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第六章 单变量微分学

郇中丹2006-2007 学年第一学期

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基本内容• §0 微积分的创立• §1 导数和微分的定义• §2 求导规则• §3 区间上的可导函数 (中值定理 )

• §4 不定式• §5 Taylor公式• §6 用导数研究函数• §7 割线法和切线法 (Newton方法 )

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§0 微积分的创立• Isaac Newton (1642-1727)

• Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)

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Isaac Newton (1642-1727)• 1661.6 ( 顺治 18 年 ) 入剑桥三一学院 ( 半公费 ( 做

仆人挣钱缴交学费的 ) 学生 ), 数学指导教师 Isaac Barrow (1630-1677),1664.1( 康熙 3 年 ) 获学士学位 .

• 1664-1666 英国流行黑死病 ( 鼠疫 ), 1665-1666 牛顿回家乡呆了 18 个月 , 其间发明了流数 (Fluxion)法 ( 变量为流 , 变化率为流数 ) 、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成 .

• 1665 年 11 月发明“正流数法” ( 微分法 ) ， 1666年 5 月发明“反流数法” ( 积分法 ) ， 1666 年 10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。

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Isaac Newton (II)

• 1669 接替 Barrow 的教授职位 ; 1687( 康熙 26年 ) 出版 Mathematical Principles of Natural Philosophy.

• Newton 有关流数的著作到他身后才发表 (1736).

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Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)

• 1661 入 Leipzig 大学学法律 ,1663 获学士 ,1666具备获法学博士的资格 ( 出于嫉妒 , 该校教师拒绝授予 ), 被另一所大学授予博士和请其为教授 ( 他拒绝了后者 ).

• 作为律师 , 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波 , 使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。

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Leibniz (II) • 1666 其称作“中学生随笔”的《组合艺术》中

立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成 , 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。

• 1672-1673 请求 Huygens 教授了他现代数学 ; 在英国了解到了无穷级数方法。

• 1675 年发现了微积分基本定理， 1677 年 7 月11 日将其发表，其方法主要经过 James 和 John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。

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Leibniz (III)

• Leibniz 建立微积分的基本记号和术语 ,包括微积分 (Calculus,原意是鹅卵石 , 用于计数 ), 微分 (原意是差的 , Differential), 微分 , 求导和积分的符号 . 建立了四则运算的求导规则 .

• 1673 年引入函数的术语。• 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。

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§1. 导数和微分的定义• 微分和导数概念的意义• 函数增量与微分和导数• 连续与导数和导数的解释

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微分和导数概念的意义 (I)

• 微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。

• 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。

• 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。

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微分和导数概念的意义 (II)

• 导数的物理背景 : 随时间或空间的变化率 (rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。

• 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。

• 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。

• 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。

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函数增量与微分和导数• 设在 a 的一个邻域上有定义 .• 增量定义 : 称 x=xa 为自变量 x 在 a 处的增量 ,

(x)=(x)(a) 为在 a 处的增量 .• 微分定义 : 若 cR 使得 (x)~cx (x0),就称线性函数 g(x)=cx 为 (x)(也叫在 a 处 ) 的微分 ,记做 d(x) 或 d. x也记做 dx. 此时称在 a 处可微 .

• 导数定义 : 若 cR 使得 (x)/xc (x0), 称c 为在 a 处的导数 ,记做 c=(a) 或 d/dx(a)=D(a).

• 小结 : 若在 a 处可微 , (x)=d(x)+(x)x (()=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量 (x)的线性部分 .

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连续与导数和导数的解释• 可微与连续 : 若在 a 处可微 , 则在 a 处连续 .• 左导数和右导数 : 右导数 (a+),左导数 (a-).• 导数与左右导数 : 在 a 处有导数当且仅当在

a 处左右导数存在且相等 .• 切线定义 : 曲线 y=(x) 在 (a,(a)) 的切线定义

为直线 : y=(a)+(a)(x-a).• 导数 (a) 的几何解释 : 曲线 y=(x) 在 (a,(a))

的切线的斜率 .• 导数 (a) 的物理解释 : 若 (x) 为物体在时间

间隔 [t0,a] 内运动的路程 , (a) 为在时刻 a 的瞬时速度 .

