연산의 의미와 기본 구구

박성선

춘천교육대학교

ⓒ Chunchon National University of Education

서론

• 사칙연산에 대한 이해와 사칙연산 구구에 대한 지식은 계산을 이용한 모든 후속 활동의 기초

• 다양한 물리적 모델을 사용한 다채로운 접근을 통해, 연산에 대한 폭넓은 개념 발달

• 각 연산에 적용되는 성질을 이해하고, 연산들 간의 관련성 이해

• 각 연산에 대한 구구를 이해하고 암기

아동의 수 감각과 연산 능력

- 궁극적인 목표는 학생들이 사칙연산과 문제해결 상황에서 각 연산을

언제 적용하는지를 알게 하는 것이다.

- 각 아동이 무엇을 알고 있는지 파악하는 것에서 시작

- 아동들이 이전에 구성해 놓은 수 개념에 대한 사전 지식을 바탕으로 발전( Kouba & Franklin, 1993, 1995)

- 연산 활동을 위한 네 가지 선행요건

* 능숙한 수세기

* 구체적 상황에서의 다양한 경험

* 문제해결 상황에서의 경험

* 언어적 경험

연산학습의 선행요건

• 수 세기

- 아동은 학교에 입학하기 전부터 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 포함하는 문제를 해결하기 위해 수 세기를 사용

- 충분한 시간만 주어지면 0과 자연수를 다루는 모든 문제를 수 세기를 통해서 풀 수 있겠지만 수 세기를 통해 문제를 풀 만큼 시간에 여유가 있는 것이 아니므로 효율적인 연산법이 필요

- 앞으로 세고, 거꾸로 세고, 2개씩, 3개씩 세고 이러한 묶음과 배열을 비교하고 분석하는 수세기는 아동이 연산을 다루는 초기활동의 통합적인 작용

연산학습의 선행요건

• 구체적 경험

- 아동은 실생활에서 여러 가지 경험을 하는 동안 연산에 대해 이해를 발달시키기 위한 구체물을 다루어 볼 필요가 있다.

- 조작물은 실세계에서 겪는 문제해결 상황에서의 연산과도 잘 관련되고, 또 아동이 답이 맞았는지를 조작물을 통해 직접 확인시켜주어 확신을 갖게 해주기에 의미가 있다.

연산학습의 선행요건

• 문제해결 상황

- 사칙연산은 다양한 문제 상황이나 맥락에서 사용되어야 한다.

- 수학은 실생활에 적용되는 하나의 문제해결 도구

연산학습의 선행요건

• 언어적 능력

- 수학에 대해 토론하는 것은 의미있는 학습

- 언어는 연산과 구구에 대한 수업의 모든 초기단계에서 그것을 습득하는데 중요한 역할

- 주어진 상황에서 무슨 일이 일어나고 있는지 설명하는데 있어 언어가 사용되는데 바로 그때 아동은 기호를 구체물의 조작이나 문제 상황과 관련시켜 볼 수 있다.

- 언어는 기호체계를 연산과 관련시켜 이해하는 데 도움을 준다.

연산의 의미

(1) 덧셈

‧ 합병

‧ 첨가

(2) 뺄셈

‧ 분리(구잔)

‧ 비교(구차)

‧ 부분-전체

연산의 의미

(1) 곱셈

‧ 동일집합(묶음), 비교(배), 조합, 넓이(배열)

(2) 나눗셈

‧ 포함제(측정, 동수누감)- 각 묶음에 있는 수를 알 때 그 묶음의 수를 결정하는 것

‧ 등분제(분할, 동등분할)- 전체를 주어진 같은 수의 묶음으로 분할 했을 때 그 묶음의 수를 찾는 것.

수학적 성질

성질 수학적 언어 아동의 언어 어떤 도움이 되나

교환법칙 모든 수 a, b에 대하여 a+b=b+a a×b=b×a

4+7=11↔7+4=11 4×7=28↔7×4=28

덧셈이나 곱셈의 구구의 개수를 100개에서 55개로 줄인다

결합법칙 모든 수 a, b, c에 대하여 (a+b)+c=a+(b+c) (a×b) ×c=a×(b×c)

셋 이상의 수를 더하거나 곱할 때 어떤 수부터 시작하든 상관없다

둘 이상의 수를 더하거나 곱할 때 쉬운 것부터 택할 수 있다 37×5×2

수학적 성질 성질 수학적 언어 아동의 언어 어떤 도움이 되나

배분법칙 모든 수 a,b,c에 대하여 a(b+c)=ab+ac

8×(5+2) ↔(8×5)+(8×2)

어려운 구구는 좀더 작고 기억하기 쉬운 것으로 분리 할 수 있다 8×7 ↔(8×5)+(8×2)

항등원 0또는 모든 자연수 a에 대하여 a+0=a 이고 a×1=a 이다

어떤 수에다 0을 더해도 그 값은 자기자신이다 어떤 수에다 1을 곱해도 그 값은 자기 자신이다

0을 포함하는 19개의 덧셈구구와 1을 포함하는 19개의 곲셈구구는 이 성질이 한번 이해되고 확인되기만 하면 쉽게 외울 수 있다.

사칙연산의 기본구구 지도

• 아동의 현재 상태에서 시작한다.

• 기본 구구를 충분히 이해시킨다.

