Embed Size (px)
Citation preview
KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE
123TVVM – Teorie chyby- základy teorie chyb, vyhodnocení výsledků
experimentálních zkoušek
123TVVM – Teorie chybPřesnost fyzikálního údaje
• čísla udávající velikost fyzikálních veličin zjištěnou měřením
123TVVM Teorie chyb
jsou známa jen na určitý konečný počet míst• při měření uvádíme, se kterým dílem definované stupnice
souhlasí hodnota měřené veličiny (zbytek odhadneme)definován počet platných cifer číselného údaje – psát více cifernemá opodstatnění, při uvedení menšího počtu platných cifersnižujeme přesnost údaje
Příklad: U = 120, 0 V – číslo se skládá ze čtyřech platných cifer,nejmenší díl stupnice měl velikost 1V a neurčitost čtení jeřádově 0.1V
Pokud bychom zapsali U = 120 V jsou platné pouze tři cifry –y p j p p ynejmenší díl stupnice měl rozměr 10 V čímž dostáváme přesnostměření o jeden řád nižší !!!Přesnost číselného údaje o velikosti měřené veličiny závisí tedy napočtu platných cifer, které můžeme měřením zjistit. Poslední platnácifra je vždy neurčitá – zatížená chybou, ostatní cifry jsou měřenímzaručené (správné)
123TVVM – Teorie chybChyby měření
• přesnost změřeného fyzikálního údaje je omezena existencí
123TVVM Teorie chyb
chyby měření přesnou – skutečnou hodnotu fyzikální veličiny nemůžeme měřením určit
• chyba měření vynikne zejména v případě, kdy měřímeopakovaně tutéž veličinu o níž předpokládáme, že se během opakovaných měření nemění – různost chyb během opakovaných měření
0xxii −=ε
εi – chyba měření (+, -)xi – hodnota i-tého měřeníx skutečná hodnota měřené veličiny neznáme k ní se chcemex0 – skutečná hodnota měřené veličiny – neznáme, k ní se chceme
měřením přiblížit
l ti í h b ěř íx/ε - relativní chyba měřeníii x/ε
123TVVM – Teorie chybChyby měření
• chyba měření εi zahrnuje podle původu tři druhy chyb
123TVVM Teorie chyb
a) chyba hrubáb) chyba soustavnác) chyba náhodná) y
CHYBA HRUBÁ- vzniká omylem při odečtení nebo zapsání údaje, v případě, ževzniká omylem při odečtení nebo zapsání údaje, v případě, že měřící aparatura přestala správně pracovat, při nesprávném experimentálním uspořádání a nastavení pokusu- naměřená hodnota zatížená touto chybou se výrazně liší odnaměřená hodnota zatížená touto chybou se výrazně liší od ostatních hodnot- měření zatížené touto chybou se ze zpracování výsledků vylučuje –zamezení zkreslení výsledků měřeníý
123TVVM – Teorie chyb
CHYBA SOUSTAVNÁ (systematická)- způsobena použitím nevhodné měřící metody, nepřesným měřidlem či ěří í ří t j ( ůž ik t i b t l )
123TVVM Teorie chyb
či měřícím přístrojem (může vzniknout i osobou pozorovatele)- zkresluje výsledek měření zcela pravidelným způsobem – výsledek systematicky zvětšuje či zmenšuje a to při libovolném počtu
k ý h ěř íopakovaných měření
Příklad: při vážení ve vzduchu je v důsledku Archimédova zákona zjištěná hmotnost tělesa vždy menší než skutečná pro tělesa s menší hustotou než je hustota závaží – v případě materiálů s větší hustotou je naopak hmotnost vyšší než skutečná (nutno provést korekci)
Při měření obsahu vlhkosti např. TDR – nutno zavést teplotní kompenzaci, neboť hodnoty relativní permitivity jsou závislé nejen na vlhkosti, ale i na teplotě.Měření koncentrace CO2 na principu tepelné vodivosti – teplotní kompenzace.
