流体の力学 基礎編

１０．境界層と物体まわりの流れ

10.7 物体にはたらく流体力

10.8 円柱まわりの流れ

10.9 球のまわりの流れ

10.10 種々の物体にはたらく流体力

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

10.7 物体にはたらく流体力

ａ.抗力と揚力

一様流中に置かれた物体，あるいは静止流体中を運動している物体は，図 10.

9 に示すように，流体から力 R を受ける。力 R は D と L の力に分解できる。流

れ方向の力 D を抗力(drag)，または抵抗(resistance)，流れに垂直な力 L を揚

力(lift)という。抗力および揚力は，物体の非対称性や流れに対する姿勢によ

る影響を強く受ける。

いま，図 10.9に示す一様流中に置かれた物体にはたらく抗力を考える。

物体表面の微小面積 dA に作用する流体の圧力を p，dA に垂直な垂線と一様流

れの方向との角度をθとする。dA にはたらく圧力による力は pdA となり，この

力の流れ方向の成分は pdA･cosθである。したがって圧力による抗力 Dpは

Dp＝

ApcosθdA

(10.51)

つぎに，流体の粘性によって dA にはたらく摩擦力は摩擦応力をτ0とすると，

τ0dA であり，流れ方向の成分はτ0dAsinθとなる。したがって，摩擦力による

抗力 Dfは

Df＝

Aτ0sinθdA

(10.52)

したがって，物体の受ける全抗力を D とすると

D＝Dp＋Df (10.53)

となり，全抗力は圧力抗力と摩擦抗力との和に等しい。ここで Dpを圧力抗力(p

ressure drag)，Df を摩擦抗力(friction drag)という。圧力抗力は，物体の形

状や流れに対する姿勢によって影響を受けるので形状抗力(form drag)ともい

う。

一方， 揚力 L は，dA にはたらく圧力による力の流れに垂直な方向の成分－p

dAsinθを物体表面全体にわたって積分して

L＝－

ApsinθdA

(10.54)

より求められるが，摩擦による力は無視する。

ｂ．抗力係数と揚力係数

一般に，物体に作用する抗力 D や揚力 L は，流れの動圧ρU 2/2と物体の基準

面積 A との積ρU 2

A/2 に比例するので，それぞれ

D＝CD

ρ

2U 2 A

(10.55)

L＝CL

ρ

2U 2A

(10.56)

より求められる。CD，CL をそれぞれ抗力係数(drag coefficient)，揚力係数(l

ift coefficient)といい，いずれも無次元量である。物体の基準面積 A は，通

常，流れに垂直な平面への投影面積を用いる。例えば，流れに直角に置かれた

長さ l，直径 d の円柱の投影面積は，d×l であり，直径 d の球では，πd 2/4であ

る。なお，静止流体中を一定の速度で運動する物体の場合にも，一様流中に置

かれた物体の場合と力学的には同じである。したがって，物体にはたらく力や，

物体まわりの流れのようすに両者の違いはない。

10.8 円柱まわりの流れ

ａ．粘性流体と理想流体の流れ

粘性をもつ一様流中に置かれた円柱まわりの流れのようすは，図 10.10 のよ

うになる。

図 10.10(a)に示す Re＜1 では，流れははく離せずほぼ対称な流れとなり，円

柱に作用する圧力抵抗と粘性による摩擦抵抗はほぼ等しい。図 10.10(b)の 1＜R

e＜40 では，対称な一対の渦が生じるが,図 10.10(c)の 40＜Re＜Recでは，円柱

表面から流れがはく離して，円柱の後方に周期的な回転方向が反対の千鳥状の

渦が放出される。さらに，図 10.10(d)に示す Re＞Rec では，はく離点が円柱後

方にずれるが，図(C)と同じような上下交互に周期的な渦が放出される。このよ

うな周期的な渦の列をカルマンの渦列(Karman's vortex sheet)という。この渦

列は，Re＝60～5000 の範囲で明瞭に現れる。ただし，50＜Re＜200 の範囲では

規則正しい渦列，200＜Re＜5000 の範囲では不規則な渦列となる｡

図 10.11 に示すように，静止流体中を円柱が速度 U で移動し，渦が速度 u で

円柱の移動方向に進むとすると，渦は円柱から U－u の速度で離れていくので,

単位時間における片側の列の渦の数，つまり渦の発生周波数 f は

f＝

U－u

a (Hz)

