчивости непрерывных объектов и систем управления. Рассмотрим передаточную функцию:

nnnn

nnnn

asasasabsbsbsb

susysW

++++++++

==−

−−

−

11

10

11

10

...

...)()()( , (3.9)

или уравнения состояния объекта (системы)

uDCxyBuAxx +=+= , . (3.10)

Характеристические полиномы для систем (3.9) и (3.10) имеют вид

.,1,...)( 11

110 Ranaaaa inn

nnn ∈≥++++= −

− λλλλχ (3.11)

Определение 3.4.1. Полином )(λχn вида (3.11) называется стандартным гурвицевым, если все его корни принадлежат ле-вой полуплоскости, т.е. выполнено условие .,1,0Re njj =<λ


127

Рассмотрим необходимое условие того, что 0Re <jλ .

Теорема 3.4.1 (условие Стодолы). Если полином )(λχn гурвицев, то все его коэффициенты положительны (или одного знака).

Доказательство. Пусть все корни )(λχn принадлежат ле-вой полуплоскости, причем вещественные левые корни iλ крат-ности im равны || ii γλ −= , а комплексные левые корни кратно-

сти pm : pppppp jj βαλβαλ −−=+−= ||,|| . По теореме о при-

водимости )(λχn можно разложить на линейные множители:

01 1 1

22 20

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( 2 ) .

i p p

i p

m m m

n i p pi p p

m m

i p p pi p

a

a

μ υ υ

μ υ

χ λ λ λ λ λ λ λ

λ γ λ α λ α β

= = =

= =

= − − − =

= + + + +

∏ ∏ ∏

∏ ∏

Из полученного выражения следует, что все коэффициенты 0>ia , поэтому теорема доказана. Сформулируем условия гурви-

цевости на основе определений и лемм. Определение 3.4.2. Полином

nnnn

nn aaa )1(...)()1()( 1

10* −++−=−−= −λλλχλχ ,

где )(λχn вида (3.11) – инверсный полином. Если корни )(λχn –

в левой, то корни полинома )(* λχn – в правой полуплоскости. Определение 3.4.3. Полином

0),()()()( *1 >++=+ ccQ nnn λχλλχλλ ,

называется присоединенным полиномом к полиному )(λχn . Лемма 3.4.1. Всякий полином )(1 λ+nQ , присоединенный к

128

гурвицеву полиному )(λχn , есть стандартный гурвицевый.

Лемма 3.4.2. Если 111

01 ...)( ++

+ +++= nnn

n AAAQ λλλ – стан-дартный гурвицевый полином, то полином

)]()()[(1)( *112 λλλλλχ ++ +−= nnn QQc

c

также является стандартным гурвицевым полиномом. Утверждение 3.4.1. Гурвицевы полиномы строятся по ре-

куррентным формулам:

)].()()[(1)(

),()()()(

*112

*1

λχλλχλλχ

λχλλχλλχ

++

+

+−=

++=

nnn

nnn

cc

c (3.12)

Теорема 3.4.2 (критерий Гурвица). Пусть заданы: полином (3.11), матрица Гурвица M и главные диагональные миноры:

.,...,0

,,

,

000

0000

1

345

123

01

3

23

01211

345

123

01

Maaaaaaa

aa

aaaa

a

a

aaaaaa

aa

M

nnn

n

=Δ=Δ=Δ

=Δ=Δ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−


129

Тогда, чтобы стандартный полином (3.11) был гурвицевым, необ-ходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие неотрицатель-ности диагональных миноров: nkk ,1,0 =>Δ .

Доказательство. В основе доказательства – индукция по степени полинома (3.11). База индукции: пусть n = 1, тогда

101 )( aa += λλχ , а вещественный корень 0/ 011 <−= aaλ , так как 0, 10 >aa .

Индукционный переход: пусть k=n и условия Гурвица вы-полнены для )(λχn . Покажем, что условия Гурвица будут вы-полнены и для полинома )(λQ степени (n+1). Рассмотрим

)(1 λ+nQ в соответствии с (3.12)

02)],()()[(21)( *

1 >=++=+ γλχλλχλλ ccQ nnn ,

и определим связь коэффициентов )(1 λ+nQ и )(λχn . Если рас-смотреть два полинома

111

01

11

10

...)(

,...)(

++

+

−−

+++=

++++=

nnn

n

nnnn

n

AAAQ

aaaa

λλλ

λλλλχ

то в силу вида )(1 λ+nQ можно получить

[ ] .))1(...()...)((21

...

110

110

111

0

nnnn

nnn

nnn

aaaaaac

AAA

−++−+++++=

=+++

−−

++

λλλλλλ

λλ

Приравняем коэффициенты правой и левой частей при сте-пенях λ, учитывая, что с = 2γ. Тогда можно получить следующее

,

130

семейство равенств для коэффициентов при совпадающих степе-нях:

;21

21: 0000

1 aaaAn =+=+λ

;)(21: 01101 aaaacAn γλ =−+=

12 1 2 2 1 2

1: ( ) ;2

n A ca a a a aλ γ− = + + = +

;: 232 aAn γλ =−

;: 4343 aaAn +=− γλ

. . . . . ., 21222212 kkkkk aaAaA +== −−− γγ

Главный диагональный минор порядка (k+1) матрицы Гурвица полинома )(1 λ+nQ можно представить в силу приведенных ниже равенств:

.

0

0000

0

222122

2434

0212

00

112212

345

123

01

1

21k

kk

kkkk

kkkk

k

a

aaaa

aaaaaaaa

aa

AAAA

AAAAAA

AA

D

Δ=

+

++

=

==

+

−−

+−+

+

γ

γγγ

γγγγγγ

γ


131

Здесь 21, kk – число нечетных и четных столбцов; kΔ – главный минор k-го порядка матрицы Гурвица. Необходимость доказана.

Часто параметры объектов и систем управления не могут быть определены точно. В такой ситуации возникает задача ана-лиза соответствующих корней семейства полиномов, удовлетво-ряющих интервальным ограничениям на коэффициенты по-линомов.

В теории автоматического управления важное место зани-мают критерии интервальной устойчивости, под которыми понимают асимптотическую устойчивость при условии, когда параметры коэффициентов характеристического полинома объ-екта (системы) управления неизменны и принадлежат некоторым областям. Если коэффициенты характеристических полиномов принадлежат заданным интервалам, то критерий интервальной устойчивости сформулирован В.Л. Харитоновым (1978 г.). Кри-терий может использоваться для синтеза адаптивных систем управления в интервальной постановке.

Критерий интервальной устойчивости является достаточно важным в современной теории и практике управления. Интер-вальная модель для описания параметров объекта или системы управления, используемая в критерии, позволяет решить ряд важных задач управления. К ним относятся задачи теории грубых (робастных) систем и изучаемых в теории адаптивного управле-ния, поскольку в данной модели конструктивно определен класс адаптации.

Теорема 3.4.3 (критерий интервальной устойчивости В.Л. Харитонова). Пусть задано семейство алгебраических по-линомов с вещественными интервальными коэффициентами, удовлетворяющих условиям:

{ }.,0,)( nkaaaF kkkn =≤≤= λχχ

132 Семейство полиномов устойчиво тогда и только тогда, ко-

гда все корни полиномов )(),(),( 321 λλλ fff и )(4 λf имеют от-рицательные вещественные части. При этом полиномы

4,1)( =ifi λ имеют следующие коэффициенты:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

−−

−−−−

−

−−

−−

−−−−

−

−−

−−

−−−−

−

−−

−−

−−−−

−

−−

.нечетно,

четно,,

нечетно;,

четно,,:)(

нечетно;,

четно,,

нечетно;,четно,,

:)(


нечетно;,

четно,,:)(



:)(

12

1212

2

224

12

1212

2

223

12

1212

2

222

12

1212

2

221

ka

kaa

ka

kaaf

ka

kaa

kaka

af

kaka

aka

kaaf

kaka

akaka

af

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

kn

knkn

λ

λ

λ

λ

Теорема позволяет анализировать устойчивость непрерыв-ных объектов или систем с учетом интервальных ограничений на параметры, что является весьма важным при проектировании систем управления при отсутствии полной информации о пара-метрах. Задание интервалов изменения коэффициентов характе-ристического полинома характеризует степень неопределенности объекта (системы).

3.4.2. Критерии устойчивости дискретных объектов и систем управления. Модели объектов (систем) для анализа ус-тойчивости в дискретном времени могут быть представлены уравнениями «вход–выход» или уравнениями «вход-состояния-выход». Эти модели подробно изучены в разделе 2 и имеют сле-дующий вид:


133

,)())((

,)()(1

tt

tt

uBAy

uByA

ξξ

ξξ−=

= ,

,1

ttt

ttt

uDxCyuBxAx

+=+=+

.1)( tt uDBAnECy ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−= ξ

Пусть характеристический полином модели имеет вид

nnnn

n bbbb ++++= −− λλλλχ 11

10 ...)( . (3.13)

Для исследования устойчивости дискретных систем требу-ется определить расположение корней )(λχn относительно ок-ружности единичного радиуса (см. п. 3.3).

Рассмотрим условия принадлежности корней полинома ок-ружности единичного радиуса, решив задачу с помощью крите-рия Гурвица. Для этого выполним замену переменных в (3.13) по формуле )1/()1( ww −+=λ или )1/()1( +−= λλw , что соответству-ет преобразованию единичного круга в левую полуплоскость, ил-люстрируемому графически на рис. 3.3. В результате полином

)(λχn преобразуется к виду:

Рис. 3.3. Иллюстрация преобразования единичного круга в полуплоскость для исследования устойчивости

- 1

Re λ

Im λ

λ w

Im w

Re w 0 0

134

,)1()(

11...

11

11)( 1

1

1

10 nnn

nn

n wwDb

wwb

wwb

wwbw

−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

= −

−

χ

где nnn awawawD +++= − ...)( 1

101 . Для анализа устойчивости )(1 wD можно использовать критерий Гурвица. Рассмотрим другой способ анализа устойчивости. Теорема 3. 4.4 (критерий Шура – Кона). Полином

nnnn

n aaaa ++++= −− λλλλχ 11

10 ...)(

имеет корни 1<jλ , если знаки определителей kΔ строго чере-

дуются: 0>Δk при четном k и 0<Δk при нечетном k. При этом

kΔ - определитель порядка 2k, формируемый из подматриц:

( )( ) ,

12

21Tkk

Tkk

kAA

AA=Δ

где подматрицы определяются равенствами:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−+−+−

−−

−

021

12

01

0

2

21

12

1

1 0000

;0000

aaa

aaaa

a

A

aaa

aaaa

a

A

kk

k

nknkn

nn

nn

n

k .

Пример 3.4.1. Пусть задан характеристический полином дискретной системы: 05.04.0)( 2 −+= λλλχn . Исследуем устой-чивость системы, не вычисляя корней полинома. Используя ко-эффициенты полинома 05.0,4.0,1 210 −=== aaa , вычислим оп-ределители:


135

для k=1:

,1,05.0 12

11 =−= AA 0105.0

05.01105.0 2

1 <−=−

−=Δ ;

для k=2:

,14.001

,05.04.0

005.0 22

21 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= AA

8186.0

05.0014.04.005.001

1005.04.04.01005.0

2 =

−−

−−

=Δ .

Чередование знаков определителей 0,0 21 >Δ<Δ свиде-тельствует об устойчивости системы. Действительно, для харак-теристического полинома системы справедливо представление:

)5.0)(1.0()( +−= λλλχn . Рассмотренные критерии устойчивости используются для

анализа устойчивости объектов и синтеза систем управления.

3.5. Частотные критерии Михайлова и Найквиста

Рассмотрим методы анализа устойчивости объектов (сис-тем) управления по годографам характеристических полиномов и амплитудно-фазовых характеристик.

3.5.1. Критерии Михайлова и Найквиста для непрерыв-ных объектов и систем. Пусть характеристический полином, со-ответствующий анализируемой системе, имеет вид:

nnnn

n aaaa ++++= −− λλλλχ 11

10 ...)( .

Требуется найти условия устойчивости )(λχ n с помощью

136

частотного представления годографа )( ωχ jn . Лемма 3.5.1 (принцип аргумента для непрерывных сис-

тем). Пусть полином )(λχ n имеет m корней, расположенных в правой полуплоскости, и (n–m) корней – в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты ω в пределах от –∞ до ∞ измене-ние аргумента полинома )( ωχ jn равно разности между числа-ми левых и правых корней, умноженной на π.

Доказательство. Полином )(λχ n может быть разложен на множители

∏=

−=n

iin a

10 )()( λλλχ ,

где iii jβαλ += – корни полинома. Рассмотрим значение поли-нома при ωλ j= :

arg ( )( ) ( ) .nj jn nj j e χ ωχ ω χ ω=

При этом будут выполнены следующие условия:

( ) 01

,n

n ii

j a jχ ω ω λ=

= −∏

∑=

−=n

iin jj

1)(arg)(arg λωωχ .

Рассмотрим множитель ( ij λω − ). Его модуль не равен ну-лю, если корень не расположен на мнимой оси. На рис. 3.4 пред-ставлен вектор ( ij λω − ), соответствующий расположению корня в правой полуплоскости. При изменении параметра ω от –∞ до ∞ аргумент изменится на угол πλω −=−Δ )(arg ij , если корень расположен в правой полуплоскости, и на угол π, если в левой полуплоскости.

Пусть )(λχ n имеет m правых корней и n–m левых корней. Тогда при изменении частоты ω от –∞ до ∞ изменение аргумента

)(λχ n равно разности между числом левых и правых корней


137

Рис. 3.4. К иллюстрации принципа аргумента

характеристического полинома, умноженной на π :

.)2()()(arg mnmmnjn −=−−=Δ ∞=−∞= πππωχ ω

ω

Обычно рассматривают только положительные значения частот ),0[ ∞∈ω , тогда поворот будет вдвое меньший:

.)2(2

)(arg 0 mnjn −=Δ ∞==

πωχ ωω

Отсюда непосредственно следует критерий Михайлова. Утверждение 3.5.1 (критерий Михайлова). Система (объ-

ект) является устойчивой, если при возрастании ω от 0 до ∞ ком-плексный вектор )( ωχ jn (годограф Михайлова) повернется на

угол 2πn , где n – степень характеристического полинома )(λχn .

Годограф )( ωχ jn при изменении ω от 0 до ∞ обходит по-следовательно, начиная с положительной действительной полу-оси в положительном направлении (против часовой стрелки), n квадрантов. На рис. 3.5 приведены примеры устойчивых годо-графов Михайлова )( ωχ jn для непрерывных объектов (систем)

Im

iii jβαλ +=

ωj

ij λω −

Re

0

138

управления различных порядков ( ))()()( ωωωχ jVUjn += .

Рис. 3.5. Примеры устойчивых годографов Михайлова Сформулируем критерий устойчивости в терминах ампли-

тудо-фазовых частотных характеристик (АФЧХ) объектов или систем управления.

Утверждение 3.5.2 (критерий Найквиста). Система, ус-тойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W(s), s=jω, ω∈ [0,∞) не охватывает точку (–1, j0) (рис. 3.6).

Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее ха-рактеристический полином имеет m корней в правой полуплоско-сти, то для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходи-мо и достаточно, чтобы АФЧХ W(jω) охватывала точку (–1, j0) в положительном направлении m/2 раз.

На рис. 3.7 геометрически иллюстрируется эта ситуация для случая 4m = .

n=2 n =1

n=3 n=4

Re

Im

0


139

Рис. 3.6.Годограф устойчивых Рис. 3.7. Примеры устойчивых ОУ или САУ по критерию по критерию Найквиста ОУ Найквиста или САУ с корнями в правой полуплоскости

При сложной форме характеристики W(jω) могут возник-нуть затруднения при определении числа оборотов вокруг крити-ческой точки )0,1( j− . У астатических систем, передаточные функции которых в разомкнутом состоянии содержат интегри-рующие звенья, АФЧХ не образует замкнутого контура:

( ) ( )( )

,P s

W ss Q sν= (3.14)

где P(s), Q(s) – полиномы, не имеющие корней равных нулю, ν – порядок астатизма. Действительно, при ω=0 характеристика W(jω) обращается в бесконечность, а АФЧХ претерпевает разрыв. Необходимо связать контуром значения АФЧХ при изменении ω от –ε до +ε. При переходе частоты ω через «0» вектор jω изменя-ет аргумент от –π при ω = –ε до +π при ω = ε, причем направле-ние изменения аргумента не определено. Чтобы освободиться от неопределенности, будем обходить начало координат в правой полуплоскости по окружности малого радиуса r, как показано на рис. 3.8, что отразится на поведении АФЧХ следующим образом:

-1

ω

ω=0

0 ω→∞

Im

-1

m=4

ω→∞

ω=0

Im

Re

Re

0

140

Рис. 3.8. К устранению неопределенности

γjerssW

=)( , где r→0, -π/2 ≤ γ ≤ π/2, величина Δγ = +π. Тогда, учи-

тывая малую величину r и соотношение (3.14), получим

Ψ=

=⋅

= jjers

eRerQ

PsW j νγγ)(

1)0()0()( ,

где R→∞ при r→0, а изменение аргумента νπγνψ −=Δ−=Δ . При рассмотрении только положительных частот ),0[ ∞∈ω изме-

нение аргумента будет определяться соотношением νπψ2

−=Δ .

На основании изложенного можно сделать следующий вывод. Для определения устойчивости системы с астатизмом любого по-рядка ν достаточно построить одну ветвь АФЧХ разомкнутой системы, соответствующую положительным частотам, дополнить ее дугой бесконечно большого радиуса с центральным углом

νπ2

− и применить рассмотренный выше критерий Найквиста.

3.5.2. Критерии Михайлова и Найквиста для дискретных объектов и систем. Пусть дискретные объекты (системы) опи-сываются полиномиальной моделью «вход–выход»:

( ) ( )t ta y b uξ ξ= ,

rIm

Re

0


141

где ξ – оператор сдвига, ,...)( 110 n

nn aaaa +++= −ξξξ

nnn bbbb +++= − ...)( 1

10 ξξξ , или уравнениями состояний:

.,1 tttttt uBxCyuBxAx +=+=+

Пусть характеристический полином системы имеет вид:

nnn

n aaa +++= −110)( λλλχ . (3.15)

Как было показано в п. 2.6.2, для анализа частотных характери-стик дискретных систем используется подстановка ωjez

zW=

|)(* ,

где ω – относительная частота. Годограф Михайлова может быть получен при подстановке в (3.15) ωλ je= .

Лемма 3.5.2 (принцип аргумента для дискретных сис-тем). При изменении параметра ω от 0 до π изменение аргу-мента πχ ω re j

n =Δ )(arg , где r – число корней характеристиче-ского уравнения, лежащих внутри единичной окружности.

Доказательство. Полином )(λχ n может быть разложен на множители и частотная характеристика определена равенством:

( ) ( )01

nj j

n ii

e a eω ωχ λ=

= −∏ .

Для указанного изменения параметра ω справедливо соот-ношение πλω =−Δ )(arg i

je , если выполнено условие 1|| <iλ .

Если это условие не выполнено, то изменение аргумента равно нулю. Поэтому, чтобы многочлен степени n имел все корни стро-го внутри единичной окружности, необходимо, чтобы годограф

)( ωχ jn при изменении ω от 0 до π обходил последовательно в положительном направлении 2п квадрантов. Это утверждение –

142

критерий Михайлова. Годографы Михайлова устойчивых дис-кретных ОУ (САУ) даны на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Годографы устойчивых по Михайлову ОУ (САУ)

Критерии Найквиста для дискретных и непрерывных систем

аналогичны и формулируются в виде утверждения. Утверждение 3.5.3. Пусть передаточная функция разомкну-

той системы имеет вид: )(* zW . Чтобы замкнутая дискретная сис-тема была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф ωjez

zW=

|)(* при изменении ω от 0 до π обходил

точку (–1, j0) последовательно в положительном направлении m/2 раз, где m – число полюсов передаточной функции разомкнутой системы )(* zW , расположенных вне круга единичного радиуса

1|| >iz . Если разомкнутая система устойчива, то m=0. Замкнутая

система будет устойчива, если годограф ωjezzW

=|)(* не охваты-

вает точку (–1, j0) при изменении ω от 0 до π.

Im

Re

n=3

n=2

n=1

ω

0


143

Сформулированные критерии позволяют исследовать ус-тойчивость при различных исходных данных и параметрах объ-ектов и систем управления.

3.6. Критерий абсолютной устойчивости

Абсолютная устойчивость определяется как асимптотиче-

ская устойчивость в целом, т.е. для любых начальных состояний и для определенного класса нелинейностей из заданного сектора.

Определение 3.6.1. Пусть система (объект) управления опи-сываются уравнениями

,)0(,),(, 0xxxcybyAxx T ===+= σσϕ (3.16)

где )(σϕ – нелинейная функция, удовлетворяющая «секторным условиям»

2)(0 σσϕσ k≤≤ . (3.17)

Абсолютной устойчивостью системы (3.16), (3.17) назы-вается асимптотическая устойчивость в целом (во всем про-странстве состояний).

Теорема 3.6.1 (критерий В.М. Попова). Пусть все полюсы передаточной функции линейной части системы ( )W s лежат в

левой полуплоскости, а характеристики нелинейного элемента удовлетворяют секторным условиям (3.17).

Тогда система (3.16), (3.17) абсолютно устойчива, если су-ществует такое вещественное число q, что выполняется частотное условие:

bAEjcjWkjWjq nT 1)()(,0/1)()1(Re −−=>++ ωωωω (3.18)

для всех ),0[ ∞∈ω и все полюсы передаточной функции линей-ной части системы )(sW лежат в левой полуплоскости.

144 Графическая иллюстрация частотного условия представлена

на рис. 3.10. Состояние равновесия нелинейной системы абсо-лютно устойчиво, если через точку (–1/k, j0) можно провести

Рис. 3.10. Иллюстрация частотного условия

прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику )( ωjWм , которая отличается от частотной харак-теристики линейной части масштабным множителем ω по мни-мой оси

( ) real( ( )) imag( ( )).MW j W j j W jω ω ω ω= +

Существуют другие критерии абсолютной устойчивости, сформулированные, в частности, в трудах В.М. Попова, В.А. Якубовича и их учеников. Критерий абсолютной устойчивости можно рассматривать также как «критерий грубости» для систем с «секторной неопределенностью» для нелинейностей, по-скольку описывает условия устойчивости широкого класса сис-тем с отличающимися нелинейностями.

