“… non commettere ingiustizia nelle misure di lunghezza, nei pesi o nelle misure di capacità. Avrete bilance giuste, pesi giusti, efa giusti, hin giusti.Io sono il Signore, vostro Dio, che vi ho fatto uscire dal paese di Egitto …”

Levitico 19, 35-36

Misure

“Io spesso affermo che quando potete misurare ciò di cui state parlando, e potete esprimerlo in numeri, allora conoscete qualcosa di ciò di cui parlate; ma quando non potete esprimerlo in numeri, allora la vostra conoscenza è scarsa ed insoddisfacente; può rappresentare un inizio di conoscenza, ma vi sieteaddentrati, nei vostri pensieri, assai poco nel campo della scienza, qualunque sia l’argomento che state trattando. Perciò, se scienza significa misurare, senzala metrologia non ci può essere scienza.”

William Thomson (Lord Kelvin)

6 maggio 1886

Misure

«Sai ched’è la statistica? È ‘na cosaChe serve pe’ fa un conto in generalede la gente che nasce, che sta male,che more, che va in carcere e che sposa.Ma pè me la statistica curiosaè dove c’entra la percentuale,pè via che, lì, la media è sempre ugualepuro cò la persona bisognosa. Me spiego: da li conti che se fannosecondo le statistiche d’adessorisurta che te tocca un pollo all’annoe se nun entra ne le spese tue,t’entra ne la statistica lo stessoperché c’è un altro che ne magna due.

Trilussa

Statistica

Misurazione: fornisce un risultato conoscitivo di tipo quantitativo. Si costruisce una mappatura delle caratteristiche in un insieme numerico.

La misurazione è un procedimento empirico e oggettivo con il quale vengono assegnati dei numeri alle proprietà di oggetti o fenomeni del modo reale con il fine di descriverli quantitativamente.

La misurazione

•La misura di una grandezza è generalmente definita come il confronto quantitativo di questa stessa grandezza con un’altra grandezza, omogenea con quella che si vuole misurare, che viene considerata come l’unità di misura.

• Cinque diversi “agenti” contribuiscono al processo di misura.

Cosa significa misurare una grandezza?

ERRORI DI MISURA

UNA MISURA E’ CORRETTA E PUO’ CONSIDERARSI ACCETTABILE, QUANDO E’ NOTA L’ENTITA’ DELL’ERRORE O DELL’INCERTEZZA DELLA MISURA STESSA

ERRORI DOVUTI ALLO STRUMENTO

ERRORI DOVUTI ALL’OPERATORE

ERRORI DOVUTI ALL’AMBIENTE

ovvero l’incertezza

X = (x ± uc) gX

•uC (incertezza tipo composta) indica la qualità della misura•irrealizzabilità di un’esatta conoscenza del valore del misurando•impossibilità di realizzare il processo di misura senza essere influenzati dall’ambiente e dalle imperfezioni di strumenti e operatore.

il risultato di misurazioni diverse e ripetute del medesimo misurando non è sempre lo stesso

è lo stesso processo di misurazione ad “alterare” più o meno significativamente il misurando rendendone impossibile la conoscenza del “valore vero”

non si inficia il presupposto di unicità della misura, ma si è obbligati a stimare ed esprimere unitamente alla misura la “qualità” della misura stessa,

il valore vero di una grandezza non è, per definizione, noto né conoscibile (principio di indeterminazione di Heisenberg), anche l’errore così definito risulta non noto e non conoscibile e, pertanto, di nessuna importanza pratica.

•valore vero Xv di una grandezza:

il valore con un infinito numero di cifre decimali esatte che effettivamente compete alla grandezza, noto tramite una misurazione perfetta

•errore assoluto:differenza tra valore misurato Xm ed il valore vero Xv

e = Xm– Xv

ERRORE (causa) INCERTEZZA (effetto)

Il valore vero di una grandezza non è, per definizione, noto né conoscibile (), anche l’errore così definito risulta non noto e non conoscibile e, pertanto, di nessuna importanza pratica.

