КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Фильм создан учащимися 8 Б класса средней

общеобразовательной школы № 20 Московского

района г. Казани

под руководством учителя математики Субботиной Л.Н.

Серия 1.Определение квадратного уравнения. Неполные

квадратные уравнения.

Какие уравнения называются квадратными?

Определение: Квадратным уравнением

называют уравнение вида ax2

+ bx + c = 0, где коэффициенты a, b, c- любые действительные числа, где a ≠ 0.

Как называются коэффициенты квадратного

уравнения ax2 + bx + c = 0 ?

a- первый или старший коэффициент.

b- второй коэффициент. с- свободный член.

Какие уравнения называются привёденными?

x2+ b/a x + c/a = 0

Какие бывают неполные квадратные уравнения?

a≠0, b=0, c=0 ax2=0

a ≠ 0, b ≠ 0, c=0ax2+bx=0

a≠0, b=0, c≠0ax2+c=0

Методы решения неполных квадратных

уравнений

a ≠ 0, b = 0,c = 0 a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0

ax2 = 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 x2 = 0 x(ax + b) = 0 x2 = - c/a, c/a<0 x = 0 x1 = 0 или x2= - b/a x1,2=± √ - c/a,

c/a<0

Серия 1. Определение квадратного уравнения, неполные уравнения

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c- любые действительные числа, где a#0.a- первый или старший коэффициент.b- второй коэффициент. с- свободный член.Квадратное уравнение полное. Приведённое квадратное уравнение.

a x2 + bx + c = 0 x2 + b/ax + c/a = 0 Неполное квадратное уравнениеa ≠ 0, b = 0, c = 0 a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0ax2= 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c=0 x = 0 x(ax + b) = 0 x2 = -c/a

x1 = 0 или x2 = - b/a x1,2 = ±√ - c/a, c/a<0

Страницы истории

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне и египтяне (2 тыс. лет до н. э.). Некоторые виды квадратных уравнений решали и древнегреческие математики, используя геометрический подход. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский ( ||| в. н. э.)

Серия 2. Решение

уравнения выделением квадратного

двучлена.

Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и

квадрат разности.

Квадрат суммы. Квадрат разности.

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

2. Решение уравнений: (x+k)2=0 и (x-k)2=0

(x+k)2=0; → x+k=0 → x=-k;

(x-k)2=0; → x-k=0 → x=k;

3. Алгоритм решения приведенного квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена.

Алгоритм решения приведенного квадратного уравнения методом

выделения квадратного двучлена.1 x2+2px+q=02 x2+2px+p2-p2+q=0 x2+2px+p2=p2-

q3 (x+p)2=p2-q 4 x+p=±√p2-q, если p2-q≥05 x1,2=-p± √p2-q

Серия 2. Решение уравнения выделением квадратного двучлена.

Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы. Квадрат разности. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(x+k)2 = 0; → x+k = 0 → x = -k; (x-k)2 = 0; → x – k = 0 → x = k;Алгоритм решения приведенного квадратного уравнения методом выделения квадратного двучлена.

1 x2+2px+q=02 x2+2px+p2-p2+q=0 x2+2px+p2=p2-q3 (x+p)2=p2-q 4 x+p=±√p2-q, если p2-q≥05 x1,2=-p± √p2-q

ЗАДАЧА от Паленовой Дианы Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и

других материалов. Исторические памятники Греции и Рима, простояв тысячелетия, за последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит одному шотландскому городку, где 10 апреля 1974 года выпал дождь, скорее напоминающий столовый уксус, чем воду. Устно решите уравнения, найдите верный ответ и соответствующую ему букву и прочитайте название этого «знаменитого» городка.

ЗАДАЧА от Паленовой Дианы

х²=0,49 Корней нет Их²+16=0 28 Х2х²-4=0 16 О√ х-6=0 1, -1 И2√ х-8=0 -2, -8 Р√ х-3=5 √ 2, -√ 2 Т4х²-4=0 36 Л(х+5)²=9 0,7, -0,7 П

ОТВЕТ

Питхлори

Серия 3.Формулы корней

квадратного уравнения (№1 и №2)

Общая формула квадратного уравнения:ax2+bx+c=0

Что такое дискриминант?

Дискриминант:D=b2-4acДискриминант: D1=k2-ac

discriminantis – в переводе с латыни «разделяющий», «различающий».