-1/k

Im

Re

0

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

145


Рассматривается синтез обратных связей для объектов

с сосредоточенными параметрами и различных целевых усло-вий - заданного распределения корней характеристического уравнения замкнутой системы (модальное управление), мини-мума интегральных или суммарных функционалов (опти-мальное управление), минимума функционалов мгновенных ошибок (локально-оптимальное управление). Даны примеры синтеза для объектов с сосредоточенными и распределенны-ми параметрами.

4.1. Синтез следящих систем

Важной задачей создания систем автоматического управле-

ния является синтез управлений, обеспечивающих достижение целевого условия: 0)()( ⎯⎯ →⎯−=

∞→tзад tyyte , где задy – заданное

значение выхода; )(ty – выходня координата системы. Определение 4.1.1. Величина )(te называется динамиче-

ской ошибкой САУ. Была отмечена важность использования сигнала ошибки для

управления объектами, что приводит к применению отрицатель-ной обратной связи. Проанализируем влияние обратной связи на характеристики систем на примере сравнения двух систем управ-ления объектом с передаточной функцией W(s): разомкнутой (рис. 4.1.а) и замкнутой (рис. 4.1.б). В разомкнутой САУ динами-ческая ошибка может быть малой лишь при близости передаточ-ной функции к единице:

[ ] )()(1)( sysWse зад−=.

Изображение по Лапласу ошибки управления замкнутой САУ определяется равенством:

146

Рис. 4.1. Структуры синтезируемых разомкнутой и замкнутой систем

)()(1

1)( sysW

se задp+

= ,

где )()()( sHsWKsWp = – передаточная функция разомкнутой

системы. Очевидно, что с увеличением коэффициента усиления K значение ошибки уменьшается. Предел увеличения коэффициен-та усиления определяется требованием устойчивости САУ. Один из важных показателей систем автоматического управления – ус-тановившаяся ошибка системы.

Определение 4.1.2. Установившаяся ошибка – это ошиб-ка, существующая после окончания переходного процесса, вы-званного внешним возмущающим (возмущением) или управ-ляющим (управлением) воздействиями .

Для вычисления статической ошибки можно использовать теорему о конечном значении:

0lim lim ( ).t s

s e s→∞ →

= ⋅

W(s)

Н(s)

K

)(syзад )(se

—

)(sw)(sy—

б)

W(s)

)(sy)(syзад

a)


147

При отсутствии нулевых корней передаточной функции W(s) и при входном воздействии )(1)( ttyзад = установившаяся ошибка определяется равенством: 1). Для разомкнутой САУ (рис. 4.1.а):

[ ] )0(11)(1lim)(0

Ws

sWses

−=⋅−=∞→

,

2). Для замкнутой САУ – системы с обратной связью (рис. 4.1.б):

)0(111

)(11

lim)(0 WKssWK

ses +

=+

=∞→

.

Значение 0)( =ssW часто называют коэффициентом усиле-

ния на нулевой частоте (по постоянному сигналу). Полученные соотношения свидетельствуют о снижении динамических и уста-новившихся ошибок в замкнутых САУ за счет обратных связей.

Параметры объекта управления изменяются, что приводит к изменению его передаточной функции. Анализ влияния измене-ния параметров передаточной функции на выходной сигнал про-водится следующим образом. Пусть передаточная функция объ-екта имеет вид:

)()()( 0 sWsWsW Δ+= ,

где )(0 sW – базовое значение передаточной функции, а )(sWΔ – ее изменение, вызванное отклонением параметров в процессе рабо-ты. Тогда для разомкнутой системы изменение выходного сигна-ла )()()( sysWsy задΔ=Δ .

В замкнутой системе управления, где изображение по Лап-ласу выходного сигнала определяется равенством:

148

)())()(()(1

))()(()()(0

0 syKsWsWsH

sWsWKsysy задΔ++Δ+

=Δ+ ,

его изменение существенно уменьшается. При выполнении усло-вия )()( 0 sWsW <<Δ можно получить:

( ))(

)()(1)()( 20

sysWsHK

sWKsy зад+

Δ=Δ .

Рассмотрим влияние возмущения ( )w t на выходной сигнал системы автоматического управления. Для этого рассмотрим ошибку, вызванную возмущением, при нулевом задающем воз-действии 0=задy и докажем соответствующее утверждение. В системе без обратной связи с возмущением, приведенным к вхо-ду, изображение ошибки и ее установившееся значение при w(t)=1(t) определяются совокупностью следующих равенств:

)()()( swsWse −= , [ ] )0(1)(lim)(0

Ws

sWses

−=−=∞→

.

Для замкнутой САУ при таких условиях получим следующие со-отношения для изображения ошибки:

)()(1)()()( sw

sWsHsWse

p+−= ,

)0()0(1)0()0(1

)()(1)()(

lim)(0 HWK

HWssHsWK

sHsWses +

−=

+−

=∞→

.

Утверждение 4.1.1. Если передаточную функцию обратной связи )(sH выбирают близкой к единице, и в рабочем диапазоне частот выполняется соотношение: 1)( >>sWp , то ошибки в замк-


149

нутых САУ снижаются в К раз обратно пропорционально ко-эффициенту усиления управляющего устройства.

Рассмотренные соотношения иллюстрируют преимущества замкнутых САУ следящего типа. Далее рассматривается выбор параметров обратных связей, обеспечивающих требуемые свой-ства замкнутых систем управления.

4.2. Управляемость объектов и систем

Управляемость объекта (системы) связана с решением во-проса о возможности достижения целей управления. Решение этой задачи является первым этапом синтеза САУ, поскольку за-дача управления в ряде случаев может рассматриваться как зада-ча перевода объекта из одного состояния в другое за конечное время. Перевод координат объекта (системы) за конечное время возможен при выполнении условий осуществления этого перево-да, т.е. анализа управляемости.

4.2.1. Определение управляемости. Рассмотрим линейные непрерывные стационарные объекты (системы) управления

,,)(, 00 xCyxtxuBxAx ==+= (4.1)

где x=x(t), u=u(t), y=y(t) – векторы состояния, управления и вы-ходных координат размерности n, r и m соответственно.

Определение 4.2.1. Система (4.1) называется вполне управ-ляемой, если для любых моментов t0 и t1 (t1 > t0) и любых задан- ных состояниях x0 и x1 существует управление u(t) (для 10 ttt ≤≤ ), переводящее систему из начального состояния )( 00 txx = в ко-

нечное )( 11 txx = , где время 1t - ограничено. Управляемость дискретного стационарного объекта (систе-

мы) управления:

150

.,, 01 0 tttttt xCyxxuBxAx ==+=+ (4.2)

как и системы (4.1) определяется критерием Р. Калмана. 4.2.2. Критерий управляемости. Этот критерий формули-

руется в теореме. Теорема 4.2.1 (ранговый критерий управляемости Кал-

мана). Линейная система (4.1) в непрерывном и (4.2) в дискрет-ном времени вполне управляемы тогда и только тогда, когда мат-рица управляемости )|...|||( 12 BABAABBS n

y−= имеет ранг,

равный n - размерности вектора состояния. Решение любой задачи синтеза следует начинать с проверки

управляемости объекта. Отметим, что полная управляемость не зависит от выбора системы координат. Действительно, линейное преобразование модели (4.1) при подстановке x=Qz, где Q – не-особенная матрица размера nn× , приводит к системе

,,)(,~~0

10 zQCyxQtzuBzAz ==+= −

где BQBAQQA 11 ~,~ −− == . Матрица управляемости преобразо-

ванной системы )~|...|~~|~~|~(~ 12 BABABABS ny

−= связана с матрицей

управляемости исходной системы соотношением 1y yS Q S−= , и,

следовательно, их ранги равны. Решение задачи управляемости объектов или систем управ-

ления позволяет перейти к рассмотрению методов и методик син-теза.

4.3. Синтез модальных регуляторов

Модальные регуляторы обеспечивают САУ заданными кор-нями характеристических полиномов замкнутой системы. В тер-минах корней характеристических полиномов можно задать каче-


151

ство управления. Рассмотрим синтез модальных регуляторов на основе модели ОУ в пространстве состояний.

4.3.1. Постановка задачи синтеза модальных регулято-ров. Пусть объекты управления заданы уравнениями состояния для непрерывного времени

tt xCyxtxuBxAx ==+= ,)(, 00 , (4.3)

и для дискретного времени

.,, 01 0 tttttt xCyxxuBxAx ==+=+ (4.4)

Предполагается, что объекты вполне управляемы и управ-ляющие воздействия – скалярные функции. Требуется синтезиро-вать линейные регуляторы, обеспечивающие заданные значения корней характеристических полиномов замкнутых САУ.

Синтез модальных регуляторов осуществляется в два этапа. Первый этап заключается в приведении пары матриц А и В

к канонической форме. Задача второго этапа – вычисление па-раметров регулятора.

4.3.2. Приведение уравнений состояния к канонической форме Фробениуса. Математические модели (4.3) и (4.4) назы-ваются моделями в канонической форме Фробениуса, если мат-рица fA – фробениусова, вектор fb - соответствующего вида:

,

10

00

,1000

01000010

121⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=

−−

f

nnn

f b

aaaa

A

152

где ia – коэффициенты характеристического полинома матрицы

A и Af: nnn

n aa +++= − ...)( 11λλλχ . Следует отметить, что фробе-

ниусова матрица fA может быть представлена в стандартном

виде:

TnnT

nnf aeI

aE

A ⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −− )1(110,

где Tnn aaaa ),...,,( 11−= , )( p

nI – p-й единичный «косой ряд» по-

рядка n при 1=p , nе - едиичный вектор, состоящий из единиц. Для того чтобы привести матрицу объекта или системы к

канонической форме, используем верхнюю треугольную относи-тельно второй диагонали матрицу nnRT ×∈ , образованную из ко-эффициентов характеристического полинома матрицы объекта управления A так, что:

.

0001

00011

43

32

121

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= −−

−−

−−

nn

nn

nn

aaaa

aaa

T

Для выполнения преобразования подобия используем мат-рицу TSQ y= , где

)|...|||( 12 BABAABBS ny

−=

– матрица управляемости системы. Тогда столбцы матрицы

),...,,( 21 nqqqQ = примут вид:


153

.,)(

,)(

,)...(...

111

233

12

23

12

2

122

11

12

11

1

bqbEaAbaAbq

bEaAaAaAbabAabAq

bEaAaAaAbabAabAq

nn

nnnn

nnn

nnnn

nnn

=⋅+=+=

⋅++++=+++=

++++=+++=

−

−−−−

−−−

−−−−

−−−

Замена переменных zQx = в (4.3) и (4.4) позволяет получить:

bQbQAQA 11 ~,~ −− == .

При этом столбцы произведения некоторых рассмотренных выше матриц принимают следующий вид: ),...,,( 21 nqAqAqAAQ = , где отдельные столбцы определяются равенствами*:

.)(

;)(

;)...(

;)...(

1111

222212

1

11112

11

2

11

11

nnn

nnn

nnnnnn

nnnnnnnn

qaqbEaEaAAq

qaqbEaEaAaAAq

qaqbEaEaAaAAq

qababEaEaAaAaAAq

−=−+=

−=−++=

−=−+++=

−=−=−++++=

−

−−

−−−−−

−−

Полученные соотношения представляются разностями матриц:

),...,,(),...,,,,0( 111221 nnnnnnn qaqaqaqqqqAQ −−− −= .

* Соотношения получены с учетом теоремы Кэли–Гамильтона, утвер-ждающей, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характери-стическому уравнению 0)( =Anχ .

154 В результате подобного преобразования каноническая фор-

ма матриц определится равенствами

.~

,),...,,(),...,,0(~

11

)1(11

111

11

nn

Tnnnnnnnn

eqQbQb

aeIqaqaqaQqqQQAQA

===

−=−==

−−

−−

−−−

Можно сделать замечания по полученным результатам: 1. Для вычисления вектора коэффициентов характеристиче-

ского уравнения матрицы управляемой системы (см. выше) мож-но использовать равенство

bASa ny

1−−= , (4.5)

которое получается подстановкой матрицы A в характеристиче-ское уравнение и умножением его слева на b:

.0...)( 11

1 =++++= −− baAbabAabAbA nn

nnnχ

Последнее равенство можно преобразовать:

aSbabAabAabA ynnnn −=+++−= −− )...( 2

21

1

и получить для управляемой системы (4.5). 2. Для двух вариантов модели одного объекта или системы,

определяемых соответственно параметрами ),( bA и )~,~( bA , мож-но найти матрицу линейного преобразования Q, если объект или система автоматического управления вполне управляемы:

1~−= yy SSQ , где матрицы определяются равенствами:

.)~~|...|~~|~(~,)|...||( 11 bAbAbSbAAbbS ny

ny

−− ==

3. Математическая модель ubxAx += может быть эквивале-


155

нтна одному дифференциальному уравнению n-го порядка:

)()(...)()( )1(1

)( tutyatyaty nnn =+++ − ,

где параметры определены равенством: nT

nn ebaeIA =−= ,)1( . 4.3.3. Выбор параметров модального регулятора. Реше-

ния дифференциальных и разностных уравнений систем управле-ния полностью определяются собственными числами матриц, на-чальными условиями и внешними воздействиями. Если два по-следних фактора являются внешними и независимыми от систе-мы управления, то собственные значения математической модели замкнутой системы зависят от выбора управления и определяют характер поведения системы. Желаемый характер переходных процессов определяется значениями корней характеристического уравнения объекта или замкнутой системы автоматического управления.

Постановка задачи выбора параметров. Пусть имеются непрерывные или дискретные объекты или системы автоматиче-ского управления, которые являются вполне управляемыми, опи-сываемые следующими моделями «вход-состояние-выход». То-гда можно использовать описание уравнениями

для непрерывного времени

,)0(

,)(,)(

,

0

1

xx

RtuRtx

ubxAxn

=

∈∈

+=

для дискретного времени

.

,,

,

00

1

xx

RuRx

ubxAx

tn

t

ttt

=

∈∈

+=

(4.6)

Определить параметры Tnkkkk ),...,,( 21=

линейных законов

управления с обратной связью:

),()( txktu T= ,tT

t xku = (4.7)

156

обеспечивающие заданные значения корней характеристического уравнения замкнутой САУ:

устn

устуст λλλ ,...,, 21

(собственные числа матрицы замкнутой системы). Теорема 4.3.1. Если пара (A,b) системы (4.6) вполне управ-

ляема, тогда всегда можно построить управление (4.7), обеспечи-вающее для матрицы уравнений замкнутой системы

xkbAx T ⋅+= )( tT

t xkbAx ⋅+=+ )(1

любые заданные собственные значения. Доказательство. Пусть требуемые собственные значения

матрицы замкнутой системы определяются значениями: устn

устуст λλλ ,...,, 21 . Тогда можно вычислить коэффициенты характеристического уравнения, имеющего заданные корни:

....)()( 22

1

11 n

nn

i

nnустi

устn aaa ++++=−= −

=

−∏ λλλλλλχ

По формулам Виетта и заданным значениям корней вычис-ляются коэффициенты характеристического уравнения:

( )

1 2 31

1 2

; ; ;

1 .

n n nуст уст уст уст уст уст

i i j i j li i j i j l

n уст уст устn n

a a a

a

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

= > > >= − = = −

= −

∑ ∑ ∑

………………………

…

Из вычисленных коэффициентов образуем вектор T

nnуст aaaa ),...,,( 11−= . С помощью преобразования

xQx ~= (4.8)


157

матрица модели объекта (4.6) приводится к канонической форме Фробениуса:

nT

nn ebpeIA =−= ~,~ )1( ,

где Tnn pppp ),...,,( 11−= – вектор, составленный из коэффици-

ентов характеристического уравнения матрицы объекта. Управ-ляющее воздействие (4.7) в новом базисе (4.8):

,~~ xku T=

где kQk T=~ . Подставив управление u в уравнение объекта, при-веденное к канонической форме, получим уравнения замкнутых систем для непрерывного и дискретного времени:

,~)~~~(~ xkbAx T+= .~)~~~(~11 ++ += t

Tt xkbAx

Матрица замкнутой системы (с учетом A~ ) принимает вид:

.)~(~ )1( Tnnз kpeIA −−=

Для того чтобы эта матрица имела требуемые собственные зна-чения необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического уравнения соответствовали вектору устa :

.~kpaуст −=

Поставленная выше задача решается путем выбора коэффи-циентов регулятора из соотношения

)()( 1

устT apQk −= − . (4.9)

Синтезированные параметры пропорциональной обратной связи определяют обратные связи в пространстве новых коорди-

158

нат (новом базисе), в котором матрица объекта имеют канониче-ские формы. Для формирования управлений в исходном базисе необходимо использовать вектор исходных координат состояния. В результате пропорциональный закон управления как линейная функция исходных координат состояния примет вид (4.9).

Методика синтеза замкнутых систем модального управле-ния широко используется при синтезе систем управления и регу-ляторов основного контура (РОК) адаптивных систем.

4.4. Синтез оптимальных стабилизирующих управлений

Рассмотрим решение задачи синтеза систем управления, обеспечивающих качественные показатели, исходя из минимиза-ции интегральных или суммарных функционалов качества замк-нутой системы.

4.4.1. Постановка задач. Пусть заданы непрерывные и дис-кретные объекты или системы автоматического управления, оп-ределяемые совокупностью уравнений в непрерывном или дис-кретном времени:

для непрерывного времени ,)(),,,( 0

0 xtxtuxfx ==

для дискретного времени ,),,,( 0

1 0 xxtuxfx tttt ==+ (4.10)

где mn RuRx ∈∈ , и заданы на конечных интервалах времени функционалы качества процессов в непрерывных (слева) и дис-кретных (справа) системах автоматического управления:

∫ Φ+=kt

tkk ttxdttuxJ

0

),),((),,(ω ( )

( )0

, ,

, .

kt

t tt t

k k

J x u t

Ф x t

ω=

= +

+

∑

(4.11)

Требуется определить оптимальные управления системой с об-


159

ратной связью ,)(xuu = ,)( tt xuu = (4.12)

обеспечивающие минимум интегрального (для непрерывной сис-темы) или суммарного (для дискретной системы) функционала (4.11) и стабилизацию САУ. Такая задача называется задачей оптимальной стабилизации. Для решения задачи используем необходимые условия оптимальности, следующие из метода динамического программирования Р. Беллмана.

4.4.2. Общий метод синтеза. Рассмотрим вывод функцио-нального уравнения Беллмана как необходимого условия оп-тимальности для задачи оптимальной стабилизации. Пусть уравнение возмущенного движения объектов имеет вид (4.10)

),,( tuxfx = ,

а функционал качества определяется соответствующим выраже-нием (4.11). Введем функцию Ляпунова–Беллмана аргументов t и х(t) и рассмотрим ее значения для моментов t и (t+s):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Φ+= ∫

kt

tkk

uttxduxtxV )),((),,(min),( ττω , (4.13)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Φ+=++ ∫

+

kt

stkk

uttxduxststxV )),((),,(min)),(( ττω . (4.14)

Управление u должно доставлять минимум J для любого значе-ния s > 0. Следовательно, уравнение (4.13) для любого значения s > 0 можно переписать с учетом (4.14) в преобразованном виде

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++= ∫

+st

tu

ststxVduxttxV )),((),,(min)),(( ττω . (4.15)

160

Если V(. , .) – гладкая функция, то существует предел

xxV

tV

sttxVststxV

s ∂∂

+∂∂

=−++

→

)),(()),((lim

0.

Учитывая это, а также независимость V от u можно из функцио-нального уравнения (4.15) получить преобразованное уравнение:

,)),(()),((),,(min0 *** ss

ttxVststxVtuxu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −++

+= ω (4.16)

где )(* ⋅ω – значение, соответствующее теореме о среднем для интеграла в равенстве (4.15). После сокращения в выражении (4.16) на s и перехода к пределу при s→0 получим необходимое условие оптимальности – уравнение Беллмана

min ( ) ( , , ) 0,u

V x x u tω⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ (4.17)

обеспечивающего минимум интегрального функционала в (4.11) для открытой области изменения mu R∈ . Если область определе-ния ограничена ( Du∈ ), то уравнение (4.17) запишется в виде:

[ ] 0),,()(inf =+∈

tuxxVDu

ω . (4.18)

Основную роль в уравнениях (4.17) и (4.18) играет функция V(x(t),t), которая является функцией Ляпунова, удовлетворяющей граничным условиям: )),(()),(( kkkk ttxttxV Φ= при ∞<kt ;

0)),(( =kk ttxV для ∞=kt . Уравнение Беллмана для дискретных систем имеет вид:

,0)],,([min =+Δ tuxV tttut

ω (4.19)

где tVΔ – приращение функции Ляпунова на траекториях (4.10).


161

4.4.3. Синтез оптимальных управлений для линейных объектов. Рассмотрим линейные уравнения динамики непрерыв-ных и дискретных объектов, имеющие следующие формы для:

непрерывных объектов: ,)0(, 0xxuBxAx =+=

дискретных объектов: 0

1 0, .t t tx Ax Bu x x+ = + = (4.20)

Пусть интегральные и суммарные функционалы (4.11) равны:

( ) ,0∫∞

+= dtuRuxQxJ TT ( ),0∑∞

=+=

tt

Ttt

Tt uRuxQxJ (4.21)

где 0,0 >=≥= TT RRQQ . Предполагается, что объект вполне управляемый. Найдем

управления с обратной связью, минимизирующие функционалы (4.21) на траекториях систем (4.20). Представим уравнения Белл-мана (4.17) и (4.18) для непрерывных и дискретных систем в со-ответствующих формах, которые имеют соответствующие виды:

для непрерывных объектов для дискретных объектов

0)(min =++∈

uRuxQxV TT

Ru m

min(

) 0.

mt

tu R

T Tt t t t

V

x Q x u Ru∈

+

+ + =

Выберем функции Ляпунова для непрерывных и дискретных объектов в виде соответствующих квадратичных форм:

,)( xPxxVV T== ,)( tT

ttt xPxxVV == (4.23)

где 0>= TPP . Для преобразования необходимых условий (4.22) вычислим полную производную )(xV и приращение tVΔ в силу уравнений объекта управления. Тогда можно получить два

(4.22)

162

класса уравнений для непрерывных и дискретных систем, полу-ченные вычислением полной производной или приращения функ- ций Ляпунова в силу исследуемых систем. Получим для непре-рывных и дискретных систем соответствующие полные произ-водные и приращения, вычисленные в силу уравнений: для непрерывных объектов:

( ) 2 ,T T T T T T Tx Ax BuV x P x x P x x A Px x PAx u B Px= += + = + +

для дискретных объектов:

11 1( )

2 .t t t

T Tt t t t t x Ax Bu

T T T T T T Tt t t t t t t t

V x Px x Px

x A P Ax x Px u B PAx u B PBu++ + = += − =

= − + +

Далее необходимо подставить полную производную функ-ции Ляпунова )(xV и приращение функции Ляпунова tVΔ в соот-ветствующие (непрерывные и дискретные) уравнения Беллмана (как необходимые условия экстремума оптимизации).

