Upload
-
View
1.817
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
الجبر
Citation preview
الوحدة األولي : املصفوفات
( توضع بين قوسين. رأسيةت في شكل صفوف ) أفقية (وأعمدة )هي تنظيم للبيانا: تعريف املصفوفة
مثل :
= ، ب = ، ج أ =
عدد األعمدة = ن ، عدد صفوف المصفوفة = م كان ا : إذ
ن×تكون املصفوفة علي النظم مـ
3× 1، ج علي النظم 2×2، المصفوفة ب علي النظم 3× 2ـ المصفوفة أ علي النظم
س ، ص ........ ( ، ج ، ب ، لمصفوفة بأي حرف كبير ) أ نرمز ل: ـ تسمية املصفوفة
ثالجات 3مراوح ، 6خالطات ، 5محالن لبيع األدوات الكهربية في أحد األيام باع المحل األول : مثال
3×2ثالجات ـ أكتب مصفوفة المبيعات س علي النظم 3مراوح ، 9خالطات ، 4ـ و باع المحل الثاني
المحل األول :ـ احلل
= المحل الثاني .. س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: موقع العناصر يف املصفوفة*
العمود ع ، ( هو العنصر الذي يقع في الصف ص ص عأـ في المصفوفة أ يكون العنصر )
مثال : إذا كانت
.. 1 3، أ 2 2، أ 2 3، أ 21أ ـ أكتب نظم أ ثم أوجد = أ
احلل : 2-= 1 3أ ، 9= 2 2، أ 5= 2 3أ ، 3= 21أ ، 3× 3هو أ ـ نظم
بعض املصفوفات اخلاصة :. * 1: هي المصفوفة التي تتكون من صف واحد و أي عدد من األعمدة : م = ـ مصفوفة الصف1
3× 1س = علي النظم مثل
1: هي المصفوفة التي تتكون من أي عدد من الصفوف و عمود واحد فقط : ن= ـ مصفوفة العمود2
مثل
، ل = ص =
الصفوف = عدد األعمدة : م = ن : المصفوفة التي فيها عدد ـ املصفوفة املربعة3
مستطيل صغير : المصفوفة التي كل عناصرها أصفار : رمزها ـ املصفوفة الصفرية4
= مثل = ،
7 3 2
6 0 1
9 3
-2 1 1 0 5
5 6 3
4 9 3
7 3 4
1 9 6
-2 5 0
1 7 5
9
0
6
0 0 0
0 0 0
2
5
0
0 عطية ممدوح الصعيدي 0أ 1
عمدة و األ .أعمدة صفوفالجعلنا إذا ن × ي مصفوفة أ علي النظم م أل:
أ و رمزها ) [ أ] فإننا نحصل علي مدور المصفوفة صفوف مد
م .. × و تكون علي النظم ن (
) أ : مالحظة * مد
)مد
= أ
ـ مثال :أوجد أ إذا كانت أ = ، ب = ، ج =
مد، ب
مد، ج
مد
: احلل
أ مد، ب =
مد= ، ج
مد = ...........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ تتساوي المصفوفتان أ ، ب إذا كان
.. ص ع = ب ص عأ [ كل عنصر في أ يساوي نظيره في ب أي أن 2] نفس النظم [ لهما1]
أوجد س ، ص ، ع = :إذا كانت 1مثال
4، ع = 5، ص = 2من التساوي :. س = :ـ احلل
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت 2
د ، هـ ، = أوجد جـ
:ـ احلل
3جـ = 6جـ = 2:. 2، 1بجمع [ 2.... ] 1، جـ + د = [ 1...] 5= د - من التساوي : جـ
7هـ = ، من التساوي 2-د = 1+ د = 3 [ 2من ]،
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تتحقق المساواة األتية . ال يمكن أن ـ إثبت أنه لجميع قيم س ، ص3
=
4ص = ، 5:ـ من التساوي : س = احلل
( 3) 4س + ص = من التساوي ،
4 9= 4+5= يكون س + ص لكن بالتعويض عن قيم س ، ص
.. ن التساويكال يم ( 3المعادلة ) ان ن س ، ص ال تحققأي أ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3 2 1
5 0 4
3 2 1
5 0 4
-1 6 8
3 6 9
3 5
2 0
1 4
3 5 -1
2 0 6
1 4 8
3
6
9
7 2 0
ع 3 5
0س 7
4 3ص
1 2 س
8 3 4
2-ص 0
5 2 1
س+ص 3 8
0 4 -2
د -جـ 3
2 1
4هـ
3 5
جـ+د 2
7 4
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 2
نفس النظم و يكون ا علي لجمع ) أو طرح ( مصفوفتين البد و أن يكون:ـ أواًل اجلمع و الطرح
ظرة فيهما ..متناالناتج عن طريق جمع ) أو طرح ( العناصر ال
+ ب أ ، ب = أوجد إذا كانت أ = : 1مثال
:. احلل
أ + ب = و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فيهما ..
