第 8 章实验模态分析初步

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第 8 章实验模态分析初步


• 8.1 基本概念• 8.1.1 机械阻抗和导纳

)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm )(

12

2

tuqCdt

dqR

dt

qdL



)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm )(

12

2

tuqCdt

dqR

dt

qdL

)(tf )(tu

C/1

dtdx / dtdqi /

电感 L质量m

激振力电压

刚度 k 电容的倒数

速度电流

阻尼系数 c 电阻 R



tjtjjtj eXeXeXex )(

tjeUtu )(tjeIdtdqti /)(

IUZ /电阻抗

tjeFtf )(

tjtj eVeXjtx )(

tjeXtx )(

tjtj eAXetx 2)(

机械阻抗 AFZVFZXFZ xxx /,/,/



cjmkFXYx

2

1/

导纳

/x xY V F j Y

xx YFAY 2/

cjmkjH

2

1)(

频响函数

机械阻抗定义：简弦振动系统某一点的激励与同一点或不同点的响应的速度输出量的复数之比称为机械阻抗。



如果响应点和激励点是同一点，所测得的阻抗或导纳称为原点阻抗或原点导纳（也称驱动点阻抗或驱动点导纳）。反之，响应点和激励点是不同点，所测得的阻抗或导纳称为跨点阻抗或跨点导纳。

原点导纳

跨点导纳





集中参数元件的阻抗和导纳

机械阻抗的串并计算方法

21 ZZZ p

321

1111

ZZZZ s

并联

串联



432

43211 ZZZ

ZZZZZZZ st

1

222

21

222

21

221

221

1 mm

kk

mkk

jmj

jk

jk

mjjk

jk

mjZ t



432

43211 ZZZ

ZZZZZZZ st

221

221

1

mjjk

jk

mjjk

jk

mjZ t



• 8.1.2传递函数和频响函数

系统 )(txr)(tf e

)(

)()(

sF

sXsH

e

rre

00

)()(,)()( dtetfsFdtetxsX stee

strr

er er 原点传递函数跨点传递函数



kcsmssF

sXsH

2

1

)(

)()(

)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm

对于单自由度系统，其强迫振动方程：

进行拉氏变换

)()()0()()0()0()(2 sFskXxssXcxsxsXsm

0)0()0( xx )()(2 sFsXkcsms



)(2)(2))((

11)(

**2 psj

r

psj

r

pspsmkcsmssH

传递函数留数形式

其中

djpnp djpnp *

是方程 02 kcsms 的复根

22 npp nd m

cn

2

留数 dmp

r1

极点 p *p



频响函数

js

kcsmssF

sXsH

2

1

)(

)()(

取 0 则 js

cjmkF

XH

2

1

)(

)()(

00)()(,)()( dtetfFdtetxX tjtj



频响函数表达形式

m

kpn

2设np

mk

c

2

)(2 21

11)(

jeH

jkH

2222 41

1

k

H21

2

arctg



频响函数表达形式

2222 41

1

k

H21

2

arctg

2222

2

41

1

k

H R 2222 41

2

k

H I

22)()( IR HHH

21

2

arctgH

Harctg

R

I









8.1.3 单自由度系统的参数识别

1 幅频曲线识别



mHmp HH 707.0

2/)( 12 nn

d

22 ndn

nn /

（ 1）在小阻尼情况下，由共振峰极值求得半功率点幅值

再由半功率带宽求得衰减系数的近似值

（ 2）由峰值位置获得共振频率

，计算求得无阻尼固有频率

，则

mH

212

1

mHk

2/ nkm

（ 3）由共振峰值和阻尼比

求得刚度

（ 4）由固有频率和刚度算得质量

的近似值



2 相频曲线识别2/)(

n

4/)( 4/3

)( 12

n

2/n

nn /

（ 1）由点确定系统的固有频率

（ 2）由和确定半功率带宽

由和

求得衰减系数

则

其位置与阻尼无关



3 实频曲线识别0)( jH R

n

2/n

nn /

RR HH ,

)1()(2

12

RR HH

k

2/ nkm

（ 1）由确定

（ 2）由正、负峰值确定半功率带宽，可得衰减系数

阻尼比

（ 3）由正、负峰值求出刚度

和质量

。

此位置与阻尼无关



3 虚频曲线识别



8.2 机械阻抗或导纳的测量（频响函数）

8.2.1 稳态正弦测试法

稳态正弦激振可以有单点激振和多点激振两种途径。单点激振所用设备少，测试方便，但测试精度差。多点激振使用设备多，测量时需要调节各激点的激振力，使其按一定规律变化，测量工作较麻烦，得到的响应曲线好。