В результате можно получить преобразованные уравнения Беллмана как необходимые условия оптимальности для рассмат-риваемых задач оптимизации в непрерывном и дискретном вре-мени. Условия оптимальности, соответствующие непрерывному и дискретному времени обладают специальной правой частью, представляющей собой конечномерную экстремальную задачу:

.0)

2(min

,0)2(min

=+++

++−

=++++

∈

∈

tT

ttT

ttT

t

tTT

ttT

ttTT

tRu

TTTTTTT

Ru

uRuxQxuPBBu

xAPBuxPxxAPAx

uRuxQxxPBuxPAxxPAx

m

m

(4.24)


163

Вычислим минимум в левых частях полученных уравнений Беллмана для непрерывных и дискретных систем, используя пра-вила векторного дифференцирования линейной и квадратичной

форм вида: ( ) ( ) MxxMxcxc xT

xT 2, =′=′ . Используя необходимое

условие экстремума, можно получить линейные алгебраические уравнения для непрерывных и дискретных объектов:

,022 =+ uRxPBT 0222 =++ ttT

tT uRuBPBxPAB

Тогда минимизирующие элементы *u и *tu примут вид:

,1* PxBRu T−−= ,1*

tT

t xPABRu −−= (4.25)

.BPBRR T+=

При подставке управлений *u и *tu в уравнения динамики непре-

рывных и дискретных объектов (4.24) можно получить уравнения для непрерывного (слева) и дискретного (справа) времени:

,0][ 1 =+−+ − xQPBPBRPAPAx TTT

.0]

[1 =+−

−−−

tTT

TTt

xQPABRPBA

PAPAx

Для выполнения полученных равенств при любых векторах x и tx необходимо, чтобы выполнялись матричные уравнения:

,1 QPBPBRPAPA TT −=−+ − ,

,1

PBBRR

QPABRPBA

PAPA

Т

TT

T

+=

−=−

−−− (4.26)

которые называются уравнениями Риккати относительно мат-рицы Р для непрерывных и дискретных систем. Решения матрич-ных нелинейных алгебраических уравнений (4.26) не единствен-

164

ны. Необходимо с помощью численных методов найти решение, которое является положительно определенной матрицей. Суще-ствование такого решения определяется следующей теоремой.

Теорема 4.4.1. Для существования единственного поло-жительно определенного решения алгебраического уравнения Риккати достаточно выполнения условий: 1). Пара матриц (A,B) должна быть невырожденной, т.е. объект (4.20) с параметрами A, B – вполне управляемый; 2). Матрица R>0 (матрица – положительно-определенная); 3). Требуется выполнение одного из двух условий: а). Матрица 0>Q - положительно-определенная матрица;

б). Матрица 0≥Q и представима в виде CCQ T= , причем пара

),( TT CA - невырожденная. Таким образом, оптимальные управления осуществляется

регуляторами пропорционального типа (4.12) ( xKu =* , )tt Kxu =∗ параметры которых определяются уравнениями (4.26) так, что:

для непрерывных систем ,1 PBRK T−−=

для дискретных систем .1 PABRK T−−=

Приведенные результаты являются решением задачи опти-мальной стабилизации и основой для синтеза оптимальных регу-ляторов.

4.5. Наблюдаемость объектов и систем

Синтезированные ранее в п. 4.3 и 4.4 законы управления ос-нованы на использовании для управления координат состояния объекта. Известно, что координаты состояния часто не могут быть измерены и возникает задача восстановления координат со-стояния по измерениям выходных координат )(ty или ty .


165

Определение 4.5.1. Объекты (4.10) называются вполне на-блюдаемыми, если по точным измерениям векторов выхода )(ty и входа )(tu (или ty и tu ), а также их производных (конечных разностей) можно определить оценки векторов состояния непре-рывных объектов ( )x t или дискретных объектов tx , такие, что

выполняется условия ( ) ( )limt

x t x t→∞

= для непрерывного объекта и

lim t tt

x x→∞

= для дискретного объекта. Для оцениваниякоординат

состояния по выходным координатам необходимо выполнение критериев наблюдаемости.

Теорема 4.5.1 (критерий наблюдаемости для линейных систем). Для того чтобы объекты

,, uDxCyuBxAx +=+=

,,1

ttt

ttt

uDxCyuBxAx

+=+=+ (4.27)

были вполне наблюдаемыми, необходимо и достаточно выполне-ние рангового критерия

nCACACACrank TnTTTTTT =− ])(||)(||[ 12 , )(dim xn = . (4.28)

Рассмотрим доказательство достаточности (4.28) для непре-рывных объектов. Поскольку )(tu измеряется и параметры моде-ли (4.27) известны, можно ограничиться вариантом D=0. Про-дифференцируем вектор выхода (n–1) раз. Тогда:

,

,

,

2 uCBCABuxCAuCBxCAydtdy

CBuCAxxCy

Cxy

BuAxx

BuAxx

′++=′+′=′=′′

+=′=′

=

+=′

+=′

166

∑−

=

−−−− +=

′′+′++=′′=′′′

2

0

)2(1)1(

23

.

,

n

l

lnlnn BuCAxCAy

uCBuCABBuCAxCAydtdy

Представим подчеркнутые слагаемые системы через остальные переменные рассматриваемой системы. Тогда можно получить следующие соотношения:

( )

2 3 2

211 2

0

, ,

, ,

.n

nn l n l

l

Cx y CAx y CBu

CA x y CABu CBu CA x y CA Bu CABu CBu

CA x y CA Bu−

−− − −

=

′= = −

′′ ′ ′′′ ′ ′′= − − = − − −

= − ∑

… … … (4.29)

Система линейных алгебраических уравнений (4.29) разре-шима относительно координат вектора состояний x, если ранг матрицы системы равен n:

nCACACACrang n =− ]...[ 12 .

Поскольку при транспонировании ранг матриц не изменяется, то доказана достаточность условия полной наблюдаемости (4.28).

Определение 4.5.2. Устройства, используемые для вычис-ления координат состояния по измерениям выходных координат, называются наблюдателями состояния.

Известны разомкнутые и замкнутые наблюдатели, причем структурная схема таких устройств, предложенная Люенберге-ром, описывается уравнениями

.)~(~~, xCxCLuBxAxuBxAx −++=+= (4.30)


167

Структурная схема наблюдателя Люенбергера, соответствующая уравнениям (4.30), представлена на рис. 4.2. Изменение ошибки

наблюдателя )(~)()( txtxtedtd

−= определяют на основе использо-

вания соотношений (4.30), что приводит к уравнению ошибки:

Рис. 4.2. К структуре наблюдателя Люенбергера

.)( eLCAe −= При синтезе систем с наблюдателями управление строится в функции оценки xKu ~= . Тогда уравнения объекта и наблюдателя определяются уравнениями:

,~~)(~,~ xBKxLCxLCAxxBKxAx ++−=+=

Введение ошибки преобразует уравнения наблюдателя к виду:

.)(,)( eLCAeeBKxBKAxx −=−+= (4.31)

Если ввести вектор [ , ]Tz x e= , то системе (4.31) соответствует однородное дифференциальное уравнение с блочной матрицей

168

, .0c c

A BK BKz A z A

A LC+ −⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

При этом матрица Ac замкнутой системы имеет такие же собст-венные значения, что и стоящие на главной диагонали блоков

BKA+ и LCA− . Таким образом доказано утверждение. Утверждение 4.5.1.Если система (4.27) управляемая и на-

блюдаемая, то можно выбрать матрицы K и L так, что обратная связь xKu ~= с наблюдателем (4.30) стабилизирует систему.

Таким образом, для наблюдаемых объектов синтезируются наблюдатели для оптимальной стабилизации и других задач.

4.6. Синтез стабилизирующих регуляторов на основе моделей «вход–выход»

При проектировании определенного класса систем управле-ния стремятся использовать наиболее простую зависимость управления от выходных переменных. Желательно строить управление в функции выхода в наиболее простой форме yKu = , однако далеко не всегда это приводит к успеху. Рассмотрим воз-можность построения устойчивых систем управления с заданны-ми полюсами передаточной функции при управлении по выходу.

4.6.1. Постановки задач. Пусть заданы математические мо-дели вполне управляемых непрерывных и дискретных объектов в виде соотношений «вход–выход», которые представляются урав-нениями:

для непрерывного времени ,)()()()( tupbtypa =

для дискретного времени ,)()( tt ubya ξξ = (4.32)

где 1, +

ΔΔ== tt yy

dtdp ξ - операторы дифференцирования и сдви-


169

га, определяющие приводимые полиномы для непрерывных и дискретных полиномиальных моделей объектов (или систем):

,)( 10n

naaaa λλλ +++= … mmbbbb λλλ +++= …10)( , причем для

полиномов правых и левых частей уравнений выполнены условия реализуемости: 0, ≠≥ namn . Будем предполагать, что регуля-тор описывается аналогичными уравнениями (не сужающими общность классов регуляторов), которые для непрерывного и дискретного времени также представляются в полиномиальной форме:

,)()()()( typtup βα = ,)()( tt yu ξβξα = (4.33)

где ,)( 10r

rλαλααλα +++= … ,)( 10l

lλβλββλβ +++= … ,lr ≥ 0≠rα . Требуется выбрать параметры регулятора α(λ), β(λ), обеспе-

чивающие заданные значения корней характеристического урав-нения замкнутой системы (сравните с постановкой задачи, при-веденной в п. 4.3):

.)()()()()( λβλλαλλχ ba −= (4.34)

4.6.2. Решение задач. Решение поставленных задач для не-прерывного и дискретного времени обладают общностью. По-этому рассмотрим решение для непрерывного объекта. Задав корни характеристического уравнения, а, следовательно, и коэф-фициенты характеристического полинома )(λχ , определим по-линомы α(λ), β(λ), удовлетворяющие уравнению (4.34). Решение задачи связано с использованием результатов теоремы.

Теорема 4.6.1. Если полиномы a(s), b(s) взаимно просты (т.е. не имеют общих корней), то полиномиальное уравнение

1)()()()( =+ srsbspsa , (4.35)

170

где неизвестными являются коэффициенты полиномов p(s), r(s), всегда имеет решение p0(s), r0(s) такое, что ,1)(deg)(deg 0 −≤ sbsp

1)(deg)(deg 0 −≤ sasr . Общее решение (4.35) определяется равен-ствами

)()()()(,)()()()( 00 sQsasrsrsQsbspsp −=+= , (4.36)

где Q(s) – произвольный полином. Доказательство. Прежде всего, отметим выполнение усло-

вия о взаимной простоте полиномов a(s), b(s), поскольку предпо-лагалось, что объект (4.32) вполне управляем. Решение уравнения (4.35) минимальной степени

1110

01110

0 )(,)( −−

−− +++=+++= m

mn

n spsppspsrsrrsr ……

находят подстановкой p0(s), r0(s), а также a(s), b(s) в (4.35). При-равнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра s в левой и правой частях равенства, получим систему из (m+n) уравнений с (m+n) неизвестными, которая не вырождена в силу взаимной простоты полиномов a(s), b(s). Определив p0(s), r0(s), удовлетворяющие (4.35), можно убедиться, что соотношения (4.36) также являются решением (4.35).

На основе теоремы 4.4 можно вычислить полиномы α(λ), β(λ), обеспечивающие формирование характеристического урав-нения (4.34) замкнутой системы. Для этого достаточно умножить соотношение (4.35) на )(λχ и определить параметры управляю-щего устройства из следующей совокупности полиномиальных уравнений:

.)()()()()(,)()()()()( 00 sQsassrssQsbssps +−=+= χβχα


171

Тогда управляющее устройство с передаточной функцией: ( ) ( ) / ( )yW s s sβ α= обеспечивает требуемый вид характеристичес-

кого полинома замкнутой системы )(λχ . Однако такое решение некорректно. Передаточная функция

управляющего устройства может не отвечать требованиям реали-зуемости. Это связано с тем, что порядок полинома числителя превышает порядок полинома знаменателя при строгом неравен-стве mn > . Кроме того, характеристический полином замкнутой системы (4.34) является разностью полиномов, имеющих степень большую, чем )(λχ . Это предполагает сокращение в правой час-ти (4.34) всех слагаемых, степень которых превышает )(deg sχ . Если параметры объекта управления окажутся «мало» отличаю-щимися от планируемых (или параметры регулятора )(sWy не-

сколько изменятся), то ожидаемого сокращения не произойдет, и характеристический полином системы примет вид:

)(~)()( sss χεχχε += , где )(λχ – устойчивый полином; )(~ λχ – полином большей степе-ни чем полином )(λχ ; где ε – малый параметр. Системы с такими характеристическими полиномами обычно неустойчивы.

Для решения задачи представим передаточную функцию управляемого объекта в эквивалентной (4.32) форме:

)()()(,

)()()(,

)()()(0 sf

sasAsfsbsB

sAsBsW === ,

где f(s) – произвольный устойчивый полином степени n, не имею- щий одинаковых корней с полиномами a(s) и b(s). Вместо усло-вия (4.35) запишем уравнение

1)()()()( =+ sRsBsPsA , (4.37)

172

решением которого являются дробно-рациональные функции P(s) и R(s). Для синтеза регуляторов можно использовать теорему.

Теорема 4.6.2. Пусть полиномы А(s) и В(s) взаимно про-стые. Тогда решением (4.37) являются устойчивые передаточные функции P(s), R(s) и все стабилизирующие регуляторы имеют вид

)()()()()()()(

sQsBsPsQsAsRsWy +

−= , (4.38)

где Q(s) – произвольная правильная устойчивая передаточная функция. Для того чтобы убедиться, что управляющее устройст-во, определяемое соотношением (4.38), обеспечивает устойчи-вость замкнутой системы, найдем ее передаточную функцию замкунутой системы:

.))()()(()(

))()()(()())()()()(())()()(()(

)()(1)()(

)(0

0

sQsAsRsB

sQsAsRsBsQsBsPsAsQsAsRsB

sWsWsWsW

sWy

yз

−=

=−++

−=

=+

=

Поскольку A, B, R, P, Q – правильные устойчивые дробно-рациональные функции, то их суммы и произведения будут иметь такие же свойства.

Синтезированные стабилизирующие регуляторы для моде-лей типа «вход-выход» могут использоваться для решения задач робастного управления в теории адаптивных систем.

4.7. Синтез локально-оптимальных дискретных систем

Локально-оптимальные дискретные системы управления


173

синтезируются на основе прогнозирования состояний (выходов) и целевых условий для состояний (выходов) при минимизации квадратичных функционалов мгновенных ошибок и затрат на управление. При этом должно обеспечиваться устойчивость на полубесконечном интервале. Важная задача управления связана с прогнозированием состояний или выходов на один или несколько шагов, что позволяют компенсировать временное запаздывание в дискретных системах и повысить точность стабилизации, не-смотря на локальный характер функционала качества. Динамиче-ская модель предполагается известной, а координаты состояния (выходы) – доступными измерению. 4.7.1. Уравнения замкнутых локально-оптимальных систем. Пусть дискретные объекты управления описываются од-ним из следующих разностных уравнений:

001 ,, xxCxyFuHxx kkkkkk ==+=+ , (4.39.а)

001 ,),()( xxCxyuFxHx kkkkukxk ==Φ+Φ=+ , (4.39.б)

001 ,,)()( xxCxyuxFxHx kkkkkkk ==+=+ , (4.39.в)

причем первое уравнение – линейное, второе – кусочно-линейное с операторами, определенными в разделе 2, а третье уравнение – нелинейное с операторами правой части общего вида (включая кусочно-линейные операторы). Предположим, что управления формируются статическими (безинерционными) регуляторами

.),( mmkkk RГxГuu ×∗ ∈= (4.40)

В приведенных соотношениях векторы состояний kx и вы-

хода ky описывают эволюцию системы в дискретном времени, а

174

ku и )( kk xu∗ соответствуют векторам результирующих и прогно-зируемых управлений. Используемая для вычисления управлений модель представлена линейными разностными уравнениями

1 , .k м k м k k м kx H x F u y C x+ = + = (4.41)

Матрицы в (4.41) согласованы с уравнениями объекта так, что для (4.39.а) CCFFHH MMM === ,, . Для (4.39.б) матрицы моде-ли равны матрицам Якоби, вычисленным в окрестности стацио-нарной точки ),( ** ux , где правая часть предполагается диффе-

ренцируемой: )(),( *'*' uFFxHH uMxM =Φ= , CCM = . Для уравне-ний (4.39.в) данные матрицы вычисляются аналогично и равны матрицам Якоби: CCuFFxHH MMxM === ),(,)]([ *''* .

Математическая модель объекта управления (4.41) имеет эквивалентное представление и определяет в пространстве расширенных переменных kz линейное многообразие:

01{ ( , ) | [ | ] }.T

z k k k k м м k м kD z y u Az E C F z cH x bΔ Δ

+= = = − = = (4.42)

Вектор прогнозируемых управлений )( kk xu∗ вычисляется реше-нием задачи математического программирования (МП): вы-числить вектор:

}41,|min{arg, −=∈+=== ∗∗ lDzRuuQyyJzTzu lzkk

Tkk

Tkkkk . (4.43)

В равенствах (4.43) включением zk Dz ∈ заданы целевые условия для координат выхода и управлений, преобразующиеся при

EC = в условия для координат состояния 1kx + и управлений ku . Одновременно учитывается ограниченность управлений. Матри-цы T позволяет выделить вектор ku из вектора расширенных ко-


175

ординат kz . Множества lx

ly DDD ,,0 и l

uD в задаче определены в

табл.4.1. Матрицы Q и R для сокращения преобразований при-няты диагональными и положительно определенными.

Таблица 4.1 Типовые множества и операторы проектирования

Типовые множества nl RD ∈ Операторы

проектирования На типовые множества

Подпространство:

},~,0~{~0 nqrAzAzD nq ≤∈== × 0100 ]~)~~(~[)(~ zAAAAEzP TT −−=

Многообразие:

},~,~{0 nqRAbzAzD nq ≤∈== × bAAAzPzP TT 10001 )~~(~)(~)( −+=

Параллелепипед:

},{1 +−+− <≤≤= zzzzzzD

( )1 0 0 0

2

P z z z z z

z z

− +

− +

⎡= − − − +⎣⎤+ + ⎦

Используемые модели, целевые условия и ограничения по-

зволяют свести задачу вычисления управлений к минимизации функционала J в соответствии с (4.43) на одном из множеств

4,1,0 =lDD l∩ . Функционал J не удовлетворяет условию равного возраста-

ния из точки безусловного минимума, и для применения анали-тических методов требуется симметризация. Поскольку матрицы Q и R минимизируемого функционала диагональные, т. е.:

midiagRRrjdiagQQ ij ,1,0,,1,0 =>==>= , то в силу методики

симметризации необходимо ввести новые переменные, опреде-ленные вектором:

176

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

k

k

k

k

uy

RQ

uy 1

2/1

2/11

00

~~

. (4.44)

Квадратные корни из числовых матриц Q и R в (4.44) представ-

ляют собой диагональные матрицы с элементами 2/1jQ и 2/1

iR . По-

сле этого исходная задача квадратичного программирования примет вид: найти пару, задаваемую вектором

{ }zkkkkkkl

k DzzuyJJuyz ~222

1**

1* ~,~~~minarg),~(~ ∈=+=== ++ , (4.45)

где множество ozD - линейное многообразие:

,~,)(~,~~),~(~,~~~)~,~(~{

2/1

12/12/11

0~

M

MkkT

kkkz

CHQH

RCFQFxHbFEAbzAuyzD

=

==−==== −+

а множества lzD~ соответствует l

yD и lyD в новом пространстве и

определяется с учетом равенства (4.43) и данных табл. 4.1. Для решения задачи (4.45) в операторном виде, задающем аналитиче-ски алгоритм управления, можно использовать методы аналити-ческого вычисления минимизирующих элементов.

Для ограничений типа линейных многообразий можно ис-пользовать результаты, приведенные в табл. 4.1. В общих случаях можно воспользоваться результатами, следующими из условий Лагранжа, теоремы Куна-Таккера и аппроксимации множеств ог-раничений.

Лемма 4.7.1 (о минимизации линейных функционалов). Пусть выполнены следующие условия:

1. Рассматривается задача минимизации: вычислить вектор, досталяющий условный минимум линейному функционалу:


177

2.Эллипсоид аппроксимирует параллелепипед ограничений, при-чем замена переменных:

( ) ( ) ( )1/2 1/2, , TZ Q X d X Q Z d Z d Q Z d−= + = − − − = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

2

( ) ( )

.

Т Т

Т

Q X d d Q Q X d d X Q QQ X

X X r

− − − −= + − + − = =

= ≤

преобразует ограничения и задачу к виду: найти вектор

1/ 2* 1/ 2

1/ 2

( )arg min

.оТ Т

о оо о о

AZ A Q X dX c Q X c d

A Q X A d bϕ

−−

−

⎧ = + =⎪= = +⎨= + =⎪⎩

3. В новых переменных ограничения задачи принимают вид:

1/ 2 2{ , , , , } .Т nо о о xAX b A A Q b b A d rang A m X X r R−= = = − = ≤ ∈

4. В компактном виде последняя задача сводится к отысканию минимума линейного функционала fXcJ Т += при ограничениях:

.rXX,bAX Т 2≤=

Тогда аналитическое решение задачи оптимизации имеет вид:

,)(,~),211(~)( 10000 bAAAbPbPcPcPcPcPX TTAA −∗ =+=−−=λ

λ

где множитель Лагранжа λ вычисляется из уравнения:

2 1 2 00, 4 ( ) 4 0, 0.Т Т Тb AA b r c P cαλ β α β−− = = + > = >

.RnQrang,r)dZ(Q)dZ(

,mArang,nm,RA,bZAzcminargz n

ZТ

onm

оооТо

* ∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤−−

=≤∈===

×

2ϕ

178

определяющего два значения −λ и +λ , одно из которых соответ-ствует максимуму, а другое - минимуму линейного функционала, причем: ( ) ./ / 21αβλ ∓∓ = Окончательный вид решения представ-

ляется равенством:

* 1/ 2 * .z Q x d−= +

Решение определяет минимум на компактном множестве в ана-литической форме (доказательство см. в приложении).