jelikož jsme schopni určit, z jakých příčin soustavné chyby vznikají, můžeme odhadnout jejich velikost, znaménko a vyhodnocením jejich vlivu na výsledek měření je můžeme odstranit
123TVVM – Teorie chyb
CHYBA NÁHODNÁ- chyba měření vznikající spolupůsobením velkého počtu náhodných
123TVVM Teorie chyb
chyba měření vznikající spolupůsobením velkého počtu náhodnýchvlivů, které nemůžeme při měření kontrolovat a definovat- neexistuje měřící proces, který není zatíženou náhodnou chybou
soustavné chyby ovlivňují správnost měření X náhodné přesnost
ůPři vyhodnocování výsledků experimentálního měření jen nutnéstanovit nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny a zároveňstanovit její přesnost – vymezit vliv náhodných chyb a kvantitativněvyhodnotit jak náhodné chyby ovlivňují výsledek měřenívyhodnotit, jak náhodné chyby ovlivňují výsledek měření.
Náhodná chyba – náhodná veličina ve smyslu matematické statistiky,řídí se zákony počtu pravděpodobnosti, mají charakteristickévlastnosti:• malé chyby se vyskytují mnohem častěji než chyby velké
ři k č ě lké čt ěř í j č t h dilý h h b• při nekonečně velkém počtu měření je součet nahodilých chyb rovennule (vliv záporných chyb eliminuje vliv chyb kladných)
123TVVM – Teorie chyb
NÁHODNÁ PROMĚNLIVOST VLASTNOSTÍ MATERIÁLU A ZATÍŽENÍ
123TVVM Teorie chyb
Na každé stavbě můžeme zjistit, že vlastnosti použitých materiálů arozměry provedených konstrukci se liší od předpokládaných údajů vprojektu a to místo od místa, takže podrobíme-li některou sledovanoul t t k šká ť již ří t bě b l b t řivlastnost zkouškám, ať již přímo na stavbě nebo v laboratoři,
obdržíme výsledky vykazující jisté rozptýlení okolo svého průměru.
Obdobně jako lastnosti materiál a ro měr konstr kce mění se iObdobně jako vlastnosti materiálu a rozměry konstrukce mění se izatížení. Stálé zatížení, vyvozené vlastní tíhou konstrukcí, mění svouvelikost v různých místech následkem nahodilých změn objemovéhmotnosti a rozměrů. Nahodilé zatížení, jehož účinkům je nosná, j jkonstrukce v provozu vystavena, mění svou velikost v závislosti načase.Rozdílné výsledky těchto „náhodně proměnných“ veličin spočívají buďv povaze materiálů a zatížení nebo v nemožnosti dokonaléhoprovedení stavby a jejich chování lze postihnout pouze rozboremvětšího počtu zkoušek, prováděným metodami matematické statistiky.
123TVVM – Teorie chyb
NÁHODNÁ PROMĚNLIVOST VLASTNOSTÍ MATERIÁLU A ZATÍŽENÍ II
123TVVM Teorie chyb
Příklad:Náhodně proměnnou veličinou bude krychelná pevnost betonuzjištěná na dvou stavbách A a B.
Zkoušky daly tyto výsledky :• na stavbě A : 5, 10, 15 MPa• na stavbě B : 8, 10, 12 MPa
Průměrná pevnost je tedy R´ = 10 MPa u obou staveb stejná, je všakp j y j , jzřejmé, že na stavbě B je výroba betonu kvalitnější, výsledky zde majímenší rozptyl.Z uvedeného vyplývá, že průměr není jediným a rozhodujícímukazatelem a pro celkové posouzení chování náhodně proměnnéveličiny je nutno uvážit ještě další „charakteristiky“ statistickéhosouboru.
123TVVM – Teorie chybPOJMY STATISTIKY IStatistický soubor- je definován jako souhrn všech naměřených hodnot vyšetřovaného
123TVVM Teorie chyb
znaku
Znak- znakem rozumíme měřenou nebo zkouškami zjišťovanou veličinujako například pevnost betonu, objemovou hmotnost betonu, mezkluzu nebo pevnost oceli, velikost zatížení atp.