•valore ritenuto vero Xrv di una grandezza:valore vero convenzionale

•errore assoluto:differenza tra valore misurato Xm ed il valore ritenuto vero Xv

e = Xm– Xrv

Valore Vero (Xv) Valore Ritenuto Vero (Xrv)

principio di indeterminazione di Heisenberg

Compito principale del metrologo è quello di ricavare dalle misure effettuate il valore più probabile della grandezza di misura e di stimare contemporaneamente l’intervallo, centrato intorno a tale valore, all’interno del quale il valore ritenuto vero dovrebbe cadere

Errori sistematici

•sono dovuti a difetti costruttivi, o di taratura degli strumenti e dei campioni, o•ad errori e irregolarità nell’applicazione del modello sperimentale (procedura)•sono legati alla causa che li produce da una legge fisica ben determinata•si presentano con segno costante ed entità circa costante.•è quasi sempre possibile compensarne gli effetti•non sono influenzati dalla ripetizione delle misure

Esempi di errori sistematici

•errore sullo zero•errore sulla caratteristica (differenza tra curva caratteristica nominale e reale);•errore di disturbo (schiacciamento, scambio di energia termica, alterazione•del regime delle correnti in un circuito, perdite di carico, …)•errori dovuti alle grandezze di influenza (pressione, temperatura ed umidità•dell’ambiente di misura)

Si intendono errori accidentali gli errori i cui effetti sulla dispersione dei risultati di misura possono essere attenuati, ripetendo più volte il processo di misurazione e calcolando la media dei diversi risultati; al contrario, si intendono errori sistematici gli errori che non sono in alcun modo influenzati dal procedimento di ripetizione delle operazioni e dalla successiva media.

Gli errori accidentali sono invece prodotti da cause accidentali quali:•irregolarità casuali del procedimento o dello strumento di misura;•instabilità delle condizioni ambientali;•imperfezioni congenite dell’operatore umano;•conseguenza delle correzioni errore sistematico1. agiscono di volta in volta con segno diverso ed entità diversa2. grandezza di natura aleatoria3. effetto, sia positivo che negativo, di un elevato numero di termini, tuttiegualmente probabili4. distribuzione di tipo gaussiano intorno al valore medio

Esempi di Errori Accidentali

errore di risoluzione di letturaerrore di parallasseerrore di interpolazioneerrore dovuto al rumore di fondo dello strumentoerrore di mobilitàerrore di inversioneerrore di isteresi

Esempi di cause di errore

Nel lancio di una monetina la probabilità che un evento accada è diverso dalla frequenza con cui quell’accadimento si realizza nelle osservazioni sperimentali legate alle ripetizioni.La legge probabilistica è una legge limite che non fornisce un’uguaglianza matematica, ma che trova conferma soltanto nella legge dei grandi numeri.

L’analisi statistica si basa dunque sui concetti definiti dalla teoria della probabilità, ma attraverso un processo inverso di tipo induttivo che va dall’osservazione dei risultati alla legge matematica.

Tale processo si basa sulla stima dei parametri, sull’individuazione della distribuzione di probabilità più idonea a rappresentare i risultati osservati sperimentalmente e sulla stima dei parametri statistici sin qui definiti. Tale processo è generalmente indicato come «inferenziale».

Una misura è sempre una variabile casuale e può essere intesa comesomma di un evento deterministico (misurando) e di altri eventi aleatori sovrapposti (errori di misura/correzioni).

