ҚазҰУ ВЕСТНИК ХАБАРШЫСЫ КазНУ АЛМАТЫ № 4 75 2012rmebrk.kz/journals/998/79611.pdf · редактора), Ахмед-Заки Д.Ж. (зам. научного

ISSN 1563 – 0285Индекс 75872

25872

ӘЛ–ФАРАБИ атындағыҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚУНИВЕРСИТЕТI

ҚазҰУХАБАРШЫСЫ

МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА,ИНФОРМАТИКА СЕРИЯСЫ

КАЗАХСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТимени АЛЬ–ФАРАБИ

ВЕСТНИККазНУ

СЕРИЯ МАТЕМАТИКА,МЕХАНИКА, ИНФОРМАТИКА

АЛМАТЫ 4 (75) 2012

Зарегистрирован в Министерстве культуры, информации и общественногосогласия Республики Казахстан, свидетельство 956-Ж от 25.11.1999 г.

(Время и номер первичной постановки на учет 766 от 22.04.1992 г.)

Редакционная коллегия:

У.С. Абдибеков – д.ф.-м.н., профессор, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, Алматы – научный редакторН.Т. Данаев – д.ф.-м.н., профессор, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, Алматы – заместитель научного редактораД.Ж. Ахмед-Заки – д.т.н., Казахский национальный университет им.аль-Фараби, Ка-захстан, Алматы – заместитель научного редактораЛ.М. Даирбаева – к.ф.-м.н., доцент, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, Алматы – ответственный секретарь

Айсагалиев С.А. – д.т.н., профессор, Ка-захский национальный университет им.аль-Фараби, Алматы, КазахстанАлиев Ф.А. – академик Национальнойакадемии наук Азербайджана, Инсти-тут прикладной математики Бакинско-го государственного университета, Баку,АзербайджанБадаев С.А. – д.ф.-м.н., профессор, Казах-ский национальный университет им.аль-Фараби, Алматы, Казахстан

Жайнаков А.Ж. – академик НАН Кыр-гызской Республики, Кыргызский государ-ственный технический университет им.И. Раззакова, Бишкек, КыргыстанКалтаев А.Ж. – д.ф.-м.н., профессор,Казахский национальный университетим.аль-Фараби, Алматы, КазахстанКангужин Б.И. – д.ф.-м.н., профессорКазахский национальный университетим.аль-Фараби, Алматы, КазахстанМалышкин В.Э. – д.т.н., профессор, Ново-

2

сибирский государственный техническийуниверситет, Новосибирск, РоссияМайнке М. – профессор, департаментВычислительной гидродинамики Инсти-тута Аэродинамики, Ахен, ГерманияМейрманов А.М. – д.ф.-м.н., профессор,Белгородский государственный универси-тет, Белгород, РоссияМухамбетжанов С.Т. – д.ф.-м.н., профес-сор, Казахский национальный универси-тет им.аль-Фараби, Алматы, КазахстанОтелбаев М.О. – академик Национальнойакадемии наук РК, Евразийский нацио-нальный университета им. Л.Н. Гумиле-ва, Астана, КазахстанПанфилов М. – д.ф.-м.н., профессор, На-циональный политехнический институтЛотарингии, Франция

Ружанский М. – д.ф.-м.н., профессор,Имперский колледж Лондона, Великобри-танияТайманов И.А. – академик Российскойакадемии наук, Институт математикиим. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,РоссияТукеев У.А. – д.т.н., профессор, Казах-ский национальный университет им.аль-Фараби, Алматы, КазахстанШокин Ю.И. – академик Российской ака-демии наук, Институт вычислительныхтехнологий СО РАН, Новосибирск, Рос-сияЮлдашев З.Х. – д.ф.-м.н., профессор, На-циональный университет Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан

ВЕСТНИК КазНУСЕРИЯ МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, ИНФОРМАТИКА

4(75) 2012

Редакторы Абдибеков У.С. (научный редактор), Данаев Н.Т. (зам. научногоредактора), Ахмед-Заки Д.Ж. (зам. научного редактора)

Корректор Даирбаева Л.М. (ответ. секретарь)Компьютерная верстка Азанов Н.П.

ИБ N 867

Подписано в печать 25.12.2012 г. Формат 70× 108 1/16.Бумага офсетная. Цифровая печать. Заказ N .

Уч.-изд. п.л. 5,75. Тираж 500 экз. Цена договорная.

4 раза в год.

Издательство “Қазақ университетi”Казахского национального университета им. аль-Фараби.

Отпечатано в типографии издательства “Қазақ университетi”.

c⃝ Казахский национальный университет им. аль-Фараби, 2012.

3 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2012, 4(75)

МАЗМҰНЫ СОДЕРЖАНИЕ CONTENS

Дифференциальные и интегральные уравнения

1. Айсагалиев С.А., Калимолдаев М.Н, Поздеева Е.М. К краевой задаче обыкно-венных дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Айтбаев К., Каныбекова А.А., Дуйсебаев С.Н. Об одном решении задачи Кошиметодом конечных элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Кальменов Т.Ш., Сураган Д. О некоторых неравенствах спектральной геометриидля потенциала Рисса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Suragan D. A comparison theorem for eigenvalues of the Newton potential. . . . . . . . 36

Вычислительная математика и математическиемоделирования

5. Мехтиева Г.Ю., Иманова М.Н., Ибрагимов В.Р. Об одном решении задачи Кошиметодом конечных элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Пыркова А.Ю. Моделирование ресурсоёмких задач в области биоинформа-тики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

7. Темирбеков А.Н. Математические вопросы разностной схемы для уравнений по-граничного слоя атмосферы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Механика

8. Утебаев Е.К. Динамический синтез механизма шарнирного четырехзвенника . 75

Информационные системы

9. Мамыкова Ж.Д., Надирбаева Г.М., Жайдарова А.М., Кистаубаев Е.Б. Мо-дель единой интегрированной информационной системы управления универси-тетом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

10. Тукеев У.А., Жуманов Ж.М., Рахимова Д.Р. Моделирование семантических си-туаций времен казахского языка при машинном переводе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

С.А. Айсагалиев, М.Н. Калимолдаев, Е.М. Поздеева К краевой задаче . . . 4

УДК 517.938

С.А. Айсагалиев, М.Н. Калимолдаев, Е.М. Поздеева

Механико-математический факультет, Казахский национальный университет им.аль-Фараби, Алматы, Казахстан; e-mail: [email protected]

К краевой задаче обыкновенныхдифференциальных уравнений ∗

Предлагается метод решения краевой задачи обыкновенных дифференциальныхуравнений с краевыми условиями при наличии фазовых и интегральных ограниче-ний. Основой метода является принцип погружения, основанный на общем решенииинтегрального уравнения Фредгольма первого рода, который позволяет свестиисходную краевую задачу к специальной задаче оптимального уравнения.

Ключевые слова: краевая задача обыкновенных дифференциальных уравнений, ин-тегральное уравнение Фредгольма первого рода, принцип погружения, задача оптималь-ного управления, оптимизационная задача.

С.А. Айсагалиев, М.Н. Калимолдаев, Е.M. ПоздееваЖай дифференциалдық теңдеулердiң шекаралық есебiне

Фазалық және интегралдық шектеулерi берiлген жағдайдағы шекаралық шарттары баржай дифференциалдық теңдеулердiң шекаралық есебiн шешу әдiсi ұсынылады. Әдiстiңнегiзi – берiлген шекаралық есептi арнайы түрдегi оптималды теңдеу есебiне келтiреалатын Фредгольмның бiрiншi тектi интегралдық теңдеуiнiң жалпы шешiмiне негiздел-ген арту принципi.

S.A. Aisagaliev, M.N. Kalimoldayev, E.M. PozdeevaOn the boundary problem of ordinary differential equations

Building the solution of the boundary problem of ordinary differential equations with localand non-local relations, as well as with state constraints is little-investigated problem ofthe qualitative theory of differential equations. The paper presents a method of solving theboundary problem of ordinary differential equations with boundary conditions if there arephase and integral constraints. The method is based on immersion principle, which is basedon the general solution of the Fredholm integral equation of the first kind, which allowsto reduce the initial boundary problem into the special problem of the optimal equation.Necessary and sufficient conditions for an existence of solving the boundary problem, as wellas the building of its solution are obtained. The essence of the method is that in the first phaseof the study by transformation of and bringing in a fictitious control the initial problem is

∗Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и про-ектов Комитетом науки МОН РК, грант 1619/ГФ, 2012г.-2014г.


immersed in the task of manageability. Then, the existence of solutions of the initial problemand the construction of its solution is carried out by solving the problem of optimal controlof a special kind. In this approach, the necessary and sufficient conditions for existence ofsolving the boundary problem can be obtained from the condition for achieving the lowerlimit of the functional on a given set, and solutions of the original boundary problem arelimit points of minimizing sequences.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую краевую задачу

x = A(t)x+B(t)f(x, t) + µ(t), t ∈ I = [t0, t1] (1)

с краевыми условиями

(x(t0)) = x0, x(t1) = x1) ∈ S ⊂ R2n (2)

при наличии фазовых ограничений

x(t) ∈ G(t) : G(t) = x ∈ Rn|γ(t) ≤ F (x, t) ≤ δ(t), t ∈ I, (3)

а также интегральных ограничений

gj(x) ≤ cj, j = 1,m1; (4)

gj(x) = cj, j = m1 + 1,m2; (5)

gj(x) =

t1∫t0

f0j(x(t), t)dt, l; j = 1,m2; (6)

Здесь A(t), B(t) – заданные матрицы с кусочно-непрерывными элементами порядковn×n, n×m соответственно, µ(t), t ∈ I – заданная n - мерная вектор-функция с кусочно-непрерывными элементами,m - мерная вектор-функция f(x, t) определена и непрерывнапо совокупности переменных (x, t) = Rn × I и удовлетворяет условиям:

|f(x, t)− f(y, t)| ≤ l|x− y|, ∀(x, t), (y, t) ∈ Rn × I, l = const > 0,

|f(x, t)| ≤ c0|x|+ c1(t), c0 = const ≥ 0, c1(t) ∈ L1(I, R1),

S – заданное выпуклое замкнутое множество. Функция F (x, t) = (F1(x, t), . . . , Fr(x, t)),t ∈ I – r - мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности аргументов, γ(t) == (γ1(t), . . . , γr(t)), δ(t) = (δ1(t), . . . , δr(t)), t ∈ I – заданные непрерывные функции.

Величины cj, j = 1,m2 – заданные постоянные, f0j(x, t), j = 1,m2 – заданные непре-рывные функции по совокупности аргументов, удовлетворяющих условиям

|f0j(x, t)− f0j(y, t)| ≤ lj|x− y|, ∀(x, t), (y, t) ∈ Rn × I, j = 1,m2;

|f0j(x, t)| ≤ c0j|x|+ c1j(t), c0j = const, c1j ∈ L1(I, R1), j = 1,m2.

Заметим что: 1) если A(t) ≡ 0, m = n, B(t) = In, то уравнение (1) запишется ввиде

x = f(x, t) + µ(t) = f(x, t), t ∈ I. (7)


Поэтому полученные ниже результаты остаются верными для уравнения вида (7)при условиях (2)-(6);

2) если f(x, t) = x + µ1(t) (либо f(x, t) = C(t)x + µ1(t)), то уравнение (1) запишетсяв виде

x = A(t)x+B(t)x+B(t)µ1(t) + µ(t) = A(t)x+ µ(t), t ∈ I, (8)

где A(t) = A(t) + B(t), µ(t) = B(t)µ1(t) + µ(t). Отсюда следует, что уравнение (8)является частным случаем уравнения (1).

Ставятся следующие задачи:Задача 1. Найти необходимые и достаточные условия существования решения кра-

евой задачи (1)-(6).Задача 2. Построить решение краевой задачи (1)-(6).Как следует из постановки задачи, необходимо доказать существование пары

(x0, x1)∈S такой, что решение системы (1), исходящее из точки x0 в момент времениt0, проходит через точку x1 в момент времени t1, при этом вдоль решения системы (1)для каждого момента времени выполняется фазовое ограничение (3), и интегралы (6)удовлетворяют условиям (4), (5). В частности, множество S определяется соотношением

S = (x0, x1) ∈ R2n|Hj(x0, x1) ≤ 0, j = 1, p;

< aj, x0 > + < bj, x1 > −dj = 0, j = p+ 1, s,

где Hj(x0, x1), j=1, p – выпуклые функции относительно переменных (x0, x1), x0=x(t0),x1=x(t1), aj ∈ Rn, bj ∈ Rn, dj ∈ R1, j = p+ 1, s – заданные векторы и числа, < ·, · > -скалярное произведение.

Во многих случаях на практике исследуемый процесс описывается уравнением вида(1) в области фазового пространства системы, определяемой фазовым ограничением ви-да (3). Вне указанной области процесс описывается совершенно другими уравнениямилибо исследуемый процесс не существует. В частности, такие явления имеют место висследованиях динамики ядерных и химических реакторов (вне области (3)реакторы несуществует). Интегральные ограничения вида (4) характеризуют суммарные нагрузки,испытываемые элементами и узлами системы (напр. суммарная перегрузка космонав-тов), которые не должны превосходить заданных величин, а равенства вида (5) соответ-ствуют суммарным ограничениям, налагаемым на систему (напр., расход топлива равензаданной величине).

Суть предлагаемого метода состоит в том, что на первом этапе исследования путемпреобразования и введения фиктивного управления исходная задача погружается в за-дачу управляемости. Далее, существование решения исходной задачи и построение еерешения осуществляется путем решения задачи оптимального управления специально-го вида. При таком подходе необходимые и достаточные условия существования реше-ния краевой задачи (1)-(6) могут быть получены из условия достижения нижней гранифункционала на заданном множестве, а решение исходной краевой задачи являютсяпредельными точками минимизирующих последовательностей.


1. Преобразование

Полагаем, что f0(x, t) = (f01(x, t), . . . , f0m2(x, t)), где

f0(x, t) = C(t)x+ f0(x, t), t ∈ I, (9)

где C(t), t ∈ I – известная матрица порядка m2 × n с кусочно-непрерывными элемен-тами, f 0(x, t) = (f 01(x, t), . . . , f 0m(x, t)). Если j-ая строка матрицы C(t) равна нулю,то f0j(x, t) = f 0j(x, t). Таким образом, без ущерба общности, можно считать, функ-ция f0(x, t) определяется по формуле (9). Путем введения дополнительных переменныхd = (d1, . . . , dm1) ∈ Rm1 , d ≥ 0, соотношения (4), (6) можно представить в виде

gj(x) =

t1∫t0

f0j(x(t), t)dt = cj − dj, j = 1,m1,

гдеd ∈ Γ = d ∈ Rm1 | d ≥ 0.

Пусть вектор c = (c1, . . . , cm2), где cj = cj − dj, j = 1,m1, cj = cj, j = m1 + 1,m2.Введем вектор-функцию η(t) = (η1(t), . . . , ηm2(t)), t ∈ I, где

η(t) =

t∫t0

f0(x(τ), τ)dτ, t ∈ [t0, t1].

Тогдаη = f0(x(t), t) = C(t)x+ f 0(x, t), t ∈ I

η(t0) = 0, η(t1) = c, d ∈ Γ.

Теперь исходная краевая задача (1)-(6) запишется в виде

ξ = A1(t)ξ +B1(t)f(Pξ, t) +B2f 0(Pξ, t) +B3µ(t), t ∈ I, (10)

ξ(t0) = ξ0 = (x0, Om2), ξ(t1) = ξ1 = (x1, c), (11)

(x0, x1) ∈ S, d ∈ Γ, P ξ(t) ∈ G(t), t ∈ I, (12)

где

ξ(t) =

(x(t)η(t)

), A1(t) =

(A(t) On,m2

C(t) Om2,m2

), B1(t) =

(B(t)Om2,m

),

B2 =

(In

Om2,n

), B3 =

(On,m2

Im2

), P =

(In, On,m2

), P ξ = x,

Oj,k – матрица порядка j×k с нулевыми элементами, Oq ∈ Rq – вектор q×1 с нулевымиэлементами, ξ = (ξ1, . . . , ξn, ξn+1, . . . , ξn+m2).


2. Интегральное уравнение

Основой предлагаемого метода решения задач 1, 2 являются следующие теоремы освойствах решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода:

Ku =

t1∫t0

K(t0, t)u(t)dt = a, (13)

где K(t0, t) = ∥Kij(t0, t)∥, i = 1, n, j = 1,m – известная матрица порядка n × m скусочно-непрерывными элементами по t при фиксированном t0, u(·) ∈ L2[I, R

m] – иско-мая функция, I = [t0, t1], a ∈ Rn – заданный n-мерный вектор.

Теорема 1 Интегральное уравнение (13) при любом фиксированном a ∈ Rn имеетрешение тогда и только тогда, когда матрица

C(t0, t1) =

t1∫t0

K(t0, t)K∗(t0, t)dt, (14)

порядка n×n является положительно определенной, где (*) – знак транспонирования.

Теорема 2 Пусть матрица C(t0, t1) положительно-определенная. Тогда общее реше-ние интегрального уравнения (13) имеет вид

u(t) = K∗(t0, t)C−1(t0, t1)a+ v(t)−K∗(t0, t)C

−1(t0, t1)

t1∫t0

K(t0, t)v(t)dt, t ∈ I, (15)

где v(·) ∈ L2(I, Rm) – произвольная функция, a ∈ Rn – любой вектор.

Доказательства теорем 1, 2 приведены в работах [2, 3]. Приложение теорем 1, 2 длярешения задачи управляемости и оптимального управления изложены в [4-7].

3. Принцип погружения

Наряду с дифференциальным уравнением (10) с краевыми условиями (11), рассмот-рим линейную управляемую систему

y = A1(t)y +B1(t)w1(t) +B2(t)w2(t) + µ2(t), t ∈ I, (16)

y(t0) = ξ0 = (x0, Om2), y(t1) = ξ1 = (x1, c), (17)

(x0, x1) ∈ S, d ∈ Γ, w1(·) ∈ L2(I, Rm), w2(·) ∈ L2(I, R

m2), (18)

где µ2(t) = B3µ(t), t ∈ I.Пусть матрица B(t) = (B1(t), B2(t)) порядка (n+m2)× (m2 +m), а вектор-функция

w(t)=

(w1(t)w2(t)

)∈L2(I, R

m+m2). Легко убедиться в том, что управление w(·)∈L2(I, Rm+m2),


которое переводит траекторию системы (16) из любого начального состояния ξ0 в любоежелаемое состояние ξ1, является решением интегрального уравнения

t1∫t0

Φ(t0, t)B(t)w(t)dt = a, (19)

где Φ(t, τ) = θ(t)θ−1(τ), θ(t) – фундаментальная матрица решений линейной однороднойсистемы ω = A1(t)ω, вектор

a = a(ξ0, ξ1) = Φ(t0, t1)[ξ1 − Φ(t1, t0)ξ0]−t1∫

t0

Φ(t0, t)µ2(t)dt.

Как следует из (13), (19), матрица K(t0, t) = (t0, t)B(t). Введем следующие обозна-чения

λ1(t, ξ0, ξ1) = T1(t)ξ0 + T2(t)ξ1 + µ3(t) = E(t)a, t ∈ I,

W (t0, t1) =

t1∫t0

Φ(t0, t)B(t)B∗(t)Φ∗(t0, t)dt, W (t0, t) =

t∫t0

Φ(t0, τ)B(τ)B∗(τ)Φ∗(t0, τ)dτ,

W (t, t1) = W (t0, t1)−W (t0, t), E(t) = B∗(t)Φ∗(t0, t)W

−1(t0, t1),

µ3(t) = −E(t)t1∫

t0

Φ(t0, t)µ2(t)dt, λ2(t, ξ0, ξ1) = E1(t)ξ0 + E2(t)ξ1 + µ4(t),

E1(t) = Φ(t, t0)W (t, t1)W−1(t0, t1), E2(t) = Φ(t, t0)W (t0, t)W

−1(t0, t1)Φ(t0, t1),

µ4(t) = Φ(t, t0)

t∫t0

Φ(t0, τ)µ2(τ)dτ − E2(t)

t1∫t0

Φ(t1, t)µ2(t)dt,

N1(t) = −E(t)Φ(t0, t1), N2(t) = −E2(t), t ∈ I.

Теорема 3 Пусть матрица W (t0, t1) > 0. Управление w(·) ∈ L2(I, Rm+m2) переводит

траекторию системы (16) из любой начальной точки ξ0 ∈ Rn+m2 в любое конечноесостояние ξ1 ∈ Rn+m2 тогда и только тогда, когда

w(t) ∈ W = w(·) ∈ L2(I, Rm+m2)/w(t) = v(t) + λ1(t, ξ0, ξ1)+

+N1(t)z(t1, v), t ∈ I, ∀v(·) ∈ L2(I, Rm+m2), (20)

где функция z(t) = z(t, v), t ∈ I является решением дифференциального уравнения

z = A1(t)z +B(t)v(t), z(t0) = 0, t ∈ I, v(·) ∈ L2(I, Rm+m2). (21)

Решение дифференциального уравнения (16), соответствующее управлению w(t)∈W ,определяется по формуле

y(t) = z(t) + λ2(t, ξ0, ξ1) +N2(t)z(t1, v), t ∈ I. (22)


Доказательство. Как следует из теоремы 1, для существования решения интеграль-ного уравнения (19) необходимо и достаточно, чтобы матрица W (t0, t1) = C(t0, t1) > 0,где K(t0, t) = Φ(t0, t)B(t). Теперь соотношение (15) запишется в виде (20). Решениесистемы (16), соответствующее управлению (20), определяется по формуле (22), гдеz(t) = z(t, v), t ∈ I – решение дифференциального уравнения (21). Теорема доказана.

Лемма 1 Пусть матрица W (t0, t1) > 0. Тогда краевая задача (1)-(6) (либо (10)-(12))равносильна следующей задаче

w(t) = (w1(t), w2(t)) ∈ W, w1(t) = f(Py(t), t), w2(t) = f 0(Py(t), t), (23)

z = A1(t)z +B1(t)v1(t) +B2(t)v2(t), z(t0) = 0, t ∈ I, (24)v(t) = (v1(t), v2(t)), v1(·) ∈ L2(I, R

m), v2(·) ∈ L2(I, Rm2), (25)

(x0, x1) ∈ S, d ∈ Γ, Py(t) ∈ G(t), t ∈ I, (26)где v(·) = (v1(·), v2(·)) ∈ L2(I, R

m+m2) – произвольная функция, y(t), t ∈ I – определяетсяпо формуле (22).

Доказательство. При выполнении соотношений (23)-(26), функция

y(t) = ξ(t), t ∈ I, Py(t) = Pξ(t) ∈ G(t), t ∈ I, w(t) = (w1(t), w2(t)) ∈ W.

Лемма доказана.Рассмотрим следующую оптимизационную задачу: минимизировать функционал

(v1, v2, p, d, x0, x1) =

t1∫t0

[|w1(t)− f(Py(t), t)|2 + |w2(t)− f 0(Py(t), t)|2+

+|p(t)− F (Py(t), t)|2]dt =t1∫

t0

F0(t, v1(t), v2(t), p(t), d, x0, x1, z(t), z(t1))dt→ inf

(27)

при условиях

z = A1(t)z +B1(t)v1(t) +B2(t)v2(t), z(t0) = 0, t ∈ I, (28)

v1(·) ∈ L2(I, Rm), v2(·) ∈ L2(I, R

m2), (x0, x1) ∈ S, d ∈ Γ, (29)p(t) ∈ P (t) = p(·) ∈ L2(I, R

r)/ γ(t) ≤ p(t) ≤ δ(t), t ∈ I, (30)где

w1(t) = v1(t) + λ11(t, ξ0, ξ1) +N11(t)z(t1, v), t ∈ I,

w2(t) = v2(t) + λ12(t, ξ0, ξ1) +N12(t)z(t1, v), t ∈ I,

N1(t) =

(N11(t)N12(t)

), λ1(t, ξ0, ξ1) =

(λ11(t, ξ0, ξ1)λ12(t, ξ0, ξ1)

).

Обозначим через

X = L2(I, Rm+m2)× P (t)× Γ× S ⊂ H = L2(I, R

m)×

L2(I, Rm2)× L2(I, R

r)×Rm1 ×Rn ×Rn,

J∗ = infθ∈X

J(θ), θ = (v1, v2, p, d, x0, x1) ∈ X, X∗ =

θ∗ ∈

X

J(θ∗)= 0

.


Теорема 4 Пусть матрица W (t0, t1) > 0, X∗ = ∅. Для того, чтобы краевая задача(1)-(6) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы значение J(θ∗) = 0 = J∗, гдеθ∗ = (v∗1, v

∗2, p∗, d∗, x

∗0, x

∗1) ∈ X – оптимальное управление для задачи (27)-(30).

Если J∗ = J(θ∗) = 0, то функция

x∗(t) = z(t, v∗1, v∗2) + λ2(t, d∗, x

∗0, x

∗1) +N2(t)z(t1, v

∗1, v

∗2), t ∈ I

решение краевой задачи (1)-(6). Если J∗ > 0, то краевая задача (1)-(6) не имеет реше-ния.

Доказательство. Необходимость. Пусть краевая задача (1)-(6) имеет решение. То-гда, как следует из леммы 1, значения w∗

1(t) = f(Py∗(t), t), w∗2(t) = f 0(Py∗(t), t), где

w∗(t) = (w∗1(t), w

∗2(t)) ∈ W , y(t), t ∈ I определяется по формуле (22), ξ∗0 = (x∗0, Om2),

ξ∗1 = (x∗1, c∗), c∗ = (cj∗ − d∗j , j = 1,m1, cj, j = m1 + 1,m2). Включение y∗(t) ∈ G(t), t ∈ I

равносильно тому, что p∗(t) = F (y∗(t), t), где γ(t) ≤ p∗(t) = F (y∗(t), t) ≤ δ(t), t ∈ I.Следовательно, значение J(θ∗) = 0. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть J(θ∗) = 0. Это возможно тогда и только тогда, когда w∗1(t) =

= f(Py∗(t), t), w∗2(t)=f 0(Py∗(t), t), p∗(t)=F (y∗(t), t), (x∗0, x

∗1)∈S, d∗∈Γ, v∗1(·)∈L2(I, R

m),v∗2(·)∈L2(I, R

m2). Достаточность доказана. Теорема доказана.Переход от краевой задачи (1)-(6) к задаче (27)-(30) называется принципом погру-

жения.

4. Оптимизационная задача

Рассмотрим решение оптимизационной задачи (27)-(30). Заметим, что функция

F0(t, v1, v2, p, d, x0, x1, z, z) = |w1 − f(Py, t)|2 + |w2 − f0(Py, t)|2+

+|p− F (Py, t)|2 = F0(t, θ, z, z) = F0(t, q), q = (θ, z, z),

гдеw1 = v1 + λ11(t, x0, x1, d) +N11(t)z, z = z(t1, v1, v2),

w2 = v2 + λ12(t, x0, x1, d) +N12(t)z, y = z + λ2(t, x0, x1, d)+N2(t)z,

P = (In, Onm2), Py = x.

Теорема 5 Пусть матрица W (t0, t1) > 0, функция F0(t, q) определена и непрерывнодифференцируема по q = (θ, z, z), и выполняемы следующие условия:

|F0z(t, θ +∆θ, z +∆z, z +∆z)− F0z(t, θ, z, z)| ≤ L(|∆z|+ |∆z|+ |∆θ|),

|F0z(t, θ +∆θ, z +∆z, z +∆z)− F0z(t, θ, z, z)| ≤ L(|∆z|+ |∆z|+ |∆θ|),|F0θ(t, θ +∆θ, z +∆z, z +∆z)− F0θ(t, θ, z, z)| ≤ L(|∆z|+ |∆z|+ |∆θ|),

∀θεRm+m2+r+m1+n+n, ∀z ∈ Rn+m2 , ∀z ∈ Rn+m2 .

Тогда функционал (27) при условиях (28)-(30) непрерывен и дифференцируем по Фре-ше в любой точке θ ∈ X, причем

J′(θ) = (J

′

1(θ), J′

2(θ), J′

3(θ), J′

4(θ), J′

5(θ), J′

6(θ)) ∈ H,


где

J′

1(θ) =∂F0(t, q)

∂v1−B∗

1(t)ψ(t), J′

2(θ) =∂F0(t, q)

∂v1−B∗

2(t)ψ(t),

J′

3(θ) =∂F0(t, q)

∂p, J

′

4(θ) =

t1∫t0

∂F0(t, q)

∂ddt, J

′

5(θ) =

t1∫t0

∂F0(t, q)

∂x0dt,

J′

6(θ) =

t1∫t0

∂F0(t, q)

∂x1dt,

(31)

q = (θ, z(t), z(t, v)), функция z(t), t ∈ I – решение дифференциального уравнения (28)при v1 = v1(·) ∈ L2(I, R

m), v2 = v2(·) ∈ L2(I, Rm2), а функция ψ(t), t ∈ I – решение

сопряженной системы

ψ =∂F0(t, q(t))

∂z− A∗

1(t)ψ, ψ(t1) = −t1∫

t0

∂F0(t, q(t))

∂z(t1)dt. (32)

Кроме того, градиент J′(θ), θ ∈ X удовлетворяет условию Липшица

∥J ′(θ1)− J

′θ2)∥ ≤ K∥θ1 − θ2∥, ∀θ1, θ2 ∈ X, (33)

где K > 0 – постоянная Липшица.

