НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ b cный геометр Гаспар Монж (Gaspard Monge, 1746–1818) впервые опублико-вал курс лекций

0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Инженерная графика машиностроительного профиля»

П. В. ЗЕЛЁНЫЙ Е. И. БЕЛЯКОВА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Минск БНТУ 2 0 15

Репозиторий БНТУ

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Инженерная графика машиностроительного профиля»

П. В. ЗЕЛЁНЫЙ Е. И. БЕЛЯКОВА


Под редакцией П. В. Зелёного

Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

по техническим специальностям

Минск БНТУ 2 0 1 4


2

УДК 514.18(075.8) ББК 22.151.3я73

З-48

Рец ен з ен ты : кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика» УО «Брестский государственный технический университет»

(зав. кафедрой – Н. С. Винник); В. А. Столер, доцент кафедры «Инженерная графика»

УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

З-48

Зелёный, П.В. Начертательная геометрия : учеб. пособие / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова;

под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2014. – 224 с. : ил. ISBN 978-985-550-349-2.

Учебное пособие содержит теоретический материал по основным темам начертательной геометрии, входящим в графическую подготовку студентов учреждений высшего образования по техническим специальностям, преимущественно, машиностроительного профиля, и соответству-ющим типовой учебной программе по инженерной графике, утвержденной Министерством обра-зования Республики Беларусь, в качестве основополагающей составной части этой дисциплины.

Отличительной особенностью издания является структуризация и типовая алгоритмизация изучаемого материала начертательной геометрии как средство оптимизации его усвоения.

Разработанные авторами графические алгоритмы будут способствовать достижению глав-ной цели начертательной геометрии как учебной дисциплины – развитию у студентов простран-ственного воображения и логического мышления геометрическими образами, столь необходимых в инженерной деятельности, инженерном творчестве и техническом прогрессе, при проектирова-нии новых изделий, в том числе, на основе современного 3D компьютерного моделирования, а также элементарном владении навыками чтения и выполнения чертежей.

В заключительной лекции изучаемый материал подытожен в виде перечня метрических задач с необходимыми иллюстрациями, перечня вопросов для итоговой аттестации и образца оформления ответов на экзаменационный билет.

Для студентов технических специальностей высших учебных заведений.

УДК 514.18(075.8) ББК 22.151.3я73

ISBN 978-985-550-349-2 © Зелёный П. В., Белякова Е. И., 2014

© Белорусский национальный технический университет, 2014


3

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия – раздел учебной дисциплины «Инженер-ная графика». К концу XVIII в. начертательная геометрия сформировалась как наука, когда французский общественный деятель, ученый и гениаль-ный геометр Гаспар Монж (Gaspard Monge, 1746–1818) впервые опублико-вал курс лекций по начертательной геометрии (Géométrie descriptive, 1799) для студентов Парижской политехнической школы. С тех пор начертатель-ная геометрия входит в учебные программы технических вузов как дисцип-лина, без которой немыслимо обучение специалистов инженерного профи-ля. В России начертательную геометрию стали преподавать с 1810 г., когда курс начертательной геометрии впервые ввели в учебную программу Пе-тербургского института корпуса инженеров путей сообщения.

Предметом начертательной геометрии являются научная разработка и обоснование, теоретическое и практическое изучение способов графиче-ского построения изображений пространственных форм на плоскости и гра-фических способов решения различных позиционных и метрических задач.

Способы построения изображений трехмерных объектов на плоскости – ортогональных проекций, получивших название эпюр Монжа (Épure – от фр. чертеж, проект) и изучаемых в начертательной геометрии – основа-ны на методе проецирования (образование чертежа по методу Г. Монжа). Метод позволяет по чертежу воссоздавать пространственные образы пред-метов, определять их взаимное расположение и размеры, моделировать и исследовать различные технические формы и конструкции. Начерта-тельная геометрия развивает пространственное воображение и мышление геометрическими образами, необходимое для профессиональной деятель-ности инженера при решении различных технических задач, выполнении и чтении чертежей.

Начертательная геометрия – первая инженерная дисциплина, с кото-рой начинается техническое образование будущего инженера. Трудности в ее изучении связаны с особым соединением логического мышления и про-странственного воображения, которое, по словам выдающегося русского геометра Н. А. Рынина, «является ... таинственной и мало поддающейся изучению точными науками способностью человеческого духа...». Соеди-нение этих двух возможностей человеческого ума создает новый уровень мышления – пространственное мышление, которое дает возможность опе-рировать образами в пространстве и без которого невозможны любая ин-женерная деятельность, инженерное творчество и технический прогресс.

При изучении начертательной геометрии решается несколько основ-ных учебно-инженерных задач:

• усвоение понятий начертательной геометрии и создание графиче-ской базы данных изображений геометрических элементов;

• усвоение способов и правил построения изображений простран-ственных форм на плоскости;


4

• развитие навыков создания пространственных образов предметов на основе логического анализа их изображений, т. е. развитие пространствен-ного мышления;

• усвоение способов и алгоритмов графических действий для решения различных практических метрических и позиционных задач на плоскости;

• получение навыков применения методов и понятий начертательной геометрии в решении задач геометрического конструирования в практике автоматизированного выполнения чертежей и инженерного компьютерно-го трехмерного моделирования.

Умение выполнять чертежи и решать различные практические техни-ческие задачи в компьютерных графических системах возможно только на базе начертательной геометрии, поскольку программное обеспечение осно-вано на теоретических положениях, понятиях и способах решения геомет-рических задач, изучаемых исключительно в начертательной геометрии.

Решение первых трех задач требует знания теоретических положений начертательной геометрии и умения выполнять умственные операции аб-страгирования и анализа элементов изображаемого предмета, а также уме-ния по заданному чертежу создавать пространственный образ изображен-ного предмета, что требует навыка выполнять операции графического ана-лиза изображений и графического их синтеза для создания цельного представления о предмете. Графический анализ геометрических элементов предмета или его заданных изображений возможен в том случае, если сформирована база графических данных об изображениях отдельных гео-метрических образов и их взаимных положениях, используемых при вы-полнении чертежа – точке, прямых, плоскостях, поверхностях и т. д. Гра-фическая база данных в памяти дает возможность изображать любые гео-метрические элементы и их всевозможные комбинации, а ее создание возможно только на основе графических характеристик проекций этих элементов, которые мы назвали графическими опорами.

Графический синтез изображений предмета на чертеже на основе гра-фической базы данных позволяет считывать с помощью графического ана-лиза заданную информацию и включает работу пространственного вообра-жения, объединяя плоские проекции предмета в его объемный цельный образ. Эта сложнейшая умственная работа и есть пространственное мыш-ление, развитие которого и происходит в процессе изучения начертатель-ной геометрии. Сформированная база графических опор и развитое прост-ранственное мышление позволяют сократить процесс графического анали-за и синтеза изображений и создают возможность быстрого и грамотного выполнения и чтения чертежей.

Решение четвертой учебной задачи требует теоретических знаний, наличия графической базы данных и достаточного уровня пространствен-ного мышления, поскольку для решения любой задачи начертательной геометрии необходимо предварительно выполнить анализ текстового условия и графический анализ заданных изображений, построить мыслен-


5

ную образную модель задачи, определив тему задачи и графический алго-ритм ее решения, и выполнить графические построения на чертеже.

Усвоение начертательной геометрии наряду с неумением большинства студентов выполнять графические логические действия в умственном про-странстве затрудняется также обширностью и новизной теоретического и графического иллюстративного материала. Проверка студенческих кон-спектов показывает, что графические иллюстрации выполняются плохо и с ошибками, а текстовой материал записывается сокращенно и часто вообще отсутствует. Это говорит о том, что конспект графической дисциплины вести трудно. По учебникам усвоить предмет также непросто, так как материал пе-регружен поясняющими графическими иллюстрациями и описаниями.

Решение всех пяти учебно-инженерных задач в процессе обучения начертательной геометрии требует изменения традиционной методики из-ложения курса, позволяя активизировать и развить логическо-графические свойства ума и его возможности пространственного воображения.

Основой вводимых в данном учебном пособии изменений является тематическая модульная структуризация материала начертательной гео-метрии с четкими графическими характеристиками геометрических эле-ментов и алгоритмизацией графических действий по задачам каждой темы: определение модульной структуры каждой темы начертательной геомет-рии; определение графических характеристик каждого модуля; построение графических алгоритмов для выполнения чертежей и решения типовых за-дач по каждой теме; разработка модульных графических структурных схем по каждой теме.

Структурные тематические схемы, доведенные до каждого студента, позволят сократить время на конспектирование излагаемого материала и увеличить время на выполнение чертежей и пояснений к ним. Структурные схемы также можно выдавать студентам для ознакомления с темой каждой последующей лекции, чтобы они были подготовлены к восприятию нового материала, что, безусловно, повысит результативность обучения.

Практика применения данной методики, включающей первых четыре из перечисленных пунктов, повышает усвоение начертательной геометрии студентами, о чем свидетельствуют владение ими материалом и подход к решению экзаменационных и зачетных задач и оценки студентов с отно-сительно небольшим количеством неудовлетворительных баллов. Состав-ление модульных структурных тематических схем является следующим шагом в разработанной методике изложения начертательной геометрии, и мы надеемся, что их внедрение в практику обучения, наряду с уже нара-ботанными методами, позволит повысить качественный уровень усвоения начертательной геометрии и развития пространственного мышления, необ-ходимых для изучения дальнейших разделов инженерной графики, специ-альных технических дисциплин и профессиональной деятельности.

Начертательная геометрия как основополагающий раздел учебной дисциплины «Инженерная графика» изучается вначале. Последующие раз-


6

делы дисциплины – «Проекционное черчение», «Машиностроительное чер-чение», «Инженерная компьютерная графика и моделирование» – изуча-ются позже в названном порядке, но могут изучаться и параллельно с начертательной геометрией. Таким образом, инженерная графика, является объединительным курсом, неся основную нагрузку в графической подго-товке инженера как важного компонента его общепрофессиональной под-готовки. Она входит в цикл общенаучных и общепрофессиональных дис-циплин подготовки специалистов с высшим образованием по профилю об-разования «Техника и технологии», по направлению образования «Эконо-мика и организация производства», по группам специальностей «Препода-вание технологии» и «Профессиональное образование».

Глубина изучения отдельных тем начертательной геометрии может быть различной, что устанавливается учебными программами по инженер-ной графике в зависимости от направления и профиля специальности, ко-личества часов, выделяемых на изучение дисциплины, ее расположения в учебном плане.

Традиционное изучение разделов инженерной графики и особенно раздела компьютерной графики и моделирования должно быть согласова-но с изучением предшествующего им или изучаемого параллельно раздела начертательной геометрии. На протяжении всего периода изучения дисци-плины должна постоянно подчеркиваться взаимосвязь обоих разделов чер-чения и компьютерной графики с начертательной геометрией, а изучение тех или иных тем должно вестись после окончательного изучения соответ-ствующей темы начертательной геометрии.

Инженерная графика – это первая ступень обучения студентов основ-ным правилам выполнения, оформления и чтения конструкторской доку-ментации и решения на чертежах геометрических и инженерно-технических задач, получения для этого необходимых знаний, умений и навыков, что яв-ляется конечной целью ее изучения как объединительной дисциплины в со-ответствии с образовательными стандартами. Полное овладение чертежом как средством выражения технической мысли и производственными доку-ментами различного назначения достигается в результате усвоения всего комплекса технических дисциплин соответствующего профиля, подкреплен-ного практикой курсового и дипломного проектирования по специальности.

Порядок изложения тем начертательной геометрии в данном учебном пособии соответствует принятому в базовом учебнике по начертательной геометрии под редакцией В. О. Гордона и практически во всех других из-данных учебниках.

Авторы выражают благодарность за оказанную помощь при оформле-нии графической части учебного пособия средствами компьютерной графи-ки инженеру О.П. Курилёнок, а также студентам автотракторного факульте-та Белорусского национального технического университета А. Л. Горо-децкому и С. А. Мухе.


7

ПЕРЕЧЕНЬ ИЗУЧАЕМЫХ ТЕМ В пособии изложены темы начертательной геометрии – основополага-

ющему, в соответствии с типовой учебной программой, разделу дисциплины «Инженерная графика» в объеме и последовательности, типичной для изуче-ния в высших учебных заведений по техническим специальностям.

Метод про екций . Обра зо в ание ч ер т ежа по Г . Мон -жу . П р о е к ц и и т о ч к и:

– предмет начертательной геометрии; – образование проекций; проекции центральные и параллельные; – ортогональные (прямоугольные) проекции точки и прямой в системе

двух (H и V) и трех (H, V и W) плоскостей проекций. П р о е к ц и и п р я м о й. Положение прямой относительно плоско-

стей проекций. Следы прямой. Взаимное положение прямых. Способ пря-моугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла:

– возможные положения прямой относительно плоскостей проекций (прямые общего и частного положений), их характерные признаки на чертеже;

– точка на прямой; – следы прямой; – построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой об-

щего положения и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V; – взаимное положение двух прямых и их характерные признаки на

чертеже; – конкурирующие точки на проекциях скрещивающихся прямых; – о проекциях плоских углов; теорема о проекции прямого угла. П р о е к ц и и п л о с к о с т и. Задание плоскости на чертеже. Следы

плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций: – различные способы задания плоскости на чертеже; – понятие о следах плоскости; – точка и прямая в плоскости – теоремы о принадлежности; – прямые особого положения в плоскости – горизонталь, фронталь,

линия наибольшего ската плоскости; – возможные положения плоскости относительно плоскостей проекций –

плоскости общего и частного положений (проецирующие и плоскости уровня). В з а и м н о е п о л о ж е н и е д в у х п л о с к о с т е й, п р я м о й

л и н и и и п л о с к о с т и: – признак параллельности двух плоскостей и построение взаимно па-

раллельных плоскостей на чертеже; – построение точки пересечения прямой общего положения с плоско-

стью общего положения; – построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

способом вспомогательных секущих плоскостей частного положения в слу-чае, когда проекции заданных плоскостей общего положения не наклады-ваются, и по точкам пересечения прямой общего положения с плоскостью


8

общего положения в случае, когда проекции заданных плоскостей общего положения накладываются.

П е р п е н д и к у л я р н о с т ь: – перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей (частные

случаи взаимного расположения): построение перпендикуляра к плоскости или плоскости, перпендикулярной к прямой;

– определение величин углов между прямой и плоскостью, двумя плос-костями.

П р е о б р а з о в а н и я ч е р т е ж а: – сущность способов преобразования чертежа; – способ замены плоскостей проекций; – способ вращения вокруг проецирующей оси; – способ плоскопараллельного перемещения; – способ вращения вокруг линий уровня. П о в е р х н о с т и . Частные случаи гранных и кривых поверхностей. Многогранники: – образование; – общие понятия и определения. Геометрические тела – призма и пирамида: – понятие о многогранниках; – построение проекций призмы и пирамиды; – сечение поверхностей призмы и пирамиды плоскостями частного

положения. Поверхности вращения: – образование; – общие понятия и определения. Геометрические тела – цилиндр и конус: – проекции прямого кругового цилиндра и прямого кругового конуса; – сечение поверхностей цилиндра и конуса плоскостями частного по-

ложения, конические сечения. Геометрические тела – шар и тор: – проекции шара и открытого тора; – сечение поверхностей шара и тора плоскостями частного положения. П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й: – сущность линии пересечения двух поверхностей. Частные случаи пересечения поверхностей: – пересечение геометрических образов, каждый из которых имеет от-

носительно плоскостей проекций проецирующие боковые поверхности (пря-мые призмы и цилиндры);

– пересечение геометрических образов, из которых один имеет боко-вую проецирующую поверхность;

– соосные поверхности; – пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных

или вписанных в сферу (теорема Г. Монжа).


9

Общие случаи пересечения двух поверхностей и способы построения линии пересечения:

– способ вспомогательных секущих плоскостей; – способ концентрических сфер; – способ эксцентрических сфер. Р а з в е р т к и п о в е р х н о с т е й: – развертки многогранников: развертка призмы способами нормаль-

ного сечения и раскатки; развертка пирамиды по натуральным величинам боковых граней или ребер;

– развертки цилиндрической и конической поверхностей; – условные и приближенные развертки. А к с о н о м е т р и ч е с к и е п р о е к ц и и: – общие сведения; – стандартные аксонометрические проекции ГОСТ 2.317–2011; – прямоугольная изометрия; – прямоугольная диметрия; – косоугольная диметрия. К р и в ы е л и н и и и п о в е р х н о с т и. Кривые линии. Винтовые поверхности: – общие сведения о кривых линиях: определения, классификация, тер-

мины; – составные кривые линии – классификация точек стыка; – плоские и пространственные кривые линии; – цилиндрические и конические винтовые линии; – винтовые поверхности – прямой и косой геликоиды. Кривые поверхности: – общие сведения: определения, классификация, термины; – обзор некоторых кривых поверхностей, их изображение на чертеже. П е р е с е ч е н и е л и н и и с п о в е р х н о с т ь ю: – построение точек пересечения кривой линии с поверхностью; – построение точек пересечения прямой линии с поверхностью. Ка с а т е л ь ны е п л о с к о с т и и н о рм а л ь к п о в е р х н о с т и : – построение плоскостей, касательных к поверхностям геометриче-

ских тел; – построение нормали к поверхности. В в е д е н и е в к о м п ь ю т е р н о е г р а ф и ч е с к о е м о д е -

л и р о в а н и е*: – понятие о компьютерной графике; – типы систем графики (растровая, векторная); – анимационные системы; – типы компьютерных моделей; – решение геометрических, инженерных и исследовательских задач

методами компьютерного моделирования. * Примечание: изучается в дисциплине «Информатика».


10

Лекция 1 МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА ПО Г. МОНЖУ.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

М е т о д п р о е к ц и й . Проекции центральные и параллельные. Па-раллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства па-раллельного проецирования. Метод Г. Монжа.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть централь-ными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через од-ну точку, называемую центром проекций S, то проекции называются цент-ральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проек-ции называются параллельными.

На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек A и B (объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций H. Проеци-рующие лучи, проведенные через центр проекций точку S и заданные точ-ки A и B, пересека-ются с плоскостью проекций H и опре-деляют центральные проекции А' и В' то-чек A и B.

На рис. 1.1, б по-казано построение па-раллельных проекций точек А и В (объекты проецирования) по за-данному направле-нию проецирующих лучей S на некото-рую плоскость проек-ций H. В результате проецирования на плоскости проекций α построены параллельные проекции А' и В' взятых в пространстве точек А и В.

Запомните! Проекцией точки называется точка пересечения проеци-рующего луча с плоскостью проекций.

Соединив прямой линией взятые точки А и В мы получим отрезок АВ, а соединив прямой линией построенные проекции точек мы получим цен-тральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1, б) проекции отрезка АВ на плоскости проекций H.

Параллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональны-ми) или косоугольными:

– если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортого-нальными);

Рис. 1.1 а б

Параллельное проецирование

H A"

B"

A

B Объект

проецирования

Проецирующие лучи

Проекция отрезка AB

Плоскость проекций

Направление проецирования

Центральное проецирование

Объект проецирования

Проецирующие лучи

Центр проекций

Проекция отрезка AB

A' B'

A

B

S

H Плоскость проекций


11

– если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90º), то проекции называются косоуголь-ными .

Отметим некоторые свойства параллельного проецирования: – проекцией точки является точка; – проекцией прямой линии в общем случае является прямая; – если отрезок прямой делится точкой в определенном отношении, то

проекции прямой делятся проекцией точки в том же отношении; – если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные про-

екции на чертеже также параллельны. Т о ч к а в с и с т е м е п л о с к о с т е й п р о е к ц и й H, V и W.

Проекции точки в системе прямоугольных координат x, y, z. Для получения изображений предметов на чертежах французский гео-

метр Гаспар Монж предложил следующий метод – метод параллельного пря-моугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

На рис. 1.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпен-дикулярных плоскостей проекций:

– фронтальная плоскость проекций V; – горизонтальная плоскость проекций H; – профильная плоскость проекций W.

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости про-екций W располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против ча-совой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м ок-

а б Рис. 1.2

Линия связи

Линия связи

yA A"'

A"

A' Ay

Ax Ay

Az

xA

zA

O x

y

z

y

V W

H

yA

Параллелепипед координат

A

yA

O

yA yA

xA zA

V

H

W

-x x

z

y

-y

III

II

IV

I

A"'

A"

A' Ay

Az

-V

-H

yA

zA

xA

Ax

-W -z

Знак прямого угла (90°)


12

танте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют его на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций H, V и W, построив соответственно горизонтальную, фронталь-ную и профильную проекции предмета.

В качестве объекта проецирования на рис. 1.2, а взята точка А и по-строены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:

– A' – горизонтальная проекция точки; – A" – фронтальная проекция точки; – A'" – профильная проекция точки. Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые

называют осями проекций: ось x, ось y и ось z. Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение

точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат x, y и z. Оси проекций пересекаются в точке О – это точка начала координат.

Расстояния точки А от каждой плоскости проекций определяют ее по-ложение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами:

– координата xА(OAx) – расстояние от плоскости проекций W (абс-цисса);

– координата yА(Ax A') – расстояние от плоскости проекций V (орди-ната);

– координата zА(Ax A") – расстояние от плоскости проекций Н (аппли-ката).

Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций H, Y и W и получить чертеж (эпюр) , плоскости проекций пер-вого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций V следующим образом:

– фронтальная плоскость проекций V сохраняет свое положение; – горизонтальную плоскость проекций Н поворачивают относительно

оси проекций x вниз; – профильную плоскость проекций W поворачивают относительно

оси проекций z вправо. На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают

следующим образом: – ось x – горизонтально; – ось z – вертикально; – ось y – раздваивается и проводится как продолжение осей z и y от

точки О – начала координат. Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета. Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества то-

чек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объеди-няются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т. д.).

Ч е р т е ж т о ч к и содержит ее проекции, которые строятся по ко-ординатам этой точки.


13

На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки А, за-данной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют коор-динаты xA, yA и zA. Для построения чертежа этой точки выполнены следу-ющие графические действия:

– влево от точки О по оси x отложен отрезок ОAx – координата xA; – вниз от точки Ax отложен отрезок AxA' – координата yA (отрезок AxA'

на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена гори-зонтальная проекция А' точки А.

– вверх от точки Ax отложен отрезок AxA" – координата zA и построена фронтальная проекция А" точки А.

!!! Запомните! Горизонтальная A' и фронтальная A" проекции точки лежат н а о д н о й в е р т и к а л ь н о й л и н и и , перпендикулярной оси x, которая называется линией связи.

Чтобы построить профильную A'" проекцию точки, следует провести горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций z, и отло-жить от полученной точки Az отрезок AzA'", равный координате yA (или отложить от точки О вправо по оси y отрезок OAy = yA и провести верти-кальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки А(A").

!!! Запомните! Фронтальная A" и профильная A'" проекции точки ле-жат н а о д н о й г о р и з о н т а л ь н о й л и н и и с в я з и , перпендику-лярной оси проекций z.

На рис. 1.3 показано построение чертежа точки В(20,10,25) по заданным (в скобках) коор-динатам x, y и z в миллиметрах. Выполнены сле-дующие графические построения:

– проведены оси координат x, y и z на поле чертежа;

– от точки О влево отложен отрезок OВx – координата x = 20 мм и через точку Вx проведена вертикальная линия связи;

– вниз от точки Вx по линии связи отложен отрезок ВxВ' – координата y = 10 мм и построена горизонтальная проекция B' точки В;

– вверх от точки Bx по линии связи отложен отрезок BxB" – координа-та z = 25 мм и построена фронтальная проекция B" точки В;

– проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции B"; – от точки Bz отложен вправо отрезок BzB"' = 10 мм, равный коорди-

нате yB, и построена профильная проекция B"' точки В. Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие за-креплению изученного материала и его быстрому визуальному повторе-нию (рис. 1.5 и 1.6).

Рис. 1.3

Bx

z y=

10

y Bz B"

z=25

x=20 O x y

y B'

B"'

x y z Точка B(20,10,25)


14

Ìåòîä ïðîåêöèé. Îáðàçîâàíèå ÷åðòåæà ïî Ã. Ìîíæó. Ïðîåêöèè òî÷êè

Àïïàðàò ïðîåöèðîâàíèÿ: îáúåêò ïðîåöèðîâàíèÿ; ïëîñêîñòü ïðîåêöèé; íàïðàâëåíèå ïðîåöèðóþùèõ ëó÷åé.

Ïðîåêöèè íàçûâàþò öåíòðàëüíûìè, åñëè ïðîåöèðóþùèå ëó÷è èñõîäÿò èç îäíîé òî÷êè, íàçûâàåìîé öåíòðîì ïðîåêöèé S.

Ïðîåêöèè íàçûâàþò ïàðàëëåëüíûìè, åñëè ïðîåöèðóþùèå ëó÷è ïàðàëëåëüíû (öåíòð ïðîåêöèé óäàëåí â áåñêîíå÷íîñòü).

Ïàðàëëåëüíûå ïðîåêöèè ìîãóò áûòü: • Êîñîóãîëüíûìè, åñëè ïðîåöèðóþùèå ëó÷è íå ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

• Ïðÿìîóãîëüíûìè, åñëè ïðîåöèðóþùèå ëó÷è ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

Íà ÷åðòåæå: Òî÷êè îáîçíà÷àþòñÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà A, B, C, … è ò.ä., èëè

àðàáñêèìè öèôðàìè 1, 2, 3, … è ò.ä. Ïðîåêöèè òî÷åê îáîçíà÷àþòñÿ òåìå æå áóêâàìè, èëè öèôðàìè, íî ñî øòðèõàìè: A(A',A'',A''') è ò.ä.; 1(1',1'',1'''), 2(2',2'',2''') è ò.ä.

Ëèíèè îáîçíà÷àþòñÿ ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: l, k, m, n è ò.ä. Èõ ïðîåêöèè îáîçíà÷àþòñÿ òåìå æå áóêâàìè, íî ñî øòðèõàìè: l(l',l'',l'''), k(k',k'',k''') è ò.ä.

Ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ ãðå÷åñêèìè áóêâàìè: α, β, φ, δ è ò.ä. Èõ ïðîåêöèè îáîçíà÷àþòñÿ òåìå æå áóêâàìè, íî ñî øòðèõàìè: α(α',α'',α'''), β(β',β'',β''') è ò.ä.

Ðèñ. 1.5, à

Ìåòîä ïðîåêöèé

Öåíòðàëüíûå ïðîåêöèè

Ïàðàëëåëüíûå ïðîåêöèè

Êîñîóãîëüíûå ïðîåêöèè

Êîñîóãîëüíûåàêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè (ðàññìàòðèâàþòñÿ

â ëåêöèè 10)

Ïîñòðîåíèå ïåðñïåêòèâû

Ïîñòðîåíèå òåíåé

íà ÷åðòåæàõ

Ïðÿìîóãîëüíûå (îðòîãîíàëüíûå)

ïðîåêöèè Ìåòîä Ã. Ìîíæà

Ïðÿìîóãîëüíûåàêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè (ðàññìàòðèâàþòñÿ

â ëåêöèè 10)

Ñèñòåìà 3-õ âçàèìîïåðïåíäè

êóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé

Òî÷êà â ñèñòåìå 3-õ âçàèìîïåðïåíäèêóëÿð

íûõ ïëîñêîñòåé H, V è W

Ýïþð Ã. Ìîíæà –ïðîåêöèîííûé

÷åðòåæ

Ðèñ. 1.5, á Ðèñ. 1.5, â

Ðèñ. 1.6, à, á

Ðèñ. 1.6, â, ã

Ðèñ. 1.6, ä, å

Ëèñò 1

Рис. 1.4


15

Ëèñò 2

Рис. 1.5

Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå

Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå

Êîñîóãîëüíîå ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå èìååò ìåñòî

ïðè φ≠90°

Ìåòîä Ã. Ìîíæà: ïðÿìîóãîëüíîå (îðòîãîíàëüíîå) ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå íà âçàèìîïåðïåíäèêóëÿðíûå

ïëîñêîñòè ïðîåêöèé

Ïðÿìîóãîëüíîå (îðòîãîíàëüíîå) ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå èìååò

ìåñòî ïðè φ=90°

á

â

à


16

Ëèñò 3

Рис. 1.6

à

á

â ã

ä

å

14"


17

Лекция 2 ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА

Пр я м а я . Пр я мы е о бщ е г о и ч а с т н ы х п о л о ж е н и й отно-

сительно плоскостей проекций. Определение натуральной величины от-резка общего положения. Понятие о следах прямой.

Относительно плоскостей проекций H, V и W прямые линии могут за-нимать различные положения и имеют соответствующие наименования, а на чертежах проекции этих прямых занимают относительно осей проек-ций x, y и z характерные положения. Следовательно, по чертежу прямой линии можно мысленно представить ее пространственное положение от-носительно плоскостей проекций, т. е. научиться «читать» чертеж прямой.

П р я м ы е о б щ е г о п о л о ж е н и я – не параллельны (и соответст-

венно не перпендикулярны) плоскостям проекций H, V и W. Следовательно, на чертеже проекции прямых общего положения не параллельны (и не пер-пендикулярны) осям проекций x, y и z. Отсюда проекции прямых общего положения искажают их натуральную величину.

На рис. 2.1 изображены проекции прямой общего положения АВ, фрон-тальная A"B" и горизонтальная A'B' проекции которой расположены про-извольно относительно оси проекций x, но не параллельны и не перпенди-кулярны оси x – это характерный признак прямой общего положения на чер-теже! Профильная проекция A"'B"' прямой общего положения также должна быть не параллельна и не перпендикулярна осям проекций z и y, что и по-казывает построение.

A"

B"

С

A

С" B B"'

C"'

A"'

B' C' A'

V

H

W

z

y

x

z

y

y

x

y A O

y B

yB

yA

B' C'

B"'

A'

A"

B"

A"'

C"' C"

AB – прямая общего положения

Точка СAB

Знак принадлежности а б

Рис. 2.1


18

Точка на прямой. Теорема о принадлежности точки прямой: если точ-ка принадлежит прямой, то на чертеже одноименные проекции точки ле-жат на одноименных проекциях прямой. На рис. 1.4 показано построение проекций точки С, принадлежащей прямой АВ.

П р я м ы е о с о б о г о ( ч а с т н о г о ) п о л о ж е н и я П р я м ы е у р о в н я – прямые, параллельные одной плоскости про-

екций: – фронтальные прямые – параллельные плоскости проекций V; – горизонтальные прямые – параллельные плоскости проекций H; – профильные прямые – параллельные плоскости проекций W. На рис. 2.2 изображены проекции фронтальной прямой АВ и принад-

лежащей ей точки С. Запомните характерные признаки расположения про-екций фронтальной прямой на чертеже:

– горизонтальная проекция A'B' параллельна оси проекций x; – фронтальная проекция A"B" расположена к оси проекций x под уг-

лом φH, который определяет ее наклон к плоскости проекций H; фронталь-ная проекция A"B" определяет также натуральную величину этой прямой;

– профильная проекция A"'B"' по построению располагается парал-лельно оси проекций z.

На рис. 2.3 изображены проекции горизонтальной прямой CD и при-надлежащей ей точки Е. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже:

– фронтальная проекция C"D" параллельна оси проекций x; – горизонтальная проекция C'D' расположена к оси проекций x под уг-

лом φV, который определяет ее наклон к плоскости проекций V; горизонталь-ная проекция C'D' определяет также натуральную величину этой прямой;

– профильная проекция C"'D"' по построению располагается горизон-тально (//y).

A"

B"

С

A

С" B

B"'

C"'

A"'

B' C'

A'

V

H

W

z

y

x

а б Рис. 2.2

y A,B

y

B' A'

O

C"'

B"' yA,B B"

Натуральная величина

z

x

AB // V – фронтальная прямая

A"'

φH

A"

C"

C' y


19

На рис. 2.4 изображены проекции профильной прямой EF и принадле-жащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проек-ций профильной прямой на чертеже:

– фронтальная проекция E"F" перпендикулярна оси проекций x (па-раллельна оси проекций z);

– горизонтальная проекция E'F' перпендикулярна оси проекций x; – профильная проекция E"'F"' по построению расположена под углом φV

к плоскости проекций V и под углом φH к плоскости проекций H; профиль-ная проекция E'"F'" определяет также натуральную величину этой прямой.

Д е л е н и е о т р е з к а в з а д а н н о м о т н о ш е н и и На рис. 2.4 показано построение горизонтальной проекции N' точки N,

принадлежащей профильной прямой EF. Построение основано на одном

yE

yc yE

φV

C"' C"

yc

D"'


E"'

CD // H – горизонтальная прямая

E'

O

y

z

x

y D'

E" D"

C'

а б Рис. 2.3

C"

E"' D"'

E' C'

D'

D

C"'

E C

E" D"

V

H

W

z

y

x

O

y

z

x

y

F"'

φV

N'

N"

φH

N"'

E"'

F"

Fо m

Nо

E'

F'


EF // W – профильная прямая

E"

Деление отрезка в заданном отношении

E"

F

E E"'

N"'

F'

N"

F"

F"' E'

N'

V

H

W

N

z

y

x

а б Рис. 2.4


20

из свойств параллельного проецирования: отношение отрезков прямой ли-нии равно отношению их проекций.

Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следователь-но, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N" точки N, принадлежащей отрезку EF, то для по-строения горизонтальной проекции N' на горизонтальной проекции E'F' отрезка нужно выполнить следующие графические действия:

– провести произвольную прямую m из любой вершины горизонталь-ной проекции E'F';

– отложить на этой прямой два отрезка: отрезок E'Fo, равный по вели-чине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'No, равный по величине E"N";

– соединить прямой точки Fo и F' на горизонтальной проекции; – из построенной точки No провести прямую, параллельную пря-

мой FoF', – точка N' и будет искомой. П р я м ы е п р о е ц и р у ю щ и е – перпендикулярные одной плоско-

сти проекций (параллельные двум плоскостям проекций): – фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости

проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W); – горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости про-

екций H (параллельные плоскостям проекций V и W); – профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости

проекций W (параллельные плоскостям проекций H и V). !!! Поскольку положение проецирующих прямых совпадает по

направлению с проецирующим лучом к одной из плоскостей проекций, то одна из проекций прямых проецируется (вырождается) в точку. Говорят, что проецирующие прямые обладают «собирательным» свойством, так как их вырожденные проекции-точки «собирают», то есть представляют собой проекции всех точек, лежащих на этих прямых.

На рис. 2.5 изображены проекции фронтально-проецирующей прямой CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки распо-ложения проекций фронтально-проецирующей прямой на чертеже:

– фронтальная проекция CD(C"D") представляет собой точку, т. е. фронтальные проекции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций V;

– горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси проекций x и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекция C"'D"' по построению располагается перпенди-кулярно оси проекций z и также определяет натуральную величину прямой.

!!! К о н к у р и р у ю щ и е т о ч к и – точки, лежащие на одном про-

ецирующем луче, называются конкурирующими. На рис. 2.5 точки C, D и N на прямой CD являются конкурирующими

и по их расположению на прямой относительно плоскости V (по координа-там y) можно определить на горизонтальной проекции порядок их «види-


21

мости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей ко-ординатой y) находится точка D, затем точка N и точка C.

На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей пря-

мой AB и принадлежащей ей точки C. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтально-проецирующей прямой на чертеже:

– горизонтальная проекция AB(A'B') представляет собой точку, т. е. горизонтальные проекции точек A, B и C совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций H;

– фронтальная проекция A"B" расположена перпендикулярно оси x и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекция A"'B"' по построению располагается парал-лельно оси z и также определяет натуральную величину прямой.

yN

y

z

x

y V

D"≡N"≡C"

C'

D'

N'

C"' N"' D"'

CD V – фронтально-проецирующая прямая

C, D и N – конкурирующие точки

y N

Н.в.

Н.в.

yС

y С

D

N"'

D'

D"≡N"≡C"

D"'

N'

C C"'

C'

V

H

W

N

z

y

x

а б Рис. 2.5

y A,B

Н.в. Н.в.

yA,B

A'≡C'≡B'

H

O y

z

xO

y

AB H –горизонтально-проецирующая

прямая

C"

A"' A"

B"

C"'

B"'

а б Рис. 2.6

A"

B" С

A С"

B B"'

C"'

A"'

V

W

z

y

x

A'≡C'≡B'


22

На рис. 2.7 изображены проекции профильно-проецирующей прямой EF и принадлежащей ей точки M. Запомните характерные признаки располо-жения проекций профильно-проецирующей прямой на чертеже:

– профильная проекция EF(E"'F"') представляет собой точку, т. е. про-фильные проекции точек E, F и M совпадают как лежащие на одном про-ецирующем луче к плоскости проекций W;

– фронтальная проекция E"F" расположена параллельно оси x и опре-деляет натуральную величину прямой;

– горизонтальная проекция E'F' по построению также располагается параллельно оси x и также определяет натуральную величину прямой.

О п р е д е л е н и е п о ч е р т е ж у н а т у р а л ь н о й в е л и ч и н ы

о т р е з к а прямой общего положения способом прямоугольного треуголь-ника и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V.

Натуральной величиной заданного на чертеже отрезка прямой об-щего положения является гипотенуза построенного прямоугольного тре-угольника, одним катетом которого может быть горизонтальная (или фрон-тальная) проекция отрезка, а вторым катетом этого треугольника будет разница координат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относитель-но оси проекций x.

На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного от-резка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронталь-ной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графи-ческий алгоритм (графические действия):

1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной проекции AB(A"B") отрезка.

2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A"Ao, равный разнице координат ∆y конечных точек А(А') и В(B') отрезка относительно оси проекций x.

y E,F

E" E"'≡M"'≡F"' F" M"

E' F'

yE,F

EF W – профильно-

проецирующая прямая

O

y

z

x

y

W

Н.в.

Н.в.

а б Рис. 2.7

'E'

F" E" M"

M' F'

V

H

W

M E F

z

y

x

E"'≡M"'≡F"'


23

3-е действие. Достроить гипотенузу AоB" треугольника, которая опре-деляет искомую натуральную величину отрезка АВ.

Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной

проекции отрезка A'B' – гипотенуза А'Bо также определяет натуральную величину заданного отрезка.

В построенных прямоугольных треугольниках углы между проекция-ми отрезка и гипотенузой определяют углы наклона прямой к плоскостям проекций H и V:

– угол φV между фронтальной проекцией A"B" отрезка и гипотенузой AoB" определяет наклон отрезка к плоскости проекций V;

– угол φH между горизонтальной проекцией A'B' отрезка и гипотену-зой A'Bо определяет наклон отрезка к плос-кости проекций H.

!!! В задачах по начертательной гео-метрии часто требуется построить на пря-мой общего положения, не имеющей второй конечной точки, проекции отрезка какой-либо заданной величины.

На рис. 2.9 показано построение на пря-мой n с одной конечной точкой A проекций отрезка AB заданной величины 25 мм, для чего выполнен следующий графический ал-горитм (графические действия):

1-е действие. Ограничить прямую n про-извольным отрезком АК(А'K', A"K").

2-е действие. Построить натуральную величину произвольного отрезка АК спосо-

а б Рис. 2.8

∆z

A' B ∆y

B"

φH

φV

Ao

∆y

φH

A

Н.в.

Н.в.

Bo

∆z

φV

A"

B'

x

z

y

φV

φH Ao

∆z

x

n B'

∆z

Натуральная величина AB (гипотенуза) m

A'

B"

A"

Bo

Натуральная величина AB (гипотенуза)

∆y

∆y

x

Натуральная величина AK 25 мм

A"B" и A'B' – проекции отрезка величиной 25 мм

A" ∆y

∆y

B" K" n"

K'

n'

B'

A'

Bо Kо

Гипотенуза

Рис. 2.9


24

бом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной проекции A"K" – это гипотенуза – A"Kо (см. рис. 2.9).

3-е действие. На построенной натуральной величине A"Ko (гипотену-зе) от точки A" отложить отрезок равный 25 мм и построить точку Bо.

4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на проекцию n" заданной прямой n и получить точку B", т. е. построить фрон-тальную проекцию А"В" отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии связи определить горизонтальную проекцию B' точки B, т. е. построить го-ризонтальную проекцию А'В' отрезка АВ заданной величины 25 мм.

П о н я т и е о с л е д а х п р я м о й Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями про-

екций. На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и гори-зонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по ок-тантам пространства: из IV через I во II.

В з а и м н о е п о л о ж е н и е д в у х п р я м ы х Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться

или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чер-теже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 2.11 изображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: A"B"//C"D" и A'B'//C'D'.

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи. На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN.

B"

x

l'

A'

B'

lH'' A"

Горизонтальный след

Фронтальный след

I октант

IV октант

II октант

l"

lH≡lH'

lV≡lV''

lV'

lH≡lH'

B'

B

A'

Горизонтальный след

lV≡lV''

l'

l"

l

B"

A" lV'

lH''

A


x

V

H

I октант

II октант

III октант

IV октант

а б Рис. 2.10


25

Проекции точки их пересечения M(M",M') лежат на пересечении одноимен-ных проекций прямых и на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые не параллельны и не пе-

ресекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче. На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещиваю-щихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и об-разуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

а б Рис. 2.11

C'

A'

B'

D'

B"

D"

A" C"

AB // CD

Знак параллельности

V

H C' A'

B' D'

B" D"

A" C"

A

B

C

D

x

y

z

а б Рис. 2.12

K'

E' M'

N'

F'

N"

F" M"

K"

E"

Знак пересечения

EF ∩ KN

V

H

x

y

z

K'

E'

M'

N'

F'

N

F" M"

K"

E" N" F K

E


26

– конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций H, но принадлежат разным пря-мым: точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 – прямой CD; горизон-тальные проекции точек 1 и 2 совпадают;

– конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпен-дикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой CD, а точка 4 – прямой AB; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

!!! Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблю-

дателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций H и V:

– по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость H (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата z1 больше координаты z2), т. е. на горизонтальной проекции прямая АВ расположена над прямой CD;

– по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость V (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблю-дателю (координата y3 больше координаты y4), т. е. на фронтальной проек-ции прямая CD расположена перед прямой АВ.

Т е о р е м а о п р о е к ц и и п р я м о г о у г л а . Ч а с т н о е п о л о -ж е н и е п р я м ы х – п е р п е н д и к у л я р н ы е п р я м ы е

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между пер-пендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натураль-ную величину при определенном условии.

а б Рис. 2.13

4'

3'

C'

A' D'

B'

1'≡2'

y4

y3

V

H

B"

D" A"

C"

2"

1"

3"≡4"

z1

z2

x

2

1

3'

2"

1"

V

H

x

y

z

D

D"

A'

B'

C' D'

C B

B"

A"

C" A 3"≡4"

1'≡2'

4'

4

3


27

Теорема о проекции прямого угла: – если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости

проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым (90о).

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции прямого угла. Две перпендикуляр-ные прямые AB и AC, образующие плоскость β, проецируются на неко-торую плоскость проекций H. Пря-мая AС по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказа-тельство теоремы основано на из-вестной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая n, проведенная в плоскости H перпендикулярно наклонной пря-мой АВ (n AB; n // A'C'), перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол B'A'C' – прямой.

!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б пока-зано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла KMN.

На рис. 2.15, а изобра-жено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция K'M'N' прямого угла и фронтальная проек-ции M"N" одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как од-на сторона MN прямого угла по условию является фрон-тальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость V заданный прямой угол KMN должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную про-екцию K"M" стороны KM прямого угла проводим перпендикулярно задан-ной фронтальной проекции стороны MN(M"N").

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей гори-зонтальной проекции прямого угла ECD.

а б

Рис. 2.15

x

По условию: KM MN

MN // V

N' M'

K'

M"

N"

M'

K'

N'

N"

M"

K"

На чертеже: K"M" M"N"

x

Рис. 2.14

Если <BAC = 90o, а BC // H, то <B'A'C' = 90o

90°

A'

β' B'

β

B

C

A

H

C'

n

90°


28

На рис. 2.16, а изобра-жено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция E"C"D" прямого угла и горизонтальная про-екция C'D' одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б пока-зано решение задачи: так как одна сторона CD пря-мого угла по условию явля-ется горизонтальной пря-мой, т. е. параллельна го-ризонтальной плоскости проекций H, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость H заданный прямой угол ECD дол-жен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию E'C' стороны угла EC проводим перпендикулярно заданной горизонталь-ной проекции стороны CD(C'D').

