1

А

В С

Д

А1

В1 С1

Д1

А В

С

Д

2

Секущей плоскостью, называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

В

Сечением параллелепипеда может быть:

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1В1

А

А1

С

С1

D

D1

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1треугольник

четырехугольник шестиугольник

пятиугольник

3

Сечением тетраэдра может быть:

СА

В

D

А

В

С

D

треугольник

М N

четырехугольник

M N

KP

4

Теория, необходимая при построении сечений

• Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

α

5

AB € αВ

€ αB

€A α

А

Теория, необходимая при построении сечений

• Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна

b

β

а

◦ М

6

Теория, необходимая при построении сечений

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

║

b a ║

7

α β α

β

γ

α

β

a

=γ α

a ∩

b γ β b ∩ =

При построении сечений часто используется метод следа, необходимость в котором возникает в том случае, если в плоскости грани многогранника лежит всего одна точка плоскости сечения

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

€ K, F (DCC1)

(А1В1С1) (DCC1)∩ = D1C1

NМ

М, N € (А1В1С1)€ К (DCC1)

К

P

KF∩ CC1 = P

F

МN ∩ D1C1 = F

Используя метод следа найдите вторую точку плоскости сечения и грани АDD1

8

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

N

К

М

P

F

E

L

(A1B1C1) €M, N

(ADD1) €K (A1B1C1)

(ADD1) ∩ = A1D1

∩ = A1D1 MN E

€ (ADD1) K,E

= ∩ KE AA1 L

М

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

N

К

F

P

L

(α-плоскость сечения)

(CDD1) (ABB1)║

∩ α (ABB1) = ML

α ∩ (CDD1) = KP ║KP ML

(ВСС1) α ∩ =

МN

α € М, N

1) (ВСС1) € М, N

2)(ВСС1)

(ADD1) ║

∩ (ВСС1) α = MNE(ADD) ∩ α = KE

║ KE MN

€ (ADD1) 3) КЕ

M € (ABC )

F

P

L

Используя метод следа, найдите вторую точку сечения, принадлежащую плоскости АВС

Достройте сечение

11

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через

точки М, N, К.

N

М

К

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

А В

С

D

M

N

Построить сечение тетраэдра плоскостью , проходящей через точки М, N, К.

α

1) M, N € (ABD)

€ M, N α=(ABD)

∩ α MN

M,K € α

2) M,K € (АСD)

K

(АСD) ∩ α = MK

3) € (BCD) K,N

K,N € α ∩ =α(BCD) KN

4) (MNK) – плоскость сечения α

12

Построить сечение тетраэдра плоскостью , проходящей через точки М, N, К.

α

А В

С

D

13

N

N € (ABD)

M

(ABD)М €1)

( АСD)2) М €

K

K € ( АСD)MK € ( АСD)

(ABD)3) М, N €(ABC)K €

(ABD) ∩ (ABC) = AB

L

МN ∩ AB = L

MN € (ABD)

K, L € (ABC)

R

KL ∩ BC = R

(BCD)€4) RN € (BCD)

RN € (BCD)α5) (MNRK) – искомая плоскость