Доказательство. Пусть θ, θ+∆θ ∈ X, где ∆θ = (∆v1,∆v2,∆p,∆d,∆x0,∆x1). Мож-но показать, что ∆z = A1(t)∆z +B1(t)∆v1 +B2(t)∆v2, приращение функционала

∆J = J(θ +∆θ)− J(θ) = < J′

1(θ),∆v1 >L2+< J

′

2(θ),∆v2 >L2+

+< J′

3(θ),∆p >L2+< J

′

4(θ),∆d >Rm1 +< J′

5(θ),∆x0 >Rn+

+< J′

6(θ),∆x1 >Rn +R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6,

где |R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6| ≤ c∗∥∆θ∥2X , c∗ = const > 0,

∣∣∣∣ 6∑i=1

Ri

∣∣∣∣∥∆θ∥X

→ 0 при ∥∆θ∥X → 0.Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Используя соотношение (31)-(33) строим последовательность θn = vm(t), v2n(t),pn(t), dn, x0n, x1n ⊂ X по следующему алгоритму

v1n+1 = v1n − αnJ′

1(θn), v2n+1 = v2n − αnJ′

2(θn),

pn+1 = Pp[pn − αnJ′

3(θn)], dn+1 = PΓ[dn − αnJ′

4(θn)],

x0n+1 = PS[x0n − αnJ′

5(θn)]x1n+1 = PS[x1n − αnJ

′6(θn)], n = 0, 1, 2, . . . ,

(34)

где 0 < αn = 2K+2ε

, ε > 0, K > 0 – постоянная Липшица из (33). Введем следующиемножества

Λ0 = θ ∈ X|J(θ) ≤ J(θ0), X∗∗ = θ∗∗ ∈ X|J(θ∗∗) = infθ∈X

J(θ).


Теорема 6 Пусть выполнены условия теоремы 5, функционал J(θ), θ ∈ X ограниченснизу, последовательность θn ⊂ X определяется по формуле (34). Тогда:

1)J(θn)− J(θn+1) ≥ ε∥θn − θn+1∥2, n = 0, 1, 2, . . . ; (35)

2) limn→∞

∥θn − θn+1∥ = 0, n = 0, 1, 2, . . . . (36)

Доказательство. Так как θn+1 является проекцией точки θn − αnJ′(θn), то

<θn+1−θn+αnJ′(θn), θn−θn+1>H≥0, ∀θ, θ∈X. Отсюда, с учетом того, что J(θ) ∈ C1,1(X),

получим

J(θn)− J(θn+1) ≥(

1

αn

− K

2

)∥θn − θn+1∥2 ≥ ε∥θn − θn+1∥2.

Следовательно, числовая последовательность J(θn) строго убывает, и верно нера-венство (35). Равенство (36) следует из ограниченности снизу функционала J(θ), θ ∈ X.Теорема доказана.

Теорема 7 Пусть выполнены условия теоремы 5, множество Λ0 – ограничено, J(θ),θ ∈ X – выпуклый функционал. Тогда:

1) Множество Λ0 – слабо бикомпактно, X∗∗ = 0.2) Последовательность θn является минимизирующей т.е.

limn→∞

J(θn) = J∗ = infθ∈X

J(θ).

3) Последовательность θn ⊂ Λ0 слабо сходится к точке θ∗∗ ∈ X∗∗.4) Справедлива следующая оценка скорости сходимости

0 ≤ J(θn)− J∗ ≤c1n, c1 = const > 0, n = 1, 2, . . . .

5) Краевая задача (1)-(6) имеет решение тогда и только тогда, когда

limn→∞

J(θn) = J∗ = infθ∈X

J(θ) = J(θ∗∗) = 0.

Доказательство. Первое утверждение следует из того, что Λ0 – ограниченное вы-пуклое замкнутое множество из рефлексивного банахова пространства X, а также изслабой полунепрерывности снизу функционала J(θ) на слабо бикомпактном множествеΛ0. Второе утверждение следует из оценки J(θn)−J(θn+1) ≥ ε∥θn − θn+1∥2, n = 0, 1, 2, . . ..Отсюда имеем J(θn+1) < J(θn), ∥θn − θn+1∥ → 0 при n→ ∞, θn ⊂ Λ0. Тогда из выпук-лости функционала J(θn) на Λ0 следует, что θn минимизирующая.Третье утверждениеследует из слабой бикомпактности множества Λ0. Оценка скорости сходимости следуетиз неравенства J(θn)−J(θ∗∗) ≤ c1∥θn−θn+1∥. Последнее утверждение следует из теоремы4. Теорема доказана.

Заметим, что если f(x, t), f0j(x, t), j = 1,m2, F (x, t) – линейные функции относи-тельно x, то функционал J(θ) является выпуклым.

Пример. Уравнение движения системы имеет вид

φ+ φ = cos t, 0 < t < π, φ(0) = 0, φ(π) = 0, (37)


где фазовое ограничение задается в виде

0, 37t

π− 0, 37 ≤ φ(t) ≤ 0, 44t

π, t ∈ I = [0, π]. (38)

Интегральное ограничение определяется соотношениемπ∫

0

φ(t)dt ≤ 1. (39)

Обозначая φ = x1, φ = x1 = x2, уравнение (37) запишем в векторной форме

x = Ax+Bx+ µ(t), x(0) = x0 =

(0δ

)∈ S0, x(π) = x1 =

(0β

)∈ S1, (40)

где

x =

(x1x2

), A =

(0 10 0

), B =

(0 0−1 0

), µ(t) =

(0

cos t

),

x0 ∈ S0 = (x1(0), x2(0)) ∈ R2| x1(0) = 0, x2(0) = δ ∈ R1,x1 ∈ S1 = (x1(π), x2(π)) ∈ R2| x1(π) = 0, x2(π) = β ∈ R1,

фазовое ограничение (38) имеет вид

0, 37t

π− 0, 37 ≤ x1(t) ≤

0, 44t

π, t ∈ I, (41)

интегральное ограничение (39) запишется так

π∫0

x1(t)dt ≤ 1. (42)

Для данной задачи F (x, t) = x1, γ(t) =0,37tπ

− 0, 37, δ(t) = 0,44tπ, g1(x1) =

π∫0

f01(x1)dt =

=π∫0

x1(t)dt, c1 = 1, m1 = 1, m2 = 0, f01 = x1.

Преобразование

Функция η(t) = η1(t), t ∈ I где η(t) =t∫0

x1(τ)dτ , η(t) = x1(t), η(0) = 0, η(π) = 1− d1,

d1 ≥ 0.Множество Γ = d1 ∈ R1|d1 ≥ 0. Пусть ξ(t) = (ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t)), где ξ1(t) = x1(t),

ξ2(t) = x2(t), ξ3(t) = η(t). Тогда

ξ(t) = A1ξ +B1ξ + µ1(t), t ∈ I = [0, π], (43)

ξ(0) = ξ0 =

x1(0)x2(0)η(0)

=

0δ0

, ξ(π) = ξ1 =

x1(π)x2(π)η(π)

=

0β

1− d1

, (44)


где

A1 =

0 1 00 0 01 0 0

, B1 =

0 0 0−1 0 00 0 0

, µ1(t) =

c0cos t0

,

P =

(1 0 00 1 0

), P ξ =

(ξ1ξ2

), B2 = 0, f 0 = 0.

Фазовое ограничение запишется в виде

0, 37t

π− 0, 37 ≤ ξ1(t) ≤

0, 44t

π, t ∈ I = [0, π]. (45)

Здесь δ ∈ R1, β ∈ R1, d1 ∈ Γ = d1 ∈ R1|d1 ≥ 0.

Принцип погружения

Линейная управляемая система (см. (16)-(18)) имеет вид

y = A1y +B1w(t) + µ1(t), t ∈ I = [0, π], (46)

y(0) = ξ0, y(π) = ξ1, (δ, β) ∈ R2, w(·) ∈ L2(I, R1),

где матрица B1 и линейная однородная система ω = A1ω равны

B1 =

0−10

, ω =

ω1

ω2

ω3

, ω1 = ω2, ω2 = 0, ω3 = ω1.

Фундаментальная матрица решения линейной однородной системы ω = A1ω опреде-ляется по формуле

θ(t) = eA1t =

1 t 00 1 0t t2/2 1

, θ−1(t) = e−A1t =

1 −t 00 1 0−t t2/2 1

, ϕ(t, τ) = θ(t)θ−1(τ).

Вектор

a = Φ(0, π)ξ1 − ξ0 −π∫

0

Φ(0, t)µ1(t)dt =

−πβ − 2β − δ

π2β2

+ 1− d1 + π

.

Матрицы

W (0, π) =

π∫0

Φ(0, t)BB∗Φ∗(0, t)dt =

π3/3 −π2/2 −π4/8−π2/2 π π3/6−π4/8 π3/6 π5/20

W−1(0, π) =

192/π3 36/π2 360/π4

36/π2 9/π 60/π3

360/π4 60/π3 720/π5

, W (0, t) =

t3/3 −t2/2 −t4/8−t2/2 t t3/6−t4/8 t3/6 t5/20

,


W (t, π) =

(π3 − t3)/3 (t2 − π2)/2 (t4 − π4)/8(t2 − π2)/2 π − t (π3 − t3)/6(t4 − π4)/8 (π3 − t3)/6 (π5 − t5)/20

.

Тогда

λ1(t, ξ0, ξ1) = E(t)a = B∗1(t)Φ

∗(0, t)W−1(0, π)a =(−πβ − 2)(−180t2 + 192πt− 36π2)

π4+

+(β − δ)[−30t2 + 36πt− 9π2]

π3+ (

π2β

2+ 1− d1 − π) · −360t2 + 360πt− 60π2

π5;

E1(t)ξ0 = Φ(t, 0)W (t, π)W−1(0, π)ξ0 =

= δ

[12t(8πt−3π2−5t2)+πt(π3+18πt2−9π2t−10t3)]

π3

[π3+18πt2−9π2t−10t3]π3

[24t2(8πt−3π2−5t2)+πt2(π3+18πt2−9π2t−10t3)+3πt3(3πt−π2−2t2)]2π4

,

E2(t)ξ1 =

β · (−8πt3+3π2t2+5t4)2π3 + (1− d1) · (−60πt3+30π2t2+30t4)

π5

β · (−12πt2+3π2t+10t3)π3 + (1− d1) · (−180πt2+60π2t+120t3)

π5

β · (−2πt4+π2t3+t5)2π3 + (1− d1) · (−15πt4+10π2t2+6t5)

π5

,

µ4(t) = Φ(t, 0)

t∫0

Φ(0, τ)µ2(τ)dτ − E2(t)

π∫0

Φ(π, t)µ2(t)dt =

−cos t+ 1+ 4πt3−6π2t2

π4

sin t+ 12πt2−12π2tπ4

t− sin t + πt4−2π2t2

π4

.

ЗдесьE(t) = B∗

1(t)ϕ∗(0, t)W−1(0, π) =

= (−180t2 + 192πt− 36π2

π4,−30t2 + 36πt− 9π2

π3,−360t2 + 360πt− 60π2

π5),

E2(t) =

28πt3−12π2t2−15t4

π4−8πt3+3π2t2+5t4

2π3−60πt3+30π2t2+30t4

π5

84πt2−24π2t−60t3

π4−12πt2+3π2t+10t3

π3−180πt2+60π2t+120t3

π5

7πt4−4π2t3−3t5

π4−2πt4+π2t3+t5

2π3−15πt4+10π2t2+6t5

π5

N1(t) = −E(t)ϕ(0, π) =

= (−180t2 + 168πt− 24π2

π4,

30t2 − 24πt+ 3π2

π3,360t2 − 360πt+ 60π2

π5),

N2(t) = −E2(t).

Как следует из теоремы 3, управление

w(t) = v(t) + λ1(t, ξ0, ξ1) +N1(t)z(t1, v) =

= v(t) +(−πβ − 2)(−180t2 + 192πt− 36π2)

π4+

(β − δ)(−30t2 + 36πt− 9π2)

π3+

+(π2β

2+ 1− d1 + π)

(−360t2 + 360πt− 60π2)

π5+

+(−180t2 + 168πt− 24π2)

π4z1(π, v) +

(30t2 − 24πt+ 3π2)

π3z2(π, v)+

+(360t2 − 360πt+ 60π2)

π5z3(π, v), t ∈ I = [0, π],

(47)


где z(t, v), t ∈ I = [0, π] – решение дифференциального уравнения

z = A1z +B1v(t), z(0) = 0, v(·) ∈ L2(I, R1). (48)

Решение дифференциального уравнения (46) соответствующего уравнения (47) рав-но

y(t) =

y1(t)y2(t)y3(t)

= z(t, v) + λ2(t, ξ0, ξ1) +N2(t)z(π, v) =

= z(t, v) + E1(t)ξ0 + E2(t)ξ1 + µ4(t), t ∈ I = [0, π],

где

y1(t) = z1(t, v) + δ[12t(8πt− 3π2 − 5t2) + πt(π3 + 18πt2 − 9π2t− 10t3)]

π3+

+β(−8πt3 + 3π2t2 + 5t4)

2π3+ (1− d1)

(−60πt3 + 30π2t2 + 30t4)

π5+

4πt3 − 6π2t2

π4−

− cos t+ 1−(28πt3 − 12π2t2 − 15t4

)π4

z1 (π, v) +

(8πt3 − 3π2t2 − 5t4

)2π3

z2 (π, v)+

+60πt3 − 30π2t2 − 30t4

π5z3(π, v),

(49)

y2(t) = z2(t, v) + δπ3 + 18πt2 − 9π2t− 10t3

π3+ β

(−12πt2 + 3π2t+ 10t3)

π3+

+(1− d1)(−180πt2 + 60π2t+ 120t3)

π5+ sin t+

12πt2 − 12π2t

π4−

−84πt2 − 24π2t− 60t3

π4z1(π, v)−

(−12πt2 + 3π2t+ 10t3)

π3z2(π, v)−

−(−180πt2 + 60π2t+ 120t3)

π5z3(π, v),

(50)

y3(t) = z3(t, v)+

+δ [24t2(8πt−3π2−5t2)+πt2(π3+18πt2−9π2t−10t3)+3πt3(3πt−2t2−π2)]

2π4 +

+β(−2πt4 + π2t3 + t5)

2π3+ (1− d1) ·

(−15πt4 + 10π2t2 + 6t5)

π5+ t− sin t+

+πt4 − 2π2t2

π4− 7πt4 − 4π2t3 − 3t5

π4z1(π, v)−

(−2πt4 + π2t3 + t5)

2π3 z2(π, v)−

−(−15πt4 + 10π2t2 + 6t5)

π5z3(π, v), t ∈ I.

(51)

Заметим, что y1(0) = 0, y2(0) = δ, y3(0) = 0, y1(π) = 0, y2(π) = β, y3(π) = 1− d1.

Оптимизационная задача

Поскольку для данного примера f = y1, F = y1, то оптимизационная задача (27)-(30)запишется в виде: минимизировать функционал:

J(v, p, d1, δ, β) =π∫0

[|w(t)− y1(t)|2 + |p(t)− y1(t)|2]dt =

=π∫0

F0(t, v(t), p(t), d1, δ, β, z(t), z(π))dt→ inf(52)


при условиях (48), где

v(·) ∈ L2(I, R1), p(t) ∈ P (t), d1 ∈ Γ, δ ∈ R1, β ∈ R1, (53)

функция w(t), t ∈ I – определяется по формуле (47), а функция y1(t), t ∈ I определяетсясоотношением (49), множество

P (t) = p(·) ∈ L2(I, R1)|0, 37t

π− 0, 37 ≤ p(t) ≤ 0, 44t

π, n.b, t ∈ I. (54)

Частные производные

∂F 0(t, q)

∂v= 2[w(t)− y1(t)],

∂F 0(t, q)

∂p= 2[p(t)− y1(t)],

∂F 0(t, q)

∂d1= 2[w(t)− y1(t)]

(360t2 − 360πt+ 60π2

π5− 60πt3 − 30π2t

2 − 30t4

π5

)+

+2[p(t)− y1(t)]

(−60πt3 + 30π2t

2+ 30t4

π5

);

∂F 0(t, q)

∂δ= 2[w(t)− y1(t)]×

×(−30t2 + 36πt− 9π2

π3− [12t(8πt− 3π2 − 5t2) + πt(π3 + 18πt− 9π2t− 10t3)]

π3

)+

+2[p(t)− y1(t)]

[− [12t(8πt− 3π2 − 5t2) + πt(π3 + 18πt2 − 9π2t− 10t3)]

π3

],

∂F 0(t, q)

∂β= 2[w(t)− y1(t)]

[(−30t2 + 36πt− 9π2)

π3+

−(−180t2 + 180πt− 30π2)

π3− (−180t2 + 192πt− 36π2)

π3− −8πt3 + 3π2t2 + 5t4

2π3

]+

+2[p(t)− y1(t)]

(8πt3 − 3π2t2 − 5t4

2π3

);

∂F 0(t, q)

∂z1= −2[w(t)− y1(t)]− 2[p(t)− y1(t)],

∂F 0(t, q)

∂z2= 0,

∂F 0(t, q)

∂z3= 0;

∂F 0(t, q)

∂z1(π)= 2[w(t)− y1(t)] ·

[−180t2 + 168πt− 24π2

π4+

28πt3 − 12π2t2 − 15t4

π4

]+

+2[p(t)− y1(t)] ·(28πt3 − 12π2t2 − 15t4

π4

);


∂F 0(t, q)

∂z2(π)= 2[w(t)− y1(t)]

[30t2 − 24πt+ 3π2

π3− 8πt3 − 3π2t2 − 5t4

2π3

]+

+2[p(t)− y1(t)]

[−8πt3 − 3π2t2 − 5t4

2π3

];

∂F 0(t, q)

∂z3(π)= 2[w(t)− y1(t)]

(360t2 − 360πt+ 60π2

π5− 60πt3 − 30π2t2 − 30t4

π5

)+

+2[p(t)− y1(t)]

(−60πt3 − 30π2t2 − 30t4

π5

).

Легко убедиться в том, что функционал (52) при условиях (48), (53), (54) являетсявыпуклым. Следовательно, последовательности, приведенные ниже, являются миними-зирующими.

Минимизирующие последовательности

Для данной задачи управление θ = (v, p, d1, δ, β) ∈ X. Выбираем начальное управле-ние θ0 = (v0(t), p0(t), d10, δ0, β0) ∈ X, где v0(·) ∈ L2(I, R

1), p0(t) ∈ P (t), d10 ∈ Γ, δ0 ∈ R1,β0 ∈ R1. В частности v0(t) ≡ 1, p0(t) =

0,405tπ

− 0, 185 ∈ P (t), d10 = 0.5, δ0 = −π8, β0 = −π

8.

Находим решение дифференциального уравнения z = A1z+B1v(t), z(0)=0, при v=v0(t),т.е. z10 = z20, z20 = −v0(t), z30 = z10, t ∈ [0, π], где z10(0) = 0, z20(0) = 0, z30(0) = 0.Итак, известны z10(t), z20(t), z30(t), t ∈ [0, π]. Тогда q0 = (v0, p0, d

01, δ0, β0, z0(t), z0(π)),

z0(t) = (z10(t), z20(t), z30(t)). Вычислим частные производные

∂F 0(t, q0)

∂v,∂F 0(t, q0)

∂p,∂F 0(t, q0)

∂d1,∂F 0(t, q0)

∂δ,∂F 0(t, q0)

∂β,

∂F 0(t, q0)

∂z10,∂F 0(t, q0)

∂z20= 0,

∂F 0(t, q0)

∂z30= 0,

∂F 0(t, q0)

∂z10(π),∂F 0(t, q0)

∂z20(π),∂F 0(t, q0)

∂z30(π).

Следующие приближения

v1 = v0 − α0J′

1(θ0), p1 = Pp[p0 − α0J′

2(θ0)], d1 = PΓ[d010 − α0J

′

3(θ0)];

δ1 = δ0 − α0J′

4(α0), β1 = β0 − α0J′

5(θ0),

где

J′

1(θ0) =∂F 0(t, q0)

∂v−B∗

1ψ0(t) =∂F 0(t, q0)

∂v+ ψ20(t), ψ0 = (ψ10, ψ20, ψ30),

J′

2(θ0) =∂F 0(t, q0)

∂p, J

′

3(θ0) =

π∫0

∂F 0(t, q0)

∂d1dt,

J′

4(θ0) =

π∫0

∂F 0(t, q0)

∂δdt, J

′

5(θ0) =

π∫0

∂F 0(t, q0)

∂βdt.


Здесь ψ0(t) = (ψ10(t), ψ20(t), ψ30(t)), t ∈ I – решение сопряженной системы

ψ10 =∂F 0(t, q0)

∂z10− ψ20, ψ20 =

∂F 0(t, q0)

∂z20= 0,

ψ30 =∂F 0(t, q0)

∂z30− ψ10 = −ψ10,

ψ10(π) = −π∫

0

∂F 0(t, q0)

∂z10(π)dt, ψ20(π) = −

π∫0

∂F 0(t, q0)

∂z20(π)dt,

ψ30(π) = −π∫

0

∂F 0(t, q0)

∂z30(π)dt.

Величина α0 =1K

= const = 0, 1. В результате находим θ1 = (v1, p1, d11, δ1, β1). Далееповторяется процесс построения θn с начальной точкой θ1, с величиной αn = 0, 1,n = 0, 1, 2, . . . . Можно показать, что vn → v∗, pn → p∗, d1n → d1∗, δn → δ∗, βn → β∗ приn→ ∞, значение J = (v∗, p∗, d1∗, δ∗, β∗) = 0, где

v∗(t) =t

2sin t− π

4sin t, t ∈ [0, π];

p∗(t) =t

2sin t− π

4sin t t ∈ [0, π], d1∗ = 1, δ∗ = −π

4, β∗ = −π

4.

Функции

z1(v∗) = cos t− 1 +1

2tsin t− π

4sin t+

π

4t, t ∈ I,

z2(v∗) = −1

2(sin t− tcos t)− π

4cos t+

π

4, t ∈ I,

z3(v∗) = sin t− t+1

2(sin t− tcos t)− π

4(−cos t+ 1) +

π2

8t2, t ∈ I,

где z1(π, v∗) = π2

4− 2, z2(π, v∗) = 0, z3(π, v∗) =

π3

8− π;

Тогда (см.(50)-(52))

y1∗(t) =1

2tsin t− π

4sin t = x1∗(t), t ∈ I;

y2∗(t) = x2∗(t) = −π4+

1

2sin t+

1

2tcos t− π

4cos t+

π

4, t ∈ I;

y3∗(t) =1

2sin t− 1

2tcos t+

π

4cos t− π

4, t ∈ I.

Решение исходной краевой задачи (38)-(40):

φ(t) = x1∗(t) = y1∗(t), t ∈ I,0, 37t

π− 0, 37 ≤ x1∗(t) ≤

0, 44t

π, t ∈ I;

π∫0

φ(t)dt =

π∫0

x1∗(t)dt = 0 ≤ 1, x0 =(0,−π

4

), x1 =

(0,−π

4

),

φ(0) = 0, φ(0) = −π4, φ(π) = 0, φ(π) = −π

4.


Список литературы

[1] Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. –М.: Наука, 1980.

[2] Айсагалиев С.А. Общее решение одного класса интегральных уравнений // Мате-матический журнал. Институт математики МОН РК. – 2005. – Т. 5, 4. – С. 7-13.

[3] Айсагалиев С.А. Управляемость некоторой системы дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. – 1991. – Т. 27, 9. – С. 1476-1486.

[4] Айсагалиев С.А., Кабидолданова А.А. Оптимальное быстродействие нелинейных си-стем с ограничениями // Дифференциальные уравнения и процессы управления.– 2010. 1. – С. 30-55.

[5] Айсагалиев С.А., Белогуров А.П. Управляемость и быстродействие процесса, опи-сываемого параболическим уравнением с ограниченным управлением // Сибирскийматематический журнал. – 2012. – Т. 53, 1. – С. 20-36.

[6] Айсагалиев С.А., Кабидолданова А.А. Оптимальное управление линейными систе-мами с линейным критерием качества и ограничениями // Дифференциальныеуравнения. – 2012. – Т. 48, 6. – С. 826-836.

[7] Айсагалиев С.А., Жунусова Ж.Х., Калимолдаев М.Н. Принцип погружения длякраевой задачи обыкновенных дифференциальных уравнений // Математическийжурнал. Институт математики МОН РК. – 2012. – Т. 12, 2(44). – С. 5-22.

Поступила в редакцию 12 ноября 2012 года

22 К.Айтбаев, А.А.Каныбекова, С.Н.Дуйсебаев Об одном решении задачи Коши . . .

УДК 517.938

К. Айтбаев, А.А. Каныбекова, С.Н. Дуйсебаев

Международный казахско-турецкий университет им. А.Ясави, Туркестан, Казах-стан; e-mail: [email protected]

Об одном решении задачи Коши методом конечныхэлементов

В работе приводятся алгоритм и основные результаты решения задачи нестационар-ной теплопроводности методом конечных элементов. Для определения оптимальноймощности внутренних источников тепла решена задача Коши, за начальное решениекоторой принято температурное поле, установленное путем решения задачи стацио-нарной теплопроводности.

Ключевые слова: задача Коши, нестационарная теплопроводность, внутренние ис-точники тепла.

Қ. Айтбаев, А.А. Қаныбекова, С.Н. ДүйсебаевКоши есебiнiң шектi элементтер әдiсiмен алынған шешiмi

туралы

Жүмыста бейстационар жылуөткiзгiштiк есебiн шектi элементтер әдiсiмен шешудiң ал-горитмы мен негiзгi нәтижелерi келтiрiлген. Iшкi жылу көздерiнiң тиiмдi қуатын аны-қтау үшiн Коши есебi шешiлген. Оның бастапқы шешiмi ретiнде стационар жылуөткiз-гiштiк есебiн шешу арқылы анықталған температуралық өрiс қабылданған.

K. Aitbaev, A.A. Kanibekova, S.N. DuisebaevA solution of the Cauchy problem by finite element method

The paper presents the main results of the algorithm and the solution of the transient heatconduction finite element method. As the study area is considered homogeneous, isotropicbody of rectangular cross-section. Within the body set point heat source located at an equaldistance from each other. On the upper horizontal boundary of the negative effect of theconvective temperature of the outside air. Required to determine the minimum power sourceof heat needed to create a positive temperature field in the body near the upper boundaryof the study area. To determine the optimum capacity of internal heat source solved theCauchy problem with the initial decision is made the temperature field established by solvingthe problem of stationary heat conduction. Results of the solution presented in the form ofgraphs of temperature on a horizontal slice in time and in the body of the isotherms fordifferent time periods.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2012, 4(75) 23

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в плоском, сплош-ном теле имеет вид [1,2]:

Kxx∂2T

∂x2+Kyy

∂2T

∂y2+Q = λ

∂T

∂t. (1)

Количество тепла, накопленное телом к моменту времени t вычисляется с помощьюследующего функционала, экстремаль которого является и решением уравнения (1):

χ =

∫V

1

2

[Kxx

(∂T

∂x

)2

+Kyy

(∂T

∂y

)2

− 2

(Q− λ

∂T

∂t

)T

]dV+

+

∫S1

qTdS +

∫S2

h

2

[T 2 − 2TTB + T 2

B

]dS. (2)

Здесь T (x, y, t) – искомая температура в точке с координатами x, y в момент време-ни t; Q – слагаемое, учитывающее мощность внутренних источников тепла, Kxx, Kyy

– коэффициенты теплопроводности материалов, слагающих область исследования; h– коэффициент конвективного теплобмена между поверхностью тела и окружающимвоздухом; q – интенсивность потока тепла, действующего на тело; TB – температуравнешнего воздуха; λ = ρc – объемная теплоемкость материалов. В последнем произве-дении величины c и ρ соответствуют плотности и массовой теплоемкости материала.Приведенный функционал (2) отличается от функционала для уравнения стационарнойтеплопроводности лишь наличием видоизмененной составляющей −2

(Q− λ∂T

∂t

), вклю-

чающей производную по времени. В конечноэлементной интерпретации часть функци-онала, относящаяся указанной составляющей, рассматривается отдельно [1]:

χQ =E∑

e=1

(λ[N (e)

]T

[N (e)

] ∂ T∂t

−[N (e)

]TQ

)dV . (3)

и после дифференцирования на множестве узловых значений искомой температуры Tпринимает вид:

∂χQ

∂ T= −

E∑e=1

∫V

[N (e)

]TQdV +

E∑e=1

∫V

λ[N (e)

] [N (e)

]dV

∂ T∂t

. (4)

Процесс минимизации функционала уравнения нестационарной теплопроводности намножестве T приводит к системе линейных дифференциальных уравнений:

[C]∂ T∂t

+ [K] T+ F = 0. (5)

Здесь доля каждого конечного элемента в матрицах [K] , [C] и F вычисляется поформулам [1]: [

c(e)]=

∫V

λ [N ]T [N ] dV, (6)


Рисунок 1. Расчетная схема

[k(e)]=

∫V

[B]T [D] [B] dV +

∫S2

h [N ]T

[N ] dS, (7)

f (e)= −

∫V

Q [N ]T dV +

∫S1

q [N ]T dS −∫S2

hTB [N ]T dS. (8)

Система дифференциальных уравнений (5), после замены производной по времениконечно-разностным аналогом, приводится к системе линейных алгебраических уравне-ний [1]: (

[K] +2

∆t[C]

)T1 =

([K]− 2

∆t[C]

)T0 − 2 F∗ . (9)

Здесь вектор T0 - начальное решение задачи Коши для момента времени t в итераци-онном процессе решения уравнения (1). Решение T1 для момента времени t+∆t полу-чится из уравнения (9). Здесь временной интервал ∆t назначается путем деления всеговремени развития нестационарного процесса теплообмена в рассматриваемой областина конечное число отрезков. Вектор-столбец F∗ определяется граничными условия-ми задачи и учитывает начальное и конечное состояния граничных условий в началеи конце каждого временного интервала ∆t . Матрица [C] обычно называется матрицейдемпфирования [1].

В качестве области исследования рассматривается двухслойное изотропное тело прямо-угольного поперечного сечения (рисунок 1).

Внутренние источники тепла мощности Q расположены на глубине HQ на равномрасстоянии L друг от друга [3]. На поверхности исследуемой области происходит кон-вективный теплообмен с окружающим воздухом по закону h (T − TB). Здесь h- коэффи-циент конвективного теплообмена размерности Вт/(м2·С); TB - температура воздуха.По боковым поверхностям задается температура, изменяющаяся по линейному законуот TB до постоянной температуры TH на основании исследуемой области, на глубине H.