Какая зависимость между знаком

дискриминанта и количеством корней квадратного уравнения?

Условие РешениеD<0 Уравнение не имеет корней

D=0 Уравнение имеет один корень

D>0 Уравнение имеет два корня

D1<0 Уравнение не имеет корней D1=0 Уравнение имеет один корень

D1>0 Уравнение имеет два корня

Формула корня уравнения, если D=0 ;

D1=0 .D=0 Уравнение имеет один корень: x=-b/2a

D1=0 Уравнение имеет один корень: x=-k/a

Формула корня уравнения, если D>0 ;

D1>0 .D>0 Уравнение имеет два корня:

x1= (-b - √D) / 2a, x2= (-b + √D ) / 2a

D1>0 Уравнение имеет два корня: x1= (-k - √D1 ) / a,

x2 = (-k + √D1 ) / a

Серия 3. Формулы корней квадратного уравнения(№1 и №2)

Квадратные уравнение: ax2+bx+c=0Дискриминант:D=b2-4ac Дискриминант: D1=k2-ac Алгоритм решения квадратного уравнения общего видаУсловие РешениеD<0 Уравнение не имеет корней D=0 Уравнение имеет один корень: x=- b/2aD>0 Уравнение имеет два корня: x1=(-b - √D) /2a, x2= (-b + √D) /2aD1<0 Уравнение не имеет корней D1=0 Уравнение имеет один корень: x=-k/aD1>0 Уравнение имеет два корня: x1=(-k+√ D1)/ a, x2=(-k+√ D1) / a

Полезные советы

Нахождение корней квадратного уравнения общего вида ax2+bx+c=0 в

особых случаях

1 случай:если a + b + c=0 , то x1 = 1; x2 = с / a

2 случай:если a - b + c=0 , то x1 = - 1; x2 = - с / a

Серия 4.

Теорема Виета.

В ||| в. н. э. квадратное уравнение x²-20х+96=0 решал великий древнегреческий математик Диофант и работал только с натуральными числами, а решить уравнениеx²-20х-39=0 он не мог , так как по теоремеВиета, х1• х2 = -39, это означает, что корни должны быть разного знака. Следовательно, не каждое уравнение можно решить методом Диофанта.

Франсуа ВиетФрансуа Виет родился в 1540 г. во

Франции, в Фонтеле-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1751 г. по 1584 г. был советником короля Георга ||| и Георга |V. Всё свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г., после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучал труды как древних, так и современных ему математиков и создал по существу новую алгебре. Он ввёл в неё буквенную символику. После открытия Виета, стало возможным записывать правила в виде формул.

Формула приведенного квадратного уравнения.

x2+px+q=0

Чему равен дискриминант приведенного

квадратного уравнения?

D=p2-4q.

Сформулируйте теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.Сумма корней приведенного квадратного

уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: x1+x2=-p

x1*x2=q

Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения общего вида.

x1 + x2 = - b/ax1* x2 = c/a

Сформулируйте теорему обратную теореме Виета.

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=-p x1*x2=q,

то эти числа - корни уравнения

x2+px+q=0

РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

Если числа x1 и x2 - корни квадратного трехчлена, то x2+px+q = (x - x1) (x - x2 )

Если числа x1 и x2 - корни квадратного трехчлена, то ax2+ bx+c = a(x - x1) (x - x2 )

Серия 4. Теорема Виета. Приведенное квадратное уравнение: x2+px+q=0 Дискриминант: D=p2-4q. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения:“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”: x1+x2=-p; x1*x2=q Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a Теорема обратная теореме Виета:Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=-p x1*x2=q, то эти числа - корни уравнения x2+px+q=0

Если числа x1 и x2 - корни квадратного трехчлена, то x2+px+q = (x - x1) (x - x2 )

Если числа x1 и x2 - корни квадратного трехчлена, то ax2+ bx+c = a(x - x1) (x - x2 )

Оценивание тестовых работ

Серия 5.

Биквадратные уравнения.

Серия 5. Биквадратные уравнения.

Биквадратное уравнение: ax4+bx2+c=0

Алгоритм решения:

1 Сделать замену переменной: x2=t

2 Получится: a t2 + b t + c = 0

3 Найти корни квадратного уравнения: t1,2= (-b±√b2-4ac) / 2a4 4 Обратная подстановка: x2=t1 x2=t2

5 Если tk<0 Корней нет Если tk>0 x = ± √ tk

Если tk=0 x=0 Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений.

