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要点(目次)要点(目次)
• 開水路流れについて• 比エネルギーの概念• 限界水深ーBossの最小比エネルギーの定理ーBelangerの最大流量の定理ーBressの水面勾配無限の定理
• フルード数• 常流と射流• 河床・水路幅の変化と水深変化
§§11--11..開水路流れの分類開水路流れの分類
開水路流とは・・・
水路を流れる水が自由水面をもつ流れ
・定常流 ・等流流れの各点で流速や水深が時間的に変化しない
開水路流
洪水や段波など流速や水深が時間的に変化する
・非定常流・不等流
水路断面が流れ方向に一様な一定勾配の直線水路で、かつ流れの状態も流れ方向によらず一様な定常流
・急変流
・漸変流
§§11--2.2.開水路における基礎方程式開水路における基礎方程式
H vg
h z= + +α θ
2
2cos
1.連続式
2.エネルギー式(ベルヌーイ式)
3.運動量保存則
Q A v const= ⋅ =
M M P P FQ v v gh A A F
out in
out in G
− = − +∑
− = − +∑
+ −
+ −ρ ρ θ( ) ( ) cos
§§22--1.1.比エネルギーの定義比エネルギーの定義
短い区間で、エネルギー損失が無視できるような開水路流の変化を考える
定義:河床を基準にしたエネルギー水頭EEを比エネルギー(specific energy)という
“基底エネルギー”“床上水頭”
§§22--2.2.比エネルギーの定義比エネルギーの定義
基準高さ基準の全水頭α:Coriolisのエネルギー補正係数
zθ
hhcosθ
αv2/2g
E(比エネルギー)
H(全水頭)u
基準高さ
河床
z
x
H vg
h z= + +α θ
2
2cos
E
比エネルギー(河床基準の全水頭)
H z= −
E vg
h= +α θ
2
2cos
α =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =∫ ∫
1 13
Auu
dA uA
udAm
m A
( )cos ,θ α≅ ≅1 1um:断面平均流速
§§22--3.3.比エネルギー図比エネルギー図
Q一定の元、広幅長方形断面水路について考える
E QgB h
h
E E
= +
= +
α θ2
2 2
1 2
2cos
E
h
E 2=hc
osθ
E1=α/h2
E QgB h
h= +α θ
2
2 22cos
( )( )E
E hE h
→→→∞
⎧⎨⎩
1
2
0
限界水深 hc
E最小
1.h>hc :常流
2.h=hc :限界流
3.h<hc :射流
h1
h2
開水路流れでは一つの流量に対して上流、射流の二つの状態がある
比エネルギー図
§§33--1.1.限界水深の定義①限界水深の定義①
Q一定のもとで、比エネルギー最小にする水深hcを限界水深という(Bossの最小比エネルギー定理)
∂∂
∂∂
α θ
αθ
Eh
Eh
QgB h
h Q QgB
h h
c
c=
=
= − ⋅ + =
⇔ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
1 02
2 3
2
2
13
cos
( )cos
§§33--2.2.限界水深と比エネルギー限界水深と比エネルギー
h Q QgB
E QgB h
h
hh
h
h Q h Q E Q
c
cc
c
c
cc
c c c
( )cos
cos
cos cos
( ) (cos ) ( ) ( )
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ +
= +
= ≅ ⇔ =
αθ
α θ
θ θ
θ
2
2
13
2
2 2
3
2
21
232
1 23
E
h
E 2=hc
osθ
E1=α/h2
hc
Ec
2
3
水深
速度水頭
交代水深
より
§§33--3.3.任意断面の限界水深任意断面の限界水深
E QgA
h
Eh
Qg A
Ah
QgA
Ah
= +
=−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+ =
⇔ = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
α θ
∂∂
α ∂∂
θ
θ α ∂∂
2
2
2
3
2
3
2
22 0
cos
cos
cosBs
を満たす水深 =hc
§§44--1.1.フルード数①フルード数①
cosθ α ∂∂
α
∂ ∂
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
QgA
Ah
v
