на правах рукописи

ФАВОРСКАЯ Алена Владимировна

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ

МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

МОСКВА – 2015

2

Работа выполнена на кафедре информатики

Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Петров Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор Официальные оппоненты:

Никитин Илья Степанович,

доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматизации проектирования

РАН, отдел информатизации, математического моделирования и управ-

ления, ведущий научный сотрудник

Козелков Андрей Сергеевич,

кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и

математической физики Федерального Государственного Унитарного Предприятия «Российский федеральный ядерный центр – Всероссий-

ский научно-исследовательский институт экспериментальной физики»,

начальник научно-исследовательской лаборатории математического отделения

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение "Национальный

исследовательский центр "Курчатовский институт"

Защита состоится «22» октября 2015 г. в 9:15 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-

технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд.

903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ и на сайте МФТИ www.mipt.ru.

Автореферат разослан «____» ____________ 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Федько Ольга Сергеевна

3

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

Современные задачи по моделированию пространственных динами-ческих процессов в сложных гетерогенных средах требуют вводить все

более усложняющиеся механико-математические модели. К данному

классу задач относятся и численные эксперименты в областях сейсмо-разведки и сейсмологии. Вопрос освоения Арктического шельфа Рос-

сийской Федерации является актуальным в силу необходимости разра-

ботки и разведки месторождений углеводородов. На Арктическом шельфе России располагаются 8 месторождений, запасы в которых оце-

ниваются, приблизительно, в 2.7 трлн. м3. Для данных месторождений

необходимо уточнение выполненных ранее оценок запасов нефти и газа. Нефтеразведка в условиях Арктики обладает своей спецификой. Напри-

мер, одним из слоев, через которые распространяются сигналы от ис-

точников, является море, другим — ледяной покров, вносящий свой вклад в измеряемые или вычисляемые отклики при сейсморазведке.

Актуальными также являются и задачи моделирования землетрясе-

ний. Полученная волновая картина, как в толще земли, так и на ее по-верхности и в расположенных на ней объектах, позволяет определять

области возможных разрушений жилых и промышленных сооружений,

что даст возможность повысить сейсмостойкость зданий. Поскольку любая халатность на железной дороге может привести к

человеческим жертвам и существенным финансовым потерям, примеров

которым в мире насчитывается много, одной из приоритетных задач яв-ляется мониторинг состояния рельсов (дефектоскопия) и железнодо-

рожного полотна в целом.

Также в настоящее время появляется практический интерес к иссле-дованию влияния анизотропии геологических сред на прохождение в

них сейсмических волн и к моделированию композитных материалов.

Степень разработанности темы исследования При численном решении задач сейсмики используют конечно-

разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках, псевдо-

спектральный метод и метод спектральных элементов, сеточно-

характеристический метод. Для численного моделирования ультразву-ковой дефектоскопии применяют метод конечных элементов, масс-

пружинную модель, метод конечных разностей и квазианалитический

метод конечных элементов (semi-analytical finite element method, SAFE).

4

При численном решении задач сейсморазведки используют, в основном,

лучевые методы. Также для решения данных задач применяют методы конечных элементов и спектральных элементов, в том числе с точно-

стью высокого порядка, конечно-разностные схемы, адаптированные

для моделирования задач сейсмики. Для решения задач, в которых фигурируют гиперболические систе-

мы уравнений, описывающие линейно-упругую среду (в том числе, в

анизотропном случае) и акустическое поле, и требующих при этом вы-сокоточного расчета волновых процессов, применение метода, позво-

ляющего детально и физически корректно описывать проистекающие

волновые процессы, является оптимальным. Таким методом является се-точно-характеристический метод (GCM).

Использование неструктурированных треугольных и тетраэдраль-

ных сеток позволяет проводить численное моделирование контактных границ сложной формы. Для сеточно-характеристического метода на не-

структурированных сетках необходима разработка интерполяции на

тетраэдральных сетках и написание соответствующей библиотеки. При решении ряда задач необходим точный и физически коррект-

ный учет границ и контактных границ области интегрирования, что тре-

бует разработки и математического обоснования соответствующих гра-ничных и контактных условий. При численном моделировании задач,

включающих как акустическую, так и линейно-упругую среды, к кото-

рым относятся, в частности, задачи сейсморазведки в условиях Арктиче-ского шельфа, требуется разработка контактного условия между соот-

ветствующими средами. При численном моделировании ряда задач, на-

пример, задач сейсмостойкости наземных и подземных сооружений, не-однородности занимают небольшую часть области интегрирования. Для

решения таких задач целесообразна разработка сеточно-

характеристического метода на иерархических структурированных и не-структурированных сетках.

