【問題pegasus-fc.com/teachingaid/pdf/j2_zukei_proofA.pdf【問題】【証明】三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他

【　問　題　】

【　証　明　】

ファイル名正三角形直角三角形平行四辺形二等辺三角形三角形その他難易度正方形

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

△ＡＢＤと△ＣＤＢにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＣＤ　…　①

ＤＡ＝ＢＣ　…　②

辺ＢＤは共通　…　③

①、②、③より、

３辺(3組の辺)がそれぞれ等しい。

よって、△ＡＢＤ≡△ＣＤＢである。

図において、ＡＢ＝ＣＤ、ＢＣ＝ＤＡとする。

このとき、△ＡＢＤ≡△ＣＤＢであることを証明せよ。

S 0 1 A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


Ａ

Ｂ

Ｄ

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

C

△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＤＣ　…　①

ＡＣ＝ＤＢ　…　②

辺ＢＣは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ

合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。

ゆえに、∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢである。

図において、ＡＢ＝ＤＣ、ＡＣ＝ＤＢとする。

このとき、∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢであることを証明せよ。

S 0 2 A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


ＡＢＤ

E

C

ＡＢＤ

E

C

ＡＢＤ

E

C

△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＡＣ　…　①

ＡＥ＝ＡＤ　…　②

また、

∠Ａは共通　…　③

①、②、③より、

２辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。

よって、△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ


ゆえに、∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤである。

長さの等しい２つの線分ＡＢ、ＡＣがある。

ＡＢ、ＡＣ上に、ＡＤ＝ＡＥとなるような点Ｄ、点Ｅ

をとる。このとき、∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤであることを

証明せよ。

S03A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


Ａ

Ｂ

Ｄ

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

C

△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて

仮定より、

∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ　…　①

ＡＢ＝ＤＣ　…　②

また、

辺ＢＣは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ


ゆえに、∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣである。

図において、ＡＢ＝ＤＣ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ

とする。このとき、∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣであること

を証明せよ。

S04A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


Ａ

Ｂ

Ｄ

E

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

E

C

Ａ

Ｂ

Ｄ

E

C

△ＢＡＣと△ＤＡＥにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＡＤ　…　①

ＢＥ＝ＤＣ　…　②

また、

ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ　…　③

ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ　…　④

①、②、③、④より、

ＡＣ＝ＡＥ　…　⑤