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习题十八 (I)

• 1. 用定义计算下列函数在 x=0 点的导数 : (1) (0)=0, 若 x0, (x)=x^2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若 x0, (x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet函数 D(x); (4) xD(x); (5) x^2D(x).

• 2. 证明 : 若 (0)存在 , 则 n((1/n)- (0))(0) (n). 反过来成立吗？

• 3. 设 (0)=0且 (0)存在 . 计算数列 : xn=(1/n^2)+ (2/n^2)+…+(n/n^2) 的极限 . 计算数列极限 :– (1) xn=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2);– (2) yn=(1+1/n^2)(1+2/n^2) …(1+n/n^2).

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习题十八 (II)

• 4. 设函数在 x=0 的一个邻域上有定义并且满足 : xI, (x)(0). 证明 : 如果 (0)存在 , 则 (0)=0.

• 5. 证明：函数在 x=0 点可微的充分必要条件是 (x)=(0)+g(x)x, 其中 g 在 x=0 点连续 .

• 6. 求下列曲线在给定点的切线方程 :

(1) y=x^2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=e^x+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P6,1/2).

若

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§2 求导规则• 复合函数求导的链式法则• 反函数求导公式• 一阶微分形式的不变性• 求导运算的算术性质• 初等函数求导公式• 双曲函数• 双曲函数求导公式• 高阶导数和高阶微分

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复合函数求导的链式法则• 定理 : 设在 a 点可微 ,g 在 (a) 点可微 , 则 h=g

在 a 点可微 , 并且 h(a)= g((a))(a).• 证明 : 记 =(a), = g((a)). 则

– (1) (x)=x + x) x ()=0),– (2) g(y)=y + y) y ()=0).

• 因此 , h(x)= (x)+(x))(x)=x + x)x + x+x)x)(x+x) x)= x + (x)x, 其中 (x)=x)+ x+x)x)(+x))满足 ()=0.

• 所以 , h(a)= = g((a))(a). #

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反函数求导公式• 定理 : 设 C(I), g 是在 (I)上的反函数 ,这

里 I 是区间 . 若在 a 点可微且 (a)0, 则 g在 b=(a) 可微 ,并且 g(b)=1/(a)=1/(g(b)).

• 证明 : 由在 (I)上有反函数 , 在 I上严格单调 ,因此 , gC((I)). 只要证明 g(b)存在就够了 . 而这由 (g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/((g(y))-(g(b))) 和复合函数的极限性质就得到结论 .#

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一阶微分形式的不变性• 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法

: 设的微分是 d(x). 若 x=g(t) 有微分 dx=dg(t), 则 d((g(t))=(g(t))dg(t)=(x)dx=d(x).

• 这看似空洞的公式 ,许多时候有意想不到作用 ,同类的公式在高阶导数时不再成立 .

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求导运算的算术性质• 设何 g 在 a 点可微 , cR. 则 +g, c, g 在 a

点可微 , 若 g(a)0, /g 在 a 点也可微 . 并且– (+g)(a)= (a)+g(a);– (c)(a)= c (a);– (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a);– (/g)(a)= ((a)g(a)(a)g(a))/g(a)^2.

• 证明 : 极限性质和导数定义的应用 .#

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初等函数求导公式• 基本初等函数求导公式 :

– (c)=0;– (x)=1; 由归纳法： (x^n)=nx^{n-1};– (exp x)=exp x; 由链式法则 ,(a^x)= a^x ln a; 反函数求

导规则 :(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(x^)=x^{-1};以及 (u^v)=u^v (vln u +vu/u).