(10.57)

である。

図 10.11 カルマンの渦列

ロシュコ(Roshko)は実験的に

St＝

fd

U＝0.2035 1－

21.0

Re (10.58)

の関係式を見出した。

この St をストローハル数(Strouhal number)といい，St で表す。ここに，d は円

柱の直径，Re＝Ud/νであり，ストローハル数はレイノルズ数の関数となる。カ

ルマン渦の発生によって物体は周期的に振動し，音を発生する｡このような音の

発生をうなり,あるいはエオルス音(aeolian tone)といい，例えば電線からの音

の発生に見られる。

［例題 10.5］直径 d＝3mmの電線に風速 20m/s の強風が直角に吹いており，ピー

というエオルス音が発生している。このときに生じているカルマン渦の周波数 f

およびストローハル数 St を求めよ。ただし，空気の温度は 20 ﾟ Cとする。

［解］まずレイノルズ数 Re は

Re＝

Ud

ν＝

20×3×10－3

1.512×10－5＝3968

ストローハル数 St は，式(10.58)より

St＝

fd

U＝0.2035 1－

Re

21＝0.2035× 1－

3968

21＝0.202

よって，カルマン渦の周波数 f は

f＝

St×U

d＝

0.202×20

3×10－3＝1347 Hz

次に，円柱が図 10.12に示すように，一様な速度 U，圧力ｐ∞の理想流体の流

れの中に置かれた場合を考える。

図 10.12 理想流体中に置かれた円柱まわりの流れ

点Ａで，流れはせき止められて速度は０となる。ここで流れは上下に分岐し

てＢ，Ｄを経て点Ｃで合流し，下流へ流れ去る。ＡとＣは速度が０となる点で，

よどみ点(stagnation point)といい,この点での圧力をよどみ圧 po(stagnation

pressure)という。点Ｐにおける速度は理論的に

u＝2Usinθ (10.59)

で与えられる。一方，前方と円柱表面の任意の点Ｐにおいてベルヌーイの式を

適用すると

p∞＋

ρU2

2＝p＋

ρu2

2 (10.60)

である。式(10.59)を式(10.60)に代入して整理すると

ρU 2/2

p－p∞＝1－4sin2θ

(10.61)

となる。いま

Cp＝

ρU 2/2

p－p∞

(10.62)

と置くと，この Cpを圧力係数(pressure coefficient)と呼ぶ。あるいは理論的

に

Cp＝1－4sin2θ (10.63)

で与えられる。

図 10.13 に，理想流体と粘性流体における円柱まわりの圧力係数 Cpと角度θ

との関係を示す。

図 10.13 円柱表面の圧力分布

理想流体の場合には，左右対称の圧力分布となるので円柱には全く力は作用

せず，実在する粘性流体の場合とは異なるので， これをダランベールの背理(d

'Alembrt's paradox)という。臨界レイノルズ数 Recよりも小さい Re＜Recの流れ

では，円柱表面の境界層は層流であり，Ａ点付近で流れのはく離が生じている。

この現象を層流はく離(laminar separation)という。また，臨界レイノルズ数

よりも大きい Re＞Recの流れでは，Cpの最低値は理想流体の値に近くなり，その

後急激に上昇してＢ点付近ではく離している。これは円柱表面の境界層が層流

から乱流に遷移するために，流れが円柱表面に沿ってより後方まで流れるから

である。このようなはく離を乱流はく離(turburent separation)という。乱流

はく離によって円柱後方の後流(wake)の幅は狭くなり，背圧が大きくなるので

抗力係数 Cdは著しく減少する。

ｂ．円柱にはたらく力

一様流中に置かれた円柱の抗力係数 CDとレイノルズ数 Re との関係を，図 10.

