第十一章 Heap 結構

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第十一章 Heap 結構

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目次

11.1 Min-Max heap

11.2 Deap

11.3 Binomial heap

11.4 Fibonacci heap

11.5 動動腦時間11.6 練習題解答

3

11.1 Min-max heap

Min-max heap – 它包含了 min-heap 與 max-heap 兩種堆積樹的特徵，

如下圖即為一棵 min-max heap ： 10

40 45

19 13 18 15

32 28 34 31 24 35 42 33

Level 1

Level 2

Level 3

Level 4

min

max

min

max

4

11.1 Min-max heap (con.t)

Min-max heap 的特性– min-max heap 是以一層 min-heap 、 max-heap 交互構成的

Level1 中各節點的鍵值一律小於子節點 (10 小於 40 、 45) ， Level2 中各節點的鍵值一律大於子節點 (40 大於 19 、 13 ；

45 大於 18 、 15)

– 樹中為 min-heap 的部分，仍需符合 min-heap 的特性如圖 Level 1 的節點鍵值，會小於 Level 為 3 的子樹 (10 小

於 19 、 13 、 18 、 15)

– 樹中為 max-heap 的部份，仍需符合 max-heap 的特性如圖的 Level 2 的節點鍵值，會大於 Level 為 4 之子樹 (40

大於 32 、 28 、 34 、 31 ； 45 大於 24 、 35 、 42 、 33)

5


11.1.1 　 Min-max heap 的加入 min-max heap 的加入

– 與 max-heap 的原理差不多，但是加入後，要調整至符合上述 min-max heap 的定義

– 假設已存在一棵 min-max heap 如下：10

40 45

19 13 18 15

32 28 34 31

min

max

min

max

6


– 若加入 5 ，步驟如下

40 45

19 13 18 15

32 28 34 31 5

10 min

max

min

max

7


– 加入後 18>5 ，不符合第一項定義，將 5 與 18 交換

40 45

19 13 5 15

32 28 34 31 18

10 min

max

min

max

8


– 交換後，由於 10>5 ，不符合第二項定義，將 5 與 10 對調 min

max

min

max

40 45

19 13 10 15

32 28 34 31 18

5

9


– 符合 min-max heap 的定義，加入動作結束。若再加入 50 ，其加入步驟如下：

min

max

min

max

40 45

19 13 10 15

32 28 34 31 18

5

50

10


– 加入後 45<50 ，不符合第三項定義，將 45 與 50 交換

– 符合 min-max heap 的定義，加入動作結束

min

max

min

max

40 50

19 13 10 15

32 28 34 31 18

5

45

11


11.1.2 Min-max heap 的刪除 min-max heap 的刪除

– 若刪除最後一個節點，則直接刪除即可 – 否則，先將刪除節點鍵值與樹中的最後一個節點對調，

再作調整動作，意即以最後一個節點取代被刪除節點假設已存在一棵 min-max heap 如下：

40 50

19 13 10 15

32 28 34 31 18

5

45

min

max

min

max

12


– 若刪除 45 ，則直接刪除

40 50

19 13 10 15

32 28 34 31 18

5 min

max

min

max

13


– 若刪除 40 ，則需以最後一個節點的鍵值 18 取代 40min

max

min

max

18 50

19 13 10 15

32 28 34 31

5

14


– 交換後 18<19 ，不符合第一項定義，將 18 與 19 交換min

max

min

max

19 50

18 13 10 15

32 28 34 31

5

15


– 交換後，由於 19 小於 32 、 28 、 34 、 31 ，不符合第三項定義，將 19 與最大的鍵值 34 交換

– 符合 min-max heap 的定義，刪除動作結束

min

max

min

max

34 50

18 13 10 15

32 28 19 31

5

16

11.2 Deap

Deap– 同樣也具備 max-heap 與 min-heap 的特徵，其定義如下：

Deap 的樹根不儲存任何資料，為一空節點。樹根的左子樹為一棵 min-heap ；右子樹則為 max-heap 。 min-heap 與 max-heap 存在一對應，假設左子樹中有一節

點為 i ，則在右子樹中相同的位置存在一節點 j 與 i 對應，且 i 必須小於等於 j 。如圖的 5 與 35 對應， 5 小於 35 ；12 與 30 對應， 12 小於 30 5 35