– (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到 : (cos x)= -sin x; (tan x)=sec^2 x; (cot x)=-csc^2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则 : (arcsin x)=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)=1/(1+x^2);(arccot x)=-1/(1+x^2);(arcsec x) =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)=-1/(|x|sqrt{x^2-1}).

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双曲函数• 双曲函数定义 : sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= ta

nh x, cth x=coth x, sech x, csch x. • 反双曲函数 :

– arsh x=ln(x+sqrt(1+x^2)); – arch x = ln(x+sqrt(x^2-1));– arth x=1/2 ln((1+x)/1-x)); – arcth x=1/2 ln((1-x)/1+x)); – arsec x=ln((1+sqrt(1-x^2))/x), 0<x<1; – arcsch x= ln((1+sqrt(1+x^2))/|x|).

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双曲函数求导公式• 双曲函数求导公式 :

– (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; – (th x)=sech^2 x; (cth x)=-csch^2 x; – (sec x)=-th x sech x; (csch x)=-cth x csch x.

• 反双曲函数求导公式 :– (arsh x)=1/sqrt{1+x^2}; – (arch x)=1/sqrt{x^2-1}; – (arth x)=1/(1x^2); – (arcth x)=1/(1-x^2); – (arsech x) =-1/(xsqrt{1-x^2}) (0<x<1); – (arcsch x)= -1/(|x|sqrt{x^2+1}).

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习题十九 (I)

• 1. 计算下列函数的导数：– (1) y=3x+7sqrt(x)+7/x^3; (2) y=1/(1+x+x^2); – (3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x^2)/x^2; (4) y=(1-x^2)/(1+x^2); – (5) y=x^(1/3)+x^(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x);– (7) y=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); (8) y=x/((x-1)(x-2));– (9) y=1/(1+sqrt(x))-1/(1-sqrt(x)); (10) y=(ax+b)/(cx+d);– (11) y=(1+sqrt(x))/(1-sqrt(x)); (12) y=x^2sin x;– (13) y=(2-x)/((1-x)(1+x^2)); (14) y=x^3ln x+x^n/n;– (15) y=(ln x)(cos x);(16) y=e^x sin x; (17) y=e^x sec x;

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习题十九 (II)

– (18) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x^4;– (20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x^5;– (22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x ln x; (24) y=x^3tan x.

• 2. 利用等比数列求和公式，计算下列和式：– (1) Sn=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1);– (2) Sn=1+2^2x+3^2x^2+…+n^2x^(n-1).

• 3. 证明下列和式：– (1) C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n=n2^(n-1);– (2) C_n^1+2^2C_n^2+…+n^2C_n^n=n(n+1)2^(n-2).

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习题十九 (III)

• 4. 计算下列函数的导数：– (1) y=(x^3-4)^4; (2) y=x(a^2-x^2)sqrt(a^2-x^2);– (2) y=x/sqrt(n^2-x^2); (4) y=((1+x^2)/(1-x^2))^(1/3);– (5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))); (6) y=ln(ln x);– (7) y=(1+x^(1/3))^1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|;– (9) y=ln(x+sqrt(a^2+x^2)); (10) y=ln(tan(x/2));– (11) y=ln sqrt((1+cos x)/(1-cos x)); (12) y=ln^3 x^5;– (13) y=ln((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x)));– (14) y=cos^3 x-cos(3x); (15) y=sin^n x cos(nx);– (16) y=tan x-tan^3 x+tan^5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x)));– (18) y=sin^2 x/sin(x^2); (19) y=x^(sin x); (20) y=x^x;

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习题十九 (IV)

– (21) y=x^(tan x); (22) y=x^(ln x); (23) y=exp(sqrt(x));– (24) y=exp(-1/x^2); (25) y=a^(sin x); (26) y=x^(x^x);– (27) y=(1+x)^(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x)sin x;– (30) y=arcsin(sqrt(1-x^2)); (31) y=arcsin(cos x);– (32) y=e^(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x);– (34) y=arctan(tan^2x); (35) y=(a/b)^x(b/x)^a(x/a)^b;– (36) y=arctan(sqrt((a-b)/(a+b))tan(x/2), (a>b>0);– (37) y=a^2arcsin(x/a)+xsqrt(a^2-x^2);– (38) y=a^2ln|x+sqrt(a^2+x^2)|+xsqrt(a^2+x^2);– (39) y=e^(x^2)(x^2+2x+2); – (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x))).