Лемма 4.7.2 (о минимизации квадратичных функциона-лов). Пусть выполнены следующие условия:

1. Задача квадратичного программирования имеет вид: най-ти вектор, минимизирующий заданный квадратичный функцио-нал, на допустимом множестве, заданном в виде пересечения ли-нейного многообразия и параллелепипеда, который аппроксими-рован эллипсоидом так, что

}.,|)()({minarg 2rQxxbAxcXcXX TT ≤=−−==∗ ϕ

Тогда в зависимости от принадлежности точки минимума функционала границе или внутренней части допустимого множе-ства оптимальное решение определяется предикатным соотноше-нием, которое учитывает различные ситуации, возникающие при практическом применении численно-аналитических процедур:

[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈=

∉+

+=

==∗∗

∗

∗

,int если ),(

;int* если ,)1(

1)(

)(*000

20

DXCPX

DXbPCPX

XX

A

λλ

λ

где параметр λ вычисляется как решение квадратного уравне-


179

ния: 0322

1 =α+λα+λα , параметры которого определяются ра-

венствами: bAAbr TT 121 )( −−=α , bAAb TT 1

2 )(2 −−=α ,

bAAbCPCr TTT 1023 )(~ −−−=α . Символом int D обозначена

внутренность множества D, которая определяется как множество точек открытого множества, полученного из этого множества ис-ключением граничных точек. Из пары решений квадратного уравнения выбирается значение, соответствующее минимуму функционала. Значение параметра λ может быть определено из условий теоремы Куна-Таккера, определяющей необходимые и достаточные условия для конечномерных задач выпуклого про-граммирования (доказательство леммы приведено в приложе-нии).

Следствие к леммам 4.7.1 и 4.7.2 (достаточный крите-рий совместности ограничений задач МП). Пусть выполнены условия задач, сформулированных в леммах 4.7.1 и 4.7.2. Тогда критерий совместности ограничений задач МП формулируется как условие существования вещественных решений квадратного алгебраического уравнения:

04 3122 >− ααα ,

где параметры, связанные с параметрами исходной экстремаль-ной задачи, определены в леммах 4.7.1 и 4.7.2.

Условия соместности могут быть использованы при опреде-лении условий реализации технических требований к системе. Аналитический характер условий совместности позволяет полу-чать качественные результаты. В частности, можно использовать условия для фомулировки критериев управляемости

В дополнение к приведенным результатам можно отметить, что вектор результирующих управлений задается равенствами:

180

).(],)([~

),(~)(,

000000

0

kkkkl

l

llkkМkkkk

zPzzzPPp

pzTxHzTzuu

=−=

+=Φ=Γ=Γ= ∗∗∗ α

(4.46)

Соотношения (4.46) представляют собой оператор конечномер-ной оптимизации, согласованный с задачей (4.44), если матрицы функционала и ограничений задач МП определяются следующи-

ми равенствами: kMMmnm xHbFEAEOTR

TT ~~),~(~),,(,~ =−=== × .

В последних равенствах вектор 00 =kz и представляет собой точ-ку безусловного минимума функционала. Использованные про-екторы lP определены в табл. 4.1, если параметры множеств l

zD~ определены с учетом преобразования (4.44). Скалярный параметр

lα представляет собой наименьшее значение шага из точки 0kz

(когда она не принадлежит множеству lzD~ ) в направлении lp .

При 1=l применение операторов типа (4.46) корректно, если )()1( mrmrRA +×−+∈ , т.е. линейное многообразие имеет единичную

размерность. В противном случае для приближенных или ап-проксимирующих решений задачи необходимо осуществить ап-

проксимацию 1D эллипсоидом, параметры которого выбраны так, чтобы 51 DD ⊃ и мера эллипсоида была максимальной.

Таким образом, уравнения локально-оптимальных систем описывают широкий класс объектов с функционально-сложными регуляторами. Аналитическое представление решений позволяет получить уравнения линейных экстремальных замкнутых систем.

4.7.2. Анализ устойчивости линейных локально-опти-альных систем. Устойчивость линейных замкнутых локально-


181

оптимальных систем можно исследовать на основе анализа кор-ней характеристических полиномов матриц методами линейной алгебры.

С этой целью целесообразно выделить модель замкнутой дискретной линейной системы локально-оптимального управле-ния. Пусть линейная модель объекта «вход-состояние-выход» представлена уравнениями

kkkkk xyFuHxx =+=+ ;1 .

Известны параметры этой динамической модели, что позволяет использовать для синтеза управлений аналогичные разностные уравнения:

,,1 kkkMkMk xyuFxHx =+=+

где FFHH MM == , . Функционал качества имеет вид: 22

1 kk uxJ += + . Вектор результирующих управлений в силу

линейности регулятора, выделенного из (4.46), имеет вид

0 0( )( ), (0 | ),k k k m n m m n m mu u TP z T E∗

× + × ×= Γ = Γ = (4.47)

где bAAAzPzP TTkk

10000 )(~)( −+= - проектор на линейное многооб-

разие 0zD (см. табл. 4.1).

Требуется сформулировать условия устойчивости в виде ог-раничений на матрицу Γ, исходя из устойчивости характеристи-ческого полинома замкнутой экстремальной системы. Важным моментом в решении задачи является установление структуры искомой матрицы с учетом специфики синтеза на основе прин-ципа прогнозируемых целевых множеств. Синтез систем локаль-но-оптимального управления выполнен в рамках программно

182

замкнутых стратегий. Поэтому матрица обратной связи имеет следующее представление

1, RE ∈=Γ γγ , (4.48)

сооответствующее диагональной матрице с совпадающими ска-лярными диагональными элементами. Тогда параметр γ играет роль скалярного коэффициента усиления программно-замкнутой системы, который должен гарантировать устойчивость. Устано-вив равенство (4.48), можно перейти к решению задачи устойчи-вости с учетом вида линейного регулятора, вычисляемого с по-мощью леммы.

Лемма 4.7.3 (о проекторе на специальное линейное мно-гообразие). Пусть линейное многообразие задано соотношением:

0( ){ | , [ | ], }.z k k k n n m n n n m k kD z Az b A E F b Hx× + × ×= = = − =

Тогда проекция kz∗ элемента 0kz на многообразие 0

zD равна:

0 0 0

1

( )

,

, .

n n n n n n n mT Tk k k

m n n n m m m n n n n m

n nT k

m n n n

Tn n n n n n n n n m m n

E F F Fz P z z

F F E F F F

FHx

F F

F F F E F F

× × × ×∗

× × × × × ×

×

× ×

−× × × × × ×

⎡ ⎤− −= = +⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

= = +

(4.49)

На основании уравнений объекта (4.39.а), равенств (4.47) – (4.49) с учетом того, что 00 =kz , можно получить уравнения замкнутой линейной локально-оптимальной системы в следующем виде:


183

11 ( ), ( ) ( ) .T T

k k k k k n kx Hx F Hx Hx Tz TF E FF Hxγ −+ = + Φ Φ = = − +

В преобразованном виде получаем уравнение

001 , xxxHx kkk ==+ , (4.50)

где 1[ ( ) ]T Tn nH E FTF E FF Hγ −= − + - матрица замкнутой локаль-

но-оптимальной линейной системы управления. Для асимптоти-ческой устойчивости линейной локально-оптимальной системы (4.50) необходимо и достаточно

1))(( <γλ Hj , (4.51)

где ))(( γλ Hj - корни характеристического уравнения замкнутой

системы ( ) det[ ( )] 0E Hχ λ λ γ= − = . Корневой критерий (4.51) мо-жет быть использован для анализа устойчивости численными ме-тодами для решения проблемы собственных значений. Можно использовать алгебраический критерий Шура-Кона и другие.

Вычислим характеристический полином и уравнение замк-нутой системы (4.50) в случае скалярного управления.

Теорема 4.7.1. Пусть выполнены следующие условия: сис-тема локально-оптимального управления описывается уравне-ниями (4.50). Пара матриц ),( FH управляема (выполнен ранго-вый критерий Р. Калмана). Управление в (4.47) – скалярное:

1Ruu kk ∈= ∗γ . Минимизируемый локальный функционал 22

1 kk uxJ += + , а характеристический полином имеет вид:

nnnnn ppppHE +++++=−= −−− λλλλλλχ 1

22

11)det()( … .

Тогда характеристическое уравнение замкнутой локально-оптимальной системы (4.50) можно представить в форме

184

1 21 2 1( ) ( ... ) 0.n n n

n np p p pχ λ λ ρ λ λ λ− −−= + + + + + = (4.52)

где скалярный параметр (коэффициент усиления) замкнутой сис-темы определяется соотношением 1 / 2ρ γ= − .

Доказательство. Можно показать, что характеристическое уравнение замкнутой системы (4.50) имеет вид (4.52). Рассмот-рим уравнения (4.39.а) и (4.50). Поскольку по условию объект управляем, следовательно, существует неособое преобразование, приводящее к новым координатам, относительно которых матри-ца H - фробениусова, F - простейшего вида:

1 1 1

1 1

0 0, .... 1

n n n

n n

EH Fp p p

− − −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Матрицы, определяющие H в (4.50), имеют вид:

( 1) ( 1) ( 1) 111 1

1 ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) 1

1 ( 1)

0( ) ,0 0,5

0 0.0 0,5

n n nTTn n n n

n

n n nTT

n

EF E F F

FTF F

− × − − ×−× × ×

× −

− × − − ×

× −

⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Матрица замкнутой линейной локально-оптимальной системы принимает вид:

( 1) 1 ( 1) ( 1)

1 1

0....

n n n

n n

EH p p pρ ρ ρ

− × − × −

−

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

Характеристический полином матрицы H замкнутой локально-оптимальной системы ( ) det[ ] det[ ]E H H Eχ λ λ λ= − = − − матрицы имеет вид:


185

λρρρρρρλ

λλ

λ

λχ

−−−−−−−−

−−

−

=

−− 12321 ...10...000

.............................................................000...00000...10000...01

)(

pppppp nnn

. (4.53)

Вычисление определителя в последнем равенстве выполняется разложением по элементам последней строки и применением леммы Шура для вычисления определителей блочных матриц, приведенной выше. В результате можно получить представление характеристического полинома фробениусовой матрицы, в кото-рой нижняя строка определяет коэффициенты искомого полино-ма, что доказывает теорему.

Явный вид характеристического полинома существенно уп-рощает процедуру исследования устойчивости и формулировки требований к параметру γ.

4.7.3. Условия устойчивости нелинейных локально-оптимальных систем. Аналитическое описание нелинейных ло-кально-оптимальных систем подтверждает, что применение клас-сических критериев устойчивости нелинейных систем затрудни-тельно. Это объясняется существенной нелинейностью оператора локально-оптимального управления за счет нелинейности пара-метров, зависящих от текущих координат. Поэтому анализ устой-чивости нелинейных систем выполняется на основе принципа сжимающих отображений и метода функций Ляпунова.

Целевые условия для координат состояния или выходных координат и ограниченных управлениях приводят к нелинейным законам управления в силу свойств оператора, определенных в леммах 4.7.1 и 4.7.2, то наличие ограничений на управления, учи-тываемых регулятором, вызывает сужение области притяжения

186

замкнутой системы. При формулировке условий устойчивости целесообразно полагать, что прогнозирующий экстремальный ре-гулятор синтезируется из условия минимизации локального функционала, заданного в (4.41) при EREQ == , , на множествах

определяемых целевыми условиями 1 , 1,...,4lk kx D l+ ∈ = , и огра-

ничениями на прогнозируемые управления 1 , 1,...,4lk ky D l+ ∈ = .

Для данного варианта целевых условий сформулируем задачу анализа устойчивости. Пусть уравнения объекта имеют вид

001 ,, xxxyFuHxx kkkkkk ==+=+ , (4.54)

стабилизируется управлениями

( )k k ku u Hxγ γ∗= = Φ , (4.55)

где оператор управления определяется с помощью лемм 4.7.1 и 4.7.2.

Требуется сформулировать условия, которым должен удов-летворять параметр γ регулятора (4.55), гарантирующий устой-чивость стационарного состояния замкнутой системы (4.54), (4.55) в некоторой области, содержащей стационарное состояние.

Как отмечалось, решение задачи затруднено в связи с осо-бенностями нелинейного оператора управления (4.55) как много-мерного звена с нелинейными связями между координатами. По-этому известные критерии устойчивости нелинейных систем мо-гут быть применены к отдельным вариантам исследуемой задачи. Определения параметров обратной связи наиболее просто может быть выполнено с точностью до указания степени интенсивности в виде оценок на величину модуля скалярного параметра γ . Общие принципы решения данной задачи требуют рас-смотрения процессов управления в некотором нормированном


187

пространстве состояний и изучения приращений функций Ляпу-нова. Наиболее простые условия устойчивости имеют место, если функциа Ляпунова определена евклидовой нормой или квадра-тичной формой пространства состояний. При этом могут исполь-зоваться условия, вытекающего из принципа сжимающих ото-бражений, а также требования, доставляемые аналогами теорем Ляпунова. Рассмотрим условия устойчивости на основе исследо-вания сходимости дискретных числовых последовательностей. Лемма 4.7.4 (о сжимающем отображении). Пусть в евк-лидовом пространстве состояний задана динамическая система

001 ),( xxxx kkk =Ψ=+ ,

отображающая пространство nR в себя. Тогда отображение )( kxΨ является сжатием, если существует такое число 1<α , что

для любых двух точек '"' , kk xx выполнено следующее неравенство

"'"' )()( kkkk xxxx −≤Ψ−Ψ α . (4.56)

Поскольку отображение )( kxΨ непрерывно в силу леммы 4.7.4,

то существует предельная точка отображения *x такая, что )()( *xxk Ψ→Ψ . Точка *x - неподвижная точка отображения.

Уравнение замкнутой нелинейной локально-оптимальной системы имеет вид:

001 ),( xxHxFHxx kkkk =Φ+=+ γ . (4.57)

Анализ устойчивости требует определения стационарных точек, являющихся неподвижными точками отображения, задаваемого правой частью системы (4.57). Явное отыскание стационарных точек непосредственно из (4.57) приводит к необходимости раз-решения нелинейного алгебраического уравнения

188

)( *** HxFHxx Φ+= γ (4.58)

относительно искомой стационарной точки x∗. Из анализа опе-

ратора обратной связи (4.55) следует, что выполнение этой опе-рации достаточно трудно. Поэтому далее условия устойчивости будут получены при использовании неявного метода задания ста-ционарной точки, определяемой уравнением (4.58).

Введем функцию Ляпунова в виде евклидовой нормы

2**

kk xxV −= (4.59)

и с ее помощью сформулируем ограничения на параметр γ . Теорема 4.7.2. Пусть выполнены следующие условия: по-

следовательность состояний динамической системы задается раз-ностными уравнениями (4.57), матрица H объекта такая, что

1<H , множества lDD ∩0 непусты для всех дискретных момен-тов времени k , т. е. выполнен достаточный критерий совместно-сти ограничений для задач МП (4.43) (следствие к леммам 4.7.1 и 4.7.2. для множества 4D и для аппроксимации 411 : DDD ⊂ . Оператор управления (4.57) удовлетворяет условию Липшица в области Ω по переменным z , связанным с векторами kx и *x :

1,,,)()( "'"'"' =Ω∈−≤Φ−Φ ΦΦ LzzzzLzz .

Тогда для устойчивости замкнутой системы (4.54), (4.55) в облас-ти *, xxk∈Ω , однозначно связанной с областью Ω в пространстве векторов z , достаточно, чтобы

1| | (|| || 1) / || ||,H Fγ −< − (4.60)

где нормы векторов и матриц согласованны, т.е. выполнено соот-


189

ношение: xAy ⋅≤ , причем норма вектора – евклидова 2/1),( xxx = , а подчиненная (наименьшая согласованная) норма

матрицы: Λ=A , где Λ – максимальное собственное число мат-

рицы AAT . Доказательство. Выполним вычитание из левой и правой

частей уравнения (4.57) соответствующие части уравнения (4.58). Далее с учетом определения функции Ляпунова (4.59) перейдем к норме. Тогда в силу уравнений (4.57) – (4.59) можно определить цепочку соотношений для норм, полученных на основе связи ме-жду нормами образа, прообраза и нормы оператора замкнутой системы локально-оптимального управления.

В результате будем иметь:

[ ]

[ ]

( ) ,

)()()(

2*2

2**

2**2

1*

1

kk

kk

kkkk

VxxHFH

xxHLFxxH

HxHxFxxHxxV

αγ

γ

γ

=−⋅⋅+=

=−⋅⋅⋅+−⋅≤

≤Φ−Φ+−=−=

Φ

++

(4.61)

полученные с использованием свойства нормы образца линейно-го оператора y Ax= на элементе :|| || || || || || || ||x y Ax A x= ≤ , условия Липшица для оператора управления (см. условие теоремы) и свойство проектора на выпуклое множество: "'"' )()( zzzz −≤Φ−Φ .

Из соотношений (4.61) для норм и условия сжатия для оператора замкнутой локально-оптимальной системы следует неравенство

1)1( <⋅+= FH γα ,

что позволяет записать неравенство (4.60). Теорема доказана.

190 Оценки параметра γ , полученные на основе принципа

сжимающих отображений, носят достаточный характер. Уточ-ненные оценки можно получить в случае применения общего ви-да квадратичной функции Ляпунова

)()( **k

Tkk xxPxxV −−= , (4.62)

где 0>= TPP - симметрическая положительно определенная

матрицы, а kx и *x - текущие и стационарные значения векторов состояния, удовлетворяющие уравнениям (4.57) и (4.58) соответ-ственно. Сформулируем следующую теорему о достаточных ус-ловиях устойчивости нелинейных локально-оптимальных систем.

Теорема 4.7.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.2. Тогда для устойчивости замкнутой системы (4.57) доста-

точно, чтобы скалярный параметр γ удовлетворял следующему алгебраическому неравенству

)~()2( 2

222 QHPFLFL λγγ −<+ ΦΦ , (4.63)

где )~( 2Qλ – минимальное собственное число некоторой симмет-рической и положительной определенной матрицы

)~(min)~(:~222 QQQ jj

λλ = .

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы вычислим приращение функции Ляпунова (4.62) на основании уравнений (4.57) и (4.58). Далее используем условия Липшица для операторов управления и условие отрицательной определен-ности приращения функции Ляпунова. Тогда можно получить соотношения, получаемые с использованием представления нор-мы с помощью скалярного произведения, а также на основе свой-ства аддитивности и однородности. Кроме этого, в процедуре


191

преобразования используется уравнение Ляпунова. В результате:

( )[ ]

( )

),(~)(

)()())()(())()((

)())()((2)()(

)()(])((

)([)(()(

**

****

****

***

***1

kT

k

kT

kkTT

k

kTT

kkTT

k

kT

kk

kT

kkkk

xxQxx

xxPxxHxHxPFFHxHx

xxPHFHxHxxxPHHxx

xxPxxHxHxF

xxHPHxHxFxxHVVV

−−−<

<−−−Φ−ΦΦ−Φ+

+−Φ−Φ+−−=

=−−−Φ−Φ+

+−Φ−Φ+−=−=Δ +

γγ

γ

γ

γ

где 0~~,0~~,~~221121 >=>=+= TT QQQQQQQ . В этих соотношениях

матрица 0>= TPP является решением уравнения Ляпунова для уравнений в дискретном времени: 1

~QPPHH T −=− , причем по-

ложительно-определенная матрица ∑∞

=

=0

1

~)(s

ssT HQHP , поскольку

по условию H асимптотически устойчивая матрица. Матрицу P можно также определить численными методами. Используя ус-ловия Липшица для оператора "'"' )()(:)( zzLzzz −≤Φ−ΦΦ Φ и

неравенство Коши – Буняковского: baba ≤),( , свойства норм линейных операторов, преобразуем неравенство к виду:

2*2

2*222 )~()2( kk xxQxxPHLFFL −−≤−+ ΦΦ λγγ .

Из этого неравенства следуют ограничения на параметр γ вида (4.63). Теорема доказана.

С помощью предлагаемой методики оценки параметра γ могут быть модифицированы путем обобщения для нелинейных объектов. Однако можно пользоваться полученными оценками,

192

если рассматривать динамику управления нелинейными объекта-ми в окрестности стационарных точек.

4.8. Синтез управлений для распределенных объектов

Синтез для распределенных объектов рассматривается для задач управления тепловыми процессами. Методика синтеза бази-руется на идеях оптимального управления для функционалов ло-кального и суммарного типов для тепловых процессов.

4.8.1. Обзор методов и задач синтеза. При анализе целесо-образно исходить из выделения групп методов для синтеза про-граммных и стабилизирующих управлений. Характеристика ос-новных методов стабилизации дана на рис. 4.3, где приведены ос-новные методы синтеза распределенных систем управления.

Классические подходы к синтезу распределенных систем основаны на понятии передаточных функций для случая конечных и бесконечных интегральных преобразований, обладающих опре-деленными достоинствами и недостатками. Эти методы являются удобными при анализе и синтезе, поскольку позволяют использо-вать в качестве моделей структурные схемы.

Метод динамического программирования и принцип мак-симума определяют необходимые условия оптимальности синте-зированных управлений с применением трудоемких вычислитель-ных процедур. Это определяет актуальность разработки новых численных методов синтеза управлений на основе применения понятий вариационной производной, производных по Фреше или Гато, что позволяет сформулировать обобщенные уравнения Рик-кати.

Методы функционального анализа позволяют сформулиро-вать уравнения оптимальности. Эти уравнения определяют требо-вания к оптимальным управлениям, однако к настоящему времени могут быть использованы ограниченно при решении прикладных


193

задач синтеза систем управления распределенными объектами в связи с высоким уровнем абстракции.