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت أ = ، ب = أوجد أ + ب2مد
:ـ حللا
أ + ب مد
= + =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: يمكن اإلثبات من المثال السابق .. مد+ ب مد= أ مد) أ + ب ( [ 1]: هامة ات الحظم*
صفر حيث ك [ يمكن ضرب أي مصفوفة في أي عدد مثل ك 2]
أ ( = -يث أ + ) أ ( بح -[ المعكوس الجمعي للمصفوفة ) أ ( هو ) 3]
[ أ + ب = ب + أ ، أ + = أ 4]
ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت 3
ص 2 -س3أوجد ، ص = س =
:ـ احلل
= + 2 - 3ص = 2 –س 3
=
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: إذا كانت مترين
أ + ب ، أ + ب3ب ، 4 -وجد : أ أ ، ب = أ = مد إن أمكن
3 5
2 0
1 4
2 0
7 -1
1 6
5 5
9 -1
2 10
1 7
2 4
0 -3
5 6
1 7
2 4
0 5
-3 6
1 12
-1 10
1 2 0
2 0 3
4 -1 2
7 1 -1
1 2 0
2 0 3
4 -1 2
7 1 -1
3 6 0
6 0 9
-8 2 -4
-14 -2 2
-5 8 -4
-8 -2 11
4 2 1
2 7 4
1 0 2
-1 4 3
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 3
ـ إذا كانت 4
ب + س2أوجد المصفوفة س بحيث أ = ، ب = مد أ 3=
:ـ احلل
ب + س2:. مدس أ 3=
مد 2 - 3ب = 2 -أ 3=
:. س مد =- =
:. ) س مد )
مد # س = = س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت 5
أ 2 مد
أ فأوجد + =
:ـ احلل
أ 2مد
=- = أمد أكمل =
ــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إذا كانت ـ )هام( 6
فأوجد المصفوفة س بحيث أ = ، ب =
أ 3 مد
س 3 -ب 2س = - مد
أ 3:. :ـ احللمد
س 3 -ب 2س = - مد
3سمدأ 3 -ب 2س = -
مد
3 سمد
- = 3 - 2س = -
3 سمد
( بتدوير الطرفين 1س = ....... ) -
3 س -سمد
3( × 2( ، بضرب المعادلة )2......... ) =
9 س 3 -سمد ( ........ =2)
/(2( و )1: بجمع )
/
8 = س = + = س
2 1 5
-2 3 4
1 0 -3
5 -1 4
2 1 5
-2 3 4
1 0 -3
5 -1 4
6 3 15
-6 9 12
2 0 -6
10 -2 8
4 3 21
-16 11 4
4 -16
3 11
21 4
1 2 0
5 -7 4
0 0 0
0 0 0
1 2 0
5 -7 4
-1 -2 0
-5 7 -4
4 -3
-2 -1
5 0
-3 -2
-1/2 -1 0
-5/2 7/2 -2
5 0
-3 -2
4 -2
-3 -1
10 0
-6 -4
12 -6
-9 -3
-2 6
3 -1
-2 3
6 -1
-6 9
18 -3
-2 6
3 -1
-6 9
18 -3
-8 15
21 -4
- 1 15 /8
21 /8 -1/2
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 4
ر× علي النظم ن ن ، ب مصفوفة× إذا كانت أ مصفوفة علي النظم م :ـ ضرب املصفوفات
ر ( × و يكون الناتج مصفوفة علي النظم ) م ب× فإنه يمكن ضرب أ
[ تساوي الوسطين ] .. ـ شرط ضرب مصفوفتين : عدد أعمدة األولي = عدد صفوف الثانية
] نظم الطرفين [ عدد أعمدة الثانية .. × ـ نظم المصفوفة الناتجة = عدد صفوف األولي
ب أ ، ب = ـ فأوجد أ ب ، :ـ أ = 1لمثا
:ـ احلل
أ ب = = =
] حذف الوسطين[ 2× 2أ ب علي النظم ، 2× 3النظم ، ب علي 3× 2: أ علي النظم الحظ أنـ
# = = ب أ =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت 2
ـ إثبت أن أ ) ب+ج( = أ ب + أ ج أ = ، ب= ، ج =
:ـ احلل
(1) = = + :. أ ) ب + ج ( =