Использование различных критериев разрушений, например, крите-

рия по главному напряжению, позволяет моделировать процессы разру-шения сеточно-характеристическим методом, что, однако, снижает точ-

ность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки.

Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными раз-рушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц

(SPH), являющийся бессеточным. Но этот метод не лишен недостатков:

для него характерны нефизичные осцилляции, а детальное моделирова-

5

ние волновых процессов требует увеличения количества частиц. Для

решения задач, требующих расчета значительных разрушений и дефор-маций одновременно с описанием волновых процессов, целесообразна

разработка комбинированного численного метода GCM-SPH.

Классические интегралы Кирхгофа широко используются при реше-нии краевых задач для волнового уравнения. Также получены обобщён-

ные интегралы Кирхгофа, описывающие решение краевой задачи теории

упругости в замкнутой форме. Эти интегралы позволяют обобщить на случай волн в упругой среде классические методы, развитые для реше-

ния скалярного волнового уравнения. В связи с этим представляет инте-

рес получение интегралов Релея для решения краевой задачи теории уп-ругости на основе соответствующих интегралов Кирхгофа, а также про-

ведение сравнения решений, полученных с их помощью, и сеточно-

характеристическим методом.

Цели и задачи Целями и задачами работы являются:

1. Разработка методов интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных тетраэдральных сетках. Написание библиотеки для ин-терполяции на неструктурированных сетках.

2. Разработка комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-

характеристического и метода сглаженных частиц для численного моде-лирования волновых процессов в упругопластических телах.

3. Разработка методов нахождения решения в узлах на поверхностях

раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверх-

ностями), а также на границе области интегрирования с использованием

мнимых точек. 4. Разработка сеточно-характеристических методов на иерархиче-

ских структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по

времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках и с использованием интерполяции высоких порядков.

5. Адаптация сеточно-характеристического метода к моделированию

волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах. 6. Получение интегралов Релея для случая однородной линейно-

упругой среды. Проведение сравнения решений, полученных с помощью

интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом. 7. Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктическо-

го шельфа, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и ульт-

6

развуковой дефектоскопии горизонтального расслоения головки желез-

нодорожного рельса.

Научная новизна Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных тетраэдральных сетках. Реализована библиотека по ин-терполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

3. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разно-

стные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и

тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные раз-

ностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

4. Выполнено математическое обоснование комбинированного ме-

тода GCM-SPH, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

5. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в

узлах на поверхностях раздела сред. 6. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм

для расчета динамических процессов с помощью сеточно-

характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени) сетках.

7. Сеточно-характеристический метод адаптирован для моделирова-

ния волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах. 8. Получены выражения для интегралов Релея для случая однород-

ной линейно-упругой среды.

9. С помощью семейства сеточно-характеристических методов по-лучено численное решение ряда задач сейсмической разведки, сейсмо-

стойкости наземных и подземных сооружений, дефектоскопии рельсов.

Теоретическая и практическая значимость работы Важными теоретическими и практическими результатами являются: 1. разработка методов интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных сетках, написание соответствующей библиотеки;

2. исследование на аппроксимацию сеточно-характеристических ме-тодов на неструктурированных сетках и исследование на устойчивость

семейства разностных схем, в которые переходят двумерные и трехмер-

ные разностные схемы, чередованию которых соответствует сеточно-

7

характеристический метод на неструктурированных треугольных и тет-

раэдральных сетках соответственно; 3. математическое обоснование комбинированного метода GCM-

SPH и доказательство сохранения комбинированным методом GCM-SPH

порядка аппроксимации базовых методов; 4. математическое обоснование нахождения решения в узлах на по-

верхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и

акустических сред, условие динамического трения между контактирую-щими поверхностями), а также на границе области интегрирования с ис-

пользованием мнимых точек;

5. математическое обоснование расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических струк-

турированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с

использованием интерполяции высоких порядков) сетках; 6. адаптация сеточно-характеристического метода для моделирова-

ния волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах;

7. получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды и сравнение решений, полученных с помощью интегра-

лов Релея, и сеточно-характеристическим методом;

8. результаты исследований влияния льда, взаиморасположения приемников и источников в задачах сейсморазведки в условиях Аркти-

ческого шельфа; волновых картин и динамики возникновения повреж-

дений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения; пространственных волновых про-

цессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии рельса.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров

1. Семь грантов РФФИ (2011-2015).