Рис. 4.3. Классификация методов синтеза Методы модального управления включают группу методов,

основанных на решении адаптированных задач модального управ-ления, которые используют аналитические решения операторов теплопроводности и формулируются на основе приведенных ниже постановок задач. Эти методы имеют ограниченное применение, однако в ряде постановок прикладных задач могут использоваться ограниченно.

Методы локально-оптимального управления позволяют минимизировать локальные функционалы качества и синтезиро-вать управления путем решения счетного семейства задач матема-тического программирования. Эти задачи аналогичны задачам в некотором смысле задачам синтеза управлений для объектов с со-средоточенными параметрами. При этом возможно применение этих методов для синтеза программных и стабилизирующих управлений.

Перечисленные методы синтеза обобщают методы стабили-

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА

МЕТОДЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ

РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

МЕТОДЫ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

194

зации сосредоточенных объектов на случай объектов с распреде-ленными параметрами, позволяющими представить следующие постановки задач.

4.8.2. Постановка задач модального управления. Основу модального управления составляют классические или обобщен-ные решения для распределенных или точечных воздействий по времени и координатам. Эти решения могут быть представлены произведениями экспоненциальных функций времени и коорди-нат, что определяет временные и координатные «моды», а также выполнить модальный синтез в специальных случаях воздействий на тепловые процессы. Формирование модальных управлений может происходить в рамках классических законов стабилизации, которые могут существенно изменять класс уравнений, описы-вающих процессы в целом. В этой связи целесообразно на первом этапе синтеза управлений использовать простейшие управления, которые не изменяют класса уравнений. В результате стабилизи-рующие воздействия могут формироваться на основе аналитиче-ских процедур, что позволяет использовать широкий спектр имеющихся аналитических результатов.

Постановка задач синтеза программных управлений осу-ществляется на основе моделей процессов в распределенных объ-ектах путем формализации требований к процессам в виде «одно-точечных» или «многоточечных» целевых условий типа равенств, неравенств или условий, представленных требованиями миними-зации функционалов качества. Для связи между управляемыми координатами и управляющими факторами используются анали-тические решения операторов теплопроводности или разностные схемы для соответствующих задач. Это позволяет получить боль-шие разнообразие алгоритмов программного управления, которые при соответствующем обобщении могут служить основой для соз-дания систем локально-оптимального или локально-целевого


195

управления. Постановка задач синтеза локально-оптимального управ-

ления для тепловых процессов может базироваться на задачах те-плопроводности, для которых в разделе 2 сформулированы разно-стные схемы. Разностные схемы позволяют «алгебраизовать» оп-тимизационные задачи синтеза управлений и свести их к решению счетного числа конечномерных задач математического програм-мирования. Задачи математического программирования должны разрешаться численно или аналитически на каждом шаге процесса управления с применением операторов конечномерной оптимиза-ции. «Алгебраизованные» задачи локально-оптимального управ-ления могут иметь операторно-разностную трактовку «в смысле А.А. Самарского». В результате для исследования устойчивости замкнутых локально-оптимальных систем можно использовать обобщения классических результатов, полученных на основе ме-тодов А.М. Ляпунова и методов функционального анализа.

Подходы к постановке задач синтеза стабилизирующих управлений для распределенных объектов могут быть обобщены комплексированием и системным обобщением методов на основе вариантных целевых условий и решения задач математического программирования численно-аналитическими методами. В ре-зультате разрешения целевых условий необходимо получить явное представление законов обратных стабилизирующих связей и ис-следовать условия устойчивости замкнутых систем стабилизации для распределенных объектов управления.

4.8.3. Схема синтеза модальных управлений. Для решения проблемы используется концепция «начально-краевой» постанов-ки и соответствующие аналитические решения для оператора теп-лопроводности, а также уравнений теплопроводности. В этом слу-чае компоненты (базисные функции) аналитических решений можно интерпретировать как отдельные «моды» и синтезировать

196

управления как средства воздействия на эти «моды». Соответст-вующие управляющие воздействия можно называть модальными регуляторами, влияющими на соответствующие спектральные (временные и координатные) составляющие решений. Аналитиче-ские решения представляют собой бесконечные или конечные ли-нейные комбинации «мод» как совокупности экспоненциально-периодических базисных функций времени и координат. По ана-логии с сосредоточенными объектами для задачи температурной стабилизации распределенных объектов возможно использование классических законов теории управления, в соответствии с кото-рыми управляющие воздействия могут формироваться как функ-ции отклонений температуры от заданий.

Математические формулировки задач синтеза модальных регуляторов может выполняться на основе аналитических реше-ний. Введение воздействий по отклонению температуры от задан-ного значения в соответствии с типовыми законами теории управ-ления может приводить к изменению структуры уравнения, опи-сывающего процесс распространения тепла. Учет этого обстоя-тельства приводит к необходимости анализировать общую струк-туру уравнений в соответствии с существующими методиками. Детальное исследование решений задач модального управления требует специального исследования. Наиболее простые алгоритмы достигается эффект модального управления для случая воздейст-вия по второй производной, поскольку в этом случае для анализа замкнутых систем управления используются известные классиче-ские и обобщенные аналитические решения рассматриваемых да-лее задач.

Целевые условия типа равенств задают требования по обес-печению заданных значений координат в заданные моменты вре-мени, что позволяет свести задачу к решению системы алгебраи-ческих уравнений относительно параметров объекта или внешних


197

воздействий. Если ( , )u x t - аналитическое решение начально-краевой задачи, то система целевых равенств имеет вид:

),(),( ,кзадtxutxu = , (4.64)

где ),( ,кзадtxu – заданное значение температуры в фиксирован-

ные моменты времени кзадt , . Поскольку аналитическое решение определено с точностью до параметров нагреваемого тела (объек-та) и внешних возмущений, то система (4.64) может быть разре-шена относительно последних переменных.

Условия типа целевых неравенств формируются по анало-гии с условиями (4.64), однако определяют интервальные требо-вания к координатам объекта для совокупности заданных момен-тов времени (при многоточечных условиях по времени). Задача сводится к решению конечного числа систем неравенств:

+− ≤=≤ utxutxuu кзад ),(),( , , (4.65) где неизвестными являются параметры объекта или параметры входных воздействий.

Целевые условия в виде минимизации функционала, опре-деляющего отклонения теплового режима от заданных требова-ний, реализуются минимизацией параметров объекта или входных воздействий, что сводит задачу к задачам конечномерной оптими-зации:

min]),(),,([ ,, →кзадmзадnm txutxuJ , (4.66)

где ),(),( ,, кзадmзадnm txuиtxu - значения температуры в за-

данные моменты времени, полученные на основе аналитических решений, и заданные (численные) значения координат. Миними-зация (4.66) выполняется вычислением конечного числа парамет-ров объекта или входных воздействий с применением методов ма-тематического программирования.

198 Таким образом, сформулированные задачи синтеза про-

граммных управлений обладают общностью по определяемым пе-ременным (параметры объекта и внешних возмущений). Посколь-ку рассматриваемая методика синтеза позволяет определить про-граммные управления на конечных интервалах (для которых воз-можно выполнение целевых условий), то практическое примене-ние разработанных алгоритмов возможно на основе реализации в приборах температурной стабилизации «поинтервальных» управ-лений. Синтез разделяется на два этапа: определение параметров линейной комбинации аналитического решения и вычисление на-чальных условий, для которых справедливы аналитические соот-ношения для параметров как функций начальных ксловий.

4.8.4. Математические формулировки задач программно-го синтеза. Синтез систем температурной стабилизации на конеч-ном интервале времени формализуется на основе аналитических решений и разностных схем.

Задача 1. Уравнение распространения тепла в изотропном стержне имеет вид:

,/),(/),( 222 xtxuattxu ∂∂=∂∂ (4.67.а) с начальными или краевыми условиями:

,0|),(|),(,)(|),( 000 === === lxxt txuxtuxutxu (4.67.б) Требуется определить параметры решения ( , )u x t , которые

выбираются из условия удовлетворения заданным целевым усло-виям типа равенств, неравенств или условиям, представленным в виде требования минимизации некоторого функционала качества.

Синтез проводится с использованием аналитических реше-ний рассматриваемых начально-краевых задач. Для представления обобщенного решения можно использовать формальный беско-нечный ряд:


199

2 2 2

21

2( , ) exp sinkk

k a k xu x t a te e e

π π∞

=

⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ (4.68.а)

или его простейшую аналитическую аппроксимацию в виде: 2 2

12

2( , ) exp sin .a a xu x t te e e

π π⎧ ⎫≈ −⎨ ⎬

⎩ ⎭ (4.68.б)

Синтез управлений основан на формулировке одноточечных или многоточечных целевых условий типа равенств (4.64), нера-венств (4.65), а также целевых условий в виде минимума функ-ционалов (4.66), определенных на решениях (4.67) или (4.68):

).t,x(uexsint

eaexp

ea2)t,x(u iзадii2

221 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−≈

ππ

2 21

2

2( , ) exp sin ( , ).задx x

t t

a a xu x t t u x te e e

π π=

=

⎧ ⎫= − =⎨ ⎬

⎩ ⎭

Для одноточечного условия (4.64) по времени и координатам задача сводится к решению равенств относительно параметров ja :

( , ) ( , )i j зад i ju x t u x t= (4.69)

Равенство (4.69) – это алгебраическое уравнение относитель-но параметров, которые обеспечивают выполнение целевых усло-вий. В случае «многоточечных» целевых условий (4.69), задаю-щих тепловые режимы объекта на семействах точек временной и координатной осях, можно свести задачу к решению системы от-носительно параметров. Для ряда с конечным числом слагаемых задача преобразуется к системе алгебраических уравнений:

).t,x(uexksint

eakexpa

e2)t,x(u jiijзад

ij2

222

kji =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= ∑ ππ

(4.70)

200

где суммирование проводится по множествам xDi∈ , TDj∈ , при-чем эти множества определяют области задания целевых условий.

Задача 2. Для синтеза управлений для процесса с уравнени-ем теплопроводности, начальными и граничными условиями:

,0|),(),,(|),(, 02 ==Δ= = ГУНУtt yxuyxuyxuuau

и начально-краевой задачей, можно использовать решение в виде ряда:

1

2 22 2

2 20

4( , , ) exp sin ,kjk jm

k j k xu x y t a a te e m e

ππ∞

= =

⎧ ⎫⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (4.71)

если S – прямоугольник с определенными выше параметрами. Многоточечные целевые условия типа равенства представ-

ляются системой уравнений вида:

).t,y,x(uexksint

mj

ekaexpa

e4)t,y,x(u vwiзад2

2

2

222

0jkkj

mvwi

1

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∑

∞

==

ππ(4.72)

Для реализации можно использовать ограниченное число

слагаемых в сумме равенства (4.72), где параметры i , w , v , оп-ределяют конечное дискретное множество точек области, в кото-рой заданы целевые условия. Соотношение типа (4.72) представ-ляет собой систему алгебраических уравнений относительно па-раметров kja . Аналогично формулируются многоточечные целе-

вые условия типа (4.65) в виде двусторонних неравенств: (4.73)

которые являются линейными алгебраическими неравенствами

),t,y,x(uexksint

mj

ekaexpa

e4)t,y,x(u vwi2

2

2

222

0jkkj

mvwi

1

+∞

==

− ≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−≤ ∑ ππ


201

относительно параметров kja . Множества, содержащие параметры

задачи i , w , v , имеют тот же смысл, что и в (4.72). Рассмотрен-ная процедура синтеза на основе решения начально-краевых задач является двухэтапной. На первом этапе определяются коэффици-енты kja , а на втором – функции начального нагрева u0(x,y), по-

скольку kja = 0( ( , ))kja u x y .

Задача 3. Трехмерная краевая задача теплопроводности: (4.74)

имеет аналитическое решение в виде сумм специальных функций:

22( 1/ 2)22

0 0

(2 1)( )!1( , ) exp *(1 )( )!

eijm j

i j m e om

e e mau x t a tR e mR r

μδπ

∞ ∞ ∞+

= = =−

+ −⎧ ⎫⎡ ⎤= −⎨ ⎬⎣ ⎦ + +⎩ ⎭

∑∑ ∑

(4.75) где J – специальная функция Бесселя, при этом S – кольцо.

Целевые условия типа равенств или неравенств формулиру-ются аналогично, однако усложненная структура решений приво-дит к возрастанию сложности процедуры синтеза. Если модель (4.75) использовать совместно с условием типа равенств-неравенств, то в результате синтеза вычисляются коэффициенты

ijma , что завершает первый этап синтеза.

На основе развиваемого подхода можно сформулировать стационарную задачу распределения тепла в стержне, когда вы-числения на первом и втором этапах менее трудоемкие.

Задача 4. Пусть имеется задача Дирихле вида: (4.76)

,0),,,(, 02 ==Δ= = sott uzyxuuuau

[ ] ),,(Y)Rr(J

)(J1* m

j)2/1i(

j2/1i2)2/1i(2/1i

ϕΘμμ

+++

+

.)(,)(,0,0 000 xuuxuuuuu eeyyaxx =====Δ ====

202 Задача соответствует ситуации задания распределения тем-

ператур на двух краях стержня. Для синтеза можно воспользо-ваться описанной выше методикой при задании целевых условий типа равенств (4.64). В результате можно получить систему алгеб-раических уравнений относительно искомых параметров:

(4.77)

Поскольку (4.77) является системой линейных алгебраических уравнений, то на первом этапе синтеза определяются неизвестные параметры задачи. На втором этапе по вычисленным параметрам определяются функции «начального нагрева»:

(4.78)

Соотношения (4.78), где ,k ka b определены на первом этапе задачи, являются функциями 0 ( )u x . Решение последних уравнений относительно искомых функций возможно также на основе ее представления в виде линейной комбинации с неизвестными па-раметрами в классе выбранных базисных функций. В результате задача сводится к определению параметров линейной комбина-ции. Рассмотренные результаты допускают распространение для других целевых условий – условий типа (4.65) или (4.66), что при-водит к задачам математического программирования.

Задача 5. Требуется определить функцию начального нагре-ва тонкого бесконечного стержня для обеспечения в момент вре-мени t = 0.3 в точке x = 0.5 температуру величиной 0.164.

Для решения задачи воспользуемся «одноточечными» целе-выми условиями, определим из соотношения (4.69) коэффициент

,adxa

xksin)x(uae

0kok ∫ ==

π.bdx

axksin)x(ub

e

0kek ∫ ==

π

.)y,x(u

akh

xksin)aykshb

ayeshka(

a2)y,x(u

1k

nnзадe

vw

k

v

k∑∞

=

=+−

=πδ

πππ


203

1a и синтезируем функцию начального нагрева ( )y x . Далее с по-мощью соотношения (4.68-б) проверяется обеспечение заданной температуры в заданной точке. Результаты приведены на рис 4.4.

Задача 6. Рассматривается синтез с «трехточечными» целе-выми условиями для обеспечения заданных значений температуры в трех точках стержня в заданные моменты времени. Сначала оп-ределяются амплитуды гармоник функции начального нагрева на основе (4.70), затем - функция теплового нагрева (рис. 4.5).

Таким образом, синтез программных управлений на основе аналитических решений имеет ограничения на применение.

4.8.5. Синтез локально-оптимальных управлений. Ло-кально-оптимальные программные (программно-замкнутые) управления синтезируются как программные (программно-замкнутые) управления на основе прогнозирования динамики теп-ловых процессов с помощью классических разностных схем.

Для объектов, описываемых одномерными уравнениями теп-лопроводности

(4.79.а) с начальными и краевыми условиями вида:

(4.79.б)

В последних уравнениях заданы краевые условия, соответствую-щие случаям бесконечного и конечного (с единичной длиной) од-номерного стержня.

Для синтеза управлений можно сформулировать различные типы функционалов, соответствующих локально-оптимальным требованиям. Эти требования можно представить несколькими

,2 fuau xxt +=

),x(u)x,0t(u 0==;0),0(u =−∞,0),0(u =+∞

.u)l,0(u,u)0,0(u

l0

00

==

204

Рис. 4.4. Распределение Рис. 4.5. Распределение температуры температуры на основе на основе «трехточечных» «одноточечных» целевых условий целевых условий

функционалами. Первый функционал качества, имеющий вид:

(4.80)

q = 1, 2, характеризует мгновенную ошибку отклонения от задан-ной температуры, являясь степенной функцией модуля разности между текущим и заданным значением температуры. Второй функционал

, 0>ρ , (4.81) также описывает погрешность поддержания температуры и оце-нивает отклонения от экономически оптимального управления в виде распределенного воздействия, описываемого функцией

( , )f x t . Функционалы типа (4.80) и (4.81), характеризующие мгно-венные погрешности и мгновенные затраты, являются локальны-

min,)x,t(u)x,t(uJqзад →−=

qэкqзад2 ff)x,t(u)x,t(uJ −+−= ρ

G


205

ми. Третий функционал

, 0>ρ , (4.82)

является суммарным функционалом, учитывающим ошибки по времени и координате при программировании изменения темпера-туры как функции времени и координаты на интервале [ , ]i i k+ :

).x,t(uα)x,t(u kii += (4.83) Уравнение (4.83) задает технологические требования.

Математические формулировки задач вычисления управ-лений. Для рассматриваемых классов функционалов можно сфор-мулировать различные законы программирования и стабилизации. Эти закоы можно выбрать априорно на основе некоторых рассуж-дений. Далее будет рассмотрен вариант синтеза, когда тип закона формируется естественным образом на основе заданного функ-ционала, используемой модели процесса нагревания и ограниче-ний по области нагрева или охлаждения. Очевидно, что закон должен быть функцией времени и координат и должен формиро-ваться с использованием прогнозирования по пространству и вре-мени, что обобщает на случай распределенных объектов методику синтеза, рассмотренную в п. 4.7. Данная методика позволяет ис-пользовать целевые условия, сформулированные не только в виде минимизации функционалов, а при синтезе также могут быть уч-тены заданные соотношения между координатами на различных «срезах» пространства и времени. Формирование управлений на основе оптимизации процессов на многообразиях, когда требова-ния к качеству формализуются заданием линейных многообразий. Алгоритм синтеза имеет вид:

Этап 1: формулировка классической разностной схемы для уравнения теплопроводности (4.79.а):

∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

ij

q

jiэк

ji

q

jiзад

ji xtfxtfxtuxtuJ ),(),(),(),(3 ρ

206

,fh

uu2ua

uu:

0x1t

0,121,10,11,120,10,2 +

+−=

−== −

τ

,fh

uu2ua

uu:1x 1,12

0,11,12,121,11,2 ++−

=−

=τ

.fh

uu2ua

uu:2x 2,12

1,12,13,122,12,2 ++−

=−

=τ

,fh

uu2ua

uu:

0х0t

0,021,00,01,020,00,1 +

+−=

−== −

τ

,fh

uu2ua

uu:

1x0t

1,020,01,02,021,01,1 +

+−=

−==

τ

,fh

uu2ua

uu:

2x0t

2,021,02,03,022,02,1 +

+−=

−==

τ

1, , , 1 , , 12,2

2,t x t x t x t x t x

t x

u u u u ua f

hτ+ + −− − +

= + (4.84)

где сеточные аргументы по времени и по пространству задаются индексами внизу, разделенными запятыми так, что соответствие между непрерывными и дискретными аргументами определяется соотношениями: xtuxtu ,),( → .

Этап 2: целевое условие (4.82) в классе моделей (4.84) пре-образуется в соответствии с введенными обозначениями сеточных переменных. Тогда минимизируемый функционал

, 0>ρ , (4.85)

учитывает отклонения температуры и управлений от заданий. Этап 3: формулиовка модели динамики по пространству и

времени в виде разностных схем (4.84) для описания процессов для заданных моментов времени и координат:

(4.86) Соотношения (4.86) определяют динамику пространствен-

но-временного изменения температуры, а также ограничения

qэкxtxt

qзадxtxt ffuuJ ,,,,2 −+−= ρ


207

задачи математического программирования, в которой перемен-ными являются значения температуры как функции дискретного

времени и пространственных переменных: 1,0 2,0 0,1, , ...u u u Известно, что решение большинства стационарных или не-

стационарных линейных краевых задач сводится к решению ли-нейных алгебраических систем высокой размерности со слабо за-полненными матрицами специальной структуры. Для локальной оптимизации на основе модели (4.86) можно сформулировать функционал:

(4.87)

где дискретные временной аргумент и координатные аргументы принадлежат заданным множествам. В функционале (4.87) заданы требования к точности поддержания температурного режима (пер-вое слагаемое) и условия экономичности обеспечения (второе сла-гаемое). При этом смысл воздействия ,t xf определен выше. Соот-ношения (4.86) и (4.87) могут использоваться как для программно-го синтеза как основы синтеза систем стабилизации. На основании «суженной» задачи формулируются законы стабилизации в виде воздействия ,x tf .

Этап 4: в результате синтеза класс законов стабилизации формулируется естественным образом как задача минимизации функционала (4.87) на пересечении непустого линейного много-образия 0 { | , , }m n mD x Ax b A R b R×= = ∈ ∈ , (4.88)

где матрица A и вектор b определяются условиями типа (4.86), а интервальные ограничения – параллелепипедом конечномерного пространства:

3 , , , , , , ,qзад эк зад зад

t x t x t x t x t xJ u u f f t N x Nρ= − + − ∈ ∈

208

( ) .1+− ≤≤= zzzzD (4.89)

В результате решение задачи синтеза может быть получено чис-ленными методами. Вычисление оптимальных управлений явля-ются частью общей проблемы синтеза. Важной составляющей проблемы является аналитическое описание управляющего уст-ройства, что необходимо для анализа устойчивости замкнутой системы. В этой связи весьма важно использовать численно-аналитические методы решения экстремальных задач стабилиза-ции. Один из подходов численно-аналитического решения может быть основан на применении операторов оптимизации, рассмот-ренных в приложении. Операторы конечномерной оптимизации в численно-аналитической форме определяют решение экстремальных задач минимизации функционалов на пересечении линейного многооб-разия типа (4.88) (определяющем многошаговую модель теплово-го процесса по времени и пространству) с учетом технологических ограничений типа двухсторонних неравенств, и тем самым задать закон управления на основе приведенных соотношений. «Алгеб-раизация» задачи синтеза позволяет определить класс управлений, которые могут использоваться как программные управления или в качестве программно-замкнутых управлений, являющихся анало-гами управлений, рассмотренных в п. 4.7.

5. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ

209


Методы анализа и синтеза систем управления, рассмот-

ренные выше, предполагали полную определенность парамет-ров системы. Однако реальные физические объекты и условия, в которых они функционируют, не могут быть учтены точ-но, поскольку подвержены различным возмущениям и изменя-ются непредвиденным образом. Неопределенность характе-ристик объекта не позволяет обеспечить оптимальные свой-ства системы управления и может привести к потере ус-тойчивости. Системы автоматического управления, обеспе-чивающие требуемое качество функционирования, несмотря на существенную неопределенность характеристик объекта управления, называются робастными.

5.1. Синтез робастных систем в

частотной области Проектирование систем с робастными свойствами – одна из

наиболее важных проблем теории управления. Решению задач оптимизации в условиях наличия внешних и внутренних неопре-деленностей уделяют большое внимание отечественные и зару-бежные исследователи, поскольку многие методы синтеза не обеспечивает выполнение условий робастной устойчивости или условий робастной оптимальности. Методы для решения задач робастного управления в частотной области основаны на опти-мизации в пространствах Харди – пространстве функционалов типа нормы 2H и ∞H .

5.1.1. Методы робастного управления в частотной обла- сти. При конструировании робастных регуляторов в частотной области исходная задача сводится к решению проблемы H–оптимизации: минимизации )(2 ∞H нормы передаточной функ-

210

ции от внешнего входа к выходу путем выбора регулятора из множества допустимых (стабилизирующих) регуляторов. Методы H–теории управления существенно разработаны как в теоретиче-ском, так и практическом плане. Полученные фундаментальные результаты позволили разработать теорию, близкую линейно-квадратичной гауссовой теории.

Робастная стабилизация. Пусть объект управления задан в операторном виде

( ) ( ) ( ) ( )swsusGsy += ~ , (5.1)

где ( )sw – вектор неконтролируемых возмущений или динамиче-ская неопределенность, причем ( ) ( )syCsw w ;∞<≤∞ – вектор

состояний; ( )su – вектор управления; s – переменная преобразо-

вания Лапласа; ( )sG~ – nn× –матрица передаточных функций

( ) ;,1,,~ njisgij = ( ) ( ) ( ) nRsysusw ∈,, ; ( ) ( )ωω

jwsw max=∞ –

норма функции ( )sw в пространстве Харди ∞H . Пусть передаточная матрица системы известна неточно и

представляется в виде

( ) ( ) ( )ssGsG Δ+= 0~ , (5.2)

где ( )sG0 – передаточная функция некоторой «опорной» систе-мы, известная точно, а ( )sΔ характеризует внутреннюю неопре-деленность модели системы.

Решение задачи робастной стабилизации в системе (5.1) с неструктурированными неопределенностями формулируется в следующем утверждении.

Утверждение 5.1.1. Регулятор K = K(s) ∞∈RL стабилизиру-ет любой объект с матричной передаточной функцией )(~ sG (5.2)


211

с неопределенностью, характеризуемой множеством εD :

}0,)(:{)( >≤ΔΔ=∈Δ ∞

Δεεε sDs , ( )( ) ( )( )ssG Δ=ηη ~ , (5.3)

и является εD -робастным стабилизатором, если и только если:

1). K(s) стабилизирует опорный объект ( )sG0 ;

2). Величина ,)(~ 1−∞< εsG

где ε – заданный уровень неопределенности; ( )Gη – количество

неустойчивых полюсов матрицы ∞∈RLG , ∞RL – пространство Лебега правильных функций, не имеющих полюсов на мнимой оси. εD

– робастный стабилизатор задается соотношениями:

),~~)(~~(

))(()(

22222222

122222222

MQYNQX

QNXQMYsK

−−=

=−−= −

(5.4)

где 2222222222222222~,,~,,~,~,, YYXXNMNM – результат взаимно-

простой факторизации матрицы опорного объекта; ∞∈RLQ – произвольная матричная функция.

Вопрос о существовании непустого множества робастных стабилизаторов (5.4) (как должны соотноситься номинальный объект и ε -возмущения, чтобы существовали робастные регуля-торы), решается следующим образом.

Утверждение 5.1.2. Множество робастных на классе εD стабилизаторов не пусто, если и только если:

1321inf −

∞∈<− εQTTT

RLQ,

где параметры определены следующим образом:

212

.~,, 212232212221222212111 PMTMPTPMYPPTΔΔΔ==+=

Робастная оптимизация. Пусть описание системы задано моделью пространства состояния

uBwBAxx 21 ++= , (5.5.а) DuCxz += , (5.5.б)

где x – вектор состояния, w – вектор возмущений, u – вектор управлений, z – вектор полного выхода, DCBBA ,,,, 21 – по-стоянные матрицы соответствующих размерностей.

Будем считать, что в (5.5.б) матрицы C и D имеют вид:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

1 0,

0 DD

CС . Тогда выходной вектор ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

uDxC

z1

1 формирует-

ся из двух компонент: xCzx 1= – интерпретируемой как характе-ристика точности, и uDzu 1= – как характеристика затрат на

управление, так что 21

22 uDzz x += . Полагая ED ε=1 (E–

единичная матрица), получим 2211

2 uxCCxz TT ε+= , где ε –

именуется штрафом за управление. При полных наблюдениях (все компоненты вектора x дос-

тупны для измерения) оптимальная обратная связь становится статической, т.е. оператор K(s) =K:

( ) ( ) ( )sXsKsU −= . (5.6)

Передаточная функция «возмущение–выход» ( )sPwz в зависимо-сти от передаточной функции обратной связи ( )sK имеет вид

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 111

21 BAsEsKBAsEEsPwz

−−− −−+= .


213

Синтез 2H – оптимальной обратной связи, обеспечиваю-щей наименьшее значение 2H – нормы передаточной функции

( )sPwz :

( ) ( ) ( ){ }2/1

02 tr

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∫

∞

ωωω diPiPsP wzTwzwz .

2H -норма характеризует подавление импульсных или белошум-ных возмущений.

Оптимальная обратная связь (5.6), найденная из условия минимизации функционала качества

( )( )

( ) 22 inf sPJ wzsK

=ε ,

имеет вид:

( )2 21 TK B X εε

= , (5.7)

где ( )2X ε – неотрицательное определенное решение матричного

квадратичного уравнения

2 2 1 121 0T T TXA A X XB B X C Cε

+ − + = ,

а значение функционала качества

( ) ( ){ }1 22 1 2 1tr B BTJ Xε ε⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Синтез ∞H -оптимальной обратной связи, обеспечиваю-щей наименьшее значение ∞H -нормы передаточной функции

( )sPwz , определенной равенством

( ) ( ){ }ωσω

iPsP wzwz maxsup=∞ ,

214

где ( ){ }ωσ iPwzmax – наибольшее сингулярное число матрицы

( )ωiPwz . ∞H -норма определяет подавление гармонических возму- щений с произвольной частотой.

Оптимальную обратную связь (5.6) в этом случае находят из условия минимизации функционала качества

( )( )

( ) ∞∞ = sPJ wzsK

infε ,

и она определяется равенством

( )21 TK B X εε ∞= , (5.8)

где ( )X ε∞ – неотрицательно определенное решение матричного

квадратичного уравнения

1 1 2 2 1 12 21 1 0T T T TXA A X X B B B B X C Cγ ε

⎡ ⎤+ + − + =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

с наименьшим возможным значением )(εγ∞ , для которого суще-

ствует это решение, а матрица ( )2 21 TA B B X εε ∞= устойчива. Зна-

чение минимизируемого функционала равно найденному значе-нию )(εγ∞ .

Условием существования оптимальных робастных регуля-торов (5.7), (5.8) является стабилизируемость пары (A,B2) и детек-тируемость пары (C1

T,A) системы (5.5). Для системы

1 2 1 12 2 21, , ,X AX B B u z C X D u y C X D uω= + + = + = + (5.9)

где z – выход системы, y – измерямые координаты выхода


215

)dim(dim zy < , оптимальный регулятор основного контура вида

u K X∞= − (5.10)

должен быть дополнен наблюдателем для получения оценок x вектора x по измеряемым выходам y. Наблюдатель задается дифференциальным уравнением

X A X z L y∞ ∞ ∞= + . (5.11)

Коэффициент ∞K основного контура и матрицы ∞∞∞ zLA ,, наблюдателя находят по следующему алгоритму. 1. Вычисление матриц: 11222111 ,, CCQBBRBBR TTT === . 2. Вычисление решения 0P > уравнения

2 0TA P PA PR P Q+ − + = .

3. Вычисление матрицы: PRAA 2−= . 4. Определение решения 1Y уравнения 0=++ EAYYA . 5. Вычисление величины 1ε по соотношению:

( )11 1 24 1R X y R X yε − = + ,

где 1,X P y Y= = , ⋅ – спектральная норма матрицы.

6. Определение решения 01 >X уравнения

,0][ 1*1 =+−++ QXRRXXAXA z

T ε 1*1 εε < .

7. Задание равенств TTTT BBQCCRCCRAA 11222111 ,,, ==== и переход к пунктам 2÷6 вычислений, обозначив результат пункта 5 переменнойε , а п. 6 – переменной 2X ; 8. Вычисление наибольшего собственного числа матрицы 21XX ,

обозначение его 2γ .

216

9. Вычисление },)(,)max{( 2/1*2

2/1*1 γεεγ −−= .

10. Вычисление 12 XBK T=∞ – параметров регулятора основного

контура, TCXL 22=∞ – регулятора наблюдателя,

221112 CLZKBXBBAA T

∞∞∞∞ −−+= γ , 1112

2 )( −−∞ −= XXIZ γ .

Условиями существования робастного оптимального регу-лятора является стабилизируемость пар матриц

),(),,(),,(),,( 2121TTTT CACABABA и вид матриц

}0{}{ 12112 EDCDT = , }0{}{ 21121 EDBD TT = . В замкнутой системе га-рантируется качество процесса управления не хуже, чем γ<∞J .

Методы 2H и ∞H - оптимального управления обеспечивают робастную устойчивость по отношению к внешним возмущени-ям, параметрическим возмущениям объекта управления, неструк-турированным шумам измерений, неконтролируемой динамике при раздельном действии каждого из перечисленных возмуще-ний.

5.2. Идентификация линейных по параметрам статических и динамических объектов и систем

Оценка параметров моделей объектов управления по наблю- дениям за их входами и выходами называется параметрической идентификацией. Идентификация выполняется для классов ма-тематических моделей объектов, критериев адекватности моде-лей объектов и алгоритмов вычисления оценок параметров.

5.2.1. Основные классы моделей идентифицируемых объектов управления. Рассмотрим следующие классы моделей:

1). Статические модели в виде алгебраических уравнений:

tttTy ξ+= xa , (5.12)


217

где ,),...,,( 21n

n Raaa T ∈=a ntnttt Rxxx T ∈= ),...,,( 21x , 1Ryt ∈ –

n-мерные векторы идентифицируемых (оцениваемых) парамет-ров и входов, а также одномерный выход объекта;

2). Динамические непрерывные модели «вход–выход»

,)()()()()( ttupbtypa mn ξ+= (5.13)

где )( pan и )( pbm – полиномы n-го и m-го порядков от оператора

дифференцирования ;/ dtdpΔ= 1)( Rtu ∈ и 1)( Rty ∈ – входной и

выходной сигналы объекта; 3). Динамические непрерывные модели в виде интеграла

свертки:

∫∞

+−=0

)()()()( tdtuwty ξτττ , (5.14)

где w(t) – импульсная переходная функция объекта; 1)(),( Rtytu ∈ – входной и выходной сигналы объекта;

4). Динамические дискретные модели в форме «вход–выход»

ttmtn ubya ξ+∇=∇ )()( , (5.15)

где )(∇na и )(∇mb – полиномы n-го и m-го порядков от оператора

сдвига по времени назад ∇ ; 11, RyRu tt ∈∈ – входной и выходной сигналы объекта.

Случайные помехи в моделях (5.12)–(5.15) имеют следую-щие статистические свойства: 22 ][][,0][ ξσξξξ === ttt MDM .

5.2.2. Идентификация статических и дискретных дина-мических моделей. Для оценивания параметров (5.29) рассмот-рим N измерений входных и выходных сигналов. В результате

218

можно записать равенство: ξ+= XaY ,

где TNyyy ),...,,( 21=Y – вектор N измерений выходного сигна-

ла; nNR ×∈X – матрица входных воздействий; T

N ),...,,( 21 ξξξξ = – вектор шумов. Оценки параметров a ми-

нимизируют функционал невязок: 2/)()( XaYXaY −−= TJ . Из

необходимого условия: ( ) 0TJ∂ ∂ = − =a X Y Xa следует

YXXXa TT 1)( −= , (5.16.а)

где a – оценка метода наименьших квадратов (МНК) в форме

∑∑=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

NNT

Nl

lll

ll y1

1

1xxxaa . (5.16.б)

Здесь tx – вектор измерения выходных сигналов объекта в t-й момент времени.

Алгоритму МНК (5.16.б) можно придать следующий рекур-рентный вид:

11 ++ Δ+= ttt aaa .

Введем следующие обозначения для квадратных (n×n) матриц:

11

11

−+

=+ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑ T

l

t

llt xxГ ,

1

1

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑ T

l

t

llt xxГ .

Принимая во внимание (5.16.б), можно записать два равенства:

∑+

=+

−+ =

1

11

11

t

llltt yxaГ , ∑

=

− =t

llltt y

1

1 xaГ ,


219

из которых следует равенство: 111

111 ++

−+

−+ += tttttt yxaГaГ , но по-

скольку: Ttttt 11

11

1++

−+

− −= xxГГ , то справедливо соотношение вида:

1111111

11 )( ++++

−++

−+ +−= tttttttt yT xaxxГaГ .

В результате процедура (5.16.б) примет вид:

)( 11111 ttttttt

Ty axxГaa +++++ −+= , (5.17)

где матрица 1+tГ вычисляется с помощью леммы об обращении матриц:

111111 )1)(( −+++++ +−= ttttttttt

TT xГxГxxГГГ .

Рассмотрим алгоритм идентификации параметров (5.15) для нескольких вариантов задания полиномов )(∇na и )(∇mb . Пусть

∑ =∇−=∇ n

ll

ln aa 11)( и 0)( =∇mb , причем корни полинома )(∇na

лежат в единичном круге. В этом случае модель (5.1) имеет вид:

tntnttt yayayay ξ++++= −−− ...2211 , (5.18)

называется моделью авторегрессии. Запишем ее в векторной форме:

tttTy ξ+= xa ,

где Tnaaa ),...,,( 21=a , T

ntttt yyy ),...,,( 21 −−−=x , которая совпа-дает с моделью (5.12). Оценку вектора параметров а на основе N измерений получим путем минимизации функционала

2/)()( XaYXaY −−= TJ , где TNyyy ),...,,( 21=Y – вектор вы-

ходных сигналов объекта; nNR ×∈X – матрица со строками xi, Ni ,1= . Используя обозначения, введенные в (5.17), алгоритм

оценивания параметров модели (5.18) запишем в виде

220

;0),( 01111 =−+= ++++ aaxKaa ttttttTy

);1/() 1111 ++++ += ttttttT xГxxГK

1,, 0111 >>=−= +++ αα EГГxKГГ tttttT .

Если 1)( =∇na , ∑ =∇=∇ m

ll

lm bb 0)( , то модель (5.14) имеет вид:

tmtmttt ubububy ξ++++= −− ...110 (5.19)

и называется моделью авторегрессии со скользящим средним

tttTy ξ+= za , (5.20)

TTmttntttmn uuyybbaaa ),...,,,...,(),...,,,...,,( 1021 , −−−== za ,

причем последние векторы - вектор параметров и вектор после-довательных измерений выходных и входных сигналов. Оценки МНК для (5.20) имеют вид

),( 1111 tttttt

Ty azKaa ++++ −+= (5.21)

),1/( 1111 ++++ += tttttt

T zГzzГK (5.22)

.111 tttttT ГzKГГ +++ −=

Если в (5.20) шум tξ не белый, то оценки не являются не-смещенными. Для устранения смещения шум tξ можно предста-

вить как процесс авторегрессии ∑ = − += sl tltlt ec1 ξξ , где te — бе-

лый шум с нулевым средним и дисперсией 2eσ , )(∇sc — полином

s-го порядка от оператора сдвига ∇ . Тогда соотношение (5.20) примет вид:


221

ttmt uby ξ+∇= )( , (5.23)

ttst eс +∇= ξξ )( . (5.24)

Из (5.24) следует, что tst ce ξ)](1[ ∇−= , где )](1[ ∇− sc – пе-редаточная функция отбеливающего фильтра для tξ . Действуя оператором: )](1[ ∇− sc на (5.23), получим модель авторегрессии со скользящим средним

ttmstst eubcycy +∇∇−+∇= )()](1[)( . (5.25)

Обозначив ∑ ++=

Δ∇=∇∇− 1

1)()](1[ msl

llms bc α , преобразуем модель

(5.25) к следующему виду:

∑∑ ++= −= − ++= 111ms

l tltlsl ltlt euycy α .

Последнее равенство можно переписать в эквивалентной векторной форме:

ttt ey T += za . (5.26)

Так как шум et в модели (5.26) белый, то для получения не-смещенных оценок параметра a можно использовать соотноше-ния (5.21), (5.22).

5.2.3. Идентификация непрерывных моделей. Рассмотрим алгоритм идентификации параметров линейной модели объекта управления. Перейдем от операторной формы записи модели объекта к эквивалентной форме типа «вход-выход»:

0...... 0)1(

10)1(

1)( =−−−+++ −

−−

− ububyayay nn

nn

n .

Пусть настраиваемая в процессе идентификации модель

222

объекта имеет вид:

uuyyyt nn

nn

n0

)1(10

)1(1

)( ......)( ββααε −−−+++= −−

−− ,

где 1,0;,1,, −== njniji βα – параметры, минимизирующие

критерий 2/)(),( 2 tJJ εβα == изменением αi, βj, согласно гради-ентным законам настройки:

.)(),(,)(),( )()( j

j

ji

i

i utkJkdt

dytkJk

dtd ε

ββαβ

εαβαα

−=∂

∂−=−=

∂∂

−= (5.27)

Такие градиентные законы настройки параметров обеспечи-вают сходимость по параметрам: iα к *

iα и jβ к *jβ .

Если выбрать квадратичную по параметрам функцию Ляпу-нова в виде

[ ]∑−

=−+−==

1

0

22 )()(21),(

n

iiiii baVV βαβα

и вычислить ее полную производную по t в силу уравнений (5.27), то можно получить

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0

12

0

ni i

i i i ii

ni i

i i i ii

d dV a bdt dt

ke a y b u k

α βα β

α β ε

−

=

−

=

⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

Знакоотрицательность ),( βαV обеспечивает сходимость по параметрам.

5.2.4. Алгоритм идентификации импульсной переходной


223

функции. В силу уравнения (5.16) взаимная корреляционная функция «вход–выход» имеет вид:

[ ]

[ ] [ ],)()()()()(

)()()(

0

θξθθθτ

ττ

−+−−=

=−=

∫∞

tutMdWtutuM

tytuMruy

(5.28)

где ( )tξ и )(tu удовлетворяют следующему соотношению для ма-тематических ожиданий:

[ ] [ ] [ ] 0)()()( =−=− tMtuMtutM ξθθξ .

Обозначив автокорреляционную функцию входного сигнала [ ])()()( θττ −−= tutuMruu , запишем (5.28) в форме уравнения

Винера–Хопфа:

θθθττ dWrr uuuy )()()(0∫∞

−= . (5.29)

Если входной сигнал объекта – белый шум

)()( 2 τδστ −=− ttr uuu , где ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= )(22 tuMuσ , )( τδ −t – δ-функция

Дирака, то )()( 2 τστ Wr uuy = . Для устойчивого объекта 0)( →τW

при ∞→τ , поэтому без внесения значительных погрешностей бесконечный верхний предел в (5.14) можно заменить конечным временем Т. Производя измерения выходного и входного сигна-лов объекта с интервалом Δ, запишем следующие оценки корре-ляционных функций:

,))(()(1)(,))(()(1)(1

0

1

0∑∑−

=

−

=Δ+Δ=ΔΔ+Δ=Δ

N

luy

N

luu klylu

Nkrklulu

Nkr

224

где Δ= /TN — число интервалов измерений. Значения )(τW оп-ределим в моменты Δ= kτ . Вычислив интеграл в (5.26) по методу левых прямоугольников, получим равенство

∑=

Δ−ΔΔ=ΔN

iuuuy ikriWkr

1))(()()( .

Введя обозначения векторов: Tuyuyuy Nrrrr ))(,...),(),0(( ΔΔ=

TNWWWW ))(,...),(),0(( ΔΔ= и матрицы:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ−Δ

Δ−−ΔΔ−Δ−

=

)0())1(()(

))1(()0()()()()0(

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

rNrNr

NrrrNrrr

R ,

запишем уравнение (5.26) в виде

WRr Δ= . (5.30)

Вектор оценок rRW 11 −−Δ= , и в силу симметричности R для решения (5.30) можно использовать факторизацию (алгоритм Холесского).

5.3. Синтез адаптивных систем методом рекуррентных целевых неравенств

Рассмотрим скалярный динамический дискретный объект управления, описываемый уравнениями «вход-выход»

11111 ,,... Ruyububyayay tttrtrtrtrtt ∈+++=+++ −−−− ν… , (5.31)

где b1 ≠ 0, т.е. запаздывание в управлении минимально: s = 1. Возмущение νt в (5.31) – ограничено по модулю: |νt|≤1, а в ос-


225

тальном – возмущение является произвольным. Управления ut допустимые, т.е. представлены вектором: 0101 ,,,,, yyuu tt −− и t. Цель управления состоит в минимизации функционала:

tVt

yuJ∈∞→

∞

∞=

0

suplim)( 0ν

.