Rozsah souboru „n“-tvoří počet všech naměřených hodnot souboru
Co do velikosti rozsahu souboru rozeznáváme :• základní soubor, který nelze obvykle zkouškami celý postihnout;• náhodný výběr, který tvoří pouze jistý počet vzorků vybraných zezákladního souboru.
Při zjišťování krychelné pevnosti betonu na stavbě odebíráme pouzečást betonové směsi pro zhotovení jistého počtu zkušebních krychlíatd.
123TVVM – Teorie chybPOJMY STATISTIKY IIPodle velikosti rozsahu náhodného výběru při posuzování jakostibetonu dělíme výběr na :
123TVVM Teorie chyb
• velký náhodný výběr n > 100• malý náhodný výběr 17 < n < 100• velmi malý náhodný výběr (3 ≤ n ≤ 16),
Při menším rozsahu souboru (n < 3) již nelze provádět statistickéhodnocení.U náhodných výběrů je nutno postupovat při výběru tak, aby každývzorek měl stejnou „šanci být vybrán“.
Kvantitativní znakPovaha tohoto znaku je taková, že jeho hodnoty jsou udány čísly, cožje převážné většiny případů.J li důl žité j ižší h d t k ůjd t k íhJsou-li důležité nejnižší hodnoty znaku, půjde o tzv. znak prvníhodruhu (např. pevnost, mez kluzu, ale i objemová hmotnost).Naopak, zajímají-li nás nejvyšší hodnoty, jde o znak druhého druhu(zatížení nahodilé objemová hmotnost)(zatížení nahodilé, objemová hmotnost).Některý znak se může současně vyskytovat v obou druzích.
123TVVM – Teorie chybPOJMY STATISTIKY III
Kvalitativní znak
123TVVM Teorie chyb
U kvalitativního znaku jde v podstatě o zodpovězení otázky, zdazkoumané vzorky z jistého hlediska vyhovují, či ne. I zde se prohodnocení převážně užívá náhodných výběrů. V praxi se např.t j t díl tk it ti“ tj díl h jí í h ý bků kstanovuje tzv. „podíl zmetkovitosti“, tj. podíl nevyhovujících výrobků k
celkovému počtu kontrolovaných.
Ch kt i tik bCharakteristiky souboruCharakteristikami souboru (u kvantitativního znaku) budeme rozumětdůležité číselné údaje, podle nichž můžeme hodnotit chovánínáhodně proměnné veličinynáhodně proměnné veličiny.
Jsou to průměr, rozptyl, směrodatná odchylka, variační součinitel ašikmostšikmost.Hodnoty těchto charakteristik budeme zjišťovat z numerickéhosouboru experimentálních výsledků, zpravidla vždy půjde o náhodnývýběr.
123TVVM – Teorie chybSTATISTICKÉ VYŠETŘOVÁNÍ
Budeme statisticky vyšetřovat kvantitativní znak, který označíme
123TVVM Teorie chyb
obecně X. Z experimentů dostaneme řadu numerických výsledků,které tvoří náhodný výběr.
Rozsah tohoto numerického souboru je „n“. Jednotlivé hodnotysouboru jsou označeny xi (pro i = 1,2,...., n). Další vyšetřování semůže provádět buď přímo z těchto individuálních hodnot nebo z tzv.skupinového rozdělení četnostískupinového rozdělení četností.
