179

عزم القصور الذاتي

Moment of Inertia

الثاني عشرالفصل

180

عزم القصور الذاتي Moment of Inertia

مقدمة 1.13مارجيةبحالةحركتهدونتغيروعندتأثيرقوى–عندانعدامالقوىالخارجية–هوماصيةالجسماالحتفاظالقصور:

هوماصيتهتغييرحالتهححركتهاتدرجياأياكتسابعجالتمحدودةوتتغيرحركةالجسمببطءأكثركلماكانقصورالجسمأكبر.

لدوران.ارومقياسقصورالجسمفيالحركةاالنتقاليةهوكتلتهوفيالحركةالدورانيةهوعزمقصورهالذاتيحولمحو

تعريف عزم القصور للمساحات 2.13ســـــوفنحددالمركزالهندســـــيللمســـــاحةبأمذالعزماألولللمســـــاحةحولمحور،ممنأجلذلكقمنابإجراءتكاملمن

الشكل xdAالتكاملالثانيلعزمالمساحة. dAx يشيرإلىعزمالقصورللمساحة.2ةعلىا،أوالقوةبواحدةالمســاحة،والمطبقsigmaالقصــورللمســاحةعبارةعنالمقدارالمرتبطباإلجهادالناظميحعزم

لىالذييســـــــببانحناءالجائز.نزريةاآلالتللموادتشـــــــيرإMالمقطعالعبوريللجائزالمرن،بتطبيقالعزمالخارجيللجائزعبرالمقطعالعرضـــــــــــيCالمحورالماربالمركزالهندســـــــــــيأناإلجهادبالجائزيتغيرمطيامعالمســـــــــــافةمن

ا.13-1كمافيالشكلحkzللمساحة.مثال

1-13الشكل

kzdAdAdFالمبينةفيالشكل:dAقيمةالقوةالمطبقةعلىعنصرالمساحة حيثأنهذهالقوةتقععلى،dAkzdFzdMيســـــــــــاوي:yحولالمحورdF،وعزمyمنالمحورzالمســـــــــــافة 2العزمالناتجمنتوزعكل.

،حيثMاإلجهاداتيكونمساوياللعزمالمطبق dAzkM 2..yيمثلهذاالتكاملعزمالقصورللمساحةحولالمحور

181

عزم القصور.بالتعريفعزومالقصـــــــورللمســـــــاحةx-yوالموجودةفيالمســـــــتوي،ا2-13حالشـــــــكلالمبينةفيAباعتبارالمســـــــاحة

dAydIتكون:yوxحولالمحورdAالعنصــريةالمســطحة 2

x وdAxdI 2

y علىالترتيب.منأجلكاملالمساحةتحددعزومالقصوربإجراءالتكامالت:

2-13الشكل

ا1ح

A

2

y

A

2

x

dAxI

dAyI

فيالشـــــكلالســـــابق.zاأوحولالمحورOحولالقطبحمبدأاإلحداثياتdAنســـــتطيعأيضـــــاإيجادالعزمللمســـــاحةي:ندعوهذاالعزمبالعزمالقطبيللقصـــــــور.يســـــــتخدمهذاالعزملتحديدإجهادالفتلللقضـــــــيبأوالعمود.ويعرفكالتال

dArdJ 2

O حيثrلقطبحالمحورالمســــــافةالعموديةمناzابالنســــــبةللمســــــاحةالعنصــــــريةdAمنأجلكامل.المساحةيكونالعزمالقطبيللقصور:

yxا2ح

A

2

O IIdArJ

222ممكنةبحيثوOJالعالقةبين yxr .كمافيالشكلالسابقتكوندوماموجبةحيثأنهاتنتجمنجداءمربعالمسافةمعالمساحة.لذلكتكونواحدةOJومنالواضحأن

