1

第五节 重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡 以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例，讨论相对平衡液体问题的一般分析方法。

如图，一盛有某种液体的圆柱形容器，以等角

速度绕其中心铅直轴旋转。液体达到平衡时。

液面为一旋转曲面。将直角坐标系的原点选在

液面中心，并取 z 轴竖直向上与转轴重合。这

时液体中任一质点 A 受到的单位质量力在三个

坐标轴方向上的分量分别为

xωfx 2 yωf 2y gfz

• 第 4 讲

2

将它们代入欧拉微分方程式得

式中 C 为积分常数。将边界条件 x=y=z=0 时， p=p0 代入上式得 C=p0 ，则液体内部静水压强的分布规律为

作等角速度旋转的相对平衡液体，其内部静水压强的分布除与z 轴有关外，还同时与 x 、 y 轴有关，即

gdz)ydyωxdxρ(ωdp 22

在液体内对上式积分得

Cgzyx2

ωρp 22

2

Cgzr

2

ωρ 2

2

0pgzyx2

ωρp 22

2

0pgzr

2

ωρ 2

2

f(x.y.z)p

(A)

3

讨论：

可见，在等角速度旋转的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。

可以证明，在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律都与满足上式。

（ 1 ）设液面的 z 轴坐标用 zs 表示，则将 p=p0 代入上 (A) 式可得液面方程为

2g

rωyx

2g

ωz

2222

2

s

表明，液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深 ，则由上 (A) 式可得

ρghpp 0

z2g

rωzzh

22

s

0pgzyx2

ωρp 22

2

0pgzr

2

ωρ 2

2

(A)

4

该式表明，在等角速度旋转的相对平衡液体中，等压面为一系列平行于液面的旋转抛物面。

注意，上述规律与水静力学基本方程一样，也必须是在同种相互连通的平衡液体中才成立。

（ 2 ）将 P = 常数代入上 (A) 式得等压面方程为

Chz2g

rωzyx

2g

ω 2222

2

5

平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。

第六节 作用在平面上的静水总压力

一、解析法如图， AB 为一与水平面成

角的任意形状倾斜平面，其左侧承受水压，水面与大气相通。设该平面面积为 A ，形心点为 C 。取平面 AB 的延伸面与水面的交线为 ox 轴，方向垂直纸面向里， oy 轴沿

着 AB 平面的倾斜方向向下。为使受压平面 AB 能展示出来，将其绕 oy 轴旋转 90 。

6

1 ．静水总压力 P 的大小

由于受压平面 AB 两侧都同时承受着大气压作用，求静水总压力时，可只计算相对压强引起的作用。在平面 AB

上任取一点 M ，围绕点 M

取一微元面积 dA 。设 M 点在水面下的淹没深度为 h ，则

dA 面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理，整个 AB

面上静水总压力 P 的大小为

P A A A

ydAρgsinαρgysinαdAρghdAdPP

7

为受压平面 AB 对 ox 轴的静矩。由理论力学可知，其值

等于受压面面积 A 与其形心点坐标 yc 的乘积。故A ydA

ApAρghAρgsinαyP ccc

式中 pc 和 hc 分别为受压面 AB 形心点 C 处的静水压强和 C点在水面下的淹没深度。

当受压平面形心在液面下的淹没深度 hc 不变时，只要受压面积不发生变化 , 静水总压力 P 值就不会随受压面的倾斜角而变化 .

8

2 ．静水总压力 P 的作用点 静水总压力 P 的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的作用点，又称为压力中心，常以 D 表示。

yD 的确定 如图，根据理论力学中的合力矩定理（即合力对某一轴的力矩等于合力的各分力对同一轴力矩的代数和），对 ox 轴取力矩得

ρgysinαdAyydPPyP A

D

xA

2 ρgsinαdAyρgsinα I

A

2x dAyI 为受压面 AB 对 ox 轴的惯性矩，则

9

AyAρgsinαy

ρgsinα

P

ρgsinαy

C

x

C

xxD

III

若令 IC 为受压面 AB 对通过其形心 C 并与 ox 轴平行的直线为轴的惯性矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得

Ay2CCx II

所以 Ay

yAy

Ayy

C

CC

C

2CC

D

II

式中的 yD 和 yC 分别表示从静水总压力的作用点 D 和受压平面的形心 C 沿着受压平面到自由液面的距离

AyC

CI上式就是计算 yD 的常用公式，因为式中的 总是正值，故

10

yD>yC 。这说明静水总压力 P 的作用点 D 总是位于受压平

面的形心点 C之下

xD 的确定 作用点 D 的横坐标 xD 的确定方法与 yD类似。在工程实际中，受压平面常常具有纵向（即平行于 oy 轴方向）对称轴。这时，总压力的作用点 D 必位于该对称轴之上。故当 yD 确定之后，总压力作用点 D 的位置就完全确定了，可无需计算 .

