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偏微分係数と極大・極小の必要条件・十分条ｲ牛

NobuyukiTOSE

emath,April l6, 2019

]/'H I偶微分係数と極大･極小⑮必要条件･十分条件卜| 』1 11h丁きく

開円盤

「開円盤(OpenDisc)

r>0|Po(a,6)ER2に対して

Br(Po) :={PER2; d(P,Po)0の開円盤と呼びます． こ

こでd(PO,P)は2点Po,Pの距離です. P(x,y)のとき

●Ｉｄ、Ｌ

I， c,P）

一

／

V(x_a)2+(y_b)2d(Po,P)=

注意今後「Poの近くで～」という言い方をしますが， これはある正数r>0に対して

任意のPEBr(Po)において～

雁微分係数と極大･極哩l必要条件･十分条件 2／18I,l PIIWNMT ‘号

開集合(Opensubsets)

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一

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Definition

R2の部分集合Uがあるとします. "が開集合

であるとは任意のPoEUに対してr>0が存

在して

Br(Po) :={PER2; d(P,Po)0}

●第1象限(1stQuadrant)

R#+:={(x;y)ER2;×,y>0}

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旧徴分係数と極大・極小の必要条件・十分条件 q／18|JQL凹‘u」 1 堂E

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開集合一反例

以下のR2の部分集合は開集合ではありません．

PoER2のなす集合{Po}

●閉上半平面

Fi :={(xly)ER2;y≧0}

●閉第1象限

R4+:={(x,y)R2; x,yど0}

●閉円盤

Fx可:､pER2;d(P,Po)≦r}

E／13旧微分係数と極大 極小の必要条件・十分条件N1 トulm T1 5

一

a C_. 6

1変数の極大点（極小点）

微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します．

Theorem

微分可能な関数f: la,6[→Rがあるとします．大）ならば

f'(c)=0

fがcE]a,b[で極小（極一

注意これは中身を理解して欲しい定理です．→IC？!二繭{ ) .注意定理の状況でfがcE]a,b[で極小とは， ある正数6>0に対して

≧f(c) (c-6

極大点・極小点

R2の開集合U上の関数

f: (ノ→R

に対して, fがPo(a,b)で極小(resp極大）であると在して

f(×,y)≧f(a,b) ((×,y)EB6(Po))

(resPf(x,y)≦f(a,b) ((×,y)EB6(Po))

が成立するときです．

であるとはある6＞0が存

U-

旧微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 ｱﾉﾕ日' 11, ,上: i ,,． ,pk祀毎

」

極大点・極小点であることの必要条件

R2の開集合〃上の関数

f; U→R

がUの各点PE"でx,yについて偏微分できると仮定します．

Theorem

fがPo(a,6)E〃で極小（極大）ならば

"(a,b)=@(a,b)=0 (1)

」が成ウします．

この状況で(1)を満たす点Po(a,6)をfの停留点と呼びます．

B/'8|■撤分係数と極大･極小の必要条件･十分条件1-1"I｣き｢Ⅶplq， 。'・咽弔

証明の概略

fがPoで極小とします． このときある正数6>0が存在して

f(P)≧f(Po) (PEB6(Po))

ここで

F(x)=f(x,b)

は少なくともa-IF

Zi-(-t)=-t3

zfi (-t)=耽1｛

号(=さ〔｡〕=｡

一う

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一

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V

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｣垂コエユe--4 C -E

右極限・左極限・両側極限

α

極大・極小の十分条件

定理

R2の開集合(ﾉ上のC2級関数f: "→Rに対してPO(a,6)E〃が停留点であるとします．

f(PO)=4(PO)=0

(1) |捌洲>…｡)>，(確諏“)

対称行列の固有多項式(2)D=0の場合は？

D=0くこ今a-b=0, c=0

から

(; :）Aの固有多項式が重根を持つ今A= ==aﾉ2

注意上でp,9ERに対して

p,qど0, p+q=0→p=q=0

を用いている．

１１

胴微分係数と極大･極小の必婆条件･十分条件 ﾕ5／ユロ1.1, ', | 』 ｢Ilk T'1 円

ー

ﾐf.T｡ 'V,e一一

| i

準備1-2次形式の正値性

2次の対称行列A=(::)を考えます． このときAの固有多項式

のA(入) :=det(入h-A)=入2-(a+b)A+ab-c2

は2実根α,6ERを持ちます． またAが定める2次形式

(A(;),(7))=ax2+2>0

(2)a>0,det(A)>0(3)α,β＞0

(( )≠5）

■■■

|健微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 妬／ユ8| ,J, ． ’ 』E』kT S

’

’準備1-2次形式の正値性

(2)→(1)

０シ’

２

Ｖソ２

９｜罪２ｙ

Ｃ

－一ａ

２

即弛

十十

２２

１１

ＶゾＶゾ

ＣｌａＣ－ａ

十＋

××

／１１、／１１、

ａａ

２勿十”２＋

２Ｘａ

が成立します．最後の不等式の等号成立の条件は

｡(xgy)'=L;fy2=0x+JZy=y=0y2＝0x=y=0

から→

( )≠0→(A(y),(;))>0

旧微 17ノ1日 ’分係数と極大・極小の必要柔件・十分条件｢･1,-, | ‘ ‘ hl IK晶・

準備1-2次形式の正値性

(1)→(2)

ax2+2cxy+by' ((7)≠6)においてx=1,y=0とするとa>0が従います． さらに

(x+:y)'半竺デ2y' ((;)≠6) (*)ax2+2cxy+by2=a

においてx=-:,y:=1とすると

ab-c2＞0

a

からdet(A)=ab-c2>0であることが分かります．

間毎分係数と極大･梱小の必要条件‘十分条件 班／xB' 1 1 1品1齢 I

J{、

Ⅱ

瓦栽渥可鋤少〔 ‘ 2r=5；萱