+ :. أ ب + ب ج =
= = + (2) أ ) ب+ج( = أ ب + أ ج ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مالحظات هامة جدًا
) أ ب (ـ 1مد
= ب مد
أ مد
أ ـ 2 2
، أ أ × = أ 4
= أ 2
أ× 2
] حيث أ مصفوفة مربعة [
( I ) مصفوفة الوحدةـ 3
أصفار .، و باقي العناصر 1هي مصفوفة مربعة عناصر القطر الرئيسي فيها = ـ
.............. = I = ، I مثل
أ = أ × I =I× ـ أ 4
2 3 1
1 1 2
2 1
2 4
3 1
2 3 1
1 1 2
2 1
2 4
3 1
4+6+3 2+12+1
2+2+6 1+4+2
13 15
10 7
2 1
2 4
3 1
2 3 1
1 1 2
4+1 6+1 2+2
4+4 6+4 2+8
6+1 9+1 3+2
5 7 4
8 10 10
7 10 5
2 -1
3 0
3 -2
4 1
1 5
-2 -1
2 -1
3 0
3 -2
4 1
1 5
-2 -1
2 -1
3 0
4 3
2 0
6 6
12 9
2 -1
3 0
3 -2
4 1
3 -2
4 1
1 5
-2 -1
2 -5
9 -6
4 11
3 15
6 6
12 9
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 5
ـ إذا كانت 3
ـ فأوجد قيمة أ = أ = ، ب 2
ب 3 -
:ـ احلل
:. أ 2
= أ = × = أ
أ2
# = 3 -ب = 3 -
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إذا كانت ـ 4
فأوجد أ أ = 4
:ـ احلل
:. أ 2 أ = = × = أ
أ 4= أ
2أ×
2 = =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ إذا كانت 5
ـ فإثبت أن : أ أ = 2 = 2Iأ + 5 -
:ـاحلل
:. أ 2
= =
أ2
2I =- 5 +2أ + 5 -
=- + # = =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أكمل ما يأتي ـ 6
ـ ) س + ص (1مد
ـ ) أ ب (2........ = ........ + ... مد ....... × ..... =
إذا كانت ج = فإن جـ 32 ج = ........... 5، = ..........
= ............ ـ 4
3 1
2 5
-2 0
5 8
3 1
2 5
3 1
2 5
11 8
16 27
11 8
16 27
-2 0
5 8
17 8
1 3
2 1
0 5
2 1
0 5
2 1
0 5
4 7
0 25
4 7
0 25
4 7
0 25
16 203
0 625
2 -1
-4 3
2 -1
-4 3
2 -1
-4 3
8 -5
-20 13
8 -5
-20 13
2 -1
-4 3
1 0
0 1
8 -5
-20 13
10 -5
-20 15
2 0
0 2
0 0
0 0
2 0
3 1
3
2
5
-1 4 0
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 6
صفوفة .تعريف الم :. متارين املصفوفات
ـ أنتجت ثالث شركات س ، ص ، ع نوعين من األقمشة فكان ما أنتجته الشركة س عبارة عن 1
متر 500متر من النوع الثاني . و ما أنتجته الشركة ص عبارة عن 1200متر من النوع األول ، 1000
من النوع متر700متر من النوع الثاني ، و ما أنتجته الشركة ع عبارة عن 900من النوع األول ،
2×3في صورة مصفوفة ) أ ( علي النظم متر من النوع الثاني ـ أكتب هذه البيانات 400األول ،
3×2ـ و أكتب أيضاً هذه البيانات في صورة مصفوفة ) ب ( علي النظم
ل حذاء ، و باع المح 12بدل ، 5قميص ، 20المالبس في أحد األيام باع المحل األول محالن لبيع ـ 2
3×2حذاء ـ أكتب هذه البيانات في صورة مصفوفة س علي النظم 14دل ، ب 3قميص ، 13الثاني
أكمــــــــــل ما يأتي ب = إذا كانت المصفوفة أ = ، ـ 3
= ........ 1 2( العنصر ب ii... ) ـ نظم أ هو ....... ، نظم ب هو ...... iـ
iii هو 3 1، العنصر ب ................= 2 3العنصر أ ـ........... ......
= 3 1+ ب 1 3، أ ....... ..... ..