14に示す。

図 10.14 円柱の抗力係数

抗力係数 CDととレイノルズ数 Re は

CD＝

ρU 2 d/2

D , Re＝

Ud

ν (10.64)

である。Re＜1 では，円柱まわりの流れは図 10.11(a)のようにはく離せず，円

柱には主として摩擦抵抗がはたらく。Re＜0.5 では，ラム(Lamb)の理論式

CD＝

Re 2.002－lnRe

8π

(10.65)

がある。レイノルズ数が小さいときには，Re の増加とともに CDは減少し，Re

＝２×10３付近で CD≒0.95の最小値となる。その後，Re＝10４～2×10５の範囲で

CD≒1.2のほぼ一定値を保つ。Re が(2～4)×10５で CDは急激に低下し,約 0.3と

なる。CDの急減するときのレイノルズ数を臨界レイノルズ数 Rec(critical Rey

nolds number)という。抗力係数 CDが急減する理由は，前述したように，レイ

ノルズ数が臨界レイノルズ数 Re よりも大きくなると，はく離点付近で乱流境界

層となり，流れのはく離が円柱の後方にずれることに起因している。すなわち，

乱流はく離が生じるためである。Re＞Recでは，CDはしだいに増大する傾向にあ

る。

［例題 10.6］温度 20 ﾟ C，風速 U＝30m/sの流れの中に，垂直に置かれた直径 d

＝20cmの二次元円柱に作用する単位長さ当たりの抗力 D を求めよ。

［解］レイノルズ数 Re は

Re＝

Ud

ν＝

1.512×10－5

30×0.2＝3.97×105

図 10.14より抗力係数は，CD≒0.6であるから，単位長さ当たりの抗力 D は

D＝CD×

ρU2

2×d＝0.6×

1.205×302

2×0.2＝65 N

10.9 球のまわりの流れ

図 10.15 に，臨界レイノルズ数前後の球まわりの圧力係数 Cpと角度θとの関

係を示す。

図 10.15 球表面の圧力分布

球表面の流れが，臨界レイノルズ数 Recよりも小さいときに生じる層流はく離

の場合と，臨界レイノルズ数よりも大きい時に生じる乱流はく離とでは，球表

面の圧力分布に大きな違いが見られる。Re＞Recの乱流はく離の生じる流れでは，

理想流体の流れにかなりよく一致する。したがって，球表面の層流境界層を乱

流境界層にすることによって，抗力を減少させることができる。また，円柱の

場合と同様に，臨界レイノルズ数の値は，球表面の粗さや主流の乱れの影響を

受ける。

次に，一様流中におかれた球の抗力係数とレイノルズ数との関係を,図 10.16

に示す。

図 10.16 球の抗力係数

抗力係数 CDとレイノルズ数 Re は

CD＝

ρU 2 A/2

D , Re＝

Ud

ν (10.66)

である。ここに，D は球にはたらく抗力，ρは流体の密度，d は球の直径，A は

球の基準面積(πd 2/4)である。

球のまわりの流れが，Re＜1 の層流のときに球にはたらく抗力 D は，流体の

粘度をμとすると

D＝3πμdU (10.67)

で与えられ，流れの速度 U に比例することがわかる。この式は，ストークス(S

tokes)が流れの慣性力を無視して導いた理論式であり，ストークスの法則（Sto

ke's low）と呼ばれる。特に，球が静止流体を自然落下するとき，球の重量と浮

力，および抗力が釣り合い（物体の重量＝抵抗＋浮力）を保って落下する速度

を終速度 (terminal velocity)という。

なお，Re＜1 における球の抗力係数 CDは，式(10.67)のストークスの式を(10.

