213

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG

¢ùeÉÿG π°üØdG

Chapter Five

5

[1-5] مقدمة. [2-5] حل املعادلة التفاضلية.

[3-5] املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى. [4-5] طرق حل املعادالت التفاضلية.

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

214

[1-5] مقدمةيعتبر موضوع املعادالت التفاضلية من املواضيع االساسية في الرياضيات التطبيقية لكثرة ظهورها في املسائل

العلمية والهندسية. في هذا الفصل سنتطرق وبشكل مبسط للمعادلةالتفاضلية وكيفية حلها.

]5-1] ∞`jô```©J

مشتقة على حتتوي التي املعادلة هي (Di�erential Equation) التفاضلية املعادلة واحدة او أكثر للدالة املجهولة في املعادلة (اي للمتغير التابع في املعادلة)

املعادلة التفاضليــــــة االعتيادية هـــي عالقـــة بني متغـير مستقــل مالحظـة (y) ودالته غيـــر املعروفــة (x) وليكن (independt variable)

(x) بالنسبـــــــة الى (y) وبعض مشتقــــــــات (dependt variabie)ويــــــرمـــز لهــــا O . D . E والتـــــــي هـــــي مختصـــــر الى

(Ordinary Di�erential Equation)

مثال:1) dy

dx= 3y− 4x 4) ʹy + x2y+ x = y

2) x2 ʹy +5x ʹy − x3y = 0 5)( ʹy )3 +2 ʹy + x2 ln x = 5

3) d3y

dx3+dydx

= y− 4 6) y(4 ) + cos y+ x2y ʹy = 0

X يعتمد فقط على املتغير y كلها معادالت تفاضلية اعتيادية الن املتغير

]5-2] ∞`jô```©J

الدرجة: تعرف درجة املعادلة التفاضلية بأنها: اكبر قوة (أس) مرفوعة له اعلى مشتقة في املعادلة التفاضلية .

املرتبة او (الرتبة) : تعرف رتبة املعادلة التفاضلية بانها رتبة اعلى مشتقة.

مثال:1) dy

dx+ x− 7y = 0 من الرتبة االولى والدرجة االولى

2) d2y

dx2 = 5x− 3xy+ 7 من الرتبة الثانية والدرجة االولى

3) ʹʹy + ʹy − y = 0 من الرتبة الثالثة والدرجة االولى

4) ʹy +2y( ʹy )3 = 0 من الرتبة الثانية والدرجة االولى

5) dydx

= x3 −5 من الرتبة االولى والدرجة االولى

6) x2 (dydx

)4 + (d3y

dx3 )2 +2 d2ydx2

= 0 من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية

7) y(4 ) + cos y+ x2y ʹy = 0 فهي من الرتبة الرابعة والدرجة االولى

درجة املعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة مالحظـةاجلبرية للمشتقة ذات اعلى رتبة تظهــر في املعـادلة . فمثال املعادلـة

ʹy( )2 = 1+ ( ʹy )2 التفاضلية : ʹy من الرتبة الثانية الن اعلى مشتقة فيها

( ʹy )4 = 1+ ( ʹy )2[ ]2 حيث ميكن ازالة اجلذور او االسس الكسرية ونحصل على : وبذلك تكون درجة املعادلة التفاضلية الرابعة

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

215

]5-2] ∞`jô```©J

الدرجة: تعرف درجة املعادلة التفاضلية بأنها: اكبر قوة (أس) مرفوعة له اعلى مشتقة في املعادلة التفاضلية .

املرتبة او (الرتبة) : تعرف رتبة املعادلة التفاضلية بانها رتبة اعلى مشتقة.