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие за-креплению изученного материала и его быстрому визуальному повторе-нию (рис. 2.18–2.20).

На чертеже: E'C' C' D'

x x

C'

E' D'

D" C"

E"

По условию: EC ED

CD // H

C'

D'

E"

C" D"

а б

Рис. 2.16


29

Ëèñò 1

Рис. 2.17

Прямые обозначают на чертеже строчными буквами латинского алфавита: а,

в, m, n и т.д. Отрезки прямых обозначаются прописными буквами: АВ, MN и т.д.

Знак пареллельности прямых: АВ MN.

Знак пересечения прямых: АВ MN.

Знак скрещивающихся прямых: АВ MN.

U

Ïðîåêöèè ïðÿìîé. Ïîëîæåíèå ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Âçàèìíîå ïîëîæåíèå ïðÿìûõ. Ñïîñîá ïðÿìîóãîëüíîãî

òðåóãîëüíèêà. Òåîðåìà î ïðîåêöèè ïðÿìîãî óãëà

Ðèñ. 2.18, ä, å

Ðèñ.2.18, à, á

Ðèñ.2.18, ã

Ðèñ.2.18, â

Ðèñ.2.18, à, á

Ðèñ.2.19, à, á

Ðèñ.2.19, â, ã

Ðèñ.2.19, ä, å

Ðèñ.2.19, æ, ç

Ðèñ.2.19, è, ê

Ðèñ.2.19, ë, ì

Ðèñ.2.20, à

Ðèñ.2.20, á

Ðèñ.2.20, â

Ðèñ.2.20, ã, ä, å

//Репозиторий БНТУ

30

Ëèñò 2

Рис. 2.18

2.1. Прямая общего положения

x

V

A"

C"

B"

BС

A

A'B'C'

H

Не параллельна плоскостям проекций H,

V и W. Точка С лежит на прямой AB.

Рис. 2.1

A"

C"

B"

A'

B'C'

x

x x

Следы прямой

фронтальный

след

C'

C"

V"

D"

V'

D

H"

H'горизонтальный след

прямой - точка пе-

ресечения прямой с

г о р и з о н т а л ь н о й

плоскостью проекций H

Деление отрезка в заданном

отношении (например, 1:3)

Рис. 2.2 Рис. 2.3

1

3

N'

E'

E"M"

N"

M'

соединить

произвольное

направление

фронтальной

проекции M"N"

отрезка, т.е.

N'M"=N"M"

Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника

на чертеже

x

Нат. вел. CD

Нат. вел. CD

D"

zC0"

y

C"

K"

20 мм

C'D0

K0

K'

D'

z

C'K' и C"K" -

проекции отрезка

длиной 20 мм

y

H

V

V - угол наклона отрезка к плоскости проекций VH - угол наклона отрезка к плоскости проекций H

Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит пря-

мой, то на чертеже одноимённые проекции точки лежат на одноимённых про-

екциях прямой (см. рис. 2.1а, б; 2.4б).

x

C'C"D" - повернуть

и совместить с плос-

костью V

C'D"D' - повернуть

и совместить с плос-

костью H


след

C"

Нат.вел.

CD

Нат.вел. CD D0"H

горизонтальный

след

D'

C'(H)

D"(V)

C0"

V

z

z

V

V

H

H

Прямая общего положения и её проекции

б.а.

M"

y

y

Ïðÿìàÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ

à, á è å

à á

ã â

åä


31

Ëèñò 3

Рис. 2.19

2.2 Прямые частного положения

Горизонтальная прямая уровня:� H Фронтальная прямая уровня:� V

V

E" F"

F

E

x

E'

H

F'

Нат. вел.EFH

y

F"'E"'F"E"

z

x

E'

F'y

H

V

A' B'

A

B

B"

A"

x

B"

A"

A' B'

x

A"'

y

yy

zНат. вел.

ABV

Рис. 2.6Рис. 2.5

Профильная прямая уровня:� �W Горизонтально-проецирующая прямая:� H

y

z

C"

C

D"

x

C'

D'

D"

C'"

D

Рис. 2.7

CDWy

z

x O

D'"

C'"C"

D"

C'

D'

Н.в.

y y

z

x

EF H

E' F'

F"'F

F"

E

E"

E"'

y

x

z

Нат. вел.

E"

F"

E"'

F"'

E' (F')y

y y

Фронтально-проецирующая прямая:�

y

z

x

y

z

xx

z

y

Профильно-проецирующая прямая:� �

Рис. 2.8

AB V

A" B"

B"'B

A

O A"'

A'B'

y

zА" (B")

A'

B'

A"'B"'y

y

C"' (D'")

D"C"

C'D'

DС

C"' (D'")

yx

С D

C' D'

y

Нат.вел.

y y

B'"

y

y

yE

yE

yA

yA

yD

yD

б.а. б.а.

б.а. б.а.

CD W

O

OO

O

OO

OO

OO

Ïðÿìûå ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ

à â ã á

ä æ ç å

è ë ì ê

// W

// H // V

H

AB // V FE // H

W

AB V CD W

V

CD // W EF H


32

Ëèñò 4

Рис. 2.20

2.3 Взаимное расположение прямых

Параллельные прямые Пересекающиеся прямые Скрещивающиеся прямые

Проекции прямых параллельны

B"

D"

D'

B'

A'

C'

C"A"

x

AB CD

x

D"

C"

C'

D'

E"

O"

F"

F'O'

E'

CD EF

Общая точка

пересечения

Наложение

проекций

прямых

F"M" 1" 3" (4")

2"E"x

N"

N'4'

3'

F'

1' (2')

M'

E'

V

H

1-2 и 3-4 - конкурирующие точки

(каждая пара точек лежит на

одном проецирующем луче)

Рис. 2.13Рис. 2.12Рис. 2.11

Рис. 2.14а Рис. 2.14б Рис. 2.14в

2.4 Теорема о проекции прямого угла

ABC=90°

m

Если m BK', то m B'K', а B'K' B'С',

т.е. K'B'С'=90°. Если BC H, а АB H,

то A'B'С'=90°

Так как BC H, то n' B'С' Так как DEV, то k" D"E"

по условию

k DE

по условию

n BC

Теорема о проекции прямого угла: если одна сторона прямого угла па-

реллельна плоскости проекций (а вторая не параллельна и не перпендикуляр-

на этой плоскости), то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется

в виде прямого угла.

Знак перпендикулярности элементов: .

K'

A'

AB'

m

H

C'

С

B

C'

C"

n"(дана)

B"

x

B'

n'(построена)

E"

E'

D"

D'

k"(построена)

k'(дана)

k"-?

x

n'-?

Âçàèìíîå ïîëîæåíèå ïðÿìûõ

Òåîðåìà î ïðîåêöèè ïðÿìîãî óãëà

á

ä

Åñëè m BK', òî m B'K', à B'K' B'C',

òî åñòü ∠K'B'C'=90°. Åñëè BC // H, à AB // H, òî ∠A'B'C'=90°.

AB // CD

Òàê êàê BC // H, òî n' B'C' Òàê êàê DE//V, òî k" D"E"

m BK'

∠ABC=90°

ïî óñëîâèþ

n BC

ïî óñëîâèþ

k DE

à â

ã å


33

Лекция 3 ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ. СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ. ПОЛОЖЕНИЕ

ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Пл о с к о с т ь . Сп о с о б ы з а д а н и я п л о с к о с т и н а ч е р т е ж е Из геометрии известно, что плоскость в пространстве определяется

тремя точками, не лежащими на одной прямой. В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

– проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 3.1, а); – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 3.1, б); – проекциями двух параллельных прямых (рис. 3.1, в); – проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 3.1, г); – проекциями замкнутого отсека любой формы – треугольника, четы-

рехугольника и т. д. (рис. 3.2).

Т о ч к а и п р я м а я в п л о с к о с т и Из геометрии известны теоремы о принад-

лежности точки и прямой линии плоскости: 1-я теорема: точка принадлежит плоско-

сти, если она принадлежит прямой линии, ле-жащей в этой плоскости.

2-я теорема: прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости.

На рис. 3.2 показано применение этих тео-рем для построения горизонтальной проекции точки К(K", K'-?), лежащей в плоскости, задан-ной треугольником ABC. Для решения этой

E"

Знак параллельности

A'

B'

C'

A"

B"

C"

x

α(ABC) β(AC, B)

B"

A"

C'

B'

A'

C"

x

γ(AC // m)

C"

C' A'

B'

A"

B"

m'

m"

x

δ(AC ∩ BD)

D"≡D' E'

A' C'

βW

A"

B"

C"

x


в а г б

Рис. 3.1

Рис. 3.2

K'

K"

m' B'

A'

C'

C"

m"

1"

1'

B"

A"

точка K m α


34

задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм (графиче-ские действия):

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронтальную проекцию вспомогательной прямой m(m") через две точки этой плоскости – напри-мер, через точку А(A") и заданную фронтальную проекцию точки K(K"); эта прямая пересекает сторону ВС треугольника в точке 1(1",1').

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию вспомогательной прямой m(m') через горизонтальные проекции точек А(A') и 1(1').

3-е действие. Построить по линии связи искомую горизонтальную проекцию точки K(K') на горизонтальной проекции вспомогательной пря-мой m(m').

На рис. 3.3, а, б показано решение задачи, где требуется достроить го-ризонтальную проекцию четырехугольника ABCD(A",B",C",D"; A',B',C',D'-?, C'-?). Для решения задачи выполнены следующие графические построения:

– проведены проекции диагонали AC(A"C", A'C'); – проведена фронтальная проекция диагонали BD(B"D"); – определены проекции вспомогательной точки 1(1"1'), принадлежащей

диагоналям AC и BD; – проведена че-

рез точки B' и 1' го-ризонтальная проек-ция диагонали d(d'), на которой должна лежать проекция вершины D(D');

– построена по линии связи гори-зонтальная проек-ция D' вершины D по ее принадлежно-сти прямой d(d');

– достроена го-ризонтальная проек-ция A'B'C'D' четы-рехугольника ABCD.

П р я м ы е о с о б о г о п о л о ж е н и я в п л о с к о с т и . Г о р и -

з о н т а л ь h и ф р о н т а л ь f п л о с к о с т и Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной

плоскости проекций V, называются фронталями – f(f",f'). Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной

плоскости проекций H, называются горизонталями – h(h",h'). На рис. 3.4 показано построение в плоскости треугольника DEF про-

екций фронтали и горизонтали.

Рис. 3.3

б а

D"

C'

C"

A"

B"

B'

A'

D"

C'

d"

C"

A"

B"

B'

A'

D'

d'

1"

1'

Условие Решение


35

Поскольку фронталь плоскости f парал-лельна фронтальной плоскости проекций V, построение ее проекций следует начинать с горизонтальной проекции фронтали f', ко-торая должна быть на чертеже параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали f" строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точ-ки 1(1',1").

Поскольку горизонталь плоскости h па-раллельна горизонтальной плоскости про-екций H, построение ее проекций следует начинать с фронтальной проекции горизон-тали h", которая должна быть на чертеже параллельна оси x. Горизонталь-ная проекция горизонтали h' строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 2(2',2").

Прямые линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона (ската) плоско-сти. Они определяют угол наклона плоскости к плоскости проекций H.

На рис. 3.5, а изображена линия наибольшего ската m в плоскости α, а на рис. 3.5, б – построение ее проекций на чертеже этой плоскости, за-данной следами.

П о н я т и е о с л е д а х п л о с к о с т и Следами плоскости называются линии, по которым плоскость пересе-

кается с плоскостями проекций: – горизонтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью

проекций H; – фронтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью

проекций V;

а б Рис. 3.5

V

H

x

y

z

1'

2"

h

αV≡αV"

h'

Линия наибольшего наклона (ската) плоскости α

αH≡αH'

α

m

m'

h"

2'

m"

1"

αH'

αV"

x

h'

h"

2'

2"

1'

2"

m'

m"

αV'≡αH"

f"

F"

F'

D'

E'

2'

1'

h'

2"

E"

D"

Рис. 3.4

Плоскость общего положения

1" x

h" // x

f' // x


36

– профильный след – линия пересечения плоскости с плоскостью про-екций W.

!!! На чертежах в ы р ож д е н н ы е в п р я мы е л и н и и п р о е к ц и и п л о с к о с т е й частного положения совпадают с соответствующими сле-дами этих плоскостей и их можно обозначать как следы (см. рис. 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 и 3.11) этих плоскостей.

П о л о ж е н и е п л о с к о с т и о т н о с и т е л ь н о п л о с к о с т е й п р о е к ц и й . П л о с к о с т и о б щ е г о п о л о ж е н и я и п л о с к о с т и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

Относительно плоскостей проекций V, H и W плоскости в пространстве могут занимать семь различных положений – общее и шесть частных – и имеют соответствующие названия и характерные признаки проекций на чертежах. Следовательно, по заданным проекциям плоскости можно пред-ставить ее положение в пространстве, то есть «прочитать» чертеж плоскости.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (см. рис. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5), называется плоскости общего положения.

!!! Запомните характерные признаки плоскости общего положения на чертеже – н и о д н а е е п р о е к ц и я н е в ы р о ж д а е т с я в л и н ию , и каждая проекция искажает величину той формы, которой плоскость за-дана на чертеже.

Плоскости частного положения, перпендикулярные одной плоско-сти проекций, называются проецирующими плоскостями.

Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций V. На рис. 3.6 плоскость задана двумя перессекаю-щимися прямыми DE и EF; горизонталь плоскости h преобразуется здесь во фронтально-проецирующую прямую (h V).

а б Рис. 3.6

yk

yk

β(DE ∩ EF) V h V

Вырожденная проекция плоскости


y

y

F'

D"' h"

0

F"

K'

E"'

F"'

E'

D'

h'

x

z

D"

K" E"

φH

βV Искажённая величина

Искажённая величина

Точка Kβ Знак

принадлежности

Фронтально-проецирующая плоскость

E" F"

E"'

D"'

E'

D"

D'

D

E

F

F'

F"'

V

H

W

z

y

x

βV


37

!!! Запомните характерные признаки фронтально-проецирующей плос-кости на чертеже – ее фронтальная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция βV), наклоненную к оси проекций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций H. Горизонтальная и про-фильная проекции плоскости представляют собой искаженную по вели-чине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна горизон-тальной плоскости проекций H. На рис. 3.7 плоскость задана треугольни-ком ABC; фронталь плоскости f преобразуется в горизонтально-проеци-рующую прямую (f H).

!!! Запомните характерные признаки горизонтально-проецирующей плоскости на чертеже – е е г о р и з о н т а л ь н а я п р о е к ц и я п р е д с т а в -л я е т с о б о й прямую (вырожденная проекция αV), наклоненную к оси про-екций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций V. Фрон-тальная и профильная (не показана) проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций W. На рис. 3.8 плоскость задана двумя параллельными прямыми KL и MN; фронталь и горизонталь плоскости преобразуются в про-фильно-проецирующие прямые.

!!! Запомните характерные признаки профильно-проецирующей плос-кости на чертеже – е е п р о ф и л ь н а я п р о е к ц и я п р е д с т а в л я е т с о б о й п р я м у ю (вырожденная проекция δW), наклоненную к осям про-екций x и y, и определяет углы наклона плоскости к плоскостям проекций V и H. Фронтальная и горизонтальная проекции этой плоскости представ-ляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

а б Рис. 3.7

Горизонтально-проецирующая плоскость

A

B

C

A' B'

C'

V

H

W

z

y

x

α

α(A,B,C) H f H


x

A'C'

B' f'

αV

φV

A"

B"

A"

f"

Искажённая величина


38

Плоскости частного положения, перпендикулярные двум плоскостям

проекций и параллельные третьей плоскости проекций называются плоско-стями уровня.

Фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости проекций V и перпендикулярна плоскостям проекций H и W. На рис. 3.9 фронтальная плоскость уровня задана параллелограммом DEFG; фронталь-ная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

!!! Запомните характерные признаки фронтальной плоскости на чер-теже – е е г о р и з о н т а л ь н а я и п р о ф и л ь н а я п р о е к ц и и п р о -е ц и р ую т с я в п р я м ы е (вырожденные проекции βH и βW), параллель-ные соответственно осям проекций x и z.

Горизонтальная плоскость уровня параллельна горизонтальной плос-кости проекций Н и перпендикулярна плоскостям проекций V и W.

а б Рис. 3.9

Фронтальная плоскость

β(DEFG) // V (H иW)

F"'

E"'

D"'

G"'

M"'

M'

D' E' F' G'

y

y

z

x

0


D"

G"

E"F"

M"

βH

y

y

βW

D

D'

β E

G

E' G' F'

F

V

H

W

z

y

x D"'

G"'

E"'

F"'

а б Рис. 3.8

φV φH

y

y

z

x

0 M'

M"

L' N'

K" K'"≡M'"

L"≡N'"

K'

L" N" δW

δ(KL // MN) W


L"≡N'"

K'"≡M'" K M

N L

W

V

H

δ

z

y

x


39

На рис. 3.10 горизонтальная плоскость уровня задана треугольником ABC; горизонтальная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

!!! Запомните характерные признаки горизонтальной плоскости на чертеже – е е ф р о н т а л ь н а я и п р о ф и л ь н а я п р о е к ц и и п р о -е ц и р у ю т с я в п р я м ы е (вырожденные проекции αV и αW), парал-лельные соответственно осям проекций x и y.

Профильная плоскость уровня параллельна плоскости проекций W и

перпендикулярна плоскостям проекций V и H. На рис. 3.11 плоскость за-дана кругом с центром в точке О и ее профильная проекция имеет нату-ральную величину этого круга.

!!! Запомните характерные при-знаки профильной плоскости на чер-теже – ее фрон -тальная и г о -р и з о н т а л ь н а я п р о е к ц и и п р е д с т а в л яю т с о б о й п р ямы е (вырожденные про-екции δV и δH), перпендикулярные оси проекций x и параллельные осям z и y.

а б Рис. 3.10

Горизонтальная плоскость

αV

z

y

y


α(∆ABC) // H ( V и W)

B" С"K"A"

K' A'

B'

C'

B"' A"' C"'

x

0

αW

α

B'

C' A'

V

H

W

A B

C

z

y

x

B"' A"'

C"'

B"A" C"

а б Рис. 3.11

Профильная плоскость

O

O"

O'"

O'

V

H

W δ

z

y

x

O"'

O'

O"


δH

δ // W ( V и H)

y

y

z

x 0

δV


40

П р о в е д е н и е п л о с к о с т и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я ч е р е з п р я м ую о бщ е г о п о л о ж е н и я ( з а к лю ч е н и е п р я м о й л и н и и в п л о с к о с т ь ч а с т н о г о п о л о ж е н и я )

Очень часто для решения различных задач требуется провести через прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое действие называется «заключить» прямую в плоскость частного положе-ния (проецирующую или уровня). На рис. 3.12, а, б показано графическое оформление этого действия.

На рис. 3.12, а прямая общего положения АВ(A"B", A'B') заключена во

фронтально-проецирующую плоскость β. Это означает, что прямая теперь лежит в этой плоскости и, следовательно, фронтальный след плоскости β(βV) совпадает с фронтальной проекцией АВ(А"В") прямой; графически это дей-ствие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозна-чением следа надписью βV (рис. 3.12, б).

!!! Горизонтальная проекция плоскости β не оформляется на чертеже, но подразумевается (показана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком произвольной формы, так как плоскость в пространстве не имеет границ).

На рис. 3.12, в прямая общего положения CD(C"D", C'D') заключена в горизонтально-проецирующую плоскость δ и это действие оформлено обо-значением следа надписью δh на продолжении горизонтальной проекции заданной прямой (рассуждения аналогичны).

Структуризация материала третьей лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 3.13 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 3.14 и 3.15).

а б в

Рис. 3.12

D' δH

D"

C"

C'

δ

CD δ

x x

B'

A'

β

βV

A"

B"

AB β

Знак включения

B"

A'

B

A"

A B'

V

H

z

y

x

β

βV


41

Ïðîåêöèè ïëîñêîñòè. Çàäàíèå ïëîñêîñòè íà ÷åðòåæå. Ñëåäû ïëîñêîñòè.

Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé

Ðèñ. 3.14, à

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.14, á

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ðèñ. 3.14, â

Ðèñ. 3.14, ã

Ðèñ. 3.15, à

Ðèñ. 3.15, á

Ðèñ. 3.15, â

Ðèñ. 3.15

Ðèñ. 3.14, ä

Ðèñ. 3.14, â, ã, ä

Ëèñò 1

Рис. 3.13


42

Ëèñò 2

Рис. 3.14

1. Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

Прямой и точкой Пересекающимися прямыми Паралельными прямыми Замкнутым отсеком

Рис. 3.1

Плоскости частного положенияХарактерные линии плоскости 2. Горизонтально-проецирующая плоскость: H

m'

m'(m;A)

A"m'' n''

m'

n'

s''t''

s'

t'

A"

A'

B'

C"

C'

B"

( ABC)(s//t)

m''D'

1"

E"3"

A"2"

f''

C"

C'3'

E'

1'h'

D'm'

2'A'фронталь

f'//x

m-линия

наибольшего

ската

горизонтальный

след плоскости h

(линия пересечения

с плоскостью

проекций H)

A

B

C

A"

f"B" искаж-я

велич.

y В

B'''

искаж-я

велич.

C"'

h"A'''

A'f'

B'

v

v=h'

C'

h

B'

C'

f H

Рис. 3.3

Рис. 3.2 3.Фронтально-проецирующая плоскость: V


(линия пересечения

с плоскостью

проекции V)

v=f"

h''m'''

y

n'''

m'f'

n'h'

искаж-я

велич.

1''

m"=n"

h

h V

искаж-я

велич.

y

V

m"=n"

m

n

(mnn)

(m//h) V

v

искаж-е

велич.C C'''

D'''

E'''

D

E

Профильный

след

Профильный

след

C''D"

C'''D'''

E'''

v

hC'

E'

D'

Рис. 3.4

4.Профильно-проецирующая плоскость: W

m' h'

x

h"//x

горизонталь

A'

( ABC) H

x x

xx

y

y

yE

yE

y

yB

yС

y С

W

(m//n) V

( CDE) W

z

x

W

T

T

v

à

á

â

ä

ã

Ïëîñêîñòè ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ - ïðîåöèðóþùèå

∆


43

Ëèñò 3

Рис. 3.15

5. Горизонтальная плоскость уровня: //H( V u W)

//H

vA" B" С" A''' (C''')

B"

Натуральная

величина

(ABC)//H

Рис. 3.6

6. Фронтальная плоскость уровня: //V( H u W)

V

VНатуральная

величинаE"

D" F"

E'''

D''' (F''')

С'А'

B'

F'E'D'v

v(DEF)//V

7. Профильная плоскость уровня: //W( H u V)

//W

V

//W

B''=(A'')

C''=(D''')

D' (F')

B' (C')(ABCD)//W

Рис. 3.7

D'''

A'''B'''

С'''

//H

x

//V

x

x

x y

0x

x

z


величина

y

z

y

T T

T T

T T

Ïëîñêîñòè ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ - óðîâíÿ

â

à

á


44

Лекция 4 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ,

ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаю-щимися.

П л о с к о с т и п а р а л л е л ь н ы е Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плос-

кости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у па-раллельных плоскостей должны быть соответственно п а р а л л е л ь н ы о д н о и м е н н ы е п р о е к ц и и двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей использу-ется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоско-стей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.1 показано построение плоскости β, проведенной через за-данную точку А(A"'A'), параллельно заданной плоскости α(m//n).

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости α, по-строить вспомогательную прямую, например, горизонталь h(h"h'), то есть создать в плоско-сти пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку А(A"'A') провести две пересекающиеся прямые b и d, параллельные двум пересекающимся прямым m и h заданной плоскости α:

– прямую b(b",b') параллельно прямой m(m"m') (или n(n"n');

– прямую d(d",d') параллельно вспомога-тельной прямой h(h"h').

Построенная плоскость β(b d) будет параллельна заданной плоско-сти α(m//n), так как две пресекающиеся прямые m и h плоскости α соот-ветственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной плоскости β.

П а р а л л е л ь н о с т ь п р я м о й и п л о с к о с т и Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она па-

раллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, b параллельна плоскости α(m//n), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой m(m",m'), лежащей в этой плоскости.

α(m // n); β(a ∩ b) // α

β

n"

m'

m"

1" 2" b"

d"

β 1' A'

h"

h'

n'

d'

A"

b' 2'

Рис. 4.1


45

П л о с к о с т и п е р е с е к а ю щ и е с я Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая ли-

ния, принадлежащая обеим плоскостям. Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения

относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плос-костей возможны три случая:

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относитель-но плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения явля-ется проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, ле-жит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изобра-жены две пересекаю-щиеся фронтально-про-ецирующие плоскости α и β, элементом пере-сечения которых являет-ся фронтально-проеци-рующая прямая m (со-ответственно, горизон-тально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-про-ецирующей прямой). Фронтальная m(m") и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырож-денных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная m(m') проекция линии пересечения – прямая, перпендикулярная оси x.

2-й случай – только одна из плос-костей занимает частное положение от-носительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положе-ния, а другую проекцию линии пересе-чения требуется построить.

На рис. 4.3 изображены две пере-секающиеся плоскости, из которых плос-кость α, заданная своим горизонталь-ным следом αh, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость, за-данная треугольником ABC, – плоскость общего положения. Горизонтальная про-екция MN(M'N') искомой линии пересе-

а б Рис. 4.2

α V; β V

α(αV) ∩ β(βV) → m V

β

m"

βV αV

m'

α

x

m"O

V

H

α β

βV

αH

z

y

x m

Рис. 4.3

α H

M"N" построена

M'N' совпадает со следом

плоскости α(αH)

Плоскость общего положения

M'

B"

A"

C"

M"

N"

A'

C'

B'

αH


46

чения плоскостей в этом случае совпадает со следом αh плоскости α, а фронтальная проекция M"N" линии пересечения построена по принад-лежности точек M и N сторонам треугольника ABC.

3-й случай – пересечение двух плоскостей общего положения, проек-ции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения является точка!

П е р е с е ч е н и е п р я м о й с п л о с к о с т ь ю Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка,

принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай – и прямая и плоскость занимают частное положение от-носительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях пря-мой и плоскости.

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня α(m//n), пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k"k'). Фронталь-ная проекция O(О") точки их пересечения совпадает с фронтальным сле-дом плоскости αV, а горизонтальная проекция O(O') точки их пересечения

совпадает с вырожденной в точку горизонтальной k(k') проекцией прямой.

2-й случай – только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точ-ки пересечения совпадает с характерной (вырожден-ной) проекцией элемента частного положения, а дру-гую проекцию точки пересе-чения требуется построить.

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирую-щая прямая k(k",k') и плоскость общего положения, заданная треугольни-ком АВС. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения O(O") совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция O(O') точки пересечения построена по принадлежности точки О плоскости АВС с помощью вспомогательной прямой m.

3-й случай – оба пересекающихся элемента занимают общее положе-ние относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость

m'

m"

1"

1' O'

k" ≡ O" A"

B"

C"

A' C'

B'

k'

α(ABC) ∩ k → O

k V m'

α(m // n) ∩ K → O

n'

k'≡O'

k"

O"

αV

α(m // n) V k(k"k') H

n" ≡ m"

а б Рис. 4.4


47

общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построе-ния, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му слу-чаю (см. рис. 4.4), то есть прямую об-щего положения заменить элементом частного положения, «заключив» эту прямую в плоскость частного положе-ния (см. рис. 3.12 б, в).

На рис. 4.5 показана наглядная кар-тина этого действия. Прямая общего по-ложения k пересекается с плоскостью общего положения α(ABC). Для решения задачи через прямую проведена неко-торая вспомогательная плоскость β, то есть прямая «заключена» в плоскость β.

Определяется вспомогательная ли-ния 1-2 пересечения двух плоскостей – заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении за-данной прямой k и вспомогательной линии пересечения 1-2.

На рис. 4.6 показано построение на ч е р т е ж е точки пересечения O(O",O') плоскости общего положения, заданной треугольником CDE, c пря-мой общего положения k(k",k'). Для ре-шения задачи в этом случае выполня-ется следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Заключить прямую k во вспомогательную, например гори-зонтально-проецирующую плоскость α, задав ее горизонтальным следом αH(kα(αH)).

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения 1-2(1"-2",1'-2') заданной плоскости CDE со вспомогательной плоскостью α(α∩β(∆CDE)):

– 1'-2' совпадает со следом вспомогательной плоскости α(αH); – 1"-2" строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам CE и DE

плоскости β(∆CDE). 3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения O(O",O')

заданных элементов:

Рис. 4.6

4"≡5"

D"k"

E"

C"2"O"

3"

1"

D'

O'

5'

αH

1' ≡ 3'

k'

C'

E' 4' 2'

1" – 2" линия пересечения

(фронтальная проекция)

1' – 2' линия пересечения

(горизонтальная проекция)

H

Построена

1. k α(αh) 2. (1 – 2) → α ∩ CDE 3. O → (1 – 2) ∩ k

V

O

A

H

B

A'

k'

B'

β

O'

1

2

2' 1'

C

C'

k

1. k β( H) 2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2 3. k ∩ 1 – 2 → O

β H

Рис. 4.5

Линия пересечения

Вспомогательная плоскость

α


48

– фронтальная проекция O" определяется на пересечении фронталь-ной проекции заданной прямой k(k") и построенной фронтальной проекции 1"-2" вспомогательной линии пересечения ((1"-2")∩ k");

– горизонтальная проекция O' определяется на горизонтальной проек-ции k(k') заданной прямой по линии связи (O' k').

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость пря-мой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

На рис. 4.6 показано определение относительной видимости заданной прямой k и плоскости CDE с помощью конкурирующих точек, лежащих на скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смот-рит сверху вниз по стрелке H. Чтобы определить, какой из элементов – прямая или плоскость – находится ближе к наблюдателю, рассмотрим про-екции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче, но на скрещивающихся прямых – точка 1 лежит на прямой СЕ, а точка 3 лежит на прямой k. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 1 на прямой СЕ, а точка 3 на прямой k расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая k(k') вниз от точки пересечения (О') «уходит» плоскость CDE.

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке V, определяем относительную видимость прямой и плоско-сти на фронтальной проекции чертежа – прямая k(k") находится над плос-костью CDE вверх от точки О(О").

П е р е с е ч е н и е д в у х п л о с к о с т е й о б щ е г о п о л о -ж е н и я (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:

а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются; б) проекции плоскостей накладываются. Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения

линии пересечения. Для варианта «а» рацио-

нально использовать две про-извольные плоскости част-ного положения.

На рис. 4.7 показан при-мер построения линии пере-сечения плоскостей общего положения – α(k∩l) и β(m//n), проекции которых на черте-же не накладываются.

Линия пересечения за-данных плоскостей построе-на по точкам N и M пересе-

6" γV2

γV1

1" 2" 3" 4"E

5"

1'

5'

2'

3'

4'

6'

N' M'

N"

M"

k'

k" l"

l'

m" n"

n'

m'

Рис. 4.7


49

чения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоско-стями γ1 и γ2 в соответствии со следующим г р а ф и ч е с к и м а л г о -р и т м о м :

I. Построить точку N(N",N') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ1:

1-е действие. Пересечь плоскости α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня γ1, обозначив ее фронталь-ный след γV1.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4') вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной плоскостью γ1(γV1).

3-е действие. Определить проекции точки N(N",N') пересечения меж-ду собой вспомогательных линий 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4').

II. Построить точку M(M",M') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ2(γV2), повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией постро-енные точки N и M. Если при этом плоскость γ2(γV2) задавать параллельно ранее заданной плоскости γ1(γV1), то построения можно упростить и исполь-зовать не четыре, а только две точки 5 и 6, так как пересечение парал-лельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вари-ант «б» – проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводит-ся здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плос-костью, то есть к выполнению дважды графиче-ского алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.6).

На рис. 4.8 показан пример построения ли-нии пересечения плоскостей общего положения – α(ABC) и β(m//n), проекции которых на черте-же накладываются.

Линия пересечения построена по точкам K и M пересечения прямых m и n, которыми зада-на плоскость β(m//n), с плоскостью α(∆ABC), то есть дважды выполнен вышеприведенный г р а -ф и ч е с к и й а л г о р и т м .

I. Построить точку K(K",K') пересечения прямой m с плоскостью α(∆ABC):

1-е действие. «Заключить» прямую m во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γV.

2"

M"

m" n"

A"

B"

K"

C"

6"

7"

γV δV

A'

B'

C'6' ≡7'

4' K'

3' 1'

5'

2'

n' m' V

M'

1"≡5"

4"

3"

H

Рис. 4.8


50

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') вспомогательной линии пересечения плоскостей – заданной α(∆ABC) со вспомогательной γ.

3-е действие. Определить проекции точки K(K",K') пересечения пря-мой m с плоскостью α.

II. Построить проекции точки M(M",M') пересечения прямой n с плос-костью α, повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой ли-нией построенные точки K и M.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно постро-енной линии пересечения K–M, рассмотрев пары конкурирующих точек:

– точки 1 и 5 – для определения относительной видимости на фрон-тальной проекции;

– точки 6 и 7 – для определения относительной видимости на гори-зонтальной проекции.

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объе-ме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1). На последующих ли-стах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 4.10–4.12).


51

Ðèñ. 4.11, ã, ä

Ðèñ. 4.12, á

Ðèñ. 4.10, à

Ðèñ. 4.10, ã, ä

Ðèñ. 4.10, å

Ðèñ. 4.11, à

Ðèñ. 4.11, á

Ðèñ. 4.11, â

Ðèñ. 4.10, á

Ðèñ. 4.12, à

Âçàèìíîå ïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé,ïðÿìîé ëèíèè è ïëîñêîñòè

Ëèñò 1

Рис. 4.9


52

Ëèñò 2

Рис. 4.10

В"

А"

С"

А'

С'

В'

m"

m'

n'

n"

Прямая, параллельная плоскости Параллельная

а'2'

c' 1'

К'n'

m'

Требуется: провести через т.К (К',К")

плоскость , параллельную заданной

плоскости (а b).

Решение: плоскость (m n) (а b), так как

m а b, а n c (c - вспомогательная прямая).

Рис. 4.2б

Пересечение плоскости частного

положения с плоскостью общего положения

А" С"

М"

В"

N"

( V) V

А' N'

М'

В'

С'

М"N" V линияпересечения

М'N' - построена

линия пересечения

(АВС) - общего положения

V - фронтально-проецирующая

(АВС) ( Н) МN - линия пересечения

(прямая общего положения)

Рис. 4.4

М"

N"N'

М'

л.п."

М' N'

н( Н) н( Н)

л.п.'

( V)

М" N" v(//Н V)

( v) ( v) МN( V) - линия пересечения

(фронтально-проецирующая прямая)

( н) ( н) МN( V) - линия пересечения

(горизонтально-проецирующая прямая)

m'

n'

m"

n"

К"

а"

К'

а'

(m n)

Требуется: провести через т.К (К',К") прямую,

параллельную плоскости.

Решение: прямая а (m n), так как а m.

Рис. 4.1

(АВС)

К'

К"

Требуется: провести через т.К (К',К")

плоскость , параллельную заданной

плоскости (АВС).

Решение: плоскость (m n) (АВС), так как

m АВ, а n ВС.

Рис. 4.2а

- знак совпадения

- пересечение элементов

- параллельность элементов

- знак принадлежности- знак "заключить"

1"

c"а"

2"

b"

К"

m"

n"

Параллельные плоскости

(а b)

b'

U

U

U

U

U

U

U

U

U

T

T T

T

T

T

T

Ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè

à

á

â

ã ä

å


53

Ëèñò 3

Рис. 4.11

В'

н

m - общего

положения;

(АВС) Н

Рис. 4.7

Пересечение прямой общего положения с

плоскостью общего положения

В

N

К

М

С

А

Линия

m

вспомогательная пл. частного положения ,

в которую заключена заданная прямая m

Рис. 4.8а

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

m"а"

М"К"

N" 1''

b"

V m"

М'

К'

m'

N' b'

а'

m - общего

положения;

(а b) - общего

положения

Графический алгоритм:

1 Заключить прямую m в плоскость частного

положения : m c ( V).

2 Построить линию MN пересечения заданной

плоскости (а b) со вспомогательной ( V)

(а b) MN.

3 Определить проекции К(К',К") искомой точки

пересечения прямой m с плоскостью (а b):

MN m К(К',К").4 Определить относительную видимость прямой

и плоскости по конкурирующим точкам.

D" т"

К"Е"

F"v

D'

Е'

F'

(DEF) VМ Н

т' К'

Пересечение прямой частного положения с

плоскостью частного положения

Пересечение прямой частного положения с

плоскостью общего положения

Пересечение прямой общего положения с

плоскостью частного положения

т" К"h" 1"

а"b"

2"

а'

1'К'

n'

2'

b'

m (DEF) в т.Km (a b) в т.K

Рис. 4.5 Рис. 4.6

А"

m" К"В"

С"

m'

А'К'

С'

т.K т; т.K (DEF)

m V(a b) - общего положения

т.K (a b);

h(h'',h') - вспомогательная

прямая (горизонтальная)

m (ABC) в т.K

m

2"

3"

2" 3''

1"

U

UU

U

U

T

TT

T

à á

â ã

ä


54

Ëèñò 4

Рис. 4.12

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых не накладываются

(способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения)

Проекции искомой линиипересечения

1" 2"

5" 6"N"

М"

3"

В"

4" V1( H)

а" b"

А"7"

С"

N' М'

А'

3' В'

4'

7'

P"

P'

Линия пересечения плоскостей строится по двум

точкам пересечения прямых общего положения с

плоскостью общего положения по алгоритму,

приведённому для рис. 4.8.


1 Заключить прямую AB во вспомогательную

фронтально-проецирующую плоскость 1( V1).

2 Построить линию пересечения 1-2 заданной

плоскости ( ABC) со вспомогательной плоскостью 1.

3 Определить первую общую точку M(M',M") линии

пересечения заданных плоскостей.

4 Повторить алгоритм, заключив прямую заданной

плоскости (d e) во вспомогательную

горизонтально-проецирующую плоскость 2( h2) и

определить вторую общую точку N(N",N').

5 Соединить построенные точки - MN - искомая линия

пересечения: ( ABC) (d e) MN.

6 Определить относительную видимость плоскостей

по конкурирующим точкам: 1 и 5, 6 и 3.

U

T

U

UU

С'

b'

а'

л'п'

5' 1'

2'6'

V2( V)

л'п'

л'п'

л'п'

Произвольные вспомогательные

плоскости частного положения

Рис. 4.9


1 Пересечь заданные плоскости (а b)

и (АВС) вспомогательной

горизонтальной плоскостью уровня

1( V1)

2 Построить линии пересечения

заданных плоскостей со

вспомогательной:

1-2 (а b) 1

3-4 (АВС) 1

3 Определить общую точку М(М',М"),

принадлежащую искомой линии

пересечения М 1-2 3-44 Повторить алгоритм и построить

вторую точку N(N',N"), принадлежащую

искомой линии пересечения МN.

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых накладываются

л"п"

построили 3"

А"

В"

Н

1" 5"

2"е"

d"

N"

6" 4"

М"

А"

V1

V

А'4'

N'

1'

d'В' 5'

е'

С'2'

л'п'

построили

6' 3'М'

h2

à

á Ре

позиторий БНТУ

55

Лекция 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости осно-вано на двух теоремах геометрии:

1-я т е о р е м а: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я т е о р е м а: о проекции прямого угла (изложена выше – см. рис. 2.14, 2.15 и 2.16) – если одна сторона прямого угла параллельна плос-кости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость про-екций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуля-ра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизон-тали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно про-вести в плоскости.

!!! Запомните: – фронтальная проекция m" прямой, перпендикулярной прямой к плос-

кости, перпендикулярна к фронтальной проекции f" фронтали этой плоско-сти (m" f");

– горизонтальная проекция m' прямой, перпендикулярной прямой к плоскости, перпендикулярна к горизонтальной проекции h' горизонтали этой плоскости (m' h ').

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно раз-делить на три группы:

1-я г р у п п а. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпенди-куляр в пространство.

2-я г р у п п а. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпен-дикуляр к этой плоскости.

3-я г р у п п а. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой об-щего положения (построить геометрическое место точек – ГМТ).

П е р в а я г р у п п а з а д а ч требует по условию проведения пер-пендикуляра от плоскости (восставить перпендикуляр) в пространство (см. рис. 5.1).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведен-ном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины. Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекци-ях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 2.9).

На рисунке 5.1 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость β, параллельную заданной плоскости α(ABC), на рас-стоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения па-раллельной плоскости β нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости α, то есть из произволь-ной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.


56

Для решения задачи требуется выпол-нить следующий г р а ф и ч е с к и й а л -г о р и т м :

1-е действие. Провести в заданной плос-кости общего положения ABC проекции фронтали f(f",f') и горизонтали h(h',h'):

– f' // x, а f" – построить по вспомога-тельной точке 1;

– h" // x, а h' – построить по вспомога-тельной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плос-кости, например, от вершины A в простран-ство проекции перпендикуляра m(m",m'):

– фронтальную проекцию m" перпен-дикулярно f" (m" f");

– горизонтальную проекцию m' перпен-дикулярно h' (m' h ').

3-е действие. На проекциях перпендикуляра m построить проекции отрезка заданной величины 15 мм, для чего выполнить следующие графи-ческие действия:

1. Ограничить построенную прямую m(m", m') произвольным отрез-ком AK(AK", AK').

2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 5.1) спо-собом прямоугольного треугольника – это гипотенуза A'Kо.

3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину A'Do = 15 мм и построить проекции отрезка AD(A"D", A'D') заданной величины (см. по-строения), то есть проекции точки D(D", D'), находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости α(ABC).

4-е действие. Построить плоскость β, параллельную заданной плоско-сти ABC, проведя через проекции точки D две пересекающиеся прямые d и n, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым AC и AB плос-кости ABC:

– d" // A"C"; e" // A"B"; – d' // A'C'; e' // A'B', то есть β(d ∩ e) // α(ABC).

В т о р а я г р у п п а з а д а ч требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпенди-куляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пере-сечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоско-стью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.6).

На рис. 5.2 показано решение примерной задачи второй группы: опре-делить расстояние от точки K до заданной плоскости α(∆ABC).

Рис. 5.1

A' 15 мм

1"

2"

d"

e"

β"

e'

d' β'

K"

B'

Ko D'

f "

α"

∆z

m'

m"

∆z h"(//x)

f '(//x)

h '

D"

Do

C"

K'

m" f" m' h'

α'

B"

2'

C'

1'

A"

d //AC e //AB

β(d ∩ e)


57

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки K до заданной плоско-сти α(∆ABC) определяется величиной перпен-дикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м :

1-е действие. Провести в плоскости фрон-таль f(f",f') и горизонталь h(h",h').

2-е действие. Провести через заданную точ-ку K(K",K') проекции перпендикуляра m(m",m') к плоскости ABC:

– m" перпендикулярно f" (m" f"); – m' перпендикулярно h' (m' h').

3-е действие. Построить точку пересечения O(O",O') перпендикуляра m с заданной плоскостью общего положения ABC, выполнив промежуточный графический алгоритм:

1. Заключить прямую m во вспомогательную горизонтально-проеци-рующую плоскость β(βH).

2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плос-кости α(∆ABC) со вспомогательной плоскостью β:

– 3'-4' – определяется на следе βH; – 3"-4" – строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам AC и AB

треугольника ABC; 3. Определить проекции искомой точки пересечения O(O",O') на пере-

сечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра m.

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка KO способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки K до плоскости ABC.

Т р е т ь я г р у п п а з а д а ч требует по условию построения не-которой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), пер-пендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плос-кость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о пер-пендикулярности прямой и плоскости, т. е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся пря-мых уровня – фронтальной (параллельной плоскости проекций V) и гори-зонтальной (параллельной плоскости H), что соответствует теореме о про-екции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогатель-ной перпендикулярной плоскостью.