66)に代入して

CD＝

Re

24

(10.68)

となる。この式は実験値とよく一致するが，それ以上のレイノルズ数では，実

験値よりも小さくなる。流れが層流のこの範囲においては，球にはたらく抗力 D

は，流れの速度 U に比例し，抗力係数 CDは，レイノルズ数 Re に反比例する。

なお，式(10.68)のストークスの式に対して，慣性力を近似的に考慮したオーゼ

ン(Oseen)の式

CD＝

Re

241＋

16

3Re

(10.69)

は，Re＜2の範囲で適用できるが，レイノルズ数が大きくなると実験値に対して

大きく表れる。Re＝103～2×10５の範囲では，CD＝0.4～0.5 でほぼ一定であり，

抗力は速度の２乗に比例して増加する。Re≒3×105 で CD は急に減少して 0.08

まで下がるので，球の臨界レイノルズ数はほぼ Rec＝3×105である。CDの急減す

る理由は，球面上の境界層が層流はく離から乱流にはく離に変化し，はく離点

が球の後方にずれるためである。したがって，層流はく離よりも乱流はく離の

方が後流が狭くなるので，球にはたらく抗力は低下する。ゴルフボールに小さ

なくぼみがつけられているのは，人工的に乱流境界層をおこしてボールにはた

らく抗力を低下させる効果がある。また，トリップワイヤ(trip wire)と呼ばれ

る針金などで球表面の層流境界層に突起を取り付けて，乱流境界層を促進する

ことによって，球の抗力を減少させることができる。なお，回転しながら運動

する物体には流れに垂直な方向に力がはたらく。これをマグナス効果 (Magnus

effect)という。例えば，野球のボールやサッカーのコーナーキックなどで，ボ

ールに回転を与えると変化して曲がるのはこの効果のためである。

［例題 10.7］動粘度ν＝0.005 m2/s，比重 s＝0.93 の油の中を，直径 d＝10mm，

比重ｓ＝10 の鋼球が落下するときの球にはたらく抗力 D，浮力 F，および終速

度 U を求めよ。

［解］球にはたらく抗力 D は，式(10.67)のストークスの式より

D＝3πμdU＝3πρνdU＝3πsρ

＝3π×0.93×103×0.005×0.01×U＝0.438U

wνdU

　N

球にはたらく浮力 F は，式(2.23)より

F＝ρgV＝sρwgV＝0.93×103×9.8×4

3π×

10

2×10－3

3

＝4.77×10－3 N

球の重量 W は

W＝ρgV＝10×103×9.8×

4

3π×

10

2×10－3

3

＝51.31×10－3 N

球に作用する力の釣り合いより

D＋F＝W

0.438U＋0.00477＝0.05131 ∴ U＝0.1062 m/s

したがって，抗力 D は

D＝0.438U＝0.438×0.1062＝0.0465 N

終速度のときのレイノルズ数は

Re＝

Ud

ν＝

0.1062×10×10－3

0.005＝0.212＜0.5

となるので，球の摩擦抗力は，ストークスの法則にしたがうと考えてよい。

10.10 種々の物体にはたらく流体力

ａ．翼の名称

流れの中に置かれた物体には抗力と揚力がはたらくが，図 10.17(a),(b)に示

すように，特に，揚力を効果的に発生するようにしたものが翼(wing,aerofoil,

blade,vane)であり，その断面形状を翼形(airfoil,blade section)という。

図 10.17 翼の各部の名称

翼の先端を前縁(leading edge)，後端を後縁(trailing edge)，前縁と後縁を

結ぶ直線を翼弦(chord)，翼弦の長さを翼弦長(chord length)という。翼弦は，

翼形の形状寸法を示すための基準線となる。翼形の上面を背面，あるいは負圧

面，下面を腹面，あるいは正圧面という。また，翼の左右の広がり長さを翼幅(s

pan)，翼幅と翼弦を含む平面に投影した翼の面積を翼面積(wing area)という。

翼の縦横比をアスペクト比(aspect ratio)といい，アスペクト比をλとすると

λ ＝

b2

A (10.70)

で定義される。ここに，b は翼幅，A は翼面積である。翼弦長 l が翼幅方向に変

化しない場合には，A＝bl であるから

λ ＝

b

l (10.71)

