1

คาน ( Beam )

เสนอ ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน

กลมท 2 สมาชกในกลม

1. นายปรชญา บตรภกด 56010310141

2. นางสาวเฉดพไล สาระส 56010315019

3. นายปฐมภพ วงคตาหลา 56010315131

4. นายฤทธรงณ สมมา 56010315154

5. นางสาวธนยารตน เสถยรนาม 56010315254

6. นายวษณกร จนนท 56010315321

7. นางสาวสพตรา รตนพนธ 56010315336

รายงานนเปนสวนหนงของวชา 0301214 Structure of Theory ภาคการเรยนท 2 /2557 สาขาวศวกรรมโยธา

คณะวศวกรรมศาสตรมหาวทยาลยมหาสารคาม

2

ค าน า

รายงานเลมนเปนสวนหนงของรายวชาทฤษฎโครงสราง (Structure of Theory) เรอง คาน( Beam )

ศกษาเกยวกบคาน ชนดของคาน ลกษณะของคาน การเขยนโมเมนตดดและแรงเฉอนภายในคาน โดย

คนควาจากหนงสอและอนเตอรเนต จากหนงสอทฤษฎโครงสราง รวมถงการเรยนการสอนในหองเรยนท

เกยวกบเนอหาเรองคาน คณะผจดท า หวงเปนอยางยงวารายงานเลมนจะใหประโยชนตอผทสนใจไม

มากกนอย หากม ขอผดพลาดประการใดคณะผจดท า กขออภยมา ณ ทนดวย

คณะผจดท า

กลมท 2

3

สารบญ

เรอง หนา

ค าน า 2

สารบญ 3

4

คาน (Beams)

คาน หมายถง โครงสรางทรบแรงตงฉากกบแนวแกนของคาน ซงน าหนกบรรทกและแรง

ปฏกรยาจะวางอยในระนาบเดยวกบระนาบของคาน ดงนนจงทา ใหคานเกดแรงภายในขน ซงสวนใหญเปน

เปนโมเมนตดดและแรงเฉอนเปนหลก

ประเภทของคาน

1.คานประเภทดเทอรมเนต (Determinate Beam)

เปนคานทเราสามารถหาคาแรงปฏกรยาทไมรคาไดโดยการใชสมการของการสมดลย ( = 0

และ =0 )

กสามารถหาคาไดซงคานประเภทน ไดแก คานทจดรองรบแบบงาย (Simple Support) คานปลายยน

(Cantilever Beam) และคานแขวน(Overhanging Beam)

คานทจดรองรบแบบงาย (Simple Support)

คานปลายยน (Cantilever Beam)

คานแขวน (Overhanging Beam)

5

2. คานประเภทอนดเทอรมเนต ( IndeterminateBeam )

เปนคานประเภททเราไมสามารถหาคาแรงปฏกรยาของคานได จากการใชสมการของการสมดลย

แตสามารถหาไดจากการใชทฤษฎของสามโมเมนต (Three Moment) หรอใชวธการหาแรงปฏกรยาจากคา

ของระยะโกงและมมลาดชนของคานแลวน าไปสคาของแรงปฏกรยาของคาน ซงคานประเภทน ไดแก คาน

ทมจดยดทงสองขาง ( Double End Fixed )หรอ คานปลายยนแตมจดรบทปลายยน (Restrain Beam) และ

คานตอเนอง (Continuous Beam)

คานปลายยนแตมจดรบทปลายยน (Restrain Beam)

คานปลายยนแตมจดรบทปลาย 2 จด (Restrain Beam)

คานตอเนอง (Continuous Beam)

คานทมจดยดทงสองขาง (Double End Fixed)

6

ชนดของแรงหรอน าหนกบรรทกบนคาน (Types of Loading)

แรงหรอน าหนกบรรทกบนคานอาจแบงออกไดเปน

1. น าหนกแบบจด (Concentrated load or point load) เปนแรงหรอน าหนกทเปรยบเสมอนวา กระทา