Рис. 5.2

4'

O'

1'

K" B"

βH

m'

B'

K'

2'

f"

h'

f '

C'

C"

A'

3'

3"

m"

A"

∆z

∆z Ko

1"

2" 4"

h" O"

Н.в.


58

На рис. 5.3 показано решение примерной за-дачи третьей группы: определить расстояние от точки K до прямой общего положения m.

Эта задача относится к третьей группе, по-скольку на чертеже провести перпендикуляр к пря-мой общего положения, по которому определяет-ся расстояние от точки K до заданной прямой m, нельзя (прямой угол в этом случае не проециру-ется прямым). Следовательно, для решения нуж-но построить вспомогательную плоскость β, пер-пендикулярную к заданной прямой, которая бу-дет геометрическим местом всех перпендикуля-ров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить сле-дующий г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м :

1-е действие. Построить троим вспомогательную плоскость β, перпен-дикулярную заданной прямой m, задав ее двумя пересекающимися прямы-ми уровня a и b:

– горизонтальной прямой а: a" // x; a' m'; – фронтальной прямой b: b' // x; b" m". 2-е действие. Построить точку О(O',O") пересечения заданной пря-

мой m со вспомогательной плоскостью β(a∩b) по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего поло-жения (см. рис. 5.3).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек K и O: полу-ченный отрезок общего положения KO(K"O", K'O') и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрез-ка KO способом прямоугольного треугольника (см. рис. 5.3).

Структуризация материала пятой лекции в рассмотренном объеме схе-матически представлена на рис. 5.4 (лист 1). На последующем листе 2 ком-пактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 5.5).

Рис. 5.3

m' a'

b"

Н.в. КО

2"

1" O"

K"

αV

Ko

β"

∆y

1'

2'

O'

K'

∆y β'

a"(//x)

b" m" a' m'

β(a ∩ b) m

b'(//x)

m"


59

Ëèñò 1

Рис. 5.4

(h f) t.

U

Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü

Ðèñ. 5.5, ã

Ðèñ. 5.5, â

Ðèñ. 5.5, à

Ðèñ. 5.5, á


60

Ëèñò 2Рис. 5.5

T

T

m"f"

h" В" С"

А" D"

Е"

n"

А В f

D

С

m

h

Е

n

Перпендикулярность плоскостей3 тип задач

f"( E"F")

1"

h" х

Е"

2" А"

В"

F"

С"

D"

Е

1В

2

А

F С

D

f' х

х

h

h"( E'F')

Рис. 8.2

2 тип задач

В"

f"

1"h"

А"

С"

25мм

Оо"

2о"

у

2"

О"

m"НвС2

А

h

1

f

В С

О

R10

у

2

Рис. 8.1

1 тип задач

Кz

Ео

3h

СО

4

В1

2

f

А

D"

3"2"А"

1"

К"В"

f"

4"

О"

т"

С"

Нат. вел. ЕО

D

m

h

h"

m

à á

â ã


61

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относи-тельно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических эле-ментов в условиях задач к частным положениям. Рассмотрим эти способы.

Сп о с о б з а м е н ы ( п е р е м е н ы ) п л о с к о с т е й п р о е к ц и й Способ замены плоскостей проекций дает возможность изменить общие

положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций H или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа: – положение предмета в пространстве н е м е н я е т с я , а изменяется

положение плоскостей проекций относительно этого предмета так, чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное поло-жение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;

– проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа – методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраня-ется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоско-стей проекций.

На рис. 6.1 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка АВ(A"1B"1) на дополнительную плоскость проекций V1.

Образована дополнитель-ная система перпендикулярных плоскостей проекций H/V1 c но-вой осью проекций x1. Обрати-те внимание, что к о о р д и н а -т ы z фронтальных проекций A"1 и B"1 конечных точек от-резка на дополнительной плос-кости V1 равны координатам z фронтальных проекций А" и В" точек в заданной системе x-V/H. Для получения чертежа дополнительную плоскость V1 поворачивают вокруг новой оси проекций x1 до совмещения с плоскостью проекций H.

На рис. 6.2 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования от-резка АВ общего положения д в у м я последовательными з а м е н а -м и плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

Рис. 6.1

B"

A" A1" B1"

A'

B'

O

y

z

x1

V1

H

x V

H

V1

H

V

V1

zA

zB

zB zA

zB

A B


62

I з а м е н а. 1-е действие. Введена первая до-

полнительная система x1-H/V1(V1H), ось проекций X1 которой располо-жена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в до-полнительной плоскости проекций V1 фронтальная проекция A"1B"1 отрез-ка АВ:

– проведены линии связи от го-ризонтальных A' и B' проекций ко-нечных точек отрезка, перпендику-лярные оси проекций Х1;

– от оси проекций x1 отложены координаты z, равные координатам z фронтальных A" и B" проекций точек А и В в заданной системе x-V/H.

II з а м е н а. 3-е действие. Введена вторая дополнительная система x2-V1 / H1 (H1V1),

ось проекций x2 которой расположена произвольно на поле чертежа. 4-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций H1

горизонтальная проекция A'1 B'1 отрезка АВ: – проведены линии связи от построенных в первой дополнительной

системе фронтальных проекций точек A"1 и B"1, перпендикулярные оси проекций x2;

– от оси проекций x2 отложены координаты y, в з я т ы е и з п р е -д ы д у щ е й системы x1-H/V1: от оси x1 до горизонтальных A' и B' проек-ций точек А и В.

Поскольку на рис. 6.2 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в пер-вой и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоско-сти общего положения в прямую или плос-кость частного положения рассмотрим ч е -т ы р е о с н о в н ы е з а д а ч и преобразова-ния способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические дей-ствия для решения различных задач.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 6.3 показано преобразование пря-мой общего положения АВ во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выпол-нен следующий графический алгоритм: Рис. 6.3

x1

H

V1

AB – общего положения

1-я задача


x1 // A'B' AB // V1

z

x V

H

φH

A1"

B1"

B"

A"

B' A'

φH

z

Рис. 6.2

x V

H

x1

H

V1 V1

H1

x2

B"

z

A"

B'

A'

B1" A1"

A2'

B2'

y

y

z


63

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций x1-H/V1, расположив ось проекций x1 п а р а л л е л ь н о горизонтальной проекции A'B' отрезка АВ.

2-е действие. Построить фронтальную проекцию A"1B"1 отрезка в до-полнительной плоскости V1 по координатам z, взятым из предыдущей си-стемы x-V/H.

В результате преобразования отрезок AB в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости про-екций V1, т. е. преобразовался во фронталь-ную прямую уровня. Следовательно, построе-ны также натуральная величина отрезка и угол его наклона φH к плоскости проекций H.

На рис. 6.4 показано преобразование пря-мой общего положения AB в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций x1-V/H1 (x1// A"B") и выполнены аналогичные графические действия.

Задача 2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую. На рис. 6.5 показано преобразование

фронтальной прямой CD в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения зада-чи выполнен следующий графический ал-горитм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций x1-V/H1, рас-положив ось проекций x1 п е р п е н д и к у -л я р н о фронтальной проекции C"D" от-резка CD.

2-е действие. Построить горизонталь-ные совпадающие проекции C'1 и D'1 точек C и D отрезка в дополнительной плоскости проекций H1 по координатам y, взятым из предыдущей системы x-V/H.

В результате преобразования горизон-тальный отрезок CD в дополнительной сис-теме занял положение, перпендикулярное до-полнительной плоскости проекций H1, т. е. преобразовался в горизонтально-проецирую-щую прямую.

На рис. 6.6 показано преобразование горизонтальной прямой уровня CD во фрон-тально-проецирующую прямую. Для реше-

Рис. 6.4

x1 H1

V

x1//A"B" A1'B1'//H1

y

A"

A1'

1-я задача

B'

A'


x V H

B1'

y

φH

B"

AB – общего положения

x1C"D"

2-я задача

φH

y

y

H

x V

D"

C' D'

C"

C1' ≡ D1'

x1

H1 V

CD – фронтальная прямая (//V)

Натуральная величина CDH1

Рис. 6.5

Рис. 6.6

x1C'D'

D" C"

C' D' C1"≡D1"

z

z

V x

H

x1

V1 H

CD – горизонтальная прямая (//H)

2-я задача

CD V1


64

ния задачи введена дополнительная система плос-костей проекций x1-H/V1 (x1C'D') и выполнены аналогичные графические действия.

Задача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирую-щих плоскостей, перпендикулярных V или Н, од-на из линий уровня – или фронталь, или горизон-таль – является проецирующей прямой.

На рис. 6.7 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости α(ABC), горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости f(f",f') занимает положение горизонталь-но-проецирующей прямой, то есть она перпенди-кулярна плоскости проекций Н (горизонтальная проекция f (f') вырождается в точку).

На рис. 6.8 показано, что у фронтально-про-ецирующей плоскости β(CDE), фронтальная про-екция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости h(h",h') занимает положение фронталь-но-проецирующей прямой, то есть она перпендику-лярна фронтальной плоскости проекций V (ее фронтальная проекция h(h") вырождается в точку).

На рис. 6.9 показано преобразование плоско-сти общего положения во фронтально-проецирую-щую плоскость. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости α(ABC) проекции го-ризонтали h(h",h').

2-е действие. Ввести допол-нительную систему плоскостей X1-H/V1, расположив ось проек-ций x1 перпендикулярно горизон-тальной проекции h' горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в до-полнительной плоскости проек-ций V1 фронтальную проекцию A1"B1"C1" плоскости ABC по ко-ординатам z, взятым из преды-дущей системы x-V/H, (проекция плоскости выродилась в прямую).

Рис. 6.7

B'

f"

A'

C' f'

h'

αH

C"

h" A"

B"

α(ABC)H

fα(ABC) fH

f – горизонтально-проецирующая прямая

x

Рис. 6.8

β(CDE)V

hβ(CDE) h V

h – фронтально-проецирующая прямая

C"

f '

βV

h"

E" D"

D'

E'

C'

h'

x f"

Рис. 6.9

α(ABC) – плоскость общего положения

В системе x1-H/V1 плоскость

α(ABC) V1 – фронтально-проецирующая

3-я задача

z

1"

H

x

A"

B"

C" h"

h' 1'

A' C'

B'

C1"Ξ11"

A1"

φH

V1Hx1

B1"

z

V

x1 h'

V1


65

В результате преобразования плос-кость общего положения α(ABC) в до-полнительной системе заняла положе-ние, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций V1, т. е. преоб-разовалась во фронтально-проецирую-щую. Следовательно, построен также угол наклона φH плоскости ABC к плоскости проекций H.

На рис. 6.10 показано преобразо-вание плоскости общего положения α(ABC) в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плос-кости проведены проекции фронтали f(f",f'). Введена дополнительная система плоскостей x1-V/H1, ось x1 которой пер-пендикулярна фронтальной проекции f" фронтали плоскости, и выполнены ана-логичные графические действия.

Задача 4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня. На рис. 6.11 показано преобразование фронтально-проецирующей

плоскости β(CDE) в горизонтальную плоскость уровня. Для решения за-дачи выполнен следующий графический алгоритм.

1-е действие. Ввести дополнитель-ную систему плоскостей проекций x1-V/H1, расположив ось проекций x1 параллель-но вырожденной фронтальной проекции C"D"E" плоскости CDE.

2-е действие. Построить горизонталь-ную проекцию C'1D'1E'1 в дополнитель-ной плоскости H1 по координатам y, взя-тым из предыдущей системы x-V/H.

В результате преобразования фрон-тально-проецирующая плоскость β(CDE) в дополнительной системе заняла поло-жение, параллельное дополнительной плоскости проекций H1, т. е. преобра-зовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена нату-ральная величина этой плоскости.

Рис. 6.10

x1 f"

H1

В системе x1-V/H1 плоскость α(ABC) H1 – горизонтально-

проецирующая

3-я задача

α(ABC) – плоскость общего положения

y

1"

φV

A'

C'

B'

f'

C"

B"

A"

f"

x H

V

H1

V x1

1'

B1'

A1' ≡ 11'

C1'

y

Рис. 6.11

x1//C"D"E"

4-я задача

D"

Vx H

H1

Vx1

C"

E"

C'E'

D'

C1'

D1'

E1'

y

y

φH

В системе x1-V/H1 плоскость β(CDE)//H1 – горизонтальная

β(CDE) V – фронтально-проецирующая плоскость



66

На рис. 6.12 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости β(CDE) во фронтальную плоскость уров-ня. Для решения задачи введена дополни-тельная система x1-H/V1 и выполнены ана-логичные графические действия.

Способ вр ащения вокру г про -е ц и р ующей о с и (фронтально-проеци-рующей или горизонтально-проецирующей прямой).

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относитель-но плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, и з м е н я я его поло-жение в пространстве так, чтобы предмет занял ч а с т -н о е положе-

ние относительно тех же плоскостей проек-ций, т. е. стал перпендикулярным (проецирую-щим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций H или V.

На рис. 6.13 показана наглядная картина способа на примере вращения точки B вокруг фронтально-проецирующей оси i.

Точка B перемещается в положение B1, вращаясь по окружности n вокруг фронталь-но-проецирующей оси i в некоторой плоскости α, перпендикулярной плоскости проекций H.

На плоскость проекций Н эта окружность про-ецируется в п р ям ую л и н ию n(n'), перпендику-лярную оси вращения i(i').

На плоскость проекций V окружность n вра-щения точки B проецируется в окружность n" с центром в точке i(i"), которая является вырож-денной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения i.

На рис. 6.14 и 6.15 показаны примеры приме-нения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка AB общего положения.

На чертеже натуральную величину имеют пря-мые уровня, параллельные плоскости проекций H или V (профильную прямую не рассматриваем).

Рис. 6.13

n' i'

Ось вращения i V

αH

i"

B" B1"

α B1

B

V

Hi

i' B'

n

n"

B1'

x

Рис. 6.14

V

i V

i'

x

B"

Bо" A" i"

A'

B' Bо'


A"Bо" // H

H

Рис. 6.12

В системе x1-H/V1 плоскость β(CDE)//V1 – фронтальная

β(CDE)H – горизонтально-проецирующая плоскость


V x

H H

V1

x1

D"

C"

E"

C' E'

C1"

D1"

E1"

z

z

φV D'

4-я задача

x1//C'E'D'


67

Характерный признак прямых уровня на чертеже – одна из проекций па-раллельна оси проекций x: горизонтальная проекция для фронтальной пря-мой и фронтальная проекция – для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок AB общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так, чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций H или V.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм: 1-е действие. Выбрать ось вращения i, проходящую через любую ко-

нечную точку отрезка (на рис. 6.14 фронтально-проецирующая ось враще-ния проведена через точку А(A",A')), и обозначить ее проекции i(i",i') на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки B(В") вокруг оси i(i") по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проек-ция отрезка AB(A"B") заняла горизонтальное положение A"Bо", параллель-ное оси проекций x.

3-е действие. Построить натуральную проекцию A'Bо' отрезка АВ, пе-реместив горизонтальную проекцию точки В перпендикулярно горизон-тальной проекции оси вращения i(i') (параллельно оси проекций x) до пере-сечения с вертикальной линией связи от точки Bо".

В результате преобразования отрезок АВ за-нял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка A при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вра-щения i.

На рис. 6.15 показано построение натураль-ной величины отрезка общего положения AB вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (от-резок АВ занял положение фронтальной прямой уровня).

П л о с к о п а р а л л е л ь н о е п е р е м е щ е н и е Частный случай способа вращения вокруг проецирующей оси – вра-

щение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называ-ют способом п л о с к о п а р а л л е л ь н о г о п е р е м е щ е н и я. Спо-соб удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета п е р е м е щ а ю т и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 6.16 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопарал-лельного перемещения.

Для решения задачи плоскость АВС должна занять положение плос-кости уровня – или фронтальной (//V) или горизонтальной (//H). Следова-тельно, плоскость нужно вращать и одновременно п е р е м е щ а т ь по

Рис. 6.15


iH

Vx H

i"

B"

Aо"

B' i'Aо'

A'

A"

Aо'B' // V


68

полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить сле-дующий графический алгоритм.

П е р в о е п е р е м е щ е н и е . Плоскость общего положения α(АВС) вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирую-щей оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выпол-нив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь h(h',h"). 2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию A'B'C' треуголь-

ника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (на-пример, проходящей через точку B') и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь h плоскости заняла поло-жение фронтально-проецирующей прямой, то есть h1' должна расположить-ся перпендикулярно оси x. Повернутую проекцию треугольника A1'B1'C1'

относительно проек-ции горизонтали h1' построить с помощью дуговых засечек, на пе-ресечении которых оп-ределяются вершины.

3-е действие. По-строить фронтальную проекцию A1"B1"C1" треугольника, пере-местив заданные фронтальные A"B"C" проекции вершин тре-угольника параллель-но оси проекций x до

пересечения с вертикальными линиями связи от точек A1', B1' и C1' повер-нутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, то есть тре-угольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

В т о р о е п е р е м е щ е н и е . Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобра-зовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия:

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию A1"B1"C1" треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку A1", и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась парал-лельно оси проекций x: проекция A2" B2" C2" // оси x.

5-е действие. Построить новую горизонтальную проекцию A2'B2'C2' треугольника, переместив горизонтальные проекции A1', B1' и C1' вершин треугольника параллельно оси проекций x до пересечения вертикальными

Рис. 6.16

A1'

11'

B1"

A1"

C1"

x

h 1'

B1'

C2'

B2'

φH

B2"C2"

A"

h'

B'

C'

h"

1' A'

1"

A2"

C"

B"

C1'

A2'


H

V

α(ABC)H

α(ABC)//H


69

линиями связи от фронтальных проекций A2", B2" и C2" вершин; построен-ная горизонтальная проекция A2'B2'C2' треугольника и есть его натураль-ная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразо-вался в горизонтальную плоскость уровня.

С п о с о б в р а щ е н и я в о к р у г п р я м о й у р о в н я – гори-зонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций враще-нием вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проек-ций V (или H).

На рис. 6.17 показана наглядная кар-тина вращения плоскости общего поло-жения α(АВС) вокруг горизонтальной пря-мой. Пусть сторона AB треугольника АВС лежит в плоскости γ, параллельной плос-кости проекций H, и является горизон-тальной прямой h, вокруг которой и бу-дет повернута плоскость ABC.

Поскольку вершины A и B треуголь-ника лежат на оси вращения h и, следо-вательно, неподвижны, то требуется по-вернуть вокруг прямой уровня h только вершину C так, чтобы она совместилась с плоскостью γ. Вершина C вращается вокруг горизонтальной прямой h (сторо-ны АВ) в плоскости β, перпендикулярной оси вращения h.

После поворота треугольник ABCо лежит в плоскости γ и, следовательно, параллелен плоскости H. Точка C имеет радиус вращения Rc и на плоскость γ этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций H. На горизонтальной про-екции видно, что натуральную величину A'B'C'о треугольника ABC определяет натуральная ве-личина радиуса вращения Rc точки C.

На рис. 6.18 показано построение на чер-теже натуральной величины плоскости α(АВС) способом вращения вокруг горизонтальной пря-мой уровня h. В этом случае выполняется вра-щение горизонтальной проекции A'B'C' тре-угольника, то есть вращение выполняется от-

Рис. 6.17

C

γ

h' RC'

α(АВС) – плоскость общего положения

Натуральная величина RC


величина ABC

βH

B

RC

A'C'

Натуральная величина RC

Cо'

H

A

Cо

B'

β

β h

OC'

OC h

γ//H

Рис. 6.18

Натуральная величина ABC

Дано: α( ABC) – плоскость общего положения

Натуральная величина Rc

βH1

βH2

Rc"

Rc'

1' A'

1"

OC"≡i"

O'c

h"

h'

B"

A"

C"

Cо"

C' Co'

B'

Bо

Cо

i' Репозиторий БНТУ

70

носительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. В заданной плоскости ABC провести проекции горизон-тали h(h",h'), которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей βH1 и βH2 перпендикуляр- но h', в которых будут вращаться вершины B(B') и C(C') вокруг оси вра-щения h'; точка A(A') будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка COc(C'Oc',C"Oc"), то есть радиуса Rc вращения точки C вокруг горизонтали h(h') и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вра-щения Rc(R"c,Rc'); в примере натуральная величина Rc построена способом вращения отрезка общего положения OCc вокруг фронтально-проецирую-щей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки Oc(Oc") (по аналогии с построениями на рис. 6.14).

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения Rc=Oc'Co' повернуть и расположить на следе плоскости βH1, в которой вра-щается точка С(C') треугольника, построив вершину Co в повернутом по-ложении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника A'BoBo, определив повернутую проекцию Bo вершины B(B') на пересечении следа плоскости вращения βH2 с прямой, проходящей через точки Co и 1(1'), то есть натуральную величину радиуса вращения для точки B определять нет необходимости – ее повернутое положение Bo определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция A'BoCo треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций H и, следо-вательно, определяет его натуральную величину.

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости ABC вра-щением вокруг фронтальной прямой уровня f(f",f') выполняется аналогич-

ными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию A"B"C" треугольника, так как ось враще-ния f параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоско-сти уровня, которая определяет его нату-ральную величину (рис. 6.19).

Структуризация материала шестой лекции в рассмотренном объеме схемати-чески представлена на рис. 6.20 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления изученного ма-териала при повторении (рис. 6.21 и 6.22). Рис. 6.19

Натуральная величина ABC

Дано: α( ABC) – плоскость общего положения

Натуральная величина RB

βv1

βv2

RB"

1' A'

1" f"

f'

B"

A"

C"

C'

B'

Bо

Cо

OB"

OB'≡i'

i"


71

Ëèñò 1

Рис. 6.20

Ïðåîáðàçîâàíèå

Ðèñ. 6.22, ã

Ðèñ. 6.22, ä, å

Ðèñ. 6.22, ã

Ðèñ. 6.22, à

Ðèñ. 6.22, â

Ðèñ. 6.21, ä, å

Ðèñ. 6.21, ã, å

Ðèñ. 6.21, á, â

Ðèñ. 6.21, à, â

Ðèñ. 6.22, á


72

Ëèñò 2

Рис. 6.21

Ôí

Íàòóðàëüíàÿâåëè÷èíà

A"

B"

A'

B'HV

X

HV1X1 A1"

B1"

1 çàäà÷à

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ: ïðÿìàÿôðîíòàëüíàÿ ( V1)

7.1. Çàìåíà ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé

Íàò.âåë.

Ôðîíòàëüíàÿïðÿìàÿ

Ãîðèçîíò.-ïðîåö. ( H1 )

X VH

C"

C'

D"

D'

V X1

H1

C1' D1'

2 çàäà÷à

Ðèñ. 7.2

XV

H

H

V1 X1

E"

F"

E'

F'E1"

F1"

E1' F1'X2

V1

H1 H1Ãîðèçîíò.-ïðîåö. ( )

1 è 2 çàäà÷è

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ: ïðÿìàÿãîðèçîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùàÿ ( H1)

XV

H

H

V1X1

A"

B"

A'

C'

1" h"

C"

C1"

B'B1'

A1'

Ôí

Äàíà: ( ABC)-ïëîñêîñòüîáùåãî ïîëîæåíèÿ

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ:( A",B",C",) V1 - ïëîñêîñòü

ãîðèçîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùàÿ

Ðèñ. 7.3

3 çàäà÷à

D"

C"

E"

XVH E'

C'

D'

HX1 V1

C1"

E1"

D1"

V1

4 çàäà÷à

Äàíà: ( CDE) H

Ðèñ. 7.4

C1"

C1'

A1"

B1"

A1'

B1'

X1

H1 VX2

V1

H1

B"

A" 1"

C"

A'

C'

1'

B'

f"

XVH

f"

Íàò.âåë.

V

H1

3 è 4 çàäà÷è

4 Çàäà÷à

3 Çàäà÷à

Ðèñ 7 3 + Ðèñ 7 4

Ðèñ. 7.1 + 7.2

X1 A'B'

X1 C"D"

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ: ïðÿìàÿãîðèçîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùàÿ ( )

Çàäà÷à 1(E1"F1" V1)

Çàäà÷à 2(EF H 1)

Äàíà: AB - ïðÿìàÿîáùåãî ïîëîæåíèÿ

H1

Äàíà: CD V

zB

zB yD

yD zF

zF

y

Ðèñ. 7.1

zB

zBÍàòóðàëüíàÿ

âåëè÷èíà

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ:( E",D",C")//V1 - ôðîíòàëüíàÿ

ïëîñêîñòü

Äàíà: ( ABC)-ïëîñêîñòüîáùåãî ïîëîæåíèÿ

X1 C'D'

1'

h'

X1 h'

//

//

// //

//

//

//

//

Çàìåíà ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé

à á â

ã

ä

å


73

Ëèñò 3

Рис. 6.22

//

//

//

//

//

//

X//

h1'

h

Z

Râ'

X//

Òåìà 7 Ëèñò 3

Íàò.âåë.

i'B" B0"

A"

A' i'

B'

B0' V

ÎñüâðàùåíèÿC H

1 çàäà÷à

Ðèñ. 7.5

Ïîñòðîèòü íàòóðàëüíóþâåëè÷èíó ïðÿìîé ÀÂ

C"

1"f

E"

D' i'

E0"

C0" 10"

E0'

D' f'

i'C0'

C'

f'

E' f"( H)

i V

2 çàäà÷à

Ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå ïåðåìåùåíèå

Ðèñ. 7.6

Íàò. âåë.

C0'i'

C'

D'A'

B0' B"

A" D" i"

B"

B0"C0"

C"

H

v

H

V

3 çàäà÷à

Ðèñ. 7.7

D"

h" 1" E"

C"

C'

X

h' 1'

D'

E' i1'

C1D1E1 V D1"

h1" E1"h V

C2" C1"

E1'

h1' X

C1'11'

D1'

C2"D2"

H

E2"

C2'E2'D2' H

C2"

D2"

1 ïåðåìåùåíèå 2 ïåðåìåùåíèå

Ïðåîáðàçîâàòü ïëîñêîñòü îáùåãîïîëîæåíèÿ (CDE) â ãîðèçîíòàëüííóþ

ïëîñêîñòü óðîâíÿ

Ðèñ. 7.8

B"

D"1' h"

C"

A'B

C"

h'

CB'

B0'O'

Râ'

RÂ

Z

Íàò.âåë.

Íàò.âåë.

A"

7.3 Âðàùåíèå âîêðóã ëèíèè óðîâíÿ

1 çàäà÷à

Íàòâåë. R

Íàò âåë

B0'f' 1'

B0' i'

ABC

B'

A'

A"

C

0"

RÂ"C"RÂ

B0"v

B"

f" 1"

Ðèñ 7 9

X

Ïðåîáðàçîâàòü ïëîñêîñòü ( CDE) âãîðèçîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùóþ ïëîñêîñòü

Ïðåîáðàçîâàòü ôðîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùóþ ïëîñêîñòü( V) â ãîðèçîíòàëüíóþ ïîëîñêîñòü óðîâíÿ

E2

Íàò. âåë

Râ"

ABC

Ïîñòðîèòü íàòóð. âåë.ÀÂÑ âðàùåíèåì:

à. âîêðóããîðèçîíòà h(h')

á. âîêðóãôðîíòàëè f(f")

Â

Âðàùåíèå âîêðóã ïðîåöèðóþùåé ïðÿìîé

à á â

ã

ä å

Ïëîñêîïàðàëëåëüíîå ïåðåìåùåíèå

Âðàùåíèå âîêðóã ëèíèè óðîâíÿ


74

Лекция 7 ПОВЕРХНОСТИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ГРАННЫХ И КРИВЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

МНОГОГРАННИКИ

Г е о м е т р и ч е с к и е т е л а – п р и з м а и п и р а м и д а Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которо-

го ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т. д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность. На чертеже многогранник задают проекция-ми его граней и ребер (ребро – линия пересечения граней).

Рассмотрим п р и з м у и п и р а м и д у – геометрические много-гранники (тела), которые часто применяются при формообразовании раз-личных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой мно-гоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четырехугольной и т. д. Такое название более соответствует изображению этих многогранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответ-ствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боковые грани и параллельные ребра. Призму называют п р а в и л ь н о й , если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в ок-ружность. Призму называют п р я м о й , если ее ребра перпендикулярны основанию, и н а к л о н н о й , если ребра не перпендикулярны основанию.

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, объединяющую все ее ребра. Пирамиду называют п р а в и л ь н о й , если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окруж-ность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (то есть пирамида прямая).

Пирамида может быть н а к л о н н о й , если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и назы-вается у с е ч е н н о й .

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р я м о й п р а в и л ь н о й п р и з м ы На рис. 7.1 показан пример построения проекций (очерков) прямой

правильной призмы высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность заданного диаметра; основания призмы параллельны горизон-тальной плоскости проекций Н.

Для построения проекций призмы требуется выполнить графоанали-тические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию призмы по задан-ному основанию, которая представляет собой треугольник с обозначенны-ми вершинами А', В' и С', вписанный в окружность заданного диаметра Ø.


75

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции призмы:

2.1. Плоскость тре-угольника A'B'C' – это го-ризонтальные натуральные проекции совпадающих параллельных оснований призмы, которые являют-ся горизонтальными плос-костями уровня (//H).

2.2. Боковые стороны A'B', B'C' и C'A' треуголь-ника A'B'C' – это горизон-тальные проекции боковых граней призмы, которые спроецировались (выроди-лись) в отрезки прямых ли-ний, так как:

– задняя грань АВ – фронтальная плоскость (//V); – передние грани ВС и СА – горизонтально-проецирующие плоскости

( H). 2.3. Вершины А', В' и С' треугольника А'В'С' – это горизонтальные

проекции ребер, которые спроецировались (выродились) в точки, так как являются горизонтально-проецирующими прямыми ( H).

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) призмы, ко-торая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

– по заданной высоте h горизонтальными отрезками A"B"C"– проек-циями оснований (//H);

– слева – проекцией A" ребра А, построенного по вертикальной линии связи;

– справа – проекцией B" ребра B; – фронтальная проекция C" ребра C – вертикальный отрезок, совпа-

дающий с осью симметрии фронтальной проекции призмы. 4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронталь-

ной проекции призмы: 4.1. Прямоугольники A"C"C"A" и C"B"B"C" – искаженные проекции

передних видимых боковых граней призмы. 4.2. Прямоугольник A"B"B"A" – натуральная величина невидимой зад-

ней грани призмы. 5-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) призмы: 5.1. Задать на горизонтальной проекции призмы положение базовой

линии, проходящей через заднюю грань АВ(А'В'), относительно которой,

Рис. 7.1

E

A C

C

V

H

G (K)

D

A

B

W

B Грани AC и BC H

Н

W

h

A" C" B"

A' B'

C'≡E'

A'"≡B'" C"' EC

DA D" G"

Основания

K"

х

б.о.

y y G

y K

y C

б.о

. y

yC

yC

yG

(K"')

G"' D"'

E"'

z

Грань AB//V

Ребра A, B и C H

y

E"

K'

Ø

G'

V

A" B" C" C"' A'"≡B'"


76

как от базы отсчета (б.о.), можно определить координату y для любой точ-ки на поверхности призмы.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать поло-жение базовой оси z, относительно которой, как от базы отсчета (б.о.), можно построить по координатам y профильные проекции любой точки на поверхности призмы.

5.3. Профильная проекция призмы представляет собой прямоуголь-ник, ограниченный:

– по высоте H горизонтальными отрезками – проекциями оснований; – слева – вертикальным отрезком совпадающих проекций A"' и B"' ре-

бер A и B, расположенным на выбранной базовой оси z; – справа – вертикальной линией С"' ребра C, построенного по коорди-

нате yc. 6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-

ной проекции призмы. 6.1. Совпадающие прямоугольники A'"C'"C'"B'" и B'"C'"C'"B'" – иска-

женные проекции передних боковых граней призмы AC и BC. 6.2. Отрезок A'"-A'" (B'"-B'") слева – вырожденная проекция задней гра-

ни призмы AB.

П о с т р о е н и е г о р и з о н т а л ь н ы х и п р о ф и л ь н ы х п р о -е к ц и й т о ч е к , л е ж а щ и х н а п о в е р х н о с т и п р и з м ы

Принадлежность точек поверхности призмы определяется их принад-лежностью ребрам и граням этой призмы.

На рис. 7.1 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек D, E, G и K, лежащих на боковой поверхности призмы и заданных фронтальными проекциями:

– горизонтальные проекции D' и F' точек D и F, лежащих на ребрах A и C совпадают с горизонтальными проекциями этих ребер – точками А(А') и С(С');

– горизонтальные проекции G' и K' точек G и K, лежащих на гранях АС и ВС, определяются соответственно на сторонах A' C' и B'C' треуголь-ника A'B'C', которые являются вырожденными проекциями этих граней;

– профильные проекции точек D и E построены по их принадлежно-сти ребрам призмы A и С: D"' лежит на A"'; E"' лежит на C"';

– профильные проекции точек G и K построены по координатам "y": G"' – определяется координатой yG; K"' – определяется координатой yK и на профильной проекции невидима, поскольку лежит на невидимой грани BC (взята в скобки).

!!! Запомните характерные признаки очерков призмы на чертеже – д в а п р я м о у г о л ь н и к а и м н о г о у г о л ь н и к о с н о в а н и я .

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р а в и л ь н о й п и р а м и д ы На рис. 7.2 показан пример построения проекций правильной пирами-

ды высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность за-


77

данного диаметра Ø; осно-вание пирамиды параллель-но горизонтальной плоско-сти проекций Н.

Для построения проек-ций пирамиды требуется вы-полнить графоаналитические действия в следующем по-рядке:

1-е действие. Постро-ить горизонтальную проек-цию пирамиды по заданно-му основанию, которая пред-ставляет собой треугольник, вписанный в окружность за-данного диаметра Ø, с обо-значенными вершинами А', В' и С'; горизонтальная про-екция S' вершины пирами-ды совпадает с центром этой окружности; ребра пирами-ды – видимые отрезки S'A', S'B' и S'C', соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции пирамиды:

2.1. Плоскость треугольника А'В'С' – горизонтальная невидимая нату-ральная проекция основания пирамиды, которая является горизонтальной плоскостью уровня (//H).

2.2. Треугольники A'S'C', A'S'B' и B'S'C' – горизонтальные искажен-ные проекции боковых граней пирамиды.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию пирамиды, которая представляет собой треугольник, ограниченный:

– снизу – горизонтальным отрезком A"B" – проекцией основания пи-рамиды (//H);

– по заданной высоте пирамиды Н – вершиной S(S"); – слева – проекцией ребра SA(S"A") (прямая общего положения); – справа – проекцией ребра SB(S"B") (прямая общего положения). Фронтальная проекция ребра SC(S"C") (профильная прямая) совпада-

ет с осью симметрии фронтальной проекции пирамиды. 4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронталь-

ной проекции пирамиды: 4.1. Треугольники S"A"C" и S"C"B" – искаженные видимые проекции

боковых передних граней пирамиды.

Рис. 7.2


78

4.2. Треугольник S"A"B" – искаженная невидимая проекция задней невидимой грани пирамиды.

5-е действие. Построить профильную проекцию пирамиды: 5.1. Задать на горизонтальной проекции пирамиды базовую линию на

стороне А'В' основания, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), мож-но определить координату y для любой точки на поверхности пирамиды.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать поло-жение базовой оси Z, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), мож-но построить по координатам y профильные проекции любой точки на по-верхности пирамиды.

5.3. Профильная проекция пирамиды представляет собой треугольник с вершинами A"'(≡B"'), S"' и C"':

– точки А и В основания лежат на базовой линии, поэтому их про-фильные A"' и B"' проекции совпадают с выбранной базовой осью Z;

– вершину пирамиды S"' построить по координате Ys на горизонталь-ной линии связи;

– точку основания С"' построить по координате Yc. 6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-

ной проекции пирамиды: 6.1. Совпадающие треугольники S'"A'"C'" (видимый) и S'"B'"C'" (неви-

димый) – искаженные проекции передних боковых граней пирамиды (плос-кости общего положения).

6.2. Отрезок S'"A'"(≡S'"B"') – вырожденная проекция задней грани пи-рамиды (профильно-проецирующая плоскость).

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к , л е ж а щ и х н а п о -в е р х н о с т и п и р а м и д ы

На рис. 7.2 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек M, N, P и K, лежащих на поверхности пирамиды и задан-ных фронтальными проекциями M", N", P" и K".

1. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на поверх-ности пирамиды:

– горизонтальная проекция M' точки М, лежащей на ребре пирами- ды SA, определяется на горизонтальной проекции S'A' этого ребра;

– горизонтальные проекции точек N, P и K построены на вспомога-тельных прямых, проведенных через их заданные фронтальные проекции N", P" и K" параллельно основанию пирамиды.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных про-екций точек, лежащих на гранях пирамиды (на примере заданной точки P(P")), действия которого определяются теоремами о принадлежности точки и пря-мой плоскости.

Графический алгоритм: 1-е действие. Провести через точку P(P") на поверхности пирамиды

вспомогательную линию d(d"), параллельную основанию пирамиды, кото-рая пересекает ребро SA(S"A") по вспомогательной точке 1(1").


79

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию точки 1(1') по ее принадлежности ребру SA(S'A').

3-е действие. Через построенную точку 1(1') провести горизонталь-ную проекцию d(d') вспомогательной линии параллельно стороне A'C' ос-нования пирамиды.

4-е действие. Построить по линии связи горизонтальную проекцию P' точки Р по ее принадлежности вспомогательной линии d(d').

Повторить действия графического алгоритма и построить аналогично горизонтальные проекции N' и K' точек N и K.

Проекции точек на поверхности пирамиды можно строить также с по-мощью вспомогательных прямых, проходящих через ее вершину. Смотри построение проекции точки K(K') с помощью вспомогательной прямой m(m",m') (рис. 7.2).

2. Построение профильных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

– профильные проекции заданных точек M и N построены по их при-надлежности ребрам пирамиды:

– M"' – по принадлежности ребру SA(S"'A"'); – N"' – по принадлежности ребру SC(S"'C"'); – профильные проекции точек Р и К построены по координатам y:

P"' – определяется координатой yP; К"' – определяется координатой yK (на профильной проекции K"" невидима, так как лежит на невидимой грани SBC (взята в скобки).

!!! Запомните характерные признаки очерков пирамиды на чертеже – д в а т р е у г о л ь н и к а и м н о г о у г о л ь н и к о с н о в а н и я . Для усеченной пирамиды – д в е т р а п е ц и и и м н о г о у г о л ь н и к о с -н о в а н и я !

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р и з м ы и п и р а м и д ы с о с р е з а м и п л о с к о с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

Любая плоскость пересекает поверхность призмы и пирамиды по за-мкнутым ломаным линиям, вершины которых лежат в точках пересечения ребер, граней и оснований многогранника с плоскостями срезов.

Следовательно, построение срезов на проекциях гранных поверхно-стей сводится к построению проекций точек, лежащих на поверхности призмы или пирамиды.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р и з м ы со срезами плоскостя-ми частного положения.

На рис. 7.3 показан пример построения проекций прямой правильной треугольной призмы высотой H со срезами, выполненными плоскостями частного положения – фронтально-проецирующей плоскостью α и про-фильной плоскостью β. Для упрощения графических описаний взята приз-ма без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.1), горизонтальная, фрон-тальная и профильная проекции которой уже построены.


80

Для построения проек-ций призмы со срезами сле-дует выполнить предлагае-мый графический алгоритм, определяющий порядок дей-ствий при решении всех по-добных задач:

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чер-тежа горизонтальную, фрон-тальную и профильную про-екции заданной прямой пра-вильной треугольной призмы без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы плоскостями частного положения по заданному ус-ловию: фронтально-проеци-

рующей плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV). 2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции призмы харак-

терные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями и основа-нием призмы:

– точки 1(1") и 2(2") – лежат на ребрах призмы А(A") и С(C"); – совпадающие точки 3(3") и 4(4") – лежат на гранях призмы и опре-

деляют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;

– совпадающие точки 5(5") и 6(6") – лежат на верхнем основании приз-мы и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проеци-рующей линии пересечения плоскости β с верхним основанием призмы.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со среза-ми, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1'-2'-3'-4': – точка 1(1') лежит на ребре А(A'); – точка 2(2') лежит на ребре С(C'); – совпадающие точки 3(3') и 5(5') лежат на передней грани СВ(C'B'); – совпадающие точки 4(4') и 6(6') лежат на задней грани АВ(А'В'). Четырехугольник 1'-2'-3'-4' – искаженная по величине видимая гори-

зонтальная проекция фронтально-проецирующей плоскости среза α. 3.2. Плоскость среза β определяет совпадающие проекции отрезков

5'-6' и 3'-4': – отрезок 5'-6'(3'-4') – горизонтальная, вырожденная в линию, видимая

проекция профильной плоскости среза β (проекция прямоугольника).

Рис. 7.3


81

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник АВС(А'В'С'). 4.2. Внутренний контур определяет видимый отрезок 5'-6'(3'-4'). 5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы, построив про-

екции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Плоскость среза α определяет видимый и искаженный по вели-чине четырехугольник 1"'-2"'-3"'-4"' :

– точка 1(1"') – лежит на ребре А(A"'); – точка 2(2"') – лежит на ребре С(C"'); – точка 3(3"') – построена по координате y3; – точка 4(4"') – лежит на задней грани АВ(А'"В'"), которая спроециро-

валась в прямую. 5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция

прямоугольника 3"'-4"'-6"'-5"': – точки 3(3"') и 4(4"') – уже построены, так как линия пересечения

плоскостей среза 3-4 принадлежит плоскости α и плоскости β; – точка 6(6"') – лежит на задней грани АВ; – точка 5(5"') – построена по координате y5(≡y3). 6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-

ной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура. 6.1. Профильный очерк определяют: – слева – профильная проекция ребра В(B"'), совпадающая с проекци-

ей грани АВ(А"'B"'); – справа – участок C"'2"' ребра С и ломаная линия 2"'-3"'-5"; – снизу – отрезок А"'(B"') – C"' нижнего основания призмы; – сверху – отрезок 5"'-6"' – линия пересечения плоскости β с верхним

основанием призмы (участок основания). 6.2. Внутренний контур определяют видимые отрезки 1"'-2"' и 3"'-4"'. 7-е действие. Оформить чертеж призмы, обведя сплошными толсты-

ми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее про-екции (оставить на чертеже тонкими сплошными линиями очерки проек-ции призмы без срезов и линии построения).

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п и р а м и д ы с о с р е з а м и п л о с -к о с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

На рис. 7.4 показан пример построения проекций правильной тре-угольной пирамиды со срезами, выполненными плоскостями частного по-ложения: фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоско-стью β. Для упрощения графических описаний взята пирамида без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.2), фронтальная, горизонтальная и про-фильная проекции которой уже построены.


82

Для построения проек-ций пирамиды со срезами следует выполнить предла-гаемый графический алго-ритм, определяющий поря-док действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Постро-ить тонкими линиями на по-ле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной правиль-ной треугольной пирамиды без срезов, а затем выпол-нить на ее фронтальной про-екции срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и профильной плоско-стью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точ-ки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями пирамиды:

– точка 1(1") – на ребре SА(S"A"); – точка 2(2") – на ребре SС(S"C"); – совпадающие точки 3(3") и 4(4") – на гранях SАВ(S"A"B") и

SВC(S"B"C") определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;

– точка 5(5") – на ребре SВ(S"B"). 3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со сре-

зами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1-2' -3'-4': – точка 1(1') – на ребре SА(S'A'); – точка 2(2') – на ребре SC(S'C') (построена на вспомогательной ли-

нии m//AC), см. рис. 7.4); – точки 3(3') и 4(4') лежат на гранях пирамиды и построены с помо-

щью вспомогательной линии n //BC; – четырехугольник 1'-2'-3'-4' – горизонтальная, искаженная по вели-

чине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости α. 3.2. Плоскость среза β определяет отрезок 3'-5'-4' – вырожденная

в видимую линию горизонтальная проекция профильной плоскости β: – точка 5(5') – на ребре SВ(S'B'); – точки 3(3') и 4(4') – построены.

Рис. 7.4


83

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внут-реннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник A'B'C' основания пирамиды.