2. Проект РНФ №14-11-00263 на базе МФТИ; 3. Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка науч-

ных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторожде-

ний углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013.

4. Государственный контракт № 14.575.21.0084 «Разработка высоко-

точных вычислительных методов и комплексной программно-алгоритмической системы поиска и разведки месторождений полезных

ископаемых сейсмическими и электромагнитными методами в шельфо-

вой зоне Арктики», 2014-2015.

8

5. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам, 2013-

2015, стипендия Правительства РФ аспирантам, 2014-2015. 6. IBM Fellowship, 2015.

Методология и методы исследования Используется сеточно-характеристический метод на структуриро-

ванных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких поряд-ков, в том числе, на иерархических. Используется точная постановка

граничных и контактных условий, в том числе контактного условия ди-

намической силы трения, контактного условия между упругими и аку-стическими средами и граничного условия с использованием мнимых

точек. В диссертации проводится численное моделирование сейсмиче-

ской разведки в условиях Арктического шельфа при помощи прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослой-

ных упругих и акустических средах. Также проводится численное моде-

лирование ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов и влияния сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра земле-

трясения, на наземные и подземные сооружения с помощью сеточно-

характеристического метода на иерархических сетках.

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерпо-

ляции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интер-

поляции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачивае-

мых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-

линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

2. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разно-

стные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и

тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные раз-

ностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

3. Выполнено математическое обоснование комбинированного ме-

тода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглажен-ных частиц (SPH) для численного моделирования волновых процессов в

9

упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным ме-

тодом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов. 4. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в

узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела

упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интег-

рирования с использованием мнимых точек.

5. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-

характеристических методов на иерархических структурированных и

неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

6. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода для

моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев

орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-

трансверсальной анизотропии. 7. Получены выражения для интегралов Релея для случая однород-

ной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получае-

мых с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим мето-дом.

8. С помощью семейства сеточно-характеристических методов по-

лучено численное решение ряда задач, в том числе проведены: - исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и

источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического

шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм;

- исследование волновых картин и динамики возникновения повре-

ждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникаю-

щих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.

Степень достоверности и апробация результатов Научные результаты диссертации опубликованы в 64 работах, из ко-

торых 5 [1-5] в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Sci-

ence, 8 [1-8] в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 23 в

изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ [1-23] и 15 [9-23] в изда-

ниях, рекомендованных ВАК РФ.

10

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобре-

ние специалистов на следующих научных конференциях: 1.Научные конференции Московского физико-технического инсти-

тута – Всероссийские молодёжные научные конференции с междуна-

родным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естест-венных и технических наук в современном информационном обществе»

(МФТИ, Долгопрудный, 2009 – 2014);

2.Российско-индийский семинар «Новые достижения математиче-ского моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011);

3.III Международная научно-практическая конференция «Интеллек-

туальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);

4.Конференция "Численная геометрия, построение сеток и высоко-

производительные вычисления" посвященная 120 годовщине со дня ро-ждения Б.Н. Делоне и конференция NUMGRID2012 (Москва, 2012);

5.X и XI Курчатовская молодежная научная школа (Москва, 2012-

2013); 6.XX юбилейная конференция «Ломоносов», МГУ (Москва, 2013);

7.Международная конференция, проводящейся в рамках "G20 Youth

Forum 2013" (Санкт-Петербург, 2013); 8.Научно-практическая конференция "Суперкомпьютерные техно-

логии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и

аппаратное обеспечение" (Москва, 2013); 9.The 6th International Conference "Distributed Computing and Grid-

technologies in Science and Education", (Москва, 2014);

10.Третья научно-техническая конференция с международным уча-стием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном

транспорте. Компьютерное и математическое моделирование", ИСУЖТ-

2014 (Москва, 2014). Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобре-

ние специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1.ОАО «Нефтяная компания “Роснефть”» (2011, 2012, 2013); 2.Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-

исследовательский институт экспериментальной физики (2011, 2012);

3.Филиал «Центр Инновационного Развития» ОАО «РЖД» (2013).

11

Основное содержание работы Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 171 страницу. Спи-

сок литературы содержит 171 наименование.

Во Введении рассмотрены актуальность темы исследования, сте-пень разработанности темы исследования, цели и задачи, научная но-

визна, теоретическая и практическая значимость работы, методология и

методы исследования, положения, выносимые на защиту, степень досто-верности и апробация результатов.