مثال:1) dy

dx+ x− 7y = 0 من الرتبة االولى والدرجة االولى

2) d2y

dx2 = 5x− 3xy+ 7 من الرتبة الثانية والدرجة االولى

3) ʹʹy + ʹy − y = 0 من الرتبة الثالثة والدرجة االولى

4) ʹy +2y( ʹy )3 = 0 من الرتبة الثانية والدرجة االولى

5) dydx

= x3 −5 من الرتبة االولى والدرجة االولى

6) x2 (dydx

)4 + (d3y

dx3 )2 + 2 d2ydx2

= 0 من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية

7) y(4 ) + cos y+ x2y ʹy = 0 فهي من الرتبة الرابعة والدرجة االولى

درجة املعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة مالحظـةاجلبرية للمشتقة ذات اعلى رتبة تظهــر في املعـادلة . فمثال املعادلـة

ʹy( )2 = 1+ ( ʹy )2 التفاضلية : ʹy من الرتبة الثانية الن اعلى مشتقة فيها

( ʹy )4 = 1+ ( ʹy )2[ ]2 حيث ميكن ازالة اجلذور او االسس الكسرية ونحصل على : وبذلك تكون درجة املعادلة التفاضلية الرابعة

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

216

[2-5] حل املعادلة التفاضلية االعتيادية Solution of an Ordinary Di�erential Equation

ان الغاية من دراسة املعادالت التفاضلية هي كيفية أيجاد حلوال لها، ويتم ذلك بأيجاد عالقة بني املتغير التابع (غير املستقل ) y واملتغير املستقل x بحيث تكون العالقة خالية من االشتقاقات وان حتقق املعادلة التفاضلية

عند التعويض

]5-3] ∞`jô```©J

حل املعادلة التفاضلية هو اية عالقة بني متغيرات املعادلة التفاضلية بحيث ان هذه العالقة :

أ) خالية من املشتقة ب) معرفة على فترة معينة جـ) حتقق املعادلة التفاضلية

اي ان احلل للمعادلة التفاضلية االعتيادية هو اي دالة ملجهول (املتغير التابع ) بداللة املتغير املستقل حتقق املعادلة التفاضلية.

مثال - 1-

x ʹy = x2 + y y حال للمعادلة التفاضلية = x2 +3x بني ان العالقة

احلل

yʹ فيكون: y جند = x2 +3x

y = x2 + 3x ... 1 ⇒ ʹy = 2x+ 3 ... 2نعوض (1) و (2) في الطرف االمين وااليسر للمعادلة التفاضلية وكما يلي :

LHS= x ʹy

= x(2x+3) = x2 + (x2 +3x)=2x2 +3x = 2x2 +3xRHS = x2 + y = x2 + x2 + 3x

= 2x2 + 3x = LHS اذن العالقة املعطاة هي حل للمعادلة التفاضلية اعاله

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

217

ان حل املعادلة التفاضلية االعتيادية كما اسلفنا هو اي عالقة بني y,x حتقق املعادلة ، غير ان احلل العام الي معادلة تفاضلية هو احلل املشتمل على عدد من الثوابت االختيارية مساو لرتبة املعادلة ، فاذا كانت املعادلة من الرتبة االولى وجب ان يكون حلها العام مشتمال على ثابت اختياري واحد هو ثابت التكامل الذي يظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحيدة ملعادالت الرتبة االولى . اما اذا كانت املعادلة من الرتبة الثانية وجب اشتمال

حلها على ثابتي تكامل نظرا الجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا ...

dydx

−5y = 0فعلى سبيل املثال :

التعويض في املعادلة y = e5x كما يبدو من الرتبة االولى ويحققها احلل اخلاص تعتبر معادلة تفاضلية من

y =ce5x فيكون ، c التفاضلية الى ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابت اختياري واحد

d فهي من الرتبة الثانية وحتققها احللول اخلاصة : 2y

dx2+ y = 0 اما املعادلة التفاضلية

y غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابتي تكامل اختياريني، كان يكونا = sin x, y = cos x

y = A sin x+ B cos x A,B ويصبح احلل العام عندئذ بالصورة

اثبت ان y=x ln x - x احد حلول املعادلة : مثال - 2-xdydx

= x+ y , x > 0....(1)

ان املعادلة y = x ln x-x خالية من املشتقات ومعرفة في x >0 ولكي نثبت انها احلل

احد حلول املعادلة التفاضلية (1) نقوم بالتعويض املباشر في (1)

LHS = xdydx

= x.(x. 1x+ ln x.1−1)

= x.(1 + ln x− 1)

RHS = x+ y = 1 + x ln x− 1 = x.ln x⇒ LHS = RHS

اذن الدالة املعطاة هي احد احللول اخلاصة للمعادلة التفاضلية (1).