g AA h
2
3
2
水理水深 D
ここで、フルード数は上式両辺の比で表されるので
F vg Dr = cosθ α
( )
F vghr =
≅ ≅α θ1 1,cos
長方形断面では・・
§§44--2.2.フルード数②フルード数②また、フルード数はN-S方程式慣性項と重力項の比である
∂∂
∂∂
θρ
∂∂
ν ∂∂
xt
uux
g Px
ux
ii
j
j i
i
i
+ = − ⋅ +sin 1 2
2∂∂
∂∂
θρ
∂∂
ν ∂∂
xt
uux
g Px
ux
ii
j
j i
i
i
+ = − ⋅ +sin 1 2
2∂∂
∂∂
θρ
∂∂
ν ∂∂
xt
uux
g Px
ux
ii
j
j i
i
i
+ = − ⋅ +sin 1 2
2∂∂
∂∂
θρ
∂∂
ν ∂∂
xt
uux
g Px
ux
ii
j
j i
i
i
+ = − ⋅ +sin 1 2
2
UL
g F UgL
F vghr r
22
2
⇒ = ∴ =オーダー:
∂∂Eh
vgh
F F vghr r
c
= − +
= − + = ⇒ = =
2
2
1
1 0 1
ここで、限界水深で であるから∂ ∂E h = 0
限界水深となる所限界水深となる所ではFではFrr=1=1となるとなる
§§44--3.3.フルード数と常流・射流フルード数と常流・射流
一般に、連続の関係 vh=vchc より
F vgh
v hh gh
hh
vgh
hh
hhr
c c
c
c c
c
c c= = ⋅ ⋅ = ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
23
2
hとhcの大小関係により、Frが1より大きいか小さいかも決まる
Fr h 流れの状態
F h hr c< >1F h hr c= =1F h hr c> <1
常流(流れの変化上下流に伝達)
限界流
射流(流れの変化下流側のみ伝達)
§§44--4.4.フルード数と常流・射流フルード数と常流・射流
F vghr = =(平均流速v) / (長波の波速)
(1)常流
(2)射流
(3)限界流
v gh F
v gh F
v gh F
r
r
r
< <
> >
= =
,
,
,
1
1
1
§§55--1.1.限界水深の定義②限界水深の定義②
E一定のときの流量と水深の関係について見てみる
( )
E QgB h
h
Q gB E h h
= +
⇒ = −
α θ
αθ
2
2 2
22
2
22
cos
cos h=E/cosθ
( )Q gB E h h22
22= −
αθcos
h
Q
流量図
一定比エネルギーのもとで流量を最大にする水深hcが存在する( Belangerの最大流量の定理)
⇒ =∂∂Qh
0 によりhc求める
§§55--2. 2. Belangerの最大流量の定理( )∂
∂
∂∂ α
θ
θ
θα θ
αθ
Qh
Q Qh
gB Eh h
h E E
h E QgB h
h
QgB h
h
h h
c
cc
c
cc
c
2
22
2
2 2
2
2 2
0
2 2 2 3 0
23
23
12
323
=
=
⇒ = − =
⇒ =
= ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
( cos )
( )cos
( )cos
cos
cos⇒ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
h E QgB
h Q
c
c
( )cos
( )
αθ
2
2
13
§§55--3.3.スルースゲートからの流出スルースゲートからの流出比エネルギー一定の条件のもとでQ-h図を用いるスルースゲートからの流出
h=E/cosθ
( )Q gB E h h22
22= −
αθcos
h
Q
(b)部分開放ゲートを部分的に開けると
水深、流量が増加
(c)全開これ以上ゲートを開けても水深、流量は増加しない
§§7(7(a)1.a)1.河床高の変化と水深変化河床高の変化と水深変化
F vg D
F vgh
r
r
=
=
cos
cos
θ α
αθ
22
全水頭
水深勾配
水位勾配( )
( ) ( )
H QgB h
h z
dHdx
QgB h
dhdx
dhdx
dzdx
dhdx
vgh
dzdx
dhdx
F dzdx
h h z
dhdx F
dzdx
dhdx
d h zdx
FF
dzdx
r
r
r
r
= + +
=
⇒−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟⋅ + ⋅ + =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
− = = +
=−
