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garth-robinson
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一、基本的三角分解法 LU 分解. 同样. 综合以上分析,有. 因此可以推导出. ------(1). U 的第一行. ------(2). L 的第一列. ------(3). U 的第 r 行. ------(4). L 的第 r 列. 称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为 LU 分解. 对于线性方程组. 系数矩阵非奇异,经过 LU 分解后. 线性方程组可化为下面两个三角形方程组. 例1. 用 LU 分解法解方程组. 解:. 由 LU 分解. 二、 Cholesky 分解. 定理. ( Cholesky 分解 ). 且该分解式唯一. - PowerPoint PPT Presentation
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,0)( knnij DaAn 的顺序主子式阶方阵定理:若 nk ,,2,1
一、基本的三角分解法 LU分解
即存在且唯一分解的则 ,LUALUA
nnnrn
rnrrr
nr
aaa
aaa
aaa
A
1
1
1111
1
1
1
1
1
nrn
r
ll
l
nn
rnrr
nr
u
uu
uuu
1111
证明略为的第一行元素根据矩阵的乘法原理 jaA 1,
njua jj ,,2,111
为素行元素主对角线以右元的第 ),,( nrjarA rj
r
kkjrkrj ula
1
nrj ,,
nr ,,2,1
同样
为素列元素主对角线以下元的第可知 ),,1( nriarA ir
r
kkrikir ula
1
nri ,,11,,2,1 nr
1111,1, ular ii 时显然 ni ,,3,2
综合以上分析 ,有
njua jj ,,2,111
r
kkjrkrj ula
1 nr ,,2,1
nrj ,,
rj
r
kkjrkrj uula
11
1
1111 ula ii ni ,,3,2
r
kkrikir ula
1 1,,2,1 nr
nri ,,1
rrir
r
kkrikir ulula
1
1
因此可以推导出
ju1 ja1 nj ,,2,1 U的第一行
11
11 u
al ii ni ,,3,2 L的第一列
------(1)
------(2)
1
1
r
kkjrkrjrj ulau
nr ,,2,1 nrj ,, U的第 r行------(3)
rr
r
kkrikir
ir u
ulal
1
1
1,,2,1 nr
nri ,,1L的第 r列------(4)
称上述 (1) ~ (4)式所表示的分解过程为 LU分解
对于线性方程组
bAx
系数矩阵非奇异 ,经过 LU分解后 LUA
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
bLy yUx
为中间未知量向量y
1
11
1
321
3231
21
nnn lll
ll
l
L
nn
nnnn
n
n
uuu
uuuuuuu
U
,11,1
,22322
,1131211
:, 的解不难得到的知识由第一节三角形方程组 bLy
11 by
12122 ylby
1
1
r
jjrjrr ylby nr ,,3,2
1
11
1
321
3231
21
nnn lll
ll
l
L
的解的解便得到因此再由 bAxyUx
nn
nn u
yx
rr
n
rjjrjr
r u
xuy
x
1
nn
nnnn
n
n
u
uu
uuu
uuuu
,11,1
,22322
,1131211
例 1. 用 LU分解法解方程组
1391444321
13124330102
4
3
2
1
xxxx
72510
解 : 由 LU分解
14131211 uuuu 30102
Tlll 4131211 T25.05.11
ju1 ja1
11
11 u
al ii
2423220 uuu 5.812110
1
1
r
kkjrkrjrj ulau
Tll 423210 T11/611/310
rr
r
kkrikir
ir u
ulal
1
1
343300 uu 11/211/300
Tl43100 T9100
44000 u 4000
1 1b y
1
1
r
jj rj r ry l b y
得解 ,bLy
Tyyyy 4321 T1611/172010
得解 ,yUx
Txxxx 4321 T4321
nn
nn u
yx
rr
n
rjjrjr
r u
xuy
x
1
二、 Cholesky分解
定理 . (Cholesky分解 )
使得正数的下三角阵
元全是则一定存在一个主对角为对称正定矩阵设
,
,
L
A
TLLA且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为 Cholesky分解
nnnrn
rrr
lll
ll
l
L
1
1
11
nnnrn
rnrrr
nr
aaa
aaa
aaa
A