∠Ａは共通　…　⑥

①、⑤、⑥より、


よって、△ＢＡＣ≡△ＤＡＥ

合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。

ゆえに、ＢＣ＝ＤＥである。

図において、ＡＢ＝ＡＤ、ＢＥ＝ＤＣとする。

このとき、ＢＣ＝ＤＥとなることを証明せよ。

S 0 5 A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


B E

F

C

D

A

A

B E

F

C

D

A

B E

F

C

D

△ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＣＤ　…　①

ＡＢ／／ＤＣより、錯角は等しいので、

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ　…　②

また、

ＡＥ＝ＡＦ＋ＦＥ

ＣＦ＝ＣＥ＋ＦＥ

ここで、ＡＦ＝ＣＥなので、

ＡＥ＝ＣＦ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＥ≡△ＣＤＦである。

図において、△ＡＢＥと△ＣＤＦが線分ＦＥで

重なっており、ＡＢ／／ＤＣ、ＡＢ＝ＣＤ、

ＡＦ＝ＣＥとする。このとき、△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ

であることを証明せよ。

S06A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

O

C

D

A

B

O

C

D

A

B

O

C

D

△ＡＯＢと△ＤＯＣにおいて

仮定より、

ＡＯ＝ＤＯ　…　①

ＡＢ／／ＣＤより、錯角は等しいので、

∠ＢＡＯ＝∠ＣＤＯ　…　②

また、対頂角は等しいので、

∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ　…　③

①、②、③より、

１辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。

よって、△ＡＯＢ≡△ＤＯＣ


ゆえに、ＡＢ＝ＤＣである。

平行な２つの線分ＡＢ、ＣＤがあり、ＡＤとＢＣの

交点を点Ｏとし、ＡＯ＝ＤＯとする。

このとき、ＡＢ＝ＤＣであることを証明せよ。

（ポイント）

平行な２直線に他の１直線が交わってできる

錯角は等しいことを利用する。

S07A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A B

O

O

O

C D

A B

C D

A B

C D

△ＡＢＯと△ＤＣＯにおいて

仮定より、

ＢＯ＝ＣＯ　…　①

ＡＢ／／ＣＤより、錯角は等しいので、

∠ＡＢＯ＝∠ＤCO　…　②

また、対頂角は等しいので、

∠ＡＯＢ＝∠ＤOC　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＯ≡△ＤＣＯである。

図において、ＢＣの中点をＯとし、

ＡＢ／／ＣＤとする。このとき、

△ＡＢＯ≡△ＤＣＯとなることを証明せよ。

S08A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

△ＡＢＣと△ＤＢＣにおいて

辺ＢＣは共通　…　①

仮定より、

∠Ａ＝∠Ｄ　…　②

∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ　…　③

三角形の内角の和は１８０°なので、

∠ＡＣＢ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＢＣ　…　④

∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ－∠ＤＢＣ　…　⑤

②、③、④、⑤より、

∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ　…　⑥

①、③、⑥より、


よって、△ＡＢＣ≡△ＤＢＣ


ゆえに、ＡＢ＝ＤＢである。

図において、∠Ａ＝∠Ｄ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ

とする。このとき、ＡＢ＝ＤＢであることを証明せよ。

S09A 4

【　問　題　】

【　証　明　】


A B

C D

Ｍ

A B

C D

Ｍ

A B

C D

Ｍ

△ＡＭＤと△ＢＭＣにおいて

仮定より、

ＡＭ＝ＢＭ　…　①

∠ＭＡＤ＝∠ＭＢＣ　…　②　（∠Ａ＝∠Ｂ）

∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤ　…　③

また、

∠ＡＭＤ＝∠ＡＭＣ＋∠ＣＭＤ　…　④

∠ＢＭＣ＝∠ＢＭＤ＋∠ＣＭＤ　…　⑤

③、④、⑤より、

∠ＡＭＤ＝∠ＢＭＣ　…　⑥

①、②、⑥より、


よって、△ＡＭＤ≡△ＢＭＣ


ゆえに、ＡＤ＝ＢＣである。

図において、点Ｍは線分ＡＢの中点、∠Ａ＝∠Ｂ、

∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤである。

このとき、ＡＤ＝ＢＣであることを証明せよ。