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高阶导数• 定义 : 设在 (a,b)上处处可微 , 就定义了 (a,b)上的一个函数 , 这个函数叫做的导函数 ; 若也有导数 , 其导函数叫做的二阶导函数 , 记做 ; (x)叫做在点 x 的二阶导数 ; 依此类推 . 的 n阶导数记做 ^(n), D^n或 d^n/dx^n.约定: ^(0)=.

• Leibniz 公式 : 设 u,v 有 n阶导数 , 则有公式 :

• 证明 : 对 n 做归纳法 : n=0 时成立 . 然后由 n=k成立推出 n=k+1, 与二项式定理的证明类似。 #

n

k

knkkn

n vuCuv0

)()()(

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高阶微分• 定义 : 设在 (a,b)上处处可微 ,d^2(x)=(d(x))

dx叫做的二阶微分 . 一般d^(n+1)(x)=d(d^n(x))=(d^(n)(x))dx=^(n)(x)dx^n

• 注 : 高阶微分没有形势不变性 , 有关讨论参看教材 90-92页 .记号

• F. D. Bruno 公式 : 设和 g 都有 n阶导数 . 则 h=°g 的 n阶导数满足下面的公式 :

n

ii

n

j

ni

N

n

j

jn

j

xgxgf

nxh

1

1

)(|)(|)(

!

)())((

!

!)(

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习题二十 (I)

• 1. 证明 Leibniz 公式 .• 2. 证明 Bruno 公式。• 3. 计算下列函数的 n阶导数 :

– (1) y=1/(1-x^2); (2)y=(1+x)/(1-x)^(1/3); (3)y=sin^2 x; – (4) y=x^n/(1-x); (5) y=sin^3 x; (6) y=e^x sin x;– (7) y=x^n/(x^2-1); (8) y=e^x(cos x+sin x);– (9) y=x^n/((x+1)^2(x+2)^2); (10) y=1/sqrt(1+x^2).

• 4. 证明 y=arcsin x 和 y=arccosx满足 (1-x^2)y- xy=0.

• 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x^2))^m满足 (1+x^2)y+xy = m^2 y.

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习题二十 (II)• 6. 证明 . 切比雪夫多项式 Tn(x)=1/2^(n-1)cos(n arccos

x))满足 (1-x^2)y-xy+n^2 y=0.• 7. 设 y=(x) 有反函数并且满足 y+(y)^3=0. 证明的

反函数 g满足 g=1, 并由此给出的一个例子 .• 8. 求下列函数的指定阶数的微分 , 其中 u,v 都有用到

的各阶导数 : – (1) y=u^2, 求 d^10y; (2) y=arctan(u/v), 求 d^2y;– (3) y=e^u, 求 d^4y; (4) y=ln u, 求 d^3y.

• 9. 设在 x=0 点连续且 ((2x)-(x))/xl (x0). 证明在 x=0 点可微 , 且 (0)=l.

• 10. 证明 : (f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当 (e^(f(x))-e^b)/(x-a)Ae^b(xa).

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§3区间上的可导函数 (中值定理 )

• 有关函数一点行为的定义• 导数对函数一点行为的刻划• 中值定理的意义及其逻辑• 中值定理证明及其简单推论• 例子• Lagrange 中值定理的一些推论• 三个不等式• 参变量函数求导定理

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导数对函数一点行为的刻划• 定义 : 设 a 是定义的内点 . U 是 a 的邻域

或 在 a 点增 : xU, xa, 则 ((x)-(a))(x-a)>0;或 在 a 点减 : xU, xa, 则 ((x)-(a))(x-a)<0;或 在 a 点不减 : xU, 则 ((x)-(a))(x-a)0;或 在 a 点不增 : xU, x<a, 则 ((x)-(a))(x-a)0;

– a 点是的局部严格最大值点 : xU, xa, (x)<(a);

– a 点是的局部严格最小值点 : xU, xa, (x)>(a);

– a 点是的局部最大值点 : xU, (x)(a);

– a 点是的局部最小值点 : xU, (x)(a).