บนพนทขนาดเลกซงอาจถอไดวาเปนจด

ตวอยางน าหนกแบบจด

2. น าหนกแบบกระจาย (Distributed load) เปนแรงหรอน าหนกทกระทา บนพนทสวนหนง หรอ

ทงหมดของคาน กระทา อยางสม าเสมอ หรอกระจายเทากนตลอดพนทนน เรยกวา น าหนกกระจาย

อยางสม าเสมอ (uniformly distributed load) ดงคานในรป แตถากระจาย ไมสม าเสมอเรยกวา

น าหนกกระจายไมสม าเสมอ (non – uniformly distributed load)

ตวอยางน าหนกกระจายสม าเสมอ

ตวอยางน าหนกกระจายไมสม าเสมอ

7

3. แรงคควบหรอโมเมนต(Couple or moment) เปนแรงทพยายามทา ใหเกดการหมนคาน

ตวอยางแรงคควบหรอโมเมนต

การคดเครองหมาย (Sing Conventions)

เพอไมใหเกดการสบสน จงจ าเปนตองก าหนดเครองหมายของแรงเฉอน และโมเมนตดดไวดวย เหมอนกบ

ทเคยก าหนดเครองหมายของแรงตามแนวแกนในบทตน ๆ การคดเครองหมายนอาจมหลายวธ แตกใชได

เหมอนกนหมด โดยตองสอดคลองกบสมการสมดลยทางสถตศาสตร ในทนจ าเปนตองก าหนด เครองหมาย

ดงน

1) แรงตามแนวแกนเปนบวกเมอมทศทางออกจากหนาตด

2) แรงเฉอนเปนบวกเมอกอใหเกดการหมนตามเขมนาฬกา

3) โมเมนตดดเปนบวกเมอท าใหคานโกงตวแบบหงายขน (sagging) และเปนลบเมอทา ให คานโกงตวแบบ

คว าลง (hogging)

การคดเครองหมายของแรงเฉอนและโมเมนตดด

8

แรงเฉอนและโมเมนตดนภายในคาน

แรงเฉอน (Shearing Force) คอ ผลรวมทางพชคณตของแรงกระท าภายนอกผานจดศนยถวงท

หนาตดใดๆ ของคาน(ระยะX)

จากปลายคานดานใดดานหนง ซงในทนก าหนดให V แทนแรงเฉอน

โมเมนตดด (Bending Moment) คอ ผลรวมโมเมนตทางพชคณตของแรงภายนอกรอบแกนทผาน

จดศนยถวงในระนาบทหนา

ตดใดๆ ของคานจากปลายคานดานใดดานหนง ซงในทนก าหนดให M แทนโมเมนตดด

รปแสดงผลรวมทางพชคณตทกระท าผานจดศนยถวงทหนาตดใด ๆ ของคาน

การทจะเลอกคดแรงบนดานใดของภาคตดนนขนอยกบความสะดวกแตไมวาจะคดจากดานใดคาท

ไดจะตองเทากนแตโดย

สวนใหญแลวตามต าราตาง ๆ จะคดจากทางซายมอ ดงนนเพอใหงายตอการศกษาแลวน าไปใชชดฝกนจะ

ใชวธการวเคราะหจากทางซายมอเปนหลก

ไดอะแกรมของแรงเฉอนและไดอะแกรมของโมเมนตดด

1.ไดอะแกรมของแรงเฉอน (Shearing Force Diagram) เขยนยอวา SFD

คอ แผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางแรงเฉอนกบความยาวของคานโดยมจดซายมอของคานเปน