[3 - 5] احلل اخلاص والعام للمعادلة التفاضلية االعتيادية:

=xln x

x x

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

218

مثال - 3-

2 ʹy − y = 0 a ، حال للمعادلة ∈ R ، ln y2 = x+ a بني ان

احلل

ln y2 = x+ a⇒ 2 ln y = x+ a⇒ 21y

ʹy( ) = 1

⇒ 2 ʹy = y⇒ 2 ʹy − y = 0

ln حال للمعادلة اعاله y2 = x+ a ∴

مثال - 4-

d ؟2y

dx2= 6x y حال للمعادلة التفاضلية = x3 + x−2 هل

احلل

y = x3 + x−2⇒dydx

= 3x2 +1⇒d2ydx2

= 6x y = x3 + x−2⇒dydx

= 3x2 +1⇒d2ydx2

= 6x

d2ydx2

= 6x y هو حال للمعادلة = x3 + x−2 وعليه

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

219

مثال - 5-

. ʹy + 4y = 0 y هو حال للمعادلة التفاضلية = 3cos2x+2sin2x برهن ان

احلل

y = 3cos2x+2sin2x ... 1 ∵

∴ ʹy = −6 sin2x+ 4cos2xʹy = −12cos2x−8 sin2x ... 2

بالتعويض عن ① ، ② في الطرف االيسر للمعادلة التفاضلية ينتج: LHS = −12cos2x−8 sin2x( )+ 4 3cos2x+2sin2x( )⇒

−12cos2x−8 sin2x+12cos2x+8 sin2x = 0 الطرف االمين = RHS

y هو حال للمعادلة اعاله. = 3cos2x+2sin2x وعليه فان

مثال - 6-

y ؟ ʹy + ʹy( )2 −3x = 5 y2 هو حال للمعادلة = 3x2 + x3 هل

احلل

∵ y2 = 3x2 + x3 ⇒ 2y ʹy = 6x+3x2 ⇒

2y ʹy( )+ ʹy 2( ) ʹy = 6+6x بالقسمة على 2 y ʹy + ( ʹy )2 = 3+3x⇒ y ʹy + ( ʹy )−3x = 3 ≠ 5 LHS= y ʹy + ( ʹy )2 = 3+3x⇒ y ʹy + ( ʹy )−3x = 3 ≠ 5 الطرف االمين ≠ RHS

y2 ليس حال للمعادلة اعاله = 3x2 + x3 وعليه فان

y2 = 3x2 + x3

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

220

مثال - 7-

ʹy + ʹy −6y = 0 y هو حال للمعادلة التفاضلية = e2x +e−3x بني ان

احلل

∵ y = e2x +e−3x ⇒ ʹy = 2e2x −3e−3x ⇒ ʹy = 4e2x 9e−3x+y = e2x +e−3x ⇒ ʹy = 2e2x −3e−3x ⇒ ʹy = 4e2x 9e−3x

وبالتعويض في الطرف االيسر للمعادلة LHS= ʹy + ʹy −6y

= 4e2x +9e−3x( )+ 2e2x −3e−3x( ) −6 e2x +e−3x( )