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导数对函数一点行为的刻划 (a)充分条件 :

– 若 (a)>0, 则在 a 点增 ; (Darboux 引理 )– 若 (a)<0, 则在 a 点减 ; (Darboux 引理 )– 若 xU, xa, (x)(x-a)<0, 则 a局部严格最大值点 ;– 若 xU, xa, (x)(x-a)>0, 则 a局部严格最小值点 ;

• 必要条件 : 设 (a)存在 .– 若在 a 点不减 , 则 (a)0;– 若在 a 点不增 , 则 (a)0; – 若 a 是的极值点 , 则 (a)=0. (Fermat 引理 )

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中值定理的意义及其逻辑• 中值定理要讨论的问题 : 用导数得到函数值差的

表达式 , 利用导数的性质研究值差以得到有关函数的信息。

• 中值 (Lagrange) 定理 : 若 C[a,b], 且在 (a,b)上点点可微 , 则 c(a,b), 使得 (b)(a)=(c)(ba). #

• 其证明是基于 Fermat 引理 . 逻辑顺序 : Rolle 定理 ((b)(a), c(a,b), 使得 (c)=0)Cauchy 中值定理 (,gC[a,b] 都在 (a,b)上点点可微 ,且 x (a,b),g(x)0, 则 c(a,b), 使得 ((b)(a))/(g(b)-g(a))=(c)/g(c)) Lagrange 中值定理 .

• 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点 .

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中值定理的证明及其简单推论• Rolle定理的证明 : 在 (a,b)上必有极值 .#• Cauchy定理的证明 : h(x)=(g(b)-g(a))(x)((b)

(a))g(x), 则 hC[a,b] 在 (a,b)上点点可微 ,且h(a)=h(b)=g(b)(a)(b)g(a).#

• Lagrange定理的证明 : 在 Cauchy 定理中取 g(x)=x就可以了 .#

• Darboux定理 : 设在 (a,b)上可微 . 则 ((a,b)) 是区间 . 因此在 (a,b)上的间断点只能是第二类间断点 .

• 证明 : (1) 证明零点定理 ; (2) 由 Lagrange 定理第一类间断点必为连续点 . #

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例子• 例 1. 设 (0)=0, 而当 x0 时 , (x)=x^2 cos(1/x). 因

此 (0)=0, 而当 x0 时 , (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在 x=0 点的左右极限都不存在 .

• 例 2. (x)=2sqrt(|x|). 若 x0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0), (0) ( 实际上 ,也是在 x=0 点左右“导数” ).

• 例 3. (x)=3x^(1/3). 若 x0, (x)=x^(2/3). (0)(0) ( 实际上 ,也是在 x=0 点的“导数” ).

• 在例 2-3 的情形 , 称在 x=0 点有 (左 ,右 ) 导数 .

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Lagrange 中值定理的一些推论• 1. 若 x(a,b), (x)=0, 则是 (a,b)上的常值函数

.• 2. 设在 (a,b)上可微 . 则在 (a,b)上不减的充分必要条件是 x(a,b), (x)0.

• 3.若 x(a,b),(x)>0, 则在 (a,b)上是严格增的 .• 4.设在 (a,b)上可微 . 则在 (a,b)上严格增的充

分必要条件是 x(a,b), (x)0, 并且在 (a,b) 的子区间上不为常数 .