На первом этапе решения задачи рассмотрим синтез регуля-тора основного контура при условии, что коэффициенты jj ba ,

уравнения объекта известны. Тогда решение задачи синтеза регу-лятора основного контура очевидно: целевое условие регулятора основного контура (РОК) состоит в том, чтобы оптимальное управление следовало из требования, при котором уравнение (5.31) приняло вид tty ν= , т.е. оптимальным является регулятор:

[ ]rtrtrtrtt yayaububbu −−−−− +++−−−= ...... 11221

1 . (5.32)

Таким образом, при полной информации регулятор опреде-лен, и можно перейти к задаче адаптивного управления.

5.3.1. Постановка задачи адаптивного управления. Опре-делим понятие варианта для данной задачи. Поскольку регулятор основного контура определен с точностью до неизвестных пара-метров, то множество },{}{ вп ξξξ = , т.е. вариант определен мно-

жеством неизвестных параметров [ ]ijп ba ,=ξ и возмущением

)( вtt ξνν = . Пусть { }ξ – множество всех ξ, таких, что ξп принима-

ет любые значения, а ctв

tt ≤= νξνν :)( . Целевое условие регу-

лятора контура адаптации (РКА):

yt cy ≤+1 , (5.33)

которое обеспечивается подстройкой параметров, причем будем

226

считать, что ccy > . В противном случае не существует адаптив-

ного управления и вообще никакого управления, обеспечиваю-щего целевое условие.

Вид оптимального управления (5.32) подсказывает выбор следующего сенсора σt, определяющего структуру управления так, что

).,...,,,...,(col

),,...,,,...,col(),,(

120

1110

rr

rttrttttt

aabb

yyuuu

−−=

== −−−−−

τ

στσ (5.34)

Далее можно перейти к рассмотрению синтеза регулятора контура адаптации.

5.3.2. Синтез адаптивного регулятора. Адаптивное управ-ление будем искать в виде (5.34), заменяя неизвестный вектор 0τ вектором подстраиваемых параметров tτ , изменяемых с целью выполнения на каждом шаге управления целевого условия (5.33).

Перейдем к построению регулятора целевого назначения. Рассмотрим прогнозируемое значение

10

11 )],([ ++ +−= tttt uby ντσ , (5.35)

представляющее собой уравнение (5.30), записанное в новых обо-значениях. Подставим (5.35) в целевое условие типа неравенств (5.33):

yttt cb ≤+− +1

01 )],(),[( ντστσ . (5.36)

Соотношение (5.36) представляет собой линейное алгебраи-ческое неравенство относительно подстраиваемых парамет-ров τ. Алгоритм его решения должен быть построен так, чтобы существовал такой момент )(* ξtt = , при котором для всех *tt >


227

все неравенства (5.36) были выполнены. Это означает адаптив-ность системы в некотором классе. Искомый алгоритм имеет вид

)|(| 1 bcb < :

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−

≤=

+−−

++

,,sign)1(

,,

12

11

11

ytttbt

yttt

cybc

cy

σσρτ

ττ (5.37)

и совпадает с известным алгоритмом «Полоска». Число ошибок алгоритма (т.е. число моментов нарушения целевого условия) можно оценить соотношением

( ){ } 121 , −− =−≤ yyb ccccccr ρττ σ , (5.38)

где τ и τ – начальное и оптимальное значения параметров. Регуляторы данного класса обеспечивают решение задачи

функиональной идентификации, при которой целевые условия выполнены, а оценки параметров могут существенно отличаться от их реальных значений.

5.4. Синтез адаптивных систем с идентификатором

методом стохастической аппроксимации

Метод стохастической аппроксимации (МСА) при выполне-нии определенных условий определяет алгоритмы, являющиеся идентифицирующими, т.е. доставляющими оценки параметров, сопадающими с истинными значениями.

5.4.1. Основная рекуррентная процедура МСА. Рассмот-рим функционал

∫= )(),()( dxFxQJ ττ , (5.59)

где ),( τxQ – оценочная функция, зависящая от параметров

228

τ; F – некоторое распределение вероятностей в пространстве { }xX = – векторных величин х, роль которых играют наблюде-

ния состояния системы. Требуется найти вектор τ, обеспечивающий экстремум J.

Если функция Q(x,τ) достаточно «гладкая» по τ и отсутствуют ог-раничения на τ, то оптимизирующий вектор можно вычислить как решение уравнения:

∫ == 0)(),(grad)(grad dxFxQJ ττ ττ , (5.40)

которое является уравнением «регрессии». Если распределение F(dx) и функция Q(x,τ) известны, то из уравнения (5.40) можно найти τ. Если же распределение F неизвестно, но имеется опреде-ляемая этим распределением последовательность х0, x1, ..., на ко-торой значения gradτQ известны как функции τ, то gradτQ играет роль оценки градиента (5.56) и может использоваться при по-строении стохастически градиентной процедуры

]),(grad[1 tttt wxQ +−=+ τγττ τ (5.41)

для приближенного решения уравнения (5.40). Определение 5.4.1. Выражение tt wxQ += ),(grad τψ τ назы-

вается стохастическим градиентом, причем ),(grad],[ ττψ τ xQxM ttt = . Величины γt в (5.41) определяют шаг

алгоритма МСА. Если γt выбираются как функции предыстории, то (5.58) называется процедурой Роббинса–Монро. Если же gradτQ неизвестен, но имеется возможность в точках xt наблюдать саму функцию Q(x,τ), то вместо (5.41) применяется процедура Кифера–Вольфовица, в которой вместо градиента используется его разностная аппроксимация.

5.4.2. Применение МСА для синтеза адаптивных САУ.


229

Как и в подразделе 5.4, предположим, что объект управления оп-ределяется неизвестным вектором параметров τ так, что скаляр-ный выход yt имеет вид:

)(11 ξνϕτ ++ ++= ttTtt Фy , (5.42)

где скалярная функция φt и вектор Фt доступны измерению при любом t; νt+1 – белошумная случайная помеха. Пусть функционал

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−=′ +

21)( τϕτ T

ttt ФyMJ , (5.43)

который при белошумных помехах преобразуется к виду:

( )[ ] [ ]2222,)( t

Ttt MФMJ νσστττ νν =+−′=′ , (5.44)

поскольку

[ ] ( )[ ] 222

1 )()( νστττϕξνϕττ +′−=′−−++=′ +Tt

Ttttt

Tt ФMФФMJ .

Из (5.43) и (5.44) следует, что наименьшее значение )(τ ′tJ дости-гается на векторе τ из (5.42). Стохастически градиентная проце-дура МСА вида (5.42) для (5.44) принимает вид:

])([ 11 ttTttt

Ttttt wФyФ +−−−= ++ τϕγττ , (5.45)

где tw – белошумная помеха. Обоснование процедуры (5.45) про-водится при условии стохастической независимости случайных величин Фt. Однако поскольку Фt – функция выходов динамиче-ского ОУ, то не выполнены условия сходимости. Вместе с тем, если ОУ линеен, то процесс Фt обладает некоторыми специаль-ными свойствами, учет которых позволяет обосновать состоя-

230

тельность оценок, получаемых процедурой МСА (5.45). Пусть ОУ описывается уравнениями

)(),(),( ξνττ ttt ubya +∇=∇ , (5.46)

где ∇ ─ оператор сдвига во времени на такт назад;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τλτλτλτλτλτλ rr

rr bbbaaa ++=+++= ...,;...1, 11 .

Введем скалярную функцию φt и вектор-функцию Фt соотноше-ниями:

,)],()0,([)],()0,([

,)]0,()]0,(1[

11

11

++

++

∇−∇−∇−∇=

∇+∇−=

ttTt

ttt

ubbyaaФ

ubya

τττ

ϕ (5.47)

где φt – порождается коэффициентами, не зависящими от τ. В но-вых обозначениях объект (5.63) описывается уравнением

)(11 ξνϕτ ++ ++= tt

Ttt Фy .

Предположим, что управления ut формируются линейным регу-лятором

tt yu )()( ∇=∇ βα (5.48)

с известными коэффициентами: ( ) ,...1 1 ppαλαλλα +++=

( ) ppβλβλλβ ++= ...1 .

Пусть регулятор (5.65) стабилизирующий для объекта (5.63). Систему управления (5.63), (5.65) можно записать в виде уравне-ний состояния:

)()()( 11 ξνττ ++ += ttt BxAx ,


231

где ;),max(;),,,,,(col 11 prsuuyyx sttsttt == +−+− …… матрицы A(τ) и B(τ) получаются по методике п. 2.2. Пара (A(τ), B(τ)) – управляема (см. подраздел 4.2), матрица A(τ) имеет собственные числа внутри единичного круга, тогда справедлива теорема.

Теорема 5.4.1 (о состоятельности оценок, доставляемых МСА). Пусть выполнены следующие условия:

1). Системы (5.46), (5.48) управляемы в указанном выше смысле;

2). Регулятор (5.48) стабилизирующий для объекта (5.46); 3). Помехи νt, в (5.46) и wt, в (5.45) независимые, белошум-

ные и выполнены условия: [ ] [ ] 0,0 == tt wMM ν ,

[ ] [ ] 222 ,, wttTtt cwMcEcwM ≤≤≤ νν νν ;

4). Шаг γt в соотношении (5.45) такой, что: ∞<++∞=++ …… 2

12010 , γγγγ .

Тогда ττ =∞→

ttlim с вероятностью 1 и в среднеквадратическом

смысле. Таким образом, при выполнении условий теоремы имеет

место сходимость по параметрам. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Вво-

дится случайная величина: 2 2t tΔ τ τ= − , где tτ , τ – соответст-

венно подстраиваемые и истинные параметры объекта управле-ния, соответственно. Далее необходимо доказать следующую лемму.

Лемма 5.4.1. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда справедливы рекуррентные неравенствадля математических ожи-даний квадратов норм отклонений параметров от истинных зна-чений:

( )22 2 T 2 2t+1 t t t t t tM Δ M Δ γ M Δ 2 γ С γ Cφ≤ − Φ − + ,

232

где tt

C supφ = φ , 2 2v wC=C С Cφ + .

Доказательство основано на рассмотрении следующей по-следовательности соотношений для математических ожиданий:

( )22 2 T

t+1 t+1 t t t t 1 t t t tM Δ M M y w+⎡ ⎤= τ − τ = τ − γ Φ −ϕ −Φ τ + − τ⎣ ⎦ ,

в которой использован алгоритм постройки параметров (5.62) ме-тода стохастической аппроксимации. Далее в силу уравнения объекта (5.59) в последнем соотношении вектор выхода опреде-

ляется равенством: Tt 1 t t t 1y v+ +− ϕ = φ τ + , что приводит к следую-

щей цепочке рекуррентных равенств и неравенств:

( )( )22 T

t+1 t t t t t t 1 tM Δ M Ф v w+⎡ ⎤= τ − τ − γ Φ τ − τ + + =⎣ ⎦

( )( )22 T

t t t t t t 1 t= M Δ M v w+⎡ ⎤+ −γ φ φ τ − τ + + +⎣ ⎦

( )( )( )Tt t t t t 1 t 1 t+ 2 M v w ,+ +⎡ ⎤−γ φ φ τ − τ + + Δ =⎣ ⎦

( )( )22 T

t t t t t t 1 t=M M v w+⎡ ⎤Δ + γ φ −φ Δ + + +⎣ ⎦

( )( )Tt t t t t 1 t t+ 2 M v w ,+⎡ ⎤γ φ φ Δ + + Δ =⎣ ⎦

( )( )22 2T

t t t t t t 1 t t=M M v M w+⎡ ⎤Δ + γ φ −φ Δ + + γ +⎣ ⎦

( )( )( )Tt t t t t 1 t t+ 2 M v , w+⎡ ⎤γ φ −φ Δ + γ +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )Tt t t t t 1 t t+ 2 M v w ,+⎡ ⎤γ φ −φ Δ + + Δ =⎣ ⎦

22 2T

t t t t t t t t 1 t t+ M M v M w+Δ + −γ φ φ Δ + γ φ + γ +

( )Tt t t t t t t 1 t t+ 2 M v ,+−γ φ φ Δ + γ φ γ Δ +


233

( )Tt t t t t t t 1 t t t+ 2 M v w ,+γ φ φ Δ + γ φ + γ Δ ≤

( )22 T Tt t t t t t t t t t t t 1 M M 2 M , v +≤ Δ + γ φ φ Δ − γ φ φ Δ γ φ +

2 2t t t 1 t tM v M w++ γ φ + γ + ( ) T

t t t t t t t 1 t2 M v w+−γ γ φ φ Δ + φ +

Tt t t t t t 1 t t2 M v w++ γ φ φ Δ + φ + Δ .

При выполнении преобразований использовано неравенство: ( )M a,в M a M b≤ ⋅ . Уравнения замкнутой адаптивной системы с

идентификатором имеют вид

])([,)()()( 1111 ttTttt

Tttttttt wФyФBxAx +−−−=+= ++++ τϕγττξνττ ,

причем при выборе параметров с учетом условий теоремы имеет место сходимость по параметрам.

5.5. Синтез адаптивных систем методом скоростного градиента

Метод скоростного градиента позволяет синтезировать адаптивные САУ с помощью применения эталонных моделей, уравнений ошибки и функций Ляпунова.

5.5.1. Постановка задачи и схема синтеза. Адаптивная сис- тема описывается уравнениями обобщенного настраиваемого объекта (ОНО):

,,,)0(),,,,(/ 0 nn RRtdtd ∈∈== τξτ xxxxFx

где х и τ – векторы состояния и настраиваемых параметров; ξ – вариант. Задана целевая функция контура адаптации:

( ) ( ) ( ) .0,0,0,0,,, =≠>= τττ QQQJ xxx

234

Задано целевое условие:

( ) 0,lim =∞→

tQt

x . (5.49)

Требуется найти закон адаптации методом скоростного гради-

ента (МСГ), в котором подстройка вектора параметров τ осуще-

ствляется по алгоритму

( )[ ]

,),,,(grad

grad,grad

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

−=−=

ξτ

ττ

τ

ττ

tQtQ

QtQQ

T

T

xFx

Г

xx

ГxГ

(5.50)

где Г>0 ─ положительно определенная матрица, в частности NEγ=Г .

5.5.2. Синтез адаптивной САУ линейным объектом на основе метода скоростного градиента. Пусть ОНО описывается линейным дифференциальным уравнением

000000 )0(),(])([)( xxrxxAx =+++= tb BA τξτξ , (5.51)

а эталонная модель задана системой

)(** tbмм rxAx += , (5.52)

где А* – гурвицева матрица. Целевое условие (5.49)

( ) 0, 2

0∞→

→−==t

мQJ xxx τ

соответствует совпадению реакций объекта и эталонной системы при ∞→t в результате подстройки параметров τА и τВ с помощью


235

алгоритма МСГ (5.60). Для подстройки определим ошибку

мxxx −= 0 (5.53)

и дифференциальное уравнение, связывающее векторы х и хм. Дифференцируя (5.53) в силу (5.51) и (5.52), получим систему

)()()()()( **000 tbttb мBAм rxArrxxAxxx −−+++=−= τξτξ . (5.54)

Добавляя и вычитая в правой части вектор 0* xA , преобразуем уравнение (5.54) к следующему виду:

)(])([)]()([ **0* tbb BмA rxxAxAxAx −+++−++= τξτξ . (5.55)

Выберем оценочную функцию xxxQ T P=)(1 , где 0>= TPP , при- чем матрица Р удовлетворяет неравенству Ляпунова:

0** <− PAPAT , что имеет место, поскольку А* гурвицева по ус-ловию. Алгоритм подстройки параметров на основе (5.72) при-нимает вид:

.)(

})(])([)]()([)(2{grad

0

***

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

=−+++−++−=

t

tbb

T

T

BмAT

rxP

xxPГ

rxxAAxAxPГ τξτξτ

Рассмотрим теорему о сходимости процесса адаптации. Теорема 5.5.1. Пусть выполнены следующие условия: 1). Для любых β>0, Ξ∈ξ существует константа с(β,ξ), та-

кая, что ( )ξβξτϕξτ τ ,),,,(grad),,,( ctt ≤+ xxF ||; 2). Функция ),( tQ x при любом 0>β равномерно непрерыв-

на в области }0,,{ ≥< tt βxx и удовлетворяет условию роста

0,),(inf ≥∞→ ttQ x при ∞→x , и функция ),(),,,( tQt xx =ξτϕ

236

выпукла по τ; 3). Для любого Ξ∈ξ существуют вектор )(** ξττ = и число

0)( >= ξρρ , удовлетворяющие условию достижимости целевого условия: ),(),,,( * tQt xx ρξτϕ −≤ . Тогда в системе достигается цель управления.

Таким образом, для синтеза адаптивных систем можно ис-пользовать процедуры скоростного градиента, которые соединя-ют в себе классические методы подстройки параметров и методы теории устойчивости. Билинейных характер управлений в ряде случаев приводит к правым частям уравнений замкнутых систем, которые относятся к классу уравнений типа Лоренца, для кото-рых возможно возникновение хаотических режимов.

5.6. Анализ грубости методами функционального анализа)*

Исследование грубости объектов или систем управления яв-ляется одной из задач адаптивного управления. Исследовавное грубости актуально в связи с неадекватностью математических моделей, используемых при синтезе.

Проблема грубости исторически восходит к А.А. Андроно-ву. Определенное распространение анализ грубости методами функционального анализа получили наряду с методами исследо-вания интервальной устойчивости полиномов по Л.В. Харитоно-ву, некорректности решений, интервальной устойчивости опти-мальных систем, с проблемой синтеза регуляторов в пространст-ве Харди. Методы функционального анализа позволяют оценить допустимые изменения параметров объектов и систем управле-

ния в пространстве с нормой 1,...,

|| || max | |it t

i nX X

== в nR , где нормы

)∗ Написано Ю.В. Козловым и И.П. Симаковым.


237

векторов и нормы операторов согласованы. Задача 1. Пусть объект управления описываются парамет-

рически возмущенными уравнениями:

1t t tX HX H X+ = + Δ ,

где HΔ - матрица возмущений параметров. Требуется получить оценки норма для матрицы возмущений параметров в нормиро-ванном пространстве состояний.

Оценка нормы вектора правой части строится на основе следующих соотношений:

21|| || || || 4 || || || ||t t t tX HX H X b ac H H X+ = + Δ ≤ − + Δ ,

связывающих нормы образов и прообразов линейных операторов, достаточных условий сходимости: || || 1H H+ Δ < , которые опреде-ляют ограничение на величину параметрического матричного возмущения так, что || || || || 1H H+ Δ < . Тогда ограничения на ве-личину нормы параметрического возмущения матрицы объекта или системы примут следующий вид:

|| || 1 || ||H HΔ < − , || || 1.H <

Задача 2. Пусть система управления описываются разност-ными уравнениями:

1t t tX HX FCX+ = + .

Требуется получить оценку на величину нормы вектора па-раметров обратной связи, при которой выполнены достаточные условия устойчивости в нормированном пространстве состояний.

Оценка нормы правой части имеет вид:

238

1|| || || || || || || || (|| || || || || ||) || ||t t t t tX HX FCX H FC X H F C X+ = + ≤ + ≤ + ,

а достаточное условие сходимости (сжатия): || || || || || || 1H F C+ < определяют ограничение на параметры обратной связи в виде следующего неравенства:

|| || (1 || ||) / || ||, || || 1.C H F H< − <

Задача 3. Пусть система описывается уравнениями:

1 ( )t t tX H H X FCX+ = + Δ + .

Требуется сформулировать ограничение на допустимое по условию устойчивости возмущение параметров объекта управле-ния в виде ограничений на норму матрицы возмущений.

Ограничение на норму матричного параметрического воз-мущения имеет вид:

|| || (1 || ||) || || || ||H H F CΔ < − .

Последнее соотношение следует из оценки нормы возму-щенного оператора замкнутой системы и достаточного условия устойчивости.

Задача 4 (об оценках-ограничениях на собственные числа). Пусть система управления описывается уравнениями

1 ( )t t tX H H X FCX+ = + Δ + .

Требуется сформулировать оценки на собственные числа матрицы объекта управления, исходя из достаточных условий ус-тойчивости замкнутой системы управления.

Для получения необходимой оценки требуется рассмотреть достаточные условия рассматриваемой системы при условии приведения матрицы системы к форме Жордана. В результате


239

можно установить следующее неравенство:

|| || 1 || || || || || || || ||J J F C SΔ < − − , ограничивающее норму приращения матрицы Жордана, где J и

JΔ - жорданова форма и ее приращение такие, что имеет место равенство 1H SJS −= , причем собственные числа матрицы объек-та вещественные, т.е. принадлежат 1R .

5.7. Анализ развития методов синтеза адаптивных систем

Развитие и применение теории адаптивного управления происходит эволюционным путем на основе совершенствования существующих систем, которые образуют основной контур управления. В связи с этим, адаптивное управление строится на основе регуляторов основного контура (РОК) и регуляторов кон-тура адаптации (РКА).

В настоящее время существует достаточно широкий арсенал методов синтеза основного контура управления, которые в соче-тании с рассмотренными методами синтеза контура адаптации определяют системные варианты подходов к синтезу адаптив-ных систем. Для синтеза РОК можно использовать широко из-вестные методы модального управления, локально оптимального управления, оптимального управления, которые являются пре-имущественно линейными. При этом задачей контура адаптации является идентификация параметров объекта управления в реаль-ном времени. Для подстройки параметров – для синтеза РКА - могут использоваться различные методы, к числу которых отно-сятся метод рекуррентных целевых неравенств, метод стохасти-ческой аппроксимации, метод скоростного градиента и другие. На основе этого можно дать системную характеристику возмож-ных типов адаптивных систем управления (табл. 5.1), характери-зующей возможные варианты построения адаптивных систем. В

240

табл. 5.1 отмечены типы адаптивных систем, которые к настоя-щему времени разработаны на достаточно фундаментальной ос-нове, поскольку для ряда вариантов алгоритмов адаптации полу-чены условия функциональной или параметрической «идентифи-цируемости» объектов управления. Для разработки методов син-теза адаптивных регуляторов других типов необходимо исполь-зование оригинальных подходов к решению проблемы синтеза, которые анализируются далее.

Таблица 5.1

О с н о в н о йк о н т у р

К о н т у р а д а п т а ц и и

Модальные регуляторы

Локально- оптималь-

ные регуляторы

Оптималь-ные

регуляторы

Регулято-ры,

синтези-руемые метода- ми мате-матиче-ского про-грамми-рования

Метод рекуррентных

целевых неравенств

РОК и РКА, функциналь-ная иденти-фикация

Метод стохастиче-

ской Аппроксима-

ции

РОК и РКА, сходимость по параметрам

Метод скоростного градиента

РОК и РКА, устойчивость замкнутых систем

Необходимо остановиться на системной технологии доказатель-ства сходимости итерационных процессов адаптации. Рассматри-


241

вается алгоритмический аспект доказательства сходимости с ак-центом на системность подхода к построению доказательства в следующей постановке.