4.2. Внутренний контур определяют: – видимый отрезок A'1' – участок ребра SA; – видимый отрезок B'5' – участок ребра SB; – видимый отрезок C'2' – участок ребра SC; – видимый четырехугольник 1'-2'-3'-4'. 5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив

проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных то-чек и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый четырехугольник 1'"-2"'-3"'-4"':

– точка 1(1"') – лежит на ребре SA(S"'A'"); – точка 2(2"') – лежит на ребре SC(S"'C"'); – точка 3(3"') – построена по координате Y3 ; – точка 4(4"') – лежит на задней грани SAB(S'"A"'B"'), вырожденной

в линию; – четырехугольник 1"'-2"'-3"'-4"' – искаженная по величине видимая

проекция фронтально-проецирующей плоскостью α. 5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция тре-

угольника 3"'-4"'-5"': – точки 3(3"') и 4(4'") – уже построены (отрезок 3-4 – линия пересече-

ния плоскостей среза α и β); – точка 5(5"') – лежит на ребре SB(S"'B"'); – отрезок 3"'-5"'//S"'C"'. 6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-

ной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутрен-него контура.

6.1. Профильный очерк определяют: – слева – отрезок B"'5"' – участок ребра S"'B"'; – справа – отрезок C"'2"' – участок ребра S"'C"' и ломаная линия

2'"-3"'-5"; – снизу – горизонтальная линия проекции основания ABC(A"'B"'C"'). 6.2. Внутренний контур определяют: – видимый отрезок 1"'-2'"; – видимый отрезок 3"'-4'" (линия пересечения плоскостей α и β). 7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив сплошными тол-

стыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (тонкими линиями оставить на чертеже очерки проекции пира-миды без срезов и вспомогательные линии построения).


84

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную враще-нием некоторой линии (о б р а з у ю щ е й поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей по-верхности. Образующей поверхности вращения может быть кривая или пря-мая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая – кривая линия.

На рис. 7.5 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси i. Все точки образующей вращаются вокруг оси i по окружностям со-ответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проеци-руются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизон-тальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некото-рые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

– горло поверхности – параллель наименьшего (минимального) радиуса; – экватор – параллель наибольшего (максимального) радиуса.

Рис. 7.5


85

П р о е к ц и и п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я : – горизонтальная проекция, то есть ее горизонтальный очерк, опреде-

ляется окружностью экватора k(k'); – фронтальная проекция, то есть ее фронтальный очерк, образуется

замкнутой линией главного фронтального меридиана m(m"), полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня α(αH), проходящей через ось вращения i;

– профильная проекция, то есть ее профильный очерк, образуется замк-нутой линией главного профильного меридиана n(n"'), полученного при пе-ресечении этой поверхности профильной плоскостью уровня β(βH), прохо-дящей через ось вращения i.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к н а п о в е р х н о с т и в р а -щ е н и я

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принад-лежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 7.5 показан пример построения невидимой фронтальной про-екции характерной точки B (B';B"-?), лежащей на экваторе k, по ее задан-ной горизонтальной проекции B (B') и построение профильной проекции характерной точки C(C";C"'-?), лежащей на главном профильном мериди-ане "n", по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки A(A"; A"-?; A"'-?), заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхно-сти, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точ-ки A(A") параллель, которая имеет радиус RA.

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом RA.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонталь-ную видимую проекцию точки A(A') по ее принадлежности построенной параллели радиусом RA.

4-е действие. Построить профильную проекцию точки A(A"') на гори-зонтальной линии связи по координате YA (лежит на невидимой части по-верхности, проекция взята в скобки).

В и д и м о с т ь т о ч е к н а п р о е к ц и я х п о в е р х н о с т и в р а -щ е н и я

На рис. 7.5 показаны границы видимости поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций H, V и W.

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими грани-цами, то есть видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть


86

поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плос-кость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис. 7.5 видно, что горизонтальная проекция B' заданной точки B, лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций V. Следовательно, ее фрон-тальная проекция B" лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция B"' точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость W). Поскольку заданная фронтальная про-екция точки C, лежащей на фронтальной проекции n(n") главного про-фильного меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки C(C"') должна лежать на профильной проекции главного меридиана n(n"') справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки С (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость про-екций H будет невидима, так как расположена под экватором. Соответ-ственно профильная проекция точки A(A"') будет невидимой, так как ле-жит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

!!! К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими – цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими – сфера (образующая – окружность), эл-липсоид (образующая – эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (ги-пербола), параболоид (парабола), торовые (окружность). Все перечислен-ные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностя-ми второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовые поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей – образующей и на-правляющей).

Г е о м е т р и ч е с к и е т е л а – ц и л и н д р к о н у с Ц и л и н д р и ч е с к а я п о в е р х н о с т ь в р а щ е н и я – п р я м о й

к р у г о в о й ц и л и н д р Цилиндрическая поверхность вращения – это линейчатая поверх-

ность, образованная параллельным перемещением прямолинейной обра-зующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направ-ляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют п р я м ы м , если ось вращения цилиндра перпен-дикулярна его основаниям.


87

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют п р о е ц и р у ю щ и м , если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

– г о р и з о н т а л ь н о - п р о е ц и р у ю щ и м , если боковая по-верхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ( H);

– ф р о н т а л ь н о - п р о е ц и р у ю щ и м , если боковая поверх-ность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций ( V);

– п р о ф и л ь н о - п р о е ц и р у ю щ и м , если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций ( W).

По с т р о е н и е п р о е к ц и й п р я м о г о к р у г о в о г о ц и л и н д р а На рис. 7.6 показан пример построения проекций прямого кругового

горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты Н с горизон-тальными основаниями заданного радиуса R.

Для построения про-екций цилиндра требуется выполнить графо-аналити-ческие действия в следую-щем порядке.

1-е действие. Постро-ить горизонтальную проек-цию (очерк) цилиндра по заданному условию, кото-рая представляет собой ок-ружность заданного радиу-са R.

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции цилиндра.

2.1. Окружность явля-ется горизонтальной проек-цией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра – горизонтально-проецирующие прямые.

2.2. Круг заданного радиуса R – совпадающие горизонтальные проек-ции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня.

2.3. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образу-ющих цилиндра A(A'), B(B'), C(C') и D(D'), которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

Рис. 7.6


88

– слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерко-выми образующими A(A") и B(B");

– по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые явля-ются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плос-костях уровня;

– фронтальные проекции характерных образующих C(C") и D(D") сов-падают с осью вращения цилиндра i(i").

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра. 4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра поло-

жение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, то есть проходящей через ось вращения i(i').

4.2. Выбрать положение базовой оси z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i"') вращения на профильной проекции цилиндра.

4.3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоуголь-ник, ограниченный:

– слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерковыми образующими C(C"') и D(D"'), построенными по координате yD = yc = R;

– по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые явля-ются проекциями оснований;

– профильные проекции характерных образующих A(A"') и B(B"') сов-падают с осью вращения цилиндра i(i"').

!!! Запомните характерные признаки очерков прямого кругового ци-линдра на чертеже – о к р у ж н о с т ь и д в а п р я м о у г о л ь н и к а .

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к , лежащих на поверхности цилиндра.

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее при-надлежностью образующей этого цилиндра.

На рис. 7.6 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра, по их заданным фронтальным проекциям:

Горизонтальные проекции E', F', G' и K' заданных точек лежат на ок-ружности радиуса R, которая является проекцией его боковой поверхности.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образу-ющим цилиндра:

– точка E(E'") – лежит на характерной образующей A(A"') – видимая; – две точки F(F"') – лежат на характерных образующих D(D"') и C(C"'); – точка G(G"') – построена по координате yG, так как лежит не на ха-

рактерной образующей (видимая); – точка K(K"') – построена по координате yK (невидимая).

Ц и л и н д р и ч е с к и е с е ч е н и я : 1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если

она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость α на рис. 7.7).


89

2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом φ, отличным от прямого (см. плоскость β(βV) на рис. 7.7).

3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности оснований).

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й ц и л и н д р а со срезами плоскостя-ми частного положения.

На рис. 7.7 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра со срезами профильной плоско-стью α и фронтально-проецирующей плоскостью β.

Для построения проекций цилиндра со срезами следует выполнить предлагаемый гра-фический алгоритм, определяю-щий порядок действий при ре-шении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному диаметру и задан-ной высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные по условию срезы профильной плоскостью α(αV) и фронтально-проецирую-щей плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции ха-рактерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основа-ниями цилиндра и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Профильная плоскость α(αV), проекцией которой является верти-кальный отрезок, расположена параллельно оси цилиндра и пересекает его поверхность по прямоугольнику 1-2-2-1(1"-2"-2"-1"):

– точки 1(1") – лежат на нижнем основании цилиндра и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пере-сечения плоскости среза α с основанием цилиндра;

– точки 2(2") – определяют вырожденную в точку проекцию фрон-тально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза α и β.

2.2. Фронтально-проецирующая плоскость β(βV), проекцией которой является наклонный отрезок, расположена к оси цилиндра под углом, от-

Рис. 7.7


90

личным от прямого, и пересекает его поверхность по неполному эллипсу 2-3-4(2"-3"-4"):

– точки 3(3") – лежат на характерных образующих D(D") и C(C"); – точки 4(4") – лежат на верхнем основании и определяют вырожден-

ную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плос-кости среза β с верхним основанием цилиндра.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра со сре-зами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет видимый отрезок 2'-2' вырожден-ной в линию проекции профильной плоскости β, обозначенные точки ко-торой лежат на окружности боковой поверхности цилиндра.

3.2. Плоскость среза β определяет искаженный по величине неполный видимый эллипс 2-3-4(2'-3'-4'), обозначенные точки которого совпадают с окружностью боковой поверхности цилиндра.

!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симмет-рию относительно базовой оси (б.о.), точки обозначены на одной ее поло-вине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контур.

4.1. Горизонтальный очерк определяет часть окружности основания и отрезок 2'-2'.

4.2. Внутренний контур определяется видимым отрезком 4'-4'. 5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра со срезами,

построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозна-ченных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет: – видимая натуральная проекция прямоугольника 1"'-2"'-2"'-1"': – образующие 1-2(1"'-2"') – построены по координате y1= y2; – отрезок 1-1(1"'-2"') – совпадает с проекцией нижнего основания ци-

линдра; – отрезок 2-2(2"'-2"') – профильная проекция линии пересечения плос-

костей срезов α и β. 5.2. Плоскость среза β определяет искаженная по величине видимая

проекция неполного эллипса 2"'-3"'-4'", ограниченная видимыми линиями пересечения плоскостей среза 2"'-2"' (построена) и линией 4"'-4"' пересече-ния плоскости среза β с верхним основанием цилиндра:

– точки 2(2"') – построены; – точки 3(3"') – лежат на характерных образующих C(C"') и D(D"'); – точки 4(4"') – построены по координате y4; – необозначенные промежуточные точки построены по координате y. 6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-

ной проекции цилиндра для определения ее очерка и внутреннего контура.


91

6.1. Профильный очерк определяют: – слева и справа – участки C"'-3"' и D"'-3"' очерковых образующих С

и D и участки 3"'-4"' эллипса; – снизу – проекция нижнего основания цилиндра; – сверху – отрезок 4"'-4"' – профильная проекция линии пересечения

верхнего основания с плоскостью среза β. 6.2. Внутренний контур определяют: – видимые участки эллипса 2"'-3"'; – отрезок 2"'-2"' – видимая линия пересечения плоскостей среза α и β; – видимые участки 1"'-2"' образующих, по которым плоскость среза α

пересекает поверхность цилиндра. 7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив сплошными тол-

стыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура всех про-екций цилиндра (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 7.8 показан частный слу-чай сечения цилиндра фронтально-про-ецирующей плоскостью δ(δV), располо-женной к его оси под углом φ = 45°. В этом случае на профильную проекцию цилиндра эллипс, полученный в сечении, проецируется в виде окружности!

Кони ч е с к а я п о в е р х н о с т ь в р а щ е н и я – п р я м о й к р у г о -в о й к о н у с

Коническая поверхность вращения – это линейчатая поверхность, образован-ная вращением прямолинейной образую-щей, которая пересекает криволинейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической по-верхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его ос-нованию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность. Конус с двумя параллельными основаниями, то есть конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р я м о г о к р у г о в о г о к о н у с а На рис. 7.9 показан пример построения проекций прямого кругового

конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения i, заданной высо-той H и основанием радиусом R.

Рис. 7.8


92

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-анали-тические действия в следующем порядке:

1-е действие. Пост-роить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса по за-данному условию, кото-рая представляет собой окружность заданного ра-диуса R с вершиной S(S'), совпадающей с осью вра-щения i(i').

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции конуса.

2.1. Круг радиуса R является невидимой про-екцией основания конуса.

2.2. Круг радиуса R с вершиной конуса S(S') является видимой проек-цией боковой поверхно-сти конуса.

2.3. Обозначить на горизонтальной проекции характерные образую-щие конуса SA(S'A'), SB(S'B'), SC(S'C') и SD(S'D'), которые будут опре-делять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, ко-торая представляет собой треугольник SAB(S"A"B") заданной высоты H, ограниченный:

– слева и справа проекциями боковых очерковых образующих S"A" и S"B";

– горизонтальным отрезком AB(A"B"), который является проекцией основания конуса;

Фронтальные проекции характерных образующих SC(S"C") и SD(S"D") совпадают с осью конуса i(i").

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса: 4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положе-

ние базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.

4.2. Выбрать положение базовой оси Z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i"') вращения на профильной проекции конуса.

4.3. Профильная проекция конуса представляет собой треугольник SCD(S"'C"'D"'), ограниченный:

Рис. 7.9


93

– слева и справа очерковыми образующими S"'C"' и S"'D"', построен-ными по координате YC=YD=R;

– вершиной S"', лежащей на базовой оси Z; – горизонтальным отрезком – проекцией основания; – профильные проекции характерных образующих SA(S"'A'") и

SB(S'"B'") совпадают с осью вращения конуса i(i"'). !!! Запомните характерные признаки очерков прямого кругового ко-

нуса на чертеже – о к р у ж н о с т ь о с н о в а н и я и д в а т р е у г о л ь -н и к а .

!!! Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного ко-нуса – о к р у ж н о с т ь о с н о в а н и я и д в е р а в н о б о к и е т р а -п е ц и и .

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к , л е ж а щ и х н а п о -в е р х н о с т и к о н у с а

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принад-лежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым парал-лелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Сле-довательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности обра-зующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 7.9 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, заданных фронтальными проекциям E", F", G" и K" по их принадлежности круговым параллелям.

1. Построение горизонтальных проекций заданных точек: – горизонтальная проекция E' характерной точки E, лежащей на ха-

рактерной образующей конуса SA, определяется на горизонтальной про-екции S'A' этой образующей;

– горизонтальные проекции точек F, G и K построены на вспомога-тельных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере за-данной точки F (F")), по их принадлежности круговым параллелям.

Г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м I : 1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной кру-

говой параллели m(m") через заданную фронтальную проекцию точки F(F"): п р о е к ц и я п а р а л л е л и – это прямая, перпендикулярная оси кону-са и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции парал-лели m(m') полученным радиусом RF.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонталь-ную проекцию точки F(F') на горизонтальной проекции параллели m(m').

Повторить действия графического алгоритма I и построить аналогич-но горизонтальные проекции G' и K' точек G и K.


94

Построение профильных проекций заданных точек. Точки E(E"') и F(F"') построены по принадлежности характерным образующим:

– точка E(E"') – лежит на видимой характерной образующей SA(S"'A"'), совпадающей с осью конуса;

– точка F(F"') – лежит на характерной образующей SD(S"'D"'); – точки G(G"') и K(K"') – построены по координатам y: – точка G(G"') – по координате yG (видимая); – точка K(K"') – по координате yK (невидимая). На рис. 7.10 показан пример построения горизонтальной и профильной

проекции точки Р(Р'-?, Р'"-?) по ее принадлежности образующей a(a",a'). Построение горизонтальной проекции точки P(P') по принадлежности

образующей выполняется по г р а ф и ч е с к о м у а л г о р и т м у II: 1-е действие. Провести через вершину конуса S(S") и заданную неви-

димую фронтальную проекцию точки P(P") вспомогательную образую-щую a(a").

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей a(a'), проходящей через вершину конуса S(S') и вспомогательную точку 1(1'), лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки P(P') по ее принадлежности образующей a(a').

Построение профильной проекции невидимой точки P(P"') выполняется по принадлежности образующей a(a'"), построенной по координате ya.

На этом же рисунке 7.10 показано построение фронталь-ной и профильной проекции точки T(T', T"-?, T'"-?) по ее за-данной горизонтальной проек-ции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в о б р а т н ом п о р я д к е :

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции ко-нуса радиусом RT окружность вспомогательной параллели n(n') или вспомогательную об-разующую b(b'), на которых ле-жит горизонтальная проекция точки T(T').

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспо-могательной параллели n(n") или вспомогательной образую-щей b(b"):

Рис. 7.10


95

– параллель n(n") провести через вспомогательную точку 2(2") на об-разующей SA(S"A") параллельно основанию конуса;

– образующую b(b") провести через вспомогательную точку 3(3") на основании конуса и вершину конуса S(S").

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки T(T") по ее принадлежности либо параллели n(n"), либо образующей b(b").

К о н и ч е с к и е с е ч е н и я Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоско-

сти относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму ли-нии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказатель-ства не приводятся).

1-й случай. Если секущая плоскость проходит ч е р е з в е р ш и н у к о н у с а , то эта плоскость пересекает кониче-скую поверхность по д в у м образующим S3 (фронталь-но-проецирующая плоскость α(αV), рис. 7.11).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена п е р п е н д и к у л я р н о о с и к о н у с а , то эта плоскость пересекает коническую по-верхность по о к р у ж н о с т и (горизонтальная плоскость β(βV), рис. 7.11).

3-й случай. Если секущая плоскость расположена п а -р а л л е л ь н о о д н о й образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плос-кость γ(γV) параллельна одной образующей SA, рис. 7.12).

4-й случай. Если секущая плоскость расположена п а р а л л е л ь н о д в у м о б р а з у ю щ и м к о н у с а , то эта плоскость пересекает кониче-скую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость δ(δV) параллельна двум образующим SA и SB, рис. 7.13).

5-й случай. Если плоскость п е р е с е к а е т в с е о б р а з у ю щ и е к о н у с а под углом, отличным от прямого (или иначе не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по э л л и п с у (фронтально-проецирующая плоскость ε(εV), рис. 7.14).

Рис. 7.11


96

Рассмотрим построение на проекциях конуса линий пере-сечения для всех п я т и с л у -ч а е в с е ч е н и й .

1-й и 2-й случаи. На рис. 7.11 показано построение проекций прямого кругового конуса с вы-резом, образованным сечениями конической поверхности фрон-тально-проецирующей плоско-стью α(αV), проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью β(βV), расположенной перпенди-кулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость α пересекает по-верхность конуса по о б р а -з у ю щ и м SE, горизонталь-ные и профильные проекции ко-торых строятся с помощью вспо-могательной точки E, лежащей на основании конуса.

Плоскость β пересекает поверхность конуса по окружности радиу- са Rβ, ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с выре-зом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 7.12 показано построение проекций конуса со сре-зом фронтально-проецирующей плоскостью γ(γV), расположенной парал-лельно одной образующей конуса SA.

Плоскость γ пересекает поверхность конуса по параболе, горизонталь-ная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена).

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности: – точка 1(1',1") – лежит на проекциях характерной образующей

SB(S'B', S"'B"'); – точки 2(2',2") – лежат на проекциях характерных образующих SD

и SC, горизонтальные проекции которых построены с помощью параллели радиусом R2 (алгоритм I);

– точки 3(3',3") – лежат на окружности основания конуса: горизон-тальные проекции этих точек определяются по линии связи на горизон-тальной проекции окружности основания, а их профильные проекции по-строены по координате Y3;

– проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции – по координате Y).

Рис. 7.12


97

Оформление очерков про-екций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 7.13 по-казано построение проекций ко-нуса со срезом фронтальной плоскостью δ(δH), расположен-ной параллельно двум образую-щим конуса SA и SB.

Плоскость δ пересекает по-верхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точ-кам 1, 2 и 3 по их принадлеж-ности параллелям (обратный ал-горитм I), а профильная проек-ция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпа-дает с вырожденной проекцией плоскости среза δ(δW).

Оформление очерков проекций видно из чертежа. На рис. 7.13 на профильной проекции конуса показано положение се-

кущей плоскости δ1(δ1W) под углом φ1 к оси конуса. При φ1 < φ плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й случай. На рис. 7.14 показано построение проекций конуса со сре-зом фронтально-проецирующей плоскостью ε(εV), пересекающей все об-разующие конуса под углом φ к оси, отличным от прямого.

Плоскость ε пересекает по-верхность конуса по эллипсу, го-ризонтальная и профильная про-екции которого построены по проекциям отмеченных харак-терных точек 1, 2, 4 и промежу-точных точек 3, взятых на сере-дине отрезка 1-4, который явля-ется совпадающей проекцией эл-липса и его большой оси. Точ- ки 3 определяют проекции ма-лой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции ко-нуса по радиусу параллели, а на профильной проекции по коор-динате Y3 (алгоритм I).

Рис. 7.14

Рис 7.13


98

Оформление очерков проекций видно из чертежа. !!! Количество взятых промежуточных точек должно быть минималь-

ным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кри-вых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выпол-няют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й п р я м о г о к о н у с а с о с р е -з а м и п л о с к о с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

На рис. 7.15 показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β.

Для построения проек-ций конуса со срезами сле-дует выполнить графический алгоритм, определяющий по-рядок действий при решении всех подобных задач.

Графический алгоритм: 1-е действие. Построить

на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу осно-вания R и высоте H фрон-тальную, горизонтальную и профильную проекции кону-са без срезов, а затем выпол-нить на его фронтальной про-екции заданные срезы фрон- тально-проецирующей плос-костью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точ-ки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(αV) параллельна одной образующей конуса SA(S"A") и пересекает его поверхность по участку па-раболы 1-2-3(1"-2"-3"), которая проецируется в отрезок и ограничена вырож-денной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3(3"-3") плоскостей срезов α и β.

2.2. Профильная плоскость β(βV) параллельна двум образующим ко-нуса SC(S"C") и SD(S"D") и пересекает его поверхность по участку ги-перболы 3-4(3"-4"), которая проецируется в отрезок и ограничена вырож-денными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плос-костей срезов α и β(3-3) и плоскости β с основанием конуса (4-4).

Рис. 7.15


99

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со среза-ми, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы 1-2-3(1'-2'-3'), построенной по горизонтальным проек-циям обозначенных точек:

– точка 1(1') лежит на образующей SB (S'B'); – точки 2(2') и 3(3') построены по принадлежности соответствующим

параллелям (а л г о р и т м I ). 3.2. Плоскость среза β определяет вертикальный видимый отрезок

4'-4' вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 4(4') которой лежат на очерковой окружности основания конуса.

!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симмет-рию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отре-зок 4'-4'.

4.2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы 3'-2'-1'. 5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, по-

строив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначен-ных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый участок параболы 1-2-3(1'"-2"'-3"'), построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

– точка 1(1'") – лежит на характерной образующей SB(S'"B"'); – точки 2(2'") – лежат соответственно на характерных образующих

SC(S'"C"') и SD(S'"D"'); – точки 3(3'") – построены по координате y3. 5.2. Плоскость среза β определяют видимые участки гиперболы

3-4(3"'-4"'), ограниченные видимым отрезком 3"'-3"' (построен) и видимым отрезком 4-4(4"'-4"'), точки которого построены по координате y4.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют: – слева – участок C"'-2"' образующей SC; – справа – участок D"'-2"' образующей SD; – сверху – участок параболы 1"'-3"'; – снизу – проекция основания конуса. 6.2. Внутренний контур определяют: – видимые участки параболы 2"'-3"'; – видимый отрезок 3"'-3"' пересечения плоскостей срезов α и β; – видимые участки гиперболы 3"'-4"'. 7-е действие. Оформить чертеж конуса выполнив толстыми сплош-

ными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции


100

(оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

С ф е р и ч е с к а я п о в е р х н о с т ь – ш а р При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность

вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность – геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера – единственная геомет-рическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геомет-рическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

П р о е к ц и и ш а р а и п р о е к ц и и е г о о ч е р к о в ы х о к -р у ж н о с т е й

Все три очерка шара – фронтальный, горизонтальный и профильный – представляют собой окружности одного диаметра с центром в точке О(О',О",О"') – это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 7.16).

Каждая точка на поверхно-сти шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые парал-лелями.

Фронтальный очерк ша-ра – окружность n(n") – на-зывается главным фронталь-ным меридианом, который лежит во фронтальной плос-кости уровня β(βH), и его го-ризонтальная проекция n' – это горизонтальная прямая, а профильная проекция n"' – вертикальная прямая, прохо-дящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара – это окружность k(k'), то есть экватор шара, ле-жащий в горизонтальной плоскости уровня α(αV), и

его фронтальная k" и профильная k"' проекции – горизонтальные прямые, проходящие через центр шара.

Профильный очерк шара – это окружность m(m"') главного профиль-ного меридиана, лежащего в профильной плоскости δ(δH), и его фронталь-ная m" и горизонтальная m' проекции – вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

Рис. 7.16 Репозиторий БНТУ

101

!!! Запомните характерные признаки шара на чертеже – т р и о ч е р -к о в ы е о к р у ж н о с т и о д н о г о д и а м е т р а .

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к н а п о в е р х н о с т и ш а р а На рис. 7.16 показаны примеры построения проекций точек, лежащих

на характерных очерковых окружностях шара. Точка A(A"), заданная своей фронтальной проекцией, лежит на глав-

ном фронтальном меридиане n(n"); ее горизонтальная проекция A' и про-фильная проекция A"' определяются на соответствующих проекциях этого меридиана по линиям связи.

Точки B1(B1') и B2(B2'), заданные своими горизонтальными проекция-ми, лежат на экваторе шара k(k'); фронтальные проекции точек совпадают и определяются на фронтальной проекции экватора k(k") по линии связи (B2" – невидимая), а профильные проекции B1"' и B2"' построены по коор-динатам yB1 = yB2 и лежат на профильной проекции k (k"') экватора.

Точка C(C"'), заданная своей профильной проекцией, лежит на главном профильном меридиане m(m'"); ее фронтальная проекция C(C") определяет-ся по линии связи на фронтальной проекции m(m") профильного меридиа-на, а горизонтальная невидимая проекция C(C') построена по координате yC и лежит на горизонтальной проекции профильного меридиана m(m').

!!! Видимость проекций точки на проекциях шара определяется види-мостью той части поверхности шара, на которой лежит точка, и определя-ется указанными границами видимости при взгляде на каждую плоскость проекций.

На рис. 7.17 показаны примеры построения проек-ций точек D и E, лежащих на поверхности шара, недо-стающие проекции которых построены с использовани-ем различных осей враще-ния (без координат y).

Точка D задана види-мой фронтальной проек-цией D".

Для построения ее г о -р и з о н т а л ь н о й проек-ции D(D') нужно использо-вать горизонтально-проеци-рующую ось вращения i1 и выполнить следующие гра-фические действия (а л -г о р и т м I ):

Рис. 7.17


102

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D") пря-мую, перпендикулярную оси i(i") – это проекция круговой параллели ради-усом RD, по которой точка D вращается вокруг оси i1.

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом RD с центром в точке O(O').

3-е действие. Построить по линии связи горизонтальную (видимую) проекцию точки D(D') на этой параллели.

Точка E задана невидимой горизонтальной проекцией E'. Для построения ее фронтальной проекции E(E") нужно использовать

фронтально-проецирующую ось i2 и выполнить следующие графические действия (а л г о р и т м I I ):

1-е действие. Провести через горизонтальную проекцию точки E(E') прямую, перпендикулярную оси i2(i2') – это проекция круговой параллели радиусом RE, по которой точка E вращается вокруг оси i2.

2-е действие. Провести фронтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом RE с центром в точке O(O").

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную видимую проекцию точки E(E") на этой параллели.

Для построения п р о ф и л ь н ы х проекций заданных точек D и E нужно использовать профильно-проецирующую ось i3 и выполнить следу-ющие графические действия (а л г о р и т м I I I ):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D") и горизонтальную проекцию точки E(E') прямые, перпендикулярные оси i3(i3",i3'), – это проекции круговых параллелей с радиусами RD1 и RE1 (рас-положены вертикально), по которым точки D и E вращаются вокруг оси i3.

2-е действие. Провести профильные проекции этих параллелей: ок-ружности радиусами RD1 и RE1 с центром в точке O(O"').

3-е действие. Построить по горизонтальным линиям связи профиль-ные проекции точек D(D'") и E(E"') на соответствующих параллелях (про-фильная проекция точки D(D'") невидимая).

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й ш а р а с о с р е з а м и п л о с к о -с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

Всякая плоскость пересекает поверхность шара по окружностям (кру-говым параллелям). В зависимости от расположения секущих плоскостей относительно плоскостей проекций H, V и W окружности сечений могут проецироваться либо в окружности, либо в эллипсы.

На рис. 7.18 показан пример построения проекций шара со срезами горизонтальной плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

Окружность сечения шара горизонтальной плоскостью α(αV) проеци-руется в окружность (круговую параллель) радиусом Rα на горизонталь-ную проекцию шара, а профильная проекции этой окружности – горизон-тальная прямая. В качестве оси вращения для построения горизонтальной проекции окружности сечения взята горизонтально-проецирующая ось i1.


103

Окружность сечения ша-ра профильной плоскостью β проецируется в окружность (круговую параллель) радиу-сом Rβ на профильную проек-цию шара (невидимая окруж-ность), а горизонтальная про-екция этой окружности – вер-тикальная прямая. В качестве оси вращения для построения параллели Rβ взята профиль-но-проецирующая ось i3.

На этом же рисунке пока-зано расположение проекции характерных точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6, лежащих в плоскостях сечений на характерных очер-ковых окружностях шара:

– точки 1, 3, 4 и 6 лежат на главном фронтальном меридиане шара n и их проекции определяются на проекциях этого меридиана;

– точки 5 лежат на экваторе шара k и их проекции определяются на проекциях экватора;

– точки 2 лежат на профильном меридиане m и их проекции опреде-ляются на проекциях этого меридиана.

Оформление очерков проекций яс-но из чертежа.

На рис. 7.19 пока-зан пример построе-ния проекций шара со срезом фронтально-проецирующей плос-костью γ(γV). Фрон-тальная проекция ок-ружности сечения ша-ра плоскостью γ сов-падает с вырожденной в линию фронтальной проекцией плоскости γ, а на горизонтальную и профильную проек-ции шара эта окруж-ность сечения проеци-руется в эллипсы.

Рис. 7.18

Рис. 7.19


104

Проекции шара со срезом построены по проекциям точек, обозначен-ных на фронтальной проекции сечения.

Горизонтальная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

– точки 1(1') и 5(5') – лежат на проекции n(n') главного фронтального меридиана;

– точки 2(2') – лежат на проекции m(m') профильного меридиана и по-строены на параллели радиусом R2 (ось вращения i1, а л г о р и т м I );

– точка 4(4') – лежит на проекции k(k') экватора; – точки 3 – отмечены на перпендикуляре к плоскости сечения γ и оп-

ределяют положение большой оси эллипса 3-3; точки 3(3') построены по принадлежности своей параллели (а л г о р и т м I ); малая ось эллипса – линия 5'-1'.

Построенные видимые горизонтальные проекции точек соединить плав-ной кривой эллипса с помощью лекала.

Очерк горизонтальной проекции определяет его экватор вправо от то-чек 4(4').

Профильная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по профильным проекциям обозначенных точек:

– точки 1(1"') и 5(5"') – лежат на n(n'") главного меридиана; – точки 2(2"') – лежат на проекции m(m"') профильного меридиана; – точки 3 (3"') и 4(4"') – построены или по принадлежности соответ-

ствующим относительно оси вращения i3 параллелям (а л г о р и т м I I I , отмечена параллель R4).

Построенные видимые проекции точек соединить плавной кривой эл-липса.

Очерк профильной проекции определяет профильный меридиан m(m"') от точек 2(2"') вниз.

Т о р о в а я п о в е р х н о с т ь – т о р Поверхность, получаемая при вращении о б р а з у ю щ е й окружно-

сти m (или ее дуги) вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется торовой. Образующая окруж-ность m вращается вокруг оси тора i по направляющей окружности радиу-сом R (рис. 7.20, а, б, в, г).

Геометрическое тело, ограниченное торовой поверхностью, называют т о р о м .

Тор называют открытым (круговое кольцо), если образующие окружности m в осевом сечении не пересекаются и не касаются друг друга, то есть R > r. Проекции открытого тора с горизонтально-проецирующей осью вращения i показаны на рис. 7.20, а.

Тор называют замкнутым, если образующие окружности m касаются, то есть R = r. Проекции замкнутого тора показаны на рис. 7.20, б.


105

Рис. 7.20

Тор называют самопересекающимся, если образующие окружности пересекаются, то есть R < r. Проекции самопересекающегося тора показа-ны на рис. 7.20, в. Выделенную часть самопересекающегося тора называют тороидом и часто используют в графических условиях различных задач.

На рис. 7.20, г показаны проекции глобоида – это геометрическое те-ло, образованное как открытый тор, но материализующее полость (отвер-стие) в открытом торе.


106

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й о т к р ы т о г о т о р а На рис. 7.21 показан пример построения фронтальной, горизонталь-

ной и профильной проекций половины открытого тора с фронтально-про-ецирующей осью i.

Рис. 7.21

Ф р о н т а л ь н у ю п р о е к ц и ю (очерк) тора определяют: – максимальная и минимальная круговые окружности-параллели n1(n1")

и n2(n2"), по которым диаметральные точки N1 и N2 образующей окружно-сти m вращаются вокруг оси тора i;

– окружности-параллели t1(t1") и t2(t2") диаметральных точек T1 и T2, которые совпадают между собой и совпадают с проекцией направляющей


107

окружности радиусом R тора (выполняются на чертеже тонкой штрих-пунктирной линией);

– две горизонтальные прямые m(m") – проекции образующих окруж-ностей m, полученных в сечениях тора горизонтальной плоскостью α(αV), проходящей через ось вращения тора.

Г о р и з о н т а л ь н у ю п р о е к ц и ю (очерк) тора определяют: – совпадающие проекции n1(n1') и n2(n2') окружностей-параллелей

фронтального очерка проецируются в прямую линию, перпендикулярную оси i(i') тора, и совпадают с горизонтальной осью симметрии проекции;

– две образующие окружности m(m'), лежащие в плоскости среза α(αV), которые проецируются в натуральную величину и видимыми являются толь-ко их половины;

– две горизонтальные линии, в которые проецируются окружности-параллели t1(t1') и t2(t'), полученные при вращении диаметральных точек T1

и T2 (перпендикулярны оси вращения i(i'). П р о ф и л ь н у ю п р о е к ц и ю (очерк) тора определяют: – совпадающие проекции n1(n1"') и n2(n2"') окружностей-параллелей

фронтального очерка проецируются в прямую вертикальную линию и сов-падают с осью симметрии проекции;

– окружность mβ, лежащая в профильной плоскости β (половина ее – невидимая);

– прямая горизонтальная линия совпадающих проекций образующих окружностей m(m"'), лежащих в плоскости среза α(αV);

– две вертикальные прямые – проекции окружностей-параллелей t1(t1"') и t2(t2"').

!!! Запомните характерные признаки проекций открытого тора на чертеже.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й т о ч е к , лежащих на поверхности тора Точки на поверхности тора лежат на круговых параллелях, по кото-

рым они вращаются вокруг его оси i. 1. Точки, лежащие на характерных очерковых окружностях тора n1 и n2,

t1 и t2 и m строятся по их принадлежности этим окружностям. На рис. 7.21 показаны примеры построения проекций точек по одной

заданной проекции. Например, горизонтальные и профильные проекции точек A и B, за-

данных своими фронтальными проекциями A" и B", лежат на очерковых окружностях n1 и n2 и определяются на проекциях этих окружностей (го-ризонтальные проекции точек совпадают); профильная проекция B(B"') – невидимая.

Горизонтальные и профильные проекции точек C1 и C2, заданных свои-ми фронтальными совпадающими проекциями, лежат на окружностях t1 и t2 и определяются на проекциях этих окружностей.


108

2. Проекции точек D1 и D2 (невидимая), заданных своими совпадаю-щими фронтальными проекциями D1" и D2" и не лежащие на характер- ных окружностях тора, строятся по следующему графическому алгоритму (а л г о р и т м I ):

1-е действие. Провести вспомогательную круговую параллель радиу-сом RD через заданные фронтальные проекции точек D1(D1")≡D2(D2") .

2-е действие. Провести горизонтальные прямые – проекции этих парал-лелей – перпендикулярно оси вращения i(i'), используя вспомогательные точ-ки 1(1",1'), лежащие на проекциях образующей окружности m(m1",m2').

3-е действие. Построить по линии связи видимые горизонтальные про-екции точек D(D1') и D(D2') на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные видимые проекции точек D1(D1'") и D2(D2'") построить по координатам yD.

Проекции точек E1 и E2 (невидимая), заданных своими совпадающи-ми горизонтальными проекциями E1(E1') ≡E2(E2') и не лежащие на харак-терных окружностях тора, строятся по "обратному" а л г о р и т м у I I :

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции тора прямую, перпендикулярную оси вращения тора i(i') – это горизонтальные совпада-ющие проекции вспомогательных круговых параллелей радиусами RE1 и RE2 для точек E1 и E2.

2-е действие. Построить радиусами RE1 и RE2 фронтальные проекции этих параллелей: RE2 – параллель на внутренней поверхности тора, а RE1 – параллель на наружной поверхности тора.

3-е действие. Построить по линии связи фронтальные проекции точек E1(E"1) и E2(E"2) на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные невидимые проекции точек E1(E"1) и E2(E"2) построить по координатам yE.

С е ч е н и я т о р а п л о с к о с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я Тор является поверхностью вращения 4-го порядка (образующая

и направляющая окружности 2-го порядка – порядки умножаются) и кри-вые его сечений также являются кривыми 4-го порядка (кроме круговых сечений).

Тор имеет д в е системы к р у г о в ы х с е ч е н и й : – п е р в а я с и с т е м а парных круговых сечений получается во всех

плоскостях, проходящих через ось i, тора на той его проекции, на которую ось i проецируется в точку – смотри сечение во фронтально-проецирую-щей плоскости α(αV) на фронтальной проекции тора (сечение по образую-щим окружностям m);

– в т о р а я с и с т е м а круговых сечений получается в плоскостях β(βH), перпендикулярных оси тора – смотри сечение во фронтальной плос-кости уровня βH на горизонтальной проекции тора (сечение по круговым параллелям тора).


109

Тор имеет также т р е т ь ю систему сечений плоскостями уровня, параллельными оси его вращения i.

На рис. 7.22 показаны формы кривых в различных сечениях открыто-го тора плоскостями уровня (ось тора iV).

На рис. 7.22, а сечения проведены параллельно оси тора i(i") на его фронтальной проекции и являются горизонтальными плоскостями уровня.

Рис. 7.22

В зависимости от расстояния t секущей плоскости до оси тора на его поверхности получается 4 вида кривых, объединенных общим названием – кривые Персея (геометр древней Греции).


110

1-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t1 от оси тора образует на его поверхности кривую линию – овал с двумя осями симметрии (для плоскостей между точками A и B, то есть R ≤ t1 < R2).

2-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t2 от оси тора образует на его поверхности в о л н о о б р а з н у ю кривую (для плоскостей меж-ду точками B и C, то есть R1 < t2 < R).

3-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t3 от оси тора образует на его поверхности двухлепестковую кривую (для плоскости, проходящей через точку C, то есть t3 = R1).

4-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t4 от оси тора образует на его поверхности два овала с одной осью симметрии (для плоскостей ниже точки C и не проходящих через ось вращения тора i(i"), то есть когда t4 < R1).

На рис. 7.22, б изображена фронтальная и горизонтальная проекции открытого тора, у которого R = 2r (частный случай). Кривые сечений этого тора называют овалами Кассини, а двухлепестковая кривая в сечении 3 называется лемнискатой Бернулли.

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й о т к р ы т о г о т о р а с о с р е з а м и п л о с к о с т я м и ч а с т н о г о п о л о ж е н и я

На рис. 7.23 показан пример построения проекций отрытого тора с ком-бинированным срезом фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и гори-зонтальной плоскостью β(βV).

Рис. 7.23


111

Для построения проекций тора со срезами следует выполнить предла-гаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при ре-шении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданным размерам фронтальную, горизонтальную и профильную проекции тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции (или любой дру-гой) заданные по условию срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и горизонтальной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точ-ки и выполнить графоаналитический анализ сечений:

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(αV) пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой 1-2-3 (сечение 2), часть которой ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пе-ресечения 3-3 плоскостей среза α и β.

2.2. Горизонтальная плоскость β(βV) пересекает поверхность тора по участку двухлепестковой кривой 3-4-5 (сечение 3).

!!! Поскольку горизонтальная проекция тора имеет вертикальную сим-метрию, точки обозначены на одной его половине (нижней).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив про-екции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Горизонтальная проекция видимого участка волнообразной кри-вой в плоскости α построена по проекциям обозначенных точек 1(1'), E(E'), 2(2') и 3(3') по их принадлежности характерным n1, t1 и t2 (точки 1 и 2) и вспомогательным (точки Е и 3) параллелям.

3.2. Горизонтальная проекция видимого участка двухлепестковой кри-вой в плоскости β построена по проекциям обозначенных точек 3(3'), 4(4'), D(D') и 5(5') по их принадлежности характерным t1, t2 и n1 (точки 4 и 5) и вспомогательным (точки D) параллелям (точки 3(3') уже построены).

3.3. Видимый отрезок 3-3(3'-3') – горизонтальная проекция линии пе-ресечения плоскостей срезов α и β, ограничивающая участки кривых в плос-костях срезов.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизон-тальной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют: – видимые половины окружностей m(m'); – участки очерковых параллелей t1(t1') и t2(t2'), не существующие меж-

ду точками 4(4') и 2(2'); – участки кривых 4'-3' и 3'-2'. 4.2. Внутренний контур определяют: – невидимые половины окружностей m(m'); – видимые участки кривых 4'- D'-5' и 2'- E'-1'; – видимый отрезок 3'-3' пересечения плоскостей срезов α и β.


112

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив про-екции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Профильная проекция видимого участка волнообразной кривой построена по проекциям обозначенных точек 1(1'"), E(E"'), 2(2'") и 3(3'") по их принадлежности характерным параллелям n1, t1 и t2 (точки 1(1'") и 2(2'")) и по координатам y (точки E(E"') – yE, 3(3'") – y3).

5.2. Профильная проекция горизонтальной плоскости среза β проеци-руется в видимый горизонтальный отрезок 4"'-4"' (точки 4(4"') – на очер-ковых линиях t1 и t2).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профиль-ной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура:

6.1. Профильный очерк определяют: – слева и справа – проекции очерковых параллелей t1(t1') и t2(t2') до

точек 2(2'"); – сверху – видимый участок 2'"-E"'-1'" волнообразной кривой; – снизу – видимые совпадающие проекции образующих окружностей

m(m'"). 6.2. Внутренний контур определяют: – видимый горизонтальный отрезок 4"'-4'" (проекция плоскости среза β); – видимые участки 2"'-4'" волнообразной кривой; – невидимая часть окружности mW(mW"') между точками 2"'. 7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными

линиями очерки и видимый внутренний контур каждой проекций (оста-вить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построений).

Структуризация материала седьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 7.24 (лист 1). На последующих листах 2–6 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепле-ния основной части изученного материала при повторении (рис. 7.25–7.29).