1
1
1111
设
jiij aa
irarArL 列元素的第考察列已求出的第假设 ,1~1
nnnrn
rrr
lll
ll
l
1
1
11
nnnrn
rnrrr
nr
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
nn
nrrr
nr
l
ll
lll
1111
111111 lla 112121 lla 1111 lla ii ni ,,2,1
可以求出的第一列元素 1ilL
r
krkrkrr lla
1
21
1
2rr
r
krk ll
r
krkikir lla
1rrir
r
krkik llll
1
1
nrri ,,1,
-------------(1)
-------------(2)
-------------(3)
的元素的计算公式式可得由 L)8(~)6(
1111 al 11
11 l
al ii ni ,,3,2
1
1
2r
krkrrrr lal nr ,,2
rr
r
krkikir
ir l
llal
1
1 nri ,,1
-------------(4)
bAx 对于线性方程组
阶对称正定矩阵为其中 nA
使得的下三角阵则存在主对角元为正数 ,L
TLLA
-------------(5)
则线性方程组 (10)可化为两个三角形方程组
bLy
yxLT bxLL T )(
-------------(6)
-------------(7)
-------------(8)
bLy 解.1
nnnin
iii
lll
ll
l
L
1
1
11
11
11 l
by
ii
i
kkiki
i l
ylby
1
1
ni ,,3,2
------(9)
yxLT 解.2
nn
niii
ni
T
l
ll
lll
L
1111
nn
nn l
yx
ii
n
ikkkii
i l
xlyx
1
1,2,,1ni
------(10)
例 1. 用 Cholesky法解对称正定方程组
9109
6858137576
3
2
1
xxx
解 : A先分解系数矩阵
6858137576
A
6
67
65
62917413
2925
L
11 11a l11
11l
al
ii
1
1
2r
krk rr rrl a l
rr
r
krk ik ir
irl
l l al
1
1
分解T
LL
bLy 其次解
) , (b L
9109
11
11 l
by
69
22
12122 l
ylby
62969*7
10
1743
33
2
133
3 l
ylby k
kk
2910
11
11 l
by
ii
i
kkiki
i l
ylby
1
1
29
25
174
13
6
5
6
29
6
7
6
即 Tyyyy ),,( 321 T)2910
,1743
,69
(
yxLT 最后解
) , (y LT
2910174369
292517413
629
65
67
6nn
nn l
yx
ii
n
ikkkii
i l
xlyx
1
33
33 l
yx
11
3
211
1 l
xlyx k
kk
2
22
33222 l
xlyx
1 1
对角占优矩阵 :
满足若矩阵 nnijaA )(
n
ijj
ijii aa1
|||| ni ,,2,1
.为严格对角占优矩阵则称A 满足若矩阵 nnijaA )(
n
ijj
ijii aa1
|||| ni ,,2,1
.为弱对角占优矩阵则称A
补充
所以原方程组的解为Txxxx ),,( 321 T)2,1,1(
三 追赶法
有一类方程组 ,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用 ,即三对角线方程组 ,其形式为 :
nx
xx
x 2
1
dAx 其中
nd
d
d
d2
1
并且满足称为三对角线矩阵,A
0||||)1( 11 ca
--------(1)
nn
nnn
ab
cab
cab
ca
A
111
222
11
0,||||||)2( iiiii cbcba 1,,2 ni
0||||)3( nn ba
.线矩阵称为对角占优的三对角A
0det,, AA 即非奇异显然
0det, kAkA 即阶顺序主子式非零的任意因此
分解进行可以将所以 LUA,
设 LUA
nn
nnn
ab
cab
cab
ca
111
222
11
nn
n
pb
p
b
pb
p
1
3
22
1
即
1
1
1
1
1
2
1
nq
q
q
的元素的计算公式 和 可得U L
11 ap
i
ii p
cq 1 iiii qbap ni ,,2
--------(2)
方程组可化为求解两个三角形解三对角线方程组 dAx
dLy
yUx --------(3)
--------(4)
dLy 解)1(
),( dL
nnn
nn
dpb
dp
b
dpb
dp
11
3
222
11
得 111 / pdy
iiiii pybdy /)( 1 ni ,,3,2 --------(5)
yUx 解)2(
n
nn
y
yq
yq
yq
1
1
1
1
11
22
11
),( yU
得 nn yx
1 iiii xqyx ni ,,3,2 --------(6)
的追赶法式为解称由 dAx)6(~)2(