По условию задачи, требуется установить минимальное значение мощности Q дляобеспечения формирования положительного температурного поля вблизи поверхности


исследуемой области при заданных значениях: TB = -5С; TH = +10;HQ = 20 см; L = 50см; h = 0.23 Вт/(м2·С). На рисунке 2 приведена картина развития нестационарноготемпературного поля на глубине 20 см при Q = 40 Вт/(м3·С).

Рисунок 2. Динамика развития нестационарного температурного поля на глубине 20смпри Q = 40 Вт/(м3·С)

Здесь графики 1 и 6 соответствуют решению стационарной задачи теплопроводностипри значениях Q = 0 и Q = 40 Вт/(м3·С) соответственно.

Графики 2-5 показывают рост температуры в горизонтальном сечении на глубинеH = 20см при каждом приращений мощности Q на ∆Q = 10 Вт/(м3·С), что соответ-ствует изменению времени на 1 час. При этом каждый предыдущий график соответ-ствует начальному решению задачи Коши для текущего интервала времени. А в самомначале итерационного процесса за начальное решение задачи берется решение стацио-нарной задачи теплопроводности при Q =0.0. Из рисунка видно, что уровень графика 5несколько не достигает уровня графика 6, хотя оба они соответствуют значению мощно-сти внутренних источников тепла Q = 40 Вт/(м3·С). Это обьясняется тем, что график6 является решением стационарной задачи, когда время устремляется к бесконечности,тогда как график 5 соответствует конечному значению времени.

Полученное численное решение показывает, что принятое значение мощности Q =40 Вт/(м3·С) удовлетверяет условию задачи с избытком, так как уже на третьем шагеитерации температура на глубине H = 20см становится положительной. Об этом жесвитетельствует и картина изотерм температурного поля в исследуемой области, чтоприведена на рисунке 3. Здесь нулевой уровень изотермы вплотную подходит к верх-ней границе области. Однако, контрольный расчет, проведенный при Q = 30 Вт/(м3·С)


Рисунок 3. Изотермы температурного поля при Q = 40 Вт/ (м3·С)

Рисунок 4. Изотермы температурного поля при Q = 30 Вт/(м3·С)


показал (рисунок 4), что необходимым минимальным значением мощности внутреннихисточников тепла все же является величина Q =40 Вт/(м3·С), так как при Q = 30Вт/(м3·С) вблизи верхней границы исследуемой области появляются изотермы отрица-тельного знака. Серия расчетов, выполненных при различных значениях температурынаружного воздуха позволить установить связь вида Q = f (TB), где Q – оптимальнаямощность внутренних источников тепла.


[1] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.:Мир, 1979. – 392 с.

[2] Эльсгольц Л.Э. // Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.—М.,1965. - 424 с.

[3] Айтбаев Қ., Қаныбекова А.А. Бейстационар жылу өткiзгiштiк есептерiнiң қойылы-мының ерекшелiктерi// Вестник МКТУ им. А.Ясави, серия естественные науки. –2012. – 3(78). - С. 46-49.


Т.Ш. Кальменов, Д. Сураган О некоторых неравенствах . . . 28

УДК 517.95

Т.Ш. Кальменов1, Д. Сураган2

1 Институт математики и математического моделирования, Алматы, Казах-стан; e-mail: [email protected]

2 Механико-математический факультет, Казахский национальный университетим. аль-Фараби, Алматы, Казахстан; Институт математики и математическогомоделирования, Алматы, Казахстан; e-mail: [email protected]

О некоторых неравенствах спектральной геометриидля потенциала Рисса∗

В работе доказывается, что среди всех областей с одинаковой мерой шар максимизи-рует первое собственное значение потенциала Рисса. Показано, что сумма квадратовсобственных значений в шаре также максимизируется среди всех областей с меройравной мере шара. Результаты такого рода относятся к теории спектральной гео-метрии. Спектральная геометрия - сравнительно молодая и быстро развивающаясяматематическая дисциплина, сочетающая в себе элементы дифференциальной гео-метрии, функционального анализа, теории уравнений с частными производными итеории потенциала. Многие задачи спектральной геометрии мотивированы вопроса-ми, возникающими в акустике, квантовой механике и других областях физики.Ключевые слова: спектральная задача, собственные значения, спектральная геомет-рия, потенциал Рисса, потенциал ньютона.

Т.Ш. Кәлменов, Д. СұрағанРисс потенциалына сай кейбiр спектральдық геометрия теңсздiктерi

Бұл мақалада берiлген шармен көлемi бiрдей болатын барлық облыстардың ара-сында Рисс потенциалының бiрiншi меншiктi мәнi шарда ен ұлкен мәнiн қабылдайты-нындығы дәлелденген. Және Рисс потенциалының меншiктi мәндерiнiн квадраттары-нан құрастырылган қатар берiлген шармен көлемi бiрдей болатын барлық облыстардыңарасында шарда ен ұлкен мәнiне жынықталатындығы көрсетiлдi.Осындай результатдарнегiзiнен спектральдық геометрия пәнiне тиiстi. Спектальдық геометрия салыстырмалатүрде жаңа жәнеде қарқында дамушы математикалық сала болып табылады. Негiзi-нен спектальдық геометрия мәселелерi акустика, кванттық механика және тағы басқафизикалық салалардағы есептердi шешуге бағытталған.

Түйiн сөздер: спектральдық есеп, меншiктi мәндер, спектральдық геометрия, Рисспотенциалы,ньютон потенциалы.

∗Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и про-ектов Комитетом науки МОН РК, грант 0110/ГФ2, 2012г.-2014г.


T.Sh. Kalmenov, D. Suragan,On some inequalities of spectral geometry for Riesz potentials

In this paper, it is proved that a ball maximizes the first eigenvalue of Riesz potentialamong domains of given volume. It is also shown that the sum of the squares of the Rieszpotential eigenvalues is also maximized in a ball among all domains with the same volumeas the ball. In the last section of the paper, authors give an application of the results for aboundary value problem of Laplacian. These results belong to spectral geometry. Spectralgeometry is a relatively young and rapidly developing mathematical discipline which combineselements of differential geometry, functional analysis and partial differential equations. Manyproblems in spectral geometry motivated by issues arising in acoustics, quantum mechanics,and other fields of physics.

Key words: spectral problems, eigenvalues, spectral geometry, Riesz potential, Newtonpotential.

Введение. Исторически, минимизация первого собственного значения, возможноявляется одной из первых таких задач, которая появилась в научной литературе. В дей-ствительности, в известной книге Релея "Теория звуков"[1] (впервые была издана в 1877году), которая посвящена некоторым явным вычислениям и физическим толкованиям,утверждается что круг из плоских областей является минимизирующей (среди областейодинаковой площади) первого собственного значения Лапласиана с граничным условиемДирихле. Музыкальная интерпретация этого результата следующая: среди всех бараба-нов с заданной площадью, кругообразный барабан производит самую низкую частоту.Доказательство этого предположения было получено лишь спустя 30 лет Г. Фабером иЕ. Крахом одновременно и независимо друг от друга. Тем не менее, история миними-зации первого собственного значения не закончена! Неравенства типа Релей - Фабер -Краха были расширены на многие другие случаи и операторы [2]. Результаты такогорода относятся к теории спектральной геометрии. Спектральная геометрия - сравни-тельно молодая и быстро развивающаяся математическая дисциплина, сочетающая всебе элементы дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории урав-нений с частными производными и теории потенциала. Многие задачи спектральнойгеометрии мотивированы вопросами, возникающими в акустике, квантовой механике идругих областях физики.

1. Основные результатыВ односвязной открытой ограниченной области Ω в Rd, d > 1, с липшицевой границей

рассмотрим спектральную задачу на собственные значения потенциала Рисса

λu(x) =

∫Ω

u(y)

Cα|x− y|d−αdy, 0 < α < d, (1)

где

|x−y| =

[d∑

k=1

(xk − yk)2

] 12

- расстояние между точками x = (x1, ..., xd) и y = (y1, ..., yd)

в d-мерном Евклидовом пространствеRd, Cα = πd2 2α

Γ(α2)

Γ((d−α)

2)и Γ является гамма-функцией

Эйлера.


Отметим, что при d ≥ 3 и α = 2 потенциал Рисса совпадает с классическим ньюто-новым потенциалом; при d = 2 и α→ 0 (в предельном случае) потенциал Рисса в неко-тором смысле является логарифмическим потенциалом. Известно, что оператор Риссаявляется самосопряженным на L2(Ω) [3]. Следовательно, собственные значения спек-тральной задачи (1) дискретные и вещественнозначные. Пусть λ1(Ω), λ2(Ω), ... являютсясобственными значениями оператора Рисса (1), и пусть они являются упорядоченны-ми, в виде невозрастающей последовательности по модулю с учетом их кратности. Дляспектральной задачи (1) получим следующие основные результаты:

Теорема 1 Пусть Ω ⊂ Rd открытая односвязная ограниченная область и Ω∗ ⊂ Rd –шар той же меры, что и Ω, то есть |Ω∗| = |Ω|, тогда

λ1(Ω∗) ≥ λ1(Ω). (2)

Теорема 2 Пусть Ω ⊂ Rd открытая односвязная ограниченная область и Ω∗ ⊂ Rd –шар той же меры, что и Ω, то есть |Ω∗| = |Ω|, тогда

∞∑i=1

λ2i (Ω∗) ≥

∞∑i=1

λ2i (Ω). (3)

2. Предварительные леммы

Пусть Ω ограниченное измеримое множество в Rd. Его симметрическая перестановкаΩ∗ является открытым централизованным шаром, объем которого совпадает с объемомΩ, т.е. |Ω∗| = |Ω| и

Ω∗ =x ∈ Rd | ωd|x|d < |Ω|

,

где ωd = 2πd2

Γ( d2)-площадь единичной сферы в Rd. Пусть u неотрицательная измеримая

функция, равная нулю на бесконечности в том смысле, что все ее положительные уров-невые множества имеют конечную меру:

V ol (x|f(x) > t) <∞, (∀t > 0).

Определим симметрическую невозрастающую перестановку u∗ функции u через сим-метризацию уровневых множеств

u∗(x) =

∞∫0

χu(x)>t∗dt.

Тогда u∗ полунепрерывная снизу(следовательно, уровневые множества открытые) функ-ция, которая единственным образом определяется через функцию распределения

µu(t) = V ol x|u(x) > t .


По конструкции u∗ одинаковой меры с u, т.е. соответствующие уровневые множествадвух функций имеют одинаковый объем

µu(t) = µu∗(t), (∀t > 0). (4)

В определении функции u∗ используется специальное layer-cake разложение, котороевыражает неотрицательную функцию u в терминах ее уровневых множеств, т.е.

u(x) =

∞∫0

χu(x)>tdt

Заметим, что характеристическая функция χu(x)>t измерима по совокупности x и t,когда функция u измерима.

Лемма 1 (О сохранении норм перестановок в L2). Для каждой неотрицательной функ-ции u из L2(Ω)

∥ u ∥L2(Ω)=∥ u∗ ∥L2(Ω∗) .

Доказательство. Применяя layer-cake разложение, теорему Фубини и формулу (4),запишем ∫

Ω

|u(x)|2dx =

∫Ω

∞∫0

χu2(x)>tdtdx =

=

∞∫0

V ol(u2(x) > t

)dt =

∞∫0

V ol (u(x) > s) 2sds =

=

∞∫0

µu(s)2sds =

∞∫0

µu∗(s)2sds =

=

∞∫0

V ol(u∗(x) > s)2sds =∞∫0

V ol(u∗2(x) > t)dt =

=

∫Ω

∞∫0

χu∗2 (x)>tdtdx =

∫Ω

|u∗(x)|2dx.

Утверждение леммы следует из того, что функция u∗ равноизмерима с функцией u.Для доказательства теоремы будем пользоваться теоремой Ф. Рисса [4,5]Теорема Рисса Ф.∫

Ω

∫Ω

f(y)g(x− y)h(x)dydx ≤∫Ω∗

∫Ω∗f ∗(y)g∗(x− y)h∗(x)dydx, (5)

где f ∗, g∗ и h∗ симметрические невозрастающие перестановки положительных измери-мых функций f, g и h соответственно.


3. Доказательства теоремы 1 и теоремы 2

Доказательство теоремы 1

Так как симметричное полярное ядро потенциала Рисса (1) положительно (по тео-реме Енча [6]), то наибольшее по модулю собственное значение λ1- положительное ипростое; соответствующая собственная функция u1(x) положительна в Ω.

Обозначим через εd,α(x−y) := 1Cα|x−y|d−α . Из неравенства (5) и учитывая, что εd,α(x−

y) – положительная невозрастающая функция, следует∫Ω

∫Ω

u1(y)εd,α(x− y)u1(x)dydx ≤∫Ω∗

∫Ω∗u∗1(y)εd,α(x− y)u∗1(x)dydx.

Отсюда учитывая лемму 1 и вариоционный принцип для λ1(Ω∗), имеем

λ1(Ω) =

∫Ω

∫Ωu1(y)εd,α(x− y)u1(x)dydx∫

Ω(u1(x))2dx

≤∫Ω∗

∫Ω∗ u

∗1(y)εd,α(x− y)u∗1(x)dydx∫

Ω∗(u∗1(x))

2dx≤

≤ supv∈L2(Ω∗)

∫Ω∗

∫Ω∗ v(y)εd,α(x− y)v(x)dydx∫

Ω∗(v(x))2dx= λ1(Ω

∗).

Теорема 1 доказана полностью.Замечание 1. Мы можем задаться вопросом, является ли шар единственной мак-

симизирующей областю собственного значения λ1? На самом деле нет, например дискпосле удаления конечного числа точек также является максимизирующей областю, атак как пространство L2(Ω) не изменится, если мы удалим из Ω множества Ω0 мерынуль, то любая область вида Ω \ Ω0 также максимизирует значение λ1.

Доказательство теоремы 2

Используя билинейное разложение повторных ядер, получаем формулу

∞∑i=1

λ2i (Ω) =

∫Ω

∫Ω

|εd,α(x− y)|2dxdy (6)

Из неравенства (5) и того, что |εd,α(x− y)|2 – положительная невозрастающая функ-ция следует ∫

Ω

∫Ω

|εd,α(x− y)|2dxdy =

∫Ω∗

∫Ω∗

|εd,α(x− y)|2dxdy

Тогда учитывая полученное, имеем∞∑i=1

λ2i (Ω) =

∫Ω

∫Ω

|εd,α(x− y)|2dxdy ≤∫Ω∗

∫Ω∗

|εd,α(x− y)|2dxdy =∞∑i=1

λ2i (Ω∗)

Теорема 2 доказана.Замечание 2. Можно обобщить теорему 2 записав ее в следующем виде:

∞∑i=1

λni (Ω∗) ≥

∞∑i=1

λni (Ω), (7)


но, очевидно, что в этом случае нам понадобятся некоторые ограничения на n в зави-симости от размерности d евклидового пространства.

4. Об одном применении теорем 1-2 для краевой задачи Лапласиана

Пусть d ≥ 3 и α = 2. В этом случае потенциал Рисса совпадает с классическимньютоновым потенциалом, т.е. ядро потенциала равно εd(x− y) = 1

C2|x−y|d−2

Лемма 2 Для любой функции f ∈ L2(Ω), suppf ⊂ Ω Ньютоновый потенциал

u(x) =

∫Ω

εd(x− y)f(y)dy, (8)

удовлетворяет граничным условиям

−u(x) + 2

∫∂Ω

∂εd(x− y)

∂ny

u(y)dsy − 2

∫∂Ω

εd(x− y)∂u(y)

∂ny

dsy = 0, x ∈ ∂Ω. (9)

Обратно, если функция u ∈ H2(Ω) удовлетворяет уравнению

−u(x) = f(x), x ∈ Ω (10)

и граничным условиям (9), тогда функция u(x) есть Ньютоновый потенциал (8). Здесь∂

∂nyозначает внешную нормальную производную.

Доказательство. Предположим, что u ∈ C2(Ω)∩C1(Ω). Непосредственными вычисле-ниями для любого x ∈ Ω, получим

u(x) =

∫Ω

εd(x− y)f(y)dy = −∫Ω

εd(x− y)yu(y)dy =

=

∫∂Ω

(−εd(x− y)

∂u(y)

∂ny

+∂εd(x− y)

∂ny

u(y)

)dSy−

−∫Ω

yεd(x− y)u(y)dy = u(x) +

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny

u(y)− εd(x− y)∂u(y)

∂ny

)dSy,

где ∂∂ny

= n1∂

∂y1+ ...+nd

∂∂yd

- внешняя нормальная производная и n1, ..., nd - компонентыединичной нормали.

Это означает, что∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0, x ∈ Ω. (11)

Применяя свойства потенциалов двойного и простого слоя к формуле (11) при x → ∂Ωполучим

−u(x)2

+

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0, x ∈ ∂Ω, (12)


т.е. (12) является граничным условием для Ньютонова потенциала (8). Далее, легкопоказать переходя к пределу, что соотношение (12) остается в силе для всех u ∈ H2(Ω).Таким образом, Ньютоновый потенциал (8) удовлетворяет граничному условию (9).

Наоборот, если функция g ∈ H2(Ω) удовлетворяет уравнению −∆g = f и граничномуусловию (9), то совпадает с Ньютоновым потенциалом (8). На самом деле, если этоне так, то функция v = u − g ∈ H2(Ω), где u является потенциалом Ньютона (8),удовлетворяет однородному уравнению ∆v = 0 с граничным условием

0 = −v(x)2

+

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny

v(y)− εd(x− y)∂v(y)

∂ny

)dSy, x ∈ ∂Ω. (13)

Как и выше, применяя формулу Грина к v ∈ H2(Ω) мы увидим, что∫Ω

εd(x− y)∆yv(y)dy =

= −v(x)−∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0,∀x ∈ Ω.

Переходя к пределу при x→ ∂Ω, получим

−v(x) + v(x)

2−∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0.

Из (13) придем к

v(x)|x∈∂Ω = 0. (14)

В силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа следует, чтоv(x) = u(x) − g(x) = 0 для любого x ∈ Ω, то есть g = u, g совпадает с Ньютоновымпотенциалом. Это завершает доказательство леммы 2.

Из леммы 2 следует, что спектральная задача на собственные значения Ньютоновапотенциала (8) эквивалентна следующей спектральной граничной задаче

−∆u = λu, x ∈ Ω, (15)

−u(x) + 2

∫∂Ω

∂εd(x− y)

∂ny

u(y)dSy − 2

∫∂Ω

εd(x− y)∂u(y)

∂ny

dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (16)

В итоге, используя теорему 1, получаем аналог теоремы Релей-Крах-Фабера [7] длякраевой задачи Лапласиана (15)-(16)

Утверждение 1. Среди всех областей с одинаковой мерой шар минимизирует пер-вое собственное значение для Лапласиана (15) со специальным граничным условиемнелокального типа (16).

Из теоремы 2 получаем следующий аналогичный результат как в [8]Утверждение 2. Ряд квадратов обратных собственных значений задачи (15)-(16)

∞∑i=1

1

λ2i


в шаре минимизируется среди всех областей с одинаковой мерой такой же как и у шара.Отметим, что в работе [9] в случае двухмерного круга и трехмерного шара найдены

все собственные значении ньютоного потенциала.Заключение. В работе мы доказали, что среди всех областей с одинаковой мерой

шар максимизирует первое собственное значение потенциала Рисса. Показано, что сум-ма квадратов собственных значений в шаре также максимизируется среди всех областейс мерой равной мере шара. Результаты такого рода относятся к теории спектральнойгеометрии. Спектральная геометрия - сравнительно молодая и быстро развивающаясяматематическая дисциплина, сочетающая в себе элементы дифференциальной геомет-рии, функционального анализа, теории уравнений с частными производными и теориипотенциала. Многие задачи спектральной геометрии мотивированы вопросами, возни-кающими в акустике, квантовой механике и других областях физики.


[1] Rayleigh J.W.S. The theory of sound. – New York: Dover Pub., 1945. - 451 p.

[2] Henrot A. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators. – Basel: Birkhauser,2006. - 351 p.

[3] Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. – Москва: Наука, 1966. – С.351.

[4] Riesz F. Sur une inґegalitґe intґegrale // J. London Math. Soc. - 1930. - Vol. 5. -P.162–168.

[5] Burchard A. A Short Course on Rearrangement Inequalities [Электрон. ресурс]. - 2009. -URL: http://www.math.toronto.edu/almut/rearrange.pdf (дата обращения: 12.12.2012)

[6] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1981. – С.511.

[7] Daners D. A Faber - Krahn inequality for Robin problems in any space dimension //Math. Ann. – 2006. - Vol. 335. - P. 767–785.

[8] Dittmar B. Sums of reciprocal eigenvalues of the Laplacian // Math. Nachr.– 2002. - Vol.237. - P. 45-61.

[9] Кальменов Т.Ш., Сураган Д. К спектральным вопросам объемного потенциала //Докл. РАН. – 2009. – 1(428). - С. 16–19.


D. Suragan A comparison theorem for eigenvalues of the Newton potential . . . 36

УДК 517.95

D. Suragan 1,2

1Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan;2Institute Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan;

e-mail: [email protected]

A comparison theorem for eigenvalues of the Newtonpotential

Dedicated to Prof Mukhtarbay Otelbaev on the occasion of his seventieth birthday

There is a wealth of interesting results comparing between Dirichlet and Neumanneigenvalues. In this paper we compare the eigenvalues of the Newton potential with theDirichlet eigenvalues and the Neumann eigenvalues in a bounded domain in Rd. First weshow that the spectral problem of the Newton potential is equivalent to a spectral problemof a non-local boundary value problem of the Laplace operator then it is proved that thenth eigenvalue of the Laplacian with the non-local boundary condition is between thenth eigenvalue of Neumann Laplacian and the nth eigenvalue of Dirichlet Laplacian in abounded domain of any dimensional euclidian space.Key words: spectral problems, Dirichlet problem, eigenvalues of Laplacian, Neumannproblem, Newton potential.

Д. СұрағанНьютон потенциалының меншiктi мәндерiн салыстыру теоремасы

Бұл мақалада Ньютон потенциалының меншiктi мәндерiн салыстыру теоремасы дәлел-дендi. Евклид кенiстiгiндегi ашық шенелген обылыста Ньютон потенциалының n-шiменшiктi мәнi Лаплас операторына қойылған Нейман есебiнiң n-шi меншiктi мәнiненұлкен екендiгi жәнеде сол Ньютон потенциалының n-шi меншiктi мәнi Лаплас операто-рына қойылған Дирихле есебiнiң n-шi меншiктi мәнiнен кiшi емес екендiгi дәлелдендi.

Түйiн сөздер: спектральдық есеп, Дирихле есебi, Лапласиан меншiктi мәндерi, Ней-ман есебi, ньютон потенциалы.

Д. СураганТеорема сравнения для собственных значений Ньютоного потенциала

В этой работе доказано одна теоремы сравнения собственных значений Ньютоногопотенциала в ограниченной области евклидова пространства RD с собственными значе-ниями задачи Дирихле для уравнения Лапласа и задачи Неймана для уравнения Ла-пласа в той же ограниченной области евклидова пространства. Доказано, что n-ноесобственное значение Ньютонова потенциала в ограниченной области евклидова про-странства RD больше, чем n-ное собственное значение задачи Неймана для уравненияЛапласа в той же ограниченной области евклидова пространства. А также доказано,


что n-ное собственное значение Ньютонова потенциала в ограниченной области евкли-дова пространства RD не больше чем n-ное собственное значение задачи Дирихле дляуравнения Лапласа в той же ограниченной евклидова пространства.

Ключевые слова:спектральная задача, задача Дирихле, собственные значения Ла-пласиана, задача Неймана, потенциал ньютона.

Introduction. There are vast inequalities comparing the eigenvalues λD1 < λD2 ≤ λD3 ≤ ...of the Dirichlet Laplacian and those of the Neumann Laplacian denoted by λN1 < λN2 ≤λN3 ≤ ...,(enumerate their eigenvalues in increasing order) each time repeated according tomultiplicity. The Mini-Max Theorem asserts that λNn ≤ λDn , n ∈ N. In 1952-1954, Polya [14]and Szego [12] proved that there exists a γ > 0 independent of Ω such that λN2 ≤ γλD1

Shortly after, in 1955, Payne [13] showed that

λNn+d ≤ λDn , n ∈ N, (1)

whenever Ω is a convex, planar domain with C2-boundary. Developing an idea used in [13],Levine and Weinberger’86 [9] proved inequality (1) for arbitrary bounded convex domains inRd without any regularity assumption. They also showed that (1) remains true if convexity isreplaced by more general conditions on the mean curvature of the boundary (which is assumedto be C2−d). However, without any geometric condition, in dimension 2, it may happen thatλN3 > λD1 for Ω ⊂ R2, (see [1]). It was only in 1991 that Friedlander [5] proved the inequalityλNn+1 ≤ λDn , n ∈ N for arbitrary domains in R2 of class C1 without any restriction on thegeometry. However, his assumption on the C1-regularity of the boundary is crucial for hisarguments (which are actually given for C∞ -domains, referring to a general approximationresult of C1-domains by C∞ -domains with convergence of the corresponding eigenvalues in[2]). In view of the preceding diverse results involving geometric and regularity assumptionsone may wonder whether the C1 -assumption is optimal in Friedlander’s, even though somehypothesis on Ω is needed to guarantee that the Neumann Laplacian has compact resolvent.Mazzeo’91 proved that the analogue of Friedlander’s result is valid for all compact domainsin a symmetric space of non-compact type [11]. A more recent result is taken by Filonov [3]that d ≥ 2, a domain Ω ⊂ Rd is such that the embedding H1(Ω) ⊂ L2(Ω) is compact, and themeasure of Ω is finite, |Ω| < ∞, then λNn+1 < λDn , n ∈ N, in 2010 Frank and Laptev provedthat the analogue of Filonov’s result is valid for the sub-Laplacian for any domain in theHeisenberg group [4]. Gesztesy and Mitrea [6] extended Friedlander’s inequalities betweenNeumann and Dirichlet Laplacian eigenvalues to those between one type of nonlocal Robinand Dirichlet Laplacian eigenvalues associated with bounded Lipschitz domains, following anapproach introduced by Filonov for this type of problems.

Let consider the spectral problem on eigenvalues of the Newton potential in a boundeddomain Ω ⊂ Rd, d > 1 with a boundary ∂Ω ∈ C2,α, α ∈ (0, 1)

u(x) = λ

∫Ω

εd(x− y)u(y)dy, (2)

where

εd(x− y) =

− 1

2πln |x− y|, d = 2,

1(d−2)σd

|x− y|2−d, d ≥ 3,


is a fundamental solution of the Laplace equation i.e., −∆εd(x−y) = δ(x−y) in Rd, δ is the

delta-function, |x−y| =[

d∑k=1

(xk − yk)2

]1/2is the distance between two points x = (x1, ..., xd)

and y = (y1, ..., yd) in d-dimensional Euclidean space Rd, σd = 2πd2

Γ( d2)

is the area of the unit

sphere in Rd and Γ is the Gamma function.In work [7] we explicitly computed the eigenvalues of the Newton potential (2) in the

2-disk and the 3-disk.We denote eigenvalues of the Newton potential (2) by λNP

n , n ∈ N and enumerate theireigenvalues in increasing order (with multiplicity taken into account). By using eigenvaluecounting functions and some important lemmas for the Newton potential, now we shallcompare the eigenvalues of the Newton potential with the Dirichlet eigenvalues and theNeumann eigenvalues in a bounded domain Ω in Rd with a boundary ∂Ω ∈ C2,α, α ∈ (0, 1).We obtain the following main result.

Теорема 1 In a bounded domain Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 with a boundary ∂Ω ∈ C2,α, α ∈ (0, 1) wehave

λNn < λNPn ≤ λDn , n ∈ N, (3)

where λDn , λNn and λNPn are the eigenvalues of the Dirichlet problem, the Neumann problem

and the Newton potential, respectively.

In the preliminaries section 2, there are proved some important lemmas and we will usethese in the proof section 3. In the section 2 we also consider the one-dimensional case in(0, 1).

1. Preliminaries

Лемма 1 For any function f ∈ L2(Ω), suppf ⊂ Ω the Newton potential

u =

∫Ω

εd(x− y)f(y)dy, (4)

satisfies the boundary condition

−u(x) + 2

∫∂Ω

∂εd(x− y)

∂ny

u(y)dSy − 2

∫∂Ω

εd(x− y)∂u(y)

∂ny

dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (5)

Conversely, if a function u ∈ H2(Ω) satisfies

−∆u = f, x ∈ Ω (6)

and the boundary condition (5), then it determines the Newton potential (4), where Ω ∈Rd, d > 1 is a bounded domain with boundary ∂Ω ∈ C2,α, α ∈ (0, 1) and ∂

∂nydenotes the outer

normal derivative on the boundary.


First, we assume that u ∈ C2(Ω)∩C1(Ω).

A direct calculation shows that, for any x ∈ Ω, we have

u(x) =

∫Ω

εd(x− y)f(y)dy = −∫Ω

εd(x− y)∆yu(y)dy =

∫∂Ω

(− εd(x− y)

∂u(y)

∂ny

+∂εd(x− y)

∂ny

u(y)

)dSy −

∫Ω

∆yεd(x− y)u(y)dy =

u(x) +

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy,

where ∂∂ny

= n1∂

∂y1+...+nn

∂∂yn

is the outer normal derivative and n1, ..., nn are the componentsof the unit normal.

This implies∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0, x ∈ Ω. (7)

Applying properties of the double-layer potential and single-layer potential to (7) with x →∂Ω, we obtain

−u(x)2

+

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (8)

i.e. (8) is a boundary condition for the Newton potential (4). Next, it is easy to show bypassing to the limit that relation (8) remains valid for all u ∈ H2(Ω). Thus, the Newtonpotential (4) satisfies boundary condition (5).