• 推论 4的证明 : 必要性 : 由推论 3 得到 (x)0, 严格增给出后一部分 .充分性 : (x)0给出不减 ,在 (a,b) 的子区间上不为常数给出严格 .#

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三个不等式• Young不等式 :设 ,. 则 x0,x^

x+.

• Young不等式的变形 : a^b^ a+b. (x=a/b）

• Hölder不等式 : 设 ui, vi>0, i=1,…,n. 则

• Minkovski不等式 : 设 p>1, ai, bi>0, i=1,…,n. 则

n

ii

n

ii

n

iii vuvu

1

1

1

1

1

pn

i

pi

pn

i

pi

pn

i

pii baba

1

1

1

1

1

1

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参变量函数求导定理• 定理 :设 (t),(t) 在 [a,b]上可微且 t[a,b],

(t)> 0. 则由 x=(t) 和 y=(t) 可得 [a),b)]上的函数 y=(x). 即 =^{-1}. 特别 ((t))=(t)/(t).

• 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提供了工具 .

• 证明 : 链式法则的推论 .#• 推论 : 参变量函数二阶导数的公式 .

((t))=((t)(t)-(t)(t))/((t))^3.

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习题二十一 (I)

• 1. 设 (x)=xm(1-x)n, 其中 m, n 为正整数 . 证明 : c(0,1) 使得 m/n=c/(1-c).

• 2. 证明 : 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c 在 (0,1) 内至少有一个根 .

• 3. 证明 : ex= ax2+bx+c 的根不超过三个 .• 4. 设 C[a,b] 在 (a,b)上有 n阶导数 , 并且在

[a,b]上有 (按重数计 )n+1 个零点 . 证明 : (n) 在[a,b]上至少有一个零点 .

• 5. 证明 : 一个有 (按重数计 )n+1 个零点的次数不超过 n 的多项式必为零多项式 .

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习题二十一 (II)

• 6.设在 (a,b)上可微 ( 其中 a 可以是 ,b 可以是 ). 证明 : 如果 (a+)=(b), 则 c(a,b) 使得 (c) =0.

• 7. 设在 (a,b)上可微 . 证明或或或或或或或或或的零点 .

• 8. 证明 :Legendre(勒让德 )多项式 Pn(x)=1/(2^n n!)[(x^2-1)^n]^{(n)} 在 [-1,1] 内有 n 个零点 .

• 9. 证明 : Chebyshev-Laguerre( 切比雪夫 -拉盖尔 ) 多项式 Ln(x)=e^x[(x^ne^(-x)]^{(n)} 有 n 个不同的零点 .

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习题二十一 (III)

• 10. 证明 : Chebyshev-Hermite (切比雪夫 -厄尔米特 )多 项 式 Ln(x)=(-1)^n/n!e^(x^2/2)[(e^(-x^2/2)]^{(n)}有 n 个不同的零点 .

• 11. 证明 : (1) |sin x-sin y||x-y|; (2) |cos x-cos y||x-y|; (3) |arctan x-arctan y||x-y|; (4) |arccot x- arccot y||x-y|.• 12. 设 C(a,b)且在 (a,c)(c,b)上可导 . 证明 : 如果

, 则 (c)=A.• 13. 设在 (a,b)上可导 , 并且在 (a,b) 单调 . 证明

C(a,b).• 14. 设在 (a,b)上可导并且有界 . 证明在 (a,b)上一致连续 .

44

习题二十一 (IV)• 15. 设在 (a,)上可导且 (x) (x). 证明

在 (a,)上不一致连续 .• 16. 证明 (x)=xlnx 在 (0,)上不一致连续 . 而 g(x)=sq

rt(x) ln x 在 (0,)上一致连续 .• 17. 设 (x)(0)= x((x)), 或或 0<(x)<x. 证明对于 (x)

=x sin (ln x), (x>0), (0)=0 ，对于 a>0, (x) 在 (0,a)上不连续 .

• 18. 定义 (x)=arctan((1+x)/(1-x)) (x1), (1)=0. 证明在 x=1 点有极限 , 但是在 x=1 点的两个单侧导数都不存在 . 请给出你的解释 .