となる。翼弦が流れの方向となす角αを迎え角 (angle of attack, angle of i

ncidence)，翼形の厚さの中心を連ねる曲線を反り線(camber line)，反り線と

翼弦との距離を反り(camber)という。

ｂ．翼にはたらく流体力

断面一定で翼幅が無限に長い二次元翼(two-dimensional wing)まわりの流体

力を考える。図 10.18 に示すように，翼幅方向の単位長さ当たりの二次元翼に

はたらく揚力 L と抗力 D は，単位翼幅当たりの翼面積 A＝l×1 を基準面積とす

ると

L＝CL

ρ

2U 2 l

(10.72)

D＝CD

ρ

2U

2 l (10.73)

で表される。ただし，CL，CD は，それぞれ揚力係数(lift coefficient)，抗力

係数(drag coefficient)という。

図 10.18 翼にはたらく力

また,翼にはたらく前縁まわりのモーメントを M とすると

M＝CM

1

2ρ U 2 l 2

(10.74)

となる。 この CMをモーメント係数(moment coefficient)という。 モーメント

は， 反時計回りを正とする。 翼にはたらく揚力と抗力の合力 R の作用線が翼

弦と交わる点Ｐを圧力の中心 (center of pressure)，あるいは空力中心(aerod

ynamic center)という。前縁から圧力中心までの距離 c は，翼形の形状や迎え

角によって変化するが，ほぼ c＝(0.25～0.5)l である。以上の CL，CD，CMは無

次元量であり，翼の特性を知るのに重要な値である。

図 10.19 に，揚力係数，抗力係数，およびモーメント係数と迎え角との関係

を示す。

図 10.19 性能曲線 図 10.20 翼の失速

これらの曲線を性能曲線(characteristic curve)という。迎え角αの増大に

ともなって CLはほぼ直線的に増大し，最大値 CLmaxに達した後急減する。これは

翼の上面において流れがはく離するためであり，図 10.20 に示すように，翼は

失速(stall)する。失速後には CDはさらに増大し，抗力はより大きくなる。

揚力と抗力との比 L/D を揚抗比(lift-drag ratio)といい，翼形の特性を表す

重要なパラメーターである。また，横軸に CDを，縦軸に CLをとって表した翼形

の性能曲線の図を揚抗曲線，あるいは極線図(polar curve)という。

［例題 10.8］スポーツカーの後方に翼幅 B＝1.5m，翼弦長 l＝0.4mの翼形のリヤ

スポイラーを取り付けた。スポイラーの揚力係数 CL＝0.78，空気の密度ρ＝1.

2kg/m3として，時速 U＝200kmで走行しているスポーツカーを下方の地面に押さ

えつける流体力 L を求めよ。

［解］式(10.56)において，A＝l×B であるから

L＝CL

ρ

2U2A＝0.78×

1.2

2×

200×103

60×60

2

×0.4×1.5＝866.7 N

ｃ．種々の物体の抗力

表 10.1に種々の物体の抗力係数 CDと基準面積 A を示す。抗力係数 CDは式 (1

0.55)の CD＝D/(ρU

２A/2)より実験的に求められたものであり，円柱と球の場合

には，臨界レイノルズ数前後の二つの CDの値を示す。

［例題 10.9］高さ H＝1m，幅 B＝4m の平板に 50m/s の風が直角に衝突している。

空気の密度ρ＝1.2 kg/m3として，平板に作用する抗力 D を求めよ。

［解］式(10.55)において，A＝H×B，表 10.1 より抗力係数 CD＝1.19 である

から

Ｄ＝CD

ρ

2U2A＝1.19×

1.2

2×502×4×1＝7140 N

［例題 10.10］車幅 B＝1.8m，長さ L＝5m，高さ H＝2mの自動車が時速 120kmで

走行している。この車の抗力係数 CD＝0.55，空気の密度ρ＝1.2kg/m3として，

車に作用する空気抵抗 D を求めよ。

［解］式(10.55)において，A＝B×H であるから

D＝CＤ

ρ

2U2A＝0.55×

1.2

2×

120×103

60×60

2

×1.8×2＝1320 N