本方法的特点为，激振力频率和幅值可精确调节，测试精度高，但使用设备多且测量费时，须从低频到高频逐步进行，所耗费用也多。



8.2.2 瞬态测试法

快速正弦扫描法

)sin()( 2 btatFtf 其中， T — 扫描周期

F — 激振力振幅

a 、 b — 频率系数：

minminmax ,2/)( bTa



8.2.2 瞬态测试法

脉冲锤击法



8.2.3 随机激振

随机激振常用有三种：纯随机、伪随机和周期随机。

一、纯随机激振在整个时间历程中信号一直是随机的，如白噪声，其功率谱为平直谱，没有周期性。通常将白噪声发生器产生的信号通过功率放大器输出给激振器

二、伪随机激振在一个周期内信号是随机的，但各个周期的信号是一样的

三、周期随机激振变化的伪随机信号，在某几个周期后，又出现一个新的伪随机信号



8.3 多自由度模态分析的基本理论

• 8.3.1 多自由度系统强迫振动的模态叠加法

31

21

11

1}{

32

22

12

2}{

33

23

13

3}{

三自由度系统模型




3

2

1

3

2

1

322

2211

11

3

2

1

3

2

1

0

0

00

00

00

f

f

f

x

x

x

kkk

kkkk

kk

x

x

x

m

m

m

该结构在激励作用下的运动微分方程

fxKxM




可看作是固有振型的线性叠加}{x

33

23

13

3

32

22

12

2

31

21

11

1

3

2

1

qqq

x

x

x

3

1332211 }{

rrrqqqqx




代入微分方程为：

}{}{}{3

1

3

1

fqKqMr

rrr

rr

乘以T

s}{

}{}{}{}{}{}{3

1

3

1

fKqMq Tsr

r

Tsrr

r

Tsr




运用正交性

可得

}{}{ fqkqm Tsssss

srk

srK

srm

srM

sr

Ts

sr

Ts ,

,0}{}{

,,

,,0}{}{




其中

其解tj

ss eQq

tjtj eFe

F

F

F

f }{}{

2

2

1

tjTs

tjsss eFeQkm }{}{)( 2 可得

3,2,1,)(

}{}{2

skm

FQ

ss

Ts

s




令 }{}{ FP Tss

}{}}{{

}{}}{{}}{{}{

][}{

3

12

3

12

3

12321

Fkm

Fkmkm

FXXXX

r rr

Trr

r rr

Trr

r rr

rT

r

)( 2ss

ss km

PQ

则

tjtjTTT

e

X

X

X

ekm

F

km

F

km

F

x

x

x

3

2

1

332

33

222

22

112

11

3

2

1

)(

}}{{}{

)(

}}{{}{

)(

}}{{}{响应

则




第 1 点得响应

3

12

13

12

11

}}{{}{

r rr

rr

r rr

rT

r

km

P

km

FX

可见，一个 N 自由度结构上任一点得响应可以看作是 N 个单自由度系统的叠加。




)}({}{}{}{ tfxKxCxM

同理：多自由度系统有阻尼模型

][][ KMC 比例阻尼

}{

21

}}{{}{

}}{{}{

12

12

F

jk

Fkcjm

XN

r

rr

rr

Trr

N

r rrr

Trr

r

rr m

k



• 8.3.2 多自由度系统的频响函数频响函数定义

N

r

rr

rr

Trr

N

r rrr

Trr

jk

F

kcjm

FX

12

12

21

}{}}{{}{}}{{}{

/r

N

r rrrr

jT

jriri

jk

FX

12 21

}}{{

假定只在结构的 j 点作用有激振力 Fj ，任一点 i 处的响应：

}0...0...00{}{ jFF

N

r rrrr

Tjrir

j

iij

jkF

XH

12 21

}}{{

互易性： jiij HH



N

NiiiNiNiii

F

F

F

HHHFHFHFHX...

...... 2

1

212211

• 8.3.2 多自由度系统的频响函数频响函数阵

jiji FHX }0...0...00{}{ jFF

}...{}{ 21 NFFFF

]][[...

...

....

...

...

...}{ 2

1

21

22221

12111

2

1

FH

F

F

F

HHH

HHH

HHH

X

X

X

X

NNNNN

N

N

N



• 8.3.2 多自由度系统的频响函数频响函数阵与模态参数之间的关系

}{}}{{

}{1

2F

kcjmX

N

r rrr

Trr

N

r rrr

Trr

kcjmH

12

}}{{][

展开可得

Nrrr

Nr

r

r

N

r rrr kcjmH

...

.

1][ 21

2

1

12




rrrr kcjmY

2

1

Nrrrrrr

N

rr

TrNr

Trr

Trr

N

rr

NrNrrNrrNr

Nrrrrrr

Nrrrrrr

N

rr

N

rr

YY

YHH

......

...

......

...

...

][

211

2

1

1

21

22212

12111

11




（ 1 ）频响函数矩阵中任一行

Trir

N

rriNii YHHH

1

21 ...

N

riNririr HHH

121 ...

Nrrr

N

r rrr

ir

kcjm

...211

2




（ 2 ）频响函数矩阵中任一列

N

r

Nr

r

r

rrr

jrjr

N

r

Nr

r

r

r

N

r

Nj

j

j

Nj

j

j

cjmkY

H

H

H

H

H

H

1

2

1

21

2

1

1

2

1

2

1

............



• 8.3.2 多自由度系统的频响函数



• 8.3.3 模态振型



• 8.3.3 模态振型

（ 1 ）以激励点为参考点，取该点的振型元素为 1 ，若激振点为点，对于来说，必然是，其它元素的值与此相比而确定。

（ 2 ）以质量归一化，则有

（ 3 ）模态向量归一化，即

（ 4 ）模态振型中最大元素为 1 。

j r 1jr

1 rT

rr Mm 2rrk

11

2

N

rir 1r

Tr



• 8.3.3 模态振型



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• 8.3.3 模态振型



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