Conversely, if a function u1 ∈ H2(Ω) satisfies the equation −∆u1 = f and boundarycondition (5), then it coincides with the Newton potential (4). Indeed, if this is not so,then the function v = u − u1 ∈ H2(Ω), where u is the Newton potential (4), satisfies thehomogeneous equation ∆v = 0 and the boundary condition

−v(x)2

+

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (9)

As above, applying the Green formula to v ∈ H2(Ω), we see that∫Ω

εd(x − y)∆yv(y)dy =

−v(x) +∫∂Ω

(∂εd(x−y)

∂nyv(y)− εd(x− y)∂v(y)

∂ny

)dSy = 0, ∀x ∈ Ω.

Passing to the limit as x→ ∂Ω, we obtain

−v(x)− v(x)

2+

∫∂Ω

(∂εd(x− y)

∂ny


∂ny

)dSy = 0


Here from (9) we get

v(x)|x∈∂Ω = 0. (10)

By virtue of the uniqueness of a solution to the Dirichlet problem for the Laplace equation,we have v(x) = u(x) − u1(x) = 0 for any x ∈ Ω, i.e. u1 = u, u1 coincides with the Newtonpotential. This completes the proof of Lemma 1.

It follows from Lemma 1, the spectral problem on eigenvalues of the Newton potential (2)is equivalent to the boundary value spectral problem

−∆u = λu, x ∈ Ω (11)

−u(x) + 2

∫∂Ω

∂εd(x− y)

∂ny

u(y)dSy − 2

∫∂Ω

εd(x− y)∂u(y)

∂ny

dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (12)

Remark 1. The operator (11)-(12) is self-adjoint as its inverse (2) is self-adjoint operator.Hereafter, we denote the self-adjoint operator (11)-(12) by −∆NP

Ω .Remark 2. It is easy to check the nonlocal boundary value problem (11), (12) is not

equivalent to another regular boundary value problem for Laplacian such as Neumann, Robinand so on. For example if the nonlocal boundary value problem (11), (12) is equivalent aRobin-type boundary value problem then at least the following inequalities are known [see,for example, 2, also cf. 6] λNn ≤ λn ≤ λDn , n ∈ N but we consider completely different case.

Лемма 2 Let d > 2. If u is the Newton potential (4) then∫∂Ω

∂u

∂nudS ≤ 0. (13)

From (4) we have

∆u(x) = 0, x ∈ Rd \ Ω, (14)

u(x) = O

(1

|x| d−12

), |x| → ∞, d > 2. (15)

We can then compute by using (14) and the Green’s first formula

0 =

∫Rd\Ω

∆u · udx = −∫

Rd\Ω

|∇u|2dx+∫∂Ω

∂u

∂n−udS + limr→∞

∫∂Ωr

∂u

∂nudS,

where ∂Ωr = x ∈ Rd, |x| = r is a d-sphere and ∂∂n− denotes the inner normal derivative on

the boundary ∂Ω i.e., ∂∂n− = − ∂

∂n.

From (15), we have

limr→∞

∫Ωr

∂u

∂nudS = 0.


It follows ∫∂Ω

∂u

∂nudS = −

∫Rd\Ω

|∇u|2dx ≤ 0.

Remark 3. In the case d = 2 in a disk by using explicit formula of eigenvalues [see 7] wesee that (3) is valid then we prove Theorem 1 with help of the conform mapping.

Лемма 3 We have that

H1NP (Ω) ∩ ker(−∆N

Ω − µ) = 0, µ > 0, (16)

where H1NP (Ω) is a set of functions u ∈ H1(Ω) which satisfy the boundary condition (5) of

the Newton potential, −∆NΩ is the Neumann operator.

if u ∈ H1NP (Ω) ∩ ker(−∆N

Ω − µ) then it follows from Lemma 1

−u(x) + 2

∫∂Ω

∂εd(x− y)

∂ny

u(y)dSy = 0, x ∈ ∂Ω. (17)

Hence (17) is the second-kind Fredholm equation, it has the unique solution [see 10]

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. (18)

As H10 (Ω) ∩ ker(−∆N

Ω − µ) = 0, [see 3 or 8] µ > 0, we get u = 0.

Лемма 4 [see 10] We have

∂u(x)

∂nx

=∂U

∂nx

, x ∈ ∂Ω ∈ C2,α, α ∈ (0, 1) (19)

where U := 2∫∂Ω

∂εd(x−y)∂ny

u(y)dSy − 2∫∂Ω

εd(x − y)∂u(y)∂ny

dSy and u is the Newton potential (2).

And (19) is solvable according to

∂u(x)

∂nx

= V (x, u), x ∈ ∂Ω,

function V is defined on x and u on ∂Ω.

d=1

Consider the spectral problem for the one-dimensional Newton potential (d = 1)

u(x) = λ

1∫0

−1

2|x− t|u(t)dt. (20)

And we have−d

2u

dx2= λu.


Integrating by part, we obtain

u(x) = λ

1∫0

−1

2|x− t|u(t)dt =

1∫0

1

2|x− t|u′′(t)dt

=1

2

x∫0

(x− t)u′′(t)dt−1∫

x

(x− t)u′′(t)dt

= u(x)− x

u′(0) + u′(1)

2− −u′(1) + u(0) + u(1)

2.

Thus,x(u′(0) + u′(1)) + (−u′(1) + u(0) + u(1)) = 0, ∀x ∈ (0, 1).

Therefore, the boundary conditions for the one-dimensional Newton potential are u′(0) +u′(1) = 0,−u′(1) + u(0) + u(1) = 0.

So the spectral problem for the one-dimensional Newton potential is equivalent to thefollowing boundary value spectral problem

−d2u

dx2= λu, x ∈ (0, 1) (21)

with boundary conditions

u′(0) + u′(1) = 0,−u′(1) + u(0) + u(1) = 0. (22)

Solving the boundary value spectral problem (21), (22) we find two series of eigenvalues

λNP1k = ((2k − 1)π)2 and λNP

2k = 4z2k where cotzk = −zk, k ∈ N

We enumerate these eigenvalues in increasing order and denote by λNPn , n ∈ N.

Теорема 2 If d = 1, we have

λNn < λNPn ≤ λDn , n ∈ N, (23)

clearlyλNn+1 = λNP

n = λDn , n = 2l − 1, l ∈ N,

λNPn < λNn+1 = λDn , n = 2l, l ∈ N.

Corollary 1. Theorem 1 is also valid for the one-dimensional case.Short proof of Theorem 2. a) Dirichlet boundary conditions:

−ν ′′ = λDν, x ∈ (0, 1), (24)

with ν(0) = 0 = ν(1). (24) has eigenvalues

λDn = (nπ)2, n ∈ N,


b) Neumann boundary conditions:

−w′′ = λNw, x ∈ (0, 1), (25)

with w′(0) = 0 = w′(1). (25) has eigenvalues

λNn = ((n− 1)π)2, n ∈ N.

c) Newton potential boundary conditions:

−u′′ = λNPu, x ∈ (0, 1), (26)

with u′(0) + u′(1) = 0,−u′(1) + u(0) + u(1) = 0. (26) has eigenvalues

λNP1 = min

k∈N(((2k − 1)π)2, 4z2k),

λNPn = min

(((2k−1)π)2,4z2k)\λNPi n−1

1

(((2k − 1)π)2, 4z2k), cotzk = −zk, n > 1.

Fourier analysis shows that the eigenfunctions form a basis. Furthermore, all eigenvalues λDn ,λNn and λNP

n are positive and λDn , λNn , λ

NPn → ∞ and the whole spectrum is discrete. From

a), b) and c) it is easy to check (23).

2. Proof of Theorem 1.

Now we are in the position to prove Theorem 1 when n > 2 (see Remark 3 and Theorem2). We introduce the following counting function for the self-adjoint boundary value problem(11)-(12) i.e., for the Newton potential (2)

NNP (λ) = N(λ,−∆NPΩ )

= max(dimL : L ⊂ H1NP (Ω),

∫Ω

|∇u|2dx−∫∂Ω

∂u

∂nudS ≤ λ

∫Ω

|u|2dx, u ∈ L) (27)

and we also introduce the counting function for the Neumann Laplacian

NN(λ) = N(λ,−∆NΩ ) = max(dimL : L ⊂ H1(Ω),

∫Ω

|∇u|2dx ≤ λ

∫Ω

|u|2dx, u ∈ L) (28)

Let Q be the subspace of H1NP (Ω) (see Lemma 3) such that

dimQ = NNP (µ),

∫Ω

|∇u|2dx ≤ µ

∫Ω

|u|2dx+∫∂Ω

∂u

∂nudS

for u ∈ Q,µ > 0. Consider the following direct sum

P = Q+ker(−∆NΩ − µ).

Clearly P ⊂ H1(Ω). Next, we take a vector u+ ν ∈ P , where u ∈ Q and ν ∈ ker(−∆NΩ − µ).


We can then compute∫Ω

|∇(u+ ν)|2dx =

∫Ω

(|∇u|2 + |∇ν|2)dx+ 2Re(

∫Ω

∇ν∇udx) = I1 + I2.

According to Lemma 2

I1 =

∫Ω

(|∇u|2 + |∇ν|2)dx ≤ µ

∫Ω

(|u|2 + |ν|2)dx+∫∂Ω

∂u

∂nudS ≤ µ

∫Ω

(|u|2 + |ν|2)dx.

Hence,

I2 = 2Re(

∫Ω

∇ν∇udx) = 2Re(

∫Ω

(−∆ν)udx+

∫∂Ω

∂ν

∂nudS) = 2µRe(

∫Ω

νudx).

Thus, altogether, ∫Ω

|∇(u+ ν)|2dx ≤ µ

∫Ω

|u+ ν|2dx.

It meansNN(µ) ≥ dimP

Since Q is a subspace of H1NP (Ω), Lemma 3 asserts that Q and ker(−∆N

Ω − µ) are disjoint,thus

NN(µ) ≥ dimP = NNP (µ) + dim ker(−∆NΩ − µ).

If we set µ = λNn then we see that

NN(λNn ) ≥ NNP (λ

Nn ) + 1,

what means λNn < λNPn .

According to Lemma 4, we can also introduce the following counting function for theself-adjoint boundary value problem (11)-(12) (see [6], Lemma 1)

NNP (λ) = N(λ,−∆NPΩ ) =

max(dimL : L ⊂ H1(Ω),

∫Ω

|∇u|2dx−∫∂Ω

V (x, u)u(x)dSx ≤ λ

∫Ω

|u|2dx, u ∈ L) (29)

and we introduce the counting function for the Dirichlet Laplacian

ND(λ) = N(λ,−∆DΩ ) = max(dimL : L ⊂ H1

0 (Ω),

∫Ω

|∇u|2dx ≤ λ

∫Ω

|u|2dx, u ∈ L) (30)

From (29) and (30) we can see that λNPn ≤ λDn .

Theorem 1 is completely proved.Conclusion.We proved the eigenvalues of the Newton potential with the Dirichlet eigenvalues

and the Neumann eigenvalues in a bounded domain in Rd. First we show that the spectral


problem of the Newton potential is equivalent to a spectral problem of a non-local boundaryvalue problem of the Laplace operator then it is proved that the nth eigenvalue of theLaplacian with the non-local boundary condition is between the nth eigenvalue of NeumannLaplacian and the nth eigenvalue of Dirichlet Laplacian in a bounded domain of any dimensionaleuclidian space.

Acknowledgements.The author is grateful to Ari Laptev for helpful discussions andcorrespondence.

References

[1] Aviles P. Symmetry theorems related to Pompeiu’s problem // Amer. J. Math.- 1986. -Vol. 108 . - P. 1023–1036.

[2] Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. - New York: Interscience.,1953. - 239 p.

[3] Filonov N. On an inequality between Dirichlet and Neumann eigenvalues for the LaplaceOperator // St. Petersburg Math. J. - 2005. - Vol. 16, 2. - P. 413–416.

[4] Frank R.L., Laptev A. Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues on theHeisenberg group // Internat. Math. Res. Notices - 2010. - Vol. 15. - P. 2889–2902.

[5] Friedlander L. Some inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues // Arch.Rational Mech. Anal. - 1991. - Vol. 116. - P. 150–160.

[6] Gesztesy F., Mitrea M. Nonlocal Robin Laplacians and some remarks on a paper byFilonov on eigenvalue inequalities // J. Diff. Eq. - 2009. - Vol. 247. - P. 2871–2896.

[7] Kal’menov T.Sh., Suragan D. To Spectral Problems for the Volume Potential // DokladyMathematics. -2008. - Vol. 80, 2. - P. 646–649.

[8] Laptev A. Spectral Inequalities, Lectures.- London: - Imperial College London, 2010. -48 p.

[9] Levine H. A. Weinberger H.F. Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues// Arch. Rational Mech. Anal. - 1986. - Vol. 94. - P. 193–208.

[10] Mazzeo R. Remarks on a paper of Friedlander concerning inequalities between Dirichletand Neumann eigenvalues // Internat. Math. Res. Notices - 1991. - Vol. 4. - P. 41–48.

[11] Szego R. Inequalities for certain eigenvalues of a membrane of given area // J. RationalMech. Anal. - 1954. - Vol. 3. - P. 343–356.

[12] Payne L. E. Inequalities for certain eigenvalues of a membrane of given area // J.Rational Mech. Anal. - 1955. - Vol. 4. - P. 517–529.


46 Г.Ю. Мехтиева, М.Н. Иманова, В.Р. Ибрагимов. Применение гибридного . . .

УДК 517.938

Г.Ю. Мехтиева, М.Н. Иманова, В.Р. Ибрагимов.

Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан; e-mail: [email protected]

Об одном решении задачи Коши методом конечныхэлементов ∗

Здесь для решения обыкновенных дифференциальных уравнений построен новыйкласс гибридных методов типа многошаговых. Учитывая, что неявные методыявляются более точными, рассматриваем вопрос об определении неяности гибридныхметодов и построим методы с порядком точности p = 6 для k = 2.

Ключевые слова: задача Коши, обыкновенные дифференциальные уравнения.

G.Yu. Mehdiyeva, M.N. Imanova, V.R. IbrahimovAn application of the hybrid methods to the numerical solution of

ordinary differential equations of second order

Here for solving ODE of the second order we construct a new class of hybrid methods ofmultistep type. Taking into account that implicit methods are more precise we consider aquestion on definition of implicit character of hybrid methods and construct methods withthe order of accuracy p = 6 for k = 2.

Один из первых гибридных методов построен (см. [1]) на базе метода трапеции,который имеет четвертый порядок точности. Поскольку метод трапеции является одно-шаговым, гибридные методы, построенные в [1] отнесли к классу методов Рунге-Кутта.Развивая идеи, построения гибридных методов Гир и Батчер (см. [2], [3]) построилимногошаговые гибридные методы. Гибридные методы типа многошаговых построены ив работах других авторов (см. напр. [4], [5], [6]). В последнее время гибридные методыначали применяться и к численному решению обыкновенных дифференциальных урав-нений второго порядка (см. [7], [8]). Здесь построен один гибридный метод, которыйобобщает известные гибридные методы и построен конкретный гибридный метод длятрех точек, имеющий восьмой порядок точности.

Рассмотрим следующую задачу Коши

y′′ = F (x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0. (1)

Предположим, что задача (1) на отрезке [x0, X] имеет единственное решение. Длянахождения ее численного решения отрезок [x0, X] разбиваем на N равных частей. Обо-значим через ymи y′m приближенные значения задачи (1) и ее первую производную в

∗Данная работа выполнена при финансовой поддержке Фонда Развития Науки при Президенте Азер-байджанской республики EIF-2011-1(3)-82/27/1


точке xm (m = 0, 1, 2, ...). С помощью значений величины N можно определить коли-чество подинтервалов, на которое делится отрезок [x0, X] с постоянным шагом h > 0.Точки разбиения отрезка [x0, X] обозначим через xm = x0 +mh (m = 0, 1, ..., N).

Нетрудно показать, что к численному решению задачи (1) можно применить следу-ющий многошаговый метод:

k∑i=0

αiyn+i = hk∑

i=0

βiy′n+i + h2

k∑i=0

γiFn+i. (2)

Метод (2) хорошо исследован многими авторами (см. напр. [9], [10], [11]). Очевидно,что для определения значений Fm = F (xm, ym, y

′m) (m = 0, 1, 2, ...) потребуется опреде-

лить значения величины y′m(m = 0, 1, 2, ...). Обычно с этой целью предлагают k-шаговыйметод с постоянными коэффициентами, имеющий следующий вид:

k∑i=0

α′iy

′n+i = h

k∑i=0

β′iFn+i. (3)

Как известно, при применении методов (2) и (3) к решению задачи (1) порядок точ-ности его равен p + 1. Здесь величина p является степенью метода (3). Отметим, чтоздесь понятие степени и устойчивости методов (2) и (3) определяется, как в [9] и [12].

Известно, что если метод (2) устойчив и имеет степень p, то имеет место p ≤ 2[k/2]+2.Из этих оценок получаем, что для построения более точных методов для решения задачи(1) надо заменить метод (3) более точными устойчивыми методами. Здесь предлагаетсязаменить метод (3) следующим:

k∑i=0

αiy′n+i = h

k∑i=0

β′iFn+i+li , (|li| < 1, i = 0, 1, ..., k) . (4)

Известно, что при решении некоторых практических задач, функция F (z, x, y) независит от z. В этом случае задача (1) приобретает следующий вид:

y′′ = f(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0. (5)

Одним из эффективных методов для численного решения задачи (5) считается методШтермера, который в общем случае записывается в следующей форме:

k∑i=0

αiyn+i = h2k∑

i=0

βifn+i. (6)

Если в методе (2) положим βi = 0 (i = 0, 1, ..., k), то получим из него метод (6).Тогда можно считать, что методы типа (6) входят в класс методов типа (2). Однако,эти методы имеют разные свойства. Например, как понятие устойчивости.

Отметим, что из метода (6) при k = 2 и при k = 3 получаем следующий методШтермера

yn+2 = 2yn+1 − yn + h(fn+2 + 10fn+1 + fn)/12,


который устойчив и имеет степень p = 4 (см. [13]).Метод (4) является гибридным. Отметим, что с помощью подбора значений величин

αi, βi, li (i = 0, 1, 2, ..., k) можно построить устойчивый метод со степенью p = 2k+2 (см.[14]). Таким образом, для решения задачи (1) можно построить метод на базе методов(2) и (4), имеющий порядок точности 2k+2. Однако, использование таких методов болеесложно, чем известные многошаговые методы.

Определение 1 Метод (6) называют устойчивым, если корни многочлена ρ(α) =αkλ

k + αk−1λk−1 + ... + λ0 лежат внутри единичного круга, на границе которого нет

кратных корней за исключением двукратного корня λ = 1.

Однако, метод (2) является устойчивым, если корни многочлена ρ(α) = αkλk +

αk−1λk−1+...+λ0 лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных кор-

ней. Следовательно, нельзя рассматривать метод (6) как подкласс метода (2), посколькукаждый из них является самостоятельным объектом исследований.

В работе [7] к численному решению задачи (5) применен следующий метод:k∑

i=0

αiyn+i = h2k−1∑i=0

βifn+i + h2βi+sfn+1+s + h2β1−sfn+1−s. (7)

Этот метод является симметричным гибридным методом, который в одном вариантеможно обобщить в следующем виде (см. [8]):

k∑i=0

αiyn+i = h2k∑

i=0

βifn+i+li , (|li| < 1) . (8)

Отметим, что из (8) можно получить метод со степенью p = 3k. Понятие степенидля метода (8) определяется в следующей форме.

Определение 2 Предположим, что функция y(x) достаточно гладкая. Тогда целознач-ная величина p > 0 называется степенью метода (8), если имеет место:

k∑i=0

(αiy(x+ ih)− h2βiy′′(x+ (i+ li)h)) = O(hp+2), h→ 0. (9)

В этой работе исследуем следующий методk∑

i=0

αiyn+i = h2k∑

i=0

βifn+i + h2k∑

i=0

γifn+i+νi , (|νi| < 1) , (10)

который является более общим, чем метод (8). При k = 2 построен устойчивый гибрид-ный метод со степенью p = 8.

1. Построение гибридного метода типа (10)

Как было показано в [8], метод (8) является более точным, чем метод Штермера.Отметим, что при построении конкретных гибридных методов получилось так, что в ги-бридных методах рядом со значением функции f(x, y) в промежуточных точках участ-вует еще значения функции f(x, y) в узловых точках разбиений. Учет этих значений в


более общей форме привело к построению методов типа (10). Как известно, свойствачисленных методов определяются по значениям их коэффициентов. Поэтому рассмот-рим некоторые условия, налагаемые на коэффициенты метода (10), которые являютсянеобходимым условием при его исследовании

A. Величины αi, βi, γi, νi (i = 0, 1, ..., k) – некоторые действительные числа, причемαk = 0.

B. Многочлены

ρ(λ) ≡k∑

i=0

αiλi; σ(λ) ≡

k∑i=0

βiλi; γ(λ) ≡

k∑i=0

γiλi+νi ;

не имеют общих множителей, отличных от константы.C. Имеет место: σ(1) + γ(1) = 0 и p ≥ 1.Необходимость условий A очевидна.Поэтому рассмотрим условие B и предположим обратное. Тогда обозначая через

φ(λ) = const общий множитель для этих многочленов, имеем:

ρ(λ) = φ(λ)ρ1(λ), σ(λ) = φ(λ)σ1(λ), γ(λ) = φ(λ)γ1(λ).

С помощью оператора сдвига Eαy(x) = y(x + αh) метод (10) можем переписать ввиде следующего разностного уравнения:

φ(E)(ρ1(E)yn − h2σ1(E)y′′n − h2γ1(E)y

′′n) = 0.

Отсюда следует, чтоρ1(E)yn − h2σ1(E)y

′′n − h2γ1(E)y

′′n = 0. (11)

Очевидно, что если обозначим через k1 порядок разностного уравнения (11), то име-ем k1 ≤ k − 1. Нетрудно понять, что разностные уравнения (10) и (11) эквивалентныи для того, чтобы разностное уравнение имело единственное решение, нужно задатьk1 ≤ k−1 начальные данные. Следовательно, если задано k1 начальных данных, то k-гопорядка разностное уравнение (10) должно иметь единственное решение. Однако, изтеории разностных уравнений известно, что если количество начальных данных мень-ше, чем порядок линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, токоличество решений разностного уравнения больше одного. Отсюда получаем, что мно-гочлены ρ(λ),σ(λ) и γ(λ)не имеют общих множителей, отличных от константы. Тогдапереходя к пределу в равенстве (10) при h→ 0 имеем:

ρ(1)y(x) = 0, (x = x0 + nh). (12)

Отсюда получаем, чтоρ(1) = 0. (13)

Учитывая условие (13) в (11), получим:

ρ1(E)(yj+1 − yj)− h2σ(E)y′′j − h2γ(E)y′′j = 0, (14)

где ρ1(λ) = λ(x)/(λ− 1).


По теореме Лагранжа можно написать:

yj+1 − yj = hy′j +O(h2),

с учетом которого в (14) имеем:

ρ1(E)y′j − hσ(E)y′′j − hγ(E)y′′j = O(h). (15)

Переходя здесь к пределу h→ 0 имеем:

ρ1(1) = ρ′(1) = 0. (16)

Таким образом получили, что ρ(1) = ρ′(1) = 0 является необходимым условиемсходимости метода (10).

Рассмотрим следующие разложения:

ρ(λ) = ρ(1) + ρ′(1)(λ− 1) +1

2ρ′′(1)(λ− 1)2 +O((λ− 1)3),

σ(λ) = σ(1) + σ′(1)(λ− 1) +O((λ− 1)2),

γ(λ) = γ(1) + γ′(1)(λ− 1) +O((λ− 1)2),

yi+1 − yi = hy′i +h2

2y′′i +O(h3).

С учетом условий (16) и этих разложений в (14) имеем:

ρ(1)(yj+1 − yj)− h(γ(1) + σ(1))y′′j +1

2ρ′′(1)(y′j+1 − y′j) = O(h2).

Суммируя равенство (17) по j от 0 до n имеем:

ρ′′(1)(y′n+1 − y′0) = 2(γ(1) + σ(1))n∑

j=0

hy′′j +O(h).

Переходя здесь к пределу при h→ 0 имеем:

ρ′′(1)(y′(x)− y′0) = 2(γ(1) + σ(1))

x∫x0

f(s, y(s))ds. (17)

А из задачи (5) можем написать

y′(x) = y′0 +

x∫x0

f(s, y(s))ds. (18)

Сравнивая равенства (17) и (18) и учитывая, что решение задачи (5) единственно,получим:

ρ′′(1) = 2(γ(1) + σ(1)).


Отсюда следует, что если γ(1) + σ(1) = 0, то ρ′′(1) = 0. В асимптотическом равенстве(15) используем замены z(x) = y′(x). Тогда имеем:

ρ1(E)zj − h(σ(E) + γ(E))z′j = O(h). (19)

Легко заметить, что из условий ρ′′(1) = 0, следует, что λ = 1 является двукратнымкорнем многочлена ρ1(λ). Однако асимптотическому равенству (19) можно рассматри-вать как аппроксимации разностного метода

k∑i=0

αizn+i = hk∑

i=0

(βiz′n+i + γiz

′n+i+νi

),

который при γ(1) + σ(1) = 0 или ρ′1(1) = 0 является неустойчивым. Следовательно

ρ′′(1) = 2(γ(1) + σ(1)) = 0.

Таким образом доказали, что если метод (10) сходится, то γ(1) + σ(1) = 0. Теперьдокажем, что если метод (10) сходится, то p ≥ 1. Допустим, что метод (10) имеет сте-пень p. Тогда имеет место асимптотическое равенство (9), которое с помощью вышеполученных можно переписать в виде:

h2ρ′′(1)y′′j − h22(γ(1) + σ(1))y′′j +O(h) = O(hp+2), h→ 0. (20)

Отсюда следует условие p ≥ 1, что и требовалось доказать.Отметим, что необходимое условие сходимости (20) можно написать в следующем

виде:k∑

i=0

αi = 0;k∑

i=0

iαi = 0,k∑

i=0

i2

2!αi =

k∑i=0

(βi + γi). (21)

Используя связь между коэффициентами и степенью метода (10) можно доказать,что из выполнения условий (21) следует p ≥ 1.

Отметим, что при исследовании метода (10) свойства его зависят от значений па-раметров αi, βi, γi, νi (i = 0, 1, ..., k). Поэтому рассмотрим определение значений па-раметров αi, βi, γi, νi (i = 0, 1, ..., k). С этой целью используем метод неопределенныхкоэффициентов и рассмотрим следующие разложения:

y(x+ ih) = y(x) + ihy′(x) +(ih)2

2!y′′(x) + ...+

(ih)p+1

(p+ 1)!y(p+1)(x) +O(hp+2), (22)

y′′(x+ lih) = y′′(x) + lihy′′′(x) +

(lih)2

2!yIV (x) + ...+

(lih)p−1

(p− 1)!y(p+1)(x) +O(hp). (23)

Здесь величины li = i+ νi (i = 0, 1, 2, ..., k).В предположении достаточной гладкости функции y(x) величины αi, βi, γi, li (i =

0, 1, 2, ..., k) подбираем так, чтобы метод (10) имел степень p. Для этого равенства (22)и (23) учтем в равенстве (9). Тогда для определения значений величин αi, βi, γi, li (i =0, 1, 2, ..., k) получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

k∑i=0

αi = 0;k∑

i=0

iαi = 0,


k∑i=0

(il−1

(l − 1)!βi +

ll−1i

(l − 1)!γi) =

k∑i=0

il+1

(l + 1)!αi (l = 1, 2, ..., p), 0! = 1. (24)

В системе (24) количество неизвестных равно 4k + 4, а количество уравнений равноp + 2. Очевидно, что эта система всегда имеет нулевое решение, однако нас интересу-ет ненулевое (нетривиальное) решение. А для этого между количеством уравнений инеизвестных система (24) должна иметь следующее соотношение: p+ 2 < 4k + 4.

Отсюда следует, что pmax = 4k + 1. Легко заметить, что если рассмотрим случайνi = 0 (i = 0, 1, ..., k) то из метода (10) следует метод (6), для которого получаем,чтоpmax = 2k. Следовательно, метод (10) является более точным, чем метод (6). Дляиллюстрации полученного результата построим конкретный метод и рассмотрим по-строение некоторых конкретных методов. В случае k = 1 не существуют методы типа(10) (см.[12]), поэтому положим k = 2. В этом случае для определения коэффициентовполучаем следующую систему нелинейных уравнений:

β2 + β1 + β0 + γ2 + γ1 + γ0 = 1,

2β2 + β1 + l2γ2 + l1γ1 + l0γ0 = 1,

2β2 +1

2β1 +

l222γ2 +

l212γ1 +

l202γ0 =

7

12,

4

3β2 +

1

6β1 +

l326γ2 +

l316γ1 +

l306γ0 =

1

4,

2

3β2 +

1

24β1 +

l4224γ2 +

l4124γ1 +

l4024γ0 =

31

360, (25)

4

15β2 +

1

120β1 +

l52120

γ2 +l51120

γ1 +l50120

γ0 =1

40,

4

45β2 +

1

720β1 +

l62120

γ2 +l61120

γ1 +l60120

γ0 =127

20160,

8

315β2 +

1

5040β1 +

l725040

γ2 +l71

5040γ1 +

l705040

γ0 =17

12096.

Решая эту систему получаем разные гибридные методы с разными свойствами. На-пример, при γi = i решая систему (25) получаем следующий метод:

yn+2 − 5yn+1 − yn + h2(fn + 10fn+1 + fn+2)/12, (26)

который входит в класс методов Штермера, имеет степень p = 4 и известен, как методНумерова (см. напр. [13, стр.443]). Этот метод интересен тем, что, решая систему (25)при k = 3 и γi = i (i = 1, 2, 3, ) также получаем метод (26).