Per una stima corretta della misura e degli errori è necessario applicare tecniche statistiche per il trattamento dei dati aleatori (stima “a posteriori”) e la teoria della probabilità (stima “a priori”)

Definizione di Unità, Campione e popolazione

L’unità statistica rappresenta l’elemento su cui vengono osservati determinati caratteri qualitativi (colore, …) o quantitativi (volume, massa)la popolazione è l’insieme delle unità statistiche di interesse(omogenee rispetto a uno o più caratteri)il campione è un sottoinsieme di unità della popolazione

l’unità statistica (evento)•un autovettura•il risultato di un lancio di dadi•un errore di misura

la popolazione•le autovetture circolanti a Roma•i lanci effettuati durante un gioco•i possibili errori

il campione•le autovetture parcheggiate in un garage•i primi 20 lanci•gli errori commessi in una prova ripetuta

ERRORI CAMPIONARI

campionare gli alunni per valutare l’altezza media nelle scuola senza avere definito l’età degli alunni (chi?), la regione dove si vuole fare l’indagine (dove?), il periodo di interesse (quando?)campionare i pezzi prodotti all’inizio o al termine della produzioneeffettuare solo 5 analisi per conoscere il numero medio di glucosio nel sangue degli Italiani

ERRORI NON CAMPIONARI

effettuare misure su bilance starate per difetto (portano evidentemente ad una stima distorta)campionare confezioni di sale prodotto da una catena (per stimarne il peso medio) in un giorno in cui c’è un elevato tasso di umidità

In pratica si dispone di campioni contenenti un numero finito di elementi n e che, pertanto, approssimano il comportamento della popolazione. Le differenze tra campione e popolazione consistono nel numero degli elementi e anche nei valori assunti dagli elementi stessi.

Si dispone quindi di un insieme campionario limitato, sottoinsieme della popolazione in oggetto, la cui distribuzione si definisce «distribuzione campionaria».

L’indagine statistica può essere:

totale o censuaria (si rilevano i caratteri di tutte le unità della popolazione)

campionaria (si rilevano i caratteri di un campione della popolazione e per induzione si ottengono informazioni su tutta la popolazione)

L’indagine campionaria necessita di un attenta progettazione per:

individuare univocamente la popolazione

evitare distorsioni sistematiche (indirettamente randomizzando la collezione delle unità o direttamente controllando l’esperimento)

collezionare un numero significativo di eventi

Regole fondamentali per una analisi statistica corretta ed affidabile:

numero degli elementi costituenti il campione sufficientemente grande

campione collezionato in modo casuale

elementi campionati appartenenti alla medesima popolazione

Distribuzione di probabilità gaussiana.

Quando una variabile x (ovvero una misura) assume soltanto un certo numero di valori distinti è possibile rappresentare il suo comportamento a partire da un campione di n misure tracciando l’istogramma delle frequenze, Fk , oppure l’istogramma della densità di frequenza fk. .

Nelle fig.1 e 2 è riportato un esempio di istogramma di densità di frequenza con valori di xk equispaziati di ∆x. Se n è grande ( es. maggiore di 25/30), le densità di frequenza approssimano molto bene le probabilità dei singoli valori. L’insieme dei valori è tale che ogni frequenza dell’istogramma approssima la probabilità che il valore cada tra xk e xk+∆x.

L’istogramma rappresentato in fig.– risulta simmetrico e «quasi gaussiano». In realtà si rilevano istogrammi asimmetrici e, altrimenti, irregolari per un certo numero di ragioni: campione troppo piccolo, variazione casuale di grandezze d’influenza, polarizzazione dell’osservatore, limiti imposti a priori alle variabili d’osservazione. Un numero elevato di valori tende a produrre un istogramma il cui inviluppo è la curva gaussiana.

La distribuzione normale (gaussiana) gode di alcune importanti proprietà:

Autoproduzione: la risultante della composizione di più variabili aventi distribuzione normale presenta anch’essa una distribuzione normale;È distribuzione limite: secondo il teorema del limite centrale data una popolazione di varianza non infinita, le medie di N elementi tratti dalla popolazione tendono ad assumere la distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione della popolazione:È modello per fenomeni fisici: si utilizza in fisica, biologia, sociologia, scienze applicate, ecc. e soprattutto per la distribuzione degli errori di misura.