В Главе 1 рассматриваются определяющие системы уравнений:

система, описывающая состояние сплошной линейно-упругой среды в изотропном и анизотропном случаях, и система, описывающая акусти-

ческое поле. На основе данных систем уравнений решаются задачи ши-

рокого класса, например, задачи сейсморазведки, в том числе, в услови-ях Арктического шельфа: при этом находят численное решение системы

уравнений, описывающей линейно-упругую среду в изотропном случае,

для описания волновых процессов в грунте, льде, и численное решение системы, описывающей акустическое поле, для описания волновых про-

цессов в воде (приближение идеальной сжимаемой жидкости).

В Главе 2 приведены сеточно-характеристические методы на струк-турированных (двумерный и трехмерный случай), а также на неструкту-

рированных треугольных и тетраэдральных сетках для решения системы

уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в изотроп-ном и анизотропном случаях, а также системы, описывающей акустиче-

ское поле. Вкладом автора являются:

- адаптация сеточно-характеристического метода на структуриро-ванных сетках в двумерном и трехмерном случаях, а также на неструк-

турированных треугольных сетках, для решения системы уравнений,

описывающей состояние линейно-упругой среды в анизотропном слу-чае, системы, описывающей акустическое поле, а также совместного

решения данных систем в изотропном случае;

- разработка сеточно-характеристического метода на неструктури-рованных тетраэдральных сетках для решения системы уравнений, опи-

сывающей состояние линейно-упругой среды в изотропном и анизо-

тропном случае, а также системы, описывающей акустическое поле и совместного решения данных систем в изотропном случае.

12

- исследование семейства сеточно-характеристических методов на

неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках с интерпо-ляцией от первого до пятого порядка включительно на аппроксимацию и

исследование на устойчивость разностных схем, в которые данное се-

мейство методов переходит в одномерном случае. В Главе 3 рассмотрены граничные и контактные условия, сохра-

няющие порядок аппроксимации используемого сеточно-

характеристического метода. Автором были получены - граничные смешанные и неотражающие граничные условия, а

также контактные условия полного слипания и свободного скольжения

для случая неколлинеарной направлению расщепления нормали к по-верхности раздела (случай неструктурированных сеток) для решения

системы уравнений, описывающей состояние сплошной линейно-

упругой среды в изотропном случае; - контактное условие с динамической силой трения, а также гранич-

ное условие с использованием мнимых точек для случая коллинеарной

направлению расщепления нормали к поверхности раздела (случай структурированных сеток);

- граничные условия заданной плотности внешних сил, заданной

скорости границы, смешанные и неотражающие, контактные условия полного слипания, свободного скольжения для системы уравнений, опи-

сывающей линейно-упругую среду в анизотропном случае как для слу-

чая структурированных, так и для случая неструктурированных сеток; - граничные условия заданного давления, заданной нормальной

компоненты скорости, контактное условие свободного скольжения для

системы уравнений, описывающей акустическое поле, и контактное ус-ловие между линейно-упругим и акустическим слоями;

- сеточно-характеристический метод на иерархических сетках;

- математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH. В Главе 4 рассматриваются методы интерполяции на треугольных

сетках, и полученные автором методы интерполяции на тетраэдральных

сетках: интерполяция полиномами от первого до пятого порядка вклю-чительно, кусочно-линейная интерполяция, и три вида гибридных ин-

терполяций, результаты численного тестирования.

В Главе 5 приводятся полученные автором на основании интегра-лов Кирхгофа для краевой задачи теории упругости в замкнутой форме

соответствующие интегралы Релея, результаты сравнения решений, по-

лучаемых с помощью данных интегралов Релея и сеточно-

13

характеристическим методом, демонстрирующее количественные и ка-

чественные совпадения решений для всех типов волн, что свидетельст-вует как о физической корректности решений, получаемых сеточно-

характеристическим методом, так и о целесообразности применения и

дальнейшего развития методов решения краевой задачи теории упруго-сти при помощи интегралов Релея и Кирхгофа.

В Главе 6 рассматриваются результаты численного моделирования.

В шельфовой зоне Арктических морей расположены перспективные за-пасы нефти и газа. Сейсморазведочные работы в Арктических условиях

осложнены наличием воды и ледяного покрова. В данном пункте приве-

дены результаты проведенного автором исследования влияния льда, расположения приемников и источников на получаемые сейсмограммы.