Теперь рассмотрим решение системы (25) в случае k = 2 для произвольного li. Тогдаполучим следующее решение:

β0 = β2 =19

1740, β1 =

1

2, γ0 = 1−

√13

42, γ2 = 1 +

√13

42, γ1 = 1,

γ0 = γ2 =441

1885, γ1 =

2

195.


С учетом следующего метода, который устойчив и имеет степень p = 8, в формуле(10) получим:

yn+2 = 2yn+1 − yn + h2(19fn+2 + 870fn+1 + 19fn)/1740+

+h2(441 · 39fn+γ2 + 2 · 377fn+γ1 + 441 · 39fn+γ0)/39 · 1885.


[1] Hammer P.C., Hollingsworth J.W. Trapezoildal methods of approximating solution ofdifferential equations // MTAC-vol.9.- 1955.- P.92-96.

[2] Gear C.S. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations// SIAM, J. Numer. Anal. -v. 2.- 1965.- P. 69-86.

[3] Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinarydifferential equations // J. Assoc. Comput. Math.- v.12.- 1965.- P.124-135.

[4] Мехтиева Г.Ю., Ибрагимов В.Р. Построение гибридных методов с помощью ме-тодов Рунге-Кутты // Вестник БГУ. -2006.- 3.- P.17-22.

[5] Ибрагимов В.Р. Один нелинейный метод численного решения задачи Коши дляобыкновенных дифференциальных уравнений // Диф. урав. и применения Трудыдокл. Второй международ. конф. Руссе. Болгария. -1982. -P.310-319.

[6] Bokhoven W.M.G. Efficient higher order imlicit one-step methods for integration of stiffdiffer. eq-s // BIT.20.-1980.- P.34-43.

[7] Ehigie J.O., Okunuga S.A., Sofoluwe A.B., Akanbi M.A. On generalized 2-stepcontinuous linear multistep method of hybrid type for the integration of second orderordinary differential equations // Archives of Applied Research. -2(6),-2010.-P.362-372.

[8] Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. On an application of hybrid methodto solving second ordinary differential equations The international conference on appliedmathematics, modeling And computational science // Waterloo, Сanada. -July 25 - 29.-2011. - P. 363.

[9] 15. Dahlquist, G. Stability and Error bounds in the numerical integration of ordinarydifferential equations // Uppsala, Almqvist and Wiksells boktr, No.13. -1959. P.5-92.

[10] Enrite W.H. Second derivative multistep methods for stiff ordinary differential equations// SIAM, J.Numer.Anal. -1974. -2. -P.321-332.

[11] Ибрагимов В.Р. Об одной связи между порядком и степенью для устойчивой фор-мулы с забеганием вперед // Ж.Вычис. мат. и мат. физ. -7.- 1990.- C.1045-1056.

[12] Ibrahimov V.R. On the maximum degree of the k-step Obrechkoff’s method // Bulletinof Iranian Mathematical Society. -Vol. 20. -2002. -No.1, P.1-28.


[13] Hairier E., Norsett S.P., Wanner G.Solving ordinary differential equations //М., Mir.-1990. - P. 512.

[14] Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. On one generalization of hybridmethods. Proceedings of the 4th international conference on approximation methodsnand numerical modeling in environment and natural resources // Saidia, Morocco.- may23-26. -2011. -P.543-547.

Поступила в редакцию 05 декабря 2012 года


УДК 577.29

А.Ю. Пыркова


Моделирование ресурсоёмких задач в областибиоинформатики ∗

В представленной статье рассмотрены задачи множественного выравнивания нуклео-тидных последовательностей и построения дендограмм. В ходе проведённого иссле-дования автором были получены следующие результаты:

• разработана математическая модель множественного выравнивания нуклеотид-ных и аминокислотных последовательностей;

• разработан и проанализирован алгоритм множественного выравнивания, по-строенный на основе алгоритма Нидлмана-Вунша, который был модифициро-ван для обработки больших массивов данных с помощью распараллеливанияпроцесса обработки средствами MPJ (Java MPI);

• разработан алгоритм построения дендограмм, представляющий собой модифи-кацию алгоритмов UPGMA (Unweighted Pair Group Method with ArithmeticMean) и NJ (Neighbour Joining) с возможностью распараллеливания обработкиданных;

• выполнена программная реализация алгоритма множественного выравниванияи построения дендограмм на языке Java с использованием средств MPI;

• результаты работы программы были протестированы на данных о нуклеотид-ных последовательностях, предоставленных сотрудниками кафедры биотехно-логии КазНУ имени аль-Фараби.

Ключевые слова: математическая модель, алгоритм, Java MPI, выравнивание, нук-леотидные и аминокислотные последовательности, дендограммы.

А.Ю. ПырковаБиоинформатика саласындағы көпресурсты есептердi пiшiндеу

Бұл мақалада нуклеотид тiзбектерiнiң көптiк теңестiруi есептерi мен дендограмма құруқарастырылған. Зерттеу жұмыстарын жүргiзу барысында автор төмендегiдей нәтиже-лерге қол жеткiзген:

• нуклеотид тiзбектерiнiң көптiк теңестiруi мен аминқышқылды тiзбектердiң мате-матикалық пiшiнi өңделген;

∗Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и про-ектов Комитетом науки МОН РК, грант 1619/ГФ, 2012г.-2014г.

А.Ю. Пыркова Моделирование ресурсоёмких задач в области биоинформатики 56

• MPJ (Java MPI) құралдарымен үлкен массивтi деректердi параллельдеу көмегi-мен процесстi өңдеу үшiн модификацияланған, Нидлман-Вунш алгоритмi негiзiндеқұрылған, көптiк теңестiру алгоритмi өңделiп және талқыланған;

• деректердi өңдеуде параллельдеу мүмкiндiгi мен UPGMA (Unweighted Pair GroupMethod with Arithmetic Mean) және NJ (Neighbour Joining) алгоритмдерiн моди-фикациялауды ұсынатын, дендограмма құратын алгоритм өңделген;

• МРI құралдарын қолданып Java тiлiнде дендограмма құру және көптiк теңестiруалгоритмiн программалық iске асыру орындалған;

• программа жұмыстарының нәтижесi әл-Фараби атындағы ҚазұУ-нiң биотехно-логия кафедрасының қызметкерлерi ұсынған, нуклеотид тiзбектерi жөнiндегi де-ректерде тестiленген.

A.Yu. PyrkovaModelling of resource-intensive problems in the field of

bioinformatics

In presented article the problems of multiple alignment of nucleotide sequences and dendrogramconstruction are considered. During the conducted research by the author the following resultswere received:

• the mathematical model of multiple alignment of nucleotide and amino-acid sequencesis developed;

• the algorithm of multiple alignment, constructed on the basis of algorithm of Needleman-Wunsch which was modified for processing of big data files with help of parallelizationof treatment process by means of MPJ (Java MPI), is developed and analyzed;

• the algorithm of dendrogram construction, representing modification of algorithms ofUPGMA (Unweighted Pair Group Method with Arithmetic Mean) and NJ (NeighbourJoining) with possibility of parallelization of data processing, is developed;

• program realization of algorithm of multiple alignment and dendrogram constructionin the Java language with use of means of MPI is executed;

• results of work of the program were tested on data on the nucleotide sequences providedby staff of the biotechnology department of Kazakh NU named al-Farabi.

Разработка математической модели множественного выравнивания нук-леотидных и аминокислотных последовательностей

Выравнивание аминокислотных или нуклеотидных последовательностей /1/ - этопроцесс сопоставления сравниваемых последовательностей для такого их взаимораспо-ложения, при котором наблюдается максимальное количество совпадений аминокислот-ных остатков или нуклеотидов. Различают два вида выравнивания: парное (выравнива-ние двух последовательностей ДНК, РНК или белков) и множественное (выравниваниетрёх или более последовательностей).


Парное выравнивание является базовым методом сравнения биологических после-довательностей /2/. Выровнять две последовательности - это поместить их друг наддругом, возможно, вставляя в обе последовательности пробелы, так, чтобы сделать ихдлины равными. При этом позиции, оказавшиеся друг над другом, считаются сопостав-ленными друг другу, а остальные символы (расположенные напротив пробелов) - уда-ленными. Две данные символьные последовательности можно выровнять многими спо-собами. Алгоритмический выбор нужного выравнивания двух данных последователь-ностей основан на понятии веса выравнивания - строится оптимальное выравнивание,т.е. выравнивание, имеющее максимально возможный вес. Вес выравнивания опреде-ляется как сумма весов сопоставленных символов минус сумма штрафов за удаленныефрагменты.

Математическую модель задачи множественного выравнивания можно сформулиро-вать в следующем виде:

Пусть ul, l = 1, N - набор нуклеотидных или аминокислотных последовательно-стей, которые нужно выровнять, N - количество нуклеотидных или аминокислотныхпоследовательностей, тогда ⟨ul, uk, S⟩l,k=1,N,k =l - множественное выравнивание последо-вательностей, где S = ⟨i1, j1⟩, ..., ⟨in, jn⟩ - набор пар позиций в последовательностях ulи uk соответственно, таких, что 1 ≤ i1 < ... < in ≤ |ul| и 1 ≤ j1 < ... < jn ≤ |uk|, т.е.im позиция последовательности ul сопоставлена с jm позицией последовательности uk,m = 1, r, r - длина полученной выровненной последовательности (после выравниваниявсе последовательности имеют одинаковые длины), а фрагменты вида ul[im+1, im+1−1]и uk[jm + 1, jm+1 − 1] заполнены пробелами, k = 0, r; i0 = j0 = 0; ir+1 = |ul| + 1 ;jr+1 = |uk|+ 1. Вес выравнивания определяется как функция весов сопоставлений букви штрафов за добавление пробелов.

В качестве весовых функций была выбрана кусочно-линейная система весовых функ-ций /2/. Кусочно-линейная система весовых функций - это система, которая обладаетследующими свойствами:

• штрафы за добавления пробелов на концах последовательностей могут быть про-извольными;

• штраф за добавление пробела может зависеть от граничных позиций добавляемогопробела;

• зависимость штрафа от длины фрагмента может задаваться произвольной кусочно-линейной функцией;

• штрафы за добавление пробелов в каждой из сравниваемых последовательностеймогут задаваться по-своему;

• вес сопоставления символов ul[i] и uk[j] задаётся произвольной функцией η(i, j, ul, uk).

Вес выравнивания последовательностей определяется как разность V − D, где V -сумма весов сопоставлений букв, D - сумма штрафов за удаление фрагментов.

Одним из недостатков алгоритмов динамического программирования /2/, предна-значенных для выравнивания нуклеотидных последовательностей, является их отно-сительно невысокое быстродействие. Даже на современных компьютерах невозможно


за приемлемое время выровнять последовательности длиной более миллиона символов(как при сравнении геномов) или провести сотни тысяч сравнений последовательностейдлиной несколько тысяч.

Разработка алгоритма множественного выравниванияНа сегодняшний день известно немало биоинформационных программ, занимающих-

ся поиском родственных последовательностей в базе данных нуклеотидных и аминокис-лотных последовательностей; множественным выравниванием нуклеотидных и амино-кислотных последовательностей; редактированием филогенетических деревьев; филоге-нетическим анализом; таких как BLAST, ClustalW, ClustalX, UGENE и многие другие/3/. Главная проблема, возникающая при обработке больших массивов данных - это,прежде всего, нехватка вычислительных средств. В данном исследовании предпринятапопытка разработать программное приложение для выравнивания нуклеотидных после-довательностей и построения филогенетических деревьев путём применения алгоритмавыравнивания Нидлмана-Вунша и алгоритмов NJ и UPGMA для построения филоге-нетических деревьев с использованием возможностей MPJ при построении множествен-ного выравнивания и дендограмм.

В результате проведённого исследования /4, 5/ был разработан распараллеленныйалгоритм множественного выравнивания нуклеотидных и аминокислотных последова-тельностей, где каждая пара выравнивается с использованием алгоритма Нидлмана-Вунша.

Алгоритм Нидлмана-Вунша /3, 6/ - это алгоритм динамического программирова-ния для выполнения выравнивания двух последовательностей A и B. В этом алгоритмесоответствие выровненных символов задается матрицей их похожести друг на друга ииспользуется линейный штраф за разрыв d. Для нахождения выравнивания с наивыс-шей оценкой назначается двумерная матрица F , содержащая столько же строк, сколькосимволов в первой последовательности, и столько же столбцов, сколько символов во вто-рой последовательности.

В процессе работы алгоритма величина Fij будет принимать значения оптимальнойоценки для выравнивания первых i = 0, ..., n символов в первой последовательностии первых j = 0, ...,m символов во второй последовательности. Используемый в этомалгоритме принцип оптимальности Беллмана формулируется следующим образом:

F0j = d ∗ j,Fi0 = d ∗ i,

Fij = max(Fi−1,j−1 + S(Aj, Bj, Fi,j−1 + d, Fi−1,j + d).

где S - матрица похожести, а S(Ak, Bl) - величина, определяющая похожесть k элементапервой последовательности A и l элемента второй последовательности B.

Когда матрица F рассчитана, её элемент Fi,j дает максимальную оценку среди всехвозможных выравниваний. Для вычисления самого выравнивания, которое получилотакую оценку, нужно начать с правой нижней клетки матрицы F и сравнивать значенияв ней с тремя возможными источниками (соответствие, вставка или делеция), чтобыувидеть, откуда оно появилось. В случае соответствия Ai и Bj выровнены, в случаеделеции Ai выровнено с разрывом, а в случае вставки с разрывом выровнено уже Bj.Алгоритм для линейных штрафов имеет время работы O(m∗n); алгоритмы построенияоптимального выравнивания для выпуклых весов делеций и для произвольных весов


делеций имеют временную сложность соответственно O(m ∗n ∗ (m+n)) и O(m2 ∗n2) (mи n - длины последовательностей).

Среди современных инструментов построения множественного выравнивания наи-большей популярностью пользуются программы ClustalW, Muscle, T-Coffee, самый точ-ный из которых T-Coffee, но, по сравнению с другими, существенно медленнее. Подход,который используется практическими всеми программами множественного выравни-вания, состоит в том, что они пытаются найти лучшее выравнивание методом после-довательных попарных выравниваний. Недостаток метода последовательных попарныхвыравниваний в том, что производимое выравнивание не гарантирует достижения опти-мального выравнивания. Поэтому дополнительно предлагаются программы для редак-тирования результатов множественного выравнивания. Эти программы применяютсядля подготовки отчетов по выравниванию к публикации, а также ручного редактиро-вания полученных автоматически программами результатов.

В данном исследовании /4, 5/ для достижения более точного результата множе-ственного выравнивания и оптимизации временных затрат, требуемых для обработкиданных при множественном выравнивании, набор последовательностей разбивается наM самостоятельных групп, обрабатываемых M параллельными процессами, каждыйиз которых будет независимо от других выполнять выравнивание своей группы, а самовыравнивание происходит не попарно, а по суммарным последовательностям группы.

Пусть в группе uk nk последовательностей, k = 1,M , где M - число процессов. Вначале с помощью алгоритма Нидлмана-Вунша выравниваются первые две последова-тельности, затем по полученному выравниванию строится некоторая суммарная после-довательность, полученная путём слияния двух ранее выровненных последовательно-стей. Например, если выравнивались две последовательности:

miR-1203 CCCGGAGCCAGGAUGCAGCUCи

miR-1224-3p CCCCACCUCCUCUCUCCUCAG,после выравнивания которых были получены следующие последовательности:

CCCGG-AGCCAGGAUGCAG- - - - - - -CUC- -CCC- -CA-CC- - - -U-C- -CUCUCUCCUCAG,

то суммарной последовательностью будет последовательность:CCCGGCAGCCAGGAUGCAGCUCUCUCCUCAG,

которая и будет выравниваться с третьей последовательностью в группе, в случае жевнесения разрыва при выравнивании в суммарную последовательность, этот разрывбудет добавляться в каждую из ранее выровненных последовательностей, слиянием ко-торых была получена суммарная, участвующая в текущем выравнивании. Процесс про-должается до тех пор, пока не будет выровнены nk последовательностей в группе uk,k = 1,M , где M - число процессов.

Процесс выравнивания происходит одновременно во всех группах, параллельностьобработки которых достигается за счёт в первую очередь независимости обрабатывае-мых данных и, конечно же, с технической точки зрения с помощью средств MPJ. Ко-гда каждый из процессов заканчивает выравнивание своей группы, он формирует своюсуммарную последовательность, полученную слиянием всех выровненных последова-тельностей в группе, и, наконец, главный процесс программного приложения завершаетвыравнивание выравниваем этих суммарных последовательностей.


Рисунок 1. Протокол обмена сообщениями между MPJ-процессами

Таким образом, алгоритм /4, 5/ можно представить следующим образом:Шаг 1. Разбиение набора нуклеотидных или аминокислотных последовательностей

ul, l = 1, N , которые нужно выровнять, наM равномерных групп: u1, ..., ul2−1, ul2 , ..., ul3−1,. . . ulM , ..., uN , N - количество последовательностей.

Шаг 2. Обработка каждой из M групп последовательностей соответствующим про-цессом с помощью модифицированного алгоритма Нидлмана-Вунша (как было предло-жено выше). Построение суммарной последовательности для каждой группы uk, ..., ulk+1−1

- uk, k = 1,M , где M - число процессов.Шаг 3. Отправка каждым из M процессов соответствующей группы выровненных

последовательностей uk, ..., ulk+1−1 и суммарной последовательности uk первому процес-су.

Шаг 4. Выравнивание первым процессом группы суммарных последовательностейuk, k = 1,M модифицированным алгоритмом Нидлмана-Вунша с одновременным вне-сением необходимых разрывов в уже выровненные M процессами группы u1, ..., ul2−1,ul2 , ..., ul3−1, . . . ulM , ..., uN , N - количество последовательностей.

Шаг 5. Построение дендограммы на основе полученного выравнивания алгоритмомNJ или UPGMA. Для последовательностей длины m1 и m2 время работы такого алго-ритма оценивается как O(c(m1,m2) ∗ m1 ∗ m2), где коэффициент c(m1,m2) зависит отвыбранной весовой функции и определяется временем выполнения операций делеции ивставки для этой функции.

Разработка алгоритма построения филогенетических деревьевАлгоритмов матричного построения деревьев, таких как UPGMA, WPGMA, NNM,

FNM, UPGMC, WPGMC и другие /7/, известно не мало. Работа этих матричных ме-тодов построена по одному принципу, основанному на итеративной обработке матрицырасстояний между таксонами. На каждом шаге в матрице расстояний D ищется мини-мальный элемент Dij. Найденные таксоны i и j объединяются, образуя новый таксонk. Строки и столбцы, соответствующие таксонам i и j, выбрасываются из матрицы Dи добавляется новая строка и новый столбец, соответствующие таксону k. В результатематрица сокращается на одну строку и один столбец. Эта процедура повторяется до


тех пор, пока не будут объединены все таксоны. Разные матричные методы отличаютсялишь способом вычисления расстояний от вновь образуемого на каждом шаге таксонаk до всех оставшихся таксонов. В общей форме расстояние между таксоном k и лю-бым другим таксоном l для основного большинства методов можно записать с помощьюформулы:

Dlkll = alilDlill + aljlDljll + bljlDlijl + g ∗Dlill −Dljllгде коэффициенты ai, aj, bj, g - различны для разных методов.

Рисунок 2. UML диаграмма классов программного приложения множественноговыравнивания нуклеотидных и аминокислотных последовательностей и построения

дендограмм

В ходе проведённого исследования был предложен метод построения филогенетиче-ского дерева, основанный на двух алгоритмах UPGMA и NJ, которые были модифици-рованы с целью оптимизации временных затрат на обработку матричных данных сле-дующим образом: матрицы выровненных последовательностей были разбиты на класте-ры родственных нуклеотидных последовательностей и обработаны M параллельнымипроцессами с помощью средств MPJ. Полученные поддеревья были объединены в однофилогенетическое дерево главным процессом. Его вычислительная сложность составля-ет O(nlk), где k является числом кластеров, n - размер набора данных и l - количествоциклов алгоритма.

Программная реализация алгоритмов множественного выравнивания ипостроения дендограмм на языке Java с использованием средств MPI

Полученное программное приложение имеет удобный интерфейс (рис. 3) для выборафайла с нуклеотидными последовательностями.


Рисунок 3. Выбор файла с расширением *.dng с нуклеотидными последовательностями

Рисунок 4. Загрузка и просмотр нуклеотидных последовательностей

При загрузке нуклеотидных последовательностей можно выполнить просмотр и редак-тирование (рис. 4). Помимо этого можно изменить значения матрицы схожести, т.е.матрицы, определяющей степень похожести одного нуклеотида на другой, с тем чтобыизменять параметры выравнивания. К тому же при отражении загружаемых нуклеотид-ных последовательностей, а также при отображении выровненных последовательностейможно установить таймер, для того чтобы отследить процесс выравнивания последова-тельностей.

Реализация алгоритма множественного выравнивания нуклеотидных последователь-ностей была реализована на языке Java с использованием MPJ.

После выполнения выравнивания нуклеотидных последовательностей также пред-лагается просмотр полученных выровненных последовательностей с возможностью ихсохранения в файл (рис. 5).


Рисунок 5. Выравнивание и сохранение выровненных нуклеотидныхпоследовательностей в файл

По выровненным последовательностям можно построить дендограмму или фило-генетическое дерево, выбрав один из кластерных методов: NJ (neighbor joining) илиUPGMA (Unweighted Pair Group Method with Arithmetic Mean). В частности на рис.6 показано филогенетическое дерево, построенное с использование кластерного методаUPGMA. Интерфейс предлагает возможность увеличивать или уменьшать построеннуюдендограмму, если это необходимо.

Рисунок 6. Построение филогенетического дерева с использованием кластерногометода UPGMA

Полученное программное приложение было протестировано на данных о миРНК,предоставленных сотрудниками кафедры биотехнологии КазНУ имени аль-Фараби.


В результате выравнивания было построено филогенетическое дерево кластернымалгоритмом UPGMA (рис. 7).

Рисунок 7. Филогенетическое дерево для выровненной выборки миРНК, полученноекластерным методом UPGMA


[1] Lesk Arthur M. Introduction to Bioinformatics. - Oxford: Oxford University Press, 2002.- 255 p.

[2] Ройтберг М.А. Алгоритмы сравнительного анализа первичных структур биопо-лимеров: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 03.00.28. - М.: Издательство РАН, 2009. - 43 с.

[3] Jones Neil C., Pevzner Pavel A. An Introduction to Bioinformatics Algorithms. -Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology Press, 2004. - 435 p.

[4] Пыркова А.Ю. Множественное выравнивание нуклеотидных последовательностей ипостроение дендограмм с использованием средств Java MPI // Материалы IХ меж-дународной научно-практической конференции "Перспективы развития информа-ционных технологий". - Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. - С. 20-25.


[5] Пыркова А.Ю. Кластерный анализ больших массивов молекулярно-генетическихданных с использование программного интерфейса MPJ // Материалы междуна-родной научно-практической конференции "Актуальные проблемы информатики ипроцессов управления". - Алматы: Институт проблем информатики и управления,2012. C. 221-225.

[6] Jonathan M. Keith Methods in Molecular Biology. Bioinformatics: in 2 vols. - New York:Humana Press, 2008. - V. 2. - 502 p.

[7] Bioinformatics and Biological Computing [Electronic resource]. - 2012. - URL:http : //bip.weizmann.ac.il/toolbox/overview/software_avail.html (дата обраще-ния: 07.09.2012)


Темирбеков А.Н. Математические вопросы разностной схемы для . . . 66

УДК 519.67

А.Н. ТемирбековКазахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан

e-mail: [email protected]

Математические вопросы разностной схемы дляуравнений пограничного слоя атмосферы∗

Разработана математическая модель для уравнений пограничного слоя атмосферыи уравнения переноса и трансформации примесей вредных веществ в атмосферномвоздухе. Доказана разрешимость математической модели и изучены качественныесвоиства решений. Построены конечно-разностные схемы для двумерных и трех-мерных уравнений ПСА. Для решения разностных уравнений получены априорныеоценки. Исследованы математические вопросы разностных схем для уравненийпограничного слоя атмосферы. Доказана лемма для сеточных функции. С помо-щью доказанной леммы получили основные энергетические неравенства. В силудоказанной леммы и используя неравенство Коши-Буняковского оценены основныевеличины неравенств. Доказана теорема сходимости в нормах функциональныхпространств. Получены основные априорные оценки для решения разностной задачи.Исследованы аппроксимационные свойства и доказана теорема сходимости решенияразностной задачи к решению дифференциальной задачи. Для доказательстватеоремы и аппроксимационных свойств разностная задача рассматривалась встационарном аналоге. Проведены методические численные расчеты.Ключевые слова: Дифференциальные уравнения, разностная схема, сила Кариолиса,уравнения пограничного слоя атмосферы, неравенство Коши-Буняковского.

А.Н. Темiрбеков ,Атмосфера қабатының теңдеуi үшiн айырымдық сұлбалардың

математикалық мәселелерi

Атмосфера қабатының теңдеуi және атмосферада зиянды заттардың трансформа-циялануына математикалық модель құрылды. Математикалық модельдiң шешiмi бо-латындығы және модельдiң сапалы қасиеттерi зерттелдi. Екi өлшемдi және үш өл-шемдi атмосфера қабатының теңдеулерi үшiн ақырлы айырымдық сұлбалар құрылды.Ақырлы-айырымдық теңдеулердiң шешiмi априорлы бағаланды. Атмосфера қабатыныңтеңдеуi үшiн, жасалған айырымдық сұлбалар математика тұрғысынан зерттелдi. Тор-лық функциялар үшiн лемма дәлелдендi. Дәлелденген лемма арқылы негiзi энергети-калық теңсiздiктер алынды. Дәлелденген лемманы және Коши-Буняковский теңсiздiгiнпайдаланып, негiзгi шамаларға баға берiлдi. Функционалдық кеңiстiктер нормасындажинақтылық теоремасы дәлелдендi. Айырымдық есептiң шешiмi үшiн, негiзгi апри-орлы бағалар алынды. Дифференциалдық есептiң шешiмi жинақталатындығы туралы

∗Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и про-ектов Комитетом науки МОН РК, грант 0558/ГФ, 2012г.-2014г


теорема дәлелдендi және аппроксимациялық қасиеттерi зерттелдi. Аппроксимациялыққасиеттердi және теореманы дәлелдеу үшiн, айырымдық есеп стационар үлгiде қарас-тырылды.

Түйiн сөздер: Дифференциялдық теңдеулер, айырымдық сұлба, Кариолис күшi, ат-мосфера қабатының теңдеуi, Коши-Буняковский теңсiздiгi.

A.N. Temirbekov,Mathematical problems in the difference scheme for equations of the

atmosphere boundary layer

The mathematical model for the atmospheric boundary layer equations and the transportequation and transformation of pollutants harmful substances in the air. Proved thesolvability of the mathematical model and studied qualitative Properties of solutions. Thefinite-difference scheme for two-and three-dimensional equations of ABL. To solve thedifferential equations, a priori estimates. Investigated mathematical questions of differenceschemes for the equations of the boundary layer of the atmosphere. We prove the lemmafor the grid function. With the help of this lemma have the basic energy inequality. By thelemma and using the Cauchy-Schwarz inequality to estimate the basic size. The convergencetheorem in the rules of functional spaces. Obtain the basic a priori estimates for the solutionof the difference problem. Studied approximation properties and prove the convergence ofa solution of the problem to the solution of the differential problem. To prove the theoremand approximation properties of the difference problem is considered in a stationary analog.Conducted methodical numerical calculations.

Key words: Differential equations, difference scheme, Coriolis force, equations of theatmosphere boundary layer, the Cauchy-Schwarz inequality.

Постановка задачи. Основу моделей описывающих мезометеорологические про-цессы и перенос примесей вредных веществ составляют уравнения пограничного слояатмосферы.

∂u

∂t− u

∂u

∂x+ ϑ

∂u

∂y+∂p

∂x= lϑ+ λδxT +∆u,

∂ϑ

∂t+ u

∂ϑ

∂x+ ϑ

∂ϑ

∂y+∂p

∂y= −lu+ λδyT +∆ϑ,

∂u

∂x+∂ϑ

∂y= 0.

(1)

Эти уравнения являются нелинейными и методы их решения имеют свои общие осо-бенности с уравнениями гидродинамики. Широкое распространение при решении мно-гомерных задач получили методы расщепления [1, 2]. В области Ω построим сетку


Ωh, Ωh = ωh

∪Gh

∪Qh, где

ωh = (x1i, x2j), x1i = ih1, x2j = jh2, i = 0, 1, . . . , N1,

j = 0, 1, . . . , N2, h1 = l1/N1, h2 = l2/N2,

Gh = (x1i+1/2, x2j), x1i+1/2 = (i+ 1/2)h1, x2j = jh2, i = 0, 1, . . . , N1 − 1,

j = 0, 1, . . . , N2, h1 = l1/N1, h1 = l1/N1, h2 = l2/N2,

Qh = (x1i, x2j+1/2), x1i = ih1, x2j+1/2 = (j + 1/2)h2, i = 0, 1, . . . , N1 − 1,

j = 0, 1, . . . , N2 − 1, h1 = l1/N1, h2 = l2/N2.

Как и в [1] в узлах с номерами (i+ 1/2, j) и (i, j + 1/2) определяются значения соответ-ственно продольной и поперечной компонент скорости, а в узлах с целыми номерами(i, j)−значения давления. Начальные условия при t = 0 в моделях пограничного слояатмосферы задаются по данным измерений и, таким образом относится к числу входныхпараметров. При решении задач привязанной к конкретному физико-географическомурайону, целесообразно использовать начальные условия следующего вида:

u = u(x, y, z), ϑ = ϑ(x, y, z), ω = ω(x, y, z), θ = θ(x, y, z).

При изменении фонового ветра по времени на входных боковых границах, можно ис-пользовать следующие граничные условия.

u = f1(y, z, t), ϑ = f2(y, z, t), ω = f3(y, z, t), θ = f4(y, z, t) при x = 0, X,

u = f1(x, z, t), ϑ = f2(x, z, t), ω = f3(x, z, t), θ = f4(x, z, t) при y = 0, Y.