常见受压平面的面积 A ，形心 yC 和惯性矩 IC 的计算公式见下表

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受压平面形状 面积 A 形心置 yC 惯性矩 IC

ba2

a

12

ba3

2

ba

3

2a36

ba3

4

πd2

2

d

64

πd4

8

πd2

3π

2d 42

d1152π

649π

2

b)(a l )ba

2ba(

3 l

)ba

b4aba(

36

223

l

12

说明，上述公式只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面

相对压强为零（即为自由液面）的情况。当不符合这些条件时，

应注意正确使用这些公式。

例如，若受压平面一侧为同种液体，但液面的相对压强不为零，

公式中的 hc应取受压平面形心点 C 在测压管液面下的淹没深度，

式中的 yC 和 yD 则应取受压平面的形心点 C 和静水总压力的作用

点 D 沿受压平面到测压管液面的距离 .二、图解法 图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时，采用此法很方便。

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如图为与水平面成角的矩形平面闸门，其宽度为b ，高为 l ，上边缘与自由水面齐平，闸前水深为 H 。现讨论该闸门上静水总压力 P 的计算问题。

1 ．静水总压力 P 的大小

b ρgH2

1b

2

HρgAρghP C l l

l ρgH2

1式中 恰好为闸门上静水压强分布图的面积 , 令为 Sp ，则 VbSP P

该闸门上静水总压力 P 的大小等于作用其上的静水压强分布图的面积 Sp 与闸宽 b 的乘积，即为静水压强分布体的体积 V 。

14

2 ．静水总压力 P 的作用点 静水总压力 P 的作用线必通过静水压强分布体的形心并与矩形闸门的纵向对称轴相交，这一交点即为的作用点 D 。 如图闸门上静水压强分布图为直角三角形，故作用点 D 到自由水面的距离为l

3

2yD

或 D 点的淹没深度为 H3

2sinα

3

2sinαyh DD l

这一关系也可由解析法得到 ll

lll

3

2

b2

/12b

2Ayyy

3

C

CCD

I

15

例 2-6 某倾斜矩形闸门 AB ，转轴位于 A端，如图。已知闸门的倾角 α=60 ，门宽 b=2.5m ，门长 l = 4m ，门顶在水面下的淹没深度 h1=3m 。若不计闸门自重和轴间摩擦阻力，试求闸门开启时所需竖直向上的提升力 T 。

【解】（ 1 ）先求作用于闸门上的静水总压力 P矩形平面上的静水总压力，可采用解析法和图解法两种方法求解。 ① 解析法

b ) sinα2

ρg(hAρghP 1C ll

463.74kN2.54)sin602

49.8(3

P 的大小

P 的作用点 Ay

yyC

CCD

I

16

式中 5.46m2

4

sin60

3

2sinα

hy 1

C

l

433

C 13.33m12

42.5

12

b

lI

210m42.5bA l

5.70m105.46

13.335.46yD

②图解法P 的大小 首先画出闸门 AB 上的静水压强分布图，如上图 .

门顶 A 点的静水压强 29.4kPa39.8ρgh1

门底 B 点的静水压强 63.35kPa)4sin609.8(3)sin60ρg(hρgh 12 l

面积为 185.5kN/m463.35)(29.42

1)ρghgh (ρ

2

1S 31 l

17

则静水总压力 P 为 463.75kN2.5185.5SbP

P 的作用点 如图，将闸门 AB 上的静水压强分布图分解为三角形和矩形两部分，并假设这两部分对闸门 AB产生的作用力分别为 P1 和P2

294kN2.5429.4bρghP 12 l

169.75kN294463.75PPP 21

根据合力矩定理，对 A 轴取力矩得

2P

3

2PADP 21

ll

2.24m463.75

24

294432

169.75

P2

P32

PAD

21

ll

5.70m2.24sin60

3AD

sin60

hy 1

D

故

18

（ 2 ）求竖直向上的拉力 T

在不计闸门 AB 的自重和轴间摩擦阻力时，该闸门所受的力为：静水总压力 P 和提升力 T 。当提升力 T 对 A 轴的力矩大于等于压力 P 对 A 轴的力矩时，闸门 AB 才能被开启。

令 ADPcosα T l

519.4kNcos604

2.24463.75

cosα

ADPT

l

即竖直向上的提升力 519.4kNT

时闸门才能被开启

19

例 2-7 平面 AB 如图所示。已知其宽度 b=1m ，倾角 α=45° ，左侧水深 h1=3m ，右侧水深 h2=2m 。试求作用在平面 AB 上的静水总压力大小及其作用点。

（ 1 ）总压力 P 的大小画出 AB 平面上的静水压强分布图。该压强分布图由三

【解】 对于两侧具有同种液体的受压平面，采用图解法计算较为简单、方便，其求解过程如下：

角形 AEA' 和矩形 EFBA'组成，图中

1.414msin45

23

sinα

hhAA 21

2.828msin45

2

sinα

hBA 2

所以压强分布图的面积为

20

（ 2 ）总压力 P 的作用点

BA)hρg(hA)Ahρg(h2

1S 2121

34.643kN/m2.8282)(39.81.4142)(39.82

1

静水总压力 P 的大小为 34.64kN134.64SbP

设三角形和矩形压强分布图对平面 AB 所产生的作用力分别为 P

1 和 P2. 则21 D2D1D yPyPPy

0.943m,1.4143

2AA

3

2y

1D 2.828m1.4142

2.828AA

2

BAy

2D

27.714kN12.8282)9.8(3bBA)hρg(hP 212

6.926kN27.71434.64PPP 21

2.45m34.64

2.82827.7140.9436.926

P

yPyPy 21 D2D1

D

21

小结：

（ 1 ）平面壁静水总压力计算的解析法

P 的大小

P 的作用点

（ 2 ）平面壁静水总压力计算的图解法

ApAρghAρgsinαyP ccc

Ay

Jyy

C

CCD

作业 4：