2× 2، أكتب مصفوفة ب علي النظم 3× 2أكتب مصفوفة أ علي النظم ـ 4
ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.. مدور املصفوفة و تساوي مصفوفتني
د قيمتي س ، ص فأوج ـ إذا كانت = 5
= فأوجد س ، ص ، ع ـ إذا كانت 6
إثبت أنه لجميع قيم س ، ص ال يمكن أن تتحقق المساواة األتية ـ 7
=
، ب = ـ أذكر نظم أ ، ب ثم أوجد أ ـ إذا كانت أ = 8مد، ب
مد
، ب = و كان ب إذا كانت أ = ـ9مد = أ فأوجد س ، ص
م معين للبيانات علي صورة ......... أفقية و ........... رأسية توضع بين أكمل : المصفوفة هي تنظيـ 10
ظم المصفوفة هو ............ ن........ ـ
3 -2
4 6
5 8
5 -6 2
4 6 0
س2
-3
2ص+ 5
4 -3
0 8
5س 6
7 4س+ص
6 1 5
ع 4 5
7ص -س3
1ص 2
5 7
س -ص 4-
4 -3
0 5
4 -3 6
0 8 9
س 2
-1 5
ص 2
4 5
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 7
1 -2
0 2
ـ اجلمع و الطرح :. ب 3-أ 2أوجد أ + ب ، ـ إذا كانت أ = ، ب = 11
إذا كانت أ = ، ب = ـ 12
ب ... 3أ + س = 2ـ أوجد المصفوفة س التي تحقق العالقة
= فأوجد كال من ب ، = أ ـ إذا كانت 13
ب+ أ ـ مد
أ، مد
أ ، ب - مد+ ب
مد إن أمكن ..
س = ، ص = ـ إذا كانت 14
س = -أ + ص 2ـ أوجد المصفوفة أ التي تحقق العالقة :
س 2إذا كانت س + ـ 15مد = فأوجد المصفوفة س +
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ـ الضرب
، ب = فأوجد أ ب ،، ب أ أ = ـ إذا كانت 16
، ص = أوجد ) س ص ( إذا كانت س = ـ 17مد
ص 2-، س
س+ س2 أوجد المصفوفة س بحيثإذا كانت أ = ، ب = ، ـ 18مد أ ب=
إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ ـ 192( 2I -= ) أ I 4أ + 4 -
2
ـ إذا كانت أ = ـ إثبت أن أ 202
= I 5 -أ -
إذا كانت س = فأوجد سـ 214
، ب = أوجد أ إذا كانت أ = ـ 222أ ب + ب 2+
2
2 1
-3 2
5 1
-1 3
0 1
7 -4
3 -2 5
1 4 0
2 -3 1
-2 3 1
2 -3 5
0 4 7
3 8
1 2
0 -3
3 -2 5
1 4 0
3 3 1
5 -1 2
3 4 -2
5 1 0
3 -2
1 4
7 3
1 6
3 2
1 4
-2 1
4 3
0 -2 3
1 4 5
1 5
1 4
4 0
-2 1
4 2
3 0
4 1
3 -2
4 -3
2 1
3 -1
0 -2 3
1 4 1
4 1 -1
1 2 1
1 0 2
2 5 1
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 8
.. حل متباينات الدرجة األولي يف متغري واحدـ
ـ أوجد مجموعة حل المتباينات األتية في ح و مثل الحل علي خط األعداد . 11 3س + 7 (3 )-5 <4 5س + 2 (2 )2 4 -س 3( 1)
:ـ الحل
11 - 3س 7 - 5 - 5 - 3 <4س 2+4 2س 3
8 ، ÷4س 4> 8 - 2÷؛ 2س 6 ، ÷3 2س 3
س 2 س 1 - 2 س < 2
[ 2، 2 -[ م ح = [ ،1 -] م ح = [ ، 2م ح = ]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ـ حل متباينة الدرجة األولي يف متغريينـ
6س + ص < 2ـ حل المتباينة : 1
و نحسب قيم ص و ذلك بالتعويض بأي قيمتين لـ س 6س+ص = 2:ـ نرسم المستقيم الحدي : احلل
و نحسب س 0و نحسب ص ثم نضع ص = 0المناظرة لها ـ و يفضل وضع س =
ـ نعوض بنقطة تقع في كل منهما و التي تحقق 2، ف 1ـ المستقيم يقسم المستوي إلي جزئين ف
( 0،0المتباينة يكون عندها الحل و يفضل التعويض بنقطة األصل )
اين ] > أ، < [ يكون المستقيم متقطع : إذا كانت عالمة التب
.[ يكون الخط متصل أ، ـ إذا كانت عالمة التباين ]
يمر بالنقطتين 6ص = س+2:. ل :
(0 ،6 ( ، )3 ،0 )
6ص < س+2( ال تحقق المتباينة 0، 0:. النقطة )