จดเรมตน

9

คาทางแกน X จะเปนระยะทวดไปตามความยาวของคานนน ตงแตทางดานซายมอจนถงทางดานขวามอ

สดของคานนน

และคาทางแกน Y จะเปนคาของแรงเฉอนในแนวดงทหนาตดใด ๆ ของคานนน

2.ไดอะแกรมของโมเมนตดด (Bending Moment Diagram) เขยนยอวา BMD

คอ แผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางโมเมนตดดกบความยาวของคานนน โดยมจดซายมอสดของคานเปนจด เรมตนคาทางแกน X จะเปนระยะทวดไปตามความยาวของคานนน ตงแตทางดานซายมอจนถงทางดานขวามอสดของคานนนและคาทางแกน Y จะเปนคาของโมเมนตดดทหนาตดใด ๆ ของคานนน ขนตอนการวเคราะห

เนองจากคานจะถกพจารณาในชนสวนของโครงสรางวามความส าคญมาก ยกตวอยางเชน ขอตอ

ยานยนต ชนสวนทใชรองรบพนขององคอาคาร พนของสะพาน สวนปกของเครองบน เปนตน เมอคาน

เหลานน มแรงหรอภาระมากระท า จะท าใหคานเกดแรงเฉอนภายในและโมเมนตดด โดยทวไปแลวจะแปร

คาไปตามแนวแกนของคาน ในการออกแบบโครงสรางจ าเปนตองมการหาแรงเฉอนและโมเมนตมากทสด

ในคาน วธการหาในชดฝกอบรมการดดดวยระบบฝกตามความสามารถน จะใชวธการแสดง V และ M เปน

ฟงกชนของต าแหนง x ใดๆ ตามแนวแกนของคานฟงกชนของแรงเฉอนและฟงกชนของโมเมนตดดน

สามารถวาดและแทนโดยกราฟทเรยกวา

- ไดอะแกรมแรงเฉอน ( Shear Force Diagram)

- ไดอะแกรมโมเมนตดด ( Bending Moment Diagram)

ซงความหมายของผงแรงเฉอนและโมเมนตดด ไดอธบายไวในตอนตนแลวเพอใหผเรยนเกดความเขาใจจะ

ใชรปประกอบการอธบายดงน

10

การหาแรงเฉอนและโมเมนตดดในคาน จะใชวธภาคตด ( Section ) เพอหาแรงเฉอน V และ

โมเมนตดด M ณ จดทตองการทราบ โดยก าหนดภาคตดทระยะ x ใดๆ เพอใหผเรยนมหลกการหรอ

แนวความคดไปแนวทางเดยวกนกบ ชดฝกอบรมการดดดวยระบบฝกตามความสามารถน จะเรมคดจากดาน

ซายมอของคาน และเครองหมายใหใชตามหวขอทเรยนมาแลว

อยางไรกตามฟงกชนแรงเฉอนและโมเมนตดดทไดจะเปนฟงกชนของ x ซงเปนแบบไมตอเนองกน

หรอมความชนในลกษณะทไมตอเนองกน ( คลกทน เพออธบาย ) ฉะนน ฟงกชนแรงเฉอนและโมเมนตดด

จะหาโดยโดยการแบงออกตามแนวแกนของคาน ตามพกดดงรปท 1.5 ระยะ x1 x2 และ x3 เพอทจะใช

อธบายการแปรคาของ V และ M ตลอดความยาวคาน ระยะดงกลาวนจะใชไดเฉพาะในขอบเขตดงน

คอ x1

คอ x2

คอ x3

BA

CB

DC

11

โดยทวไปแลว ต าแหนงรบแรงเฉอนและโมเมนตดดโมเมนตดดสงสดจะเกดขนดงน

ต าแหนงรบแรงเฉอนสงสดในการหาคาและต าแหนงของแรงเฉอนสงสดนนจะตองสราง

ไดอะแกรมของแรงเฉอน ทงนเพราะไมทวธใดทจะบอกไดวาแรงเฉอนสงสดทเกดขนจะเกด ณ ทใดของ

คาน แตโดยทว ๆ ไปแลวมกจะเกดขนทบรเวณจดรองรบของคานเปนสวนใหญ

ต าแหนงรบโมเมนตดดสงสด ในการทจะหาความเคนดดในคานจ าเปนทจะตองใชคาโมเมนตดดท

มขนาดสงสด (คาเปนบวกหรอลบมากทสด) ต าแหนงทขนาดของโมเมนตดดสงสด อาจจะหาไดโดยใช

ขอสงเกตดงตอไปน

1. คาโมเมนตดดสงสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากบวกมาเปนลบ

2. คาโมเมนตดดสงสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากลบมาเปนบวก

3. ในกรณทสมการของโมเมนตดดเปนฟงกชนตอเนองของ x ตลอดทงคาน คาโมเมนตดดสงสด

และโมเมนต

ดดต าสดจะเกดเมอ V = 0

4. ในกรณทมแรงกระท าเปนจดอยดวย ขนาดสงสดของโมเมนตดดจะเกดขน ณ ทใดทหนงของแรง

ทกระท าเปนจด ทงนยกเวนคานแบบยน

5. ขนาดสงสดของโมเมนตดดในคานแบบยน จะเกดทปลายของคานซงถกยดแนน

0

dx

dM

12

ตวอยางท 1 จงวเคราะหและเขยนผงแรงเฉอน(SFD) และผงโมเมนตดด(BMD) ของโครงสรางในรป

วธท า วาดรป Free body diagram และหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

B = 0 ; RAy =

A = 0 ; RBy =

= 0 ; RAx = 0

พจารณาทอน AC จากซายไปขวา

ชวง

V =

M =

SFD

13

พจารณาทอน BC จากขวาไปซาย

ชวง

V = -

M =

ท x = 0 ; V =

และ M = 0

ท x = a ; Vซาย =

และ Vขวา = -

และ M =

ท x = L ; V = -

และ M = 0

14

ตวอยางท 2 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโครงสรางในรป

วธท า วาดรป Free body diagram

ωL พจารณาทอน AB จากขวาไปซาย

ชวง

ท และ ท และ

15

ตวอยางท 3 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโครงสรางในรป

วธท า วาดรป Free body diagram ซงพบวาหากตองการเขยน SFD และ BMD ของโครสรางในรปไม

จ าเปนตองหาแรงปฏกรยากสามารถเขยน SFD และ BMD ได

พจารณาทอน AB จากขวาไปซายชวง

ท และ

ท และ

16

ตวอยางท 4 จงวเคราะหและเขยนSFDและ BMD ของโครงสรางรป

วธท า วาดรป Free body diagram และหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

พจารณาทอนABจากขวาไปซาย

ท

17

ท

18

ตวอยางท 5 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโรงสรางในรป

วธท า วาดรป Free body diagram และหาแรงปฏกรยาทจดรองรบทจ าเปนส าหรบเขยน SFD และ BMD ซง

จะเหนไดวา เนองจากไมมแรงมากระท าในแกน X และไมจ าเปนตองหา เพราะ

เพยงคา กเพยงพอส าหรบการเขยน SFDและBMDแลว

พจารณาทอน AB จากซายไปขวา ชวง

19

ท

และ

ท

และ

โดยทต าแหนงท จะไดคา M สงสด

ทจด

20

ตวอยางท 6 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโครงสรางในรป

วธท า วาดรป Free body diagram และหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

21

พจารณาทอน AB จากซายไปขวาชวง

ท

และ

ท

และ

ท

และ

22

สรปความสมพนธระหวางน าหนกกระท า แรงเฉอนและโมเมนตดด

V(x) M(x)

