Финансовая математика

Минасян В.Б.к.ф.-м.н., доцент кафедры

корпоративных финансов ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ.

Certified International Investment Analyst (CIIA)

Типы моделей

В зависимости от глубины проникновения в реальные процессы, нужд практики и необходимой точности описания модели финансовой математики подразделяются на:

•Статические•Динамические•Детерминированные•Стохастические (случайные)

Динамические модели подразделяются на:

•Динамические модели с дискретным временем•Динамические модели с непрерывным временем

Модели финансовых процессов

Под финансовой математикой, в широком смысле, понимаются математические модели для описания процессов, происходящих на финансовых рынках, описания самих рынков и финансовых инструментов, применяемых на этих рынках.Данные модели применяются для оценки важнейших финансово-экономических показателей, описания их взаимной зависимости и динамики во времени.

Простые методы

Самыми простыми моделями являются статические детерминированные модели. Они присутствуют в финансовом менеджменте, когда мы анализируем ситуацию в данный момент, с помощью данных взятых из прошлого, рассматривая значения некоторых значимых финансовых величин или некоторых их комбинаций, имеющих важный смысл.Например, анализируя (диагностируя) ситуацию в компании с помощью отчетности – применяя соответствующие коэффициенты.

Что мы успеем рассмотреть

Мы сначала рассмотрим динамические детерминированные модели с дискретным временем.

Мы лишь коснемся динамических стохастических моделей с дискретным временем.

Простейшая ситуация, требующая введения дискретной

модели

В дискретных моделях вводят понятие стандартного единого промежутка времени (чаще всего – год). И ситуационно, процесс описывают через каждый стандартный временной промежуток.

Простейшая ситуация, требующая введения дискретной

моделиПредположим, что Вы отдали в долг в момент О сумму Р=PV, и долг должны вернуть через n стандартных временных промежутков.Общеизвестно, что должны вернуть сумму:S = FV = P + I0 nP S=P+II – процент,- доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами.

Схемы начисления процентов Процентная ставка

Проценты начисляют по процентной ставке i на стандартном промежутке

I – процент за единичный промежуток времени

PIi

Схемы начисления процентов Схема простых процентов

Проценты в размере i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка только на первоначально вложенную сумму Р

Схема сложных процентов

Проценты в размер i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка, но не только на первоначальную сумму Р, но и на все заработанные к этому моменту проценты.

Наращение процентов Наращение простых процентов

0 n P S=P(1+ni)

Наращение сложных процентов

Когда сумма Р вкладывается на банковский депозит, то в договоре между клиентом и банком фиксируется и ставка и схема начисления процентов.

0 n P S=P(1+i)n

Доходность = процентная ставка

При вложении суммы Р в финансовые инструменты (активы, бизнесы проекты) более сложные, чем банковский депозит, чаще всего сумма S=FV оказывается случайной.Роль процентной ставки i здесь играет ожидаемая (средняя) доходность от данных вложений за единичное время.

Машина времени из настоящегов будущее

Будет ли доходность i сложной или простой ставкой зависит от вас.Будете ли вы совершать реинвестирование полученных доходов в конце каждого единичного промежутка времени?

Концепция временной ценности денег.

S=P(1+i)n

S=P(1+ni)n (1+i) (1+ni)

при реинвестированиибез реинвестирования

и соответствующие коэффициенты наращения

Дисконтирование.Машина времени из будущего в

настоящееОперация оценки современной ценности вложения по известной его будущей ценности называется дисконтированиемДисконтирование по простой ставке.

0 n

SДисконтирование по сложной

ставке.0 nS

niSP

1

niSP)1(

Выбор ставки дисконтирования

Это нетривиальный вопрос.Иногда, в качестве неё выбирают ставку альтернативной доходности.Но финансовая теория рекомендует выбирать требуемую доходность, зависящую от уровня риска с которым сталкивается инвестор.Этот непростой вопрос решается в недрах корпоративных финансов с помощью различных алгоритмов её оценки в виде WACC – средне-взвешенной доходности, которая зависит от стоимости долга и стоимости собственного капитала инвестора, уровня левериджа с которым он связан и уровнем структурного риска среды, в которой принимается решение.

Влияние инфляции на процентную ставку

Формула И. Фишера

Где i – номинальная (с учетом инфляции) ставка- реальная ставка (очищенная от инфляции)

111

hiip

pi

pih – темп инфляции

Принцип: Номинальные денежные потоки дисконтировать по номинальным ставкам.Реальные денежные потоки дисконтировать по реальным ставкам

Учет векселей по простойи сложной учетной ставках

Вексель – это ордерная ценная бумага, подтверждающая безусловное обязательство векселедателя оплатить определенную сумму векселедержателю в определенное время в определенном месте.Учет векселя – это его продажа с передачей права требования новому владельцу (банку)

Учет векселей, учетная ставка

Банк определяет учетную ставку на стандартном временном промежутке d.И тогда учет векселей может происходить по простой и сложной учетной ставке d.

Учет векселей по простой учетной ставке

Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р

0 n

S)1( ndSP - Номинальная ценность векселя

Учет векселей по сложной учетной ставке0 n

S

Векселедатель передает вексель банку и получает сумму РОчевидно, что учет векселей связан с дисконтированием.

ndSP )1(

Наращение по учетной ставке

Если мы знаем сумму Р, которую получил векселедержатель при учете векселя, и учетную схему, то можно определить номинальную ценность векселя по одной из формул:O n

P ndP

ndPS

)1(,

1

В зависимости от того d – простая или сложная учетная ставка

Наращение годовой ставки чаще, чем раз в год

Эффективная ставка

Jm – годовая номинальная ставка.Её m-ая доля начисляется в конце каждого интервала деления года на m равных частей с реинвестированием.

01 год

mm1

m2

m3

Эффективная годовая доходность(Эффективная ставка)

Ценность вложения суммы Р через n лет

mjm

mjm

mjm

mjm

1)1( mmэфф m

ji

mnm

mjPS )1(

Понятие денежного потока

Денежным потоком (постнумерандо/пренумерандо) в течение n стандартных временных промежутков, называется множество денежных платежей или поступлений в конце, или, соответственно, в начале этих промежутков.Мы, в основном, будем рассматривать потоки постнумерандо.

nCF

0 1 2

30CF

1CF 2CF

3CF1nCF

1n

Понятие денежного потока

Если это денежный поток от инвестиционного проекта, то рассчитывают чистую приведенную ценность (NPV) проекта

nn

iCF

iCF

iCFCFNPV

)1(...

1121

0

Где i – требуемая ставка доходности

Критерий NPV Если NPV>0, то проект, может быть, целесообразно реализовывать.Если , то нецелесообразно финансирование проекта

0NPV

IRR проектаКритерий IRR

IRR проекта (внутренней ставкой доходности проекта) называется такая ставка i, при которой NPV(i)=0

Критерий IRR Пусть мы определяем IRR проекта, а i – требуемая ставка доходности.Если IRR>i, то проект целесообразно реализовывать.Если , то проект нецелесообразно реализовывать

iIRR

Оценка аннуитетов

Аннуитетом называется денежный поток, в котором денежные суммы возникают через равные промежутки времени.Мы рассмотрим постоянные аннуитеты, т.е. и сами суммы постоянны и возникают в конце периодов

0 1 2 n-1

nR R R R

Будущая ценность аннуитета

Современная ценность аннуитета

inSRS ,

iiSn

in1)1(

,

inARP ,

iiAn

in)1(

11

,

Перпетуитет

Вечный постоянный аннуитет (постнумерандо) называется перпетуитетом

Современная ценность перпетуитета

iRP