113

Ïîâåðõíîñòè. ×àñòíûå ñëó÷àè ãðàííûõ è êðèâûõ ïîâåðõíîñòåé. Ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà

Ðèñ. 7.25, à

Ðèñ. 7.25, á

Ðèñ. 7.25, â

Ðèñ. 7.26, à, á, â, ã

Ðèñ. 7.27, à, á

Ðèñ. 7.27, â

Ðèñ. 7.27, ã

Ðèñ. 7.27, ä

Ðèñ. 7.28, à, á

Ðèñ. 7.27, å

Ðèñ. 7.29, à

Ðèñ. 7.29, á

Ðèñ. 7.29, â

Ëèñò 1

Рис. 7.24


114

Ëèñò 2

Рис. 7.25

Тема 5

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рис. 5.3

аб

аб

а

б

5.1 Гранные поверхности

р р р р

5.2 Поверхности вращения

х

у

z

4

АD

ВС

3

2

1

B" D"А"

4"

3"

2"

1"

С"

1

2

3

4

В DА С

б.о

б.о

у1,2

у3,DВ'

С'

А 4

D 3

1 2

у1,2

у3,D

х

у

z

4

АD

В С

3

2

1

1

23

ВD

А С

б.о

уD

параллельны

B" D"А"

4"

3"2"

1"

С"

б.о

4

А

В'

С'

3'2'

1'

D

уD

х

у

z

4

А D

ВС

3

2

1

О

1

2

3

4

В DА С

б.о

у1,2

у3,D

О

B" D"А"

4"

3"

2"

1"

С"

О"

б.о

В'

С'

А 4

D 3

у1,2

у3,D

1 2

уО

О'

Геометрические тела.

5.1.1 Прямая правильная призма

5.1.2 Правильная пирамида

5.2.1 Прямой круговой цилиндр

параллельны

zD

45

zD

o

эллипс

à

á

â


115

Ëèñò 3

Рис. 7.26

Рис. 5.4 а Рис. 5.4 б

Рис. 5.4 г

С

DА

О

11 2

3

О

эллипс

3"

2"

1"

О"

V (V сечение

- эллипс)

В'

С'

О'

1'

2'

D'

3'

А'

образующая

S"

1"2"3"

А" С"B" D"

V

(I сечение -

образующая)

V

(II сечение -

окружность)

S

213

В DА Су1

б.о А 3

В

S

С

2

D 1

у1

А

3

4D

2

1

S

С

В

S"1"

2"

3"

А" С"B" D"4"

V (III сечение - парабола)

V

(IV сечение -

гипербола)

S

2

1

3

В DА С

гипербола

парабола

III V SA

IV - V (SB и SD) -

5.2.2 Прямой круговой конус. Конические сечения.

А'' С''

à á

â

Ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà


116

Ëèñò 4

Рис. 7.27

Рис. 5.5

Рис. 5.6 а Рис. 5.6 б

Рис. 5.6 г

самопересекающийся тор (тороид) глобоид

i"i"

i'

r

r

горло поверхности

(min параллель)

замкнутый тор

r

R=r

m

СС

В В

А

пm1t1"?t2"

R

m1"

С"

п2"

В"

А"

п1"

i" m2"

R >r

открытый торС

С

В

В

Аm

п1' п2'

t1

r

i'm1' t2

а

б

окружность

эллипс (проекция

окружности)

2

03

4

п

m Кэкв.

m"

п"

К"экв.

3"

О"

2"1" V

V

п" гл. фронталь-

ный меридиан

окр.

окр.

эллипс (проекция


m" гл. профиль-

ный меридиан

К3

0

1 2

п

х

у

z

1

2

О

34

5.2.3 Шар.

5.2.4 Тор.


à

á â

ää


117

Ëèñò 5

Рис. 7.28

волнообразная

кривая II

овал I1"2"

3"

4"

5"

1'

2'

3'

4'

5'

1"' 2"'

3"'

4"'

5"'

окр-ти

I

II

III

IV

v1

v2

v3

v4

v5

I

II

III

IV

овал (две оси симметрии)

волнообразная кривая

окружности (в плоскостях, про-

ходящих через ось вращения

овалы (с одной осью симметрии)

двухлепестковая кривая (при R=2r

кривая Лемнискота Бернулли)

r

R

1" 2"

3" 4" 5"

6" 7"

8" 9" 10"

A"

B"

C"

i"

2"' 1"'

3"' 4"'6"'

9"'C"' 7"'

V окр

.

R2

R1

W окр

.

1'

2'

3' 4'

5'

6'

7'

8'

9'

10'

Кривые П

ерсея

(алгебраические кривые 4

-го порядка)

5.2.5 Сечения открытого тора. Кривые Персея.

Рис. 5.6 d

5.2.6 Построение сечений поверхности открытого тора плоскостями частного

положения

Рис 5 6 е


à

á


118

Ëèñò 6

Рис. 7.29

Рис. 5.7

Рис. 5.8

а) Однополостной гиперболоид б) Двухполостной гиперболоид

в) Вытянутый эллипсоид г) Сжатый эллипсоид

х у

z

парабола

i"

i" i"

i"i"

i

А"

(А')

А'

i'

i'

а

б

а

б

эллипс

большая ось

малая ось

мнимая ось

гипербола

асимптоты

гипербола

Прочие поверхности вращения

д) Параболоид

Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ

à

á

â


119

Лекция 8 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й и с п о с о б ы п о с т р о е -н и я л и н и й п р е с е ч е н и я

Линия пересечения принад-лежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется мно-жеством их общих точек. Сле-довательно, построение линии пересечения поверхностей сво-дится к построению этих об-щих точек.

При пересечении поверх-ностей вращения порядок линии пересечения определяется ум-ножением порядков пересекаю-щихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой ко-нус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-го по-рядка), то линия пересечения является кривой 4-го порядка.

Определение спосо-ба построения линии пе-ресечения зависит от вза-имного расположения пе-ресекающихся поверхно-стей, а также от их рас-положения относительно плоскостей проекций.

Из всех возможных вариантов пересечения поверхностей геометри-ческих тел в зависимости от их взаимного располо-жения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить ф о р м у ли-нии пересечения поверх-ностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 8.1). В этом

Рис. 8.1

Рис. 8.2


120

случае линией пересечения является о д н а з а м к н у т а я простран-ственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 8.2). В этом случае линией пересе-чения являются д в е з а м к н у т ы е пространственные линии.

III случай. Односто-роннее соприкосновение (рис. 8.3). В этом случае поверхности соприкаса-ются в о д н о й общей точке К1 и линия их пе-ресечения, проходя че-рез эту точку, распада-ется на д в е з а м к н у -т ы е пространственные линии (поверхности име-ют одну общую касатель-ную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 8.4).

В этом случае по-верхности имеют две точ-ки соприкосновения К1 и К2 и линия их пересе-чения распадается на две плоские кривые в соот-ветствии с теоремой 2 (С. А. Фролов «Начерта-тельная геометрия» [23]): «Если две поверхности вращения второго поряд-ка имеют касание в двух точках, то линия их пере-сечения распадается на две кривые второго по-рядка, плоскости кото-рых проходят через пря-мую m, соединяющую точки касания» (поверх-ности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от р а с п о л о ж е н и я пе-ресекающихся геометри-ческих тел относительно

Рис. 8.3

Рис. 8.4


121

плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имею-щих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имею-щих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, на-клонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхно-стей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхно-стей можно объединить в две группы:

П е р в а я г р у п п а : ч а с т н ы е с л у ч а и п е р е с е ч е н и я п о -в е р х н о с т е й , когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пе-ресекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

В т о р а я г р у п п а : общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить с п е ц и а л ь -н ы е с п о с о б ы п о с р е д н и к о в.

Ч а с т н ы е с л у ч а и п е р е с е ч е н и я п о в е р х н о с т е й К п е р в о й г р у п п е частных случаев пересечения поверхностей

относятся следующих четыре случая: 1 случай: пересечение геометрических тел, боковые поверхности ко-

торых являются п р о е ц и р у ю щ и м и , то есть, перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2 случай: пересечение геометрических тел, у о д н о г о из которых боковая поверхность является проецирующей.

3 случай: пересечение с о о с н ы х поверхностей вращения, т. е. имею-щих общую ось вращения,

4 случай: пересечение поверхностей вращения второго порядка, опи-санных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах по-строение проекций линий пересе-чения поверхностей геометриче-ских тел в четырех ч а с т н ы х случаях п е р в о й г р у п п ы .

Следует отметить, что пере-численные частные случаи пересе-чения поверхностей наиболее ча-сто встречаются при формообра-зовании различных реальных деталей.

1-й ч а с т н ы й с л у ч а й . На рис. 8.5 показан пример по-

строения проекций линии пересе-чения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронталь-но-проецирующей прямой правильной треугольной призмы, то есть пересе-

Рис. 8.5


122

каются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоскостей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются д в е проекции искомой линии пересечения:

– фронтальная проекция (л"п") линии пересечения 1"-2"-3"-4" совпа-дает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

– горизонтальная проекция (л'п') линии пересечения 1'-2'-3'-4' совпа-дает с участком окружности, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию (л'"п"') линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче – цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

2-й ч а с т н ы й с л у ч а й . На рис. 8.6 показан пример построения проекций линии пересечения

поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего ци-линдра, то есть пересекающихся геометрических тел, у о д н о г о из ко-торых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на за-данных проекциях тел оп-ределяется о д н а проек-ция линии пересечения:

– фронтальная проек-ция (л"п") линии пересече-ния 1"-2"-3"-4" совпадает с окружностью, которая яв-ляется вырожденной проек-цией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требу-ется достроить горизонталь-ную (л'п') и профильную (л"'п"') проекции линии пе-ресечения, построив гори-зонтальные и профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая ли-ния пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

Рис. 8.6 Ре


123

3-й ч а с т н ы й с л у ч а й . Пересечение соосных геометрических тел. Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие об-

щую ось вращения «i». Поверхности соосных тел пересекаются по о к -р у ж н о с т я м , перпендикулярным их общей оси. Если общая ось «i» соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т. е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в п р я -м у ю линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проек-ций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 8.7 показан пример пост-роения линии пересечения соосных гео-метрических тел – конуса и горизон-тально-проецирующего цилиндра, имею-щих общую горизонтально-проецирую-щую ось i (ось перпендикулярна H и па-раллельна V и W). Линией пересечения является о к р у ж н о с т ь , фронталь-ная (л"п") и профильная (л"'п"') проек-ции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси i и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков по-

верхностей. Горизонтальная проекция этой окружности пересечения л'п') совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 8.8 показан пример построения линий пересечения д в у х пар соосных поверхно-стей:

– поверхности шара и гори-зонтально-проецирующего ци-линдра, соосных относитель- но горизонтально-проецирую-щей оси i1, окружности пересе-чения которых проецируются в прямые линии на фронталь-ную и профильную проекции;

– поверхности шара и сквоз-ного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Цотв в шаре, соосных относительно

профильно-проецирующей оси i2, окружности пересечения которых про-ецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

Рис. 8.7

Рис. 8.8


124

4-й ч а с т н ы й с л у ч а й. Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных во-

круг сферы (по теореме Г. Монжа). Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся кру-

говые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид и одно-, двуполост-ные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой ко-нус – это не поверхности вращения!

Все торы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и тороиды относятся к поверхностям вращения ч е т в е р т о г о порядка!

В 4-м частном случае имеет место д в о й н о е с о п р и к о с н о -в е н и е пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, опи-санных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на тео-реме 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]):

Т е о р е м а 3, известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоре-мы 2: «Если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пе-ресечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания».

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка о п и с а н ы в о к р у г с ф е р ы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче ч е т ы р е х обя-зательных графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения в т о р о г о порядка. 2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересече-

ния – центр вписанной сферы). 3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее. 4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей,

является плоскостью уровня. При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проек-

ций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распада-ется искомая линия пересечения:

– плоские кривые проецируются в отрезки п р я м ы х л и н и й на ту проекцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, па-раллельной о б щ е й п л о с к о с т и с и м м е т р и и поверхностей;

– т о ч к и п е р е с е ч е н и я о ч е р к о в поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки про-ходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

– прямые, как проекции плоских кривых, п е р е с е к а ю т с я в точ-ке, с которой совпадают проекции двух точек К1≡К2 соприкосновения по-верхностей и соответственно проекция прямой m(m', m"), с о е д и н я ю -щ е й эти точки соприкосновения (точки касания).


125

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей К1(К1") и К2(К2") определяются на пересечении проекций о к р у ж н о с т е й к а с а н и я вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 8.9 показан при-мер построения проекций ли-нии пересечения поверхно-стей вращения второго по-рядка – прямого кругового конуса и наклонного круго-вого цилиндра, описанных во-круг общей сферы. Для ре-шения задачи использована теорема Г. Монжа, посколь-ку здесь соблюдены все ч е -т ы р е обязательных условия ее применения:

1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т. е. по-верхности вращения второго порядка.

2. Оси конуса и цилинд-ра пересекаются в точке O(O").

3. Обе поверхности опи-саны вокруг общей для них сферы с центром точке O(O").

4. Общая плоскость симметрии поверхностей α(αH) является фронталь-ной плоскостью уровня (//V).

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фрон-тальная проекция, так как общая плоскость симметрии α(αН) параллельна фронтальной плоскости проекций V.

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции К1≡К2 точек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхно-стей (прямые линии – проекций этих окружностей касания – строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера обра-зует две пары соосных поверхностей – конус/сфера с общей осью i1 и ци-линдр/сфера с общей осью i2. На чертеже проекции этих окружностей ка-сания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки О(О") – центра вписанной сферы – к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

Рис. 8.9


126

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки A(A"), B(B"), C(C") и D(D") пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями A-B(A"-B") и C-D(C"-D") противоположные точки пересечения очерков (обе прямые о б я з а т е л ь н о должны пройти через построен-ные проекции точек соприкосновения поверхностей К1≡К2 (K"1≡К"2);

4-е действие. Построить горизонтальные проекции д в у х плоских кривых пересечения – э л л и п с о в , по горизонтальным проекциях обо-значенных точек A, B, C, D, K1 и K2, построенных по принадлежности по-верхности конуса; обозначить и построить точки E(E') и F(F'), которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции пред-мета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточ-ных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пре-секающихся поверхностей.

!!! Построение точек со-прикосновения К1≡К2 поверх-ностей особенно важно в за-дачах, где по условию нельзя определить о д н у из четы-рех точек пересечения очер-ков поверхностей. Совпадаю-щие проекции точек сопри-косновения в этом случае оп-ределят направление одной из двух прямых линий – проек-ций плоских кривых пересе-чения (рис. 8.10). В данном случае проекция плоской кри-вой линии пересечения CE проведена через точки C и К1≡К2. Точка E определяется на основании конуса.

На рис. 8.11 показаны примеры построения линий пересечения поверх-ностей второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов цилиндрических и конических труб, или пересечений отверстий в деталях.

О б щ и е с л у ч а и п е р е с е ч е н и я п о в е р х н о с т е й и с п о -с о б ы п о с т р о е н и я л и н и й п е р е с е ч е н и я п о в е р х н о с т е й

К о в т о р о й р а с с м а т р и в а е м о й группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций н е п р о е ц и р у ю -

i1"

i2"

C"

A"

E"

л"n" (эллипс)

B"

л"n"

вписанная

сфера

K1" K2" (точки двойного

соприкосновения)

окр. касания 2

цилиндра и сферы

окр. касания 1цилиндра и сферы

Рис. 8.10


127

щ е е положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометри-ческие тела, поверхности которых н е п р о е ц и р у ю щ и е – это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сече-ния, и наклонный круговой конус.

Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае при-меняются специальные способы вспомогательных посредников – плоско-стей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы рассматриваем следующие:

1) способ вспомогательных секущих плоскостей уровня; 2) способ вспомогательных концентрических сфер; 3) способ вспомогательных эксцентрических сфер. Применение одного из указанных способов для построения линий пе-

ресечения поверхностей геометрических тел возможно при наличии неко-торых обязательных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверх-ностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помо-щью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия за-дачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию

K1" K2"

K1" K2"

ц

к

к к

ц

л"n" л"n"

л"n

"

окр.

кас-я K1" K2" K3" K4"

K1" K2"

Рис. 8.11


128

предмета, на которой следует начинать решение задачи, и границы введе-ния посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м I : 1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость или поверхность-

посредник. 2-е действие. Построить вспомогательные линии пересечения плоско-

сти – или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей. 3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомога-

тельных линий пересечения – эти точки принадлежат искомой линии пере-сечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомога-тельных посредников для построения проекций линий пересечения по-верхностей.

С п о с о б в с п о м о г а т е л ь н ы х с е к у щ и х п л о с к о с т е й у р о в н я

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рациональ-но при наличии д в у х г р а ф и ч е с к и х у с л о в и й :

1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел яв-ляется плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения

очерков поверхностей принадлежат ис-комой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответст-вующей проекции предмета.

2. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пере-сечения – прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 8.12 показан пример пост-роения проекций линии пересечения прямого конуса и половины шара.

Для решения задачи требуется пред-варительно выполнить графический ана-лиз заданных проекций предмета:

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плос-костей, так как здесь соблюдены два графических условия его применения:

Рис. 8.12


129

– общая плоскость симметрии β(βН) геометрических тел – конуса и полушара – является фронтальной плоскостью уровня (первое условие при-менения);

– горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара по окружностям, выбираем в качестве вспомогатель-ных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Б. Решение задачи, то есть введение плоскостей-посредников, начина-ем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симмет-рии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

В. Определяем границы введения плоскостей-посредников – это точка А(А") пересечения фронтальных очерков и точки B(B',B") пересечения ок-ружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плос-кости уровня α(αVо).

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив дей-ствия предложенного г р а ф и ч е с к о г о а л г о р и т м а I :

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспо-могательную секущую горизонтальную плоскость-посредник α(αV1) произ-вольно и ниже точки А(А").

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспо-могательные окружности радиусами Rк1 и Rш1, по которым секущая плос-кость-посредник α(αV1) пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогатель-ных окружностей горизонтальные проекции точек 1(1'), принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции 1(1") этих точек определяются по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посред-ника α(αV1).

3.1. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вто-рую плоскость-посредник α2(αV2), и построить проекции точек 2(2',2") и т. д.

Дополнительные действия: 4-е действие. Соединить проекции построенных точек на фронталь-

ной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую п л о с -к у ю кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизон-тальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию; на горизон-тальную проекцию предмета – в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

– на фронтальной проекции – очерк конуса существует влево от точки А(А"), а очерк шара вправо от точки А(А") (несуществующие очерки кону-са и шара оставить тонкими линиями);

– на горизонтальной проекции – окружность основания конуса суще-ствует влево от точек В(B'), а окружность основания шара существует


130

вправо от точек В(B') (несуществующие части окружностей оснований ко-нуса и шара оставить тонкими линиями).

!!! Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно д в е проекции искомой линии пересечения.

С п о с о б в с п о м о г а т е л ь н ы х к о н ц е н т р и ч е с к и х с ф е р Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверх-

ности-посредника являются две ее характерные особенности: – в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей; – сфера может быть соосна любой поверхности вращения; соосные

поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко по-строить (см. рис. 8.7 и 8.8).

Сфера-посредник образует д в е пары соосных поверхностей с каж-дой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверх-ностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проеци-руются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для по-строения линии пересечения поверхностей возможно при наличии трех следующих графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).

2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей явля-ется плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости сим-метрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.

3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

На рис. 8.13 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопересекающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает по-верхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графиче-ский анализ заданных проекций предмета.

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентри-ческих сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его при-менения:

– пересекаются поверхности вращения – прямой круговой конус и то-роид (самопересекающийся тор);

– общая плоскость симметрии геометрических тел β(βН) является фрон-тальной плоскостью уровня;

– оси поверхностей пересекаются в точке O(O") – центр всех вспомо-гательных сфер.


131

Б. Решение задачи, то есть введение вспомогатель-ных сфер-посредников начи-наем на фронтальной проек-ции предмета, так как общая плоскость симметрии являет-ся фронтальной плоскостью уровня и точки A(A"), B(B"), C(C") и D(D") пересечения фронтальных очерков принад-лежат линии пересечения.

В. Определяем границы введения сфер – это точки C(C") и D(D") пересечения фронтальных очерков пересе-кающихся геометрических тел.

Построить проекции то-чек линии пересечения, вы-полнив действия предложен-ного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспо-могательную сферу-посредник минимального радиуса R1min, с центром в точке O(O"), впи-санную в тороид (минималь-ная сфера-посредник должна вписываться в одну из поверхностей, а с дру-гой поверхностью – пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пе-ресечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посред-ником с каждой заданной поверхностью:

– первая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и тороид – имеют горизонтальную общую ось i1" и пересекаются по окружности каса-ния n1", которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);

– вторая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения i2" и пересекаются по д в у м вспомо-гательным окружностям m1", которые проецируются в прямые линии;

3-е действие. Определить точки 1(11") пересечения построенных про-екций вспомогательных окружностей m1" и n1", которые принадлежат ис-комым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полного проницания (II случай), и линия пересечения распадается на д в е замкнутые кривые.

Рис. 8.13


132

Дополнительные действия: 4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма,

введя вспомогательные сферы большего радиуса R2 и R3 с тем же центром в точке О(О"), и построить следующие пары точек 2(2") и 3(3").

4.1. Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

4.2. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и гори-зонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях (только линия пересечения D'-3'-2'-11'-C' будет невидимой на горизонтальной проекции предмета).

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости.

С п о с о б в с п о м о г а т е л ь н ы х э к с ц е н т р и ч е с к и х с ф е р Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы

имеют р а з н ы е ц е н т р ы , которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следую-щих графических условий:

1. Пресекаются: – поверхности вращения 4-го порядка, т. е. торовые поверхности – от-

крытый или закрытый тор; – поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые

сечения. 2. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью

уровня. 3. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются. Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нуж-

но определять графическими построениями, первое действие графического алгоритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется построением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения спо-собом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 8.14 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части от-крытого тора. Задача решается способом вспомогательных эксцентриче-ских сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для приме-нения этого способа:

– одна из пересекающихся поверхностей – открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения i"т;


133

– общая плоскость симметрии поверхнос- тей – фронтальная плос-кость уровня (подразуме-вается), поэтому точка A(A") пересечения фрон-тальных очерков принад-лежит искомой линии пе-ресечения;

– оси поверхностей iц и iт скрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняет-ся на заданной фронталь-ной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м II. 1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предваритель-

но следующие графические действия. 1.1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фрон-

тально-проецирующей плоскостью αV1, проходящей через его ось i"т; ок-ружность t1-t2, (ее проекция – прямая линия t"1-t"2) – это заданная линия пе-ресечения тора с искомой вспомогательной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности – прямой t"1-t"2 (хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).

1.2. Провести к прямой t"1-t"2 через ее середину перпендикуляр k" и на его пересечении с осью цилиндра i"ц определить центр первой вспомога-тельной сферы – точку O"1.

1.3. Провести окружность – проекцию вспомогательной сферы-посред-ника – с центром в точке O"1, радиус которой Rсф.1 определяется расстоя-нием от точки О"1 до одной из крайних точек t"1 или t"2 прямой t"1-t"2.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения постро-енной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра – это пря-мая s"1-s"2, проходящая через точки s"1 и s"2 пересечения очерков цилин-дра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций задан-ной окружности t"1-t"2 и построенной окружности s"1-s"2 совпадающие точки 1(1"), принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия: 4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и постро-

ить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей αV2 и αV3 и вспомогательными сферами Rсф.2 и Rсф.3 с центрами O2 и O3 построены

Рис. 8.14


134

точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости αV3 окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существова-ние этих окружностей на две половины – верхняя часть принадлежит ци-линдру, а нижняя – тору.

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки A"-1"-2"-3" линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции. На рис. 8.15 показан пример построения линии пересечения наклон-

ного кругового цилиндра Ц1 с осью i"1 и наклонного эллиптического ци-линдра с осью i"2, у кото-рого есть круговые сечения в горизонтальных плоскос-тях уровня.

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ ре-шения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не сле-дует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности од-новременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер при-менять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные пары только с одной заданной поверхностью Ц1 (одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентриче-ских сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

– пересекаются наклонный круговой цилиндр Ц1 и эллиптический ци-линдр Ц2 (поверхность не вращения);

– общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);

– оси поверхностей i1 и i2 – пересекаются. Решение задачи, то есть введение сечений цилиндра Ц2 (параллельных

заданному) горизонтальными плоскостями уровня α, начинаем на фрон-тальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки A(A") и B(B") пересечения фрон-тальных очерков принадлежат линии пересечения.

Рис. 8.15


135

Определяем границы введения сечений цилиндра Ц2 – это точки A(A") и B(B") пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометриче-ских тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выпол-нив действия предложенного графического алгоритма II.

Г р а ф и ч е с к и й а л г о р и т м II. 1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предваритель-

ные графические действия. 1.1. Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Ц2

горизонтальной плоскостью αV1 – прямую t1-t2. Эта заданная линия t1-t2 – окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомога-тельной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой.

1.2. Провести к прямой t1-t1 через ее середину перпендикуляр k" и на пересечении с осью i1 кругового цилиндра Ц1 определить точку О1 – центр первой вспомогательной сферы-посредника.

1.3. Провести окружность сферы-посредника радиусом Rсф.1, который определяется расстоянием от точки О"1 до одной из точек t"1 или t"2 пря-мой t1-t2.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы-посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра Ц1 – это пря-мая s1-s2, проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра.

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности t1"-t2" и построенной окружности s1"-s2" совпадающие точки 1(1"), принадлежа-щие искомой линии пересечения.

Дополнительные действия. 4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и пост-

роить проекции точек 2(2"); 5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки А"-1"-2"-B"

линии пересечения плавной видимой кривой. 6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции. Структуризация материала восьмой лекции в рассмотренном объеме

схематически представлена на рис. 8.16 (лист 1). На последующих листах 2–5 приведены иллюстрации к этой схеме для быстрого визуального за-крепления изученного материала при повторении (рис. 8.17–8.20).


136

Ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåé

Ðèñ. 8.17, à

Ðèñ. 8.17, á

Ðèñ. 8.19, à

Ðèñ. 8.18, á

Ðèñ. 8.17, à

Ðèñ. 8.17, á

Ðèñ. 8.18, à

Ðèñ. 8.18, á

Ðèñ. 8.19, à

Ðèñ. 8.20

Ðèñ. 8.19, á

Ëèñò 1

Рис. 8.16


137

Ëèñò 2

Рис. 8.17

Профильная проекция линии

пересечения - построена

Фронтальная проекция линии

пересечения - дана на чертеже

Фронтальная проекциялинии пересечения -дана на чертеже

2''' 4'''

6''' 8'''

1''' 5'''

7'''8''

1''

2'' 3''

4''

5''

6''7''

1

2 2'

3

4 4'

5

678

Горизонтальная проекциялинии пересечения - построена

Частный случай 1. Обе пересекающиеся поверхности проецирующие

Рис. 6.1 Частичное врезание (линия пересечения -

замкнутая пространственная линия)

Рис. 6.2 Полное проницание (линия пересечения - две замкнутые

пространственные линии)

Частный случай 2. Одна из двух пересекающихся поверхностей проецирующая

3'''

2' 4'

3'''

5'''

4'''

Горизонтальная проекция линии

пересечения - дана на чертеже

1' 5'

3'

Профильная проекция линии

пересечения - построена

3''

2''

4''5''

1''


à.

á.


138

Ëèñò 3

Рис. 8.18


прямые (проекции


прямые (проекции

окружност

и)

i1''- общая ось

Частный случай 3. Соосные поверхности вращения (с общей осью i)

Рис. 6.3 Соосные поверхности пересекаются по

окружностям, которые проецируются в прямые

линии, перпендикулярные общей оси вращения i.

i2 - общая ось

прямые

(проекции окружности)

M

N

M

N

Е

F

D

К1К2

А

С

n

линия n, соединя-

ющая точки

касания

АD

М

К1

К2

С Е

F

N

n

вписаная

сфера


касания

окружност

ь

касания

эллипс

(линия пересечения)

эллипс (линия

пересечения)

n'' К1 К2 А

С

D

Е

F

О

i1

i2

N

В

Рис. 6.4 Двойное соприкосновение поверхностей.

Теорема Г.Монжа: "Если две поверхности

вращения второго порядка описаны вокруг

сферы, или вписаны в нее, то линия пересечения

распадется на две плоские кривые второго

порядка, которые пересекаются по линии n,

соединяющей две точки касания поверхностей

К1 и К2.

Частный случай 4. Пересечение поверхностей вращения 2-го порядка, описанных вокруг сферы

à.

á.Репозиторий БНТУ

139

Ëèñò 4

Рис. 8.19

А

С1

К

2

D3

ЕВ

В

32

А

С 1

К

В

Е

3

2

К1

А С

V1

V2

V3

Общие случаи пересечения поверхностей

1. Способ вспомогательных секущих плоскостей


1. Ввести плоскость-посредник (горизонтальная

плоскость / V3).

2. Построить линии пересечения плоскости-посредника с

каждой поверхностью (окружности радиусом R3К и R3m).

3. Определить точки (3), принадлежащие искомой линии

пересечения (на пересечении построенных окружностей

радиусами R3К и R3m).

4. Повторить алгоритм необходимое число раз.

Рис. 6.5 Одностороннее касание (две замкнутые

пространственные линии пересечения касаются в одной

точке К)

R3К

R3m

R1 - min вписанная

сфера-посредник

касательная

окружность 1

R2

R3

Тема 6 Лист

экв.

R3m

R3К

сферы-посредники

О"

i2

i1

окр.1

y

y


1. Ввести сферу-посредник (R1min мини-

мальная вписанная сфера-посредник)

2. Построить линии пересечения сферы-

посредника с каждой поверхностью (ка-

сательная окр.1 и окр.1, пересечение

соосных поверхностей)

3. Определить точки 1, принадлежащие

искомой линии пересечения (на пересече-

нии построенных проекций окружностей 1)

4. Повторить алгоритм необходимое число

раз, увеличивая радиусы сфер-посредников

Рис. 6.6 Частичное врезание (линия

пересечения - замкнутая пространственная

линия)

А' Е'

1'М' 2'

3'

А"

1"

М"

2"

3"

Е"

2. Способ вспомогательных концентрических сфер


à.

á.Репозиторий БНТУ

140

Ëèñò 5

Рис. 8.20

3. Способ вспомогательных эксцентрических сфер

Рис. 6.7 Полное проницание (линия

пересечения распадается на две

замкнутые пространственные линии)

12''

n1''

n2''

11'

11'

В' А'

D'

2' 7'С'

1'

С''

2'' 7'' D''

1

В''

А''

1''

R2

R1

сфера 1

сфера 2

im''

V2(окружность)

V1

(окружност

ь)

1'

S1''

S2''


I. Предварительные действия для опреде-

ления центра вспомогательной сферы-

посредника

1. Задать проекцию окружности (прямая S1 -

S2) по которой вспомогательная плоскость

/ V1) пересекает поверхность открытого

тора.

2. Провести через середину этой проекции

перпендикуляр к ней до пересечения с осью

конуса - на пересечении опреде- ляется

центр первой сферы-посредника О1(О").

II. Основные действия

3 Ввести сферу-посредник радиусом R1 с

центром в т. О1(О1").

4 Построить линии пересечения сферы-

посредника с каждой поверхностью (заданная

окружность S1 - S2 и две построенные

окружности n1 и n2).

5 Определить точки 11'' и 12'', принадлежа-

щие искомой линии пересечения (на

пересечении линий S1 - S2 (S1" - S2") и n1'' и n2''.



141

Лекция 9 РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Р а з в е р т к и п о в е р х н о с т е й . О б щ и е с в е д е н и я Разверткой называется плоская фигура, в которую преобразуется по-

верхность предмета при ее совмещении с плоскостью. При этом подразу-мевается, что поверхность – это гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка и при ее развертке не происходит разрывов и образования складок.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися.

К развертывающимся поверхностям относятся многогранники и неко-торые линейчатые поверхности – цилиндрические, конические и поверх-ности с ребром возврата (торсы – развертка торсов не рассматривается).

Развертки можно построить точные и приближенные. Точные развертки можно строить для гранных поверхностей призмы

и пирамиды (не считая графических погрешностей построения), для круго-вых цилиндров (развертка – прямоугольник с размерами (π·d)×H) и круго-вых конусов (круговой сектор с углом φ = R·360º/L, где R – радиус осно-вания конуса; L – длина его образующей).

Развертки, которые можно построить графически, заменяя (аппрокси-мируя) заданные поверхности участками развертывающихся призматиче-ских, пирамидальных или цилиндрических поверхностей, называются при-ближенными. К поверхностям, развертку которых можно построить при-ближенно, относятся круговые наклонные конуса, эллиптические цилиндры с круговыми сечениями, сферические, торовые, а также комбинированные поверхности, участки которых состоят из развертывающихся поверхностей.

Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке, т. е. между поверхностью и ее разверткой существует взаим- но однозначное соответствие, которое обладает следующими основными свойствами:

а) длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны; б) линии, параллельные на поверхности, сохраняют параллельность на

развертке; в) углы между соответствующими пересекающимися линиями на по-

верхности и на развертке равны; г) площади соответствующих фигур на поверхности и на развертке,

ограниченные замкнутыми линиями, равны.

Р а з в е р т к и м н о г о г р а н н и к о в Построение развертки многогранников сводится к определению нату-

ральных величин боковых граней или ребер этих поверхностей. Натураль-ные величины граней (плоскостей) или ребер (прямых) могут быть опреде-лены любым из рассмотренных выше способов преобразования чертежа (см. тему «Преобразование чертежа»).


142

Р а з в е р т к а п о в е р х н о с т и п р и з м ы Построение развертки поверхности призмы можно выполнить не-

сколькими способами: 1. Способ нормального сечения. 2. Способ раскатки. 3. Способ треугольников (триангуляции) – здесь не рассматривается. Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы

первыми двумя способами. 1-й способ. Способ н о р м а л ь н о г о сечения (нормальное сечение

перпендикулярно ребрам призмы). Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно приме-

нить, если на чертеже: – ребра призмы являются прямыми уровня, то есть имеют на одной из

заданных проекций натуральную величину, – на проекциях нет натуральных величин оснований призмы. !!! Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общего положе-

ния, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом заме-ны плоскостей проекций.

Построение развертки боковой поверхности призмы способом нор-мального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Провести на проекции призмы, на которую ребра приз-мы проецируются в натуральную величину, плоскость нормального сече-ния, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).

2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нор-мального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).

3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести пер-пендикулярные прямые – направления ребер.

4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от ли-нии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.

5-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба в ме-стах расположения ребер тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.

На рис. 9.1 показан пример построения развертки поверхности тре-угольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания являются плоскостями общего положения, т. е. не имеют натуральной величины.

Поверхность призмы «разрезана» по ребру А и развернута по часовой стрелке.

Для построения развертки выполнены графические действия предло-женного алгоритма.


143

1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нор-мального сечения α(αh) перпендикулярно горизонтальным проекциям ре-бер призмы (произвольно по длине ребер).

2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить нату-ральную величину нормального сечения – треугольник 11"-21"-31", сторо-ны которого определяют ширину каждой грани призмы.

3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник 11"-21"-31" нор-мального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить нату-ральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые – направления ребер.

4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро B'-B'1), взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину.

5-е действие. Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам призмы тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами.

На этом же рис. 9.1 показано также построение на развертке точки Е(Е",Е'), лежащей на грани АВ призмы.

2-й способ. С п о с о б р а с к а т к и Этот способ развертки применяется, если на чертеже: – ребра призмы являются прямыми уровня; – основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уров-

ня, т. е. имеют на чертеже натуральную величину.

Рис. 9.1


144

Суть способа в том, что, «разрезав» поверхность призмы по одному из ее ребер, вращением призмы (раскаткой) вокруг этого ребра ближайшая грань призмы совмещается с плоскостью развертки (за плоскость разверт-ки принимается плоскость проекций, которой параллельны ребра призмы). Затем последовательным вращением призмы вокруг следующих ребер с плоскостью развертки совмещаются все прочие грани призмы, т. е. выпол-няется полная р а с к а т к а ее боковой поверхности.

На рис. 9.2 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонталь-ной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость раз-вертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.

Построение развертки способом раскатки выполняется по следующе-му графическому алгоритму:

1-е действие. «Разрезать» поверхность призмы по очерковому ребру A-A1(A"-A1") и повернуть вокруг этого ребра грань АВ призмы до совме-щения с плоскостью развертки, построив ребро В-В1; чтобы построить на развертке это ребро, нужно провести из вершин оснований В(B") и В1(В1") перпендикуляры к ребру A-A1(A"-A1") и на пересечении этих перпендику-ляров с дугой-засечкой, равной стороне основания AВ(A'B'), построить точ-ки B и В1, определяющие положение ребра В-В1 на развертке (ребро В-В1 параллельно ребру А-А1).

2-е действие. Повторить последовательное вращение каждой грани вокруг следующего ребра и совместить каждую грань с плос-костью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засе-чек, равных следую-щим сторонам осно-вания BC(B'C') и CА(C'А').

3-е действие. Соединить постро-енные конечные точ-ки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру раз-вертки (достроено также одно основа-ние призмы).

Рис. 9.2


145

4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по реб-рам тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.

На этом же рисунке показано построение на развертке точки E, лежа-щей на грани BC призмы.

Р а з в е р т к а п о в е р х н о с т и п и р а м и д ы Построение развертки боковой поверхности пирамиды по натуральным

величинам ее ребер выполняется по следующему графическому алгоритму. 1-е действие. Построить на заданных проекциях пирамиды натураль-

ные величины всех ее боковых ребер (например, способом вращения во-круг проецирующей прямой) и натуральные величины сторон многоуголь-ника основания пирамиды (если основание лежит в плоскости уровня, то натуральные величины даны на одной из проекций).

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно грани пирамиды по натуральным величинам ребер и натуральным величи-нам сторон основания (с помощью дуг-засечек) так, чтобы они имели об-щую вершину S и примыкали друг к другу.

3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими штрихпунктирными линиями.

На рис. 9.3 показан пример построения развертки поверхности пра-вильной треугольной пирамиды, основание которой треугольник АВС на горизонтальной проекции имеет натуральные величины сторон, так как ле-жит в горизонтальной плоскости уровня.

Рис. 9.3


146

Для построения развертки выполнены графические действия предло-женного алгоритма.

1-е действие. Построить на заданной фронтальной проекции нату-ральные величины ребер пирамиды способом вращения вокруг горизон-тально-проецирующей оси i(i'), проходящей через вершину пирамиды точ-ку S (S') и совпадающую с ее высотой. Напоминаем графические действия этого способа преобразования:

1.1. Повернуть горизонтальные проекции ребер S'А', S'В' и S'С' во-круг оси i(i') так, чтобы они расположились параллельно фронтальной плос-кости проекций V (все ребра правильной пирамиды равны по длине), и по-лучить совмещенные проекции точек Ао'≡Во'≡Со'.

1.2. На фронтальной проекции пирамиды конечные точки А", В" и С" ребер перемещаются по горизонтальной линии, перпендикулярной оси i(i"), и на пересечении с линией связи от точек Ao'(Bo'≡Co') построить точки Ao"(Bo"≡Co").

1.3. Соединить вершину пирамиды S(S") с совпадающими точками Ao"(Bo≡Co") – полученный отрезок S"A"(S"B"≡S"C") и есть натуральная величина всех ребер пирамиды.

2-е действие. На свободном поле чертежа построить последовательно (например, против часовой стрелки) от ребра SA, по которому «разрезает-ся» поверхность, треугольники граней пирамиды с общей вершиной S сле-дующим образом:

2.1. Провести дугу радиусом R равным натуральной величине ребер S"Ao" пирамиды из произвольной точки S плоскости чертежа.

2.2. На дуге отметить (произвольно) вершину основания точку A, то есть построить ребро SA пирамиды.

2.3. На проведенной дуге засечками, равными длине сторон основания пирамиды A'В'=В'C'=C'A' отметить следующие точки вершин основания – B, C и точку A.

2.4. Построить треугольники граней пирамиды, соединив вершину S с вершинами основания и достроить основание пирамиды к стороне, на-пример, ВС грани SBC.

3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими штрихпунктирными линиями с двумя коротки-ми пунктирами.

Г е о д е з и ч е с к а я л и н и я Геодезическая линия – это линия кратчайшего расстояния между двумя

точками на поверхности. На развертке этой линии соответствует п р я -м а я . Геодезическая линия строится на развертке по двум ее конечным точкам, заданным на проекциях предмета, а затем достраивается на задан-ных проекциях по дополнительным промежуточным точкам, взятым на по-строенной развертке.


147

На рис. 9.3 показано построение проекций геодезической линии на поверхности пирамиды по двум заданным на проекциях конечным точкам D(D",D'-?) и E(E',E"-?).

Порядок графических действий для построения геодезической линии: 1-е действие. Построить полную развертку поверхности (в данном

примере развертка пирамиды уже построена). 2-е действие. Построить на развертке геодезическую линию. 2.1. Построить на развертке заданные точки D(D",D') и E(E',E"): – точка D определяется на развертке на пересечении вспомогательной

линии m, проведенной параллельно стороне АВ основания на расстоянии А-2о, равным отрезку Ао"-2о", взятому на построенной натуральной вели-чине ребер и отложенному по ребру SA развертки, и линии, проведенной через точку S и точку 1, построенную на стороне АВ развертки по отрезку A'-1', взятому на горизонтальной проекции А'В' стороны основания;

– точка E определяется на пересечении аналогично построенных ли-ний 4о-Е и S-3;

2.2. Соединить построенные на развертке точки геодезической линией D-E, которая пересекает ребро SB в точке F.

3-е действие. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции гео-дезической линии D-F-E на проекциях пирамиды по промежуточной точке F с учетом видимости линии на поверхности (на проекциях пирамиды про-екции геодезической линии – ломаные линии):

3.1. Отрезок B-F, взятый на развертке (отмечен скобкой), отложить на натуральной величине ребер, построенных на фронтальной проекции, и оп-ределить положение точки Fо".

3.2. Провести через точку Fо" линию, параллельную основанию пира-миды, и на пересечении с проекцией ребра SB(S"B") построить фронталь-ную проекцию точки F(F") геодезической линии.

3.3. Достроить горизонтальную проекцию точки F(F') по вспомога-тельной точке 5(5'), лежащей на ребре SC.

3.4. Соединить на проекциях пирамиды заданные проекции точек D и E с построенной точкой F, определив видимость участков ломаной геоде-зической линии.

На рис. 9.4 показан пример построения развертки неправильной тре-угольной пирамиды SABC и геодезической линии D-E-F на развертке и на проекциях пирамиды по заданным конечным точкам D и E. Основание пи-рамиды лежит в горизонтальной плоскости и на горизонтальной проекции пирамиды стороны основания имеют натуральную величину.

Построение развертки поверхности пирамиды выполнено по приведен-ному выше алгоритму с дополнительными графическими действиями по построению геодезической линии:

1-е действие. Построить на фронтальной проекции пирамиды спосо-бом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси i(i'), проходящей через вершину пирамиды S(S'), натуральные величины всех ребер пира-


148

миды и вспомогательной линий S-1, проведенной на грани пирамиды SAC через заданную точку D, и определить проекцию Dо" точки D на натураль-ной величине S"-1o" вспомогательной линии S-1: вспомогательная линия S-2, проведенная через точку E(E',E"), является фронтальной (//V), и про-екция S"-2" есть ее натуральная величина, которую можно использовать для построения точки E на развертке.

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно от ребра SA по часовой стрелке треугольники граней пирамиды с общей вершиной S по натуральным величинам ее ребер и сторон основания ду-гами-засечками соответствующей величины и достроить основание пира-миды к стороне АВ.

3-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба. 4-е действие. Построить геодезическую линию на развертке и задан-

ных проекциях пирамиды. 4.1. Построить на развертке конечные точки D и E на вспомогатель-

ных линиях S-1 и S-2 по натуральным величинам отрезков 1-D(1о"-Dо") и 2-E(2"-E") и соединить эти точки прямой геодезической линией D-E, ко-торая пересекает ребро SC в точке F.

4.2. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции ломаной гео-дезической линии D-F-E на проекциях пирамиды с учетом ее видимости, определив проекции точки F(F',F") на ребре SC(S'C',S"C") по ее положе-нию на развертке (по отрезку C-F).