= 4e2x +9e−3x +2e2x −3e−3x −6e2x −6e−3x

الطرف االمين = 0 = =RHSy حال للمعادلة اعاله = e2x +e−3x وعليه يكون

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

221

(5‐

1) øjQɪ

J

1. بني رتبة ودرجة كل من املعادالت التفاضلية اآلتية:a) (x2 − y2 )+ 3xy dy

dx= 0

b) d2y

dx2 + xdydx

− 5y = 7

c) ( ʹʹy )3 −2 ʹy + 8y = x3 + cos x

d) (d3y

dx3 )2 −2(dydx

)5 + 3y = 0

ʹy + y = 0 y هو حل للمعادلة = sin x 2. برهن ان

d2sdt2

+9s = 0 s S هي حل للمعادلة = 8 cos3t+6 sin3t 3. برهن ان العالقة

yʹ ؟ +3 ʹy + y = x y حال للمعادلة = x+2 4. هل ان

؟ ʹy = 2y 1+ y2( ) y حال للمعادلة = tan x 5. هل

؟ y3 ʹy = −2 2x2 حال للمعادلة + y2 = 1 6. هل

؟ x ʹy +2 ʹy +5yx = 0 yx حال للمعادلة = sin5x 7. هل

a ∈ R yʹ حيث + y = 0 y هو حال للمعادلة = ae−x 8. بني ان

ʹy = 4x2y+2y c هو حال للمعادلة ∈ R , ln y = x2 + c 9. بني ان

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

222

[3-5] املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى والدرجة االولى

مقدمة : ان حل املعادلة التفاضلية هو عمل معاكس لعملية التفاضل ، أي يقوم على عمليات التكامل ، ومن املعروف انه ال ميكن ايجاد عكس تفاضل (الصورة املباشرة) لكل دالة . اي ال نتوقع ان يكون لكل معادلة تفاضلية حل عام بداللة الدوال االولية املعروفة . وعليه فاملعادالت التفاضلية التي ميكن حلها تقسم الى انواع متعددة

حسب طريقة احلصول على حلها العام. . y , x وفي هذا الفصل سوف نستعرض املعادالت التفاضلية من الرتبة االولى والدرجة االولى مبتغيرين

ومع ان هذا النوع من املعادالت التفاضلية قد تبدو بسيطة إال أنه ليس من املمكن ايجاد حل عام الي منها بصورة عامة ، وال توجد طريقة عامة للحل . وعليه فسوف نقسم هذه املعادالت والتي ميكن ايجاد حلها

بطريقة مباشرة الى عدة انواع ، اهمها : 1. املعادالت التي تنفصل متغيراتها .

2. معادالت تفاضلية من النوع املتجانس . 3. معادالت تفاضلية تامة.

4. معادالت تفاضلية خطية - معادلة برنولي . وفي هذا الفصل سنقتصر على النوعني (1 ) و (2 ) وطرائق حليهما.

فمثال تأخذ املعادلة التفاضلية من املرتبة االولى والدرجة االولى الشكلني االتيني:

1) dydx

= F x, y( ) 2)M x, y( )dx+N x, y( )dy = 0 M x, y( ) ≠ 0 N (x, y) ≠ 0 , M (x, y) ≠ 0 حيث

dy مثال فاملعادلة التفاضلية : dx

=3xyx+ y

3xy( )dx = x+ y( )dy ميكن ان تكتب بالشكل

(3xy).dx - (x+y).dy=0 M = 3xy , N = x+ y (x+y) حيث ان

في البند الالحق سندرس بعض طرق حل املعادلة التفاضلية.

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

223

[4-5] طرق حل املعادالت التفاضليةSeparation of Variables اوال : املعادالت التي تنفصل متغيراتها

في هذا النوع من املعادالت وكما يظهر من اسمها نستطيع ان نعزل كل احلدود التي حتتوي على x فقط مع dx في جانب واحلدود التي حتتوي على y فقط مع dy في اجلانب االخر فنحصل على:

f(x).dx = g(y)dy ... ① ثم نكامل طرفي املعادلة (1) فيكون g(y)dy∫ = f (x)dx∫ + c

(Arbitrary Constant) ثابت اختياري c حيث

dydx

= 2x+5 مثال - 1- حل املعادلة

احلل

dydx

= 2x+5 ⇒ dy = 2x+ 5( )dx

dy∫ = 2x+ 5( )∫ dx⇒ y = x2 + 5x+ c

dydx

=x−1y

مثال - 2- حل املعادلة

احلل

g(y)dy = f (x)dx جنعل املعادلة بالصورة ydy = (x−1)dx اي:

ydy∫ = x−1( )∫ dx باخذ التكامل للطرفني :