.. الحل هو المنطقة المظللة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
-2ـ حل المتباينة س 2
يمثله خط مستقيم 2-المستقيم الحدي ل : س = :ـ احلل
( 0، 2-يوازي محور الصادات و يمر بالنقطة )
-2:. نقطة األصل تحقق المتباينة س
لمنطقة المظللة ... الحل هو ا -2 0حيث
الوحدة الثانية : البرمجة الخطـــية
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 9
2ـ حل المتباينة ص 3
2المستقيم الحدي ل : ص = :ـ احلل
يمثله خط مستقيم يوازي محور السينات
( 2، 0و يمر يالنقطة )
ألن 2( تحقق المتياينة ص > 0،0ـ النقطة )
0 <2 .. الحل هو المنطقة المظللة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ
6ص 3س+ 2حل المتباينة ـ 4
يمر 6ص = 3س + 2:ـ المستقيم الحدي ل : احلل
( 0، 3( ، ) 2، 0بالنقط )
( ال تحقق المتباينة 0،0:. النقطة )
6> 0+0ألن 6ص 3س+2
.. الحل هو المنطقة المظللة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.. الحل البياني لمتباينتين أو أكثر من الدرجة األولي في متغيرين
-1، ص 4ص س+2: حل المتباينتين 1ـ مثال
شكل فيكون الحل هو منطقة التقاطع .. نحل المتباينتين بيانياً في نفس ال:ـ احلل
( 0، 2( ، ) 4، 0يمر بـ ) 4س + ص = 2: 1ل:.
( 1-، 0يوازي محور السينات و يمر بـ ) 1-: ص = 2، ل
ـ الحظ أن الحل هو المنطقة التي تحل
كل من المتباينتين معاً
( تحقق كل من المتباينتين 2، 3:. النقطة )
المنطقة المظللة .. الحل هو
ــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0 ص ، 0س : حل المتباينتين مترين
1ل
2ل
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 10
ل المتباينات األتية بيانياً أوجد مجموعة حـ 2
4س + ص 0 ،2، ص 0س
:ـ احلل
هو محور السينات 0: ص = 2هو محور الصادات ، ل 0: س = 1ل
يحددان دائماً معاً الربع األول 0، ص 0و المتباينتين س
يمر بالنقط 4س + ص= 2: 3ـ ل
(0 ،4 ( ، )2 ،0 )
( تحقق كل المتباينات 0،0ـ النقطة )
.. الحل هو المنطقة المظللة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد مجموعة حل المتباينات األتية بيانياً ـ 3
6س+ ص 4 ، 2، س + ص 0، ص 0س
:ـ احلل
يحددان دائماً معاً الربع األول 0، ص 0ـ كما سبق المتباينتين س
( 4، 0( ، )0،4يمر بـ ) 4: س+ ص = 1ل
( 0، 3( ، ) 0،6يمر بـ ) 6س+ ص= 2: 2ل
الحل هو المنطقة المظللة ..
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ ـ الربجمة اخلطية :ـ
ـ
ـ
منطقة الحلول المشتركة للمتباينات الموجودة و إليجاد الحل المطلوب ) أكبر قيمة أو أصغر قيمة ( نحدد
.. فنجد أنه يحددها رؤوس مضلع
علي النقطة التي تحقق المطلوب ) دالة الهدف ( نحصلبالتعويض بهذه الرؤوس في دالة الهدف و ـ
)) و األمثلة التالية توضح ذلك ((
1ل
2ل
3ل
2ل
1ل
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 11
ين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً : ع1مثال
20س 5ص+ 3 ،2س -، ص 0، ص 0س
ص .. 3س+5= أكبر ما يمكن حيث ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل
:ـ احلل
ول يحددان دائماً معاً الربع األ 0، ص 0ـ كما سبق المتباينتين س
( 4، 1( ، ) 3، 0يمر بـ ) 3س = -: ص 1ـ ل
( 0، 4( ، ) 10، 0يمر بـ ) 20س = 5ص+ 2: 2ـ ل
ـ فضاء الحل هو المضلع أ و جـ ب
( 2،5(، ب) 3، 0( ،جـ ) 0،0(، و ) 0، 4حيث أ )
.: ..