По результатам проведенных исследований были сделаны следующие

выводы. - В акустических резервуарах можно видеть более активные отраже-

ния, чем в линейно-упругих. Отклик от акустических резервуаров также

более выраженный на всех сейсмограммах, как в случае приемников на дне, так и на в случае приемников на льду.

- При расположении источника на дне наличие льда существенно не

влияет на получаемые как на дне, так и на поверхности льда или воды соответственно сейсмограммы.

- В случае расположения источника и приемников вблизи поверхно-

сти при отсутствии льда получается более информативный отклик. - При расположении приемников на дне расположение источников

не оказывает существенного влияния. Приемники на дне всегда дают

больше информации: фиксируют и вертикальную, и горизонтальную компоненты скорости. При расположении приемников на поверхности

как льда, так и воды теряется горизонтальная компонента скорости.

- При расположении источников на льду, во льду и в воде подо льдом волновые картины, возникающие отклики и все виды сейсмо-

грамм (с приемников на поверхности, с приемников на дне, с горизон-

тальной, вертикальной компонентами скорости и модулем скорости) близки (с точностью до 1 процента).

- При измерениях на льду сейсмограммы, показывающие модуль

скорости, дают меньше информации, чем сейсмограммы, показывающие вертикальную компоненту скорости.

14

- Отклики, регистрируемые на приемниках, расположенных на по-

верхности, значительно слабее, чем отклики, регистрируемые на прием-никах, расположенных на дне.

На рис. 1 приведены волновые отклики для источников, располо-

женных во льду (рис. 1а, 1б), и для источников, расположенных на дне подо льдом (рис. 1в, 1г). На 1а, 1в рассмотрены случаи с резервуаром, а

на рис. 1б, 1г – при его отсутствии. На рис. 2 приведены соответствую-

щие сейсмограммы, полученные с приемников, расположенных на по-верхности льда при измерении вертикальной компоненты скорости.

а) б)

в) г)

Рис. 1. Волновые картины. Сравнение расположения источников во льду и на дне.

При наличии льда.

а) б)

в) г)

Рис. 2. Сейсмограммы (вертикальная компонента скорости).

Сравнение расположения источников во льду и на дне. При наличии льда.

Добыча углеводородов в условиях Арктического шельфа осложнена

наличием ледяных образований: айсбергов и торосов, столкновение с

15

которыми может привести к повреждениям нефтедобывающих плат-

форм, исследовательских и транспортировочных судов, экологическим катастрофам в результате выброса нефти в открытое водное пространст-

во. В настоящее время в качестве одного из способов борьбы с опасно-

стью соударений ледовых образований с судами и нефтедобывающими платформами рассматривается проведение взрывного воздействия на

айсберг. Сложность проведения данного воздействия заключается в том,

что взрыв может проистекать двумя качественно различными путями и привести к диаметрально противоположным с точки зрения снижения

рисков соударения результатам: либо расколоть айсберг на крупные ос-

колки (что увеличивает риск последующих соударений пропорциональ-но количеству осколков), либо расколоть айсберг в ледяную крошку.

Способ, которым расколется айсберг в результате взрывного воздейст-

вия, зависит от параметров взрыва и особенностей возникающих при этом в айсберге волновых процессов. Физическое моделирование

взрывных воздействий на кубы льда является трудоемким и дорого-

стоящим, что не позволяет провести детального исследования и выра-ботки соответствующих критериев, в соответствии с которыми нужно

проводить взрывное воздействие на айсберг, чтобы получить ледяную

крошку, а не увеличение числа айсбергов. В связи с этим целесообразно применение численного моделирования соответствующих процессов,

при этом необходим детальный учет волновых процессов, так как имен-

но от них зависит результат взрывного воздействия на айсберг, увеличи-вающий, либо уменьшающий риски последующих соударений. Рассмат-

ривается выполненное автором решение задачи взрывного воздействия

на айсберг с помощью сеточно-характеристического метода на структу-рированных сетках с использованием разработанного автором контакт-

ного условия между линейно-упругой и акустической средами.

Причиной схождения состава с железнодорожного пути может яв-ляться разрыв рельса, которому предшествуют имеющиеся в рельсе де-

фекты, быстрый рост которых может быть вызван нагрузкой, возни-

кающей при прохождении состава по данному участку железнодорож-ного пути. В настоящее время в качестве перспективного метода дефек-

тоскопии рельсов рассматривают ультразвуковую дефектоскопию. Од-

ной из особенностей данного метода неразрушающего контроля являет-ся возможность его применения непосредственно во время движения

поезда, что может предотвратить схождение состава с рельсов. В данной

главе также рассматривается выполненное автором численное модели-

16

рование неразрушающего контроля железнодорожных путей на примере

ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов с горизон-тальным расслоением головки.