- 결과가 같은 구구끼리 묶기(0+6=1+5=2+4=6)

- 세 수 사이의 관계를 유형별로 조직(3+2=5, 2+3=5, 5-3=2)

- 사고 전략별로 묶기(가수가 1인 모든 구구, 같은 수 전략)

• 구구를 기억하는 방법에 초점을 맞춘다.

덧셈에 관한 100개의 구구

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2. 사칙연산 구구표 1) 덧셈 구구를 위한 사고 전략

1. 교환법칙

• 더하는 수의 순서를 바꾸는 것은 합에 영향을 미치지 않는다.

2. 0과 1 더하기 전략

• 0을 더하는 전략은 0을 더하는 수로 갖는 구구에 적용된다.

• 아동이 "더 없음"(영)을 더할 때마다 합은 같아진다는 사실을 알게 해야 한다.

• 두 개의 더하는 수가 모두 같은 경우의 구구이다(double number).

3. 같은 수끼리 더하기

4. 이어서 세기

• 계속 세기 전략은 더하는 수 중 하나가 1,2 또는 3일 때 가장 쉽게 사용된다.

• 교환법칙의 성질에 대한 이해가 전제되어 있어야 한다.

1 2 3 4 5 . . . 6 7 8

• 10+2와 8+4 중 어느 것이 더 쉬운가?

• 9+5=?

• 10이 되는 결합을 잘 알고 있어야 함

5. 10으로 만들기

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2 11

3 11 12

4 12 13

5 13 14

6 14 15

7 15 16

8 11 12 13 14 15 16 17

9 11 12 13 14 15 16 17 18

10 더하기 전략에 의해 유도된 덧셈 구구

모든 사고 전략을 다 동원하여 유도한 덧셈 구구

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 12 13

5 5 6 7 8 9 10 11 13 14

6 6 7 8 9 11 12 13 14 15

7 7 8 9 10 13 14 15 16

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2) 뺄셈 구구를 위한 사고 전략

• 덧셈 구구에 대해 각각의 사고 전략에 대응하며, 두 연산에 대한 구구의 학습은 함께 이루어진다.

• 덧셈 구구는 뺄셈 구구를 배우고 회상하는 데 주된 사고 전략

1. 0과 1을 사용하기 • 구체물을 사용하여 덧셈 구구에 사용된 것과 유사한 규칙성을 관찰

한다.

2. 같은 수끼리 더하기 • 이 전략은 덧셈보다 뺄셈 구구에서 더 분명히 가르쳐야 한다.

8+8=16이므로 16-8=8

3. 거꾸로 세기 • 빼는 수가 1,2,3일 때 가장 효과적이다.

6….5, 4 이므로

6-2=4

4. 계속 세기

• 차이가 1,2,3일 때 가장 쉽게 사용된다.

• 얼마나 더 필요한가?로 해석

• 8-6 = ?

6, … 7, 8

따라서 8-6=2

곱셈 구구를 위한 사고 전략

• 기본적으로 수 세기(뛰어 세기)에서 출발

• 완성된 곱셈표(구구단)으로 제시하기 보다는 완성하게 해야 함.

• 교환법칙, 뛰어 세기, 동수누가, 곱을 아는 부분으로 분해하기, 1과 0으로 곱하기, 규칙성 찾기

교환법칙

• 덧셈과 마찬가지로 곱셈에도 적용

• 아이디어 강화 -> 계산기

3X6=18 → 6X□ = 18

7X5=35 → □X7 = 35

뛰어 세기

• 곱셈에 관한 최고의 활동

• 2단과 5단

• 3단과 4단에도 적용가능

5X4=□

5, 10, 15, 20이므로

5X4=20

동수누가

• 인수가 5보다 작을 때 가장 효과적

• 덧셈에 대한 보기→곱셈에 대한 보기

6X3=□

6+6+6=18

6X3=18

4. 1과 0 곱하기

• 곱셈에 관한 초기활동으로 부터 배운다.

“어떤 수에다 1을 곱하는 것은

그 수를 변화시키지 않는다.”

“어떤 수에다 0을 곱한 결과는 0이다.”

라는 것을 아동이 일반화

이미 알고있는 두 부분으로 곱셈 분리하기

• 곱셈에 관한 배분법칙에 기초

“한 묶음 더”

“알려진 구구의 두배”

“알고 있는 5단 구구 이용”

규칙성 찾기

• 많은 곱셈 구구에 도움

• 9단에 관한 것이 가장 유용한 것 중 하나

1X9= 9 0+9=9

2X9=18 1+8=9

3X9=27 2+7=9

4X9=36 3+6=9

↑ 십의 자리 수가 4보다 1 작다

↑ 각 자리 수의 합은 9이다.

• 곱셈의 역연산

• 동수누감

• 곱셈으로 생각하기

4) 나눗셈 구구를 위한 사고 전략

• 나눗셈에 0이 포함되는 경우

• (예)

0÷6=□

6÷0=□ → 6=□×0

• 나눗셈을 위한 사고 전략은 아동에게 훨씬 어렵기에 곱셈 구구에 익숙해져야 한다.

뛰어세기 전략에 의해 2단 다음으로 5단을 먼저 제시

0과 1을 사용하기

동수누가

교환법칙

• 나눗셈은 곱셈의 역연산

• 나눗셈과 뺄셈과의 관련 - 동수누감

• 곱을 이미 알고 있는 두 부분으로 분리하기