POSTUP Z INDIVIDUÁLNÍCH HODNOTPři ší h áh d éh ýbě ( < 100) j j ště žPři menším rozsahu náhodného výběru (n < 100) je ještě možnovycházet při zpracování výsledků z individuálních hodnot. Základnícharakteristiky souboru jsou :
průměr• rozptyl• směrodatná odchylka σ
xσ2
• směrodatná odchylka σ• variační součinitel vx
• šikmost ax
123TVVM – Teorie chyb
POSTUP Z INDIVIDUÁLNÍCH HODNOT II
123TVVM Teorie chyb
průměr - je střední hodnotou souboru a udává jeho polohu -obecně lze říci, že výsledky měření jsou nejhustěji seskupeny kolemtéto střední hodnoty
x
y
∑ ==
n
n ixn
x1
1
aritmetický průměr (a. střed) naměřených hodnot – tato hodnotanepředstavuje ideální, absolutně správnou hodnotu, protože každép j , p , pdalší provedené měření tuto hodnotu změní, není rovno skutečnéhodnotě μ veličiny X,
xμ≈∞→ xn :
chyby – odchylky jednotlivých měření od aritmetického středu
∆1 = x1 – x∆2 = x2 – x
123TVVM – Teorie chyb
POSTUP Z INDIVIDUÁLNÍCH HODNOT III
123TVVM Teorie chyb
• rozptyl (disperze) σ2 - jelikož není možné charakterizovatpřesnost měření pomocí prostého součtu odchylek (= 0) užívá sesoučet čtverců odchylek, který přepočteme na jedno měřeníy , ý p p j- udává rozptýlení odchylek okolo průměru
∑∑ −=Δ=nn
xx 222 )(1)(1σ ∑∑==
=Δ=i
ii
i xxnn 11
)()(σ
μ≈∞→ xn : ∑ −=n
ix 22 )(1 μσ
• směrodatná odchylka sx - je mírou rozptýlení a vypočte sejako kladně vzatá druhá odmocnina rozptylu
∑=i
in 1)( μ
jako kladně vzatá druhá odmocnina rozptylu
22 )(1 ∑ −== μσσ ix )(∑ μσσ ixn
123TVVM – Teorie chyb
- jsou-li náhodné chyby skutečně „náhodné” musí mít stejnou pravděpodobnost kladné odchylky od správné hodnoty jako odchylky
123TVVM Teorie chyb
p p y y p y j y yzáporné- nahodilé rozdělení měřených hodnot při počtu měření blížícímu se nekonečnu – normální (Gaussovo) statistické rozdělení hodnot
2
2
2)(
21)(
σμ
πσ−−
=xexp
na vodorovnou osu vynášíme naměřenou hodnotu x, na svislou počet měření, jehož výsledkem bylo x
123TVVM – Teorie chyb
- jde-li o náhodnou veličinu, pak pravděpodobnost, že se hodnota
123TVVM Teorie chyb
náhodné veličiny bude od střední hodnoty lišit nejvýše o jednu
směrodatnou odchylku je výrazně vyšší než 0.5 (při normálním
rozdělení hodnot je = 68%)rozdělení hodnot je 68%)
- pravděpodobnost, že se hodnota bude lišit nejvýše o dvě
směrodatné odchylky, je při normálním rozdělení = 95%y y j p
123TVVM – Teorie chyb
Odhad rozptylu sx2
123TVVM Teorie chyb
- v praktických příkladech měření je n << - získaný rozptyl, směrodatná odchylka a aritmetický střed se liší od správné hodnoty
zavádíme tedy veličinu odhad rozptylu základního souboru který je
∞
- zavádíme tedy veličinu odhad rozptylu základního souboru, který je nepatrně větší než σ2 - také odhad směrodatné odchylky (střední kvadratická chyba jednoho měření) bude větší
22 ∑∑1
)(11
22
−−
=−Δ
=−
= ∑∑nx
nnns ii μ
σ
- měříme-li s větším nebo menším rozptylem (s různou přesností , např. různou aparaturou) jsou křivky rozdělení různé, ale jejich tvar je
Gpopsán stejnou Gaussovou rovnicí
123TVVM – Teorie chybDalší parametry rozptylu náhodné veličiny
- šikmost – parametr nesouměrnosti charakterizující nesouměrnost
123TVVM Teorie chyb
- šikmost – parametr nesouměrnosti charakterizující nesouměrnost rozdělní náhodné veličiny podle osy y
3)(1 xxna ∑3 )( xxnns
a iix −= ∑
)2131(1 233 xxxxann
+= ∑∑
-variační součinitel (součinitel proměnlivosti) %