Граничные условия более наглядно графически представлены на рисунке 1.Рассмотрим следующую разностную схему

un+1i+1/2,j − uni+1/2,j

τ+ L

(1)1h u

ni+1/2j + P n+1

x,ij = lϑn+1i+1/2,j + ((unx,i+1/2,j)x + (uny,i+1/2,j)y)+

+λδxTn+1i+1/2,j, i = 1, . . . , N1 − 1, j = 1, . . . , N2 − 1,

ϑn+1i,j+1/2 − ϑn

ij+1/2

τ+ L

(2)1h ϑi,j+1/2 + P n+1

y,ij = −lun+1i,j+1/2 + ((ϑn

y,i,j+1/2)y + (ϑnx,i,y+1/2)x)+

+λδyTn+1i,j+1/2, i = 1, . . . , N1 − 1, j = 1, . . . , N2 − 2.

(2)

Уравнение неразрывности

diυhνn+1 = un+1

x1,i+1/2j + υn+1x2,ij+1/2 = 0,

un+1i+1/2j − un+1

i−1/2j

h1+ϑn+1ij+1/2 − ϑn+1

ij−1/2

h2.

(3)


Рисунок 1. Граничные условия при ветре с юго-восточной стороны

Операторы L(i)1h, i = 1, 2 соответствуют разностной аппроксимации конвективных членов

и определяются следующим образом

L(1)1h u

ni+1/2j =

14h1

((uni+3/2j + uni+1/2j)2 − (uni+1/2j + uni−1/2j)

2)+

+ 14h2

((υni+1j+1/2 + υnij+1/2)(uni+1/2j+1 + uni+1/2j)−

(υni+1j−1/2 + υnij−1/2)(uni+1/2j + uni+1/2j−1)),

L(2)1h υ

nij+1/2 =

14h1

((uni+1/2j+1 + uni+1/2j)(υni+1j+1/2 + υnij+1/2)−

−(uni−1/2j+1 + uni−1/2j)(υnij+1/2 + υni−1,j+1/2))+

+ 14h2

((υnij+3/2 + υnij+1/2)2 − (υnij+1/2 + υnij−1/2)

2).

(4)

На границе сеточной области Ωh

υn0j+1/2 = υn+1N1,j+1/2 = un+1

1/2j = un+1N1−1/2,j = 0,

υn+1i,1/2 = υn+1

N1,j−1/2 = un+1i+1/2,0 = un+1

i+1/2,N2= 0.

(5)

Для однозначного определения давления потребуем, чтобы выполнялось равенство∑x∈ω(1)

hp(x)h1h2 = 0. (6)

где ω(1) ⊆ ωh.

Разностная задача (2)-(6) может быть реализован как схема расщепления по физи-


ческим процессам, которую в векторной форме можно представить в следующем виде

V n+1/2 − V n

τ+ LhV

n = fh(−→x ),−→x ∈ Ωh,

V n+1 − V n+1/2

τ+∇hp

n+1 = V n+1,

divhVn+1 = 0.

(7)

Лемма. Для любых сеточных функций ui+1/2j ∈ Gh, υij+1/2 ∈ Qh удовлетворяющаяусловиям (3), (5) справедливы тождества

(L(1)1h )ui+1/2j, ui+1/2j) = (L

(2)1h υij+1/2, υij+1/2) = 0. (8)

где суммирование производится по внутренним узлам сетки G∪Qh.

Доказательство. Докажем, что (L(1)1h ui+1/2j, ui+1/2j) = 0

(L(1)1h ui+1/2j, ui+1/2j) =

1

4

N−2∑i=1

M−1∑j=1

[(ui+3/2j + ui+1/2j)2ui+1/2j−

−(ui+1/2j − ui−1/2j)2ui+1/2j + (υi+1,j+1/2 + υij+1/2)·

·(ui+1/2j+1 + ui+1/2j)ui+1/2j − (υi+1j−1/2 + υij−1/2)·

·(ui+1/2j + ui+1/2j−1)ui+1/2j]h1h2.

(9)

Для любых сеточных функций φ и ψ имеем

(φiψiψi−1)x = (φiψi)xψi + φiψi(ψi−1)x = φixψ2i + (φi+1ψix + φiψi−1,x)ψi

Используя эту формулу и (4), преобразуем все слагаемые (9)

(ui+3/2j(ui+1/2j)x1 + ui+1/2j(ui+1/2j)x1)ui+1/2j =

= (ui+1/2jui+1/2jui−1/2j)x1 − (ui+1/2j)x · u2i+1/2j.

(ui+1/2j(ui+1/2j)x1 + ui−1/2(ui+1/2j)x1)ui+1/2j =

(ui−1/2jui+1/2jui−1/2j)x1 − (ui−1/2j)x1 · u2i+1/2j

(10)

(υi+1,j+1/2(ui+1/2j)x2 + υi+1,j−1/2(ui+1/2j)x2)ui+1/2j =

= (υi+1,j−1/2ui+1/2jui+1/2j−1)x2 − (υi+1,j−1/2)yu2i+1/2j

(υij+1/2(ui+1/2j)x2 + υij−1/2(ui+1/2j)x2)ui+1/2j =

= (υij−1/2ui+1/2jui+1/2j−1)x2 − (υij−1/2)x2u2i+1/2j

(11)


Далее получим

(L(1)1h ui+1/2j, ui+1/2j) =

14

N−2∑i=1

M−1∑j=1

[(ui+1/2jui+1/2jui−1/2j)x1−

−(ui+1/2j)x1u2i+1/2j + (ui−1/2jui+1/2jui−1/2j)x1

−(ui−1/2j)x1u2i+1/2j + (υi+1j−1/2ui+1/2jui+1/2j−1)x2

−(υi+1,j−1/2)x2u2i+1/2j + (υij−1/2ui+1/2jui+1/2j−1)x2

−(υij−1/2)x2u2i+1/2j]h1h2

С учетом граничных условий (3) и уравнения неразрывности (5) имеем

(L(1)1h ui+1/2j, ui+1/2j) =

14h1

M−1∑j=1

[−u3/2ju3/2ju1/2j + uN−1/2juN−1/2juN−3/2j−

−u1/2ju3/2ju1/2j + uN−3/2juN−1/2juN−3/2j]h1h2+

+ 14h2

N−2∑i=1

[−υi+1,3/2ui+1/2,1ui+1/2,0 + υi+1,M−1/2ui+1/2,Mui+1/2,M−1−

−υi,1/2ui+1/2,1ui+1/2,0 + υiM−1/2ui+1/2Mui+1/2M−1]h1h2 = 0.

Используем неравенство Коши-Буняковского

|2τ 2(L1hVn, V n

t )| ≤ 3√2τ2

h

∑ωh[(uni+1/2j)

2 + (υnij+1/2)2]2h1h2

1/2

,

∥V nt ∥ = 3

√2τ2

h

∥∥|V n|2∥∥ · ∥V n

t ∥ .

Величина || |V n|2 || оценивается так∥∥|V n|2∥∥ ≤

√2 ∥V n∥ · ∥gradhV n∥ .

тогда∥∥∥V n+1∥∥∥2 − ∥∥∥V n

∥∥∥2 + ∥∥∥V n+1 − V n∥∥∥2 − τ2

2

∥∥∥V nt

∥∥∥2 − C21

2

(τh

)2 ∥∥∥V n∥∥∥2 · ∥∥∥gradhV n

∥∥∥2++2τ ·

(∥∥∥gradhV n∥∥∥2 + ∥∥∥gradhV n+1

∥∥∥2 − ∥∥∥gradh (V n+1 − V n)∥∥∥2) ≤ 2τ

∣∣∣(f ,n V n+1)∣∣∣ . (12)

где

C1 = 6, ∥gradhV ∥2 = ∥gradhu∥2(1) + ∥gradhυ∥2(2) .


Используя (12) имеем∥∥∥V n+1∥∥∥2 − ∥∥∥V n

∥∥∥2 + 12

∥∥∥V n+1 − V n∥∥∥2 + (2τ − C2

1

2

(τh

)2 ∥∥∥V n∥∥∥2) ·

·∥∥∥gradhV n

∥∥∥2 + 2τ∥∥∥gradhV n+1

∥∥∥2 ≤ 2τ∥∥∥gradh (V n+1 − V n

)∥∥∥2 + 2τ∣∣∣(fn, V n+1

)∣∣∣(13)

Используя неравенство∥∥gradh (V n+1 − V n)∥∥2 ≤ 8

h2∥∥V n+1 − V n

∥∥2из (13) получим

∥V n+1∥2 − ∥V n∥2 +(12− 8τ

h2

)· ∥V n+1 − V n∥2+

+τ(1− C2

1

2τh2 ∥V n∥2

)· ∥gradhV n∥2+

+τ ∥gradhV n+1∥2 ≤ 2τ∥∥∥fn

∥∥∥ · ∥V n+1∥

(14)

Наложим на h, τ условие

1

2− 8τ

h2≡ δ > 0 (15)

Тогда получим неравенство

∥V n+1∥2 − ∥V n∥2 + τ(1− C2

1

2τh2 ∥V n∥2

)· ∥gradhV n∥2 +

τ ∥gradhV n+1∥2 ≤ 2τ∥∥∥fn

∥∥∥ · ∥V n+1∥ .(16)

Которое позволяет оценить ∥V n∥ , ∥gradhV n∥ если τh2 взять достаточно малым. Дей-

ствительно, до тех пор, пока коэффициент при неотрицателен, имеем

∥V n+1∥2 − ∥V n∥2 ≤ 2τ∥∥∥fn

∥∥∥ · ∥V n+1∥ ,

(∥V n+1∥ − ∥V n∥) · (∥V n+1∥+ ∥V n∥) ≤ 2τ∥∥∥fn

∥∥∥ ∥V n+1∥ ,

∥V n+1∥ ≤ ∥V n∥+ 2τ∥∥∥fn

∥∥∥ .Отсюда получим

∥∥V n+1∥∥ ≤

∥∥V 0∥∥+ 2τ

n∑k=0

∥∥∥fk∥∥∥ . (17)


Поэтому, если τ/h2 подчинить еще условию

1− C21

2

τ

h2

(∥∥V 0∥∥2 + 2τ

n−1∑k=0

∥∥∥fk∥∥∥)2

≡ δ1 > 0 (18)

Тогда из (16) и (17) выведем оценку

∥V n+1∥2 + τδ1∑n

k=0

∥∥gradhV k∥∥2 + τ

∑nk=0

∥∥gradhV k+1∥∥2 ≤

≤ ∥V 0∥2 + 2(τ∑n

k=0

∥∥∥fk∥∥∥) · (∥V 0∥+ 2τ

∑nk=0

∥∥∥fk∥∥∥) ≤

≤ 2 ∥V 0∥2 + 5(τ∑n

k=0

∥∥∥fk∥∥∥)2

(19)

А из (17) и (20) оценку

∥V n+1∥2 + δ∑n

k=0

∥∥V k+1 − V k∥∥2 + τδ1

∑nk=0

∥∥gradhV k∥∥2+

+τ∑n

k=0

∥∥gradhV k+1∥∥2 ≤ ∥V 0∥2 + 5

(τ∑n

k=0

∥∥∥fk∥∥∥)2 (20)

Итак, при выполнении условий (18) и (19) верна оценка (20) правая часть которой непревосходит известной нам величины.

Заключение. Для проверки эффективности построенной разностной схемы решенатрехмерная тестовая задача в области с криволинейной нижней границей. На рисунке 2приведены численные результаты методических расчетов в виде вихри и поля вектораскорости. Все численные результаты модельных задач совпадают с результатами преж-них работ. Из рисунков заметны влияние температуры, т.е. от нагрева постилающейповерхности образуются мало заметные, сравнительно со скоростью в горизонтальномнаправлении, вертикальные течения.

а) без учета изменения температуры б) с учетом изменения температуры

Рисунок 2. Трехмерное векторное поле и ротор вектора скорости на сечениях



[1] Beloserkovskiy O.M. Chislennoe modelirovanie v mekhanike sploshnykh sred - M.:Nauka,-1984.- S 520.

[2] Yanenko N.N. Metod drobnykh shagov resheniya mnogomernykh zadachmatematicheskoi fiziki -Novosibirsk, -1967.- S 197.

[3] Anderson D.A., Tannehil J.C. and Pletcher R.H. // Computational Fluid Mechanicsand Heat Transfer - Neshh Jork: McGrashh-Hill, 1984. - P 814.

[4] Temam R. Uravneniya Nav’e-Stoksa. Teoriya i chislennyi analiz -M.: Mir, - 1981. - S408.

[5] Smagulov Sh. S., N. T. Danaev, N. M. Temirbekov Modelirovanie kraevykh usloviy dlyadavleniya i polnogo napora v zadachakh gidrodinamiki s pomosh’yu metoda fiktivnykhoblastey // DAN Rossii.- Moskva.- 2000. - T. 374.- 5.- S. 333-335

[6] Smagulov Sh., Zhumagulov B.T., Danaev N.T., Temirbekov N.T. Numerical methods ofsolution of Navier-Stokes equation in intricate regions // III international seminar offlame structure. - Alma-Ata. - 18-20 September, 1990.- P. 8-18.

[7] Abdibekov U.S., Zhumagulov B. T., Hikmetov A. K. Modelirovanie rasprostraneniyaprimesi v svobodnoi atmosfere // Zhurnal "Vychislitel’nye tehnologiy Novosibirsk, 2003.T. 8, - S. 25-35.

[8] Bakirbaev B. Chislennaya model’ pogranichnogo sloya sredy, prednaznachennaya dlyalo- kal’nogo rassejaniya primesey // Mekhanika i modelirovanie protsessov tekhnologiy.-1994 .- 2 .- S. 132-139.

[9] Kuttykozhaeva Sh.N. Ob odnom priblizhennom metode resheniya uravneniya Nav’e-Stoksa // Vestnik KazGU, ser. mekh. mat. i inf., 1998.- 14.- S.163-172.



УДК 517.938

Е.К. Утебаев

Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева, Алматы,Казахстан; e-mail: [email protected]

Динамический синтез механизма шарнирногочетырехзвенника

Рассматривается задача определения параметров машинного агрегата, состоящего изасинхронного двигателя и простого механизма шарнирного четырехзвенника, из усло-вия минимума среднеквадратической величины суммы моментов движущих сил, силсопротивления и сил инерции, приведенных к оси вращения кривошипа, для поло-жений механизма. При динамическом синтезе довольно часто приходится учитыватьразличного рода основные и дополнительные критерии. Эти критерии, как прави-ло, формирует заказчик модели проектируемого механизма. Знание всестороннихкритериев качества позволит оптимально и с наименьшими затратами проектиро-вать простые и сложные схемы механизмов. Для решения динамического синтезакривошипно-ползунного механизма расчеты проводились в системе Maple.

Ключевые слова: Расчеты в системе Maple, Динамический синтез, Шарнирный че-тырехзвенник, механизм переменной структуры

Е.К. УтебаевТөрт буынды топсалы тетiктiң динамикалық синтезi

Есепте асинхрондық қозғалтқыштан және қарапайым төрт буынды топсалы тетiктентұратын машинаның агрегатының қозғаушы күш моменттерiнiң сомаларының орташаквадраттық шамасының минимум шартынан, кедергi күшi және инерция күштерiнiңмеханизмнiң n-жағдайы үшiн кривошиптың айналу өсiне келтiрiлгендегi параметрлерiнанықтау. Динамикалық синтезде есепке жиi әр түрлi негiзгi және қосымша белгiлер-дi алады. Бұл жобаланатын белгiлер тетiктiң үлгiсiнiң тапсырма берушiсi қалыпта-стырады. Жан-жақты сапа белгiлерiн бiлген, ең кiшi шығындармен бос тұрулардыжәне күрделi тетiктердiң схемаларын жобалауға ең жақсы мүмкiндiк бередi. Кривошип-жорғалағыш тетiктiң динамикалық синтезiнiң есептеулерi Maple жүйесiнде жүргiзiлдi.

Y. K. UtebayevCauchy problem for one class of third order ordinary differential

equations

The problem of determining the parameters of the machine aggregate consisting of an inductionmotor and a simple mechanism of hinge four-link chain is considered by minimizing the mean-square value of the sum of the moments of the driving forces, the resistance forces and inertiaforces leading to the axis of rotation of the crank for N provisions of the mechanism. Duringthe dynamic synthesis it is often needed to consider the different types of major and minor

Е.К. Утебаев Динамический синтез механизма . . . 76

criteria. These criteria are generally formed by customer of the model of designed mechanism.Knowledge of comprehensive quality criteria will allow to design simple and complex circuitsmechanisms optimally and with lowest cost. Calculations were made in the system Maple tosolve the dynamic synthesis of slider-crank mechanism.

Схема рассматриваемого машинного агрегата изображена на рисунке:

Рис. 1: Схема машинного агрегата

Из решения задачи кинематического анализа механизма, имеем

tgφ2

2=

Ly±√

L2x+L2

x−D2

D+Lx,

tgφ3 =Ly+l2 sinφ2

Lx+l2 cosφ2

xS2 = l1 cosφ1 + r2 cos(φ2 + α2),yS2 = l1 sinφ1 + r2 sin(φ2 + α2)xS3 = l0 + r3 cos(φ3 + α3),yS3 = r3 sin(φ3 + α3)

(1)

Знак ± соответствует сборкам механизма. В формулах (1) введены обозначения

Lx = l1 cosφ1 − l0, Ly = l1 sinφ1, D = (l23 − L2x − L2

y − l22)/(2l2) (2)

После дифференцирования (1) по обобщенной координате φ1 получим аналоги скоростей

φ′2 =

l1 sin(φ1−φ3)l2 sin(φ3−φ2)

,

φ′3 =

l1 sin(φ1−φ2)l3 sin(φ3−φ2)

,

x′S2

= −l1 sinφ1 − r2 sin(φ2 + α2) · φ′2,

y′S2= l1 cosφ1 + r2 cos(φ2 + α2) · φ′

2x′S3

= −r3 sin(φ3 + α3) · φ′3,

y′S3= r3 cos(φ3 + α3) · φ′

3

(3)

Входными параметрами синтеза машинного агрегата являются: сила технологическогосопротивления MC , закон движения φ1, φ1, φ1 кривошипа 1, соответствующий рабочемуходу ползуна, геометрические размеры звеньев l1, l2, l3 и l0, передаточное отношениеu = ω/ω1 передачи.

Выходными параметрами синтеза являются: m1,m2,m3 – массы соответствующихзвеньев; ai = ri cosαi, bi = ri sinαi, i = 1, 2, 3– координаты центров масс соответству-ющих звеньев; J– момент инерции ротора электродвигателя; JM – момент инерции ма-ховика, если таковой устанавливается на оси кривошипа; J1, J2, J3 – моменты инерцийзвеньев относительно осей их вращений (для шатуна относительно центра масс).


Параметры машинного агрегата определяются из условия минимума среднеквадра-тической величины суммы моментов движущих сил, сил сопротивления и сил инерции,отнесенных к оси кривошипа, для n положений механизма.

Этот критерий имеет следующий вид

ℜ =n∑

i=1

[Jnφ1i +

1

2

∂Jn∂φ1

φ21i −Qi

]2. (4)

В выражении (4) приведенный момент инерции машинного агрегата имеет вид

Jn = Ju2 + JM + J1 + J3φ′23 +m2(x

′2S2

+ y′2S2) + J2φ

′22, (5)

Производная от приведенного момента инерции по обобщенной координате φ1 равна:

1

2

∂Jn∂φ1

= J3φ′3φ

′′3 +m2(x

′S2x′′S2

+ y′S2y′′S2

) + J2φ′2φ

′′2, (6)

Обобщенная сила определяется следующим образом

Q =Mu−MCφ′3 −m1g(a1 cosφ1 − b1 sinφ1)−m2gy

′S2

−m3gy′S3, (7)

Величину MД выразим через параметры A и B статической характеристики асинхрон-ного электродвигателя. Тогда

Q = (A−Buφ1)u−MCφ′3 − g(m1a1 +m2l1) cosφ1 + gm1b1 sinφ1−

gm2a2 cosφ2 · φ′2 + gm2b2 sinφ2 · φ′

2 − gm3a3 cosφ3 · φ′3 + gm3b3 sinφ3 · φ′

3

(8)

Подставим выражения аналогов скоростей в формулу (5), тогда для приведенногомомента инерции можно записать

Jn = J0 + JBφ′22 + 2m2l1a2 cos(φ2 − φ1)φ

′2 − 2m2l1b2 sin(φ2 − φ1)φ

′2 + J3φ

′23 (9)

В формуле (9) введены обозначения

J0 = Ju2 + JM + J1 +m2l21, JB = J2 +m2(a

22 + b22).

Частная производная от приведенного момента инерции примет вид

12∂Jn∂φ1

= JBφ′2φ

′′2 +m2l1a2[cos(φ2 − φ1)φ

′′2 − sin(φ2 − φ1)(φ

′2 − 1)φ′

2]−−m2l1b2[sin(φ2 − φ1)φ

′′2 + cos(φ2 − φ1)(φ

′2 − 1)φ′

2] + J3φ′3φ

′′3

(10)

Если ввести обозначения Fa(φ1) = cos(φ2−φ1)φ′2 и Fb(φ1) = sin(φ2−φ1)φ

′2, то выражения

(??) и (??) могут быть записаны

Jn = J0 + JBφ′22 + 2m2l1a2Fa(φ1)− 2m2l1b2Fb(φ1) + J3φ

′23 (11)

1

2

∂Jn∂φ1

= JBφ′2φ

′′2 +m2l1a2F

′a(φ1)−m2l1b2F

′b(φ1) + J3φ

′3φ

′′3 (12)

Е.К. Утебаев Динамический синтез механизма . . . 78

Выражение, заключенное в квадратных скобках условия (5), называется функциейотклонения ∆. Она с учетом соотношений (8)-(12) получает вид

∆ = J0φ1 + JB(φ′22φ1 + φ′

2φ′′2φ

21) +m2a2[2l1Fa(φ1)φ1 + l1F

′a(φ1)φ

21+

g cosφ2 · φ′2]−m2b2[2l1Fb(φ1)φ1 + l1F

′b(φ1)φ

21 + g sinφ2 · φ′

2]+

J3(φ′23φ1 + φ′

3φ′′3φ

21) + g(m1a1 +m2l1) cosφ1 − gm1b1 sinφ1+

gm3a3 cosφ3 · φ′3 − gm3b3 sinφ3 · φ′

3 − Au+Bu2φ1 +MCφ′3

(13)

Функция отклонения ∆ представляется в виде обобщенного полинома [2]

∆i = [P1f1(φ1i) + P2f2(φ1i) + . . .+ P11f11(φ1i)− F (φ1i)]2 (14)

Тогда критерий оптимальности (??) машинного агрегата принимает вид

ℜ =n∑

i=1

[P1f1(φ1i) + P2f2(φ1i) + . . .+ P11f11(φ1i)− F (φ1i)]2 (15)

Здесь приняты следующие обозначения

P1 = J0, P2 = m1b1, P3 = JB, P4 = m2a2, P5 = m2b2, P6 = Au,P7 = Bu2, P8 = m1a1 +m2l1, P11 = J3, P9 = m3a3, P10 = m3b3

(16)

F (φ1) = −MCφ′3 (17)

f1(φ1) = φ1, f3(φ1) = φ′22φ1 + φ′

2φ′′2φ

21, f6(φ1) = −1, f7(φ1) = φ1, f8(φ1) = g cosφ1,

f11(φ1) = φ′23φ1 + φ′

3φ′′3φ

21, f2(φ1) = −g sinφ1, f9(φ1) = g cosφ3 · φ′

3,f10(φ1) = −g sinφ3 · φ′

3, f4(φ1) = 2l1Fa(φ1)φ1 + l1F′a(φ1)φ

21 + g cosφ2 · φ′

2,

f5(φ1) = −2l1Fb(φ1)φ1 − l1F′b(φ1)φ

21 − g sinφ2 · φ′

2 (18)

Условия минимума функции (15) дают систему уравнений, из которой определяютсякоэффициенты P1, P2, . . . , P11

∂ℜ∂Pk

= 0, k = 1, 2, . . . , 11 (19)

Эта система уравнений в развернутой форме имеет вид:C11P1 + C12P2 + . . .+ C1,11P11 = σ1C21P1 + C22P2 + . . .+ C2,11P11 = σ2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·C11,1P1 + C11,2P2 + . . .+ C11,11P11 = σ11

, (20)

Где

Cjk = Ckj =n∑

i=1

fj(φ1i)fk(φ1i), σk =n∑

i=1

F (φ1i)fk(φ1i), j, k = 1, 2, . . . , 11 (21)

После нахождения коэффициентов P1, P2, . . . , P11 определяются физические пара-метры из соотношений (16).


Обычно момент инерции выходного звена J3 задается исходя из технологическихтребований. В этом случае порядок системы линейных уравнений уменьшается на 1,т.е. k = 1, 2, . . . , 10 и окончательная система примет вид

10∑j=1

CkjPj = σk, k = 1, 2, ..., 10,

Где

Cjk = Ckj =n∑

i=1

fj(φ1i)fk(φ1i), σk =n∑

i=1

F (φ1i)fk(φ1i), j, k = 1, 2, . . . , 10

В нашем случае изменится только выражение для функции F (φ1)

F (φ1) = −MCφ′3 − J3(φ

′23φ1 + φ′

3φ′′3φ

21) (22)

Формирование коэффициентов Cjk, σk и решение системы уравнений осуществлялосьв интегрированной среде Maple.

Был выполнен синтез машинного агрегата по следующим исходным данным:J3 = 0.2 кгм2, l1 = 0.04м, l2 = 0.12м, l3 = 0.1м, l0 = 0.16м, MC = 2Нм, u = 5,

ωc = 20c−1.Коэффициенты полинома (??) для ν1 = 7π/9 равны:

P1 = 54.755, P2 = 119.49, P3 = 0.383, P4 = 16.91, P5 = −78.713, P6 = −574.25,P7 = 19.055, P8 = 124.86, P9 = −20.422, P10 = 2.36

Физические параметры машинного агрегата:J0 = 2.1022кгм2, S1x = 1.2619кгм, JB = 0.02478кгм2, S2y = 0.1263кгм,S2x = 0.2023кгм, A = 304.56Нм, B = 2.015Нмс, S1y +m2l1 = −8.1963кгм.Угловая скорость холостого хода электродвигателя ωo = 151, 15 1/с, число обо-

ротов электродвигателя в минуту no = 1443 об/мин. Принимаем no = 1500 об/мин,ωo =

1500·π30

= 157 1/с. Номинальная угловая скорость вала электродвигателя nн = 1390об/мин, ωн=145,5 1/с. Номинальный момент электродвигателя Mн = A−B · ωн = 11, 38Н·м. Номинальная мощность электродвигателя Pн =Mн · ωн · 10−3 = 1, 655 кВт.


[1] Burmester L. Lehrbuch der Kinematic, Leipzig, 1888.

[2] Schoenfliss A. Geometrie der Bewegung in Synthetischer Darstellung. Leipzig, 1886. –194.

[3] Добровольский В.В. О точках Бурместера в сферическом движении. ПММ,1945, т.IX, 6. - С. 480-491.

[4] Добровольский В.В. Синтез сферических механизмов. В кн.: Труды семинара поТММ. М.: Изд-во АН СССР. - Т. 1, вып. 1. - С. 5-20.


80 Мамыкова,Надирбаева, Жайдарова,Кистаубаев Модель единой интегрированной

УДК 004.051

Ж.Д. Мамыкова, Г.М. Надирбаева, А.М. Жайдарова, Е.Б. Кистаубаев


Модель единой интегрированной информационнойсистемы управления университетом

В данной статье рассмотрены тенденции развития информатизации в решении ком-плексной задачи управления вузом и повышения качества научно-образовательныхпроцессов. Рассмотрены задачи и проблемы, с которыми сталкиваются вузыпри внедрении ИКТ. Представлена концептуальная модель информационно-образовательного пространства. На основе проведенного анализа бизнес-процессоввуза, а также определения компонентов информационно-образовательной средывуза, авторами предлагаются пути развития корпоративной информационной систе-мы (КИС), позволяющей повысить эффективность административного управленияуниверситетом и качественное функционирование системы управления учебнымпроцессом. Авторами рассмотрены цели и задачи разработки и внедрения КИСвуза, определена структура КИС, представляющая собой систему проектов, которыеформируют информационное обеспечение управления университета и базирующаясяна идее интеграции. Предложена схема информационного взаимодействия сущностейинформационной инфраструктуры университета, а также представлена концепцияархитектуры КИС вуза.В заключении представлено краткое описание каждого компонента КИС на примереКИС Казахского национального университета им.аль-Фараби.Ключевые слова: Корпоративная информационная система, информационно-образовательное пространство, концептуальная модель, бизнес-процесс, интеграция.

Ж. Ж. Мамықова, Ғ. М. Надирбаева, А.М. Жайдарова, Е.Б. Қыстаубаев,Университеттi басқарудағы бiртұтас интеграцияланған ақпараттық

жүйелердiң үлгiсi

Мақалада ЖОО басқару бойынша кешендi мiндеттердiң шешiмдерiн ақпараттан-дырудың даму үдерiсi және сапаның жоғарылауы ғылыми - бiлiм беретiн үдерiстерқарастырылды. ЖОО-ға АКТ енгiзуде туындайтын мәселелер мен мiндеттер қарас-тырылды. Концептуалды үлгi ақпараттық - бiлiм беретiн кеңiстiкте таныстырылған.Өткiзiлген ЖОО-ның бизнес-үдерiсi бойынша талдау, сонымен бiрге, авторлар ЖОО-да ақпараттық-бiлiм беретiн орта компоненттерiн анықтау, университеттiң әкiмшiлiкбасқаруындағы тиiмдiлiк және оқу үдерiсiн басқару жүйесiнiң сапалы қызмет етуiнеарналған корпоративтi ақпараттық жүйесiнiң даму жолдарын ұсынады (КАЖ). Ав-торлар жобалар жүйесiмен танытырылатын ЖОО-да АКТ әзiрленуi, ендiрiлуi бойын-ша мiндеттер мен мақсаттарды қарастырды. Ақпараттық инфрақұрылымға ақпараттық


әсер ету кестесi, сонымен бiрге, ЖОО-ның КАЖ концепциясы мен архитектурасы ұсы-нылды. Қорытынды бөлiмiнде әр компоненттiң қысқаша суреттемесi КАЖ әл-Фарабиатындағы Қазақ ұлттық университетiнiң мысалында көрсетiлген.