Рассматривается выполненное автором решение задач сейсмостой-

кости наземных и подземных сооружений с использованием разрабо-танного автором сеточно-характеристического метода на структуриро-

ванных иерархических сетках. Использование иерархических сеток

позволяет рассчитывать распространение сейсмических волн от гипо-центра землетрясения до наземных и подземных сооружений и исследо-

вать динамику возникновения повреждений. На рис. 3 приведены по-

вреждения, возникшие в наземном сооружении после прохождения сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения.

Рис. 3. Повреждения в наземном сооружении.

Также приведены результаты численного моделирования землетря-сения и распространения сейсмических волн в изотропных и анизотроп-

ных геологических средах, выполненные разработанным автором сеточ-

но-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдраль-ных сетках, результаты численного моделирования задач о соударениях

разработанным автором комбинированным методом GCM-SPH и ре-

зультаты моделирования: - волновых процессов при наличии динамического трения на кон-

тактных поверхностях с использованием соответствующего разработан-

ного автором контактного условия; - низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из композит-

ного материала с использованием разработанного автором сеточно-

характеристического метода на неструктурированных сетках (приведено сравнение результатов численного и физического моделирования);

- отклика от системы трещин в геологической среде с использовани-

ем разработанного автором сеточно-характеристического метода на не-структурированных тетраэдральных сетках (приведено сравнение ре-

зультатов численного и физического моделирования).

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

17

Основные результаты диссертации 1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных тетраэдральных сетках. Реализована библиотека по ин-

терполяции на треугольных и тетраэдральных сетках. Проведено иссле-

дование сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках на аппроксимацию и исследова-

ние на сходимость их одномерных аналогов.

2. Математически обоснован комбинированный метод на базе се-точно-характеристического на неструктурированных тетраэдральных

сетках и метода сглаженных частиц (SPH) для численного моделирова-

ния волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохране-ние комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации ба-

зовых методов.

3. Математическое обосновано нахождение решения в узлах на по-верхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и

акустических сред, условие динамического трения между контактирую-

щими поверхностями), а также на границе области интегрирования с ис-пользованием мнимых точек.

4. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм

для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и

неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием

интерполяции высоких порядков) сетках. 5. Семейство сеточно-характеристических методов адаптировано

автором к моделированию волновых процессов в анизотропных линей-

но-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а так-же случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и верти-

кально-трансверсальной анизотропии.

6. Получены выражения для интегралов Релея для случая однород-ной линейно-упругой среды, проведено сравнение решений, получаемых

с помощью интегралов Релея, и сеточно-характеристическим методом,

показывающее количественные и качественные совпадения. 7. С помощью семейства сеточно-характеристических методов по-

лучено численное решение ряда задач, в том числе проведены: - исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и

источников в задачах сейсморазведки в условиях Арктического шельфа;

18

- исследование волновых картин и динамики возникновения повре-

ждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникаю-

щих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути. Также с использованием разработанных автором методов решены

задачи сейсмической разведки, задачи о соударениях, задачи по иссле-

дованию композитных материалов в интересах авиапромышленности, в том числе проводилось моделирование:

- волновых процессов при наличии динамического трения на кон-

тактных поверхностях с использованием соответствующего разработан-ного автором контактного условия;

- низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из композит-

ного материала с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках, в том чис-

ле проведено сравнение результатов численного и физического модели-

рования; - отклика от системы трещин в геологической среде с использовани-

ем разработанного автором сеточно-характеристического метода на не-

структурированных тетраэдральных сетках, в том числе проведено срав-нение результатов численного и физического моделирования.

Список работ, опубликованных автором по теме

диссертации Ниже приведен список основных работ, опубликованных автором

по теме диссертации. Со всем работами можно ознакомиться в тексте

кандидатской диссертации.

1. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Sannikov, A.V. Grid Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Meshes / A.V.

Favorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, A.V. Sannikov // Computational

Mathematics and Mathematical Physics. – 2014. – Vol. 54, No. 5 – P. 837 – 847.

2. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V.,

Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Grid Characteristic Method for the Numerical Solution of ThreeDimensional Dynamical Elastoplastic Problems /

A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov,

A.S. Ermakov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2014. – Vol. 54, No. 7 – P. 1176 – 1189.

19

3. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Biryukov, V.A.,

Sannikov, A.V. Grid-Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Grids / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, V.A. Biryukov, A.V.

Sannikov // Doklady Mathematics. – 2014. – V. 90, No. 3. – P. 781 – 783.

4. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Method for the Numerical Solution

of Dynamic Three-Dimensional Elastoplastic Problems / A.V. Favorskaya,

I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov, A.S. Ermakov // Doklady Mathematics. – 2015. – V. 91, No. 1. – P. 111 – 113.

5. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Vasyukov, A.V., Ermakov, A.S.,

Beklemysheva, K.A., Kazakov, A.O., Novikov, A.V. Numerical Simulation of Wave Propagation in Anisotropic Media / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov,

A.V. Vasyukov, A.S. Ermakov, K.A. Beklemysheva, A.O. Kazakov, A.V.

Novikov // Doklady Mathematics. – 2014. – V. 90, No. 3. – P. 778 – 780. 6. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Sannikov, A.V., Kvasov, I.E. Grid-

Characteristic Method Using High Order Interpolation on Tetrahedral Hierar-

chical Meshes with a Multiple Time Step / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Sannikov, I.E. Kvasov // Mathematical Models and Computer Simula-

tions. – 2013. – Vol. 5, No. 5. – P. 409 – 415.

7. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Beklemysheva, K.A. Numerical Simulation of Processes in Solid Deformable Media in the Presence of Dy-

namic Contacts Using the Grid-Characteristic Method / A.V. Favorskaya, I.B.

Petrov, K.A. Beklemysheva // Mathematical Models and Computer Simula-tions. – 2014. – Vol. 6, No. 3. – P. 294 – 304.

8. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A.,

Sannikov, A.V., Golubev, V.I. Monitoring the State of the Moving Train by Use of High Performance Systems and Modern Computation Methods / A.V.

Favorskaya, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov, V.A. Miryakha, A.V. Sannikov, V.I.

Golubev // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2015. – Vol. 7, No. 1. – P. 50 – 60.

9. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Санников, А.В.

Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэд-ральных сетках / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, А.В. Сан-

ников // Журнал вычислительной математики и математической физики.

– 2014. – Т. 54, № 5. – С. 821 – 832. 10. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Шевцов, А.В., Васюков, А.В.,

Потапов, А.П., Ермаков, А.С. Сеточно-характеристический комбиниро-

ванный метод для численного решения динамических пространственных

20

упругопластических задач / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Шевцов,

А.В. Васюков, А.П. Потапов, А.С. Ермаков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2014. – Т. 54, № 7. – С. 1203 –

1217.

11. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Бирюков, В.А., Санников, А.В. О сеточно-характеристическом методе на неструктури-

рованных тетраэдральных сетках / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, М.В.

Муратов, В.А. Бирюков, А.В. Санников // Доклады РАН. – 2014. – Т. 459, № 4. – C. 406 – 408.

12. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Шевцов, А.В., Васюков, А.В.,

Потапов, А.П., Ермаков, А.С. О комбинированном методе для численно-го решения динамических пространственных упругопластических задач

/ А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Шевцов, А.В. Васюков, А.П. Пота-

пов, А.С. Ермаков // Доклады РАН. – 2015. – Т. 460, №. 4. – С. 389 – 391. 13. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Васюков, А.В., Ермаков, А.С.,

Беклемышева, К.А., Казаков, А.О., Новиков, А.В. О численном модели-

ровании волновых процессов в анизотропных средах / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Васюков, А.С. Ермаков, К.А. Беклемышева, А.О. Ка-

заков, А.В. Новиков // Доклады РАН. – 2014. – Т. 495, № 3. – С. 285 –

287. 14. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Санников, А.В., Квасов, И.Е. Се-

точно-характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на

тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Санников, И.Е. Квасов // Математи-

ческое моделирование. – 2013. – Т. 25, № 2. – С. 42 – 52.

15. Фаворская, А.В., Беклемышева, K.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при нали-

чии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического

метода / А.В. Фаворская, K.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Математиче-ское моделирование. – 2013. – Т. 25, № 11. – С. 3 – 16.

16. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Го-

лубев, В.И., Санников, А.В. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высо-

коточных вычислительных методов / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, В.А.

Миряха, Н.И. Хохлов, В.И. Голубев, А.В. Санников // Математическое моделирование. – 2014 – Т. 26, № 7. – С. 19 – 32.

17. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Санников, А.В., Квасов, И.Е.

Компьютерное моделирование пространственных динамических про-

21

цессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных

тетраэдральных сетках / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Санников, И.Е. Квасов // Информационные технологии. – 2011. – №9. – C. 28 – 30.

18. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Шевцов, А.В., Потапов, А.П., Ва-

сюков, А.В., Ермаков, А.С. Компьютерное моделирование упругопла-стических тел комбинированным методом / А.В. Фаворская, И.Б. Пет-

ров, А.В. Шевцов, А.П. Потапов, А.В. Васюков, А.С. Ермаков // Инфор-

мационные технологии. – 2014. – № 3. – С. 19 – 24. 19. Фаворская, А.В., Петров, И.Б. Библиотека по интерполяции вы-

соких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных

сетках / А.В. Фаворская, И.Б. Петров // Информационные технологии. – 2011. – №9. – C. 30 – 32

20. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Санников, А.В., Квасов, И.Е. Се-

точно-характеристический метод высокой точности на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / А.В. Фаворская,

И.Б. Петров, А.В. Санников, И.Е. Квасов // Компьютерные исследования

и моделирование. – 2012. – Т. 3, № 1. – C. 161 – 171. 21. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А.,

Хохлов, Н.И., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. Динамическая диаг-

ностика элементов пути / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, А.В. Санников, К.А. Беклемышева // Вестник

Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог.

– 2013. – Т. 24, № 4. – С. 82 – 95. 22. Фаворская, А.В., Петров, Д.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Чис-

ленное решение арктических задач с помощью сеточно-

характеристического метода. / А.В. Фаворская, Д.И. Петров, И.Б. Пет-ров, Н.И. Хохлов // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014 – № 12. –

С. 192 – 199.

23. Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при нали-

чии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического

метода / А.В. Фаворская, К.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Труды МФТИ. – 2013. – Т. 5, № 3 (19). – С. 3 – 10.

24. Фаворская, А.В., Голубев, В.И. Расчет воздействий землетрясе-

ний на сооружения сеточно-характеристическим методом с использова-нием мнимых точек / А.В. Фаворская, В.И. Голубев // Сборник научных

трудов МФТИ «Математические моделирование информационных сис-

тем». – 2015. – С. 11 – 14.

22

25. Фаворская, А.В. Об аппроксимации и устойчивости сеточно-

характеристических методов на неструктурированных сетках / А.В. Фа-ворская // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделиро-

вание информационных систем». – 2015. – С. 8 – 11.

26. Фаворская, А.В., Жданов, М.С. Обобщенные интегралы Кирх-гофа для описания волновых процессов в линейно-упругих средах / А.В.

Фаворская, М.С. Жданов // Сборник научных трудов МФТИ «Матема-

тические моделирование информационных систем». – 2015. – С. 4 – 8.

Личный вклад соискателя в работах

с соавторами 1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструк-

турированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от

первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерпо-ляции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интер-

поляции полиномами второго порядка с использованием опорных точек

четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачивае-мых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-

линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на

треугольных и тетраэдральных сетках. 2. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в

которые переходит семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследо-

ваны на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы,

соответствующие семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

3. Выполнено математическое обоснование комбинированного ме-

тода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглажен-ных частиц (SPH) для численного моделирования волновых процессов в

упруго-пластических телах, доказано сохранение комбинированным ме-

тодом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов. 4. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в

узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела

упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интег-

рирования с использованием мнимых точек.

5. Разработаны математическое обоснование и алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических мето-

23

дов на иерархических структурированных и неструктурированных (с

кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

6. Разработан сеточно-характеристический метод моделирования

волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для обще-го вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической,

горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизо-

тропии. 7. Разработан метод нахождения полного волнового поля в упругих

средах с помощью интегралов Релея, проведено его сравнение с сеточ-

но-характеристическими методами. 8. С помощью семейства сеточно-характеристических методов по-

лучено численное решение ряда задач, в том числе проведены:

- исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического

шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и

сейсмограмм; - исследование волновых картин и динамики возникновения повре-

ждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на

наземные и подземные сооружения; - исследование пространственных волновых процессов, возникаю-

щих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.

24

Фаворская Алена Владимировна

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ

МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано в печать 19.08.2015. Формат 60 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 634.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Московский физико-технический

институт (государственный университет)»

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9