)23(11
3 xxn
xxns
ai
ii
ix +−= ∑∑==
xvx
σ=
- variační rozpětí
minmax xxVR −=
Postup ze skupinového rozdělení četnostíPostup ze skupinového rozdělení četností- při větším rozsahu souboru (n > 100) je výpočet jeho charakteristik z individuálních hodnot pracný
k d á á ý l dk č ě j lé řád t h d t b- pokud zpracováváme výsledky ručně, je lépe uspořádat hodnoty souboru do „k“ tříd nebo-li intervalů stejné velikosti (délky) „h“- vyneseme na grafu rozložení naměřených hodnot – histogram (vyjádření sk pino é jádření)skupinové vyjádření)- při tvorbě tohoto grafu vodorovnou osu rozdělíme mezi největší a nejmenší naměřenou hodnotou na několik stejných intervalů <x +k∆x, x + (k+1) ∆x>, (k = ± 1 ± 2 ) ± 1, ± 2, …..)- na osu vertikální pak vynášíme informace o tom, kolikrát se naměřená hodnota vyskytla v daném intervalu na vodorovné ose
Postup ze skupinového rozdělení četností IIPostup ze skupinového rozdělení četností II
- rozpětí souboru je rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou souboru“ i “r = max „x“ - min „x“
- doporučuje se, aby délka intervalu byla volena h = 0,08 „r“ a je nutné ji k hlit lé čí lzaokrouhlit na celé číslo
- střed i-té třídy je tzv. hodnota třídního znaku zi; ( i = 1,2,...., k )
- třídní znak pak zastupuje všechny hodnoty znaku v i-té třídě
- počet hodnot znaku v určité třídě se nazývá četnost třídy ni
- tím dostaneme nový, pro zpracování podstatně menší soubor s i ký i h d t i j ji hž č t j k“numerickými hodnotami zi, jejichž počet je „k“
- při výpočtu charakteristik je nutno respektovat četnosti jednotlivých tříd !!!
Postup ze skupinového rozdělení četností IIIPostup ze skupinového rozdělení četností III
vychází-li se ze skupinového rozdělení četností, pak další výrazy pro charakteristiky numerického souboru jsou :charakteristiky numerického souboru jsou :
123TVVM – Teorie chyb
TEORETICKÝ, MATEMATICKO-STATISTICKÝ MODEL- doposud jsme dovedli stanovit charakteristiky souboru, který byl
123TVVM Teorie chyb
náhodným výběrem a výsledky jsme znázornili histogramem četnosti- máme-li však zjistit chování znaku neznámého základního souboru,budeme k tomu potřebovat teoretický, matematicko-statistický model
jádř ý jit áh d ě ě liči d fi ěktvyjádřený spojitou náhodně proměnnou veličinou, definovanou některou ztěchto dvou funkcí :• hustotou pravděpodobnosti f(x)• distribuční funkcí F(x)• distribuční funkcí F(x)
Souvislost mezi numerickýmsouborem a jeho teoretickýmsouborem a jeho teoretickým modelem si můžeme představit pomocí souboru velkého rozsahu „n“, kt ý j řádá d k“ třídkterý je uspořádán do „k“ tříd sčetnostmi ni.
123TVVM – Teorie chyb
TEORETICKÝ, MATEMATICKO-STATISTICKÝ MODEL II
123TVVM Teorie chyb
- relativní četnost fi = ni/n
- udává tzv experimentální pravděpodobnost výskytu hodnoty x“ v i-téudává tzv. experimentální pravděpodobnost výskytu hodnoty „x v i tétřídě- pro součet všech relativních četností platí
Pravděpodobnost (experimentální) výskytu hodnoty x v celém souboru jePravděpodobnost (experimentální) výskytu hodnoty x v celém souboru jetedy rovna 1,0. Tvar histogramu relativních četností je podobný tím vícegrafickému vyjádření funkce hustoty pravděpodobnosti f(x), čím větší buderozsah numerického souboru „n“ a počet tříd „k“.Funkce hustoty pravděpodobnosti je tedy teoretickým modelem relativníchčetností znaku „x“.
