15.4 因式分解

: 整式的乘法

计算下列各式 :

x(x+1)=

(x+1)(x － 1)=

x2 + x

x2 － 1

在小学我们知道，要解决这个问题，需要把 12 分解成质数乘积的形式 .

3212 2

类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 .

讨论 12 能被哪些数整除 ?

1 、认识因式分解的定义与整式乘法的联系。2 、会用提取公因式法分解因式。3 、经历探究多项式因式分解的过程，培养逆向思维的能力重点： 因式分解的概念，用提公因式法分解因式。难点： 用提公因式法分解因式。

1)2(

)1(2

2

x

xx

请把下列多项式写成整式乘积的形式 .

)1( xx

)1)(1( xx

把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式） .

想一想：因式分解与整式乘法有何关系 ?

因式分解与整式乘法是互逆过程 .

(x+y)(x － y)x2 － y2因式分解整式乘法

练习一 理解概念

判断下列各式哪些是整式乘法 ? 哪些是因式分解 ?

(1) x2 － 4y2=(x+2y)(x － 2y) ； (2) 2x(x － 3y)=2x2 － 6xy (3) (5a － 1)2=25a2 － 10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a － 3)(a+3)=a2 － 9 (6) m2 － 4=(m+2)(m － 2) ； (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).

因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解

下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

2)1(22 xxxx

bababa22

))((

)2)(2(42 xxx

)1

1(1x

xx

C

把多项式 ma+mb+mc 分解成 m(a+b+c) 的形式，其中 m 是各项的公因式，另一个因式(a+b+c) 是 ma+mb+mc 除以 m 的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法提公因式法 ..

怎样分解因式 : .

mcmbma

公因式公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；

ma+mb+mc=m(a+b+c)

8a3b2 － 12ab3c 的公因式是什么？

最大公约数 相同字母　最低指数公因式 4 a b2

一看系数　二看字母　三看指数观察方向

注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的 .

说出下列多项式各项的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx － 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b － 2ab2+ab .

m

4k5y2

ab

例 1 分解因式把 caba 33 128 解原式 =

=

)3(42432caa ba

)32(432ca ba

)(3)(2 cbcba

分析： (b+c) 是这两个式子的公因式 , 可以直接提出 .

)(3)(2 cbcba 解：

)32)(( acb

例 2 分解因式

.

因式分解：(1)24x3y － 18x2y ；

(2) － 7ab － 14abx+49aby ；

(3)2a(y － z) － 3b(z － y) ；

(4)p(a2+b2) － q(a2+b2).

这节课你都有那些收获？

下列从左边到右边的变形是因式分解的（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

2)3(232 xxxx

ababa 83242

4)2)(2(2 aaa

)(2

)()( yxxyyxx

D

2 、分解因式

（ 1 ）

（ 2 ） m(a-3)+2(3-a)

3 、计算

xxx234

56326

14.31714.36214.321

20042+2004 能被 2005 整除吗 ?