12 21 30 32

18 16 25 27 22 29

17

11.2 Deap (con.t)

11.2.1 Deap 的加入 Deap 的加入

– Deap 的加入動作與其它堆積樹一樣，將新的鍵值加入於整棵樹的最後，再調整至符合堆積樹的定義

假設已存在一 Deap 如下：

5 30

15 20

18

11.2 Deap (con.t)

– 若加入 25 ，加入後右子樹仍為一棵 max-heap ，如下所示，且左子樹對應節點 15 小於等於它所對應的右子樹節點 25 ，符合 deap 的定義

5 30

15 20 25

19

11.2 Deap (con.t)

– 加入 17 ，加入後的圖形如下所示

– 此時右子樹仍為 max-heap ，但 17 小於其左子樹的對應節點 20 ，故將 17 與 20 交換

5 30

15 20 25 17

5 30

15 17 25 20

20

11.2 Deap (con.t)

– 加入 40 ，如下所示

5 30

15 17 25 20

40

21

11.2 Deap (con.t)

– 加入後左子樹雖為 min-heap ，但 40 大於其對應節點 25( 與節點 40 的父節點對應之右子樹節點 ) ，不符合 deap的定義，故將 40 與 25 交換，如下所示：

5 30

15 17 40 20

25

22

11.2 Deap (con.t)

– 交換後樹中的右子樹不是一棵 max-heap ，重新將其調整為 max-heap 即可

5 40

15 17 30 20

25

23

11.2 Deap (con.t)

11.2.2 Deap 的刪除 Deap 的刪除

– Deap 的刪除動作與其它堆積樹一樣，當遇到刪除節點非最後一個節點時，要以最後一個節點的鍵值取代刪除節點，並調整至符合 deap 的定義

假設存在一 deap 如下： 5 35

12 21 30 32

18 16 25 27 22 29

24

11.2 Deap (con.t)

– 若刪除 29 ，則直接刪除即可，結果如下圖所示

5 35

12 21 30 32

18 16 25 27 22

25

11.2 Deap (con.t)

– 刪除 21 ，此時以最後一個節點 22 取代之，再將最後一個節點刪除，檢查左子樹仍為一棵 min-heap ，且節點鍵值 22 小於其對應節點 32 ，不需作任何調整。刪除結果如下

5 35

12 22 30 32

18 16 25 27

26

11.2 Deap (con.t)

– 刪除 12 ，以最後一個節點 27 取代

5 35

27 22 30 32

18 16 25

27

11.2 Deap (con.t)

– 左子樹不符合 min-heap 的定義，將 27 子節點中鍵值較小者 16 交換

– 最後 16 與其對應的 30 比較； 16 小於 30 ，故不需再做調整

5 35

16 22 30 32

18 27 25

28

11.3 Binomial heap

Binomial heap– Binomial heap 是由一些 Binomial tree 所組成的集合 – 一棵 Binomial tree (Bk) 具有那些特徵：

Bk 的 Binomial tree 含有二棵 Bk-1 的 Binomial tree 。 Bk 的 Binomial tree 具有 2k 的節點數，如下所示

B0 B1 B2 B3

29

11.3 Binomial heap (con.t)

Bk 的高度為 k ，如 B3 表示此棵 Binomial tree 的高度為 3

在高度為 i 的那一層共有 k! / i!(k-i)! 個節點

高度 0

1

2

3

4

2

30


11.3.1 合併的動作假設有二棵 Binomial heap ，如下圖所示：

7

13

19

15

1

23

12head[H1]

5

45

19

39 28

44

31

3

37

18head[H2]

50

31


– 將它們化為一棵 Binomial heap ，由左至右按照其 degree由小至大排列之

6

45

30 10 44

31

1

23

18head[H]

50

12 3

37

28

13

7

15

19

32


– 將 degree 相同的合併，並且注意較小的鍵值放在上面，重複此步驟直到沒有相同的 degree 為止。首先將 degree為 0 的 Binomial tree 合併

6

45

30 10 44

31

1

2318

head[H]

50

12 3

37

28

13

7

15

19

33


– 再將 degree 為 1 的 Binomial tree 合併，由於有 3 棵 Binomial tree 的 degree 為 1 ，因此我們必須先判斷 root 的鍵值為較小的二棵 Binomial tree ，然後將這二棵 Binomial tree 中較大的加在較小的 Binomial tree 下方，如下圖所示：

6

45

30 10 44

31

1

2318

head[H]

50

12

3

37 28

13

7

15

19

34


– 再將 degree 為 2 的合併 6

45

30 10 44

31

1

2318

head[H]

50

12

3

37 2813

7

15

19

35


– 再將 degree 為 3 的合併

– 此時就大功告成了，其 Big-O 為 O( log n)

6

45

30 10 44

31

1

2318

head[H]

50

12

3

37

28

13

7

15

19

36


11.3.2 加入的動作將一節點加入到 Binomial heap ，有二個步驟：

– 將它加入到 head[H] 指向 Binomial tree 之樹根的鏈結串列中

– 執行合併的動作。

37


– 下面舉個例子來說明上述的步驟，將圖 11.1 加入一節點，其鍵值為 18 ，則加入於 head[H] 指向的樹根串列中

7

11

8 13 15

17

1

23

18head[H]

28

12

10

16 19

38


– 利用上述合併的動作，將按照 degree 的大小排列，再進行合併

– 由於 12 和 18 的 degree 皆為 0 ，故合併之，將 18 加入到12 的下方，因為 18 大於 12 。其 Big-O 為 O( log n)