⋅ ≅ =+
=−
⋅
α θ
α θ
αθ
θ
θ
θ
2
2 2
2
2 3
2
20
20
2
2
2
0
22 0
1
1
11
11
cos
cos
coscos
cos
cos
エネルギー損失無視
§§7(7(a)2.a)2.河床高の変化と水深変化河床高の変化と水深変化
dhdx
FF
dzdx
r
r
02
2 1=
−⋅
水位勾配 dz/dx>0 dz/dx<0
z x
常流(Fr<1)
射流(Fr>1)
dh0/dx<0 dh0/dx>0
dh0/dx<0dh0/dx>0
常流
射流
F FFr
r
r
<−
<11
02
2,
F FFr
r
r
>−
>11
02
2,
§7(b)1.水路幅の変化に対する水深変化
河床勾配一定とするとE一定
x
B(x)
F vghr
22
=α
θcos
( )
( )
E QgB h
h const
dE dxdEdx
QgB h
dhdx
Qgh B
dBdx
dhdx
dhdx
vgh
vgh
hB
dBdx
dhdx
F F hB
dBdx
dhdx
FF
hB
dBdx
r r
r
r
= + =
=
=−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − ⋅
= − − =
⇒ =−
⋅ ⋅
α θ
α α θ
αθ
θ αθ
θ
θ θ
2
2 2
2
2 3
2
2 3
2 2
2 2
2
2
20
22
22
1
1 0
1
cos
cos
coscos
coscos
cos cos
§7(b)2.水路幅の変化に対する水深変化水位勾配 dB/dx<0 dB/dx>0
dhdx
FF
hB
dzdx
r
r
=−
⋅2
21B(x)
xz常流
射流
x
F FFrr
r
<−
>11
02
2,
F FFrr
r
>−
<11
02
2,
常流(Fr<1) dh/dx<0 dh/dx>0
dh/dx<0dh/dx>0射流(Fr>1)
§7(c)1.河床高・水路幅の変化 に対する水深変化(例題)
(例題) 幅5mの水平床水路に水深2m、流速2m/sの状態で水が流れている。いま、水路幅を5mから3.5mに、河床を0.3m高くして断面縮小を行うと水面形はどうなるであろうか。
B1=5m B2=3.5m
↑0.3m
§7(c)2.河床高・水路幅の変化 に対する水深変化(例題)
( )( )
( )
Q v A m s
q Q B m s m
q Q B m s m
E vg
h m
E E z m
h E m
h QgB
qg
c
c
= ⋅ = × × =
= = = ⋅
= = = ⋅
= + =×
=
= − = − =
= =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒
2 5 2 20
20 5 4
20 35 5 714
22
2 9 82 204
2 204 0 3 1904
23 1269
3
1 13
2 23
112
1
2
2 1
2 2
2
2
2
13 2
13
( )
. .
.. ( )
. . . ( )
( ) . ( )
( ) max
∆
( ) ( )q g h m s m qcmax . . .= = × = ⋅ <2
3 3 329 8 1269 4 475
全断面流量
水路幅縮小前後のq
上流側のE
断面縮小後のE
このEで流し得る最大のqは、限界水深hc2で生じる
このままでは上流からの流量Qを下流水路幅B2
(q2=5.714(m^3/s/m))で流し得ない
§7(c)3.河床高・水路幅の変化 に対する水深変化(例題)
qmax<q2より、上流部の比エネルギー、従って水深が増加しなければならない
( ) ( )
( )
E h qg
m
E E z m
E h vg
hg
qh
h m
c22
21
3 21
3
1 2
1 11
2
11
1
2
1
32
32
32
5 7149 8
2 25
2 55
21
22 41
min
'min
' ''
''
'
..
. ( )
. ( )
. ( )
= =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
= + =
= + = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⇒ =
∆
q2を流すのに必要な最小比エネルギー
断面縮小部で堰上げを生じ、比エネルギーがこの値に達するまで水深が増加しなければならない。
水深が増加したとき、常流の幅の広い区間の比エネルギーは以下のようになる。
水深増加後の比エネルギーは、増加した水深、速度水頭により以下のように表せる。
常流では、水路断面縮小により上流部の水深は⊿h=h1’ -h1 =0.41(m)上昇する