بالتعويض بالنقط للحصول علي المطلوب
20= 0×3+ 4×5= أ ل
25= 5×3+ 2×5= ب، ل
9= 3×3+ 0×5= جـ ، ل
= صفر 0×3+ 0×5= و، ل
( 5، 2ل أكبر ما يمكن عند ب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
األتية أوجد بيانياً مجموعة حل المتباينات ـ 2
3، س + ص 4ص 2، س+ 0، ص 0س
. ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل ) ر ( أقل ما يمكن حيث
:ـ احلل
( 0، 4( ، ) 2، 0يمر بـ ) 4ص = 2: س + 1ـ ل
( 0، 3( ، ) 3، 0يمر بـ ) 3: س+ ص= 2ـ ل
طقة المحددة بأسفل الحل هو المن
( 3، 0( ، جـ ) 1، 2( ، ب) 0، 4بالنقط أ )
.:
20= 0×4+ 4× 5= أ ر
14= 1×4+ 2×5= ب، ر
12= 3×4+ 0×5= جـ، ر
( = 3، 0أقل قيمة عند جـ )
1ل
2ل
أ
ب
جـ
و
1ل
2ل
أ
ب
جـ
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 12
2ل
1ل
أ
جـ ب
و
أ
ب جـ
و
كمية المتاحة النوع األول النوع الثاني ال
80 2 1ذرة
120 2 3قمح
2 4الثمن
النوع أ النوع ب القيمة العظمي
20 1 1الوزن
96 4 6السمك
يق و يضعه في أكياس ، بحيث كجم من القمح ـ ينتج نوعين من الدق 120كجم من الذرة ، 80مطحن لديه ـ 3
كجم من 2يلزم للكيس من النوع الثاني ـ كجم من القمح 3كيلو واحد من الذرة ، يلزم للكيس من النوع األول
أوجد عدد األكياس من كل نوع التي يجب أن ينتجها المطحن ليكون دخله أكبر ما كجم من القمح ـ 2الذرة ،
. جـ 2جنيه ، النوع الثاني 4نوع األول يمكن ، علماً بأن ثمن الكيس من ال
:ـ احلل
120ص 2س+ 80 ،3ص 2، س + 0، ص 0:. س ـ
.. ، دالة الهدف :
( 0، 80( ، ) 40، 0يمر بـ ) 80ص= 2: س+1ـ ل
( 0، 40( ، ) 60، 0يمر بـ ) 120ص= 2س+3: 2ـ ل
حيث ل هو المضلع أ و جـ ب ـ منطقة الح
( 30، 20، ب) (40، 0) ( ،جـ0،0( ، و)0، 40أ)
، دالة الهدف :
140= ب ، ر 80= جـ ، ر 0= و ، ر 160= أر
( 0، 40يكون الدخل أكبر ما يمكن عند أ )
ولكيس من النوع األ 40أي أن المطحن ينتج
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
يراد وضع نوعين من الكتب أ ، ب علي رف ـ 4
كجم ، و سمك 1كجم ، فإذا كان وزن الكتاب من كال النوعين هو 20سم ، و حمولته القصوي 96مكتبة طوله
الرف بحيث سم ـ أوجد عدد الكتب من كل نوع التي توضع علي4سم ، و من النوع ب 6الكتاب من النوع أ هو
يكون عددها أكبر ما يمكن .
:ـ احلل
دالة الهدف ، 96ص 4س+ 20 ،6، س+ ص 0، ص 0:. س
( 0، 20( ، ) 20، 0يمر بـ ) 20: س+ص= 1ل
( 0، 16( ، ) 24، 0يمر بـ ) 96ص= 4س+6: 2، ـ ل ب الحل هو المنطقة المضلعة أ و جـ
( 12، 8( ، ب) 20، 0( ، جـ ) 0،0( ، و)0، 16حيث أ)
.: ،
20= ب ، ر 20= جـ ، ر 0= و، ر 16= أ ر
( 12، 8( ، ب ) 20، 0أكبر قيمة عند جـ )
كتاب من النوع الثاني فقط 20ـ أي أنه نضع
.. من النوع الثاني 12كتب من النوع األول ، 8أو نضع
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 13
أ
ب جـ
و
فيتامين الصنف األول الصنف الثاني الحد األدني
4 2 1أ
9 3 3ب
50 75السعر
الدرجة األولي الدرجة الثانية المتاح
4المقاعد س ص
120 20 60الوزن
2500 5000السعر
قررت إحدي الشركات أن تقدم وجبة خفيفة لموظفيها تتكون من صنفين ، بحيث تتوفر في الوجبة الواحدة ـ 5
وحدات من فيتامين ب ـ فإذا كانت الوحدة من الصنف األول 9وحدات علي األقل من فيتامين أ ، 4لكل شخص
ة من الصنف الثاني تعطي في المتوسط وحدات فيتامين ب ـ و ان الوحد 3تعطي في المتوسط وحدة فيتامين أ ،
قرش ، وسعر 75وحدات من فيتامين ب ـ وكان سعر الوحدة من الصنف األول 3وحدتين من فيتامين أ ،
قرش ـ فكم عدد الوحدات من الصنفين يعطي أرخص وجبة و تتضمن الحد 50الوحدة من الصنف الثاني
األدني من الفيتامينات .