Frequenza (stima a posteriori)

La frequenza di un evento è il numero di volte in cui l’evento si è manifestato, diviso il numero totale delle prove effettuate la frequenza è quindi diversa dalla probabilità dell’evento la differenza tra frequenza e probabilità può essere tanto più grande quanto minore è il numero di prove effettuate se si fa tendere il numero delle prove ad infinito, il valore della frequenza tende a coincidere con quello della probabilità.

per funzioni discrete

per funzioni continue

Esempio di distribuzione di frequenze di misure

Fig. 1

Fig. 2

quanto più piccolo è Δx, tanto più l’istogramma tende alla curva continua

Esempio di Poligonale delle frequenze

Esempio di funzione di Gauss

Concetti elementari di Statistica Parametri statistici – Istogramma di frequenza

Tendenza centrale (Media, moda, mediana)

Dispersione (scarto tipo, varianza, percentili)

Frequenza

Intervallo e Livello di Confidenza

fissata la media (μ) e lo scarto (σ) di una popolazione, si voglionoconoscere gli estremi a e b dell’intervallo centrato su μ e che comprenda un livello di probabilità fissato (1-α):

•il livello di probabilità è detto livello di confidenza•l’intervallo [a,b] è detto intervallo di confidenza

l’intervallo di confidenza statistico

± 1σ (k=1) corrisponde un livello di confidenza 68.27 %± 2σ (k=2) il livello di confidenza è pari al 95.45%± 3σ (k=3) il livello di confidenza è pari al 99.73%

ripetibilità (repeatability)capacità di uno strumento di misura a fornire indicazioni concordi in risposta a condizioni di ingresso (condizioni dimisura) costanti e consecutive.

La ripetibilità è legata al valore dello scarto quadratico medio di una serie di misure ottenute in condizioni costanti, ed uno strumento è tanto più ripetibile quanto più piccolo è lo scarto quadratico medio.

accuratezza (precision)differenza in valore e segno tra il valore ritenuto vero e la media di una serie di misure.

uno strumento è tanto più accurato quanto più la mediadi una serie di misure da esso effettuate è vicina al valore ritenuto vero, cioè al valore ottenuto come media di una serie di misure effettuate con uno strumento campione.

precisione (accuracy)sintetizza i concetti di ripetibilità ed accuratezza; è l’attitudine dello strumento a fornire una misura con il minimo errore rispetto al valore ritenuto vero e con una elevata ripetibilità.

La precisione è, quindi, legata al valore dell’incertezzacomposta estesa.

Eventi aleatori e deterministici

Un evento aleatorio può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si possono distinguere variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue.

oLe variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile,

oLe variabili continue, con i loro valori possibili, non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo.

Eventi aleatori e deterministici

Il risultato di una misura può intendersi sempre come una variabile aleatoria o più precisamente la somma di un evento deterministico, che vogliamo misurare, e di altri eventi aleatori sovrapposti che abbiamo definito errori di misura.

Eventi aleatori e deterministici

Pertanto, per effettuare una stima corretta, sia della grandezza che vogliamo misurare, sia dell’entità degli errori, è necessario applicare correttamente:

le metodologie statistiche per il trattamento dei dati aleatori (nel caso in cui siamo in grado di effettuare una stima “a posteriori”)

oppure la teoria della probabilità (nel caso in cui tale stima debba essere effettuata “a priori”).

Probabilità (stima a priori)

se ciascun evento è equiprobabile la probabilità di accadimento risulta pari al numero di eventi favorevoli diviso il numero di eventi possibilila probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 (tra 0 e 100%), in particolare risulta pari a zero quando l’evento è impossibile; risulta invece pari ad uno (100%) quando l’evento è certo:

testa/croce probabilità 50% (1/2)dado probabilità 16,7% (1/6)

Concetti elementari di probabilità

Concetti elementari di probabilità

La probabilità di accadimento di un evento A si ottiene mediante numerazione (oppure mediante calcolo combinatorio) degli n modi semplici favorevoli rispetto a tutti gli n modi possibili se tutte le modalità sono equiprobabili.