น าหนกกระท าแบบจด

23

ตวอยางท 7 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD

วธท า หาแรงปฏรยา

พจารณา BC

24

พจารณา AB

พจารณา CE

25

หาแรงเฉอน

หาโมเมนต

26

น า แรงเฉอนละโมเมนต มาเขยน SFD และ BMD

27

ตวอยางท 8 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD

วธท า หาแรงปฏกรยา

พจารณา BC

28

พจารณา CF

หาแรงเฉอน

29

หาโมเมนต

พจารณา BC

หา

30

น า แรงเฉอนละโมเมนต มาเขยน SFD และ BMD

31

ตวอยางท 9 จงวเคราะห และเขยน SFD และ BMD

วธท า หาแรงปฏกรยา

พจารณา EF

พจารณา AE

32

พจารณาFD

หาแรงเฉอน

33

หาโมเมนต

น าแรงเฉอนและโมเมนตมาเขยน SFD และ BMD

34

ตวอยางท 10 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโครงสรางในรป

วธท า พจารณาทอน AB

∑MB = 0 1.5 RA =

RA = 750 kg

พจารณาทอน AD

∑MD = 0 4.5 RA + 1.5Rc =

Rc = 4500 kg

พจารณาทงระบบ

∑ME = 0 6 RA + 3Rc +

= 1.5RF +

RF = 2083 kg

∑Fy =0 RA + Rc +RE + RF = 1000 (8.5)

RE = 1167 kg

พจารณาทงระบบเรมจาก A ไปยง G ใหต าแหนง x คอต าแหนงท Vx = 0 โดยเมอมการเปลยนแปลง

เครองหมายของ V แสดงวาชวงนนมคา Vx = 0

35

VA = RA = 750 kg

V c.l= 750 - 3000 = -2250 kg

V c.r = -2250 + 4500 = 2250 kg

V E.l = 2250 -3000 = 750 kg

V E.r = -750 +1167 = 417 kg

V F.l= 417 -1500 = -1083 kg

V F.r= -1083 + 2083 = 1000 kg

VG = 0 kg

โดยทจด x คอจดทท าใหเกด Mmaxในแตละชวง

MA = 0

Mmax,AC = 750(0.75) -

= 281.3 kg.m

Mc= 750(3) -

= - 2250 kg.m

Mmax,CE = -2250 +2250(2.25) -

= 281.3 kg.m

ME = -2250 +2250(3) -

= 0 kg..m

Mmax,EF = 417(0.417) -

= 86.9 kg.m

MF = 417(1.5) -

= -499.5 kg.m

X = 0.75 m จากA

X = 2.25 m จากC

X = 0.417 m จาก E

36

จากนนน าคา V และ M ทต าแหนงตางๆ เขยน SFD และ BMD ไดตามภาพขางลาง

A B C D E F G

37

ตวอยางท 11 จงวเคราะหและเขยน SFD และ BMD ของโครงสรางรป

วธท า พจารณาทอน AB

∑MB = 0 10RA + 60000 = 2000(10)(5)

RA = 4000 kg.

∑Fy = 0 RA + VB = 2000(10)

VB = - 16000 kg.

พจารณาทอน BE

∑Mc = 0 12RE + 5000(4) + 16000(10) =

(3000)(12)(6)

RE = - 6000 kg.

∑Fy = 0 Rc = 16000 +5000 + 6000 +

(3000)(12)

Rc = 45000 kg.

ก าหนดให ต าแหนง x Vx = 0

4000 – 2000(x) = 0

38

X = 2 m จากจด A

Mx = 4000 (2) -

+ 60000 = 64000 kg.m

ME = - 6000(6) -

(3000)(6)(2) = - 54000 kg.m

MF = - 16000 (6) = - 96000 kg.m

Mc = - 16000(10) – 5000(4) = - 180000 kg.m

น าเอาขอมลมาเขยน SFD และ BMD จะไดดงรป

A B F C D E

39

อางอง -หนงสอเรยนวชาทฤษฏโครงสราง ปการศกษา 2/2557 คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม โดย ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน -http://building.cmtc.ac.th/main/images/stories/Yanee/unit_3.pdf