Рис. 9.4


149

П р и б л и ж е н н ы е р а з в е р т к и ц и л и н д р и ч е с к и х и к о н и ч е с к и х п о в е р х н о с т е й

Развертки цилиндрических и конических поверхностей выполняются аналогично разверткам призматических и пирамидальных поверхностей. При этом цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) впи-санной многоугольной призматической поверхностью (обычно 12-угольной), а коническая поверхность заменяется вписанной многоугольной пирами-дальной поверхностью, т. е. строятся приближенные развертки.

Р а з в е р т к а к р у г о в о г о ц и л и н д р а Развертку поверхности прямого кругового цилиндра можно выполнять

следующими способами: – способом нормального сечения на свободном поле чертежа, если

образующие являются прямыми уровня, а основания не перпендикулярны образующим;

– способом раскатки при тех же условиях (развертка является при этом продолжением проекции).

Развертка эллиптического цилиндра (нормальное сечение – эллипс) вы-полняется способом раскатки, если образующие являются прямыми уровня, и на проекциях есть круговое основание (не рассматривается).

Графические алгоритмы для построения разверток поверхности ци-линдра этими способами аналогичны вышеприведенным графическим ал-горитмам для построения разверток призмы такими же способами.

На рис. 9.5 показан пример построения развертки боковой поверхно-сти прямого кругового цилиндра, наклоненного относительно горизон-тальной плоскости проекций H и срезанного по одному торцу профильной плоскостью.

Поскольку по условию задачи образующие являются фронтальными прямыми уровня, а нормальным сечением кругового цилиндра является ок-ружность, то здесь для построения развертки можно объединить и способы построения, и графические действия алгоритмов.

Развертка выполняется по предлагаемому графическому алгоритму. 1-е действие. Провести на фронтальной проекции цилиндра фрон-

тально-проецирующую плоскость нормального сечения α(αV) перпендику-лярно фронтальным проекциям образующих (в произвольном месте по дли-не образующих) и построить окружность нормального сечения, повернув плоскость этой окружности вокруг линии сечения.

1.1. Окружность нормального сечения разделить на двенадцать частей и точки деления пронумеровать от точки O на очерковой образующей А"-А1", то есть цилиндр заменить (аппроксимировать) двенадцатиугольной вписан-ной призмой; из точек деления окружности сечения провести на фронтальной проекции образующие до их пересечения с проекциями оснований.

2-е действие. На продолжении линии нормального сечения отметить двенадцать отрезков – сторон двенадцатиугольника (хорды окружности),


150

которым заменяется окружность сечения, и провести направления ребер (образующих), перпендикулярно линии сечения (линии пронумеровать), то есть выполнить от ребра А"-А1" последовательную раскатку граней приз-мы, заменившей цилиндр.

3-е действие. Построить конечные точки каждой образующей (ребра) на пересечении образующих с линиями, проведенными перпендикулярно образующим из одноименных точек нижнего основания.

4-е действие. Оформить чертеж развертки боковой поверхности ци-линдра, соединив построенные конечные точки образующих плавными кри-выми линиями (в примере развертка оборвана из-за недостатка места).

Для построения более точной развертки следует по формуле (1) (рис. 9.5, где L – диаметр цилиндра) вычислить длину развертки и разделив эту дли-ну на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.

Рис. 9.5

Р а з в е р т к а к р у г о в о г о к о н у с а На рис. 9.6 показан пример построения развертки боковой поверхно-

сти прямого кругового конуса со срезом фронтально-проецирующей плос-костью α(αV), которая пересекает его поверхность по эллипсу.

Построение развертки боковой поверхности конуса выполняется по алгоритму, приведенному выше для построения развертки пирамиды, с не-которыми дополнениями.

Развертка выполняется по предлагаемому алгоритму. 1-е действие. Заменить прямой круговой конус вписанной правильной

12-угольной пирамидой с ребрами-образующими.


151

2-е действие. Построить развертку боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ребер (образующих) и сторон основания, выпол-нив следующие графические действия:

2.1. Отметить на свободном поле чертежа точку S и провести дугу ра-диусом L, равным натуральной величине всех образующих конуса (ребер пирамиды).

2.2. Отметить на дуге точку O на вертикальной линии симметрии раз-вертки и построить вправо и влево на дуге засечками, равными сторонам-хордам 12-угольника, точки, соответствующие вершинам этого многоуголь-ника; пронумеровать эти точки и соединить их с вершиной развертки, пост-роив таким образом вспомогательные ребра-образующие (грани пирамиды).

3-е действие. Достроить на развертке линию среза конуса фронталь-но-проецирующей плоскостью α(αV), выполнив следующие графические действия:

3.1. На фронтальной проекции конуса перенести горизонтально на на-туральную величину образующей S"-6" точки сечения, отмеченные на вспо-могательных образующих, то есть вращением вокруг оси i(i",i') построить натуральные величины отрезков образующих-ребер сечения.

3.2. Отложить на соответствующих образующих развертки натураль-ные величины отрезков образующих-ребер до точек сечения (отмечены на фронтальной проекции и на развертке фигурными скобками отрезки O"-Oo" образующей для точки Oо и 2"-2о" образующей для точки 2o) и соединить построенные точки сечения на развертке плавной кривой линией.

4-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя сплошными тол-стыми линиями контур построенной развертки.

Рис. 9.6


152

Для построения более точной развертки следует вычислить по форму-ле (2) (рис. 9.6, где R – радиус основания конуса; L – длина образующей конуса) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.

На рис. 9.7, а дан чертеж поверхностей кругового цилиндра и кругового конуса, описанных вокруг сферы, и построена линия пересечения этих по-верхностей по теореме Г. Монжа. На рис. 9.7, б построена развертка кони-ческой части этой конструкции по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Провести произ-вольное сечение, перпендикулярное оси конуса, и повер-нуть половину ок-ружности сечения в очерковую плос-кость конуса.

2-е действие. Разделить окруж-ность сечения на 6 частей и перенести точки 1-6 парал-лельно оси конуса на линию сечения (проекцию окруж-ности), то есть по-строить точки 1о-6о.

3-е действие. Через вершину конуса S(S") и точки 1о-6о провести об-разующие конуса до пересечения с проекцией линии пересечения с проек-цией линии пересечения цилиндра и конуса О1"-6".

4-е действие. Вращением построенных образующих вокруг оси кону-са перенести точки 1о"-5о" на очерковую образующую S"-6", имеющую на чертеже натуральную величину.

5-е действие. На свободном поле чертежа провести радиусом R=S"Оо

дугу и отложить на этой дуге шесть отрезков-хорд, на которые было поде-лено сечение конуса.

6-е действие. Через точку S на развертке и построенные точки Оо-6 провести семейство образующих.

7-е действие. Отложить от точек Оо-6 на каждой образующей развертки соответствующие натуральные величины образующих, взятые с чертежа, то есть отрезки 6о-1о, 6о-2о и т. д.

8-е действие. Построенные на концах семейства образующих точки соединить плавной кривой и оформить чертеж развертки (построена поло-вина развертки).

хорда

сечение

Линия симметрии

S

6

5

4

32 1 0о

0i1о2о3о

4о

5о

6о

Ц

хорда

S"

0"1"K"2"3"

4"5"

6"

нат. вел.

образующих

произво

льное

нормальное

сечение

(окружн

ость)

ik"

5О"4О"3О"2О"1О"

6о

5о4о

1о2о

3о

0о

1

2

43

5

а

Рис. 9.7

б


153

На рис. 9.8 показано построение развертки боковой поверхности бо-ковой поверхности усеченного конуса (если вершину конуса на чертеже достроить нельзя) с основаниями, равными d и D.

Предварительно на чертеже усеченного конуса строится вспомогатель-ный неусеченный конус подобный заданному так, чтобы отношение диа-метра D исходного конуса к диаметру вспомогательного конуса d, было целым число, то есть K = D/d1 – целое число, где K – коэффициент кратно-сти оснований конусов.

Примем K = 3 и впишем в заданный конус вспомогательный конус с вершиной S".

Достроим горизонтальную проекцию вспомогательного конуса и раз-делим половину окружности основания d1 на 6 частей (1-6).

Далее приступаем к построению развертки половины усеченного ко-нуса по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. На свободном поле чертежа построить развертку вспо-могательного конуса с вершиной S (см. рис. 9.8), то есть построить точки 0-2-4-6 на дуге развертки.

2-е действие. На оси симметрии развертки (биссектриса полной раз-вертки) выбрать произвольную точку К и провести семейство лучей, со-единяющих соответственно произвольную точку К с точками 0-2-4-6 раз-вертки вспомогательного конуса.

3-е действие. Отложить на проведенных лучах отрезки, величины ко-торых определяются произведениями:

КОо = К×КО;

К2о = К×К2;

К4о = К×К4;

К6о = К×К6,

где К – принятый коэффициент про-порциональности, а величины КО, К2, К4 и К6 следует измерить на строящейся развертке.

На концах лучей определяются точки Оо, 2о, 4о и 6о.

4-е действие. Через построен-ные точки на концах лучей прове-сти прямые n0-n6, каждая из которых должна быть соответственно парал-лельна образующим вспомогатель-ного конуса на его развертке.

5-е действие. На проведенных прямых n0-n6 отложить натуральную величину длин образующих задан-ного усеченного конуса L.

d

D

L

d

1

конус, подобный

заданному

L

LS

K

произвольная

точка

Линия

симметрии

6о

4о

2о

0о

nоn2

n4

n6

1

23

4

5

6

0' S'

6

4

2

K6о=K·K6

Рис. 9.8


154

6-е действие. Оформить чертеж развертки, соединив построенные точ-ки развертки лекальными прямыми.

У с л о в н ы е р а з в е р т к и п о в е р х н о с т е й Условные развертки можно выполнить для некоторых неразвертыва-

ющихся поверхностей. Рассмотрим построение условных разверток неразвертывающихся по-

верхностей сферы и открытого тора (кругового кольца). Р а з в е р т к а с ф е р и ч е с к о й п о в е р х н о с т и На рис. 9.9 показано построение условной развертки сферической по-

верхности. Поверхность сферы

условно разрезают на ка-кое-то количество частей (6, 12 и более) и каждую часть заменяют (аппрок-симируют) цилиндриче-ской описанной поверх-ностью, фронтальная про-екция которой совпадает с фронтальным очерком сферы – окружностью.

Далее выполнятся развертка одной доли по-верхности сферы как сек-тора цилиндрической по-верхности по следующе-му графическому алго-ритму:

1-е действие. На го-ризонтальной проекции разрезать поверхность сферы на 6 частей и рас-смотреть эту 1/6 часть (сектор) как фронтально-проецирующий цилиндр, описанный вокруг сферы.

2-е действие. Разделить дугу очерковой окружности А0В0 сферы, ко-торая совпадает с окружностью описанного цилиндра, на 12 частей (по-скольку есть симметрия, рассматриваем дугу А0С0) и заменить участки хордами (то есть вписать 12-угольную призму) – А0"-1", 1"-2" и т. д.

3-е действие. Спроецировать точки 1"-6" на стороны взятого сектора его горизонтальной проекции.

Рис. 9.9

хорда

1

2

3

4

5

А1/6 доля

развертки

В

Со 6

6о 6о

Очерк сферы совпадает с

очерком описанного цилиндра

хорда

0

А

1

2

3

4

5

Во

АО"1"2"

3"

4"

5"

6"

Со 6"

Развертка дуги по хордам

Описанные

цилиндры

2'1'3'4'5'Со 6'

1/6 сферы

6о'

6о'

А'

1о2о

1о2о


155

4-е действие. Свободном поле чертежа провести вертикальную линию и отложить от точки С0 вверх и вниз по 6 отрезков, равных величине хорд (точки пронумеровать).

5-е действие. Через каждую построенную точку А-6 провести гори-зонтальные линии и на каждой отложить величину соответствующей обра-зующей: 10-10, 20-20 и т. д.

6-е действие. Конечные точки соединить лекальной кривой. Таким образом построена 1/6 доля условной поверхности сферы, а 6 та-

ких долей составят развертку всей поверхности. С увеличением количества долей (1/12, 1/24 и т. д.) точность разверт-

ки увеличивается. Р а з в е р т к а п о в е р х н о с т и о т к р ы т о г о т о р а На рис. 9.10 показана условная развертка поверхности открытого тора. Поверхность кольца разрезают на какое-то количество долей (6, 12

и более) плоскостями, проходящими через его ось i", и заменяют каждую долю (сектор) поверхно-сти описанной цилиндри-ческой поверхностью.

Далее выполняют раз-вертку одной доли поверх-ности по графическому алгоритму, приведенному для построения развертки одной доли поверхности сферы.

На рис. 9.11 приведен чертеж построения части (правой) развертки комби-нированной геометриче-ской поверхности, состоя-щей из трех полых цили-ндров, сообщенных двумя коническими рукавами, в котором подытоживается изученный материал дан-ной темы. Показано, что развертка каждой части комбинированной поверх-ности строится отдельно.

Структуризация материала девятой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 9.12 (лист 1). На последующих листах 2–5 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального за-крепления изученного материала при повторении (рис. 9.13–9.16).

Рис. 9.10

6

5

4

1

2

3

0

0 0

1/6 развертки

поверхности тора

1о

2о

3о

4о

5о

6о

Очерк образующей тора

совпадает с поверхностью

цилиндра

хорда

0'

1'

2'3'

4'

5'

6'

описанный

цилиндр

1/6 тора

0 1 2 3 4 5 6

i"

0о

0о1о

2о

3о

4о

5о 6о


156

Рис

. 9.1

1

65

432

1

хорда

F

D1=70-d

Sк

6

5

4

F3

2

1

LОО1

65

43

2

О2О3

1

K7K8

K1K2

K5

6K

K3K4

дополнительная


65

43

хорда

21

2О О 3

005

04

01

30F

4

О1

ОО

БНТУ

Разраб.

Провер.

Графическая работа № В

ар.

Гр.

хорда

хорда

Линия симметрии

окр-ть

сечения

хорда

О1

20

6

54

F3

21

202

SK

О4

0

M

F0

Fõîðäà 2

2

L

12

43

56

0

6

54

3

2

1

Sк

О4

0

2 30

G

2D

F

О1

E

12

34

56

70

1

3

1

F

F 0

F0

10

10

M

L

D

40

50

50

40

хорда

дополнительная

хорда

дополнит-я

2D

2=70-d

хорда

дополнит-я

6


157

Ðàçâåðòêè ïîâåðõíîñòåé

Ðèñ. 9.14

Ðèñ. 9.15, à

Ðèñ. 9.15, á

Ðèñ. 9.16, à

Ðèñ. 9.16, á

Ðèñ. 9.13, à

Ðèñ. 9.13, á

Ëèñò 1

Рис. 9.12


158

Ëèñò 2

Рис. 9.13

у

10.1. Ðàçâåðòêà ãðàííûõ ïîâåðõíîñòåé

Ðàçâåðòêà ïðèçìû.

à. Ñïîñîá íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ (ïðèìåíÿåòñÿ, åñëè íà ÷åðòåæå ðåáðà ïðèçìû ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè óðîâíÿ)

D1'

ребро

Ãðàôè÷åñêèé àëãîðèòì:

1. Ïîñòðîèòü íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ê ðåáðàì ïðèçìû.

2. Ðàçâåðíóòü ñòîðîíû ñå÷åíèÿ â ëèíèþ è èç âåðøèí, ïðîâåñòè íàïðàâëåíèÿ ðåáåð ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ëèíèè ðàçâåðòêè.

3. Îòëîæèòü ââåðõ è âíèç îò òî÷åê âåðøèí íàòóðàëüíûå îòðåçêè ðåáåð è ñîåäèíèòü ïîñòðîåííûå âåðøèíû; ïðîâåñòè

ëèíèè ñãèáà íà ìåñòå ðåáåð òîíêèìè øòðèõïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè ñ äâóìÿ øòðèõàìè.

á. Ñïîñîá ðàñêàòêè (ïðèìåíÿåòñÿ, åñëè íà ÷åðòåæå ðåáðà ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè óðîâíÿ è åñòü íàòóðàëüíàÿ

âåëè÷èíà îñíîâàíèÿ)

Ãðàôè÷åñêèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ íà

÷åðòåæå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè:

1. Ïîñòðîèòü ðàçâåðòêó ïîâåðõíîñòè ïðèçìû.

2. Ïîñòðîèòü íà ðàçâåðòêå çàäàííûå íà

ïîâåðõíîñòè òî÷êè (M è N) è ñîåäèíèòü

ïðÿìîé ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé, êîòîðàÿ

ïåðåñåêàåò ðåáðî A â ò.K.

3. Âåðíóòü ïîñòðîåííóþ ò.K íà ïðîåêöèè

ïðèçìû è ñîåäèíèòü ñ çàäàííûìè òî÷êàìè M è

N ëîìàíîé ëèíèåé ñ ó÷åòîì åå âèäèìîñòè íà

ïîâåðõíîñòè.(M")

A

В С

A

1 12 3

D

Рис. 10.1

(N')

С'

В'

А'К'

М'

А" С" В"

К"

N"

N

К М

СО

АОR=А'В'

ВО

Геодезическая

линия

натуральная вели-

чина сечения

н.в. ребер

A" С"

В"

2"

V - нормальное сечение

3"

1"

D"

V Н1

Х1

VН

Х

С' 3'

В' 2'D'

1'А'11'

31'

21'

R=В'С'

R=С'А'

Линии

сгиба

у


à.

á.


159

Ëèñò 3

Рис. 9.14

SА

m

В

М

К

N

С

В

Аосн.

1

Н.в. SA

Геодезическая

линия

Линии сгиба

К"

В" А" С"

КО"

МО"

ВО"mО

СО"

ВО'СО'

S" i"

N'

С'

К'

М'

А'

В'

m"

m'

1'

mО

Н.в. ребер

1О

Н.в. SA

Ðàçâåðòêà ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû.

S' i'

Ãðàôè÷åñêèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðàçâåðòêè

ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû:

1. Ïîñòðîèòü íàòóðàëüíûå âåëè÷èíû âñåõ

ðåáåð ïèðàìèäû (ñïîñîáîì âðàùåíèÿ âîêðóã

ïðîåöèðóþùåé îñè).

2. Âûïîëíèòü ðàçâåðòêó ïîâåðõíîñòè,

ïîñòðîèâ ïî íàòóðàëüíûì âåëè÷èíàì ðåáåð

òðåóãîëüíèêè ãðàíåé è îñíîâàíèå.

3. Ñîåäèíèòü îòðåçêàìè ïîñòðîåííûå íà

ðàçâåðòêå âåðøèíû è îôîðìèòü ëèíèè ñãèáà.


à.

á. Ре


160

Ëèñò 4

Рис. 9.15

6

5

3

4 2 1

0

01236 5 4

хорда

Rдуги = хорде

натуральная величина


10.2 Развертка цилиндрических поверхностей

1. Способ нормального сечения

2. Способ раскатки

окр.

натуральная

вел. образующих

развертка

нормального

сечения

хорда

Рис. 10.4

нормальное

сечение

линия

симметрии


хорда

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

01

2 34

5

6


á.

à.


161

Ëèñò 5

Рис. 9.16

F

Е

D

D

6'

0'

1'

А'

2' 3'

4'

5'

0" 1"

А" В"

2" 3" 4" 5" 6"

С"

F"

Е"D"

ВО"

СО"

DО"ЕО"FО"

L

хорда

Для прямого кругового конуса:

- угол точной развертки,

= (R/L) · 360°,где R - радиус основания;

L - натуральная величина образующих

Фронтально-проецирующий

описанный цилиндр

L

L

R

линия сгиба

R


Рис. 10.6

Рис. 10.7

60°

0"1"

2"

3"

3' 2'1'

0'

хорды

0

1

2

3

1/6 доля

поверхности шара

С

В

A

S

6

5

4

3

21 0

хорда

?

S"


à.

á.


162

Лекция 10 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

О б щ и е с в е д е н и я и о п р е д е л е н и я Прямоугольные проекции предмета на взаимно перпендикулярные

плоскости проекций по методу Г. Монжа позволяют точно передать на чертеже форму предмета и его размеры, просты в построении, но не обла-дают наглядностью. Создание в уме по комплексному чертежу простран-ственного образа изображенного предмета требует навыков аналитическо-го мышления и наличия пространственного воображения, т. е. достаточно развитого пространственного мышления.

Для наглядного изображения предмета существуют проекции, кото-рые называют а к с о н о м е т р и ч е с к и м и проекциями, или а к с о н о -м е т р и я м и (в переводе с древнегреческого – осеизмерение).

Аксонометрическая проек-ция – это параллельная проек-ция предмета вместе с систе-мой прямоугольных координат, к которым этот предмет отне-сен в пространстве, на некото-рую плоскость аксонометриче-ских проекций (рис. 10.1).

Чтобы обеспечить нагляд-ность предмета по о д н о м у изображению на о д н о й ак-сонометрической плоскости, на-правление проецирования (на-правление проецирующих лу-чей) не должно быть параллель-ным координатным плоскостям проекций xOy, xOz и zOy, отно-сительно которых выполняются проекции предмета на чертеже.

Систему прямоугольных координат Oxyz, к которой предмет относят в пространстве для построения его аксонометрии, выбирают обычно так, чтобы оси x, y и z этой системы совпадали с натуральной системой коор-динатных осей чертежа.

Аксонометрические проекции как проекции параллельные имеют не-которые свойства параллельных проекций:

– аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой; – если отрезки прямых параллельны на предмете, они также парал-

лельны на его аксонометрической проекции; – аксонометрической проекцией окружности на аксонометрии в об-

щем случае является эллипс.

Рис. 10.1

xα, yα, zα – аксоно-метрические оси Плоскость аксоно-

метрических проекций

Аксонометрическая проекция точки A

Oα-Axα-A'-Aα – плоская координатная ломаная

Проецирующие лучи к плоскости α


O-Ax-A'-A – пространственная координатная ломаная

Вторичная проекция точки A

Aα

α

Axα exα

eyα

Oα

ezα

A'α

xα

xα

yα x

z

y

A

Ax

ex

A'

ey

ez

O

S


163

На рис. 10.1 показана схема проецирования точки А, построенной на чертеже в системе натуральных прямоугольных координат Оxyz и отнесен-ную к этим же координатам, на некоторую плоскость аксонометрических проекций α по направлению проецирования S.

Положение точки А определяется в этой системе пространственной ко-ординатной ломаной O-Ax-A'-A, отрезки которой соответствуют координа-там x, y и z точки А. На взятой произвольно плоскости аксонометрических проекций α получены три прямые xα, yα и zα, выходящие из одной точки Oα, которые называются аксонометрическими осями и являются проекциями пространственных координатных осей x, y и z, к которым отнесена точка А. Полученные углы между аксонометрическими осями зависят от положения аксонометрической плоскости и угла проецирования к этой плоскости. На аксонометрии положение точки Аα определяет плоская координатная лома-ная Оα-Аxα-Ao'-Aα, отрезки которой соответствуют аксонометрическим ко-ординатам xα, yα и zα аксонометрической проекции точки А(Аα).

Поскольку направление проецирования S не параллельно ни одной из осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные размеры отрезков пространственной координатной ломаной О-Аx-A'-A на аксонометрической проекции искажаются и, следовательно, искажаются размеры любого предмета на его аксонометрическом изображении.

Для определения степени искажения размеров предмета на аксоно-метрических проекциях введено понятие коэффициентов искажения по аксонометрическим осям.

Если на осях x, y и z системы натуральных прямоугольных координат отложить от точки О равные масштабные отрезки ex = ey = ez, то в систе-ме аксонометрических координатных осей получаются искаженные проек-ции этих отрезков еxα, еy α и ezα.

Отношения аксонометрических проекций масштабных отрезков к на-туральным величинам масштабных отрезков и называются коэффициента-ми искажения по аксонометрическим осям:

Z

Z

Y

YY

X

XX e

eK

e

eK

e

eK ;; .

Расчетные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудоб-ные для выполнения аксонометрических построений (0,82; 0,47 и т. д.).

Для построения на чертежах аксонометрических проекций пользуют-ся так называемыми приведенными коэффициентами искажения, округлен-ными до 1 или 0,5.

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициен-тов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь не рассматриваются (по-дробнее об этом см. в [12]).


164

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксоно-метрические проекции разделяются на:

а) и з о м е т р и ч е с к и е , у которых все коэффициенты искажения равны, т. е. Kx = Ky = Kz (izos – равный);

б) д и м е т р и ч е с к и е , у которых два коэффициента равны, т. е. Kx = Kz, а Ky им не равен (di – двойной);

в) т р и м е т р и ч е с к и е , у которых все коэффициенты разные, т. е. KxLyKz (treis – три).

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксо-нометрических проекций (угла проецирования), аксонометрические про-екции разделяются на:

а) п р я м о у г о л ь н ы е – проецирующие лучи перпендикулярны ак-сонометрической плоскости проекций (угол проецирования равен 90°);

б) к о с о у г о л ь н ы е – проецирующие лучи не перпендикулярны ак-сонометрической плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°).

Аксонометрических проекций можно получить бесконечное множе-ство, как может быть бесконечно количество аксонометрических плоско-стей проекций и направлений проецирования к ним.

Основная теорема аксонометрических проекций была сформулирова-на немецким геометром К. Польке: «Любые три отрезка на плоскости, вы-ходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельные проекции (то есть аксонометрические проекции) трех равных и взаимно перпендику-лярных отрезков (аксонометрических осей) в пространстве».

Г. Шварц, немец-кий математик, обоб-щил теорему К. Поль-ке, доказав, что «лю-бой полный четырех-угольник на плоскости всегда является парал-лельной проекцией не-которого масштабного тетраэдра (пирамиды), имеющего равные и взаимно перпендику-лярные ребра» (диаго-нали четырехугольни-ка можно рассматри-вать как аксонометри-ческие оси, рис. 10.2). Эту обобщенную тео-рему и называют тео-ремой Польке-Шварца.

Рис. 10.2

Oα

OABC – масштабный тетраэдр (треугольная пирамида), выде-ленный из куба с равными взаимноперпендикулярными ребрами:

OA OC; OC OB; OB OA

OαAαBαCα – полный (вы-пуклый) четырехугольник

(проекция пирамиды)


Плоскость ак-сонометриче-ских проекций

Аксонометриче-ские оси xα, yα, zα

A

O B

C

A

O B

C

Куб

α

Aα

Bα

Cα

xα

yα

zα


165

С т а н д а р т н ы е а к с о н о м е т р и и ГОСТ 2.317–2011 – «Аксонометрические проекции». Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициен-

тов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь, как указывалось, не рас-сматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

В стандарте даны пять видов аксонометрических проекций: 1. Прямоугольная изометрия. 2. Прямоугольная диметрия. 3. Косоугольная фронтальная диметрия. 4. Косоугольная фронтальная изометрия. 5. Косоугольная горизонтальная изометрия. В курсе начертательной геометрии рассматриваются первых три вида

аксонометрических проекций. Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометри-

ческое изображение предмета в виде эллипсов. Различные графические способы построения четырехцентровых овалов, которыми заменяют эллип-сы, окружности которых лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций V, H и W, рассматриваются в учебниках по черчению и инже-нерной графике. Эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, непа-раллельных плоскостям проекций, строятся на аксонометриях в основном по точкам, принадлежащих этим окружностям.

П р я м о у г о л ь н а я и з о м е т р и я В прямоугольной изометрии аксонометрические оси расположены под

равными углами друг к другу (120). Для прямоугольных аксонометрий получена расчетная формула по ко-

эффициентам искажения:

2222 ZYX KKK ,

т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум [12]. В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения равны и по

приведенной формуле получается, что Kx = Ky = Kz = 0,82. Для построения прямоугольной изометрии пользуются п р и в е д е н н ы м и коэффици-ентами искажения, округленными до единицы, то есть Кx = Ky = Kz = 1.

Аксонометрическая плоскость прямоугольной изометрии равнонакло-нена ко всем трем плоскостям проекций H, V и W и пересекает эти плоско-сти проекций по равностороннему треугольнику, который называют тре-угольником следов. Следовательно, аксонометрические оси прямоугольной изометрии являются высотами, биссектрисами и медианами этого тре-угольника, а точка Оα их пересечения является точкой начала аксономет-рических координат. Как известно из геометрии, углы между высотами равностороннего треугольника равны 120 градусам и соответственно углы между аксонометрическими осями также равны 120°.


166

На рис. 10.3 показано расположение аксонометрических осей в пря-моугольной изометрии (ось «z» всегда располагается вертикально), разме-ры и расположение больших и малых осей эллипсов и их построение од-ним из известных способов.

Большие оси АВ всех трех эллипсов равны 1,22d, где d – диаметр окружности, а малые оси EF эллипсов равны 0,71d.

Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксоно-метрических осей:

– э л л и п с 1 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси y, а малая ось совпадает с осью y;

– э л л и п с 2 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций H: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси z, а малая ось совпадает с осью z;

– э л л и п с 3 : аксоно-метрическая проекция ок-ружности, лежащей на про-екциях предмета в плос-кости, параллельной плос-кости проекций W: боль-шая ось эллипса перпенди-кулярна аксонометрической оси x, а малая ось совпадает с осью x.

На рис. 10.3 показан один из способов построе-ния четырехцентровых ова-лов, которыми на чертежах заменяют эллипсы в прямо-угольной изометрии.

Графические действия для построения овалов сле-дующие:

– провести две концентрические окружности, диаметры которых рав-ны размерам большой и малой оси эллипса с центром в точке O2;

– из двух центров в точках 1, лежащих на окружности большой оси, провести две большие дуги радиусами R = 1Е и R = 1F;

– из точек 1 провести прямые n через точки 2, лежащие на окружно-сти малой оси;

– на пересечении проведенных дуг и прямых n получить точки 3, ко-торые определяют окончание больших дуг;

Рис. 10.3


167

– из двух центров в точках 2 провести две малые дуги радиусами r = 2A и r = 2B до точек 3.

П р я м о у г о л ь н а я д и м е т р и я В прямоугольной диметрии коэффициенты искажения по аксономет-

рическим осям x и z равны между собой, а коэффициент искажения по оси y принят равным их половине. Отсюда по приведенной формуле (1) получе-ны следующие величины коэффициентов искажения по аксонометриче-ским осям: Kx = Kz = 0,94, а Ky = 0,47. Для построения прямоугольной диметрии пользуются приведенными коэффициентами искажения, округ-ленными и равными: Kx = Kz = 1, а Ky = 0,5.

Аксонометрические оси по математическим расчетам располагаются относительно горизонтальной линии следующим образом: ось z располо-жена вертикально, ось x – под углом 7°10', ось y – под углом 41°25'.

На рис. 10.4 показано рас-положение аксонометрических осей и способ графического по-строения углов между осями, размеры и расположение боль-ших и малых осей эллипсов и способы построения четырех-центровых овалов, заменяющих эллипсы на чертеже.

1. Графический способ по-строения аксонометрических осей на чертеже:

– провести горизонталь-ную линию и вертикальную ось Z и отметить на их пере-сечении точку O начала коор-динат;

– отложить на горизон-тальной линии от точки O вле-во (или вправо) 8 размерных единиц (8 раз по 10 мм) и про-вести вертикальную линию;

– от конечной точки от-ложить вниз 1 размерную еди-ницу, а вверх 7 размерных единиц;

– через конечные точки вертикальных отрезков и точку O провести аксонометрические оси X и Y.

2. Большие оси АВ всех трех эллипсов равны 1,06d, а величины ма-лых осей EF эллипсов следующие:


168

– малая ось эллипса 1 равна 0,95d; – малые оси эллипсов 2 и 3 равны 0,35d. Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксономет-

рических осей: – э л л и п с 1 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на

проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна оси y, а малая ось эллипса совпада-ет с осью y;

– э л л и п с 2 : проекция окружности, лежащей в плоскости, параллель-ной плоскости проекций H: большая ось эллипса перпендикулярна оси z, а малая ось совпадает с осью z;

– э л л и п с 3 : проекция окружности, лежащей в плоскости, параллель-ной плоскости проекций W: большая ось эллипса перпендикулярна оси x, а малая ось совпадает с осью x.

Графические действия для построения овала 1 с центром в точке О1: – отложить на прямой, перпендикулярной оси y, отрезок AB, равный

размеру большой оси эллипса Do = 1,06d; – отложить на оси y отрезок EF, равный размеру малой оси эллипса

do = 0,95d; – из точки О1 провести окружность d1=0,2d, которая пересечет малую

ось эллипса в точках 1 и 1o, а большую ось в точках 2 и 2o; – из полученных точек 1 и 1o провести дуги радиусами R от точки 1

до точки F и от точки 1o до точки E; из точек 2 и 2o провести дуги радиу-сами r от точки 2o до точки A и от точки 2 до точки B;

– дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано). Графические действия для построения овала 2 с центром в точке О2: – отложить на горизонтальной прямой, перпендикулярной оси Z, отре-

зок AB, равный размеру большой оси эллипса 1,06d; – отложить на продолжении оси Z отрезок EF, равный размеру малой

оси 0,35d; – отложить на оси y отрезок EF, равный размеру малой оси эллипса

do=0,95d; – построить точки 1, отложив от точки О2 вверх и вниз по оси Z от-

резки О2-1, равные большой оси эллипса Do = 1,06d; – построить точки 2 на большой оси, отложив от точек А и В отрезки

А-2 и В-2, равные 1/4 малой оси эллипса do; – из полученных точек 1 провести две большие дуги радиусом

R = Do + 1/2do, а из точек 2 провести две малые дуги радиусом r = 1/4do; – дуги проводить до точек сопряжения "3" (построение показано). Построение овала 3 выполняется аналогично (большая ось АВ x).

К о с о у г о л ь н а я ( ф р о н т а л ь н а я ) д и м е т р и я В качестве аксонометрической плоскости проекций здесь взята плос-

кость, параллельная плоскости проекций V. Поэтому на аксонометрии со-


169

храняется угол 90º между аксонометрическими осями x и z, а ось y распо-лагают под углом 45о к горизонтальной прямой.

Приведенные коэффициенты искажения по аксонометрическим осям: по осям x и z: Kx = Kz = 1, а по оси y: Ky = 0,5.

На рис. 10.5 показано распо-ложение аксонометрических осей в косоугольной диметрии, разме-ры и расположение больших и малых осей эллипсов и графиче-ский способ построения овалов.

Окружности на проекциях предмета, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости проек-ций V, проецируются на аксоно-метрическое изображение в виде окружностей, т. е. не искажают-ся, так как параллельны плоско-сти аксонометрических проекций.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плос-костям проекций H и W, про-ецируются на аксонометриче-ское изображение в виде эллип-сов, большие оси AB которых равны 1,07d, а малые оси EF равны 0,33d.

Расположение больших и малых осей эллипсов относи-тельно аксонометрических осей:

– эллипс 2: большая ось AB расположена под углом 7о14' к горизон-тальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси y; малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса;

– эллипс 3: большая ось AB расположена под углом 7о14' к вертикаль-ной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси y; малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса.

Графическое построение двух одинаковых овалов 2 и 3, заменяющих эллипсы на чертежах, аналогичны построениям овалов для прямоугольной диметрии.

П р и м е р ы п о с т р о е н и я а к с о н о м е т р и ч е с к и х п р о -е к ц и й

На рис. 10.6 показан пример построения аксонометрической проекции правильной треугольной пирамиды со срезом фронтально-проецирующей плоскостью β(βV) в прямоугольной диметрии.

Рис. 10.5


170

Построение аксонометрии пирамиды выполняется по предлагаемому

графическому алгоритму. 1-е действие. Отнести пирамиду к системе прямоугольных координат

x, y и z, оси которой параллельны осям натуральной системы координат, но проходят через высоту пирамиды (ось z) и ее основание (оси x и y).

2-е действие. Определить в принятой системе координат на проекци-ях пирамиды координаты x, y и z отмеченных точек 1, 2, 3, лежащих на ребрах пирамиды, и точек ABC – вершин основания пирамиды.

3-е действие. На свободном поле чертежа провести аксонометриче-ские оси прямоугольной диметрии из произвольной точки О: ось z – вер-тикально, ось x – под углом 7°10´, а ось y – под углом 41°25´ к горизон-тальной линии (использовать графический способ построения аксономет-рических осей).

4-е действие. Построить тонкими линиями аксонометрическую про-екцию пирамиды без среза.

4.1. Построить аксонометрическое изображение основания пирамиды AоBоCо по координатным ломаным этих точек (основание лежит в системе осей xOy и называется вторичной проекцией):

– точка Aо: координатная ломаная xA – yA; – точка Bо: координатная ломаная xB – yB; – точка Cо: yC. !!! Координатные отрезки параллельны соответствующим аксономет-

рическим осям.

Рис. 10.6


171

4.2. Построить по координате zS на аксонометрической оси z проек-цию вершины пирамиды и соединить вершину S с точками основания AоBоCо ребрами, то есть построить аксонометрию пирамиды.

5-е действие. Достроить срез на аксонометрии пирамиды, построив на ребрах пирамиды по координатам x, y и z аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2 и 3 по соответствующим плоским координатным ломанным:

– точка 1 на ребре SAо: координатная ломаная – x1-y1-z1; – точка 2 на ребре SCо: y2-z2; – точка 3 на ребре SBо: x3-z3-y3. 6-е действие. Оформить аксонометрию пирамиды, выполнив толсты-

ми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полную про-екцию пирамиды, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.7 показан пример построения аксонометрической проекции конуса со срезами двумя фронтально-проецирующими плоскостями (в се-чении плоскостью α – треугольник со сторонами-образующими, в сечении плоскостью β – эллипс) в прямоугольной изометрии.

Графические действия для построения аксонометрии конуса соответ-

ствуют предложенному алгоритму для построения аксонометрии пирамиды:

Рис. 10.7


172

1-е действие. Отнести конус к такой же системе прямоугольных ко-ординат x, y и z (ось z совпадет с высотой конуса, оси x и y проходят по основанию конуса).

2-е действие. Определить координаты x, y и z для точек 1, 2, 3 и 4 на поверхности конуса для построения сечений на его аксонометрии.

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести оси прямоугольной изометрии под углами 120° с вертикальной осью z.

4-е действие. Построить аксонометрическую проекцию конуса без срезов:

4.1. Построить эллипс основания конуса с центром в точке О, большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси Z, так как окруж-ность основания конуса лежит в горизонтальной плоскости (см. графиче-ское построение овала 2 на рис. 10.3).

4.2. Построить вершину конуса точку S на оси z по ее координате zs и провести две касательные к эллипсу через вершину S.

5-е действие. Достроить срезы на аксонометрии конуса, построив ак-сонометрические проекции отмеченных точек 1, 2, 3 и 4 по соответствую-щим плоским координатным ломаным:

– точка 1: координатная ломаная x1-z1; – точки 2: координатная ломаная x2-y2-z2; – точки 3: координатная ломаная y3-z3; – точки 4: координатная ломаная x4-y4-z4 (лежат на образующих S-5о). Соединить построенные точки соответствующими линиям (участок

эллипса и треугольник). 6-е действие. Оформить чертеж аксонометрии конуса, выполнив тол-

стыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полный контур пирамиды, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.8 показано построение аксонометрической проекции ци-линдра с полуцилиндрическим вырезом (их радиусы равны) в прямоуголь-ной изометрии.

В этом частном случае пересечения поверхностей для построения ли-нии пересечения на профильной проекции следует применить теорему Г. Монжа, так как эти две цилиндрические поверхности 2-го порядка рав-ных диаметров описаны вокруг сферы.

Построение аксонометрии выполняется по аналогичному графиче-скому алгоритму:

1-е действие. Отнести цилиндр к системе координатных осей x, y и z: оси x и y провести по нижнему основанию, а ось z – по оси вращения ци-линдра.

2-е действие. Обозначить характерные и промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 на поверхности цилиндра и определить координаты x, y, z обозначен-ных точек для построения линии пересечения полуцилиндрического выре-


173

за с поверхностью заданного цилиндра (симметричные точки обозначены на одной половине окружности).

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала ак-сонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоуголь-ной изометрии: ось z – вертикально, а оси x и y – под углами 120° к оси z.

4-е действие. Построить аксонометрию цилиндра без выреза. 4.1. Построить эллипс нижнего основания цилиндра в точке О, боль-

шая ось которого перпендикулярна оси z, так как окружность основания лежит в горизонтальной плоскости.

4.2. Построить точку О1 верхнего основания по координате zО1 и эл-липса верхнего основания; соединить эллипсы двумя очерковыми образу-ющими по конечным точкам больших осей эллипсов.

5-е действие. Достроить вырез на аксонометрии цилиндра, построив проекции обозначенных точек 1, 2, 3 и 4 по координатным ломаным (сни-зу вверх) x – z:

точки 1 и 4 → x1(x4) – z1(z4); точки 2 → x2 – z2 (четыре точки); точки 3 → z3 (две точки); точки К (на очерковых образующих; см. построения на горизон-

тальных проекциях) → xК – zК; построенные точки соединить: – одна плоская кривая проецируется на аксонометрию в виде эллипса; – вторая плоская кривая проецируется в прямую линию (запомните!). 6-е действие. Соедините построенные точки соответствующими ли-

ниями – отрезками образующих и участками эллипсов.

x2

z2

x2

xк xк

x1 x1

O

1"

2"

3"

K"

1'

2'3'

4'

K'

R

2"K"

4"

2'

л'n'

л"n"

y

x

45°

очерковые образующие

на аксонометрии

zK

z1=z

4

O1

z3

zO1

z2

z3

zK

K

23 1

2 O1

4

z

K

zK

z4

z2

K0

1020

30

20

40

K0

z1

zK

zKz2

z2

z1

z1

x y

плоская координатная

ломанная для т. 2

Рис. 10.8


174

7-е действие. Оформить аксонометрию цилиндра, выполнив толсты-ми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полный кон-тур цилиндра, невидимые линии и линии построения).

На рис. 10.9 показан при-мер построения шара со сре-зами в прямоугольной изо-метрии.

Напомним, что сечени-ем поверхности шара любой плоскостью является окруж-ность. Но на чертеже окруж-ности проецируются в эллип-сы. В примере срезы выпол-нены профильной плоскостью α(αV), горизонтальной плос-костью β(βV) и фронтально-проецирующей плоскостью γ(γV). Следовательно, на ак-сонометрическом изображе-нии шара:

эллипс окружности Øα, лежащий в профильной плос-кости;

эллипс окружности Øβ, лежащий в горизонтальной плоскости; эллипс как проекцию окружности, лежащий в плоскости γ, по обо-

значенным точкам. Аксонометрическим изображением шара в прямоугольной изометрии

является окружность с диаметром, равным 1,22d, где d – диаметр шара. Графический алгоритм для построения аксонометрии шара следую-

щий: 1-е действие. Отнести шар к системе координат x, y, z, проходящих

через его центр (точка О). 2-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на по-

верхности шара и определить координаты обозначенных точек для постро-ения срезов на аксонометрии.

3-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямо-угольной изометрии.

4-е действие. Построить аксонометрию шара без срезов – провести окружность диаметром 1,22d.

5-е действие. Достроить срезы на аксонометрии шара: построить эллипс диаметром Øα, большая ось которого перпенди-

кулярна аксонометрической оси x, с центром в точке О1 с координатой x01;

z 1

x6

z 6

x1

Очерк шара – окружность Ø1,22d

1

2

6

z

y x

kx= kx= kx≈1

Рис. 10.9

4

x2

3 0

z 4,3

,2

z 6

4" 3"

z 1

x7

x4 x1

x6

1'

6"

1"

2"

2' 3' 4'

5' 7'

6' x'

x"

z"

y'

z 5

z 3

x5

0'

7" 0"

5"

z 4,3

,2


175

построить эллипс диаметром Øβ, большая ось которого перпенди-кулярна аксонометрической оси z, с центром в точке О2 с координатой x02 (построенные эллипсы пересекаются по линии 2-2);

построить по координате x4 линию 4-4 на построенном горизон-тальном эллипсе;

построить по координатам точки 5 и 6: точку 5 – по ломаной x5-y5, а точку 6 – по координате z6.

6-е действие. Соединить построенные точки 4-5-6 эллиптической кривой.

7-е действие. Оформить аксонометрию шара, выполнив толстыми ли-ниями его видимый контур, оставив тонкими линиями полный очерк шара, невидимые линии и линии построения.

На рис. 10.10 показан пример построения половины открытого тора в прямоугольной изометрии.