（ポイント）

∠ＡＭＤ＝∠ＡＭＣ＋∠ＣＭＤ

∠ＢＭＣ＝∠ＢＭＤ＋∠ＣＭＤ

また、仮定より∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤ

この３つから∠ＡＭＤ＝∠ＢＭＣを導く

ことができる。

S10A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

E

C

D

A

B

E

C

D

A

B

E

C

D

△ＢＣＤと△ＣＢＥにおいて

仮定より、

ＢＤ＝ＣＥ　…　①

二等辺三角形ＡＢＣの底角なので、

∠ＣＢＤ＝∠ＢＣＥ　…　②

また、辺ＢＣは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＢＣＤ≡△ＣＢＥ


ゆえに、ＣＤ＝ＢＥである。

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形である。

点Ｄ、ＥをＢＤ＝ＣＥとなるようにとる。

このとき、ＣＤ＝ＢＥであることを証明せよ。

S11A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B E CD

A

B E CD

A

B E CD

△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて

△ＡＢＣは二等辺三角形なので、


仮定より、

ＢＤ＝ＣＥ　…　②


∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ

合同な三角形の対応する辺は等しい。

ゆえに、ＡＤ＝ＡＥであり、

△ＡＤＥは二等辺三角形である。

二等辺三角形ＡＢＣがあり、底辺ＢＣ上にＢＤ＝ＣＥ

となるように２点Ｄ，Ｅをとる。このとき、

△ＡＤＥは二等辺三角形であることを証明せよ。

S12A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

E F

CD

A

B

E F

CD

A

B

E F

CD

△ＢＤＥと△ＣＤＦにおいて

仮定より、

ＢＥ＝ＣＦ　…　①

ＢＤ＝ＣＤ　…　②


∠Ｂ＝∠Ｃ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＢＤＥ≡△ＣＤＦ


ゆえに、ＤＥ＝ＤＦであり、

△ＤＥＦは二等辺三角形である。

ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣにおいて、

ＡＢ上に点Ｅ、ＡＣ上に点ＦをＢＥ＝ＣＦとなる

ようにとる。底辺ＢＣの中点をＤとするとき、

△ＤＥＦは二等辺三角形であることを証明せよ。

S13A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

E

F

CD

A

B

E

F

CD

A

B

E

F

CD

△ＢＤＦと△ＣＥＤにおいて

仮定より、


ＢＦ＝ＣＤ　…　②

△ＡＢＣの底角なので、

∠ＤＢＦ＝∠ＥＣＤ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＢＤＦ≡△ＣＥＤ


ゆえに、ＤＦ＝ＥＤであり、

△ＤＥＦは二等辺三角形である。

ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの底辺ＢＣ上に

点Ｄを、また辺ＡＣ、ＡＢ上にそれぞれ点Ｅ、点Ｆを

とり、ＦＢ＝ＤＣ、ＢＤ＝ＣＥとする。このとき、

△ＤＥＦは二等辺三角形であることを証明せよ。

S14A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

E

C

DP

A

B

E

C

DP

A

B

E

C

DP

△ＥＢＣと△ＤＣＢにおいて

仮定より、


ＡＥ＝ＡＤ　…　②

ＥＢ＝ＡＢ－ＡＥ　…　③

ＤＣ＝ＡＣ－ＡＤ　…　④

①、②、③、④より、

ＥＢ＝ＤＣ　…　⑤


∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＢ　…　⑥

また、ＢＣは共通　…　⑦

⑤、⑥、⑦より、


よって、△ＥＢＣ≡△ＤＣＢ


ゆえに、∠ＥＣＢ＝∠ＤＢＣであり、

△ＰＢＣにおいては底角が等しいので、

△ＰＢＣは二等辺三角形である。

ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形の辺ＡＣ、ＡＢ上に、

それぞれ点Ｄ，点ＥをＡＤ＝ＡＥとなるようにとる。

ＢＤとＣＥの交点をＰとするとき、

△ＰＢＣは二等辺三角形であることを証明せよ。

S15A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


A

A’

B C

A

A’

B CＤ

A

A’

B CＤ

ＡＡ’とＢＣとの交点をＤとする。

△ＡＢＡ’と△ＡＣＡ’において

仮定より、


Ａ’Ｂ＝Ａ’Ｃ　…　②

また、ＡＡ’は共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＡ’≡△ＡＣＡ’


