Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа

Мере се:

• Својства Петријевих мрежа:

• Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у

испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено, стање.

• Ограниченост (Вoundedness) Како места у PN могу представљати

бафере са различитим ресурсима (производи, подаци итд.), проверавањем

ограничености мреже утврђује се да ли ће доћи до претоваривања бафера.

• Живост (Liveness) и Мртви чвор – блокада (Dead lock).

• ...

• Перформансе моделираног процеса: трајање процеса и потпроцеса,

чекање у процесу, искоришћеност ресурса итд.

Анализа Петријевих мрежа

Методе за анализу:

• Матрица инциденције и једначина стања

• Инваријанте

• Стабло досежљивости

• Симулација

Матрица инциденције и једначина стања

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

0 0 1 1

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

t t t t

p

p

U p

p

p

p

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

qjniuU ij ,1,,1],[

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

0

0

( , ) ако

( , ) ако

0 иначе

j i j i

ij j i j i

W t p t p

u W t p t p

Матрица инциденције и једначина стања

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e T

1 0 0 1 1 1 0 1

0 0 0 1 1 2 0 0 0

0 1 0 1 0 3 0 0 0

0 0 1 1 0 2 0 1 1

1 1 0 0 1 2 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1 0

M

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

- секвенца паљења

V - (карактеристични) вектор секвенце паљења

0 [100011]M 1 2 3 4 1 2 3 4 2t t t t t t t t t [2322]V

TT

0

T

VUMM

Матрица инциденције и једначина стања

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e T

1 0 0 1 1 1 2 3

0 0 0 1 1 4 0 2 2

0 1 0 1 0 2 0 3 3

0 0 1 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 3 1 1 0

1 0 1 0 1 1 1 2

M

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

0 [100011]M [4213]V

TT

0

T

VUMM

p-инваријанта

Z–вектор n ненегативних целих бројева је p –инваријанта ако важи:

Z ∙ U = 0

где је U матрица инциденције ПМ , а n број места у ПМ.

Свака p-инваријанта Z =[z1, z2, z3, z4, z5, z6]

задовољава следећи систем једначина:

Z1=[1,1,0,0,0,0], Z2=[0,1,1,0,1,0], Z3=[0,1,0,1,0,1]

Z =[z1, z2, z3, z4, z5, z6] 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

0 0 1 1

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

t t t t

p

p

U p

p

p

p

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

3 5

4 6

1 2 3 4

1 2 5 6

0000

z zz z

z z z zz z z z

TT

0 MZMZ

Својство : Нека је M0 почетно маркирање мреже PN =(N ,M0) и нека је МR(М0) . Онда је

где је Z p –инваријанта.

p-инваријанта

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

0 1 2[100011], [100110], [010000]M M M

T T T

1 0 1 1 1 2 1Z M Z M Z M

T T T

2 0 2 1 2 2 1Z M Z M Z M

T T T

3 0 3 1 3 2 1Z M Z M Z M

Z1=[1,1,0,0,0,0], Z2=[0,1,1,0,1,0], Z3=[0,1,0,1,0,1]

Својство : Ако су све компоненте p –инваријанте Z строго позитивне, онда је укупан

број токена у ПМ ограничен. Ако су уз то све компоненте једнаке 1, онда укупан број

токена у ПМ остаје константан после било које допустиве секвенце паљења.

У делу мреже који представља инваријанту је

увек један токен.

Z1 или размишља или једе

Z2 или је штапић 1 слободан или га филозоф

држи или једе

Z3 или је штапић 2 слободан или га филозоф

држи или једе

p-инваријанта

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

Z1=[1,1,0,0,0,0], Z2=[0,1,1,0,1,0], Z3=[0,1,0,1,0,1]

t-инваријанта

Свака t-инваријанта W =[w1, w2, w3, w4]

задовољава следећи систем једначина:

- w3 + w4 = 0

w3 - w4 = 0

w1 - w3 = 0

w2 - w3 = 0

- w1 + w4 = 0

- w2 + w4 = 0

W1=[1,1,1,1], W2=[0,0,0,0]

W =[w1, w2, w3, w4]

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

0 0 1 1

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

t t t t

p

p

U p

p

p

p

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

W–вектор q ненегативних целих бројева је t –инваријанта ако важи:

U ∙ WT = 0

где је U матрица инциденције ПМ , а q број прелаза у ПМ.

W1=[1,1,1,1]

Својство : Ако постоји допустива секвенца паљења која одговара t –инваријанти,

онда се таквом секвенцом паљења систем враћа у почетно стање.

Систем се враћа у почетно

стање ако се m пута упали

секвенца σ1 =< t1, t2, t3, t4>

t-инваријанта

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

Стабло досежљивости (State space)

1jede

stapic2

1`e

1drzistapic1 1drzistapic2

1misli

1`e

1zavrsava i vraca

1uzima21uzima1

1pocinje sa jelom

stapic1

1`e

t1=1uzima1,

t2=1uzima2,

t3=1pocinjesajelom,

t4=1zavrsavaivraca,

p1=1misli,

p2=1jede,

p3=1drzistapic1,

p4=1drzistapic2,

p5=stapic1,

p6=stapic2

0 [100011]M

1 [101001]M 2 [100110]M

4 [010000]M

t1 t2

3 [1001100]M

t2 t1

t3

t4