Definizione Classica

Esempio:Un convertitore analogico/ digitale ad 8 bit: Quanti valori diversi può assumere?2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 256Quale è la probabilità di ottenere il valore 00000000?P(A)=1/256

Calcolo Combinatorio

Il calcolo combinatorio permette di determinare, senza enumerazione diretta, il numero degli elementi di un insieme o il numero dei possibili risultati di un dato esperimento. Una regola fondamentale del calcolo combinatorio consente, data una sequenza di due eventi in cui il primo può presentarsi in m modi diversi e il secondo in n modi diversi, di calcolare l’insieme dei modi possibili dei due eventi mediante il prodotto m*n

Esempi: calcolo delle probabilità

Esempio 1 – Lancio di un dadoS={1,2,3,4,5,6}; A= {0};P(A) = Probabilità di fare sommazeroP(A) = 0

Esempio 2 – Lancio di un dadoS={1,2,3,4,5,6};A= {1}; Ac= {2,3,4,5,6}P(Ac) = Probabilità di non fare 1P(Ac) = 1- P(Ac) = 1-1/6 = 5/6

Esempio 3 – Lancio di un dadoS={1,2,3,4,5,6}; A= {2,4,6};P(A) = Probabilità di lanciare unnumero pariP(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6=3/6

Esempio 4 – Lancio di due dadiS={1-1,1-2,1-3, …,6-6}; A= {6-6};P(A) = Probabilità di lanciare due 6P(A) = 1/6 * 1/6 =1/36

Concetti elementari di probabilità

La probabilità di accadimento di un evento si ottiene ripetendo un esperimento un congruo numero di volte (numero totale di ripetizioni - nt) e contando il numero di volte in cui si verifica l’evento (numero di eventi favorevoli - nf) rispetto al numero totale di eventi

Se un esperimento viene ripetuto molte volte la probabilità stimata tramite la frequenza relativa di un evento tende ad avvicinarsi alla vera probabilità di quell’evento

La legge dei grandi numeri

Definizione Frequentista

Esempio calcolo probabilità:

Durante una serata di giochi il numero 17 è uscito 10 volte su 400 giocate alla roulette.Quale è la probabilità di ottenere il numero 17?

P(A)=10/400=1/40

Definizione frequentista

Esempio 1 - Probabilità di essere colpiti da un fulmine durante un anno

S spazio campionario è costituito da 2 eventi semplici:- A essere colpiti da un fulmine- B non esserlo

L’approccio classico non si può applicare in quanto i due eventi (fortunatamente) non sono equiprobabiliL’approccio soggettivo ci porta a “scommettere” sulla rarità dell’evento:

P(A) = 1 su 1 milioneL’approccio frequentista invece ci consente analizzando i casi di italiani stati colpiti da un fulmine nel 2001 (80 persone) di scrivere:

P(A) = 80 / 58 milioni = 0,000001379

Media μ / Valore atteso della variabile x, E(x):

per una variabile casuale continua

per una variabile discreta

nel caso di N eventi equiprobabili il valore medio può essere valutato più semplicemente mediante la media aritmetica

I gradi di libertà di un campione sono pari al numero degli elementi meno il numero dei parametri che sono determinati dal campione e vengono presi in considerazione:

ν = n − p

Ad esempio, nel calcolo della varianza del campione, dovendo introdurre il valor medio stimato (un parametro, p=1), allora il numero di gradi di libertà è pari a ν=n -1 ed ecco il motivo per cui è più corretto scrivere:

Parametri statistici di una distribuzione

La Varianza è il valore atteso E ([x-μ]2) della variabile (x-μ)2

per una variabile casuale continua risulta pari a:

per una variabile discreta risulta pari a:

Lo scarto tipo è la radice quadrata della varianza; nel caso di N eventi equiprobabili lo scarto tipo può essere anche valutato mediante la relazione semplificata :