ゆえに、∠ＢＡＡ’＝∠ＣＡＡ’であり、

ＡＡ’は二等辺三角形ＡＢＣの∠Ａの二等分線

であるから、ＡＡ’はＢＣを垂直に２等分する。

底辺ＢＣを共有する２つの二等辺三角形をＡＢＣ、

Ａ’ＢＣとするとき、ＡＡ’はＢＣを垂直に

２等分することを証明せよ。

S16A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


E C

DA

B

E C

DA

B

E C

DA

B

△ＡＢＣと△ＥＡＤにおいて

仮定より、

ＡＢ＝ＥＡ　…　①

平行四辺形の対辺の長さは等しいので、

ＢＣ＝ＡＤ　…　②

二等辺三角形ＡＢＥの底角は等しいので、

∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＢ　…　③

また、ＢＣ／／ＡＤより、錯角は等しいので、

∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＤ　…　④

③、④より

∠ＡＢＣ＝∠ＥＡＤ　…　⑤

①、②、⑤より、


よって、△ＡＢＣ＝△ＥＡＤである。

平行四辺形ＡＢＣＤがあり、辺ＢＣ上にＡＢ＝ＡＥ

となる点Ｅをとる。

このとき、△ＡＢＣ≡△ＥＡＤであることを証明せよ。

S17A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


E

C

D

D

D

A

B

E

C

A

B

E

C

A

B


仮定より、


ＡＤ＝ＡＥ　…　②

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ　…　③

また、

∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ　…　④

∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＥ　…　⑤

③、④、⑤より

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ　…　⑥

①、②、⑥より、




ゆえに、ＢＤ＝ＣＥである。

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形、△ＡＤＥは

ＡＤ＝ＡＥの二等辺三角形である。∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ

ならば、ＢＤ＝ＣＥであることを証明せよ。

（ポイント）

∠ＣＡＤが共通であることに気がつけば、

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥであることがわかる。

S18Ａ 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B C

D

E

A

B CKF

D

EA

B CKF

D

E

ＢＣとＤＥの交点をＫとする。また、Ｄを通りＡＥに

平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＦとする。

△ＤＦＫと△ＥＣＫにおいて

ＤＦ／／ＣＥなので

∠ＦＤＫ＝∠ＣＥＫ（錯角）　…　①

∠ＤＦＫ＝∠ＥＣＫ（錯角）　…　②

∠ＤＦＢ＝∠ＡＣＢ（同位角）　…　③

ＡＢ＝ＡＣより、△ＡＢＣは二等辺三角形であり、

底角は等しいので、

∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ　…　④

③、④より

∠ＤＦＢ＝∠ＡＢＣ

よって、△ＤＢＦは二等辺三角形であり、

ＢＤ＝ＦＤ　…　⑤

仮定より、

ＢＤ＝ＣＥ　…　⑥

⑤、⑥より、

ＦＤ＝ＣＥ　…　⑦

①、②、⑦より


よって、△ＤＦＫ≡△ＥＣＫ


ゆえに、ＤＫ＝ＥＫであり、

ＤＥはＢＣで２等分される。

図において、ＡＢ＝ＡＣ、ＢＤ＝ＣＥのとき、

ＤＥはＢＣで２等分されることを証明せよ。

S19A 5

【　問　題　】

【　証　明　】


A BC

D

E

A BC

D

E

A BC

D

E

△ＡＣＤと△ＣＢＥは正三角形なので

ＡＣ＝ＤＣ　…　①

ＣＥ＝ＣＢ　…　②

∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＢ＝６０°　…　③

△ＡＣＥと△ＤＣＢにおいて

∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ　…　④

∠ＤＣＢ＝∠ＥＣＢ＋∠ＤＣＥ　…　⑤

③、④、⑤より

∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＢ　…　⑥

①、②、⑥より、


よって、△ＡＣＥ≡△ＤＣＢ


ゆえに、ＡＥ＝ＤＢである。

線分ＡＢ上に点Ｃをとり、ＡＣ、ＣＢをそれぞれ

１辺とする正三角形ＡＣＤと正三角形ＣＢＥをとる。

このとき、ＡＥ＝ＤＢとなることを証明せよ。

S20A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


AB

C

D

E

AB

C

D

E

AB

C

D

E

△ＢＤＡと△ＣＥＡにおいて

△ＡＢＣと△ＡＤＥは正三角形なので、


ＡＤ＝ＡＥ　…　②

∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝６０°　…　③

また、

∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ　…　④

∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＤＡＣ　…　⑤

③、④、⑤より、

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ　…　⑥

①、②、⑥より、


よって、△ＢＤＡ≡△ＣＥＡ


ゆえに、ＢＤ＝ＣＥである。

△ＡＢＣと△ＡＤＥが正三角形のとき、

ＢＤ＝ＣＥであることを証明せよ。

S21A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B C

A

C

DE

B

DE

B

DE

A

C

△ＡＢＤと△ＣＢＥにおいて

△ＡＢＣ、△ＤＢＥは正三角形なので、

ＡＢ＝ＣＢ　…　①

ＢＤ＝ＢＥ　…　②

また、

∠ＤＢＡ＝∠ＤＢＥ－∠ＡＢＥ＝６０°－∠ＡＢＥ

∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝６０°－∠ＡＢＥ

したがって、∠ＤＢＡ＝∠ＥＢＣ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＤ≡△ＣＢＥ


ゆえに、ＡＤ＝ＣＥである。

図において、△ＡＢＣと△ＤＢＥは正三角形

であるとき、ＡＤ＝ＣＥであることを証明せよ。

S22A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

C

DE

A

B

C

DE

A

B

C

DE

△ＢＥＡと△ＤＣＡにおいて

△ＡＢＤと△ＡＣＥは正三角形なので、

ＡＢ＝ＡＤ　…　①

ＡＥ＝ＡＣ　…　②

また、

∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ＋∠ＢＡＣ

　　　　＝６０°＋∠ＢＡＣ

∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ

　　　　＝６０°＋∠ＢＡＣ

よって、∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＣ　…　③

①、②、③より


よって、△ＢＥＡ≡△ＤＣＡ


ゆえに、ＢＥ＝ＤＣである。

図において、△ＡＢＤ、△ＡＣＥが正三角形のとき、

ＢＥ＝ＤＣであることを証明せよ。

S23A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


EA

B C D

EA

B C D

EA

B C D


仮定より


△ＡＢＣは正三角形だから、

ＡＢ＝ＡＣ　…　②

∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＣ　…　③

ＡＢ／／ＥＣより、錯角は等しいから、

∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ　…　④

③、④より

∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ …　⑤

①、②、⑤より




ゆえに、ＡＤ＝ＡＥである。

図のように、正三角形ＡＢＣの辺ＢＣを延長して、

その上に点Ｄをとる。次に、頂点Ｃを通るＡＢに

平行な直線を引き、その線上にＢＤ＝ＣＥとなる

点Ｅをとる。

このとき、ＡＤ＝ＡＥであることを証明せよ。

S 2 4 A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


A

D

E

F

B C

A

D

E

F

B C

A

D

E

F

B C

A

D

E

F

B C

仮定より、

ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ　…　①

ＣＡ＝ＡＢ＝ＢＣ　…　②

∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ　…　③

また、

ＦＡ＝ＣＡ－ＣＦ　…　④

ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ　…　⑤

ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ　…　⑥

△ＡＤＦと△ＢＥＤにおいて

①、②、④、⑤より、

ＦＡ＝ＤＢ　…　⑦

①、③、⑦より


よって、△ＡＤＦ≡△ＢＥＤであり、ＤＦ＝ＥＤ

　…　⑧

次に、△ＢＥＤと△ＣＦＥにおいて

①、②、⑤、⑥より、

ＤＢ＝ＥＣ　…　⑨

①、③、⑨より

２辺とその間の角がそれぞれ等しい。

よって、△ＢＥＤ≡△ＣＦＥであり、

ＥＤ＝ＦＥ　…　⑩

⑧、⑩より、ＤＦ＝ＥＤ＝ＦＥであり、

△ＤＥＦは正三角形である。

図のように、正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上に、

それぞれ点Ｄ、Ｅ、ＦをＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦとなるように

とると、△ＤＥＦも正三角形になることを証明せよ。

S25A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


A

D

EF

C

A

D

EF

B

B

C

A

D

EF

B C

A

D

EF

B C

A

D

EF

B C

