Вписанные углы

Вписанные углыВписанные углы

учитель математикиМБОУ « Кингисеппская гимназия»

Тормозова Ирина Владимировна

Вписанные углы

Цветочная клумбаЦветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной

из хорд которой посажены розы .

В каких разных местах клумбы

должны быть посажены три куста роз таким образом,

чтобы с этих точек все розы были видны под одним и

тем же углом?


План План УРОКАУРОКА

• Изучить определение вписанного угла

• Научиться распознавать вписанные углы на чертежах

• Узнать, какими свойствами обладают вписанные углы

• Научиться применять полученные знания при решение задач


Углы :Углы :

• Угол – геометрическая

фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

• Центральный угол – угол с вершиной в

центре окружности.


ПовторениеПовторение

Дано: АКЕ на 140 ° меньше АРЕ

НАЙТИ: АРЕ

Дано: МОN= EOKМОE: MON :NOK= 7 : 4 : 3

Найти: ME : NK : KE

Вписанные углыНа какие группыНа какие группывы бы разделили углы?вы бы разделили углы?


Чем похожи и чем Чем похожи и чем различаются углы АВС и различаются углы АВС и

КРОКРО


ОпределениеОпределение

• Угол, вершина которого лежит на окружности, а

стороны пересекают окружность, называется

вписаннымвписанным.


Найти рисунки, на Найти рисунки, на которых углы вписанныекоторых углы вписанные



Теорема о вписанном Теорема о вписанном углеугле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы Теорема о Теорема о вписанном углевписанном угле1 случай1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла Луч ВО совпадает со стороной угла

АВСАВСДано: Окр (О; R)АВС – вписанный угол

Доказать:АВС = ½ АС

Доказательство:1.АОВ – равнобедренный,так как ОВ = ОА = R, значит,

В = А.2. СОА – внешний угол,

следовательно, СОА = ОВА + ОАВ СОА = 2 ОВА, значит, ОВА = ½ СОА СВА = ½ АС.


2 случай2 случай Луч ВО делит угол АВС на 2 углаЛуч ВО делит угол АВС на 2 угла

Точка D разделяет дугу АС на две дуги: А D и DС.

По доказанному

АВ D= ½ А D и

DВС= ½ DС.

Складывая эти равенства почленно, получаем:

АВ D+ DВС= ½ А D + ½ DС, или

АВС= ½ А С.


3 случай3 случай Луч ВО Луч ВО НЕ ДЕЛИТНЕ ДЕЛИТ угол АВС на два угол АВС на два

угла и не совпадает со сторонами этого угла.угла и не совпадает со сторонами этого угла.




СледствияСледствия

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.


Следствие №1Следствие №1

АВС = АКС, так как

АВС = ½ АС и

АКС = ½ АС, значит,

АВС = АКС


Следствие №2Следствие №2

АВС = 90,так как он опирается на

развёрнутый угол, градусная мера которого равна 180.


Задача №1Задача №1

Дано: АОС = 80.

Найти: АВС = ?

Ответ: 40.



Дано: АВС = 34°.

Найти: АОС = ?

Ответ: 68°.



Дано:АВС = 54.

Найти:АКС = ?

Ответ: 54.



°°°

°

°


° °

°


°


Игра на повторение Игра на повторение «Веришь — не веришь» «Веришь — не веришь»

• Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?

• Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?

• Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?

• Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?

• Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?

• Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ?

• Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?

• Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?• Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут

связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

•Нет, отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через (эту точку и) центр окружности.

•ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚.

•Нет, угол проходящий (выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом.

•Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

•Нет, величина центрального угла в два раза больше (равна) величины дуги, на которую он опирается.•Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ (прямой) .

•Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом.

Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

•Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники.


Работа по тесту с Работа по тесту с программированным контролем программированным контролем

решения.решения. Вариант 1.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°;

г) 76°;2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС,

если угол АОС=126°а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

Вариант 2.1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;


ОтветыОтветы

Задания 1 2 3

1 Вариант Б В В

2 Вариант Б В В


Работа по тесту с Работа по тесту с программированным контролем программированным контролем

решения.решения. Вариант 1.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°;

г) 76°;2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС,

если угол АОС=126°а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

Вариант 2.1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;


Проверка домашнего Проверка домашнего задания. задания.

• Задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность


• I способ: Угол AMR – внешний угол

треугольника MCE, поэтому AMR= C + E . Угол ARM – внешний угол

треугольника BRD, поэтому ARM=B + D. Тогда A+ B+ C + D +

E =<A+<AMR+<ARM=180°.


• I I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто:

360°: 5 :2 5=180°.


• Софизм –доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софизмами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до нашей эры ,достигших большого искусства в логике.

Хорда, не проходящая через Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.центр, равна диаметру.

Хорда, не проходящая через Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.центр, равна диаметру.

Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), А = С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Еслиже сторона и два угла одноготреугольника соответственно равныстороне и двум углам другоготреугольника, то такие треугольники равны.

Значит, ▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольникахпротив равных углов лежат равные стороны.Поэтому, АВ=ЕС.

Найдем ошибкуНайдем ошибкуНайдем ошибкуНайдем ошибкуПо теореме о признаке равенства треугольника:Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.А в нашем случае, угол А не прилежит к стороне ВD.

Вписанные углыТест на оптическую Тест на оптическую иллюзию по рисункам с иллюзию по рисункам с

альтернативным ответом.альтернативным ответом.• Оптическую иллюзию мы довольно часто

наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии.


Тест 1Тест 1

1. <AOB=<COD=<BOC 2. <AOB=<COD><BOC Здесь иллюзорную

деформацию вызывают острые центральные углы, хотя углы АОВ; ВОС; COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Вписанные углы Тест 2 Тест 2 Тест 3 Тест 3В окружность вписан: 1. квадрат 2. близкая к квадрату

фигура

• Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.

• Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

В окружность вписан: 1. треугольник 2. близкая к треугольнику

фигура


Цветочная клумбаЦветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной

из хорд которой посажены розы .

В каких разных местах клумбы

должны быть посажены три куста роз таким образом,

чтобы с этих точек все розы были видны под одним и

тем же углом?


Усвоив теорему овеличине вписанного угла в

окружность, делаемВывод, т.к. из всехточек окружности, кроме

концов хорды, эта хорда видна

под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты

роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N .

Это одно из практических применений

теоремы о величине вписанного угла в окружность.


Домашнее задание. Домашнее задание.

• п. 71, выучить определение вписанного угла;

• выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;

• № 654 № 656 № 657


Documents

Вписанные углы