Түйiн сөздер: Корпоративтi ақпараттық жүйе, ақпараттық - бiлiм беретiн кеңiстiк,концептуалды үлгi, бизнес-үдерiс, интеграция (ықпалдасу).

Z. Mamykova, G. Nadirbaeva, A. Zhaydarova, E. Kistaubaev,Model of a single integrated information system of university management

This article examines the trends in the development of informatization in solving thecomplex issues of university management and the quality of the scientific and educationalprocesses. The challenges and problems that higher educational institutions faces in theimplementation of ICT are observed. The conceptual model of the information and educationalspace is presented. The authors propose the ways of development of a corporate informationsystem (CIS) that allows enhancing the university administration and the process of academicperformance management system based on the analysis of business processes of the university,as well as defining the components of information and educational environment of the university,The authors examined the goals and objectives of development and implementation of universityCIS, determined the structure of CIS, that is a system of projects that form the informationsupport of the University management and is based on the idea of integration. A scheme forinformation exchange of the information entities of University infrastructure is introduced aswell as the concept of the University CIS structure.

In conclusion, a brief description of each component of the CIS is given, drawn on theexample of Al-Farabi Kazakh National University.

Key words: Corporate Information System, Informational and educational space, Theconceptual model, Business process, Integration.

Актуальность. Одним из мировых направлений развития системы образования яв-ляется информатизация и усиление инновационной деятельности. Информатизация, кактехнико-технологическая база становления информационного общества, выступает на-циональным стратегическим ресурсом развития, характеризующим не только общийуровень социального и культурного развития государства, но и его место в глобальномпроцессе мирового развития. Не случайным является стремление всех развитых странсоздать наиболее совершенную информационную индустрию, которая способна в полномобъеме отвечать уровням запроса общественного развития. Поэтому правильно структу-рированное информационное обеспечение является основой организованности системы,ее мобильности, способности определять основные направления изменяющихся усло-вий. Поддержка процессов информатизации общества, достижение качественно новыхсостояний в сфере образования, информационной культуры – определяется как страте-гическая задача перехода к Электронному Правительству («e-правительству»). Инфор-матизация образования – это информационно-технологическая основа образовательно-го процесса (научно-педагогические исследования информационно-коммуникацион–ныхтехнологий (ИКТ), интеграция ИКТ и образовательных технологий, дистанционное ивиртуальное обучение, индивидуализация обучения, информационные ресурсы, банкданных научно-технологического потенциала и инноваций, телекоммуникационные цен-тры, программно-аппаратное обеспечение), относится к содержательно-ориентирующейгруппе факторов определяющих развитие высшей школы.


Исторически сложилось, что развитие информатизации в Казахстане происходилопо «островному принципу», поэтому же пути развивались процессы информатизациии в университетах республики. В республике Казахстан и в странах СНГ практическив каждом вузе имеются примеры внедрения информационных систем, автоматизирую-щих различные направления деятельности. Как правило, это программы бухгалтерскогоучета, учета кадров, автоматизации библиотеки, обеспечения дистанционного образова-ния. Однако, нигде проблема создания единой информационной системы, охватывающейвсе стороны деятельности современного университета, не решена окончательно. Вузысталкиваются с проблемами интеграции существующих информационных систем, обес-печения безопасности, разграничения прав доступа, кроме того актуальным остаетсяпроблема интеграции информационных систем вузов с отраслевым министерством.

Современное состояние процессов информатизации в образовании задает два основ-ных направления:

• содержательное, связанное с формированием нового содержания самого образова-тельного процесса и эффективности коммуникативных систем образования;

• инструментально-технологическое, связанное с использованием новых возможно-стей средств информационных технологий.

Развитие процессов информатизации ведет к формированию не только динамичнойобменной среды обитания людей, но и внедрению новых представлений о коммуника-ционной структуре профессиональной деятельности как внутри университета, так и заего пределами. Это означает, что изменение традиций взаимодействия преподавателей,студентов и сотрудников в системе университетского образования неизбежно. Оно свя-зано с развитием форм открытого коммуникативного взаимодействия, обеспечивающегоинтенсивный обмен идеями и опытом.

Управление вузом, повышение качества научно-образовательного процесса – ком-плексная задача, требующая для принятия решений систематического и своевременногоанализа всесторонней и достоверной информации о состоянии и проблемах деятельно-сти вуза, что возможно только в результате внедрения современных информационныхтехнологий в процесс управления вузом и постоянного их совершенствования. Поэтомувысшие учебные заведения ведут постоянный поиск эффективных способов управле-ния научно-образовательной деятельностью (НОД), в связи, с чем получает развитиеинформационная инфраструктура университета.

Сегодня очень велика значимость информационного обеспечения управления, по-этому развитие процессов информатизации являетсяодной из главных стратегическихзадач развития университета. Имеющиеся при университетах программные решения поавтоматизации деятельности вуза, представляют собой два типа решения:

1 тип: собственная разработка, которая отдельными вузами развивается в соответ-ствии с требованиями контролирующих органов образования и новыми тенденциямитехнологий программирования, это в лучших случаях, в отдельных случаях эта разра-ботка становится не жизнеспособна, и вузы ищут выход, приобретая 2 тип программногорешения;

2 тип: разработка частной ИТ-компании. Данный тип разработок очень рискован-ный, так как компании не до конца исследуют предметную область управления де-ятельностью вуза, решение не всегда универсально, в большей степени заточено под


конкретный процесс какого-то вуза. Кроме того, на рынке появляются решения запад-ного производителя, организация бизнес-процесса которого очень сильно отличается ототечественной модели, что также не очень приемлемо для быстрой адаптации решенияпод нужды вуза.

Таким образом, оба типа решения имеют свои недостатки. Самый главный недоста-ток этих систем – это автономность решения в пределах конкретной решаемой зада-чи. Это приводит к тому, что при постановке задачи интеграции основного ядра та-ких программных решений с другими системами нет возможности интегрировать бездополнительных усилий (привлечения программистов, приобретения дополнительногоконвектора, который в большей своей части будет разрабатываться под конкретнуюзадачу). Сегодня задачи интеграции становятся актуальными, в связи с развитием та-ких проектов в университетах, как внедрение системы контроля доступа посредствомидентификационных карт, развитие проекта электронного правительства, электронногообразования.

В настоящее время в большинстве казахстанских высших учебных заведениях ин-форматизация административной, учебной и научной деятельности имеет свою эволю-цию развития. Вузы пошли по пути разработки собственных программных решений,которые возникали по мере формирования потребности автоматизации тех или иныхзадач административного и учебного характера.

1. Концептуальная модель информационно-образовательного простран-ства университета

Основной особенностью развития университета является развитие его коммуника-ционного потенциала при помощи новых информационных технологий, что позволитполучить следующие результаты [4,5]:

• единое информационно-образовательное пространство университета, построенноена основе передовой системы управления знаниями;

• интеграция единого информационно-образовательного пространства университетав мировую вузовскую систему;

• широкое внедрение ИКТ в процессы обучения и воспитания;

• формирование полномасштабного электронного образовательного и научного кон-тента;

• обеспечить надежный высокоскоростной оперативный доступ к разнообразным ис-точникам информации;

• эффективная система управления университетом, учета и отчетности;

• повышение оперативности и качества принятия управленческих решений;

• доступность и открытость образования;

• рост рейтинга университета на рынке образовательных услуг;


• достигнуть нового уровня мобильности и конкурентоспособности студентов и вы-пускников;

• значительно повысить производительность труда профессорско-преподавательскогосостава и эффективность аудиторной и самостоятельной работы студентов;

• достигнуть нового уровня результативности в освоении знаний, умений и навыков.

Достижение данных результатов возможно на основе корпоративной информацион-ной системы (КИС), позволяющей повысить эффективность административного управ-ления университетом и качественное функционирование системы управления учебнымпроцессом.

Корпоративная информационная система управлениявузом (КИС) представляет со-бой комплекс программ, направленных на автоматизацию и управления различныхбизнес-процессов вуза, базирующихся на процессном подходе, что позволяет системноразвивать каждое направление деятельности вуза и организовывать работы по созданиюи сопровождению программных разработок сотрудниками информационных подразде-лений вуза.

Авторы [6] предлагают рассматривать информационную среду как средство жиз-недеятельности вуза, расширяя требования к среде, как инструментальному средствуработы всех сотрудников вуза и обучению всех его студентов (имея в виду все уровниобразования), в отличие от общепринятого понимания, которое присуще многим вузам:рассматривать информационную среду, с одной стороны, как средство обеспечения об-разовательного процесса и повышение его качества, с другой – как средство поддержкиуправления вузом. Такое отношение к информационной среде вуза ориентирует вузы пе-ресмотреть свое информационное обеспечение управления деятельностью университетаи решать задачи по развитию КИС управления вуза через интеграционные механизмы,модели и технологии АИС и ИТ.

Оболочкой функционирования КИС вуза, является информационно-образовательнаясреда (ИОС). ИОС университета (рис. 1) представляет собой не только пространство,где аккумулируются различные информационные ресурсы, это также среда, предостав-ляющая широкий спектр электронных сервисов, ориентированных на конкретного поль-зователя.

На рисунке 1 компоненты ИОС соответствуют основным бизнес-процессам вуза (дея-тельности): учебно-воспитательный, научно-исследовательский, административно-упра–вленческий и финансово-экономический, каждый из которых характеризуются основны-ми информационными системами (ИС) автоматизации бизнес-функций этого направле-ния деятельности. Данные ИС являются базовыми, которые необходимы для развитияКИС вуза, в силу уровня взаимоотношений отдельных бизнес-функций между собой врамках одного направления деятельности или между разными направлениями деятель-ности формируются интеграционные связи.

Во многих вузах КИС управления представляет собой только ИС автоматизацииучебного процесса и финансово-экономической деятельности, которые развиваются па-раллельно, в которых либо отсутствуют интеграционные связи, либо очень плохо междусобой интегрированы.


Информационно-образовательная среда университета вмещает в себя как методи-ческое, программное, так и аппаратное обеспечение, и состоит из множества компо-нентов. Это, во-первых, КИС вуза, предоставляющая всю необходимую информациюо деятельности вуза, открывающая доступ к системе дистанционного обучения, си-стеме управления учебным процессом, системе предоставления корпоративных услуг(онлайн система печати, корпоративная почта, услуги электронной библиотеки и др.).Во-вторых, система информационного обеспечения управления деятельностью вуза (си-стемы автоматизации финансово-экономической деятельности, система планирования ирейтинга, система мониторинга и анализа), в-третьих, учебно-методические материалы(электронный учебный контент), в-четвертых, информационный сайт, обеспечивающийимиджевую деятельность в информационном пространстве. И, наконец, в-пятых – ме-тодология управления ориентированного на результат, направленная на организациюбизнес-процессов университета ориентированных на результат.

Рис. 1: Компоненты информационно-образовательной среды университета

На рисунке 2 приведено схематичное представление формирования ИОС университе-та, которое мы понимаем как открытую часть информационной инфраструктуры вуза,за счет организации сложной архитектуры интеграционных связей между компонента-ми КИС вуза и управляющими механизмами аппаратного обеспечения. Такое представ-ление позволяет различить программное обеспечение, генерирующее информационно-программный сервис КИС с организацией корпоративных электронных услуг, которыеявляются аппаратнозависимыми.

Главной целью разработки и внедрения КИС вузом является создание гибкой и


масштабируемой информационной системы, которая позволяет объединить внутрен-ние бизнес-процессы вуза, осуществлять мониторинг и анализ, обеспечивать управлениеключевыми ресурсами и сервисами, тем самым способствуя улучшению качества обра-зовательных услуг, повышению эффективности управления университетом.

Основные задачи, которые решаются построением КИС вуза:

• формирование единого информационного ресурса, отражающего состояние научно-образовательного процесса, а также обеспечивающего своевременное и оператив-ное размещение полной, объективной, достоверной и непротиворечивой информа-ции об учебном процессе вуза;

Рис. 2: Схематическое представление формирования информационно-образовательнойсреды университета

• обеспечение единой для всех пользователей информационной среды, интерактив-ных пользовательских сервисов, общих стандартов подготовки информационныхматериалов и нормативно-справочных ресурсов;

• организация взаимодействия и информационного обмена между основным ядромКИС и другими информационными ресурсами и системами в необходимых режи-мах, а также обеспечение эффективных двухсторонних коммуникаций и каналовобратной связи;


• создание единого стиля оформления, обеспечение централизованного доступа ксведениям о деятельности подразделений университета, а также удобной навига-ции и поиска по всему информационному наполнению портала;

• реализация средств безопасности КИС и информационно-образовательной средывуза, которые должны повысить надежность эксплуатации, защищенность дан-ных, скорость реагирования на внешние изменения в процессе их использования иразвития;

• обеспечение сотрудников вуза инструментом труда, уменьшающего долю рутинно-го бумажного труда с одновременным увеличением возможностей для обоснован-ного анализа, планирования и принятия решений;

• предоставление возможности студентам средств и технологий обучения.

В условиях рыночной экономики для вузов характерен многопрофильный характерорганизации своей деятельности: управление учебно-воспитательным процессом, орга-низация научных исследований, административное управление и управленческий учет,финансы, управление информационными ресурсами и т.п. Все это возможно организо-вать, управлять, контролировать при эффективной организации КИС управления всейдеятельностью вуза, для этого необходимо иметь программные решения для автомати-зации следующих процессов каждого направления деятельности [4,5]:

• Управление вузом (административно-управленческая деятельность): система ст–ратегического индикативного планирования научно-образовательной деятельно-сти на уровне университета, факультета, кафедры и ППС;система управленияпланами действий на оперативный период планирования;система стимулированияи оценки деятельности ППС, зав. кафедр, деканов и структурных подразделе-ний (рейтинговая система);система мониторинга оценки научно-образовательнойдеятельности по ключевым показателям эффективности на уровне университета,факультета, кафедры и ППС;система управления менеджментом качества;системауправления персоналом, организационной структурой и контролем доступа;системауправления недвижимостью и помещениями;система управления электронным до-кументооборотом;система управления общежитием;поддержка принятия решений,позволяющая построить SWOT-анализ, путем интеграции с системой мониторин-га ключевых показателей эффективности;система администрирования социально-имиджевой деятельности.

• Учебный процесс: система управления учебными планами и программами;системапостроения индивидуальной траектории обучения;система учета учебно-методи–ческого обеспечения дисциплин;система управления расписанием;система контро-ля знаний студентов; система электронного обучения;система управления курсо-выми и дипломными проектами;система управления практикой студентов;системауправления электронными образовательными ресурсами;система электронной биб-лиотеки.


• Управление учебным процессом: система управления учебной деятельностью;системауправления приемной комиссией;система администрирования дистанционного обу-чения;система интерактивного взаимодействия;система управления учебным доку-ментооборотом;система анализа статистической отчетности по результатам успева-емости;система многомерного OLAP-анализа;система начисления стипендий;системарасчета учебной нагрузки;система формирования штатного расписания;системууправления кураторско-эдвайзерской деятельностью.

• Управление научно-исследовательской деятельностью: система учета научно-иссле–довательской деятельности в разрезе ППС, кафедры, факультета, университета;система учета публикаций, диссертаций, научно-исследовательских работ, гран-тов, заявок и т.п.;система управления конференциями;система учета научно-иссле–довательских работ студентов;система управления деятельностью диссертацион-ных советов;система регистрации на научную стажировку;система управления меж-дународной деятельностью.

• Управление информационной средой: система управления учетными записями поль-зователей информационной среды;система управления ролевой политикой КИСвуза;система администрирования интернет-ресурсов и информационного сайта ву-за;система управления контентом информационного сайта;система обучения пер-сонала по использованию КИС вуза.

• Управление финансово-экономической деятельностью: система управления бух-галтерией;система финансового анализа;система управления гос. закупками;системауправления учета материальных ресурсов;система управления ИТ-оборудованием;система интеграции с другими подсистемами по интеграции организационных спра-вочников.

Реализация и внедрение таких прикладных информационных проектов обеспечиваетреализацию принципов непрерывности и преемственности образовательных программ,системную интеграцию учебно-методических наработок в различных областях, а такжедоступ к информационно-образовательным ресурсам, независимо от места нахождениясамого обучаемого и образовательного ресурса или услуги, в которой он нуждается, атакже возможность выбора индивидуальной образовательной траектории, в конечномсчете, осуществляется эффективность учебного процесса и качество образовательныхуслуг.


2. Структура КИС вуза

КИС вуза представляет собой систему проектов, которые формируют информацион-ное обеспечение управления университета. Информационные системы (как часть КИС)состоят из элементов пользовательского интерфейса, а также программ, серверных ком-понентов и хранимых процедур баз данных, реализующих собственно бизнес-логику.Пользователь КИС обычно обращается к проекту для выполнения некоторой задачи.Систему проектов КИС вуза можно представить в виде схемы взаимодействия проек-тов (рис. 3). Связи на рисунке 3 представляют информационные связи, поясняющие,как между собой взаимодействуют системы, через какие модули, какого типа решенияи какие данные могут быть переданы по этим каналам связи. Стрелки без направленийозначают, что данные проекты имеют разнородную платформу и интегрированы в КИСпо определенным сценариям обмена, обработки и сохранения данных.

Рис. 3: Схема информационного взаимодействия проектов информационной инфра-структуры университета

КИС на схеме представлена, как основное ядро, которое за счет разнообразия инфор–мационно-интеграционных связей может быть развита до уровня информационно-аналитиче–ской системы управления вузом. Проекты между собой взаимодействуют по следующимсвязям:

Связь A– данное взаимодействие с учебным процессом, осуществляется за счет при-кладных программных решений, направленных на организацию управления электрон-ными образовательными ресурсами (ЭОР), которые обеспечивают учебный процесс элек-тронными учебными материалами, открытые ЭОР доступны не авторизированным поль-зователям как сервисы электронной библиотеки.


Связь D – представляет собой сложную связь, позволяющую связывать индикатив-ные планы на текущий учебный год с системой рейтингового анализа, для реальнойоценки научно-образовательной деятельности ППС и структурных подразделений иавтоматического формирования рейтинговых баллов, а также выявления отклоненияпланируемой работы от фактической ситуации и принимать управляющие решения покаждому ППС и структурному подразделению.

Связи B, F и K – это сложные связи, которые характеризуют, как между собой свя-заны индикативные показатели развития научно-образовательной деятельности с основ-ными результатами анализа учебного и воспитательного процесса, научно-исследователь–ской деятельности, для выявления отклонения от желаемых целей, и выявления причинотклонения, которые проводятся в контрольные точки учебного года. Такой анализ поз-волит осуществлять корректирование управления для достижения поставленных целейи в дальнейшем будет служить для планирования более вероятностных показателей.

Связи C, E и L – показывают, как результаты анализа учебного и воспитательногопроцесса, научно-инновационной деятельности автоматически учитываются в рейтинго-вой системе оценки научно-образовательной деятельности преподавателя и структурныхподразделений, обеспечивая тем самым автоматический контроль над достоверностьюпредоставляемых данных по рейтингу, открытость и прозрачность. Социальный эф-фект этой связи огромный, так как позволяет осуществлять многоуровневый контрольи независимый сбор данных, оперативный характер подготовки конвертации данных изодного проекта в другой. Примеры связей: организация учебного процесса для студен-тов обучающихся дистанционно; автоматический расчет рейтинговых баллов за разра-ботку тестовых материалов; средние показатели успеваемости по факультетам, кафед-рам, специальностям, группам; ведение журнала учета деятельности по мероприятиямсоциально-воспитательного характера; учет публикаций ППС в разрезе типов изданийи конференций.

Связь G – представляет собой связь, учитывающую как организована система ди-станционного обучения, для определения активности преподавателей и студентов, авто-матического учета введенных типов электронных учебно-методических комплексов дис-циплин (ЭУМКД), тем самым, показывая, как происходит наполнение системы управ-ления учебным процессом учебными материалами и график активности объектов обра-зовательного процесса, эти результаты автоматически, как независимые данные отоб-ражаются в системе рейтингового анализа.

Связь H – представляет собой связь, позволяющую связывать индикативные планына текущий учебный год с системой управления ЭОР для реальной оценки организациии управления ЭОР и определения реального состояния ресурсов учебных и научныхматериалов.

Связи M и K – представляют собой интеграционные связи между платформой КИС,1С-Бухгатерии и Системы электронного документооборота для синхронизации единыхсправочников по организационной структуре и персоналиям, с целью актуализации иунификации одного источника подобных данных в информационной инфраструктуреуниверситета.

Связь N – представляет собой интеграционную связь по обмену данными о материально-технических ценностях для развития системы управления материально-техническимобеспечением и анализа готовности аудиторного фонда к началу учебного года с при-


вязкой к сетке расписания учебного процесса за счет связи Р.Связь P – является информативной связью получения сведений о материально-

техническом обеспечении основных учебных объектах вуза, за счет консолидации дан-ных из систем управления бухгалтерии, аудиторного фонда, материально-техническогообеспечения, тем самым развивая систему мониторинга и анализа внутреннего состоя-ния деятельности университета в комплексе КИС.

Связь J – представляет связь позволяющая получать актуальные данные со всехинтеграционных систем КИС, с целью предоставления имиджевых сведений как поуниверситету, структурному подразделению и по персональным сведениям ППС, путемавтоматического генерирования веб-страницы ППС, при приеме на работу, с возможно-стью самостоятельного администрирования.

Связь R – является транспортной связью для транспортировки документов учеб-ного документооборота, созданного на платформе КИС, с целью его утверждения ипродвижения как документа системы электронного документооборота в соответствии сопределенным маршрутом, что позволит генерировать из одной системы учета и реги-страции внутренних и внешних документов систему электронного архива.

Связь S – является информативной связью для предоставления основных сведе-ний организации учебного процесса для конкретного студента, с целью предоставленияэлектронного сервиса по принципу «одно окно – одна система предоставления данных»,что позволит создать набор сервисов и процедур по основным бизнес-функциям всейдеятельности вуза.

Связи на рис. 3 могут быть двусторонними и однонаправленными. Первый тип ха-рактеризует, что каждый из проектов в результате такого взаимодействия может бытьизменен, т.е. может измениться его управляющая информация, или лучше сказать базазнаний, или измениться результат функционирования процесса, описываемого в кон-кретном проекте, тем самым осуществляется обратная связь.

Таким образом, для эффективного функционирования системы управления вузомнеобходимо в состав компонентов информационно-образовательной среды включить ана-литическую систему обработки данных, которая должна быть реализована в виде систе-мы принятия и поддержки решения, поскольку системы такого типа позволяют админи–стративно-управленческому персоналу сформировать оптимальный план развития НОДвуза из совокупности аналитических данных.

Представленная на рис.3 система проектов КИС базируется на идее интеграции. ДляКИС вуза характерно три типа интеграции: данных, приложений и бизнес-процессов.В зависимости от типов связей между проектами КИС вуза, интеграция может выпол-няться на таких уровнях, как [6, 7]:

• на уровне импорта/экспорта данных через обменные форматы;

• на уровне репликаций данных;

• на уровне интеграции данных налету – интеграции по требованию;

• на уровне интеграции приложений;

• на уровне интеграции бизнес-процессов.


Та практика, что имеется на сегодняшний день по архитектуре КИС управления ву-зом, в основном ориентирована на первые четыре типа интеграции. Интеграцию бизнес-процессов актуально рассматривать, когда процессы информатизации перейдут на но-вый уровень зрелости – управления сервисом, тогда можно будет осуществлять инте-грацию бизнес-процессов для предоставления личностно-ориентированного сервиса.

3. Концепция архитектуры КИС управления вузом

Концепция архитектуры КИС в контуре управления деятельностью университетапредставлена на рис. 4. КИС вуза является распределенной системой с «клиент-серверной»архитектурой.

В КИС вуза необходимо различать следующие источники данных: транзакционныеисточники данных, хранилища данных, витрины данных. Данные в систему могут зано-ситься как вручную, так и автоматически. На этапе первоначальной фиксации данныедолжны поступать через системы сбора и обработки информации в транзакционные ба-зы данных, которых может быть несколько. Транзакционные источники данных, могутбыть не согласованы друг с другом (например, базы данных студентов, аудиторногофонда, индикативных планов, реестр выполненных задач, мероприятий/конференций),то для анализа таких данных требуется их объединение и преобразование. Информацияиз транзакционных источников данных должна преобразовываться и очищаться, т.е.осуществляется консолидация данных, в результате чего данные должны поступать ваналитические базы данных. В качестве аналитических баз данных, нужно пониматьхранилища данных или витрины данных, представляющие собой основные источники,из которых лицо, принимающее решение (ЛПР) (аналитик) получает информацию, ис-пользуя соответствующие современные методы и технологии автоматизированных ин-формационных систем (АИС) и информационных технологий (ИТ), а также финансо-вого, стратегического и экономико-математического анализа.

При такой схеме движения информации КИС вуза должна обеспечивать пользо-вателям доступ к аналитической информации, защищенной от несанкционированногоиспользования и открытой для пользователей сети Интранет и Интернет.

Таким образом, архитектура КИС вуза состоит из уровней (рис.4) [9]:

1) сбор и первичная обработка данных;

2) извлечение, преобразование и загрузка данных;

3) складирование данных;

4) представление данных в витринах данных;

5) анализ данных;

6) Web-портал.

Архитектура КИС вуза построена на базе трехзвенной клиент-серверной технологиис тонким клиентом, которая представлена на рисунке 5. Такое концептуальное представ-ление архитектуры КИС унифицировано практически для большинства АИС управле-ния вузом.

Архитектура КИС вуза должна соответствовать следующим принципам:


Рис. 4: Концепция архитектуры КИС вуза

• единая точка входа ко всем информационным ресурсам;

• разделение информационных ресурсов на открытые и закрытые на уровне базданных;

• определение уровня доступа к закрытым информационным ресурсам при автори-зации пользователя в системах КИС;

• однократная авторизация пользователя при получении доступа к различным ре-сурсам;

• интеграция систем путем создания единой базы данных пользователей и их при-вилегий для всех информационных ресурсов;

• поддержка распределенной обработки информации;

• интерактивность – коммуникационная среда: преподаватель – студент, сотрудник– студенты, сотрудник - сотрудник.

В процессе проектирования КИС вуза необходимо определить структуру будущейсистемы, взаимодействие всех ее подсистем (рис. 6) [5].

Рассмотрим более подробно каждый компонент КИС по автоматизации всей дея-тельности вуза.


Рис. 5: Архитектура КИС вуза

Рис. 6: Архитектурное представление информационно- коммуникационной структурыКИС вуза


4. Краткое представление систем КИС вуза на примере Казахского наци-онального университета им.аль-Фараби

Система управления учебной деятельностью.АИС управления учебной деятельностью Казахского национального университета

имени аль-Фараби «UNIVER» (www.univer.kaznu.kz) представляет собой интегрирован-ный информационно-программный комплекс, который обеспечивает управление учеб-ными планами в соответствии с государственными стандартами, формирование ака-демического календаря, управление учебно-методическим обеспечением, формированиедисциплинарных групп и регистрация студентов на дисциплины, анализ и мониторингучебного процесса и организации банка данных электронных, учебных и методическихматериалов по каждой дисциплине, охват всех этапов процесса обучения от поступлениядо выпуска с подготовкой соответствующих документов.

Рис. 7: Отдельные фрагменты КИС вуза КазНУ им.аль-Фараби

Система индикативного планирования и рейтинговой оценки деятельности.Система «Индикативного планирования и рейтинговой оценки деятельности» пред-

назначена для формирования и анализа среднесрочного индикативного плана научно-образовательной деятельности высшего учебного образования и рейтинговой оценки де-ятельности ППС, кафедр и факультетов.Данная ИС позволяет автоматизировать со-ставление индикативных планов, определение эффективности реализации плана и до-стижимости показателей, составление паспорта показателя, разработка плана меропри-ятий по достижению конечных результатов, мониторинг хода и оценка результатов ихвыполнения по установленным на планируемый период комплексным индикаторам и по-


казателям, подготовкапроцедурконвертации данных интегрируемых систем, путем ак-тивизации процедур автоматического расчета значений по формулам показателей (дляиндикативного планирования - это значения, для рейтинговой анкеты – расчет баллов).

Система учета научно-исследовательской и инновационной деятельностиИнформационная система управления научно-исследовательской и инновационной

деятельностью вуза «Science.kaznu.kz» предназначена для автоматизации учета, анали-за, мониторинга и управления научно-исследовательской и инновационной деятельно-стью университета и его дочерних научных организаций. Информационная система поз-воляет автоматизировать процессы управления исследовательскими, опытно-конструкто–рскими и технологическими работами, мониторить и оперативно представлять в элек-тронной форме данные о результатах научной и инновационной деятельности, обеспе-чить архивное хранение всех аналитико-статистических отчетов в разрезе конкретныхпоказателей и видов деятельности.

Система электронного документооборота.Система электронного документооборота (СЭД) – «Directum»,нацелена на форми-

рование единой политики и координирования работ в области электронного управле-ния документами, эффективное управление документами втечение всего их жизнен-ного цикла (создание, разработка, согласование, утверждение, регистрация, хранение,контроль исполнения, работа, рассылка, использование, маршрутизация, архивирова-ние), автоматизация системы учета канцелярской деятельности (регистрация бумажныхдокументов; ведение номенклатуры дел с гибкими правилами нумерации документов;быстрый поиск необходимой информации по состоянию, наличию, движению бумажныхдокументов; контроль над исполнением бумажных документов; получение необходимыхстандартных форм и журналов, а также статистических отчетов по документооборотувуза), создание электронного архива университета, оптимизация существующих дело-вых процессов документооборота.