△ＡＦＥ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤは

２辺が等しく、その間の角が６０°なので、

△ＡＦＥ≡△ＢＤＦ≡△ＣＥＤ

また、これらは正三角形である。

よって、△ＤＥＦは３辺がまわりの正三角形の１辺

に等しい正三角形となる。

ゆえに、正三角形ＡＢＣは、ＤＦ、ＦＥ、ＥＤにより

４つの合同な正三角形に分けられる。

正三角形ＡＢＣの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの中点をそれぞれ

点Ｄ，Ｅ、Ｆとし、３点Ｄ，Ｅ，Ｆを順に結ぶと、

正三角形ＡＢＣは４つの合同な正三角形に分けられる

ことを証明せよ。

S26A 3

【　問　題　】

【　証　明　】


A

Q

P

R

B C

A

Q

P

R

B C

A

Q

P

R

B C

△ＰＢＣと△ＲＡＣにおいて

△ＡＢＣ、△ＲＰＣは正三角形なので

ＢＣ＝ＡＣ　…　①

ＰＣ＝ＲＣ　…　②

また、

∠ＰＣＢ＝６０°－∠ＡＣＰ

∠ＲＣＡ＝６０°－∠ＡＣＰ

したがって、∠ＰＣＢ＝∠ＲＣＡ　…　③

①、②、③より、


△ＰＢＣ≡△ＲＡＣ


ゆえに、ＰＢ＝ＲＡ　…　④

また、△ＱＢＰは正三角形なので、

ＰＢ＝ＰＱ　…　⑤

④、⑤より、ＰＱ＝ＲＡである。

正三角形ＡＢＣの内部に点Ｐをとり、ＰＢを１辺

とする正三角形ＱＢＰとＰＣを１辺とする

正三角形ＲＰＣをつくる。そして、点Ａと点Ｑ、

点Ａと点Ｒをそれぞれ直線で結ぶ。

このとき、ＰＱ＝ＲＡであることを証明せよ。

（ポイント）

ＰＱ＝ＲＡを含む合同な三角形はないので、

一旦、ＰＢ＝ＲＡを示すと良い。

S27A 5

【　問　題　】

【　証　明　】


C

E

A

B F

E

F

E

F

D

C

A

B

D

C

A

B

D

△ＢＣＥと△ＤＣＦにおいて

仮定より、

ＢＥ＝ＤＦ　…　①

ＢＣ＝ＤＣ　…　②

∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＦ＝９０° …　③

①、②、③より、

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。

よって、△ＢＣＥ≡△ＤＣＦ


ゆえに、ＣＥ＝ＣＦである。

点Ｅは正方形ＡＢＣＤの辺ＣＤ上の点、

点Ｆは辺ＢＣ上の点でＢＥ＝ＤＦである。

このとき、ＣＥ＝ＣＦであることを証明せよ。

S 2 8 A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

P

O

N

M

A

B

P

O

N

M

A

B

P

O

N

M

△ＰＯＭと△ＰＯＮにおいて

仮定より、

∠ＰＭＯ＝∠ＰＮＯ＝９０°　…　①

ＰＭ＝ＰＮ　…　②

また、

ＰＯは共通　…　③

①、②、③より、

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等し

い。よって、△ＰＯＭ≡△ＰＯＮ

合同な三角形の対応する角は等しい。

ゆえに、∠ＰＯＭ＝∠ＰＯＮであり、

点Ｐは∠ＡＯＢ（∠O）の二等分線上にある。

∠ＡＯＢ内の点Ｐから辺ＯＡ、ＯＢに引いた垂線を

ＰＭ、ＰＮとするとき、ＰＭ＝ＰＮならば、

点Ｐは∠O の二等分線上にあることを証明せよ。

S29A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A B

HX

K

M

A B

HX

K

M

A B

HX

K

M

△ＡＭＨと△ＢＭＫにおいて

仮定より、

∠ＡＨＭ＝∠ＢＫＭ＝９０°　…　①

ＡＭ＝ＢＭ（Ｍは線分ＡＢの中点）　…　②

∠ＡＭＨ＝∠ＢＭＫ（対頂角）　…　③

①、②、③より、

直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい。

よって、△ＡＭＨ≡△ＢＭＫ


ゆえに、ＡＨ＝ＢＫである。

線分ＡＢの中点Ｍを通る直線Ｘに、線分ＡＢの

両端から垂線ＡＨ、ＢＫをそれぞれ引く。

このとき、ＡＨ＝ＢＫであることを証明せよ。

S30A 2

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B D

C

A

B D

C

A

B D

C

直線ＡＣを引く。

△ＢＣＡと△ＤＣＡにおいて

仮定より、

∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°　…　①

ＡＢ＝ＡＤ　…　②

また、

ＡＣは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＢＣＡ≡△ＤＣＡ


ゆえに、ＢＣ＝ＤＣである。

四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°

である。このとき、ＢＣ＝ＤＣであることを証明せよ。

S31A 1

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

D E

MC

A

B

D E

MC

A

B

D E

MC

△ＢＭＤと△ＣＭＥにおいて

仮定より

∠ＭＤＢ＝∠ＭＥＣ＝９０°　…　①

ＢＭ＝ＣＭ　…　②

ＭＤ＝ＭＥ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＢＭＤ≡△ＣＭＥ


ゆえに、∠Ｂ＝∠Ｃ（△ＡＢＣの底角が等しい）

であり、△ＡＢＣは二等辺三角形である。