- kumulativní četnost Fi
123TVVM – Teorie chyb
TEORETICKÝ, MATEMATICKO-STATISTICKÝ MODEL III
123TVVM Teorie chyb
- v grafickém vyjádření tvoří kumulativní relativní četnost jistou část plochyHistogramu, jíž odpovídá teoretická plocha pod křivkou f(x), která určujedistribuční funkci F(x)
-distribuční funkce je tedy teoretickým modelem kumulativních relativníchčetností F(i)
- uvedené funkce vystihující modelovou křivku se vztahují k teoretickémuzákladnímu souboru, jehož charakteristiky nazýváme parametry:
• průměr μx
• směrodatná odchylka σx
• šikmost αx
Přesné hodnoty těchto parametrů neznáme, můžeme je však přid č é č k š k dh d í č ý h h k i ikdostatečném počtu zkoušek odhadovat pomocí vypočtených charakteristiknumerického souboru tak, že předpokládáme jejich vzájemnou rovnost.
123TVVM – Teorie chyb
TEORETICKÝ, MATEMATICKO-STATISTICKÝ MODEL IV
123TVVM Teorie chyb
- s ohledem na vztah
bude dále platit, že obsah plochy vymezené modelovou křivkou a vodorovnou osou x, bude roven jedné, j
současně to znamená, že pravděpodobnost „p“ výskytu hodnoty „x“ vintervalu - až + je rovna jednéj j
123TVVM – Teorie chyb
TEORETICKÝ, MATEMATICKO-STATISTICKÝ MODEL V
123TVVM Teorie chyb
Kvantil xp - je hodnota náhodné proměnné „x“, pro kterou je pravděpodobnost výskytu menších, resp. větších hodnot souboru rovna číslu „p“. U znaku l. druhu je hodnota pravděpodobnosti „p“ dána velikostí vyšrafované plochy v následujícím obrázku s indexem„a)“ u znaku 2. druhu v obrázku „b)“.
Pravděpodobnost „q“, se kterou se vyskytnou hodnoty znaku X naopak větší, resp. menší než „xp“ se nazývá spolehlivost.
1p + q = 1
Funkci hustoty pravděpodobnosti f(x) je možné vyjádřit Gaussovýmnormálním statistický, rozdělením
2)(1 μ−x
- ze symetričnosti vyplývá že součet odchylek
22
21)( σ
πσ
−⋅= exf
∑ =Δ 0iy yp ý y- očekávaná hodnota μ náhodné veličiny X udává polohu vrcholu Gaussovy křivky- při nepřesných měřeních je křivka normálního rozdělení plošší a
∑
p p ý j pnižší (odchylky jsou větší)
Gaussova rozdělení lze použít pro vyhodnocování zkoušek (např.pevnosti betonu) i v případě nesouměrného rozdělení výsledku (a >< 0) pokud vykazují malý variační součinitel (vx < 0,1).
U nesymetricky rozdělených hodnot souboru (a > < 0) je vhodné volit obecnější rozdělení hustoty pravděpodobnosti. Zde se nejčastěji
ží á P kři k III P é f k b h jípoužívá Pearsonovy křivky typu III. Parametry této funkce obsahují kromě průměru μx a směrodatné odchylky σx ještě navíc šikmost αx, jejíž hodnota se uvažuje v mezích -1 až +1. Grafickým znázorněním hustoty pravděpodobnosti je nesouměrná zvonovitá křivka s šikmostíhustoty pravděpodobnosti je nesouměrná zvonovitá křivka s šikmostí αx > < 0.