• 19.设 C[a-h,a+h] 在 (a-h,a+h)上可导 (h>0). 证明:(a+h)(a-h)=[(a+ h)(a- h)] h; (a+h)(a-h)2(a)=[(a+ h)(a- h)] h2.

45

习题二十一 (V)

• 20. 设 C[a,b] 在 (a,b)上可导 . 证明 : 如果不是一次多项式 , 则 cab 或或 |(c)|>|(b)(a)|/(ba).

• 21. 设在 [a,b]上有二阶导数且 (b)(a)=0. 证明: cab 或或 |(c)|>4|(b)(a)|/(ba)^2.

• 22. 设 C[a,b] 在 (a,b)上可导 . 证明 : (1)cab或或 c[(b)(a)]=(b2a2) (c); (2)若 a >0, cab 或或 (b)(a)=c(c) ln(b/a).

• 23. 设 C[a, b] 在 (a, b)上可导 (ab>0). 证明 : c(a,b),

)()()()(

1cfccf

bfaf

ba

ab

46

习题二十一 (VI)

• 24. 证明恒等式 :(1)|x|1,2arctan x+arcsin[2x/(1 +x2)]=sgn(x);(2)|x|1/2,3arccosxarcos(3x-4x3) =.

• 25. 设在 (a,)上可导并且 f(x)0 (x+). 证明 : f(x) /x0 (x+). .

• 26. 设 x=acos3t, y=a sin3t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切线为坐标轴所截线段有定常 .

• 27. 对于曳物线 : x=a[ln (tan t/2)+cos t], y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切点到切线与 x轴的交点的距离为定值 .

47

习题二十一 (VII)

• 28. 证明：双纽线 r2=a2cos 2 的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加 2.

• 29. 证明下列不等式： (1) 当 x0 时 , ex>1+x; (2) 当 x>0 时 , x-x2/2<ln x<x; (3) 当 x>0 时 , x-x3/6<sin x<x; (4) 当 x>0 时 , (1+1/x)x<e<(1+1/x) x+1.

48

§4不定式• 不定式的含义• 洛比塔法则 (L’Hôspital Rules)

49

不定式的含义• 不定式 : 设当 xa 时 , (x)l, g(x).

– 对于和 : 若 l与中一个是 +, 一个是 , 则 (x)+g(x) 的极限是不能由极限运算的算术性质确定的 ;

– 对于乘积 :若 l与中一个是 , 一个是 , 则 (x)g(x) 的极限是不能由极限运算的算术性质确定的 ;

– 对于商 :若 l与都是 ,或都是 , 则 (x)/g(x) 的极限是不能由极限运算的算术性质确定的 ;

– 广而言之 , 凡其极限不能由构成的两 (多 ) 个函数的极限值直接由规则确定的式子叫做不定式 . 一般按极限值及其构成方式分类 .

• 常见的不定式 : +型 , 0型 , 型 , 0/0型 , 00

型 , 1型 , 0型等 . • 上述这些常见不定式都可转化成型 , 0/0型的讨论 .

50

洛比塔法则 (L’Hôspital Rules)

• 这里只对 xa- 讨论 , 其他类型留做给学生自己完成 .

• 洛比塔法则 I. 设 ,g 在 (,a)上可微 ,(a-)=g(a-)=0, 而 g 在 a附近不为 0. 若 (/g)(a-)存在 , 则 (/g)(a-)= (/g)(a-).

• 证明 : 定义 (a)=g(a)=0. 余下只要应用 Cauchy 中值定理就够了 . #

• 洛比塔法则 II. 设 ,g 在 (,a)上可微 ,g(a-)= . 若 (/g)(a-)存在 , 则 (/g)(a-)= (/g)(a-).