図のように△ＡＢＣのＢＣの中点Ｍから、

ＡＢ，ＡＣに垂線を引き、ＡＢ、ＡＣとの

交点をそれぞれＤ，Ｅとする。

このとき、ＭＤ＝ＭＥであれば、

△ＡＢＣは二等辺三角形であることを証明せよ。

1S32A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

DE

C

A

B

DE

C

A

B

DE

C

△ＣＢＥと△ＢＣＤにおいて

仮定より

∠ＢＥＣ＝∠ＣＤＢ＝９０°　…　①

∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＢ（二等辺三角形の底角）　…　②

ＢＣは共通　…　③

①、②、③より、

直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。

よって、△ＣＢＥ≡△ＢＣＤ


ゆえに、ＢＥ＝ＣＤである。

ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがある。Ｂ、Ｃから、

それぞれＡＣ、ＡＢに垂線ＢＤ、ＣＥを引くとき、

ＢＥ＝ＣD であることを証明せよ。

1S33A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

F

F

F

B

DE

C

A

B

DE

C

A

B

DE

C

△ＤＢＣと△ＥＣＢにおいて

仮定より、

∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°　…　①

ＢＣは共通　…　②


∠ＢＣＤ＝∠ＣＢＥ　…　③

①、②、③より、

直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい。

よって、△ＤＢＣ≡△ＥＣＢ


ゆえに、∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ

したがって、△ＦＢＣは２つの角が等しいので

二等辺三角形であり、ＢＦ＝ＣＦである。

ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがある。

頂点Ｂ，ＣからそれぞれＡＣ、ＡＢに垂線ＢＤ、ＣＥ

を引き、ＢＤ、ＣＥの交点をＦとする。

このとき、ＢＦ＝ＣＦであることを証明せよ。

（ポイント）

△ＢＦＥと△ＣＦＤの合同は、条件が足りないため

すぐには証明できない。△ＦＢＣが二等辺三角形で

あることを証明すると良い。

△ＤＢＣ≡△ＥＣＢ

　↓

∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ

　↓

∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ

4S34A

【　問　題　】

【　証　明　】


B

D

E C

B

D

E C

A

A

A

B

D

E C

△ＤＡＥと△ＣＡＥにおいて

仮定より、

∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＥ＝９０°　…　①

ＡＤ＝ＡＣ　…　②

ＡＥは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＤＡＥ≡△ＣＡＥ


ゆえに、∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥであり、

ＡＥは∠ＢＡＣを２等分する。

図のように、直角三角形ＡＢＣで、ＢＣ上に

ＡＤ＝ＡＣとなる点Ｄをとり、Ｄを通るＡＢに

垂直な線を引き、ＢＣとの点をＥとする。

このとき、ＡＥは∠ＢＡＣを２等分することを証明せよ。

（ポイント）

・仮定

　△ＡＢＣは直角三角形

　ＡＤ＝ＡＣ　ＤＥ⊥ＡＢ

・結論

　ＡＥは∠ＢＡＣを二等分する

△ＤＡＥ≡△ＣＡＥ

　↓

∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ

　↓

ＡＥは∠ＢＡＣを二等分する

2S35A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

D

E

F

C

A

B

D

E

F

C

A

B

D

E

F

C

△ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて

仮定より、

∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°　…　①

ＡＢ／／ＤＣより、錯角は等しいので、

∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ　…　②

平行四辺形の向かい合う辺は等しいから、

ＡＢ＝ＣＤ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＥ≡△ＣＤＦである。

平行四辺形ＡＢＣＤの頂点Ａ、Ｃから対角線ＢＤに

垂線ＡＥ、ＣＦをそれぞれ引くとき、

△ＡＢＥ≡△ＣＤＦであることを証明せよ。

2S36A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

DX

E

C

A

B

DX

E

C

A

B

DX

E

C

△ＡＢＤと△ＣＡＥにおいて

仮定より、

∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＡ＝９０°　…　①

