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例 1 已知描述某 LTI 系统的微分方程为 y " ( t ) + 3 y ' ( t ) + 2 y ( t ) = x ( t ) ,求系统的频率响应 H (j w ) 。. 解: 利用 Fourier 变换的微分特性,微分方程的频域表示式为. 由定义可求得. 例 2 已知某 LTI 系统 的 冲激响应 为 h ( t ) = (e - t - e - 2 t ) u ( t ) ,求系统的 频率响应 H (j w ) 。. 解: 利用 H( j w ) 与 h ( t ) 的关系. - PowerPoint PPT Presentation
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解:利用 Fourier 变换的微分特性,微分方程的频域表示式为
)j()j(2)j(j3)j()j( zszszs2 XYYY
由定义可求得
)j(
)j()j( zs
X
YH
2)j(3)j(
12
例 1 已知描述某 LTI 系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t) ,求系统的频率响应 H(j) 。
例例 22 已知某 LTILTI 系统系统的冲激响应冲激响应为 h(t) = (ete2t) u(t) ,求系统的频率响应频率响应 HH(j(j)) 。
解: 利用 H(j) 与 h(t) 的关系
)]([)j( thFH 2j
1
1j
1
2)j(3)j(
12
例 3 图示 RC 电路系统,激励电压源为 x(t) ,输出电压 y(t)
为电容两端的电压 vc(t) ,电路的初始状态为零。求系统的频率响应 H(j) 和冲激响应 h(t) 。
+
--
R
y(t)
+x(t) C
+
--
R
Y(j)
+X(j) 1/jC
解: 解: RC 电路的频域 ( 相量 ) 模型如图,
)j(
)j()j(
X
YH
CR
C
j
1j
1
RC
RC
/1j
/1
由 Fourier 反变换,得系统的冲激响应 h(t) 为)(e
1)( )/1( tu
RCth tRC
由电路的基本原理有
例 4 已知描述某 LTI 系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t) ,系统的输入激励 x
(t) = e3t u(t) ,求系统的零状态响应 yzs (t) 。
解: 由于输入激励 x(t) 的频谱函数为 3j
1)j(
X
系统的频率响应由微分方程可得
)2j)(1j(
4)j(3
2)j(3)j(
4)j(3)j(
2
H
故系统的零状态响应 yzs (t) 的频谱函数 Yzs (j) 为
)3j)(2j)(1j(
4)j(3)j()j()j(zs
HXY
)(]e2
5e2e
2
1[)]j([)( 32
zs1
zs tuYFty ttt
例 5 已知一连续时间系统的频率响应如图所示, 输入信号时, 试求该系统的稳态响应 y(t) 。
解:解: 1
0 3 3
)j( H
利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点,即
))(cos()j()}{cos( 0000 tHtT
可以求出信号 x(t) 作用在系统上的稳态响应为 tHtHHtxT 4cos)4j(2cos)2j(3)0j(5)}({
t2cos5 t
tttx 4cos2cos35)( t
例 6 求图示周期方波信号通过 LTI 系统 H(j) = 1/(+j) 的响应 y(t) 。
A
tT0-T0 0
)(~ tx
解: 对于周期方波信号,其 Fourier 系数为
2Sa 0
0
n
T
ACn
可得系统响应
0
j0
1 j
eRe
2Sa2)(
0
n
n
T
A
T
Aty
tn
n
n
tnn nHCty 0 j
0 e)j()(
例 7 求带通信号 x(t)=Sa(t)cos2t , t ,通过线性相位理想低通滤波器 的响应。d
c
j2 )()j( tepH
解: 因为 )(π)(Sa 2 pt F
利用 Fourier 变换的频移特性,可得)]2()2([
2
π)j( 22 ppX
X(j)
/2
1 3 3 1
|H(j)|
c c
)]2()2([2
πe)()j()j()j( 22
j2
d
c
pppXHY t
例 8 ::已知一离散 LTI 系统的 h[k]=(0.5)ku[k] , 输入 x[k]=cos(0.5k) , (∞<k<∞) ,求系统的稳态响应。
jj
e5.01
1]}[{DTFT)e( khH
j5.01
1)e( π5.0j
H 4636.0je8944.0
)]π5.0(π5.0cos[)e(][ π5.0j kHky
)4636.0π5.0cos(8944.0 k
解:解:
例 9 :确定理想低通滤波器的单位脉冲响应 hLP[k] 。
解:解: de)e(
π2
1][ jj
LP
π
πLPkHkh
de
π2
1 jc
c
k
kk
kk
j
e
j
e
π2
1 cc jj
)(Saπ c
c k
-100 -50 0 50 100-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
理想的数字滤波器都是非因果离散系统非因果离散系统