.4mmأو4mعزمالقصورهيواحدةطولمرفوعةلألسأربعة،مثال

yx I,I

yx I,I

182

نظرية المحاور المتوازية للمساحة 3.13إذاكانعزمالقصـــورلمســـاحةمعروفحولمحورمارمنمركزهالهندســـي،منالمفيدتحديدعزمالقصـــورللمســـاحة

للةحولمحاورمتوازيةمطابقةباســـــتخدامنزريةالمحاورالمتوازية.بفرضأننانريدإيجادعزمالقصـــــورللمســـــاحةالمز.xاحولالمحور3-13ح المبينةفيالشكل

3-13الشكل

،حيثثبتxمنالمحورالمركزيyالمتوضـــعةبشـــكلجزافيعلىمســـافةdAفيهذهالحالةالمســـاحةالعنصـــرية

بالمســــــافةxوxالبعدبينالمحورينالمتوازيينydعندهايكونعزمالقصــــــورلــــــــــــــــــــ،dAحولالمحورx:يســــــاوي

dAdydI2

yx :عندهايكونعزمالقصورلكاملالمساحة،ا3ح

A

2

y

A

y

A

2

A

2

yx

dAddAyd2dAy

dAdyI

183

xIيقدمالتكاملاألولعزمالقصـــــورللمســـــاحةحولالمحورالمركزي التكاملالثانييســـــاويالصـــــفرألنالمحور.x0dAydAyللمســاحة:Cيمرعبرالمركزالهندســي 0ألنy التكاملالثالثيقدمالمســاحةالكلية.

A:وبالتالييكون2ا4ح

yxx AdII

وبشكلمشابهيمكنالكتابةبالنسبةللمحورyI:

2ا5ح

xyy AdII

افيالشــــكلzحالمحورOالمارعبرالقطبوx-yوأميراالعزمالقطبيللقصــــورحولالمحاورالمتعامدةفيالمســــتويانحصلعلى:3-13ح

2ا6ح

CO AdJJ

أيشـــكلللعزممناألشـــكالالثالثةالســـابقةيبينأنعزمالقصـــورللمســـاحةحولمحوريســـاويعزمالقصـــورللمســـاحةينبحولمحورموازيمرعبرالمركزالهندسيلنفزالمساحةمضافاإليهناتججداءالمساحةبمربعالمسافةالعمودية

المحورين.

نصف قطر الدوران للمساحة 4.13مقدارايســــــتخدمغالبالرســــــماألعمدةفيالهياكلالميكانيكية.ونصــــــفقطرالدورانلمســــــاحةمســــــطحةلهواحدةالطول

فةالمساحةوعزمالقصوريكوننصفقطرالدورانمحددابالعالقة:بمعرا7ح

A

Jk

A

Ik

A

Ik O

O

y

yx

x

شـــــكلهذهالمعادالتيذكرناببســـــاطةوبشـــــكلمشـــــابهلتلكالعالقاتالموجودةلعزمالقصـــــورللمســـــاحةالعنصـــــريةحول

dAyIمحور.مثال: 2

x حيثللمساحةالعنصريةيكونdAydI 2

x .

184

عزوم القصور للمساحة بالتكامل 5.13عندماتكونحدودالمساحةالمسطحةمحددةبتابعرياضي،فالمعادلتين:

ا8ح

A

2

y

A

2

x

dAxI

dAyI

يمكنأنيكاماللتحديدعزمالقصورللمساحةالمحددة.

ا:4-13مختلفةفياتجاهينكماهومبينبالشكلحإذاكانعنصرالمساحةالمختارإلجراءالتكامللهأبعاد

4-13الشكل

يجبإنجازتكاملينإليجادعزمالقصور.غالبايكونمناألسهلإنجازتكاملواحدوذلكبامتيارعنصريحويمقاس

تفاضليأوسماكةفياتجاهواحد.