Nesouměrnost se zvětšuje s rostoucí absolutní hodnotou αx. Pro αx = 0 přechází Pearsonova křivka typu III v Gaussovo normální rozdělení.Analytický výraz pro Pearsonovu křivku typu III je dosti složitý a zpravidla jsou hodnoty funkce tabelovány v podobě tzv. normovaného rozdělení.P č ží á f ěř é ( áh d é ličiProto se často využívá transformace měřené (náhodné veličiny z hlediska statistiky) veličiny na normovou náhodnou veličinu..
x μ−
x
xuσ
μ=
123TVVM – Teorie chyb
Normová náhodná veličiny – normované normální rozdělení
123TVVM Teorie chyb
- pro hodnotu x = μ (aritmetický střed) má normová náhodná veličina hodnotu 0
pro x ± μ = s (resp σ) má hodnotu ± 1 tím zavedeme normované- pro x ± μ = s (resp. σ) má hodnotu ± 1 – tím zavedeme normované normální rozdělení
Symetrické rozděleníSymetrické rozdělenínormované proměnné
2
21)(
u
f−
2
21)( euf =π
123TVVM – Teorie chybNormované normální rozdělení
- křivka pospaná rovnicí ohraničuje všechny
123TVVM Teorie chyb
2
21)(
u
euf−
=- křivka pospaná rovnicí ohraničuje všechny měřené hodnoty- plocha pod křivkou je rovna pravděpodobnosti výskytu naměřených hodnot
2
2)( euf =
π
hodnot
pravděpodobnost výskytu všech možných měření je 1 = 100%
1)( =∫+∞
∞−
duuf
možných měření je 1 = 100%
-pravděpodobnost naměření hodnoty veličiny X s odchylkou ui
je úměrná příslušné hodnotě f(u)- pravděpodobnost výskytu hodnotu v intervalu ).( σ
μrespsxu i
i−
=
++ ii uu
( ) 11
)()(⟨==
∫
∫
∫−
∞+−
duufduufpbnostpravdepodo ii uu
1)(∫
∞−
duuf
123TVVM – Teorie chybPravděpodobnost výskytu naměřených hodnot
- pro hodnoty u = ± 1 ± 2 ± 3; (x = μ ± s; x = μ ± 2s; x = μ ± 3s) platí
123TVVM Teorie chyb
- pro hodnoty u = ± 1, ± 2, ± 3; (x = μ ± s; x = μ ± 2s; x = μ ± 3s) platí následující tabulka
u P %± 1 68.27
± 2 95 45± 2 95.45
± 3 99.73
123TVVM – Teorie chyb123TVVM Teorie chyb
Příklady proložení naměřených hodnot – jejich četnosti
123TVVM – Teorie chybVýsledek měření
- výsledkem měření z řady n naměřených hodnot x x x
123TVVM Teorie chyb
- výsledkem měření z řady n naměřených hodnot x1, x2, …., xnnaměřené veličiny X nazveme aritmetický průměr x
∑=n xx 1
- absolutní chybou výsledku měření δ(x) – chyba měření, je střední k d ti ká h b it ti kéh ů ě
∑ ==
n ixn
x1
kvadratická chyba aritmetického průměru
)( 1
2Δ=
∑=x
n
ii
δ
- výsledek měření se poté píše ve tvaru
)1()(
−=
nnxδ
)( xxx δ±=ý p p
Relativní chyba měření (%)
)( xxx δ±=
100)()( ⋅=xxxr
δδx
123TVVM – Teorie chybStanovení potřebného počtu zkoušek
- problém stanovit počet zkoušek pro objektivní posouzení vlastností
123TVVM Teorie chyb
- problém stanovit počet zkoušek pro objektivní posouzení vlastností materiálu- dostatečný počet zkoušek (n) je takový, abychom z jejich výsledků mohli stanovit průměrnou hodnotu měřené vlastnosti s dostatečnoumohli stanovit průměrnou hodnotu měřené vlastnosti s dostatečnou, předem zvolenou přesností
2)( xvtn ⋅=
Např. stanovení pevnosti cihel v tlaku:
)(δ
n
- připustíme max. chybu stanoveného průměru δ = 5% při pravděpodobnosti 5%, variační součinitel při výrobě cihel je udáván 10%- a = 0 (skutečnou šikmost neznáme)- t (násobek směrodatné odchylky – viz. tabulka) = 1,64
n = 11 kusů (pouze v pěti procentech bude chyba větší než 5%)ČSN předepisuje minimální počet testovaných vzorků cihel s 10% variačním koeficientem = 10.