Пусть имеется совокупность итерационных (рекуррентных) процессов, соответствующих: 1). Процедурам численного решения детерминированных разно-стных уравнений или эволюционными уравнениям в дискретном времени; 2). Детерминированным процедурам численной оптимизации; 3). Стохастическим процедурам оптимизации (метод стохастиче-ской аппроксимации); 4). Стохастическим процедурам адаптивного управления.

Требуется сформулировать системную технологию доказа-тельства сходимости перечисленных выше итерационных про-цессов, выделив варианты исследования сходимости и общие ха-рактерные черты, позволяющие расширить классы подходов к анализу сходимости. Другими словами, необходимо осуществить системный синтез возможных подходов к исследованию сходи-мости, дополняющих известные процедуры. Для решения задачи можно построить системную матрицу возможных вариантов ис-следования сходимости в пространстве задачи – методы анализа сходимости, которая имеет вид, приведенный в табл. 5.2, в кото-рой указаны тип устойчивости или характер результата.

Для задачи 1 формулируются основные этапы получения результата: формирование уравнения стационарных состояний, введение функции Ляпунова типа нормы или квадратичной фор-мы, вычисление первой разности функции Ляпунова и после-дующее преобразование, приводящее к результату.

Для задачи 2, решаемой на основе «квазистационарности первой разности», требует введения первой разности, ее преобра-зования представлением оценки первой разности через производ-

242

ные, применения условия Липшица, для вывода условий Таблица 5.2

Метод

Задача

Функций Ляпунова

Стационарно-

сти производной

Рядов

Скалярных

рекуррентныхнеравенств

Устойчивость разностных схем и эволюционных уравнений

Достаточныеусловия

Устойчивость де-терминированных

процедур оптимизации

Достаточныеусловия

Ограниченияна

параметры

Устойчивость стохастических

процедур оптимизации

Ограничения на

параметры

Устойчивость стохастических

процедур адаптации

Ограниченияна

параметры

существования минимизирующей последовательности функцио-налов.

Для задачи 3, состоящей в формулировке условий схо-димости случайных величин в среднеквадратичном смысле и по вероятности, решение включает следующие этапы доказательст-ва: формирование уравнения отклонения текущей переменной от истинного значения, вычисление второго момента, суммирование семейства разностей последующих и предыдущих значений слу-чайных вспомогательных величин, применение условий сходи-мости полученного ряда, из которых следуют ограничения на па-раметры рекуррентной процедуры уточнения оценок.

Для задачи 4 (задачи синтеза процедуры оценки параметров адаптивной системы методом стохастической аппроксимации)


243

решение находится из уравнений отклонений параметров от ис-тинных значений, формируется стохастическая функция Ляпуно-ва, которая имеет смысл второго центрального момента парамет-ров. Преобразование функции Ляпунова выполняется «в силу» уравнений подстройки параметров и динамики уравнений объек-та. Использование условного математического ожидания ошибки по параметрам (стохастической функции Ляпунова) позволяет определить условия сходимости, которые формулируются на ос-нове специальных условий (условий для мартингалов, условий типа Чжуна, Буркхольдера, Дермана, Сакса и др.).

Перечисленные подходы составляют базу системной техно- логии доказательства сходимости широкого класса итерационных процессов, позволяющей получать новые результаты в области теории сходимости на основе применения ранее не использован-ных подходов, которые определены системной матрицей. Ис-пользуя рассмотренный набор вариантов построения адаптивных систем можно синтезировать широкий класс регуляторов для достижения целей адаптивного управления.

244

Приложение 1

К АНАЛИТИЧЕСКОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МИНИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ

ФУНКЦИОНАЛОВ НА КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ)*

Рассматривается аналитическая оптимизация на основе аппроксима-ции ограничений, условий Лагранжа и Куна-Таккера.

1. Минимизация линейных функционалов

Рассматривается следующая задача: найти вектор

*2

, , , ,argmin .(1)

( ) ( ) ,

m nо о о oТ n

о ZТ

A Z b A R m n rang A mz c z R

Z d Q Z d r rang Q nϕ

×⎧ ⎫= ∈ ≤ =⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬− − ≤ =⎪ ⎪⎩ ⎭

Эллипсоид в данной задаче может аппроксимировать параллелепипед ин-тервальных ограничений на переменные. Замена переменных позволяет преобразовать ограничения

1/2 1/2, ( ) , ( ) ( )ТZ Q X d X Q Z d Z d QZ d−= + = − − − =

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2( ) ( ) .Т Т ТQ X d d Q Q X d d X Q QQ X X X r− − − −= + − + − = = ≤

и задачу к виду: найти вектор

1/ 2

* 1/ 2

1/ 2

( )

arg min

.

о

Т То о

о о о

AZ A Q X d

X c Q X c d

A Q X A d b

ϕ

−

−

−

⎧ = + =⎪⎪= = +⎨⎪ = + =⎪⎩

В новых переменных ограничения задачи принимают вид: 1/ 2 2{ , , , , } .Т n

о о о xA X b A A Q b b A d rang A m X X r R−= = = − = ≤ ∈

В компактном виде последняя задача сводится к отысканию минимума ли-

нейного функционала fXcJ Т += при ограничениях:

)* Написано В.Н. Козловым


245

.rXX,bAX Т 2≤= Необходимые условия для задачи, полученной

заменой квадратичного неравенства на равенство можно получить с помо-щью функции Лагранжа:

20 ( ) ( )Т Т ТL c X AX b X X rλ λ= + − + − .

Необходимые условия представляется системой равенств

020 =++=∂∂ XAc

xL T λλ , 0

0

=−=∂∂ bAXLλ , 02 =−=

∂∂ rXXL T

λ , (1.1)

из которых следует:

( ) [ ]АсbААТо −−=−

λλ 21

. (1.2)

Решение преобразованной задачи как функция λ имеет вид:

( ) ( ) ,bAAAcP~XXТТo

**λ

λλ2

21

−−

==−

( ) AAAAEP~ ТТo 1−−= . (1.3)

Последнее решение можно представить в форме, определяющей решение как функцию параметра. Это решение имеет следующий вид:

.)(,~),211(~)( 10000 bAAAbPbPcPcPcPcPX TTAA −∗ =+=−−=λ

λ

Квадратное уравнение относительно множителя Лагранжа λ имеет вид:

Из полученного уравнения можно найти два значения −λ и +λ , одно из ко-

торых соответствует максимуму, а другое - минимуму линейного функ-

ционала, причем: ( ) ./ / 21αβλ ∓∓ = В результате решение

Полученное решение определяет минимум на компактном множест-ве в аналитической форме.

.0~,04)(4,0 0212 >=>+==− − cPcrbAAb ТТТ βαβαλ

.dxQz */* += − 21

246

2. Минимизация квадратичных функционалов Задача 2: Задача квадратичного программирования имеет вид: найти вектор, минимизирующий заданный квадратичный функционал, на допус-тимом множестве, в котором параллелепипед ограничений аппроксимиро-ван эллипсоидом

}.,|)()({minarg 2rQxxbAxcXcXX TT ≤=−−==∗ ϕ (2.1)

Задача (2.1) представляет собой минимизацию квадратичного функ-ционала на допустимом множестве. Это допустимое множество представ-ляет собой пересечение линейного многообразия и шара. Для решения за-дачи можно воспользоваться необходимыми и достаточными условиями Куна-Таккера для задач выпуклого программирования. Далее рассматрива-ется другой подход к решению задачи, исходя из того, что точка миниму-ма квадратичного функционала либо принадлежит границе допустимой области или находится внутри допустимой области.

В этой ситуации можно воспользоваться раздельным отысканием решений с последующим их объединением в предикатной форме, пред-ставленной соотношением

}{

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

∈==

=,int если ,minarg

,int если ,minarg

*2

*2

**1

*

DXrXX

bAXX

DXbAXX

XTϕ

ϕ

(2.2)

где int D – внутренность множества D, аппроксимирующего параллелепи-пед в задачах, сформулированных в предыдущих разделах данной работы. Если точка минимума ∗X принадлежит границе области, то для решения вспомогательной задачи, когда в (2.1) все ограничения выполняются как равенства. Для этого случая задача имеет вид:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

−−==

mArangrXX

bAXCXCXX TT ,

,)()(minarg 2* ϕ ,

что позволяет использовать необходимые условия для ограничений типа равенств, формулируемые с помощью функции Лагранжа для рассматри-ваемой задачи. При этом, как было отмечено выше, используется внутрен-няя аппроксимация параллелепипедов ограничений. Возможно также при-менение «внешней» аппроксимации параллелепипедов, однако это обстоя-тельство не вносит особенностей в формулировку необходимых условий.

Функция Лагранжа для задачи, полученной переходом от квадра-


247 тичных неравенств к квадратичным равенствам, представляется в форме: ).()()()( 2

0 rxxbAxCxCxL TTT −+−+−−= λλ . (2.3)

На основе функции Лагранжа можно получить численно-аналитическое решение задачи. Необходимые условия экстремума для функции Лагранжа типа (2.3) представляются в виде системы нелинейных алгебраических уравнений. Эти уравнения следуют из общей схемы формирования необ-ходимых условий для задач условной оптимизации, полученных с помо-щью операций дифференцирования функции Лагранжа по исходным пере-менным и по множителям Лагранжа для ограничений типа линейных и не-линейных равенств. В результате можно получить систему уравнений:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−=∂∂

=−=∂∂

=++−=∂∂

.0

,0

,0222

2

0

0

rXXZ

bAXZ

XACXXZ

T

T

λ

λ

λλ

(2.4)

Решение системы (2.4) относительно λ0 определяет 0( )X λ∗ , поскольку,

если умножить первое уравнение на матрицу A , то можно получить:

0222 0 ==

++−= b

AXAAACb

AX T λλ .

где в силу второго уравнения системы (4) вида: Ax b= . Тогда последняя алгебраическая система уравнений примет вид

0222 0 =++− bAAACb T λλ ,

а вектор множителей Лагранжа 0λ (для ограничений типа линейных ра-венств) равен:

[ ]bACbAAT λ−+−=λ − 222)( 10 . (2.5)

Если подставить значение множителя Лагранжа (2.5) в первое уравнение системы необходимых условий для функции Лагранжа (2.4), то можно вы-

248

числить оптимальное решение 0( )X λ∗ (решение как функция скалярного параметра, соответствующего квадратичным ограничениям) как функцию множителя Лагранжа для квадратичных ограничений типа равенств. По-скольку в результате подстановки можно получить равенство

[ ] 02222)(22 1 =λ+λ−+−+− − XbACbAAACX TT ,

то преобразованное уравнение относительно 0( )X λ∗ примет вид:

[ ] −+=λ−+−==λ− −− bAAACbACbAAACX TTTT 11 )()()1(

(2.6)

011 . )()()( bPCPbAAAACAAA ATTTT λλ +=+− −−

Из уравнения (2.6) вектор оптимального решения как функция скалярного множителя Лагранжаλ определяется равенством:

[ ]λ+

λ+==λ1

1)(*)(* 0 bPCPXX A . (2.7)

Для получения окончательного решения необходимо подставить вектор (2.7) в квадратичное уравнение ограничений системы необходимых усло-вий (2.4). Целесообразно сначала вычислить XX T . Величина XX T в третьем уравнении системы необходимых условий (2.4) принимает вид:

[ ] [ ] =λ+

λ+λ+=2

00

)1(1)()( bPCPbPCPXX ATAT

[ ][ ] =λ+

λ+λ+= 200

)1(1)()( bPCPPbCP AATTT

[ ] ,)1(

1)(2)()( 22000

λλλ

+++= bPPbCPPbCPCP AATTATTT

где для преобразования матриц в последнем равенстве использованы сле-дующие матричные соотношения для операторов проектирования на ли-нейные многообразия, подпространства и связанных с ними вспомогатель-


249 ных матриц:

[ ] [ ]=++= −− bAAACPbAAACPCPCP TTTTTT 101000 )(~)(~)()(

=++= −−− bAAE

AAAAbCPAAAbCPPC TTTTTTTT 110100 )()(~)(2~~

[ ] =+−+= −−− bAAbCAAAAEAAAbCPC TTTTTTT 1110 )()()(2~

0 1 1 1 1

0~1

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

T T T T T T T T

n n

T T T

C P C b AA A AA AA AA A C b AA bO

C P C b AA b

− − − −

×

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

[ ]=+−= −−− bAAACAAAAEAAACPP TTTTTAT 1110 )())(()()(

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

T T T T T

Tn

AA A AA AA AA A C AA bE

O AA b

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

111 )()()( −−− == TTTTAAT AAAAAAAAPP .

Справедливость последних равенств установлена приведенными вычисле-ниями. Для матриц операторов проектирования на линейное подпростран-ство имеют место следующие матричные соотношения, подтверждающие свойства матрицы оператора проектирования:

250

0 0 0 0 0 1 1( ) ( )T T T T TP P P P P E A AA A E A AA A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 1 1 0

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

T T T T T T T T

T T

E A AA A A AA A A AA AA AA A P

A AA A

− − − −

−

= − − + =

=

.

Поэтому последнее свойство оператора проектирования вектора на линей-ное многообразие (или подпространство) означает, что суперпозиция опе-раторов проектирования совпадает с оператором проектирования на мно-гообразие (или подпространство).

В результате квадратичное уравнение в системе необходимых усло-вий (2.4) преобразуется к квадратичному уравнению относительно скаляр-ного множителя Лагранжа λ следующим образом:

[ ] .)1(

1)()(2)(~

)()(

212110

2

λλλ

λλ

++++=

==

−−− bAAbbAAbbAAbCPC

XXr

TTTTTTT

T

(2.8)

В результате уравнение (2.8) относительно множителя 1R∈λ преобразу-ется к следующему квадратному уравнению:

2 2 0 1 1 2 1(1 ) ( ) 2 ( ) ( )T T T T T T Tr C P C b AA b b AA b b AAλ λ λ− − −+ = + + + .

Последнее уравнение можно привести к стандартному виду с учетом того, что справедливо равенство относительно скалярного множителя Лагранжа:

.)()(2)(~

2

12110

2222

bAAbbAAbbAAbCPC

rrr

TTTTTTT −−− +++=

=++

λλ

λλ

Окончательный вид квадратного уравнения для определения скалярного множителя Лагранжа для квадратичных ограничений системы необходи- мых условий (2.4) представляется стандартным квадратным уравнением:

0322

1 =α+λα+λα , (2.9)

где параметры уравнения определяются совокупностью равенств:

bAAbr TT 121 )( −−=α , bAAb TT 1

2 )(2 −−=α ,


251

bAAbCPCr TTT 1023 )(~ −−−=α .

Тогда в зависимости от принадлежности точки минимума функционала границе или внутренней части допустимого множества решение задачи доставляется предикатным соотношением следующего вида:

[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈=

∉+

+=

==∗∗

∗

∗

,int если ),(

;int* если ,)1(

1)(

)(*000

20

DXCPX

DXbPCPX

XX

A

λλ

λ (2.10)

где параметр λ определяется из (2.9), а допустимое множество, на котором вычисляется минимум рассматриваемого функционала, имеет вид:

{ }

{ } ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−∩

≤=

==

∩∈= непустоеDD

rXXXD

bAXXDDDXD

T

20

22

0

20 , ,

, (2.11)

причем символом int D (как и выше) обозначена внутренность множества D, которая определяется как множество точек открытого множества, полу-ченного из исходного множества исключением точек, принадлежащих гра-нице. Параметр λ в оптимальном решении (2.10) определяется из квадрат-ного уравнения (2.9). При этом из пары решений квадратного уравнения (2.9) выбирается значение, соответствующее минимуму функционала. Знак параметра λ может быть также определен из условий теоремы Куна-Таккера, определяющей необходимые и достаточные условия оптимально-сти для задач выпуклого программирования.

Достаточный критерий совместности ограничений задачи. На основе приведенных выше результатов можно сформулировать критерий совместности ограничений задач математического программирования рас-сматриваемого класса. Этот критерий формулируется как условие сущест-вования вещественных решений квадратного алгебраического уравнения (2.9). Очевидно, что условие совместности имеет вид:

04 3122 >− ααα , (2.12)

где параметры, связанные с параметрами исходной экстремальной задачи, определены в соотношении (2.9).

252

Д л я з а м е т о к

Библиографический список

253

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая

теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1998. 574 с.

2. Али Р., Козлов В.Н. Теория автоматического управления. Синтез ме-тодами 2H и ∞H - теорий. СПб.: СПбГПУ. 2002.- 90 с.

3. Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.-402 с.

4. Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперком-пьютерах // в кн. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычис-лительные эксперименты, результаты».- М.: Наука, 2000.- 247 с.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т. III (уравнения в частных производных), Изд. АН СССР, 1960.

6. Быстров И.Е., Задонцев А.Ф., Козлов В.Н. Прогнозирование и опре-деление потребности в специалистах: методы и модели. СПб.: СПбГПУ, 2005. 117 с.

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с рас-пределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.

8. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физи-ки.- М.: Физматлит, 2000.- 399 с.

9. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

10. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.

11. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 12. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионны-

ми процессами.- М.: Наука, 1978.- 463 с. 13. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводно-

сти твердых тел.-М.: Высшая школа, 2001.-550 с. 14. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Вычислительная ма-

тематика и теория управления: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996. 284 с.

15. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский В.С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 224 с.

16. Козлов В.Н. Методы автоматизированного проектирования нели-нейных систем управления. Л.: ЛПИ им. М.И. Калинина. 1984.- 80 с.

17. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. Л.: ЛГУ им. А.А. Жданова. 1986. 168 с.

254 18. Козлов В.Н. Математика и информатика. СПб.: Изд-во «Питер».

2004.- 230 с. 19. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электриче-

ские цепи. СПб.: СПбГПУ. 2003. - 68 с. 20. Козлов В.Н. К аналитическому решению систем линейных алгеб-

раических неравенств // Автоматика и телемеханика, 1989, № 4. с. 104-107. 21. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергети-

ческими системами. Часть 1. Теория автоматического управления / под ред. Козлова В.Н. СПб.: Изд-во политехн. ун-та. 2003. 256 с.

22. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами. Часть 2. Электромеханические процессы. СПб.: СПбГПУ. 2000.- 166 с.

23. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Управление энергетическими систе-мами. Часть 3. Модели теплопроводности. СПб.: Изд-во политехн. ун-та.- 2003.160 с.

24. Козлов В.Н., Хлопин С.В. Управление энергетическими системами. Часть 4. Обобщенные модели теплопроводности. СПб.: Изд-во политехн. ун-та.-2006. 125 с.

25. Козлов В.Н., Акимов И.А. Управление энергетическими системами. Часть 5. Математические модели и разностные задачи теплофических про-цессов в многослойных конструкциях с фазовыми переходами. СПб.: Изд-во политехн. ун-та. 2007. 205 с.

26. Козлов В.Н., Пономарев А.Г. Управление энергетическими систе-мами. Часть 6. Обобщенные математические модели для управления элек-тромеханическими процессами. СПб.: Изд-во политехн. ун-та.-2008. 130 с.

27. Козлов В.Н., Шишкин К.А. Управление энергетическими система-ми. Часть 7. Управление ресурсосбережением объединенных энергосис-тем. СПб.: Изд-во политехн. ун-та. 2008. 135 с.

28. Козлов В.Н., Бугаева Е. В. Управление энергетическими система-ми. Часть 8. Синтез энергосберегающих маршрутов движущихся транс-портных систем. СПб.: Изд-во политехн. ун-та. 2008. 140 с.

29. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами. Часть 9. Ме-тод кусочно-линейных операторов в теории управления. СПб.: Изд-во по-литехн. ун-та. 2008. 155 с.

30. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управ-ления методом функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. - 570 с.

31. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1964.

32. Лионс Ж.-Л. Управление нелинейными распределенными системами, М.: Мир, 2002.

33. Леонтьев А.И. Теория тепломассопереноса.- М., 1997. 34. Назмеев Ю.Г. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в

Библиографический список

255 дискретно-шероховатых каналах.- М.: Энергоатомиздат, 1998.- 372 с.

35. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986, 616 с.

36. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математиче-ской физики.- М.: Физматлит, 2001.-576 с.

36. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения.- М.: Физматлит, 2002.-432 с.

37. Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и те-плопередача.- СПб.: Изд. СПбГТУ,2001.-319 с.

38. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.- 552 с.

39. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптиче-ских уравнений.- М.: Наука, 1976.-352 с.

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач ма-тематической физики. – М.: Наука, 1999. – 319 с.

41. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными пара-метрами.- М.: Наука, 1977.- 479 с.

42. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными па-раметрами.- Новосибирск: Наука, 1987.-231 с.

43. Системный анализ и принятие решений / под ред. В.Н. Волковой, В.Н. Козлова. М.: Изд-во «Высш. школа». 2004. 800 с.

44. Федосов Е.А. Новые перспективные методы проектирования мно-гомерных динамических систем. М.: Наука, 1989.

45. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

46. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными систе-мами. Теория и приложения.- Новосибирск, Научная книга, 1999.-352 с.

47. Харитонов В.Л. Семейства устойчивых квазиполиномов // Авто-матика и телемеханика, 1979, № 7, с. 75-88.

48. Шашихин В.Н. Интервальные динамические системы. Модели, анализ, синтез. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 214 с.

49. Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. Методы де-композиции, агрегирования и координации. Учеб. пособие. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2004. 116 с.

50. Чемоданов Б.К. Математические основы теории автоматического регулирования. М.: Наука. 1980. 650 с.

В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин

УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Под ред. В.Н. Козлова

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08 97

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – научная и производственная литература Подписано в печать Формат 60Х84/16.

Уч.-изд.л. Усл.печ.л. Тираж 200. Зак. Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного НМЦ «УМО» СПбГПУ, в типогра-

фии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Documents

УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИlc.kubagro.ru/KTS/0493712_29EDE_kozlov_v_n_kupriyanov_v... · 2017-04-15 · теля. Для определения