Построение ак-сонометрии выпол-няется по следую-щему графическому алгоритму:

1-е действие. Отнести тор к систе-ме координат x, y, z.

2-е действие. Если тор со среза-ми, обозначить ха-рактерный точки и определить их коор-динаты: например, координаты точек А и В.

3-е действие. На свободном поле

чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и прове-сти аксонометрические оси прямоугольной изометрии.

4-е действие. Построить эллипс направляющей окружности радиу-сом R с центром в точке О, большая ось которого перпендикулярна оси y.

5-е действие. В полученных на оси x точках О1 и О2 построить два эллипса образующих окружностей радиусом r, большие оси которых пер-пендикулярны оси z.

6-е действие. Построить аксонометрию тора: провести достаточное количество образующих окружностей диа-

метрами, равными 1,22 r с центрами на эллипсе направляющей окружно-сти тора;

провести две лекальные огибающие касательные кривые.

Рис. 10.10

A"

A'?B'

B"

O1 O

O

xA,B

x

A

BO

y

x

z

z

y

R

r

O2

O1 O2

yA,B

xA,B

yA,B

O1

O2

Б.О.

y

zA

zB

x

y

z

Плоская координатная

ломаная| | V


176

7-е действие. Достроить аксонометрические проекции заданных точек А и В по их координатным ломаным:

точка А → xА-yА-zА; точка В → xВ-yВ-zВ. 8-е действие. Оформить аксонометрию открытого тора. На рис. 10.11 показан пример построения тороида (самопересекающе-

гося тора) в прямоугольной изометрии. Построение аксо-

нометрии выполняется по следующему графи-ческому алгоритму:

1-е действие. От-нести тор к системе ко-ординат x, y, z, прохо-дящей по его основанию и ось вращения.

2-е действие. Рас-сечь тороид достаточ-ным количеством плос-костей, перпендикуляр-ных оси его вращения и определить радиус ок-ружности каждого сече-ния (измерить линейкой) с центрами в точках О1, О2, О3 и т. д.

3-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, 3 и 4 среза и опре-делить их координаты.

4-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямо-угольной изометрии.

5-е действие. Построить аксонометрию тороида: построить семейство эллипсов в точках О, О1, … , О4 соответствую-

щих радиусов R, R1, R2, … , R4 с координатами z(z1, z2, … , z4), большие оси которых перпендикулярны оси z, так как лежат в горизонтальных плоскостях;

построить точку S; провести две касательные огибающие кривые к эллипсам. 6-е действие. Достроить срез на аксонометрии тороида по координа-

там отмеченных точек (построения см. рис. 10.11). 7-е действие. Оформить аксонометрию тороида. !!! Аксонометрическая проекция глобоида в прямоугольной изомет-

рии строится аналогично тем же способом «сечений».

Рис. 10.11

4"1

2

3

4

1'

2'

4'

3'

O

x1,2,3,

4x y

x1,2,3,4

y

y3 y

2

y4

x

zO1

zO2

zO3

zO4

zOS

очерк тороида - оги-

бающие кривые

R4

R3

R2

R1

R

v

y4

y3

y2

S"

O4

O3

O2

O1

O

O4

O3

O2

O1

O

S

z

z

1"

2"

3"


177

На рис. 10.12 показан пример построения аксонометрической проек-ции правильной четырехгранной призмы со сквозным пазом, выполнен-ным двумя профильными α1(αV1) и α2(αV2) фронтально-проецирующей плоскостями β(βV) в косоугольной диметрии (коэффициенты искажения kx = kz =1, ky = 0,5).

Построение аксонометрии призмы выполняется по следующему гра-

фическому алгоритму: 1-е действие. Отнести («привязать») призму к системе прямоуголь-

ных координат x, y, z, оси которой параллельны осям натуральной систе-мы координат, относительно которой построены проекции призмы, но проходят через высоту призмы (ось z) и через центр нижнего основания призмы (оси x и y).

2-е действие. Обозначить характерные точки 1, 2, …, 5 на поверхно-сти призмы.

3-е действие. Определить в отнесенной к призме системе координат на ее проекциях координаты x, y и z обозначенных точек:

точки 1 и 5, лежащих на верхнем основании и ребрах призмы; точек 2 и 4, лежащих на линиях пересечения плоскостей паза,

а также обозначенных буквами А, В, С и D вершин нижнего основания призмы.

Рис. 10.12

1"

2"

3"

4"

5"

1' 2'5' 4'

A" C"

D" 0 B"

A'

B'

C'

D' 3'

zz

xA xС

x1,2x4,5

x4,5

xA xС

y4,5x

y

y

x4,5

xСxA

x1,2

y1,2

y1,2

yB

yD

z3

z4

z2

zO

1

O1

O1

O1

z2 zO

1

z3

yB

yD

z4

x

1

2

3

4

5

A0

B0

С0

D0

kx=kz=1; ky=0,5


178

4-е действие. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси косо-угольной диметрии: ось z – вертикально; ось x – горизонтально; ось y – под углом 45° к горизонтальной линии (оси x).

5-е действие. Построить тонкими линиями аксонометрическую про-екцию призмы без выреза:

5.1. Построить нижнее основание призмы АоВоСоDо по координатам x и y этих точек (основание лежит в горизонтальной плоскости с осями xОy и называется вторичной проекцией):

точки Ао и Со – симметрично по равным координатам xА и yА на оси x; точки Во и Dо – по координатам yВ и yD на оси y (координаты

уменьшить в 2 раза!); соединить построенные вершины отрезками прямых линий. 5.2. Построить верхнее основание призмы: отложить от точки О вверх координату zО1, равную высоте призмы,

и через полученную проекцию точки О1 провести аксонометрические оси; из точек Ао, Во, Со и Dо нижнего основания провести вертикально

ребра призмы параллельно оси z до пересечения с аксонометрическими верхнего основания и достроить верхнее основание призмы.

6-е действие. Достроить на аксонометрии призмы вырез по координа-там обозначенных точек (сверху вниз):

точки 1 и 5 на верхнем основании по координатам x1 и x2; точки 2 и 4 – на вертикальных линиях, параллельных оси z, по ко-

ординатам z2 и z4; точки 3 – на ребрах Во и Dо по координате z3; 7-е действие. Соединить построенные точки отрезками прямых линий. 8-е действие. Оформить аксонометрию призмы, выполнив толстыми

линиями ее видимый контур; оставить тонкими линиями полную проек-цию призмы, невидимые линии и линии построения.

Структуризация материала десятой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 10.13 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 10.14 и 10.15).


179

Ëèñò 1

Рис. 10.13

°

°

°

°

°

Аксонометрия - это проекция предмета вместе с осями координат, к

которым этот предмет следует отнести в пространстве первого октанта, на

некоторую плоскость (плоскость аксонометрических проекций). Направление

проецирования на эту плоскость не должно совпадать с направлением нату-

ральных координатных осей первого октанта.

Ðèñ. 10.14, à

Ðèñ. 10.14, á è â

Ðèñ. 10.14, ã è ä

Ðèñ. 10.15, à è á

Àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè


180

Ëèñò 2

Рис. 10.14

б. Прямоугольная диметрия

41°25'

kx=kz=1; ky=0,5 Б.о.=1,06d; M.о.=0,95d и 0,35d

Б.о.

Б.о.М.о.

Б.о.

М.о.

x

yБ.о. z

Б.о. yБ.о. x

Эллипсы - проекции окружностей

0 М.о.

z

7°10''

Рис. 9.4

1''z

2''3''4''

5''

z5

7''

8''6''

z7

1' 2' 8'

x

5'6'

4'3' 7'

x4 x1,2,8

y

zz2

y

Рис. 9.5

0

1

234

5

0

86

7z5

z7

8 ед.

7 ед.

8 ед.1 ед.

x

x6x1,2,8

z2

x4

x6

120°

а. Прямоугольная изометрия

эллипсы-проекции

окружностей

Аксонометрия - параллельная проекция

предмета вместе с осями координат, к

которым предмет отнесён в прост-

ранстве, на некоторую плоскость ак-

сонометрических проекций.

направление

проецирования

Натуральная система

координат

Плоскость аксономет-

рических проекций

Плоская коорди-

натная ломаная

Аксонометрческая система

координат

Пространственная

координатная ломаная

Коэффициенты искажения:

0

z

А

z

x

0

y

A

ez

exx

ey

y

y

ez

ey

y

x

A'

x x ex

Рис. 9.1

Б.о.

М.о.

kx=kz=ky=1; Б.о.=1,22d; M.о.=0,71d

Б.о.

x y

Б.о. x

Б.о.

0

М.о.М.о.

Б.о. y

Б.о.

1''z

2''

3''

4''5''

z3z5

x

1'y

2'4' 3'

5'x1x3,4

y1

y3,4

a. b.

z

Б.о.

1

2

3

45

Б.о.

yx

S

Z

z

x1

x3,4y3,4

z3

Рис. 9.2 Рис. 9.3

z5

kx= ; kz= ; ky= ;ex ex

ez ez

ey ey

Т 9 Л 2

9.1 Прямоугольная аксонометрия

O'

O'

z2

z2

45

Ïðÿìîóãîëüíûå àêñîíîìåòðèè

Ïðÿìîóãîëüíàÿ èçîìåòðèÿ

Ïðÿìîóãîëüíàÿ äèìåòðèÿ

à

á â

ã ä


181

Ëèñò 3

Рис. 10.15

в. Косоугольная фронтальная диметрия

kx=kz=1; ky=0,5; Б.о.=1,07d; M.о.=0,33d

z

45°


x

7°14''

Б.о.

М.о.

y

7°14"

Б.о.

М.о.

z1" 2"3" 4"

x O y

O2

2'3'

1'4'

O3

x

y

O1

z

x

yO2

O3

O1

23

14

а. б.

x3,4 x1,2

Рис. 9.6 Рис. 9.7

ky=0,5

x3,4 x1,2

Построение эллипсов в аксонометрии смотри в учебном пособии "Крат-

кий курс начертательной геометрии" автора Белякова Е.И., Зелёный П.В., изда-

тельство "Минк 2010 г." или в учебниках по черчению и инженерной графике.

Êîñîóãîëüíàÿ ôðîíòàëüíàÿ äèìåòðèÿ

à

á

Ïîñòðîåíèå ýëëèïñîâ íà àêñîíîìåòðè÷åñêèõ ïðîåêöèÿõ ñìîòðèòå òàêæå â

ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ [2, 6] èëè â ó÷åáíûõ èçäàíèÿõ ïî èíæåíåðíîé ãðàôèêå äðóãèõ àâòîðîâ.


182

Лекция 11 КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

КРИВЫЕ ЛИНИИ. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

О б щ и е с в е д е н и я о к р и в ы х л и н и я х : о п р е д е л е -

н и я , к л а с с и ф и к а ц и я , т е р м и н ы Кривую линию можно представить как траекторию движущейся точки

в пространстве [12]. Примером служат, например, спираль Архимеда, цилин-дрическая или коническая винтовая линия (рис. 11.7, а и б и рис. 11.8, а).

Кривая линия может быть получена в результате пересечения поверх-ностей между собой или пересечения кривой поверхности плоскостью. На поверхности конуса в зависимости от положения секущей плоскости образуется ряд кривых линий – эллипс, гипербола, парабола, окружность (см. рис. 7.11–7.15). Эллипс или окружность получаются также в сечениях плоскостью цилиндра (см. рис. 7.7 и 7.8) и кругового однополостного ги-перболоида. Осевыми сечениями однополостного гиперболоида являются гиперболы (см. рис. 7.29, а), а параболоида – параболы (см. рис. 7.29, а).

Кривые линии могут быть плоскими и пространственными (линиями двоякой кривизны). Примерами плоских кривых линий являются окруж-ность, эллипс, парабола, спираль Архимеда, пространственных – винтовые линии, линии пересечения кривых поверхностей.

Пространственная линия всегда проецируется в виде кривой, а плос-кая – только при условии, что ее плоскость не перпендикулярна плоскости проекций (если перпендикулярна – проецируются в виде прямой).

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчи-нена какому-либо геометрическому закону, а если при этом она определя-ется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, ее называют алгебраической. Степень уравнения определяет «порядок» кривой. Так, на-пример, эллипс – кривая второго порядка. Проекция кривой сохраняет ее порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Если кривая не определяется алгебраическим уравнением, то она от-носится к числу трансцендентных.

Касательная прямая к кривой линии в общем случае проецируется в виде касательной к проекции этой кривой. Так, например, касательная к окружности в некоторой точке проецируется в касательную к эллипсу, являющемуся проекцией этой окружности.

Если в каждой точке кривой можно построить только одну касатель-ную прямую линию, то кривая называется плавной или монотонной.

Такая плоская кривая в каждой ее точке имеет только одну нормаль – прямую, перпендикулярную к соответствующей касательной в каждой точке кривой и принадлежащую плоскости.


183

С о с т а в н ы е к р и в ы е л и н и и – к л а с -с и ф и к а ц и я т о ч е к с т ы к а

Кривая линия может быть составной, если на ней есть точка стыка, называемая вершиной, в которой со-единяются две кривые линии (рис. 11.1 и 11.2) [23]. Существует понятие обыкновенная вершина кривой. Это точка A на рис. 11.1. В ней соединяются (соприка-саются) две монотонные плоские кривые линии l1 и l2, касательные t1 и t2, к которым в этой точке противопо-ложно направлены по одной линии, а нормали n1 и n2

и центры кривизны O1 и O2 совпадают (рис. 11.1, а). Если хотя бы одно из указанных условий не вы-

полняется, то речь ведут об особой точке на составной кривой. Двойной называют особую точку B стыка (вер-шину) составной кривой, если касательные направле-ны в разные стороны, нормали совпадают по направ-лению, а вот центры кривизны различны (рис. 11.1, б). Точка перегиба получается в том случае, когда в ней противоположные направления имеют и касательные, и нормали к составной кривой. Это особая точка сты-ка C (рис. 11.1, в).

Из всего многообразия точек стыка следует уделить внимание и так называемым точкам возврата 1-го и 2-го рода и точке излома (рис. 11.2) [23].

На рис. 11.2, а изображена точка D возврата 1-го рода, в которой касательные t1 и t2 к каждой кривой сов-падают по направлению, а нормали n1 и n2 имеют про-тивоположные направления.

На рис. 11.2, б изображена точка E возврата 2-го рода, в которой и касательные t1 и t2 к каждой кривой, и нормали n1 и n2 попарно совпадают по направлению.

На рис. 11.2, в и г изображены точки К и L излома, в которых касательные t1 и t2 не принадлежат одной прямой.

П л о с к и е и п р о с т р а н с т в е н н ы е к р и в ы е л и н и и

Для построения ортогональных проекций кривой необходимо построить проекции ряда точек, принадле-жащих этой кривой, и через них провести под лекала плавные кривые. Следует иметь в виду, что по двум про-екциям нельзя без дополнительных построений опреде-лить, является линия пространственной или плоской кривой.

в

Рис. 11.2

а

б

г

l1

l2

n2 n1

t1≡t2

D

l1

l2

n1≡n2

t1≡t2

E

K

n1

l2

n2

t2 l1

t1

L

l2

t2

l1

t1

B t2 t1

n2 n1

O1

O2

R1 R2 l1 l2

A t2 t1

n2 n1

O1 O2

l1 l2

C t2 t1

n2

n1

l1

l2

в

Рис. 11.1

а

б


184

На рис. 11.3 показаны эти дополнительные по-строения, которые позволяют сказать: вверху при-веден чертеж плоской кривой k(k',k"), а под ним – пространственной l(l',l"). Суть дополнительных по-строений сводится к соединению попарно четырех точек A(A',A") и B(B',B"), C(C',C") и D(D',D"), про-извольно взятых на кривой, прямыми линиями.

Поскольку на рис. 11.3, а эти прямые явля-ются пересекающими, о чем свидетельствует рас-положение проекций 1' и 1" точки их пересечения на одной линии связи, то все указанные точки A(A',A"), B(B',B"), C(C',C") и D(D',D") лежат в од-ной плоскости. В силу этого линия k(k',k"), кото-рой принадлежат эти точки, является плоской кри-вой (у плоской кривой все принадлежащие ей точ-ки должны лежать в одной плоскости).

Внизу на рис. 11.3, б отмеченное условие не выполняется – точки пересечения проекций пря-мых, попарно соединяющих проекции четырех то-чек A(A',A") и B(B',B"), C(C',C") и D(D',D"), при-

надлежащих кривой l(l',l"), лежат на разных линиях связи. Следовательно, эти прямые не лежат в одной плоскости, являясь скрещивающимися. По-этому не лежат в ней и соединяемые ими точки кривой, свидетельствуя о том, что эта линия – пространственная кривая.

Ц и л и н д р и ч е с к и е и к о н и ч е с к и е в и н т о в ы е л и н и и Из пространственных кривых в технике находят широкое применение

винтовые линии и поверхности. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения.

Гелисой называют винтовую линию, которая образуется в результате равномерного вращения точки вокруг оси и одновременного перемещения с постоянной скоростью вдоль нее.

Величину P перемещения точки вдоль направления оси, соответству-ющем одному ее обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии.

Для построения проекции винтовой линии, в частности гелисы, пред-варительно строят проекции прямого кругового цилиндра (рис. 11.7, б).

Окружность основания цилиндра (горизонтальная проекция гелисы) делят на равное количество равных частей (например, на 12, так как это можно сделать тем же раствором циркуля, которым была вычерчена окруж-ность). На такое же количество частей делят цилиндр по высоте, равной ша-гу винтовой линии, на фронтальной проекции. Из точек, отмеченных на окружности, проводят вертикальные линии связи до их пересечения с гори-зонтальными линиями, проведенными из соответствующих точек деления шага. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают фрон-

б

Рис. 11.3

D"

1'

A'

B'

D' l' 2' 3'≡4'

3"

A"

l"

1"≡2"

B" C"

4"

D"

1' A'

B'

D'

k' C'

A"

k" B"

C"

1"

а


185

тальную проекцию винтовой линии (линия изображена с учетом ее видимо-сти на поверхности цилиндра, рис. 11.7, б).

Различают правые и левые винтовые линии. Изображенная на рис. 11.7, б цилиндрическая винтовая линия является правой. Она характеризуется тем, что при вращении по часовой стрелке точка удаляется от наблюдателя, а при вращении против часовой стрелки – приближается. Если эти условия не соблюдаются, винтовая линия называется левой.

На рис. 11.7, б справа показано построение развертки винтовой линии. Там же приведена формула для определения крутизны винтовой линии.

На рис. 11.8, а приведена коническая винтовая линия, которая образу-ется в результате движения точки по поверхности конуса при условии, что она равномерно вращается вокруг оси конуса и движется вдоль нее с по-стоянной скоростью. Судя по направлениям этих ее движений – это также правая винтовая линия. Для построения ее проекций горизонтальные про-екцию окружностей оснований приведенного усеченного конуса делят на 12 равных частей и, соединяя их, строят горизонтальные проекции обра-зующих конуса. Определив фронтальные проекции полученных точек по-средством линий связей, строят фронтальные проекции образующих. За-тем делят конус по высоте (равна шагу винтовой линии) на то же количе-ство частей горизонтальными линиями и отмечают точки их пересечения с фронтальными проекциями образующих. Соединив найденные точки плавной кривой линией, получают фронтальную проекцию конической винтовой линии (линия изображена с учетом видимости ее на поверхности конуса, рис. 11.8, а). Далее, опуская из этих точек линии связи, отмечают на пересечениях с горизонтальными проекциями соответствующих обра-зующих точки, через которые пройдет горизонтальная проекция кониче-ской винтовой линии. По форме она представляет собой спираль Архиме-да. Там же, на рис. 11.8, а, показаны дополнительные построения по опре-делению горизонтальных проекций 3' и 9' точек винтовой линии на обра-зующих, не пересекаемых линиями связи, а сливающихся с ними. Графи-чески показано, как поделены горизонтальные проекции этих образующих на отрезки в том же отношении, в котором поделены их фронтальные про-екции винтовой линией (для уменьшения количества построений указан-ное деление обоих отрезков совмещено в одном построении).

Вин т о вы е п о в е р х н о с т и – п р ям о й и к о с о й г е л и к о и ды При винтовом движении отрезка линии образуются винтовые поверх-

ности. В зависимости от формы образующей линии, винтовые поверхно-сти могут быть линейчатыми и нелинейчатыми. Они находят большое при-менение в технике, особенно в машиностроении и поэтому заслуживают отдельного внимания.

Все точки образующей при винтовом движении описывают винтовые линии (за исключением точки, находящейся на оси вращения поверхности), каждая из которых может служить направляющей поверхности. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами. В зависимости от положения


186

образующей относительно оси вращения геликоиды могут быть прямыми (образующая перпендикулярна оси) и косыми (образующая наклонена к оси).

Чертеж прямого геликоида приведен на рис. 11.8, б. Построение его проекций вначале повторяет построения цилиндрической винтовой линии, приведенные на рис. 11.7, б. Но вместо фронтального очерка цилиндра не-обходимо показать фронтальные проекции образующих винтовой поверх-ности. Эти проекции представляют собой горизонтальные отрезки, распо-ложенные между осью вращения поверхности и фронтальной проекцией винтовой линии. Фронтальный очерк прямого геликоида образуют указан-ная винтовая линия, являющаяся проекцией траектории движения внешнего конца образующей, и проекция траектории движения ее внутреннего конца, совпадающая с фронтальной проекцией оси вращения образующей. Направ-ление геликоида определяют так же, как и винтовой линии.

При построении проекций косого ге-ликоида необходимо знать угол наклона его образующей к оси вращения. Эта по-верхность имеет бо-лее сложный очерк (рис. 11.4).

Чертеж косого геликоида, образованного наклонной прямолинейной образующей за 1,5 оборота винтового движения, приведен на рис. 11.5 и по-вторен на рис. 11.8, в.

Исходным условием для построений его чертежа является шаг винтово-го движения образующей и ее начальное положение под углом φ к оси вра-щения (рис. 11.5). В процессе движения образующая должна оставаться па-

Рис. 11.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12'' 13 14 15 16 17 18

13 1

12 011

10

9

8

7

18 6

17 5

16 4

15 3

14 2

B

A

A3 30

3

1 2 3

4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20A

A 330

19

Z

BO

m

K

m

K

H-const 180

äëÿ âñåõîáðàçóþùèõ

S 0

Õ

Y

O Y

19

1

A

S

20 21

H

02

H

O2

C

D

EF

1''

2''

3''

4''

5''

6''

7''

8''

9''

10''

11'' 13''

14''

15''

16''

17''

18''

C

D

EF

O0

O''1

0

Î÷åðêîâàÿ ëèíèÿ (êàñàòåëüíàÿ

îãèáàþùàÿ ê îáðàçóþùèì)

Ñïèðàëü Àðõèìåäà

Îáðàçóþùàÿ 3

γ V

Âûñîòà êîíóñà

îáðàçóþùèõ

(1,5 øàãà)

(const) äëÿ ëþáîé îáðàçóþùåé

Рис. 11.4

äëÿ âñåõ



187

раллельной поверхности направляющего конуса высотой H. Для построения 18 фронтальных проекций образующей, равномерно расположенных на про-тяжении 1,5 шага поверхности, используют вспомогательную сетку. При этом расстояние H между концами каждой образующей, измеренное вдоль оси вращения, должно быть постоянным. Затем проводят огибающие кривые очерковые линии, касательные к проекциям образующих, и строят торцевые срезы рассматриваемого участка косого геликоида профильными плоскостя-ми. Профильные проекции этих срезов представляют собой спирали Архи-меда. Проекции A"' и B"' точек, принадлежащих образующей в ее третьем и девятом положениях, могут быть определены путем дополнительных постро-ений, основанных на графическом делении отрезков в заданном отношении.

Построение недостающей профильной проекции K"' и недостающей фронтальной проекции O2" точек K"(K"') и O(O2"'), принадлежащих винто-вой поверхности, показано на том же чертеже (рис. 11.5). В первом случае использовалась линия m сечения поверхности профильной плоскостью γ(γV), во втором – промежуточная образующая.

Структуризация материала данной лекции схематически представлена на рис. 11.6 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 (рис. 11.7 и 11.8) ком-пактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении.

° °

°

Êðèâûå ëèíèè. Êðèâûå ïîâåðõíîñòè – âèíòîâûå

Ïëîñêàÿ êðèâàÿ – âñå òî÷êè ëèíèè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè

Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ – âñå òî÷êè ëèíèè íå ïðèíàäëåæàò îäíîé ïëîñêîñòè

Ðèñ. 11.7, à

Ðèñ. 11.8, à

Ðèñ. 11.7, á

Ðèñ. 11.8, â

Ðèñ. 11.8, á

Ëèñò 1

Рис. 11.6


188

Ëèñò 2

Рис. 11.7

D

ð -

øàã

12 3 4

56

7

8910

11

12=0 D

à. Öèëèíäðè÷åñêàÿ âèíòîâàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ëèíèÿ.

Õàðàêòåðèçóåòñÿ:

- óãëîì ïîäúåìà ;

- øàãîì - Ð;

- íàïðàâëåíèåì õîäà.

01 12 23 34 45 56 6 6

5

7 7 78 8 8

9 9 910 10 1011

1111

12 12

43

21

ïðàâàÿ

11.2.1 Ïëîñêèå êðèâûå. Ñïèðàëü Àðõèìåäà

Ðèñ. 11.2.1

11.2.2 Ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå.

tg = P/ D ãäå

- óãîë ïîäúåìà âèíòîâîé ëèíèè;

Ð - øàã: ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ïåðåìåùà-

åòñÿ òî÷êà ïî îáðàçóþùåé âäîëü îñè çà

îäèí îáîðîò;

D - äëèíà îêðóæíîñòè.

Ïðàâàÿ âèíòîâàÿ ëèíèÿ - òî÷êà óäàëÿåòñÿ îò íàáëþäàòåëÿ, âðàùàÿñü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.

Ëåâàÿ âèíòîâàÿ ëèíèÿ - òî÷êà óäàëÿåòñÿ îò íàáëþäàòåëÿ,

âðàùàÿñü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.

à

á

Ïëîñêèå êðèâûå. Ñïèðàëü Àðõèìåäà

Ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå


189

Ëèñò 3

Рис. 11.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0=121=13

2=14

3=15

4=16

5=176=18

7

8

9

10

11

0 1 2 3 45 6 7 8 9

10 11 12 13 14 1516 17 18

3 30 À

À

3

3

0

À

.

á. Êîñîé ãåëèêîèä (îáðàçóþùèå íå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè, ?90°)

1,5 øàãà.Í êîíóñà

vv

30

À

ÀÀ

Ðèñ.11.2.5

11.2.3 Âèíòîâûå ïîâåðõíîñòè.

Ðèñ. 11.2.4

B

A

A

2

11

12

B

9Ïðîåêöèÿ îáðàçóþùåé

AB (A''B'')

Äåëåíèå îáðàçóþùåé â

çàäàííîì îòíîøåíèè

òî÷êàìè 3(3'') è 9(9'')

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ð -

øàã

. Êîíè÷åñêàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ âèíòîâàÿ ëèíèÿ

1

4

5

67

89

10

0

0123456789

101112

1

23

4

5

6

7

8910

11

12=0

nk

n

k

à. Ïðÿìîé ãåëèêîèä

(îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè)11

10

9

8

7 6

5

4

3

2

1

3

93

9

Ñïèðàëü Àðõèìåäà

(ïðîåêöèÿ êîíè÷åñêîé

âèíòîâîé ëèíèè)

á

à

â

φ≠90�

Âèíòîâàÿ ïîâåðõíîñòü – êîñîé ãåëèêîèä

Âèíòîâàÿ ïîâåðõíîñòü – ïðÿìîé ãåëèêîèä

(îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè)

Êîíè÷åñêàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ âèíòîâàÿ ëèíèÿ


190

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

О б щ и е с в е д е н и я: о п р е д е л е н и я , к л а с с и ф и к а ц и я , т е р м и н ы

В начертательной геометрии поверхность определяется как след движущейся в пространстве линии, называемой образующей [12]. Такое представление об образовании поверхности удобно для графических по-строений.

Представление об образовании поверхности непрерывным движением линии позволяет такие поверхности называть кинематическими. При этом линия, образующая поверхность, может во время движения деформиро-ваться. Тогда говорят о поверхности с «переменной образующей».

Образующая линия может быть прямой или кривой. Закон движения образующей может быть задан другими линиями, на-

зываемыми направляющими поверхности. По ним образующая в процессе своего движения скользит.

Поверхность, которая образована движением прямой линии, называют линейчатой поверхностью. Таким образом, линейчатая поверхность пред-ставляет собой геометрическое место прямых линий.

Поверхность, которая образована движением кривой линии, называют нелинейчатой поверхностью. Примерами такой поверхности является сфе-ра, тор и др.

Одна и та же поверхность может быть образована перемещением раз-личных линий и согласно различным условиям движения, то есть законы образования поверхности в ряде случаев могут быть разнообразными. Для решения геометрических задач, как правило, используют наиболее простой или удобный закон задания поверхности.

Некоторые кривые поверхности могут быть развернуты так, что сов-местятся все своим точками с плоскостью без разрывов, складок, или рас-тяжений. Такие поверхности называют развертываемыми. К ним относят-ся только линейчатые поверхности, причем такие, у которых смежные прямолинейные образующие параллельны, или пересекаются между собой, или являются касательными к некоторой пространственной кривой.

Все кривые нелинейчатые поверхности и те линейчатые, которые не могут быть развернуты в плоскость, называются неразвертывающимися (или косыми).

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяю-щие построить каждую точку этой поверхности. Для задания поверхности достаточно иметь проекции направляющих линий (одной или нескольких) и указать, как строится образующая линия. Для придания же изображени-ям поверхности наглядности вычерчивают еще и ее очерк, показывают не-сколько промежуточных положений образующих поверхности, отображая, таким образом, поверхность в виде каркаса.


191

О б з о р н е к о т о р ы х к р и в ы х п о в е р х н о с т е й , и х и з о -б р а ж е н и е н а ч е р т е ж е

1. Поверхности линейчатые развертываемые. 1.1. Цилиндрическая поверхность. Образуется движением прямой ли-

нии l по криволинейной направляющей n и остающейся во всех своих поло-жениях параллельной некоторой заданной прямой линии S (рис. 11.9).

1.2. Коническая по-верхность. Образуется движением прямой ли-нии l по криволинейной направляющей и прохо-дящей во всех своих по-ложениях через некото-рую неподвижную точ- ку S, называемую верши-ной конической поверх-ности (рис. 11.10).

Линия, получаемая при пересечении цилинд-рической или конической поверхностей с плоско-стью, называется следом поверхности. На рис. 11.9, а и рис. 11.10, а показаны следы этих поверхностей в пространстве.

На рис. 11.9, б показано построение на чертеже горизонтального сле-да nH цилиндрической поверхности посредством семейства произвольно задаваемых образующих l, параллельных прямой S, определяющей их направление. След nH построен по точкам lH1, lH2, lH3, … , lH8, являющимся горизонтальными следами образующих.

Для построения недостающих проекций точек, принадлежащих ци-линдрической или конической поверхности, также используют их обра-зующие.

На рис. 11.10, б показано построение недостающей фрон-тальной A" проекции точки A(A') посредством промежуточной об-разующей l(l',l"). Вначале строят ту проекцию образующей l, на которой находится заданная про-екция A' точки, то есть в данном случае – горизонтальную проек-цию l'. Затем, используя точку пересечения 1(1',1") этой обра-зующей с направляющей кривой линией n(n',n"), строят фронталь-

Рис. 11.9

S"

S'

lH7 lH5

4' 5'

lH4 lH8 lH6

2'

3' 6' 8'

lH1

lH2

lH3

1'

V

H

x

n'

nH

l1'

7'

5"

4"

n"

1"

2"

3"

6"

7"

8" l1"

S

H

n

nH

l

lH

а б

След цилиндрической поверхности

Рис. 11.10 а б

A'

S'

S"

V

H

x

A"

l'

n"

l"

n'

1"

1'

S

H

n

nH

След конической поверхности


192

ную проекцию l" образующей, и посредством линии связи находят искомую недостающую проекцию точки A".

1.3. Поверхность с ребром возврата (торсовая). Образуется непрерыв-ным движением прямолинейной образующей l, во всех своих положениях ка-сающихся некоторой пространственной кривой n. Эта пространственная кри-

вая является для данного типа поверхностей на-правляющей. Ее называ-ют ребро возврата.

На рис. 11.11, а тор-совая поверхность пока-зана в пространстве и по-казан ее след nH как ли-ния пересечения поверх-ности с некоторой гори-зонтальной плоскостью H. На рис. рис. 11.11, б приведен чертеж торсо-вой поверхности и пока-зано построение недо-

стающей горизонтальной проекции A' принадлежащей ей точки A(A"). Для построения использовалась образующая l(l',l"), задаваемая через заданную проекцию точки A" касательно к ребру возврата поверхности в точке 1(1',1").

2. Поверхности линейчатые неразвертываемые. 2.1. Поверхности с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид и коноид – это поверхности, обра-зованные движением прямолинейной образующей по двум направляющим, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой задан-ной плоскости, называемой плоскостью паралле-лизма. В качестве плоскости параллелизма может задаваться некоторая проецирующая плоскость (ее след указывается на чертеже, рис. 11.12) или ого-варивается, что плоскостью параллелизма является одна из плоскостей проекций (рис. 11.13).

Всякая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пересекает цилиндроид или коно-ид по прямой линии – по образующей. Это свой-ство используется при решении задач.

На рис. 11.12 показано построение недоста-ющей фронтальной проекции точки A(A') на по-верхности цилиндроида, заданного двумя направ-ляющими n(n',n") и m(m',m") и фронтально-про-ецирующей плоскость αV в качестве плоскости Рис. 11.12

Плоскость параллелизма

Секущая плоскость

Семейство образующих (построено)

Семейство образующих

(задаётся)

Линия сечения

βH

αV

n"

m"

m'

n'

A"

A'

Рис. 11.11 а б

A'

1'

V

H

x

A"

l'

n"

l"

n'

1"

nH

H

n l

lH

Ребро возврата

След торсовой поверхности


193

параллелизма. Поскольку применить вышерассмотренный алгоритм, когда было достаточно воспользоваться одной из образующих, в данном случае не представляется возможным (не известно, как будет направлена образующая через заданную проекцию A' точки), необходимо вначале построить семей-ство образующих, задавая их фронтальные проекции параллельно следу плоскости параллелизма αV (согласно закону образования поверхности ци-линдроида). Построив обе проекции каркаса цилиндроида из образующих, выполняют его сечение произвольной горизонтально-проецирующей плоско-стью, проходящей через заданную проекцию A' точки. Затем строят фронтальную проекцию ли-нии сечения и на ней посредством линии связи находят искомую проекцию A" точки.

На рис. 11.13 показано построение недо-стающей горизонтальной проекции точки A, принадлежащей поверхности коноида, заданно-го кривой n(n',n") и прямой m(m',m") направ-ляющими и плоскостью параллелизма, в каче-стве которой служит горизонтальная плоскость проекций H. Для этого через ее заданную про-екцию A" построена фронтальная проекция об-разующей l(l") коноида, занимающая горизон-тальное положение. Затем по точкам пересече-ния 1(1") и 2(2") образующей с направляющими n(n',n") и m(m',m") построена горизонтальная проекция l' образующей и на ней посредством линии связи найдена искомая горизон-тальная проекция A' точки.

Гиперболический параболоид (косая плоскость) образуется движением прямолинейной образующей по двум скрещивающимся прямым направляю-щим параллельно некоторой плоскости па-раллелизма. Эту поверхность называют так-же линейчатым параболоидом.

На рис. 11.14 приведен чертеж рас-сматриваемой поверхности в виде каркаса из образующих. Поверхность задана двумя скрещивающимися в параллельных плос-костях прямыми направляющими n(n',n") и m(m',m") и горизонтально проецирую-щей плоскостью параллелизма αH. Там же показано построение недостающей фрон-тальной проекции A" точки A(A'), принад-лежащей поверхности. Построение выпол-нено посредством образующей l(l'), для че-го через заданную проекцию A' вначале построена горизонтальная проекция l' обра-

A"

A'

n"

n'

m"

m'

l"

2'

1'

1"

l'

2"

H – плоскость параллелизма

V

H

x

Рис. 11.13

Рис. 11.14

V

H

x

2'

1'

1"

2"

l"

l'

m"

m'

n"

n'

A"

A'

αH


194

зующей. Затем по точкам 1(1') и 2(2') ее пересечения с направляющими строят фронтальную проекцию образующей и отмечают на ней посредством линии связи искомую проекцию A" точки.

Название рассмотренной поверхности «гиперболический параболоид» связано с тем, что ее фронтальный очерк (касательная кривая к фронтальным проекциям образующих) представляет собой параболу (рис. 11.6). Такую же форму имеет и профильный очерк данной поверхности. Кроме того, линия се-чения данной поверхности горизонтальной плоскостью имеет форму гипер-болы (форму гиперболы имеет также горизонтальный след поверхности, ко-торый можно построить, если найти горизонтальные следы ее образующих).

2.2. Поверхность с тремя направляющими – однополостный гиперболоид. Эта линейчатая поверхность образуется при перемещении прямой об-

разующей по трем скрещивающимся прямым направляющим, не параллель-ным одной плоскости. В частном случае линейчатая поверхность с тремя направляющими пересекается плоскостью по гиперболе; отсюда и произо-шло ее название – однополостный гиперболоид [23] (однополостный ги-перболоид вращения, как частный случай поверхности, может быть полу-чен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси или вращением прямой линии вокруг скрещивающей с ней оси).

На рис. 11.15 приведен чертеж фрагмента линейчатой поверхности с тремя направляющими n(n',n"), k(k',k") и m(m',m"). Там же показаны по-строения для определения положения недостающей проекции A' точки A(A").

Воспользоваться для этого одной из обра-зующих в данном примере не представля-ется возможным, так как неизвестно поло-жение ее фронтальной проекции, проходя-щей через заданную проекцию A" точки. Зато благодаря проецирующему положе-нию направляющей k(k',k") можно задать горизонтальные проекции любых образу-ющих. Воспользуемся этим и построим го-ризонтальную проекцию каркаса поверхно-сти из семейства образующих l(l'). Затем по точкам их пересечения с горизонтальными проекциями n' и m' направляющих постро-им фронтальные проекции l" этих образу-ющих. Далее выполним сечение поверхно-сти фронтально-проецирующей плоскостью

αV. По фронтальным проекциям точек ее пересечения с образующими по-строим горизонтальную проекцию кривой линии этого сечения и на ней по-средством линии связи определим положение искомой проекции A' точки.

Структуризация материала одиннадцатой лекции в рассмотренном объ-еме схематически представлена на рис. 11.16 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 приведены иллюстрации к этой схеме, компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 11.17 и 11.18).

Рис. 11.15

n"

n'

αV

m"

A"

A'

m'

k"

k'

l'

l"


195

Ëèñò 1

Рис. 11.16

В начертательной гео-

метрии принят кинема-

тическия способ обра-

зования поверхности,

когда поверхность

представляет собой

геометрическое место

(след) образующих ли-

ний, движущихся в

пространстве по на-

правляющим линиям.

Закономерные поверх-

ности: образующие

перемещаются в прос-

транстве по некоторо-

му закону

Незакономерные

поверхности:

образующие перемеща-

ются в пространстве

произвольно

Линейчатые


образующая - прямая

линия (цилиндрическая,

коническая, торсовая и

т.д.)

Нелинейчатые


образующая - кривая

линия (сферическая,

эллипсоидная и т.д.)

Цилиндрические

Рис. 11.1.1

Конические

Рис. 11.1.2

Торсовые

Рис. 11.1.3

M-2-4M-2-3

Рис. 11.2.7

Эллипсоид -

сжатый и

втянутый

Ðèñ.11.17, á

Ðèñ.11.17, à

Ðèñ.11.17, ã

Ðèñ.11.17, ä

Ðèñ.11.17, å

Ðèñ.11.18

Êðèâûå ïîâåðõíîñòè

Ýëëèïñîèä – ñæàòûé è âûòÿíóòûé

Ðèñ.11.17, â

Í


196

Ëèñò 2

Рис. 11.17

11.1.1. Поверхности с одной направляющей (закономерные, развёртываемые)

Рис. 11.1.1

Цилиндрические

(A")

t"

t'

A'

направляющая

кривая nобразующая

S'

S"направление


A'-?

S"

S'

t'

t"

V3"

V2"V1"

1"2"

3"

1' 2'

3'

x


след пов-сти

Конические

n(n', n")

t"

B"-?

(B")

S'

t'

B'

S"

Рис. 11.1.2

Рис. 11.1.3

123456 7

d - ребро возврата

(пространственная кривая)

Торс - поверхность с ребром возврата

11.1.2. Поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

(закономерные, неразвёртываемые)

Цилиндроид (ф(m,n, ( V)) Коноид (ф(m,n, ( V))

m'

m"

n"

V

Рис. 11.1.5

t " m"

n"

n1'

n'

1"

1'

V

семейство


плоскость

пареллелизма

секущая

плоскость

V ( л"n")

2'

линия

пересечения

(л'п'-построена)

Рис. 11.1.4

Косая плоскость -

гиперболический

параболоид

(ф(m,n, ( V))

l"-?

n"

n'

m" 1"

1'

l" (построена)

m'

l' (дана

)

3"

3'

2"

2'

V

Рис. 11.1.6

n"

n'

n'

n"

t "

t 't '

t '

t "

t "

t '

n'

t "

t "

t "

t '

t '

семейство

касательных

l'-?

l" (дана)

l'

построена

семейство


семейство


t '

направ-

ляющие

направ-

ляющие

плоскость

параллелизма

à á

â

ã ä å

Ïîâåðõíîñòè ñ îäíîé íàïðàâëÿþùåé (çàêîíîìåðíûå, ðàçâåðòûâàåìûå)

Ïîâåðõíîñòè ñ äâóìÿ íàïðàâëÿþùèìè è ïëîñêîñòüþ ïàðàëëåëèçìà

(çàêîíîìåðíûå, ðàçâåðòûâàåìûå)


197

Ëèñò 3

Рис. 11.18

1.3. Поверхности с тремя скрещивающимися направляющими (однополостный

гиперболоид) - (ф (a, b, c))

а'

c' b'

c"b"

а"

t "

t "

t "

семейство


направляющие

Ïîâåðõíîñòè ñ òðåìÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ íàïðàâëÿþùèìè – îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä (Ô(a, b, c))


198

Лекция 12 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

В общем случае для графического определения положения точек пе-ресечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометриче-ских построений в следующей последовательности: заключить линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой по-верхности с заданной поверхностью; отметить точки пересечения постро-енной линии с заданной.

Этот алгоритм является универсальным, пригодным для решения лю-бых задач. Ранее (лекция 4, рис. 4.5 и 4.6) он применялся для построения проекций точки пересечения прямой с плоскостью, где в качестве вспомо-

гательной секущей поверхности ис-пользовалась плоскость и строилась прямая линии пересечения ее с задан-ной плоскостью, а искомая проекция точки пересечения определялась как место пересечения этой линии с за-данной прямой.

На рис. 12.1–12.3 проиллюстри-рован тот же алгоритм применительно к построению точки пересечения кри-вой линии k с плоскостью α(∆ABC). В качестве секущей поверхности в дан-ном случае следует использовать про-ецирующую цилиндрическую поверх-ность, в частности, горизонтально-про-ецирующую β(βH)H, в которую долж-на быть заключена кривая k(k",k'). Для этого на чертеже (рис. 13.3) обознача-ем горизонтальный след этой поверх-ности βH. Горизонтальная проекция линии ее пересечения с заданной плос-костью α(∆ABC) совпадает с ним, рас-полагаясь между точками 1'-2'. Для построения ее фронтальной проекции воспользуемся произвольными вспо-могательными прямыми линиями, при-надлежащими плоскости. Вначале за-даем их горизонтальные проекции, на-пример, через вершину C. Затем по

O

A

H

B

A' k'

B'

C

C'

k

α

α'

Рис. 12.1

Проекция кривой линии

Кривая линия

O

A

H

B

A' k'≡βH

B'

β

O'

1

2

2' 1'

C

C'

k

α

Вспомогательная секущая цилин-дрическая поверхность

β H

1. kβ(H) 2. α(∆ABC) ∩ β →1 – 2 3. k ∩ 1 – 2 → O

Рис. 12.2

Совпадающие со следом βH плоскости проекции k' кривой линии и 1' – 2' линии пересечения

Линия пересечения

Кривая линия


199

точкам их пересечения со стороной AB нахо-дим фронтальные проекции вспомогательных прямых и определяем на них фронтальные про-екции точек пересечения с ними заданной кри-вой. Проводим через найденные точки плав-ную кривую линию, являющуюся, таким обра-зом, фронтальной проекцией линии пересе-чения, и отмечаем на ней место пересечения с фронтальной проекцией заданной кривой k(k",k') – точку O". Это и будет фронтальная проекция искомой точки пересечения заданной кривой k(k",k') с плоскостью α(∆ABC). Затем, воспользовавшись линией связи, находим гори-зонтальную проекцию O' точки пересечения.