123TVVM – Teorie chyb
Tabulka pro stanovení násobku směrodatné odchylky dle Pearsonovy křivky III. typu
123TVVM Teorie chyb
123TVVM – Teorie chybDalší parametry rozptylu náhodné veličiny
- medián – x hodnota náhodné veličiny x jež dělí řadu podle velikosti
123TVVM Teorie chyb
- medián – x0.5 hodnota náhodné veličiny x, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny- platí, že nejméně 50 % hodnot je menších nebo rovných a nejméně 50 % hodnot je větších nebo rovných mediánu50 % hodnot je větších nebo rovných mediánu
l í diá d éh b t čí h d t ř dit dl
)()( 5.05.0 xxPxxP ⟩=⟨
- pro nalezení mediánu daného souboru stačí hodnoty seřadit podle velikosti a vzít hodnotu, která se nalézá uprostřed seznamu- pokud má soubor sudý počet prvků, obvykle se za medián označuje
it ti ký ů ě h d t í t h /2 /2 1aritmetický průměr hodnot na místech n/2 a n/2+1- základní výhodou mediánu jako statistického ukazatele je fakt, že není ovlivněn extrémními hodnotami- ¨proto se často používá v případě šikmých rozdělení, u kterých aritmetický průměr dává obvykle nevhodné výsledky.- např. u souboru { 1, 2, 2, 3, 9 } je medián roven dvěma, což je zřetelně vhodnější ukazatel převažující tendence než aritmetický průměr, který je zde roven 3,4
123TVVM – Teorie chybDalší parametry rozptylu náhodné veličiny II
- kvantil – dělí soubor naměřených hodnot na několik zhruba stejně
123TVVM Teorie chyb
- kvantil – dělí soubor naměřených hodnot na několik zhruba stejně velkých částí- míra polohy rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny
kvantily popisují body ve kterých distribuční funkce náhodné- kvantily popisují body, ve kterých distribuční funkce náhodné proměnné prochází danou hodnotou
K til (tři k til děl jí t ti ti ký b čt ti )Kvartil (tři kvartily rozdělují statistický soubor na čtvrtiny)Kvintil - 20 % prvků souboru má hodnoty menší (nebo rovné) hodnotě prvního kvintilu, 80 % hodnoty větší (nebo rovné)Decil – dělí soubor na desetiny, Qk/10 k-tý decilPercentil – dělí statistický soubor na setiny, Qk/100 k-tý percentil
123TVVM – Teorie chyb
Další parametry rozptylu náhodné veličiny III
123TVVM Teorie chyb
- modus xmod – hodnota náhodné veličiny X, pro kterou pravděpodobnostní funkce, popř. hustota pravděpodobnosti dosahuje maxima
0)(=
dxxdϕ
123TVVM – Teorie chybOdhad chyby měření
- stanovení výsledku měření a jeho přesnosti pomocí řady
123TVVM Teorie chyb
- stanovení výsledku měření a jeho přesnosti pomocí řady opakovaných měření – není vždy možné – pracné, časově a finančně náročné měřící metody – hledanou veličinu měříme pouze jednou –nelze činit žádné statistické závěry – nutnost určit přesnost stanovené y phodnoty odhadem
čtení na stupnicičtení na stupnicivýrobní údaje o přesnosti – třída přesnosti, výrobní tolerance
dh d h b ěř í á i í k k ét í h d í ká h kodhad chyby měření závisí na konkrétních podmínkách pokusu a experimentální zkušenosti pozorovatele