Системы открытого доступа — интернет-ресурсы КИС вузаОсновные задачи развития открытых интернет-ресурсов КазНУ, заключаются в со-

здании положительного имиджа университета; развитии информационного сервиса элек-тронного кампуса (цифрового университета) КазНУ; создании виртуальных туров помузеям, по студенческому городку; развитии свойства распределенного авторства веб-страниц ППС, факультетов/кафедр, через разработку программной платформы по раз-работке шаблонных категорий простых сайтов; развития модуля довузовской подготов-ки, для создания интересной научно-образовательной среды ориентированной на школь-ную аудиторию, предоставление информации по различным образовательным проектам;информационной поддержки бизнес-процессов учебной и научно-исследовательской де-ятельности; создании качественного контента; построении системы гибкого администри-рования сайта, что позволит с легкостью решать задачи по поддержке, продвижениюи развитию сайта; а также решения задач по модернизации дизайна сайта, с цельюсоздания хорошего качественного художественного оформления.

5. Результаты

Реализация и внедрение таких прикладных информационных систем КИС управ-ления вузом обеспечивает реализацию принципов непрерывности и преемственностиобразовательных программ, системную интеграцию учебно-методических наработок в


различных областях, а также доступ к информационно-образовательным ресурсам неза-висимо от места нахождения самого обучаемого и образовательного ресурса или услуги,в которой он нуждается, а также возможность выбора индивидуальной образователь-ной траектории, в конечном счете, осуществляет эффективность учебного процесса икачество образовательных услуг.

Таким образом, университетам необходимо создавать и развивать свою информаци-онную инфраструктуру, которая является ключевым фактором конкурентоспособностив условиях рыночной экономики. Необходимо вести работу по оценке состояния процес-сов информатизации с целью выработки стратегии по развитию.


[1] Мутанов Г.М. Трансформация технического вуза в инновационный университет:методология и практика / под ред. Г.М. Мутанова. – Усть-Каменогорск: ВКГТУ,2007. – 480 с.

[2] Мутанов Г.М. Образование. Наука. Инновации / М-во образования и науки РК. -Усть-Каменогорск: ВКГТУ, 2008. - 176 с.

[3] Мутанов Г.М., Мамыкова Ж.Д., Кумаргажанова С.К. Управление ориентирован-ное на результат на примере образовательной системы.– Усть-Каменогорск: ВКГ-ТУ, 2010. – 100 с.

[4] Инженерия автоматизированных информационных систем в е-экономике / под ред.Э. Колбуша, В. Олейничика, З. Шиевского: пер. с польск. И.Д. Рудинского. – М.:Горячая линия-Телеком, 2012. – 376 с.

[5] Основы качества информационной инфраструктуры организации / В помощь руко-водителю организации (Авторы Грузинов А.Б., Гринь В.Р., Крюков А.М., СинещукЮ.И., Навойцев С.П.). – М.: ООО «Ваш полиграфический партнер», 2011. – 290 с.

[6] Мутанов Г.М., Шакаримова А.Б. Образовательный портал университета. Теорияи практика. - Усть-Каменогорск: ВКГТУ, 2006. – 352 с.

[7] Мутанов Г.М., Мамыкова Ж.Д., Кумаргажанова С.К., Федькин Е.М. Информа-ционная инфраструктура «е-университета» ВКГТУ им. Д. Серикбаева // ИзвестияКыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова: тео-ретический и прикладной научно-технический журнал. – Бишкек, 2009. - 19. - С.233-238.

[8] Крюков В.В., Шахгельдян К.И. Корпоративная информационная среда вуза: Ме-тодология, модели, решения: монография. – Владивосток: Дальнаука, 2007. – 308с.

[9] Интеграция данных и Хранилища: [Электрон.ресурс]. – 2004. - URL:http://citcity.ru/12101/.


[10] Архитектурные подходы к консолидации: [Электрон.ресурс]. – 2001. - URL:http://citforum.vision.am/consulting/BI/arch_consolid/.

[11] Добровольский А. Интеграция приложений: методы взаимодей-ствия, топология, инструменты: [Электрон.ресурс]. – 1992. - URL:http://www.osp.ru/os/2006/09/3776464/.



У.А. Тукеев, Ж.М. Жуманов, Д.Р. Рахимова

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Моделирование семантических ситуаций временказахского языка при машинном переводе

Данная статья предлагает формальное описание времен глаголов в казахском языкес использованием семантических ситуаций и регулярных выражений. Описываютсяособенности системы времен казахского языка, семантические ситуации и их записьв форме регулярных выражений. С использованием семантических ситуаций модели-руется система времен казахского языка. Приводится пример практического исполь-зования предлагаемого решения. Приведены практические результаты.Ключевые слова: казахский язык, семантика, регулярные выражения, машинный пе-ревод.

У.А. Тукеев, Ж.М. Жуманов, Д.Р. РахимоваМашиналық аударма үшiн қазақ тiлi шақтарының

семантикалық жағдайларын модельдеу

Осы мақала семантикалық жағдайларды және тұрақты сөйлемшелердi пайдалануменқазақ тiлiндегi етiстiктер шақтарының формальды сипаттамасын ұсынады. ?азақ тiлiнiңшақтар жүйенiң ерекшелiктерi, семантикалық жағдайлар және олардың тұрақты сөй-лемшелер түрiнде жазылуы сипатталған. қазақ тiлiнiң шақтар жүйесi семантикалықжағдайларды пайдаланумен модельденген. ?сынылатын шешiмнiң практикалық пайда-ланудың мысалы жасалынды. Практикалық нәтижелер келтiрiлген.

Түйiн сөздер: қазақ тiлi, семантика, тұрақты сөйлемшелер, машиналық аударма.

U.A. Tukeyev, Zh.M. Zhumanov, D.R. RakhimovaModeling of semantic situations for Kazakh language’s tenses for

machine translation

This paper proposes a formal description of Kazakh language verbs’ tenses using semanticsituations and regular expressions. The features of Kazakh language tenses system, semanticsituations and their record in the form of regular expressions are described. With the useof semantic situations Kazakh language tenses system is modeled. An example of proposedsolution’s practical use is given. Practical results are presented. Key words: Kazakh language,semantics, regular expressions, machine translation.

Key words: Kazakh language, semantics, regular expressions, machine translation.

Введение

Категория времени является одной из важных грамматических категорий естествен-ных языков. В различных языках данная категория имеет разное грамматическое пред-ставление, однако общее назначение ее всегда одно и то же – показать то, как относится

У.А. Тукеев, Ж.М. Жуманов, Д.Р. Рахимова Моделирование семантических . . . 100

текст к временной шкале, принятой в языке. За исключением очевидных способов отсче-та времени (настоящее, прошлое, будущее) имеются еще несколько выражений времени,которые в некоторых языках бывают неочевидны. Формальное описание категории вре-мени затрудняется тем, что одно и то же время может выражаться в языке разнымиграмматическими конструкциями. Это приводит в тому, что при переводе предложенийодного естественного языка в другой может оказаться затруднительным найти соответ-ствие времен.

Для решения этой проблемы можно использовать тот факт, что выражение време-ни в естественных языках включает две составляющих: грамматическую и смысловую.Причем вторая составляющая, на взгляд авторов, имеет более важное значение. Так,например, при автоматизированном переводе очень часто времена одного и того жепредложения в разных языках могут не соответствовать друг другу.

Категория времени в лингвистике

Согласно [1], в грамматике время – это категория, которая определяет положениедействия на временной шкале. Категория времени использует указание времени, привя-занное к какому-то моменту. Например, перед текущим моментом (прошлое), в текущиймомент (настоящее) и после текущего момента (будущее). Привязку времени к текуще-му моменту иногда называют абсолютным временем, привязку к моменту, отличномуот текущего, - относительным временем. Первый случай порождает так называемые«простые» временные конструкции (past simple в английском языке, жедел ?ткен ша?в казахском языке). Использование относительного времени можно наблюдать в такихграмматических конструкциях как «будущее в будущем» или «будущее в прошлом» (на-пример времена группы perfect в английском языке). Относительное время может иметьсмысловую окраску предшествования одних событий другим, их одновременности илипорядка их следования.

Существуют языки в которых категория времени реализуется не через грамматику, ас использованием явного указания момента совершения действия (например китайский).В некоторых языках система времен не «трехсоставная» (прошлое-настоящее-будущее),а «двусоставное». В японском языке есть категории прошедшего времени и непрошед-шего времени (настощее и будущее время в одной глагольной форме), в гренландскомязыке имеются категории будущего и небудущего времени. В «четырехвременных» язы-ках одна из временных категорий (прошедшее время или будущее время) уточняется –недавнее и отдаленное. Встречаются даже языки, использующие до 6 временных мо-ментов.

В общем, в лингвистике можно выявить следующие виды времен:Будущие времена:

• немедленное будущее: прямо сейчас;

• ближайшее будущее: скоро;

• сегодняшнее будущее: позже сегодня;

• вечернее будущее: в этот вечер;

• пост-сегодняшнее будущее: после сегодняшнего дня;


• завтрашнее будущее: завтра;

• отдаленное будущее или далекое будущее;

• относительное будущее;

• предположительное будущее;

• будущее с намерением;

Настоящие времена:

• продолжающееся настоящее: «все еще»;

Прошедшие времена:

• немедленное прошедшее: совсем недавнее прошлое, только сейчас;

• недавнее прошедшее: в последние несколько дней/недель/месяцев;

• давнее прошедшее: контрастирует с недавним прошлым;

• сегодняшнее прошедшее: ранее сегодня;

• утреннее прошедшее: сегодня утром;

• пред-сегодняшнее прошедшее: до сегодняшнего дня;

• вчерашнее прошедшее;

• пред-вчерашнее прошедшее: позавчера;

• далекое прошедшее: более чем несколько дней/недель/месяцев назад;

• недалекое прошедшее: контрастирует с далеким прошлым;

• историческое прошедшее: показывает, что действие/состояние было частью собы-тия в прошлом;

• древнее прошедшее: легендарное прошлое;

• пред-прошедшее (относительное прошедшее время).

Время - грамматическая категория глагола [2]. Следовательно, грамматические пре-образования необходимые для выражения описанных значений применяются к глаго-лам. Для этого используются синтетические и аналитические формы глаголов. [2] Всинтетических формах несколько морфем объединяются в пределах одного слова (на-пример, «прочитаю», «напишет»). В аналитических формах основное и дополнительноезначения слова выражаются раздельно (например «буду читать», «будет писать»).

Описание системы времен казахского языка


Таблица 1. Система времен в казахском языке.Название вре-мени

Образование Значение Пример

Прошедшее времяЖедел өткеншақ

Основа глагола + ды/дi/ты/тi + лич-ные окончания

Недавнее прошедшее Мен барған-мын.

Бұрыңғы өткеншақ

Основа глагола + қан/кен/ған/ген +личные окончания

Давнее прошедшее Мен барыппын.


Основа глагола + ып/iп/п + личныеокончания

Давнее прошедшее Сен келiпсiн.


Основа глагола + қан/кен/ған/ген +едi/екен + личные окончания

Давнее прошедшее Сен кеткенекенсiң.

Ауспалы өткеншақ

Основа глагола + атын/етiн/йтын/й-тiн + личные окончания

Давнее прошедшее,иногда относительноепрошедшее

Мен бұрын хатжазатынмын.

Настоящее времяНақ осы шақ Отыр, түр, жүр, жатыр + личные

окончанияПродолжающеесянастоящее

Мен жатыр-мын.

Нақ осы шақ Основа глагола + ып/iп/а/е/и + слу-жебный глагол + личные окончания

Продолжающеесянастоящее

Сен ойлап жүр-сiң.

Ауспалы осышақ

Основа глагола + а/е/й + личныеокончания

Настоящее или бли-жайшее будущее

Мен ойнаймын.

Будущее времяБолжалды келершақ

Основа глагола + ар/ер/р + личныеокончания

Предположительноебудущее

Мен келермiн.

Мақсатты келершақ

Основа глагола + мақ/мек/бақ/бек/-пақ/пек/шы/шi + личные окончания

Будущее с намерением Сен жазбақсын

В казахском языке можно выделить 7 времен. Три из них представляют прошед-шее время, одно – настоящее время, два – будущее время и одно может выражать какнастоящее, так и будущее время [2]. Все они представлены в таблице 1.

Как можно видеть из таблицы при образования времен в казахском языке в основ-ном используются синтетические формы глагола. Аналитическую форму образованияимеют варианты бұрыңғы өткен шақ и нақ осы шақ.

Описание семантических ситуаций

В каждом естественном языке одним из ключевых компонентов является смысл,вкладываемый во фразы и выражения. Независимо от используемого языка в анало-гичных контекстах используются выражения с аналогичным смыслом, но, зачастую,с различными грамматическими конструкциями. Примерами таких контекстов можетбыть «приветствие», описание родственных связей, использование порядковых числи-тельных и т.п. Возможно составить набор семантических «ситуаций», которые имеютодинаковое смысловое значение во всех языках. Сравнительное описание пар языков,используемых в машинном переводе может быть дополнено набором соответствий грам-матических конструкций различных языков одним и тем же семантическим ситуациям.


Пример такого набора для казахского и английского языков представлен в таблице 2.

Таблица 2. Пример набора соответствий грамматических конструкций английского иказахского языков одним и тем же семантическим ситуациям.Казахский язык Семантическая ситуация Английский языкОбстоятельство места + подле-жащее + «бар»

Наличие чего-либо, где-либо «there is» + дополнение + об-стоятельство места

Слово + «және» + словоСлово + «да», «де», «та», «те»Слово + «мен», «бен», «пен» +слово

Сочинительный союз «и» Слово + «and» +слово

Основа + «-йiн», «-йын», «-айiн», «-айын» «-йiк», «-йы?»,«-айiк», «-айы?»

Повелительное наклонение 1-голица

Let me + «основа»Let us + «основа»

Инфинитив + притяжательныеокончания + «керек»

Долженствование, необходи-мость

Must + основаhave + инфинитивought + инфинитивto be + инфинитив

Сказуемое (основа) + «емес» +личное окончание

Отрицательная форма именно-го сказуемого

Подлежащее + to be + «not» +сказуемое

Формально семантические ситуации можно описать следующим образом:<язык> ::= <предложение> | <язык><предложение><предложение> ::= <устойчивое выражение><предложение> ::= <сочетание слов> | <сочетание слов><предложение><сочетание слов> ::= <грамматическая форма слова> | <сочетание

слов><грамматическая форма слова><сочетание слов> ::= <слово> | <сочетание слов><слово><грамматическая форма слова> ::= <слово><грамматические признаки><грамматическая форма слова> ::= <грамматические признаки><слово><грамматические признаки> ::= <аффикс> | <предлог> | <...><слово> ::= <существительное> | <прилагательное> | <...><семантическая ситуация> ::= <устойчивое выражение> | <сочетание слов> |

<грамматическая форма слова>Условия использования тех или иных времен глагола также могут являться семан-

тическими ситуациями, которые имеют свое значение (смысл) и которые выражаютсяв синтетической или аналитической форме. Систему времен языка можно представитькак набор семантических ситуаций. Но для этого помимо словесного описания этих си-туаций необходим формат записи, который позволит использовать полученный набор вдальнейшей компьютерной обработке.

Регулярные выражения и их использование в обработке естественных язы-ков

В программных технологиях, работающих с текстами, существует инструмент, на-зываемый регулярными выражениями, значительно облегчающий обработку текстовых


данных. Регулярные выражения — это часть технологической области программиро-вания, широко используемой в огромном диапазоне программ. Регулярные выраженияможно представить себе как мини-язык программирования, имеющий одно специфиче-ское назначение: находить подстроки в больших строковых выражениях. Это не новаятехнология; изначально она появилась в среде UNIX и обычно используется в языке про-граммирования Perl. Однако, в каждом развитом языке программирования существуетсвоя реализация регулярных выражений, в общих чертах соответствующая варианту изPerl.

Язык регулярных выражений предназначен специально для обработки строк. Онвключает два средства:

• набор управляющих кодов для идентификации специфических типов символов(метасимволы);

• система для группирования частей подстрок и промежуточных результатов такихдействий (квантификаторы).

Перечень метасимволов регулярных выражений:

• . – любой символ за исключением конца строки;

• [abd] – один из символов, находящихся в квадратных скобках;

• [abd] – один символ, который не присутствует в скобках;

• [0-9a-fA-F] – один символ из указанных диапазонов;

• \t – символ табуляции;

• \r – символ возврата каретки;

• \n – новая строка;

• \e – символ escape;

• \w – большие и маленькие латинские буквы, цифры, знак подчеркивания;

• \s – пробел;

• \d – любая цифра;

• \b - граница слова.

Перечень квантификаторов регулярных выражений:

• *- предыдущий символ может повторяться 0 или более раз;

• + - предыдущий символ может повторяться 1 или более раз;

• ? - Предыдущий символ может повторяться 0 или 1 раз.


Для разбиения регулярных выражений на группы можно использовать скобочки.Символ ’|’ можно использовать для перебора нескольких вариантов. Использование это-го символа совместно со скобками – ’(...|...|...)’ – позволяет создать группы вариантов.

Приведем несколько примеров. Регулярное выражение для имени пользователя ИС(логина), которое может содержать буквы, цифры, подчеркивания, дефисы и быть дли-ной от 3 до 16 символов может выглядеть следующим образом: [a-z0-9_-]3,16.

Регулярное выражение для формата даты dd MMM yy может выглядеть так: [0-3]1[0-9]1[ ]1(Jan|Feb|Mar|Apr|May|Jun|Jul|Aug|Sep|Oct|Nov|Dec)1[ ]1[0-9]2.

Семантические ситуации, которые используют синтетическую форму образования,можно записать в виде регулярного выражения. Составление регулярных выраженийдля семантических ситуаций с аналитической формой образования может иметь опре-деленные сложности, если в соответствующем грамматическом правиле отсутствуютзакономерности.

Моделирование системы времен с использованием семантических ситуа-ций

Используем семантические ситуации и их запись в виде регулярных выражений, опи-санные выше, для описания системы времен глаголов в казахском языке. (таблица 3) Вданной статье используется синтаксис регулярных выражений из языка программиро-вания C#. В других языках программирования могут быть незначительные отличия.

Таблица 3. Система времен казахского языка в виде семантических ситуаций.Жедел өткен шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(дi|ды|тi|ты)

(м|н|ныз|нiз|к|қ|ндар|ндер|ныздар|нiздер)?\b"Бұрынғы өткен шақ 1 @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(ып|iп|п)

(пын|пiн|сын|сiн|сыз|сiз|ты|тi|пыз|пiз|сындар|сiндер|сыздар|сiздер)\b"Бұрынғы өткен шақ 2 @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(ған|ген|қан|

кен)(мын|мiн|сын|сiн|сыз|сiз|мыз|мiз|сындар|сiндер|сыздар|сiздер)?\b"Бұрынғы өткен шақ 3 @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(ған|ген|қан|

кен) екен(мiн|сiн|сiз|бiз|сiндер|сiздер)?\b"Ауыспалы өткен шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(атын|етiн|

йтiн|ытын) едi(м|н|нiз|к|ндер|нiздер)?\b"Нақ осы шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(ып|iп|п|а|е|я)

(отыр|тұр|жүр|жатыр)(мын|мiн|сын|сiн|сыз|сiз|мыз|мiз|сындар|сiндер|сыздар|сiздер)?\b"

Ауыспалы осы шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(а|е|й)(мын|мiн|сын|сiн|сыз|сiз|ды|дi|мыз|мiз|сындар|сiндер|сыздар|сiздер)?\b"

Болжалды келер шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(ар|ер)(мын|мiн|сын|сiн|сыз|сiз|мыз|мiз|сындар|сiндер|сыздар|сiздер)?\b"

Мақсатты келер шақ @"\b[аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпрстуүұфхhцчшщъыiьэюя]+(мақ|мек|бақ|бек|пақ|пек)(пын|пiн|сын|сiн|сыз|сiз|пыз|пiз|сындар|сiндер|сыздар| сiз-дер)?\b"

Каждое из записанных выражений содержит элемент [аәбвгғдеёжзийкқлмнңоөпр-стуүұфхhцчшщъыiьэюя]+. Буквально подобная запись обозначает произвольная после-довательность символов в квадратных скобках длиной от 1 символа. В формах грамма-


тических времен казахского яззыка используются основы слов, а именно глаголов. Поэтой причине к указанному элементу должно быть добавлено дополнительное требова-ние – последовательности символов должны соответствовать основам глаголов казах-ского языка.

Практическая реализация

Предлагаемое представление системы времен казахского языка в виде семантиче-ских ситуаций можно использовать для решения задач программирования, связанных сестественными языками. В качестве подобного использования можно привести примерпрограммы машинного перевода, которая переводит формы времен казахского языка всоответствующие им формы времен английского языка.

Код в листинге 1 производит поиск глагольных временных форм (семантическихситуаций описанных в предыдущем разделе) в некотором тексте. Переменная regex со-держит описание семантической ситуации в виде регулярного выражения. Переменнаяtext содержит анализируемый текст. Операция regex.Match() осуществляет анализ со-ответствия текста регулярному выражению. В случае нахождения соответствия, анали-зируемый текст содержит форму глагольного времени. Результат работы кода можновидеть на рис. 1.

Листинг 1 – Анализ текста на наличие в нем глагольных форм.

t h i s . verb_situation_patterns_1 . Length /3 ; i++) Regex regex = new Regex ( t h i s . verb_situation_patterns_1 [ i , 1 ] ) ;Match match = regex . Match ( t ext ) ;i f ( ( match . Success ) && (match . Length == text . Length ) )

re turn new Verb_Situation ( ) ;

Рис. 1. Результат анализа и перевода глагольных форм.

Как можно видеть по рисунку, была корректно определена ситуаций «нақ осы шақ»и подобрано соответствие этой ситуации в английском языке – present continuous tense.


Все возможные вариации нақ осы шақ по лицам и числам были найдены и распознаныобработчиком регулярных выражений.

Заключение

Данная статья посвящена проблеме моделирования лингвистической категории вре-мени. Для решения этой проблемы предлагается использовать две составляющих вы-ражения времени в естественных языках: грамматическую и смысловую. Смысловаясоставляющая представлена набором семантических ситуаций, грамматическая – соот-ветствующим набором регулярных выражений.

В статье описаны особенности системы времен казахского языка, представлены се-мантические ситуации и их запись в форме регулярных выражений, с использованиемкоторых смоделирована система времен казахского языка. Приведен пример практиче-ского использования предлагаемого решения.

Использование предлагаемого аппарата регулярных выражений в разработке про-грамм обработки естественных языков позволяет многократно сократить объем про-граммного кода.

Развитие предлагаемого решения связано с дальнейшей проработкой описания се-мантических ситуаций для того, чтобы они могли лучше отражать особенности грам-матических конструкций с аналитической формой образования.


[1] C. Fabricius-Hansen, “Tense.” Encyclopedia of Language and Linguistics, 2nd ed.Amsterdam: Elsevier, 2006. pp. 566-573.

[2] Лингвистический энциклопедический словарь. Главный редактор В.Н. ЯрцеваМосква. «Советская энциклопедия». 1990

[3] Мурзагельдинова О.И. Грамматический справочник-шпаргалка по казахскому язы-ку. Келешек-2030, 2009 г.- 44 с.

[4] Дж. Фридл Регулярные выражения. Издательство «Питер», 2003. 460 c.

Поступила в редакцию 23 ноября 2012


СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

1. Айсагалиев Серикбай Абдигалиевич – профессор Казахского национального уни-верситета им.аль-Фараби, доктор технических наук.

2. Айтбаев Коланбек – доцент кафедра "Математика"Международного казахско-турецкого университета им А.Ясави.

3. Каныбекова Айгерим Арманкызы – магистрант Международного казахско-турецкогоуниверситета им А.Ясави.

4. Тукеев Уалишер Ануарбекович – профессор Казахского национального универси-тета им.аль-Фараби, доктор технических наук.

5. Темирбеков Алмас Нурланович – докторант Казахского национального универ-ситета им.аль-Фараби.

6. Жуманов Жандос Маратович – преподаватель Казахского национального уни-верситета им.аль-Фараби .

7. Рахимова Диана Рамазановна –доктарант Казахского национального универси-тета им.аль-Фараби.

8. Мамыкова Жаныл Джумангалиевна – Казахского национального университетаим.аль-Фараби, кандидат технических наук.

9. Надирбаева Галия Муратбековна – Казахского национального университета им.аль-Фараби.

10. Жайдарова Александра Мухамедановна – докторант Казахского национальногоуниверситета им.аль-Фараби.

11. Кистаубаев Ерлан Бейсенбаевич – магистрант Казахского национального уни-верситета им.аль-Фараби.

12. Кальменов Тынысбек Шарипович – профессор, генеральный директор РГП "Ин-ститута математики и математического моделирования доктор физико-математическихнаук, академик НАН РК,

13. Калимолдаев Максат Нурадилович – профессор, директор РГП "Института про-блем информатики и управления, доктор физико-математических наук.

14. Пыркова Анна Юрьевна – доцент механико-математического факультета Ка-захского национального университет им.аль-Фараби.

15. Поздеев Е – магистрант Казахского национального университета им.аль-Фараби.

16. Сураган Дурвудхан – докторант механико-математического факультета Казах-ского национального университет им. аль-Фараби, научный сотрудник РГП "Ин-ститута математики и математического моделирования".


К СВЕДЕНИЮ АВТОРОВ

1. Статьи в журнал "Вестник КазНУ, сер. математика , механика, информатика"принимаются набранными только в текстовом формате LATEX2εна казахском, рус-ском или английском языках.

2. Статья должна сопровождаться письмом от учреждения, в котором выполненаданная работа, где указываются сведения об авторах : Ф.И.О. полностью, место ихработы, должность (название вуза, центра без сокращений, факультета, кафедры),рабочий телефон, факс, е-mail, домашний адрес, домашний телефон.

3. Вместе с оттиском работы в двух экземплярах в редакцию представляются tex-файлы работы, реферата, головного файла и файлы рисунков на одной дискетеформата 3.5 на 1,44 Мб. Название файла на латинице может содержать не более8 букв из фамилии первого автора, например, popova.tex. Для файлов рисунковрекомендуемые названия типа popris1.eps, где pop – первые три буквы фамилиипервого автора работы.

4. Объем статьи не должен превышать 8-ми страниц. В начале работы после заго-ловка и фамилий авторов работы помещается её аннотация на том же языке, накотором набран основной текст. Кроме сведений, которые можно почерпнуть иззаголовка, аннотация должна отражать методы исследования, основные результа-ты статьи, их новизну и указывать на смежные работы. Автору необходимо такжепредставить файл с рефератом своей работы, который является точным перево-дом аннотации на два остальных рабочих языка журнала из числа перечисленныхв п.1. Использованная литература должна быть оформлены по требованиям ВАКРК, предъявляемым к диссертациям.

5. Графические файлы с рисунками должны быть только качественными черно-белыми в формате .eps , либо выполненными в латеховском формате. Рисункив этих форматах делаются например с помощью мощных математических пакетовMapleV, Mathematica или с помощью пакета Latexcad. Качественные графическиефайлы сделанные другими графическими программами должны быть сконвер-тированы в формат .eps c помощью Adobe Photoshop или конвертера ConversionArtist. Все рисунки должны быть уже импортированными в tex-файл и представ-ляются в редакцию вместе с основным файлом статьи. Графические форматыотличные от .eps или ЛАТЕХовских форматов отвергаются. Редакция вправе от-казаться от включения в работу рисунка, если автор не в состоянии обеспечитьего надлежащее качество.

6. Журнал придерживается единого стиля и поэтому предъявляет ряд общих требо-ваний к оформлению представляемых работ. Исходный неоттранслированный tex-файл должен целиком помещаться в горизонтальных рамках экрана за возможнымисключением матриц и таблиц и транслироваться без протестов ЛАТЕХа и сооб-щений о кратных и неопределенных метках, больших переполненных и незапол-ненных боксах. Не следует определять много новых команд изобретая собственныйсленг. Авторы могут подгружать другие стандартные стилевые пакеты, но только


те, которые не входят в противоречие с пакетами amsmath и amssymb. Естественнофайл, кроме всего прочего, должен быть проверен на отсутствие грамматическихи стилистических ошибок. После списка литературы следует адрес места работыавтора и его e-mail. Статьи не удовлетворяющие этим требованиям и требующиебольшой доработки не принимаются. Эталонный образец работы с демонстрациейграфики, с преамбулой устраивающей редакцию, списки типичных ошибок оформ-ления и методы их устранения можно получить в редакции или на сайте механико-математического факультета КазНУ им. аль-Фараби http://mmf.kazsu.kz.

7. Материалы следует направлять по адресу: 050040 Алматы, ул. аль-Фараби 71,корпус 13, Научно-исследовательский институт механики и математики КазНУ,каб. 125, т. 377 – 31 – 90. Электронная почта: [email protected](ответ. секретарюредколлегии, доц. Даирбаевой Л.М.)

8. Уважаемые читатели, вы можете подписаться на наш журнал "Вестник КазГУ. Се-рия математика, механика, информатика который включен в каталог ОАО "Каз-почтаГАЗЕТЫ И ЖУРНАЛЫ". Количество номеров в год – 4. Индекс для инди-видуальных подписчиков, предприятии и организаций – 75872, подписная цена загод – 1000 тенге; индекс льготной подписки для студентов – 25872, подписная ценаза год для студентов – 500 тенге.

Documents

ҚазҰУ ВЕСТНИК ХАБАРШЫСЫ КазНУ АЛМАТЫ № 4 75 2012rmebrk.kz/journals/998/79611.pdf · редактора), Ахмед-Заки Д.Ж. (зам. научного