1

2y2 =

12x2 − x+ c

y2 = x2 −2x+2c⇒ y = ±(x2 −2x+2c)

12

= ±(x2 −2x+ c1 )12

(c1 2 ثابت اختياري ايضا اسميناهc ثابت اختياري فان c لكون)

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

224

مثال - 3-

y ≠ (2n+1) π2,cos ≠ 0 y y ≠ (2n+1) π2,cos ≠ 0 dyحيث = sin x cos2 ydx cos2y dx حل املعادلة التفاضلية

احللg(y)dy = f (x)dx جنعل املعادلة بالشكل

1

cos2 ydy = sin xdx dx :اي

sec2 ydy = sin xdx

⇒ sec2 ydy = sin xdx∫∫ باخذ التكامل

tan y = −cos x+ c حيث c ثابت اختياري

مثال - 4-

x= 2 , y= 9 عندما ʹy − x y = 0 اوجد حل املعادلة التفاضلية

احلل

ʹy − x y = 0⇒dydx

− xy12 = 0⇒

dydx

= xy12

y−

12dy = xdx⇒ y

−12dy∫ = xdx∫ = 2 y =

12x2 + c

بالتعويض عن x= 2 , y= 9 ينتج2 9 =

12

(2)2 + c⇒ 6 = 2+ c⇒ c = 4

∴ احلل هو

2 y =12x2 + 4

⇒

y = (1

4x2 +2)2

dx

dx

ʹy − x y = 0⇒dydx

− xy12 = 0⇒

dydx

= xy12y

−12dy = xdx⇒ y

−12dy∫ = xdx∫ = 2 y =

12x2 + c

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

225

مثال - 5-

x=0 عندما y=0 حيث dydx

= e2 x+y حل املعادلة

dydx

= e2 x .ey ⇒ e−ydy = e2 xdxاحلل

− e−y (−1)dy∫ =12

e2 x (2)dx∫

−e−y =12e2x + c y = 0, x = بالتعويض عن x = 0 , y = 0 ينتج 0

⇒−e−0 =12e0 + c⇒−1= 1

2+ c⇒ c = −

32

اذن احلل هو : −e−y =

12e2 x −

32⇒ e−y =

12

(3−e2 x )

1ey

=3−e2x

2

ey =2

3−ex

⇒ y = ln 23−e2x

وبأخذ ln للطرفني ينتج :

(x+1) dydx

= 2y جد احلل العام للمعادلة التفاضلية : مثال - 6-

احلل

dyy= 2 dx

x+1⇒

ln y = ln(x+1)2 + c⇒

ln y = ln (x+1)2 .ec( )⇒y = ec (x+1)2

y = c1 (x+1)2

حيث c1= ec ثابت اختياري .

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

226

(5‐

2) øjQɪ

J

1 - حل املعادالت التفاضلية االتية بطريقة فصل املتغيرات:

a) ʹy cos3 x = sin x b) dydx

+ xy = xy2 , x = 0, y = 2

c) dydx

= (x+1)(y−1) d) (y2 + 4y−1) ʹy = x2 −2x+ 3

e) y ʹy = 4 (1+ y2 )3 f) exdx− y3dy = 0

g) ʹy = 2exy3 , x = 0, y =12

2 - اثبت ان كال من : a) y=2ex (b) y = 3x (c) y = Aex + Bex

حيث B , A ثابتان ʹy (1− x)+ ʹy x− y = 0 هو حل للمعادلة التفاضلية :