51

洛比塔法则 II 的证明• 洛比塔法则 II的证明 : 这里只考虑 (/g)(a-)=l

有限的情形 , 否则考虑 g/. 任取 >0, >0, 使得当 0<ax< 时 , |(x)/g(x)l|<. 由恒等式 ,

其中 a<x0<x<a. 因此

• 这就得到了所要证明的结论 . #

)(

)( )(

)(

)(1

)()(

)()(

)(

)( 000

0

0

xg

xglxf

xg

xgl

xgxg

xfxfl

xg

xf

lxg

xf

ax )(

)(suplim

52

例题• 1. xx1 (x0+ );

• 2. (x-sin x)/x3 1/6, (x0);

• 3. (tan x-x)/ (x-sin x) 2, (x0);

• 4. a>0, (ln x)/ xa 0, (x+);

• 5. 1/x2-1/tan2 x 2/3, (x0);

• 6. xx^x-1 1, (x0).

若 x2

x3

53

习题二十二 (I)

• 1. 推广上下极限的概念到函数的情形 . 这里仅讨论 xa- 的情形其他情形留给学生自己去做 .假设 >0, 在 (a-,a)上有定义 . 定义在 a

的上极限为 ,下极限为 证明 : (1) ; (2) 是 存在的充要条件 ; (3) 对于 (a,a) 中以 a 为极限的数列 {xn}, 若数列 {(xn)} 有极限 l, 则在 l

在在 a- 或上 , 下极限之间 .

)(supinf)(suplim00

xfxfrxarax

)(infsup)(inflim00

xfxfrxarax

)(suplim)(inflim xfxfaxax

)(suplim)(inflim xfxf

axax

)(lim xfax

54

习题二十二 (II)

• 2. 计算下列函数 x0 或或极限 : (1) [x-ln(1+x)]/ x2; (2) |x|ln|x|; (3) xke1/|x|; (4) 1/x–1/ln(1+x); (5)1/x – 1/sin x; (6) x[a1/xb1/x] (a,b>0); (7) (tan x)sin x; (8)(sin x/x)1/x^2;(9)[e(1+x)1/x]1/x; (10)(tan x/x)1/x^2; (11) (cosx)1/x^2; (12) [(1+|x|a)/(1+|x|b)]1/ln|x|; (13) [x2sin(1/x)]/sin x.

55

习题二十二 (III)

• 3. 计算下列函数 x+ 或或极限 : (1) xk/ex; (2) [x –1ln(1+x)]1/x;(3) (/2arctan x)1/x; (4) lnkx/x; (5) [e-2x(cos x+2sin x)+ex^2sin2x]/[e-x(cos x+sin x)] (6) [tan(x/(2x+1))]1/x; (7) (x-sin x)/(x+sin x); (8) [(1+xa)/(1+xb)]1/ln x (a,b 为实数 ); (9) [1+x+sin x cos x]/[(x+sin x cos x)esin x] .

• 4. 设或 a,+) 或或或或或或或或或 x 时 , (x) l, 则 l=0.

56

习题二十二 (IV)

• 5. 设或 a,+) 或或或或或或或或或 x 时 , (x)+(x) l. 证明 : x)l (x).

• 6. 由 Lagrange 中值定理 , 证明下列结论 : (1) 若 ln(1+x)=x/(1+x), 则 1/2 (x0); (2) 若 ex1= xex, 则 1/2 (x0); (3) 若 arcsin x=x/sqrt(1x),0<<1, 则 1/sqrt(3) (x0).

• 7. 确定常数 a, b 使得当 x0 时 , (1) (x)=(a+bcos x)sin xx 为 x 的 5阶无穷小 ; (2) (x)=ex(1ax)/(1+bx) 为 x 的 3阶无穷小 .

57

§5 Taylor公式

58

若

59

若

60

§6 用导数研究函数

61

若

62

若

63

§7割线法和切线法 (Newton方法 )

64

若

65

若

66

若

67

若

68

69

习题十八• 1. 计算下列极限

x2 x3 若

70

x2 x3 若

71

x2 x3 若

72

x2 x3若