7

11

8 13 15

17

1

2318

head[H]

28

12

10

16 19

39


11.3.3 刪除的動作刪除的動作

– 一般刪除的動作乃是擷取此棵 Binomial heap 的最小值出來，因此只要從 head[H] 指向的鏈結串列中就可找到最小的值在那一棵 Binomial tree ，此時將此節點刪除之即可

如有一棵 Binomial heap 如下：7

11

8 13 15

17

1

23

head[H]

28

12

10

16 19

40


– 將最小的鍵值 1 刪除，則為 7

11

8 13 15

17

10

16

head[H]

28

12 23

19

41


– 因為在刪除 1 之後， Binomial heap 中有 degree 相同的 Binomial tree ，因此要執行合併的動作

7

11

8 13 15

17

10

16

head[H]

28

12

23

19

42


– 而刪除動作的 Big-O 也是 O( log n)

7

11

8 13 15

17

10

16

head[H]

28

12

23 19

43

11.4 Fibonacci heap

Fibonacci heap 的類型– max F-heap ：若 parent 節點的鍵值皆大於 child 節點的鍵

值，則稱此棵樹為 max F-heap – min F-heap ：若 parent 節點的鍵值皆小於 child 節點的鍵值，

則稱此棵樹為 min F-heap 有一棵 F-heap 如下所示：

20

37

18 22 42

39

2

50

6

16

31

12 15

36

min[H]

44

11.4 Fibonacci heap (con.t)

– 每一節點的資料結構如下：parent

Llink key Rlink

Children

45


11.4.1 加入的動作加入的動作

– 假設現在有一棵 F-heap ，如下圖所示

20

37

28 22 42

39

2

50

6

16

31

12 15

36

min[H]

46


– 加入 77

– 只要將 77 加入到 root 串列中，再看看它是否比 min[H] 來得小，若是，則將 min[H] 指向此新加入的鍵值。加入後不需要作合併的動作。而此加入動作的 Big-O 為 O(1)

20

37

28 22 42

39

2

50

77

16

31

6 15

36

min[H]

12

47


11.4.2 擷取 F-heap 中的最小值擷取 F-heap 中的最小值

– 擷取 min[H] 所指向的節點假設有一 F-heap ，如下圖所示：

– 今將擷取 min[H] 即為鍵值為 2 的節點

20

37

22 42

39

2

50

6

16

31

36

min[H]

48


– 刪除鍵值 2 的節點後，此時的 F-heap 為

20

37 22 42

36

39

5016

31

6

min[H]

49


– 因為刪除鍵值 2 後，有相同的 degree 的樹，所以將其合併之。合併的動作與 Binomial heap 的合併動作相同，在此不再贅述

20

37 22 42

36

39

16

31

6

50

min[H]

20

50 22 42

36

39

6

31

16

37

min[H]

50


– 而刪除動作的 Big-O 為 O( log n)

20

22 42

36

39

31

6

5016

37

min[H]

51


– 而刪除動作的 Big-O 為 O( log n)

20

22 42

36

39

31

6

5016

37

min[H]

52


11.4.3 減少某鍵值的值減少某鍵值的值

– 將圖 11.2 的鍵值 16 減少 15 ，使其為 1 。– 首先與 parent node 相比，若較小，則刪除此節點與父節點

和兄弟節點的指標，此時將此節點和其子節點 ( 若有的話 )獨立出來，並將其加入 root 集合中。

– 並重新掃瞄 root 串列中的最小值為何，之後將 min[H] 指向它

53


– 其結果如下圖所示：

– 若減少某一鍵值 (decrease key) 之後，其值還是比 parent 來得大，則不需調整之。此一減少某鍵值的值之 Big-O 為 O(1)

20

28 22 42

39

26

50

31

15

36

12 1

min[H]

37

54


11.4.4 刪除的動作刪除的動作：

– 刪除的節點若為最小值，即和擷取最小值的情況是一樣的，刪除此節點並將其所屬的 child node 為此棵樹的 root ，重新連結這些節點，如將圖 11.2 刪除節點 2 ，則將成為下圖所示

20

28 22 4239

166

31

15

37

12 3650

min[H]

55


– 並重新選擇 root 中最小值為 6 ，因此 min[H] 指向此節點，之後再進行合併的動作

– 若刪除的不是最小值的話，如刪除圖 11.2 中的 16 ，則成為

20

28 22 42

39

26

50

31

15

36

12 37

min[H]

56


– 亦即從 double circular list 中刪除掉，然後將其 children node 成為 root 集合中的一員，如刪除 16 ，則 37 就會成為 root 集合中的一員，並選擇 root 集合中最小的一員當其 min[H] ，之後再進行合併的動作

– 而此刪除動作的 Big-O 為 O( log n)

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第十一章 Heap 結構