3 - جد احلل العام للمعادالت التفاضلية االتية : a) xy

dydx

+ y2 =1− y2 b)sin x cos y dydx

+ cos x sin y = 0

c) x cos2 y dx+ tan y dy = 0 d) tan2 y dy = sin3 x dx

e) dydx

= cos2 x cos2 y f) dydx

=cos x

3y2 +ey

g) ex+2 y + ʹy = 0 h) d2y

dx2 − 4x = 0

dydx

=x3 + y3

3x2yʹy = 2exy3 , x = 0, y =

12

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

227

Homogeneous Di�erential Equation ثانيا: املعادلة التفاضلية املتجانسة قد تكون املعادلة التفاضلية ليست قابلة لفصل املتغيرات فيها ولكن قد تكون في الوقت نفسه بصورة معينة نستطيع حتويلها الى معادلة قابلة للفصل وذلك باستخدام بعض التحويالت باستخدام بعض التحويالت ومن

هذه الصور املعادلة التفاضلية املتجانسة وهي املعادلة التي ميكن كتابتها على الصورة

dydx

= f ( yx

)

dydx

=

yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1+ yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4x4) ميكن كتابتها على الصورة االتية: + y4 ) dy

dx= x3y فمثال املعادلة : x4 وذلك بالقسمة على

مثال - 1-

بني اي املعادالت التفاضلية اآلتية متجانسة؟

dydx

=x3 + y3

3x2y(1) املعادلة التفاضلية

x3 ينتج ≠ 0 بقسمة البسط واملقام على dydx

=

x3

x3 +y3

x3

3x2y⇒

dydx

=1+ ( y

x)3

3( yx

)x3

∴ املعادلة متجانسة

2xy ʹy − y2 +2x2 = 0 (2) املعادلة التفاضلية x2 ينتج: ≠ 0 2xyبقسمة املعادلة على

x2ʹy −

y2

x2+2

x2

x2= 0

2( yx

) ʹy − ( yx

)2 +2 = 0

∴ املعادلة متجانسة

dydx

= ʹy =x2 − yx3 (3) املعادلة التفاضلية

dydx

= fyx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ هذه املعادلة غير متجانسة النه الميكن كتابتها بالصورة :

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

228

á°ùfÉéàŸG ádOÉ©ŸG πM á≤jôW

اذا كانت املعادلة التفاضلية متجانسة فاننا لغرض حلها نتبع اخلطوات االتية:

x متغير جديد وهو دالة لـ v حيث y = vx او v = yx= v ثم نعوض عن dy

dx= f

yx

⎛⎝⎜

⎞⎠1) نكتبها بالصورة⎟

yx= v⇒ y = vx⇒

dydx

= xdvdx

+ v ... 22) نشتق y = vx بالنسبة لـ x فنحصل على

3) بالربط بني 1 و 2 ينتج

xdvdx

+ v = f (v) ⇒ xdvdx

= f (v)− v

dvf (v)− v

=dxx

4) بعد فصل املتغيرات نحصل على

v , x نحصل على احلل العام بداللة dvf (v)− v

=dxx

∫∫ + c 5) بأخذ تكامل الطرفني

.y, x فنحصل على حل املعادلة بداللة املتغيرين v = yx

6) نعوض بعد ذلك عن

مثال - 1-

ʹy =3y2 − x2

2xyحل املعادلة التفاضلية

احلل بقسمة البسط واملقام بالطرف االمين علىx2 نحصل على :

اي ان املعادلة متجانسةdydx

=3( yx

)2 −1

2( yx

)... 1

v تصبح املعادلة (1) بالشكل = yx

بوضع dydx

=3v2 −1

2v... 2 (2)

y = vx⇒

dydx

= xdvdx

+ v ... 3 بالتعويض عن (3) في (2) ينتج

( )

( )

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

229

xdvdx

+ v =3v2 −1

2v⇒ x

dvdx

=3v2 −1

2v− v

xdvdx

=v2 −1

2vبفصل املتغيرات ينتج:

1xdx =

2vv2 −1

dv

1xdx∫ =

2vv2 −1

dv⇒ ln x = ln v2 −1 + ln c ,c > 0∫

ln x = ln c(v2 −1) ⇒ x = ±c(v2 −1)