Биквадратное уравнение можно решить методом замены переменной. Достаточно воспользоваться подставкой:

x2=y.Изобразим схематично этапы решения, например такого уравнения: x4-9x2+20=0

x4-9x2+20=0 y2-9y+20=0

x1,2=±2; x3,4=±√5

x2=4, x2=5y1=4, y2=5

Вопросы:1. Общий вид биквадратного уравнения. 2. Алгоритм решения биквадратного

уравнения. 3. Сколько корней может иметь

биквадратное уравнение?4. Можно ли решить уравнение

x4-9x2+20=0, применяя подставку y=x 4 ?

Решите уравнение

х4 + 7х² - 8 = 0

1. Решите уравнение х4 + 7х² - 8 = 0

РешениеПусть х² = t (t ≥ 0);t2 + 7t -8 =0; t = 1 и t = -8; - 8 <

0 ; х2 = 1; х = 1 и х = -1

Ответ: 1; -1.

2.Решите уравнение :

(х2-х)2 – 8 (х2-х) + 12 = 0.

2.Решите уравнение (х2-х)2 – 8 (х2-х) + 12 = 0.

•РешениеПусть х2- х = t, тогда уравнение примет вид обычного квадратного уравнения t2 – 8t +12 =0; t = 6; t = 2 Если t = 6, то х2 - х = 6 ; х2 – х - 6 =0 ; х = 3 и х = -2Если t = 2, то х2 - х = 2 ; х2 – х - 2 =0 ; х = 2 и х = -1•Ответ: -2; -1; 2; 3.

3. Решите уравнение:

(х2 + 5 +2)(х2 + 5х -1) = 28.

3. Решите уравнение: (х2 + 5 +2)(х2 + 5х -1) = 28.

• РешениеПусть х2 +5х +2 =t, тогда х2 + 5х – 1 = t - 3.Уравнение примет вид:t * (t – 3) = 28 ; t2 – 3t – 28 =0.; t = 7 и t = 4 Если t = 7, то х2 + 5х + 2 = 7; х2 + 5х – 5 = 0; х = (-5+3√5 )/ 2 и х = (-5-3√5)/ 2.Если t = 4, то х2 + 5х + 2= -4; х2 + 5х + 6=0; х = -2 и х = -3.

• Ответ: -(5 + 3√5) / 2 ; (-5 + 3√5) / 2 ; -3 ; -2.

4. Решите уравнение :

(х + 2/х)2 + 2(х + 2/х) -3 = 0.

4. Решите уравнение (х + 2/х)2 + 2(х + 2/х) -3 =

0. Решение

Пусть х +2/х = t, где х ≠ 0, тогда t2 + 2t -3 =0; t = 1 и t = -3t = 1 х + 2/х = 1 х2 – х + 2 = 0 D<0 ; корней нет.t = -3 х + 2/х = -3 х2 + 3х + 2 = 0 х1 = -1 ; х2 = -2.

Ответ: -2; -1.

5. Решите уравнение :

2(х2 – 6) – 3/(х2 –6) = 5

5. Решите уравнение 2(х2 – 6) – 3/(х2 –6) = 5

• РешениеПусть х2 – 6 = t, тогда уравнение примет вид:2t - 3/t = 5, где t ≠ 0; 2t2 – 5t -3 = 0; t1,2 = (5 ± √(25+24) ) / 4 = (5±7) / 4 ;t = 3 и t = -1/2; 3 ≠ 0 и - 1,2 ≠ 0; t = 3, то х2 – 6 = 3 ; х2 = 9 ; х = 3 и х = -3.t=-1/2, то х2–6=-1,2; х2=5,5; х = √5,5 и х = -√5,5 .

• Ответ: -3; 3; -√5,5 ; √5,5.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ

1. (x2 - x)2 - 8 (x2 - x) =0 2. X4 - 3x2 + 2=0 3. х3 - 2x2 - х+2 = 0 4. 2х4 - 5x3 + 6x2 - 5х + 2=0 5. х – 17√х – 18 = 0

РЕШИТЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНО

1. x4- 5x2 = 6

2. x6- 7x3- 8 = 0

1. x4- 5x2+4 = 0

2. x8- 17x4+16 = 0