عزوم القصور للمساحات المركبة 6.13زمعلسلةمناألجزاءأواألشكالكأنصافالدوائرأوالمستطيالتأوالمثلثات.بمعرفةالمساحاتالمركبةتتألفمنس

القصــورلكلشــكلمنهذهاألشــكالحولمحورماعام،وبعدهايكونعزمالقصــورللمســاحةالمركبةيســاويالمجموعالجبريلعزومالقصورلهذهاألشكال.

185

عزم القصور للكتل 7.13الجســـــمهوماصـــــيتهلقياسمقاومتهعلىالتســـــارعالزاوي،حيثأنهيســـــتخدمفيالديناميكلدراســـــةعزمالقصـــــورلكتلة

الحركةالدورانية،والطريالمستخدمةلحسابهستناقشحاال.التيتركبهذاالجســــــــم،ليكنلديناdmنعرفعزمالقصــــــــورللكتلةعلىأنهتكاملحولمحورلكافةعناصــــــــرالكتلة

ا:5-13الشكلحالجسمالمبينفي

5-13الشكل

يساوي:zعزمالقصورللجسمحولالمحور

ا9حm

2dmrI

Iتجعلقيمةr.الصــــيغةالمســــتخدمةdmالعنصــــرالجزافيوهناعبارةعنالمســــافةالعموديةبينالمحورrذراعالعزم

.عزمالقصــورالمحســوبG.المحورالمختارعادةلحســابالعزميكونمارابمركزالكتلةللجســمzوحيدةلكلالمحوربـ،ووحدتهتقاسr.عزمالقصورللكتلةيكوندوماموجبابسببأنهتابعالمربعالمسافةGIحولهذاالمحوريعرفبـ

2m.kg.

186

إذاكانالجسممؤلفمنمادةغيرمتجانسةحلهاكثافاتمختلفةا، z,y,xعندئذيعبرعنالكتلةالعنصرية،dmالحجموللجســـــــمكتابعللكثافةdVdm بتعويضهذهالقيمةفيمعادلةالعزمالســـــــابقةيمكننامناســـــــتخدام.

امل:العناصرالحجميةإلنجازالتكا10ح

V

2 dVrI

ثابتةيمكنناإمراجهامارجالتكاملوعندهايصبحالتكاملتابعاللشكلالهندسي:فيالحالةالخاصةالتيتكونفيهاا11ح

V

2dVrI

dxdydzdVعندمايكونالعنصــرالحجميالمختارإلجراءالتكامللهمقاســاتمختلفةفياالتجاهاتالثالثة كما

،عندئذيحددعزمالقصورللكتلةبإجراءتكاملثالثي.اa-6-13فيالشكلحمقاستفاضـــليأوســـماكةفياتجاهيمكنتبســـيطهذاالتكاملإلىتكاملوحيدوذلكبامتيارالحجمالعنصـــريالذيله

ا.b-c-6-13واحد.طبقةأوقرصيستخدمعادةلهذااإلجراءكمافيالشكلينح

6-13الشكل

187

: كتلة الجسم(mاألجسام المتجانسة )المركز، وعزوم العطالة(.)بعض (: خصائص 1ملحق )

188

: كتلة الجسم(mاألجسام المتجانسة )المركز، وعزوم العطالة(.)بعض (: خصائص 2ملحق )

189

:كتلةالجسماmا:مصائصبعضاألجسامالمتجانسةحالمركز،وعزومالعطالةا.ح3ملحقح

190

:كتلةالجسماmا:مصائصبعضاألجسامالمتجانسةحالمركز،وعزومالعطالةا.ح4ملحقح

191

Lecture title: Moment of Inertia

Lecture syllabus:

- Definition of moments of inertia of areas

-parallel theorem for area

-Radius of gyration of an area

-Moments of inertia for an area by integration

-Moments of inertia for composite areas

- Mass moment of inertia

Conclusion:

Develop a method for determining the moment of inertia for area

Discuss the mass moment of inertia

References :

-Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.

- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI

Units.

2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -

Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN

Email: sulahed@yahoo.fr

192

إضافات مدرس المقرر