∵

مثال - 2-

2xy ʹy − y2 + x2 = 0 حل املعادلة التفاضلية

احلل

x2 تصبح املعادلة ≠ 0 بقسمة املعادلة على

2yx

ʹy −yx

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

+1= 0

∵v =yx⇒ 2v ʹy − v2 +1= 0 ⇒ ʹy =

v2 −12v

... 1

y = vx⇒dydx

= xdvdx

+ v ... 2

x بالتعويض من (2) في (1) : dvdx

+ v =v2 −12v

( )

( )

v =yx⇒ x = c

y2

x2 −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⇒ c =

x3

y2 − x2v =yx⇒ x = c

y2

x2 −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⇒ c =

x3

y2 − x2v =yx⇒ x = c

y2

x2 −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⇒ c =

x3

y2 − x2± ±

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

230

xdvdx

=v2 −12v

− v⇒ xdvdx

=−1− v2

2v−1xdx∫ =

2v1+ v2 dv∫ ⇒ − ln x = ln 1+ v2 + ln c

ln x(1+ v2 = ln c−1

±x(1+ v2 ) = 12

c = ±1

x(1+ v2 )

(3x− y) ʹy = x+ y مثال - 3- حل املعادلة

ʹy =x+ y

3x− y⇒ ʹy =

1+ yx

3− yx

x ≠ 0 احلل بالقسمة على

∴dydx

=1+ v3− v

... 1

∴v =yx⇒ y = xv⇒

dydx

= xdvdx

+ v ... 2

نعوض من (1) في (2) ينتج:

xddx

+ v =1+ v3− v

xdvdx

=1+ v3− v

− v⇒ xdvdx

=v2 − 2v+1

3− v⇒ x

dvdx

=(v−1)2

3− v1xdx =

3− v(v−1)2 dv⇒

1xdx =

− (v−1)−2[ ](v−1)2 dv

1xdx∫ =

−1(v−1)

dv∫ +2

(v−1)2 dv∫ ⇒ ln x = − ln v−1 −2v−1+ c2

v−1+ c

)

1c

⇒ c = ±11

x(1+ y2

x2 )⇒ c = ±

xx2 + y2

( )

( )

dv

∵

ln x = − ln yx−1 −

2yx−1

+ c

ln y− x =−2xy− x

+ c

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

Ordinary Di�erential Equations

231

2x2 dydx

= x2 + y2 جد احلل العام للمعادلة التفاضلية مثال - 4-

dydx

=x2 + y2

2x2K(1) املعادلة التفاضلية ميكن كتابتها على الصورة االتية : احلل

وفي هذه املعادلة ميكن التحقق من ان كال من البسط واملقام في الطرف االمين هو دالة متجانسة ومن الدرجة الثانية لذلك نعوض عن : y = vx وبالتالي فان :

dydx

= v+ xdvdx

K(2) نعوض من (2) في (1) ينتج

v+ xdvdx

=x2 + x2v2

2x2

=x2 (1+ v2 )

2x2

v+ xdvdx

=x2 + x2v2

2x2

=x2 (1+ v2 )

2x2

xdvdx

=1+ v2

2− v⇒

xdvdx

=1+2v+ v2

2

2x dvdx

= (v−1)2

dv فبفصل املتغيرات نحصل على االتي:(v−1)2 =

12

.dxx وباخذ التكامل للطرفني جند ان

−1v−1

=12

ln x + ʹc

cʹ ثابت اختياري اي ان : v حيث = 1−2

ln x +2 ʹc

c = 2 في املعادلة االخيرة نحصل على : ʹc v وبوضع = yx

وبالتعويض عن

y = x =2x

ln x + c

-

-

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG

232

(5‐

3) øjQɪ

J

حل كال من املعادالت التفاضلية االتية1. ʹy =

yx+e

yx

2. (y2 − xy)dx+ x2dy = 0

3. (x+2y)dx+ (2x+ 3y)dy = 0

4. dydx

=x2 + y2

2xy

5. (y2 − x2 )dx+ xydy = 0

6. x2ydx = (x3 + y3 )dy

7. x(dydx

− tan yx

) = y

تم تحميل هذا الكتاب من منتديات يا حسين - منتدى الطلبةhttp://www.yahosein.com/vb