Этот алгоритм применен и для построения точек пересечения прямой линии с поверхно-стями геометрических тел – призмы, пирами-ды и самопересекающегося тора (рис. 12.8, а, б, в). Поскольку поверхности этих тел явля-ются замкнутыми, то необходимо найти по две точки пересечения на каждой из них.

При пересечении с призмой (рис. 12.8, а) в качестве секущей плос-кости для заключения в нее заданной прямой m(m",m') использовалась фронтально-проецирующая плоскость αV. При пересечении с пирамидой (рис. 12.8, б) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой n(n",n') использовалась горизонтально-проецирующая плоскость αH. При пересечении с самопересекающимся тором (рис. 12.8, в) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой l(l",l') исполь-зовалась фронтальная плоскость βH. Далее все действия аналогичны рас-смотренным. В каждом случае вначале строилась линия пересечения по-верхности плоскостью, исходя из ее проецирующего положения, опреде-лялись на ней точки пересечения с заданной прямой, а при окончательном оформлении – видимость на чертеже.

В качестве секущей плоскости при определении точек пересечения пря-мой с поверхностью могут использоваться также плоскости общего положе-ния, пересекающие поверхность вдоль ее образующих (рис. 12.8, г, д). Так, для построения точек пересечения прямой a(a",a') общего положения с по-верхностью прямого кругового конуса (рис. 12.8, г) показано использование плоскости общего положения α, проходящей через вершину конуса и за-данную прямую. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Одна из них – это заданная прямая a(a",a'), вторая – пересекающаяся с ней про-извольная прямая b(b",b'), проходящая через вершину конуса. Для построе-ния проекций образующих, вдоль которых плоскость пересекает поверхность конуса, найден ее горизонтальный след, затем проекции C' и D' точек его

V

Рис. 12.3

βH

1. k β(βH) 2. (1–2) → β ∩ α(∆ABC) 3. O → (1 – 2) ∩ k

1' – 2' горизонтальная проекция линии пересечения

1" – 2" фронтальная проекция линии пересечения (построена)

2'

B"

C"

A"

k"

k' A'

B'

C'

1'≡3'

2" 1" O"

O'

3"

H

4"≡5"

4'

5'

α"

α'


200

пересечения с горизонтальным следом основания конуса и фронтальные проекции C" и D" этих точек. Искомые проекции точек M(M",M') и N(N",N') пересечения заданной прямой общего положения с поверхностью конуса находятся в местах пересечения с ней построенных образующих.

Аналогичные действия выполнены и для построения проекций M",M' и N",N' точек пересечения прямой общего положения k(k",k') с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис. 12.8, д). Для этого использова-лось задание плоскости общего положения α(k∩l) также двумя пересекающи-мися прямыми, одна из которых, как и в предыдущем случае, – это заданная прямая k(k",k'), а пересекающаяся с ней в произвольной точке 1(1",1') вторая прямая линия – это прямая l(l",l'), параллельная образующим цилиндра. Стро-ился горизонтальный след этой плоскости и по точкам пересечения его с горизонтальным следом заданного цилиндра находились образующие, по которым вспомогательная плоскость общего положения α(k∩l) пересекает цилиндр. В местах пересечения с проекциями этих образующих проекций прямой общего положения k(k",k') находятся искомые проекции M",M' и N",N' точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, назы-вают плоскость, в которой можно провести две прямые линии, пересекаю-щиеся в точке касания, касательные к двум пересекающимся в этой же точке линиям, принадлежащим поверхности.

На чертеже касательную плоскость α(α",α') од-нозначно можно задать проекциями двух пересекаю-щихся прямых m(m",m') и n(n",n'). Эти линии строят касательно к проекциям двух пересекающихся в точ-ке касания линий, принадлежащих поверхности. На рис. 12.4 линия m(m",m') является касательной к ли-нии окружности l(l",l'), проходящей через точку каса-ния K(K",K') по поверхности цилиндра, а пересекаю-щаяся с ней в этой точке линия n(n",n') сливается с линией р(р",р') – образующей цилиндра.

Аналогичные действия (рис. 12.8, е, ж, з) выпол-нены и при построении касательных плоскостей к по-верхностям прямого кругового конуса, самопересе-кающегося тора и сферы, касающихся этих поверхно-стей в некоторой точке A(A",A'). Пересекающиеся пря-

мые m(m",m') и n(n",n'), задающие касательные плоскости α(α",α') к ним, яв-ляются касательными к окружностям, построенным на этих поверхностях вращения и пересекающимся в точке касания A(A",A'). Следует отметить од-ну особенность при построении прямой n(n",n'), касательной к линии мери-дионального сечения поверхности самопересекающегося тора (рис. 12.8, ж).

K"

K'≡n'≡p'

α"

m"

n"

α'≡m'

l"

l'

p"


201

Для упрощения построений вначале строят касательную к этой линии, парал-лельной фронтальной плоскости проекций, определяют на оси вращения тора точку S, через которую проходят касательные ко всем точкам, расположен-ным на той же параллели поверхности, что и заданная точка касания A(A",A'), а затем строят необходимую касательную n(n",n').

Эти построения использовались также для определения точки касания K(K",K') на поверхности самопересекающегося тора в задаче на рис. 12.5, где необходимо было задать общую касательную плоскость к поверхно-стям самопересекающегося тора и прямого кругового конуса. Ключом к решению задачи явилось заключение самопересекающегося тора в кони-ческую поверхность с тем же углом наклона образующих, что и у заданно-го конуса (справа). Общая касательная плоскость задана пересекающимися прямыми, из которых m1(m1",m1'), являющаяся горизонтальным следом плоскости, построена, как касательная к следам указанных конических по-верхностей, а прямая m2(m2",m2'), сливает-ся с одной из образу-ющих заданного ко-нуса. Эта образующая является и геометри-ческим элементом ка-сания построенной плоскости α(m1∩m2) с поверхностью за-данного конуса. По-верхности самопере-секающегося тора эта плоскость касается в точке K(K",K'), кото-рая найдена благода-ря вышерассмотрен-ным построениям и образующей второго конуса, охватываю-щего тор.

На рассматриваемом чертеже показано также построение нормали n(n",n'), к поверхности самопересекающегося тора в точке K(K",K'). Усло-вием для построения нормали является ее перпендикулярность к плоско-сти, касательной к поверхности в той же точке. Вначале нормаль построе-на к очерковой образующей тора, затем на ней взята произвольная точка и выполнен ее поворот вокруг оси тора в положение, в котором она окажется расположенной в плоскости, перпендикулярной построенной касательной плоскости (направления указанных перемещений показаны стрелками).

Рис. 12.5

(m m )

U

(m m )

U

n

m

m

n

n m

m

K

K

1

1

1 2

1 2

2

2


202

На рис. 12.6 показано построение точек пересечения P(P",P') и T(T",T') фронтальной прямой MN(M"N",M'N') с поверхностью ¼ кольцевого тора и построение касательной плоскости к этой поверхности в одной из постро-енных точек, например, T(T",T').

Точки P(P",P') и T(T",T') найдены благо-даря заключению задан-ной прямой MN во фрон-тальную плоскость α(αH) и построению проекций линии пересечения по точкам 1', 2', 3', … , 7', крайние из которых 1' и 7' взяты в местах пе-ресечения горизонталь-ного очерка плоскостью тора, а остальные – про-извольно на горизонталь-ном следе αH секущей плоскости. Для дальней-ших построений исполь-зовались горизонтальные сечения поверхности то-ра плоскостями.

Для задания каса-тельной плоскости β(m∩n) одна из задаю-щих ее пересекающихся прямых m(m",m') пост-роена как касательная к линии кольцевого се-

чения поверхности тора в точке T(T",T'), а вторая – как касательная пря-мая n(n",n') к линии окружности осевого сечения поверхности тора. Для более точного построения второй прямой была найдена проекция SK" точ-ки на оси вращения тора, в которой сходятся все касательные прямые к по-верхности тора во всех точках, находящихся на той же параллели, что и точка T(T",T').

Структуризация материала двенадцатой лекции в рассмотренном объ-еме схематически представлена на рис. 12.7 (лист 1). На последующем ли-сте 2 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального за-крепления изученного материала при повторении (рис. 12.8).

x

y

z

O O'

1' 2' 3' 4' 5'

6' 7'

7"

6" 5" 4"

3"

1" 2"

N"

M"

m"

n"

T"

P"

To"

O"

SK"

N' n'

m'

M'

T'

P'

αH

Рис. 12.6

β"

β'


203

Касательная плоскость к кривой поверхности в некоторой точке - это

плоскость, в которой лежат все касательные прямые ко всем кривым, кото-

рые можно провести на поверхности через туже точку.

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая, перпенди-

кулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Ïåðåñå÷åíèå ëèíèè ñ ïîâåðõíîñòüþ.Êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè è íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè

Ðèñ. 12.8, à, á, â

Ðèñ. 12.8, ã, ä

Ðèñ. 12.6, 12.8, å, æ, ç

Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé ïîâåðõíîñòè â íåêîòîðîé òî÷êå – ýòî ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæàò âñå êàñàòåëüíûå ïðÿìûå êî âñåì êðèâûì, êîòîðûå ìîæíî ïðîâåñòè íà ïîâåðõíîñòè ÷åðåç òó æå òî÷êó.

Íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ.

Ëèñò 1

Рис. 12.7


204

Ëèñò 2

Рис. 12.8

2"

3"

3'

2'


окр.

окр.

окр.

окр.

окр.

UUU

U U

U

m"

n"

A"

S"

S" m'

n'

A'

(m n) - касательная плоскость

m'

n'

m"

n"

A'

A"

Рис. 12.4

(а b) - проходит через вершину конуса

1"

b"

3"

N"

M"

а"

2" C" D"

S"

V0

2'C'

M'N'

1"

D' 3'

b'

S'

л'n'( )

V0

(k l) - параллельна образующим цилиндра

Рис. 12.5

K"

l"

1"

M"

(N")

3"

3'

k'

N'l'

M'1'

2"

2'

Рис. 12.3Рис. 12.2Рис. 12.1

l'

V A" B" C"

A' C'

B'2'

N'

N"

3'

3"

2"

m"

m'

M"

1"

1'

S"

B"n"

A"

(N")

A'

B'

C'

n'S'M'

N'

1'

M"

1" C"


l"

M"N"

M' N'

Sкас.

m"

n"

R

Sкас.m'

n'

n"


R

л'п'л'n'

M'

V

H

а'

12.2. Касательные плоскости

R

12.1. Пересечение прямой с поверхностью

дана

дана

вспомогательная

плоскость

дана

дана

A"

A'

R

à á â

ã ä

å ç æ


205

Лекция 13 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

Метрические задачи

О п р е д е л е н и е н а т у р а л ь н ы х в е л и ч и н г е о м е т р и ч е -с к и х э л е м е н т о в

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения: способом прямоугольного треугольника; способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую

уровня; способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в пря-

мую уровня. 2. Определить натуральную величину плоскости общего положения

(замкнутого отсека): способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость

уровня; способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плос-

кость уровня; способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плос-

кость уровня. О п р е д е л е н и е р а с с т о я н и я м е ж д у г е о м е т р и ч е с к и -

м и э л е м е н т а м и ( о б р а з а м и ) 1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения: способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость,

заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразова-ния; прямую и точку рассматривать как плоскость);

способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую об-щего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;

способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плос-кость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;

способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную к прямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2. Определить расстояние между параллельными прямыми: способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость,

заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 пре-образования);

способом замены плоскостей проекций преобразовать две парал-лельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преоб-разования);


206

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее за-мкнутым отсеком;

способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плос-кость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;

способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересе-чения этой плоскости со второй прямой.

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преоб-разовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости: по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плос-

кости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенно-го отрезка (см. пункт 1);

способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость об-щего положения в плоскость проецирующую.

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения: способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость,

проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);

способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

О п р е д е л е н и е у г л о в н а к л о н а г е о м е т р и ч е с к и х э л е -м е н т о в к п л о с к о с т я м п р о е к ц и й H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

способом прямоугольного треугольника построить на двух проек-циях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;

способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую об-щего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (зада-ча 1 преобразования);

способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси пре-образовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронталь-ную прямые.

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего по-ложения:

из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости; способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построен-

ную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня; искомый угол будет дополнять построенный угол до 90º.


207

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть ли-нии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двух-гранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, ес-ли на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

задача решается косвенным путем, для чего из любой точки про-странства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, ко-торые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендику-лярную к этим плоскостям;

эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плос-кость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);

искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объ-еме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих ли-стах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).


208

способом замены плоско-стей проекций - зад. 3

Т 13 Л 1

Ðèñ. 13.2, à

Ðèñ. 13.2, á

Ðèñ. 13.2, â

Ðèñ. 13.2, ã

Ðèñ. 13.2, ä

Ðèñ. 13.2, å

Ðèñ. 13.2, æ

Ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è

Ðèñ. 13.2, à, á, â

Ðèñ. 13.2, ã

Ðèñ. 13.3, à

Ðèñ. 13.2, å

Ðèñ. 13.2, æ

Ðèñ. 13.3, à

Ðèñ. 13.3, á

Ðèñ. 13.3, â

Ðèñ. 13.4, á, â

Ðèñ. 13.4, á, â

Ðèñ. 13.4, á, â

Ðèñ. 13.5, à, á, â

Ðèñ. 13.5, ã, ä

Ðèñ. 13.2, à, á

Ðèñ. 13.2, ã

Ðèñ. 13.2, æ

Ðèñ. 13.5, ã, ä

Ðèñ. 13.6, à

Ðèñ. 13.6, á, â

Ðèñ. 13.7, à, á

Ðèñ. 13.7, â

Ëèñò 1

Рис. 13.1


209

Ëèñò 2

Рис. 13.2

C"

A1"

C1"

B1"

B2" C2" A2"

B'2

C'2

A'2

h'

C'1

B'1

A'1

Способ плоско-параллельного

перемещения (переноса)

h V

H

B0'

h'

X2

V1 H1

C1"

B1"

Нат.вел.

AC'B

(ABC) V

13.1. Определение натуральной величины геометрических элементов

1. Определение длины отрезка

Способ прямоуголь-

ного треугольника

Способ замены плоскостей

проекций (задача 1)

V

y

z

Нат. вел.

B"

B0"

A"

y

H

z Нат. вел.

(гипотенуза)

A'

A'0

B'

Рис. 13.1

Нат. вел. AB

V

yA

A"

B"

B1'zA

X1

H1

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4) Способ вращения вокруг прямой

уровня (горизонтали)

Рис. 13.5

задача 3

задача 4

x

x

x

A'

B'

C'

A0'

A0"B0"

A"

B"

C" i H( x)

Нат.

вел.

Способ вращения вокруг

проецирующей оси i(i V)

Нат.

вел.

h"

1'

1"

A'

B'

C'

A"

B"

V

XVH

yA

A'

B'

A1"

B1"

H X1

V1

Нат. вел.

(гипотенуза)

zA

HA1B1V1

A1'

Рис. 13.1Рис. 13.1Рис. 13.1 Рис. 13.2

Способ вращения вокруг

проецирующей оси

X

Нат. вел.H

V

B0"

A"

A' i '

B'

B'0

A'0

i

B" i "A0"

Нат. вел.

H( x)

Рис. 13.3

2. Определение площади замкнутого отсека

XVH

h"

A"

C"

1'

h'

A'

B1'

A1'

Нат.вел.

C1'

1"

B'

X1

H V1

v

Рис. 13.4

h"

A"

C"

B"

B"B'

С'

1"

A'

B'

С'

A

B

z

z

R1'

O'B

OB"

h'

ã ä

æ å

à á â

//

// //

//

// //


210

Ëèñò 3

Рис. 13.3

л"п"

h' A'B'

Действия:

1. (h f) AB;

2. т.O> (h f) AB;

3. Нат. вел. KO - способом прямоугольного треугольника

Рис. 13.8

3. Расстояние между параллельными прямыми - определяется величиной пер-

пендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой к другой прямой

а. Способ замены плоскостей проек-

ции (рассматриваем две прямые) -

задачи 1 и 2 (преобразовать прямые

общего положения AB и CD в проеци-

рующие)

б. Способ замены плоскостей проекции (рассмат-

риваем плоскость, которую определяют парал-

лельные прямые) - задачи 3 и 4 (определить на-

туральную величину плоскости ? (AB СВ))

XVH

X V1

H

X2 V1

H1

A" C"

N"

D"B"

M"

D'B'M'

N'A'

C'

D1"B1"

N1"M1"

C1"A1"

D1' N1' C1'B1' M1' A1'

Нат.

вел. MN

задача 1

задача 2

XVH

A" C"

B" D"

A'

B'

D'

C'

2" M" h"

1"

1'

2' M'

A1" C1"B1" D1"

B1'

D1'

A1'

С1'

X2

V1

H1

X1

V1

H

h'

Нат.вел.N1'

2' M1'

задача 3

задача 4

A"B"

f'

h'

f"

h"

произвольная

точка

1'

M1" 11" 21"

N'

N1"

N"

UU U

13.2. Определение расстояний

1. Расстояние между точками - определяется величиной отрезка, соединяюще-

го эти точки

а. Прямой путь

(перпендикулярность)

б. Способ замены

плоскостей проекций:определить натуральную

величину плоскости, ко-

торую определяют точ-

ка и прямая (см.рис.13.4)

в. Способ вращения

вокруг прямой уровня:определить натуральную

величину плоскости, кото-

рую определяют точка и

прямая (см.рис.13.5)

См. рис. 13.1, 13.2 и 13.3

2. Расстояние от точки до прямой - определяется величиной перпендикуляра,

опущенного из точки к прямой

г. Способ плос-

копараллельного

переноса:определить нату-

ральную величину

плоскости, которую

определяют точка и

прямая (см.рис.13.7)

"H

1" K"A" z

B"

2"O"

B'

2'

K'

K0'

O'

1'

A'h

л'п'

f'V

zНат.вел. KO

Ñì. ðèñ. 13.2, à, á, â

à

á â

//

h''//

f''

//

13.2, ã) 13.2, ä)

13.2, æ)


211

Ëèñò 4

Рис. 13.4

z

Нат.вел.

h'

Действия:

1. h и f в плоскости (ABC);

2. l l ;

3. l ( h) - (заключить);

4. л.п. 3-4 > (ABC) ;

5. т. O > (л.п. 3-4) ;

6. Нат. вел. KO

z

O"

O'

3'

4'

4"

3"

B'

С"

l "

l '

XV

H

h"

1"A"

B"

С'

1'

A'

zh'

z

O"

O'

B'

С"

K"

K' B1'A1'С1'

O1'

K1'

Нат.вел.

X1

V1

H

задача 3

Рис. 13.13

XV

H

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми - определяется величиной

перпендикуляра, проведённого от одной из прямых, преобразованной в точку, к

другой прямой (задачи 1 и 2 замены плоскостей проекции).

а. Прямой путь (перпендикулярность)

5. Расстояние от точки до плоскости - определяется величиной перпендикуляра,

проведённого из точки на плоскость до точки его пересечения с этой плоскостью.

Рис. 13.12

h"

1"

f'

K"

A"

B"

2"

С'

2'

K'

K0'1'

A'

f"

Н.в. KO (расстояние между

скрещивающимися прямыми)

UU

A"

B"

С'

A'

O"

O'B'

С"

D"K"

D'K'

B1"

A1"

С1'

O1'

K1" D1"

B1'

O1'

A1'

C1' D1' K1'

Rц

задача 2

задача 1

X2

V1 H1

X1

HV1

Рис. 13.11

Способ замены плоскостей проекций - задачи 1 и 2

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью - определяется ве-

личиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки на прямой к плос-

кости.

См. рис. 13.12 и 13.13

б. Способ замены плос-костей проекций(плоскость преобразовать в

проецирующую - задача 3)л"п"

h

à

á â

13.4, á, â


212

Ëèñò 5

Рис. 13.5

7. Расстояние между параллельными плоскостями - определяется величиной от-

резка перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плос-

кость (до точки пересечения с другой плоскостью).

См. рис. 13.12 и 13.13

i

O"

M'

(M")

M0'

M0"

K'

K"

K0'

K0"

Нат.вел.

K0" K"

н.в.

S"

M0"M"

K0'

K'

M0'

M'

S' i

R

K"

K0"

M0"

M"

i S'

M0'

M'

K0'

K'

н.в.

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

8. Расстояние от точки до поверхности.

Рис. 13.14

б.а. в.

S"

R

б. Способ замены плоскостей проекции

(M")

K"

K'

M'

S'

S'

M1"

K1"

XH

V

X1

H

V1

S1"

Нат.вел.

M1"

S"

(M')

S'

S1'

X1V

H1

XH

V

K"

K1"

K'

Нат.вел.

M"

h V

h

V V

H

O'

áà â

ã ä

13,4, á, â

//

//

//

// //


213

Ëèñò 6

Рис. 13.6

а'

b'

c'd'

f'V

K

2"

1"

1' 2'

O"

K"

K'

K0' O'

K0"

f"

f'

2"

1"

1' 2'

f1'V

h"B"

B0"

f1"

A"

O"

R

O' B0'

B'

V

l '( h')

l "( f")1

1. Угол ? между скрещивающимися прямыми - определяется плоским углом, об-разованным двумя пересекающимися прямыми, проведёнными из произвольной

точки пространства параллельно скрещивающимся прямым (рис. 13.16)

2. Угол между прямой и плоскостью - определяется углом между прямой и еёпроекцией на эту плоскость.

Рис. 13.17

13.3. Определение величин углов

Рис. 13.16

Способ вращения вокруг линии уровня

а"

b" c"

d"f"

Дано:

(h f);AB - прямая общего положения

Требуется:

- ?

R

Дано:

а и b - скрещивающиеся

прямые

Требуется:

- ?

Решение:

1. d а

с b

2. - вращением вокруг

фронтали, проведённой в

построенной плоскости

(d с)

1

A'B'

B

l

(AB l )=90° - 1

Решение:

1. l (h ? f);

l " f";

l ' h';

2. - вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости (AB ? l)

(d c)

U

U

U

U

à

á

13.6, à)

//

//

//

//

φ

∩

∩


214

Ëèñò 7

Рис. 13.7

б. Если на чертеже есть ребро (линия пересечения заданных плоскостей) - угол определя-ется способом замены плоскостей проекций (задачи 1 и 2, рис. 13.19)

Рис. 13.18

b" (h2")

b' (h2')

а" (f2")

а' (f2')

m'

m"

n"

n'

1'

1" 2"

2'

3"

3'

4"

4'

5"

5'

U

U

U

U

1

реброD

l 2l 1

D"

D'

h1"

h1'

f1'

f1"

D0"

l 2"( f2")l "( f1")(l l )

i O"

(а ? b) (m h)

l 2'( h2')

D0'

O'

x

Rн.в.

искомый угол (острый)

XVH A"

C" D"

B"

D'

B'

A'

C'

D1"

B1"

C1"

A1"

A1' B1'

D1'

С1'

X2

V1 H1

X1 V1

H

ребро

ребро

ребро

задача 2задача 1

'

h3"

h3'

'

а. Если на чертеже нет ребра (линии пересечения заданных плоскостей) - угол определя-ется способом вращения вокруг линии уровня (рис. 13.18)

Дано:

(m h); (а b).

Требуется:

- ?

Решение:

1 . провести в заданной плоскости

фронтали и горизонтали;

2. из произвольной точки пространства

D (D', D") провести перпендикуляры l1 иl2 к заданными плоскостям, которые

определяют плоскость (l l);3. - вращением вокруг горизонталиh3, проведённой в построенной плоско-

сти (l l).

Решение:

ребро АВ двугранного угла преобразовать

двумя заменами в проецирующую прямую

3. Угол между плоскостями и - определяется линейным углом, образо-

ванным двумя прямыми, по которым некоторая плоскость , перпендикулярная

плоскостям (или их ребру), пересекает эти плоскости (углом между плоскостя-

ми считают острый угол).

à

á

13.7, à)

13.7, á)

1 1

∩

2

//

//

//

1 2

2 1


215

Перечень вопросов, выносимых на экзамен по начертательной геометрии

1. Метод проекций. Центральные и параллельные проекции. Свойства параллельных проекций. Косоугольные и прямоугольные (ортогональные) проекции.

2. Метод Г. Монжа. Четверти и октанты пространства. Образование проекционного комплексного чертежа.

3. Точка в системе трех плоскостей проекций Н, V и W. Проекции точки в системе прямоугольных координат. Европейская и американская системы расположения изображений на чертежах.

4. Прямая линия. Прямые общего и частичного положений относи-тельно плоскостей проекций. Характерные признаки этих прямых на чер-теже. Теорема о принадлежности точки прямой.

5. Деления отрезка прямой на чертеже в заданном отношении (свой-ство параллельных проекций). Построение на чертеже натуральной вели-чины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций Н и V способом прямоугольного треугольника. Построение на прямой проекций отрезка заданной величины.

6. Следы прямой. Построение на чертеже проекций фронтального и горизонтального следов прямой общего положения.

7. Взаимное положение прямых. Прямые параллельные, пересекаю-щиеся и скрещивающиеся. Характерные признаки на чертеже параллель-ных, пересекающихся и скрещивающихся прямых. Конкурирующие точки на скрещивающихся прямых.

8. О проекциях плоских углов. Теорема о проецировании прямого уг-ла (прямая и обратная). Привести наглядный рисунок с доказательствами (согласно прямой и обратной теоремам о трех перпендикулярах). Теорема о делении пополам проекций острого или тупого углов.

9. Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоско-сти. Теоремы о принадлежности прямой и точки плоскости. Прямые осо-бого положения в плоскости (фронталь, горизонталь, линия наибольшего ската) и их построение на чертеже.

10. Характерные положения плоскости относительно плоскостей про-екций. Плоскости общего и плоскости частных положений. Характерные признаки этих плоскостей на чертеже. Проведение через прямую общего положения проецирующей плоскости (заключение прямой в плоскость) и обозначение этого действия на чертеже.

11. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. При-знаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Построение на чертеже плоскости, параллельной заданной.

12. Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей. Частные случаи пересечения и общий случай пересечения. Графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положе-ния. Построение линии пересечения плоскостей общего положения по точ-


216

кам пересечения прямых общего положения с плоскостью общего положения (случай, когда проекции плоскостей на чертеже накладываются).

13. Перпендикулярность (частный случай взаимного положения пря-мой и плоскости двух плоскостей). Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей. Теорема о проецировании прямого угла. Проведение на чертеже проекций перпендикуляра к плоскости и плоско-сти, перпендикулярной к заданной прямой.

14. Задачи трех типов о перпендикулярности прямой и плоскости и характерные графические действия для каждого типа задач:

а) провести проекции перпендикуляра из точки на плоскости в про-странство; требуется построить на проекциях перпендикуляра проекции отрезка заданной величины;

б) провести проекции перпендикуляра из точки в пространстве к плос-кости; требуется построить проекции точки пересечения перпендикуляра с плоскостью;

в) построить плоскость, перпендикулярную к заданной прямой (требу-ется построить точку пересечения построенной плоскости с заданной или другой прямой).

15. Преобразование чертежа. Способы преобразования и их сущность: способ замены плоскостей проекций; четыре задачи преобразования

прямой и плоскости этим способом; способ вращения вокруг проецирующей прямой; плоскопараллельное перемещение (частный случай способа враще-

ния вокруг проецирующей прямой); способ вращения вокруг прямой уровня (фронтали или горизонтали). 16. Определение угла между прямой и плоскостью и между двумя

плоскостями. 17. Поверхности. Способ образования поверхностей (кинематический).

Образующая и направляющая линии, каркас поверхности, определитель поверхности; очерк поверхности на чертеже; каркас поверхности.

18. Гранные поверхности. Образование. Геометрические тела – приз-ма и пирамида. Построение проекций точек на поверхности, построение сечений плоскостями частного положения.

19. Кривые линии. Плоские и пространственные кривые линии. Вин-товые линии. Построение пространственной конической и цилиндрической винтовых линий. Характеристики винтовых пространственных линий.

20. Кривые линейчатые поверхности (с прямолинейной образующей). Цилиндрическая и коническая поверхности. Эллиптические поверхности. Линейчатые поверхности вращения. Образование. Порядок поверхности. Геометрические тела – круговой цилиндр и круговой конус. Построение проекций точек на поверхностях цилиндра и конуса. Сечение поверхно-стей цилиндра и конуса плоскостями частного положения.

21. Нелинейчатые поверхности вращения (с криволинейной образую-щей). Образование. Порядок поверхностей. Характерные линии на поверх-


217

ности вращения. Геометрические тела – шар и тор (открытый, замкнутый, самопересекающийся – тороид и глобоид). Сечения поверхностей шара и тора (кривые Персея) плоскостями частного положения.

22. Прочие линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения – эл-липсоид (сжатый и вытянутый), параболоид, одно- и двуполостный гипер-болоид. Образование. Показать образования однополостного гиперболоида вращением отрезка прямой линии вокруг оси (отрезок и ось – скрещиваю-щиеся прямые).

23. Некоторые кривые поверхности. Поверхности с одной прямоли-нейной направляющей – цилиндрические, конические и торсы. Поверхности с двумя прямолинейными направляющими и плоскостью параллелизма – коноид, цилиндроид, косая плоскость. Поверхности с тремя прямолиней-ными скрещивающимися направляющими – однополосный гиперболоид.

24. Кривые нелинейчатые поверхности (не вращения). Поверхности циклические. Поверхности, задаваемые каркасом (графические и топогра-фические поверхности).

25. Винтовые линейчатые поверхности. Образование. Прямой и косой ге-ликоиды. Построение проекций точек на поверхности геликоида. Сечение по-верхности геликоида плоскостью, перпендикулярной оси (спираль Архимеда).

26. Касательные плоскости. Задание на чертеже. Проведение касатель-ных плоскостей к поверхностям цилиндра, конуса, шара и тора в заданной точке поверхности. Нормаль к поверхности.

27. Пересечение поверхностей геометрических тел с прямой линией. Графический алгоритм построения проекций точек пересечения прямой с поверхностью. Пересечение поверхностей геометрических тел плоско-стью общего положения. Графический алгоритм построения линии пересе-чения плоскости общего положения с поверхностью.

28. Пересечение двух поверхностей. Понятие о линии пересечения. Частные случаи пересечения поверхностей геометрических тел:

боковые поверхности двух тел занимают проецирующее положение относительно плоскости проекций (призма и цилиндр);

боковая поверхность одного тела занимает проецирующее положе-ние относительно плоскости проекций;

пересечение поверхностей геометрических тел вращения (кроме от-крытого тора), расположенных соосно (поверхности имеют общую ось вра-щения);

пересечение поверхностей геометрических тел вращения второго порядка, имеющих двойное соприкосновение и описанных вокруг сферы (построение проекций линии пересечения по теореме Г. Монжа).

29. Пересечение поверхностей. Общие случаи пересечения. Способы посредников. Сущность способа посредников. Графический алгоритм по-строения проекций линии пересечения поверхностей способом посредников.

Рассмотренные способы посредников: способ вспомогательных секущих плоскостей;


218

способ вспомогательных концентрических сфер; способ вспомогательных эксцентрических сфер. 30. Пересечение поверхностей многогранников. Графический алгоритм

построения пространственной ломаной линии пересечения гранных поверх-ностей.

31. Развертывание поверхностей. Поверхности развертываемые и не-развертываемые. Понятие развертки поверхности. Точные и приближен-ные развертки.

32. Развертка боковой поверхности призмы: способом триангуляции (способом треугольников); способом нормального сечения; способом раскатки. Условия применения каждого способа. 33. Развертка боковой поверхности пирамиды способом треугольников. 34. Развертка цилиндра: способом нормально сечения; способом раскатки. Аппроксимация (замена) цилиндрической поверхности призматиче-

ской для построения приближенной развертки. 35. Развертывание поверхности кругового конуса. Формула угла раз-

вертки. Приближенная развертка аппроксимацией (заменой) конической по-верхности пирамидальной.

36. Приближенные развертки сферической и торовой поверхностей. 37. Аксонометрические поверхности. Определение. Прямоугольные и

косоугольные проекции. Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям и приведенные коэффициенты искажения. Изометрические, диметри-ческие и триметрические проекции. Теорема К. Польке – Г. Шварца «Ос-новное предложение аксонометрии».

38. Стандартные аксонометрии по ГОСТ 2.317–2011. 39. Прямоугольная изометрия. Расположение аксонометрических осей,

расположение больших и малых осей и величины эллипсов, коэффициенты искажения. Привести способ построения эллипсов (четырехцентровых ова-лов) в прямоугольной изометрии.

40. Прямоугольная диметрия. Расположение аксонометрических осей, расположение и величины больших и малых осей эллипсов, коэффициенты искажения. Привести способ построения эллипсов (четырехцентровых овалов) в прямоугольной диметрии.

41. Косоугольная диметрия. Расположение аксонометрических осей, расположение и величины больших и малых осей эллипсов, коэффициенты искажения. Привести способ построения эллипсов (четырехцентровых ова-лов) в косоугольной диметрии.

На рис. 13.8 приведен образец оформления графической части ответов на экзаменационный билет (допускается их размещение и с двух сторон листа).


219

B''1

îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã

(SO

A

B

C

6

7

Ïðîâåðèë

Ðàçðàáîòàë

ÁÍÒÓ

âûñîòîé 35ìì

G

B'''C'' A'''A'''

H

h''

h'

V

35ìì

A''

B''

C''

S

A'

S'

C'

B'

l''

1''

XV

H

Z

S''

2''

SZ C'1

A'1

B'1

S''1

C''1

A''1

O''1

O'1 S'1

H1V1

X2HX1

V1

O''

3''2''

1''

l'' 1"

2''3''

1

23

m

l

O

O"

n

n"

l

A

A" C"1"

2"

3"

D"

1

23

D

l"

O"

B"

B O

CO

l

12

3m

O''

Ñåìåéñòâî


Âñïîìîãàòåëüíûåëèíèè

3. Ïîñòðîèòü ïðîåêöèè òî÷êè Î(Î,Î''-?) íàïîâåðõíîñòè êîíîèäà, öèëèíäðîèäà è êîñîé ïëîñêîñòè

Ãð.

m" l"

2' O'l'

1'

m''

H

H è, V V

VV

- ïëîñêîñòè

ïàðàëëåëèçìàÁèëåò ¹

Ýêçàìåíàöèîííàÿ ðàáîòà

Å''

D''

D

1'''

2'''

3'''

1

2

34

0

Å

Å'''

1''

2''

3''

4''

5

D'''

4'''

5'' 5'''

6'' 6'''7''F'' G''

B''

F

C'''F'''

7'''

1. Ïîñòðîèòü òðè ïðîåêöèè ñëîæíîãî ãåîìåòðè÷åñêîãîòåëà ñ ëèíèÿìè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.

2. Ïîñòðîèòü ïðîåêöèè ïèðàìèäû SABCñ îñíîâàíèåì ÀÂÑ. Îñíîâàíèå âûñîòû O ëåæèò â öåíòðå

ÀÂÑ)

l'1

2'1

ÀÂÑ

2''1

O''-? O''-?

O''-?

Рис. 13.8 Репо

зито

рий Б

НТУ

220

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники и учебные пособия по начертательной геометрии

1. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 4-е изд. – Минск : Новое знание, 2013. – 264 с. : ил. – (Высшее образование).

2. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 3-е изд. испр. – Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2013. – 265 с. : ил. – (Высшее об-разование).

3. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 3-е изд. испр. – Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2011. – 265 с. : ил. – (Высшее об-разование).

4. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 2-е изд. испр. – Минск : Новое знание, 2010. – 248 с.

5. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – М. : Новое зна-ние ; Минск : Новое знание, 2010. – 248 с.

6. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия. Краткий курс по темам графических работ : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2009. – 229 с.

7. Бубенников, А. В. Начертательная геометрия / А. В. Бубенников. – М. : Высшая школа, 1985. – 288 с.

8. Бударин, О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс : учебное пособие / О. С. Бударин. – 2-е изд. испр. – СПб. : Издательство «Лань», 2009. – 68. : ил. – (Учебник для вузов. Специальная литература).

9. Виноградов, В. Н. Начертательная геометрия : учебник / В. Н. Ви-ноградов. – Минск : Амалфея, 2001.

10. Волошин-Челпак, Э. К. Начертательная геометрия. Инженерная гра-фика : учебник для химико-технологических специальностей вузов / Э. К. Волошин-Челпак. – М. : Академический Проект, 2009. – 183 с. – (Фундаментальный учебник).

11. Георгиевский, О. В. Конспект лекций по начертательной геометрии : методическое пособие / О. В. Георгиевский ; под общ. ред. Т. М. Кондратье-вой. – М. : Издательство ассоциации строительных вузов, 2009. – 80 с. : ил.

12. Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии : учебное пособие для втузов / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский ; под ред. В. О. Гор-дона. – М. : Высшая школа, 2004.

13. Нартова, Л. Г. Современный курс начертательной геометрии / Л. Г. Нартова. – М. : МАИ, 1996.

14. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Н. Н. Крылов [и др.] ; под ред. Н. Н. Крылова. – М. : Высшая школа, 2002.


221

15. Королёв, Ю. И. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Ю. И. Королёв. – 2-изд. – СПб. : Питер, 2010. – 256 с. : ил.

16. Инженерная графика / А. И. Лагерь [и др.]. – М. : Высшая школа, 2007. – 270 с. : ил.

17. Локтев, О. В. Краткий курс начертательной геометрии / О. В. Лок-тев. – 3-е изд., исправл. – М. : Высшая школа, 1999.

18. Начертательная геометрия / под ред. Н. Н. Крылова. – М. : Высшая школа, 1990. – 240 с.

19. Нартова, Л. Г. Начертательная геометрия : учеб. пособие для сту-дентов техн. специальностей вузов / Л. Г. Нартова, В. И. Якунин. – 2-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2010. – 288 с. : ил.

20. Павлова, А. А. Начертательная геометрия / А. А. Павлова. – М. : Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1999. – 301 с. : ил.

21. Тарасов, Б. Ф. Начертательная геометрия / Б. Ф. Тарасов, Л. А. Дуд-кина, С. О. Немолотов. – СПб. : Издательство «Лань», 2001. – 256 с. : ил.

22. Уласевич, З. Н. Начертательная геометрия : учеб. пособие для сту-дентов строительных специальностей вузов: приложение: компакт-диск / З. Н. Уласевич, В. П. Уласевич, О. А. Якубовская. – Минск : Белорус. эн-цык. iмя П. Броўкi, 2009. – 197 с. : ил.

23. Фролов, С. А. Начертательная геометрия : учебник / С. А. Фролов. – 3-е изд. перераб. и доп.– М. : ИНФРА-М, 2012. – 285 с. : ил. – (Высшее об-разование. Бакалавриат).

24. Чекмарев, А. А. Начертательная геометрия и черчение : учеб. по-собие для студ. высш. учеб. заведений / А. А. Чекмарев. – М. : Высшее об-разование, 2009.

25. Яговдик, К. П. Начертательная геометрия. Практикум : учебное по-собие / К. П. Яговдик. – Минск : Издательство Гревцова, 2012. – 80 с. : ил.

Сборники задач по начертательной геометрии

26. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия. Практикум, сборник

задач : учебное пособие для студентов высших учебных заведений по тех-ническим специальностям / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2010. – 163 с.

27. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия. Практикум : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 2-е изд. испр. – Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2011. – 214 с. : ил. – (Выс-шее образование).

28. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия. Практикум : учебное пособие / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : Новое знание, 2010. – 204 с. : ил.

29. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : рабочая тетрадь / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 4-е изд. – Минск : Новое знание, 2013. – 56 с. : ил.


222

30. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : рабочая тетрадь / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 3-е изд. испр. и доп. – Минск : Новое знание, 2012. – 52 с. : ил.

31. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : рабочая тетрадь / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – 2-е изд. стер. – Минск : Новое знание, 2010. – 48 с. : ил.

32. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : рабочая тетрадь (прак-тикум) : учебно-методическое пособие для студентов технических специ-альностей высших учебных заведений / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2010. – 47 с.

33. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия : рабочая тетрадь / Е. И. Белякова, П. В. Зелёный ; под ред. П. В. Зелёного. – М. : Новое зна-ние ; Минск : Новое знание, 2009. – 48 с.

34. Георгиевский, О. В. Начертательная геометрия : сборник задач с ре-шением типовых примеров / О. В. Георгиевский. – М. : ACT ; Астрель, 2006.

35. Гордон, В. О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / В. О. Гордон, Ю. Б. Иванов, Т. Е. Солнцева. – М. : Машиностроение, 1998.

36. Зелёный, П. В. Инженерная графика. Практикум : учебное пособие / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова ; под ред. П. В. Зелёного. – 2-е изд. – Минск : Новое знание, 2013. – 304 с. : ил. – (Высшее образование).

37. Зелёный, П. В. Инженерная графика. Практикум : учебное пособие / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2012. – 303 с. : ил. – (Высшее образование).

38. Зелёный, П. В. Инженерная графика. Практикум : учебное пособие / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2011. – 258 с. : ил.

39. Зелёный, П. В. Инженерная графика. Практикум : учебное пособие / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : Новое знание, 2011. – 302 с. : ил.

40. Зелёный, П. В. Начертательная геометрия. Индивидуальные гра-фические работы : учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения высших технических учебных заведений / П. В. Зелёный, Е. И. Белякова ; под ред. П. В. Зелёного. – Минск : БНТУ, 2008. – 110 с.

41. Локтев, О. В. Задачник по начертательной геометрии / О. В. Лок-тев, П. А. Числов. – М. : Высшая школа, 1997.

42. Королёв, Ю. И. Сборник задач по начертательной геометрии : учеб. пособие / Ю. И. Королёв. – СПб. : Питер, 2008.

43. Фролов, С. А. Начертательная геометрия, сборник задач : учебное пособие для студентов машиностроительных и приборостроительных спе-циальностей вузов. – 3-е изд. испр. / С. А. Фролов. – М. : ИНФРА-М, 2008. – 172 с. : ил. – (Высшее образование).

44. Чекмарев, А. Л. Задачи и задания по инженерной графике : учеб. пособие для вузов / А. А. Чекмарев. – М. : Академия, 2007.


223

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Перечень изучаемых тем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Лекция 1. Метод проекций. Образование чертежа по Г. Монжу. Проекции точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Лекция 2. Проекции прямой. Положение прямой относительно

плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Лекция 3. Проекции плоскости. Задание плоскости на чертеже.

Следы плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Лекция 4. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Лекция 5. Перпендикулярность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Лекция 6. Преобразование чертежа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Лекция 7. Поверхности. Частные случаи гранных и кривых поверхностей. Геометрические тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Лекция 8. Пересечение поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Лекция 9. Развертки поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Лекция 10. Аксонометрические проекции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Лекция 11. Кривые линии и поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Лекция 12. Пересечение линии с поверхностью. Касательные плоскости и нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Лекция 13. Метрические задачи и экзаменационные вопросы. . . . . 205Список рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220


224

Учебное издание

ЗЕЛЁНЫЙ Пётр Васильевич БЕЛЯКОВА Евгения Ивановна


Учебное пособие

Редактор Л. Н. Шалаева Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой

Подписано в печать 12.03.2014. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная. Ризография.

Усл. печ. л. 26,04. Уч.-изд. л. 10,18. Тираж 900. Заказ 1010.

Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя

печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.


Documents

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ b cный геометр Гаспар Монж (Gaspard Monge, 1746–1818) впервые опублико-вал курс лекций