ＡＢ＝ＣＡ　…　②

また、三角形の内角の和は１８０°なので、

∠ＤＢＡ＝１８０°－∠ＡＤＢ－∠ＤＡＢ

＝１８０°－９０°－∠ＤＡＢ

＝９０°－∠ＤＡＢ

∠ＥＡＣ＝１８０°－∠ＣＡＢ－∠ＤＡＢ

　　　　＝１８０°－９０°－∠ＤＡＢ

　　　　＝９０°－∠ＤＡＢ

したがって、

∠ＤＢＡ＝∠ＥＡＣ　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＤ≡△ＣＡＥである。

直角二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａを通る直線Ｘに

垂線ＢＤ、ＣＥを引いたとき、△ＡＢＤ≡△ＣＡＥ

であることを証明せよ。

3S 3 7 A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

D

CE

A

B

D

CE

A

B

D

CE

△ＡＢＤと△ＥＢＤにおいて

仮定より、

∠Ａ＝∠ＤＥＢ＝９０°　…　①

∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ　…　②

また、

ＤＢは共通　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＤ≡△ＥＢＤ


ゆえに、ＡＤ＝ＥＤ　…　④

次に、△ＤＥＣにおいて

△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので∠Ｃ＝４５°

∠ＣＤＥ＝９０°－∠Ｃ＝４５°

よって、△ＤＥＣは直角二等辺三角形なので、

ＤＥ＝ＥＣ　…　⑤

④、⑤より、

ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＣである。

∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形ＡＢＣの底角Ｂの

二等分線がＡＣと交わる点をＤとし、ＤからＢＣに

引いた垂線をＤＥとする。

このとき、ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＣであることを証明せよ。

3S38A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

B’

C

C’

A

B

B’

C

C’

A

B

B’

C

C’

△ＡＢＢ’と△ＣＡＣ’において

仮定より

ＡＢ＝ＣＡ　…　① （直角二等辺三角形ＡＢＣの辺）

∠ＢＢ’Ａ＝∠ＡＣ’Ｃ＝９０°　…　②

また、

∠ＢＡＢ’＝９０°－∠ＣＡＣ’

∠ＡＣＣ’＝９０°－∠ＣＡＣ’

ゆえに、∠ＢＡＢ’＝∠ＡＣＣ’　…　③

①、②、③より、


よって、△ＡＢＢ’≡△ＣＡＣ’

合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので、

ＢＢ’＝ＡＣ’

ＡＢ’＝ＣＣ’

よって、ＢＢ’－ＣＣ’＝ＡＣ’－ＡＢ’＝Ｂ’Ｃ’

したがって、ＢＢ’－ＣＣ’＝Ｂ’Ｃ’である。

∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａ

を通り、△ＡＢＣの内部を通る直線に頂点Ｂ，Ｃ

から垂線ＢＢ’、ＣＣ’を引く。

このとき、ＢＢ’－ＣＣ’＝Ｂ’Ｃ’であることを証明せよ。

（ポイント）Ｂ’Ｃ’＝ＡＣ’－ＡＢ’に気付いて、ＢＢ’＝ＡＣ’、ＣＣ’＝ＡＢ’をを示すと良い。

5S 3 9 A

【　問　題　】

【　証　明　】


A

B

C

MP

Q

A

B

C

MP

Q

A

B

C

MP

Q

△ＡＭＰと△ＣＭＱにおいて

△ＡＢＣは直角二等辺三角形だから、

∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°　…　①

ＡＭ⊥ＢＣより、

∠ＡＭＣ＝∠ＡＭＢ＝９０°　…　②

①、②より、△ＡＢＭと△ＡＣＭは

直角二等辺三角形である。ゆえに、

∠ＭＡＰ＝∠ＭＣＱ（∠Ｃ）＝４５°　…　③

ＭＡ＝ＭＣ　…　④

ＭＰ⊥ＭＱであるから、

∠ＡＭＰ＝９０°－∠ＡＭＱ　…　⑤

ＡＭ⊥ＢＣであるから、

∠ＣＭＱ＝９０°－∠ＡＭＱ　…　⑥

⑤、⑥より、

∠ＡＭＰ＝∠ＣＭＱ　…　⑦

③、④、⑦より、

１辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

よって、△ＡＭＰ≡△ＣＭＱである。

図のように、直角二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから

斜辺ＢＣに垂線ＡＭを引く。点Ｍで垂直に交わる２つの

直線を引き、辺ＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれ

Ｐ，Ｑとする。このとき、

△ＡＭＰ≡△ＣＭＱであることを証明せよ。

4S40A

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【 問 題pegasus-fc.com/teachingaid/pdf/j2_zukei_proofA.pdf【 問 題 】 【 証 明 】 三角形 二等辺三角形 直角三角形 正三角形 平行四辺形 正方形 その他

【問題pegasus-fc.com/teachingaid/pdf/j2_zukei_proofA.pdf【問題】【証明】三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他