:ـ احلل
ص50س+ 75، دالة الهدف : ر = 9ص 3س+ 4 ،3ص 2س+ ، 0، ص 0س :.
( 0، 4( ، ) 2، 0يمر بـ ) 4ص = 2: س+ 1ل
( 0، 3( ، ) 3، 0يمر بـ ) 9ص= 3س+3: 2ـ ل
الحل هو المنطقة التي حدودها السفلي أ ، ب ، جـ
( 3، 0(، جـ )1، 2( ، ب ) 0، 4حيث أ)
ص 50س+ 75. ر = :
300= 0×50+4×75= أ ر
200= 1+50+2×75= ب، ر
150= 3×50+ 0×75= جـ، ر
( 3، 0أرخص وجبة عند جـ )
وحدات من الصنف الثاني 3ـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جـنيه ، 5000كجم و يدفع 60مقاعد للركاب ، فإذا كان راكب الدرجة األولي يسمح له بحمل 4طائرة بها ـ 6
كجم .. ـ فأوجد 120جـ . فإذا كان أكبر وزن لألمتعة هو 2500كجم و يدفع 20و راكب الدرجة الثانية يحمل
د الركاب من كل درجة الذي يحقق أكبر دخل من األجور . عد
:ـ احلل
120ص 20س + 4 ،60س+ ص ، 0، ص 0س :. . ، دالة الهدف
( 0، 4( ، ) 4، 0يمر بـ ) 4: س+ص= 1، ل
( 0، 2) (،6، 0يمر بـ ) 120ص =20س+ 60: 2ل،
منطقة المضلعة أ ب جـ و الحل هو ال
( 0،0( ، و)4، 0جـ ) (،3، 1( ، ب) 0، 2حيث: أ)
:. دالة الهدف :
10000= جـ ، ر 12500= ب ، ر 10000= أر
( : مقعد واحد من الدرجة األولي 3، 1أكبر دخل عند ب)
مقاعد من الدرجة الثانية # # 3،
1ل
2ل
أ
ب
جـ
14
)الربجمة اخلطية( .ثانية متارين الوحدة ال . أ ـ حل متباينات الدرجة األولي يف متغري أو إثنني
ـ أوجد جمموعة حل املتباينات األتية
5 1س+ 4-[ 3] 7< 1س+ 3 [2 ]3 5 -س2 [ 1
5س 2 -7[ 5] 11س + 5س+ 2 2[ س+ 4
3س+ ص < 6 [8 ]3س+ ص 4 [7 ]2[ س+ ص 6
8ص < س+ 2[ 11] 4س+ 2[ ص 10] 12ص > 3س+ 4[ 9
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ب ـ حل متباينتني أو أكثر .. بيانيًا . ـ أوجد جمموعة حل املتباينات األتية
1، ص 3[ س 13] 2، ص > -1س [ 12
4 س + ص 2 ،2ص 2[ س+ 15] 3، س+ ص < 2س [ 14
0ص > 3س + -1 ،2، ص -2[ س 17] 4س+ ص 0 ،4، ص 0[ س 16
4ص 2، س + 3س + ، ص 0، ص 0س [ 18
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.. يةــــــــــة اخلطـــــــــــالربجم
.. ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً 1
140س+ ص 100 ،2، س + ص 0، ص 0س
( أكبر ما يمكن ل تجعل ) ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي
ص 4س+ 6 =ل حيث :
ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً . 2
12ص 2س+ 6 ،3ص 2، س+ 0، ص 0س
( أكبر ما يمكن لـ ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل )
ص 4س+ 6 =ل : حيث
ـ عين مجموعة حل المتباينات األتية معاً بيانياً . 3
12ص 2س + 11 ،3ص 2، س+ 0، ص 0س
( أقل ما يمكن رـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ) س، ص( التي تجعل )
ص 5س+ 03 = ر: حيث
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 15
متر من الصوف ـ ينتج نوعين من الثياب بحيث يلزم لعمل 120متر من القطن ، 80ترزي لديه ـ 4
متر من الصوف ، و للنوع الثاني يلزم متران من كل من القطن 3ثوب من النوع األول متر من القطن ،
ـ نيهج20ثاني النوع ال الثوب من جنيه ، و ثمن 40، الصوف ـ و كان ثمن الثوب من النوع األول
([ 0، 40] ) ـ أوجد عدد الثياب من كل نوع التي يجب أن ينتجها الترزي ليكون دخله اكبر ما يمكن
جميعها كهربائي ثم يقوم عامل بدهانها بتينتج مصنع نوعين من النجف أ ، ب ـ وكل نجفة يقوم ـ 5
ساعتين لتجميع النموذج ب ـ أما عامل الدهان و يأخذ الكهربائي ساعة لتجميع النموذج أ ، و بالبرونز ـ
6ساعات لدهان النموذج أ ، ساعة لدهان النموذج ب ـ و يعمل الكهربائي و عامل الدهان 3فيأخذ
جنيه من بيع 30جنيه من بيع الوحدة من النموذج أ ، 20ساعات يومياً ـ فإذا كان المصنع يكسب
الوحدة من النموذج ب
([ 3، 0ف الذي يمكن إنتاجه في اليوم ليعطيه أكبر ربح ممكن ] ) ـ فكم عدد النج
سعرات حرارية ـ و الثانية بها وحدتان 3وحدات فيتامين و تعطي 4سلعتان غذائيتان األولي بها ـ 6
سعر حراري 36وحدة فيتامين علي األقل ، 24سعرات حرارية ـ فإذا كان المطلوب 5فيتامين و تعطي
الثانية من السلعة قروش ، سعر الوحدة 10علي األقل .. و كان سعر الوحدة من السلعة األولي
ـ فما الكمية الواجب شراؤها من كال السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة .. قرش 15
ينتج نوعين من الحلوي كجم من السكر ، و 120كجم من الدقيق ، 72ـ مصنع ألنتاج الحلوي لديه 7
كجم سكر ، يحتاج إنتاج وحدة من النوع الثاني 12كجم دقيق ، 4 ـ تحتاج الوحدة من النوع األول
جنيه 45من النوع الثاني، ونيهج25كجم سكر ـ كما يبلغ ربح الوحدة من النوع األول 8كجم دقيق ، 8
حقيق أقصي ربح .. ـ فما هي الكمية الواجب إنتاجها من كال النوعين لت
سم ، 102علي رف مكتبه طوله ب ـ يراد وضع نوعين من الكتب علي أ ،8
كجم ، و سمك الكتاب من 1كجم . ـ فإذا كان وزن الكتاب من كال النوعين هو 25و حمولته القصوي
سم 6سم ، و من النوع ب هو 8النوع أ هو
وضع علي الرف بحيث يكون عددها أكبر ما يمكن ـ أوجد عدد الكتب من كل نوع التي ت .
نتين يول يلزم تشغيل ماكينتج مصنع نوعين من قطع الغيار أ ، ب ، فإذا كان إنتاج قطعة من النوع األـ 9
ساعات ـ و ألنتاج قطعة من النوع ب يلزم تشغيل الماكينة األولي 3ساعات و الثانية لمدة 3األولي لمدة
ساعات يومياً ، و 8لثانية لمدة ساعتين ـ فإذا كانت الماكينة األولي ال تعمل أكثر من ساعات و ا4لمدة
ل قطعة من النوع أ ، كمن جنيه24و كان المصنع يكسب ساعة يومياً .12التعمل أكثر من الثانية
حد ؟ من كل قطعة من النوع ب ـ فأوجد أكبر ربح يمكن أن يحصل عليه المصنع في اليوم الوا نيهج 40
عامل و كان المصنع ينتج نوعين من السلع فإذا كان إنتاج الوحدة 20آلة و 12مصنع صغير به ـ 10
آالت و 3من السلعة )أ( تحتاج إلي آلة واحدة ، و عاملين ـ و إنتاج وحدة من السلعة )ب( تحتاج
جنيه .. 20هو جنيه ، سعر الوحدة من السلعة ب 10عاملين ـ وأن سعر الوحدة من السلعة أ هو
@ @ @ . ـ المطلوب : تحديد االنتاج األمثل لهذا المصنع لتحقيق أعلي إيراد ممكن .
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عطية ممدوح الصعيدي 0أ 16